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第01讲 集合
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考纲解读
)
(
小
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1)集合的概念与表示 (2)集合的基本关系 (3)集合的基本运算 2024年I卷第1题，5分 2023年I卷第1题，5分 2023 年II卷第2题，5 分 2022年I卷II卷第1题，5分2021年I卷I卷第1题，5 分2020年I卷II卷第1题，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. （2）重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合. （3）适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.
(
考试要求
小
)
1、了解集合、全集、空集的含义；
2、理解元素与集合的属于关系、集合间的包含和相等关系；
3、会求两个集合的并集、交集、补集；
4、能用图形、集合、自然语言描述集合，会用图表示集合间的基本关系和基本运算.
(
考点突破
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:元素与集合
1、集合的概念：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集.
2、集合和元素的符号表示：通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素.
3、集合中元素的三个特性：（1）确定性（2）互异性（3）无序性
4、元素与集合的关系：
（1）属于：若集合中含有元素，则属于集合，记作，读作属于.
（2）不属于：若是集合中不含元素，则不属于集合，记作，读作不属于.
5、常用数集：
自然数集（）、正整数集（或）、整数集（）、有理数集（）、实数集（）.
6、集合的表示方法：
（1）列表法（2）描述法（3）图示法
知识点2:集合间的基本关系
1、子集
对于集合,,若集合中任意一个元素都是集合中的元素，则这两集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为或（），读作集合包含于集合（或集合包含集合）.
关于子集的两个性质：
（1）反身性：；
（2）传递性：若，且，则.
2、真子集
若集合，但存在元素，且，称集合是集合的真子集，记为 （或），读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.
图如右所示.
3、空集
不含任何元素的集合叫空集，记为.
规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即
（1）（是任意一个集合）；（2）（）.
4、集合相等
若集合，且，则集合与集合的元素是一样的，称集合与集合相等，记为 .图如右图所示.
【重要结论】
1、含有个元素的集合共有个子集，个真子集，个非空子集，个非空真子集.
知识点3:集合间的基本运算
表示 运算 自然语言 集合语言 图形语言 记法
交集 属于集合且属于集合的所有元素组成的集合
并集 属于集合或属于集合的所有元素组成的集合
补集 属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集
交集的性质：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5），；（6）.
并集的性质：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5），；（6）
【重要结论】
1、；；
2、德摩根定律：.
(
题型展示
小
)
题型一:元素与集合
【例1】设集合，若，则实数的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-元素互异性
【答案】D
【解析】
若，不符合元素的互异性；
若，答案选D.
【例2】（2024北京模拟）已知集合，则集合中的元素个数为（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
【题型】集合-求元素个数
【答案】C
【解析】
若，有；若，有；
，故集合中的元素个数为7，答案选C.
【变式1】已知集合，则集合为（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-集合的表示
【答案】C
【解析】
由集合的描述法表示可知，集合表示元素的集合，
.答案选C
【变式2】已知集合，则集合中的元素个数为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
【题型】集合-求元素个数
【答案】B
【解析】
若，有；若，有；
，故集合中的元素个数为7，答案选B.
题型二:集合间基本关系
【例3】已知集合，若，则的取值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-子集求参
【答案】C
【解析】
先对集合求解：
，的子集；若为空集，则，若不为空集，
故，答案选C.
【例4】已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A、3 B、7 C、8 D、9
【题型】集合-求并集
【答案】B
【解析】
对集合求解：，求出补集，共有3个元素，故真子集个数为.答案选B.
【变式3】已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求并集
【答案】A
【解析】
先对集合求解：
，是的子集；若为空集，则，若不为空集， 故.答案选A.
【变式4】已知集合，且，则集合的子集个数为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
【题型】集合-求并集
【答案】C
【解析】
，且，，故集合的子集个数为个.答案选C.
题型三:集合的基本运算
【例5】（2024全国甲文2）若集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集
【答案】C
【解析】直接求解法
对集合求解：，
集合与集合求交集，即共有的值，有，则.答案选C.
【例6】（2024北京卷1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求并集
【答案】C
【解析】直接求解法
可利用数轴表示法，在数轴上画出的范围，求并集.答案选C.
【例7】（2024杭州模拟）已知，则（ ）
A. B. C. D.
【题型】集合-求并集
【答案】C
【解析】
；，故.答案选C.
【变式5】（2022全国甲2）设全集，集合则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集
【答案】B
【解析】
对集合求解：，
集合与集合求并集，，故.答案选B.
【变式6】（2021全国乙）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集
【答案】C
【解析】
，
集合与集合求交集，即共有的值，有，则.答案选C.
(
考场演练
)
【真题1】（2024全国I1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集
【答案】A
【解析】直接求解法，选项代入法
方法1：直接求解法
对集合求解：，与集合求交集，即共有的值，有，则.答案选A.
方法2：选项代入法
对A选项代入：，；又，A符合.答案选A.
【真题2】（2023全国I1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集
【答案】C
【解析】直接求解法，选项代入法
方法1：直接求解法
对集合求解：，
与集合求交集，即共有的值，有，则.答案选C.
方法2：选项代入法
对A选项中0代入：不符合，排除 A、B选项；
D选项中不是集合形式，故排除.答案选C.
【真题3】（2022全国I1）若集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集
【答案】D
【解析】直接求解法
对集合求解：，对集合求解；
集合与集合求交集，即共有的值，则.答案选D.
【真题4】（2021全国I1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集
【答案】B
【解析】直接求解法
集合与集合求交集，即共有的值，则.答案选B.
【真题5】（2024全国甲理2）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求交集和补集
【答案】D
【解析】直接求解法
对集合求解：，与集合求交集，即共有的值，有，则，再求补集有.答案选D.
【真题6】（2023·全国新Ⅱ卷）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【题型】集合-集合基本关系
【答案】B
【解析】直接求解法
根据包含关系分和两种情况讨论.，则有：
若，解得，则，，不符合题意；
若，解得，则，，符合题意；故.答案选B.
【真题7】（2020全国新Ⅰ卷）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型】集合-集合基本关系和逻辑条件
【答案】A
【解析】直接求解法
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
则“”是“”的充分不必要条件，答案选A.
【真题8】（2024·北京）已知集合，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求并集
【答案】C
【解析】直接求解法
直接根据并集含义和数轴分析法，可得.答案选C.
【真题9】（2022·浙江）设集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求并集
【答案】D
【解析】直接求解法
利用并集含义，可得，，答案选D.
【真题10】（2021·北京）已知集合，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【题型】集合-求并集
【答案】B
【解析】直接求解法
利用并集的定义计算可得：.答案选B.
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第01讲 集合
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考纲解读
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考点要求 考题统计 考情分析
(1)集合的概念与表示 (2)集合的基本关系 (3)集合的基本运算 2024年I卷第1题，5分 2023年I卷第1题，5分 2023 年II卷第2题，5 分 2022年I卷II卷第1题，5分2021年I卷I卷第1题，5 分2020年I卷II卷第1题，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. （2）重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合. （3）适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.
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考试要求
小
)
1、了解集合、全集、空集的含义；
2、理解元素与集合的属于关系、集合间的包含和相等关系；
3、会求两个集合的并集、交集、补集；
4、能用图形、集合、自然语言描述集合，会用图表示集合间的基本关系和基本运算.
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考点突破
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考点梳理
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知识点1:元素与集合
1、集合的概念：把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 ，简称集.
2、集合和元素的符号表示：通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素.
3、集合中元素的三个特性：（1） （2） （3） .
4、元素与集合的关系：
（1）属于：若集合中含有元素，则属于集合，记作 ，读作属于.
（2）不属于：若集合中不含元素，则不属于集合，记作 ，读作不属于.
5、常用数集：
自然数集: 、正整数集: 、整数集: 、有理数集: 、实数集: .
6、集合的表示方法：
（1） （2） （3） .
知识点2:集合间的基本关系
1、子集
对于集合,,若集合中任意一个元素都是集合中的元素，则这两集合有 关系，称集合为集合的子集，记为 或（ ），读作集合包含于集合（或集合包含集合）.
关于子集的两个性质：
（1）反身性： ；
（2）传递性：若，且，则 .
2、真子集
若集合，但存在元素，且，称集合是集合的真子集，记为 （或 ），读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.
图如右所示.
3、空集
不含任何元素的集合叫空集，记为 .
规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即
（1）（是任意一个集合）；（2）（）.
4、集合相等
若集合，且，则集合与集合的元素是一样的，称集合与集合 ，记为 .图如右图所示.
【重要结论】
1、含有个元素的集合共有 个子集， 个真子集， 个非空子集，
个非空真子集.
知识点3:集合间的基本运算
表示 运算 自然语言 集合语言 图形语言 记法
交集 属于集合 属于集合的所有元素组成的集合
并集 属于集合 属于集合的所有元素组成的集合
补集 属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集
交集的性质：
（1）； （2） ； （3） ；
（4）； （5），；（6）.
并集的性质：
（1）； （2） ； （3） ；
（4）； （5），；（6）
【重要结论】
1、；；
2、德摩根定律：.
(
题型展示
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题型一:元素与集合
【例1】设集合，若，则实数的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【例2】（2024北京模拟）已知集合，则集合中的元素个数为（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
【变式1】已知集合，则集合为（ ）
A、 B、 C、 D、
【变式2】已知集合，则集合中的元素个数为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
题型二:集合间基本关系
【例3】已知集合，若，则的取值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【例4】已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A、3 B、7 C、8 D、9
【变式3】已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
【变式4】已知集合，且，则集合的子集个数为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
题型三:集合的基本运算
【例5】（2024全国甲文2）若集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【例6】（2024北京卷1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【例7】（2024杭州模拟）已知，则（ ）
A. B. C. D.
【变式5】（2022全国甲2）设全集，集合则（ ）
A、 B、 C、 D、
【变式6】（2021全国乙）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
(
考场演练
)
【真题1】（2024全国I1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【真题2】（2023全国I1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【真题3】（2022全国I1）若集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【真题4】（2021全国I1）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【真题5】（2024全国甲理2）已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【真题6】（2023·全国新Ⅱ卷）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【真题7】（2020全国新Ⅰ卷）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【真题8】（2024·北京）已知集合，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【真题9】（2022·浙江）设集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【真题10】（2021·北京）已知集合，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
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