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1.11 有理数的乘方
第一章 有理数
华师版七年级(上)
1 有理数的乘方
教学目标
1. 在现实背景中，理解有理数乘方的意义.
2. 能准确说出有理数乘方的底数、指数和幂，能准确地计算有理数的乘方.
3. 经历观察、类比、归纳得出有理数乘方的概念的过程，领会重要的数学建模思想、归纳思想，形成数感、符号感，发展抽象思维.
重点：幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘
法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算.
难点：准确建立底数、指数和幂三个概念，并能求幂的
运算.
你知道是为什么吗？
故事开始
故事结尾
故事：国王赏不起的米
乘方的意义
1
问题1：
(1) 完成下列填空，并说一说这两个式子有什么相同点？
2cm
2cm
S正 =_________ = ____( )
V正 = _________= ____ ( )
2×2
2×2×2
cm2
cm3
4
8
都是相同因数的乘法
(2) 这两个过程有什么简单的写法吗？(类比单位的写法)
S正 =__________ = __________= 4 ( cm2 )
V正 = _________= __________ = 8 ( cm3 )
2×2
2×2×2
22
平方厘米
立方厘米
23
2 的平方
2 的二次方
2 的立方
2 的三次方
(3) 这种写法读作什么呢？
类比
类比
做一做
(2) 记作________，
读作_______________.
问题2：类比以上研究，完成下列填空.
(1) (-2)×(-2)×(-2)×(-2) 记作________，
读作_____________；
(-2)4
-2 的四次方
根据问题 1、问题 2 你能总结出什么规律？
的五次方
(-2)4 与 -24 一样吗？为什么？
定义总结
一般地，n 个相同的乘数 a 相乘，即 ，
记作_____，读作___________.
a 的 n 次方
n个
a · a · … · a
an
表示 n 个 a 相乘
n 个
a · a · … · a = an
求 n 个相同乘数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
幂
_____运算：
乘方
a 的 n 次幂
幂
指数
乘数的个数
底数
乘数
n 个
an = a · a · … · a
注意
一个数可以看作是这个数本身的一次方， a1 就是 a，指数 1 通常省略不写.
定义总结
1. (1) (－5)2 的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示
2 个_____相乘，读作_____的 2 次方，也读作
－5 的_____________.
(2) 表示 个 相乘，读作 的 次方，也读作
的 次幂，其中 叫做 ，6 叫做 .
－5
2
－5
－5
2 次幂或平方
6
6
6
底数
指数
练一练
例1 计算：
（1）(-2)3； （2）(-2)4； （3）(-2)5.
解：（1）(-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8；
思考 (-2)3 与 -23 的意义是否相同？(-2)4 与 -24 呢？
你发现正负数次幂有什么规律吗？
有理数乘方的运算
2
（3）(-2)5=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = -32.
（2）(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16；
典例精析
方法总结
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
正数的任何次幂都是正数.
根据有理数的乘法法则可以得出：
0 的任何正整数次幂都是 0.
拓展：根据任何数与零相乘，都得零.可以得出：
练一练
1. 计算：
(1) (-4)3； (2) (-3)4； (3)
解：(1) (-4)3 = (-4)×(-4)×(-4) = -64；
(2) (-3)4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81；
回顾导入
= 9 223 372 036 854 775 808 个米粒
故事：国王赏不起的米
263
第 64 格
21
第 2 格
22
第 3 格
23
第 4 格
总共
21 + 22 + 23 +…+ 263
= 264 - 1
(点此看推导过程)
= 264 - 1
设 S = 1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263，
则 2S = 2×(1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263)
= 2×1 + 2×21 + 2×22 + 2×23 +…+ 2×263
= 21 + 22 + 23 + 24 +…+ 264.
2S - S = (21 + 22 + 23 +…+ 264) - (1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263)
S = 264 - 1.
拓展提升
所以 1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263 = 264 - 1.
返回
拓展提升
试求：31 + 32 + 33 +…+ 333 = .
解：设 S = 31 + 32 + 33 +…+ 333，
则 3S = 3×(31 + 32 + 33 +…+ 333)
= 3×31 + 3×32 + 3×33 +…+ 3×333
= 32 + 33 + 34 +…+ 334.
3S - S = (32 + 33 + 34 +…+ 334) - (31 + 32 + 33 +…+ 333)
2S = 334 - 3.
返回
一般地，n 个相同的因数a相乘，即
乘方
符号规律
负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是_______，正数的任何次幂都是______，0 的任何正整数次幂都是_____
求 n 个相同因数的___的运算叫做乘方，乘方的结果叫____；在 an 中，a叫做____，n 叫做______
n 个
a · a · … · a
记作：__________
读作：_____________
负数
正数
正数
0
积
幂
底数
指数
a 的 n 次方
an
1. 下列各组运算中，结果相等的是( )
A. -32 与 -23
B. -23 与 (-2)3
C. -32 与 (-3)2
D. (-3×2)2 与 -3×22
B
2. 如果一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的 2 025 次幂是_________. (填“正数”“负数”或“0”)
负数
3. 填表：
底数 －1 2 10
指数 3 5 4
幂的形式 (－2)4 0.34
(－1)3
25
－2
4
0.3
4
104
4. 厚度是 0.1 毫米的足够大的纸，将它对折 1 次后，厚度为 0.2 毫米.
(1) 对折 3 次后，厚度为多少毫米
(2) 对折 7 次后，厚度为多少毫米
(3) 利用计算器计算：对折 30 次后，厚度为多少米？是否超过珠峰的高度（8848.86 米）？
答案：(1) 0.8 毫米.
(2) 12.8 毫米.
(3) 107374.1824 米，超过了珠峰的高度.

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