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第1讲　功与功率
课 程 标 准 素 养 目 标
了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义． 物理观念：理解功和功率的概念． 科学思维：(1)会对功、功率进行分析和计算；(2)知道变力做功的求法，会解决机车启动的两种模型问题．
考点一　恒力做功的分析和计算
【必备知识·自主落实】
1．做功的两个要素缺一不可
(1)作用在物体上的________.
(2)物体在________上发生位移．
2．公式W＝Fl cos α：
α是力与________方向之间的夹角，l为物体的位移．
3．功的正负功是标量，但有正、负
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做________.
(2)当α＝时，W＝0，力对物体________.
(3)当<α≤π时，W<0，力对物体做________.或者说物体________这个力做功．
【关键能力·思维进阶】
1．[2024·上海市模拟]如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方．现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则(　　)
A.合外力对磁铁做正功
B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功
D.AB对磁铁的摩擦力不做功
2．(多选)[2024·江西南昌高三校联考]成语“簸扬糠秕”常用于自谦，形容自己无才而居前列。成语源于如图所示劳动情景，在恒定水平风力作用下，从同一高度由静止释放的米粒和糠落到地面不同位置，糠落点更远。空气阻力忽略不计，下列说法正确的是(　　)
A.从释放到落地的过程中，米粒和糠重力势能变化量相等
B.从释放到落地的过程中，水平风力对米粒和糠做功相同
C.米粒落地时重力的瞬时功率大于糠落地时重力的瞬时功率
D.从释放到落地的过程中，糠秕的运动时间等于米粒的运动时间
3．(多选)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v t图像如图乙所示，g取10 m/s2，则(　　)
A.物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5
B.10 s内恒力F对物体做功102 J
C.10 s末物体在计时起点位置左侧2 m处
D.10 s内物体克服摩擦力做功34 J
思维提升
1.是否做功及做功正负的判断
2．计算功的方法
(1)恒力做的功，直接用W＝Fl cos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
考点二　变力做功的计算方法
【关键能力·思维进阶】
方法 举例
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均 值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2
应用动 能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向1　微元法计算变力做功
例 1[2024·安徽滁州市定远县联考]
如图所示，在水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着物体从M点运动到N点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为(　　)
A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4
考向2　图像法计算变力做功
例 2 如图甲所示，在光滑水平桌面内，固定有光滑轨道ABC，其中半圆轨道BC与直轨道AB相切于B点，物体受到与AB平行的水平拉力F，从静止开始运动，拉力F的大小满足的关系如图乙所示(以A为坐标原点，拉力F从A指向B为正方向)．若m＝1 kg，AB＝4 m，半圆轨道的半径R＝1.5 m，重力加速度g取10 m/s2.则下列说法中正确的是(　　)
A．拉力F从A到B做功为50 J
B．物体从B到C过程中，所受的合外力为0
C．物体能够到达C点，且速度大小为2 m/s
D．物体能够到达C点，且速度大小为2 m/s
考向3　平均值法计算变力做功
例 3[2024·江苏徐州高三专题练习]静止于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m．则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为(　　)
A．35 J B．45 J
C．55 J D．65 J
考向4　应用动能定理求变力做功
例 4 (多选) [2024·云南校联考模拟预测]如图，轻质弹簧上端固定在O点，下端与质量为m的圆环相连，圆环套在水平粗糙的固定细杆上．现在将圆环从A点静止释放，当圆环运动到B点时弹簧竖直且处于原长，到达C点时速度减为零；在C点使得圆环获得一个沿杆向左的速度v，其恰好能回到A点．弹簧始终在弹性限度之内，下列说法正确的是(　　)
A．从A到C的过程中，圆环经过B点速度最大
B．从C回到A的过程中，弹力最终做正功
C．从A到C克服摩擦力做功为mv2
D．从A到C弹簧弹性势能减少了mv2
考点三　功率的分析和计算
【必备知识·自主落实】
1．定义：功与完成这些功所用________之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的________.
3．公式：
　　　比值定义法
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的________.
(2)P＝Fv
　　　　机车启动类问题中F指牵引力
①v为平均速度，则P为________功率．
②v为瞬时速度，则P为________功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
4．额定功率与实际功率：
(1)额定功率：动力机械可以长时间正常工作的________功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求________或等于额定功率．实际功率如果大于额定功率容易将机器损坏．
【关键能力·思维进阶】
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，F与的夹角α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fv cos α中，F cos α可认为是力F在速度v方向上的分力，v cos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
例 5[2023·山东卷]
《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景．引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动．水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动．每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田．当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
A． B．
C． D．nmgωRH
例 6[2023·辽宁卷]如图(a)，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道．两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图(b)所示．由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中(　　)
A．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
例 7 (多选)[2024·重庆统考一模]如图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成．如图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m＝2 kg的水，辘轳绕绳轮轴半径为r＝0.1 m，水斗的质量为0.5 kg，井足够深且井绳的质量忽略不计．t＝0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10 m/s2，则(　　)
A．水斗速度随时间变化规律为v＝0.4t
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P＝10t
C．0～10 s内水斗上升的高度为4 m
D．0～10 s内井绳拉力所做的功为520 J
核心素养提升机车启动模型
模型1　以恒定功率启动——模型建构
典例1 (多选)额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示．两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变，若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则(　　)
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D．甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
典例2 如图甲所示，一个倾角为θ的斜面固定在地面上，一辆质量为m的汽车由静止以额定功率P驶上斜面，汽车行驶的最大速度为v1；如图乙所示，若汽车从斜面顶端由静止以额定功率P向下运动，汽车行驶的最大速度为v2.已知汽车行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．汽车均做匀加速直线运动
B．最大行驶速度v1大于v2
C．阻力大小为·mg sin θ
D．额定功率大小为·2mg sin θ
模型2　以恒定加速度启动——模型建构
典例3 (多选)[2024·上海交大附中模拟]如图甲所示为超大型塔式起重机．该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a t图像如图乙所示，t1～t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　)
A．该起重机的额定功率为t1
B．该起重机的额定功率为(mg＋ma0)a0t1
C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2(t2－t1)
D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2
典例4 [2024·广东省汕头市模拟]2022年9月28日汕头海湾隧道正式开通，隧道全长约6.68公里，全段最高限速为60 km/h.海湾隧道中间为盾构段，埋于海底，南北两侧路段以较小的坡度与盾构段连接，全段可简化为下图所示模型．一汽车从南岸由静止开始以1 m/s2的加速度沿斜面向下匀加速启动，已知汽车质量为2.0×103 kg，汽车所受阻力恒为重力的0.2倍．斜面倾角的正弦值sin θ＝0.1，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若汽车发动机的最大功率为P0＝5.6×104 W，下坡阶段足够长，求汽车下坡阶段做匀加速直线运动的时间．
(2)若汽车在上、下坡时均以最高限速匀速行驶，则下坡和上坡时的汽车发动机功率之比为多少？
思维提升
三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
第1讲　功与功率
考点一
必备知识·自主落实
1．(1)力　(2)力的方向
2．位移
3．(1)正功　(2)不做功　(3)负功　克服
关键能力·思维进阶
1．解析：由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误．
答案：B
2．解析：米粒和糠的区别是质量不同，由于从同一高度h释放，由WG＝mgh可知，米粒和糠重力做功不同，则重力势能变化量不同，A错误；在恒定水平风力作用下，由F＝ma可知，由于米粒质量大，米粒水平运动的加速度小，由x＝at2可知，米粒水平运动的距离小，再根据功的公式W＝Fx可知，风力对米粒做功少，B错误；空气阻力忽略不计，米粒和糠在竖直方向都做自由落体运动，由v2＝2gh可知，落地竖直方向的速度相同，而P＝mgv，由于米粒质量大，落地时，米粒重力的瞬时功率大于糠重力的瞬时功率，C正确；空气阻力忽略不计，米粒和糠在竖直方向都做自由落体运动，由h＝gt2可知，运动时间相同，D正确．
答案：CD
3．解析：设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由v t图像得加速度大小a1＝2 m/s2，方向与初速度方向相反，设物体向左做匀加速直线运动的加速度为a2，则由v t图像得加速度大小a2＝1 m/s2，方向与初速度方向相反，根据牛顿第二定律，得F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故A错误；根据v t图像与横轴所围成的面积表示位移，得x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，负号表示物体在起点的左侧，则10 s内恒力F对物体做功为W＝Fx＝3×2 J＝6 J，故B错误，C正确； 10 s内物体克服摩擦力做功为Wf＝Ffs＝μmg·s＝0.05×2×10×J＝34 J，故D正确．
答案：CD
考点二
例1　解析：将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Fln cos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°·R＝π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为2，故选B.
答案：B
例2　解析：F x图线与横坐标轴所围面积表示功，则拉力F从A到B做功为W＝×2×40 J－10×1 J＝30 J，故A错误；
物体从B到C过程中，做圆周运动，合外力不为0，故B错误；
从A到B由动能定理有
W＝
解得vB＝2 m/s
由于光滑轨道ABC在水平面内，则物体从B到C做匀速圆周运动，物体能够到达C点，且速度大小为2 m/s，故C错误，D正确．
答案：D
例3　解析：根据题意可知，水平拉力与位移的关系式为
F＝4＋2x
则物体移动5 m过程中拉力的平均值为
＝ N＝9 N
则拉力做的功W＝x＝45 J
故选B.
答案：B
例4　解析：圆环从A到C过程中，合力是0时圆环的速度最大，A错误；A到C过程中，根据能量守恒，弹性势能减少，转化为摩擦力做功产生的热量，所以由C回到A的过程中，弹簧先恢复原长后伸长，弹力先做正功后做负功，弹力最终做负功，B错误；从A到C再由C回到A，根据对称特点可知，摩擦力做功相等，弹性势能变化相同，根据动能定理，有W弹－Wf＝0，－W弹－Wf＝0－mv2，求得W弹＝Wf＝mv2，C、D正确．故选CD.
答案：CD
考点三
必备知识·自主落实
1．时间
2．快慢
3．(1)快慢　(2)平均　瞬时
4．(1)最大　(1)小于
关键能力·思维进阶
例5　解析：由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm
则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功
W＝1.2πRnmgH
则筒车对灌入稻田的水做功的功率为
P＝
T＝
联立有P＝
故选B.
答案：B
例6　解析：由图(b)可知，甲下滑过程中，甲做匀加速直线运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐渐减小的加速运动，乙沿Ⅰ下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，A错误，B正确；乙沿Ⅰ下滑，开始时乙速度为0，到N点时乙竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式P＝mgvy可知重力瞬时功率先增大后减小，CD错误．故选B.
答案：B
例7　解析：根据图像可知，水斗速度v＝ωr＝t×0.1＝0.4t，A正确；
井绳拉力瞬时功率为P＝Tv＝Tωr，
又由于T－(m＋m0)g＝(m＋m0)a
根据上述v＝0.4t
有a＝0.4 m/s2，则有P＝10.4t，B错误；
根据图像可知，0～10 s内水斗上升的高度为h＝t＝ m＝20 m，C错误；
根据上述P＝10.4t
0～10 s内井绳拉力所做的功为W＝×10 J＝520 J，D正确．
答案：AD
核心素养提升
典例1　解析：根据题述，可知两车额定功率P相同，匀速运动后牵引力大小等于阻力，即F＝Ff＝kmg，根据甲车t2时刻后和乙车t4时刻后牵引力不变，且甲车牵引力大于乙车，可知甲车的总重比乙车大，A正确；如图所示，甲车在A点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等，所以甲车从这个时刻开始运动，乙车在B点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等，乙车从这个时刻开始运动，所以甲车比乙车先开始运动，B正确；两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，这两个时刻，两车的牵引力等大，由P＝Fv可知，甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同，C正确；t2时刻甲车达到最大速度，t4时刻乙车达到最大速度，根据汽车的额定功率P＝Ffvm＝kmgvm，甲车的总重比乙车大，可知甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率，D错误．
答案：ABC
典例2　解析：汽车以额定功率行驶，做加速度减小的加速运动，当加速度减为零时，速度达到最大，因此汽车均做变加速直线运动，A错误；设汽车行驶过程中受到的阻力为Ff，当汽车达到最大速度时，加速度为零，对题图甲有，牵引力F1＝mg sin θ＋Ff，额定功率P＝F1v1；对题图乙有，牵引力F2＝Ff－mg sin θ，额定功率P＝F2v2，联立可得Ff＝·mg sin θ，P＝·2mg sin θ，故v1答案：D
典例3　解析：0～t1时间内，物体做匀加速直线运动，牵引力不变，功率增大，当t＝t1时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma0，此时功率达到额定功率，且P额＝Fv1，又v1＝a0t1，联立解得起重机的额定功率为P额＝(mg＋ma0)a0t1，故A错误，B正确；0～t1时间内牵引力做的功W1＝，t1～t2时间内牵引力做的功W2＝P额(t2－t1)，则在0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为W1∶W2＝t1∶2(t2－t1)，故C正确，D错误．
答案：BC
典例4　解析：(1)汽车下坡时，以恒定加速度启动，有F＋mg sin θ－f＝ma
其中f＝0.2mg，汽车加速运动过程中，功率逐渐增加，刚达到P0时P0＝Fv，v＝at
解得t＝14 s
(2)汽车下坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F1＋mg sin θ＝f
此时汽车发动机功率P1，有P1＝F1vm
汽车上坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F2＝mg sin θ＋f
此时汽车发动机功率P2，有P2＝F2vm，解得＝
答案：(1)14 s　(2)(共45张PPT)
第1讲　功与功率
课 程 标 准 素 养 目 标
了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义． 物理观念：理解功和功率的概念．
科学思维：(1)会对功、功率进行分析和计算；(2)知道变力做功的求法，会解决机车启动的两种模型问题．
考点一
考点二
考点三
考点一
考点一　恒力做功的分析和计算
【必备知识·自主落实】
1．做功的两个要素 缺一不可
(1)作用在物体上的________.
(2)物体在________上发生位移．
2．公式W＝Fl cos α：
α是力与________方向之间的夹角，l为物体的位移．
3．功的正负 功是标量，但有正、负
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做________.
(2)当α＝时，W＝0，力对物体________.
(3)当<α≤π时，W<0，力对物体做________.或者说物体________这个力做功．
力
力的方向
位移
正功
不做功
负功
克服
【关键能力·思维进阶】
1．[2024·上海市模拟]如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方．现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则(　　)
A.合外力对磁铁做正功
B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功
D.AB对磁铁的摩擦力不做功
答案：B
解析：由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误．
2．(多选)[2024·江西南昌高三校联考]成语“簸扬糠秕”常用于自谦，形容自己无才而居前列。成语源于如图所示劳动情景，在恒定水平风力作用下，从同一高度由静止释放的米粒和糠落到地面不同位置，糠落点更远。空气阻力忽略不计，下列说法正确的是(　　)
A.从释放到落地的过程中，米粒和糠重力势能变化量相等
B.从释放到落地的过程中，水平风力对米粒和糠做功相同
C.米粒落地时重力的瞬时功率大于糠落地时重力的瞬时功率
D.从释放到落地的过程中，糠秕的运动时间等于米粒的运动时间
答案：CD
解析：米粒和糠的区别是质量不同，由于从同一高度h释放，由WG＝mgh可知，米粒和糠重力做功不同，则重力势能变化量不同，A错误；在恒定水平风力作用下，由F＝ma可知，由于米粒质量大，米粒水平运动的加速度小，由x＝at2可知，米粒水平运动的距离小，再根据功的公式W＝Fx可知，风力对米粒做功少，B错误；空气阻力忽略不计，米粒和糠在竖直方向都做自由落体运动，由v2＝2gh可知，落地竖直方向的速度相同，而P＝mgv，由于米粒质量大，落地时，米粒重力的瞬时功率大于糠重力的瞬时功率，C正确；空气阻力忽略不计，米粒和糠在竖直方向都做自由落体运动，由h＝gt2可知，运动时间相同，D正确．
3．(多选)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v t图像如图乙所示，g取10 m/s2，则(　　)
A.物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5
B.10 s内恒力F对物体做功102 J
C.10 s末物体在计时起点位置左侧2 m处
D.10 s内物体克服摩擦力做功34 J
答案：CD
解析：设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由v t图像得加速度大小a1＝2 m/s2，方向与初速度方向相反，设物体向左做匀加速直线运动的加速度为a2，则由v t图像得加速度大小a2＝1 m/s2，方向与初速度方向相反，根据牛顿第二定律，得F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故A错误；根据v t图像与横轴所围成的面积表示位移，得x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，负号表示物体在起点的左侧，则10 s内恒力F对物体做功为W＝Fx＝3×2 J＝6 J，故B错误，C正确； 10 s内物体克服摩擦力做功为Wf＝Ffs＝μmg·s＝0.05×2×10×J＝34 J，故D正确．
思维提升
1.是否做功及做功正负的判断
2．计算功的方法
(1)恒力做的功，直接用W＝Fl cos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
考点二
考点二　变力做功的计算方法
【关键能力·思维进阶】
方法 举例
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
图像法
平均 值法
应用动 能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
考向1　微元法计算变力做功
例 1 [2024·安徽滁州市定远县联考]
如图所示，在水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着物体从M点运动到N点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为(　　)
A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4
答案：B
解析：将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Fln cos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°·R＝π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为2，故选B.
考向2　图像法计算变力做功
例 2 如图甲所示，在光滑水平桌面内，固定有光滑轨道ABC，其中半圆轨道BC与直轨道AB相切于B点，物体受到与AB平行的水平拉力F，从静止开始运动，拉力F的大小满足的关系如图乙所示(以A为坐标原点，拉力F从A指向B为正方向)．若m＝1 kg，AB＝4 m，半圆轨道的半径R＝1.5 m，重力加速度g取10 m/s2.则下列说法中正确的是(　　)
A．拉力F从A到B做功为50 J
B．物体从B到C过程中，所受的合外力为0
C．物体能够到达C点，且速度大小为2 m/s
D．物体能够到达C点，且速度大小为2 m/s
答案：D
解析：F- x图线与横坐标轴所围面积表示功，则拉力F从A到B做功为W＝×2×40 J－10×1 J＝30 J，故A错误；
物体从B到C过程中，做圆周运动，合外力不为0，故B错误；
从A到B由动能定理有
W＝
解得vB＝2 m/s
由于光滑轨道ABC在水平面内，则物体从B到C做匀速圆周运动，物体能够到达C点，且速度大小为2 m/s，故C错误，D正确．
考向3　平均值法计算变力做功
例 3 [2024·江苏徐州高三专题练习]静止于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m．则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为(　　)
A．35 J B．45 J
C．55 J D．65 J
答案：B
解析：根据题意可知，水平拉力与位移的关系式为
F＝4＋2x
则物体移动5 m过程中拉力的平均值为
＝ N＝9 N
则拉力做的功W＝x＝45 J
故选B.
考向4　应用动能定理求变力做功
例 4 (多选) [2024·云南校联考模拟预测]如图，轻质弹簧上端固定在O点，下端与质量为m的圆环相连，圆环套在水平粗糙的固定细杆上．现在将圆环从A点静止释放，当圆环运动到B点时弹簧竖直且处于原长，到达C点时速度减为零；在C点使得圆环获得一个沿杆向左的速度v，其恰好能回到A点．弹簧始终在弹性限度之内，下列说法正确的是(　　)
A．从A到C的过程中，圆环经过B点速度最大
B．从C回到A的过程中，弹力最终做正功
C．从A到C克服摩擦力做功为mv2
D．从A到C弹簧弹性势能减少了mv2
答案：CD
解析：圆环从A到C过程中，合力是0时圆环的速度最大，A错误；A到C过程中，根据能量守恒，弹性势能减少，转化为摩擦力做功产生的热量，所以由C回到A的过程中，弹簧先恢复原长后伸长，弹力先做正功后做负功，弹力最终做负功，B错误；从A到C再由C回到A，根据对称特点可知，摩擦力做功相等，弹性势能变化相同，根据动能定理，有W弹－Wf＝0，－W弹－Wf＝0－mv2，求得W弹＝Wf＝mv2，C、D正确．故选CD.
考点三
考点三　功率的分析和计算
【必备知识·自主落实】
1．定义：功与完成这些功所用________之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的________.
3．公式：　　比值定义法
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的________.
(2)P＝Fv　　 机车启动类问题中F指牵引力
①v为平均速度，则P为________功率．
②v为瞬时速度，则P为________功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
时间
快慢
快慢
平均
瞬时
4．额定功率与实际功率：
(1)额定功率：动力机械可以长时间正常工作的________功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求________或等于额定功率．实际功率如果大于额定功率容易将机器损坏．
最大
小于
【关键能力·思维进阶】
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，F与的夹角α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fv cos α中，F cos α可认为是力F在速度v方向上的分力，v cos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
例 5 [2023·山东卷]
《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景．引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动．水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动．每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田．当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
A． B．
C． D．nmgωRH
答案：B
解析：由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm
则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功
W＝1.2πRnmgH
则筒车对灌入稻田的水做功的功率为
P＝
T＝
联立有P＝
故选B.
例 6 [2023·辽宁卷]如图(a)，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道．两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图(b)所示．由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中(　　)
A．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
答案：B
解析：由图(b)可知，甲下滑过程中，甲做匀加速直线运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐渐减小的加速运动，乙沿Ⅰ下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，A错误，B正确；乙沿Ⅰ下滑，开始时乙速度为0，到N点时乙竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式P＝mgvy可知重力瞬时功率先增大后减小，CD错误．故选B.
例 7 (多选)[2024·重庆统考一模]如图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成．如图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m＝2 kg的水，辘轳绕绳轮轴半径为r＝0.1 m，水斗的质量为0.5 kg，井足够深且井绳的质量忽略不计．t＝0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10 m/s2，则(　　)
A．水斗速度随时间变化规律为v＝0.4t
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P＝10t
C．0～10 s内水斗上升的高度为4 m
D．0～10 s内井绳拉力所做的功为520 J
答案：AD
解析：根据图像可知，水斗速度v＝ωr＝t×0.1＝0.4t，A正确；
井绳拉力瞬时功率为P＝Tv＝Tωr，
又由于T－(m＋m0)g＝(m＋m0)a
根据上述v＝0.4t
有a＝0.4 m/s2，则有P＝10.4t，B错误；
根据图像可知，0～10 s内水斗上升的高度为h＝t＝ m＝20 m，C错误；
根据上述P＝10.4t
0～10 s内井绳拉力所做的功为W＝×10 J＝520 J，D正确．
核心素养提升 机车启动模型
模型1　以恒定功率启动——模型建构
典例1 (多选) 额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示．两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变，若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则(　　)
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D．甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
答案：ABC
解析：根据题述，可知两车额定功率P相同，匀速运动后牵引力大小等于阻力，即F＝Ff＝kmg，根据甲车t2时刻后和乙车t4时刻后牵引力不变，且甲车牵引力大于乙车，可知甲车的总重比乙车大，A正确；如图所示，甲车在A点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等，所以甲车从这个时刻开始运动，乙车在B点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等，乙车从这个时刻开始运动，所以甲车比乙车先开始运动，B正确；两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，这两个时刻，两车的牵引力等大，由P＝Fv可知，甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同，C正确；t2时刻甲车达到最大速度，t4时刻乙车达到最大速度，根据汽车的额定功率P＝Ffvm＝kmgvm，甲车的总重比乙车大，可知甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率，D错误．
典例2 如图甲所示，一个倾角为θ的斜面固定在地面上，一辆质量为m的汽车由静止以额定功率P驶上斜面，汽车行驶的最大速度为v1；如图乙所示，若汽车从斜面顶端由静止以额定功率P向下运动，汽车行驶的最大速度为v2.已知汽车行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．汽车均做匀加速直线运动
B．最大行驶速度v1大于v2
C．阻力大小为·mg sin θ
D．额定功率大小为·2mg sin θ
答案：D
解析：汽车以额定功率行驶，做加速度减小的加速运动，当加速度减为零时，速度达到最大，因此汽车均做变加速直线运动，A错误；设汽车行驶过程中受到的阻力为Ff，当汽车达到最大速度时，加速度为零，对题图甲有，牵引力F1＝mg sin θ＋Ff，额定功率P＝F1v1；对题图乙有，牵引力F2＝Ff－mg sin θ，额定功率P＝F2v2，联立可得Ff＝·mg sin θ，P＝·2mg sin θ，故v1模型2　以恒定加速度启动——模型建构
典例3 (多选)[2024·上海交大附中模拟]如图甲所示为超大型塔式起重机．该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a t图像如图乙所示，t1～t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　)
A．该起重机的额定功率为t1
B．该起重机的额定功率为(mg＋ma0)a0t1
C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2(t2－t1)
D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2
答案：BC
解析：0～t1时间内，物体做匀加速直线运动，牵引力不变，功率增大，当t＝t1时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma0，此时功率达到额定功率，且P额＝Fv1，又v1＝a0t1，联立解得起重机的额定功率为P额＝(mg＋ma0)a0t1，故A错误，B正确；0～t1时间内牵引力做的功W1＝，t1～t2时间内牵引力做的功W2＝P额(t2－t1)，则在0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为W1∶W2＝t1∶2(t2－t1)，故C正确，D错误．
典例4 [2024·广东省汕头市模拟]2022年9月28日汕头海湾隧道正式开通，隧道全长约6.68公里，全段最高限速为60 km/h.海湾隧道中间为盾构段，埋于海底，南北两侧路段以较小的坡度与盾构段连接，全段可简化为下图所示模型．一汽车从南岸由静止开始以1 m/s2的加速度沿斜面向下匀加速启动，已知汽车质量为2.0×103 kg，汽车所受阻力恒为重力的0.2倍．斜面倾角的正弦值sin θ＝0.1，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若汽车发动机的最大功率为P0＝5.6×104 W，下坡阶段足够长，求汽车下坡阶段做匀加速直线运动的时间．
(2)若汽车在上、下坡时均以最高限速匀速行驶，则下坡和上坡时的汽车发动机功率之比为多少？
解析：(1)汽车下坡时，以恒定加速度启动，有F＋mg sin θ－f＝ma
其中f＝0.2mg，汽车加速运动过程中，功率逐渐增加，刚达到P0时P0＝Fv，v＝at
解得t＝14 s
(2)汽车下坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F1＋mg sin θ＝f
此时汽车发动机功率P1，有P1＝F1vm
汽车上坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F2＝mg sin θ＋f
此时汽车发动机功率P2，有P2＝F2vm，解得＝
答案：(1)14 s　(2)
思维提升
三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．

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