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第2章 有理数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024 宿迁）6的倒数是　　
A． B． C．6 D．
【答案】
【解析】6的倒数是．
故选．
2．（2023秋 无锡期末）在0，，，，3.14中，有理数的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】0是整数，，3.14是分数，它们都是有理数，共3个，
故选．
3．（2022秋 仪征市期末）如果的相反数是1，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【解析】的相反数是1，
，
．
故选．
4．（2023秋 启东市期中）一小袋味精的质量标准为“克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是　　
A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克
【答案】
【解析】由题意，知：合格味精的质量应该在克到克之间；即49.75克至50.25克之间，符合要求的是选项．
故选．
5．（2023秋 滨海县月考）数轴上的点到原点的距离是5，则点表示的数为　　
A． B．5 C．5或 D．2.5或
【答案】
【解析】根据题意知：到数轴原点的距离是5的点表示的数，即绝对值是5的数，应是．
故选．
6．（2023秋 常州期中）下列各组数中，相等的一组是　　
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】
【解析】、，，，故本选项错误；
、，，，故本选项错误；
、，，，故本选项正确；
、，，，故本选项错误．
故选．
7．（2023秋 新吴区期末）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列各式不正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
、互为相反数，即原点在、之间，
，，，不能确定，
故选．
8．（2023秋 江阴市期末）甲先写一个两位数63，乙在63的右边写下这个两位数的数字之和9，得到639．甲接着在639的右边写下末两位数字之和12，得到63912．乙用同样的方法写出639123．这样继续下去，若得到一个100位数．则这个100位数的各个数字之和等于　　
A．300 B．315 C．356 D．410
【答案】
【解析】这个数为：，从第4为数字开始，以1、2、3、5、8、1、3、4、7、1为周期进行循环，
，
，
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2024 宝应县一模）《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示 　 　．
【答案】运出30吨粮食．
【解析】运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食，
故答案为：运出30吨粮食．
10．（2023秋 兴化市月考）若是无理数，且，请写出一个符合条件的　 　．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】，
符合条件的可以是，故答案为：（答案不唯一）．
11．（2024 邗江区校级三模）栉风沐雨，砥砺奋进．据初步统计，2021年，昆明机场完成完成旅客吞吐量32220000人次．数据32220000可以用科学记数法表示为：　　．
【答案】．
【解析】，故答案为：．
12．（2024春 仪征市期中）如图是某市连续5天的天气情况，最大的日温差是　　．
【答案】10．
【解析】，
即最大的日温差是．
故答案为：10．
13．（2023秋 赣榆区校级月考）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，则的值是 　　．
【答案】5．
【解析】根据题中的新定义化简得：，，，
．
故答案为：5．
14．（2023秋 鼓楼区校级月考）魔术师在表演中请观众任意想一个数，然后将这个数按照以下步骤操作，魔术师立刻说出了观众想的那个数．小乐想了一个数，并告诉魔术师结果为64，则小乐想的这个数是 　　．
【答案】或10．
【解析】根据题意得：
小乐想的这个数为，
即或，
故答案为：或10．
15．（2023秋 姑苏区校级月考）非零整数，满足，所有这样的整数组共有 　　组．
【答案】16．
【解析】已知等式变形得：，
当时，；当时，；当时，；当时，，
此时整数组为，，，，，，，，，，，，，，，，共16组，
故答案为：16．
16．（2023秋 广陵区校级期末）电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影的方法可称为“　　站台”．
【答案】或6．
【解析】，
，
；
或，
．
故站台用类似电影的方法可称为“或6站台”．
故答案为：或6．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 天宁区校级月考）把下列各数分别填入相应的集合里（填序号）．
①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨（相邻两个3之间依次多一个．
（1）整数集合： 　 　；
（2）正分数集合： 　　；
（3）负有理数集合： 　　；
（4）无理数集合： 　　；
（5）负数集合： 　　．
【解析】（1）①，④，
整数集合：①③⑤；
故答案为：①③⑤；
（2）正分数集合：②④⑦；
故答案为：②④⑦；
（3）负有理数集合：③⑥；
故答案为：③⑥；
（4）无理数集合：⑧⑨；
故答案为：⑧⑨；
（5）解：负数集合：③⑥⑨．
故答案为：③⑥⑨．
18．（2023秋 宿城区期中）计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
19．（2023秋 工业园区校级月考）已知是最小的正整数，的相反数还是它本身，是最大的负整数．
（1）　　，　　，　　．
（2）求的值．
【解析】（1）由题可知，
，，，
故答案为：1，0，；
（2）．
20．（2023秋 姑苏区校级月考）请根据图示的对话解答下列问题．
（1）　　，　　．
（2）已知，求的绝对值．
【解析】（1）2的相反数为，故；的倒数是，故；
故答案为：；；
（2）由题意，得，而，，
所以，，
所以．
因为，
所以的绝对值为6．
21．（2023秋 广陵区期中）有理数、、在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0．
（2）化简：．
【解析】（1）由图可知，，，且，
所以，，，；
故答案为：，，；
（2）
．
22．（2023秋 射阳县期末）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1），，
，，
，
时，，，
时，，，
综上所述，的值是；
（2），，
，，
，
时，，，
时，，，
综上所述，的值为．
23．（2023 石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数　　表示的点重合；
（2）若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　　表示的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
【解析】（1）表示的点与表示的点重合，
对称中心是原点，
表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
（2）①若表示的点与4表示的点重合，
对称中心是1表示的点，
表示的点与数表示的点重合；
故答案为：；
②由题意可得，、两点距离对称点的距离为，
对称点是表示1的点，
、两点表示的数分别是，5.5，
24．（2023秋 大丰区校级月考）阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
（1）根据倒数的定义我们知道，若，则　　．
（2）计算．
（3）根据以上信息可知：　　．
【解析】（1），
，
故答案为：；
（2）
；
（3）由（2）知，
，
故答案为：．
25．（2023秋 宜兴市校级月考）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）
星期 一 二 三 四 五 六 日
分拣情况（单位：万件） 0
（1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　　；最少的一天是星期 　　；最多的一天比最少的一天多分拣 　　万件包裹；
（2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？
【解析】（1）由表可知：
本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，
最少的一天是星期日，
最多的一天比最少的一天多分拣：（万件），
故答案为：六，日，13；
（2）（万件）．
答：该仓库本周实际平均每天分拣21万件包裹．
26．（2024春 锡山区校级月考）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为（8），则（8）．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为（b）．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．
（1）下列各“劳格数”的值：（3）　　，　　，　　．
（2）观察（1）中的数据易得，你发现此时（3），，满足关系式是 　　．
（3）由（2）的结果，请你猜想与且，，之间的关系，并证明你的猜想．
（4）根据上述结论解决下列问题：已知，（3），求（9）的值和的值．且．
【解析】（1），，
（3），，；
故答案为：1；3；4；
（2）由（1）可得（3）；
（3）猜想，证明如下：
设，
，，，
，，
；
（4）（3），
（9）（3）（3），
（9）（9）．
27．（2023秋 漳平市期中）【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：
【初步应用】
（1）式子在数轴上的意义是 　 　 ，若则的值为 　　；
（2）当取最小值时，可以取整数 　　；
（3）当为 　　时，的值最小，最小值为 　　；
【解决问题】
（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民1000人，居民区有居民2000人，居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？试说明理由．
【解析】（1）式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，
若则的值为：1或；
故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或；
（2）根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，
当时，
即当可以取整数，，，，0，1；
故答案为：，，，，0，1；
（3）根据题意可得，
当时，的值最小，最小值为7；
故答案为：，7；
（4）设核酸检测实验室在处，
根据题意可得，核酸样本的运输距离为：，
显然，当时，取得最小值，此时最低成本12（元，
实验室建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．
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第2章 有理数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024 宿迁）6的倒数是　　
A． B． C．6 D．
2．（2023秋 无锡期末）在0，，，，3.14中，有理数的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022秋 仪征市期末）如果的相反数是1，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
4．（2023秋 启东市期中）一小袋味精的质量标准为“克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是　　
A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克
5．（2023秋 滨海县月考）数轴上的点到原点的距离是5，则点表示的数为　　
A． B．5 C．5或 D．2.5或
6．（2023秋 常州期中）下列各组数中，相等的一组是　　
A．与 B．与 C．与 D．与
7．（2023秋 新吴区期末）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列各式不正确的是　　
A． B． C． D．
8．（2023秋 江阴市期末）甲先写一个两位数63，乙在63的右边写下这个两位数的数字之和9，得到639．甲接着在639的右边写下末两位数字之和12，得到63912．乙用同样的方法写出639123．这样继续下去，若得到一个100位数．则这个100位数的各个数字之和等于　　
A．300 B．315 C．356 D．410
二．填空题（共8小题）
9．（2024 宝应县一模）《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示 　 　．
10．（2023秋 兴化市月考）若是无理数，且，请写出一个符合条件的　 　．
11．（2024 邗江区校级三模）栉风沐雨，砥砺奋进．据初步统计，2021年，昆明机场完成完成旅客吞吐量32220000人次．数据32220000可以用科学记数法表示为：　　．
12．（2024春 仪征市期中）如图是某市连续5天的天气情况，最大的日温差是　　．
13．（2023秋 赣榆区校级月考）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，则的值是 　　．
14．（2023秋 鼓楼区校级月考）魔术师在表演中请观众任意想一个数，然后将这个数按照以下步骤操作，魔术师立刻说出了观众想的那个数．小乐想了一个数，并告诉魔术师结果为64，则小乐想的这个数是 　　．
15．（2023秋 姑苏区校级月考）非零整数，满足，所有这样的整数组共有 　　组．
16．（2023秋 广陵区校级期末）电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影的方法可称为“　　站台”．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 天宁区校级月考）把下列各数分别填入相应的集合里（填序号）．
①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨（相邻两个3之间依次多一个．
（1）整数集合： 　 　；
（2）正分数集合： 　　；
（3）负有理数集合： 　　；
（4）无理数集合： 　　；
（5）负数集合： 　　．
18．（2023秋 宿城区期中）计算：
（1）；
（2）．
19．（2023秋 工业园区校级月考）已知是最小的正整数，的相反数还是它本身，是最大的负整数．
（1）　　，　　，　　．
（2）求的值．
20．（2023秋 姑苏区校级月考）请根据图示的对话解答下列问题．
（1）　　，　　．
（2）已知，求的绝对值．
21．（2023秋 广陵区期中）有理数、、在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0．
（2）化简：．
22．（2023秋 射阳县期末）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
23．（2023 石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数　　表示的点重合；
（2）若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　　表示的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
24．（2023秋 大丰区校级月考）阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
（1）根据倒数的定义我们知道，若，则　　．
（2）计算．
（3）根据以上信息可知：　　．
25．（2023秋 宜兴市校级月考）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）
星期 一 二 三 四 五 六 日
分拣情况（单位：万件） 0
（1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　　；最少的一天是星期 　　；最多的一天比最少的一天多分拣 　　万件包裹；
（2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？
26．（2024春 锡山区校级月考）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为（8），则（8）．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为（b）．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．
（1）下列各“劳格数”的值：（3）　　，　　，　　．
（2）观察（1）中的数据易得，你发现此时（3），，满足关系式是 　　．
（3）由（2）的结果，请你猜想与且，，之间的关系，并证明你的猜想．
（4）根据上述结论解决下列问题：已知，（3），求（9）的值和的值．且．
27．（2023秋 漳平市期中）【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：
【初步应用】
（1）式子在数轴上的意义是 　 　 ，若则的值为 　　；
（2）当取最小值时，可以取整数 　　；
（3）当为 　　时，的值最小，最小值为 　　；
【解决问题】
（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民1000人，居民区有居民2000人，居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？试说明理由．
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