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第二章　函数
第一节　函数的概念及表示
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．
2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　若两个函数的定义域和值域都相同，那么这两个函数是同一函数吗？请举例说明．
【问题2】　请你将函数f(x)＝|x＋1|用分段函数形式表示？并用图象法表示．
关键能力·题型剖析
题型一函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，1) D．(－1，1]
(2)[2024·河北衡水模拟]已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
求函数定义域的策略
巩固训练1
(1)[2024·河南周口模拟]函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．{x|x≥－1}
B．{x|－10}
C．{x|x>－1}
D．{x|－1≤x<0或x>0}
(2)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　)
A．{x|x>2或x<0} 　 B．
C．{x|x>2} 　 D．
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是一次函数，并且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．
(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)．
[听课记录]
题后师说
求函数解析式的方法
巩固训练2
(1)已知f()＝，则f(x)＝(　　)
A．(x＋1)2(x≠1) 　 B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) 　 D．x2＋x＋1(x≠1)
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．
(3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．
题型三 分段函数
角度一　分段函数求值
例3 (1)[2024·江西上饶模拟]若函数f(x)＝，则f(f(－2))＝(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
(2)函数f(x)＝，则f(－8)＝(　　)
A．4　　　B．2　　　C．8　　　D．6
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
巩固训练3
已知函数f(x)＝，则f(f(4))＝(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2
角度二　分段函数与方程、不等式
例4 (1)已知f(x)＝，若f(f(1))＝f(－1)，则实数a的值为(　　)
A．－ B．－4或－
C．－4 D．不存在
(2)[2024·黑龙江大庆模拟]已知函数f(x)＝，若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A．[，＋∞)
B．(－∞，－]
C．[0，]
D．(－∞，]
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
巩固训练4
(1)[2024·吉林通化模拟]已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解集为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知f(x)＝，则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－2，0]
C．[－2，2) D．(0，2]
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
2．函数f(x)＝＋x0的定义域是(　　)
A．(－1，1) B．[－1，1]
C．[－1，0)∪(0，1] D．(-1，0)∪(0，1)
3．已知函数f(x)＝，则f(f(1))＝(　　)
A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5
4．设函数f(x)满足f ()＝1＋x，则f(x)的表达式为(　　)
A． B．
C． D．
5．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
状元笔记 求函数值域的一般方法
方法一　分离参数法
【典例1】　函数f(x)＝的值域为(　　)
A．(－∞，，＋∞)
B．(－∞，，＋∞)
C．(－∞，－，＋∞)
D．(－∞，，＋∞)
[解析]　依题意，f(x)＝＝＝＝－·，由于－·的值域为(－∞，0)故函数f(x)的值域为(－∞，，＋∞)．
[答案]　D
方法二　配方法
【典例2】　函数f(x)＝的值域为________．
[解析]　因为＝，所以0≤，所以函数的值域为[0，].
[答案]　[0，]
方法三　换元法
【典例3】　函数y＝2x－的值域为(　　)
A．(－∞，－] B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[解析]　函数的定义域是{x|x≥1}，令＝t，则t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋，
因为t≥0，所以y≥.
[答案]　D
方法四　单调性法
【典例4】　函数y＝的值域为________．
[解析]　因为，
所以－2≤x≤3，
所以此函数的定义域为[－2，3]，
又因为y＝－是减函数，
当x＝－2时，y＝－取得最大值，
当x＝3时，y＝－取得最小值－，
所以值域为[－， ].
[答案]　[－， ]
方法五　基本不等式法
【典例5】　函数y＝(x>1)的值域为________．
[解析]　y＝＝(x－1)＋＋4，
∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝(x－1)＋＋4≥2＋4，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．
∴函数的值域为[2＋4，＋∞)．
[答案]　[2＋4, ＋∞)
第二章　函数
第一节　函数的概念及表示
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：不是．例如函数y＝x与函数y＝2x的定义域和值域都是R，但这两个函数不是同一函数．
【问题2】　提示：f(x)＝
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)由题意得，
解得，故定义域为(－1，1)．
(2)因为函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，又函数y＝＋(x－2)0有意义，
则有，解得1所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)
答案：(1)C　(2)C
巩固训练1　解析：(1)要使函数有意义，则，解得x>－1且x≠0，
所以函数的定义域为{x|－10}．
(2)要使f(x)＝lg 有意义，则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则，解得≤x<2，
所以函数g(x)的定义域为.
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：(1)设u＝＋1，则＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴解得或
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(3)(构造法)∵2f(x)＋f()＝2x，①
将x换成，则换成x，
得2f()＋f(x)＝.②
由①②消去f()，得3f(x)＝4x－.
∴f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．
巩固训练2　解析：(1)f()＝＝()2－＋1.令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，
即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)对 x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，①
所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，②
由①②解得f(x)＝x＋1.
答案：(1)C　(2)x2－x＋2　(3)x＋1
例3　解析：(1)由函数f(x)＝得f(－2)＝4＋9＝13，
∴f(f(－2))＝f(13)＝log216＝4.
(2)因为f(x)＝，
所以f(－8)＝f(－5)＝f(－2)＝f(1)＝2.
答案：(1)A　(2)B
巩固训练3　解析：f(x)＝，f(4)＝－3＝－1，f(f(4))＝f(－1)＝1＋1＝2.
答案：D
例4　解析：(1)由题意，f(1)＝a＋3，f(－1)＝，即f(a＋3)＝.
当a＋3≥0，即a≥－3时，f(a＋3)＝a＋3(a＋3)＝4a＋9＝，解得a＝－，满足题意；
当a＋3<0，即a<－3时，f(a＋3)＝2a＋3＝，解得a＝－4，满足题意．
所以a＝－或－4.
(2)因为f(2a－1)－1≤0 f(2a－1)≤1.
①当2a－1≥1时，f(2a－1)＝ln (2a－1)≤1 1≤a≤.
②当0≤2a－1<1时，f(2a－1)＝0≤1 ≤a<1.
③当2a－1<0时，f(2a－1)＝2a－1≤1 a<.
综上所述a≤.
答案：(1)B　(2)D
巩固训练4　解析：(1)当x≥0时，f(x)＝x2＝，解得x＝或x＝－(舍去)，当x<0时，f(x)＝＝，解得x＝(舍去)，故解集为.
(2)方法一　当x≤0时f(x)＝2x＋3，不等式f(x)≥－1可化为2x＋3≥－1，解得x≥－2，又x≤0，所以－2≤x≤0；
当x>0时，f(x)＝－(x－1)2，不等式f(x)≥－1可化为－(x－1)2≥－1，解得0≤x≤2，又x>0，所以0综上，使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2，2].
方法二　函数f(x)的图象如图所示，虚线表示y＝－1，函数f(x)图象在虚线y＝－1及以上的部分中x的取值范围即不等式f(x)≥－1的解集．
由图可知，x的取值范围就是点A的横坐标与点B的横坐标之间的范围．
在y＝2x＋3中，令y＝－1，得x＝－2，所以点A的横坐标为－2.
在y＝－(x－1)2中，令y＝－1，得x＝0(舍去)或x＝2，
所以点B的横坐标为2，所以使不等式f(x)≥－1成立的x的取值范围是[－2，2].
答案：(1)A　(2)A
随堂检测
1．解析：根据函数的定义知道，一个自变量只能有对应的一个函数值；反之，一个函数值可以有不同的自变量．
答案：C
2．解析：函数f(x)＝＋x0，
则，即，即f(x)的定义域是(－1，0)
答案：D
3．解析：当x＝1时，f(1)＝21＋1＝3，当x＝3时，f(3)＝|3－5|＝2，所以f(f(1))＝f(3)＝2.
答案：A
4．解析：令＝t，则x＝，代入f ()＝1＋x，
得f(t)＝1＋＝，
即f(x)＝.
答案：A
5．解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，+∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，+∞)第二节　函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
2．掌握函数单调性的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　请你写出函数y＝x＋的单调区间．
【问题2】　你能想起用函数单调性的定义来证明函数单调性的一般步骤吗？
关键能力·题型剖析
题型一 求函数的单调区间
例1 (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝ (－x2＋4x＋5)；
(3)f(x)＝x－ln x.
[听课记录]
题后师说
(1)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性法；④导数法．
(2)求函数的单调区间，定义域优先．
巩固训练1
(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是(　　)
A．[，＋∞)
B．[1，]和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和[，2]
D．(－∞，)和[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[1，3] D．[－1，1]
题型二 单调性的判断与证明
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
[听课记录]
题后师说
(1)判断函数单调性的方法
①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．
(2)证明函数单调性的方法
①定义法；②导数法．
巩固训练2
已知函数f(x)＝.判断f(x)在[0，＋∞)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断．
题型三 函数单调性的应用
角度一　比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
巩固训练3
[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)的定义域为R，若对 x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则f(1)，f(2)与f(4)的大小关系是(　　)
A．f(4)C．f(1)角度二　求函数的最值
例4 函数f(x)＝x＋在区间[－，2]上的最大值为(　　)
A．　　　B． C．3　　　D．4
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．
巩固训练4
函数f(x)＝在x∈[1，4]上最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　)
A．　 　 B．2 C．　 　 D．
角度三　解函数不等式
例5 [2024·辽宁葫芦岛模拟]已知函数f(x)＝，则关于x的不等式f(1－x)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
巩固训练5
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______．
角度四　求参数的取值范围
例6 [2024·黑龙江哈尔滨九中模拟]若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(1，2) D．(1，2]
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
利用单调性求参数的取值范围，根据单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
巩固训练6
若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
1.下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝－|x|
2．函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是(　　)
A．　 B．2，5
C．1，2 　 D．
3．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)
A．[1，2] B．[－1，0]
C．(0，2] D．[2，＋∞)
4．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是(　　)
A．[－4，1)　B．(1，4]　C．(1，2]　D．(1，＋∞)
5．若函数f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是______．
第二节　函数的单调性与最值
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，0)和(0，1)．
切记：当函数有多个不连续的单调区间时，不能用符号“∪”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
【问题2】　提示：第一步：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1第二步：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
第三步：确定f(x1)－f(x2)的符号．
第四步：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断函数的单调性．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)∵f(x)＝其图象如图所示，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(2)由－x2＋4x＋5>0得－1(3)由题意，得x>0.y′＝1－＝.
x (0，1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 ＋
y ↘ 极小值 ↗
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
巩固训练1　解析：(1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如图所示，
函数的单调递减区间是(－∞，1]和[，2].
(2)函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定义域为[－1，3]，
因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f(x)＝在[－1，1]上单调递增．
答案：(1)C　(2)D
例2　解析：方法一　设－1f(x)＝a()＝a(1＋)，
则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)方法二　f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
巩固训练2　解析：f(x)在[0，＋∞)上单调递增，证明如下：
设任意的0≤x1f(x1)－f(x2)＝＝，
因为0≤x1故x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
例3　解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．
所以a＝f(－)＝f()，f(2)>f()>f(3)，
所以b＞a＞c.
答案：D
巩固训练3　解析：因为对 x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f[1－(－2)]＝f(3)，
又因为f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且2<3<4，
所以f(4)答案：A
例4　解析：设t＝x＋1，则问题转化为求函数g(t)＝t＋－1在区间[，3]上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数g(t)在区间[，2]上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，所以＝max＝max＝.
答案：B
巩固训练4　解析：因为y＝在[1，4]上是增函数，所以M＝f(x)max＝f(4)＝2－＝，m＝f(x)min＝f(1)＝0.因此M－m＝.
答案：A
例5　解析：当x≤3时，f(x)＝x2－3x在(－∞，]上单调递减，在[，3]上单调递增，
当x>3时，f(x)＝x－1是增函数，且×3－1＝0＝f(3)，
因此函数f(x)在(－∞，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，而1－x<2－x，
则当1－x≥，即x≤－时，恒有f(1－x)当x>－时，2－x<≤3，不等式化为(1－x)2－3(1－x)<(2－x)2－3(2－x)，解得x<0，则－所以不等式f(1－x)答案：(－∞，0)
巩固训练5　解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得0答案：(－，－2)∪(2，)
例6　解析：当x<4时，函数f(x)＝ax－3单调递增，
所以a>1，
当x≥4时，f(x)＝x＋－3，是单调递增函数，
所以≤4，所以0当x＝4时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，
所以a≤4＋－3，
解得a≤，
综上所述实数a的取值范围是(1，].
答案：B
巩固训练6　解析：由函数f(x)＝＝＝1＋，
因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增，则满足，解得1≤a<2，
所以实数a的取值范围为[1，2)．
答案：[1，2)
随堂检测
1．解析：根据函数f(x)＝－的图象可知，其单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，所以A对．
因为抛物线f(x)＝x2－3x的单调递增区间为[，＋∞)，单调递减区间为(－∞，)，所以该抛物线在x∈(0，＋∞)上不单调，所以B错；
因为直线f(x)＝3－x的斜率为－1，所以在x∈(0，＋∞)上为减函数，所以C错；
根据函数f(x)＝－|x|的图象可知其在x∈(0，＋∞)上为减函数，所以D错．
答案：A
2．解析：∵y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，且y＞1，
∴f(x)＝在区间[1，2]上单调递减，
∴函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f(1)＝＝，f(2)＝＝.
答案：A
3．解析：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x，则函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
当x>2时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1，2].
答案：A
4．解析：∵函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，
∴－4≤a＋1<2a≤4，解得1答案：C
5．解析：由题意知， 1≤a≤2，
所以a的取值范围为[1，2].
答案：[1，2]第三节　函数的奇偶性、周期性
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．
2．会依据函数的性质进行简单的应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的什么条件？请说明理由．
【问题2】　对f(x)定义域内任一自变量的值x，请证明：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
关键能力·题型剖析
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝.
[听课记录]
题后师说
判断函数奇偶性的方法
巩固训练1
(1)下列函数中，为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝ 　　　 B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
(2)[2024·河南开封模拟]函数f(x)满足f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x＋1)－2 B．f(x＋2)－2
C．f(x－2)＋2 　 D．f(x＋1)＋2
题型二 函数奇偶性的应用
角度一　利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋3x，则f(x)的解析式为______．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
(1)求参数：根据f(－x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，再求出参数的值．在解答选择题、填空题时，一般选用特值法，如函数f(x)为奇函数(在x＝0处有定义)，则用f(0)＝0求解等．
(2)求解析式(或函数值)：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
巩固训练2
(1)[2024·山东临沂模拟]已知函数f(x)＝x＋是偶函数，则m＝________．
(2)已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当0角度二　利用奇偶性解不等式
例3 [2024·河北石家庄模拟]若偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－2，2)
B．(－2，0)∪(2，+∞)
C．(－∞，－2)∪(2，+∞)
D．(－∞，－2)∪(0，2)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
利用奇偶性可画出另一对称区间上的函数图象及判断另一区间上函数的单调性．
巩固训练3
[2024·河南开封模拟]已知函数f(x)＝＋a是奇函数，则不等式f(2x－1)>－的解集为________．
题型三 函数的周期性
例4 [2024·山西晋中模拟]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
[听课记录]
题后师说
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
巩固训练4
(1)[2024·黑龙江佳木斯模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，且当x∈[0，4)，f(x)＝x＋1，则f(2 023)＝______．
(2)[2024·江苏无锡模拟]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[－1，0)时，f(x)＝()x－1，则当x∈(2，3]时，f(x)＝________．
1.[2023·安徽合肥模拟]已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)＝(　　)
A．e B．－e
C．e＋1 D．－e－1
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(47)＝(　　)
A．2 B．0
C．1 D．－1
3．[2023·全国乙卷]已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．[2023·河北邯郸一模]已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
5．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
第三节　函数的奇偶性、周期性
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：必要不充分条件
因为偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
【问题2】　提示：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－(－f(x))＝f(x)，
∴T＝2a.
(2)∵f(x＋a)＝，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，
∴T＝2a.
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)由，得－2≤x≤2，且x≠0，
所以f(x)的定义域为[－2，0)关于原点对称，
所以f(x)＝＝＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)对于函数f(x)＝，所以x＝±1，其定义域为{－1，1}，关于原点对称．
因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
①当x＝0时，－x＝0，
所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；
②当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
③当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
综上，可知函数f(x)为奇函数．
巩固训练1　解析：(1)选项A中，函数定义域是{x|x≠1}，函数没有奇偶性；
选项B中，函数定义域是(－∞，＋∞)，f(－x)＝＝＝f(x)，是偶函数；
选项C中，函数定义域是{1}，函数没有奇偶性；
选项D中，函数定义域是{x|x≠0}，f(－x)＝－x－＝－f(x)，函数是奇函数．
(2)A：f(x＋1)－2＝－2＝，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
B：f(x＋2)－2＝－2＝，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且＝－，符合；
C：f(x－2)＋2＝＋2＝，定义域为{x|x≠4}，不关于原点对称，不符合；
D：f(x＋1)＋2＝＋2＝，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合．
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：(1)设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，关于原点对称，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
(2)根据题意可知，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2＋3(－x)＝－x2－3x，
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
因此当x<0时，f(x)＝－x2－3x，所以f(x)的解析式为f(x)＝.
答案：(1)B　(2)f(x)＝
巩固训练2　解析：(1)由ex－1≠0得f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}，
则∵f(x)＝x＋是偶函数，故f(－1)＝f(1)，
即－1＋＝1＋，解得m＝2.
此时f(x)＝x＋＝，而f(－x)＝＝f(x)，
故f(x)为偶函数，故m＝2.
(2)当－1≤x<0时，0<－x≤1，
因为函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
故f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－1)]＝－x2－x.
答案：(1)2　(2)－x2－x
例3　解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以＝<0，且x≠0，
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－2)＝f(2)＝0，
当x>0时，则f(x)<0＝f(2)，故x>2，
当x<0时，则f(x)>0＝f(－2)，故－2综上<0的解集为(－2，0)
答案：B
巩固训练3　解析：由题意，函数f(x)＝＋a为奇函数，可得f(0)＝＋a＝＋a＝0，
解得a＝－，即f(x)＝，其定义域为x∈R，经检验满足题意；
因为f(x)＝为减函数，且f(1)＝＝－，
所以不等式f(2x－1)>－等价于f(2x－1)>f(1)，
即2x－1<1，解得x<1，所以不等式f(2x－1)>－的解集为(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
例4　解析：(1)证明：f(x＋2)＝－f(x) f(x＋2＋2)＝－f(x＋2) f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当x∈[－2，0]时，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝x2＋2x，
当x∈[2，4]时，f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，
因为函数f(x)的周期为4，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0.
巩固训练4　解析：(1)由f(x)＝可得f(x＋4)＝，所以f(x＋8)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且周期为8，
f(2 023)＝f(－1)＝＝.
(2)当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，
则f(－x)＝()－x－1＝2x－1，
因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝2x－1；
当x∈(2，3]时，x－2∈(0，1]，则f(x－2)＝2x－2－1，
又f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)＝2x－2－1.
答案：(1)　(2)2x－2－1
随堂检测
1．解析：函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
答案：B
2．解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，
所以函数f(x)的周期为4，所以f(47)＝f(4×12－1)＝f(－1)，
因为f(x)＝－f(x＋2)，所以f(－1)＝－f(1)＝－log22＝－1.
答案：D
3．解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.
答案：D
4．解析：因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．
因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．
因为f(1－2x)所以－7<1－2x<5，解得x<3.故选A.
答案：A
5．解析：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，
故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)，
所以x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1.
答案：1第四节　函数的对称性
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．
2．会利用对称公式解决问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】　已知函数f(x)是奇函数，则函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称．反之，已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的图象关于什么对称？
【问题2】　已知函数f(x)是偶函数，则函数f(x＋1)的图象关于直线x＝ －1对称．反之，已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的图象关于什么对称？
关键能力·题型剖析
题型一 轴对称问题
例1 (1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．－1
(2)[2024·安徽芜湖模拟]已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，且y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则(　　)
A．f(1)>f(0) B．f(2)>f(0)
C．f(－2)f(0)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．
巩固训练1
(1)定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　)
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
(2)已知f(x＋1)是R上的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x＋1，则f(1.4)＝(　　)
A．1.4 B．3.4
C．1.6 D．3.6
题型二 中心对称问题
例2 (1)已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称．当x>0时，f(x)＝，则f(－2)＝(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点()成中心对称．
巩固训练2
(1)[2024·北京海淀模拟]下列函数中，没有对称中心的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x3
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝2|x|
(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，1)对称，则b＝(　　)
A．－1　　B．1 C．－2　　D．2
题型三 两个函数的图象的对称问题
例3 [2024·江西南昌模拟]设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－5)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　　)
A．直线y＝3对称 B．直线x＝3对称
C．直线y＝2对称 D．直线x＝2对称
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
巩固训练3
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　)
A．关于x＝1对称 B．关于x＝3对称
C．关于y＝3对称 D．关于(3，0)对称
1.下列函数与y＝ex关于x＝1对称的是(　　)
A．y＝ex－1 B．y＝e1－x
C．y＝e2－x D．y＝ln x
2．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　)
A．(－1，2) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，1)
3．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)
A．f(－1)C．f(2)4．定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[0，1)时，f(x)＝，则f(－)＝(　　)
A．　　　B． C．－　 　 D．－
5．已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，且当x≥2时，f(x)＝x2－6x＋5，则f(1)＝______．
第四节　函数的对称性
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：关于点(1，0)对称．
【问题2】　提示：关于直线x＝1对称．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知：f(x)关于x＝对称，
那么要求函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和，
即求函数f(x)在[1，3]上的最大值与最小值之和，
因为f(x)＝log2(3x－1)单调递增，所以最小值与最大值分别为：f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.
(2)y＝f(x＋1)是偶函数，则y＝f(x)关于x＝1对称，
又因为y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，1)上单调递减，
所以f(1)f(0)，
根据函数y＝f(x)关于x＝1对称，可知，f(2)＝f(0)，则f(－2)>f(2)，只有D正确．
答案：(1)C　(2)D
巩固训练1　解析：(1)因为f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(3)＝f(1)，
由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，
所以f(－1)(2)因为f(x＋1)是R上的偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称，
当0≤x≤1时，f(x)＝x＋1，
所以f(1.4)＝f(0.6)＝0.6＋1＝1.6.
答案：(1)A　(2)C
例2　解析：(1)因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，
所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1.
(2)因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0，1)对称，则交点关于(0，1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
答案：(1)C　(2)4
巩固训练2　解析：(1)f(x)＝的对称中心是(－1，0)，A不正确；f(x)＝x3的对称中心是(0，0)，B不正确；f(x)＝tan x的对称中心是(，0)，k∈Z，C不正确；f(x)＝2|x|结合指数型函数的图象可知函数无对称中心，D选项正确．
(2)∵f(x)图象关于点(1，1)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝2，
又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b
＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，
∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝2，
∴，解得a＝－3，b＝2.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：函数y＝f(1－x)是由y＝f(－x)向右平移一个单位得到，
函数y＝f(x－1)是由y＝f(x)向右平移一个单位得到，
又函数y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，
所以函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)关于直线x＝1对称，
又y＝f(x－5)是由y＝f(x－1)向右平移4个单位，
所以函数y＝f(1－x)与函数y＝f(x－5)关于直线x＝3对称．
答案：B
巩固训练3　解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
答案：A
随堂检测
1．解析：f(x)＝ex关于x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
答案：C
2．解析：函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2)．
答案：A
3．解析：因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)答案：D
4．解析：因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(－2－x)，
因为f(x)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝，
所以f(－)＝f(－2＋)＝f(－)＝－f()＝－＝－.
答案：C
5．解析：因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，
所以当x＝1时，f(1)＝f(3)＝32－6×3＋5＝－4.
答案：－4第五节　二次函数与幂函数
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．
2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
问题思考·夯实技能
【问题1】　幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，这种说法对吗？
【问题2】　设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]，
(1)当－≤m时，最小值和最大值分别是多少？
(2)当m<－时，最小值和最大值分别是多少？
(3)当<－≤n时，最小值和最大值分别是多少？
(4)当－>n时，最小值和最大值分别是多少？
关键能力·题型剖析
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)已知幂函数y＝(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p，q均为奇数，且>0
B．q为偶数，p为奇数，且<0
C．q为奇数，p为偶数，且>0
D．q为奇数，p为偶数，且<0
(2)[2024·河南许昌模拟]已知函数f(x)＝是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则实数m的值为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂函数值的大小时，必须结合幂函数的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
巩固训练1
(1)已知函数f(x)＝g(x)＝f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　)
(2)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．a题型二 二次函数
角度一　二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[听课记录]
题后师说
求二次函数解析式的三个策略
巩固训练2
已知二次函数f(x)的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12，则函数f(x)的解析式为______________．
角度二　二次函数的图象
例3 (多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
识别二次函数图象应学会“三看”
巩固训练3
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是(　　)
角度三　二次函数的单调性与最值
例4 [2024·河南南阳模拟]已知函数 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R).
(1)若函数 f(x)在[2a－4，2a－1]上单调，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得函数 f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[听课记录]
题后师说
求二次函数在闭区间上最值的类型及策略
巩固训练4
[2024·河北邯郸模拟]已知函数f(x)＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则m的取值范围是________．
1.已知点(8，2)在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x－1
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．a3．若－14，则函数f(x)＝ax2＋bx－b的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知函数f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)，则(　　)
A．f(0)>f(1) B．f(－2)>f(4)
C．f(－3)>f(1) D．f(－4)>f(1)
5．若函数f(x)＝x2－2x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a－b的值为________．
第五节　二次函数与幂函数
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：对．根据五种幂函数的图象可知，幂函数的图象会出现在第一、第二、第三象限，一定不会出现在第四象限．
【问题2】　提示：(1)最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)最小值为f(－)，最大值为f(n)；(3)最小值为f(－)，最大值为f(m)；(4)最小值为f(n)，最大值为f(m)．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)因为函数y＝的定义域为(－∞，0)且在(0，＋∞)上单调递减，
所以<0，
因为函数y＝的图象关于y轴对称，
所以函数y＝为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确．
(2)因为函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m>0，所以m＝1.
答案：(1)D　(2)1
巩固训练1　解析：(1)因为g(x)＝f(－x)，所以 g(x)图象与f(x)的图象关于y轴对称，
由f(x)解析式，作出f(x)的图象如图，
从而可得g(x)图象为B选项．
(2)由y＝2x，y＝(x>0)单调递增，
则可知a＝>b＝＝，c＝>a＝ c>a>b，即B正确．
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a<0)．∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意f(x)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
巩固训练2　解析：设f(x)＝ax(x－5)，(a>0)其对称轴为直线x＝，又f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12，
所以f(－1)＝6a＝12，a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
答案：f(x)＝2x2－10x
例3　解析：函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝－，与x轴的交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
A中，a<0，－<0，－<0，>0，则a<0，b<0，c<0，
∴abc<0，符合题意；
B中，a<0，－>0，－>0，<0，则a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，符合题意；
C中，a>0，－<0，－<0，>0，则a>0，b>0，c>0，
∴abc>0，不符合题意；
D中，a>0，－>0，－>0，>0，则a>0，b<0，c>0，
∴abc<0，符合题意．
答案：ABD
巩固训练3　解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；
又f(0)＝c<0，排除B.
答案：D
例4　解析：(1)由题意可得 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R)开口向上，对称轴x＝－＝a，
∴函数在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
∵函数 f(x)在[2a－4，2a－1]上单调，
∴2a－1≤a或2a－4≥a，
解得a≤1或a≥4，
∴a的取值范围为(－∞，1]
(2)由题意可得 f(x)＝x2－2ax＋a(a∈R)开口向上，对称轴x＝－＝a，函数在对称轴处取最小值，
f(x)min＝f(a)＝a2－2a·a＋a＝－a2＋a，
若函数 f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－2，
则 f(x)min＝－a2＋a≤－2，解得a≤－1或a≥2，
当a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
此时函数的最小值为f(－1)＝(－1)2－2a×(－1)＋a＝3a＋1＝－2，
解得a＝－1，
当a≥2时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，
此时函数的最小值为f(1)＝12－2a×1＋a＝－a＋1＝－2，
解得a＝3，
综上，存在实数a＝－1或a＝3，使得函数f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－2.
巩固训练4　解析：由已知f(x)＝－x2＋4x＋2对称轴为x＝4，
当m≥4时，f(x)＝－x2＋4x＋2最大值为f(4)＝10，符合题意；
当m<4时，f(x)＝－x2＋4x＋2最大值为f(m)＝－m2＋4m＋2＝10，解得m＝4(舍去)；
综上m≥4.
答案：[4，＋∞)
随堂检测
1．解析：由题意可得解得所以f(x)＝.
答案：B
2．解析：因为a＝＝<1，b＝>1，c＝＝<1，
又0<<<<1，y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以c＝<＝a.
综上，c答案：A
3．解析：对于函数f(x)＝ax2＋bx－b，因为－14，
则对称轴为x＝－>2，Δ＝b2＋4ab＝b(b＋4a)>0，且f(0)＝－b<0，
所以函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，且交y轴负半轴，
故函数经过一、三、四象限，不经过第二象限．
答案：B
4．解析：f(x)＝ax2＋2ax－3(a>0)对称轴为x＝－1，
则f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，
f(0)答案：D
5．解析：因为f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，对称轴为x＝1，开口向上，
所以函数在[1，b](b>1)上单调递增，
又因为定义域和值域均为[1，b](b>1)，
所以即解得(舍去)或
所以a－b＝0.
答案：0第六节　指数与指数函数
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．
2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　试判断下面的运算是否正确？若不正确，请纠正．
＝(－)－1＝－.
【问题2】　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，
请你写出底数a，b，c，d与1之间的大小关系，并指出在第一象限内底数与图象的关系．
关键能力·题型剖析
题型一 指数幂的运算
例1 (1)计算：(7+4)0＋ －2×＋×－1；
(2)化简：×.
[听课记录]
题后师说
巩固训练1
(1)计算：＋()－2－(3－π)0＋)6；
(2)化简：·b－2·b－1).
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)[2024·河北衡水模拟]已知a>0，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是(　　)
(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式练习】　将本例(2)改为：若曲线y＝3|x|＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________．
题后师说
与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应的指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
巩固训练2
若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)
A．00 B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
题型三 指数函数的性质及应用
角度一　比较指数式的大小
例3 的大小关系是(　　)
A.
B.
C.
D.
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度二　解简单的指数方程或不等式
例4 [2024·河北保定模拟]若x满足不等式2x2＋1≤()x－2，则函数y＝2x的值域是(　　)
A．[，2) B．[，2]
C．(－∞，] D．[2，＋∞)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度三　指数函数性质的综合应用
例5 [2024·河北衡水模拟]已知函数f(x)＝ax－k·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数，且f(1)＝.
(1)求a，k的值；
(2)若对于 x∈[1，2]，不等式f(2x)＋mf(x)≥0成立，求m的取值范围．
[听课记录]
题后师说
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
巩固训练3
(1)[2024·广西南宁模拟]已知函数f(x)＝，则(　　)
A．f(0.1)>f(0.2)
B．函数f(x)有一个零点
C．函数f(x)是偶函数
D．函数f(x)的图象关于点()对称
(2)已知奇函数f(x)＝ax＋b·a－x(a>0，且a≠1)，在[－1，1]上的最大值为，则a＝________．
1.[2024·广东中山模拟]设a>0，将表示成指数幂的形式，其结果是(　　)
A. B. C. D.
2．下列大小关系正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．1.70.3<0.93.1
C．1.52.5<1.53.2 D．0.6－1.2>0.6－1.5
3．[2024·河北邢台模拟]设A＝{x<()x<3}，B＝，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)
4．[2024·江苏盐城模拟]设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　)
A．(0，) B．(－∞，)
C．(－∞，) D．(0，)
5．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
第六节　指数与指数函数
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：不正确．＝＝＝.
【问题2】　提示：c>d>1>a>b>0.在第一象限内，底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)－2×＋×
＝＋
＝1＋23－2×22＋
＝
＝1＋2
＝3.
(2)原式＝÷
＝÷
＝＝a×a＝a2.
巩固训练1　解析：(1)＋()－2－(3－π)0＋)6＝＋32－1＋22×33＝9＋9－1＋4×27＝125.
(2)·b－2·(b－1)
＝b－3
＝b－3)
＝.
例2　解析：(1)由于当x＝1时，f(1)＝a－2a＝－a<0，排除B，C；当a＝2时，f(x)＝2x－4，此时函数图象对应的图形可能为A，当a＝时，f(x)＝()x－1，此时函数图象对应的图形可能为D.
(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，函数y＝|3x－1|上与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为(0，1)．
答案：(1)AD　(2)(0，1)
变式练习　解析：曲线y＝3|x|＋1的图象如图：
由图象可知，曲线y＝3|x|＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
巩固训练2　解析：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零)，即a0＋b－1<0且0∴0答案：C
例3　解析：由y＝()x在R上单调递减，
知，
而，
所以.
答案：B
例4　解析：由≤()x－2可得≤()x－2＝2－2(x－2)＝2－2x＋4，
因为y＝2x在R上单调递增，
所以x2＋1≤－2x＋4即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，
所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是.
答案：B
例5　解析：(1)因为函数是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即a－x－k·ax＝－ax＋k·a－x，得k＝1，
所以f(x)＝ax－a－x，f(1)＝a－a－1＝，得a＝2或a＝－(舍)，
综上，a＝2，k＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2x－2－x，
则22x－2－2x＋m(2x－2－x)≥0，x∈[1，2]恒成立，
(2x＋2－x)(2x－2－x)＋m(2x－2－x)≥0，2x－2－x>0，x∈[1，2]，
所以2x＋2－x＋m≥0，对 x∈[1，2]恒成立，
即m≥－(2x＋2－x)min恒成立，
设y＝2x＋2－x＝2x＋，令t＝2x，则y＝t＋，
当x∈[1，2]，t∈[2，4]，t＝2x单调递增，当t∈[2，4]，y＝t＋单调递增，
所以y＝t＋的最小值为21＋2－1＝，
所以m≥－.
巩固训练3　解析：(1)函数f(x)＝的定义域为R，
对于A，函数f(x)＝＝1－，函数y＝4x在R上为增函数，易得f(x)在R上为增函数，则有f(0.1)对于B，f(x)＝，有4x>0，则有f(x)>0，所以f(x)没有零点，B错误；
对于C，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函数，C错误；
对于D，因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点()对称，D正确．
(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝(b＋1)(ax＋a－x)＝0，
解得b＝－1，即f(x)＝ax－a－x.当a>1时，函数f(x)＝ax－a－x在[－1，1]上单调递增，则f(1)＝a－a－1＝，解得a＝2.
当0答案：(1)D　(2)2或
随堂检测
1．解析：因为a>0，所以＝＝.
答案：C
2．解析：对于A，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.72.5<1.73，A错误；
对于B，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.70.3>1.70＝1，
函数y＝0.9x在R上单调递减，则0.93.1<0.90＝1，因此>0.93.1，B错误；
对于C，函数y＝1.5x在R上单调递增，则1.52.5<1.53.2，C正确；
对于D，函数y＝0.6x在R上单调递减，则0.6－1.2<0.6－1.5，D错误．
答案：C
3．解析：∵A＝{x<()x<()－1}＝{x|－1a}，∴A B a≤－1.
答案：A
4．解析：由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，
所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·(1－)＝·3b<·3－1＝，又因为·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(0，)．
答案：A
5．解析：当a>1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，
由题意可得f(2)－f(1)＝a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
当 0由题意可得f(1)－f(2)＝a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
综上所述a＝或 a＝.
答案：或第七节　对数与对数函数
1.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．通过实例，了解对数函数的概念，会画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数．
问题思考·夯实技能
【问题1】　利用换底公式化简bn(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R，m≠0)．
【问题2】　如图给出4个对数函数的图象
请你写出底数a，b，c，d与1之间的大小关系，并指出在第一象限内底数与图象的关系．
关键能力·题型剖析
题型一 对数式的运算
例1 (1)[2024·安徽亳州模拟]已知4x＝3y＝m，且＝2，则m＝(　　)
A．3　　　B．6　　　C．12　　　D．18
(2)计算：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－.
[听课记录]
题后师说
对数运算的策略
巩固训练1
(1)[2023·山西忻州模拟]已知3a＝5b＝2，则lg 6＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)计算：(log34＋log278)(log89＋log23)＝________．
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)函数y＝|lg (x＋1)|的图象是(　　)
(2)[2024·江西赣州模拟]已知函数f(x)＝，若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．[10，12] B．(10，12]
C．(10，12) D．[10，12)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
与对数函数图象有关问题的解题策略
巩固训练2
(1)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)[2024·河南开封模拟]已知函数f(x)＝|log3x|，若aA．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
题型三 对数函数的性质及应用
角度一　比较大小
例3 [2024·湖南长郡中学模拟]设a＝log827，b＝log0.50.2，c＝log424，则(　　)
A．aC．a[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度二　解对数方程、不等式
例4 若loga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度三　对数函数的性质及应用
例5 [2024·辽宁沈阳模拟]已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)，(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在区间[0，3]的最小值为－2，求实数a的值．
[听课记录]
题后师说
求与对数函数性质有关问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
巩固训练3
(1)[2024·江苏南通模拟]设函数f(x)＝ln (2ax－x2)在区间(3，4)上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(2，3] D．[2，3]
(2)(多选)[2024·安徽蚌埠模拟]已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于原点对称
B．函数f(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数
D．函数f(x)的值域为[，＋∞)
1.(多选)[2024·河北承德模拟]下列各式中正确的是(　　)
A．10－2lg 3＝ B．log168＝
C．log34·log427＝2 D．＝
2．[2024·江西上饶模拟]已知函数y＝loga(x＋b)(a，b为常数，其中a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝0.5，b＝2 B．a＝2，b＝2
C．a＝0.5，b＝0.5 D．a＝2，b＝0.5
3．若a＝0.30.5，b＝log0.34，c＝log0.50.3，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
4．[2020·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
5．[2024·河北沧州模拟]若lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，则y2＋y3＝________．
第七节　对数与对数函数
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：bn＝＝logab.
【问题2】　提示：b>a>1>d>c>0.在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)由4x＝3y＝m>0得x＝log4m，y＝log3m，
由换底公式可得＝logm4，＝logm3，
则＝logm4＋2logm3＝logm4×32＝2，所以m2＝4×32＝36，
因为m>0，所以m＝6.
(2)log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－
＝·＋lg 5(lg 5＋lg 20)＋lg 24－3
＝＋lg 5·lg (5×20)＋2lg 2－3
＝2＋2lg 5＋2lg 2－3
＝2lg 10－1
＝1.
答案：(1)B　(2)见解析
巩固训练1　解析：(1)∵3a＝5b＝2，∴a＝log32＝，b＝log52＝＝，
∴lg 2＝，lg 3＝＝，
∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝＝＝.
(2)(log34＋log278)(log89＋log23)
＝(log322＋23) (32＋log23)
＝(2log32＋log32)(log23＋log23)
＝(3log32)·(log23)
＝3××log32×log23＝5.
答案：(1)C　(2)5
例2　解析：(1)由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象左移一个单位而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．
(2)不妨设a由图象可知0由f(a)＝f(b)得|lg a|＝|lg b|，即－lg a＝lg b，∴lg ab＝0，则ab＝1，
∴abc＝c，10∴abc的取值范围是(10，12)．
答案：(1)A　(2)C
巩固训练2　解析：(1)∵b>a>1，∴函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过一、四象限，
又因为函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度得到，
而b>1，所以函数y＝loga(x＋b)的图象不经过第四象限．
(2)画出f(x)＝|log3x|的图象如图：
因为a所以－log3a＝log3b，故＝b，且0y＝a＋4b＝a＋，
由对勾函数性质可知：y＝a＋在0故y＝a＋>1＋＝5，
故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：a＝log827＝log227＝log23，b＝log0.50.2＝－log20.2＝log25，c＝log424＝log224＝log2，
因为y＝log2x在定义域上是增函数，且3<<5，故a答案：C
例4　解析：由题意，a>0，a≠1，
∴(－1)2＝a－2＋1>0，
∴a＋1>2，
∴要使loga(a＋1)则令函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，
∴0∴loga(a＋1)∴，
解得∴实数a的取值范围是(，1)．
答案：(，1)
例5　解析：(1)由得－2(2)f(x)＝loga(x＋2)(4－x)，x∈[0，3]，
令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9，
当0≤x≤3，5≤t≤9，
因为0所以f(x)min＝loga9＝－2，
即a－2＝9，所以a＝，
综上得a＝.
巩固训练3　解析：(1)y＝ln t在(0，＋∞)单调递增，故t＝2ax－x2在(3，4)单调递减，则a≤3，
又∵t＝2ax－x2>0在(3，4)恒成立，则8a－16≥0，故a≥2，
∴2≤a≤3.
(2)因为f(x)的定义域为R，
f(x)＝log4(1＋4x)－＝log4＝log4(2－x＋2x)
所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确；
令t＝2x，则y＝log4(t＋)，令s＝t＋，则y＝log4s，
当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数，
又y＝log4s为增函数，所以y＝log4(t＋)为增函数，
又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
又f(x)为R上的偶函数，
所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为[，＋∞)．所以C错误，D正确．
答案：(1)D　(2)BD
随堂检测
1．解析：A：因为10－2lg 3＝＝3－2＝，所以本选项正确；
B：log168＝23＝log22＝，所以本选项正确；
C：log34·log427＝·＝log333＝3，所以本选项不正确；
D：＝＝＝，所以本选项正确．
答案：ABD
2．解析：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以a>1，排除A，C；
又因为函数过点(0.5，0)，
所以b＋0.5＝1，解得b＝0.5.又过(0，－1)，logab＝－1，loga＝－1，所以a＝2.
答案：D
3．解析：根据题意，01，故c>a>b.
答案：D
4．解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)
因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，
所以a≥5.
答案：D
5．解析：因为lg x＝2lg y，lg (x＋y)＝lg y－lg x，所以x＝y2，x＋y＝(x>0，y>0)，
则y2＋y＝，所以y2＋y3＝1.
答案：1第八节　函数的图象
1.会画简单的函数图象．
2．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
问题思考·夯实技能
【问题】　前面已复习过函数图象的变换，请你写出函数y＝|21－x－1|的图象是由函数y＝2x的图象怎样变换得到的？
关键能力·题型剖析
题型一 作函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝()|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝.
[听课记录]
题后师说
图象变换法作图
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
题型二 函数图象的识别
例2 (1)[2024·河北保定模拟]函数f(x)＝的大致图象为(　　)
(2)[2024·河南洛阳模拟]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－2，2]上的大致图象，则该函数是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ 　 D．f(x)＝
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
识别函数图象的四种策略
巩固训练1
(1)[2024·江西鹰潭模拟]函数f(x)＝(2－x－2x)cos x在[－2，2]上的图象大致为(　　)
(2)已知函数f(x)＝的图象如图所示，则下列选项中可能为g(x)的解析式的是(　　)
A.g(x)＝ 　 B．g(x)＝2x－2－x
C．g(x)＝ 　 D．g(x)＝2x＋2－x
题型三 函数图象的应用
角度一　研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度二　解不等式
例4 [2024·江西南昌模拟]已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝f(x－2)＋1，则不等式f(x)A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度三　求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式练习】　若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
题后师说
当方程的解或不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难时，但其对应函数的图象可作出时，常将方程的解或不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
巩固训练2
(1)已知函数f(x)的定义域为[－2，4]，其图象如图所示，则xf(x)<0的解集为(　　)
A.{x|－2≤x<－1} B．{x|－1≤x≤0}
C．{x|1≤x≤3} D．{x|0≤x≤4}
(2)[2024·湖南衡阳模拟]已知函数f(x)＝，若方程f(x)＝a有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
1.[2024·安徽安庆模拟]函数f(x)＝log22x与g(x)＝2－()x在同一直角坐标系下的图象大致是(　　)
2．[2024·河北衡水模拟]函数f(x)＝x[ln (x＋1)－ln (1－x)]的部分图象大致是(　　)
3．已知函数f(x)在区间[－2，2]上的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝(ex－e－x)x
B．f(x)＝(ex－e－x)sin x
C．f(x)＝(ex－e－x)cos x
D．f(x)＝(ex－e－x)x2
4．已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
第八节　函数的图象
问题思考·夯实技能
【问题】　提示：将函数y＝2x的图象作关于y轴对称得到函数y＝2－x的图象，向右平移一个单位，向下平移一个单位，再将x轴下方的部分翻折上去，就得到函数y＝|21－x－1|的图象．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)作出y＝()x的图象，保留y＝()x图象中x≥0部分，加上y＝()x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象(图1)．
(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y＜0的部分关于x轴的对称部分，即得y＝|log2(x＋1)|的图象(图2)．
(3)由y＝得y＝＋2.
作出y＝的图象，将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得y＝＋2的图象(图3)．
例2　解析：(1)因为f(x)＝是由g(x)＝向左平移一个单位得到的，
因为g(－x)＝＝g(x)(x≠0)，
所以函数g(x)＝为偶函数，图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于x＝－1对称，故可排除A，D选项；
又当x<－2或x>0时，2ln |x＋1|>0，(x＋1)2>0，
所以f(x)>0，故可排除C选项．
(2)对于B，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝＝f(x)，函数f(x)是偶函数，B不是；
对于C，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝＝f(x)，函数f(x)是偶函数，C不是；
对于D，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(1)＝<0，D不是；
对于A，x∈[－2，0)∪(0，2]，f(－x)＝＝－＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，且f(1)＝>0，A符合题意．
答案：(1)B　(2)A
巩固训练1　解析：(1)因为f(x)＋f(－x)＝(2－x－2x)cos x＋(2x－2－x)cos (－x)＝(2－x－2x)cos x－(2－x－2x)cos x＝0，
所以函数f(x)为奇函数，故B、D错误；
又因为1∈(0，)，则f(1)＝(2－1－2)cos 1＝－cos 1<0，故C错误．
(2)由函数f(x)＝，可得g(x)＝
对于A中，函数g(x)＝，当x→0＋时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→0，故x＞0时，其函数g(x)为单调递减函数且易知其为奇函数，符合题意；
对于B中，g(x)＝2x－2－x，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，不符合题意；
对于C中，g(x)＝，当x→0＋时，g(x)→，不符合题意；
对于D中，g(x)＝2x＋2－x，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，不符合题意．
答案：(1)A　(2)A
例3　解析：由函数f(x)＝x|x|－2x可得，函数的定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝－x|－x|－2(－x)＝－x|x|＋2x＝－f(x)，故函数为奇函数，
函数f(x)＝x|x|－2x＝，如图所示，
故函数的递减区间为(－1，1)．
答案：C
例4　解析：由题知f(x)＝＋1＝g(x)＝f(x－2)＋1＝在同一坐标系下画出f(x)，g(x)图象如图所示，
由图可知f(x)答案：A
例5　解析：先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为(，1)．
答案：(，1)
变式练习　解析：如图作出函数f(x)的图象，
当－1≤k<时，
直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．
答案：[－1，)
巩固训练2　解析：(1)由图可知，当－2≤x<－1时，f(x)>0，所以xf(x)<0；
当－1≤x≤0时，f(x)≤0，所以xf(x)≥0；
当00，所以xf(x)>0；
故xf(x)<0的解集为{x|－2≤x<－1}．
(2)原题意等价于y＝f(x)与y＝a有四个不同的交点，
作出y＝f(x)的图象，如图所示：
可得：当a<0时，y＝f(x)与y＝a有且仅有一个交点；
当a＝0或a＝1时，y＝f(x)与y＝a有且仅有三个交点；
当0当a>1时，y＝f(x)与y＝a有且仅有两个交点；
综上所述若y＝f(x)与y＝a有四个不同的交点，则实数a的取值范围是(0，1)．
答案：(1)A　(2)(0，1)
随堂检测
1．解析：∵f(x)＝log22x＝1＋log2x为定义域上的单调递增函数，
∴f(1)＝1，故A不成立；
∵g(x)＝2－()x为定义域上的单调递增函数，
∴g(0)＝2－()0＝1，故C和D不成立．
答案：B
2．解析：对于函数f(x)＝x[ln (x＋1)－ln (1－x)]，有，可得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，1)，
x∈(－1，1)，f(－x)＝－x[ln (1－x)－ln (1＋x)]＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，排除AB选项；
当01－x>0，则ln (1＋x)>ln (1－x)，
此时f(x)＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]>0，排除D选项．
答案：C
3．解析：因为(ex－e－x)＋(e－x－ex)＝0，所以y＝ex－e－x为奇函数，
对于选项A：因为y＝x为奇函数，则f(x)＝(ex－e－x)x为偶函数，不合题意，故A错误；
对于选项B：因为y＝sin x为奇函数，则f(x)＝(ex－e－x)sin x为偶函数，不合题意，故B错误；
对于选项D：当x>0时，ex>1，e－x＝<1，x2>0，可得ex－e－x＝ex－>0，
则(ex－e－x)x2>0，
所以当x>0时，f(x)＝(ex－e－x)x2>0恒成立，不合题意，故D错误．
答案：C
4．解析：当x<2时，函数f(x)＝x－1是增函数，函数值集合是(－∞，1)，
当x≥2时，f(x)＝是减函数，函数值集合是(0，1]，
关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，
在坐标系内作出直线y＝k和函数y＝f(x)的图象，如图，
观察图象知，当0即方程f(x)＝k有两个不同的实根，
所以实数k的取值范围为(0，1)．
答案：(0，1)第九节　函数与方程
1.理解函数的零点与方程的解的联系．
2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．
3．了解二分法求方程的近似解．
问题思考·夯实技能
【问题1】　函数零点与方程根有何联系？
【问题2】　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，y＝f(x)在(a，b)内有零点，那么一定有f(a)f(b)<0吗？
关键能力·题型剖析
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式练习】　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过______次二分后精确度达到0.1.
题后师说
判定函数零点所在区间的2种方法
巩固训练1
(1)函数y＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，另一个零点在________内．(　　)
A．(4，5) B．(3，4)
C．(2，3) D．(1，2)
(2)已知函数f(x)＝ln x＋3x－7的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)[2024·河南洛阳模拟]函数f(x)＝－log2x的零点个数为(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　D．3
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，]时，f(x)＝9x－1，则h(x)＝(x－1)f(x)－2在区间[－2 021，2 023]上所有零点之和为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
判定函数零点个数的3种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北唐山模拟]已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)[2024·北京东城模拟]已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
题型三 函数零点的应用
角度一　根据零点个数求参数
例3 [2024·江苏盐城模拟]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－f(－x)有五个零点，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度二　根据函数零点的范围求参数
例4 [2024·山西阳泉模拟]函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点．则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
根据函数零点的情况求参数的方法
巩固训练3
(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(7，＋∞) 　　　 B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(7，+∞) 　 D．(－1，7)
(2)[2024·安徽蚌埠模拟]若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
1.[2024·河北衡水模拟]函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(3，4)　 B．(2，e)
C．(1，2)　　 D．(0，1)
2．[2024·北京朝阳模拟]函数f(x)＝的零点的个数为(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　　D．3
3．[2024·河南焦作模拟]若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，e2) B．(1，2)
C．(1，e2＋1) D．(2，＋2)
4．已知函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－1有3个零点，则实数a的取值范围是________．
状元笔记 嵌套函数的零点问题
对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
一、判断嵌套函数的零点个数
【典例1】　[2024·广东揭阳模拟]函数f(x)＝，则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析]　令t＝f(x)，则f(t)＝1，当t≤1时，由t2－1＝1可得t＝－或t＝(舍去)；当t＞1时，由ln t＝1可得t＝e，所以f(t)＝1的两根为t1＝－，t2＝e，
则f(x)＝－或f(x)＝e，因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)＝－1，若f(x)＝－，易知方程无解，
若f(x)＝e，当x≤1时，由x2－1＝e，得x＝－或x＝(舍去)，
此时方程有唯一的解；
当x＞1时，由ln x＝e，得x＝ee，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2个．
[答案]　A
二、由嵌套函数零点的情况求参数
【典例2】　(多选)[2024·湖南永州模拟]已知函数f(x)＝，若关于x的方程f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a可能的取值有(　　)
A．－ B．
C． D．2
[解析]　当x＜0时，f(x)＝x3－3x，
则f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(－1，0)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
作出f(x)的图象，如图所示，f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝(f(x)－a)(f(x)－a－1)＝0，
即f(x)＝a与f(x)＝a＋1共六个不等实根，
由图可知f(x)＝2时，x＝－1或x＝2，即f(x)＝2有两个根，
若使f(x)＝a与f(x)＝a＋1共六个不等实根，
只需满足，即0＜a＜1.
[答案]　BC
第九节　函数与方程
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点 函数y＝f(x)有零点．
【问题2】　提示：不一定．例如函数f(x)＝x2－1在区间[－2，2]上的图象是连续不断的一条曲线，且在(－2，2)内有零点，但f(－2)f(2)>0.事实上，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，那么“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分不必要条件．
关键能力·题型剖析
例1　解析：由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6在定义域内单调递增，
f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，
则f(2)f(3)<0，
∴零点在区间(2，3)上．
答案：B
变式练习　解析：∵开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.
故有≤0.1，解得n≥4，
∴至少要操作4次．
答案：4
巩固训练1　解析：(1)因为函数f(x)＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，
所以，又因为函数y＝x＋－3在(2，3)连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在(2，3)内．
(2)由题意可知函数f(x)＝ln x＋3x－7在定义域(0，＋∞)内单调递增，
易知f(2)＝ln 2＋3×2－7＝ln 2－1<0，
而f(3)＝ln 3＋3×3－7＝ln 3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，
根据零点存在定理可知，函数f(x)在区间(2，3)内存在零点，
所以可得n＝2.
答案：(1)C　(2)2
例2　解析：(1)由f(x)＝0，得＝log2x，因此函数f(x)的零点即为函数y＝log2x与y＝的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数y＝log2x与y＝的图象，如图，
观察图象知，函数y＝log2x与y＝的图象有唯一公共点，
所以函数f(x)＝－log2x的零点个数为1.
(2)由f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x＋1)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，则f(x)的周期是2，
且f(x＋1)＝f(－x)得x＝是其中一条对称轴，
又x∈时f(x)＝9x－1，于是f(x)图象如图所示，
又函数h(x)＝(x－1)f(x)－2的零点，即为y＝f(x)与y＝的交点的横坐标，
由图知：交点关于(1，0)对称，每个周期都有2个交点，
所以[－2 021，1)、(1，2 023]各有1 011个周期，故各有2 022个交点，它们两两关于(1，0)对称，
所以零点之和为2 022×2＝4 044.
答案：(1)B　(2)4 044
巩固训练2　解析：(1)令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)(图中细实线所示)，y＝(图中粗实线所示)的大致图象如图：
由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，
即函数g(x)有3个零点．
(2)当x≤0时，由f(x)＝x2＋x－2＝0，即(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1(舍)，
当x>0时，由f(x)＝－1＋ln x＝0，解得x＝e，
综上可得，函数f(x)的零点为－2，e.
答案：(1)C　(2)－2，e
例3　解析：当x≥0时，f(x)＝x|x－2|，则－x≤0，f(－x)＝－ax，
此时f(x)－f(－x)＝0 x|x－2|＝－ax，则x＝0或－a＝|x－2|，
当x<0时，f(x)＝ax，则－x>0，f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|，
此时f(x)－f(－x)＝0 －x|x＋2|＝ax，则－a＝|x＋2|，
故问题转为－a＝|x－2|(x≥0)，－a＝|x＋2|，(x<0)共有四个零点，
画出函数图象如图可知，0<－a<2 －2答案：(－2，0)
例4　解析：由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，
所以，即，解得－5所以实数m的取值范围是(－5，－1)．
答案：B
巩固训练3　解析：(1)∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，
∴只需即，
解得－1(2)函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
y＝|2x－2|和y＝b的图象有两个交点，
画出y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图，要有两个交点，那么b∈(0，2)．
答案：(1)D　(2)(0，2)
随堂检测
1．解析：因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．
答案：C
2．解析：当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，
则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3，
当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，
所以f(x)的零点个数为2.
答案：C
3．解析：∵f(x)＝ln x＋x2－a，故f′(x)＝＋2x>0在区间(1，e)上恒成立，
∴f(x)在(1，e)上单调递增．又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，即，解得a∈(1，e2＋1)．
答案：C
4．解析：函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－1有3个零点，
当x≥1时，令f(x)－1＝0，即ln x＝1，解得x＝e，符合题意；
当x<1时，令f(x)－1＝0，即x2＋2x＋a＝1，即x2＋2x＋a－1＝0，
要使得函数y＝f(x)－1有3个零点，则方程x2＋2x＋a－1＝0有两个小于1的实根，
设g(x)＝x2＋2x＋a－1，即函数g(x)在x<1上与x轴有两个交点，
则满足，解得－2答案：(－2，2)第十节　函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数和一次函数增长速度的差异．
2．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
3．会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
问题思考·夯实技能
【问题】　请你在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x的简图，并比较他们在第一象限的增长速度．(教师可以用电脑演示)
关键能力·题型剖析
题型一 用函数图象刻画实际问题
例1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程设为x，△APM面积设为y，则函数y＝f(x)的图象只可能是下图中的(　　)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
巩固训练1
[2024·浙江杭州模拟]杭州亚运会火炬如图(1)所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图(2)所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是(　　)
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 [2024·山东德州模拟]2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010)(　　)
A．16　 　B．17 C．18　 　D．19
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
根据给定函数模型解决实际问题的思路
(1)认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数．
(2)根据已知条件，确定模型中的待定系数．
(3)分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题．
巩固训练2
北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足关系式：d(x)＝10lg .若某人交谈时的声强级约为60 dB，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为107.8，则火箭发射时的声强级约为(　　)
A．125 dB B．132 dB
C．138 dB D．156 dB
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 [2024·江苏盐城模拟]某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x(万件)之间满足关系：p＝(其中m为小于12的正整数)．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量(注：次品率＝次品数/生产量，如p＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)．
(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
[听课记录]
题后师说
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．
巩固训练3
[2024·河北承德模拟]某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
1.在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
2．[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
3．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
第十节　函数模型及其应用
问题思考·夯实技能
【问题】　提示：在第一象限内y＝x2增长速度相对平稳，y＝2x增长速度越来越快，y＝log2x增长速度越来越缓慢．
关键能力·题型剖析
例1　解析：当点P在AB上时：y＝×x×1＝x，0≤x≤1；
当点P在BC上时：y＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADM－S△PCM
＝12－×1×(x－1)－×1××(2－x)＝－x＋，1当点P在CM上时：y＝×(－x)×1＝－x＋，2所以y＝，
由函数解析式可知，有三段线段，又当点P在BC上时是减函数，故符合题意的为A.
答案：A
巩固训练1　解析：由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，
燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，
燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，
结合所得的函数图象，A选项较为合适．
答案：A
例2　解析：由题意知，初始学习率L0＝0.8，衰减速度G0＝12，所以L＝，
因为当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5，可得0.5＝，解得D＝，
所以L＝0.8×，
令0.8×<0.4，可得<，则lg 可得G>＝≈＝17.7，所以所需的训练迭代轮数至少为18.
答案：C
巩固训练2　解析：设人交谈时的声强为x1 W/m2，则火箭发射时的声强为107.8x1，且60＝10lg ，得x1＝10－6，
则火箭发射时的声强约为107.8×10－6＝101.8 W/m2，
将其代入d(x)＝10lg 中，得d(101.8)＝10lg ＝138 dB，故火箭发射时的声强级约为138 dB.
答案：C
例3　解析：(1)由题意可知y＝3·(1－p)x－1·px＝(3－4p)x，又因为p＝，
因此当0≤x≤m时，y＝(3－4p)x＝(3－4·)x＝，
当x>m时，y＝(3－4p)x＝(3－4×)·x＝0，
所以盈利额y(万元)与日产量x(万件)之间的函数关系式为：y＝.
(2)当x>m时，每天的盈利额为0；
因此当0≤x≤m时，设u＝12－x，0≤x≤m，则x＝12－u，且u∈[12－m，12]，
则y＝＝＝－3(u＋)＋40，分以下两种情形讨论：
情形一：当12－m≤4，即8≤m<12时，y＝－3(u＋)＋40≤－3×2 ＋40＝16，
当且仅当u＝，即u＝4∈[12－m，12]时，y取最大值16，此时x＝8.
情形二：当12－m>4，即0≤m<8时，y＝－3(u＋)＋40在[12－m，12]上单调递减，
所以当u＝12－m，即x＝m时，y取最大值．
综上所述，当0≤m<8时，日产量x＝m(万件)时，可获最大利润；当8≤m<12时，日产量x＝8(万件)时，可获最大利润．
巩固训练3　解析：(1)因为y＝－48x＋8 000＝(x－120)2＋5 120(0≤x≤210)，
所以当年产量为120吨时，其生产的总成本最低，最低成本为5 120万元．
(2)设该工厂年获得总利润为f(x)万元，
则f(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
因为f(x)在[0，210]上是增函数，
所以当x＝210时，f(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
故当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
随堂检测
1．解析：由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．
答案：B
2．解析：由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
答案：C
3．解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38，∴I(t)＝e0.38t.
若则＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.
答案：B

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