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（人教版）数学
九年级
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第二十一章 一元二次方程
　21.1 一元二次方程
目录
课后小结
随堂练习
知识讲解
情境导入
学习目标
1
3
5
2
4
学习目标
1.知道一元二次方程及一元二次方程的根的概念；（重点）
2.能将一元二次方程化为一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项；
3.理解一元二次方程根的概念，能根据实际问题列出一元二次方程。（难点）
情境导入
什么是一元一次方程？
有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程.
一元一次方程的一般形式是什么？
ax+b=0(a≠0)
情境导入
请观察下面两个方程并回答问题：
x2+2x-1=0 x2-36x+35=0
(1)它们是一元一次方程吗？
(2)与一元一次方程有什么不同？
(3)通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
不是
未知数的最高次数是2
①都是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.
知识讲解
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程一般形式：
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
知识点1　一元二次方程概念及一般形式
知识讲解
知识点1　一元二次方程概念及一般形式
一元二次方程必须同时满足以下三个条件：
（1）是整式方程；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
知识讲解
知识点1　一元二次方程概念及一般形式
【例 1】判断下列方程是不是一元二次方程？
(1)x2+y+6=0
(2)x3+2x=0
(3)x2+x+1=0
(4)x2=5x+3
(5)(x-2)(x+2)=x(x-3)
提示：先化简，再观察未知数的最高次数
知识讲解
知识点1　一元二次方程概念及一般形式
【例 1】判断下列方程是不是一元二次方程？
(1)x2+y+6=0
(2)x3+2x=0
(3)x2+x+1=0
(4)x2=5x+3
(5)(x-2)(x+2)=x(x-3)
(5)去括号，得x2-4=x2-3x，移项，得3x-4=0.
不是，含有两个未知数
不是，未知数最高次数是3
是，符合一元二次方程的概念
是，符合一元二次方程的概念
不是，未知数最高次数是1
知识讲解
知识点1　一元二次方程概念及一般形式
【例 2】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项、一次项系数及常数项.
(1)(x+2)(x -1)=6 （2）2x2=5x-6
解：(1)去括号，得x2+x-2=6，
移项，得x2+x-8=0.
二次项为x2； 一次项系数为1；常数项为-8.
知识讲解
知识点1　一元二次方程概念及一般形式
【例 2】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项、一次项系数及常数项.
(1)(x+2)(x -1)=6 （2）2x2=5x-6
(2)移项，得2x2-5x+6=0.
二次项为2x2 ；一次项系数为-5；常数项为6.
注意：项及系数都包含前面的符号.
知识讲解
知识点1　一元二次方程概念及一般形式
【例 3】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和它们的系数以及常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：系数和项均包含前面的符号.
知识讲解
知识点2　一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法是：将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解.
知识讲解
知识点2　一元二次方程的根
【例 4】下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解：3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
知识讲解
知识点2　一元二次方程的根
【例 5】已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0，
9+4a=0，
4a=-9，
知识讲解
知识点2　一元二次方程的根
【例 6】若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.
二次项系数不为零
不容忽视
解：将x=0代入方程，得m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
知识讲解
知识点3　根据实际问题列出一元二次方程
建立一元二次方程的模型的一般步骤：
应用题中列一元二次方程一般步骤归纳为 审、设、列.
（1）审——审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系；
（2）设——设未知数；
（3）列——根据题目中的等量关系，列出方程.
知识讲解
知识点3　根据实际问题列出一元二次方程
【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感.求每轮传染中平均一人传染了几人？
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？
知识讲解
知识点3　根据实际问题列出一元二次方程
【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感.求每轮传染中平均一人传染了几人？
解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x 人.
由题意得1+x+x(1+x)=64，整理得：x2+2x-63=0.
知识讲解
知识点3　根据实际问题列出一元二次方程
【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形
（2）设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x) m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06,
整理，得x2-0.5x+0.06=0.
知识讲解
知识点3　根据实际问题列出一元二次方程
【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？
（3）设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得 x(x-1)÷2=10，
整理，得x2-x-20=0.
随堂练习
1.下列方程中不是一元二次方程的是( )
A.(x+1)(x-2)=2x2 B.x2+x+4=0
C.x2=x-1 D.(2x-1)2=2x(2x-1)
D
解析：A选项化简后为x2+x+2=0,是一元二次方程。
B选项是一元二次方程。
C选项化简后为x2-x+1=0,是一元二次方程。
D选项化简后为2x-1=0,不是一元二次方程。
随堂练习
2.指出下列方程满足什么条件时是关于x的一元二次方程：
（1）2ax（x-1）-5=-3ax （2）mx2+2mx-m-x2=-1
（3）（k2+1）x2+3x-2=0 （4）x2+3ax+ay-5=0．
解：（1）由原方程得到：2ax2+ax-5=0，则当a≠0时，该方程是一元二次方程；
（2）由原方程得到：（m-1）x2+2mx-m+1=0，则m-1≠0即m≠1时，该方程是一元二次方程；
随堂练习
2.指出下列方程满足什么条件时是关于x的一元二次方程：
（1）2ax（x-1）-5=-3ax （2）mx2+2mx-m-x2=-1
（3）（k2+1）x2+3x-2=0 （4）x2+3ax+ay-5=0．
（3）k为任意实数；
（4）由题意得，y的系数为0，即a=0时，该方程是一元二次方程．
随堂练习
3.如果方程(m+4)x|m|-2+(m-1)x+3m-1=0是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
解：由题意可知：|m|-2=2，
故二次项系数为8，一次项系数为3，常数项为11.
所以m=4,此时方程为：8x2+3x+11=0.
当m=-4时，m+4=0,此时方程是一元一次方程，故舍去，
解得m=4或m=-4.
随堂练习
4.下列哪些数是方程 x2+x-12=0 的根？
-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4
解：把数值代入方程中，能使方程左右两边相等的便是根.
当代入-4和3时方程左右两边相等：
(-4)2-4-12=0；
所以-4和3是方程 x2+x-12=0 的根.
32+3-12=0；
随堂练习
5.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（ ）
A. x2+130x+1400=0 B. x2+65x-350=0
C. x2-130x-1400=0 D. x2-65x-350=0
B
解析：根据题意挂图的长为80+2x,宽为50+2x,
因此(80+2x)(50+2x)=5400，化简后为x2+65x-350=0.
课后小结
一元二次方程
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的定义
是整式方程
只含有一个未知数
一元二次方程的根
未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0(a≠0)
使方程左右两边相等的未知数的值
根据实际问题列
一元二次方程
审、设、列
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