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培优点 02 指、对、幂的大小比较（3 种核心题型+基础保分
练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小
比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、
对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
【核心题型】
题型一　直接法比较大小
利用特殊值作“中间量”
1
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，
2
有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，
例如 log23，可知 1＝log22而便于比较．
命题点 1　利用函数的性质
【例题 1】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，则实数 a，b，c 的
大小关系是（ ）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
【变式 1】（2024·四川德阳·二模）已知 a = 4ln3π ,b = 3π,c = 4lnπ3 ，则 a,b,c的大小关系是
（ ）
A． c < b < a B．b【变式 2】（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数 f x = mxn 的图象过点 2, 2 2 ，设
a = f m ,b = f n ,c = f ln 2 ，则 a、b、c 的大小用小于号连接为 ．
13
【变式 3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若 a = log23 + log3 2,b = log2e + ln2,c = ，则实数 a,b,c6
由小到大排列为 < < .
命题点 2　找中间值
【例题 2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 a = ln 5，b = log3 5， c = 5-0.3，则（ ）
A．b【变式 1】（2024· -0.3黑龙江双鸭山·模拟预测）已知a = log5 3,b = log4 3,c = 0.4 ，则（ ）
A． a < b < c B． a < c < b
C．b < c < a D． c < a < b
1
【变式 2】（2024·四川成都·三模）2-3,23 ,sin 3 , log 12 四个数中最大的数是（ ）2 3
1
A． 2-3 B． 23 C． sin
3
D． log
1
2 2 3
π
【变式 3】（2024·北京石景山·一模）设 a = 20.3 ，b = sin ， c = ln2，则（12 ）
A． c < b < a B．b命题点 3　特殊值法
【例题 3】（2024·全国·模拟预测）若 logab >1，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a > b B． ab < a + b -1 C． a + > b + D． a - < b -
b a b a
【变式 1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 a < b < 0，则 a2 > ab > b2
B．若 a < b < 0，则 ac2 < bc2
c c
C．若0 < a < b < c ，则 >
a b
b
D．若0 < a < b，则 2a + > 2 ab
2
【变式 2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若 0 < a < 1，则 ln a
1
+ -2 B．若 lg a < lgb ，则
ln a a
2 < b2
C．若 a < b < c, a + b + c = 0，则 c - a b2 > 0 D 2a．若 < 2b a,b N* ，则 a - b -1
【变式 3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 a、b的四个不等式中，恒成立的
是 ．（请填入全部正确的序号）
① ② a + b
2
a + b 2 ab ； ÷ ab；③ | a | - | b | | a - b |；④ a
2 + b2 2b -1．
è 2
题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指
数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部
分相同的情况．
-0.3
【例题 4】（2024· 1 天津·一模）已知 a = 30.3，b = log4 3， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为
è 2
（ ）
A．b < a < c B．b-0.2 π
【变式 1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 a = π ,b = log3π,c = sin ，则（ ）5
A． a < b < c B． a < c < b C． c3.2 3.2
【变式 2】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 a =1.01 ,b = 0.52 ,c = log0.523.2，则（ ）
A． a > b > c B． c > b > a
C． c > a > b D．b > a > c
1
2 -
【变式 3】（2024· · 3四川攀枝花 二模）若 a = 3 3 ,b = log e,c = 1 3 ÷ ，则（ ）
è e
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D． c > b > a
题型三　构造函数比较大小
某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住
其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，
进而比较大小．
11
【例题 5】（2024 高三·全国·专题练习）若 a =1.1,b = ln e， c = e0.1，则 a,b,c的大小关系为10
（ ）
A．b < a < c B． a < b < c C．b【变式 1】（2024·辽宁·二模）若 a =1.01+ sin0.01,b =1+ ln1.01,c = e0.01，则（ ）
A．b > c > a B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
1 ln 2 ln3
【变式 2】（2023· e 2 3辽宁·模拟预测）已知 a 1= ÷ ,b
ln 2= ln 3 ÷ ,c = ÷ ，试比较 a,b,c的
è e è 2 è 3
大小关系（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． a < c < b D． c < b < a
5 2 - ln5 1 ln4
【变式 3】（2023·湖南·模拟预测）设 a = b = c = a c
e2
， ， ，则 ，b ， 的大小顺
e 4
序为（ ）
A． a < c < b B． c < a < b C． a < b < c D．b < a < c
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·天津·二模）若 a = log1 1.9，b = log 15.8， c = 22.012 ，则 a，b ， c的大小关系为
3
（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
e
2．（2024·北京顺义·二模）已知 a = log 2 1
1
4 ，b =

÷ ， c = π 2 ，则（ ）è 2
A． a > b > c B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
2
π π
3．（2024· · π 全国 模拟预测）若 a = 22 ，b = ÷ ， c = log π cos 5 ，则（ ）è 2 2
A． a > b > c B．b > a > c C． a > c > b D．b > c > a
3
4．（2024·全国·模拟预测）若 a = log 3,b = 0.1 2 ,c = ln cos2 2023 ，则下列大小关系正确的是8
（ ）
A．b < a < c B． c < a < b C． a < b < c D． c < b < a
二、多选题
5．（2024·贵州遵义·一模）已知正实数 a，b 满足 sin a + ln a = b + ln b，则（ ）
1 1 1 1
A． 2a > b B． - -a 2 b 2 C．
log1 a < log1 b
> D． ae e e > eb
6．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，则（ ）
A． a2
1
+ b2 2 B． < 2a-b < 4 C． log2a + log2b 0 D．4 a
2 - b > 0
三、填空题
- 3
2 2 37．（2023· 1吉林长春·模拟预测）已知 a = log 3 ，b =2 2 ÷3 ÷
， c = ln ，则 a，b，c 的
è e
大小关系为 ．
8．（2023·全国·模拟预测）已知 a = ln 3，b = log11 3，现有如下说法：① a < 2b；
② a + b > 3ab；③ b - a < -ab .则正确的说法有 .（横线上填写正确命题的序号）
四、解答题
9．（22-23 高三·全国·对口高考）（1）比较 aabb与baab(a > 0,b > 0)的大小；
（2）已知 a > 2，比较 log(a-1) a与 loga (a +1)大小
10 5 -1．（2020 高三·上海·专题练习）设 a > ，且a 1，记
2
x = loga 2 , y = loga+1 2, z = log 2，试比较 x, y, za+2 的大小.
综合提升练
一、单选题
1 3．（2024·天津河东·一模）设 a = 2 ,b = log2 3,c = log 3，则 a,b,c3 的大小关系为（ ）
A．b2．（2024·河南·模拟预测）设 a = log3 2,b = log33 3,c = log2 2 2, d = 2
0.49 ，则（ ）
A． a < b = c < d B． d < c = b < a
C． a < d < b = c D． c < a < d < b
3
3．（2024· 2陕西安康·模拟预测）若 a 1= ,b = ln
2023 ,c = log 3 ，则（ ）
12 ÷ 2024 27
8
è
A．b < c < a B． a < c < b C．b < a < c D． c < b < a
3 1
4 -2．（2024·四川·模拟预测）已知a = ln ,b = ,c = e ，则 a,b,c的大小关系为（
2 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D．b > c > a
3
-
5 2023· · 3 8．（ 天津河北 一模）若 a ,b log 3= ÷ = 1 ,c = log
3，则 a,b,c的大小关系为（ ）
1
è 7 7 7 8 8
A．b < a < c B． c < b < a
C． c < a < b D．b < c < a
6．（2024·全国·模拟预测）已知 a > b >1，则下列各式一定成立的是（ ）
A． log b >1 B． ln a - b > 0 C． 2ab+1 < 2a+b D．b ×aba < a ×ba
7．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2)为偶函数，且当 x1 < x2 < 2时，
5
[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，若 a = f (1) ，b = f (ln10)， c = f (34 )，则 a，b ， c的大小关
系为（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C． b < a < c D． c < a < b
π 9π
8．（2024·全国·模拟预测）已知 a = e10 ，b =1+ sin ， c = 1.1
6 ，则 a，b ， c的大小关系为
10
（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
二、多选题
9．（2023·广东广州·模拟预测）下列是 a > b > c（ a，b ， c 0）的必要条件的是（ ）
A． ac > bc B． ac 2 > bc 2
C． 2a-c > 2a-b D．7a+b > 7b+c
x
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数 a,b,c，其中 a,c c > a > 0 e是函数 f x = - m m > e
x
b b = log 3a + 22c的两个零点．实数 满足 7 b >1 ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． a + c < b +1 B． c - a > b -1
c
C． > b D． ac < b
a
11．（2024·重庆·一模）已知3a = 5b =15，则下列结论正确的是（ ）
A． lga > lgb B． a + b = ab
a b
C 1 > 1 ． 2 ÷ ÷
D． a + b > 4
è è 2
三、填空题
12．（23-24 高三上·北京昌平·阶段练习）①在VABC 中，b = 2 ， c = 3， B = 30°，则
a = ；
②已知 a = 90.1，b = 30.4 ， c = log4 0.3，则a、b、c的大小关系是
1
13．（22-23 高三上·
3
陕西咸阳·阶段练习）已知 a = log 7 ,b = 1 ÷ ,c = log 5，则 a，b，c 的3 2 è 4 1 3
大小关系为 .
14．（2023 高三上·全国·专题练习）若 n N* ， n >1，则 logn n +1 与 logn+1 n + 2 的大小关
系为 .（用“ <”连接）
四、解答题
15．（22-23 高三上·甘肃兰州·阶段练习）比较下列两组数的大小（写出详细理由）．
(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4
(2)a=log26，b=log312，c=log515
16．（2020高三·全国·专题练习）比较大小：① 5.25-1，5.26-1 ，5.26-2 ；② 0.53 ，30.5 ， log3 0.5；
③ log0.7 6，0.76 ，60.7 ．
17．（2022 高三·全国·专题练习）已知 a,b均为正实数，且a 1．
a b 1 1
(1)比较 2 + 2 与 + 的大小；b a a b
(2)比较 log 3 2a b +1 和 loga b +1 的大小．
18．（22-23 高三下·全国·开学考试）已知函数 f x = ex - ax -1 a R 的最小值为 0．
(1)求实数 a 的值；
(2) m =1.1+ ln 0.1 m = 0.1e0.1 1设 1 ， 2 ，m3 = ，判断m1 ，m2 ，m3的大小．9
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = ax ln(x -1) - x2 + x．
(1)当 a = 2时，讨论 g(x) = f (x) - x 的单调性．
(2)若 f (x)
4
有两个零点 x1, x2 ，且 x1 < x2，证明： ln é x1 -1 x2 -1 ù > ．a
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）已知 a,b R, ab 0，且 a < b ，则（ ）
1 1
A． > B． ab < b2 C． a3 < b3 D． lg a < lg ba b
1 -0.6 1 2
2．（2024·天津·一模）已知函数 f x = x - x ，若 a = f 2 ÷ ÷÷ ,b = f log ÷，e 1èè è 2 9
1
c = f 43 ÷ ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
è
A． a < b < c B． c < b < a C． a < c < b D．b3．（2024·安徽阜阳·一模）设a = log23,b = log812,c = lg15，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < b < a
4．（2023·山西·模拟预测）已知实数 a,b,c满足 ln a
1
= ，b = 3log 2，6c7 = 7，则（ ）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 a
1 1 6
= + ，b = ln ， c = log 7 -1 ln 5，则（ ）
10 11 5 6
A． a > b > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > a > b
二、多选题
6．（2023·山东青岛·三模）已知实数 a，b，满足 a＞b＞0， ln a ln b =1，则（ ）
ab+1 a+b
A ab > e2 B log 2 < log 2 C
1 1< ． ． ． D． aabb > ab aa b 2 ÷
b
è è 2 ÷
7．（2023·云南大理·模拟预测）若12a = 3，12b = 4，则（ ）
b
A． >1 B． ab
1
>
a 4
1
C 2 2． a + b > D． 2a-b
1
>
2 2
三、填空题
8．（22-23 2高三·全国·对口高考）将0.3 , log2 0.5, log0.5 1.5由小到大排列的顺序
是： ．
9．（23-24 0.2 0.3高三上·新疆喀什·期中）已知 a = log2 0.2, b = 0.2 ,c = 0.2 ，则 a,b,c的大小关系
是 （用“＜”表示）
10．（2023 高三上·全国·竞赛）已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，则这三个数的大小关系
为 ．（用“ <”连接）
四、解答题
2
11．（2024· x + 3x + 2辽宁抚顺·三模）设函数 f x = x+1 , g x = x - ln x +1 ．e
(1)讨论 f x 的单调性．
(2)证明： g x 0 ．
(3)当 x > e -1时，证明： f x < ln x + 2 ．培优点 02 指、对、幂的大小比较（3 种核心题型+基础保分
练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小
比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、
对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
【核心题型】
题型一　直接法比较大小
利用特殊值作“中间量”
1
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，
2
有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，
例如 log23，可知 1＝log22而便于比较．
命题点 1　利用函数的性质
【例题 1】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，则实数 a，b，c 的
大小关系是（ ）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
【答案】A
3 0.6
【分析】利用指数函数单调性可得 a = 3 2、对数函数的单调性可得b = log
2 2
5 > 2 ，
c = log3 2 3
3
，从而可得结果.
2
3 5
【详解】由 y = 3x R 0.6 0.5在 上单调递增，可得3 > 3 = 3 > ，又 30.6 = 27 25 = 32 ，2
3
a = 30.6则 2．
2
由 y = log2x 在 0, + 上单调递增，可得b = log25 > log2 4 = 2．
由 y = log3x在 0, + 上单调递增，可得 c = log3 2 3 log33 3
3
= ．
2
所以b > a > c，
故选：A
【变式 1】（2024·四川德阳·二模）已知 a = 4ln3π ,b = 3π,c = 4lnπ3 ，则 a,b,c的大小关系是
（ ）
A． c b a B．b【答案】B
a,c f x ln x【分析】观察 的式子结构，构造函数 = ，利用导数判断得 f x 的单调性，从
x
而判断得 c a，再利用对数函数的单调性判断得b c ，从而得解.
【详解】因为 a = 4ln3π = 4π ln 3,b = 3π,c = 4lnπ3 = 4 3ln π，
ln x 1- ln x
观察 a,c 的式子结构，构造函数 f x = ，则 f (x) = ，
x x2
当 x (0,e)时， f (x) > 0, f (x)单调递增，
当 x (e,+ )时， f (x) 0, f (x) 单调递减，
π 3 e f (π) f (3) ln π ln 3因为 > > ，所以 ，即 π 3 ，
所以3ln π π ln 3，即 4 3ln π 4π ln 3，即 c a；
又 ln π > lne =1，所以3π 3 4 4 3ln π ，即b c ；
综上，b故选：B.
【变式 2】（2023· n甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数 f x = mx 的图象过点 2, 2 2 ，设
a = f m ,b = f n ,c = f ln 2 ，则 a、b、c 的大小用小于号连接为 ．
【答案】 c【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.
【详解】幂函数 f x = mxn的图象过点 2,2 2 ，
ìm =1
则 í n m =1,n = 3，
m( 2 ) = 2 2
3
所以幂函数的解析式为 f x = x ，且函数 f x 为单调递增函数，
又 ln 2 1 3，所以 f (ln 2) f (1) f (3)，即 c故答案为： c13
【变式 3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若 a = log23 + log3 2,b = log2e + ln2,c = ，则实数 a,b,c6
由小到大排列为 < < .
【答案】 b c a
【分析】根据给定条件，构造函数 f (x) = log2 x + log x 2, x > 2，再利用导数探讨单调性比较
大小作答.
3 2
【详解】依题意， c = + = log2 2 2 + log 2，而 a = log23 + log3 2,b = log2e + ln22 2 ，2 3
ln x ln 2
令函数 f x = log2 x + log x 2 = + , x > 2，求导得ln 2 ln x
2
f (x) 1 ln 2 (ln x) - (ln 2)
2
= - 2 = > 0，x ln 2 x(ln x) (x ln 2)(ln x)2
因此函数 f (x) 在 (2,+ ) 上单调递增，而 2 e 2 2 3，于是 f (e) f (2 2) f (3) ，
又 a = f (3),b = f (e),c = f (2 2)，所以b故答案为：b；c；a
命题点 2　找中间值
【例题 2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 a = ln 5，b = log 5， c = 5-0.33 ，则（ ）
A．b【答案】C
【分析】通过和 1 的比较可得答案.
log3 5
【详解】因为 a = ln 5 = > b = log 5 >1， c = 5-0.3log e 3 1，所以 c b a ．3
故选：C
【变式 1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知a = log5 3,b = log 3,c = 0.4
-0.3
4 ，则（ ）
A． a b c B． a c b
C．b c a D． c a b
【答案】A
【分析】由 log3 5 > log3 4 > 1，利用换底公式可判断 a b 1,利用指数性质可判断 c >1，进
而得出结果.
【详解】由题得a = log5 3
1
= ,b = log 3 1=
log 5 4 log 4 ，3 3
而 log3 5 > log3 4 > 1，所以a b 1,c = 0.4-0.3 > 0.40 =1，
所以 a b c .
故选：A.
1
2 2024· · 2-3,23 ,sin 3 , log 1【变式 】（ 四川成都 三模） 2 四个数中最大的数是（ ）2 3
3 1- sin 3 1A． 2 B． 23 C． D． log2 2 3
【答案】B
【分析】引入 0，1，分别比较这四个数和 0，1 的大小，即可得到结论.
-3 1 1 1 3 1
【详解】因为 2 = 3 = 1， 23 > 20 =1， sin 1， log = - log2 8 2 2 3 2
3 0 .
1
所以 23 最大.
故选：B
【变式 3】（2024·北京石景山·一模）设 a = 20.3 ，b = sin
π
， c = ln2，则（
12 ）
A． c b a B．b【答案】B
1
【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助1， 进行比较判断
2
选项.
π π 1
【详解】 a = 20.3 > 20 =1，b = sin sin = ，12 6 2
1
而 e 2 e，则 ln 2
1
1，即 c 1，所以b c a .
2 2
故选：B
命题点 3　特殊值法
【例题 3】（2024·全国·模拟预测）若 logab >1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． a > b B． ab a + b 1 a
1 b 1 a 1 1- C． + > + D． - b -
b a b a
【答案】D
1
【分析】由 logab >1，分类讨论 0 a 1和 a > 1可判断 A，B；取特值可判断 C；根据 y = x + x
的单调性可判断 D.
【详解】因为 logab >1，所以 logab > logaa ，
当 0 a 1时，解得 0 b a 1；当 a > 1时，解得1 a b，
所以 a -1 b -1 > 0，即 ab > a + b -1，A，B 错误.
a = 2,b = 3 a 1 1当 时， + b + ，C 错误.
b a
y x 1因为 = + 在 0,1 1 1上单调递减，在 1, + 上单调递增，所以 a + b +a b ，x
1 1
即 a - b - ，D 正确.
b a
故选：D
【变式 1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 a b 0，则 a2 > ab > b2
B．若 a b 0，则 ac2 bc2
c c
C．若0 a b c ，则 >
a b
D．若0 a b，则 2a
b
+ > 2 ab
2
【答案】AC
【分析】对 A 和 C 利用不等式性质即可判断，对 B 和 D 举反例即可反驳.
【详解】对 A，因为 a b 0，则两边同乘 a得a2 > ab ，两边同乘b 得 ab > b2 ，
则 a2 > ab > b2 ，故 A 正确；
对 B，当 c = 0 时， ac2 = bc2 ，故 B 错误；
1 1 c c
对 C，因为0 a b，则 > ，又因为 c > 0，所以 > ，故 C 正确；
a b a b
b 8
对 D，举例 a = 2,b = 8，则 2a + = 2 2 + = 8，而
2 2 2 ab = 2 2 8 = 8
，
此时两者相等，故 D 错误.
故选：AC.
【变式 2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
1
A．若 0 a 1，则 ln a + -2 B．若 lg a lgb ，则
ln a a
2 b2
C．若 a b c, a + b + c = 0，则 c - a b2 > 0 D a b．若 2 2 a,b N* ，则 a - b -1
【答案】ABD
【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.
【详解】选项 A：当 0 a 1时， ln a 0,
1
- ln a + 2 - ln a ，
ln a 1 1 1所以 + -2 ，当且仅当 ln a = ，即 a = 时等号成立，故选项 A 正确；
ln a ln a e
选项 B：由 lg a lgb 得0 a b，所以 a2 b2 ，故选项 B 正确；
选项 C：令 a = -3,b = 0,c = 3，满足 a b c, a + b + c = 0 c - a b2，但 > 0不成立，故选项 C
错误；
选项 D：由 2a 2b 得 a b ，因为 a,b N* ，所以 a +1 b，所以 a - b -1，故选项 D 正确．
故选：ABD.
【变式 3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 a、b的四个不等式中，恒成立的
是 ．（请填入全部正确的序号）
① a + b
2
a + b 2 ab ② ； ÷ ab；③ | a | - | b | | a - b |；④ a
2 + b2 2b -1．
è 2
【答案】②③④
【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证 | a | - | b | | a - b |即证 2 a b 2ab 可判
断③.
【详解】对于①，取 a = -1,b =1，故①错误；
② a + b
2
2 2ab a + b + 2ab - 4ab a
2 + b2 - 2ab a - b 2
- = = = 对于 ， ÷ ÷ 0，故②正确；
è 2 4 4 è 2
对于③，当 a b ，要证 | a | - | b | | a - b |
2 2
，即证 a - b a - b ，
即 a |2 + b |2 -2 a b a2 + b2 - 2ab，即证 2 a b 2ab ，
而 2 a b 2ab 恒成立，
当 a b 时， a - b 0, a - b 0 ，所以 | a | - | b | | a - b |，故③正确.
对于④， a2 + b2 - 2b +1 = a2 + b -1 2 0，所以 a2 + b2 2b -1，故④正确.
故答案为：②③④.
题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指
数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部
分相同的情况．
-0.3
【例题 4】（2024·天津·一模）已知 a = 30.3 b = log 3 c
1
， 4 ， = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为
è 2
（ ）
A．b a c B．b【答案】B
【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为0 = log4 1 b = log4 3 log4 4 =1，
1 -0.3c = =20.3 ÷ >1， a = 30.3 >1，
è 2
因为 y = x0.3 在 0, + 上单调递增，
所以 20.3 30.3 ，所以b故选：B
a π-0.2 ,b log π,c sin π【变式 1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 = = 3 = ，则（ ）5
A． a b c B． a c b C． c【答案】C
【分析】根据指数函数的性质判断 a 的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调性
可比较 a,c 的大小关系，结合 b 的范围，即可判断出答案.
【详解】由题意得 a = π-0.2 π0 =1，
a π-0.2 4-0.2 2-0.4 2-0.5 2 π π且 = > = > = = sin > sin = c ，
2 4 5
又b = log3π >1，故 c故选：C
2 3.2 3.2【变式 】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 a =1.01 ,b = 0.52 ,c = log0.523.2，则（ ）
A． a > b > c B． c > b > a
C． c > a > b D．b > a > c
【答案】A
【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.
【详解】幂函数 y = x3.2 在 0, + 上单调递增，故 a =1.013.2 > 0.523.2 = b > 0 ，
又 c = log0.523.2 log0.521 = 0，
所以 a > b > c .
故选：A.
1
2 -
3 2024· · 1 3【变式 】（ 四川攀枝花 二模）若 a = 3 3 ,b = log ，则（ ）3 e,c = ÷
è e
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D． c > b > a
【答案】A
【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.
1
1 2 1 1 -3
【详解】易知 y = x3 在 0, + 上单调递增，则 3 3 = 33 > e3 = 1 ÷ ，即 a > c ，
è e
x
而由 y = a
1 1
a >1 单调递增，得33 > 30 =1,e3 > e0 =1，即 a > c >1，
又 y = log3 x单调递增，故1 = log3 3 > b = log3 e,则 a > c >1 > b .
故选：A
题型三　构造函数比较大小
某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住
其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，
进而比较大小．
11
【例题 5】（2024 高三·全国·专题练习）若 a =1.1,b = ln e， c = e0.1，则 a,b,c的大小关系为10
（ ）
A．b a c B． a b c C．b【答案】A
【分析】构造函数m(x) = ln x - x +1, n(x) = ex - x -1，利用导数求证不等式 ln x x -1,和
ex x +1，即可求解.
【详解】设m(x) = ln x - x +1, n(x) = ex - x -1，
则当 x >1
1
时, m (x) = -1 0,m x 在 1, + 单调递减，
x
当0 x 1时，m (x) > 0, m x 在 0,1 单调递增，故当m(x) m 1 = 0，故 ln x x -1,当且仅
当 x =1时取等号，
当 x > 0,n x = ex -1 > 0 x > 0,n x 在 0, + 单调递增，
当 n x = ex -1 0 x 0, n x 在 - ,0 单调递减，所以 n(x) n(0) = 0，故 ex x +1，当且
仅当 x = 0时取等号，
b ln 11 e=ln 11所以 = +1 1.1 ，故b a ．
10 10
e0.1 >1.1，故 a c
因此b a c，
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小
【变式 1】（2024·辽宁·二模）若 a =1.01+ sin0.01,b =1+ ln1.01,c = e0.01，则（ ）
A．b > c > a B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
【答案】B
【分析】通过构造函数 f (x) =1+ x + sin x - ex ，利用导数与函数单调性间的关系，得到
1
f (x) =1+ x + sin x - ex 在区间 (0, )上单调递增，从而得出 c a，构造函数
2
G(x) = ex - ln(x +1) -1，利用导数与函数单调性间的关系，得到G(x) = ex - ln(x +1) -1在区间
0,1 上单调递增，从而得出b c ，即可得出结果.
【详解】令 f (x) =1+ x + sin x - ex ，则 f (x) =1+ cos x - ex ，
令 h(x) =1+ cos x - ex，则 h x (0,
1
(x) = -sinx - e 0在区间 )上恒成立，
2
1 1 1
f (x) (0, ) f (1) 1 cos 1 e2 1 cos π e2 1 3
1
即 在区间 上单调递减，又
2 = + - > + - = + - e
2 ，
2 2 6 2
3 3 1 3 1
而 (1+ )2 =1+ + 3 > e，所以 f ( ) =1+ - e2 > 0，
2 4 2 2
1
即 f (x) =1+ x + sin x - ex 在区间 (0, )上单调递增，所以 f (0) f (0.01)，
2
得到0 1.01+ sin 0.01- e0.01，即 e0.01 1.01+ sin 0.01，所以 c a，
1
令G(x) = ex - ln(x +1) -1 G (x) = ex，则 - ，当 x (0,1) 时，G (x) > 0，
x +1
即G(x) = ex - ln(x +1) -1在区间 0,1 上单调递增，
所以G(0) G(0.01) ，得到0 e0.01 - ln1.01-1，即1+ ln1.01 e0.01，所以b c ，
综上所述，b故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数 f (x) =1+ x + sin x - ex 和G(x) = ex - ln(x +1) -1，将问题
转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
1 ln 2 ln3
【变式 2 e 2 3】（2023·辽宁·模拟预测）已知 a 1 ln 2 ln 3= ÷ ,b = ÷ ,c =

÷ ，试比较 a,b,c的
è e è 2 è 3
大小关系（ ）
A． a b c B．b a c
C． a c b D． c b a
【答案】C
【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再根
据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用单调
性判断即可.
f x ln x【详解】设 = x > 0 f x 1- ln x= 2 ，x x
当 x>e时， f x 0， f x 单调递减，
所以有 f e > f 3 > f 4 ，
1 ln e , ln 2 2ln 2 ln 4因为 = = = ，
e e 2 4 4
1 ln 3 ln 4
所以 > > ，
e 3 4
g x = xx设 (x > 0) ln g x = x ln x，
设 y = x ln x y = ln x +1，
当0
1
x 时， y 0，函数 y = x ln x 单调递减，
e
1 ln 3 ln 4
因为 > > > 0，
e 3 4
ln ég 1 ù ln ég ln 3 ù ln ég ln 4 ù所以 ê e ÷ú ê 3 ÷
÷ ，
è è
ú ê ú
è 4
因为函数 y = ln x 是正实数集上的增函数，
é 1 ù é
故 êg ÷ú êg
ln 3 ù é ln 4 ù
÷ú g

e 3 ê
，
è è è 4
÷
ú
1 ln3 ln 4 ln 2
即 1 e ln 3 3 ln 4 4 ln 2 2 ÷ ÷ ÷ = ÷ ，所以 a c b，
è e è 3 è 4 è 2
故选：C
【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题
的关键
5 2 - ln5 b 1 c ln4【变式 3】（2023·湖南·模拟预测）设 a = ， = =2 ， ，则 a，b ， c的大小顺e e 4
序为（ ）
A． a c b B． c a b C． a b c D．b a c
【答案】A
lnx
【分析】根据 a、b、c 的结构，构造函数 f x = ，利用导数判断单调性，即可比较出 a、
x
b、c 的大小，从而可得到正确答案．
2
5(2 - ln 5) ln
e
a = = 5 1 ln e ln 4【详解】因为
e2 e2
，b = = ， c =
e e 4
5
f x lnx f x 1- ln x故构造函数 = ，则 = ，
x x2
1- ln x
令 f x = x=e2 =0 ，解得 ，x
当 x 0，e 时， f x > 0， f x 在 0，e 上单调递增，
当 x e，+ 时， f x 0， f x 在 e，+ 上单调递减，

a f e
2
又因为 = ÷，b = f e ， c = f 4
è 5
所以 a b ， c b ．
2
因为 c f 4 ln 4 ln 2= = = = f 2 e，又 2 e，
4 2 5
2
所以 f
e
÷ f 2 ，即 c > a ，故 a c b，
è 5
故选：A．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·天津·二模）若 a = log1 1.9，b = log2 15.8， c = 22.01，则 a，b ， c的大小关系为
3
（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.
【详解】 a = log1 1.9 log1 1 = 0，
3 3
0 = log2 1 b = log2 15.8 log2 16 = 4，
c = 22.01 > 22 = 4，
所以 c > b > a .
故选：B.
e
1
2．（2024·北京顺义·二模）已知 a = log 2 b = 1 4 ， ÷ ，
è 2 c = π
2 ，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
【答案】D
【分析】利用换底公式计算 a，利用指数函数单调性判断 b，c 即可得答案.
log 2 1 e 2
【详解】因为 a = log 2 = 2 = b 1 1 1
1
4 log 4 2 ， = ÷ ÷ = ， 2è 2 è 2 4 c = π > π
0 =1，
2
所以 c > a > b .
故选：D
2
π
3 2024· · b π=
π
．（ 全国 模拟预测）若 a = 22 ， ÷ ， c = log π cos 5 ，则（ ）è 2 2
A． a > b > c B．b > a > c C． a > c > b D．b > c > a
【答案】A
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．
π π
【详解】由0 cos 1，则 c = log π cos 0，5 2 5
π 3 3
又 a = 22 > 22 = 2 = 2 2 > 2.828，
2 2
且0 π 3.2 b = 2 ÷ ÷ =1.6 = 2.56，
è 2 è 2
所以 a > b > c．
故选：A．
3
4．（2024·全国·模拟预测）若 a = log83,b = 0.1 2 ,c = ln cos2 2023 ，则下列大小关系正确的是
（ ）
A．b a c B． c a b C． a b c D． c b a
【答案】D
a 1 1 1【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较 与 和 2 ，b 与 0 和 2 的大小，
后利用0 cos2 2023 1结合对数函数单调性，可比较 c与 0 的大小，即可得答案.
【详解】因对数函数 y = log8 x 在 0, + 上单调递增，则 log8 8
1
= log83 log88 =1，即2
1
a 1．
2
1 x 1
因指数函数 y = ÷ 在R 上单调递减，幂函数 y = x3 在R 上单调递增，è10
3 1 1
3 1 2 1 3则0 0.1 2 = 1
3 1 1
10 ÷ 10 ÷ ÷
= ，即0 b a 1．
è è è 8 2 2
又注意到 0 cos2 2023 1， y = ln x 在 0, + 上单调递增，所以 ln cos2 2023 0，即 c 0，
所以 c b a ．
故选：D．
二、多选题
5．（2024·贵州遵义·一模）已知正实数 a，b 满足 sin a + ln a = b + ln b，则（ ）
1 1
A． 2a > b B． - - C． log1 a log1 b
1 1
a 2 > b 2 D．e e ea > eb
【答案】AC
【分析】利用导数证明 sin x x, x > 0，利用不等式的性质，结合函数 y = x + ln x 的单调性可
得b a ，再逐项判断即可得解.
【详解】令函数 f (x) = x - sin x, x > 0，求导得 f x =1- cos x 0，函数 f (x) 在 (0, + )上递
增，
f (x) > f (0) = 0，即当 x > 0时， sin x x ，则当 a > 0时， sin a a ，
于是b + ln b = sin a + ln a a + ln a ，而函数 y = x + ln x 在 (0, + )上递增，因此a > b > 0，
对于 A， 2a > a > b，A 正确；
1 1 1
对于 B，函数 -y = x 2 在 (0, + )上递减，则
- -
a 2 b 2 ，B 错误；
对于 C，函数 y = log1 x 在 (0, + )上递减，则 log1 a log1 b，C 正确；
e e e
1 1
对于 D 1 1， a b ，则 ea eb ，D 错误.
故选：AC
6．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，则（ ）
1
A． a2 + b2 2 B 2a-b． 4 C． log2a + log2b 0 D． a24 - b > 0
【答案】AB
【分析】根据基本不等式可判定 A，根据指数函数的单调性可判定 B，根据基本不等式、对
数运算及对数函数单调性可判断 C，根据二次函数的性质可判断 D.
a + b 2
【详解】Qa > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，\a2 + b2 = 2，
2
当且仅当 a = b =1时取等号，故 A 正确.
Qa > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，\0 a 2，0 b 2，
1
\-2 a - b 2 \ 2a-b， 4，故 B 正确.
4
由 2 = a + b 2 ab ，得0 ab 1，当且仅当 a = b =1时取等号，
\log2a + log2b = log2 ab log21 = 0，故 C 错误.
2
Qa2 b a2 2 a 1 9- = - - = a + ÷ - ，又0 a 2 ，\-2 a2 - b 4，故 D 错误.
è 2 4
故选：AB.
三、填空题
- 3
3
7．（2023· 2 2 1吉林长春·模拟预测）已知 a = log 3 ，b = ÷
3 2 2 ÷
， c = ln ，则 a，b，c 的
è e
大小关系为 ．
【答案】 c1
【分析】由对数函数及指数函数单调性得到 a 0,1 ，b >1， c = - ，从而得到大小关系.
2
【详解】因为 y = log 3 x在 0, + 2 3上单调递减，1 > > ，
3 2 3
2
故 a = log 3 log
3 2
3 =1且 a = log 3 > log 3 1 = 0，所以 a 0,1 ，
3 2 3 3 3 2 3
x
2 3
因为 y = ÷÷ 在 R 上单调递减，- 0，
è 2 3
- 3 0

b 2
3 2
所以 = ÷÷ > ÷÷ =1，
è 2 è 2
1 1-c = ln = ln e 2 1= - ，
e 2
故 c a b .
故答案为： c a b
8．（2023·全国·模拟预测）已知 a = ln 3，b = log11 3，现有如下说法：① a 2b；
② a + b > 3ab；③ b - a -ab .则正确的说法有 .（横线上填写正确命题的序号）
【答案】②③
【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.
【详解】因为 a = ln 3 > 0，b = log11 3 > 0，
所以 a = ln 3 = loge 3， 2b = 2log11 3 = log 11 3 loge 3 = a，所以 a > 2b，故①错误；
1 1
+ = log3 e + log3 11 = log3 11e > log3 27 = 3，所以 a + b > 3ab，故②正确；a b
1 1 log e e 1- = 3 - log3 11 = log3 log3 = -1，所以b - a -ab，故③正确.a b 11 3
故答案为：②③
四、解答题
9．（22-23 高三·全国·对口高考）（1）比较 aabb与baab(a > 0,b > 0)的大小；
（2）已知 a > 2，比较 log(a-1) a与 loga (a +1)大小
【答案】（1） aabb baab ；（2） log(a-1) a > loga (a +1)
【分析】（1）利用作商法，分类讨论即可；
（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.
【详解】（1）因为 a > 0,b > 0，
aabb a
a-b
= 所以 a b ÷ ，b a è b
a b a-b
所以①当 a = b > 0 a b a时， a =
=1，
b ab ֏ b
所以 aabb = baab ，
a
②当a > b > 0时， >1, a - b > 0 ，
b
a-b
a
即 ÷ >1，
è b
所以 aabb > baab ，
0 a③当b > a > 0时， 1, a - b 0，
b
a a-b
即 ÷ >1，
è b
所以 aabb > baab ，
综上所述：当 a > 0,b > 0， aabb baab .
（2） log(a-1) a - loga (a +1)
lg a lg a +1
= -
lg a -1 lg a
lg2 a - lg a +1 lg a -1
= ，
lg a lg a -1
因为 a > 2，所以 lg a +1 > 0, lg a -1 > 0, lg a > 0 ，
所以 lg a lg a -1 > 0，
2
lg a -1 + lg a +1 由 lg a +1 lg a -1 2 ÷è
lg a2 2-1 2 2
= ÷
lg a
2
2 ÷ ÷
= lg a ，
è è 2
lg2所以 a - lg a +1 lg a -1 > 0，
lg2 a - lg a +1 lg a -1
所以 > 0，
lg a lg a -1
即 log(a-1) a - loga (a +1) > 0，
故 log(a-1) a > loga (a +1) .
10．（2020 高三· · 5 -1上海 专题练习）设 a > ，且a 1，记
2
x = loga 2 , y = log 2, z = log 2，试比较 x, y, za+1 a+2 的大小.
【答案】 x > y > z
5 +1
【分析】根据对数函数的性质，由1 a +1 a + 2 ，先得到 loga+1 2 > loga+2 2；再分
2
5 -1
别讨论 a 1， a > 1两种情况，得到 x > y ，即可得出结果.
2
5 -1 5 +1
【详解】因为 a > ，所以1 a +1 a + 2 ，
2 2
根据对数函数的性质可得： loga+1 2 > loga+2 2，即 y > z ；
又a 1，
5 -1 1 2 5 +1
当 a 1时， = ，
2 a 5 -1 2
x = loga 2 = - loga 2 = log 1 2 > log所以 5 1 2 > log+ a+1 2，即 x > y ，因此 x > y > z ；
a 2
当 a > 1时，由 a a +1，得 x = log 2 = log 2 > log 2，即 x > y ，因此 x > y > za a a+1 ；
综上， x > y > z .
【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·天津河东·一模）设 a = 2 3 ,b = log2 3,c = log 3 3，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A．b【答案】A
【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.
a = 2 3 1【详解】 > 2 = 2,b = log2 3 log2 4 = 2,c = log 3 3 = 2，
故b c a ,
故选：A
2．（2024·河南·模拟预测）设 a = log 0.493 2,b = log33 3,c = log2 2 2, d = 2 ，则（ ）
A． a b = c d B． d c = b a
C． a d b = c D． c a d b
【答案】C
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得 a,b,c,d 的取值范围，即可求解.
a = log 3 3 0 0.5【详解】由 3 2 log3 3 =1,b = log33 3 = ,c = log2 2
2 2 = ,1 = 2 d 2 = 2 ，
2
即1 d 2
3
，所以 a d b = c．
2
故选：C．
3
3．（2024· 2陕西安康·模拟预测）若 a = 1 ,b ln
2023
= ,c = log 3 8 ，则（ ）
è12 ÷ 2024 27
A．b c a B． a c b C．b a c D． c b a
【答案】C
1
【分析】根据对数运算以及对数函数单调性可得 c > ,b 0，结合分数指数幂运算分析可得
6
0 a c，即可得结果.
3
1 1 1 32
【详解】因为 c = log 327 8 = log3 2 > log 3 = > 0，
1 1 1 ，
3 3 3 6 a = ÷ = ÷ = > 0è12 è12 24 3
1 1
因为 > > 06 ，可知 c > a > 0，24 3
又因为b = ln
2023
ln1 = 0，所以b a c .
2024
故选：C.
3 1
4．（2024·四川·模拟预测）已知a = ln ,b = ,c = e-2 ，则 a,b,c的大小关系为（
2 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D．b > c > a
【答案】A
【分析】利用当 x > 0时， lnx x 1-1判断 a > b，通过函数 y = x 在是减函数判断b > c .
【详解】当 x > 0时，设 f x = ln x - x +1，则 f x 1= -1，
x
当0 x 1时， f x > 0， f x 单调递增，当 x >1时， f x 0， f x 单调递减，
所以 f x f 1 = 0，
也就是说当 x > 0时， lnx x -1，
1 x ln 1 1用 代替 ，可得 -1，即 lnx 1
1
-
x x x x
，
所以 ln
3 2 1
> 1- = ，即 a > b．
2 3 3
1 1
又知 > 2 = e
-2
，所以b > c，所以 a > b > c．
3 e
故选：A
3
-
5．（2023·
8
天津河北·一模）若 a = 3 ÷ ,b = log
3 ,c = log 3，则 a,b,c的大小关系为（ ）1 1
è 7 7 7 8 8
A．b a c B． c b a
C． c a b D．b c a
【答案】D
3
3
-
8 7 3 b log 7 1 log 3 1 c log 8【分析】首先化简 a = ÷ = ( )8 >1， = 7 = - 7 ， =3 8
=1- log83 1，
è 7 3 3
再根据 log7 3 > log8 3即可得解.
3
3 - 8 3【详解】 a = ÷ = (
7)8 > (7)0 =1，即 a > 1，
è 7 3 3
b log 3= 1 = log
7
7 =1- log 3 1
7 7 3
7 ，
c = log 3 81 = log8 =1- log83 18 3 ，8
又 log7 3 > log8 3，所以c > b ，
所以 a > c > b，
故选：D
6．（2024·全国·模拟预测）已知 a > b >1，则下列各式一定成立的是（ ）
A． log b >1 B． ln a - b > 0 C． 2ab+1 2a+b D．b ×aba a ×ba
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性即可判断 AB；根据指数函数的单调性即可判断 C；构造函
f x lnx数 = x >1 ，利用导数判断出函数的单调性即可判断 D.
x -1
【详解】对于 AB，因为 a > b >1，所以 logab logaa =1，故 A 错误；
因为 a > b >1，所以 a - b > 0，但 a - b不一定大于 1，
故 ln a - b 不一定大于 0，故 B 错误；
对于 C，因为 ab +1- a + b = a -1 b -1 > 0，则 ab +1 > a + b，所以 2ab+1 > 2a+b，故 C 错误；
对于 D，不等式b ×ab a ×ba 等价于 ab-1 ba-1，两边取自然对数得 b -1 lna a -1 lnb，
因为 a > b >1, a -1 > 0,b -1 > 0
lna lnb
，所以原不等式等价于 ，
a -1 b -1
lnx 1
1
- - lnx
设函数 f x = x >1 ，则
x -1 f x =
x ，
x -1 2
令 g x =1 1- - lnx x 1 g x 1 1 1- x> ，则 = - =
x x2 x x2
，
当 x >1时， g x 0，所以 g x 在 1, + 上单调递减，
故当 x >1时， g x g 1 = 0 ，所以 f x 0，
故 f x 在 1, + 上单调递减，
f a f b lna lnb所以 ，即 ，故 D 正确．
a -1 b -1
故选：D．
7．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2)为偶函数，且当 x1 x2 2时，
5
[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，若 a = f (1) ，b = f (ln10)， c = f (34 )，则 a，b ， c的大小关
系为（ ）
A． a b c B． c b a C． b a c D． c a b
【答案】D
【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.
【详解】当 x1 x2 2时，[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，
即当 x1 x2 2时， f (x2 ) > f (x1)，函数 f (x) 在 - , 2 上单调递增，
又 f (x + 2)为偶函数，即 f (x + 2) = f (-x + 2)，所以函数 f (x) 关于 x = 2对称，
则函数 f (x) 在 2, + 上单调递减，
所以 a = f (1) = f (3)
3 3
10 5 3 5 因为 3 2 ÷
e ，所以10 ÷ e
è è 2
5
所以 2 ln10 ln e3 = 3 34 ，
5
所以 f ln10 > f 3 > f 34 ÷，即 c a b，
è
故选：D.
π 9π
8．（2024·全国·模拟预测）已知 6a = e10 ，b =1+ sin ， c = 1.1 ，则 a，b ， c的大小关系为10
（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
【答案】C
【分析】先利用常见不等式放缩得到 a，b 的大小关系，再利用幂函数的单调性比较 a， c
的大小关系即可得到答案.
【详解】令 f x = ex - x -1 x 0 ，则 f x = ex -1 0恒成立，
所以 f x 在 0, + 单调递增，
x
所以当 x > 0时， f x > f 0 = 0 ，即 e > x +1 x > 0 ；
令 g x = x - sin x x 0 ，则 g x =1- cos x 0恒成立，
所以 g x 在 0, + 单调递增，
所以当 x > 0时， g x > g 0 = 0，即 sin x x(x > 0)；
9π π
由诱导公式得b =1+ sin =1+ sin ，
10 10
π
所以b =1+ sin π 1 π+ e10 ，因此 a > b；
10 10
π 4
因为 6 15a = e10 e10 = e0.4， c =1.1 = 1.1
0.4
，
故只需比较 e与1.115 的大小，
15
由二项式定理得，1.1 = (1+ 0.1)15 >1+ C115 (0.1)
1 + C215 (0.1)
2 > 3 > e，
所以 c > a ．
综上， c > a > b .
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：
（1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；
（2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性
与极值等性质进而比较大小；
（3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.
二、多选题
9．（2023·广东广州·模拟预测）下列是 a > b > c（ a，b ， c 0）的必要条件的是（ ）
A ac bc B ac 2． > ． > bc 2
C． 2a-c > 2a-b D．7a+b > 7b+c
【答案】CD
【分析】AB 选项，可举出反例；CD 选项，利用指数函数单调性可进行判断.
【详解】A 选项，若 c 0，则 A 错误，
B 选项，等价为 a2 > b2 ，当 a > 0 > -a > b时不成立，故 B 错误，
C 选项，因为 y = 2x 在 R 上单调递增，而 a - c > a - b ，所以 2a-c > 2a-b ，C 正确；
D 选项，因为 y = 7x 在 R 上单调递增，而 a + b > b + c ，所以7a+b > 7b+c ，D 正确.
故选：CD
x
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数 a,b,c，其中 a,c c > a > 0 是函数 f x e= - m m > e
x
a 2c
的两个零点．实数b 满足b = log7 3 + 2 b >1 ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． a + c b +1 B． c - a > b -1
c
C． > b D． ac b
a
【答案】BCD
ex
【分析】设 g x = x > 0 ，利用导数研究其性质，画出大致图象， a,c c > a > 0 是直线
x
y = m与函数 g x 的图象交点的横坐标，数形结合可得0 a 1 c ，又由条件得
a c
7b = 3a + 4c ，可推出7b-c 1，得b c ，即可判断 ABC
e e
；由 = 0 a 1 c ，取对数后
a c
c - a
=1 t c
1
可得 ，设 = , t >1，令 h(t) = 2ln t - t + , t >1，利用导数可证得
lnc - lna a t
lnc - lna c - a ，进而可判断 D.
ac
x x
【详解】设 g x e= x > 0 ， g x e x -1 = 2 ，x x
当 x 0,1 时， g x 0，当 x 1, + 时， g x > 0，
所以 g x 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，
所以，当 x =1时， g x 取极小值 g 1 = e .
x
a,c c > a > 0 是函数 f x e= - m m > e 的两个零点，
x
即直线 y = m与函数 g x 的图象交点的横坐标，如图，
由图可知，0 a 1 c ，
b = log 3a + 22c由 7 b >1 ，得7b = 3a + 4c ，
4 c 3a 4 c c
所以7b-c 3 4 3= + + ÷ c ÷ ÷ + =1，è 7 7 è 7 è 7 7 7
所以b c ，所以0 a 1 b c，所以 B，C 正确，无法判断 A 是否正确；
ea ec c - a
对于 D，由 = 0 a 1 c ，取对数后可得 c - a = lnc - lna ，即 =1，
a c lnc - lna
lnc lna c - a c c a- - = ln - + t c，设 = , t >1，
ac a a c a
2
令 h(t) = 2ln t - t
1
+ , t >1，则 h (t) 2= -1 1 (t -1)- = - 0，
t t t 2 t 2
所以 h(t)在 (1, + )上单调递减，则 h(t) h(1) = 0，
所以 lnc - lna c - a ln c c a- = - + 0，
ac a a c
即 lnc c - a- lna c - a，从而可得 ac ，
ac lnc - lna
所以 ac 1 b ，D 正确，
故选：BCD．
11．（2024·重庆·一模）已知3a = 5b =15，则下列结论正确的是（ ）
A． lga > lgb B． a + b = ab
1 a 1 bC > ． ÷ ÷ D． a + b > 4
è 2 è 2
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断 ABC，利用基本不等
式即可判断 D.
【详解】由题意得 a = log3 15 > log3 1 > 0，b = log5 15 > log5 1 = 0，
0 1 = log 115 3，0 = log
1 1
15 5，则 0 a b a b
，则a > b > 0，
对 A，根据对数函数 y = lg x 在 0, + 上单调递增，则 lga > lgb，故 A 正确；
1 1
对 B，因为 + = log15 3 + log
a + b
15 5 =1，即 =1，则 a + b = ab ，故 B 正确；a b ab
x
C 1 1
a 1 b
对 ，因为a > b > 0，根据指数函数 y = ÷ 在R 上单调递减，则 ÷ ÷ ，故 C 错
è 2 è 2 è 2
误；
1 1
对 D，因为a > b > 0， + =1，
a b
a + b = a b 1 1+ +

÷ = 2
b a b a
+ + 2 + 2 × = 4，
è a b a b a b
当且仅当 a = b时等号成立，而显然 a b ，则 a + b > 4 ，故 D 正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（23-24 高三上·北京昌平·阶段练习）①在VABC 中，b = 2 ， c = 3， B = 30°，则
a = ；
②已知 a = 90.1，b = 30.4 ， c = log4 0.3，则a、b、c的大小关系是
3+ 13【答案】 c2
【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判
断.
【详解】对于①：利用余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即 4 = a2 + 3- 3a，而 a > 0，解得
a 3 + 13= ；
2
对于②：因为 a = 90.1 = 30.2 ，且 y = 3x 在定义域内单调递增，
可得30 30.2 30.4，即1 a b，
又因为 c = log4 0.3 log4 1 = 0，所以 c3+ 13
故答案为： ； c2
1
13 22-23 · · 7 1 3．（ 高三上 陕西咸阳 阶段练习）已知 a = log3 ,b = ,c = log 5，则 a，b，c 的2 4 ÷ 1è 3
大小关系为 .
【答案】 c b a
【分析】由题意根据对数函数、指数函数单调性比较大小即可.
1 0
3
【详解】由题意 c = log1 5 log 1
1
= 0 b = 1 1 ÷ ÷ =1 = log 3
7
3 a = log ，3
3 3 è 4 è 4 2
故 a，b，c 的大小关系为 c b a .
故答案为： c b a .
14．（2023 高三上·全国·专题练习）若 n N* ， n >1，则 logn n +1 与 logn+1 n + 2 的大小关
系为 .（用“ ”连接）
【答案】 logn+1 n + 2 logn n +1
【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.
2
logn+1 n + 2 é log n + log n + 2 ù【详解】 = logn+1 n × logn+1 n + 2 n+1 n+1log n +1 ên 2
ú

2 2 2é log n + 2n ù é log n2 + 2n +1 ù
= ê n+1 ú ê n+1 ú =1，
ê 2 ú ê 2 ú
因为 n N* ， n >1，则 logn n +1 > logn 1 = 0， logn+1 n + 2 > logn+11 = 0，
所以 logn+1 n + 2 logn n +1 .
故答案为： logn+1 n + 2 logn n +1 .
四、解答题
15．（22-23 高三上·甘肃兰州·阶段练习）比较下列两组数的大小（写出详细理由）．
(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4
(2)a=log26，b=log312，c=log515
【答案】(1) a > b > c
(2) c b a
【分析】（1）由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得答案；
（2）由题意，根据对数运算性质化简，结合中间值法，可得答案.
【详解】（1）由函数 y = x0.3 ，且0.4 > 0.3，则 0.40.3 > 0.30.3 ；
由函数 y = 0.3x ，且0.4 > 0.3，则 0.30.3 > 0.30.4 ；
则0.40.3 > 0.30.3 > 0.30.4，即 a > b > c .
（2） a = log2 2 3 = log2 2 + log2 3 =1+ log2 3，
b = log3 4 3 = log3 4 + log3 3 =1+ log3 4，
c = log5 5 3 = log5 5 + log5 3 =1+ log5 3，
则 log 53 1 log 4
3
3 log2 3，故 c b a .2
16．（2020高三·全国·专题练习）比较大小：① 5.25-1，5.26-1 ，5.26-2 ；② 0.53 ，30.5 ， log3 0.5；
③ log0.7 6，0.76 ，60.7 ．
3 0.5 6 0.7
【答案】① 5.25-1 > 5.26-1 > 5.26-2 ；② log3 0.5 0.5 3 ；③ log0.7 6 0.7 6 ．
【解析】(1)构造相应的函数，依据其单调性比较函数值的大小，如： y = x-1在 (0, + )上递
减有5.25-1 > 5.26-1， y = 5.26x是增函数有5.26-1 > 5.26-2 ，即可得大小关系；(2)将0.53 ，30.5 ，
log3 0.5与 0 和 1 比较大小，即可确定它们的大小关系；(3)利用同底的指数、对数以 0、1 作
为界值，比较 log 6 0.70.7 6，0.7 ，6 的大小
【详解】①∵ y = x-1在 (0, + )上递减，5.25 5.26
∴ 5.25-1 > 5.26-1，
∵ y = 5.26x是增函数，-1 > -2
∴ 5.26-1 > 5.26-2
综上，5.25-1 > 5.26-1 > 5.26-2 ；
②∵ 0 0.53 1，30.5 >1， log3 0.5 0
∴ log3 0.5 0.5
3 30.5；
③ log 6 log 1 0 0 0.76 0.70 =1 60.7 > 60 =1 log 6 0.76 0.70.7 0.7 ， ， ，则 0.7 6
【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，结合相应的指数或对数函数，利用其单调
性比较函数值的大小，或以 0、1 作为界值，结合同底的指数函数或对数函数的单调性比较
大小
17．（2022 高三·全国·专题练习）已知 a,b均为正实数，且a 1．
a b 1 1
(1)比较 2 + 2 与 + 的大小；b a a b
(2) 3比较 loga b +1 和 loga b2 +1 的大小．
a b 1 1
【答案】(1) 2 +b a2
+
a b
(2)答案见解析
【分析】（1）利用作差法比较大小，即得答案；
（2）结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论 a,b的取值范围，即可得答案.
a b 1 1 a - b b - a a + b (a - b)2
【详解】（1） 2 +

2 - + ÷ = + = ，b a è a b b2 a2 a2b2
a,b均为正实数，\a + b > 0, (a - b)2 0，
a + b (a - b)2 0, a b 1 1\ \ ；
a2b2 b2
+ +
a2 a b
（2）当 a > 1时，函数 y = loga x 为增函数；当 0 a 1时，函数 y = loga x 为减函数．
①当b >1时，b3 > b2 ，则b3 +1 > b2 +1，
若 a > 1，则 loga b3 +1 > loga b2 +1 ；
3 2
若 0 a 1，则 loga b +1 loga b +1 ；
②当b =1时， loga b3 +1 = log 2a b +1 ；
③当0 b 1时，b3 b2 ，则b3 +1 b2 +1，
若 a > 1 3，则 loga b +1 loga b2 +1 ；
若 0 a 1 3，则 loga b +1 > loga b2 +1 ．
ìa >1 ì0 a 1
综上所述，当 í log b3 +1 > log b2 +1
b >1
或 í0 b 1时， a a ；
ìa 1 3
当 í 时， loga b +1 = log b2 +1b ； =1 a
ì a >1 ì0 a 1 3
当 í log b +1 log b2 +1 .
0
或
b 1 í b >1
时， a a
18．（22-23 x高三下·全国·开学考试）已知函数 f x = e - ax -1 a R 的最小值为 0．
(1)求实数 a 的值；
(2)设m1 =1.1+ ln 0.1，m2 = 0.1e
0.1 1
，m3 = ，判断m1 ，m2 ，m3的大小．9
【答案】(1) a =1
(2) m1 m2 m3
【分析】（1）求出函数的导函数，分 a 0、 a > 0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，
ln a
即可得到函数的最小值为 f ln a = e - a ln a -1 ln a 1，从而得到 + -1= 0，再令
a
j a 1= ln a + -1，利用导数说明函数的单调性，即可得到 a值，从而得解；
a
（2）由（1）可得 ex x +1，当 x > -1时两边取对数得到 ln x x -1，当 x 0,1 时，设
F x = xex - 1+ x - ln x，根据函数值的情况判断m2 > m1，当 x 0,1 时，设
G x = x + ln x x- ln ，即可判断m
1- x 2
m3，从而得解.
x
【详解】（1）解：由题意得 f x = e - a ．
当 a 0时， f x = ex - a > 0， f x 单调递增，无最小值，不满足题意．
当 a > 0时，令 f x = 0，得 x = ln a．
当 x - , ln a 时， f x 0；当 x ln a, + 时， f x > 0．
所以 f x 在 - , ln a 上单调递减，在 ln a, + 上单调递增．
所以 f x ln a 1的最小值为 f ln a = e - a ln a -1 = 0，即 ln a + -1= 0．
a
设j a ln a 1 a -1= + -1，则j a = 2 ．令j a = 0 ，得 a =1．a a
当 a 0,1 时，j a 0；当 a 1,+ 时，j a > 0 ，
所以j a 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，
即j a = j 1 = 0 1min ．故 ln a + -1= 0的解只有 a =1，a
综上所述， a =1．
（2 x）解：由（1）可得 f x = e - x -1 0，所以 ex x +1，当且仅当 x = 0时等号成立．
当 x > -1时，不等式两边取对数，得 x ln(x +1) ，所以 ln x x -1，当且仅当 x =1时等号成
立．
当 x 0,1 时，设F x = xex - 1+ x - ln x，
x+ln x
则F x = e - 1+ x - ln x x + ln x +1- 1+ x - ln x = 0，当且仅当 x + ln x = 0 时，等号成
立．
因为0.1+ ln 0.1 0，所以0.1e0.1 -1.1- ln 0.1 > 0，所以m2 > m1．
当 x 0,1 时，设G x = x + ln x - ln x ，因为0 1- x 1，
1- x
所以G x = x + ln x - ln x + ln 1- x = x + ln 1- x x +1- x -1 = 0，
所以 x + ln x ln x - ln 1- x x x，即 xe ．
1- x
故0.1e0.1
0.1 1
= ，所以m
1- 0.1 9 2
m3．
综上所述，m1 m2 m3．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = ax ln(x -1) - x2 + x．
(1)当 a = 2时，讨论 g(x) = f (x) - x 的单调性．
4
(2)若 f (x) 有两个零点 x1, x2 ，且 x1 x2，证明： ln é x1 -1 x2 -1 ù > ．a
【答案】(1) g(x)在 (1, 2)上单调递增，在 (2,+ ) 上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断 g x 的单调性，进而可得 x (1, 2) 时， g (x) > 0， x (2,+ ) 时，
g (x) 0，进而可得单调区间；
1 ln(x -1) ln(x -1)
（2）令 f (x) = 0 ，可得 = (x >1) ，构造函数j(x) = (x >1)，有两个极点可得
a x -1 x -1
1 1 1 1 ln x -10 2，进而可得 =
a e a x2 - x1 x -1
，进而运算可得要证
1
ln é x1 -1 x 1
x2 -1+ x1 -1 x -1+ x -1 x -1
2 - ù = =
2 1 × ln 2
a x - x x -1 ，2 1 1
ln 4 é x1 -1 x2 -1 ù > ，只需证 ln é x1 -1 x2 -1 ù > 2
t +1
，换元证明 ln t > 2即可．a t -1
【详解】（1）当 a = 2时， g x = f x - x = 2xln x -1 - x2，定义域为 1, + ，
则 g x = 2ln x 1 2x- + - 2x x >1 ．
x -1
设 h(x) = 2ln(x -1)
2x
+ - 2x(x >1)，
x -1
é
2 x 3
2
3 ù
ê- - ÷ -
则 2 è 2 4
ú
，
h (x) 2 2 2 -2x + 6x - 6 ê ú= - - =
x -1 (x -1)2 (x -1)2
= 0
(x -1)2
所以 h(x) 在 (1, + )上单调递减，即 g (x) 在 (1, + )上单调递减．
又h(2) = 0+ 4-4 = 0，即 g (2) = 0，
所以当 x (1, 2) 时， g (x) > 0，当 x (2,+ ) 时， g (x) 0，
所以 g(x)在 (1, 2)上单调递增，在 (2,+ ) 上单调递减．
（2）令 f (x) = 0 ，得ax ln(x -1) = x(x -1)．
又 x >1，所以 a ln(x -1) = x -1．显然当 a = 0时，方程 x -1 = 0只有一个根，不符合题意，
1 ln(x -1) ln(x -1) 1- ln(x -1)
所以 = (x >1) ．令j(x) = (x >1)，则j (x) = ．
a x -1 x -1 (x -1)2
当1 x e +1时，j (x) > 0 ，当 x > e +1时，j (x) 0，
所以j(x)
1
在 (1,e +1) 上单调递增，在 (e +1, + )上单调递减，则j(x) j(e +1) = ．
e
而j (2) = 0，所以当 x > 2时，恒有j(x) > 0．
1
要使 f (x) 有两个零点 x1, x2 ，则需直线 y = 与函数j(x)a 的图象有两个交点，所以
0 1 1 ．
a e
由上述可知， x2 > x1 >1，且 a ln x1 -1 = x1 -1①， a ln x2 -1) = x2 -1②．
x -1
② 2－①，得 a ln = x2 - x
1 1 ln x2 -1
x -1 1，所以
=
1 a x2 - x1 x1 -1
．
②＋①，得 a éln x2 -1 + ln x1 -1 ù = x2 -1+ x1 -1，
所以 ln
x2 -1+ x1 -1 x2 -1+ x1 -1 x2 -1
é x1 -1 x2 -1 ù = = × lna x2 - x1 x1 -1
．
x2 -1 +1
t x2 -1设 = >1 ln x 1 x 1 x -1 x -1 t +1，则 é 1 - 2 - ù = 1 2x 1 × ln = ln tx1 -1
．
2 - -1 x1 -1 t -1
x1 -1
ln 4 4 4要证 é x1 -1 x2 -1 ù > ，又 2，所以只需证 ln é x1 -1 x2 -1 ù > 2，a a e
t +1
即证 ln t
2(t -1)
> 2，即证 ln t - > 0．
t -1 t +1
2(t -1) (t -1)2
令m(t) = ln t - (t >1) ，则m (t) = 2 > 0 ，所以m(t) 在 (1, + )上单调递增，t +1 t(t +1)
2(t -1) 4
则m(t) > m(1) = 0 ，即 ln t - > 0，故 ln é x1 -1 x2 -1 ù > ．t +1 a
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函
数.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）已知 a,b R, ab 0，且 a b ，则（ ）
1 1
A． > B． ab b2 C． a3 b3 D． lg a lg ba b
【答案】C
【分析】举出反例即可判断 ABD，利用作差法即可判断 C.
1 1
【详解】当 a = -2,b =1时， , lg a >lg b ，故 AD 错误；
a b
当 a = -2,b = -1时， ab = 2 >1 = b2，故 B 错误；
对于 C，因为 a b ，所以 a - b 0，因为 ab 0，所以 a 0且b 0 ，
a3则 - b3 = a - b a2 + ab + b2 = a - b é ê a 1 3 ù+ b ÷ + b2 0，
è 2 4 ú
所以 a3 b3 ，故 C 正确.
故选：C.
1 1 -0.6
2．（2024·天津·一模）已知函数 f x = x - x ，若 a = f ÷ ÷÷ ,b = f log
2
1 ÷，e èè 2 è 2 9
1
c = f 43 ÷ ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
è
A． a b c B． c b a C． a c b D．b【答案】C
1 -0.6 1
【分析】先判断函数自变量大小可得0 ÷ 43 2
1 ，再根据函数 f x 在 0, + 上
è 2 2 9
的单调性判断即可.
2 9 1
-0.6
2 1
【详解】因为 log 1 = log > log 0.69 2 2 2
4 = 2，0 ÷ = 2 23 = 43 2，
2 è 2
1 -0.6 1 2
所以0 ÷ 43 è 2 2 9
当 x > 0时， f x x 1= - ，
ex
因为 f x 1 1= +
ex
> 0，所以 f x 在 0, + 上单调递增，
所以 a c b，
故选：C.
3．（2024·安徽阜阳·一模）设a = log23,b = log812,c = lg15，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a b c B． a c b C．b a c D． c b a
【答案】D
【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.
a = log 3 = log 2 3 3 12 2 ÷ = 1+ log2 = 1+【详解】 è 2 2 log ，3 2
2
b = log812 = log

8 8
3

3 1
÷ = 1+ log8 = 1+
è 2 2 log 8 ，3
2
c = lg15 = log 310 10

÷ = 1 log
3 1
+
2 10
= 1+
è 2 log 10 ，3
2
Q0 log 3 2 log 3 8 log 310,\a > b > c .
2 2 2
故选：D．
1
4．（2023·山西·模拟预测）已知实数 a,b,c满足 ln a = ，b = 3log7 2，6c = 7，则（ ）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
【答案】C
f x ln(x +1)【分析】令 = (x >1) ，求得 f x x ln x - (x +1) ln(x +1)=
ln x x(x +1)(ln x)2
，设
g x = x ln x, x >1，求得 g x 为单调递增函数，得到 f x 0，即 f x 单调递减，得出
c > b x，再由函数 h x = e - (x +1), x > 0，利用导数得到 h x 1单调递增，结合 h( ) > h 0 ，
5
得到 a > c ，即可求解.
ln a 1 1【详解】由 = ，可得 a = e5 ，且b = log7 8， c = log6 7，5
f x ln(x +1)令 = (x >1) ，则 f x x ln x - (x +1) ln(x +1)=
ln x x(x +1)(ln x)2
，
设 g x = x ln x, x >1，可得 g x = ln x +1 > 0，所以 g x 为 R 上单调递增函数，
因为 x x +1，可得 g x g x +1 ，即 x ln x (x +1) ln(x +1)，
所以 f x 0，即 f x ln 7 ln8单调递减，所以 f 6 > f 7 ，即 > ，
ln 6 ln 7
即 log6 7 > log7 8，所以c > b ，
h x = ex - (x +1), x > 0 h x = ex再设 ，可得 -1 > 0，
1
所以 h x 在 (0, + ) 1 1 6上在单调递增，所以 h( ) > h 0 = 0，即 e5 >1+ = ，
5 5 5
5 6 6
又因为 log6 7 log6 6 = 6，所以 log6 7 ，所以 a > c ，5
综上可得： a > c > b .
故选：C.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据所给数的特征，构造适当的函数，利用函数的单
调性比较大小.
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 a
1 1
= + ，b = ln
6
， c = log 7 -1 ln 5，则（ ）
10 11 5 6
A． a > b > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > a > b
【答案】A
【分析】根据已知条件及构造函数 f x = ln x +1 - x （ x > 0），利用导数的正负与函数的
单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.
【详解】设 f x = ln x +1 - x （ x > 0），则 f x 1= -1 0，
x +1
所以 f x 在 0, + 上单调递减，
所以 f x f 0 = 0 ，即 x > ln x +1 ，
1 1 11
所以 + > ln + ln
12 ln 6 ln 6= ， = log5 6 -1 ln 5，10 11 10 11 5 5
2 2 2
lg 6 2 lg5 + lg 7 1 lg 6 2 lg5lg 7 -

÷ lg36
1- lg35
lg 6 lg 7 - ÷ ÷log5 6 - log6 7 = - = >
è 2 = è 2 è 2 > 0
lg5 lg 6 lg5lg 6 lg5lg 6 lg5lg 6
，所以 a > b > c，
故选：A．
【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性
及基本不等式即可.
二、多选题
6．（2023·山东青岛·三模）已知实数 a，b，满足 a＞b＞0， ln a ln b =1，则（ ）
ab+1 a+b
A． ab > e2 B． loga 2 logb 2 C
1 1
． a b b a 2 ÷
÷ D． a b > a b
è è 2
【答案】BCD
【分析】对于选项 A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项 B：利用作差法分析判
断；对于选项 C：分析可得 ab +1 > a + b，结合指数函数单调性分析判断；对于选项 D：结
合幂函数单调性分析判断.
ln a + ln b 2 2 ln2 ab
【详解】对于选项 A：因为 ln a ln b ln ab = ，即 >1，解得 ln ab > 2或
4 4 4
ln ab -2，
1
所以 ab > e2 或0 ab 2 ，故 A 错误；e
B log 2 log 2 ln 2 ln 2
ln 2 ln b - ln a
对于选项 ： a - b = - = = ln 2 ln b - ln a ，ln a ln b ln a ln b
因为 a＞b＞0，则 ln a > ln b，即 ln b - ln a 0，且 ln 2 > 0 ，
所以 loga 2 - logb 2 0，即 loga 2 logb 2，故 B 正确；
对于选项 C：因为 a＞b＞0，且 ln a ln b =1 > 0，
可得 ln a, ln b同号，则有：
若 ln a, ln b同正，可得 a > e > b >1，
则 a -1 b -1 = ab - a + b +1 > 0，可得 ab +1 > a + b；
若 ln a, ln b
1
同负，可得1 > a > > b > 0 ，
e
则 a -1 b -1 = ab - a + b +1 > 0，可得 ab +1 > a + b；
综上所述： ab +1 > a + b，
x ab+1 a+b
1 1 1
又因为 y = ÷ 在定义域内单调递减，所以2 2 ÷
÷ ，故 C 正确；
è è è 2
对于选项 D：因为 a＞b＞0，则 a - b > 0，
可得 y = xa-b 在 0, + 内单调递增，可得 aa-b > ba-b > 0，
且 ab ,ba > 0，所以 aabb > abba ，故 D 正确；
故选：BCD.
7．（2023·云南大理·模拟预测）若12a = 3，12b = 4，则（ ）
b 1 ab 1A． > B． >
a 4
a2 1+ b2 > 2a-b 1C． D． >
2 2
【答案】ACD
【分析】根据题意可得 a = log12 3 > 0，b = log12 4 > 0， a + b =1，
选项 A 根据换底公式结合对数函数的单调性可得；
a + b
2

选项 B 由 ab ÷ 可判断；
è 2
C 2 2 a + b
2
选项 由 a + b 可判断；
2
选项 D 由 a b
3
- = log12 > -1，结合指数函数的单调性可判断.4
【详解】由12a = 3，12b = 4得 a = log12 3，b = log12 4，
a + b = log12 3+ log12 4 = log12 12 =1，
且 a = log12 3 > log12 1 = 0，b = log12 4 > log12 1 = 0，
b log 4
选项 A： = 12 = log 4 > log 3 =1a log 3 3 3 ，故 A 正确；12
B a + b
2
1
选项 ： ab ÷ = ，当且仅当 a = b时等号成立，
è 2 4
1
因 a b ，所以 ab ，故 B 错误；
4
a + b 2
选项 C： a2 + b2 1 = ，当且仅当 a = b时等号成立，
2 2
1
因 a b 2 2，所以 a + b > ，故 C 正确；
2
3 1
选项 D： a - b = log12 3- log12 4 = log12 > log12 = -1，4 12
a-b
所以 2 > 2-1
1
= ，故 D 正确.
2
故选：ACD
三、填空题
8．（22-23 2高三·全国·对口高考）将0.3 , log2 0.5, log0.5 1.5由小到大排列的顺序
是： ．
【答案】 log2 0.5 log0.5 1.5 0.3
2
【分析】由指对数运算化简，进而判断它们的大小.
【详解】0.32 = 0.09 > 0，
log2 0.5 = log
1
2 = -1 0，2
log 3 30.5 1.5 = log 1 = - log2 =1- log2 3 (-1,0)
2 2 2
，
2
所以 log2 0.5 log0.5 1.5 0.3 .
故答案为： log2 0.5 log0.5 1.5 0.3
2
9．（23-24 高三上· 0.2 0.3新疆喀什·期中）已知 a = log2 0.2, b = 0.2 ,c = 0.2 ，则 a,b,c的大小关系
是 （用“＜”表示）
【答案】 a c b
【分析】根据指数函数 y = 0.2x 的单调性即可比较b > c > 0，进而由对数的性质即可求解
a<0 ,进而可比较大小.
【详解】解：∵函数 y = 0.2x 在 R 上单调递减，
又∵ 0.3 > 0.2，
∴ 0.2 0.2 > 0.2 0.3 > 0 ，即b > c > 0，
∵ a = log2 0.2 log21 = 0 ，
∴ a<0，
∴ a c b．
故答案为： a c b
10．（2023 高三上·全国·竞赛）已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，则这三个数的大小关系
为 ．（用“ ”连接）
【答案】 c b a
【分析】构造 f (x)
ln x
= 且 x [e, + ) ，应用导数研究单调性比较 a,b大小，通过 y = ( 2)x
x
与 y = x 的图象比较 π与 ( 2)π 的大小，进而得到b,c大小，即可得答案.
ln x 1- ln x
【详解】由 ln a = π， ln b = e ln π ，令 f (x) = 且 x [e, + ) ，则 f (x) = 2 0，x x
所以 f (x) 在 x [e, + )
ln e ln π
上递减，则 > π > e ln π，即 ln a > ln b，
e π
所以b a ，
由b = πe ， c = [( 2)π ]e ，只需比较 π与 ( 2)π 的大小，
根据 y = ( 2)x 与 y = x ，相交于 (2, 2), (4, 4)两点，图象如下，
由 2 π 4，结合图知 π > ( 2)π ，故b = πe > c = [( 2)π ]e ，
综上， c b a .
故答案为： c b a
四、解答题
2
11 x + 3x + 2．（2024·辽宁抚顺·三模）设函数 f x = x+1 , g x = x - ln x +1 ．e
(1)讨论 f x 的单调性．
(2)证明： g x 0 ．
(3)当 x > e -1时，证明： f x ln x + 2 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
x2 + x -1
【分析】（1）求得 f x = - x 1 ，结合导数 f x + 的符号，即可求得 f x 的单调区间；e
x
（2）根据题意，求得 g x = ，得到 g x 的单调性和最小值，即可得证；
x +1
ex+1 eln x+2 x x
（3）根据题意，转化为证明 > ，设
x +1 ln x + 2 h x
e x -1 e= ，求得 h x = ，得到 h x
x x2
在 1, + 上单调递增，转化为证明 x +1 > ln x + 2 ，结合（2），即可得证.
2
1 f x x + 3x + 2
2
【详解】（ ）解：由函数 = x+1 ，可得 f x
x + x -1
= - ，
e ex+1
令 f x = 0 x -1- 5 -1+ 5，解得 = 或 x = ．
2 2

x , -1- 5

f x 0 x -1- 5 , -1+ 5

当 - ÷÷时， ；当 2 2 2 ÷÷
时， f x > 0；
è è
-1+ 5
当 x , + ÷÷ 时， f x 0．
è 2
-1- 5 f x , -1+ 5
-1- 5 -1+ 5
故 在 - ÷÷和2
,+ ÷÷上单调递减，在 , ÷÷ 上单调递增．
è è 2 è 2 2
（2）证明：由函数 g x = x - ln x +1 x的定义域为 -1, + ，且 g x = ，
x +1
当 x -1,0 时， g x 0， g x 单调递减；
当 x 0, + 时， g x > 0， g x 单调递增，
所以当 x = 0时， g x 的最小值为 g 0 = 0，故 g x g 0 = 0 ．
（3）证明：当 x > e -1时， ln x + 2 >1，
x +1 x + 2 ex+1 eln x+2
要证 >
ex+1
ln x + 2 ，即证 x +1 ln x + 2 ．
x
h x e h x x -1 e
x
设 = ，则 =
x x2
，
当 x >1时， h x > 0，则 h x 在 1, + 上单调递增，
x+1 ln x+2
且 h x +1 e= , h ln x + 2 e= ，
x +1 ln x + 2
当 x > e -1时， x +1 >1, ln x + 2 >1，故只需证明 x +1 > ln x + 2 ．
由（2）知， x ln x +1 在 -1, + 上成立，故 x +1 > ln x + 2 ，
即 f x ln x + 2 成立．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就
要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
综合提升练

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