培优点06平面向量的综合应用（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）（含答案） 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

资源简介

培优点 06 平面向量的综合应用（2 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【核心题型】
题型一　平面向量在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的步骤
―设向量计平面几何问题 ― →向量问题 ― ―
算 → 还原
解决向量问题
― ― →
解决几何问题．
π
【例题 1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形 ABCD中， AD = 2, ADB = , BD 是圆
4
uuur uuur
的直径， AC × BD = 2，则 ADC =（）
5π π 7π 2π
A． B． C． D．
12 2 12 3
【变式 1】（2023·河南·模拟预测）在 VABC 中，内角 A， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，
BAC π= ，D为BC 上一点，BD = 2DC ， AD 3= BD = ，则VABC 的面积为（3 ）2
A 3 3 B 9 3 9 3．． C． D 9 3．
32 8 16 32
【变式 2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB = BC = CD = DA × DC =1，BA × BC 1= ，则 AC = ；BD ×CD = .2
【变式 3】（2024·河北张家口·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点
uuur uuur uuur
D 为边BC 上一点，且满足 (AD + AC) × BC = 0．
(1)证明： AD = b；
uuur 1 uuur 2 uuur
(2)若 AD 为内角 A 的平分线，且 AD = AB + AC ，求 sin A ．
3 3
题型二　和向量有关的最值(范围)问题
命题点 1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
【例题 2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在VABC 中，D为线段 AC 的一个三等分点，
uuur uuur uuur
AD = 2 DC .连接BD，在线段BD上任取一点E ，连接 AE ，若 AE = aAC + bAB，则 a2 + b2
的最小值为（）
13 5 4 2
A． B． C． D．
4 2 13 5
r r r r r r r r
【变式 1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知 | a |=| b |=| c |=1, a b
1
× = - ， c = xa + yb(x, y R)，
2
则 x - y的最小值为（）
A．-2 B 2 3．- C．- 3 D． -1
3
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，空间中点 P 满
uuur uuuur
足 PA + PC1 = 3 ，则三棱锥P - ACD1的体积的最大值为．
【变式 3】（23-24 高三下·天津和平·开学考试）在VABC 中，M 是边 BC 的中点，N 是线段
uuur r uuur r uuur r r πBM 的中点．设 AB = a ， AC = b ，记 AN = ma + nb ，则m - n = ；若 A = ，VABC6
uuur uuuur uuur
的面积为 3，则当 BC = 时， AM × AN 取得最小值．
命题点 2　与数量积有关的最值(范围)问题
【例题 3】（2024·黑龙江·三模）已知VABC 内角 A, B,C 的对边分别为
uuur uuur
a,b,c,c = 2,a = 4,cosB 3= ，动点M 位于线段BC 上，则MA × MB 的最小值为（）4
9 9 9
A．0 B． C．- D．-
10 16 10
r r r r r π
【变式 1】（2024· · r全国模拟预测）已知 a，b 为非零向量，且 | a |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，3
r r
若 | a + tb |的最小值为 3，则 r 2 + t 2 的值为（）．
5 9 17
A． B． C．4 D．
2 4 4
【变式 2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知 A， B 为圆 O : x2 + y2 = 4 上的两个动点，
uuur uuur
AB = 2 3 ，若点 P为直线 x + y - 4 2 = 0上一动点，则PA × PB 的最小值为 .
【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已
b é π A B B ù知 = 2 êbcos
2
- ÷ - a sin cos ú．
è12 2 2 2
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若BP = PC ，且b + c = 2 ，求 AP 的最小值．
命题点 3　与模有关的最值(范围)问题
p
【例题 4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知点A 、 B 在单位圆上， AOB = ，若
4
uuur uuur uuur uuur
OC = OA + xOB x R ，则 OC 的取值范围是（）
A． 0, + é1B． ê ,+

÷
2
é 2
C． ê ,+ ÷÷ D． 1, + 2
r r r r r r r r
【变式 1】（2023·重庆·三模）已知 a 是单位向量，向量b b a 满足b - a与 a 成角60°，则 b
的取值范围是（）
1 3
A． ,+ ÷ B． , + è 2
÷
3 ÷è
2 3
C． 1, + D． ,+
è 3
÷÷

ur uur ur ur ur ur r ur ur
【变式 2】（2022·浙江·三模）已知平面向量 e1,e2 满足 2e2 - e1 = 2
r
，设a = e1 + 4e2 ,b = e1 + e2 ，
r r r
若1 a ×b 2，则 | a |的取值范围为．
r r r
【变式 3】（2022·上海·模拟预测）已知向量 a在向量b 方向上的投影为-2，且 | b |= 3，则
r
| ar + b |的取值范围为（结果用数值表示）
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·二模）在Rt△ABC 中，角 A, B,C 所对应的边为 a,b,c A
π π
, = ，C = ，
6 2
uuur uuur uuur
c = 2， P 是VABC 外接圆上一点，则PC × PA + PB 的最大值是（）
A．4 B． 2 + 10 C．3 D．1+ 10
1
2．（2024·陕西渭南·二模）已知菱形 ABCD的边长为1,cos BAD = ,O为菱形的中心，E 是
3
uuur uuur
线段 AB 上的动点，则DE × DO 的最小值为（）
1 2
A B C 1
1
．．． 2 D3 ．3 6
r r r r
3．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量 a，b 夹角为q ，且满足 a = 3 2 ， b =1，若当 t = -4
r r
时， a + tb 取得最小值，则 sinq = （）
1 1
A 15 2 2． B． C． D．
4 4 3 3
r r r r r r r r
4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知向量 a ，b 满足 a = 2 b ， a ×b = -1，则 a + b 的取值范
围为（）
A． 2, + é1
é 2
B． ê ,+ ÷ C． é 2
2, + D． ê ,+ 2 ÷÷
二、多选题
5．（2023·山东烟台·二模）如图，在VABC 中， AB = 2 ， AC = 3， BAC = 60°，点D, E 分别
uuur uuur uuur uuur
在 AB ， AC 上且满足 AB = 2AD， AC = 3AE ，点F 在线段DE 上，下列结论正确的有
（）．
uuur uuur uuur
A．若 AF = l AB + m AC ，则3l + 2m =1
uuur uuur
B．若DE = 2DF ，则BF ^ CF
uuur uuur
C． BF + CF 3 3的最小值为
2
uuur uuur
D S 15 3．BF ×CF 取最小值时， △BFC = 16
6．（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥Q - EFGH 中，底面是边长为 2 2 的正方形，M
为QG 的中点．QE = QF = QG = QH = 4，过Q作平面EFGH 的垂线，垂足为O，连EG ，
EM ，设EM ，QO 的交点为A ，在△QHF 中过A 作直线BC 交QH ，QF 于 B ，C 两点，
QB = xQH ，QC = yQF ，过EM 作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的
体积分别为V1,V2 ，下列说法正确的是（）
uuur 1 uuur 1 uuur 1 1
A．QA = QH + QF B． + = 3
3 3 x y
V
C．V1 = 2 3xy D
1 1
．V 的最小值为 22
三、填空题
r r r r r r π
7．（2024·湖北·模拟预测）已知向量 a，b 满足 a = 2， b =1，且 a，b 的夹角为，则3
r ra - lb l R 的最小值是 .
r r r r
8．（2024·上海闵行·二模）已知 a 、b 是空间中两个互相垂直的单位向量，向量 c满足 c = 3，
r r r r r r r
且 c ×a = c ×b =1，当l 取任意实数时， c - l(a + b) 的最小值为 .
uuur uuur
9．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形 ABCD中， AB = 4 ， AD = 2， AC × AD = 8，则
uuur uuur uuur uuur uuur
AC uuur uuur= ；若CE = ED，DF = lDB ，则 AF × FE 的最大值为．
四、解答题
π
10．（2023·湖北·二模）已知在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，C = ．
3
(1)若 BC 3边上的高等于 a ，求 cos A；
3
uuur uuur
(2)若CA ×CB = 2，求 AB 边上的中线 CD 长度的最小值．
11．（2023·四川成都·一模）已知VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
c c - a = b - a b + a .
(1)求角 B；
(2)若边 AC 上的中线BD长为 2，求VABC 面积的最大值.
【综合提升练】
一、单选题
r r r r r r r r
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量 a ，b ，且 a = b = 5， a + b = 6，则 ta + b t R
的最小值为（）
24 16 12
A． B．4 C． D．
5 5 5
ur uur ur uur
2．（2024·全国·模拟预测）若单位向量 e1 ， e2 的夹角为120o，则当 e1 - le2 l R 取得最小
值时，l 的值为（）
1
A．－2 B．－1 C．- D 1．
2 2
r r r r
3．（2023 高三下·全国·竞赛）已知平面向量 a， b 满足 a = 3 2 ， b =1，并且当l = -4 时，
ar
r r
+ lb 取得最小值，则 sin a
r,b =（）
2 2 1 15 1A． B． C． D．
3 3 4 4
r r r r r r r r
4．（2023·山东青岛·三模）已知向量 a ，b ， c满足： a = b =1， a × a - b 1= ，2
r r r r
r r
b - c × 3b - c = 0 ，则 a - c 的最小值为（）
A． 3 -1 B． 3 C．2 D．1
r r r
5．（2023 高一·全国·单元测试）若 a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且向量 c满足
r r r r r r
c - 2a + c - 3b = 13 ，则 c + a 的取值范围是（）
é9 13 ù
A． ê , 10 ú B．13 [3, 10]
é9 13 ù
C． ê ,3ú D．以上答案均不对
13
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知VABC 是边长为 4 3 的正三角形，点 P 是VABC 所在平
uuur uuur uuur uuur
面内的一点，且满足 AP + BP + CP = 3，则 AP 的最小值是（）
8
A．1 B．2 C．3 D．
3
7．（2023·江西景德镇·三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如
果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，
过点 P 作两坐标轴的平行线，其在 x 轴和 y 轴上的截距 a，b 分别作为点 P 的 x 坐标和 y 坐标，
记 P a,b π.若斜坐标系中， x 轴正方向和 y 轴正方向的夹角为，则该坐标系中M 2,2 和
3
N 4,1 两点间的距离为（）
A．2 B．1 C． 5 D． 3
r r r r r r r r r
8．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量 a， b ， c 满足 a =1， b = 2， a - c = b - c = 3，
r rc = lar + mb （l > 0，m > 0 ）.当l + m = 4时， c =（）
A 58 B 62 C 66 70．．． D．
2 2 2 2
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知点 A 1,2 ，B 3,1 ，C 4,m +1 m R ，则下列说法正确的
是（）
uuur uuur uuur
A． AB = 5 B．若 AB ^ BC ，则m = -2
uuur uuur
m 1
uuur uuur
C．若 AB∥BC ，则 = - D．若2 BA
，BC 的夹角为锐角，则m < 2且
m 1 -
2
10．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（）
uuur uuur
A．已知 A 2,3 , B 4, -3 3 16 ，点 P 在直线 AB 上，且 AP = PB ，则 P 的坐标为
2
,-1÷；
è 5
uuur uuur 1 uuur2
B．若O是VABC 的外接圆圆心，则 AB × AO = AB
2
r r r r r r rC．若 c ^ a - b ，且 c 0，则a = b
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D．若点 P 是VABC 所在平面内一点，且PA × PB = PB × PC = PC × PA，则 P 是VABC 的垂
心.
uuur uuur
11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，P x, y ，Q -3,0 ，且 PQ = 2 PO ，MN
是圆 Q： x + 3 2 + y2 = 4的一条直径，则（）
uuur
A．点 P 在圆 Q 外 B． PQ 的最小值为 2
uuuur uuur uuuur uuur
C．OM ×ON = 5 D．PM × PN 的最大值为 32
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，∠BAC=60°，点 D 为边 BC 的中点，E，F 分别
uuur uuur uuur uuur
为 BD，DC 的中点，若 AD=1，则 AB × AF + AC × AE 的最大值为．
π
13．（2023·广西·模拟预测）在VABC 中， ABC = ，点D在线段 AC 上，且 AD = 3DC ，
3
BD = 4，则VABC 面积的最大值为．
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 z = x + yi x R, y R 1， z1 = -2， z2 = - ， z3 = i2
在复平面内对应的点分别为Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，复数 z 满足 z - z1 = 2 z - z2 ，且
uuur uuuur uuuur
Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，则3l + 2m 的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在VABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
a = bcosC 3- c sin B
3
(1)求角 B
(2)过 B 作BD ^ BA，交线段 AC 于 D，且 AD = 2DC ，求角C .
16．（2022·湖南·一模）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
a = 2,b = 5,c = 1．
(1)求 sin A,sin B,sin C 中的最大值；
(2)求 AC 边上的中线长．
17．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 6 2 ， BAC = 45°，
BC，AC 边上的两条中线 AM，BN 相交于点 P．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)求 MPN 的余弦值．
18．（2023·河南·模拟预测）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知5bsinA = 3atanB, D
是 AC 边上一点， AD = 2DC, BD = 2 .
(1)求 cosB；
uuur uuur
(2)求BA × BC 的最大值.
19．（2023·四川自贡·一模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
uuur uuur uuur
3 cos A + sin A = 0 .若 D 在线段 BC 上，且BD = 2DC ， AD = 2 .
(1)求 A；
(2)求VABC 面积的最大值.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模）在VABC 中, AB = 2, ACB = 45° ,O 是VABC 的外心,则
uuur uuur uuur uuur
AC × BC + OC × AB 的最大值为（）
3 7
A．1 B． C．3 D．
2 2
2．（2022·江苏盐城·模拟预测）在VABC 中，过重心 E 任作一直线分别交 AB，AC 于 M，N
uuur uuur uuur uuur
两点，设 AM = xAB， AN = yAC ，（ x > 0， y > 0），则 4x + y 的最小值是（）
4 10
A． B． C．3 D．2
3 3
3．（22-23 高三下·河北石家庄·阶段练习）设 A, B是平面直角坐标系中关于 y 轴对称的两点，
uuur uuur uuur uuur uuur
且 OA = 2 .若存在m,n R ，使得mAB + OA与 nAB + OB 垂直，且
uuur uuur uuur uuur uuurmAB + OA - nAB + OB = 2，则 AB 的最小值为（）
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
uuur uuur uuur uuur
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知点 G 为三角形 ABC 的重心，且 GA + GB = GA - GB ，
当 C 取最大值时， cosC =（）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
二、多选题
r r r r r r
5．（2022·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算： a b = a × b ×sináa,b ，则关于空
间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）
r rA．l a b = r r r r r rla b B． a b=b a
r r r r r r r r
C．若 a b = 0，则 a ^ b D． a b a × b
6．（2024·海南海口·模拟预测）已知eC : (x - 4)2 + y2 = 4， A, B是eC 上的两个动点，且
AB = 2 3 .设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，线段 AB 的中点为M ，则（）
π
A． ACB =
3
B．点M 的轨迹方程为 (x - 4)2 + y2 =1
C． x1x2 + y1 y2 的最小值为 6
D． x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1 的最大值为10 + 2
三、填空题
r r r r r r 5π r
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 a，向量b 与 a不共线，且 a - b ,b = ，则 b6
的最大值为．
r r r r r r r r
8．（2024·山东济宁·三模）已知 a = a - b = 3 2, b = 6 ，则 f (x) xa
1 1
= - b + xa - b (x R)
2 3
的最小值为 .
9．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知 A, B,C 是边长为 1 的正六边形边上相异的三点，则
uuur uuur
AB × BC 的取值范围是 .
四、解答题
10．（2023·重庆·模拟预测）在 VABC 中，a，b，c 分别是 VABC 的内角 A，B，C 所对的边，
b a - c
且 = ．
sin A + sin C sin B - sin C
(1)求角 A 的大小；
uuuur uuuur uuuur 21
(2)记VABC S BM = MC AM的面积为，若，求的最小值．
2 S
11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B 是单位圆（圆心为 O）上两动点，C 是劣弧 AB
uuur uuur uuur
（含端点）上的动点．记OC = lOA + mOB （l ，m 均为实数）．
(1)若 O 到弦 AB 1的距离是 l + m2 ，求的取值范围；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(2)若 3OA - OB
5
，向量
2 2OA + OB
和向量OA + OB 的夹角为q ，求 cos2 q 的最小值．培优点 06 平面向量的综合应用（2 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【核心题型】
题型一　平面向量在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的步骤
―设向―量→ 计算还原平面几何问题向量问题
― ― →
解决向量问题
― ― →
解决几何问题．
π
【例题 1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形 ABCD中， AD = 2, ADB = , BD 是圆
4
uuur uuur
的直径， AC × BD = 2，则 ADC =（）
5π π 7π 2π
A． B． C． D．
12 2 12 3
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形 ABCD的几何性质，即可得所
求.
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur因为 AC × BD = 2，所以 AD + DC × BD = 2，易知BD = 2 2 ，
uuur uuur uuur uuur
结合图形， AD·BD 2 2 2 2= = 4 BCD = 90° 2，，则 4 - DC = 2，故 DC = 2 .2
所以在直角三角形BCD中可得 BDC
π 7π
= ，故 ADC = .
3 12
故选：C
【变式 1】（2023·河南·模拟预测）在 VABC 中，内角 A， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，
BAC π= ，D BC BD = 2DC AD BD 3为上一点，， = = ，则VABC 的面积为（3 ）2
A 3 3 B 9 3 9 3．． C． D 9 3．
32 8 16 32
【答案】D
uuur 1 uuur 2 uuur
【分析】根据向量的基本定理得 AD = AB + AC ，同时平方化简得 4a2 = c2 23 3 + 4b + 2bc
，
再由余弦定理得b2 + c2 - bc = a2 2
9
，两式联立化简可得b = ，由三角形面积公式计算即可.
16
【详解】
uuur 1 uuur 2 uuur
如图所示，在VABC 中，由BD = 2CD，得 AD = AB + AC ．
3 3
uuur uuur
AD BD 2又 AD = BD ，即 = = a，
3
uuur2 1 uuur 2 uuur
2
AD AB AC 4 1 4 2所以 = + a
2 = c2 + b2 + bc，
è 3 3 ÷ 9 9 9 9
化简得 4a2 = c2 + 4b2 + 2bc ．①
在VABC 中，由余弦定理得，b2 + c2 - bc = a2 ，②
由①②式，解得 c = 2b．由BD 3 3 3= ，得 a = ，
2 4
2
3 3 2 9
将其代入②式，得 2 2 2 ÷÷ = b + c - bc = 3b ，解得b = ，
è 4 16
故VABC 1的面积 S = bc ×sin 3 BAC = b2 3 9 9 3= = ．
2 2 2 16 32
故选：D
【变式 2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuurAB = BC = CD = DA × DC =1，BA × BC = ，则 AC = ；BD ×CD = .2
【答案】 1 1 3+
2
uuur uuur uuur
【分析】根据BA BC
1
× = 求出 B 的大小，从而可判断△ABC 的形状，从而求出 AC ；再求
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur出DC × AC ，从而求出∠ACD 的大小，再根据BD ×CD = BC + CD ×CD即可求出BD ×CD ．
uuur uuur uuur uuur uuur 1
【详解】∵ AB = BC = CD =1, BA × BC = ，
2
uuur uuur uuur uuur
又BA × BC = BA BC cosB
1 1
= ，故 cosB = ，
2 2
∵ 0 < B < π B
π
，故 = ，
3
uuur
∴VABC为等边三角形，则 AC =1；
uuur
CD =1 uuur2
uuur uuur uuur2 uuur uuur∵ ，∴ CD =1，又DA × DC =1，∴ CD = DA × DC ，
uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
得DC - DA × DC = DC × DC - DA = DC × AC = 0 ，
∴ AC ^ CD ，
根据以上分析作图如下：
则∠BCD=150°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2
则BD ×CD = BC + CD ×CD = BC ×CD + CD = -CB ×CD + CD

= -1 1 3 2 + 3 - 2 ÷÷
+1 = ．
è 2
2 + 3
故答案为：1； 2
【变式 3】（2024·河北张家口·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点
uuur uuur uuur
D 为边BC 上一点，且满足 (AD + AC) × BC = 0．
(1)证明： AD = b；
uuur 1 uuur 2 uuur
(2)若 AD 为内角 A 的平分线，且 AD = AB + AC ，求 sin A ．
3 3
【答案】(1)证明见详解；
(2) 3 7 .
8
【分析】（1）记CD 的中点为E ，利用向量运算证明 AE ^ BC 即可；
uuur uuur
（2）先根据向量关系得BD = 2DC ，再由角平分线定理可得 c = 2b，分别在△ACD,△ABD
9b2
使用余弦定理可得 a2 = ，再在VABC 中利用余弦定理求 cos A，然后由平方关系可得
2
sin A .
uuur uuur uuur
【详解】（1）记CD 的中点为E ，则 AD + AC = 2AE ，
uuur uuur uuur uuur uuur
因为 (AD + AC) × BC = 2AE × BC = 0，所以 AE ^ BC ，
所以 AE 为CD 的垂直平分线，所以 AD = AC = b .
（2）记 CAD = q ，
uuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AD = AB + AC ，所以 AD - AB = 2 AC - AD ，3 3
uuur uuur
BD 2 a, DC 1所以BD = 2DC ， = = a ，3 3
c BD
又 AD 为内角 A 的平分线，所以 = = 2， c = 2b，
b DC
在△ACD,△ABD 中，分别由余弦定理得：
2 2
b2 + b2 - 2b2 cosq a 4a= ,b2 + 4b2 - 4b2 cosq = ，
9 9
2
联立可得 a2 9b= ，
2
2
b2 + 4b2 9b-
在VABC 中，由余弦定理得 cos A 1= 2 = ，
4b2 8
2
所以 sin A = 1- 1 3 7 ÷ = .
è 8 8
题型二　和向量有关的最值(范围)问题
命题点 1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
【例题 2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在VABC 中，D为线段 AC 的一个三等分点，
uuur uuur uuur
AD = 2 DC .连接BD，在线段BD上任取一点E ，连接 AE ，若 AE = aAC + bAB，则 a2 + b2
的最小值为（）
13 5 4 2
A． B． C． D．
4 2 13 5
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】根据E 在线段BD上得到 AE = l AD + 1- l AB ，结合已知条件得到 a，b 和l 的关
系式，最后转化为二次函数求最小值.
uuur uuur uuur
【详解】Q E 在线段BD上，\ AE = l AD + 1- l AB ，l 0,1 ，
uuur 2 uuurQ D为线段 AC 的一个三等分点， AD = 2 DC ，\ AD = AC ，
3
uuur 2 uuur uuur uuur uuur\ AE = l AC + 1- l AB = aAC + bAB，
3
2
由平面向量基本定理得 a = l ，b = 1- l ，
3
4 2\ a2 + b2 = l 2 + 1- l 2 13= l 2 - 2l 1 13 9 4+ = l -

÷ + ，9 9 9 è 13 13
\当l
9 2 2 4= 时， a + b 取得最小值 .
13 13
故选：C.
r r r r r 1 r r r
【变式 1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知 | a |=| b |=| c |=1, a ×b = - ， c = xa + yb(x, y R)，
2
则 x - y的最小值为（）
A 2 3．-2 B．- C．- 3 D． -1
3
【答案】B
r r 2π r r 1 3
【分析】利用数量积定义可得 a,b的夹角为q = ，不妨设 a=(1,0),b= - ，，3 è 2 2
÷÷

ì
r x = cosa
3
+ sina
c = (cosa ,sina ),a 0,2π 3，即可得 í ，再利用辅助角公式可得
y 2 3 = sina 3
x 2 3- y = cos(a π+ ) ，即可求得其最小值.
3 6
r r r r r r 1
【详解】设 a,b的夹角为q ，Q a = b =1， a ×b = - ，
2
1 r
\cosq = - ，Qq 0, π ，\q = 2π ，又 c = 1，
2 3
r r r
不妨设 a=(1,0),b=
1 3
- ， ÷÷ ， c = (cosa ,sina ),a 0,2π ，
è 2 2
ì y ì 3
r r r cosa = x -
Qc xa yb= x y 3
x = cosa + sina
= + - , y 2 3 ÷÷，所以，即，
è 2 2
í í
sina 3= y y 2 3 = sina 2 3
2

\ x - y = cosa 3 sina 1 3 π 2 3 π- = +
3 3 ÷÷
cos(a + ) = cos(a + )，
è 6 3 6
a 0,2π a + π\ é π 13π 由 ê ，6 ÷， 6 6
\ a + π = 3π 4π 2 3当时，即a = 时， x - y有最小值
6 2 3 -
．
3
故选：B
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，空间中点 P 满
uuur uuuur
足 PA + PC1 = 3 ，则三棱锥P - ACD1的体积的最大值为．
5
【答案】
3
uuur uuuur
【分析】方法一：根据题意建立合适的空间直角坐标系，设P x, y, z ，根据 PA + PC1 = 3
得出点 P 的轨迹是球，然后得到点 P 到平面 ACD1的距离的最大值，从而根据三棱锥的体积
uuur 3
公式求解．方法二：利用向量的几何运算得到 PO = ，得到点 P 的轨迹是球，然后得到
2
点 P 到平面 ACD1的距离的最大值，从而根据三棱锥的体积公式求解．
【详解】解法一根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 2,0,0 ，C1 0,2,2 ，设
uuur uuuur
P x, y, z ，则PA = (2 - x, -y, -z), PC1 = (-x, 2 - y, 2 - z)，
uuur uuuur
所以PA + PC1 = (2 - 2x, 2 - 2y, 2 - 2z)，
uuur uuuur
由 PA + PC = 3 x -1 2 + y -1 2 + z -1 2 31 ，得 = ，故点 P 的轨迹是以O(1,1,1) （O为正方4
体 ABCD - A 31B1C1D1 的中心）为球心，半径为的球．
2
连接B1D
1
，易知B1D = 2 3 ，OD = B1D = 3，△ACD1为等边三角形，且边长为 2 2 ，2
设点 D 到平面 ACD1的距离为d ，
由VD - ADC = V
1 1 1 3 2 3
1 D- AD1C ，得到 2 2 2 = d (2 2)2 ，所以 d = ，3 2 3 4 3
2 3 3
故可得点 O 到平面 ACD1的距离 h = 3 - = ，
3 3
故点 P 3 5 3到平面 ACD1的距离的最大值为 h + = ，
2 6
2
则三棱锥P - ACD 1 3 5 3 51的体积的最大值为 2 2 = ．
3 4 6 3
uuur uuuur uuur uuur uuuur
解法二连接 AC1，取 AC1的中点 O，则PA + PC1 = 2PO，又 PA + PC1 = 3 ，可得
uuur
PO 3= ，故点 P 3的轨迹是以 O 为球心，半径为的球，
2 2
1
连接B1D，易知B1D = 2 3 ，OD = B1D = 3，△ACD1为等边三角形，且边长为2 2 2
，
设点 D 到平面 ACD1的距离为d ，
由VD - ADC = V
1 1 1 3
1 D- AD1C ，得到 2 2 2 = d (2 2)2 d
2 3
，所以 = ，
3 2 3 4 3
2 3 3
故可得点 O 到平面 ACD1的距离 h = 3 - = ，
3 3
3 5 3
故点 P 到平面 ACD1的距离的最大值为 h + = ，
2 6
P - ACD 1 3 2 5 3 5则三棱锥 1的体积的最大值为 2 2 = ．3 4 6 3
5
故答案为： 3 .
【变式 3】（23-24 高三下·天津和平·开学考试）在VABC 中，M 是边 BC 的中点，N 是线段
uuur uuur r uuur r π
BM r的中点．设 AB r= a ， AC = b ，记 AN = ma + nb ，则m - n = ；若 A = ，VABC6
uuur uuuur uuur
的面积为 3，则当 BC = 时， AM × AN 取得最小值．
1
【答案】 /0.5 2
2
uuur 3 r 1 r m 3 ,n 1【分析】利用平面向量基本定理得到 AN = a + b ，得到 = = ，求出m- n；由三
4 4 4 4
uuuur 1 uuur 1 uuur
角形面积公式得到 AB × AC = 4 3，结合 AM = AB + AC 和平面向量数量积公式，基本不2 2
uuuur uuur
等式得到 AM × AN 的最小值，此时 AB = 2, AC = 2 3 ，由余弦定理得到BC = 2 .
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
【详解】由题意得 AN = AB + BN = AB + BC = AB + AC - AB
4 4
3 uuur uuur r
= AB 1 3 r 1+ AC = a + b ，
4 4 4 4
m 3 ,n 1 m n 3 1 1故 = = ，故 - = - = ；
4 4 4 4 2
1 π
由三角形面积公式得 SV ABC = AB × AC sin = 3 ，2 6
故 AB × AC = 4 3，
uuuur uuur uuur
其中 AM
1
= AB 1+ AC ，
2 2
uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur2 1 uuur uuur 1 uuur2
故 AM × AN =

AB + AC

÷ AB + AC ÷ = AB + AB × AC + AC
è 2 2 è 4 4 8 2 8
3 uuur 2 1 uuur uuur uuur 2
= AB + AB × AC cos π 1+ AC 3= AB2 3 1+ AB × AC + AC 2
8 2 6 8 8 4 8
3 AB2 1 AC 2 3 2 3= + + AB2 1× AC 2 + 3
8 8 8 8
3
= AB × AC +3 = 6，
4
3 AB2 1 2当且仅当 = AC ，即 AB = 2, AC = 2 3 时，等号成立，
8 8
2 2 2 π 2 2
此时BC = AB + AC - 2AB × AC cos = AB + AC - 3AB × AC
6
= AB2 + AC 2 -12 = 4 +12 -12 = 4，
故BC = 2 .
1
故答案为： 2 ，2
命题点 2　与数量积有关的最值(范围)问题
【例题 3】（2024·黑龙江·三模）已知VABC 内角 A, B,C 的对边分别为
uuur uuur
a,b,c,c = 2,a = 4,cosB 3= ，动点M 位于线段BC 上，则MA × MB 的最小值为（）4
9 9 9
A．0 B． C．- D．-
10 16 10
【答案】C
uuur uuur uuur 3 2 9
【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，得到MA × MB = MB -

÷ - ，即可求出
è 4 16
结果.
【详解】由题知
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur2 3 uuur uuur
2
MA × MB = MB + BA × MB = MB + BA × MB = MB + 2 MB cos π B 3 9- = MB - 2 MB = MB -

4 ÷
-
è 4 16
，
uuur uuur
0 MB 4 3 uuur uuur MB 9而，所以当 = 时，MA × MB 有最小值为- ，4 16
故选：C.
r r r r r r π
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知 a，b 为非零向量，且 | a |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，3
r r
若 | a + tb |的最小值为 3，则 r 2 + t 2 的值为（）．
5 9 17
A． B． C．4 D．
2 4 4
【答案】D
r r 1 r r
【分析】由数量积的定义和模长公式对 | a + tb |平方可得，当 t = - 时， | a + tb |取得最小值
2
3 r ，可求出 r = 2，即可求出 r 2 + t 2 的值,
2
| ar
r r r π
【详解】因为 |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，
3
r r r| a tb |2 | ar |2 t2 |b |2 2tar
r 2
2 é ù
由题意得 + = + + ×b = r 1+ t2 1 3+ t = r2 ê t + + ，
êè 2
÷ ú
4 ú
1 r
所以当 t = - | ar时， + tb | 3取得最小值 r ，2 2
3 1 17
由 r = 3 得 r = 2 2，所以 r + t 2 = 4 + = ．
2 4 4
故选：D
【变式 2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知 A， B 为圆 O : x2 + y2 = 4 上的两个动点，
uuur uuur
AB = 2 3 ，若点 P为直线 x + y - 4 2 = 0上一动点，则PA × PB 的最小值为 .
【答案】6
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB D PA × PB = PD + DA × PD + DB uuur2 uuur2【分析】取中点，则 = PD - DA ，问题转化为求 PD
的最小值，再利用点到直线的距离公式求 OP 的最小值即可.
【详解】如图：取 AB 中点D，因为 AB = 2 3 ，圆O的半径为 2，所以 OD =1，点D的
轨迹是以原点为圆心，以 1 为半径的圆， DA = DB = 3 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PA × PB = PD + DA × PD + DB uuur2 uuur2 uuur2= PD - DA = PD - 3，
4 2
由点到直线距离公式，得： OP = = 4 ，所以 PD = 4 -1 = 3min min ，2
uuur uuur
所以PA × PB 32 - 3 = 6 .
故答案为：6
【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已
知b 2
é
= êbcos
2 π A- ÷ - a sin
B cos B ù．
è12 2 2 2 ú
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若BP = PC ，且b + c = 2 ，求 AP 的最小值．
π
【答案】(1) A = 3 ；
(2) 3 ．
2
【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到
结果；
（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得
到结果.
a b
【详解】（1）在VABC 中，由正弦定理 = ，可得 a sin B = bsin A
sin A sin B
b 2 é= bcos2 π A- 又由 ê ÷ - a sin
B cos B ù B B éú知 2a sin cos = b × ê2cos
2 π A ù- -1 ，
è12 2 2 2 2 2
÷ ú
è12 2
a sin B π π即 = bcos
- A bsin A = bcos - A ÷，得 ÷，得
è 6 è 6
sin A = cos π 3 - A÷ = cos A
1
+ sin A，
è 6 2 2
1
得 sin A 3= cos A，所以 tan A = 3 ；
2 2
又因为 A 0, π ，所以 A π= 3 ．
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
（2）由BP = PC ，得 AP = AB + AC2 2 ，
uuur2 1 uuur uuur
2 uuur2 uuur2 uuur uuur
所以 AP = AB
1
+ AC 1÷ = AB
1 1
+ AC + AB × AC
è 2 2 4 4 2
1
= c2 1 b2 1+ + bc cos A 1= c2 1+ b2 1+ bc
4 4 2 4 4 4
1 é 2 ù
= é b + c
2 bcù 1 2 b + c 3 2 3-
4
ê b + c -4 2 ÷ ú = b + c = ，ê è ú 16 4
ìb = c
í 3
当且仅当 b + c = 2，即b = c =1时等号成立，故 AP 的最小值为 2
命题点 3　与模有关的最值(范围)问题
p
【例题 4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知点A 、 B 在单位圆上， AOB = ，若
4
uuur uuur uuur uuur
OC = OA + xOB x R ，则 OC 的取值范围是（）
A． 0, 1+ éB． ê ,+

2 ÷
é 2
C． ê ,+ 2 ÷÷ D． 1, +
【答案】C
uuur
【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得 OC 的取值范围.
【详解】
uuur 2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur
2

OC = OA + xOB p 2 1 1= OA + x2OB + 2x OA × OB cos = x2 + 2x +1 = x + ÷÷ + ，4 è 2 2 2
uuur 2
因此， OC .
2
故选：C.
r r r r r r r r
【变式 1】（2023·重庆·三模）已知 a 是单位向量，向量b b a 满足b - a与 a 成角60°，则 b
的取值范围是（）
1 3
A． ,+

÷ B2 ．
, +
è 3
÷÷
è
2 3
C． 1, + D． ,+ 3 ÷÷è
【答案】C
uuur
AB ar
uuur r r r
【分析】设 = , AC = b r，由已知 a与b - a 的夹角为60°可得 ABC =120° ，由正弦定理
| ar
r
| | b | r
= | b | 3
r
得 = >1，从而可求 | b |的取值范围.
sin C sin120° 2sin C
uuur uuur r
【详解】设 AB = ar, AC = b ，如图所示：
uuur uuur uuur r r
则由BC r= AC - AB ，又Qa与b - a 的夹角为60°，\ ABC = 120° .
uuur r
| AB | | ar | 1 | a
r | | b | r
又由 = = ，由正弦定理 = ，得 | b | 3= ，
sin C sin120° 2sin C
π 3 QC 0, ÷ ，\sin C 0, ÷，
è 3 2 ÷è
r
\| b | 3= (1,+ )，
2sin C
故选：C
ur uur ur ur ur ur r ur ur
【变式 2】（2022·浙江·三模）已知平面向量 e1,e
r
2 满足 2e2 - e1 = 2，设a = e1 + 4e2 ,b = e1 + e2 ，
r r r
若1 a ×b 2，则 | a |的取值范围为．
【答案】[ 3 -1, 5 +1]
r ur ur r 1 r r r c
r
【分析】设 c = e1 - 2e2 ，则b = (a + c) ，由条件求出 a + ，根据向量三角不等式可求2 2
| ar | .
r ur ur r 1 r
【详解】设 c = e1 - 2e2 ，则b = (a
r cr) r r r r+ ，则由条件1 a ×b 2知2 a × (a + c) 4 ，2
3 ar2 ar cr 1 r c
r cr
所以 + × + c
r2 5，所以 3 a + 5, = 12 2 ，4
ar c
r cr r cr cr r cr cr
又 + - a
v = a + - a + +
2 2 2 2 2 2
所以 3 -1 | ar | 5 +1．
故答案为：[ 3 -1, 5 +1]
r r r
【变式 3】（2022·上海·模拟预测）已知向量 a在向量b 方向上的投影为-2，且 | b |= 3，则
r
| ar + b |的取值范围为（结果用数值表示）
【答案】[1, + )
r r
【分析】根据向量的投影公式可得 a × b = -6，结合向量的数量积公式和 cosq 的取值范围即
r r
可求出 a + b 的范围.
r r
【详解】由题意知，设向量 a，b的夹角为q ，
r r ra ×b r
由 a cosq = r = -2，b = 3b ，
r r r
得 a ×b = -2 b = -6，
v 2 v v 2
又 av + b = av
2 + 2av 4×b + b = av 2 -12 + 9=
cos2
- 3，
q
又 cosq [-1，1]且 cosq 0，
4
[4 4，+ )，所以 - 3 [1，+ )，
cos2 q cos2 q
r r
所以 a + b 的取值范围为[1，+ ) .
故答案为：[1，+ )
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·二模）在Rt△ABC 中，角 A, B,C 所对应的边为 a,b,c A
π C π, = ， = ，
6 2
uuur uuur uuur
c = 2， P 是VABC 外接圆上一点，则PC × PA + PB 的最大值是（）
A．4 B． 2 + 10 C．3 D．1+ 10
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】先判断VABC 外接圆圆心O是 AB 的中点，将PC × PA + PB 化简为2PC × PO ，再
uuur uuur2 uuur uuur
将PC 分解整理得2PO + 2PO ×OC ，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得
uuur uuur uuurPC × PA + PB 的最大值.
【详解】
如图，设Rt△ABC 的外心为O，则点O是 AB 的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur由PC × PA + PB = 2PC × PO = 2 PO + OC × PO = 2PO + 2PO ×OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因 c = 2，故 | PO |=|OC |= 1 ,而PO ×OC = cosáPO,OC ，
uuur
故PC × uuur uuur uuur uuurPA + PB 2 + 2 = 4,当且仅当PO与OC 同向时取等号.
故选：A.
1
2．（2024·陕西渭南·二模）已知菱形 ABCD的边长为1,cos BAD = ,O为菱形的中心，E 是
3
uuur uuur
线段 AB 上的动点，则DE × DO 的最小值为（）
1 2
A B 1
1
．． C． 2 D3 3
．
6
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】设 AE = l AB,0 l 1，将DE, DO分别用 AB, AD表示，再结合数量积的运算律即
可得解.
【详解】由题意点O为BD的中点，
uuur uuur
设 AE = l AB,0 l 1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
则DE = AE - AD = l AB - AD，DO = DB = AB - AD，2 2 2
uuur uuur
故DE × DO = uuur uuurl AB AD 1 uuur 1 uuur- × AB - AD
è 2 2 ÷
1 uuur2 1 uuur2 1 1 uuur uuur
= l AB + AD - l + ÷ AB × AD2 2 è 2 2
1 1 1 1
= l + - l 1+
2 2 3 2 2 ÷è
1 1
= l + ，
3 3
uuur uuur 1
当 l = 0 时，DE × DO 取得最小值 .3
故选：A.
r r r r
3．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量 a，b 夹角为q ，且满足 a = 3 2 ， b =1，若当 t = -4
r r
时， a + tb 取得最小值，则 sinq = （）
1
A B 15
1
C D 2 2．．．．
4 4 3 3
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得 t = -3 2 cosq 时取得最小值，
再根据同角三角函数的平方关系计算即可.
r r 2 r 2 r r r 2
【详解】易知 a + tb = a + 2ta ×b + t 2 b =18 + t 2 + 2t 3 2 cosq =18 + 6 2t cosq + t 2 ，
由二次函数的单调性可知 t = -3 2 cosq 时上式取得最小值，
即 t = -3 2 cosq = -4 cosq 2 2= q 0, π ，
3
所以 sinq
1
= .
3
故选：C
r r r r r r r r
4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知向量 a ，b 满足 a = 2 b ， a ×b = -1，则 a + b 的取值范
围为（）
é1 é é 2 A． 2, + B． ê ,+ ÷ C． 2, + D． ê ,+ ÷ 2 ÷ 2
【答案】D
【分析】由向量的数量积与模的关系消元化简计算即可.
r r r r r r r 2
【详解】设向量 a ，b 的夹角为q ，则 a ×b = a × b ×cosq = 2 b ×cosq = -1，
q π ù易知 ,πú，即-cosq 0,1 è 2
r 2 -1 1 r r 2 r 2 r 2 r r r 2 r r
所以 b = ，所以 a + b = a + b + 2a
1
×b = 5 b - 2 a b 2，即 + .
2cosq 2 2 2
故选：D.
二、多选题
5．（2023·山东烟台·二模）如图，在VABC 中， AB = 2 ， AC = 3， BAC = 60°，点D, E 分别
uuur uuur uuur uuur
在 AB ， AC 上且满足 AB = 2AD， AC = 3AE ，点F 在线段DE 上，下列结论正确的有
（）．
uuur uuur uuur
A．若 AF = l AB + m AC ，则3l + 2m =1
uuur uuur
B．若DE = 2DF ，则BF ^ CF
uuur uuur
C． BF + CF 3 3的最小值为
2
uuur uuur
D S 15 3．BF ×CF 取最小值时， △BFC = 16
【答案】BCD
【分析】A 选项根据平面向量基本定理和向量共线的性质求解；
uuur uuur uuur uuur
B 选项，结合 A 选项，用 AB ， AC 来表示出BF ,CF ，然后由数量积的计算进行说明；
uuur uuur uuur
C 选项，取BC 中点 H ，则 BF + CF = 2 HF ，问题转化成定点 H 到线段DE 上动点的距离最
小值；
uuur uuur uuur uuur
D 选项，通过转化先推出 BF + CF 取得最小值时，BF ×CF 也取最小值，然后用面积的割补
计算.
【详解】
uuur uuur
A 选项，点F 在线段DE 上，则$ t [0,1] ，使得 DF = tFE ，则
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur t uuurAF - AD = t AE - t AF AF = AD + AE
t 1 t 1 ，+ +
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur t uuur
又 AB = 2AD， AC = 3AE ，故 AF = AB + AC2(t +1) 3(t +1) ，
ìl 1=
uuur uuur uuur 2(t +1)
根据题干若 AF = l AB + m AC ，由平面向量基本定理可知： í t ， m =
3(t +1)
于是 2l
1 t
+ 3m = + =1，A 选项错误；
t +1 t +1
uuur uuur uuur uuur
B 选项，根据 A 的分析，若DE = 2DF DF = EF ，此时
uuur 1 uuur t uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAF = AB + AC = AB + AC 3 1，故BF = AF - AB = - AB + AC2(t ，+1) 3(t +1) 4 6 4 6
uuur uuur uuur 1 uuur 5 uuurCF = AF - AC = AB - AC ，
4 6
uuur uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur 3 uuur2 5 uuur2 2 uuur uuur
于是BF ×CF = - AB + AC ÷ × AB - AC4 6 4 6 ÷
= - AB - AC + AB × AC ，
è è 16 36 3
uuur uuur
由 AB = 2 ， AC = 3， BAC = 60°，代入数据由向量的数量积可得 BF ×CF = 0 ，即 BF ^ CF ，
B 选项正确；
uuur uuur uuur 1 3
C 选项，取 BC 中点 H ，则 BF + CF = 2 HF ，由 BD = AD, BH = HC ，于是 DH = AC = ，
2 2
AE 1由 = AC =1 = AD ， BAC = 60°，
3
故VADE 为等边三角形，故DE =1，根据中位线可知，DH // AC ，
于是 HDE = 60o ，在VHDE 7中根据余弦定理可得HE = ，
2
7
+1 9-
cos HED = 4 4 > 0 HED
7 为锐角，又 HDE = 60
o ，
2 × ×1
2
故过 H 作VHDE 的高线时，垂足点落在线段DE 上，由题意垂足点为F 时，
uuur uuur uuur uuur uuur
BF + CF = 2 HF 最小.最小值为 2 HF = 2 DH sin 60o 3 3= ，C 选项正确；
2
uuur uuur 1 uuur uuur 2 1 uuur uuur 2 uuur2 1 uuur2D 选项， BF ×CF = BF + CF - BF - CF = HF - BC4 4 4 ，
uuur uuur uuur2
在VABC 7中，根据余弦定理可求得BC = 7 ，即 BF ×CF = HF - 4 ，
uuur uuur uuur
根据 C 选项可知， HF 最小时BF ×CF 也最小. 根据 SVBFC = SVABC - SVADE - SVEFC - SVBDF ，根
据 C 选项的分析，DF = DH cos 60o
3
= ，故EF
1
= ，注意到
4 BDF = FEC =120
o，
4
1 1 1 3 5 3
故 S o oVEFC + SVBDF = × ×2 ×sin120 + × ×1×sin120 = ，2 4 2 4 16
故 SVBFC = SVABC - SVADE - SVEFC - S
1
VBDF = ×2 ×3 ×sin 60
o 1 1 1 sin 60o 5 3 15 3- × × × - = ，D 选项正
2 2 16 16
确.
故选：BCD
6．（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥Q - EFGH 中，底面是边长为 2 2 的正方形，M
为QG 的中点．QE = QF = QG = QH = 4，过Q作平面EFGH 的垂线，垂足为O，连EG ，
EM ，设EM ，QO 的交点为A ，在△QHF 中过A 作直线BC 交QH ，QF 于 B ，C 两点，
QB = xQH ，QC = yQF ，过EM 作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的
体积分别为V1,V2 ，下列说法正确的是（）
uuur
QA 1
uuur 1 uuur 1 1
A． = QH + QF B． + = 3
3 3 x y
V
C．V1 = 2 3xy D
1 1
．V 的最小值为 22
【答案】ABD
【分析】过Q作平面EFGH 的垂线，垂足为O，连接EG 、EM 、QO ，设EG 、QO 的交
点为A ，在△QHF 中，过A 作直线交QH ，QF 于 B ，C ，由相交直线确定平面，得到四边
形ECMB是过EM 的截面，结合平面向量基本定理，基本不等式及体积求解逐项判断能求出
结果．
【详解】由题意可知，四棱锥Q - EFGH 为正四棱锥，
过Q作平面EFGH 的垂线，垂足为O，则 O 为底面中心，连接EG 、EM 、QO ，
设EG 、QO 的交点为A ，在△QHF 中，过A 作直线交QH ，QF 于 B ，C ，
由相交直线确定平面，得到四边形ECMB是过EM 的截面，
由题意得EG = 4 ，\VQEG 是等边三角形，\ A是VQEG 的重心，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则QA 2 QO 2 QH + QF 1= = = QH 1+ QF ，故 A 正确；
3 3 2 3 3
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur 1 uuur
又设QB = xQH ，QC = xQF ，\ QH
1
= QB QF = QC
x ， y ，
uuur 1 uuur 1 uuurQA QB QC 1 1 1 1 1\ = + + = + = 3
3x 3y ，由三点共线得 3x 3y ，解得 x y ，故 B 正确；
易知EO ^ HF , EO ^ QO, HF QO = O, HF ,QO 平面QHF ,故EO ^平面QHF ，
则 E 到平面QHF 的距离为OE = 2 ，同理 G 到平面QHF 的距离为 2,
又M 为QG 的中点，则M 到平面QHF 的距离为 1，
QS 1VQBC = QB QC sin
p
= 4 3xy
2 3 ，
V V 1\ 1 = E-QBC +VM -QBC = S
1 p
3 VQBC
(1+ 2) = QB QC sin = 4 3xy
2 3 ，故
C 错误;
易知QO = 4 3 = 2 3, S
2 EFGH
= 8，
1
故V2 = VQEFGH -V1 = 2 3 8 - 4 3xy ，3
V1 4 3xy 4= 16 = -1+V ，2 3 - 4 3xy 4 - 3xy
3
1 1
Q + = 3 3 1 1 2 1，\ = + ，\ xy
4

x y ，x y xy 9
x y 2当且仅当 = = ．取等号，
3
V1
\ = -1
4 4 1
+ -1+ =
V2 4 - 3xy 4 4- 2 ，
3
(V\ 1 ) 1
V min
=
2 ．故 D 正确.2
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查正棱锥性质及向量应用，解决问题关键是利用向量共线得
1 1
+ = 3
x y 结合基本不等式求最值.
三、填空题
r r r r r r π
7．（2024·湖北·模拟预测）已知向量 a，b 满足 a = 2， b =1，且 a，b 的夹角为，则3
r
ar - lb l R 的最小值是 .
【答案】 3
r r 2
【分析】根据数量积的定义和运算律可得 a - lb = l - 2l + 4 ，结合二次函数分析求解.
r r r r π 1
【详解】由题意可知： a ×b = a b cos = 2 1 =1，
3 2
ar
r r r 2 r 2 r r r因为 - lb = a - lb = a - 2la ×b + l 2 2b = l 2 - 2l + 4 = l -1 2 + 3 3 ，
当且仅当l = 1时，等号成立，
r
所以 a
r
- lb 的最小值是 3 .
故答案为： 3 .
r r r r
8．（2024·上海闵行·二模）已知 a 、b 是空间中两个互相垂直的单位向量，向量 c满足 c = 3，
r r r r r r r
且 c ×a = c ×b =1，当l 取任意实数时， c - l(a + b) 的最小值为 .
【答案】 7
【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可.
r r r r r r r r r
【详解】因为 a = b =1， a ×b = 0 ， c = 3， c ×a = c ×b =1，
r r r 2 r2 r 2 r2 r r r r r r
所以 c - l(a + b) = c + l 2 a + l 2 b - 2la × c - 2lb × c + 2la ×b
= 2l 2 - 4l + 9 = 2 l -1 2 + 7 ，
r r r
所以当l = 1时， c - l(a + b) 的最小值为 7 ，
故答案为： 7 .
uuur uuur
9．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形 ABCD中， AB = 4 ， AD = 2， AC × AD = 8，则
uuur uuur uuur uuur uuur
AC uuur uuur= ；若CE = ED，DF = lDB ，则 AF × FE 的最大值为．
11
【答案】 2 7 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由 AC × AD = 8求出 AB × AD ，然后由 AC = AB + AD 平方后求得 AC ，把 AF , FE
uuur uuur
用 AB, AD表示后求数量积化为l 的函数可得最大值．
uuur uuur uuur
【详解】由已知 AC = AB + AD ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
所以 AC × AD = (AB + AD) × AD = AB × AD + AD = 8，所以 AB × AD = 4，
uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2
AC = AB + AD = (AB + 2AB × AD + AD = 16 + 2 4 + 22 = 2 7 ；
uuur uuur uuur uuur
因为CE = ED，DF = lDB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AF = AD + DF = AD + lDB = AD + l(AB - AD) = l AB + (1- l)AD，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
FE = AD + DE - AF = AD 1+ AB - l AB - (1- l)AD 1= ( - l)AB + l AD，
2 2
uuur uuur 1 uuur2 3 1 uuur uuur uuur2
AF × FE = l( - l)AB + (2l 2 - l + )AB × AD + l(1- l)AD2 2 2
=16l(1 3- l) + 4(2l 2 - l 1+ ) + 4l(1- l)
2 2 2
= -12(l 2 1- l) 1 11+ 2 = -12(l - )2 + ，
2 4 4
1 uuur uuur
所以l
11
= 时， AF × FE 取得最大值．4 4
11
故答案为： 2 7 ；．4
四、解答题
π
10．（2023·湖北·二模）已知在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，C = ．
3
(1)若 BC 3边上的高等于 a ，求 cos A；
3
uuur uuur
(2)若CA ×CB = 2，求 AB 边上的中线 CD 长度的最小值．
7
【答案】(1)
14
(2) 3
【分析】（1）先求得 AB, AC （用 a表示），然后利用余弦定理求得 cos A .
（2）先求得 ab，利用向量法求以及基本不等式求得CD 长度的最小值.
3
【详解】（1）过A 作 AE ^ BC ，垂足为E ，则 AE = a，
3
3
CE AE
a
= = 3 aπ = , AC = 2CE
2
= a，
tan 3 3 3
3
2
BE a a 2a , AB 2a
2
3 a 7= - = = +
3 3 è 3 ÷

3
÷÷ = a，
è 3
7 a2 4+ a2 - a2
cos A 9 9 7在三角形 ABC 中，由余弦定理得 = = 14 .
2 7 a 2 a
3 3
uuur uuur
（2）CA ×CB = 2 = ab cos
π 1
= ab,ab = 4 ，
3 2
uuur 1 uuur uuur uuur2 1 uuur uuur 2CD 1= CA + CB ，两边平方得CD = CA + CB =2 4 4 a
2 + b2 + 4
1
2ab + 4 = 3，当且仅当 a = b = 2时等号成立，
4
所以CD 的最小值为 3 .
11．（2023·四川成都·一模）已知VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
c c - a = b - a b + a .
(1)求角 B；
(2)若边 AC 上的中线BD长为 2，求VABC 面积的最大值.
π
【答案】(1) B = 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）先化简 c c - a = b - a b + a ，再结合余弦定理即可求解；
（2）利用中线向量公式，结合数量积的运算可得16 - ac = a2 + c2 ，结合基本不等式与三角
形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为 c c - a = b - a b + a ，所以 c2 - ca = b2 - a2 ，即 c2 + a2 - b2 = ca，
2 2 2
根据余弦定理可得 cos B c + a - b ca 1= = = ，
2ca 2ca 2
π
又因为0 < B < π ，所以 B = 3 ；
uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
（2）Q BD 是 AC 上的中线，\BD
1
= (BC + BA) ，即BD
1
= (BC + BA)2，
2 4
1
\4 = a2 + ac + c2 , 16\16 - ac = a2 + c2 2ac，即 ac ，4 3
a c 4 3当且仅当 = = 时，等号成立，
3
S 1 3 4 3\ VABC = ac sin B = ac
4 3
2 4 3 ，即VABC 面积的最大值为 3
【综合提升练】
一、单选题
r r r r r r r r
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量 a ，b ，且 a = b = 5， a + b = 6，则 ta + b t R
的最小值为（）
24 16 12
A． B．4 C． D．
5 5 5
【答案】A
r r r r
【分析】求出 a ×b 的值，写出 ta + b t R 的表达式，即可求出最小值.
【详解】由题意，
r r
∵ a + b = 6，
r 2 r2 r r∴ a + b + 2a ×b = 36，
r r
∵ a = b = 5，
r r r r 2 r 2 r r r2
∴ a ×b = -7， ta + b = t 2 a + 2ta ×b + b = 25t 2 + 2t -7 + 25 = 25t 2 -14t + 25，
7 r r 2t 576当 = 时， ta + b 取得最小值，
25 25
r r
∴ ta + b
24
的最小值为，
5
故选：A.
ur uur ur uur
2．（2024·全国·模拟预测）若单位向量 e1 ， e2 的夹角为120o，则当 e1 - le2 l R 取得最小
值时，l 的值为（）
1
A．－2 B．－1 C - D 1．．
2 2
【答案】C
ur uur
【分析】利用平面向量数量积的运算性质，将 e1 - le2 平方后即可求解.
ur uur 1 ur uuro 2 1
【详解】由题意知 e 21 ×e2 = cos120 = - ，因为 e1 - le2 = l + l +1，所以当l = - 时，2 2
ur uur
e1 - le2 取得最小值．
故选：C．
r r r r
3．（2023 高三下·全国·竞赛）已知平面向量 a， b 满足 a = 3 2 ， b =1，并且当l = -4 时，
ar
r r
+ lb r取得最小值，则 sin a,b =（）
2 2 1 1A． B． C 15． D．
3 3 4 4
【答案】B
r r 2 r
【分析】根据已知得出 a + lb = l 2 + 6 2 cos ar,b l +18，即可根据二次函数最值问题得出
r r r 2l r
r
= -3 2 cos a,b ar时， + lb 取得最小值，即 a + lb 取得最小值，再根据已知列式解出
r
cos ar,b ，即可根据同角三角函数关系得出答案.
r r r r
【详解】平面向量 a ，b 满足 a = 3 2 ， b =1，
ar
r
b r
r
则 × = 3 2 cos a,b ，
r r 2 r r r r 2a + lb = a 2 + 2la ×b + l 2 b ，
r
= l 2 + 6 2 cos ar,b l +18，
r r 2 r
则l = -3 2 cos a
r,b r时， ar + lb 取得最小值，即 a + lb 取得最小值，
r r r
故-3 2 cos a,b = -4，解得： cos ar,b 2 2= ，
3
r rQ a,b 0,p
r 2r
则 sin a,b 1 2 2 1= - ÷÷ = ，
è 3 3
故选：B.
r r r r r r r r4．（2023·山东青岛·三模）已知向量 a ，b ， c满足： a = b =1 1， a × a - b = ，2
r r r r
r r
b - c × 3b - c = 0 ，则 a - c 的最小值为（）
A． 3 -1 B． 3 C．2 D．1
【答案】A
r r r
【分析】建立平面坐标系，用坐标表示 a ，b ， c，利用数量积的坐标运算计算即可.
r uuur r uuur r uuur
【详解】由题意不妨设b = OB = 1,0 ,a = OA = m,n ,c = OC = x, y ，则
m, n m 1 1
2 3
× -1, n = m - ÷ + n2 = ，且m2 + n2 = 1，2 è 2 4
m 1 ,n 3 n 3解之得 = = 或 = - ，
2 2 2
r rb - c r r× 3b - c = 0 = 1- x, -y × 3- x,-y = x - 2 2 + y2 -1 = 0 x - 2 2 + y2由 =1，
r r r uuur
即 c的终点 C 在以D 2,0 为圆心，1 为半径的圆上，故 a - c = CA ，
n 3
r 1 3
由圆的对称性，不妨令 = ，即 a = ,2 2 ÷2 ÷
，连接 AD 交圆于 E，由点与圆的位置关系
è
可知
uuur uuur 2 2
CA AE AD DE 1 3= - = - 2
+
2 ÷ è
-1 = 3 -1 .
è 2
÷÷

故选：A
r r r
5．（2023 高一·全国·单元测试）若 a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且向量 c满足
r r r r r r
c - 2a + c - 3b = 13 ，则 c + a 的取值范围是（）
é9 13 ù
A． ê , 10 B．
13
ú [3, 10]

é9 13 ù
C． ê ,3ú D．以上答案均不对
13
【答案】A
r r r
【分析】取 a = (1,0),b = (0,1)，引入向量坐标后处理表达式，找出向量 c满足的关系，最后
r r
用模长公式结合二次函数的性质求 c + a 的范围
r r r r r r
【详解】根据 a,b垂直可得 a ×b = 0 ，不妨取 a = (1,0),b = (0,1)，设 A(2,0), B(0,3) ，
uuur r uuur r uuur r uuur
于是OA = 2a ，OB = 3b 2 2，并取OC = c，注意到 AB = AB = (2 - 0) + (0 - 3) = 13 .
r r r r uuur uuur uuur
于是 c - 2a + c - 3b = 13 AC + BC = 13 = AB .
x y
故C 点在线段 AB 上运动，由直线的截距式方程可得，直线 AB 方程为： + =1，即
2 3
y 3 3= - x，
2
C t,3 3t
uuur r 3t r r 3t
设 - ÷，0 t

2，则OC = c = t,3 - ÷， a + c = 1+ t,3 - ，故
è 2 ÷ è 2 è 2
r r 2 2
a + c = 1+ t 2 3 3t 13+ - ÷ = t
14 81
- ÷ + ，
è 2 4 è 13 13
f (t) 13
2
14 81
设 = t
14 81
- ÷ + (0 t 2) ， 0,2 ，则 f (t)4 13 13 13 min
= ；
è 13
由 f (0) = 10， f (2)
81
= 9 é ù，于是 t [0, 2]时， f (t) ê ,10ú， 13
r r é9 13 ù
于是 a + c = f (t) ê , 10ú .
13
故选：A
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知VABC 是边长为 4 3 的正三角形，点 P 是VABC 所在平
uuur uuur uuur uuur
面内的一点，且满足 AP + BP + CP = 3，则 AP 的最小值是（）
8
A．1 B．2 C．3 D．
3
【答案】C
【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点 P 的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离
最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合
圆的性质得解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】法一：设VABC 的重心为G ，则 AP + BP + CP = AG + BG + CG + 3GP = 3GP ，
uuur uuur uuur uuur
Q AP + BP + CP = 3,\ GP =1,\点 P 的轨迹是以G 为圆心，1 为半径的圆，
uuur uuur uuur
又 AG 2 3= 4 3 = 4，\ AP 的最小值是 AG -1 = 3 .
3 2
法二：以 AC 所在直线为 x 轴，以 AC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系，
则 A -2 3,0 , B 0,6 ,C 2 3,0 ，
uuur uuur uuur
设P x, y ,Q AP 2+ BP + CP = 3，即 3x + 2 3 - 0 - 2 3 + 3y - 6 2 = 3，
化简得 x2 + (y - 2)2 =1，\点 P 的轨迹方程为 x2 + (y - 2)2 =1，
uuur
设圆心为G ，G 0,2 ，由圆的性质可知当 AP 过圆心时 AP 最小，
2 uuur
又 AG = 22 + 2 3 = 4，故 AP 得最小值为 AG -1 = 4 -1 = 3 .
故选：C.
7．（2023·江西景德镇·三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如
果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，
过点 P 作两坐标轴的平行线，其在 x 轴和 y 轴上的截距 a，b 分别作为点 P 的 x 坐标和 y 坐标，
记 P a,b π.若斜坐标系中， x 轴正方向和 y 轴正方向的夹角为，则该坐标系中M 2,2 和
3
N 4,1 两点间的距离为（）
A．2 B．1 C． 5 D． 3
【答案】D
ur uur
【分析】设与 x 轴方向相同的单位向量为 e1 ，与 y 轴方向相同的单位向量为 e2 ，则可表示出
uuuur uuur uuuur
OM ,ON , NM ，即可计算出M 2,2 和 N 4,1 两点间的距离.
ur uur
【详解】设与 x 轴方向相同的单位向量为 e1 ，与 y 轴方向相同的单位向量为 e2 ，
uuuur ur uur uuur ur uur
则OM = 2e1 + 2e2 ，ON = 4e1 + e2 ，
uuuur uuuur uuur ur uur
则 NM = OM - ON = -2e1 + e2 ，
uuuur 2 ur uur ur2 uur2 2 ur uur
所以 NM = (-2e1 + e2 ) = 4e
π
1 + e2 - 4e1 ×e2 = 4 +1- 4 cos = 5 - 2 = 3，3
所以 MN = 3，
故选：D.
r r r r r r r r r
8．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量 a， b ， c 满足 a =1， b = 2， a - c = b - c = 3，
r
cr r= la + mb （l > 0，m > 0 ）.当l + m = 4时， c =（）
A 58 B 62 C 66 70．．． D．
2 2 2 2
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
【分析】分析题目条件，得到 CA = 3，CB = 3，画出草图，利用等和线得到OC = 4OP ，过
O 点,C 点分别向 AB 做垂线，得到两个相似比为 1 比 3 的直角三角形，设出∠CAB=θ，然后
r
利用角表示边，通过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出 c 的大小
uuur r uuur r uuur r r r uuur r r uuur
【详解】解析：作OA = a ，OB = b ，OC = c ，由题意 a - c = CA = 3， b - c = CB = 3
设直线OC 与直线 AB 交于点 P ，
r r∵ c = lar + mb （l > 0，m > 0 ），
∴点 P 在线段 AB 上（不含端点）
uuur uuur
又l + m = 4，结合等和线性质，可知OC = 4OP
作OG ^ AB于G ，CH ^ AB于 H ，
有CH = 3OG ，PH = 3PG
记 CBA = q
①当点G 在线段 AB 上时，CH = 3sinq ，
BH = AH = 3cosq 1 OG = CH = sinq AG = OA2 - OG2 = cosq BG =由
3
OG2 + BG2 = OB2 ，得 sin2q + 25cos2 q 2 14= 4，可解得cosq = ，进而有 sinq =
4 4
3
此时，PH 3= GH 3 3 3 2= BG - BH = cosq = ，CH = 3sinq = 14
4 4 2 8 4
（注：点 P 为线段 AH 的中点，在线段 AB 上，符合题意）
可得CP = PH 2 + CH 2
3
= 58 ，所以
8 OC
4
= PC 58=
3 2
②当点G 在线段 AB 的反向延长线上时，同①方法可推得点 P 与点A 重合，矛盾综上，
r uuurc OC 58= = .
2
故选：A
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知点 A 1,2 ，B 3,1 ，C 4,m +1 m R ，则下列说法正确的
是（）
uuur uuur uuur
A． AB = 5 B．若 AB ^ BC ，则m = -2
uuur uuur 1 uuur uuur
C．若 AB∥BC ，则m = - D．若BA，BC 的夹角为锐角，则m < 2且2
m 1 -
2
【答案】AC
【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到
本题答案.
【详解】因为 A 1,2 ，B 3,1 ，C 4,m +1 m R ，
uuur uuur
所以 AB = 2,-1 ，BC = 1,m m R ，
uuur
选项 A： AB = 22 + -1 2 = 5 ，所以 A 正确；
uuur uuur uuur uuur
选项 B：因为 AB ^ BC ，所以 AB × BC = 0，所以 2 - m = 0，所以m = 2 ，所以 B 错误；
uuur uuur 1
选项 C：因为 AB∥BC ，所以 2 m = -1 1，所以m = - ，所以 C 正确；2
uuur uuur
ì
uuur uuur uuur BA × BC = -2 + m > 0
选项 D：因为BA，BC 的夹角为锐角，且BA = -2,1 ，所以 í 1 m ，解得
-2 1
m > 2 ，所以 D 错误.
故选：AC
10．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（）
uuur uuur
A．已知 A 2,3 , B 4, -3 3 16 ，点 P 在直线 AB 上，且 AP = PB ，则 P 的坐标为 ,-1 ；
2 ÷è 5
uuur uuur 1 uuur2
B．若O是VABC 的外接圆圆心，则 AB × AO = AB
2
r r r r r r r
C．若 c ^ a - b ，且 c 0，则a = b
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D．若点 P 是VABC 所在平面内一点，且PA × PB = PB × PC = PC × PA，则 P 是VABC 的垂
心.
【答案】BD
uuur uuur uuur uuur
【分析】对于 A，设P x, y 3，由题意可得 AP = PB 或 AP 3= - PB ，再根据平面向量的坐
2 2
标表示计算即可；对于 B，如图，设 D为 AB 的中点，根据数量积的定义即可得解；对于 C，
r r r r
当 c ^ a,c ^ b 时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断 D.
uuur uuur
【详解】对于 A，设P x, y ，则 AP = x - 2, y - 3 , PB = 4 - x,-3 - y ，
uuur 3 uuur
因为点 P 在直线 AB 上，且 AP = PB ，
2
uuur 3 uuur uuur uuur
所以 AP = PB 或 AP
3
= - PB ，
2 2
x 2, y 3 3则 - - = 4 - x, 3-3 - y 或 x - 2, y - 3 = - 4 - x, -3 - y ，
2 2
ì 3 3 16
x - 2 = 4 - x
ì ì
2
x - 2 = - 4 - x x = 2 5 ìx = 8
所以 í 3 或 í ，解得 í 或 í ， y - 3 = -3- y y - 3 3= - -3- y
y 3 y = -15= -
2 2 5
P 16所以 ,
3
- ÷或P 8,-15 ，故 A 错误；
è 5 5
对于 B，如图，设D为 AB 的中点，则OD ^ AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur2
则 AB × AO = AB AO cos
1
BAO = AB ，故 B 正确；
2
r r r r r
对于 C，当 c ^ a,c ^ b 时， c × r ra - b r r r r= a ×c - b ×c = 0，
r
满足 c ^ r r r ra - b ，则 a 与b 不一定相等，故 C 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 D，因为PA × PB = PB × PC = PC × PA，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以PA × PB - PB × PC = PB × PA - PC = PB ×CA = 0，所以PB ^ AC ，
同理可得PA ^ BC, PC ^ AB，
所以 P 是VABC 的垂心，故 D 正确.
故选：BD.
uuur uuur
11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，P x, y ，Q -3,0 ，且 PQ = 2 PO ，MN
是圆 Q： x + 3 2 + y2 = 4的一条直径，则（）
uuur
A．点 P 在圆 Q 外 B． PQ 的最小值为 2
uuuur uuur uuuur uuur
C．OM ×ON = 5 D．PM × PN 的最大值为 32
【答案】BCD
uuur uuur 2
【分析】根据 PQ = 2 PO 化简可得 x -1 + y2 = 4，即可得 P 点轨迹，进而根据圆 A 与圆 Q
uuur uuur uuur
外切求解 A，根据 2 = AQ - 2 PQ AQ + 2 = 6即可求解 B，根据向量数量积的运算律即可
求 CD.
uuur uuur
A PQ = 2 PO x + 3 2 2【详解】对，由，得 + y2 = 2 x2 + y2 ，整理得 x -1 + y2 = 4，
所以点 P 在以 A 1,0 为圆心，2 为半径的圆上，记为圆 A，如图．
uuur
因为 AQ = 4，所以圆 A 与圆 Q 外切．当点 P 为两圆的公共点时，点 P 在圆 Q 上，故 A 错
误．
uuur uuur uuur
对 B，由题意，得 2 = AQ - 2 PQ AQ + 2 = 6，故 B 正确．
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur2 uuuur2对 C，OM ×ON = OQ + QM × OQ + QN = OQ - QM = 5，故 C 正确．
uuuur uuur uuuur uuur
对 D，PM × PN = uuur uuuurPQ + QM × uuur uuur uuuur2 uuur2PQ + QN = PQ2 - QM = PQ - 4．而 2 PQ 6，
uuuur uuur
所以0 PM × PN 32，故 D 正确．
故选：BCD．
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，∠BAC=60°，点 D 为边 BC 的中点，E，F 分别
uuur uuur uuur uuur
为 BD，DC 的中点，若 AD=1，则 AB × AF + AC × AE 的最大值为．
5
【答案】
3
uuur uuur uuur uuur
【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得 AD 、 AE、 AF 都可用基底 AB 、
uuur uuur 1 uuur uuur 4
AC 表示，将 AD = AB + AC 左右平方后所得式子与重要不等式联立可得bc ，将2 3
uuur 3 uuur 1 uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAE = AB + AC 、 AF = AC
1
+ AB代入
4 4 4 4 AB × AF + AC × AE
中计算即可.
【详解】设 AC=b，AB=c，
uuur uuur uuur uuur
则 AB × AC =| AB | | AC | cos 60°
1
= bc ，
2
∵D 为边 BC 的中点，
uuur 1 uuur uuur∴ AD = AB + AC ，2
uuur2 1 uuur2 uuur uuur uuur2∴ AD = AB + 2AB × AC + AC ，即：b2 + c2 + bc = 4，①4
又∵ b2 + c2 2bc，当且仅当b = c 时取等号. ②
4
∴由①②得：bc .
3
又∵E、F 分别为 BD、DC 的中点，
uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur uuurAE (AB AD) AB AC AF 1
uuur uuur 3 uuur 1 uuur
∴ = + = + ， = (AC + AD) = AC + AB，
2 4 4 2 4 4
uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur2 1 uuur2 uuur uuur
∴ AB × AF + AC × AE = AB × ( AC
3
+ AB) + AC × ( AB + AC) = AB + AC + AB × AC
4 4 4 4 4 4 2
1
= (b2 3+ c2 ) + bc 1 1= + bc 1 1 4 5+ = ，当且仅当b = c 时取等号.
4 4 2 2 3 3
uuur uuur uuur uuur 5
∴ AB × AF + AC × AE 的最大值为 .3
5
故答案为： .
3
π
13．（2023·广西·模拟预测）在VABC 中， ABC = ，点D在线段 AC 上，且 AD = 3DC ，
3
BD = 4，则VABC 面积的最大值为．
64 3 64
【答案】 / 3
9 9
【分析】利用向量法求得 ac 的取值范围，进而求得VABC 面积的最大值.
【详解】在VABC 中，设 AB = c，BC = a ， AC = b ，
uuur uuur uuur uuur
由 AD = 3DC ，则BD
1
= BA 3+ BC ，则 | BD |2
1
= c2 + 9a2 + 3ac4 4 16 ，
256
162 = c2 + 9a2 + 3ac 9ac，即 ac ，9
1
\SVABC = acsin
π 3 ac 64 3= ，当且仅当3a = c时取等号．
2 3 4 9
所以VABC 64 3面积的最大值为．
9
64 3
故答案为：
9
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 z = x + yi x R, y R z 1， 1 = -2， z2 = - ， z3 = i2
在复平面内对应的点分别为Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，复数 z 满足 z - z1 = 2 z - z2 ，且
uuur uuuur uuuur
Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，则3l + 2m 的最大值为 .
【答案】 4 + 2 2
【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件 z - z1 = 2 z - z2
进行变形，得到 x2 + y2 =1，由此可以证明 x - y 2 . 之后再使用向量的坐标运算将3l + 2m
表示为关于 x, y的表达式，利用 x - y 2 即可证明3l + 2m 4 + 2 2 ，最后给出一个
3l + 2m = 4 + 2 2 的例子即可说明3l + 2m 的最大值是 4 + 2 2 .
【详解】由 z = x + yi， z1 = -2 z
1
， 2 = - ， z3 = i ，知Z x, y ，Z1 -2,0
1
，Z2 - ,0

2 2 ÷
，
è
uuur uuuur 3 uuuurZ3 0,1 ，从而Z1Z = x + 2, y ，Z1Z2 = ,0÷，Z1Z3 = 2,1 .è 2
2
z - z 2
uuur 2 2 2 uuuur 2 1
由于 2 21 = ZZ1 = x + 2 + y ， z - z2 = ZZ2 = x + ÷ + y ，故条件 z - z1 = 2 z - z
è 2
2

2 2 1
2
即为 x + 2 + y = 4 2 2 x + ÷ + y ÷÷，展开得到 x + 4x + 4 + y
2 = 4x2 + 4x + 4y2 +1，再化简得
èè 2
3x2 + 3y2 = 3，所以 x2 + y2 =1，故我们有
x - y 2 x - y 2 + x + y 2 = x2 + y2 - 2xy + x2 + y2 + 2xy = 2 x2 + y2 = 2 ，从而
x - y x - y = x - y 2 2 .
uuur uuuur uuuur uuur uuuur 3 uuuur
由于Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 ，Z1Z = x + 2, y Z

， 1Z2 = ,0÷，Z1Z3 = 2,1 ，故è 2
x + 2, y 3l= + 2m, m ，从而
è 2 ÷
3l + 2m = 2 3l + 2m ÷ - 2m = 2 x + 2 - 2y = 4 + 2 x - y 4 + 2 2 .
è 2
2 2
经验证，当 x = ， y = - 时，条件满足. 此时3l + 2m = 4 + 2 x - y = 4 + 2 2 .
2 2
所以3l + 2m 的最大值是 4 + 2 2 .
故答案为： 4 + 2 2 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复
数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背
景：平面上到两个不同定点M , N 的距离之比恒为常数 c 0,1 U 1, + 的点的轨迹是一个圆，
该圆称为关于M , N 的阿波罗尼斯圆. 使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论.
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在VABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
a = bcosC 3- c sin B
3
(1)求角 B
(2)过 B 作BD ^ BA，交线段 AC 于 D，且 AD = 2DC ，求角C .
2π
【答案】(1)
3
π
(2)
6
【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为180°变换角A ，最后进行三角恒等变化即
可求解；
（2）利用 AD = 2DC ，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得.
【详解】（1）由正弦定理得： sin A = sin B cosC 3- sin C sin B ．
3
∵ A = π - B + C ，∴ sin A = sin B + C ，
∴ sin B + C = sin B cosC + cos B sin C = sin B cosC 3- sin C sin B
3
∴ cos B sin C 3= - sin C sin B ，
3
又 sin C 0，∴ tan B = - 3 ，又 B 为三角形内角，∴ B
2π
= ．
3
（2）
uuur uuur uuur
因为D在 AC 边上，且 AD = 2DC ，所以BD
2 BC 1= + BA．
3 3
uuur uuur
因为BD ^ BA，所以BD × BA = 0，
1 uuur 2 uuur uuur 1 uuur2 2 uuur uuur
即 BA + BC ÷ × BA = 0 BA + BC × BA = 0，
è 3 3 3 3
1 c2 2所以 + ac cos
2π
= 0 c = a ．
3 3 3
在VABC 中，由 c = a B 2
π
， = π C = .3 ，可得 6
16．（2022·湖南·一模）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
a = 2,b = 5,c = 1．
(1)求 sin A,sin B,sin C 中的最大值；
(2)求 AC 边上的中线长．
2
【答案】(1)最大值为 sin B =
2
(2) 12
【分析】（1）先判断 sin B 为最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值.
uuur
BD 1
uuur uuur
（2）由 = (BA + BC)可得求中线长.
2
【详解】（1）Q 5 > 2 >1，故有b > a > c sin B > sin A > sin C ，
2
cos B ( 2) +1
2 - ( 5)2 2
由余弦定理可得 = = - ，
2 2 1 2
又B (0,p ) B
3p
，\ = ，故 sin B 2= ．
4 2
uuur 1 uuur uuur
（2）设 AC 边上的中线为BD，则BD = (BA + BC)，
2
uuur uuur uuur
\(2BD)2 = (BA + BC)2 = c2 + a2 + 2ca cos B =12 + ( 2)2 + 2 1 2 cos 3p =1，
4
uuur
\| BD | 1= 1，即 AC 边上的中线长为
2 2
．
17．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 6 2 ， BAC = 45°，
BC，AC 边上的两条中线 AM，BN 相交于点 P．
(1)求 BAM 的正弦值；
(2)求 MPN 的余弦值．
3
【答案】(1)
5
(2) 13 10
50
1
【分析】（1）解法 1、由余弦定理求得BC = 2 13 ，得到BM = CM = BC = 13，分别在2
VABM 和△ACM ，求得 cos BMA和 cos CMA，结合 BMA 和 CMA互补，求得
AM = 5，再在VABM 中，求得 cos BAM ，即可求解；
uuur uuur uuur 1 uuur uuur
解法 2、由题意，求得 AB × AC =12，根据 AM = AB + AC ，结合VABM 的面积为VABC2
1
面积的 2 ，列出方程，即可求解；
2 10 AP 10（2）解法 1、由余弦定理求得BN= 10，得到BP = ， = ，在VABP中，由余3 3
13 10
弦定理求得 cos APB = ，即可求解；
50
MPN = APB cos MPN cos APB 13 10又由，所以 = = ．
50
uuur uuur 1 uuur uuur
解法 2、由BN = -AB + AC ，求得 BN = 10 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
2
【详解】（1）解：解法 1、由余弦定理得BC 2 = AB2 + AC 2 - AB × AC ×cos BAC ，
2
即BC 2 = 22 + 6 2 - 2 2 2 6 2 = 52 ，所以BC = 2 13 ，2
1
所以BM = CM = BC = 13，
2
BM 2 + AM 2 - AB2 AM 2 + 9
在VABM 中，由余弦定理，得 cos BMA = = ，
2BM × AM 13 × AM
2 2 2 2
在△ACM 中，由余弦定理，得 cos CMA
CM + AM - AC AM - 59
= = ，
2CM × AM 13 × AM
BMA 与 CMA互补，则 cos BMA + cos CMA = 0 ，解得 AM = 5，
2 2 2
在VABM AB + AM - BM 4中，由余弦定理，得 cos BAM = = ，
2AB × AM 5
因为 BAM

0,
p 2 3
÷，所以 sin BAM = 1- cos BAM = ．
è 2 5
uuur uuur uuur uuur
解法 2、由题意可得， AB × AC = AB AC cos 45° =12，
uuur 1
由 AM 为边 BC 上的中线，则 AM =
2
uuur uuur
AB + AC ，
uuuur2 1 uuur2 1 uuur2 1 uuur uuur uuuur
两边同时平方得， AM = AB + AC + AB × AC = 25，故 AM = 5，
4 4 2
因为 M 1为 BC 边中点，则VABM 的面积为VABC 面积的 2 ，
1
所以 AB
1 1
AM sin BAM = AB AC sin BAC ，
2 2 2
1
即 2 5 sin BAM
1 1
= 2 6 2 sin 45°，
2 2 2
化简得， sin BAM
3
= ．
5
（2）解：方法 1、在VABN 中，由余弦定理，得BN 2 = AB2 + AN 2 - 2AB × AN 2 ×cos 45°，
所以BN= 10，
由 AM，BN 分别为边 BC，AC 上的中线可知 P 为VABC 重心，
2 2 10 2 10
可得BP = BN = ， AP = AM = ，
3 3 3 3
2
VABP cos APB PA + PB
2 - AB2 13 10
在中，由余弦定理，得 = = ，
2PA × PB 50
又由 MPN = APB ，所以 cos MPN = cos APB 13 10= ．
50
解法 2：
uuur uuur uuur uuur 1 uuur
因为 BN 为边 AC 上的中线，所以BN = BA + AN = -AB + AC ，
2
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur2 1 uuur uuur uuur2AM × BN = AB + AC × -AB + AC ÷ = - AB - AB AC 1× + AC =13，2 è 2 2 4 4
uuur uuur 1 uuur 22 uuur2 uuur uuur 1 uuur2 uuurBN = -AB + AC ÷ = AB - AB × AC + × AC = 10，即 BN = 10 ．
è 2 4
uuuur uuur
所以 cos MPN u
AuM = uur ×uBuNur 13 13 10= =
AM BN 5 10 50 ．
18．（2023·河南·模拟预测）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知5bsinA = 3atanB, D
是 AC 边上一点， AD = 2DC, BD = 2 .
(1)求 cosB；
uuur uuur
(2)求BA × BC 的最大值.
3
【答案】(1)
5
27
(2)
8
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，得解；
uuur 1 uuur 2 uuur
（2）由 AD = 2DC ，知BD = BA + BC ，将其两边平方后，结合基本不等式，计算可得
3 3
ac 45 ，再由平面向量数量积的运算法则，得解．
8
【详解】（1）由正弦定理及5bsin A = 3a tan B 知，5sin B sin A = 3sin A tan B ，
因为 sin A > 0，所以5sin B = 3tan B，
sin B 3
所以 cos B = = ．
tan B 5
uuur uuur uuur uuur
BD BA AD BA 2
uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur 2 uuur
（2）因为 AD = 2DC ，所以 = + = + AC = BA + (BC - BA) = BA + BC ，
3 3 3 3
又 BD = 2，
uuur2 1 uuur 2 uuur 1 uuur2 4 uuur uuur uuur2 2
所以BD = ( BA + BC) = BA + BA
4 1 4 3 4
× BC + BC = c2 + ca × + a2 = 4 ，整理得
3 3 9 9 9 9 9 5 9
5c2 +12ac + 20a2 =180，
所以12ac =180 - (5c2 + 20a2 ) 180 - 2 5c × 20a =180 - 20ac，
ac 45 5c 20a c 2a 3 5所以，当且仅当 = ，即8 = =
时，等号成立，
2
uuur uuur
所以BA × BC = ac cos B
3
= ac 3 45 27 = ，
5 5 8 8
uuur uuur 27
故BA × BC 的最大值为．8
19．（2023·四川自贡·一模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
uuur uuur uuur
3 cos A + sin A = 0 .若 D 在线段 BC 上，且BD = 2DC ， AD = 2 .
(1)求 A；
(2)求VABC 面积的最大值.
2π
【答案】(1) A = 3
(2) 9 3
2
【分析】（1）由 3 cos A + sin A = 0使用三角恒等变换求得A 值；
uuur uuur uuur uuur
（2）将 AD 用 AB，AC 表示，由 AD = 2求得b,c关系，使用基本不等式求bc的最大值，从
而得到面积的最大值.
【详解】（1）因为 3 cos A + sin A = 2sin(A
π
+ ) = 0，因为 A (0, π) A
2π
，所以 = .
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2）由BD = 2DC 得， AD - AB = 2(AC - AD) ，
uuur
AD 1
uuur uuur
所以 = AB
2
+ AC .
3 3
uuur2 1 uuur2 4 uuur2 4 uuur uuur
所以 AD = AB + AC + AB × AC .
9 9 9
4 1= c2 4 b2 4所以 + + c b cos
2π
× .
9 9 9 3
4 1 c2 4 2 2 4 2 2所以 = + b - c ×b c ×b - c ×b = c ×b ，当且仅当 c = 2b = 6时等号成立.
9 9 9 9 9 9
所以 c ×b 18 .
所以 S 1VABC = bc sin A
1 18 3 = 9 3 .
2 2 2 2
9 3
故VABC 面积的最大值 2
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模）在VABC 中, AB = 2, ACB = 45° ,O 是VABC 的外心,则
uuur uuur uuur uuur
AC × BC + OC × AB 的最大值为（）
3 7
A．1 B． C．3 D．
2 2
【答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】取 AB 中点为D ,将OC 写为OD + DC ,展开后,将CA,CB 作为一组基底,将其他向量写
uuur uuur
为CA,CB 的形式,再将三角形的边和角代入,用余弦定理将边角之间关系代入上式,再用正弦
定理求出变量范围,求出最大值即可.
【详解】解:由题知,记VABC 的三边为 a,b,c ,
因为 O 是VABC 的外心,
记 AB 中点为D ,
则有OD ^ AB ,
uuur uuur
所以OD × AB = 0
uuur 1 uuur uuur且CD = CA + CB ,2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 AC × BC + OC × AB = CA ×CB + OD + DC × AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= CA ×CB + OD × AB + DC × AB
uuur uuur 1 uuur uuur uuur= CA ×CB - CA + CB × AB2
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur= CA ×CB - CA + CB × CB - CA2
uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2
= CA ×CB + CA - CB2
1
= b ×a ×cos ACB + b2 - a22
1
= 2ab + b2 - a2 ①,2
在VABC 中,由余弦定理得:
2 2 2
cos ACB = a +b -c = 2 ,
2ab 2
即 a2 + b2 - c2 = 2ab ,
即 a2 + b2 - 2 = 2ab ,
代入①中可得:
uuur uuur uuur uuur
AC × BC + OC × AB = b2 -1 ,
在VABC 中,由正弦定理得:
a b c 2
= = = = 2
sin A sin B sinC 2 ,
2
所以b = 2sin B 2 ,
uuur uuur uuur uuur
所以 AC × BC + OC × AB = b2 -1 3 ,
当b = 2, a = c = 2, A = C = 45o , B = 90o时取等,
uuur uuur uuur uuur
故 AC × BC + OC × AB 的最大值为 3.
故选:C
2．（2022·江苏盐城·模拟预测）在VABC 中，过重心 E 任作一直线分别交 AB，AC 于 M，N
uuur uuur uuur uuur
两点，设 AM = xAB， AN = yAC ，（ x > 0， y > 0），则 4x + y 的最小值是（）
4 10
A． B． C．3 D．2
3 3
【答案】C
1 1
【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到 + =13x 3y ，利用基本不等式“1 的妙用”
求出最小值.
uuur
V AE 2 1
uuur uuur uuur uuur
【详解】在 ABC 中，E 为重心，所以 = × (AB + AC)
1
= (AB + AC) ，
3 2 3
uuur uuur uuur uuur
设 AM = xAB， AN = yAC ，（ x > 0， y > 0）
uuur 1 uuuur uuur 1 uuur uuur uuuur uuur
所以 AB = AM ， AC = AN ，所以 AE
1 1
= × AM 1 1+ × AN
y 3 x 3 y .x
1 1
因为 M、E、N 三点共线，所以 + =13x 3y ，
(4x y) 1 1
4 1 y 4x
+ + = + + + 5 2 y 4x
y 4x
3 = x 1所以 + × = （当且仅当，即 = ，
è 3x 3y
÷
3 3 3x 3y 3 3x 3y 3x 3y 2
y =1时取等号）．
故 4x + y 的最小值是 3．
故选：C．
3．（22-23 高三下·河北石家庄·阶段练习）设 A, B是平面直角坐标系中关于 y 轴对称的两点，
uuur uuur uuur uuur uuur
且 OA = 2 .若存在m,n R ，使得mAB + OA与 nAB + OB 垂直，且
uuur uuur uuur uuur uuurmAB + OA - nAB + OB = 2，则 AB 的最小值为（）
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
【分析】构造向量，利用向量垂直和 mAB + OA - nAB + OB = 2，结合基本不等式得出
ar
r
b 的最大值 2，结合图形可得答案.
uuur
【详解】如图， A, B是平面直角坐标系中关于 y 轴对称的两点，且 OA = 2，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur
由题意得： AB = OB - OA，令 a = OA = mAB + OA = 1- m OA + mOB，则 A , A, B三点共线,
r uuur uuur uuur uuur uuur
b = OB = nAB + OB = 1+ n OB - nOA，则B , A, B三点共线,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故有 A, A , B , B共线，由题意mAB + OA与 nAB + OB 垂直， mAB + OA - nAB + OB = 2，
uuur uuur r r uuuur
知OA ^ OB ，且 a - b = B A = 2 为定值，
r r r r r r r r
在△A OB 4 =| a |2 2中， + | b | 2 a b ，当且仅当 a = b 时， a b 取最大值 2，
uuur r r
此时△A OB 面积最大，则O到 AB 的距离最远，而 OA = 2，故当且仅当 a = b ，
uuur uuuur
即 A , B 关于 y 轴对称时， AB
1
最小，此时O到 AB 的距离为 B A =1，
2
uuur
AB uuur uuur
所以 = 22 -12 = 3 ，故 AB = 2 3 ，即 AB 的最小值为 2 3 .
2
故选：D.
uuur uuur uuur uuur
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知点 G 为三角形 ABC 的重心，且 GA + GB = GA - GB ，
当 C 取最大值时， cosC =（）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】A
【分析】
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
由题设可得 AG × BG = 0 ，结合 AG = (AC + AB) ， BG
1
= (BA + BC)及余弦定理可得
3 3
cosC 2 (a b= + )，根据基本不等式即可求解.
5 b a
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】由题意 GA + GB = GA - GB ，所以 (GA + GB)2 = (GA - GB)2 ，
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uur uuur
即GA + GB + 2GA ×GB = GA + GB - 2GA ×GB，所以GA ×GB = 0，所以 AG ^ BG ，
uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur
又 AG = (AC + AB) = (AC + AB)，BG = (BA + BC) = (BA + BC)，
3 2 3 3 2 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AG × BG
1
= (AC + AB) × (BA + BC) 1= (AC × BA + AC × BC + AB × BA + AB × BC) = 0，
9 9
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
所以CA ×CB = AC × AB + BA × BC + AB ，即 abcosC = bc cos A + ac cos B + c2 ，
2 2
cos A b + c - a
2 2 2 2 2
cos B a + c - b cosC a + b
2 - c2
由 = ， = ， = ，
2bc 2ac 2ab
所以 a2 + b2 = 5c2 ，
a2 + b2 - c2 2 a b 4 a b 4
所以 cosC = = ( + ) × = ，当且仅当 a = b时等号成立，
2ab 5 b a 5 b a 5
又 y = cos x在 0, π 上单调递减，C 0, π ，
4
所以当 C 取最大值时， cosC = .
5
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三
角形重心的性质和余弦定理可得 a2 + b2 = 5c2 ，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，
属于较难题.
二、多选题
r r r r r r
5．（2022·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算： a b = a × b ×sináa,b ，则关于空
间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）
r r r r r r r r
A．l a b = la b B． a b=b a
r r r r r r r r
C．若 a b = 0，则 a ^ b D． a b a × b
【答案】BD
r r r r r r
【分析】A 选项，可举出反例，当 a,b不共线且 l 为负数时，l a b la b；B 选项，
r r
根据定义得到 B 正确；C 选项，根据题意得到 a,b共线；D 选项，结合正弦函数的值域得到 D
正确.
r r r r r r r r r r r r【详解】对于 A，l a b = l a × b ×sináa,b ， la b = la × b ×sinála,b ，
r r r r r r r r若 a,b不共线,且l 为负数，则l a b = l a × b ×sináa,b < 0，而
r r r r r rla b = la × b ×sinála,b > 0，
r r r r
此时l a b la b，故 A 错误；
r r r r r r r r r r r r
对于 B，由定义知 a b = a × b ×sináa,b ，b a = b × a ×sináa,b ，故 B 正确；
r r r r r r
对于 C，若 a b = 0，则 sináa,b = 0 ， a,b共线，故 C 错误；
r r r r r r r r
对于 D，由定义知 a b = a × b ×sináa,b ，又 áa,b 0, π ，
r r r r r r r r r r
故 a b = a × b ×sináa,b a × b ，当且仅当 sináa,b =1时，等号成立，故 D 正确．
故选：BD
6．（2024·海南海口·模拟预测）已知eC : (x - 4)2 + y2 = 4， A, B是eC 上的两个动点，且
AB = 2 3 .设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，线段 AB 的中点为M ，则（）
π
A． ACB =
3
B．点M 的轨迹方程为 (x - 4)2 + y2 =1
C． x1x2 + y1 y2 的最小值为 6
D． x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1 的最大值为10 + 2
【答案】BC
2π
【分析】A 选项，由垂径定理得到 CM =1，从而得到 ACM = BCM = 60°， ACB = ；
3
B 选项，由 CM =1得到点M 的轨迹为以C 为圆心，半径为 1 的圆，得到轨迹方程；C 选项，
uuur uuur uuuur 2 uuuur 2 uuuur 2
由极化恒等式得到OA ×OB = OM - BM = OM - 3，结合点M 的轨迹方程，得到
uuuur 2
x1x2 + y1 y2 = OM - 3的最小值；D 选项，转化为点到直线的距离问题，
x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1
可看作点M 到直线 x - y +1 = 0 的距离，结合点M 的轨迹方程，求出
2 2
最大值，得到答案.
【详解】A 选项，由题意得C 4,0 ，半径为 r = 2，
2
2 AB
由垂径定理得CM ⊥ AB ，则 CM + ÷ = 4，解得 CM =1，
è 2
CM 1 2π
由于 = ，则 ACM = BCM = 60°，故 ACB = ，A 错误；
r 2 3
B 选项，由 A 选项可得， CM =1，故点M 的轨迹为以C 为圆心，半径为 1 的圆，
故点M 的轨迹方程为 (x - 4)2 + y2 =1，B 正确；
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
C 选项，由题意得OA + OB = 2OM ，OA - OB = 2BM ，
uuur uuur uuuur 2 uuuur 2 uuuur 2
两式分别平方后相减得，OA ×OB = OM - BM = OM - 3，
uuur uuur
其中OA ×OB = x x + y y ，又点M 的轨迹方程为 (x - 4)2 + y21 2 1 2 =1，
uuuur uuuur 2
所以 OM 的最小值为 OC -1 = 4 -1 = 3，故 x1x2 + y1 y2 = OM - 3的最小值为9 - 3 = 6，C 正
确；
x1 - y1 +1D 选项，可看作点A 到直线 x - y +1 = 0 的距离，
2
x2 - y2 +1
同理，可看作点 B 到直线 x - y +1 = 0 的距离，
2
x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1
故可看作点M 到直线 x - y +1 = 0 的距离，
2 2
点M 的轨迹方程为 (x - 4)2 + y2 =1，
故点M 到直线 x - y +1 = 0 的距离最大值为圆心到 x - y +1 = 0 的距离加上半径，
4 - 0 +1 5 2 x - y +1 + x - y +1 5 2
即 +1 = +1 1 1 2 2，故 +1，
1+1 2 2 2 2
所以 x1 - y1 +1 + x2 - y2 +1 10 + 2 2 ，故最大值为10 + 2 2 ，D 错误.
故选：BC
r r 2 r r 2 r r r 2 r 2 r【点睛】关键点睛：向量恒等式 a b r r r+ + a - b = 2 a2 + b 2 ，及 a + b - a - b = 4a ×b 是常
用等式，要学会合理利用这两个式子解题．
三、填空题
r r r r r r 5π r
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 a，向量b 与 a不共线，且 a - b ,b = ，则 b6
的最大值为．
【答案】2
r r r 5π π r π
【分析】由 a - b ,b = ，则 A = ，方法一：利用正弦定理可得 b = 2sin B ，当 B = 时，
6 6 2
π
可求得结果；方法二：作出△ABC 的外接圆，当 AC 为圆的直径，即B = 时，可求
2
r
b = 2 .
max
uuur r uuur r uuur r
【详解】法 1：设CB = a ，CA = b ，则 AB r= a - b ，如图所示．
r r r
因为 a - b ,b
5π π 5π
= ，所以在△ABC 中， A = ，0 < B < ，
6 6 6
r r
ar b b r
由正弦定理，得 = 即 2 = ，得 b = 2sin B ，
sin A sin B sin B
π r
当B = 时， b = 2sin
π
= 2．
2 max 2
uuur r uuur r uuur r
法 2：设CB = a ，CA = b ，则 AB r= a - b ，作出△ABC 的外接圆，如图所示．
r r r uuur
因为 a
r 5π π
- b ,b = ，所以 A = ，因为 a = CB =1，
6 6
B π
r r
当 AC 为圆的直径，即 = 时， b = 2 a = 2．
2 max
故答案为：2
r r r r r r r r
8．（2024·山东济宁·三模）已知 a = a - b = 3 2, b = 6
1
，则 f (x) = xa - b + xa
1
- b (x R)
2 3
的最小值为 .
【答案】 13
r r
【分析】根据平面向量的模求出数量积 a ×b ，利用向量的几何意义和运算律计算可得
f (x) 3 2[ (x 1= + )2 1 (x 1)2 1 ] (x 1)2 1+ + + + ， + + + (x 1+ )2 1+ 表示点P(x,0) 与点
2 4 3 9 2 4 3 9
A( 1- , 1- ), B( 1 1- , - ) 的距离之和，作出图形，确定 PA + PB 的最小值，结合图形即可求
2 2 3 3
解.
r ra 3 2, b 6, ar
r r 2
= = - b = 3 2 ar b ar2 2ar
r r
【详解】由，得 - = - ×b + b 2 =18，
r r r r
即18 - 2a ×b + 36 =18，解得 a ×b = -18 .
f (x) arx 1
r r 1 r r 1 r r 1 r
= - b + ax - b = (ax - b)2 + (ax - b)2
2 3 2 3
r r r r r
= a2x2 ar bx 1- × + b 2 + ar2x2 2 r- a ×bx 1+ b 2 = 18x2 +18x + 9 + 18x2 +12x + 4
4 3 9
3 2[ x2 x 1 x2 2 x 2 ] 3 2[ (x 1)2 1 (x 1 1= + + + + + = + + + + )2 + ]，
2 3 9 2 4 3 9
1 1 1 1 1 1 1 1(x + )2 + + (x + )2 + 表示点P(x,0) 与点 A(- , - ), B(- , - ) 的距离之和.
2 4 3 9 2 2 3 3
1 1
如图，点A 关于 x 轴的对称点为 A (- , ) ，连接 A B，
2 2
PA PB PA PB 1 1则 + = + A B = (- + )2 + ( 1 1)2 26- - = ，
3 2 3 2 6
当且仅当 A , P, B三点共线时等号成立，
所以 f (x)
26
的最小值为3 2 = 13 .
6
故答案为： 13
1 1 1 1
【点睛】关键点点睛：本题的关键是 (x + )2 + + (x + )2 + 表示点P(x,0) 与点
2 4 3 9
A( 1- , 1- ), B( 1 , 1- - ) 的距离之和，结合图形，确定 PA + PB = PA + PB A B （当且仅
2 2 3 3
当 A , P, B三点共线时等号成立）.
9．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知 A, B,C 是边长为 1 的正六边形边上相异的三点，则
uuur uuur
AB × BC 的取值范围是 .
9 ù
【答案】 -4,
è 16 ú
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】一方面BA × BC BA × BC 2 2 = 4，而A ， B ，C 不重合，所以BA × BC < 4 ；另
uuur uuur uuuur uuur
AC M BA BC | BM |2 | AC |
2
一方面，设中点为，那么 × = - ，设A 在六边形的端点上，同理不妨
4
uuur uuur
设C
9
在六边形的端点上．分四种情况即可得BA × BC - ，剩下的只需证明何时取等并且
16
uuur uuur 9
BA × BC 可以遍历[- , 4)16 中的每一个数．
uuur uuur uuur uuur
【详解】首先， BA × BC BA × BC 2 2 = 4，这里 2是最长的那条对角线的长度，
uuur uuur
等号取到当且仅当BA, BC 同向，且 | BA |=| BC |= 2，而这意味着 A,C 重合，矛盾.
uuur uuur
所以BA × BC < 4 .
uuur uuur 9
另一方面，我们先舍弃 A, B,C 互不重合的条件，然后证明BA × BC - ：
16
uuur 2
AC M uuur uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 2 AC设中点为，那么BA × BC = BM + CA÷ × BM - CA÷ = BM - ，
è 2 è 2 4
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
然后，设 A 所在的边的端点为 A1, A2 ，则BA × BC min BA1 × BC, BA2 × BC ，
uuur uuur uuuur uuur uuur
（这是因为，记OA = (1- t)OA1 + tOA2 ，其中O为原点，确定的BA × BC = f t ，
那么 f t 是一次函数，从而 t 属于 0,1 时，有 f (t) min f 0 , f 1 ）
所以我们可以不妨设 A 在六边形的端点上.
同理，我们可以不妨设 C 在六边形的端点上.
此时分以下四种情况：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur AC重合，此时 2BA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur AC为相邻顶点，此时 2BA × BC 1 1= BM - 0 - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一个顶点，此时 2BA BC 3 3 9× = BM - - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur AC为对径点，此时 2BA BC BM 3 1× = - -1 = - ，
4 4 4
uuur uuur 9
综上，BA × BC - ，
16
uuur uuur 9
所以，即使去掉 A, B,C 互不重合的条件，我们仍有BA × BC - ，
16
uuur uuur
这就说明， A, B,C
9
互不重合时，有- BA × BC < 4，
16
然后，取等条件如图所示：
具体说明如下：构造一个 0,1 到六边形的函数 A(t), B(t),C(t)（即从数映射到点），
使得 (A(0), B(0),C(0)) = (A1, B1,C1), (A(1), B(1),C(1)) = (A2 , B2 ,C2 )，并且只沿着最近的轨道，
这样在0 t <1的情况下， A(t), B(t),C t 互不重合
uuuuuuuuur uuuuuuuuur 9
同时设 g(t) = B(t)A(t) × B(t)C(t)，那么 g(0) = - , g(1) = 4，而 g t 连续，
16
所以在0 t <1的情况下， g t é 9必定取遍 ê- , 4

，
16 ÷
uuur uuur é 9
这就意味着，BA × BC 的取值范围就是 - , 4÷，
ê 16
uuur uuur 9 ù
所以 AB × BC 的取值范围是 -4,
è 16ú
.

故答案为： -4,
9 ù
.
è 16ú
【点睛】关键点点睛：对 A,C 分以下四种情况：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur重合，此时 2 ACBA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur 2 AC为相邻顶点，此时BA × BC 1 1= BM - 0 - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一个顶点，此时 2BA × BC = BM 3 3 9- - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur 2 AC为对径点，此时BA × BC 3 1= BM - -1 = -
4 4 4
四、解答题
10．（2023·重庆·模拟预测）在 VABC 中，a，b，c 分别是 VABC 的内角 A，B，C 所对的边，
b a - c
且 = ．
sin A + sin C sin B - sin C
(1)求角 A 的大小；
uuuur uuuur uuuur 21
(2)记VABC 的面积为 S，若BM = MC AM，求的最小值．
2 S
A π【答案】(1) = 3
8
(2) 3
9
【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；
uuuur 1 uuur 2 uuur uuuur 2
（2）根据题意可得， AM = AC + AB ，然后得到 AM ，再由三角形的面积公式可得S ，
3 3
最后结合基本不等式即可得到结果.
b a - c sin B - sin C a - c
【详解】（1）因为 = ，即 =
sin A + sin C sin B - sin C sin A + sin C b
b - c a - c
由正弦定理可得， = ，化简可得 a2 = b2 + c2 - bc，a + c b
1
且由余弦定理可得， a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，所以 cos A = ，2
且 A 0, π ，所以 A π= .3
（2）
uuuur 1 uuuur uuuur 1 uuur 2 uuur
因为BM = MC ，则可得 AM = AC + AB ，
2 3 3
uuuur 2 1 uuur 2 uuur
2
1 uuur 2 4 uuur uuur uuur 2 1AM 4= AC + AB 2
4 2 2
所以 3 3 ÷
= AC + AC × AB cos A + AB = b + c + bc
è 9 9 9 9 9 9
且 S 1= bc sin A 3= bc ，
2 4
uuuur 2 1 b2 4 2 2 4AM + c + bc bc
2
+ bc
9 9 9 9 9 8
即 = = 3S 3 3 9 ，bc bc
4 4
1 2
当且仅当 b = c，即b = 2c时，等号成立.
3 3
uuuur 2
AM

÷ 8
所以 ÷ = 3 S ÷ 9
è min
11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B 是单位圆（圆心为 O）上两动点，C 是劣弧 AB
uuur uuur uuur
（含端点）上的动点．记OC = lOA + mOB （l ，m 均为实数）．
(1)若 O 到弦 AB 1的距离是 2 ，求l + m 的取值范围；
uuur uuur 5 uuur uuur uuur uuur
(2)若 3OA - OB ，向量 2OA + OB 和向量OA + OB 的夹角为q ，求 cos2 q 的最小值．2
【答案】(1)[1, 2]
39
(2)
40
AOB 2π
uuur uuur
【分析】（1）由题意确定 = ，根据数量积的运算律求得则OC OA l
1
× = - m ，
3 2
uuur uuur
OC OB 1
uuur uuur
× = - l + m ，可得l + m = 2cosáOC,OD ，即可求得答案；
2
uuur uuur 5 é5
（2）将 3OA - OB 平方可得 cosa ê ,1÷，根据数量运算律求出2 8
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2OA + OB × OA + OB = 3 + 3cosa ，以及求得向量 2OA + OB 和向量OA + OB 的模，即可求
得 cos2 q 的表达式，结合余弦函数性质利用函数单调性即可求得答案.
1 π
【详解】（1）由题意知 O 到弦 AB 的距离是，则 ABO = BAO =2 ，6
uuur uuur
故 AOB
2π OA OB 1= ，且 × = - ，
3 2
记劣弧 AB 的中点为 D，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
OC OA (lOA mOB) OA lOA mOA OB l 1则 × = + × = + × = - m ，
2
uuur uuur uuur uuur uuur2
OC ×OB = lOA OB mOB 1× + = - l + m ，
2
uuur uuur uuurOC OA OB 1两式相加得 × + = l + m ，2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur故l + m = 2OC × OA + OB = 2OC ×OD = 2cosáOC,OD ，
uuur uuur é π ù uuur uuur
由于 áOC,OD ê0, ，故， 3 ú
2cosáOC,OD [1, 2]

即l + m 的取值范围为[1, 2]；
（2）设 AOB = a ,a (0, π) ，
uuur uuur 5 uuur2 uuur2 uuur uuur
由 3OA - OB
25
可得9OA + OB - 6OA ×OB ，
2 4
25 5
即10 - 6cosa ，结合-1< cosa <1可得 cosa
é
ê ,1

4 ÷
，
8
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2故 2OA + OB × OA + OB = 2OA + 3OA ×OB + OB = 3 + 3cosa ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而 | 2OA + OB |= (2OA + OB)2 = 5 + 4cosa , | OA + OB | (OA + OB)2 = 2 + 2cosa ，
uuur uuur uuur uuur
由于向量 2OA + OB 和向量OA + OB 的夹角为q ，
uuur uuur uuur uuur2OA + OB × (OA + OB) 3+ 3cosa 2
故 cos2 q = [ uuur uuur uuur uuur ]2 =
| OA + OB || OB + OB | 5 + 4cosa 2 + 2cosa
9 1+ cosa 9
= = 1 1-
2 5 + 4cosa 8 è 4cosa + 5 ÷，
f x 9 1= é5 令
8
1- ÷ ，则 f (x) 在 ,14x + 5 ê8 ÷
上单调递增，
è
5 39
则 f (x)min = f ( ) = ，8 40
39
即 cos
2 q 得最小值为 40 .

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