资源简介

第八章 解析几何
第一节　直线的方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能
【问题1】　直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
【问题2】　
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式是什么？
关键能力·题型剖析
题型一直线的倾斜角与斜率
例1(1)直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的变化范围是(　　)
A．[] B．[]
C．[) D．[]
(2)直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
【变式练习】　若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他条件不变，则直线l的斜率的取值范围为________．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，，π)上并不是单调的．
(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在．
巩固训练1
(1)已知动直线l：x＋my－2＝0的倾斜角的取值范围是()，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－，－1) B．(－1，－)
C．(，1) D．(1，)
(2)已知点P，Q的坐标分别为(－1，1)，(2，2)，直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是__________．
题型二 求直线方程
例2(1)[2024·江苏淮安模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量，则直线l倾斜角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)一条直线l经过P(，－3)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．
题后师说
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
巩固训练2
(1)已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是(　　)
A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0
C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________．
题型三 直线方程的综合应用
例3已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【变式练习】　本例中，条件不变，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
题后师说
利用最值取得的条件求直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清楚．
巩固训练3
已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，求直线l的方程．
1．如图，已知直线PM，QP，QM的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　)
A．k1B．k1C．k2D．k32．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为(　　)
A．2x＋y－4＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0
D．2x－y＋4＝0
3．已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围为(　　)
A．(0，，π) B．[0，，π)
C．[0，，π) D．[0，，π)
4．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．
第八章　解析几何
第一节　直线的方程
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】　答案：y－y0＝k(x－x0)
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)因为直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
由于α∈[]，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈[]，即倾斜角的变化范围是[].故选B.
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[].
答案：B　
答案： []
变式练习　解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝＝－，
当直线l过A时设直线l的斜率为k2，
则k2＝＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－
答案：(－∞，－
巩固训练1　 (1)由题设知：直线斜率范围为(1，)，即1<－<，可得－1解析：如图所示，
由题知kPQ＝＝，
直线x＋my＋m＝0过点M(0，－1)．
当m＝0时，直线化为x＝0，一定与PQ相交，所以m≠0，
当m≠0时，kl＝－，考虑直线l的两个极限位置．
①l经过Q，即直线l1，则＝＝；
②l与直线PQ平行，即直线l2，则＝kPQ＝，
因为直线l与PQ的延长线相交，
所以<－<，即－3答案： B　(2)－3例2　解析：因为直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量，
所以直线l的方程为3x＋4y＝0，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，
又且0°≤θ<180°，解得cos θ＝－.
故选A.
解析：因为直线y＝x的斜率为，
所以直线y＝x的倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为tan ＝－，
因为直线l经过P(，－3)，
所以直线l的方程为y＋3＝－(x－)，即y＝－x.
答案： A　(2)y＝－x
巩固训练2　解析：由B(3，－3)，C(0，2)，得BC的中点坐标为D(，－)，又A(－5，0)，
∴kAD＝＝－.
∴BC边上中线所在直线方程是
y－0＝－(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.故选C.
解析：设在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线
方程为＝1，
把点(2，1)代入，可得＝1，求得a＝3或a＝4，
故要求的直线的方程为＝1或＝1，
即x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
答案： C　(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
例3　解析：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－，0)，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·(2－)＝[4＋(－4k)＋(－)]≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二　设直线l：＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，则1＝≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＝1，即x＋2y－4＝0.
变式练习　解析：方法一　由本例方法一知A(，0)，B(0，1－2k)(k＜0)，
所以|MA|·|MB|＝·
＝2＝2[(－k)＋]≥4.
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二　由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)()－5＝2()≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
巩固训练3　解析：设直线l的斜率为k，则k＜0，所以直线l的方程
为y－1＝k(x－1)(k＜0)
则A(1－，0)，B(0，1－k)，
∴|MA|2＋|MB|2＝[(－)2＋1]＋[1＋(－k)2]
＝2＋k2＋≥2＋2·＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
∴当|MA|2＋|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
随堂检测
1．解析：由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即k3>0，k2>0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即k1<0，
又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即k3所以k1答案：B
2．解析：由题意可知直线的斜率k＝＝－2，由点斜式方程得，
所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.
答案：A
3．解析：由直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，化为y＝－x sin α＋，
∵α∈R，∴－1≤sin α≤1，设直线l的倾斜角为φ，且0≤φ＜π，则tan α＝－sin α∈[－]，
所以0≤φ≤或≤φ<π；
即直线l的倾斜角范围是[0，，π)．故选B.
答案：B
4．解析：直线l的方程可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，则解得x＝1，y＝－4，所以直线l过定点(1，－4)．若直线l不经过第三象限，则解得a≥3.
答案：(1，－4)　[3，＋∞)第二节　两直线的位置关系
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
2．能用解方程的方法求两条直线的交点坐标．
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
问题思考·夯实技能
【问题1】　两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
【问题2】　请你写出点到几种特殊直线的距离？
①点P(x0，y0)到x轴的距离__________；
②点P(x0，y0)到y轴的距离__________；
③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离__________；
④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离__________．
关键能力·题型剖析
题型一 两直线的平行与垂直
例1(1)[2024·江西南昌模拟]已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)[2024·河南信阳模拟]设a∈R，则“a＝1”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋(a＋1)y＋2＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题后师说
(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)也可利用直线方程的系数间的关系得出结论．
巩固训练1
(1)[2024·福建龙岩模拟]△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线方程是(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0
C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0
(2)若直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：2x＋(m＋2)y＋3＝0平行，则m＝________．
题型二 两直线的交点与距离问题
例2(1)[2024·山东德州模拟]若三条直线y＝3x，x＋y＝4，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离d的最小值是(　　)
A．　　 B． C．　　 D．
(2)若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为，则实数a＝(　　)
A．2 B．－2或1
C．－1 D．－1或2
(3)[2024·河北沧州模拟]已知经过点P(2，2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1，0)到直线l的距离等于，则a的值是__________.
题后师说
(1)求点到直线的距离时，直线方程一定要化成一般式．
(2)求两平行线间的距离时，一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
巩固训练2
(1)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，相交于点P(m，－1)，则m，n的值分别是(　　)
A．7，1 B．1，7
C．－7，－1 D．－1，－7
(2)已知A(－2，4)，B(－4，6)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为(　　)
A．1或2 B．3或4
C．3 D．4
题型三 对称问题
角度一　点关于点的对称问题
例3过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
题后师说
　 若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
角度二　点关于直线的对称问题
例4一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．3x－y－3＝0
C．x－2＝0 D．4x－y－5＝0
题后师说
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
角度三　直线关于直线的对称问题
例5 直线y＝2x＋1关于直线y＝x对称的直线方程为(　　)
A．x－3y＋1＝0 B．x－3y－1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0
题后师说
直线关于直线对称的两种求解方法
巩固训练3
(1)直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线方程为(　　)
A．4x＋3y－4＝0
B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0
D．4x－3y－12＝0
(2)已知点A(2，0)，B(－2，－4)，P在直线l：x－2y＋8＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
1．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　)
A．4　　 　B．2 C．　　　D．
2．[2024·河北沧州模拟]已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则|AB|的最小值为(　　)
A．0　　 　B． C．　　　D．
3．[2024·九省联考]已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则(　　)
A．E是一个半径为的圆
B．E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为
D．E是两条平行直线
4．已知A(－1，3)，B(3，1)，从点(m，2)处射出的光线经x轴反射后，反射光线与AB平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数m＝________.
状元笔记 直线系方程
直线系方程是指具有某种共同性质的所有直线的集合，其方程叫直线系方程．常见的直线系方程有平行直线系、垂直直线系和过直线交点的直线系．求解直线方程时，采用设直线系方程的方法可简化运算．
例1(平行直线系方程)[2024·山西晋中模拟]经过点A(3，2)，且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．y＝－4x＋14 B．4x＋2y－8＝0
C．2x－4y＋2＝0 D．4x＋y＋14＝0
解析:令所求直线方程为4x＋y＋C＝0，则12＋2＋C＝0 C＝－14，所以，所求直线为y＝－4x＋14(或4x＋y－14＝0)．
故选A.
答案:A
例2(垂直直线系方程)过点P(1，－1)且垂直于l：x－2y＋1＝0的直线方程为(　　)
A．x＋y＋＝0 B．－2x＋y＋3＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析:设过点P(1，－1)且垂直于1：x－2y＋1＝0的直线方程为2x＋y＋m＝0，
将点P(1，－1)代入，可得2－1＋m＝0，解得m＝－1，
所以所求直线方程为2x＋y－1＝0.
故选D.
答案:D
例3 (过直线交点的直线系方程)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，则过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为(　　)
A．4x－3y＋6＝0 B．4x＋3y－6＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．3x＋4y－6＝0
解析:设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
因为直线l与l3：3x－4y＋5＝0垂直，
所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11，
所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.故选B.
答案:B
第二节　两直线的位置关系
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案:不是．垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
【问题2】　答案:①d＝|y0|　②d＝|x0|　③d＝|y0－a|　
④d＝|x0－b|
关键能力·题型剖析
例1　解析：因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，则1·a＋1·b＝0，所以a＋b＝0.故选B.
解析：当a＝1时，x＋2y＝0与x＋2y＋2＝0的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直线ax＋2y＝0与直线x＋(a＋1)y＋2＝0平行”，则满足a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或1，经验证，a＝－2或1时，两直线不重合，故a＝－2或1，两直线平行，故必要性不成立．故选A.
答案:B　
答案:A
巩固训练1　解析：设AB边上的高所在的直线为l，
由已知可得，kAB＝＝，所以直线l的斜率kl＝－2.
又l过C(2，3)，所以l的方程为y－3＝－2(x－2)，
整理可得，2x＋y－7＝0.故选A.
解析：因为l1∥l2，
所以m(m＋2)－4×2＝m2＋2m－8＝(m－2)(m＋4)＝0，
所以m＝2或m＝－4.
当m＝－4时，l1：2x－2y＋3＝0，l2：2x－2y＋3＝0，
l1，l2重合；
当m＝2时，l1：x＋2y－3＝0，l2：2x＋4y＋3＝0，
l1∥l2，符合题意．
答案: A　
答案:2
例2　解析：联立解得
把(1，3)代入mx＋ny＋5＝0，得m＋3n＋5＝0，∴m＝－5－3n，
∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝，
当且仅当m＝－，n＝－时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.故选D.
解析：因为两直线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0平行，
可得1×2＝(a－1)×a且1×1≠2a，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，即l1：2x＋2y＋4＝0，
可得两平行线间的距离为d＝＝，符合题意；
当a＝－1时，l1：x－2y＋2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，即l2：x－2y－1＝0，
可得两平行线间的距离为d＝＝，不符合题意，舍去．故选A.
解析：当a＝0时，直线ax－y＋1＝0，即为y＝1，则经过点P(2，2)的直线l的方程为x＝2，此时点M(1，0)到直线l的距离不等于，不符合题意，舍去；当a≠0时，可设直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即为x＋ay－2a－2＝0，可得＝，解得a＝2；
综上可得，实数a的值是2.
答案: D　
答案:A　(3)2
巩固训练2　解析：将点P(m，－1)代入直线l2：2x＋my－1＝0的方程可得2m－m－1＝0，解得m＝1；
将P(m，－1)代入直线l1：mx＋8y＋n＝0的方程可得m2－8＋n＝0，解得n＝7；故选B.
解析：由题意可得：＝，整理得|2a－5|＝|4a－7|，
则2a－5＝±(4a－7)，解得a＝1或a＝2.故选A.
答案: B　
答案: A
例3　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，故A(4，0)．
因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案: x＋4y－4＝0
例4　解析：设点P(－1，5)关于直线x－3y＋1＝0的对称点为P′(a，b)，
则
化简得解得
故反射光线过点P′(2，－4)与点(2，3)，
则反射光线所在直线的方程为x＝2.故选C.
答案:C
例5　解析：联立方程得，即直线y＝2x＋1与直线y＝x的交点为(－1，－1)．
设直线y＝2x＋1上的点(0，1)关于直线y＝x对称的点坐标为(x0，y0)，
所以解得x0＝1，y0＝0，
所以直线y＝2x＋1关于直线y＝x对称的直线过点(－1，－1)，(1，0)，
所以所求直线方程的斜率为，
所以所求直线的方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.故选C.
答案:C
巩固训练3　解析：设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线上任意一点P(x，y)，
则P(x，y)关于A(1，1)的对称点为(2－x，2－y)，
又因为(2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上，
所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故选B.
解析：设A关于l的对称点为A′(m，n)
则解得m＝－2，n＝8，
∴A′(－2，8)，则|A′B|＝12，
所以|PA|＋|PB|的最小值是12.
答案: B　(2)12
随堂检测
1．解析：解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点()，
依题意，＝k，解得k＝4，
所以实数k＝4.故选A.
答案:A
2．解析：由题意可知直线l1∥l2，所以当AB⊥l1，且AB⊥l2时，|AB|有最小值，
其最小值为平行直线 l1与l2的距离，
直线l1的方程可化为l2：4x＋2y－4＝0，
所以|AB|min＝＝.故选C.
答案:C
3．解析：设P(x，y)，由＝(1，－3)，则Q(x－1，y＋3)，
由Q在直线l：x＋2y＋1＝0上，故x－1＋2(y＋3)＋1＝0，
化简得x＋2y＋6＝0，即P的轨迹E为直线且与直线l平行，
E上的点到l的距离d＝＝，故ABD错误，C正确．故选C.
答案:C
4．解析：因为kAB＝＝－，故可设反射光线的方程为x＋2y＋C＝0，
因为B到该直线的距离为，故＝，解得C＝0或－10.
当C＝0时，反射光线的方程为x＋2y＝0，
点(m，2)关于x轴对称的点坐标为(m，－2)，显然点(m，－2)在反射光线上，
把点(m，－2)代入方程得m－4＝0，故m＝4；
当C＝－10时，反射光线的方程为x＋2y－10＝0，
将点(m，－2)代入方程解得m＝14.综上，m＝4或14.
答案:4或14第三节　圆的方程
1.掌握确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】　圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
【问题2】　所有的二元二次方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0都可以表示圆吗？
关键能力·题型剖析
题型一 圆的方程
例1 (1)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y－3)2＝8
C．(x－3)2＋(y－6)2＝2
D．(x－3)2＋(y－6)2＝10
(2)[2024·江西吉安模拟]请写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程为________________．
题后师说
求圆的方程的两种方法
巩固训练1
(1)已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
(2)设圆C圆心在射线y＝x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－8x－6y＝0
B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0
D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
题后师说
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
巩固训练2
(1)点P(1，0)，点Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　)
A．(x－)2＋y2＝1
B．x2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－)2＝1
D．(x－)2＋y2＝4
(2)[2024·湖南郴州模拟]已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为(　　)
A．(x－4)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－4)2＝11
C．(x－2)2＋(y－4)2＝16
D．(x－4)2＋(y－2)2＝11
题型三与圆有关的最值问题
角度一　利用几何意义求最值
例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求3x－y的最大值和最小值；
(2)求(x－3)2＋(y－1)2的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
题后师说
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
角度二　利用对称性求最值
例4已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1.圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
题后师说
形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：
(1)减少动点的个数．
(2)“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
角度三　建立函数关系求最值
例5已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
巩固训练3
(1)设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)
A．6 B．25
C．26 D．36
(2)一束光线，从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是________．
1.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2关于直线x－y＝0对称的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝2
2．已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，＋∞)
B．(－1，0)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
3．[2022·全国甲卷]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
4．[2022·全国乙卷]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
第三节　圆的方程
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径长．
圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出．
【问题2】　答案：不可以．只有二元二次方程的二次项系数A＝B≠0，D2＋E2－4AF>0才能表示圆．
关键能力·题型剖析
例1　解析：圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，
可得线段AB的中点为(3，4)，又kAB＝＝－1，
所以线段AB的中垂线的方程为y－4＝x－3，
即x－y＋1＝0，
由解得
即C(2，3)，圆C的半径r＝＝2，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.故选A.
解析：设O为直径的一个端点，O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2为圆的直径，
可知半径r＝，又若圆心(a，b)在直线y＝x上，且a2＋b2＝2，
解得a＝b＝1，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：A　(2)(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)
巩固训练1　解析：根据题意知圆心为(－2，1)，半径为2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2＝4.故选B.
解析：因为圆心在射线y＝x(x≤0)上，故设圆心为(a，a)(a≤0)，
又半径为5，且经过坐标原点，所以 ＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，
即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.故选C.
答案： B　
答案：C
例2　解析：设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.故直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．故点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
巩固训练2　解析：设点M的坐标为M(x，y)，因为M点是线段PQ的中点，
可得Q(2x－1，2y)，点Q在圆上，
则(2x－1)2＋(2y)2＝4，即(x－)2＋y2＝1.故选A.
解析：因为AB中点为P，所以CP⊥AB，又|AB|＝6，所以|CP|＝ ＝4，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.
答案： A　
答案：C
例3　解析：因为x2＋y2－4x－5＝0，即(x－2)2＋y2＝9，所以圆心为C(2，0)，半径r＝3，
令3x－y＝z，即3x－y－z＝0，则圆心到直线的距离d＝≤3，
所以6－3≤z≤6＋3，即3x－y的最大值为6＋3，最小值为6－3.
解析：(x－3)2＋(y－1)2表示圆上的点A(x，y)与点B(3，1)的距离的平方，
因为|BC|＝＝，
所以(r－|BC|)2≤|AB|2≤(r＋|BC|)2，即≤11＋6，
所以(x－3)2＋(y－1)2的最小值为11－6，最大值为11＋6.
解析：表示圆上的点A(x，y)与点D(－3，2)连线的斜率，
设过点D(－3，2)的直线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，
所以d＝≤3，即16k2＋20k－5≤0，解得≤k≤，
所以的最大值为，最小值为.
例4　解析：两圆的圆心均在第一象限，圆C1(2，3)，半径为1，圆C2(3，4)，半径为3.
作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，
所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.故选A.
答案：A
例5　解析：＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
∵P(x，y)在圆上，
∴ ·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，
∵2≤y≤4，∴·≤12.
答案：12
巩固训练3　解析： (x－5)2＋(y＋4)2表示圆C上的点到点(5，－4)的距离的平方，
∵圆C(x－2)2＋y2＝1的圆心C(2，0)，半径为1，
圆心C到点(5，－4)的距离为＝5，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(5＋1)2＝36.故选D.
解析：由圆C的方程可得圆心坐标C(3，3)，半径r＝1，设A点关于x轴对称点A′(－2，2)，连接A′C交x轴于Q点，交圆C于P点，则A′P为所求的最短距离，证明如下：
任取x轴上一点Q，则|AQ|＋|QP|＝|A′Q|＋|QP|≥|A′P|，
当且仅当A′，Q，P三点共线时取等号，
所以|A′P|＝|A′C|－r＝－1＝5－1.
答案： D　(2)5－1
随堂检测
1．解析：由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，可知圆心坐标为(1，2)，半径为，
因为点(1，2)关于直线y＝x的对称点为(2，1)，
所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2关于直线x－y＝0对称的圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝2，故选C.
答案：C
2．解析：因为点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，
所以解得a∈(－1，0)
故选C.
答案：C
3．解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a)．由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝＝，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
4．解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)．(1)若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝ ＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组解得则半径r＝ ＝，所以圆的方程为＋＝.(4)若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组解得则半径r＝＝，所以圆的方程为＋(y－1)2＝.
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－)2＝或(x－)2＋(y－1)2＝]第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】　几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
【问题2】　将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
关键能力·题型剖析
题型一 直线与圆的位置关系
例1(1)已知M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l：ax＋by＝r2，则(　　)
A．m∥l且l与圆相交
B．m⊥l且l与圆相离
C．m∥l且l与圆相离
D．m⊥l且l与圆相交
(2)[2024·广东茂名模拟]已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题后师说
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切．
巩固训练1
(1)设m∈R，则直线l：mx＋y－m－1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为(　　)
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相交
(2)若直线l：x－y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则实数a的最小值是________.
题型二 圆的弦长及切线问题
角度一　弦长问题
例2(1)已知⊙O的圆心是坐标原点O，且截直线x－y＋2＝0得到的弦长为2，则⊙O的方程为(　　)
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8
C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16
(2)[2024·湖北荆州模拟]若直线x－2y＋a＝0被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为__________．
题后师说
角度二　切线问题
例3(1)[2024·河北张家口模拟]过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切线，则切线方程为(　　)
A．x＋y－2＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点P(－4，a)作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|＝(　　)
A．2 B．±4
C．2 D．7
题后师说
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
角度三　有关弦长、切线的最值(范围)问题
例4(1)[2024·湖北武汉模拟]已知直线l：x＋y－3＝0上的两点A，B，且|AB|＝1，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任一点，则△PAB的面积的最大值为(　　)
A．＋1 B．2＋2
C．－1 D．2－2
(2)[2024·河南开封模拟]过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
题后师说
涉及与圆的弦长、切线有关线段长度的最值(范围)问题，解题的关键是弄清楚圆心到已知直线的最短距离，然后再解决问题．
巩固训练2
(1)[2024·吉林延边模拟]经过P(2，3)向圆x2＋y2＝4作切线，切线方程为(　　)
A．5x－12y＋26＝0
B．13x－12y＋10＝0
C．5x－12y＋26＝0或x＝2
D．13x－12y＋10＝0或x＝2
(2)[2024·广东深圳模拟]若过点M(2，1)的直线l与圆O：x2＋y2＝8交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为(　　)
A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．2x＋y－5＝0
题型三 圆与圆的位置关系
例5(1)(多选)[2024·广东珠海模拟]已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　)
A．C1与C2的公切线恰有4条
B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0
C．C1与C2相交弦的弦长为
D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则＝12
(2)[2024·山东潍坊模拟]已知圆C：x2＋y2－4x cos θ－4y sin θ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________．
题后师说
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
(3)求两圆公共弦长时，在其中一圆中，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．
巩固训练3
(1)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，则圆C1与C2的位置关系是(　　)
A．内含 　B．相交
C．外切 　D．相离
(2)[2024·河南驻马店模拟]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为(　　)
A．2ax＋by－1＝0 　B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0 　D．2ax＋2by－3＝0
1．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
2．(多选)[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
3．[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
4．[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆＝1有公共点，则a的取值范围是________．
第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”．判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
【问题2】　答案：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在直线．
关键能力·题型剖析
例1　解析：由kOM＝＝可知，以M为中点的弦所在直线m的斜率为－，
则直线m的方程为y＝－x＋b＋，直线l的方程可化为y＝－x＋，
因为M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，所以a2＋b2由>＝b＋可知，m∥l，
圆心O到直线l：ax＋by＝r2的距离为d＝>r.
故直线l与圆相离．故选C.
解析：由圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圆心(2，1)，半径为1，
所以直线l与圆C相交 圆心(2，1)到直线l：kx－y＝0的距离d＝<1，解得0答案：C　
答案：A
巩固训练1　解析：因为mx＋y－m－1＝0，所以m(x－1)＋y－1＝0，即直线恒过定点(1，1)；
因为点(1，1)恰在x2＋y2＝2上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切．故选C.
解析：由于直线l：x－y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，
因此圆心C(2，0)到直线l：x－y＋a＝0的距离d＝≤1，
于是|2＋a|≤2，解得a∈[－4，0]，因此实数a的最小值是－4.
答案： C　
答案：－4
例2　解析：由题意，原点到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝，
设⊙O的半径为r，因为⊙O被直线x－y＋2＝0截得的弦长为2，
由圆的弦长公式，可得2＝2＝2，解得r＝2，
又由⊙O的圆心为坐标原点，所以圆⊙O的方程为x2＋y2＝8.
故选B.
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径r＝1，
弦长为2，则直线过圆心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.
答案： B　(2)1
例3　解析：由题意可知：圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心E(2，－1)，半径r＝，
∵12＋12－4×1＋2×1＝0，
∴点P在圆E上，
又∵kPE＝＝－2，则切线的斜率k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.故选C.
解析：由圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0，可得(x－3)2＋(y－1)2＝9，
所以圆心C(3，1)，半径为r＝3，
又由直线l：x＋ay－1＝0是圆C的对称轴，即直线l过圆心C(3，1)，
即3＋a－1＝0，解得a＝－2，即P(－4，－2)，
则|PC|＝＝，
所以切线长为|PA|＝＝＝7.故选D.
答案： C　
答案：D
例4　解析：把圆D：x2＋y2＋2x－3＝0变形为(x＋1)2＋y2＝4，
则圆心D(－1，0)，半径r＝2，
圆心D到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝＝2，
则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d＋r＝2＋2，又|AB|＝1，
∴△PAB的面积的最大值为×(2＋2)×1＝＋1.
故选A.
解析：圆M：x2＋(y－4)2＝1的圆心M(0，4)到直线l：3x＋4y－1＝0的距离d＝＝3，
故|MP|的最小值是3，又因为|MA|＝1，则|AP|＝≥2，
故△AMP的面积的最小值是S＝×1×2＝，故四边形MAPB的面积的最小值是2.故选D.
答案： A　
答案：D
巩固训练2　解析：①当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线．
②当切线斜率存在时，设切线方程为l：y－3＝k(x－2)，
由(0，0)到切线距离为d＝＝2得k＝，
此时切线方程为y－3＝(x－2)即5x－12y＋26＝0.故选C.
解析：
当AB最短时，直线l⊥OM，
所以kl·kOM＝－1.
又kOM＝，所以kl＝－2，
所以l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故选D.
答案：C　
答案：D
例5　解析：由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，
圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，
|C1C2|＝＝5，r2－r1故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，
C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2＝，故C错误；
若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确．故选BD.
解析：圆C标准方程为(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝4，
圆C的圆心为(2cos θ，2sin θ)，半径为2，
由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是：x2＋y2＝16.
答案： BD　(2)x2＋y2＝16
巩固训练3　解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为C2(3，4)，半径r2＝2，
因为|C1C2|＝＝5>r1＋r2＝3，
所以两圆相离，故选D.
解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，
所以＝，解得a2＋b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故选D.
答案： D　
答案：D
随堂检测
1.
解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝.故选B.
答案：B
2．解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
3．解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y)．由O1A＝，得A(，)．因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－)．由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋＝k(x＋1)．由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
4．解析：因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.
答案：[]第五节　椭圆
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．掌握椭圆的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　“动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)”是“点P的轨迹是椭圆”的什么条件？
【问题2】　椭圆方程中参数a，b，c之间的关系是什么？并在图中表示出来．
关键能力·题型剖析
题型一 椭圆的定义及应用
例1(1)[2024·山东滨州模拟]已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16，圆I与圆O1，O2均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
(2)设点P为椭圆C：＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
【变式练习】　若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“PF1⊥PF2”，则△PF1F2的面积为________．
题后师说
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
巩固训练1
(1)设椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上的点P，Q满足P，Q，F1三点共线，则△F2PQ的周长为(　　)
A．2a　　　B．2b　　　C．4a　　　D．4b
(2)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知F(1，0)为椭圆＝1的焦点，P为椭圆上一动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．6－ B．1
C．6－2 D．6－
题型二 椭圆的标准方程
角度一　定义法
例2[2024·江西吉安模拟]已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＋x2＝1 D．＋y2＝1
角度二　待定系数法
例3若A(－2，0)，B(1，2)，C(1，)，D(1，－)四个点中恰有三个点在椭圆上，则椭圆的标准方程为________．
题后师说
求椭圆方程的常用方法
巩固训练2
(1)若k∈R，则“－2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知F1，F2为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若P(1，)在椭圆上，且满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆C的方程为________．
题型三 椭圆的几何性质
角度一　离心率
例4(1)[2024·安徽阜阳模拟]已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若△ABF为直角三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2024·河南新乡模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线AM，AN的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(3)[2024·广东河源模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线y＝－x的对称点P落在C上或C内，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
题后师说
求椭圆离心率或其范围的方法
巩固训练3
(1)[2024·九省联考]椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝(　　)
A． B．
C． D．2
(2)椭圆＝1(a>b>0)的四个顶点ABCD构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e＝________．
角度二　与椭圆有关的范围(最值)问题
例5[2024·重庆沙坪坝模拟]过椭圆＝1上一动点P分别向圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2＋2|PN|2的取值范围为____________．
题后师说
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、椭圆的定义、椭圆性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用基本不等式．
巩固训练4
已知F1，F2为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，∠F1MF2的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
1．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
2．[2023·全国甲卷]设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．5
3．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12
C．9 D．6
第五节　椭圆
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)成立．
若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)，当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．
所以“动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)”是“点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．
【问题2】　答案：c2＝a2－b2.
关键能力·题型剖析
例1　解析：由圆O1：x2＋y2＝1可得，圆心O1(0，0)，半径r1＝1；
由圆O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16可得，圆心O2(2，2)，半径r2＝4.
又|O1O2|＝＝2，且|O1O2|＝2<3＝r2－r1，
所以两圆内含，又r1设圆I的半径为R.
由题意结合图象可得，圆I应与圆O1外切，与圆O2内切．
则有，
所以|O2I|＋|O1I|＝r1＋r2＝5>|O1O2|，
根据椭圆的定义可得，圆I的圆心I的轨迹为椭圆．故选B.
解析：由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝＝.
答案： B　(2)
变式练习　答案：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
＝4(a2－4)＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
＝4.
巩固训练1　解析：椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，显然椭圆的弦PQ经过点F1，
由椭圆的定义得，△F2PQ的周长|PF2|＋|PQ|＋|QF2|＝|PF2|＋|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＝4a.故选C.
解析：
由F(1，0)为椭圆＝1的焦点，
∴c＝1，a2＝9，b2＝m，
∴9＝m＋1，∴m＝8，
设椭圆的左焦点为F1，由椭圆的定义得|PF|＝2a－|PF1|＝6－|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≥6－|AF1|＝6－，
所以|PF|＋|PA|的最小值为6－.故选A.
答案： C　
答案：A
例2　
解析：由对称性|AF2|＝|AB|＝，又|F1F2|＝2，则|AF1|＝＝ ＝，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，又c＝1，则b＝＝，
椭圆的标准方程为＝1.故选B.
答案：B
例3　答案：因为椭圆是对称图形，所以C(1，)，D(1，－)必在椭圆上．
又点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，所以点B(1，2)不在椭圆上，所以点A(－2，0)在椭圆上．
设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则得所以椭圆的方程为＝1.
巩固训练2　解析：若方程＝1表示椭圆，
则解得－2所以“－2解析：由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
可得a＝2，
将P(1，)代入椭圆方程，可得＝1，解得b＝，
即椭圆的方程为＝1.
答案： B　
答案：＝1
例4　
解析：如图，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝，由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，且b2＝a2－c2，e＝>0，得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝.故选C.
解析：由题意，椭圆C的左顶点为A(－a，0)，
因为点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(-x0，y0)，
所以kAM＝，kAN＝，可得kAMkAN＝·＝＝，
又因为＝1，即，
代入可得＝，所以离心率为e＝＝＝＝.故选D.
解析：设C的半焦距为c，则F(－c，0)关于直线y＝－x的对称点P的坐标为(0，c)，
因为P落在C上或C内，所以b≥c，所以a2－c2＝b2≥c2，则a2≥2c2，
两边同时除以a2，解得e∈(0，].
答案： C　
答案：D　(3)(0，]
巩固训练3　解析：由题意得e＝＝＝，解得a＝.故选A.
解析：由题设，内切圆半径为c＝，故ab＝c·，
所以a2b2＝a2c2＋b2c2，则a4－3a2c2＋c4＝0，即e4－3e2＋1＝0，
所以e2＝，(e2＝>1舍)，故e＝.
答案： A　(2)
例5　解析：∵a＝6，b＝3，c＝＝3，易知C1(－3，0)，C2(3，0)为椭圆的两个焦点，
|PM|2＋2|PN|2＝|PC1|2－4＋2(|PC2|2－1)＝－6，
根据椭圆定义|PC1|＋|PC2|＝2a＝12，
设|PC2|＝t，则a－c≤t≤a＋c，即3≤t≤9，
则|PM|2＋2|PN|2＝(12－t)2＋2t2－6＝3t2－24t＋138＝3(t2－8t＋46)，
当t＝4时，|PM|2＋2|PN|2取到最小值90.
当t＝9时，|PM|2＋2|PN|2取到最大值165.
故|PM|2＋2|PN|2的取值范围为：[90，165].
答案：[90，165]
巩固训练4　解析：∵e＝＝，∴a＝2c，
M为椭圆上一动点，设|MF1|＝m，
|MF2|＝n，则m＋n＝2a，
在△MF1F2中，由余弦定理可得：cos ∠F1MF2＝
＝＝－1
≥－1＝－1＝，
当且仅当m＝n时“＝”成立．
∴cos ∠F1MF2的最小值为，又∠F1MF2∈(0，π)，
∴∠F1MF2的最大值为.故选A.
答案：A
随堂检测
1．解析：由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，得a＝.故选A.
答案：A
2．解析：方法一　因为＝0，所以PF1⊥PF2，则＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
方法二　因为＝0，所以PF1⊥PF2，所以＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
答案：B
3．解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C.
答案：C
4．解析：由题，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤()2＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．故选C.
答案：C第六节　双曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3．了解双曲线的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
【问题2】　如何由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求出其渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程为y＝kx，如何设双曲线方程？
关键能力·题型剖析
题型一 双曲线的定义及应用
例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
(2)已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为(　　)
A．2 B．2
C． D．2
题后师说
(1)在利用双曲线的定义求双曲线的轨迹时，要注意分清是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
巩固训练1
(1)[2024·江西上饶模拟]已知圆x2＋y2－4y＝0的圆心为S，过点T(0，－2)的直线m交圆S于C，D两点，过点T作SC的平行线，交直线SD于点M，则点M的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
(2)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与双曲线右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．不能确定
题型二 双曲线的标准方程
例2(1)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2024·河南许昌模拟]已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(3)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PQ|＝4，△PQF1的周长为20，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
题后师说
求双曲线方程的两种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北张家口模拟]“k>2”是“＝1表示双曲线”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知点F1，F2分别是等轴双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题型三 双曲线的几何性质
角度一　渐近线
例3(1)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
题后师说
求双曲线渐近线方程的两种常用方法
角度二　离心率
例4(1)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|OP|＝c，|PF|＝2a，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
(2)[2024·九省联考]设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
题后师说
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
巩固训练3
(1)[2024·江苏镇江模拟]点(0，4)到双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．5
(2)[2024·河北唐山模拟]已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为______．
(3)[2024·安徽黄山模拟]设双曲线＝1(a>0，b>0)，其右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点H，且与另一条渐近线交于点Q，若＝，则双曲线的离心离为__________．
1.(多选)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.
3．[2022·全国甲卷] 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，则C的离心率为________．
第六节　双曲线
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：若A＞0，B＜0表示焦点在x轴上的双曲线；若A＜0，B＞0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB＜0.
【问题2】　答案：由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求渐近线方程，只需把1变成0，整理得±＝0.反过来，若双曲线的渐近线方程为y＝kx，则双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
关键能力·题型剖析
例1　解析：
如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.
解析：设θ＝∠F1PF2＝60°，则＝|PF1||PF2|sin θ，
而cos θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故选D.
答案： A　
答案：D
巩固训练1　解析： x2＋y2－4y＝0，即圆x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因为SC平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故点M的轨迹为双曲线．
故选D.
解析：双曲线x2－my2＝1(m>0)的实半轴长a＝1，
由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故选C.
答案： D　
答案：C
例2　解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为＝1.故选B.
解析：根据渐近线方程可设双曲线C方程为：＝λ(λ≠0)，
∵双曲线C过点(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴双曲线C的标准方程为＝1.故选A.
解析：因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，
因为过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
则△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，则b＝1，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.故选C.
答案： B　
答案：A　
答案：C
巩固训练2　解析：当(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2时，＝1表示双曲线，
所以“k>2”是“＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选B.
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中点，所以PF1⊥PF2，
a＝b，则c＝a，
解得a＝2，
所以双曲线方程为＝1.故选D.
答案： B　
答案：D
例3　解析：由题意可得x2－my2＝1 ＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋ m＝，
渐近线方程为y＝± x＝±x.故选D.
解析：设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
因为＝ ＝，所以＝4，则＝2，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
答案： D　
答案：C
例4　解析：
由题意知点P在第一象限且在双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上，
设渐近线的倾斜角为α，则tan α＝，即＝，
结合sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝±，
结合题意可知α∈(0，)，故cos α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cos α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cos α，
即cos α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故选B.
解析：由双曲线的对称性可知＝＝，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令＝＝m，则＝＝2m，
由双曲线定义可知＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D.
答案： B　
答案：D
巩固训练3　解析：由题意可得双曲线的一条渐近线为：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距离为d＝＝＝，所以＝，
不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故选C.
解析：直线x－y－2＝0与x轴交点为(2，0)，斜率为，
由题意解得
所以双曲线的实轴长为2a＝2.
解析：设点H为第一象限内一点，如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，因为＝，则H为FQ的中点，
又因为OH⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因为∠QOH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，则∠FOH＝，
直线OH的方程为y＝x，则＝tan ＝，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝2.
答案： C　
答案：2　
答案：2
随堂检测
1．解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1 y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.
答案：ACD
2．解析：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
3．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
答案：
4．解析：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
答案：第七节　抛物线
1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点)．
3．了解抛物线的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　抛物线的定义中，为什么要强调直线l不经过点F
【问题2】　抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是什么？
关键能力·题型剖析
题型一 抛物线的定义
例1(1)[2024·江西南昌模拟]已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，A，B，C为E上的三点，若＝)，则||＋||＋||＝________．
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝x2上，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽宁辽阳模拟]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．12
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q(6，3)，则△PQF周长的最小值为(　　)
A．13　　　B．12　　　C．10　　　D．8
题型二 抛物线的标准方程
例2(1)[2024·河南郑州模拟]抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，一条平行于y轴的光线，经过点A(1，4)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是(　　)
A．y＝－ B．y＝－1
C．y＝－2 D．y＝－4
(2)
[2024·北京丰台模拟]在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________________________________________．
题型三 抛物线的几何性质
例3(1)已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝|BF| D．|BF|＝4
题后师说
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
巩固训练3
(1)直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝(　　)
A．4 B． C．8 D．
(2)[2024·山东青岛模拟]已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________．
1．[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
2．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
3．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________.
4．[2022·全国乙卷]已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
第七节　抛物线
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：若直线l经过点F，则到点F与到直线l的距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
【问题2】　答案：焦点F到准线l的距离．
关键能力·题型剖析
例1　
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，
由＝)，得1－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1，
延长PM交准线于N，连PF，显然PN垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：
|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，
而|AF|＝，所以|PA|＋|PM|的最小值为－1.
答案：(1)6　(2)－1
巩固训练1　
解析：由题意可得|MF|＝2＋＝4，则p＝4.故选B.
解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，
记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2，
记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d′，
则|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PQ|＋d＋≥d′＋5＝8＋5＝13.故选A.
答案： B
答案：A
例2　解析：由题意可知，抛物线的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以|AB|＋|BF|＝4＋＝5，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝－1.故选B.
解析：以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，
由题意得A(80，－40)，将其代入抛物线方程得6 400＝80p，
解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米．
答案： B　(2)80
巩固训练2　解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1的距离相同，因此－＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．
将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
答案： C　(2)y2＝－8x或x2＝－y
例3　解析：抛物线的焦点F为(，0)，由重心的性质有xA＋xB＋xC＝3xF＝，又由抛物线的定义知|FA|＝xA＋，同理可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋＝3xF＋，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝3.故选C.
解析：如图所示，分别过A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足为E，M，抛物线的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知|AE|＝|AF|，所以△AEF是等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AE|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，又PF∥AE，所以F为AD中点，则＝，B正确；所以∠DAE＝60°，∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C错误；因为|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误．故选AB.
答案： C　
答案：AB
巩固训练3　解析：抛物线的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，
设＝＝6x2，
因为|AF|＝3|BF|，所以x1＋＝3(x2＋)，得x1＝3x2＋3，　①
因为|AF|＝3|BF|，所以|y1|＝3|y2|，即x1＝9x2，　②
由方程①②可得x1＝，x2＝，
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋3＝8.故选C.
解析：根据抛物线的对称性可知：由△OEF为等边三角形，所以E，F关于坐标轴x轴对称，由|EO|＝4，∠EOx＝30°，所以E(2，2)，将E(2，2)代入可得4＝4p p＝.
答案：C　(2)
随堂检测
1．解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2)．根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
答案：B
2．解析：抛物线的焦点坐标为，
其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
答案：B
3．解析：不妨设P(，p)，∴Q(6＋，0)，＝(6，－p)，∵PQ⊥OP，∴×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
答案：x＝－
4．解析：由题意可得：()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－(－)＝.
答案：第八节　直线与圆锥曲线的位置关系
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．
2．掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式．
3．能利用方程即数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】　AB为椭圆＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，弦的中点为M(x0，y0)，请你推出直线AB的斜率的表达式．
【问题2】　AB为双曲线＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，弦的中点为M(x0，y0)，请你推出直线AB的斜率的表达式．
关键能力·题型剖析
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1(1)直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A． B．－
C．± D．±
(2)已知双曲线 C：＝1(n>0)的一条渐近线方程为4x＋ny＝0，若直线l：y＝kx－2k与C只有一个公共点，则实数k的值为________.
题后师说
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
巩固训练1
(1)[2024·辽宁沈阳模拟]命题p：直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py有且仅有一个公共点，命题q：直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py相切，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2024·江西九江模拟]直线y＝x与双曲线＝1(a>0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则离心率e＝______．
题型二 弦长问题
例2[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.
题后师说
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
巩固训练2
[2024·河北保定模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程．
题型三 中点弦问题
例3[2024·河南洛阳模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的长轴比短轴长2，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，求l的方程．
题后师说
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
(1)根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
巩固训练3
(1)[2024·吉林长春模拟]直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)双曲线E：＝1(a>0，b>0)被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为(2，1)，则双曲线E的离心率为 ______．
1．[2022·全国甲卷]椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　)
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
3．[2022·全国甲卷]记双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
4．[2022·新高考Ⅱ卷] 已知椭圆＝1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则直线l的方程为________________．
第八节　直线与圆锥曲线的位置关系
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以
①－②得＝0，易知y1＋y2≠0，
整理得＝－·＝－，
即直线AB的斜率k＝－.
【问题2】　答案：因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以
①－②得＝0，整理得＝·＝，即直线AB的斜率k＝.
关键能力·题型剖析
例1　解析：由得，(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±，
故选C.
解析：由双曲线 C：＝1(n>0)可得a＝2，b＝，且双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的渐近线为y＝±x，
因为双曲线的一条渐近线方程为4x＋ny＝0，即y＝－x，
可得＝，解得n＝4，
所以双曲线C：＝1.
联立方程消去y得(x－2)[(1－k2)x＋2(k2＋1)]＝0，
当1－k2＝0，即k＝±1时，则4(x－2)＝0，解得x＝2，
故直线l：y＝kx－2k与C只有一个公共点，符合题意；
当1－k2≠0，即k∈(－∞，－1)时，
则(x－2)[(1－k2)x＋2k2＋2]＝0，解得x＝2或x＝＝2(1＋)≠2，
故直线l：y＝kx－2k与C有两个公共点，不符合题意；
综上所述k＝±1.
答案： C　(2)k＝±1
巩固训练1　解析：∵抛物线x2＝2py的对称轴为y轴，
∴一条直线与抛物线x2＝2py有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与x轴垂直，
∵直线y＝kx＋b存在斜率，与x轴不垂直，
∴“直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py有且仅有一个公共点”等价于“直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py相切”，则命题p是命题q的充要条件．故选C.
解析：由A，B两点在直线y＝x上，设A(x0，x0)(x0>0)，
因为A，B两点关于原点对称，所以B(－x0，－x0)，
由A，B两点的横坐标之积为－9得x0×(－x0)＝－9，解得x0＝3，所以A(3，2)，
代入双曲线方程得＝1，所以a＝，
所以c＝＝，所以离心率为＝＝.
答案： C　(2)
例2　解析：设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝，化简得x2＝y－，
所以W的方程为x2＝y－.
解析：证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|)．
设B(t，t2＋)，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为y－(t2＋)＝k(x－t)，不妨设k>0，
与x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.
设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，
所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，
|BC|＝|－－2t|＝|＋2t|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，
所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)．
因为|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝
当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递减或是常函数(当k＝1时是常函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝.
令f(k)＝，k≥1，
则f′(k)＝，
当1≤k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′(k)＞0，
所以函数f(k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以f(k)≥f()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)＞≥3.
当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(1＋k2)，
又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞k(k2＋1)＝.
令g(k)＝，0则g′(k)＝，
当00，
所以函数g(k)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，
所以g(k)≥g()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.
综上，矩形ABCD的周长大于3.
巩固训练2　解析：由题意可得解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
解析：由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，故|y1－y2|＝＝ ＝，
因为△ABO的面积为，所以|OP||y1－y2|＝×1×＝＝，
设t＝，则＝，整理得(3t－1)(t－3)＝0，解得t＝3或t＝(舍去)，即m＝±.
故直线的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.
例3　解析：因为椭圆C的离心率为，所以＝1－，解得＝.
又椭圆C的长轴比短轴长2，所以2a－2b＝2，
联立方程组解得
所以椭圆C的方程为＝1.
解析：显然点M(－2，1)在椭圆9x2＋16y2＝144内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆C上，所以
两个方程相减得)＝0，
即9(x1－x2)(x1＋x2)＝－16(y1－y2)(y1＋y2)，
因为线段AB的中点为M(－2，1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
所以＝－＝.
所以l的方程为y－1＝(x＋2)，即9x－8y＋26＝0.
巩固训练3　解析：∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
两式相减得，＝－＝－，
∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为，
将(1，)代入直线y＝－x－，解得m＝－2.故选A.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kAB＝＝4，
将A，B两点坐标代入双曲线方程得：＝＝1，
将上述两式相减可得：
＝，
即＝，也即＝＝2，
所以e2＝＝＝1＋＝3，即e＝.
答案： A　(2)
随堂检测
1．解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1)．由题意，得点A(－a，0)．又直线AP，AQ的斜率之积为，所以·＝，即＝①.又点P在椭圆C上，所以＝1②.由①②，得＝，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A.
答案：A
2．解析：将点A(1，1)的坐标代入x2＝2py(p＞0)，解得p＝.所以抛物线C：x2＝y，其准线方程为y＝－，所以A错误；由y＝x2，得y′＝2x.当x＝1时，y′＝2，所以抛物线在点A(1，1)处的切线方程为y＝2x－1.令x＝0，得y＝－1，即切线y＝2x－1过点B，所以B正确；设直线PQ：y＝x1x2)．将PQ：y＝kx－1与C：x2＝y联立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ＝k2－4＞0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝＞＝2＝，所以C正确；因为|BP|·|BQ|＝|x1|·|x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD.
答案：BCD
3．解析：双曲线C的一条渐近线与C没有公共点，所以可令≤2，则e＝ ＝.又因为e>1，所以1答案：(满足14．解析：令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝1，
所以＝0，即＝0，
所以＝－，即kOE·kAB＝－，设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，
令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，
即M(－，0)，N(0，m)，所以E(－)，
即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，
又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，
所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0

展开更多......

收起↑