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第12讲 新高考新结构命题下的
解三角形解答题综合训练
（10 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1）三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2）三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3）三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的 5 个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版
块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第 15 题中，作为一道 13 分的题目，难度相对较为适
中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第 16、17 题这样的中等大题中，
此时的分值将提升至 15 分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，
以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、面积及最值
1．（2024·河南焦作·模拟预测）记VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知点F 为线段 AC 上
的一点，且 AF = 2CF ，BF = 2， a sin A + c sin C - bsin B
2
= a sin C .
3
(1)求 cos ABC 的值；
(2)求VABC 面积的最大值.
1
【答案】(1)
3
(2) 9 2
4
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.
（2）由余弦定理、向量运算、三角形面积公式和基本不等式即可求出VABC 面积的最大值.
【详解】（1）
a b c
因为 = = = 2R， a sin A + c sin C - bsin B
2
= a sin C ，
sin A sin B sin C 3
a a c c b b 2 c× + × - × = a × 2 2 2 2则 ，化简得a + c - b = ac ，
2R 2R 2R 3 2R 3
a2 + c2 - b2 2 ac
由余弦定理得， cos ABC = = 3 1
2ac =
.
2ac 3
（2）在VABC 中， cos
1
ABC = ， ABC 0, π ，
3
2
sin ABC = 1- cos2 ABC 1 1= - 2 2则 ÷ = ，
è 3 3
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur由 AF = 2CF 得，BF = BA + AF = BA + AC = BA + BC - BA3 3
1
= BA 2+ BC ，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
BF 1= BA 2 BC 2+ BF 1 BA 2
uuur 2 1 2 4 a2 2 1 2 ac 1即 ，所以 = + BC = c + + = 4 .3 3 è 3 3 ÷ 9 9 3 3 3
1 2 4 2 1 2 1 1 2 4
由基本不等式，得 c + a + 2 ac = 4 2 ac + ac，
9 9 3 3 3 3 3 27
ac 27 c = 2a a 3 6 c 3 6即 ，当且仅当 ，即 ，4 = =
时等号成立，
4 2
1
所以VABC 的面积 S = ac sin ABC 1 27 2 2 9 2
2 =
，
2 4 3 4
c 3 6 a 3 6 9 2故当 = ， = 时，VABC 面积的最大值为 .
2 4 4
2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在VABC 中，已知 tan A + tan B +1 = tan A × tan B， AB = 2 2 ， AC = 2 3．
(1)求角 B ；
uuur uuur uuur r
(2)若VABC 为锐角三角形，且GA + GB + GC = 0，求△GAB 的面积.
π 2π
【答案】(1) B = 3 或 3
(2) S 3△ GAB = +13
【分析】（1）利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出 tan C ，再利用正弦定理求出角 B ；
uuur uuur uuur r 1
（2）根据GA + GB + GC = 0得到点G 为三角形VABC 重心，由 SVGAB = S3 VCAB 直接求解即可.
【详解】（1） tan A + tan B = tan A × tan B -1，
Q在三角形中， tan A + tan B 0，
tan A + tan B
\ tan A tan B 1，\ = -1，\ tan(A + B) = -11- tan A g tan B ，
在VABC 中， A + B + C = π，
\ tanC = - tan(A + B) = 1，
又 0
π
< C < π， C = ，
4
Q AC = b = 2 3 ， AB = c = 2 2 ，
a b c 2
由正弦定理 = = ，得 sin B bsin C
2 3 × 3
sin A sin B sin C = = 2 = ，c 2 2 2
Q b > c，\ π
2π
B =
3 或 ；3
π
（2）因为VABC 为锐角三角形，所以 B = 3 ，
uuur uuur uuur r
Q GA + GB + GC = 0，
\点G 为三角形VABC 重心，
1
所以 SVGAB = S
1 1
3 VCAB
= × × AB × AC × sin A
3 2 ，
6 + 2
又Q sin B + C = sin A = ，
4
S 1 1 6 + 2 3所以 VGAB = × ×2 2 ×2 3 × = +1，3 2 4 3
3
所以△GAB 的面积为 +1.
3
3．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中， AB = 2BC .
(1)若 cos B
3
= ，求 tan A；
5
(2)若 AC = 2，求VABC 面积的最大值.
4
【答案】(1)
7
4
(2)
3
【分析】（1）解法一 4先利用同角三角函数基本关系求得 sin B = ，再利用正弦定理结合两角和正弦公式化5
简求解即可；
7
解法二 结合已知利用余弦定理求得 cos A = ，然后利用同角三角函数基本关系求解即可.65
2 cos B 5a
2 - 4
（ ）利用余弦定理得 = 2 ，然后利用三角形面积公式结合二次函数性质求解即可.4a
2
【详解】（1）解法一 因为 cos B 3= ，所以
5 sin B = 1- cos
2 B = 1 3 4- 5 ÷
= .
è 5
V sin C AB在 ABC 中，由正弦定理得 = = 2，
sin A BC
所以 sin A
1
= sin C 1= sin B 1+ A = sin B cos A 1+ cos B sin A 2= cos A 3+ sin A，
2 2 2 2 5 10
4
所以7sin A = 4cos A，则 tan A = .
7
解法二 设 AB = 2a，则BC = a ，
V 12ABC AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos B = 4a2 + a2 - a2 13 2在 中，由余弦定理得 = a ，
5 5
AB2 + AC 2 - BC 2 4a
2 13+ a2 - a2
所以 AC 65= a， 所以 cos A = =
5 7= ，
5 2AB × AC 4 65 a2 65
5
sin A 4
所以 sin A = 1- cos2 A
49 4
= 1- = ，所以 tan A = = .
65 65 cos A 7
（2）由（1）中解法二可知BC = a ， AB = 2a，
2
VABC cos B AB + BC
2 - AC 2 5a2 - 4
在 中，由余弦定理得 = = ，
2AB × BC 4a2
2
S 1
2
所以 = AB × BC sin B = a2 1- cos2 B = a4 4
5a - 4 1
VABC - a = -9a
4 + 40a2 -16
2 è 4a
2 ÷
4
1 20 2 256 4 2 5
= -9 a2 - ÷ + ，当 a = 时取等号，4 è 9 9 3 3
V 4故 ABC 面积的最大值为 .
3
4．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．已知
cos2B - cos2 BAC = 2sinC sinC - sinB ．
(1)求 BAC ．
(2)若点D为边BC 的中点，且 AD = 2，求VABC 面积的最大值．
π
【答案】(1)
3
(2) 4 3 ．
3
【分析】（1）由二倍角公式化简已知等式，然后由正弦定理角化边再结合余弦定理求得 BAC .
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得VABC 面积的最大值即可.
【详解】（1 2）由二倍角公式，得1- 2sin B - 1- 2sin2 BAC = 2sinC sinC - sinB ，
即 sin2 BAC - sin2B = sinC sinC - sinB ．
由正弦定理，得 a2 - b2 = c2 - bc，即 c2 + b2 - a2 = bc．
c2 + b2 - a2 bc 1
由余弦定理，得 cos BAC = = = ．
2bc 2bc 2
π
因为0 < BAC < π，所以 BAC = ．
3
uuur uuur uuur
（2）因为点D为边BC 的中点，所以2AD = AC + AB ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
所以 4AD = AC + AB + 2 AC AB cos BAC ，
16
即16 = b2 + c2 + bc 3bc，解得bc 4 3，当且仅当 时，等号成立．3 b = c = 3
S 1所以 △ABC = bcsin BAC
3 3 16 4 3
= bc = ，
2 4 4 3 3
所以VABC 4 3面积的最大值为 ．
3
5．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a =1 .
C B π(1)若 - = ，
12 c = 2bsinC
，求 b；
(2)若 a + b sinA - sinB = c - b sinC ，求VABC 的面积 S 的最大值.
【答案】(1) 3 -1
(2) 3 .
4
π
【分析】（1）根据正弦定理，由 c = 2bsinC 得到sinC = 2sinBsinC ，进而求得 sinB，再由C - B = ，求12
得角 B，A，得到 sinA，再由正弦定理求得 b；
（2）根据正弦定理角化边得到b2 + c2 - a2 = bc ，用余弦定理求得 A，再根据基本不等式求得bc 1，然后利
用三角形面积公式，即可求得 S 的最大值.
【详解】（1）∵ c = 2bsinC ，由正弦定理得sinC = 2sinBsinC ，
又C 0, π ，所以 sinC 0 2，所以 sinB = ，
2
又C - B
π π
= ，所以B < C ，所以 B 为锐角，所以B = ，
12 4
C π π π π π 5π= + = ，所以 A = π - - = ，
12 4 3 4 3 12
sinA sin 5π sin π π sin π cos π cos π sin π 2 + 6故 = = + ÷ = + = ，12 è 6 4 6 4 6 4 4
2
a b b asinB
1
又 = ，所以 = = 2 = 3 -1 .
sinA sinB sinA 2 + 6
4
（2）因为 a + b sinA - sinB = c - b sinC ，
由正弦定理得 a + b a - b = c - b c ，即b2 + c2 - a2 = bc ，
2 2 2
所以 cosA b + c - a bc 1= = = ，
2bc 2bc 2
又 A 0, π A π，所以 = .3
因为 a2 = b2 + c2 - bc，所以1 = b2 + c2 - bc 2bc - bc = bc，
即bc 1，当且仅当b = c =1时等号成立，
1 1 3
所以 S = bcsinA = bc 3 3 1 = ，当且仅当b = c =1时取等号，
2 2 2 4 4
3
所以 S 的最大值是 .
4
考点二、周长及最值
2 tan A a sin B
1．（23-24 高三·河北沧州·模拟）VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c， = ．
1+ tan2 A b
(1)求角A 的大小；
(2)若b + c 2 3= 3a ，VABC 的面积为 ，求VABC 的周长．
3
π
【答案】(1) A = 3 ；
(2) 2 3 + 2 .
【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.
（2）利用三角形面积公式求出bc，再余弦定理列方程求解即得.
2 tan A 2sin Acos A
【详解】（1）依题意， 2 = 2 2 = 2sin Acos A，1+ tan A sin A + cos A
a sin B sin Asin B
在VABC 中，由正弦定理得 = = sin A，
b sin B
1
因此 2sin Acos A = sin A，而 sin A > 0，则 cos A = ，又0 < A < π ，
2
π
所以 A = .3
2 VABC 2 3 1 bc sin A 2 3
8
（ ）由 的面积为 ，得 = ，解得bc = ，
3 2 3 3
由余弦定理得 a2 = c2 + b2 - 2bc cos A = c2 + b2 - bc = (b + c)2 - 3bc ，
而b + c = 3a ，则 a 2 = ( 3a)2 - 8，解得 a = 2，b + c = 2 3 ，
所以VABC 的周长为 2 3 + 2 .
cosC cos A
2．（2024·河南新乡·二模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, = ．
c 4b - a
(1)求 sin C 的值；
(2)若VABC 15 a b 2 6的面积为 ，且 + = c，求VABC 的周长．
2 3
(1) 15【答案】
4
(2) 4 + 6
1
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得 cosC = ，进而得到 sin C 的值；
4
15
（2）由若VABC 的面积为 ，求得 ab = 4，再由余弦定理，求得 c = 6 ，进而求得VABC 的周长.
2
cosC cos A cosC cos A
【详解】（1）解：因为 = ，由正弦定理得 = ，
c 4b - a sin C 4sin B - sin A
可得 4sin B cosC - sin AcosC = cos Asin C ，
即 4sin B cosC = sin AcosC + cos Asin C = sin(A + C) = sin B ，
因为 B (0, π)
1
，可得 sin B > 0，所以 4cosC =1，即 cosC = ，
4
所以 sin C 15= 1- cos2 C = .
4
（2 15）解：由（1）知 sin C = ，
4
VABC 15 1 absin C 15 1 ab 15 15因为若 的面积为 ，可得 = ，即 = ，解得 ab = 4，
2 2 2 2 4 2
又因为 a 2 6+ b = c，
3
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = (a + b)2由余弦定理得 - 2ab - 2ab
1

4 = (a + b)
2 5- ab = (2 6 c)2 -10，
2 3
整理得 c2 = 6，解得 c = 6 ，
a b 2 6所以 + = 6 = 4，
3
所以VABC 的周长为 a + b + c = 4 + 6 .
3．（2024·陕西·模拟预测）VABC 的内角 A, B,C a,b,c,
c - b sinA
的对边分别为 = ．
a - b sinC + sinB
(1)求C ；
(2)若 a + b = 6，求VABC 的周长最小值．
π
【答案】(1) C =
3
(2)9
【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角C 的值；
（2）根据（1）中等式结合基本不等式求周长的最小值.
c - b sinA c - b a
【详解】（1）因为 = ，由正弦定理可得 = ，
a - b sinC + sinB a - b c + b
整理得 a2 + b2 - c2 = ab，
a2 + b2cosC - c
2 ab 1
由余弦定理知 = = = ，
2ab 2ab 2
π
且0 < C < π，所以C = ．
3
（2
2
）由（1）可知： a2 + b2 - c2 = ab，整理得 c2 = a + b - 3ab = 36 - 3ab，
a + b 2
且 ab = 9，当且仅当 a = b = 3时，等号成立，
4
则 c2 = 36 - 3ab 9，即c 3，可得 a + b + c 9，
所以VABC 的周长最小值9 .
f x 4sin x π 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 = + ÷cosx -1.
è 6
(1)求 f x 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在VABC 中， f A =1, BC = 4，求VABC 周长的取值范围.
kπ π
【答案】(1)T = π ； - ,0÷ ,k Z
è 2 12
(2) 8,12
【分析】（1）易得 f x = 2sin 2x π+ ÷，再利用正弦函数的性质求解；
è 6
（2）由 f A =1, BC = 4结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长
π
L△ABC = a + b + c
4 3 8 3
= 4 + 4cosC + sinC + sinC = 8sin C + ÷ + 4，再利用正弦函数的性质求解.
3 3 è 6

【详解】（1）解：由题意得 f x 4 3 1= sinx + cosx ÷÷cosx -1 = 2 3sinxcosx + 2cos
2x -1，
è 2 2
= 3sin2x + cos2x = 2sin 2x
π
+ ÷，
è 6
f x T 2π所以 的最小正周期 = = π2 ；
2x π kπ π令 + = kπ,k Z，则 x = - ,k Z，
6 2 12
故 f x kπ π 图象的对称中心为 - ,0÷ ,k Z .
è 2 12
f A = 2sin 2A π+ π 1（2）由 ÷ =1

，得 sin 2A + = ，
è 6 è 6 ÷ 2
π
又0 < A < π ，所以 < 2A
π 13π
+ < ，
6 6 6
2A π 5π所以 + = A
π B C 2π，则 = ，则 + = .
6 6 3 3
设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，
b c 4 8 3
= = =
由正弦定理得 sinB sinC sin π 3
，
3
b 8 3 sinB 8 3 2π 4 3= = sin - C 8 3
3 3 3 ÷
= 4cosC + sinC ， c = sinC ，
è 3 3
L a b c 4 4cosC 4 3 sinC 8 3则周长 △ABC = + + = + + + sinC ，3 3
= 4 + 4cosC + 4 3sinC 8sin
π
= C +
+ 4，
è 6 ÷
C 0, 2π π C + π 5π 因为 ÷，所以 , ÷ ，
è 3 6 è 6 6
故 sin

C
π
+
1
÷ ,1
ù
ú ，因此 L△ABC 8,12 .è 6 è 2
5．（2024·陕西汉中·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，请从下列条件中选择一个条
件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）
uuur uuur
①记V
π
ABC 的面积为 S，且 3 AB × AC = 2S ；②已知 a sin B = b cos(A - )．6
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 a = 6 ，求VABC 周长的取值范围．
π
【答案】(1) A = 3 ；
(2) (3 2 + 6,3 6] .
【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角
的余弦化简即得.
（2）利用正弦定理化b + c 为角 B 的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.
uuur uuur 1
【详解】（1）选条件①，由 3 AB × AC = 2S ，得 3bc cos A = 2 bc sin A，整理得2 tan A = 3
，而
0 < A < π ，
A π所以 = .3
π π
选条件②，由 a sin B = b cos(A - )及正弦定理，得 sin Asin B = sin B cos(A - )，
6 6
而 sin B > 0，则 sin A = cos(A π) 3- = cos A 1+ sin A，整理得 tan A = 3 ，而0 < A < π ，
6 2 2
π
所以 A = .3
π b c a 6
2 1 A = = = = = 2 2（ ）由（ ）知 3 ，由正弦定理得 sin B sin C sin A π ，sin
3
因此b + c = 2 2 sin B + 2 2 sin C = 2 2[sin B + sin(
π
+ B)]
3
2 2(3= sin B 3+ cos B) = 2 6 sin(B π+ )
2 2 6
ì
0 < B
π
<
V π π π π 2π由 ABC
2
为锐角三角形，得 í ，解得 < B <2π π ，因此
< B + < ，
0 < - B < 6 2 3 6 3
3 2
3 sin(B π则 < + ) 1，于是3 2 < b + c 2 6 ，3 2 + 6 < a + b + c 3 6 ，
2 6
所以VABC 周长的取值范围是 (3 2 + 6,3 6] .
考点三、边长、线段及最值
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形 ABCD中， CBD = 30°， BAD = 60°，BC = 4，BD = 2 3 .
(1)若 AD = AB ，求VACD的面积.
(2)求 AC 的最大值.
【答案】(1) 3
(2) 2 + 2 3
【分析】（1）由题意计算出CD 、 AD 及 ADC ，借助面积公式即可得；
（2）借助△ABD 中BD定长， BAD 定角，则△ABD 外接圆圆心到A 点的距离为定值，再计算出圆心到
点C 的距离，由三角形三边关系即可得.
【详解】（1）
由 CBD = 30°，BC = 4，BD = 2 3 ，
则CD2 = BD2 + CD2 - 2BD ×CD cos CBD = 4，
即CD = 2，有CD2 + BD2 = CD2 ，故 BDC=90° ，
由 AD = AB ， BAD = 60°，则△ABD 为正三角形，
即有 AD = AB = BD = 2 3 ， ADC = 90° + 60° =150°，
1 1
则 SVACD = AD×CD sin ADC = 2 3 2
1
= 3；
2 2 2
（2）
由BD = 2 3 ， BAD = 60°，
作出△ABD 外接圆，令圆心为O，
ABD R 1 BD则△ 外接圆半径 = × = 2，
2 sin BAD
即有OA = OB = 2， DOB = 2 BAD =120°，
DBO 180° -120°则 = = 30°，则 CBO = 30° + 30° = 60°，
2
即有CO2 = BC 2 + BO2 - 2BC × BO cos CBO =12，
即CO = 2 3 ，
则 AC AO + OC = 2 + 2 3 ，当且仅当A 、O、C 三点共线时等号成立，
即 AC 的最大值为 2 + 2 3 .
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
a cos B = b 1+ cos A .
(1)证明： A = 2B；
c
(2)求 的取值范围.
a
【答案】(1)证明见解析
2
(2) ,
2 3
2 3 ÷÷è
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
π π
（2）由VABC 2 3是锐角三角形，可求出 < B < ，进而求出 < cos B < ，由正弦定理结合两角和的正弦
6 4 2 2
c 2cos B 1 1 1定理可得 = - ，令 cos B = t ， y = 2t - ，由 y = 2t - 的单调性即可求出答案.
a 2cos B 2t 2t
【详解】（1）由 a cos B = b 1+ cos A ，结合正弦定理得 sin Acos B = sin B 1+ cos A ，
即 sin Acos B - cos Asin B = sin B ，
所以 sin A - B = sin B，
所以 A - B = B或 A - B + B = π （舍去），所以 A = 2B .
π π
（2）在锐角VABC 中，0 < B
π
< ，0 < A = 2B < ，0 < C = π - 3B < ，
2 2 2
π
即 < B
π
< 2 3，所以 < cos B < .
6 4 2 2
c sin C sin 3B sin 2B cos B + cos 2B sin B
= = = = 2cos B 1- .
a sin A sin 2B sin 2B 2cos B
2 3
令 cos B = t ， y = 2t
1
- ， t
2t
,2 2 ÷÷
，
è
1 2 , 3

因为 y = 2t - 在 ÷÷上单调递增，2t è 2 2
所以 y > 2 2 2 3 2 3- = ， y < 3 - = ，
2 2 3 3
c 2 2 3
所以
a
, ÷÷ .
è 2 3
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a + b + c a + b - c = 3，且
VABC 3 3的面积为 .
4
(1)求角C ；
uuur uuur
(2)若 AD = 2DB ，求 CD 的最小值.
2π
【答案】(1)
3
(2) 6
3
sinC C
【分析】（1）借助余弦定理与面积公式可得 = 3 ，结合二倍角公式可得 tan = 3，即可得解；
1+ cosC 2
uuur 1 uuur 2 uuur
（2）结合题意借助向量，可得CD = CA + CB，结合模长与数量积的关系计算即可得
3 3
uuur2
CD 1= b2 4 2+ a2 - ，利用基本不等式即可得其最值.
9 9 3
【详解】（1）Q a + b + c a + b - c = 3，\3 = (a + b)2 - c2 = a2 + b2 - c2 + 2ab
3
结合余弦定理得3 = 2abcosC + 2ab = 2ab 1+ cosC ，\ab = 2 1+ cosC ，
sinC
QS 1VABC = absinC
3 3
= ，\ = 3 ，
2 4 1+ cosC
2sin C cos C
2 2 = tan C = 3 Q C 0, π C π 2π即 C ，又 ÷ ，\ = ，故C = ；cos2 2 2 è 2 2 3 3
2
2π 3
（2）由（1）知：C = ,ab = = 33 2 1+ cosC ，
uuur uuur uuur 1 uuurCD CA 2
uuur
Q AD = 2DB，\ = + CB，3 3
uuur2 uuur uuur 2
\CD 1 CA 2 1= + CB

÷ = b
2 4 a2 4+ + abcosC 1= b2 4 a2 2+ - ，
è 3 3 9 9 9 9 9 3
1 4 2 1 4 2 2 2 2
又 b2 + a2 - 2 b2 × a2 - = 2 - = ，
9 9 3 9 9 3 3 3 3
2 6
当且仅当b = 2a = 6 时，CD 长取最小值，此时CD = = ，
3 3
\CD 6长的最小值为 .
3
4．（2024·江西鹰潭·二模）VABC 的内角 A, B,C a b c
1- sin A sin B
的对边分别为 ， ， ，满足 = .
cos A cos B
A 2B π(1)求证： + = ；
2
2 2
(2) a + b求 2 的最小值.c
【答案】(1)证明见解析，
(2) 4 2 - 5
【分析】（1）根据题意，化简得到 sin A + B = cos B = sin π - B ÷ ，即可得证；
è 2
π π a2 + b2
（2）由（1）知 A = - 2B 且C = + B，利用正弦定理得到 2 = 4cos
2 B 2+ 2 - 5，结合基本不等式，2 2 c cos B
即可求解.
1- sin A sin B π
【详解】（1）证明：由 = ，可得 A 且 sin Acos B + cos Asin B = cos B ，
cos A cos B 2
所以 sin A + B = cos B = sin π - B2 ÷ ，è
π π
因为 A, B为三角形的内角，可得 A + B = - B ，即 A + 2B = ，得证.
2 2
π
（2）解：由（1）知 A = - 2B ，且C = π - A B
π
- = + B，
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2cos2 B -1 +1- cos2 B
所以 a + b sin A + sin B cos 2B + sin B
2 = 2 = =c sin C cos2 B cos2 B
a2 + b2
所以 2 = 4cos
2 B 2+ 2 - 5 4 2 - 5
2
，当且仅当 cos2 B = 时，等号成立，
c cos B 2
a2 + b2
所以 2 的最小值为 4 2 - 5c
5．（2024·全国·一模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 AD 是 BC 边上的
高． (sin A - sin B)(a + b) = (c - 2b)sin C ．
(1)求角 A；
(2)若 sin(B - C) 2= ， a = 5，求 AD．
10
A π【答案】(1) = 4
(2) AD = 6
【分析】（1）已知条件利用正弦定理角化边，化简后由余弦定理求出 cos A，得角 A；
3
（2）由 sin(B - C) 2= ， sin(B + C) 2= ，得 sin B cosC 3 2= , cos B sin C 2 2= ，有 tan B = tan C ，得
10 2 10 10 2
CD 3= BD ，有BD = 2,CD = 3，再由即 tan B + tan C 1
AD AD AD AD
+ - tan B tan C = + +1- × = 0 ，解出 AD
2 BD CD BD CD
的值.
【详解】（1）VABC 中， (sin A - sin B)(a + b) = (c - 2b)sin C ，
由正弦定理，有 (a - b)(a + b) = (c - 2b)c ，即 a2 - b2 = c2 - 2bc，
得b2 + c2 - a2 = 2bc ，
2 2
cos A b + c - a
2 2bc 2
由余弦定理， = = = ，
2bc 2bc 2
π
由0 < A < π ，得 A = .4
（2） sin(B - C) = sin B cosC - cos B sin C 2= ，
10
sin A = sin π - (B + C) = sin(B + C) = sin B cosC + cos B sin C 2= ，
2
解得 sin B cosC 3 2= , cos B sin C 2 2= ，则B,C 都为锐角，
10 10
sin B cosC 3 tan B 3有 = ，得 = tan C ，
cos B sin C 2 2
V AD tan C AD锐角 ABC 中， AD ^ BC ，则有 tan B = BD ， = ，CD
由 tan B
3
= tan C ，则CD
3
= BD ，
2 2
又BC = a = BD + CD = 5，得BD = 2,CD = 3，
tanA = -tan(B + C) =1 tan B + tan C由 ，得 = -1，即 tan B + tan C +1- tan B tan C = 0，
1- tan B tan C
AD AD AD AD 2
+ +1- × = 0 AD AD AD， + +1- = 0，解得 AD = 6 .
BD CD BD CD 2 3 6
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sin A = sin C cos B 3- sin B sin C ，
3
(1)求角C 的大小；
(2)若C 的角平分线交 AB 于点D，且CD = 2，求a + 2b的最小值，
2π
【答案】(1) C =
3
(2) 6 + 4 2
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到 tan C ，由此得解；
1 1 1
（2）利用三角面积公式推得 + = ，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
a b 2
3
【详解】（1）因为 sin A = sin C cos B - sin B sin C ，
3
所以 sin C cos B 3- sin B sin C = sin C + B = sin C cos B + cosC sin B ，
3
3
所以- sin B sin C = cosC sin B，
3
由于0 < B < π ，则 sin B > 0 3，所以- sin C = cosC ，即 tan C = - 3 ，
3
又C (0,π)
2π
，所以C = .
3
（2）因为C 的角平分线交 AB 于点D，且CD = 2， S△ABC = S△ACD + S△BCD ，
1
根据三角形面积公式可得 ab ×sin
2π 1
= b π 1×CD ×sin + a ×CD ×sin π ，
2 3 2 3 2 3
1 sin 2π sin π sin π 1 1 1
等式两边同除以 ab ×CD 可得 3 = 3 + 3 ，则 + = ，2 CD a b a b 2

则 a + 2b = 2(a + 2b)
1 1 2b a 2b a
+
= 2 ÷ 3+ +

÷ 2 3+ 2 × ÷÷ = 6 + 4 2 ，è a b è a b è a b
2b a
当且仅当 = ，即b = 2 + 2, a = 2 + 2 2 时，等式成立，
a b
故a + 2b的最小值为6 + 4 2 .
考点四、三角函数值及最值
1．（2024·上海·三模）已知在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,b =1，且满足
2acosB = cosC + ccosB．
(1) a 4 13若 = ，求VABC 的面积S ；
13
(2)求a + 2c的最大值，并求其取得最大值时 cosC 的值．
【答案】(1) 3 3 3或 ；
13 13
(2) 2 21 21最大值 ， .
3 14
【分析】（1）首先由余弦定理求出 c，再结合三角形面积公式即可求解；
（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解．
【详解】（1）Qb =1， 2a cos B = cosC + c cos B，\2a cos B = b cosC + c cos B，
Q a b c又 = = = 2R ，\2sin Acos B = sin B cosC + sin C cos Bsin A sin B sin C ，
\2sin Acos B = sin(B + C)．
又Q在VABC 中， B + C = π - A， A (0, π)，\2sin Acos B = sin A，
1
因为 sin A > 0，所以 cos B = ，
2
又Q在VABC 中， B (0, π) π，\ B = 3 ，
再由三角形的余弦定理得：b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，\1 = a2 + c2 - ac ，
c2 4 13 c 3 0 c 13 c 3 13即 - + = ，解得 = 或 = ，
13 13 13 13
c 13 S 1 ac sin B 1 4 13 13 3 3当 = 时，\ = = = ，
13 2 2 13 13 2 13
c 3 13 S 1 ac sin B 1 4 13 13 3 3 3 3当 = 时，\ = = = ，
13 2 2 13 13 2 13
Q a c b 1 2 3= = = =
2 a 2 3 sin A 2 3（ ） sin A sin C sin B 3 3 ，\ = ， c = sinC ．3 3
2
a 2c 2 3 sin A 4 3 2 3\ + = + sin C = sin C π 4 3 +

÷ + sin C3 3 3 è 3 3
5 3
= sin C + cosC 2 21 5 7= sin C 21+ cosC 2 21= sin(C j) 2 21+ ．
3 3 è 14 14 ÷
÷
3 3
π
其中， sinj 21= ， cosj 5 7= ，j 0, ÷，
14 14 è 2
Q π 2π 在VABC 中， B = ，\C 3
0,
3 ÷
，
è
\当C +j
π
= 时，a + 2c 2 21取到最大值 ，
2 3
此时， cosC = cos
π
-j ÷ = sinj
21
= ．
è 2 14
2．（2024·全国·模拟预测）设VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，若
2sin2C = cosC ×cos A - B +1．
2
(1) a + b
2
求 2 的值；c
(2)若VABC 为锐角三角形，求 cosC 的取值范围．
【答案】(1)2
é1 3
(2) ê , ÷÷
2 3
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦定理以及余弦定理公式，代入计算，即可得
到结果；
cosC 1 a b= + 1
3
（2）根据题意，由余弦定理可得 ÷，构造函数 y = x + < x < 3 ，求导即可得到其值4 è b a x
3 ÷÷è
域.
【详解】（1）因为 2sin2C = cosC ×cos A - B +1，
所以 sin2C = cos2C + cosC ×cos A - B = cosC écosC + cos A - B ù
= cosC é cos A - B - cos A + B ù = cosC ×2sinAsinB，
即 sin2 C = 2cosC sin Asin B ，
由正弦定理及余弦定理的推论得 c2 = 2abcosC = a2 + b2 - c2，
a2 + b2
所以 2 = 2 ．c
2 2 2 2
（2）由（1 a + b a + b）知 2 = 2 ，即 c
2 = ，
c 2
2 2
a2 b2 a + b2 2 2 + -
所以 cosC a + b - c 1 a b= = 2 = + ．
2ab 2ab 4 b a ֏
因为VABC 是锐角三角形，
ì
a2 + c2 > b2 ,
2 2
所以 í b + c > a2 , 3 b解得 < < 3 ．
2 3 a
c2 a + b
2
= ,
2
1 3 2
令函数 y = x + 1 x -1 < x < 3 ÷÷ ，则 ，x è 3
y =1-
x2
=
x2
令 y < 0 3，得 < x <1，令 y > 0，得1 < x < 3 ，
3
y 3 则函数 在 ,1÷÷上单调递减，在 1, 3 上单调递增，
è 3
当 x =1时， y 有极小值，即最小值为 ymin = 2 ，
x 3 y 4 3 4 3当 = 时， = ，当 x =1时， y = ，
3 3
é 4 3
所以 y ê2, ÷÷，
3
é1 3
故 cosC 的取值范围为 ê , ÷÷ ．
2 3
3．（2024·广东广州·模拟预测）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
π
bsin B + c sin C - a sin A = 2bsin B sin C 且C .
2
π
(1)求证：B = A + ；
2
(2)求 cos A + sin B + sin C 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2,3
π
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为 cos A = sin B，结合诱导公式及C
2
可证B = A
π
+ .
2
B A π（2）根据 = + 及 cos A = sin B，结合诱导公式和二倍角余弦公式将
2
2
cos A + sin B + sin C = 2sin B + sin C = 2sin A π π+ + sin - 2A ÷ ÷ 化为2 2 2 cos A
1 3
+ ÷ - ，先求出角 A 的范围，è è è 2 2
然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为bsin B + c sin C - a sin A = 2bsin B sin C ，
由正弦定理得，b2 + c2 - a2 = 2bc sin B ，由余弦定理得b2 + c2 - a2 = 2bc cos A = 2bc sin B，
p π
所以 cos A = sin B，又 cos A = sin( - A)，所以 sin( - A) = sin B .
2 2
π π
又0 < A < π ，0 < B < π ，所以 - A = B 或 - A + B = π，
2 2
所以 A + B
π π
= 或B = A + ，
2 2
C π又 ，所以 A B π C
π B A π+ = - ，所以 = + ，得证.
2 2 2
π π
（2）由（1）知B = A + ，所以C = π - A - B = - 2A，
2 2
cos A sin B sin C 2sin B sin C 2sin A π π又 cos A = sin B，所以 + + = + = +

2 ÷
+ sin - 2A÷
è è 2
2
= 2cos A + cos 2A = 2cos2 A + 2cos A -1 = 2 cos A 1+ 3 ÷ - ，
è 2 2
ì
0 < A < π

0 < B = A π+ < π 0 A π因为 í ，所以 < < 2，所以2 < cos A <1， 4 2
0 π < C = - 2A < π 2
2 2
因为函数 y 1 3= 2 cos A + ÷ - 在 cos A ,1÷÷单调递增，è 2 2 è 2
2
2 1 3 1 2 3 1 2 3
所以 2 + ÷÷ - = 2 < 2
cos A +
2 2 2 2 ÷
- < 2
2
1+ ÷ - = 3，
è è è 2 2
所以 cos A + sin B + sin C 的取值范围为 2,3 .
4．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足b = a - 2bcosC
(1)求证：C = 2B；
(2)若VABC 为锐角三角形，求2sinC + cosB - sinB的最大值．
【答案】(1)证明见解析
17
(2)
8
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
π π
（2）利用VABC 为锐角三角形，求出 < B < ，表示出2sinC + cosB - sinB，并进行换元转化为二次函数,
6 4
进而求得最大值.
【详解】（1）由题b = a - 2bcosc ，
由正弦定理： sin B = sin A - 2sin B cosC = sin(B + C) - 2sin B cosC ，
所以 sin B = sin B cosC + cos B sinC - 2sin B cosC ，
整理 sin B = sinC cos B - cosC sin B，
所以 sin B = sin C - B ，
\B = C - B或B + C - B = π（舍）,
\C = 2B .
（2）QVABC 为锐角三角形,
ì
0 < π 3B
π
- <
2
π\í0 < B < ,
π π π π
解得： < B < ,所以0 < - B < ，
2 6 4 4 12
0 2B π < < 2
且 sin π = sin π π -

÷ = sin
π cos π - cos π sin π 6 - 2= ,
12 è 3 4 3 4 3 4 4
由（1）问，C = 2B,\ 2sinC + cosB - sinB = 2sin 2B + cos B - sin B，

令 t = cos B
π 3 -1
- sin B = 2 sin - B ÷ 4
0,
2 ÷è ÷
，
è
则 sin 2B =1- cos B - sin B 2 ，
2
2sinC + cosB - sinB = 2 1- t 2 + t = -2t 2 + t + 2 = -2 t 1- 17所以 ÷ + ,
è 4 8
3 -1
因为 t 0, 2 ÷÷
,
è
\ t 1 17当 = 时，所求2sinC + cosB - sinB的最大值为 .
4 8
5．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）在VABC 中，内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知
2acsinA + a2 + c2 - b2 = 0．
π
(1)若 A = ， a = 2，求VABC 的面积；
6
4sin2(2) C + 3sin
2 A + 2
求 的最小值，并求出此时 B 的大小．
sin2B
【答案】(1) 3
(2) 4sin
2C + 3sin2 A + 2 2π
2 的最小值是 5，此时B =sin B 3
【分析】（1）结合余弦定理与面积公式即可得；
（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.
a2 + c2 - b2
【详解】（1）由题意得 sinA + = 0，
2ac
2 2 2
因为 cosB a + c - b= ，
2ac
所以 sinA + cosB = 0，故 cosB = -sinA，
A π 1又 = ，所以 cosB = - ．
6 2
因为 B 、C 是VABC 的内角，所以 B 为钝角，
B 2π所以 = ，所以C
π
= ，
3 6
所以VABC 是等腰三角形，则 a = c = 2 ，
S 1 acsinB 1 2 2 3所以 △ABC = = = 3 ．2 2 2
（2）由（1）可知，在VABC 中， cosB = -sinA < 0 ，
π
即 B 为钝角，则B = A + ，
2
3π
因为 A + B + C = π，C = π - A - B = - 2B ，
2
4sin2C + 3sin2 A + 2 4cos2 2B + 3cos2B + 2
所以 2 = 2 ，sin B sin B
f B 4cos
2 2B + 3cos2B + 2
设 = ，
sin2B
4 1- 2sin2B则
2
+ 3 1- sin2B + 2
f B = =
sin2B
16sin4B -19sin2B + 9
2 =16sin
2B 9+ 2 -19，sin B sin B
由 sin2B 0,1 ，
故 f B =16sin2B 9+ -19 2 16sin2B 9× -19 = 5，
sin2B sin2B
当且仅当16sin2B
9
= ，即
sin2B sinB
3
= ，
2
2π
结合 B 为钝角，即当B = 时等号成立，
3
4sin2C + 3sin2 A + 2 2π
所以 2 的最小值是 5，此时B = ．sin B 3
考点五、内切圆、外接圆半径问题
1．（22-23 高一下·浙江·阶段练习）在 VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，在以下条件中选择一个条件：
π
① a + c = 2bsin C +

÷ ；② b + c sinB - sinC = a - c sinA；③ 2a - c cosB = bcosC ．求解以下问题．（选
è 6
择多个条件的，以所选的第一个计分）
(1)求角 B ；
uuur uuur
(2)若 a + c = 4 3 ，且BA × BC = 6 ，求VABC 的内切圆半径．
π
【答案】(1) B = 3
(2)1
π 1
【分析】（1）选①．由已知得bcosC + 3bsinC - a - c = 0 ，由正弦定理得化边为角，进而得 sin B - ÷ = ，
è 6 2
结合 B 的范围可得 B ．
1
选②．由正弦定理化角为边得 b + c b - c = a - c a ，则 cosB = ，可得 B ．
2
1
选③．由已知得 2acosB = ccosB + bcosC = a ，即 2acosB = a ，则 cosB = ，可得 B ．
2
uuur uuur
（2）因为BA × BC = 6 ，所以 ac =12，由余弦定理求得b = 2 3 ，求得VABC 的面积，利用面积法求得内切
圆半径．
【详解】（1）选①．
a + c = 2bsin π 因为 C + ÷ ，所以6 bcosC + 3bsinC - a - c = 0
，
è
所以 sinBcosC + 3sinBsinC - sinA - sinC = 0，因为 A + B + C = p ，
所以 sinBcosC + 3sinBsinC - sin B + C - sinC = 0，
所以 3sinBsinC - cosBsinC - sinC = 0，
C 0, π sinC 0 sin 因为 ，所以 ，所以 B
π 1
-
6 ÷
= ，
è 2
因为B 0, π B π π π，所以 - = ，所以 B = 3 ．6 6
选②．
b + c sinB - sinC = a - c sinA，则 b + c b - c = a - c a ，
所以b2
1
- c2 = a2 - ac，即 a2 + c2 - b2 = ac，所以 cosB = ，2
因为B 0, π π，所以 B = 3 ．
选③．
因为 2acosB = ccosB + bcosC = a ，所以 2acosB = a ，
又 a 0，所以 cosB
1
= ，
2
因为B 0, π π，所以 B = 3 ．
uuur uuur π
（2）因为BA × BC = 6 ，由（1）可知 B = ，所以 ac =123 ，又 a + c = 4 3 ，
b2则 = a2 + c2 - 2accosB = (a + c)2 - 2ac - 2accosB = (4 3)2
1
- 2 12 - 2 12 =12，
2
1
所以b = 2 3 ，又VABC 的面积 S = ac ×sinB = 3 3 ，
2
1
设VABC 的内切圆半径为 r ，则 S = a + b + c r = 3 3，
2
1
所以 4 3 + 2 3 r = 3 3 ，解得 r =1．
2
2．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，
3b - c sin A = 3a cosC ．
(1)求角A 的大小；
R
(2)若 a = 7，VABC 外接圆的半径为 R ，内切圆半径为 r ，求 的最小值．
r
π
【答案】(1)
3
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得 sin C( 3 cos A - sin A) = 0，由0 < C < p ，得
到 tan A = 3 ，得到A ;
（2）利用余弦定理及基本不等式求得 (b + c)max =14，利用等面积法求得 r 的最大值，利用正弦定理求得 R ，
R
求出
r
【详解】（1）由 3b - c sin A = 3a cosC 及正弦定理，
得 3 sin B - sin C sin A = 3 sin AcosC ，
故 3 sin(A + C) - sin C sin A = 3 sin AcosC ，
即 3 sin AcosC + 3 cos Asin C - sin C sin A = 3 sin AcosC ，
即 sin C( 3 cos A - sin A) = 0．
由0 < C < π，则 sin C 0，故 3 cos A - sin A = 0，即 tan A = 3 ．
p
因为0 < A < π ，所以 A = 3 ．
（2）由（1）和余弦定理可得， 49 = b2 + c2 - bc = (b + c)2 - 3bc，
bc (b + c)
2 49 2- 2
故 = ， 49 = (b + c)2 - 3bc (b + c)2 3 b + c (b + c)-
3
= ，
è 2 ÷ 4
即b + c 14，当且仅当b = c = 7时等号成立．
故 (b + c)max =14．
1 1
由利用等面积法求得 r 的最大值，易知 (a + b + c)r = bc sin A，
2 2
(b + c)2 - 49
故 r bc sin A 3 bc 3 3
7 3
= = × = × 3 = (b + c 7) 7 3- ，故 rmax = ，
a + b + c 2 b + c + 7 2 b + c + 7 6 6 6
R a 7 3
R
利用正弦定理 = = ，所以 的最小值为 2．
2sin A 3 r
uuur uuur
3．（2022·湖北·三模）在VABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a，b ， c，已知 3 AB × AC = 2S△ABC ，b + c = 8．
(1)求角A 的大小；
(2)求VABC外接圆半径的最小值.
p
【答案】(1) A = 3
(2) 4 3
3
uuur uuur
【分析】（1）由平面向量数量积的定义结合三角形的面积公式化简 3 AB × AC = 2S△ABC 即可得出答案.
a
（2）由余弦定理结合均值不等式可得 a 4，所以DABC外接圆半径的最小值 rmin = ，代入即可得出2sin A
答案.
uuur uuur 1
【详解】（1）因为 3 AB × AC = 2S△ABC ，所以 3bc cos A = 2 bc sin A，2
p
整理得 sin A = 3 cos A，所以 tan A = 3 ，又 A 0,p ，所以 A = 3 ．
2 2 2 2
p
（ ）因为a = b + c - 2bc cos ，b + c = 8，
3
2
所以 a2 = b + c 2 - 2bc - bc = 64 - 3bc，故 a2 64 b + c- 3 ÷ =16，即 a 4，
è 2
当且仅当b = c = 4时，等号成立，所以 a的最小值为 4．
所以 r a 4 3min = = .2sin A 3
4．（2024·吉林·二模）已知 VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的外接圆半径为 3，且
sin2 B + sin2 C - sin B sinC = sin2 A .
(1)求 a ;
(2)求VABC 的内切圆半径 r 的取值范围
【答案】(1) 3

0, 3
ù
(2) ú
è 2
【分析】（1）由正弦定理化为边，再由余弦定理求解即可；
（2）根据等面积法可得出 r 的表达式，利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围.
【详解】（1）由正弦定理可得，b2 + c2 - bc = a2 ，即b2 + c2 - a2 = bc ，
2 2 2
所以 cos A
b + c - a 1
= = ，
2bc 2
由0 < A
π
< π 可知， A = 3 ，
a
所以 = 2R = 2 3 ，故
sin A a = 2 3 sin
π 2 3 3= = 3 .
3 2
（2）因为VABC 的内切圆半径 r ，
所以 S
1
△ABC = (a + b + c) × r
1
= bc sin A，
2 2
r bc sin A 3 bc即 = = × ，
a + b + c 2 3+ b + c
又因为b2 + c2 - bc = a2 = 9，所以 (b + c)2 - 9 = 3bc ，
r 1 (b + c)
2 - 9 b + c - 3
所以 = × = ，
2 3 3+ b + c 2 3

由正弦定理b + c = 2R(sin B + sin C)
é
= 2 3 êsin B + sin
2π ù
- B

÷ú = 2 3 sin B
3
+ cos B 1+ sin B ÷
è 3 è 2 2 ÷

= 2 3 3 sin B
3
+ cos B π
2 2 ÷÷
= 6sin B + ÷，
è è 6
2π π π 5π
又B 0, 3 ÷
，则B + ,
6 ÷
，
è è 6 6
sin B π 1+ ,1ù π所以 ÷ ú ，故b + c - 3 = 6sin

B + - 3 0,3 ，
è 6 è 2 è 6 ÷
r b + c - 3
3 ù
所以 =
2 3
0, 2 ú
.
è
5．（2023·广西南宁·一模）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a = 2，且
sin A + sin B b - c
= ．
sin C b - a
(1)求VABC 的外接圆半径 R；
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围．
2 3
【答案】(1) R =
3

(2) r 0,
3
÷÷
è 3
【分析】（1）由正弦边角关系可得b2 + c2 - a2 = bc ，应用余弦定理即可求 cos A，进而确定其大小；
b 4
2
2 = sin B c
4
= sin C b + c - 4（ ）由正弦定理有 ， ，根据余弦定理有
3 3 bc =
，结合（1）及
3
S 1 bc sin A 1VABC = = a + b + c r
2 3 π 3
，应用三角恒等变换有 r = sin
2 2 3
B +
6 ÷
- ，由三角形内角性质、正弦
è 3
函数性质求范围即可.
sin A + sin B b - c a + b b - c
【详解】（1）因为 = ，由正弦边角关系得 = ，即b2 + c2 - a2 = bc ，
sin C b - a c b - a
b2 + c2 - a2 bc 1 π
由余弦定理，得 cos A = = = ，又 A 0, π ，所以 A = ，
2bc 2bc 2 3
2R a 2 4 3= = =
R 2 3由 sin A 3 3 ，则 = .3
2
b c a 2 4
= = = = 4 4
（2）由正弦定理得 sin B sin C sin A π 3 ，所以b = sin B c = sin Csin ， ，
3 3 3
2
2 2
由余弦定理，得 4 = b + c - 2bc cos
π
= b + c 2 - 3bc b + c - 4，所以
3 bc =
，
3
利用等面积法可得 S
1 1
VABC = bc sin A = a + b + c r ，2 2
2
则 r bc sin A 3 b + c - 4 3= = = b + c - 2
a + b + c 6 2 + b + c 6
3 4 4 3 é 4 4 2 ù
= sin B + sin C - 2

÷ = ê sin B + sin
π - B
6 3 3 6 3 3 3 ÷
- 2
è è
ú

2 3 sin B π 3= + ÷ - ，3 è 6 3
π B π π 2π π π πB A =
π 5π
∵ a b ，∴ ，故
3
0, ÷ , ÷ ，则B + , , ，
è 3 è 3 3 6 è 6 2 ÷ è 2 6 ÷
sin B π 1+ ,1
3
所以 6 ÷ ÷
，故 r 0, ÷ .
è è 2 ÷è 3
6．（2023·山东·一模）如图，平面四边形 ABCD中， AD = 5，CD = 3， ADC =120°．VABC 的内角 A, B,C
a,b,c a + b sinA - sinC的对边分别为 ，且满足 = ．
c sinA - sinB
(1)判断四边形 ABCD是否有外接圆？若有，求其半径 R ；若无，说明理由；
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围．
【答案】(1)有，R 7 3=
3
ù
(2) r 0,
7 3
è 6
ú

【分析】(1)先由余弦定理求 AC ，再由正弦定理结合条件得b2 = a2 + c2 - ac，所以 cosB
1
= B π， = 3 ，所以2
A, B,C, D 四点共圆，则四边形 ABCD的外接圆半径就等于VABC 外接圆的半径．由正弦定理即可求出 R ；
1
(2)由三角形面积公式得到 S
1 1
VABC = acsinB = a + b + c × r ，则 r = a + c - 7 ，由正弦定理得2 2 2 3
π 2π π
a 14 3= sinA c 14 3， = sinC ，化简得 a + c =14sin A + ÷，因为 A 6
0, ÷ ，所以14sin A + ÷ 7,14 ，
3 3 è è 3 è 6
即可得到 a + c的取值范围，从而得到半径 r 的取值范围．
【详解】（1）在VACD中， AC 2 = AD2 + DC 2 - 2AD × DC ×cos120° = 49，
所以 AC = 7 ，
a + b sinA - sinC a - c
由正弦定理， = = ，可得b2 = a2 + c2 - ac，
c sinA - sinB a - b
1
再由余弦定理， cosB = ，又B 0, π π，所以 B =
2 3
．
因为 ADC =120°，所以 ABC + ADC = 180°，所以 A, B,C, D 四点共圆，
则四边形 ABCD的外接圆半径就等于VABC 外接圆的半径．
2R b 7 14 3= = = 7 3
又 sinB 3 3 ，所以R = ．3
2
2
（2）由（1）可知： a2 + c2 - ac = 49 ，则 a + c = 49 + 3ac，
S 1VABC = acsinB
1
= a + b + c × r ，
2 2
a + c 23 ac 1 - 49r 1则 = × = = a + c - 7 ．
2 7 + a + c 2 3 7 + a + c 2 3
VABC a c b 14 3在 中，由正弦定理， = = = ，
sinA sinC sinB 3
14 3 14 3
所以 a = sinA， c = sinC ，
3 3
a c 14 3则 + = sinA + sinC 14 3= é sinA + sin 120° - A ù3 3
14 3
= sinA
3
+ cosA 1 14 3 3 3+ sinA÷÷ = sinA + cosA3 2 2 3 2 2 ÷÷è è

=14 sinA
3 cosA 1 π× + × ÷÷ =14sin
A +
2 2 6 ÷
，
è è
A 0, 2π A π+ π又 ÷ ，所以 ,
5π
3 6 6 6 ÷
，
è è
π 1
所以 sin A + ÷ ,1
ù π
è 6 è 2 ú
，14sin A + ÷ 7,14 ，即 a + c 7,14 ，
è 6
1 ù
因为 r = a + c - 7 ，所以 r 0,
7 3
2 3 6 ú
．
è
考点六、中线、角平分线、高线问题
1．（2024·四川成都·三模）在VABC 中，BC = 5, AC = 6,cosB
1
= ．
8
(1)求 AB 的长；
(2)求 AC 边上的高．
【答案】(1)4
(2) 5 7
4
【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入运算得解；
（2）求出 sin B ，由等面积法求解.
1
【详解】（1）由题， a = 5，b = 6， cos B = ，由余弦定理得，
8
1 25 + c2 - 36
\ = ，解得 c = 4，即 AB = 4 .
8 2 5c
1 3 7
（2）在VABC 中， cos B = ，
8 \sin B =
，设 AC 边上的高为 h ，
8
1
则 bh
1
= ac sin B，即
2 2 6h
3 7 5 7
= 5 4 ，解得 h = .
8 4
5 7
所以 AC 边上的高为 .
4
2．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，面积为S ，且
S abc= ．
4
(1)求VABC 的外接圆的半径；
2π
(2)若b + c = 2 ，且 A = 3 ，求BC 边上的高．
【答案】(1)1；
(2) 12 .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式求解即得.
（2）结合（1）的信息，求出边 a，再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得.
【详解】（1）在V
1
ABC 中， bc sin A
abc
= S = ，解得 a = 2sin A，
2 4
由正弦定理得VABC R
1 a
的外接圆的半径 = × =1 .
2 sin A
2π
（2）由（1）知， a = 2sin = 3，
3
2 2 2 2π
由余弦定理得 a = b + c - 2bc cos = (b + c)2 - bc ，则bc = 22 - ( 3)2 =1，
3
1 abc
令BC 边上的高为 h ，则 ah = S = ，即 h
1 1
= bc = ，
2 4 2 2
1
所以BC 边上的高为 2 .
ccosA c
3．（23-24 高三上·黑龙江·期中）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c， - = 0 .
acosC 2b - c
(1)求角A ；
(2)若 a = 2，求BC 边上高的最大值.
π
【答案】(1) A = 3
(2) 3 .
【分析】（1）用正弦定理边化角即可求解；
（2）用余弦定理结合基本不等式即可求解.
ccosA c 0 sinCcosA sinC【详解】（1）由正弦定理及 - = ，得 - = 0 .
acosC 2b - c sinAcosC 2sinB - sinC
因为 sinC 0，所以 2sinBcosA - sinCcosA - sinAcosC = 0，
所以 2sinBcosA - sin A + C = 0，所以2sinBcosA - sinB = 0 .
1 π
因为 sinB 0，所以 cosA = .因为0 < A < π ，所以 A = .
2 3
（2）由（1）及余弦定理得：b2 + c2 = 4 + bc 2bc，所以bc 4，
1
所以 SVABC = bcsinA 3 ，当且仅当b = c = 2时等号成立，2
1
设BC 边上的高为 h ，又因为 S△ABC = a ×h = h，所以2 h 3
.
即BC 边上高的最大值为 3 .
4．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
2c2 = a2 + c2 - b2 tanA + tanB .
(1)求角A 的大小；
(2)若边 a = 2 ，边BC 的中点为D，求中线 AD 长的取值范围.
π
【答案】(1) A = 4
10 , 2 + 2
ù
(2) ú .
è 2 2
【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
uuur uuur uuur
2 1
（2）由 | AD | = (AB + AC)2 ，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角
4
函数值域求出范围
2
【详解】（1）由余弦定理得 2c = 2accosB tanA + tanB ，
即 c = acosB tanA + tanB ，
由正弦定理得 sinC = sinAcosB tanA + tanB sinA sinB= sinAcosB + cosA cosB ÷è
sin A + B
sinAcosB sinAsinC= = ，
cosAcosB cosA
QsinC 0,\sinA = cosA，即 tanA =1，
Q A 0,
π
÷ ,
π
\ A = .
è 2 4
（2）由余弦定理得： 2 = b2 + c2 - 2bc ，则b2 + c2 = 2 + 2bc .
uuur 1 uuur uuur| AD |2 = (AB + AC)2 1= c2 + b2 + 2bc
4 4
1
= 1+ 2bc
2
b c a
由正弦定理得 = = = 2
sinB sinC sinA
所以b = 2sinB,c = 2sinC ，
bc = 4sinBsinC = 4sinBsin 3π - B ÷ = 2 2 sinBcosB + sin2B = 2 -cos2B + sin2B + 2
è 4


π
= 2sin 2B -

4 ÷
+ 2
è
ì 0 π< B <
VABC
2 π π
因为 是锐角三角形，所以 í ，即 < B <3π π ， 0 < - B < 4 2
4 2
π 2B π 3π则 < - < , 2 < sin π 2B - ÷ 1,\bc 4 4 4 2 4 2 2,2 + 2 ù .è
10 2 + 2 ù
中线 AD 长的取值范围是 , ú .
è 2 2
5．（2023·浙江·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且bcosC + csin B
a + 2b
= a, = 6 2 ，
sin A + 2sin B
(1)求b ；
(2)求 AC 边上中线长的取值范围．
【答案】(1)6
(2) 3,3+ 3 2 ù
【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；
uuur uuur uuur
（2）利用余弦定理和基本不等式可得 ac 0,18 2 +18ù ，再根据BD 1 BA 1= + BC ，结合向量的相关运算2 2
求解.
【详解】（1）因为bcosC + csin B = a ，
由正弦定理可得 sin B cosC + sin C sin B = sin A = sin B + C = sin B cosC + cos B sin C ，
整理得 sin C sin B = cos B sin C ，
且C 0, π ，则 sin C 0，可得 sin B = cos B，即 tan B =1，
且B 0, π π，则B = ，
4
a b
由正弦定理 = = 2R，其中 R 为VABC 的外接圆半径，
sin A sin B
可得 a = 2R sin A,b = 2R sin B，
a + 2b 2R sin A + 4R sin B
又因为 = = 2R = 6 2 ，
sin A + 2sin B sin A + 2sin B
所以b = 2R sin B 2= 6 2 = 6 .
2
（2）在VABC 中，由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即36 = a2 + c2 - 2ac ，
则 a2 + c2 = 36 + 2ac 2ac，当且仅当 a = c 时，等号成立，
36
可得 ac =18 2 + 2 ，即 ac 0,18 2 + 2 ù2 - 2
设 AC 边上的中点为 D，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur2 1 uur 1 uuur 2 uur2 uur uuur uuur2
因为BD = BA + BC ，则BD = BA + BC
1 BA 1= + BA × BC 1+ BC
2 2 è 2 2 ÷ 4 2 4
1
= a2 + c2 1+ ac cos B 1= 36 + 2ac 2+ ac 9 2= + ac 9,27 +18 2 ù ，4 2 4 4 2
即BD 3,3 + 3 2 ù ，所以 AC 边上中线长的取值范围为 3,3+ 3 2 ù .
6．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）在① a - b sin A + C = a - c sinA + sinC ；② 2atanB = b tanB + tanC ；
π π 1
③ sin - C ÷cos C + ÷ = ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在VABC 中，内
è 6 è 3 4
角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足________.
(1)求C ；
(2)若VABC 的面积为5 3 ，D为 AC 的中点，求BD的最小值.
p
【答案】(1)
3
(2) 10
【分析】（1）若选择条件①，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；选择条件②，利用正弦定
理将边化角，再由同角三角函数的基本关系将切化弦，结合两角和的正弦公式计算可得；选择条件③，利
π
用诱导公式求出 cos C + ÷ ，即可得解；
è 3
uuur uuur uuur uuur
（2）由面积公式求出 ab，再由BD = BC + CD，将两边平方，结合数量积的运算律及基本不等式求出 BD
的最小值，即可得解.
【详解】（1）选择条件①， a - b sin A + C = a - c sinA + sinC ，
则 a - b sin B = a - c sinA + sinC ，
由正弦定理可得 a - b b = a - c a + c ，即 a2 + b2 - c2 = ab，
a2 + b2 - c2 1 π
所以 cosC = = ，由C 0, π ，所以C = .
2ab 2 3
选择条件②， 2atanB = b tanB + tanC ，
由正弦定理可得 2sin AtanB = sin B tanB + tanC
2sinAsinB sinB sinB sinC即 = +

cosB è cosB cosC ÷
sin B sin B cosC + sin C cos B
sin B + C
= × = sin B sinBsinA× = ，
cos B cosC cos B cosC cosBcosC
由 A, B,C 0, π ，所以 sin A > 0， sin B > 0，显然 cos B 0，
所以 cosC
1
= ，由C 0, π π，所以C = .
2 3
sin π C π- 1选择条件③， ÷cos C + ÷ = ，
è 6 è 3 4
sin é π π C ù即 ê - + ÷ú cos

C
π 1
+ = ，
2
÷
è 3 è 3 4
cos2 C π 1 cos C π 1所以 + = ，则 + = ± ，
è 3 ÷ 4 è 3 ÷ 2
C 0, π π C π 4π π 1由 ， < + < ，则 cos C +3 3 3 3 ÷ = - ，è 2
π 2π π
所以C + = ，则C = .
3 3 3
1 1 3
（2）由 S = absinC = ab = 5 3，解得 ab = 20 .
2 2 2
uuur uuur uuur
又BD = BC + CD，
uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur2所以BD = BC + CD = BC + 2BC ×CD + CD
2 2
= a2 2a 1+ b 1- 1 2 b 1 1 1 ÷ + b = a + - ab ab - ab = ab =10，2 è 2 è 2 ÷ 4 2 2 2
uuur
所以 BD 10 ，当且仅当a = 10,b = 2 10 时等式成立，
所以BD取最小值是 10 .
7．（23-24 高一下·辽宁·期中）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 sinC + 3cosC = a，
b = 3 ．
(1)若 a + c = 2，求边 AC 上的角平分线BD长；
(2)若VABC 为锐角三角形，求边 AC 上的中线 BE 的取值范围．
(1) BD 3【答案】 =
6
7 , 3
ù
(2) 2 2úè
π 1
【分析】（1）先由正弦定理结合两角和的正弦求出 B = ，再根据余弦定理及已知得 ac =3 ，然后利用面积3
分割法列方程求解即可；
uuur2 1 π
（2）利用向量加法运算及数量积模的运算得BE = 3 + 2ca ，利用正弦定理得 ac = 2sin 2A - ÷ +1，然4 è 6
后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）
b
由 sin C + 3 cosC = a 及正弦定理得 sinC + 3 cosC = sin A，sin B
即 sin B ×sin C + 3 sin B ×cosC = 3 sin A，
即 sin B ×sin C + 3 sin B ×cosC = 3 sin B cosC + 3 cos B sin C ，
所以 sin B ×sin C = 3 cos B sin C ，因为 sinC 0，所以 tan B = 3 .
因为 B (0, π) B
π
，所以 = .3
1
由余弦定理得3 = c2 + a2 - ac = c + a 2 - 3ac，又 a + c = 2，所以 ac = ，
3
1
由 SVABC = SVABD + SVBDC 得 ac sin B
1
= c × BD sin B 1× + a × BD ×sin B ，
2 2 2 2 2
所以 ac sin
π
= BD × c + a sin π 1 3 1 3，所以
3 6 = BD × 2 ×
，解得BD = .
3 2 2 6
（2）
uuur 1 uuur uuur
因为E 为 AC 的中点，所以BE =
2 BA + BC ，
uuur2 1
则BE = uuur uuur 2BA + BC 1= c2 + a2 + 2ca cos B 1= 3+ ca ca 3 + 2ca+ = ，4 4 4 4
b b
由正弦定理得 ac = sin A × sin C = 4sin A ×sin C = 4sin A sin
2π× - A
sin B sin B ֏ 3

= 4sin A 3 cos A 1× + sin A = 2 3 sin Acos A + 2sin
2 A
è 2 2 ÷
÷

= 3 sin 2A +1- cos 2A = 2sin 2A π -

÷ +1，
è 6
ì0 A π < <
因为VABC
2 π π
为锐角三角形，所以 í ，所以 < A <
2π π 6 2
，
0 < - A <
3 2
π π 5π 1
所以 < 2A - < ，所以 < sin

2A
π
-
6 6 6 ÷
1，所以2 < ac 3，
2 è 6
uuur2 ù
所以BE
1 7 9 7 3
= 3 + 2ca ù , ú，所以BE 4 4 4 ,2 2 ú ，è è
7 3 ù
即边 AC 上的中线 BE 的取值范围为 , ú .
è 2 2
8．（23-24 高一下·四川成都·期中）已知VABC 的内角A ， B ，C 的对边为 a，b ， c，且
3(sin A - sin B) 3c - 2b
= ，
sin C a + b
(1)求 sin A ；
16
(2)若VABC 的面积为 2 ；
3
①已知E 为BC 的中点，且b + c = 8，求VABC 底边BC 上中线 AE 的长：
②求内角A 的角平分线 AD 长的最大值．
(1) sin A 2 2【答案】 = ；
3
(2)① 4 6 ；② 4 6
3 3
1
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得 cos A = ，即可由同角关系求解，
3
（2）①根据面积公式可得bc =16 ，结合b + c = 8以及向量的模长公式即可求解，②利用等面积法可得
AD c b 2bc cos A+ = A 6，进而根据半角公式可得
2 cos =
，即可得 AD c 32 6+ b = ，利用基本不等式
2 3 3
即可求解.
3(a - b) 3c - 2b 2 2
【详解】（1）由正弦定理，得 = ，即 c + b2 - a2 = bc，
c a + b 3
2
c2 + b2 - a2 bc 1 A (0, π故 cos A = = 3 = ，因为 cos A > 0，所以 )，
2bc 2bc 3 2
所以 sin A = 1- cos2 A = 1 1 2 2- = ；
9 3
（2）①由（1）知 sin A 2 2= ，因为VABC
16
的面积为 2 ，
3 3
1 16
所以 bcsin A = 2 ，解得bc =162 3 ，
uuur 1 uuur uuur
且b + c = 8，解得b=c = 4，由于 AE = AB + AC ，
2
uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur 1 2 2 1 2 2 2
所以 AE = AB + AC + 2AB × AC = c + b + 2bc cos A4 4 = 4 c + b + bcè 3 ÷
1 2 1 8 32 uuur 2 uuur= 16+16+ 16÷ = 16 = ，所以4 3 4 3 3 AE =
32 AE = 4 6 ；
è 3 3
②因为 AD 为角A 的角平分线，所以 sin BAD = sin CAD
1
= sin A 2 ÷
，
è
由于 SVADB + SVADC = SVABC ，
1
所以 AD c sin
A 1 AD bsin A 1 bc sin A bc sin A cos A+ = = ，
2 2 2 2 2 2 2
A A
由于 sin 0 ，所以 AD c + b = 2bc cos ，
2 2
A 1
由于 cos A = 2cos2 -1 = cos2 A 2= cos A 6= ，
2 3 2 3 2 3
又bc =16 ，所以 AD c + b 2bc cos A 2 16 6 32 6= = =
2 3 3
由于b + c 2 bc = 8，当且仅当b = c = 4时，等号取得到，
32 6 4 6
故 = AD c + b 2 bc AD = 8 AD ，故 AD ，
3 3
考点七、三角形中的证明问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在VABC 中， ABC = 90°，D 是斜边 AC 上的一点， AB = 3AD，
BC = 6 .
(1)若 DBC = 60°，求 ADB 和DA；
(2)若BD = 2 ，证明：CD = 2DA .
【答案】(1) ADB =120°，DA = 6
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出 ADB =120°，进而得出△DBC 是等边三角形及边长，进而可
求解.
（2）在VBDC 与△BDA中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.
【详解】（1）由 DBC = 60°， ABC = 90°，可得 ABD = 30° .
AB AD
因为 AB = 3AD，所以在VADB 中，由正弦定理可得 = ，即sin ADB sin ABD
sin ADB AB sin ABD 3 = = ，
AD 2
则 ADB =120°或 60°，又因为 DBC = 60°，故 ADB =120° .
因此 BDC = 60°，又因为 DBC = 60°，所以△DBC 是等边三角形，
所以DB = DC = BC = 6 ，
又在VADB 中， ABD = 30°， ADB =120°，故 BAD = 30°，
所以DA = DB = 6 .
（2）证明：令 BDC = q ，DA = x，DC = y，.
因为 AB = 3AD，则 AB = 3x .
ì 6 = 2 + y
2 - 2 2ycosq ,
在VBDC 与△BDA中，由余弦定理可得 í
3x
2 = x2 + 2 - 2 2xcos p -q
cos y
2 - 4 2x2 - 2
消去 q ，得 = ，整理得 y - 2x xy + 2 = 0，
y x
所以 y = 2x，即CD = 2DA .
2．（2022·广东·二模）如图，已知△ABC 内有一点 P，满足 PAB = PBC = PCA = a ．
(1)证明：PB sin ABC = AB sina ．
(2)若 ABC = 90o ， AB = BC =1，求 PC．
【答案】(1)证明见解析
(2) PC 10=
5
PB AB
【分析】（1）由正弦定理得 = ，即PB sin APB = AB sina ，即要证明 sin ABC = sin APB
sina sin APB
即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；
（2）由题意求得PB = sina ，继而求得PC = 2 sina ，在VPAB
5
中利用余弦定理求得 sina = ，即可求得
5
答案.
【详解】（1）证明：
PB AB
在△ABP 中，由正弦定理得 = ，
sina sin APB
即PB sin APB = AB sina ，
要证明PB sin ABC = AB sina ，只需证明 sin ABC = sin APB ，
在△ABP 中， APB = p - a + ABP ，
在△ABC 中， ABC = a + ABP，
所以 APB = p - ABC ，
所以 sin APB = sin p - ABC = sin ABC ，
所以PB sin ABC = AB sina ．
（2）由（1）知PB sin ABC = AB sina ，又因为 ABC = 90o ， AB =1，
所以PB = sina ，
p
由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以 BCA = CAB = ，
4
则 BCP
p
= -a ，
4
p 3p
所以在△PBC 中， BPC = p - -a ÷ -a = ，
è 4 4
BC PC
由正弦定理得 = ，
sin BPC sin PBC
1 PC
=
即 sin 3p sina ，
4
即PC = 2 sina ．
2
2
由余弦定理得 sin a + 2 sina - 2sina 2 sina cos 3p =1，4
由题意知 sina > 0，
故解得 sina
5
= ，
5
10
所以PC = ．
5
c - b sinA + sinB
3．（22-23 高一下·北京·期中）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = .
a sinC + sinB
(1)求角 C 的大小；
(2)CD 为△ACB 的内角平分线，且 CD 与直线 AB 交于点 D.
AD AC
（i）求证: = ；
BD BC
（ii）若 a = 2， c = 19 ，求 CD 的长.
【答案】(1) C
2π
=
3
6
(2)（i）证明见解析；（ii）CD =
5
【分析】（1）由正弦边角关系得 a2 + b2 - c2 = -ab，应用余弦定理求 C 的大小；
（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；
3 cos A 4= AD AC（ii）由正弦定理可得 sin A = ，进而得 ，设 = = k 并表示出 AC = 2k ，应用余弦定理
19 19 BD BC
列方程求 k，最后求 CD 的长.
c - b a + b
【详解】（1）由题设 = ，则 c2 - b2 = a2 + ab，故 a2 + b2a c b - c
2 = -ab，
+
2 2 2 2π
所以 cosC a + b - c 1= = - ，又C (0,π)，故C = .
2ab 2 3
（2）（i）由题设 ACD = BCD，若 AB 上的高为 h ，
S 1又 VACD = AC ×CD sin ACD
1
= AD × h，
2 2
S 1 1VBCD = BC ×CD sin BCD = BD ×h，2 2
1 1
S AC ×CD sin ACD AD ×hVACD
所以 = 21 =
2 AD AC，即 = .
SVBCD BC ×CD sin 1 BCD BD ×h BD BC
2 2
c a 4
（ii a sin ACB 3）由 = ，则 sin A = = ，又A 为锐角，故 cos A = ，
sin ACB sin A c 19 19
AD AC
若 = = k ，则 AC = 2k ，且 AD = kBD ，
BD BC AD + BD = 19
，
AC 2 + AB2 - BC 2 4k 2 +15 4
由余弦定理知： cos A = = = ，
2AC × AB 4 19k 19
所以 4k 2
5
-16k +15 = (2k - 3)(2k 3- 5) = 0，可得 k = k =2 或 ，2
AD CD 6
当 k
3
= 3 19
2 ，则 AC = 3 < 19 ， AD = ，此时 = ，则CD = ；5 sin ACD sin A 5
k 5 2π当 = ，则 AC = 5 > 19 ，即 B > ACB = ，不合题设；2 3
综上，CD
6
= .
5
4．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E 之间，
AE × AC × BD = AD × AB ×CE ．
(1)求证： sin∠BAD = sin∠CAE ．
2 2
(2)若 AB ^ AC AD AE 2，求证： 2 + = ．BD CE2 1- sin DAE
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分别在VABC ，△ABD ，△ACE中，利用正弦定理即可得证；
π π
（2）设 BAD = CAE = a ，则0 < a < ， DAE = - 2a ，在△ABD ，△ACE中，利用正弦定理即可得
4 2
证.
sin B AC
【详解】（1）如图．在VABC 中，由正弦定理，得 = ．
sin C AB
在△ABD 中，由正弦定理，得 sin BAD
BD sin B
= ．
AD
在△ACE中，由正弦定理，得 sin CAE
CE sin C
= ．
AE
sin BAD BD × AE ×sin B BD × AE × AC
所以 = = =1，
sin CAE CE × AD ×sin C CE × AD × AB
所以 sin∠BAD = sin∠CAE ．
（2）因为 AB ^ AC ，
所B + C
π
= ，所以 sin C = cos B．
2
由 BAC
π
= 可知 BAD ， CAE 均为锐角．
2
由（1）知， BAD = CAE ．
π π
设 BAD = CAE = a ，则0 < a < ， DAE = - 2a ．
4 2
2 sin2 a 1- sin DAE由 sin DAE = cos 2a =1- 2sin a ，得 = ．2
ABD AD sin B在△ 中，由正弦定理，得 = ．
BD sina
AE sin C cos B
在△ACE中，由正弦定理，得 = = ．
CE sina sina
AD2 AE2 sin2 B cos2 B 1 2
所以 2 + = + = = ．BD CE2 sin2 a sin2 a sin2 a 1- sin DAE
5．（2022·湖北·模拟预测）已知VABC 的外心为O，M , N 为线段 AB, AC 上的两点，且O恰为MN 中点.
(1)证明： | AM | × | MB |=| AN | × | NC |
S
(2)若 | AO |= 3 VAMN， |OM |= 1，求 S 的最大值.VABC
【答案】(1)证明见解析
4
(2)
9
【分析】（1）设 AM = x1, BM = y1, AN = x2 , CN = y2 ，利用余弦定理求得 cos AMO， cos BMO，再根据
cos AMO + cos BMO = 0，化简，可求得 x1y1，同理可求得 x2 y2 ，即可得证；
（2）利用余弦定理求得 cos AOM ， cos AON ，再根据 cos AOM + cos AON = 0 2 2结合（1）求得 x1 + x2 ，
设 m
x
= 1 , l x= 2
y y ，可求得
l + m ，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.
1 2
【详解】（1）证明：设 AM = x1, BM = y1, AN = x2 , CN = y2 ，
2 2
cos AMO x1 + OM - AO
2 y 2 + OM 2 - BO2
由余弦定理知： = ， cos BMO = 12x1 ×OM 2y
，
1 ×OM
由O是VABC 外心知 AO = BO = CO，
而 cos AMO + cos BMO = 0，
x 2 + OM 2 - AO2 y 2 + OM 2 - BO21 1
所以 + = 02x ，1 ×OM 2y1 ×OM
即 (x y + OM 2 - AO21 1 )(x1 + y1) = 0 ，
而 x1 + y1 0，因此 x1 y1 = AO
2 - OM 2 ，
同理可知 x y = AO22 2 - ON
2 ，
因此 x1y1 = x2 y2，
所以 | AM | × | MB |=| AN | × | NC |；
（2）解：由（1）知 x1 y1 = x2 y2 = 2，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理知： cos AOM
AO + OM - x1 cos AON AO + ON - x= ， = 2 ，
2AO ×OM 2AO ×ON
代入 cos AOM + cos AON = 0 x 2 2得 1 + x2 = 8，
x x 2 2m = 1 , l = 2 x x设 ，则 m + l = 1 + 2y = 4 ，1 y2 2 2
SV AMN AM × BM ml 1 1 4= = = 5 =因此 SV ABC AB × AC (m +1)(l +1) 1+ 1 5+ 9 ，
ml 4
当且仅当 m = l = 2时取到等号，
SVAMN 4
因此 S 的最大值为 .VABC 9
6．（22-23 高一下·山东枣庄·期中）VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
（i）证明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；
（ii）若 a =1，求BD × AC 的最大值.
【答案】(1) 12
(2)（i 3 2）证明见解析；（ii）
2
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在△ABD 和△BCD中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式
的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为VABC 中，4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B，
故 4sin2 A = sin B sin C cos A + sin C sin Acos B = sinC(sinBcosA + sinAcosB)
= sinCsin A + B = sin2 C ，
因为 A,C (0,π),\sinA,sinC > 0
sinA 1
，故 = ；
sin C 2
AD AB
（2）（i）证明：△ABD 中，由正弦定理得 = ①，
si n ABD si n ADB
又 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD × BD ×cos ADB ②，
同理在△BCD CD BC中， = ③sin CBD sin CDB ，
BC 2 = CD2 + BD2 - 2CD × BD ×cos CDB ④，
BD 是 ABC 的角平分线，则 ABD = CBD ，
则 sin ABD = sin CBD ，
又 ADB + CDB = π ，故 sin ADB = sin CDB,cos ADB + cos CDB = 0，
AD AB AD AB , CD BC故①÷③得 = ⑤，即 = \ = ，
CD BC AC AB + BC AC AB + BC
由CD ② +AD ④得，CD × AB2 + AD × BC 2 = CD × AD AD + CD + CD + AD × BD2
= CD × AD × AC + AC × BD2 ，
BD2 CD × AB
2 + AD × BC2
则 = - CD × AD
AC
BC × AB2 + AB × BC 2
= - CD × AD = BA × BC - DA × DC ，
AB + BC
即BD2 = BA·BC - DA·DC ；
sin A 1
（ii）因为 = ，故 c = 2a ，
sin C 2
AD AB 2 1
则由⑤得 = = 2，则 AD = AC,DC = AC ，
CD BC 3 3
2
由 a =1以及（i）知BD2 = 2 - AC2 ，
9
BD2 2+ AC2 = 2 BD2 2即 ，则9 + AC
2 2 2 BD × AC ，
9 3
2 2 2 2 2 2
当且仅当BD = AC ，结合BD + AC = 2，即
9 9 BD =1,AC
3 2
= 时等号成立，
2
故BD × AC 3 2 ，即BD × AC 3 2的最大值为 .
2 2
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于BD2 = BA·BC - DA·DC 的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及
到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意.
考点八、图形类综合
1．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知平面四边形 ABDC 中，对角线 CB 为钝角 ACD的平分线，CB 与
1
AD 相交于点 O， AC = 5， AD = 7， cos ACD = - .
5
(1)求 CO 的长；
(2)若BC = BD ，求△ABD 的面积.
(1) 8 10【答案】
9
(2) 6
2
【分析】（1 15）由余弦定理得CD = 4，根据同角关系以及二倍角公式可得 sin ACO = ，进而根据面积公
5
式即可求解，
2 6
（2）根据正弦定理得 sin ADC = ，进而由余弦定理得BD = BC = 10 ，利用和差角公式可得
7
sin ADB，即可由面积公式求解.
2
1 VACD cos ACD 25 + CD - 49 1【详解】（ ）在 中，由余弦定理得 = = - ，
2 5 CD 5
解得CD = 4或CD = -6（舍去）.
因为 cos ACD
1
= - ，所以
5 sin ACD
2 6
= .
5
所以 cos 15 ACD =1- 2sin2 ACO ，解得 sin ACO = （负值舍去），
5
所以 sin DCO 15= sin ACO = .
5
因为 S△ACD = S△ACO + S△DCO ，
1
所以 CA ×CD sin ACD
1
= CA ×CO sin ACO 1+ CD ×CO sin DCO .
2 2 2
1 5 4 2 6 1所以 = 5 CO 15 1 + 4 CO 15 .
2 5 2 5 2 5
8 10
所以CO = .
9
AC AD 5 7
= =
（2）在VACD中，由正弦定理可得 sin ADC sin ACD sin ADC 2 6 ，
5
5
则 sin ADC 2 6= ，由于 ADC 为锐角，所以 cos ADC = .
7 7
因为BD = BC ，所以 BDC = BCD ，
所以 sin BDC = sin BCD 10= 15 ，所以 cos BDC = ，
5 5
2 2
cos BDC 10 CD + BD - BC
2 16 2
由余弦定理可得 = = = = ，解得BD = BC = 10 .
5 2CD × BD 8BD BD
因为 cos ADC
5
= ，
7
所以 sin ADB = sin BDC - ADC = sin BDC cos ADC - cos BDC sin ADC
15 5 10 2 15
= - 6 = ，
5 7 5 7 35
1 1 15 6
所以 S△ABD = DA × DB sin ADB = 7 10 = .2 2 35 2
2．（21-22 高三上·广东珠海·期末）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
a = b 3sinC + cosC ．
(1)求 B；
π
(2)已知BC = 2 3 ，D 为边 AB 上的一点，若BD =1， ACD = ，求 AC 的长．2
π
【答案】(1) B = ．
6
(2) AC 21= ．
2
【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解，
2 21（ ）根据余弦定理求解CD = 7 ，即可由正弦定理求解 cos A = ，进而由锐角三角函数即可求解.
7
【详解】（1）∵ a = b 3sinC + cosC ，根据正弦定理得， sin A = sin B 3sin C + cosC ，
即 sin BcosC + cos Bsin C = 3sin Bsin C + sin BcosC ，
所以 cos Bsin C = 3sin Bsin C ，因为 sin C > 0，
所以 cos B = 3 sin B 3，所以 tan B = ，
3
因为B 0, π π，所以 B = 6 ．
（2）因为BC = 2 3 ，BD =1， B
π
=
6 ，根据余弦定理得
CD2 = BC 2 + BD2 - 2BC × BD ×cos B 3=1+12 - 2 1 2 3 = 7，∴ CD = 7 ．
2
π π
∵ BDC = + A，∴ sin BDC = sin + A÷ = cos A．2 è 2
2 3 7
在V
BC CD
BDC =中，由正弦定理知， = ，∴
sin BDC sin B cos A 1
，
2
∴ cos A 21= ， A 0,
π
2 ÷
，所以 sin A 2 7=
7 è 7
∴ tan A sin A 2 3 CD 21= = = ，∴ AC = ．
cos A 3 AC 2
3．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
bsin A + a = 3a cos B ．
(1)求 B ；
2π
(2)已知BC = 2 3 ，D为边 AB 上的一点，若BD =1， ACD = ，求 AC 的长．3
π
【答案】(1)
6
(2) 2 7
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得 3 cos B - sin B =1，再结合三角函数
的性质，即可求解；
（2）在△DBC 中 2 7，利用余弦定理，求得CD = 7 ，得到 cos BDC = - ，进而求得 sin 21 ADC = ，
7 7
进而求得 sin A 21= ，再在△ADC 中，利用正弦定理，即可求解.
14
【详解】（1）解：因为bsin A + a = 3a cos B ，
由正弦定理得 sin B sin A + sin A = 3 sin Acos B ，
因为 A 0, π ，可得 sin A > 0，所以 sin B +1 = 3 cos B，
π 1
即 3 cos B - sin B =1，所以 cos(B + ) = ，6 2
π B π 7π B π π又因为0 < B π π< ，可得 < + < ，所以 + = ，可得 B = .
6 6 6 6 3 6
（2）解：在△DBC 中 ，由余弦定理得CD2 = BC 2 + BD2 - 2BC × BD cos DBC
=12 +1- 2 2 3 3 1 = 7 ，所以CD = 7 ，
2
1+ 7 -12 2 7
因为BC = 2 3 且BD =1，所以 cos BDC = = - ，
2 1 7 7
所以 cos ADC = cos(π - BDC) = -cos BDC 2 7= ，
7
ADC 0, π sin ADC 21又因为 ，所以 = ，
7
所以 sin A = sin ADC + ACD = sin ADC cos ACD + cos ADC sin ACD
21 1 2 7 3 21= - ÷ + = ，7 è 2 7 2 14
CD AC 7 AC=
在△ADC 中，由正弦定理得 = ， 即
sin A sin ADC 21 21
，解得 AC = 2 7 .
14 7
4．如图，在VABC 中， ABC = 90°， AB = 3 ，BC =1, P为VABC 内一点， BPC = 90°．
(1) PC 3若 = ，求PA；
2
(2)若 APB =120°，求VABP的面积S ．
7
【答案】(1)
2
(2) 3 3
14
3
【分析】（1）Rt△BPC 中利用三角函数的定义，求出 sin PBC = ，可得 PBC = 60°，从而
2
BP BC cos60 1= ° =
2 ，
再在△APB 中算出 PBA = 30°，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）设 PBA = a ，在△APB 中根据正弦定理建立关于a 的等式，解出 2sina = 3 cosa ，
tana 3 sina 3 21 2 7利用同角三角函数的关系可得 = ， = = ， cosa = ， PB 21= ，
2 7 7 7 7
利用余弦定理，即可得出答案．
3
【详解】（1）Q在Rt△BPC 中，PC = ， BC =1，
2
sin PC 3
1
\ PBC = = ，可得 PBC = 60°， BP = BC cos60° = 2 ．BC 2
Q PBA = 90° - PBC = 30°，
\在△APB 中，由余弦定理得 PA2 = PB2 + AB2 - 2PB × AB × cos PBA，
PA2 1 1 3 7即 = + 3 - 2 3 = ，
4 2 2 4
PA 7\ = ；
2
（2）设 PBA = a ，可得 PBC = 90° -a ， PAB = 180° - PBA - APB = 60° -a ，
在Rt△BPC 中， PB = BC cos PBC = cos(90° -a ) = sina ，
AB PB 3 sina=
VABP中，由正弦定理得 =sin120° sin(60° -a ) ，即 3 sin(60° -a ) ，
2
\sina = 2sin(60° -a ) = 2( 3 cosa 1- sina )，化简得 2sina = 3 cosa ，
2 2
\ tana sina 3= = ，因此 sina 21 2 7 21= ， cosa = ， PB = sina = ，
cosa 2 7 7 7
所以VABP S 1 3 21 21 3 3的面积 = = .
2 7 7 14
5．（2023·河南信阳·模拟预测）在VABC 中， BAC = 60°，VABC 的面积为10 3 ，D为BC 的中点，
DE ^ AC 于点E, DF ^ AB于点F .
(1)求VDEF 的面积；
(2) AD 129若 = ，求 sin ABC + sin ACB 的值.
2
(1) 15 3【答案】
8
(2) sin ABC + sin ACB 13 3=
14
1 3
【分析】（1）由题意，可得 FDE = 120°，\S oVDEF = DE × DF ×sin120 = DE × DF ，作 BM ^ AC 于点 M ，2 4
CN ^ AB于点 N ，可得DE 1 BM 3= = AB 1 3，DF = CN = AC ，代入上式得解；
2 4 2 4
（2）延长 AD 到点Q，使 AD = DQ，连接CQ，在VAQC 中，利用余弦定理可得BC ，在VABC 中由正弦定
理可求得结果.
【详解】（1）在四边形 AFDE 中， BAC = 60°， DFA = DEA = 90o，
故 FDE = 120°，
1
故 SVDEF = DE × DF ×sin120
o 3= DE × DF ，
2 4
作BM ^ AC 于点M ，CN ^ AB于点 N ，
又D为BC 的中点，
DE 1 BM 1则 = = AB sin 60o 3= AB ，
2 2 4
DF 1 1= CN = AC sin 60o 3= AC ，
2 2 4
故 S 3 3 3 3 3 15 3VDEF = AB AC = SVABC = 10 3 = .4 4 4 16 16 8
（2）设VABC 的三条边BC ， AC ， AB 分别为 a，b ， c，
S 1由 VABC = bc sin BAC =10 3，知bc = 40，2
延长 AD 到点Q，使 AD = DQ，连接CQ，
则 AQ = 129 ， ABC = BCQ ，
则在VAQC 中， ACQ =120o ，CQ = AB = c ，
故由b2 + c2 + bc =129与bc = 40可得，b2 + c2 - bc = 49 = a2 ，则 a = 7，
b2 + c2 + 2bc =169 ，则b + c =13，
b + c a 14
由正弦定理得 = =sin ， ABC + sin ACB sin BAC 3
13 3
则 sin ABC + sin ACB = .
14
考点九、参数类问题
1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b， c，且
asinC = c 2sinB - cosAtanC ．
(1)求C ；
uuur uuur
AB lBD l 0 BCD π(2)若 = > ，且 = ，求实数l 的取值范围．
4
π
【答案】(1) C =
3
(2) 0, 3
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据正弦定理求解CD , 3即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求解 < tanA < 3 + 2，即可结
3
合特殊角的三角函数值以及不等式的性质求解.
sinC
【详解】（1）由题意及正弦定理得 sinAsinC = sinC × 2sinB - cosA × ，
è cosC ÷
Q0 C π< < ， sinC > 0，\sinAcosC = 2sinBcosC - cosAsinC ，
2
\sin A + C = sinB = 2sinBcosC ．
Q0 B π< < ,sinB > 0,\cosC 1= ，
2 2
又0 < C
π
< , π\C = ．
2 3
7π AD CD , AD ×sinA= \CD =
（2）在VACD中， ACD = ACB + BCD = ，由正弦定理得 7π
12 sin sinA sin
7π ．
12 12
BD ×sin A π+
BD CD CD 3 ÷
在△BCD è 中，由正弦定理得
sin π
= = ,\CD = ．
sin CBD πsin A π+ sin
4 ֏ 3 4
BD ×sin π
AD ×sinA
A + ÷
\ = è 3
sin 7π
，
sin π
12 4
sin 7π sin
A π +

AD 3 ÷\ = 12 × è ，
BD sin π sinA
4
sin A π+ 3 ÷ sinAcos
π
+ cosAsin π
由于 è 3 3 1 3 ．= = +
sinA sinA 2 2tanA
QVABC 为锐角三角形，
Q0 π< A < ,0 π π< π- - A < , π A π π π 5π\ < < , 进而 < A + < ，
2 3 2 6 2 2 3 6
π 3π π 5π
且 CBD = A + < ，解得 < A < ．
3 4 6 12
5π
又 tan = tan π π 3 + ÷ = 3 + 2,\ < tanA < 3 + 2，12 è 6 4 3
1 3
\ + 3 -1,2 ．2 2tanA
sin 7π sin
π π+
12 è 4 3
÷
3 +1 AD又 π = π = ,\ 1, 3 +1 ，sin sin 2 BD
4 4
l AB AD - BD AD\ = = = -1 0, 3 ．
BD BD BD
2．（2023·全国·模拟预测）已知在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
bcos 3π + A ÷ + sin π + B
6
= 0 .
è 2 1- cos2C
(1)求 csinA的值；
(2)若 2 bsinC - atanC = ctanC ，且 S△ABC l ，求实数l 的取值范围.
【答案】(1) 3
(2) - ,3 3ù
【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得 csinA的值；
2π
（2）先化简题给条件求得B = ，代入题干条件进而求得 ac 12，从而得到 SVABC 的最小值，再结合条件3
求出实数l 的取值范围.
【详解】（1）依题意，bsinA - sinB 3
sin2
= 0 ，
C
因为 sinC > 0，所以bsinAsinC - 3sinB = 0 .
由正弦定理，得bsinA = asinB ，
故上式可化为 asinBsinC - 3sinB = 0 .
因为 sinB 0，所以 asinC = 3 ，
由正弦定理，得 csinA = asinC = 3 .
（2）因为 2 bsinC - atanC = ctanC ，
sinC sinC
由正弦定理， 2 sinBsinC - sinA × ÷ = sinC × ，
è cosC cosC
因为 sinC 0，故 2cosC ×sinB = 2sinA + sinC = 2sin B + C + sinC ，
则 2cosC ×sinB = 2sinBcosC + 2cosBsinC + sinC ，
故 2cosBsinC + sinC = 0，
因为 sinC 0，故 cosB
1
= - ，又B 0, π B 2π，故 = ，
2 3
代入bsinAsinC - 3sinB = 0中，得bsinAsinC = 2sin2B，即 ac = 2b .
由余弦定理，b2 = a2 + c2 - 2accosB 3ac = 6b ，故b 6，
则 ac 12，当且仅当 a = c = 2 3 时等号成立，
1
故 S△ABC = acsinB 3 3 ，又 S2 VABC
l ，
所以实数l 的取值范围为 - ,3 3ù .
3．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足6cosC + c = 2b， a = 3 .
(1)证明：VABC 外接圆的半径为 3；
(2)若 2SVABC t a2 + 2b2 +11c2 恒成立，求实数 t 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
é 3
(2) ê ,+
22 ÷
÷

【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可；
2S 2S
（2）把已知恒成立，参数分离转化为 t VABC VABC
a2 + 2b2 +11c2
恒成立，再求出 2 2 2 的最大值可得范围.a + 2b +11c
【详解】（1）由6cosC + c = 2b, a = 3，得 2acosC + c = 2b ，
由正弦定理得:
2sinAcosC + sinC = 2sinB = 2sin A + C = 2sinAcosC + 2cosAsinC ，
化简得 2cosAsinC = sinC .
因为 sinC 0，所以 cosA
1
= .
2
又A 0, π A π，所以 = 3 ，
a 3
= = 3
所以VABC 外接圆的半径为 2sinA .
2 3
2
（2）要使 2SVABC t a2 + 2b2 +11c2 恒成立，
即 t
2S
VABC2 2 2 恒成立，a + 2b +11c
2S
即求 VABC2 2 2 的最大值.a + 2b +11c
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA = b2 + c2 - bc，
2 12S bcsinA所以 VABC 2 3 bc
a2 + 2b2 +11c2
= = ×
b2 + c2 - bc + 2b2 +11c2 2 3b2 +12c2 - bc
因为bc 0，
3 bc 3 1 3 1 3
× = × × =
所以 2 3b2 +12c2 - bc 2 3b 12c+ -1 2 2 3b 12c
22 ，
c b × -1c b
当且仅当b2 = 4c2，即b = 2 3,c = 3 时，等号成立，
é 3
所以实数 t 的取值范围为 ê ,+ ÷÷ .
22
4．（2024·江苏苏州·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a b,c = 1.
uur uuur uuur
(1)若 | CA + CB |=| AB |,2sin A = sinC ，求VABC 的面积;
cos B cos A a - b(2)若 - = ，求使得m > a + b恒成立时，实数m 的最小值.
2
(1) 3【答案】
8
(2) 2 3
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】（1）根据题意，由条件可得 | CA + CB |=| CB - CA |，从而可得CA ^ CB，再由三角形的面积公式代
入计算，即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到 a2 + ab + b2 =1，再由基本不等式代入计算，即可得到
a b 2 3+ < ，从而得到结果.
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】（1）因为 | CA + CB |=| AB |，即 | CA + CB |=| CB - CA |，所以 | CA + CB |2 =| CB - CA |2，
uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur
即CA + 2CA ×CB + CB = CA - 2CA ×CB + CB ，则CA ×CB = 0 ，所以CA ^ CB，
所以 C
π 1
= ，且 2sin A = sin C ，由正弦定理可得 2a = c =1，则 a = ，
2 2
2
b 1 1 3 1 1 3 3所以 = - ÷ 第12讲 新高考新结构命题下的
解三角形解答题综合训练
（10 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1）三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2）三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3）三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的 5 个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版
块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第 15 题中，作为一道 13 分的题目，难度相对较为适
中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第 16、17 题这样的中等大题中，
此时的分值将提升至 15 分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，
以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、面积及最值
1．（2024·河南焦作·模拟预测）记VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知点F 为线段 AC 上
2
的一点，且 AF = 2CF ，BF = 2， a sin A + c sin C - bsin B = a sin C .
3
(1)求 cos ABC 的值；
(2)求VABC 面积的最大值.
2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在VABC 中，已知 tan A + tan B +1 = tan A × tan B， AB = 2 2 ， AC = 2 3．
(1)求角 B ；
uuur uuur uuur r
(2)若VABC 为锐角三角形，且GA + GB + GC = 0，求△GAB 的面积.
3．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中， AB = 2BC .
3
(1)若 cos B = ，求 tan A；
5
(2)若 AC = 2，求VABC 面积的最大值.
4．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．已知
cos2B - cos2 BAC = 2sinC sinC - sinB ．
(1)求 BAC ．
(2)若点D为边BC 的中点，且 AD = 2，求VABC 面积的最大值．
5．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a =1 .
C B π(1)若 - = ，
12 c = 2bsinC
，求 b；
(2)若 a + b sinA - sinB = c - b sinC ，求VABC 的面积 S 的最大值.
考点二、周长及最值
V C a b c 2 tan A a sin B1．（23-24 高三·河北沧州·模拟） ABC 的内角A ， B ， 的对边分别为 ， ， ， = ．
1+ tan2 A b
(1)求角A 的大小；
(2) 2 3若b + c = 3a ，VABC 的面积为 ，求VABC 的周长．
3
2．（2024·河南新乡·二模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,
cosC cos A
= ．
c 4b - a
(1)求 sin C 的值；
(2)若VABC 15 2 6的面积为 ，且 a + b = c，求VABC 的周长．
2 3
3．（2024·陕西·模拟预测）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,
c - b sinA
= ．
a - b sinC + sinB
(1)求C ；
(2)若 a + b = 6，求VABC 的周长最小值．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 4sin x π +

÷cosx -1.
è 6
(1)求 f x 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在VABC 中， f A =1, BC = 4，求VABC 周长的取值范围.
5．（2024·陕西汉中·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，请从下列条件中选择一个条
件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）
uuur uuur π
①记VABC 的面积为 S，且 3 AB × AC = 2S ；②已知 a sin B = b cos(A - )．6
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 a = 6 ，求VABC 周长的取值范围．
考点三、边长、线段及最值
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形 ABCD中， CBD = 30°， BAD = 60°，BC = 4，BD = 2 3 .
(1)若 AD = AB ，求VACD的面积.
(2)求 AC 的最大值.
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
a cos B = b 1+ cos A .
(1)证明： A = 2B；
c
(2)求 的取值范围.
a
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a + b + c a + b - c = 3，且
VABC 3 3的面积为 .
4
(1)求角C ；
uuur uuur
(2)若 AD = 2DB ，求 CD 的最小值.
1- sin A sin B
4．（2024·江西鹰潭·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c，满足 = .
cos A cos B
π
(1)求证： A + 2B = ；
2
2 2
(2) a + b求 2 的最小值.c
5．（2024·全国·一模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 AD 是 BC 边上的
高． (sin A - sin B)(a + b) = (c - 2b)sin C ．
(1)求角 A；
(2)若 sin(B - C) 2= ， a = 5，求 AD．
10
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sin A = sin C cos B 3- sin B sin C ，
3
(1)求角C 的大小；
(2)若C 的角平分线交 AB 于点D，且CD = 2，求a + 2b的最小值，
考点四、三角函数值及最值
1．（2024·上海·三模）已知在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,b =1，且满足
2acosB = cosC + ccosB．
(1) a 4 13若 = ，求VABC 的面积S ；
13
(2)求a + 2c的最大值，并求其取得最大值时 cosC 的值．
2．（2024·全国·模拟预测）设VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，若
2sin2C = cosC ×cos A - B +1．
2 2
(1) a + b求 的值；
c2
(2)若VABC 为锐角三角形，求 cosC 的取值范围．
3．（2024·广东广州·模拟预测）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
π
bsin B + c sin C - a sin A = 2bsin B sin C 且C .
2
π
(1)求证：B = A + ；
2
(2)求 cos A + sin B + sin C 的取值范围.
4．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足b = a - 2bcosC
(1)求证：C = 2B；
(2)若VABC 为锐角三角形，求2sinC + cosB - sinB的最大值．
5．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）在VABC 中，内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知
2acsinA + a2 + c2 - b2 = 0．
π
(1)若 A = ， a = 2，求VABC 的面积；
6
2 2
(2) 4sin C + 3sin A + 2求 2 的最小值，并求出此时 B 的大小．sin B
考点五、内切圆、外接圆半径问题
1．（22-23 高一下·浙江·阶段练习）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，在以下条件中选择一个条件：
① a + c = 2bsin C
π
+ ÷ ；② b + c sinB - sinC = a - c sinA；③ 2a - c cosB = bcosC ．求解以下问题．（选
è 6
择多个条件的，以所选的第一个计分）
(1)求角 B ；
uuur uuur
(2)若 a + c = 4 3 ，且BA × BC = 6 ，求VABC 的内切圆半径．
2．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，
3b - c sin A = 3a cosC ．
(1)求角A 的大小；
(2)若 a = 7，VABC 外接圆的半径为 R ，内切圆半径为 r
R
，求 的最小值．
r
uuur uuur
2．3．（2022·湖北·三模）在VABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a，b ， c，已知 3 AB × AC = 2S△ABC ，
b + c = 8．
(1)求角A 的大小；
(2)求VABC外接圆半径的最小值.
4．4．（2024·吉林·二模）已知 VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的外接圆半径为 3，且
sin2 B + sin2 C - sin B sinC = sin2 A .
(1)求 a ;
(2)求VABC 的内切圆半径 r 的取值范围
5．（2023·广西南宁·一模）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a = 2，且
sin A + sin B b - c
= ．
sin C b - a
(1)求VABC 的外接圆半径 R；
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围．
6．（2023·山东·一模）如图，平面四边形 ABCD中， AD = 5，CD = 3， ADC =120°．VABC 的内角 A, B,C
的对边分别为 a,b,c
a + b sinA - sinC
，且满足 = ．
c sinA - sinB
(1)判断四边形 ABCD是否有外接圆？若有，求其半径 R ；若无，说明理由；
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围．
考点六、中线、角平分线、高线问题
1．（2024·四川成都·三模）在VABC 中，BC = 5, AC
1
= 6,cosB = ．
8
(1)求 AB 的长；
(2)求 AC 边上的高．
2．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，面积为S ，且
S abc= ．
4
(1)求VABC 的外接圆的半径；
2π
(2)若b + c = 2 ，且 A = 3 ，求BC 边上的高．
ccosA c
3．（23-24 高三上·黑龙江·期中）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c， - = 0 .
acosC 2b - c
(1)求角A ；
(2)若 a = 2，求BC 边上高的最大值.
4．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
2c2 = a2 + c2 - b2 tanA + tanB .
(1)求角A 的大小；
(2)若边 a = 2 ，边BC 的中点为D，求中线 AD 长的取值范围.
a + 2b
5．（2023·浙江·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且bcosC + csin B = a, = 6 2 ，
sin A + 2sin B
(1)求b ；
(2)求 AC 边上中线长的取值范围．
6．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）在① a - b sin A + C = a - c sinA + sinC ；② 2atanB = b tanB + tanC ；
③ sin
π
- C ÷cos
C π 1 + ÷ = ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在VABC 中，内
è 6 è 3 4
角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足________.
(1)求C ；
(2)若VABC 的面积为5 3 ，D为 AC 的中点，求BD的最小值.
7．（23-24 高一下·辽宁·期中）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 sinC + 3cosC = a，
b = 3 ．
(1)若 a + c = 2，求边 AC 上的角平分线BD长；
(2)若VABC 为锐角三角形，求边 AC 上的中线 BE 的取值范围．
8．（23-24 高一下·四川成都·期中）已知VABC 的内角A ， B ，C 的对边为 a，b ， c，且
3(sin A - sin B) 3c - 2b
= ，
sin C a + b
(1)求 sin A ；
16
(2)若VABC 的面积为 2 ；
3
①已知E 为BC 的中点，且b + c = 8，求VABC 底边BC 上中线 AE 的长：
②求内角A 的角平分线 AD 长的最大值．
考点七、三角形中的证明问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在VABC 中， ABC = 90°，D 是斜边 AC 上的一点， AB = 3AD，
BC = 6 .
(1)若 DBC = 60°，求 ADB 和DA；
(2)若BD = 2 ，证明：CD = 2DA .
2．（2022·广东·二模）如图，已知△ABC 内有一点 P，满足 PAB = PBC = PCA = a ．
(1)证明：PB sin ABC = AB sina ．
(2)若 ABC = 90o ， AB = BC =1，求 PC．
c - b sinA + sinB
3．（22-23 高一下·北京·期中）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = .
a sinC + sinB
(1)求角 C 的大小；
(2)CD 为△ACB 的内角平分线，且 CD 与直线 AB 交于点 D.
AD AC
（i）求证: = ；
BD BC
（ii）若 a = 2， c = 19 ，求 CD 的长.
4．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E 之间，
AE × AC × BD = AD × AB ×CE ．
(1)求证： sin∠BAD = sin∠CAE ．
2 2
(2) AD AE 2若 AB ^ AC ，求证： 2 + 2 = ．BD CE 1- sin DAE
5．（2022·湖北·模拟预测）已知VABC 的外心为O，M , N 为线段 AB, AC 上的两点，且O恰为MN 中点.
(1)证明： | AM | × | MB |=| AN | × | NC |
S
(2)若 | AO |= 3 |OM |= 1 VAMN， ，求 S 的最大值.VABC
6．（22-23 高一下·山东枣庄·期中）VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
（i）证明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；
（ii）若 a =1，求BD × AC 的最大值.
考点八、图形类综合
1．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知平面四边形 ABDC 中，对角线 CB 为钝角 ACD的平分线，CB 与
AD 相交于点 O， AC = 5， AD = 7， cos ACD
1
= - .
5
(1)求 CO 的长；
(2)若BC = BD ，求△ABD 的面积.
2．（21-22 高三上·广东珠海·期末）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
a = b 3sinC + cosC ．
(1)求 B；
π
(2)已知BC = 2 3 ，D 为边 AB 上的一点，若BD =1， ACD = ，求 AC 的长．2
3．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
bsin A + a = 3a cos B ．
(1)求 B ；
2π
(2)已知BC = 2 3 ，D为边 AB 上的一点，若BD =1， ACD = ，求 AC 的长．3
4．如图，在VABC 中， ABC = 90°， AB = 3 ，BC =1, P为VABC 内一点， BPC = 90°．
(1)若PC 3= ，求PA；
2
(2)若 APB =120°，求VABP的面积S ．
5．（2023·河南信阳·模拟预测）在VABC 中， BAC = 60°，VABC 的面积为10 3 ，D为BC 的中点，
DE ^ AC 于点E, DF ^ AB于点F .
(1)求VDEF 的面积；
(2) AD 129若 = ，求 sin ABC + sin ACB 的值.
2
考点九、参数类问题
1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b， c，且
asinC = c 2sinB - cosAtanC ．
(1)求C ；
uuur uuur
(2)若 AB = lBD l > 0 ，且 BCD π= ，求实数l 的取值范围．
4
2．（2023·全国·模拟预测）已知在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
bcos 3π + A ÷ + sin π + B
6
= 0 .
è 2 1- cos2C
(1)求 csinA的值；
(2)若 2 bsinC - atanC = ctanC ，且 S△ABC l ，求实数l 的取值范围.
3．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足6cosC + c = 2b， a = 3 .
(1)证明：VABC 外接圆的半径为 3；
(2) 2S t a2 + 2b2若 VABC +11c2 恒成立，求实数 t 的取值范围.
4．（2024·江苏苏州·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a b,c = 1.
uur uuur uuur
(1)若 | CA + CB |=| AB |,2sin A = sinC ，求VABC 的面积;
a - b
(2)若cos B - cos A = ，求使得m > a + b恒成立时，实数m 的最小值.
2
考点十、解三角形与其他知识点杂糅问题
r r
1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知 a = cosx, cosx ,b = 3sinx, -cosx r， f x r= a ×b ，
(1)求 f x 的单调递增区间；
1
(2)设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 f A = ，且 a = 3，求b2 + c2 的取值范围.2
2．（2022·山东淄博·模拟预测）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足
tan A - sin C tan B - sin C = sin2 C ．
(1)求证： c2 = ab；
uuur uuur
(2)若 a + b = 3，求CA ×CB 的最小值．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形 ABCD 中， AB = AD = 2 2 ，BC=2，CD = 2 3 ．
(1)求四边形 ABCD 的面积；
uuur uuur uuur
(2)设边 AB，CD 的中点分别为 E，F，求FE × (AB + CD)的值．
1
4．（2022·浙江杭州·模拟预测）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a = ccosB + b ,
2
DB 4, AB 5 uuur uuur(1)若D为BC 边上一点, = = ,且 AB × BD = -12 ,求 AC ;
uuuur uuur uuur
CA 3,CB 4, M uuur uuur(2)若 = = 为平面上一点, 2CM = tCA + 1- t CB ,其中 t R ,求MA × MB 的最小值.
5．（22-23 高三上·四川内江·阶段练习）已知函数 f x = cos x sin x - 3 cos x x R ．
(1)求 f x 的最小正周期和单调增区间；
(2)在VABC B 3中，角A B C 、 、 的对边分别为 a、b 、 c．若 f ÷ = - ，b = 6，求VABC 的面积的最大
è 2 2
值．
6．（22-23 高三上·重庆南岸·阶段练习）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，
sin A - sin C sin B + sin C
= ．
sin B sin C + sin A
(1)求角 A 的大小；
(2)求 f C = 2sin 2C + 2 sin C π+ ÷ +1的取值范围．
è 4
ac
7．（2023·浙江金华·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对应的边为 a，b，c．已知VABC 的面积 S = ，
4
R = 2 4 cos2 A - cos2其外接圆半径 ，且 B = (b - 3a)sin B ．
(1)求 sin A ；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(2)若 A 为钝角，P 为VABC 外接圆上的一点，求PA × PB + PB × PC + PC × PA的取值范围．
b + c a + c
8．（2024·广东·二模）已知正项数列 an , b n nn ，满足an+1 = ,bn+1 = （其中 c > 0）.2 2
(1)若 a1 b1，且a1 + b1 2c，证明：数列 an - bn 和 an + bn - 2c 均为等比数列；
(2)若 a1 > b1,a1 + b1 = 2c ，以 an ,bn ,c 为三角形三边长构造序列VAnBnCn （其中 AnBn = c, BnCn = an , AnCn = bn ），
记VAnB
π 2
nCn 外接圆的面积为 Sn ，证明： Sn > c ；3
(3)在（2）的条件下证明：数列 Sn 是递减数列.

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