资源简介

第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念
1.了解任意角和弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
问题思考·夯实技能
【问题1】　请你写出角β与角α的终边关于x轴、y轴、原点对称的关系．
【问题2】　已知角α的终边上的任意一点P到原点的距离为r(r>0)，那么如何确定P点的坐标？角α的三角函数值是否会随点P在α的终边上的位置的变化而改变？
关键能力·题型剖析
题型一 象限角及终边相同的角
例 1 (1)[2024·江西吉安模拟]已知角β的集合β＝，则在[0，2π)内的角有(　　)
A．2个　 　B．3个　 　C．4个　 　D．5个
(2)若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则的终边在(　　)
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x轴上
题后师说
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
巩固训练1
(1)(多选)已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是________．
题型二 弧度制及其应用
例 2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
题后师说
应用弧度制解决问题的策略
巩固训练2
(1)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2024·黑龙江双鸭山模拟]已知扇形的面积为4 cm2，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________ cm.
题型三 三角函数的定义及其应用
角度一　三角函数的定义
例 3 (1)已知角α的终边过点A(－4，3)，则sin α·tan α＝(　　)
A．－　 　B．　 　C．－　 　D．
(2)已知角θ的顶点为原点，起始边为x轴非负半轴，若点P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝(　　)
A．8　　　B．－8　　　C．6　　　D．－6
题后师说
利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可求出点P的坐标．
角度二　三角函数值的符号
例 4 “cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
题后师说
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
巩固训练3
(1)已知角α的终边落在直线y＝2x上，则sin α的值为(　　)
A．　 B．　 C．－　 D．±
(2)在△ABC中，A为钝角，则点P(tan B，cos A)(　　)
A．在第一象限 B．在第二象限
C．在第三象限 D．在第四象限
1．下列各角中，与1850° 角终边相同的角是(　　)
A．40° B．50°
C．320° D．－400°
2．扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为，则这把扇子的弧长为(　　)
A．6π cm B．12π cm
C．18π cm D．24π cm
3．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－
C．若sin α>0，则α是第一或第二象限角
D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
4．[2024·北京中关村中学模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上．若sin α＝，则sin β＝______．
第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：角β与角α的终边关于x轴对称，则β＝－α＋2kπ(k∈Z)；角β与角α的终边关于y轴对称，则β＝π－α＋2kπ(k∈Z)；角β与角α的终边关于原点对称，则β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)．
【问题2】　提示：由三角函数的定义可知P点的坐标为(r cos α，r sin α)．角α的三角函数值与点P的位置无关．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)依题意，解不等式0≤<2π，得≤k<，而k∈Z，因此k∈{1，2，3}，所以在[0，2π)内的角有3个．故选B.
(2)因为|cos θ|＝cos θ，可得cos θ≥0，则θ是第一、四象限或x轴正半轴，
又因为|tan θ|＝－tan θ，可得tan θ≤0，则θ是二、四象限或x轴，
所以θ是第四象限或x轴正半轴，
所以k·360°＋270°<θ≤k·360°＋360°，k∈Z，
可得k·180°＋135°<≤k·180°＋180°，k∈Z，
令k＝2n，n∈Z，可得n·360°＋135°<≤n·360°＋180°，n∈Z，
则在二象限或x轴负半轴；
令k＝2n＋1，n∈Z，可得n·360°＋315°<≤n·360°＋360°，n∈Z，
则在四象限或x轴正半轴，
综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上．故选D.
答案：(1)B　(2)D
巩固训练1　解析：(1)因为角α的终边在第一象限，
所以k·360°<α所以k·180°<当k＝0时，0°<<45°，则终边在第一象限；
当k＝1时，180°<<225°，则终边在第三象限；
所以角的终边可能在第一象限或第三象限．故选AC.
(2)直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为.
答案：(1)AC　(2)
例2　解析：(1)α＝60°＝，l＝10×＝ (cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm.S弓＝S扇形－S三角形＝×2－×22×sin ＝() (cm2)．
巩固训练2　解析：(1)由题意可知扇形的弧长l＝30，半径r＝8，
所以扇形的圆心角的弧度数是＝＝，故选A.
(2)设扇形的弧长为l，半径为R，
由已知可得，圆心角α＝2，面积S＝4，
所以有即解得.
答案：(1)A　(2)4
例3　解析：(1)由题意可得：sin α＝＝，tan α＝＝－，则sin α·tan α＝－.故选C.
(2)因为点P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，
由三角函数的定义可得sin θ＝＝－，则y<0，解得y＝－8.故选B.
答案：(1)C　(2)B
例4　解析：充分性：由cos θ<0可知＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
由tan θ>0可知2kπ<θ<＋2kπ或π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
综上，π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，即θ为第三象限角．
必要性：若θ为第三象限角，则cos θ<0且tan θ>0.所以“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的充要条件．故选A.
答案：A
巩固训练3　解析：(1)设直线y＝2x上任意一点P的坐标为(m，2m)(m≠0)，
则OP＝＝|m|(O为坐标原点)，
根据正弦函数的定义得：sin α＝＝＝，
m>0时，sin α＝； m<0时，sin α＝－，
所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选D.
(2)因为△ABC中，A为钝角，所以B为锐角，可得tan B>0，cos A<0，所以点P(tan B，cos A)在第四象限．故选D.
答案：(1)D　(2)D
随堂检测
1．解析：1 850°－40°＝1810°＝5×360°＋10°，故A错误．
1 850°－50°＝1 800°＝5×360°，故B正确．
1 850°－320°＝1 530°＝4×360°＋90°，故C错误．
1 850°－(－400°)＝2 250°＝6×360°＋90°，故D错误．故选B.
答案：B
2．解析：因为扇形半径为16 cm，圆心角为，所以弧长为×16 cm＝12π cm.故选B.
答案：B
3．解析：对于A，由－∈(－，0)，则其为第四象限角，故A错误；对于B，由角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝＝－，故B正确；对于C，由sin α>0，则角α终边也可能在y轴上，故C错误；对于D，由圆心角的扇形的弧长为π，则其半径r＝3，所以扇形的面积S＝×3·π＝，故D正确．故选BD.
答案：BD
4．解析：由题意知角α与角β的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上，
则点N(－x，1)在角α的终边上，
由sin α＝以及|ON|＝，可得＝；
由点M(x，－1)在角β的终边上且|OM|＝，
可知sin β＝＝－.
答案：－第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．掌握诱导公式并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　关系式sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？
【问题2】　诱导公式可简记为奇变偶不变，符号看象限，“奇”与“偶”是什么意思？“变”与“不变”是什么意思？“符号看象限”指的是什么？
关键能力·题型剖析
题型一 诱导公式的应用
例 1 (1)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)[2024·山东德州模拟]已知sin (＋x)＝，则cos (＋x)＝____________．
题后师说
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos (5π－α)＝cos (π－α)＝－cos α.
(3)用诱导公式求值时，要善于观察所给角与已知角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
巩固训练1
(1)[2024·江苏常州模拟]已知sin (－α)＝，则sin (＋α)＝(　　)
A．　 　B．－　 　C．－　 　D．
(2)＝________．
题型二 同角三角函数的基本关系式的应用
角度一　已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例 2 [2024·江西吉安模拟]已知cos (＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos (－3π＋α)的值为(　　)
A．　　B．－ C．±　　D．
题后师说
利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．注意公式的逆用及变形应用．
巩固训练2
已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α＝(　　)
A.　　B．－ C．　　D．－
角度二　弦切互化问题
例 3 (1)已知tan α＝2，则＝(　　)
A. B．
C． D．
(2)[2024·河北张家口模拟]已知sin α＝2sin (－α)，则sin2α－sinαcos α＝______．
题后师说
“弦化切”的两种常用的策略
巩固训练3
(1)[2024·安徽合肥模拟]已知＝2，则tan α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)已知tan α＝－3，则＝________．
角度三　sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
例 4 [2024·河南荥阳模拟]已知sin α＋cos α＝.
(1)求sin α·cos α的值；
(2)若＜α＜π，求的值．
[听课记录]
题后师说
(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化．
(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值．
巩固训练4　已知α∈(0，)，且sin α＋cos α＝，则tan α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
1．化简＝(　　)
A． B．－
C．tanα D．
2．[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
3．[2024·河北保定模拟]若α∈(π，)，且sin α＋cos α＝－，则sin α－cos α＝(　　)
A． B．－
C．± D．无法确定
4．[2023·全国乙卷]若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：不恒成立．当角α和角β为同一个角时恒成立．
【问题2】　提示：“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k是偶数，则函数的名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)原式＝＝－1.故选B.
(2)cos (＋x)＝cos (π＋＋x)＝－cos (＋x)＝－sin (＋x)＝－sin (＋x)＝－.
答案：(1)B　(2)－
巩固训练1　解析：(1)sin (＋α)＝sin ＝sin (－α)＝，故选A.
(2)因为tan (－150°)＝tan (30°－180°)＝tan 30°，cos (－570°)＝cos 570°＝cos (30°＋540°)＝－cos 30°，
cos (－1 140°)＝cos 1 140°＝cos (60°＋1 080°)＝cos 60°，
tan (－210°)＝－tan 210°＝－tan (30°＋180°)＝－tan 30°，
sin (－690°)＝sin (30°－720°)＝sin 30°，
所以
＝
＝＝cos 30°＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：∵cos (＋α)＝－，
∴sin α＝－.由α是第四象限角，
∴cos (－3π＋α)＝－cos α＝－＝－.故选B.
答案：B
巩固训练2　解析：因为tanα＝＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<，
所以sin α＝－，cos α＝－，
所以cos α－sin α＝－－(－)＝.故选A.
答案：A
例3　解析：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.
所以＝＝＝＝.故选C.
(2)由题知sin α＝2sin (－α)，即sin α＝2cos α，
∴tan α＝2，且cos α≠0，
∴sin2α－sinαcos α＝
＝＝＝.
答案：(1)C　(2)
巩固训练3　解析：(1)因为＝2，
所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，
所以cos2α＋4sinαcos α＋4sin2α＝4，
即4sinαcos α＝3cos2α，cosα≠0，
所以tan α＝.故选B.
(2)因为tan α＝－3，所以＝＝＝＝.
答案：(1)B　(2)
例4　解析：(1)(sinα＋cos α)2＝＝1＋2sin αcos α，
∴sin αcos α＝－.
(2)原式＝＝，
∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2·(－)＝，
又∵α∈(，π)，∴cos α<0，sin α>0，cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－，
∴原式＝＝.
巩固训练4　解析：由sin α＋cos α＝，两边平方得sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
因为sin2α＋cos2α＝1，所以2sinαcos α＝，
又(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－＝，
又因为α∈(0，)，所以sin α联立sin α－cos α＝－与sin α＋cos α＝，
求得sin α＝，cos α＝，故tan α＝＝.故选C.
答案：C
随堂检测
1．解析：＝＝＝tan α，故选C.
答案：C
2．解析：将式子进行齐次化处理得：
＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
答案：C
3．解析：α∈(π，)，所以sin α<0，cos α<0，
由
消去cos α并化简得sin2α＋sinα＋＝0，即(sin α＋)(sin α＋)＝0，
所以解得或，
所以sin α－cos α＝或sin α－cos α＝－.故选C.
答案：C
4．解析：由
，且θ∈，解得，故sin θ－cos θ＝－.
答案：－第三节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
1.会推导两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
【问题2】　请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcos α＝________；sin2α＝________；cos2α＝________．
(2)升幂公式：1±sin2α＝________；1＋cos 2α＝________；1－cos 2α＝________．
关键能力·题型剖析
题型一 公式的直接应用
例 1 (1)[2024·河南新乡模拟]已知cos (α－β)＝，cos αcos β＝，则cos (α＋β)＝(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
(2)[2024·河北张家口模拟]已知tan (α＋)＝－2，则cos 2α的值为(　　)
A． B．－ C．－ D．
题后师说
(1)熟记公式的结构特征和符号变化规律是应用公式求值的关键．
(2)应用公式求值时，应注意与诱导公式、同角三角函数的基本关系式相结合．
巩固训练1
(1)[2024·山西朔州模拟]已知α为锐角，且sin (α＋)＝sin (α－)，则tan α＝(　　)
A.　　B．2＋　　C．　　D．
(2)[2024·福建泉州模拟]已知2sin 2α＝1＋cos 2α，α∈(－)，则tan α＝(　　)
A．－2 B．－ C． D．2
题型二 公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是(　　)
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos215°－sin215°＝
D．＝
(2)已知2cos2α－sin2α＝sinαcos α，则cos (2α＋)＝______．
题后师说
(1)逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)降幂扩角公式通常可以将二次式转化为一次式，同时对应的角扩大为原来的2倍，通过这种次数的降低、角的扩大，达到化简与求值的目的．
(3)两角和与差的正切公式及其变形将tan (α±β)，tan α±tan β，tan αtan β三者联系在一起，已知其中的两个或两个之间的关系，即可求出另外一个的值．
巩固训练2
(1)α＋β＝－(α，β≠kπ＋，k∈Z)，则1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．0　　　D．－1
(2)已知2cos α－1＝2sin α，则cos (2α＋)＝______．
题型三 变换求值
角度一　角的变换
例 3 [2024·安徽滁州模拟]已知sin α＝，cos (α－β)＝，且0<α<，0<β<，则sin β＝(　　)
A． B．
C． D．或－
题后师说
利用角的变换求三角函数值的策略
角度二　三角函数名的变换
例 4 [2024·山东济宁模拟]已知cos (α＋)＝，则sin (2α－)＝(　　)
A. －　　B． C. －　　D．
题后师说
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
巩固训练3
(1)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知sin (x＋)＝－，则cos (－2x)＝(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
(2)[2024·广东汕头模拟]已知α，β为锐角，tan (α＋β)＝－，cos β＝，则sin α＝________．
1．[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．[2022·新高考Ⅱ卷]若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　)
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
3．[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
4．[2024·河北秦皇岛模拟]已知α∈(0，)，sin (α－)＝，则cos 2α＝____________．
第三节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
及二倍角公式
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z.
如题图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，P(cos (α－β)，sin (α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，得[cos (α－β)－1]2＋sin2(α－β)
＝(cosα－cos β)2＋(sin α－sin β)2，
化简得cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．所以，对于任意角α，β有cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
【问题2】　提示：(1)sin 2α　
(2)(sin α±cos α)2　2cos2α　2sin2α
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)由cos(α－β)＝，可得cos αcos β＋sin αsin β＝，因为cos αcos β＝，可得sin αsin β＝，又因为cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝.故选B.
(2)由题意得，tan (α＋)＝tan (α＋)＝＝－2，解得tan α＝3，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选C.
答案：(1)B　(2)C
巩固训练1　解析：(1)因为sin(α＋)＝sin (α－)，所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，
所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋.
故选B.
(2)因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以4sin αcos α＝2cos2α，
因为α∈(－)，所以cosα>0，所以2sin α＝cos α，则tan α＝＝.故选C.
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：(1)cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°
＝cos 82°sin 52°＋sin 82°cos (180°－52°)
＝cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°
＝sin (52°－82°)＝－sin 30°＝－，所以A选项正确；
sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin (90°－15°)＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，B选项正确；
cos215°－sin215°＝cos30°＝，C选项正确；
＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，D选项错误．故选D.
(2)因为2cos2α－sin2α＝sinαcos α，∴1＋cos 2α－＝sin 2α，
∴3cos 2α－sin 2α＝－1，则2(cos 2αcos －sin 2αsin )＝－1，即cos (2α＋)＝－.
答案：(1)D　(2)－
巩固训练2　解析：(1)因为α＋β＝－，
所以tan (α＋β)＝＝tan (－)＝－1.
所以tan α·tan β＝1＋(tan α＋tan β)．
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan α－tan β＋1＋(tan α＋tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋1＋(tan α＋tan β)＝2.故选A.
(2)∵2cos α－1＝2sin α，∴2cos α－2sin α＝1，
所以4(cos α－sin α)＝1，
∴cos (α＋)＝，
所以cos (2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝－.
答案：(1)A　(2)－
例3　解析：因为sinα＝<且0<α<，所以0<α<，
所以cos α＝＝，
又0<β<，所以－<α－β<，又cos(α－β)＝，
所以sin (α－β)＝±＝±.
当sin(α－β)＝时，
sin β＝sin ＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝＝－，
因为0<β<，所以sin β>0，所以sin β＝－不合题意，舍去；
当sin (α－β)＝－，
sin β＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝×(－)＝，符合题意；
综上所述sin β＝.故选B.
答案：B
例4　解析：sin (2α－)＝sin ＝－cos 2(α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×＝.故选D.
答案：D
巩固训练3　解析：(1)因为sin(x＋)＝－，所以cos (－2x)＝－cos (π－＋2x)＝－cos (＋2x)＝－＝－＝－.故选A.
(2)因为α，β为锐角，且tan(α＋β)＝－<0，所以α＋β∈(，π)，
sin β＝＝，
sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)
＝×(－)＝.
答案：(1)A　(2)
随堂检测
1．解析：因为α∈(0，)，所以tan 2α＝＝ ＝ 2cos2α－1＝4sinα－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sinα sin α＝ tan α＝.
答案：A
2．解析：方法一　设β＝0，则sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1.取α＝，排除A，B.设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，即tan β＝1.取β＝，排除D.故选C.
方法二　因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2·cos (α＋)sin β，所以sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2sin β(cos α－sin α)＝2sin βcos α－2sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝－sin αcos β＋sin βcos α，所以cos (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
答案：C
3．解析：依题意，得，所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
答案：B
4．解析：cos2α＝sin (－2α)＝－sin (2α－)＝－2sin (α－)cos (α－)．
由α∈(0，)，sin (α－)＝，则0<α－<，故cos (α－)＝，所以cos 2α＝－.
答案：－第四节　简单的三角恒等变换
1.会根据相关公式进行化简求值．
2．会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题．
问题思考·夯实技能
【问题】　在二倍角的正弦、余弦、正切公式中，把角α换成，二倍角公式还成立吗？分别是什么？
关键能力·题型剖析
题型一 三角函数式的化简
例 1 化简：
(1)；
(2)(3π＜α＜4π)．
题后师说
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
巩固训练1
(1)化简：＝(　　)
A．cos α B．2cos α
C．sin α D．2sin α
(2)化简：(－tan )·(1＋tan αtan )＝
________．
题型二 三角函数式的求值
角度一　给角求值
例 2 (1)计算＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
(2)计算sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝________．
题后师说
观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等非特殊角的三角函数值转化为：(1)特殊角的三角函数值；(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值；(3)可约分的项和特殊角的三角函数值等．
角度二　给值求值
例 3 (1)[2024·江苏南通模拟]已知sin (α＋)＝，则sin (－2α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)[2024·九省联考]已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
题后师说
(1)给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－(－α)等．
(2)注意下列变换：
sin 2x＝cos (－2x)＝－cos (＋2x)，
cos 2x＝sin (－2x)＝sin (＋2x)．
以上变换，结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起．
角度三　给值求角
例 4 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，则α＋β的值为(　　)
A． B．
C．或 D．
题后师说
给值求角的求解原则
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－)，选正弦较好．
巩固训练2
(1)计算＝(　　)
A． B．2
C． D．－1
(2)[2024·山东泰安模拟]已知sin (α＋)＝－，则sin 2α＝(　　)
A．－　 　B．－　 　C．　 　D．
(3)[2024·福建泉州模拟]已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－)，则α＋β的值是________．
题型三 三角恒等变换的综合应用
例 5 [2024·江西抚州模拟]已知函数f(x)＝2cos (x－)cos x＋1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)设f(α＋)＝，α∈(0，)，求sin (－2α)的值．
题后师说
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式，再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
巩固训练3
已知f(x)＝4cos x·sin (x＋)－1.
(1)求f(x)的周期；
(2)若f(α)＝，其中α∈(0，)，求cos 2α.
1．[2024·山西吕梁模拟]tan 67.5°－1＝(　　)
A．　　　 B．
C． D．
2．[2024·湖南永州模拟]已知cos α＋sin α＝，则cos (α－)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．[2024·河北沧州模拟]已知θ∈(0，π)，满足cos 2θ＋cos θ＝0，则θ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．[2024·山东淄博模拟]若sin (θ＋)＝，θ∈(0，π)，则cos θ＝________．
第四节　简单的三角恒等变换
问题思考·夯实技能
【问题】　提示：成立．
sin α＝2sin cos ，cos α＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2，tanα＝.
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)原式＝＝＝＝＝cos 2x.
(2)∵3π<α<4π，
∴<<2π，<<π，<<<<，
故cos >0，故＝＝＝2cos，
又cos <0，故＝＝＝－2cos，
又cos >0，故＝＝＝2cos，
又sin >0，故＝＝＝2sin，
∴原式＝＝＝＝2sin .
巩固训练1　解析：(1)原式＝＝＝2cos α.故选B.
(2)原式＝·(1＋·)
＝·
＝·＝
答案：(1)B　(2)
例2　解析：(1)原式＝＝
＝＝＝＝＝2，故选D.
(2)令m＝sin 10°sin 50°sin 70°，n＝cos 10°cos 50°·cos 70°，
则mn＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°·sin 80°·sin 40°
＝cos 70°·cos 10°·cos 50°＝n，
而n≠0，
∴m＝，从而有sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝.
答案：(1)D　(2)
例3　解析：(1)sin (－2α)＝sin ＝cos (＋2α)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×()2＝－.故选C.
(2)解析：由题θ∈(，π)，tan2θ＝－4tan (θ＋)，
得＝ －4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈(，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
＝＝＝＝.故选A.
答案：(1)C　(2)A
例4　解析：∵α和β均为钝角，
∴cos α＝－＝－，cosβ＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×(－)－＝.
由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故选D.
答案：D
巩固训练2　解析：(1)＝
＝＝＝.故选A.
(2)已知sin (α＋)＝－，所以sin 2α＝－cos (2α＋)＝2sin2(α＋)－1＝－.故选A.
(3)因为tanα，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，
所以tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，
所以tan α<0，tan β<0
又因为α，β∈(－)，所以α，β∈(－，0)，
所以α＋β∈(－π，0)，
则tan (α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－.
答案：(1)A　(2)A　(3)－
例5　解析：(1)f(x)＝2(cos x＋sin x)cos x＋1＝cos2x＋sinx cos x＋1＝sin 2x＋1＝sin (2x＋)＋，
∵－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，
∴f(x)的递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(α＋)＝sin ＝，∴sin (2α＋)＝－，
∵α∈(0，)，∴2α＋∈()，
又∵sin (2α＋)<0，∴2α＋∈(π，)，∴cos (2α＋)＝－，
于是sin (－2α)＝sin ＝－cos (2α＋)＝.
巩固训练3　解析：(1)f(x)＝4cos x(sin x＋cos x)－1
＝2sin x cos x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos 2x
＝2sin (2x＋)，
∴f(x)的周期为T＝π.
(2)f(α)＝2sin (2α＋)＝，
∴sin (2α＋)＝，
由0<α<，得<2α＋<，
由sin (2α＋)＝<，得0<2α＋<，
∴cos (2α＋)＝ ＝，
∴cos2α＝cos
＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin
＝.
随堂检测
1．解析：因为tan 135°＝－1，所以tan 135°＝tan (67.5°×2)＝＝－1，
整理得tan267.5°－2tan67.5°－1＝0，
解得tan 67.5°＝1＋或tan 67.5°＝1－(舍去)，
所以tan 67.5°－1＝.故选A.
答案：A
2．解析：cos α＋sin α＝，由辅助角公式得2cos (α－)＝，故cos (α－)＝，故选B.
答案：B
3．解析：因为cos 2θ＋cos θ＝0，所以2cos2θ＋cosθ－1＝0，
即(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0，所以cos θ＝或cos θ＝－1，因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故选B.
答案：B
4．解析：∵θ∈(0，π)，
∴θ＋∈()，又sin (θ＋)＝，
若θ＋∈()，则sin (θ＋)>sin ＝，
与sin (θ＋)＝矛盾，
∴θ＋∈[，π)，
∴cos (θ＋)＝－＝－，
∴cosθ＝cos (θ＋)＝cos (θ＋)cos ＋sin (θ＋)sin ＝－＝.
答案：第五节　三角函数的图象与性质
1.能画出三角函数的图象．
2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在(－)上的性质．
问题思考·夯实技能
【问题1】　终边相同的角的三角函数值有什么关系？这个关系式体现了三角函数的什么性质？
【问题2】　函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的奇偶性与φ的取值的关系是怎样的？
关键能力·题型剖析
题型一 三角函数的定义域和值域(或最值)
例 1 (1)函数y＝lg (cos x－sin x)的定义域是____________.
(2)函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x在区间[－]上的值域为________．
(3)[2024·重庆万州模拟]已知x∈(0，)，则函数f(x)＝(1＋sinx)(1＋cos x)的最大值为____________．
题后师说
求解三角函数的值域(最值)的3种方法
巩固训练1
(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．R
(2)f(x)＝cos 2x－2sin x cos x的最小值为____________．
(3)函数y＝sin x－cos2x的值域为________．
题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例 2 (1)(多选)[2024·九省联考]已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)，则(　　)
A．函数f(x－)为偶函数
B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在区间()单调递增
D．f(x)的最小值为－2
(2)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，则满足条件“f(x＋φ)是偶函数”的φ的一个值为________(写出一个满足条件的φ即可)．
题后师说
(1)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式．
(2)求三角函数图象的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元方法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心横坐标的公式．
巩固训练2
(1)(多选)已知函数f(x)＝sin (2x－)，则(　　)
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x－)为奇函数
D．f(x)的图象关于直线x＝ 对称
(2)[2024·广东深圳模拟]记函数f(x)＝cos (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T. 若A．1　　　B．　　　C．　　　D．3
题型三 三角函数的单调性
角度一　求三角函数的单调区间
例 3 函数f(x)＝sin (－2x)的单调递减区间为________．
【变式练习】　本例条件不变，求在[0，π]上的单调递减区间．
题后师说
求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
角度二　根据单调性求参数
例 4 [2024·河北石家庄模拟]已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间(，π)上单调递减，则实数ω的取值范围为(　　)
A． B．(0，]
C．[] D．(0，2]
题后师说
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
巩固训练3
(1)[2024·安徽滁州模拟]已知函数 f(x)＝2sin (x＋)，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为(　　)
A． B．
C．[－1，1] D．
(2)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x，x∈R.若函数f(x)在区间[a，]上单调递增，则实数a的取值范围为____________．
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)
A．y＝sin2x＋cos 2x B．y＝sin x＋cos x
C．y＝sin (2x＋) D．y＝cos (2x＋)
2．[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
3．[2023·全国乙卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间()单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝(　　)
A．－　　B．－ C．　　　D．
4．[2022·新高考Ⅰ卷]记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A．1　　　B． C．　　　D．3
第五节　三角函数的图象与性质
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：终边相同的角的三角函数值相等，即sin (2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，cos (2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)，这个公式体现了三角函数的周期性．
【问题2】　提示：对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数．
对于函数y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为偶函数．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)因为y＝lg (cos x－sin x)，所以cos x－sin x>0，即sin x－cos x＝sin (x－)<0，即－π＋2kπ(2)由题意，f(x)＝sin 2x＋2×＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin (2x＋)＋1，而x∈，则2x＋∈，所以函数的最大值为2sin ＋1＝3，最小值为2sin (－)＋1＝0，所以函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x在区间上的值域为[0，3].
(3)f(x)＝(1＋sinx)(1＋cos x)＝1＋sin x＋cos x＋sin xcos x＝1＋sin x＋cos x＋，
令t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，
因为x∈(0，)，所以x＋∈()，
所以sin (x＋)∈(，1]，所以t＝sin (x＋)∈(1，]，
所以g(t)＝t2＋t＋，t∈(1，]，对称轴t＝－1<1，
所以g(t)＝t2＋t＋在(1，]单调递增，
所以当t＝时，g(t)max＝g()＝，
即当sin (x＋)＝1，x＝时，f(x)＝(1＋sin x)(1＋cos x)有最大值.
答案：(1)(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z　(2)[0，3]
　(3)
巩固训练1　解析：(1)由题意知cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.故选C.
(2)f(x)＝cos 2x－2sin x cos x＝cos 2x－sin 2x＝－2sin (2x－)，
所以当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－2.
(3)依题意，原函数定义域为R，y＝sin x－(1－sin2x)＝(sinx＋)2－，而－1≤sin x≤1，
则当sin x＝－时，ymin＝－，当sin x＝1时，ymax＝1，
所以所求值域是[－，1].
答案：(1)C　(2)－2　(3)[－，1]
例2　解析：(1)f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)
＝sin 2x cos ＋sin cos 2x＋cos 2x cos －sin 2x sin
＝－sin 2x＋cos 2x－cos 2x－sin 2x＝－sin 2x，
即f(x)＝－sin 2x，
对于A，f(x－)＝－sin (2x－)＝cos 2x，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，f(x)＝－sin 2x对称轴为2x＝＋kπ，k∈Z x＝，k∈Z，故B错误；
对于C，x∈()，2x∈(，π)，y＝sin 2x单调递减，则f(x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；
对于D，f(x)＝－sin 2x，则sin 2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－]，故D错误．故选AC.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin (ωx＋)，
又f(x)的最小正周期为π，所以＝π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)，
所以f(x＋φ)＝2sin (2x＋2φ＋)．
又因为f(x＋φ)是偶函数，所以应满足2φ＋＝＋kπ，k∈Z，
所以有φ＝，k∈Z.
答案：(1)AC　(2)
巩固训练2　解析：(1)函数f(x)＝sin (2x－)．
函数的最大值为，故A正确；
函数的最小正周期为π，故B正确；
f(x－)＝sin (2x－)＝－cos 2x
故该函数为偶函数，故C错误；
当x＝时，f()＝－为最小值，故D正确．
(2)由由y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称可知b＝2且f()＝cos (ω＋)＋b＝2，所以cos (ω＋)＝0 ω＋＝＋kπ，k∈Z，
故ω＝k，
由ω＝k∈(2，)可得k∈()，由于k∈Z，故取k＝3，则ω＝，
故f(x)＝cos (x＋)＋2，则f()＝cos ()＋2＝－cos ＋2＝－＋2＝，故选B.
答案：(1)ABD　(2)B
例3　解析：f(x)＝sin (－2x)的单调递减区间是g(x)＝sin (2x－)的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的单调减区间为，k∈Z.
答案：，k∈Z
变式练习　解析：令A＝，k∈Z，
B＝[0，π]，
∴A＝，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
例4　解析：f(x)＝sin (ωx＋)，令＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，解得≤x≤，k∈Z.且π－＝，即0<ω≤2.
∵函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在(，π)上单调递减，
∴，解得＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z.∴k＝0时，≤ω≤.故选C.
答案：C
巩固训练3　解析：(1)由2kπ－x＋≤2kπ＋，
解得4k－≤x≤4k＋，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z，
令k＝0，得f(x)的单调递增区间是，
所以f(x)在区间[－1，1]上的单调递增区间为.故选B.
(2)函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＝＝sin (2x＋)－，x∈R，
若函数f(x)在区间上单调递增，此时2x＋∈，
所以－≤2a＋<，得－≤a<，则实数a的取值范围为[－)．
答案：[－)
随堂检测
1．解析：因为y＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，函数的周期为π，因为y()＝，y(－)＝－，所以是非奇非偶函数，A不正确；因为y＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，函数的周期为2π，B不正确；因为y＝sin (2x＋)＝cos 2x，函数的周期为π，是偶函数，C不正确；因为y＝cos (2x＋)＝－sin 2x，函数的周期为π，是奇函数，D正确．故选D.
答案：D
2．解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(－)，则(0，) (－)，(，π) (－)，A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为()，(π，) (－)且(π，) ()，(，2π) ()，CD选项均不满足条件．故选A.
答案：A
3．解析：由题意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，f(－)＝sin (－×2＋)＝sin ＝，故选D.
答案：D
4．解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z.令2＜－k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ()＋2＝1.故选A.
答案：A第六节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
1.了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义．
2．能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3．会用三角函数解决一些简单的实际问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】　如图所示为函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象．利用零点代入求φ时，ωx1＋φ，ωx2＋φ取哪些值？
【问题2】　由函数y＝sin ωx(ω>0)的图象得到函数y＝sin (ωx＋)的图象，需要经过怎样的变换？将函数y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图象对应的函数解析式是y＝sin (x＋φ)还是y＝sin (x＋)
关键能力·题型剖析
题型一 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数f(x)＝2sin (2x＋)．
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
【变式练习】　本例条件不变，第(2)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
题后师说
作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用的方法
巩固训练1
(1)[2024·黑龙江双鸭山模拟]为了得到y＝cos (2x＋)的图象，可以将函数y＝cos x的图象(　　)
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
(2)[2024·江西赣州模拟]将函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x图象上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位长度(纵坐标不变)后得到函数g(x)＝cos4x－sin4x的图象，则φ的最小值为(　　)
A．　　　　　　　B．
C． D．
题型二 由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)的解析式
例 2 [2024·辽宁鞍山模拟]函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g()＝(　　)
A． B．
C． D．1
题后师说
根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：
(1)根据最大值或最小值求出A的值．
(2)根据周期求出ω的值．
(3)求φ的常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
巩固训练2
[2024·广东佛山模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________________．
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
角度一　图象与性质的综合应用
例 3 (多选)[2024·山东潍坊模拟]将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移个单位，得到y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)的周期为π
C．f(x)的图象关于点(，0)对称
D．f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
题后师说
研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
角度二　三角函数的零点(或方程的根)的问题
例 4 [2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
题后师说
利用三角函数图象解决方程的根或零点问题的方法
(1)研究函数y＝A sin (ωx＋φ)在给定区间上零点个数问题时，仍然采用整体换元的方法，将ωx＋φ作为一个整体，结合函数的周期性确定ωx＋φ的范围，从而解决问题．
(2)将方程的根转化为两函数图象的交点问题，结合三角函数的周期性，建立不等式组进行求解．
角度三　三角函数模型的简单应用
例 5 (多选)[2024·湖南株洲模拟]如图(1)是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图(2)，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面50 m．最低点Q距离地平面10 m．入口处M距离地平面20 m．当t＝4 s时，过山车到达最高点P，t＝10 s时，过山车到达最低点Q.设h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)，下列结论正确的是(　　)
A.函数h(t)的最小正周期为12
B．φ＝
C．t＝14 s时，过山车距离地平面40 m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s
题后师说
三角函数模型的应用体现在两个方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
巩固训练3
(1)[2024·河北衡水模拟]将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)说法正确的是(　　)
A．奇函数
B．在(0，)上单调递增
C．图象关于点(，0)对称
D．图象关于直线x＝对称
(2)[2024·江西吉安模拟]月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y(单位：℃)与月份x(单位：月)的关系可近似地用函数y＝A sin ＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月均温为29℃，12月份的月均温为17℃，则10月份的月均温为(　　)
A. 20℃ B．20.5℃
C．21℃ D．21.5℃
(3)将函数f(x)＝2(cos x＋sin x)·cos x－1的图象向左平移个单位得到g(x)的图象，且当x∈时，关于x的方程g(x)－a＝0有三个不等实根，则实数a的取值范围为________．
　
1．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图像，则f(x)＝(　　)
A．sin () B．sin ()
C．sin (2x－) D．sin (2x＋)
2．函数y＝sin (ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
3．[2024·河南焦作模拟]已知函数f(x)＝cos (3x－)，若将y＝f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．[2023·全国甲卷]函数y＝f(x)的图象由y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
第六节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：若利用x1这样的零点(图象经过(x1，0)时函数单调递减)代入求φ的值，应令ωx1＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)；而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2，0)时函数单调递增)代入求φ的值，应令ωx2＋φ＝2kπ(k∈Z)，应注意区分，不能笼统地令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．
【问题2】　提示：应将函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度才能得到函数y＝sin (ωx＋)的图象；如果将函数y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图象对应函数解析式是y＝sin (x＋φ)，而不是y＝sin (x＋)．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象如图所示．
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋)的图象，再将y＝sin (x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin (2x＋)的图象，再将y＝sin (2x＋)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin (2x＋)的图象．
变式练习　解析：因为f(x)＝2sin (2x＋)＝2cos (2x＋)＝2cos (2x－)，
将y＝cos x的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos (x－)的图象，再将y＝cos (x－)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos (2x－)的图象，再将y＝cos (2x－)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos (2x－)的图象，即为f(x)＝2sin (2x＋)的图象．
巩固训练1　解析：(1)将y＝cos x每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得y＝cos 2x，再向左平移个单位长度得y＝cos 2(x＋)＝cos (2x＋)．故选D.
(2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin (2x＋)，
g(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)
＝cos2x－sin2x＝cos2x＝sin (2x＋)，
所以φ的最小值为＝.故选D.
答案：(1)D　(2)D
例2　解析：由图象可知，＝1－(－1)＝2，得T＝8＝，所以ω＝，所以f(x)＝A cos (x＋φ)，
又因为(－1，0)在函数f(x)的图象上，
所以A cos (－＋φ)＝0，
所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝A cos (x－)．
又(0，)在函数f(x)的图象上，
所以A cos (－)＝，即A＝2，
即f(x)＝2cos (x－)．
所以g(x)＝f(x＋1)＝2cos ＝2cos x，
所以g()＝2cos ()＝2cos ＝1.故选D.
答案：D
巩固训练2　解析：由图象知，A＝2，T＝＝，∴T＝π，即ω＝＝2，
由图可知，2sin (2×＋φ)＝2，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin (2x＋)．
答案：f(x)＝2sin (2x＋)
例3　解析：y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)的图象向左平移个单位得f(x)＝2sin ＝2sin (2x＋)＝2cos 2x，
所以f(x)为偶函数，故A不正确；
f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；
又f()＝2cos ＝0，所以函数f(x)的图象关于点(，0)对称，故C正确；
则f(x)的单调递增区间满足－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
例4　解析：对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π　①.
由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.
代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－.
答案：－
例5　解析：由题意可知，周期T满足＝10－4＝6，得T＝12，
所以＝12，得ω＝，又，解得A＝20，B＝30.
所以h(t)＝20sin (t＋φ)＋30，又h(0)＝20，即20sin φ＋30＝20，得sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－，所以h(t)＝20sin (t－)＋30.T＝12，A正确；φ＝－，B错误；h(14)＝20sin (×14－)＋30＝20sin ＋30＝40，C正确；
由h(t)<20，得20sin (t－)＋30<20，即sin (t－)<－＋2kπ所以一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是(12＋12k)－(8＋12k)＝4 s，D正确．故选ACD.
答案：ACD
巩固训练3　解析：(1)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得函数y＝g(x)＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x，
g(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝g(x)，g(x)为偶函数，A错误；当x∈(0，)时，2x∈(0，)，∵y＝cos x在(0，)上单调递减，∴y＝g(x)在(0，)上单调递减，B错误；g()＝cos (2×)＝－≠0，图象不关于点(，0)对称，C错误；g()＝cos (2×)＝－1，图象关于直线x＝对称，D正确．故选D.
(2)由题意可得，解得，
所以函数解析式为y＝6sin ＋23，
在函数解析式中，令x＝10，可得y＝6sin ＋23＝6×(－)＋23＝20.
因此，10月份的月均温为20℃.故选A.
(3)因为f(x)＝2(cos x＋sin x)·cos x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，
所以g(x)＝sin ＝sin (2x＋)，
因为x∈，所以2x＋∈，
当2x＋∈时，g(x)递减且g(x)∈；
当2x＋∈(]时，g(x)递增且g(x)∈(－]；
当2x＋∈(]时，g(x)递减且g(x)∈[－)，
因为g(x)－a＝0有三个不等实根，所以a∈(－，－1].
答案：(1)D　(2)A　(3)(－，－1]
随堂检测
1．解析：方法一　函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f的图象，
根据已知得到了函数y＝sin (x－)的图象，所以f＝sin (x－)，
令t＝2(x－)，则x＝，x－＝，
所以f(t)＝sin ()，所以f(x)＝sin ()．
方法二　由已知的函数y＝sin (x－)逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin (x＋)＝sin (x＋)的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin ()的图象，
即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin ()．故选B.
答案：B
2．解析：T＝而T＝4×(3－1)＝8，∴ω＝；当x＝1时，x＋φ＝，∴φ＝.故选C.
答案：C
3．解析：f(x)＝cos (3x－)的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数g(x)＝cos ＝cos (3x＋3m－)，
因为y＝g(x)的图象关于坐标原点对称，
所以3m－＝kπ＋(k∈Z)，即m＝(k∈Z)，
因为m>0，故当k＝0时，m取得最小值.故选B.
答案：B
4．解析：把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.
答案：C第七节　正弦定理、余弦定理
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．掌握三角形面积公式并能应用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】　如何判断三角形解的个数？
【问题2】　对于△ABC，在①sin A＞sin B；②cos A＜cos B；③tan A＞tan B；④＜中，哪些是“A>B”的充要条件？哪些不是？
关键能力·题型剖析
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 (1)[2024·福建三明模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝(　　)
A．30° B．45°
C．30°或150° D．45°或135°
(2)[2024·湖北随州模拟]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c2－a2＝2a＋4，则角C＝____________．
题后师说
利用正弦、余弦定理解题策略
巩固训练1
(1)[2024·河南新乡模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知＝，且a2－c2＝2b，则b＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
题型二 判断三角形的形状
例 2 (1)[2024·安徽芜湖模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＋b cos (A＋C)＝0，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
(2)[2024·江苏南通模拟]在△ABC中，a－b＝c(cos B－cos A)，则这个三角形一定是(　　)
A.等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
题后师说
判断三角形形状的方法
巩固训练2
(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝c cos B，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形　　　B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
(2)[2024·广东广州模拟]在△ABC中，cos2＝，则△ABC的形状为______三角形．
题型三 与三角形的面积(周长)有关的计算
例 3 [2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积．
(2)若sin A sin C＝，求b.
题后师说
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ab sin C＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
巩固训练3
[2023·辽宁鞍山模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos B(a＋b sin C)＋b sin B cos C＝0.
(1)求角B；
(2)若2c＝a，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c，B＝， △ABC的面积为 ，则b＝(　　)
A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．3
2．[2024·安徽蚌埠模拟]在△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．[2023·北京卷]在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　　)
A． B． C． D．
4．[2024·广东广州模拟]设t为实数，满足t，t＋1，t＋2构成一个钝角△ABC的三边长，则t的取值范围为________．
射影定理的应用
【典例1】　设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A.
注：以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名射影定理．
[证明]　
在锐角三角形ABC中：
BC＝BD＋DC
＝AB·cos B＋AC·cos C，
即a＝b cos C＋c cos B.
在直角三角形ABC中：
c·cos B＝0，
a＝b cos c，
即a＝b cos C＋c cos B.
在钝角三角形ABC中：
c·cos B＝－BD，
b·cos c＝CD，
BC＝CD－BD，
即a＝b cos C＋c cos B，
综上，a＝b cos C＋c cos B可证，
同理可证b＝c·cos A＋a·cos C，
c＝a·cos B＋b cos A．
【典例2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a cos C＋b＝2c cos A，c＝a，则A＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
[解析]　法一　已知c＝a，
由正弦定理得sin C＝sin A，
所以sin2C＝3sin2A，
所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.
由2a cosC＋b＝2c cos A，
得2sin A cos C＋sin B＝2sin C cos A，
2sin A cos C＋sin (A＋C)＝2sin C cos A，
3sin A cos C＝sin C cos A，
9sin2A cos2C＝sin2C cos2A，
9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，
由sinA≠0，解得sin A＝±.
又0法二　由射影定理，得b＝a cos C＋c cos A
代入2a cos C＋b＝2c cos A，得3a cos C＝c cos A，
又c＝a，所以cos A＝cos C，①
由c＝a及正弦定理得sin A＝sin C，②
①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1，即sinA＝，
又由①得A∈，故A＝.
[答案]　A
第七节　正弦定理、余弦定理
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
【问题2】　提示：①②④都是“A＞B”的充要条件；③不是“A＞B”的充要条件．①很明显；由于y＝cos x在(0，π)上单调递减，而A、B∈(0，π)，所以A＞B cos A＜cos B，故②成立；当A＝，B＝时，有A＞B，但tan A＜tan B，所以③不是“A＞B”的充要条件；又＜ ＜ sin B cos A＜sin A cos B sin (A－B)＞0 A＞B，所以④是“A＞B”的充要条件．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)由正弦定理＝得＝，sin B＝，又b>a，即B>A，又∵0°(2)因为b＝2，c2－a2＝2a＋4，则c2－a2＝ab＋b2，即a2＋b2－c2＝－ab，
可得cos C＝＝＝－，
且C∈(0，π)，所以C＝.
答案：(1)D　(2)
巩固训练1　解析：(1)因为a＝4，b＝3，sin A＝，所以sin B＝＝＝.因为b(2)＝，即为3c cos A＝a cos C，
即有3c·＝a·，
即有a2－c2＝b2，
又a2－c2＝2b，则2b＝b2，
解得b＝4.故选A.
答案：(1)B　(2)A
例2　解析：(1)由a cos A＋b cos (A＋C)＝0，得a cos A－b cos B＝0，
由正弦定理得sin A cos A－sin B cos B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，
因为0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以A＝B或A＋B＝.即△ABC是等腰或直角三角形．
故选D.
(2)由余弦定理可得：cos A＝，cos B＝，
代入a－b＝c(cos B－cos A)＝c cos B－c cos A中，
得a－b＝，
等式两边同乘2ab得：
2a2b－2ab2＝a2b＋c2b－b3－ab2－ac2＋a3，
移项合并得：a2b－ab2＋(－c2b＋ac2)－(a3－b3)＝0，
整理得：ab(a－b)＋c2(a－b)－(a－b)(a2＋ab＋b2)＝0，
即(a－b)(c2－a2－b2)＝0，
可得a＝b或a2＋b2＝c2，
则三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.
答案：(1)D　(2)D
巩固训练2　解析：(1)∵在△ABC中，a＝c cos B，
∴由正弦定理得sin A＝sin C cos B，又sin A＝sin (B＋C)，
∴sin (B＋C)＝sin C cos B，
即sin B cos C＋sin C cos B＝sin C cos B，
∴sin B cos C＝0，
∵在△ABC中B∈(0，π)，sin B>0，
∴cos C＝0，又C∈(0，π)，
∴C＝.
∴△ABC是直角三角形．故选B.
(2)在△ABC中，由cos2＝，得1＋cosB＝1＋，即a＝c cos B，
由余弦定理得a＝c·，整理得a2＋b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形．
答案：(1)B　(2)直角
例3　解析：(1)∵边长为a的正三角形的面积为a2，
∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝.
结合余弦定理，得ac cos B＝1，即cos B＝.
由sin B＝，得cos B＝，∴ac＝，
故S△ABC＝ac sin B＝＝.
(2)由正弦定理，得＝·＝＝＝，故b＝sin B＝.
巩固训练3　解析：(1)∵cos B(a＋b sin C)＋b sin B cos C＝0，
∴a cos B＋b(sin C cos B＋cos C sin B)＝0，∴a cos B＝－b sin (B＋C)＝－b sin A.
由正弦定理得sin A cos B＝－sin B sin A，
∵sin A≠0，∴tan B＝－，∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵△ABC的面积为，即ac sin B＝ac＝，得ac＝，
∵a＝2c，∴2c2＝，∵c>0，∴c＝，∴a＝2c＝，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝，∵b>0，∴b＝，∴三角形的周长为a＋b＋c＝2.
随堂检测
1．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac×，又a＝c，所以b2＝4c2－3c2 b＝c，
又S△ABC＝ac sin B＝c2×＝ c＝，故b＝c＝，故选C.
答案：C
2．解析：由3b＝2a sin B，得＝，根据正弦定理，得＝，
所以＝，即sin A＝，
又角A是锐角，所以A＝60°，又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，
所以B＝C. 故△ABC为等边三角形．故选D.
答案：D
3．解析：因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，
所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，
则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，
又0答案：B
4．解析：设△ABC的内角C为最大角，则cos C＝<0，
再由三角形三边关系可得解得t>1，
所以解得1答案：(1，3)第八节　正弦、余弦定理应用举例
会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
关键能力·题型剖析
题型一 测量距离问题
例 1 [2024·广东广州模拟]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A、B两点的距离为________ m．
题后师说
测量距离问题的求解策略
巩固训练1
[2024·河南驻马店模拟]如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，则M，N间的距离为(　　)
A．100 m B．120 m
C．100 m D．200 m
题型二 测量高度问题
例 2 [2024·黑龙江鹤岗模拟]某同学为了测量学校天文台CD的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为30(2－) m，在它们之间的地面上的点M(B、M、D三点共线)处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是15°和30°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为15°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则学校天文台CD的高度为________ m.
题后师说
测量高度问题的三个注意点
(1)要理解仰角、俯角、方向(位)角的概念．
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
巩固训练2　[2024·安徽黄山模拟]如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东30°方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点30 m的B点测得塔底位于西偏北45°方向上(A，B，D在同一水平面)，则塔的高度CD约为(≈1.414，≈1.732)(　　)
A．17.32 m B．14.14 m
C．10.98 m D．6.21 m
题型三 测量角度问题
例 3 [2024·广东深圳模拟]如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着直线追击．
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里；
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船．
题后师说
角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
巩固训练3
[2024·湖南长沙模拟]如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(　　)
A． B．
C．－1 D．－1
1.[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
2．[2021·全国乙卷]魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　)
A．＋表高
B．－表高
C．＋表距
D．－表距
3．[2024·山西太原模拟]某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°方向上，向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在点B的南偏东30°方向上，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P、C间的距离为________海里．
第八节　正弦、余弦定理应用举例
关键能力·题型剖析
例1　解析：因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，所以AD＝CD＝35，
又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝35，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，
所以AB2＝352＋(35)2－2×35×35×(－)，解得AB＝35 m.
答案：35
巩固训练1　
解析：由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100，NB＝50，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°，
在直角△ACM中，可得AM＝＝200，
在直角△ABN中，可得AN＝＝100，
在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠MAN＝20 000，
所以MN＝100 m．故选A.
答案：A
例2　解析：在Rt△ABM中，AM＝，
在△ACM中，∠CAM＝15°＋15°＝30°，∠AMC＝180°－15°－30°＝135°，
∠ACM＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得＝，
故MC＝·AM＝·＝＝＝，
在Rt△CDM中，CD＝MC·sin 30°＝＝30，
故学校天文台CD的高度为30 m.
答案：30
巩固训练2　解析：由已知可得，在△ABD中，有∠BAD＝60°，∠ABD＝45°，BD＝30，
根据正弦定理＝可得，
AD＝sin ∠ABD＝＝10.
在Rt△ADC中，有∠CAD＝30°，AD＝10，
tan ∠CAD＝，所以CD＝AD tan 30°＝10＝10≈14.14(m)．故选B.
答案：B
例3　解析：(1)由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时BD＝3×1＝3，AC＝2×1＝2，
由题意知∠BAC＝90°－30°＝60°，
在△ABC中，AB＝，AC＝2，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC
＝()2＋(2)2－2()·2＝12，
所以BC＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
∴sin ∠ABC＝，∴∠ABC＝45°(135°舍去)，
∴∠ACB＝180°－60°－45°＝75°，
又∠CBD＝180°－45°－45°－60°＝30°，
在△BCD中，∠CBD＝30°，BD＝3，BC＝2，
由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°
＝(2)2＋32－2×2×3·cos 30°＝3，
∴CD＝，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里．
(2)当巡逻艇经过t小时经CE方向在E处追上走私船，
则CE＝3t，DE＝3t，CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝＝，则＝＝，
∴sin ∠BCD＝，∴∠BCD＝60°，∠BDC＝90°，∠CDE＝135°，
在△CDE中，由正弦定理得＝，
则sin ∠DCE＝＝，故∠DCE＝30° (150°舍)，
∠ACE＝∠ACB＋∠BCD＋∠DCE＝75°＋60°＋30°＝90°＋75°，
故巡逻艇应该沿北偏东75°方向去追，才能最快追上走私船．
巩固训练3　解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin (θ＋90°)＝＝－1.故选C.
答案：C
随堂检测
1．解析：如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
答案：B
2．解析：如图所示：
由平面相似可知，＝＝，而 DE＝FG，
所以＝＝＝＝，而 CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，
即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．故选A.
答案：A
3.
解析：如图，在△ABP中，AB＝30×＝20(海里)，
∠BAP＝120°，∠BPA＝30°，
由＝，得＝，
解得BP＝20海里．
在△BPC中，BC＝30×＝40(海里)，
由已知得∠PBC＝90°，
所以PC＝＝＝20(海里)，
所以P、C间的距离为20海里．
答案：20

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