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双曲线专项突破-2025年高考数学一轮复习检测卷
一、单选题
1．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且在上，则的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，设是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点若为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的左 右焦点分别为为上两点，且，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且（为双曲线的半焦距），点在双曲线的左支上，点为的内心，若成立，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率 B．
C．点的横坐标为定值 D．当轴时，
11．已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则（ ）
A．双曲线的焦距为
B．点与点均在同一条定直线上
C．直线不可能与平行
D．的取值范围为
三、填空题
12．在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ．
13．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ．
14．已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， .
四、解答题
15．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率．
16．已知双曲线的离心率为2，实轴的左 右顶点分别为，虚轴的上 下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围.
17．已知平面上到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)把曲线及直线都向左平移5个单位长度，得到曲线及直线，写出及的方程（只写出结果）；
(3)若，是上的两点，且.直线交直线于点，求直线与直线所成锐角的余弦值.
18．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点．
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）若，求直线l的方程．
19．已知是双曲线的左右顶点，动点是双曲线上异于的任意一点，且满足直线与的斜率之积为3.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知点为双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线右支于A，B两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点P，O为坐标原点，直线OP交双曲线于M，N两点.设直线的斜率分别为，且.
（i）证明:双曲线在点处的切线经过点；
（ii）记，求的值.
参考答案：
1．D
【分析】求出渐近线方程，根据垂直关系得到，将代入双曲线方程，进而求出，求出实轴长.
【详解】由双曲线可得渐近线方程为，
由题意可得，将代入的方程得，
解得，
所以的实轴长为．
故选：D．
2．B
【分析】根据焦距为4得，由得，再根据渐近线方程求经过一、三象限的渐近线的斜率.
【详解】因为双曲线的焦距为4，所以，解得，
所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为.
故选：B
3．C
【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解.
【详解】因为双曲线C经过点，
所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为.
因为双曲线经过点，
所以，解得．
又因为，
所以，
则，
所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
4．D
【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解.
【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4，
结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
易得，，由得，则动点P的轨迹方程为，
如图：
又，则，且
故的周长为:，
当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为．
故选：D
5．C
【分析】根据条件，先求出右焦点为的坐标，将点代入直线方程，即可求出的值.
【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，.
设点坐标为，右焦点.
由得，解得：，
因为是双曲线得一条渐近性，所以，则，
将代入双曲线方程，得.
因为，点在第一象限内，所以，
点在直线上，所以，解得：.
故选：C
6．B
【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值.
【详解】如图：
因为为双曲线上异于的两点，
所以，即.
根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，()
令 ，得.
用代替，得直线：，令得，
所以.
设，的外接圆半径分别为，，则，，
所以，当且仅当
此时两个三角形外接圆得面积比：.
故选：B
7．D
【分析】画出示意图，根据双曲线的定义得到，再由为等边三角形，求得，在中，应用余弦定理求得的关系，得到双曲线的离心率.
【详解】
不妨设在右支，则，又，
则，，，，，
，，
即，由，.
故选：D．
8．B
【分析】建立如图平面直角坐标系，求出点M、E的坐标，代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求出余弦值即可.
【详解】设交于，
以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系，
因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面，
所以，所以，又因为底面圆半径，
所以，，所以，
设双曲线方程为，将代入，
得，解得，则双曲线的两条渐近线方程为，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在求得双曲线渐近线方程后，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值.
9．BD
【分析】由题意得关于轴对称，或关于原点对称.由向量垂直的坐标表示结合点在双曲线上可求得坐标，进而得解.
【详解】以为直径的圆经过，
又弦的中垂线过圆心，故的中点（圆心）在轴上，
关于轴对称，或关于原点对称.
当关于轴对称时，设，则，由，
得，即，
又，解得，故直线的方程为正确.
当关于关于原点对称时，设，则，由，
得，即，
又，解得，
，故直线的方程为正确.
故选：BD.

【点睛】关键点睛：关键是得到关于轴对称，或关于原点对称.由此即可顺利得解.
10．ABC
【分析】根据双曲线的离心率、内切圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
即，解得（负根舍去），所以A选项正确.
若轴，则，由，解得，
不妨设，则，所以D选项错误.
设三角形的内切圆分别与线段相切于点，
所以，
则，
解得，而，
所以，而轴，所以，所以C选项正确.
设内切圆的半径为，由于，
所以，则，
则，即，
所以B选项正确.
故选：ABC

【点睛】方法点睛：在双曲线中，求解焦点三角形有关问题，可以考虑利用双曲线的定义来进行求解.求解通径有关问题，可记住双曲线的通径长度.求解三角形内切圆有关的问题，可以考虑切线长有关知识来进行求解.
11．BD
【分析】由双曲线的渐近线，点线距及离心率求得a,b判断A;由双曲线定义结合圆的切线性质判断B,结合切化弦及二倍角公式得函数表达式求解判断D,由特殊位置判断C.
【详解】设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，即，
双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
由题意知，
所以，故双曲线的方程为，
故双曲线的焦距为，故A不正确；
对于选项，记的内切圆在边上的切点分别为，
由切线长定理可得，
由，即，
得，即，
记的横坐标为，则，于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴，即均在直线上，故B正确；
对于选项，当与轴垂直时， ，故错误；
对于选项，设直线的倾斜角为，则，
（为坐标原点），
在中，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
结合图形可知，即，所以，，故D正确.
故选:BD.
【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的几何性质及应用，选项D引入直线的倾斜角，表示函数为的函数,并注意的范围是解决问题关键.
12．
【分析】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由，可得点A的轨迹再求方程.
【详解】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，，
所以，
所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点），
且，，所以，
所以顶点A的轨迹方程为．
故答案为：．
13．9
【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案.
【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有，
因为，解得，
由双曲线的定义：，
解得或，
由图可知，可知被舍去，
所以.
故答案为：.
14． 2 18
【分析】根据双曲线的定义式和三角形内切圆的性质推得，结合，求出，得内切圆的圆心横坐标为，再由条件推出为的角平分线，从而得到的内心即点，即得结论.
【详解】
设的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则，
在双曲线右支上，由双曲线定义得，展开即得，
，
又，故，因，则得，
即内切圆的圆心横坐标为，
由，得，
可得，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为；
.
故答案为：2；18.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线的定义和三角形内切圆性质推出，结合，从而确定内切圆的圆心横坐标为，为后续求内切圆半径打下基础.
15．(1)
(2)
【分析】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，由点到直线的距离公式求出，再由求出、，即可得到双曲线方程；
（2）设，，，，由题意可知，，联立直线与的方程求出，联立直线与双曲线的方程求出，依题意可得，即可求出.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为，
所以，
又焦点到渐近线的距离为1，即，所以，
又，所以，，则双曲线的方程为；
（2）由（1）可得，，
则直线的方程为，
设，，，，由题意可知，，
由的面积是面积的倍，可得，即，
所以，
由，消去，可得，解得，
由，消去，可得，解得，
由，可得，解得或（舍去），
当时，，符合题意，
所以直线的斜率为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的性质确定四边形是菱形，结合，，的关系，解方程可得，，，进而得到双曲线方程；
（2）由得到，联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理、斜率公式即可求解.
【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，
四边形的面积为，①
又离心率为，②
联立①②可得，
双曲线的标准方程为.
（2）设，线段中点，
联立消去整理可得，
，
即且①，
.
.
.
，
②，
又③，
由①②③得或，
实数的取值范围是.
【点睛】易错点点睛：解答此类题目容易出错的地方在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的计算，一定要十分细心.
17．(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）根据求轨迹方程步骤：设点建立等量关系列式化简进行求解即可.
（2）根据向左平移5个单位长度，则曲线的中心变为即可写出曲线方程.
（3）先根据已知条件设直线方程，联立直线与曲线方程得韦达定理，再根据，得出直线方程未知参数的关系，求出点A到直线的距离，再代入进而得出所求余弦值.
【详解】（1）设为曲线上任意一点，且到直线的距离为，
则由题，所以，
两边平方整理得，即，
所以曲线的方程为：.
（2）由题曲线的方程为：；方程为：.
（3）由（1）曲线的方程为：，
由题意可知直线斜率存在且，
则可设，令，则，即
联立，
设，则，，
所以，
又因为，
所以
，
所以①，
因为，
所以，即，
所以由①点A到直线的距离为，
又因为，
设直线与直线所成锐角为，则由①：
，
所以，即.
【点睛】思路点睛：对未知直线与圆锥曲线相交问题，先根据已知条件设直线方程或，再联立方程结合已知条件探求得出未知参数关系，然后再根据问题需求求出需求量进行推理化简求解即可.
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据动圆M与圆相切，由，利用双曲线的定义求解；
（2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），与联立，由求解；（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，，然后由求解.
【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径．
动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，
所以，
所以点M在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，，
所以，
所以曲线C的方程是．
（2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），
与联立，得，
由题意知，，，即，
由韦达定理得，．
因为点A与A'关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示．

易知，
即，
化为，
即，化为，
当m变化时，该式恒成立，
所以，故直线l过定点（-3，0）．
（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，．
由，
，
，
，
化为，解得或（舍去），
故，
此时直线l的方程为．
【点睛】关键点点睛：本题（ⅱ）的关键是由直线BA'经过点，结合点A关于x轴对称的点为A'，得到 ，从而将，转化为，结合韦达定理而得解.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设，利用直线与的斜率之积为3，化简得到双曲线方程；
（2）(i)设点，双曲线在点处的切线方程为，利用题中条件求得点坐标，代入切线方程即可验证。(ii)设，由①知，再结合题中条件化简的到关系式；
【详解】（1）设由题.
也满足方程，所以双曲线的方程为
（2）(i)设点，双曲线在点处的切线方程为，
由，故为，代入，得点，
即，将坐标代入切线方程
故双曲线在点处的切线经过点
(ii)设，由①知
所以
因为点在双曲线上，故满足双曲线方程，即
所以，
综上，
又，联立直线OP双曲线E，，
根据题意知,
此方程的两根即为，所以，
即
综上，，即
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