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（人教版）数学
九年级
上
第二十一章 一元二次方程
　21.2 解一元二次方程
21.2.2公式法
目录
课后小结
随堂练习
知识讲解
情境导入
学习目标
1
3
5
2
4
学习目标
1．知道一元二次方程根的判别式的概念．
2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．（难点）
3．会用公式法解一元二次方程．（重点）
情境导入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？
知识讲解
知识点1　一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式： =b2-4ac．
　　①当 =b2-4ac＞0时，原方程有两个不等的实数根；
　　②当 =b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
　　③当 =b2-4ac＜0时，原方程没有实数根.
知识讲解
知识点1　一元二次方程根的判别式
【例 1】不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0；
(2)x2－x＋＝0；
(3)x2－x＋1＝0.
解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
知识讲解
知识点1　一元二次方程根的判别式
【例 1】不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0；
(2)x2－x＋＝0；
(3)x2－x＋1＝0.
(2)x2－x＋ ＝0，a＝1，b＝－1，c＝ .
∴b2－4ac＝(－1)2－4×1× ＝0.
∴方程有两个相等的实数根．
知识讲解
知识点1　一元二次方程根的判别式
【例 1】不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0；
(2)x2－x＋＝0；
(3)x2－x＋1＝0.
(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.
∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.
∴方程没有实数根．
知识讲解
知识点1　一元二次方程根的判别式
【例 2】已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2
解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.
即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.
C
知识讲解
知识点1　一元二次方程根的判别式
【例 3】已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．
证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，
∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
当 ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　①把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）；
　　②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　③求出b2-4ac的值；
　　④若b2-4ac≥0，则利用公式 求出原方程的解；
　　　 若b2-4ac＜0，则原方程无实根.
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
【例 4】用公式法解下列方程：
(1)2x2＋x－6＝0；
(2)x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x＋12＝0；
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
【例 4】用公式法解下列方程：
(1)2x2＋x－6＝0；
解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.
∴
即原方程的解是x1＝－2，x2＝ .
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
【例 4】用公式法解下列方程：
(2)x2＋4x＝2；
(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴
∴原方程的解是x1＝－2＋ ，x2＝－2－ .
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
【例 4】用公式法解下列方程：
(3)5x2－4x＋12＝0；
(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
【例 4】用公式法解下列方程：
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，
∴x1＝x2＝－ .
知识讲解
知识点2　用公式法解一元二次方程
【例 5】三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为(　　)
A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定
解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，
∴ 得x1＝3，x2＝7.
根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.
所以第三边的长x＝7.
A
随堂练习
1.不解方程，判定下列方程根的情况：
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0
解：（1）化为16x2+8x+3=0，这里a=16，b=8，c=3，
b2-4ac=64-4×16×3=-128<0，∴方程没有实数根．
随堂练习
1.不解方程，判定下列方程根的情况：
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0
（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
随堂练习
1.不解方程，判定下列方程根的情况：
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0
（3）a=2，b=-9，c=8，b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0，
∴方程有两个不相等的实根．
随堂练习
1.不解方程，判定下列方程根的情况：
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0
（4）a=1，b=-7，c=-18，b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0，
∴方程有两个不相等的实根．
随堂练习
2.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．
解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，
由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.
因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，
所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．
随堂练习
3.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2)(a+1）=4a2-4a2+4a+8<0，
∴a<-2，
∵ax+3>0即ax>-3，∴x<- ，
∴所求不等式的解集为x<- .
随堂练习
4.用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0
(2)5x2-3x=x+1
(3) x2+17=8x
随堂练习
4.用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0
解：(1) a=1，b=-4，c=-7.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0,
方程有两个不等的实数根
即
随堂练习
4.用公式法解下列方程：
(2)5x2-3x=x+1
(2) 方程化为 5x2-4x-1=0，
a=5，b=-4，c=-1.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0，
方程有两个不等的实数根
即x1=1，x2=
随堂练习
4.用公式法解下列方程：
(3) x2+17=8x
(3) 方程化为 x2-8x+17=0，a=1，b=-8，c=17.Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0，
方程无实数根.
随堂练习
5.某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2021年投入新产品开发研究资金为4000万元，2023年销售总额为7.2亿元，求该集团2021年到2023年的年销售总额的平均增长率．
解：设平均增长率为x， （1+x）2=720000000，
即50（1+x）2=72 解得x=20%，
∴年销售总额的平均增长率是20%．
课后小结
公式法
用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
概念
根的判别式与一元二次方程根的情况
求根公式的概念
公式法的概念
公式法解一元二次方程的步骤
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