资源简介

第一节　平面向量的概念及线性运算
1.理解平面向量的概念、几何表示及两个向量相等的含义．
2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．
3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
问题思考·夯实技能　
【问题1】　向量平行与直线平行有何不同？
【问题2】　共线向量定理中为什么规定a≠0
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量的基本概念
例 1 [2024·河南南阳模拟]下列说法正确的是(　　)
A．若|a|＝|c|，则a＝c
B．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．与非零向量a共线的单位向量为±
题后师说
平行向量有关概念的注意点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
巩固训练1
(多选)下列说法正确的是(　　)
A．a与b是非零向量，则a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B．A，B，C是互不重合的三点，若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C．a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D．设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
题型二 平面向量的线性运算
角度一　向量的线性运算
例2 [2024·河北衡水模拟]在正方形ABCD中，E在CD上且有＝2，AE与对角线BD交于F，则＝(　　)
A． B．
C． D．
题后师说
平面向量的线性运算的求解策略
巩固训练2　
[2024·江西宜春模拟]如图所示的△ABC中，点D、E分别在边BC、AD上，且BD＝DC，ED＝2AE，则向量＝(　　)
A． B．
C． D．
角度二　根据线性运算求参数
例 3 [2024·安徽蚌埠模拟]在△ABC中，已知＝＝2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
题后师说
解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)即可求得相关参数的值．
巩固训练3
[2024·河南荥阳模拟]在平行四边形ABCD中，F是边BC的中点，点E满足＝－2.若＝x＋y，则xy＝(　　)
A．－ B．1
C．－ D．3
题型三 共线向量定理的应用
例 4 设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【变式练习】　若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？
题后师说
共线向量定理的应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线；
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线；
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
巩固训练4　(1)设e1与e2是不共线的非零向量，若ke1＋e2与e1＋ke2共线且方向相反，则k的值是(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．任意不为零的实数
(2)[2024·河北石家庄模拟]△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且＝＝λ，则λ＝(　　)
A．　　 B． C．　　 D．
1．已知四边形ABCD，下列说法正确的是(　　)
A．若＝，则四边形ABCD为平行四边形
B．若||＝||，则四边形ABCD为矩形
C．若∥，且||＝||，则四边形ABCD为矩形
D．若||＝||，且∥，则四边形ABCD为梯形
2．[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3．已知a、b为不共线的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
4．[2024·广东中山模拟]已知向量e1，e2不共线，若e1＋2e2与－2e1＋me2共线，则实数m的值为________．
第一节　平面向量的概念及线性运算
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
【问题2】　提示：(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
(2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa，但此时向量a与b共线；
(3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．
关键能力·题型剖析
例1　解析：若|a|＝|c|，则a＝－c或a＝c，所以选项A错误；若b＝0，a≠0，此时 λ不存在，选项B错误；若b＝0，由a∥b，b∥c，不一定得到a∥c，选项C不正确；由向量a为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确．故选D.
答案：D
巩固训练1　解析：a与b同向，但|a|不一定与|b|相等，
∴a≠b，若a＝b，则a与b同向，且有|a|＝|b|，∴a与b同向是a＝b的必要不充分条件，A正确．
与共线，则有＝λ，故一定有A，B，C三点在同一条直线上，B正确．
a与b同向，则a与－b反向，C正确．
λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，D错误．故选ABC.
答案：ABC
例2　解析：如图，正方形ABCD中，＝2，则DE＝CD＝AB，
因为AB∥CD，所以△DEF∽△BAF，则＝＝，
故＝＝)＝＝.故选C.
答案：C
巩固训练2　解析：∵BD＝DC，∴＝－，∵＝＝，∴＝)，又∵ED＝2AE，∴＝＝.故选D.
答案：D
例3　
解析：由题意可得
解得，
所以＝＝＝，
即，所以x＋y＝－.故选A.
答案：A
巩固训练3　解析：由题意知，＝＝＝＝，所以＝＝＝－，又＝x＋y，所以x＝，y＝－，所以xy＝－.故选C.
答案：C
例4　解析：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，
∴共线．
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
变式训练　解析：＝＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
∴解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
巩固训练4　解析：(1)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线且方向相反，设ke1＋e2＝m(e1＋ke2)，m∈R且m<0，因为e1与e2是不共线的非零向量，则，解得k＝m＝－1.故选A.
(2)因为点M是BC的中点，所以＝，
故＝＝)＝，则＝，
故＝λ＝λ－λ，
因为N，D，C三点共线，所以存在m(m≠－1)使得＝m，
即＝m()，则＝(1＋m)－m，
所以λ－λ＝1＋m－m＝1，解得λ＝.故选A.
答案：(1)A　(2)A
随堂检测
1.
解析：A选项，若＝，则||＝||且∥，则四边形ABCD为平行四边形，正确；
B选项，如图，||＝||＝2，但是四边形ABCD不是矩形，错误；
C选项，若∥，且||＝||，则四边形ABCD可以是等腰梯形，也可以是矩形，故错误；
D选项，若||＝||，且∥，则四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误．故选A.
答案：A
2．解析：因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
答案：B
3．解析：因为a、b为不共线的向量，所以a、b可以作为一组基底，对于A，＝a＋5b，＝－2a＋8b，若存在实数t使得＝t，则a＋5b＝t(－2a＋8b)，所以，方程组无解，所以与不共线，故A、B、C三点不共线，即A错误；
对于B，因为＝a＋5b，＝－2a＋8b，所以＝＝a＋5b＋(－2a＋8b)＝－a＋13b，同理可以说明不存在实数t，使得＝t，即与不共线，故A、C、D三点不共线，即B错误；
对于C，因为＝－2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，又＝a＋5b＝，所以∥，故A、B、D三点共线，即C正确；
对于D，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，同理可以说明不存在实数t，使得＝t，即与不共线，故B、C、D三点不共线，即D错误．故选C.
答案：C
4．解析：因为向量e1，e2不共线，则e1＋2e2≠0，若e1＋2e2与＋me2共线，则存在实数λ，使得λ(e1＋2e2)＝λe1＋2λe2＝－2e1＋me2，所以解得
答案：－4第二节　平面向量基本定理及坐标表示
1.了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
问题思考·夯实技能　
【问题1】　在给定基底的情况下，同一向量的分解形式是否唯一？
【问题2】　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以是＝吗？
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)[2024·河北石家庄模拟]如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
(2)如图所示，AD是△ABC的中线．O是AD上的一点，且＝2，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
题后师说
应用平面向量基本定理的策略
巩固训练1　(1)(多选)[2024·山东聊城模拟]已知e1，e2是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是(　　)
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1＋e2和e1－e2 D．e1－2e2和4e2－2e1
(2)[2024·广东梅州模拟]如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．
　
题型二 平面向量的坐标运算
例 2 (1)已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
(2)如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
题后师说
(1)利用向量的坐标运算解题，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
巩固训练2
(1)已知A(0，1)，B(3，－2)，且＝2，则的坐标为(　　)
A．(2，－1) B．(6，－5)
C．(6，－6) D．(2，－2)
(2)如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量m，n，p满足p＝xm＋yn(x，y∈R)，则4x＋y＝________．
题型三 向量共线的坐标表示
角度一　利用向量共线求参数
例 3 [2024·河北唐山模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若(kb＋a)∥(b－a)，则实数k＝________．
角度二　利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 [2024·江西抚州模拟]已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||＝||，则点P的坐标为________．
题后师说
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
巩固训练3
(1)[2024·河南开封模拟]已知向量a＝(－1，1)，b＝(1，m)，若a∥(ma＋b)，则m＝(　　)
A． B．1
C．－ D．－1
(2)已知O为坐标原点，＝，若P1(1，2)，P2(2，－1)，则与共线的单位向量为(　　)
A．(3，－4)
B．(3，－4)或(－3，4)
C．(，－)或(－)
D．(，－)
　
1．[2024·河北保定模拟]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，则x＝(　　)
A．9　　　 B．3 C．6　　　 D．5
2．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是(　　)
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
3．[2024·河南平顶山模拟]已知向量a＝(1，－1)，b＝(m2，m)，则m＝－1是a∥b的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．[2024·江苏镇江模拟]在△ABC中，AB＝3AD，点E是CD的中点．若存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝________(请用数字作答)．
第二节　平面向量基本定理及坐标表示
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：唯一．若{e1，e2}是基底，且a＝λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，则必有λ1＝λ2，μ1＝μ2.
【问题2】　提示：不可以．因为当＝时一定有a∥b，但当a∥b时，＝不一定成立，因为x2，y2中可能为0.
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)＝.
又E为DC中点，则＝＝；
F为AD中点，则＝＝.
则＝ ＝；
＝ ＝.
则＝＝.故选D.
(2)因为AD是△ABC的中线，O是AD上的一点，且＝2，所以O是△ABC的重心，则＝)＝)＝)＋＝，又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝－，可得λ＋μ＝－，故选C.
答案：(1)D　(2)C
巩固训练1　解析：(1)根据平面向量基底的定义知，向量e1，e2为不共线非零向量，即不存在实数λ，使得e1＝λe2，对于A中，向量e1和e1＋e2，不存在实数λ，使得e1＝λ(e1＋e2)，符合题意；对于B中，向量e1－2e2和e2－2e1，假设存在实数λ，使得e1－2e2＝λ(e2－2e1)，可得，此时方程组无解，所以e1－2e2和e2－2e1可以作为基底，符合题意；对于C中，向量e1＋e2和e1－e2，假设存在实数λ，使得e1＋e2＝λ(e1－e2)，可得，此时方程组无解，所以e1＋e2和e1－e2可以作为基底，符合题意；对于D中，向量e1－2e2和4e2－2e1，假设存在实数λ，使得e1－2e2＝λ(4e2－2e1)，可得，解得λ＝－，所以e1－2e2和4e2－2e1不可以作为基底，不符合题意．故选ABC.
(2)因为P是BN的中点，所以＝.所以＝＝＝)＝＝，所以m＝，n＝，所以m＋n＝.故选D.
答案：(1)ABC　(2)D
例2　解析：(1)设D(x，y)，则＝(x，y－1)，且＝(1，－1)，＝2，∴(x，y－1)＝2(1，－1)，∴，∴x＝2，y＝－1，∴点D的坐标为(2，－1)．故选D.
(2)如图所示，以O为原点，OB为x轴，OB的垂线为y轴，建立直角坐标系，B(2，0)，
∵∠BOC＝30°，OC＝2，∴C(2cos 30°，2sin 30°)，即C(，1)，
∵∠BOA＝120°，OA＝2，∴A(2cos 120°，2sin 120°)，即A(－1，)，
又＝λ＋μ，∴(，1)＝λ(－1，)＋μ(2，0)，
∴，解得，∴λ＋μ＝.
答案：(1)D　(2)
巩固训练2　解析：(1)设C(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(3－x，－2－y)，由＝2，则，解得，所以＝(2，－2)．故选D.
(2)建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，
可得m＝(1－0，4－1)＝(1，3)，同理可得n＝(3，－2)，p＝(4，3)，
∵p＝xm＋yn(x，y∈R)，
∴
将方程组中两式相加，可得4x＋y＝7.
答案：(1)D　(2)7
例3　解析：由a＝(1，2)，b＝(2，3)，得kb＋a＝(2k＋1，3k＋2)，b－a＝(1，1)，由(kb＋a)∥(b－a)，得(3k＋2)－(2k＋1)＝0，所以k＝－1.
答案：－1
例4　解析：点P在线段AB的延长线上，与方向相反，
由||＝||，则有＝－，
设P(x，y)，则(x－2，y－3)＝－(4－x，－3－y)，
即，解得，
故点P的坐标为(10，－21)．
答案：(10，－21)
巩固训练3　解析：(1)由题设ma＋b＝(1－m，2m)，又a∥(ma＋b)，则＝，可得m＝－1.故选D.
(2)由＝得＝0，即＝＝＝，＝＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，||＝＝5，与同向的单位向量为＝(，－)，反向的单位向量为(－)．故选C.
答案：(1)D　(2)C
随堂检测
1．解析：因为a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，所以2x＝3×4，解得x＝6.故选C.
答案：C
2．解析：设c＝(x，y)，因为向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，所以a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，又a＋2b＝kc，所以(，－3)＝k(x，y) ，k＝0时不成立，所以k≠0，所以y＝－x.选项A，c＝(，－1)不满足y＝－x；选项B，c＝(－1，－)不满足y＝－x；选项C，c＝(－，－1)不满足y＝－x；选项D，c＝(－1，)满足y＝－x，故选D.
答案：D
3．解析：若a∥b，则m＋m2＝0，解得m＝－1或m＝0，则m＝－1是a∥b的充分不必要条件．故选A.
答案：A
4．解析：因为E是CD的中点，所以＝＝＝)＝)，因为AB＝3AD，所以＝，所以＝，所以λ＝，μ＝，即λ＋μ＝＝.
答案：第三节　平面向量的数量积及其应用
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．
2．了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决简单的平面几何问题．
问题思考·夯实技能　
【问题1】　两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？
【问题2】　由a·b＝0一定可以得出a＝0或b＝0吗？
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量数量积的运算
例 1 (1)[2024·江西宜春模拟]已知向量a＝(－1，m)(m>0)，b＝(4，3)，且|a|＝|b|，则a·b＝(　　)
A．68 B．－68
C．－4－6 D．6－4
(2)[2024·河南开封模拟]在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点P是菱形ABCD内部一点，且＋2＋3＝0，则·＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
题后师说
平面向量数量积运算的3种策略
巩固训练1
(1)设向量a，b的夹角的余弦值为－，|a|＝4，|b|＝1，则(2a＋3b)·b＝(　　)
A．－1　　　B．1
C．－5 D．5
(2)[2024·安徽淮南模拟]在△ABC中，已知∠ACB＝，BC＝4，AC＝3，D是边AB的中点，点E满足＝，则·＝(　　)
A．－ B．－1
C． D．
　
题型二 平面向量数量积的应用
角度一　向量的模
例 2 [2024·河北衡水模拟]已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a－b＝(，－2)，则|2a－b|＝(　　)
A． B．4
C． D．33
角度二　向量的夹角
例 3 [2024·安徽亳州模拟]已知非零向量a，b，c满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝－1，a·b＝1，c＝－2b.则向量a与c的夹角为(　　)
A．45° B．60°
C．135° D．150°
角度三　向量的垂直
例 4 [2024·山东日照模拟]已知向量a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，若(2a＋b)⊥c，则m＝(　　)
A． B．3
C． D．5
角度四　投影向量
例 5 [2024·江苏常州模拟]已知平面向量a，b，满足|a|＝2，b＝(1，1)，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影向量的坐标为(　　)
A．() B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(－，－)
题后师说
(1)求平面向量的模的方法：①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法：①定义法：cos θ＝；②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
(4)求投影向量的方法：向量a在向量b上的投影向量为·＝b.
巩固训练2
(1)(多选)[2024·广东广州模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则(　　)
A．(a－b)⊥(a＋b)
B．(a－b)∥(a＋b)
C．|a－b|＝|a＋b|
D．b－a在a上的投影向量是a
(2)[2024·安徽合肥模拟]已知非零向量a，b，c满足a⊥(b＋c)，|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，则〈a，c〉＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
　
题型三 平面向量的综合应用
例 6 (1)[2024·江西景德镇模拟]已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．　　　D．－
(2)若P为△ABC所在平面内一点，且||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
题后师说
平面向量的综合应用主要是利用平面向量的知识作为解题工具，解决平面几何问题、三角函数问题、解三角形问题、解析几何问题、实际问题等．
巩固训练3
(1)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，a＝b，·＝8，则c＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)一条河宽为800 m，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为20 km/h，水流速度的大小为12 km/h，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为________ min.
　
1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
2．[2023·全国乙卷]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　)
A． B．3
C．2 D．5
3．[2023·全国甲卷]向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
4．[2023·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
平面向量与三角形的“四心”
1．平面向量与三角形的重心
(1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点．
(2)O是△ABC的重心 ＝0.
【典例1】　已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝)(其中P为平面上任意一点)，则点O是△ABC的(　　)
A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心
[解析]　由已知得3＝－＋－＋－，
所以3＋3＝＋＋，
即＋＋＝0，
所以点O是△ABC的重心．故选C.
[答案]　C
2．平面向量与三角形的垂心
(1)三角形的垂心：三角形的三条高线的交点．
(2)O是△ABC的垂心 ·＝·＝·
【典例2】　已知点O为△ABC所在平面内一点，且＋＝＋＝＋，则点O一定为△ABC的(　　)
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
[解析]　因为＋＝＋，
所以－＝－，
所以(－)·(＋)＝()·(－)，
所以·(＋)＝·(－)，
所以·(＋－＋)＝0，
所以·(＋＋)＝0，
所以·＝0，所以⊥.
同理可得⊥⊥.
所以O为△ABC的垂心．故选D.
[答案]　D
3．平面向量与三角形的外心
(1)三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
(2)O是△ABC的外心 ||＝||＝||(或＝＝)．
【典例3】　已知点O是△ABC所在平面上的一点．若()·＝()·＝()·＝0，则点O是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
[解析]　(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝0 －＝－＝－＝0 ||＝||＝||.所以点O是△ABC的外心．故选A.
[答案]　A
4．平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)．
(2)O是△ABC的内心 ·()＝·()＝·()＝0.
【典例4】　O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
[解析]　∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴的方向与∠BAC的角平分线一致，
又∵＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴＝＝λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴一定通过△ABC的内心．故选A.
[答案]　A
第三节　平面向量的数量积及其应用
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：不一定．当两个向量的夹角为0(或π)时，数量积也大于0(或小于0)．
【问题2】　提示：不能推出a＝0或b＝0.因为当a·b＝0时，还有可能a⊥b.
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)∵已知向量a＝(－1，m)(m>0)，b＝(4，3)，|a|＝|b|，∴＝，即1＋m2＝25，m2＝24，又∵m>0，∴m＝2，故a＝(－1，2)，∴a·b＝－1×4＋2×3＝6－4.故选D.
(2)以菱形ABCD的对角线AC方向为x轴方向，DB方向为y轴方向建立平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(0，2)，C(2，0)，D(0，－2)，设P(x，y)，
所以＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－x，2－y)，又＋2＋3＝0，
所以(－2－x，－y)＋2(2－x，－y)＋3(－x，2－y)＝(0，0)，
所以2－6x＝0，6－6y＝0，即x＝，y＝1，
所以P(，1)，＝(，－1)，＝(－，－3)，所以·＝(－，－3)·(，－1)＝－－3×(－1)＝.故选D.
答案：(1)D　(2)D
巩固训练1　解析：(1)设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为－，即cos θ＝－，又|a|＝4，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×4×(－)＝－1，所以(2a＋3b)·b＝2a·b＋3b2＝－2＋3＝1.故选B.
(2)∵D为AB的中点，∴＝)，
∵＝，
∴＝，
即＝＝，
如图所示，
∵＝＝－)＋＝，
∴·＝)·()
＝·＋－·
＝－＋－·
＝－×9＋×16－×3×4cos ＝.故选C.
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：因为a－b＝(，－2)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝7，则a·b＝－1，所以|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝21，即|2a－b|＝.故选C.
答案：C
例3　解析：∵(a－b)·(a＋b)＝－1，a2－b2＝－1，
∴|b|＝.∵a·b＝1，∴cos 〈a，b〉＝＝＝，θ∈[0，π]，则〈a，b〉＝，
设向量a与c的夹角为θ，c＝－2b，c与b反向，则θ＝π－＝.故选C.
答案：C
例4　解析：由已知得2a＋b＝2(m＋1，m－1)＋(－1，m)＝(2m＋1，3m－2)，∵(2a＋b)⊥c，且c＝(－1，1)，∴(2a＋b)·c＝－(2m＋1)＋3m－2＝0，解得m＝3.故选B.
答案：B
例5　解析：由|a|＝2，|b|＝，且|a＋b|＝，平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2a·b＋2＝10，解得a·b＝2，所以a在b方向上的投影向量为·＝·b＝·b＝b＝(1，1)．故选B.
答案：B
巩固训练2　解析：(1)因为a－b＝(3，1)，a＋b＝(－1，3)，所以(a－b)·(a＋b)＝3×(－1)＋1×3＝0，(a－b)⊥(a＋b)，故A正确；
因为3×3－1×(－1)＝10≠0，故B错误；
|a－b|＝，|a＋b|＝，故C正确；
因为b－a＝(－3，－1)在a上的投影向量是＝＝－a，故D错误．故选AC.
(2)∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
所以|a||b|cos 〈a，b〉＋|a||c|cos 〈a，c〉＝0，
又|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，
∴|a||c|×＋|a||c|cos 〈a，c〉＝0，由a，b，c均为非零向量，
则cos 〈a，c〉＝－，且〈a，c〉在0°到180°之间，故〈a，c〉＝135°.
故选D.
答案：(1)AC　(2)D
例6　解析：(1)因为a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，所以4cos α＝2sin α，则tan α＝＝2.故选A.
(2)因为||＝|－2|，
所以||＝|()＋()|＝||，
即||＝||，两边平方整理得·＝0，
所以⊥，即△ABC为直角三角形．故选C.
答案：(1)A　(2)C
巩固训练3　解析：(1)∵·＝||||cos A＝bc·＝＝8，又a＝b，∴＝8，解得c＝－4(舍)或c＝4.故选C.
(2)如图所示，所以|v2|＝＝＝16 km/h，故t＝＝0.05(h)＝3(min)．
答案：(1)C　(2)3
随堂检测
1．解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得：λμ＝－1.故选D.
答案：D
2．解析：方法一　由题意知，＝＝＝＝－，所以·＝·＝||2－||2，由题意知||＝||＝2，所以·＝4－1＝3，故选B.
方法二　以点A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则＝(1，2)，＝(－1，2)，·＝－1＋4＝3，故选B.
答案：B
3．解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.
如图，设＝a，＝b，＝c，
由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，
AB边上的高OD＝，AD＝，
所以CD＝CO＋OD＝＝，
tan ∠ACD＝＝，cos ∠ACD＝，
cos 〈a－c，b－c〉＝cos ∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×()2－1＝.故选D.
答案：D
4．解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝.
答案：第四节　复数
1.通过方程的解认识复数．
2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
3．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
问题思考·夯实技能　
【问题1】　“3＋2i>1＋2i”“2＋i<4＋i”等结论正确吗？为什么？
【问题2】　设向量分别与复数a＋bi，c＋di对应，请你写出向量对应的复数．
关键能力·题型剖析
题型一 复数的概念
例 1 (1)(多选)[2024·江苏南通模拟]设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有(　　)
A．若z∈R，则z＝
B．若z2∈R，则z∈R
C．若z2＋1＝0，则z＝i
D．若(1＋i)z＝1－i，则|z|＝1
(2)[2024·河北秦皇岛模拟]已知z＝，则z－的虚部为(　　)
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
(3)[2024·河北衡水模拟]已知复数(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是纯虚数，则m＝________．
题后师说
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
巩固训练1
(1)[2022·新高考Ⅰ卷]若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)[2022·全国甲卷]若z＝1＋i.则|iz＋3|＝(　　)
A．4 B. 4
C. 2 D. 2
(3)[2022·全国乙卷]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
题型二 复数的四则运算
例 2 (1)[2024·河北衡水模拟]已知复数z1，z2，当z1＝1＋2i时，＝z1，则z2＝(　　)
A．8＋6i B．8－6i
C．10＋10i D．10－10i
(2)[2024·安徽滁州模拟]已知复数满足z·＝4且z＋＋|z|＝0，则z2 022的值为(　　)
A．±1 B．－22 022
C．±22 022 D．22 022
(3)(多选)[2024·九省联考]已知复数z，w均不为0，则(　　)
A．z2＝|z|2 B．＝
C．＝ D．＝
题后师说
复数代数形式运算的策略
巩固训练2
(1)[2020·新高考Ⅰ卷]＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(3)[2024·江西九江模拟]已知复数z＝，则8z的共轭复数为(　　)
A．2－2i B．2＋2i
C．－i D．－i
题型三 复数的几何意义
例 3 (1)[2024·河南开封模拟]“a<”是“复数z＝(i为虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i(i为虚数单位)，z3在复平面上对应的点分别为A，B，C.若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数z3为(　　)
A．1－3i B．1＋3i
C．－1＋3i D．－1－3i
(3)[2024·江西赣州模拟]已知复数z满足|z＋i|＝1(i为虚数单位)，则|z－i|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题后师说
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)、复平面内的向量三者之间建立了一一对应关系，因此解决复数问题时，可考虑运用数形结合的思想方法．
(2)由于|z1－z2|表示z1，z2在复平面内对应点Z1，Z2之间的距离，因此可由此判断复数对应点的轨迹问题，并结合平面解析几何知识解决最值问题．
巩固训练3
(1)[2024·河南南阳模拟]已知i为虚数单位，z＝，则复数在复平面上所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)[2024·河北沧州模拟]设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
(3)[2024·安徽安庆模拟]设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋＋i|取最大值时的复数z为(　　)
A．i B．－i
C．i D．－i
　
1．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
3．[2023·全国甲卷]若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．[2023·全国乙卷]设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
第四节　复数
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：不正确．两个实数可以比较大小，但两个虚数只能判断它们是否相等，而不能比较它们的大小．
【问题2】　提示：(a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
对于A，因z∈R，则b＝0，则z＝a＋bi＝a－bi＝，故A正确；
对于B，注意到i2＝－1∈R，但i R，故B错误；
对于C，注意到(－i)2＝－1，则z有可能为－i，故C错误；
对于D，z＝＝＝＝－i，则|z|＝1，故D正确．故选AD.
(2)因为z＝＝＝＝－1－2i，所以＝－1＋2i，所以z－＝－1－2i－(－1＋2i)＝－4i，所以z－的虚部为－4.故选A.
(3)因为(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是纯虚数，所以，解得m＝1.
答案：(1)AD　(2)A　(3)1
巩固训练1　解析：(1)由题设有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D.
(2)因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝＝2.故选D.
(3)由z＝1－2i可知＝1＋2i.由z＋a＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得解得故选A.
答案：(1)D　(2)D　(3)A
例2　解析：(1)由＝z1得z2＝z1(z1－z1)＝(1＋2i)×(4－2i)＝8＋6i.故选A.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∵z·＝4且z＋＋|z|＝0，即
即解得a＝－1，b＝±，
所以z＝－1±i，又z2 022＝(z3)674，
当z＝－1＋i时，z3＝(－1＋i)3＝(－1＋i)2(－1＋i)＝(－2－2i)(－1＋i)＝8＝23，
当z＝－1－i时，z3＝(－1－i)3＝(－1－i)2(－1－i)＝(－2＋2i)(－1－i)＝8＝23，
故z2 022＝(z3)674＝(23)674＝22 022.故选D.
(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)；
对A： z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；
对B: ＝，又·z＝2，即有＝，故B正确；
对C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则＝a－c－(b－d)i，＝a－bi，＝c－di，则＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，
即有＝，故C正确；
对D：＝＝＝
＝
＝
＝
＝，
＝＝
＝
＝，
故＝，故D正确．故选BCD.
答案：(1)A　(2)D　(3)BCD
巩固训练2　解析：(1)＝＝＝－i.
故选D.
(2)(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.
(3)因为z＝＝＝＝＝i，则8z＝8(i)＝2－2i，所以8z的共轭复数为2＋2i. 故选B.
答案：(1)D　(2)D　(3)B
例3　解析：(1)因为z＝＝，
又复数z在复平面内所对应的点在第四象限，
所以解得－6因此a<是－6(2)设z3＝x＋yi(x，y∈R)，则C(x，y)，依题意A(1，2)，B(2，－1)，＝(1，－3)，由于四边形OABC是平行四边形，所以＝，(x，y)＝(1，－3)，所以z3＝1－3i.故选A.
(3)设复数z在复平面中对应的点为Z，由题意可得：|z＋i|＝|z－(－i)|＝1，表示复平面中点Z到定点C(0，－1)的距离为1，所以点Z的轨迹为以C(0，－1)为圆心，半径r＝1的圆，因为|z－i|表示复平面中点Z到定点B(0，1)的距离，所以|ZB|≤|BC|＋r＝2＋1＝3，即|z－i|的最大值为3.故选C.
答案：(1)B　(2)A　(3)C
巩固训练3　解析：(1)因为i4k＋1＋i4k＋2＋i4k＋3＋i4k＋4＝i－1－i＋1＝0，k∈N，则z＝＝＝＝－i，所以＝－i在复平面上所对应的点为(－)位于第二象限．故选B.
(2)复数z满足z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x－1＋(y＋1)i|＝2，
∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故选D.
(3)复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么|z＋＋i|表示单位圆上的点到Q(－，－1)的距离，要使此距离取最大值的复数z，就是(－，－1)和(0，0)连线和单位圆在第一象限的交点M.∵点(－，－1)到原点距离是2.单位圆半径是1，又∠MOx＝30°，所以M()，故对应的复数为i.故选A.
答案：(1)B　(2)D　(3)A
随堂检测
1．解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
答案：A
2．解析：因为z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
答案：A
3．解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C.
答案：C
4．解析：z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i.故选B.
答案：B

展开更多......

收起↑