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培优点 07 数列中的构造问题（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的
数列求数列的通项公式．
【核心题型】
题型一　形如 an＋1＝pan＋f(n)型
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q 引入参数 c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数 x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an
an＋1＝pa nn＋q 两边同除以 qn＋1，构造新的数列{qn }
命题点 1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)
1 1 1 2
【例题 1】（2024·河南·模拟预测）已知数列 an 满足 = × +
3
a 3 a 3 ，且 a2 = ，则
a =
n+1 n 4
1011
（ ）
A 1
1011
31011B C 3
1010
D 1
1010

． ÷ ． 1011 ． 1010 ．3 1+ 3 1+ 3 3 ÷è è
【答案】C
ì ü
【分析】根据递推公式求出 a
1 1 1 1 11，再又得到 - = ×a 3
-1÷，从而得到数列 í -1 是以1
n+1 è an an
1
为首项， 为公比的等比数列，即可求出 an 的通项，从而得解.3
1 1 1 2 3 1 1 1 2
【详解】因为 = × + ，又 a = ，令 n =1，可得 = +
1
a 3 a 3 2 a 3 a 3 ，解得 a1 = ，n+1 n 4 2 1 2
1 1 1
所以 -1 = × -1÷，an+1 3 è an
ì 1 ü 1 1
所以数列 í -1a
是以 -1 =1a 为首项， 为公比的等比数列， n 1 3
1 n-1
-1 1=1 3
n-1 31010
所以 ÷ ，整理得 an = n-1 ，故 aa è 3 1+ 3 1011
= 1010 ．
n 1+ 3
故选：C
【变式 1】（2024·天津河西·三模）若数列 an 满足 an+1 = 2an -1，则称 an 为“对奇数列”．已
知正项数列 bn +1 为“对奇数列”，且b1 = 2，则b2024 =（ ）
A． 2 32023 B． 22023 C． 22024 D． 22025
【答案】C
【分析】根据新定义可证得数列 bn 是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题.
【详解】因为正项数列 bn +1 为“对奇数列”，所以bn+1 +1 = 2 bn +1 -1，
则bn+1 = 2bn ，即数列 bn 是公比为 2 的等比数列，又因为b1 = 2，
2023 2024
所以b2024 = 2 2 = 2 ，
故选：C
【变式 2】（2022·广西柳州·三模）已知数列 an 的首项 a1 =1，其前 n项和为 Sn ，若
Sn+1 = 2Sn +1，则 a5 = .
【答案】16
【分析】由题设可得 an+1 = Sn +1，利用 an , Sn 关系求数列通项公式，进而求 a5 .
【详解】由题设， an+1 = Sn +1，则 an = Sn-1 +1 (n 2)，
所以 an+1 - an = Sn - Sn-1 = an ，则 an+1 = 2an (n 2)，又 a1 =1，则 a2 = S1 +1 = 2 = 2a1 ，
n-1
所以 an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 an = 2 ，故 a5 =16 .
故答案为：16
【变式 3】（23-24 高三·山东青岛·期末）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = 2，
an+1 = Sn + 2 ．
(1)求数列 an 的通项公式 ;
(2)设b
1 3
n = log ，记数列 bn 的前 n项和为Tn ，证明Tn < ．2an × log2an+2 4
【答案】(1) an = 2n
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 an+1 = 2an，即可得到 an 是以 2为首项， 2为公比的等比数列，从
而求出数列 an 的通项公式；
1
（2）由（1）可得bn = n n + 2 ，利用裂项相消法求和，即可证明．
【详解】（1）由 an+1 = Sn + 2 ，
当 n 2时，则 an = Sn-1 + 2 ，
可得 an+1 - an = Sn - Sn-1 = an ，则 an+1 = 2an；
当 n =1时，则 a2 = S1 + 2 = a1 + 2 = 4，可得 a2 = 2a1；
综上所述：可得 an+1 = 2an , a1 =1，可知 an 是首项为 2，公比为 2的等比数列，
所以 an 的通项公式为 an = 2n .
b 1 1 1 1 1 （2）由（1）可知： n = = = -log n2 2 × log 2
n+2
2 n n + 2 2 è n n + 2 ÷
，

T 1 é 1 1 1 1= - + - +L+ 1 1- + 1 1 ù可得 n 2 ê ÷ ÷ ÷
- ÷ú．
è 3 è 2 4 è n -1 n +1 è n n + 2
T 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3n = + - - = - +2 2 n +1 n + 2 ÷ 4 2 n +1 n + 2 ÷
<
所以 è è 4
命题点 2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
【例题 2】（2023·河南郑州·模拟预测）在数列 an 中， a1 =1, a2 = 9, an+2 = 3an+1 - 2an -10，则
an 的前 n项和 Sn 的最大值为（ ）
A．64 B．53 C．42 D．25
【答案】B
【分析】令 an+1 - an = bn ，则由 an+2 = 3an+1 - 2an -10可得bn+1 -10 = 2 bn -10 ,所以数列
bn -10 是以-2为首项,2 为公比的等比数列,可得到 an+1 - a =10 - 2nn ，然后用累加法得到
an =10n - 2
n - 7，通过 an 的单调性即可求出 Sn 的最大值
【详解】由 an+2 = 3an+1 - 2an -10 ,得 an+2 - an+1 = 2 an+1 - an -10 ,
令 an+1 - an = bn ,所以bn+1 = 2bn -10 ,则bn+1 -10 = 2 bn -10 ,
所以数列 bn -10 是以b1 -10 = a2 - a1 -10 = -2为首项,2 为公比的等比数列,
所以bn -10 = -2 2
n-1 = -2n , b = -2n即 n +10 ,即 a
n
n+1 - an =10 - 2 ,
由 a2 - a1 =10 - 2
1,a3 - a2 =10 - 2
2 ,a4 - a3 =10 - 2
3 ,L,an - an-1 =10 - 2
n-1(n 2) ,
2 1- 2n-1
将以上 n -1 个等式两边相加得 an - a n1 =10(n -1) - =10n - 2 -8 ,1- 2
a =10n - 2n所以 n - 7,n 2 ,
n
经检验 a1 =1满足上式，故 an =10n - 2 - 7,
当 n 3时, a n nn+1 - an =10 - 2 > 0 ,即 an 单调递增,当n 4时, an+1 - an =10 - 2 < 0 ,即 an 单调
递减,
因为 a3 =10 3 - 2
3 - 7 =15 > 0,a 44 =10 4 - 2 - 7 =17 > 0,
a =10 5 - 25 - 7 =11 > 0,a =10 6 - 265 6 - 7 = - 11 < 0 ,
所以 an 的前 n项和 Sn 的最大值为 S5 =1+ 9 +15 +17 +11 = 53，
故选：B
【变式 1】（20-21 高三上·天津滨海新·期中）已知数列 an 满足 a1 = 0， an+1 = an + 2n -1，则
数列 an 的一个通项公式为（ ）
A． an = n -1 B 2 3 4． an = (n -1) C． an = (n -1) D． an = (n -1)
【答案】B
【分析】由递推公式可用累加法求通项公式．
【详解】由 an+1 = an + 2n -1得 an+1 - an = 2n -1，
∴ an = (an - an-1) + (an-1 - an-2 ) +L(a2 - a1) + a1 = (2n - 3) + (2n - 5) +L+1+ 0 = (n -1)2 ，
a1 = (1-1)
2
，适用．∴ an = (n -1)
2
．
故选：B.
【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，解题方法是累加法，如果递推式出现数列前后项
的差时可考虑用累加法求通项公式
【变式 2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 =1, an + an+1 = 2n +1,
则 S19 = .
【答案】190
【分析】由分组求和法以及等差数列求和公式即可运算求解.
【详解】由题意
10 × 1+ 37
S19 = a

1 + a2 + a3 + a4 + a5 +L+ a18 + a19 =1+ 5 + 9 +L+ 37 = =190 .2
故答案为：190
2024· · a 2, a + a = 2n +1 n N*【变式 3】（ 湖南邵阳 一模）已知数列 n 的首项为 n n+1 ，则
a10 = .
【答案】9
【分析】当 n =1 *时，求出 a2 =1，由 an + an+1 = 2n +1 n N 可得 an+1 + an+2 = 2n + 3 n N* ，
两式相减可得 an+2 - an = 2，所以 an 的偶数项是以 a2 =1为首相，公差为 2的等差数列，即
可得出答案.
【详解】因为 a1 = 2， an + a = 2n +1 n N*n+1 ，
当 n =1时， a1 + a2 = 3，解得： a2 =1，
an+1 + an+2 = 2n + 3 n N* ，两式相减可得： an+2 - an = 2，
所以 an 的偶数项是以 a2 =1为首相，公差为 2的等差数列，
所以 a10 = a
10
2 + -1

÷ 2 =1+ 8 = 9 .
è 2
故答案为：9.
命题点 3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
【例题 3】（2022· n+1河南·模拟预测）在数列 an 中，若 a1 = 2， an+1 = 3an + 2 ，则 an =（ ）
5 1
A． n ×2n B． -
2 2n
C． 2 ×3n - 2n+1 D． 4 ×3n-1 - 2n+1
【答案】C
【分析】根据题干条件构造等比数列，进行求解.
a 3a + 2n+1n+1
a b n+1 + 2
n
2 2n+1
+ 2 3
【详解】令b = nn n + 2，则
n+1 = a =2 b n 2 a
= ，
n + n + 2 2
2n 2n
a
又b = 11 + 2 = 3，所以 b
3
n 是以 3 为首项， 为公比的等比数列，2 2
a n-1b = n + 2 = 3 3 a = 2 ×3n - 2n+1所以 n 2n ÷
，得 n ．
è 2
故选：C
n n+2 a2024
【变式 1】（2024·湖南永州·三模）已知非零数列 an 满足 2 an+1 - 2 an = 0，则 =a2021
（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得 an+1 = 4an，再由等比数列的定义即可得到结果.
n n+2 a2 a - 2 a = 0 a = 4a 2024
4 4 4a
= 2021【详解】由 n+1 n 可得 n+1 n，则 = 64a .2021 a2021
故选：D
【变式2】（2024· n四川南充·二模）已知数列 an ，满足 a1 =1，且 anan+1 = 2 ，则 a7 + a8 = .
【答案】24
【分析】由递推关系求出 a2n-1 =1 2
n-1
即可求解.
【详解】 a1 =1，且 anan+1 = 2
n
，
n 2 a a = 2n-1
anan+1 a= n+1当 ， n-1 n ，所以 = 2an-1a
；
n an-1
故 an 的奇数项是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
n-1
即 a2n-1 =1 2 ，
7
a = 23故 7 = 8,a
2
8 = =16，则 a7 + a8 = 24 .a7
故答案为：24
【变式 3】（23-24 高三上·湖南娄底·期末）已知数列 an 满足 a2 = 2,a nn × an+1 = 2 ,则 a10 的值
为 .
【答案】32
n
【分析】由递推式 an × an+1 = 2 推导出 a2k 构成一个等比数列，利用等比数列的通项公式即
可求得（要注意下标为连续的偶数，计算时项数应是下标的一半）.
a
a × a = 2n a n+1 n+2【详解】因为 n n 1 ，所以 n 1 × an 2 = 2 ，两式相除得 = 2+ + + a ，故数列 a2k 是公比n
为 2 的等比数列，
5-1 5
由 a2 = 2，所以 a10 = a2 ×2 = 2 = 32 .
故答案为：32.
题型二　相邻项的差为特殊数列(形如 an＋1＝pan＋qan－1)
　可以化为 a 2n＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中 x1，x2 是方程 x －px－q＝0 的两个根，若 1 是
方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若 1 不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消
元的方法求数列{an}
【例题 4】（22-23 高三上·湖北·阶段练习）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和，且 a1 = a2 =1，
an = 2an-1 + 3an-2（ n 3），则下列结论正确的是（ ）
A．数列 an - an+1 为等比数列 B．数列 an+1 + 2an 为等比数列
1 n-1 n-1
C． S40 = 320 -1 D 3 + -1 ．4 an = 2
【答案】D
【分析】A 选项，计算出 a1 - a2 = 0，故 an - an+1 不是等比数列，A 错误；
B 选项，计算出 a 7 23n+1 + 2an 的前三项，得到 ，B 错误；3 7
C 选项，由题干条件得到an + an-1 = 3 an-1 + an-2 ，故 an+1 + an 为等比数列，得到
a n-1n+1 + an = 2 3 ，故 a2 + a1 = 2， a4 + a3 = 2 3
2
，…… 38， a40 + a39 = 2 3 ，相加即可求出
S 3
40 -1
40 = ，C 错误；4
D a + a = 2 3n-1选项，在 n+1 n 的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出
3n-1 + -1 n-1a = .n 2
【详解】由题意得： a3 = 2a2 + 3a1 = 5， a4 = 2a3 + 3a2 =10 + 3 =13，
由于 a1 - a2 = 0，故数列 an - an+1 不是等比数列，A 错误；
则 a2 + 2a1 =1+ 2 = 3， a3 + 2a2 = 5 + 2 = 7 ， a4 + 2a3 =13 +10 = 23，
7 23
由于 ，故数列 an+1 + 2an 不为等比数列，B 错误；3 7
n 3时， an = 2an-1 + 3an-2，即an + an-1 = 3 an-1 + an-2 ，
又 a1 + a2 =1+1 = 2，
故 an+1 + an 为等比数列，首项为 2，公比为 3，
a + a = 2 3n-1故 n+1 n ，
故 a2 + a1 = 2， a4 + a3 = 2 3
2
，……， a40 + a39 = 2 3
38
，
40 40
以上 20 个式子相加得： S40 = 2 1+ 32 + 34 L 338 2 1- 3 3 -1+ + = = ，C 错误；1- 9 4
因为 an+1 + an = 2 3
n-1
，所以 an+2 + an+1 = 2 3
n
，两式相减得：
an+2 - a
n n-1 n-1
n = 2 3 - 2 3 = 4 3 ，
n = 2k a - a = 4 32k -3 2k -5当 时， 2k 2k -2 ， a2k -2 - a2k -4 = 4 3 ，……， a4 - a2 = 4 3，
a a 4 3 33 L 32k -3 4 3- 3
2k -1 32k -1 - 3
以上式子相加得： 2k - 2 = + + + = = ，1- 9 2
32k -1 - 3 32k -1 -1 32k -1a -1故 2k = + a2 2
= ，而 a2 =1也符和该式，故 a2k = ，2 2
3n-1 -1 3n-12k = n + -1
n-1
令 得： a ，n = =2 2
当 n = 2k -1 a - a 2k -4 2k -6 0时， 2k -1 2k -3 = 4 3 ， a2k -3 - a2k -5 = 4 3 ，……， a3 - a1 = 4 3 ，
2k -2 2k -2
a a 4 32k -4 32k -6 L 30 4 1- 3 3 -1以上式子相加得： 2k -1 - 1 = + + + = = ，1- 9 2
32k -2a -1 3
2k -2 +1 32k -2a =1 +1故 2k -1 = + a1 = ，而 1 也符号该式，故 a2 2 2k -1
= ，
2
3n-1 + -1 n-1
令2k -1 = n 得： an = ，2
3n-1 + -1 n-1
综上： an = ，D 正确.2
故选：D
an+2 - an = f n 【点睛】当遇到 时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最
后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令 n = 2k -1和 n = 2k ，用累加法进
行求解
【变式 1】（2024·山西晋中·模拟预测）若数列 an 满足 a1 =1， a2 = 4 ，且对任意的
1 1 1 1
n N* n 2 都有 an+1 - 2an + an-1 = 2，则 + + +L+ =a2 -1 a3 -1 a4 -1 a2024 -1
（ ）
3 1 1 1- + 1012A． B．
4 2 ֏ 2023 2024 2024
3 1 1 1- + 1012C． D．
4 2 è 2024 2025 ÷ 2025
【答案】C
【分析】令bn = an+1 - an ，由题意可证得数列 bn 是等差数列，从而求得bn ，再利用累加法
求得 an ，进而利用裂项相消法求即可得解.
n N*【详解】因为对于 n 2 都有 an+1 - 2an + an-1 = 2，
则 an+1 - an - an - an-1 = 2，令bn = an+1 - an ，
所以bn - bn-1 = 2 n 2 ，又b1 = a2 - a1 = 3，
所以数列 bn 是以3为首项，2 为公差的等差数列，
所以bn = 3 + n -1 ×2 = 2n +1，即 an+1 - an = 2n +1，
则 a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7,L,an - an-1 = 2n -1，
累加得 an - a1 = 3+ 5 + 7 +L+ 2n -1, n 2，
n × 1+ 2n -1
所以 a 1 3 5 7 n = + + + +L+ 2n -1 = = n2 ,n 2，2
1 1 1 1 1 1
则 = 2 = = -

n 2 an -1 n -1 n +1 n -1 2 è n -1 n +1÷
，

1 1 1 1
所以 + + +L+a2 -1 a3 -1 a4 -1 a2024 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1=
2
1- + - + - +L+ - + -
è 3 2 4 3 5 2022 2024 2023 2025 ÷
1 1 1 1 1 3 1 1 1= + - - = - + .
2 è 2 2024 2025 ÷ 4 2 è 2024 2025 ÷
故选：C
【变式 2】（2024 高三·全国·专题练习）已知数列
an ,a1 =1,a = 2,a - 5a + 4a = 0 n N*2 n+1 n n-1 ,n 2 ，则 an 的通项公式为 .
a 4
n-1 + 2
【答案】 n = 3
【分析】利用构造法推得 an+1 - an 是等比数列，再利用累加法即可得解.
【详解】因为当 n 2时， an+1 - 5an + 4an-1 = 0，所以 an+1 - an = 4 an - an-1 ，
又 a1 =1, a2 = 2，则 a2 - a1 =1，
所以 an+1 - an 是以1为首项，4 为公比的等比数列，
所以 a n-1n+1 - an = 4 ，
从而 an = an - an-1 + an-1 - an-2 +L+ a2 - a1 + a1
n-1 n-1
= 4n-2 + 4n-1 1
1- 4 4 + 2
+L+ 4 + 40 +1 = +1 = ，
1- 4 3
当 n =1时， a1 =1满足上式，
4n-1 + 2
所以 an = .3
4n-1a + 2n =
故答案为： 3
【变式 3】（23-24 高三上·四川·阶段练习）在数列 an 中， a1 =1， a2 = 2， an+1 = 3an - 2an-1
(n 2,n N*) .设bn = an+1 - an .
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
a
(2) c = n+1设 n n ，记数列 cn 的前 n 项和T(1+ b ) × (2 +1) n ，求证：Tn <1.n
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）把 an+1 = 3an - 2an-1变形为 an+1 - an = 2(an - an+1)，即bn = 2bn-1，根据等比数列的
定义证明即可；
2n
（2）由累加法求得 an = 2
n-1
，代入得 cn = n-1 n ，利用裂项相消法求和，再利用(1+ 2 )(2 +1)
2
n > 0证明即可.2 +1
【详解】（1）因为 an+1 = 3an - 2an-1 (n 2,n N*)，所以 an+1 - an = 2(an - an+1)，
又bn = an+1 - an ，所以bn = 2bn-1，又b1 = a2 - a1 =1，
所以数列{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列.
（2）由（1）可得bn = a
n-1
n+1 - an =2 ，当 n 2时，
n-1
a = (a - a ) + (a - a ) + ×××+ (a - a ) + a = 2n-2 + 2n-3 1- 2 n-1n n n-1 n-1 n-2 2 1 1 + ×××+ 2 +1+1 = +1 = 2 ，1- 2
当 n =1 n-1时也成立，所以 an = 2 .
c an+1 2
n 1 1
所以 n = =(1+ b ) × (2n +1) (1+ 2n-1 n
= 2 -
)(2 +1) è 2n-1 +1 2n +1÷
，
n
T 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2所以 n = - + - + ×××+ -
= 2 - =1- ，
è 2 3 3 5 2n-1 +1 2n +1÷ 2 2n +1÷ è 2n +1
2
> 0
又 2
n +1 ，所以Tn <1.
pan
题型三　倒数为特殊数列(形如 an＋1＝ 型ran＋s )
1 s 1 r 1
　两边同时取倒数转化为 ＝ · ＋ 的形式，化归为 bn＋1＝pbn＋q 型，求出 的表达式，an＋1 p an p an
再求 an．
a
【例题 5】（2022· n
*
浙江·模拟预测）数列 an 满足 an+1 = n N a =11+ 2a ， 1 ，则下列结论n
错误的是（ ）
2 1 1 1 ì ü
A a． = + 2 n

a10 a3 a
B． í 是等比数列
17
C． 2n -1 an =1 D．3a5a17 = a49
【答案】D
ì 1 ü 1
【分析】推导出数列 í 是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得 a 的表达式，可 an n
判断 C 选项；利用等差中项的性质可判断 A 选项；利用等比数列的定义可判断 B 选项；计
算出3a5a17、 a49 的值，可判断 D 选项.
a a a a【详解】由 n+1 = n a =1 a = 1 > 0 a = 2 > 0 L1+ 2a ，且 1 ，则 2 ， 3n 2a1 +1 1+ 2a
， ，
2
以此类推可知，对任意的 n N* ， an > 0，
1 1+ 2a
= n
1 2 1 1 1所以， = + - = 2a a a ，所以 a a ，且
=1
a ，n+1 n n n+1 n 1
ì 1 ü
所以，数列 í 是等差数列，且该数列的首项为1，公差为a 2， n
1
所以， =1+ 2 n -1 = 2n -1a ，则 2n -1 a
*
n =1，其中 n N ，C 对；
n
1
2a 1 1n+1 - ì
1 ü
= 2a a

n+1 an 2
1 = 2 = 4，所以，数列 í2
n 是等比数列，B 对；
2a n
2 1 1
由等差中项的性质可得 = +a a a ，A 对；10 3 17
由上可知 a
1 3a a 3 1 1 1 1 1n = ，则 = = ，a = = ，2n -1 5 17 2 5 -1 2 17 -1 99 49 2 49 -1 97
所以，3a5a17 a49 ，D 错.
故选：D
【变式 1】（23-24 高三上·山东青岛·期末）设数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知
a 1 ,a 2a1 = n+1 = n S (k -1,k)2 an +1
，若 2024 ，则正整数 k 的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】B
1 1 1
【分析】由题设有 -1 = ( -1)
1
a ，等比数列定义求通项公式，进而有 an =1- n-1 求n+1 2 an 2 +1
S 1 1 1n ，再由 n < n-1 < n-1 及放缩法确定 S2 2 +1 2 2024
范围求参数值.
1 1 1 1 1 1 1
【详解】 = + -1 = ( -1)，又 -1 =1a ，n+1 2an 2 an+1 2 an a1
所以{
1
-1}
a 是首项为 1
1
，公比为 2 的等比数列，n
1 1 1 1 1 1所以 - = = + a =1
1
-
a 2n-1 a 2n-1 n 2n-1n n +1
，
S n ( 1 1 ... 1 1 1故 n = - 0 + 1 + + n-1 )，令M = 0 + 1 + ...
1
+
2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2n-1 +1
1 1 1 1 1 1 5 1 1
由
2n
< n 1 且 n 3，则M > + + + ...+ = + 1-2 -
，
+1 2 3 23 2n 6 4 è 2n-2 ÷
1 1 1 1 1 1 1< 由
2n-1 +1 2n
M <
-1 ，则 20
+ 2 + 3 + ...+2 2 2n-1
= 2 1- 2n ÷
，
è
则 n
1
- 2 + n-1 < Sn < n
13 1 1 11 1
- + n ，所以 2022 + 2023 < S2 12 2 2 2024
< 2022 + + < 2023，
12 22024
故 S2024 2022,2023 ，则正整数 k 的值为 2023.
故选：B
3a 3n
【变式 2】（2021·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a
3 a = n
1 = ， n+1 a + 3 ，若
cn = ，则2 n an
c1 + c2 + ×××+ cn = .
(2n +1) ×3n -1
【答案】
4
1 1 1 ì
- = 1 ü 1 2 1【分析】根据条件得到 a a 3 ，则数列 í 是首项
=
a 3 ，公差为 的等差数列，得n+1 n an 1 3
1
到 a ，则可得
cn ，写出 c1 + c2 + ×××+ cn ，利用错位相减法可求解.
n
3 3an
【详解】解：因为 a1 = ， a2 n+1
=
a + 3 ，n
1 an + 3 1 1
所以 = = +an+1 3an 3 a
，
n
1 1 1
即 - =a a 3 ，n+1 n
ì 1 ü 1 2 1
所以数列 í 是首项 = ，公差为 的等差数列，
a a 3n 1 3
1 2 1
所以 = + (n
n +1
-1) =
a 3 3 3 ，n
c 3
n
= = (n +1)3n-1则 n ，an
则 c1 + c2 + ×××+ cn = 2 3
0 + 3 31 + 4 32 + ×××+ (n +1) 3n-1，
设T = 2 30 + 3 31 + 4 32 + ×××+ (n +1) 3n-1 ①，
则3 T = 2 31 + 3 32 + 4 33 + ×××+ (n +1) 3n ②，
①-②可得-2 T = 2 30 + 31 + 32 + ×××+ 3n-1 - (n +1) 3n
3 1- 3n-1 1 1
= 2 + - (n +1) 3n = - + n
n
÷ 3 ，1- 3 2 è 2
(2n +1) ×3n -1
则T = .
4
n
即 c1 + c2 + ×××+ c
(2n +1) ×3 -1
n = .4
(2n +1) ×3n -1
故答案为： .
4
【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消
法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 a a 4
8an
n 的首项 1 = ，且满足 an+1 =3 a
，
n + 4
b 2 1n = -a 2 .n
(1)求证：数列 bn 是等比数列；
n
(2)记 cn = + nb ，求数列 cn 的前 n项和 Sn .n
【答案】(1)证明见详解
n n n +1(2) S n = n -1 ·2 +1+ 2
【分析】（1）根据等比数列的定义证明；
（2）求出 cn 的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和得解.
a 8an 2 1【详解】（1）因为 n+1 = b = -an + 4
， n a 2 ，n
4 8a- n
b 4 - an+1 an + 4 4 - a 1
2 1
所以 n+1 = = 8a =
n = bn ， n N*，又b1 = - =1，2an+1 2 n 4an 2 a1 2
an + 4
所以数列 bn 是以 1 1为首项，以 2 为公比的等比数列.
n-1
2 1 b = 1
n n-1
（ ）由（ ）得 ÷ ，\cn = + n = n × 2 + nn b ，è 2 n
\Sn = 1 20 + 2 21 + 3 22 +L+ n ×2n-1 + 1+ 2 +L+ n ，
A =1 20 + 2 21 + 3 22 +L+ n ×2n-1令 n ，①
则 2An =1 2
1 + 2 22 + 3 23 +L+ n -1 ×2n-1 + n ×2n ，②
n
① - ②得，-A =1+ 2 + 22 +L2n-1 n 1- 2n - × 2
n = - n ×2n = 2n -1- n × 2n ，
1- 2
\ An = n -1 × 2n +1，
\S = n -1 ×2n n n +1 n +1+ 2
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022 高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列{an}满足 an+1 - 2n = an + 2n(n N*) ，
a p
且 a1 > 0．若当且仅当 n = 3时， n 取得最小值，且 sin( a ) = 02 1 ，则符合条件的实数 a1组成的n
集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
a a
【分析】由累加法首先得 n = 2n + 1 - 2n n ，进一步结合对勾函数性质得
12 < a1 < 24，结合
sin( p a
2 1
) = 0即可求解.
【详解】由题意，得 an+1 - an = 4n，
故当 n 2时， an - an-1 = 4n - 4．由 a2 - a1 = 4 2 - 4 ， a3 - a2 = 4 3 - 4 ，…， an - an-1 = 4n - 4，
累加可得 a - a = 2n2n 1 - 2n，故 an = 2n
2 - 2n + a1，当 n =1时，该式也成立，
a
故 n = 2n
a
+ 1 - 2
n n ．
a
因为当且仅当 n = 3时， n 取得最小值，又 a1 > 0，n
ìa3 a2 ì a1 a1
< 6 + - 2 < 4 + - 2
“ ” 3 2
3 2
所以由 对勾函数 的单调性可得 í
a3 a
，即 í ，
< 4 6 a1 a+ - 2 < 8 + 1 - 2
3 4 3 4
解得12 < a1 < 24．
又 sin(
p a1) = 02 ，所以符合条件的实数
a1组成的集合为{14,16,18,20,22}，
该集合中的元素个数为 5.
故选：C．
a 1
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1， an+1 = n ，记bn = +1a + 2 a ，若存在n n
8m + 6
m， n N* ，使得 log2 bm +log2 bn =6，则 的最小值为（mn ）
8 10 11 14
A． B． C． D．
3 3 4 5
【答案】C
a a= n 1 2 【分析】解：由 n+1 两边取倒数得到 +1
1
= + 2 = 2 +1
a + 2 a a a ÷ ，利用等比数列的定n n+1 n è n
n
义，得到bn = 2 ．再利用对数运算和指数运算得到m + n = 6，然后利用基本不等式求解.
a an 1 a= = n + 2 2【详解】解：由 n+1 两边取倒数可得 =1+a ，n + 2 an+1 an an
1 2 1
则 +1 = + 2 = 2 +1a ÷ ，n+1 an è an
1
所以数列 bn 是首项为 +1 = 2a ，公比为 2 的等比数列，1
b = 2n所以 n ．
又 log2 bm + log2 bn = log2 bm ×bn = 6，
b ×b = 2m+n所以 m n = 2
6
，即m + n = 6，
8m+ 6 9m+ n 9 1 1 9 1 1 9m n
所以 = = + = m+ n + ÷ = + +10 ．mn mn n m 6 ÷è n m 6 è n m
9m n 9m n 9m n m 3 9又 + 2 × = 6，当且仅当 = ，即 = ， n = 时，等号成立．
n m n m n m 2 2
因为 m， n N* ，所以等号取不到，
8m + 6 14 8m + 6 11
则当m =1， n = 5时， = ；当m = 2 ， n = 4时， = ，
mn 5 mn 4
m 2 n 4 8m + 6 11所以当 = ， = 时， 取得最小值 ，
mn 4
故选：C．
3．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = -1， an+1 + an = 2n +1，
若 Sn+1 + Sn = 2399，则 n =（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】A
n
【分析】根据题意，得到 an - n 是等比数列，求得 an = n + 2 -1 ，结合
Sn+1 + Sn = 2Sn + an+1，分 n为偶数和 n为奇数，列出方程，即可求解.
【详解】因为 an+1 + an = 2n +1，所以 an+1 - n +1 = - an - n ，且 a1 -1 = -2，
所以数列 an - n 是以-2为首项， -1为公比的等比数列，
所以 an - n = -2 × -1
n-1 = 2 -1 n ，即 an = n + 2 -1
n
，
n
n n +1 n n +1 当 为偶数时， Sn = ，当 n 为奇数时， S2 n = - 2 ，2
又由 Sn+1 + Sn = 2Sn + an+1，
n n n +1当 为偶数时，由 2S a n + n+1 = 2 + n +1 + 2 -1
n+1 = 2399 ，
2
可得 n2 + 2n - 2400 = 0，解得 n = 48或 n = -50（舍去）；
n n n +1 n+1当 为奇数时，由 2Sn + an+1 = 2 - 4 + n +1 + 2 -1 = 2399，2
可得 n2 + 2n - 2400 = 0，解得 n = 48（舍去）或 n = -50（舍去）．
综上可知， n = 48．
故选：A.
4．（23-24 2高三上·河北·阶段练习）在数列 an 中， a1 =1， an+1 = an - 3an + t ，且 an 2 ，则
实数 t 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． 4 2 D．6
【答案】A
【分析】由题意首先用反证法得 t > 4时， an > 2 ，与 an 2 矛盾；进一步 t = 4满足题意，由
此即可得解.
2
【详解】由题意得 a 2n+1 - an = an - 4an + t = an - 2 + t - 4，
若 t > 4，则 an+1 - an t - 4．当 n 2时，
an - a1 = an - an-1 + an-1 - an-2 +L+ a2 - a1 (n -1)(t - 4)，
1
所以 an 1+ (n -1)(t - 4)，当 n >1+ 时，1+ (n -1)(t - 4) > 2，所以 a > 2 ，与 a 2 矛盾；t - 4 n n
若 t = 4，则 an+1 = a
2
n - 3an + 4 ，得 an+1 - 2 = an -1 an - 2 ，又 a1 =1，所以 a2 = 2， a3 = 2，
所以当 n 2时， an = 2 ，所以实数 t 的最大值为 4．
故选：A.
【点睛】关键点睛：关键是当 t > 4时，可以结合累加法证明 an > 2 ，与 an 2 矛盾；由此即
可顺利得解.
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，满足a1 =1,an+1 =2an +n，则下列
判断正确的是（ ）
A． S3 =11 B． a4 =19 C． S8 = 721 D． a9 = 758
【答案】BCD
【分析】先利用配凑法求出数列 an 的通项公式，即可判断选项 A、B、D；再利用求和方法
即可判断选项 C.
【详解】由 an+1 = 2an + n，可得： an+1 + n +1 +1 = 2 an + n +1
所以数列 an + n +1 是首项为 a1 +1+1 = 3，公比为 2 的等比数列，
则 an + n +1 = 3 2
n-1
，
故 an = 3 2
n-1 - n -1.
所以 a2 = 3 2 - 2 -1 = 3
a3 = 3 2
2 - 3-1 = 8
a 34 = 3 2 - 4 -1 =19
a9 = 3 2
8 - 9 -1 = 758 .
则 S3 = a1 + a2 + a3 =1+ 3 + 8 =12，
所以选项 A 错误，选项 B、D 正确.
8 8 2 + 9
因为 S8 = a1 + a2 +L+ a
0 1
8 = 3 2 + 2 +L27 2 3 L 9 3 1- 2 - + + + = - = 7211- 2 2
所以C 正确．
故选：BCD．
a
6．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列 an 满足 a1 =1 n *，且 an+1 = 2 ,n Na ，则下列说法正n +1
确的是（ ）
A．数列 an 为递减数列 B． 0 < an 1
a 1 1 1 1C． 10 , ÷ D． < a <
è 8 7 11 50 10
【答案】ABD
【分析】根据数列的递推公式和首项即可判断选项 A 和 B；利用数列的单调性和累加法求出
2n + 2 ( 1< )2 9n + 7<
a 4 ，进而判断选项 C 和 D.n+1
an
【详解】因为 an+1 = 2 ,n N
*
a +1 和
a1 =1可知，数列 an 的各项均为正值，
n
a an ,n N* an+1 1 1由 n+1 = a2
= < =1
+1 可得 a a2 +1 a2 ，所以
an+1 < an ，则数列 an 为递减数列，故
n n n 1
选项 A 正确；
由选项 A 的分析可知：数列 an 为递减数列，又因为 a1 =1，所以 0 < an 1，故选项 B 正确；
an * 1 1
由 an+1 = 2 ,n Na +1 两边同时取倒数可得
= + a
n a
n ，
n+1 an
( 1 )2 ( 1 a )2 ( 1 )2 2 a2 ( 1 )2 1则 = + n = + + n ，所以 - ( )
2 = 2 + a2
a n ，n+1 an an an+1 an
因为数列 an 为递减数列，
a
由 a1 =1可得 a2 =
1
2 =
1
a +1 2 ，1
n = 2 2 < 2 + a2 1 2 (
1 )2 ( 1 )2 =2 1当 时， 2 = 2 + ，即 < - +4 a3 a2 4
，
2 2 a2 1
1 2 1 2 1
当 n 3时， < + 3 < 2 + ，即 2 < ( ) - ( ) < 2 + L4 a4 a3 4
， ，
2 1 1 1< ( )2 - ( )2 < 2 +
a a 4 ，n+1 n
1 2 1 2 1
不等式累加可得： 2 (n -1) < ( ) - ( ) < (2 + )(n -1)a ，n+1 a2 4
2n 2 ( 1 )2 9n + 7
2
所以 + < <
1
a 4 ，则 20 < ÷ < 22，n+1 è a10
1 1
所以 < a10 < ，故选项 C 错误；22 2 5
2n 1+ 2 < ( )2 9n + 7由 < 可得100
1
< ( )2 <112 <121
an+1 4 a
，
50
1 1
所以 < a50 < ，故选项 D 正确；11 10
故选：ABD.
三、填空题
a 5 1 b 17．（2022·湖南益阳·一模）已知数列 an 中， a1 =1， n+1 = - ，若 n = b2 a a n n - 2
，则数列 n
的前 n项和 Sn = .
4n + 6n -1
【答案】-
9
【分析】根据条件，先构造等比数列求出 an ，再由b
1
n = a - 2 得
bn ，从而可求和.
n
5 1 1
【详解】由 an+1 = - ，有 a 1 1
an -
2 a n+1 - = 2 - = 2 2 ，n 2 an an
a 1 1 1 a - 2
an+1 - 2 1 a - 2
n = × n
n+1 - 2 = - = 2 a ，两式相除得到 1 4 1 ，n 2 an an+1 - a -2 n 2
ì ü
a a1 - 2
í n
- 2 1 = -2
所以 1 是以 为公比， 1 为首项的等比数列， a - 4 a1 -
n 2 2
an - 2 1
n-1
1 = -2

所以 ÷
3
a - è 4
，则an = 2 - ，
n 2 + 4
n-1
2
b 1 2 4
n-1
所以 n = = - - ，an - 2 3 3
2n 1 4n -1 2n 4n -1 4n + 6n -1
所以 Sn = - - = - - = - .3 3 3 3 9 9
4n + 6n -1
故答案为：- .
9
8．（2023· n+1陕西汉中·一模）已知数列 an 满足： an+1 = 3an + 3 ，若 a1 = 3，则 an 的通项公
式为 .
n
【答案】 an = n ×3
a
【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列{ nn }，利用等差数列的通项公式求出3
构建的数列的通项公式，进而得解.
a = 3a + 3n+1 a a【详解】因为 n+1 n ，所以 n+1 n3n+1
= n +1，3
则数列{
an
n }是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，3
a
所以 nn =1+ (n -1) 1，则 an = n ×3
n
，
3
n
故答案为： an = n ×3 .
3 a
9．（23-24 高三下·湖北· n阶段练习）已知数列 a *n 中， a1 = ， a =5 n+1 2a +1， n N ，则n
anan+1 的前 n项和 Sn = ．
9n
【答案】 5(6n + 5)
1 1 ì ü
【分析】取倒可得 = + 2
1
a 3a a ，判断 í 是等差数列，即可求解 n = ，进而根据裂n+1 n an 6n -1
项相消法求和即可.
an 1 1 ì 1 ü
【详解】由 an+1 = 可得 = + 22a +1 a a ，所以 í 是等差数列，且公差为 2，n n+1 n an
1 1 3
所以 = + 2(n -1)a a ，故 an = ，n 1 6n -1
a a 9 3所以 n n+1 = =
1 1-
(6n -1)(6n + 5) 2 è 6n
，
-1 6n + 5 ÷
S 3 é= 1 1 1 1 1 1 ù 3 1 1 9n所以 n ê - ÷ + - +L+ - =
- =
2 è 5 11 è11 17
÷ 6n -1 6n + 5 ÷ú 2 è è 5 6n + 5
÷
5(6n + 5)
9n
故答案为： 5(6n + 5)
四、解答题
10．（2024·陕西西安·二模）已知数列 an 的前 n项为 Sn ， an = 2n +1，数列 bn 为等比数列，
且 a2 + b2 = 9， S10 + b3 =128 .
(1)求数列 bn 的通项公式；
(2)设 cn = an ×bn，求数列 cn 的前 n项和M n .
n
【答案】(1) bn = 2 ；
(2) M n = 2 + 2n -1 × 2n+1 .
【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式、求和公式列方程求首项、公比即可得解；
（2）根据错位相减法求解即可.
【详解】（1）Q an = 2n +1，
\数列 an 是 a1 = 3, 公差 d = 2的等差数列，且 a2 = 5，
\ S 10 3 10 910 = + 2 =120 .2
设等比数列 bn 的公比为q，由 a2 + b2 = 9， S10 + b3 =128 .
ì5 + b1q = 9 ìq = 2,
得 í120 a q2 128，解得 + 1 =
í
b1 = 2.
\数列 b n-1 nn 的通项公式为bn = 2 2 = 2 .
（2）Q an = 2n +1，bn = 2
n.
\ cn = an ×bn = 2n +1 ×2n.
\ M = 3 2 + 5 22n + 7 2
3 + ×××+ 2n +1 2n ，
2M = 3 22 + 5 23 + 7 24 + ×××+ 2n +1 2n+1n ，
① ② -M = 3 2 + 2 22 + 2 23 + ×××+ 2 2n n+1－ 得 n - 2n +1 2
2 22 1- 2n-1
= 6 + - 2n +1 2n+1
1- 2
= -2 - 2n -1 2n+1
\ M n = 2 + 2n -1 × 2n+1 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 2， an+1 = 2an + n．
(1)求证 an + n +1 是等比数列，并求 an 的通项公式；
1
(2)设 cn = ，求证： c1 + c2 +L+ c <1an + n
n ．
n+1
【答案】(1)证明见解析， an = 2 - n -1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用定义法证明，可得数列 an + n +1 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，即
可得数列 an + n +1 的通项公式，即可求解 an 的通项公式；
c 1 1（2）由（1）可知 n = =a + n 2n+1 -1，无法直接求和，分子分母同时加 1，对通项公式进n
行放缩，然后利用等比数列求和公式即可.
an+1 + (n +1) +1 2an + 2n + 2
【详解】（1）因为 = = 2an + n +1 an + n +1
，
又 a1 +1+1 = 4，
所以 an + n +1 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，
a + n +1 = 4 2n-1则 n = 2
n+1
，
a = 2n+1所以 n - n -1；
1 1 1 2 1
（2）因为 cn = = n+1 = n+1 < =an + n 2 - n -1+ n 2 -1 2
n+1 2n ，
1 é 1 n ù
ê1- ÷ ú
c 1 1 1
2 ê è 2 ú 1
n

1 + c2 +L+ cn < + 2 +L+ n = 1 =1-2 2 2 ÷
<1
1- è 2
所以 2
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·四川泸州·三模）已知数列 an 满足 an+1 = 2an + 2， a1 =1，则此数列的通项公式为
（ ）
ì1,n =1 ì1,n =1
A． an = í n-1 B． an =3 2 ,n 2 í3n ,n 2
C a = 3 2n-1 - 2 D a = 3n． n ． n - 2
【答案】C
a + 2
【分析】根据数列递推式 an+1 = 2an + 2
n+1
，可推得 = 2a + 2 ，即说明
{an + 2}为等比数列，由
n
此可求得 an 的通项公式，即得答案.
an+1 + 2
【详解】由 an+1 = 2an + 2，有 an+1 + 2 = 2 an + 2 ，所以 = 2an + 2
，
又 a1 =1，所以{an + 2}是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，
a + 2 = 3 2n-1 a = 3 2n-1所以 n ，即 n - 2， n N* ，故 C 正确，
1,n =1 ì1,n =1
则 a2 = 3 2 - 2 = 4
ì n
，验证 an = í n-1 a =3 2 ,n 2以及 n í3n 和
an = 3 - 2
,n 2
，

均不成立，A，B，D 错误，
故选：C
2
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 an 各项均为正数， a1 = 3，且有 an+1 = 3- a ，则 an =n
（ ）
1 3 1 1
A． n B． n C．4- n D2 1 ． + 22 -1 - 2 -1 2n -1
【答案】D
1 bn+1 +1
【分析】设bn = a - 2 ，根据题设中的递推关系可得
= 2
n b +1
，故利用等比数列的通项公
n
式可求bn = 2
n -1，从而可求 an 的通项公式.
a 3 2 a 2 1 2 an - 2【详解】 n+1 = - a ， n+1
- = - = ，
n an an
显然若 an - 2 = 0，则 an+1 - 2 = 0，则"n N*， an = 2 ，与题意矛盾，
1 a 2
所以"n N*， an - 2 0
n
，两边同时取倒数，得： = =1+an+1 - 2 a - 2 a
，
n n - 2
设b
1
n = b =1 b =1+ 2b b +1 = 2 b +1a n - 2
， 1 ， n+1 n ， n+1 n ，
bn+1 +1
因为b1 +1 = 2 0，故bn +1 0，故 = 2 b +1b +1 ，所以 n 为等比数列，n
b n-1 n n
1 n
所以 n +1 = 2 2 = 2 ，故bn = 2 -1，所以 = 2 -1an - 2
，
故 a
1
n = n + 2 ，2 -1
故选：D.
3．（2023·云南红河·一模）已知数列 an 满足： a1 = 9, an+1 - an = 2n ，则 a4 =（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
【答案】A
【分析】
应用累加法求数列通项公式，再求出对应项.
【详解】由题设 an - an-1 = 2(n -1) ，……， a3 - a2 = 2 2， a2 - a1 = 2 1，
累加可得 an - a1 = 2(n -1+L+ 2 +1) = n(n -1)
2
且 n 2，则 an = n - n + 9，
2
显然 a1 = 9也满足上式，所以 a4 = 4 - 4 + 9 = 21.
故选：A
2
4．（2021·四川绵阳·模拟预测）设数列 an 满足 a1 = 3, an+1 = 3a 4n
4n + 8n + 5
n - ，若bn = ，anan+1
且数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，则 Sn = （ ）

A． n 1
2
- 4 2n n 1 1+ + n
2
B C D 1+
è 6n
． ． ．
+ 9 ÷ 3 6n + 9 6n + 9 ÷ ÷è è 6n + 9
【答案】D
【分析】先根据 an 的递推关系求出 an 的通项公式，代入bn 的表达式中，求出bn 的通项，即
可求解bn 的前 n 项和 Sn
【详解】由 an+1 = 3an - 4n可得 an+1 - é2 n +1 +1 ù = 3 an - (2n +1) ,
∵ a1 = 3 , ∴ a1 - (2 1+1) = 0 ,
则可得数列 an - (2n +1) 为常数列 0 ，即 an - (2n +1) = 0 , ∴ an = 2n +1
4n2b + 8n + 5 (2n +1)(2n + 3) + 2 2 1 1∴ n = = =1+ =1+ - ,(2n +1)(2n + 3) (2n +1)(2n + 3) (2n +1)(2n + 3) 2n +1 2n + 3
∴ Sn = n + (
1 1 1 1 1 1 1 1 2
- + - +L+ - ) = n + - = n(1+ ) .
3 5 5 7 2n +1 2n + 3 3 2n + 3 6n + 9
故选: D
a
5．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨· a a = n期末）若数列 n 满足 n+1 （ an 02a + 3 且 an -1），n
a2023 +1 a2022 +1
则 a 与2023 a
的比值为（ ）
2022
1
A B 1． ． C．2 D．3
3 2
【答案】D
a a= n ìa +1ü【分析】由递推关系 n+1 2a + 3，求证数列 í
n 为等比数列，公比为3即可得.
n an
an
【详解】 an+1 = a 0 a2a + 3，由 n ，则 n+1
0 ，
n
1 2an + 3 3
在等式式两边同取倒数得， = = 2 +a ，n+1 an an
a +1 3 a +1
在两边同加1 n+1得， = 3+ = 3 × n ，an+1 an è a
÷
n
又 an -1，则 an +1 0，
an+1 +1
an+1 ìan +1ü
则有 a = 3+1 ，则数列 í 是公比为3的等比数列.n an
an
a2023 +1 a2022 +1
则 a 与 a 的比值为3 .2023 2022
故选：D.
a
6 n．（2024·广东茂名·一模）数列 an 满足 a = 8， a *1 n+1 = na +1 （ n N ），n
n
b 1n = + l
1
÷ ×

÷ ，若数列 bn 是递减数列，则实数l 的取值范围是（ ）
è an è 2
8 7 8 7
A． - , + ÷ B． - , + ÷ C． ,+ ÷ D．7 8 7
,+ ÷
è è è è 8
【答案】D
a a= n 1 2n -1
2
【分析】将 n+1 na +1 取倒数结合累加法求得 = ，再利用数列单调递减列不等式n an 8
并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案
a a= n
1 nan +1 1
【详解】由题意， n+1 ，两边取倒数可化为 = = + n
1 1
- =1
nan +1 a a
，所以 ，
n+1 n an a2 a1
1 1 2 1 1 n 1 1 1 n n -1- = ， - = - ，由累加法可得， - =1 + 2 + ×××+ n -1 =a3 a a
，因为
2 n an-1 an a1 2
2
a = 8 1 n n -1 1 2n -1 1 ，所以 = + = ，an 2 8 8
2
b 1
1 n é 2n -1l
ù 1 n
所以 n = +

÷ ÷ = ê + lú ÷ ，因为数列 bn 是递减数列，故bn < ba 2 8 2 n-1，即è n è ê ú è
2
é 2n -1 2 ù 1 n é 2n - 3 2 ù n-1 1 4 n 5- - ê + lú + 8 ÷ < ê + lú ÷ ，整理可得， 2 ÷8 è 2 -4n + 20n -17 8 è 2 l > = è 2 ，ê ú ê ú 8 8

4 n 5
2
8 4 2 5
2
- - ÷ +

2 ÷
- - + 8
* è è 2
÷
n 2
7 7
因为 ， n N ，所以 ÷ = = 8 ÷ 8 8 ，故
l ,+ 8 ÷
.
è
÷
è max
故选:D.
a + 2
7．（2023·四川·模拟预测）在数列 a nn 中，"n N* ， an+1 = 2 < a < 32an +1
，且 1 ，则下列结
论成立的是（ ）
A． a2022 < a2020 B． a2020 + a2022 > a2021 + a2023
C． a2022 + a2023 < 2a2021 D． a2023 > a2021
【答案】C
an + 2 3 an +1 an -1
【分析】根据 an+1 = a +1 = a -1 = -2an +1
，可得 n+1 ， n+12a +1 2an +1
，两式相除即可求得数
n
列 an 通项，再逐一分析各个选项即可.
a an + 2 3 an +1 an -1【详解】因为 n+1 = 2a +1，所以 an+1 +1 = ，
an+1 -1 = -
2a +1 2an +1
，
n n
an+1 +1 an +1
两式相除，得 = -3 ×an+1 -1 an -1
，
a1 +1
又 2 < a1 < 3，所以 0a -1 ，1
ìa
í n
+1ü
所以 是以-3为公比的等比数列，
an -1
an +1 a1 +1 n-1
所以 = × -3 an -1 a -1
，
1
a1 +1 a a= a 2,3 n +1
2
记 ，则 ，所以 = a × -3 n-1a -1 a -1 ，所以
an =1+
a × -3 n-1 -1，1 n
2 2 2 2
所以a - = - > 02022 - a2020 = a × -3 2021 -1 a × -3 2019 -1 a ×32019 +1 a ×32021 +1 ，
即 a2022 > a2020，故 A 错误；
2 2
因为 a =1 + n-1 ，所以 an -1 =n a × -3 -1 a × -3 n-1 -1 ，
所以 a
2
2020 -1 =
a × -3 2019
< 0
-1 ，
同理 a2022 -1< 0， a2021 -1 > 0， a2023 -1 > 0，
所以 a2020 -1+ a2022 -1 < a2021 -1+ a2023 -1，
即 a2020 + a2022 < a2021 + a2023，故 B 错误；
a2022 + a
2 2 4
2023 - 2a2021 = + -
a × -3 2021 -1 a × -3 2022 -1 a × -3 2020 -1
2 2 4
= - 2021 + 2022 - < 0，a ×3 +1 a ×3 -1 a ×32020 -1
所以 a2022 + a2023 < 2a2021，故 C 正确；
a 2 22023 - a2021 = a ×32022
-
-1 a ×32020
< 0 ，所以 a < a ，故 D 错误.
-1 2023 2021
故选：C.
a an + 2 3 an +1= a 1 an -1【点睛】关键点点睛：根据 n+1 ，可得 n 1 + = ， a2a +1 + n+1
-1 = -
2a +1，两式相
n 2an +1 n
ìa
í n
+1ü
除得出 是以-3为公比的等比数列，是解决本题得关键.
an -1
3 3a
8．（23-24 高三上·江苏盐城· n阶段练习）已知数列 an 的首项 a1 = ，且 a5 n+1
=
2an +1
，
1 1 1
+ + × × × + < 2025
a a a ，则满足条件的最大整数
n =（ ）
1 2 n
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
1 1 1 ì 1 ü
【分析】将已知条件恒等变换为 -1 = -1÷，则有 í -1 是等比数列，从而得an+1 3 è an an
1 n
= 2 1 S
1 1 L 1 ÷ +1， n = + + + Sa a a ，根据 n 的单调性，即可得答案.an è 3 1 2 n
a 3a= n 1 2a +1 1 2= n = + 1 1 1
1
【详解】因为 n+1 - = -12a ，所以 ，所以 ÷，n +1 an+1 3an 3an 3 an+1 3 è an
ì 1 ü 1 1 2-1 3 - = 1所以数列 í 是等比数列，首项为 3 ，公比为 ，
an 5 3
1 2 1 n-1 1 n n 1 1
所以 -1 = = 2 ，即 = 2 +1，
a 3 3 ÷ 3 ÷ ÷n è è an è 3
S 1 1 1
é1 1 2 1 n ù
所以 n = + +L+ = 2 +
+L+ ê
a a a 3 3 ÷ ÷
ú + n
1 2 n ê è è 3 ú
1 é 1 n ù
ê1-

3 3 ÷ ú ê è 2 ú n n 1 1
n
= 1 + = + -

÷ ，
1- è 3
3
而当 n N*时， Sn 单调递增，
1 2024 2025S = 2025 - 又因为 2024 ÷ < 2025，且 S2025 = 2026 -
1
÷ > 2025，
è 3 è 3
所以满足条件的最大整数 n = 2024 .
故选：C.
ì 1 ü
【点睛】关键点睛：本题的关键是发现 í -1 是等比数列，从而由等比数列前 n项和公式
an
1 1 1
可将 + + ×××+a a a 表示出来，结合单调性即可得解.1 2 n
二、多选题
a
9．（21-22 高三上·山东聊城· n期末）已知数列 an 满足 a1 =1, an+1 = 2 + 3a ，则下列结论正确n
的有（　　）
ì 1 ü
A． í + 3 为等比数列
an
1
B． an 的通项公式为 an = 2 n +1 - 3
C． an 为递增数列
ì 1 ü
D í n T = 2n+2． 的前 项和 n -3n-4
an
【答案】ABD
1
+ 3
a
【分析】根据已知证明 n+11 为定值即可判断 A；由 A 选项结合等比数列的通项即可判断
+ 3
an
B；作差判断 an+1 - an 的符号即可判断 C；利用分组求和法即可判断 D.
【详解】因为 a1 =1, a
an
n+1 = 2 + 3a ，n
1 2 + 3a
= n
2
= 1 1 所以 a a a +3，所以
+ 3 = 2 + 3a a ÷
，
n+1 n n n+1 è n
1
又因为 + 3 = 4a ，1
ì 1 ü
所以数列 í + 3 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，故 A 正确；
an
1
+ 3 = 4 2n-1 = 2n+1 1
a ，即
an = B
n 2
n +1 3 ，故 正确；-
2n+11 1 - 3 - 2n+2 - 3 -2n+1
因为 an+1 - an = n+2 - = =2 - 3 2n+1 - 3 2n+2 - 3 2n+1 - 3 2n+2 - 3 ，2n+1 - 3
因为 n 1，所以 2n+2 - 3 > 0,2n+1 - 3 > 0,2n+1 > 0，
所以 an+1 - an < 0，所以 an 为递减数列，故 C 错误；
1
= 2n+1 - 3
a ，n
4 1- 2n
则T = 22 + 23 + 24 n+1 n +L+ 2 - 3n = - 3n = 2n+2 - 3n - 4，故 D 正确.1- 2
故选：ABD.
10．（2023· 2重庆·模拟预测）已知数列 an 满足 an+1 = an - 3an + 4 ， a1 = 4， n N* ，则下列结
论正确的有（ ）．
A．数列 an 是递增数列 B． an 4 ×2n-1
n
1 1 1
n
C． + = D． log2 ai - 2 2n -1
i=1 ai -1 an+1 - 2 2 i=1
【答案】ABC
【分析】对 A：根据数列单调性的定义分析证明；对 B：先证 an+1 2an ，结合累加法运算求
2
解；对 C：可得 an+1 - 2 = an - 3an + 2 = an -1 an - 2 ，结合裂项相消法分析运算；对 D：先
log a - 2 > 2log a - 2 log a - 2 2n-1证 2 n+1 2 n ，结合累积法可得 2 n ，再根据等比数列求和分
析运算.
【详解】对 A： an+1 - an = a
2
n - 4an + 4 = an - 2
2 0，当且仅当 an = 2 时，等号成立，
即an+1 an，注意到 a1 = 4，故 an+1 an × × × a1 = 4，
2
可知对"n N* ， an 4 ，即 an+1 - an = an - 2 > 0，即 an+1 > an ，
故数列 an 是递增数列，A 正确；
2
对 B：∵ an+1 - 2an = an - 5an + 4 = an -1 an - 4 ，
由 A 可得：对"n N* ， an 4 ，则 an+1 - 2an = an -1 an - 4 0，当且仅当 n =1时，等号
成立，
a
故 an+1 2a
n+1
n ，即 2a ，n
a a a a则 n = n n-1 ××× 2 a1 2 2 ××× 2 4 = 4 ×2
n-1,n 2 a 4 ×2n-1a a a ，即 n ,n 2 ；n-1 n-2 1
当 n =1时，则 a = 4 n-11 也满足 an 4 ×2 ；
a 4 ×2n-1综上所述： n ，B 正确；
对 C：∵ a 2n+1 = an - 3a + 4
2
n ，则 an+1 - 2 = an - 3an + 2 = an -1 an - 2 ，
注意到 an 4 ，即 an -1 > an - 2 > 0，
1 1 1 1
= = - 1 1 1∴ = -an+1 - 2 an -1 a - 2 a - 2 a -1，即 a ，n n n n -1 an - 2 an+1 - 2
n 1 1 1 1 1 1 1
1 1
故 = - ÷ + - ÷ + ××× + - ÷ = - ，
i=1 ai -1 è a1 - 2 a2 - 2 è a2 - 2 a3 - 2 è an - 2 an+1 - 2 2 an+1 - 2
n
可得 1 1 1+ =
i=1 ai -1 an+1 - 2 2
，C 正确；
对 D：∵ a 2 2n+1 - 2 = a - 3an + 4 = an - 2 + an ，
注意到 an 4 > 0，则 an - 2 2 > 0，
故 a 2 2n+1 - 2 = an - 2 + an > an - 2 ，可得 log2 an+1 - 2 > 2log2 an - 2 ，
log2 an+1 - 2
则 > 2log a 2 ，2 n -
当 n 2时，则
log2 an - 2 log2 an-1 - 2 log a - 2log 2 an - 2 = ××× 2 2 log a - 2 > 2 2 ××× 2 1 = 2n-1log2 an-1 - 2 log2 an-2 - 2 log2 a1 - 2 2 1
，
当 n =1时， log2 a1 - 2 =1，
log a - 2 2n-1故 2 n .
n n
则 log a 2 1 2 2n-1 1- 22 i - + + ×××+ = = 2n -1，D 错误；
i=1 1- 2
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：
a
1 n+1（ ）根据题意证明 2a ，放缩结合等比数列运算求解；n
1 1 1
（2）根据题意整理可得 = -an -1 an - 2 a - 2
，裂项相消求和；
n+1
log
3 2
an+1 - 2
（ ）可证 > 2log a 2 ，放缩结合等比数列的通项公式与求和公式运算求解.2 n -
11．（2024·全国· 2模拟预测）已知数列 an 满足 an+1 = an - 2an + 2，则下列说法正确的是
（ ）
a 1 5A．当 1 = 时，1 < an n 2 B．若数列 an 为常数列，则 an = 22 4
n-1
C．若数列 a 为递增数列，则 a > 2 D．当 a = 3时， a = 22n 1 1 n +1
【答案】AD
b = a 2【分析】令 2n n -1可得bn+1 = bn ，据此判断 A，令 an = t ，由递推关系 t = t - 2t + 2 求出即
可判断 B，根据 B 及条件数列 an 为递增数列，分类讨论求出 a1 < 0或 a1 > 2时判断 C，通过
对bn+1 = b
2
n 取对数，构造等比数列求解即可判断 D.
1 5 2 1
【详解】对于 A，当 a1 = 时， a2 = ，令bn = an -1，则bn+1 = bn ，b2 = 4 ，故2 4
0 < b 1n n 2 ，即1
5
< an n 2 ，A 正确；4 4
对于 B，若数列 an 为常数列，令 an = t ，则 t = t2 - 2t + 2 ，解得 t =1或 t = 2,\an = 1或
an = 2 ，B 不正确；
对于 C 2，令bn = an -1，则bn+1 = bn ，
若数列 an 为递增数列，则数列 bn 2为递增数列，则bn+1 - bn = bn - bn > 0 ，解得bn < 0或
bn >1.
2
当b1 < -1时，b2 = b1 > 1 b
2
，且 n+1 = bn ，
\b2 < b3 < ×× × < bn < ×× ×,b1 < b2 ，此时数列 bn 为递增数列，即数列 an 为递增数列；
当-1 b1 < 0时，0 < b2 1，且bn+1 = b
2
n ，
\b2 b3 ××× bn ×××,b1 < b2 ，此时数列 bn 不为递增数列，即数列 an 不为递增数列；
当b1 >1 2时，bn+1 = bn ，
\b1 < b2 < b3 < ××× < bn < ×××，此时数列 bn 为递增数列，即数列 an 为递增数列.
综上，当b1 < -1或b1 >1，即 a1 < 0或 a1 > 2时，数列 an 为递增数列，C 不正确；
对于 D，令bn = an -1，则bn+1 = b
2
n ，b1 = 2，两边同时取以 2 为底的对数，得
log2bn+1 = 2log2bn ， log2b1 =1，
\数列 log2bn 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
n-1 n-1
\log b = 2n-1，即b = 222 n n ,\a = 2
2
n +1，D 正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比较高，
2
求解时将已知条件变为 an+1 -1 = an -1 是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件
逐一进行判断，既有求解数列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的
求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大，起到压轴的作用.
三、填空题
12．（2020 高三·上海·专题练习）已知数列 an 满足 an+1=3an + 4, a1 = 1，则 an = .
【答案】3n - 2
【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式.
【详解】∵ an+1=3an + 4，由 an+1 - p = a an - p ，解得 a = 3, p = -2，
∴有 an+1 + 2 = 3 an + 2 ，
an + 2 是首项为 a1 + 2 = 3，公比为 3 的等比数列，
所以 an + 2=3
n
，∴ an =3
n - 2 .
故答案为：3n - 2 .
13．（2023·四川乐山·三模）已知数列 an 满足 an+1 = 2an + 2， a1 =1，则 an = ．
【答案】3 2n-1 - 2
【分析】凑配法得出数列{an + 2}是等比数列，由等比数列的通项公式可得结论．
【详解】由 an+1 = 2an + 2得an+1 + 2 = 2(an + 2)，又 a1 + 2 = 3，
an+1 + 2
所以 = 2a + 2 ，即
{an + 2}是等比数列，
n
所以an + 2 = 3 2
n-1 n-1
，即 an = 3 2 - 2．
故答案为：3 2n-1 - 2．
14．（2023·全国·模拟预测）数列 an 满足 an+1 + 4an-1 = 4an (n 2) ， a1 =1, a2 = 3，则 log2 a63
的值为 ．
【答案】67
【分析】根据数列的递推公式及等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算解决即可．
【详解】因为 an+1 + 4an-1 = 4an (n 2) ，
所以 an+1 - 2an = 2an - 4an-1 = 2 an - 2an-1 ,a2 - 2a1 =1，
故数列 an+1 - 2an 是以1为首项， 2为公比的等比数列，
所以 an+1 - 2an = 2
n-1
，
两边同时除以 2n-1 ：
a
得 n+1
a
n-1 -
n
n-2 =1．2 2
a1 ì an ü又 1-2 = 2 ，故数列 í n-2 是以 2为首项，1为公差的等差数列，2 2
a
所以 nn-2 = n +1，2
所以 an = (n +1) ×2
n-2
，
所以 log2 a
61 6
63 = log2 64 2 = log2 2 + log 2612 = 67 ．
故答案为：67 .
四、解答题
15 n．（23-24 高三上·云南楚雄·期末）已知数列 an 满足 a1 = 2， an+1 = an + 2 + 2n -1 .
(1)求 a2，a3；
(2)求 an ，并判断 an - (n -1)2 是否为等比数列.
【答案】(1) a2 = 5,a3 =12
(2) an = 2
n + (n -1)2，是等比数列
【分析】1）分别令 n =1， n = 2，计算可得所求值；
（2）利用累加法，结合等差数列、等比数列的求和公式，可求数列 an 的通项公式，可得
a - (n -1)2 nn = 2 ，得解．
【详解】（1） a2 = a1 + 2 + 2 -1 = 2 + 3 = 5，
a3 = a2 + 2
2 + 4 -1 = 5 + 7 =12
n n
（2）因为 an+1 = an + 2 + 2n -1，所以 an+1 - an = 2 + 2n -1，
所以 a2 - a1 = 2 + 2 -1， a3 - a2 = 2
2 + 2 2 -1 n-1，…， an - an-1 = 2 + 2n - 3(n 2)，
2 n-1
将以上各式相加得 an - a1 = (2 + 2 +L+ 2 ) + (1+ 3 +L+ 2n - 3) = 2
n 2 (1+ 2n - 3)(n -1)- +
2
= 2n - 2 + (n -1)2 (n 2) .
a = 2 a = 2n - 2 + (n -1)2 + 2 = 2n + (n -1)2因为 1 ，所以 n (n 2) ，
n
又 a1 = 2也满足 an = 2 + (n -1)
2
，所以 an = 2
n + (n -1)2，
a 2 n+1a - n -1 2 = 2n n+1 - n 2所以 n = = 2
an -
，
n -1 2 2n
2
所以 an - (n -1) 是等比数列，且首项、公比均为 2.
16．（23-24 高三下·山东·开学考试）已知数列 an 满足 a1 =1, an+1 = an + 2n．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) bn = (-1)
n an + n -1 ，求数列 bn 的前 2n项和 S2n ．
2
【答案】(1) an = n - n +1
(2) S2n = 2n
2 + n
【分析】（1）利用累加法计算可得；
（2 n 2）由（1）可得bn = (-1) n ，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）因为 an+1 = an + 2n ，即 an+1 - an = 2n，所以 an - an-1 = 2 n -1 ，
an-1 - an-2 = 2 n - 2 ,LL, a2 - a1 = 2 ，
n -1a a 2 + 2n - 2 累加得 n - 1 = = n2 - n n 2 2，又 a1 =1，所以 an = n - n +1，2
n =1 a = n2经检验 时符合，所以 n - n +1 .
n
（2）因为bn = (-1) an + n -1 b = (-1)n n2 - n +1+ n -1 = (-1)n 2，所以 n n ，
所以 S2n = -1
2 + 22 - 32 + 42 +L- (2n -1)2 + (2n)2
= 22 -12 + 42 - 32 +L+ (2n)2 - (2n -1)2
= 2 +1 2 -1 + 4 + 3 4 - 3 +L+ (2n) - (2n -1) 2n + 2n -1
2n 1+ 2n
=1+ 2 + 3 + 4 +L+ 2n -1 2n + = = 2n2 + n .
2
17．（2024·陕西宝鸡·一模）已知数列 an ，若 a1 =1，且 an+1 = 2an +1 .
(1)求证： an +1 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；
n an +1 ì 1 ü 1 3(2) 若bn = n ，且数列 í 的前项和为 S ，求证： S < .2 n n bnbn+2 3 4
n
【答案】(1)证明见解析， an = 2 -1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义结合递推关系式证明即可得结论，从而根据等比数列的通
项公式求得数列 an 的通项公式；
ì 1 ü
（2）根据裂项相消法求解数列 í 的前项和为 S ，再根据 S 的单调性求最值即可得结
b b
n n
n n+2
论.
【详解】（1）证明：Qan+1 = 2an +1，\an+1 +1 = 2an +1+1 = 2 an +1
又Qa1 +1 = 2 0，
\ an +1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
\an +1 = 2 × 2
n-1 = 2n a = 2n， n -1；
n
2 Qb an +1 （ ）证明： n = ，且结合（1）得bn = n2n ，
1 1 1 1 1\ = = -
b ÷，nbn+2 n n + 2 2 è n n + 2
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\ n = - + - + - + + - + -
= 1+ - -
2 3 2 4 3 5 n -1 n +1 n n + 2 ÷ 2 2 n +1 n + 2 ÷è è
3 1 1 1= - + ，
4 2 è n +1 n + 2 ÷
QSn+1 - Sn > 0 ，\ Sn 是递增数列，
S 1 1 1又 1 = ， + > 0，3 n +1 n + 2
1 3
\ S
3 n
< .
4
18．（2024·山西临汾·一模）已知数列 an 的首项 a1 =1，且满足an+1 = 2an + n -1，等比数列 bn
1
的首项b1 = b = b
2
，且满足
2 2n n
.
(1)求证：数列 an + n 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 anbn 的前 n项和 Sn
【答案】(1)证明见解析， an = 2
n - n
S n + 2(2) n = n - 2 + 2n
【分析】（1）利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可.
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为 an+1 + n +1 = 2an + n -1+ n +1 = 2an + 2n = 2 an + n ，
又因为 a1 +1 = 2 0 ，所以 an + n 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 an + n = 2
n n
，所以 an = 2 - n
（2）因为b2n = b
2 2 1
n ，所以b2 = b1 = = b1q
1 q q 1= ，故 = ，
4 2 2
1 n-1 nb = 1 = 1 所以 n ÷ ÷ ，2 è 2 è 2
n n
令 cn = anbn ，则 c = 2n - n 1 1n ÷ =1- n × ÷ ，
è 2 è 2
1 2 3 n
T =1 1 2 1 + + 3 1 所以 n ÷ ÷ ÷ +L
1
+ n
2 2 2 2 ÷
，
è è è è
1 1 2T 1
3 1 4 1 n n+1
=1 1
2 n ÷
+ 2 ÷ + 3 ÷ +L+ (n -1) 2 2 2 ÷
+ n ÷ ，
è è è è 2 è 2
1 1 1 2T 1 1
3
1
n 1 n+1
所以 n = ÷ + ÷ + ÷ +L+

2 2 2 2 ÷
- n ÷
è è è è 2 è 2
1 1
n
-
1
2 ÷

2 2 n+1= è - n 1 1 ÷1- è 2
2
1 n n+1
=1- - n 1 2 ÷ ÷
，
è è 2
n n + 2
Tn = 2 - (n + 2)
1
2 ÷
，所以 Sn = n - 2 + n
è 2
19．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列 an 满足： a1 = 2， an+1 = 2an + 4n - 4．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) n求数列 n + 3 an 的前 n 项和 Sn ．
【答案】(1) a nn = 3 2 - 4n
(2) S n
2 n 18
n = + + 6
n - (2n 33-1) 3n+1 -
2 2 5 5
【分析】（1）根据数列递推式可推出 an+1 + 4 n +1 = 2 an + 4n ，结合等比数列通项公式即
可求得答案；
n
（2）利用（1）的结果可得 n + 3 an 的表达式，利用等差数列、等比数列的前 n 项和以及错
位相减法，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知数列 an 满足： a1 = 2， an+1 = 2an + 4n - 4，
则 an+1 + 4 n +1 = 2an + 8n = 2 an + 4n
a1 = 2， a1 + 4 1 = 6，故{an + 4n}为首项是 6，公比为 2 的等比数列，
a + 4n = 6 2n-1故 n = 3 2
n
，即 an = 3 2
n - 4n，
a1适合上述结果，故 an = 3 2
n - 4n；
（2）
b = n + 3n a = n + 3 6n设 n n - 4n 3
n
，
S = (1+ 2 +L+ n) + 3(6 + 62 +L+ 6n则 n ) - 4(1 3 + 2 3
2 +L+ n 3n )，
n
设Tn = 4 1 3+ 2 32 +L+ n 3n S n(n +1) 18 (1- 6 )，故 n = + -T ；2 1- 6 n
Tn = 4 3
1 + 8 32 +12 33 + ×××+ 4n 3n ，
3T = 4 32n + 8 3
3 +12 34 + ×××+ 4n 3n+1 ，
作差得到 2Tn = -4 3
1 - 4 32 - 4 33 - ×××- 4 3n + 4n 3n+1，
T -6 (1- 3
n )
故 = + 2n 3n+1 = (2n -1) 3n+1n + 3，1- 3
QS n(n +1) 18 (1- 6
n )
n = + -Tn，2 1- 6
n2S n 18n = + + 6
n - (2n -1) 33 3n+1 -
故 2 2 5 5
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（21-22高三下·青海玉树·阶段练习）已知 Sn 为数列 an 的前n项和，若 an+1 = 2an - 2, S2 =10，
则 an 的通项公式为（ ）
A． an = 3
n - 4 B n． an = 2 + 2 C． an = n
2 + n D． an = 3n
2 -1
【答案】B
an+1 - 2
【分析】先由题设求出 a1，再通过构造得 = 2a - 2 ，由等比数列的通项公式即可求解.n
【详解】令 n =1可得 a2 = 2a1 - 2，又 S2 = a1 + a2 =10，解得 a1 = 4，又
an+1 - 2 = 2an - 4 = 2(an - 2)，
a - 2
则 a1 - 2 = 2
n+1
， = 2a - 2 ，即 an - 2 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，则n
an - 2 = 2 ×2
n-1 a n， n = 2 + 2 .
故选：B.
a
2．（20-21 n高三下·四川成都·期中）已知数列 an 满足 an+1 = ， a2a +1 1 =1，数列 bn 满足n
1
b1 =1，bn - bn-1 = n 2
ìbn +13ü
a ，则数列 í n
的最小值为（ ）．
n
29 22 43
A． B． C．
4 3 2 13
D．
6
【答案】A
an 1 1 1
【分析】由递推公式 an+1 = a =1 - = 2 =12a +1， 1 ，两边取倒数可得：n an+1 a
， a ，利用等n 1
1
差数列的通项公式可得 ，数列{b }满足b1 =1，b b
1
-
a n n n-1
= = 2n -1(n…2)
a ，再利用等差数列
n n
的求和公式可得bn ，利用导数研究函数的单调性即可得出．
an
【详解】解：Qan+1 = a =12a ， 1 ，n +1
1 1
\ = + 2
1 1 1
，即 - = 2 =1an+1 an an+1 a
，
n a
，
1
ì 1 ü
\数列 í 以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
an
1
\ = 1+ 2(n -1) = 2n -1
a ，n
数列{b }满足b1 =1，b
1
n - bn-1 = = 2n -1(n…2)n a ，n
所以bn = (bn - bn-1) + (bn-1 - bn-2 ) + + (b2 - b1) + b1
= (2n -1) + (2n - 3) + + 3 +1
n(2n -1+1)
= = n2 ， (n =12 时也成立），
bn +13 n
2 +13 13
所以 = = n + ，
n n n
f (x) x 13令 = + ， x [1, + )x ，
2
f (x) 1 13 x -13= - 2 =x x2
，
可得：函数 f (x) 在 é 1, 13 上单调递减；在 é 13, + 上单调递增．
f 3 3 13 1 13 1而 = + = 7 + ， f 4 = 4 + = 7 +3 3 4 4 ，
ìb\ í n
+13ü 29
数列 的最小值为 ．
n 4
故选：A ．
二、多选题
3．（2023·江苏淮安·模拟预测）设 a，b R ，数列 an 满足 a1 = a ， a = a2 + b， n N*n+1 n ，
则下列说法不正确的是（ ）
b 1 1A．当 = 时， a10 >10 B．当b = 时， a10 >102 4
C．当b = -2时， a10 >10 D．当b = -4时， a10 >10
【答案】BCD
【分析】A 选项，由b
1
= 2， an+1 = an + b
1
结合基本不等式可得 a2 ， a2 2 n+1
2an，即可判断
BCD a - a = a2选项正误； 选项，注意到 n+1 n n - an + b b
1
，当 = , -2, -4时，方程 x2 - x + b = 0
4
有解，则当 a1 = a 为方程 x2 - x + b = 0的根时，则 an = a ，即可判断选项正误.
1 2 1
【详解】A 选项，当b = 时，因为 a
2 n+1
= an + ，2
a 1所以 2 ，又 an+1 = a
2 1
n + 2a
2
n，当且仅当 a = 取等号.2 2 n 2
a 1 a ( 2)7 ( 2)7 = 4 2 a > a2故 9 2 ， 10 9 32 >10 .故 A 正确.2
1 1
B 2选项，当b = 时， an+1 - a4 n
= (an - ) ，2
故a
1
1 = a = 时， a
1
n 为常数列，且 a10 = ，所以 a10 >10不成立.故 B 错误；2 2
C 选项，当b = -2时， an+1 - an = an - 2 an +1 ，
故 a1 = a = 2或 a1 = a = -1时， an 为常数列，且 a10 = 2或 a10 = -1，所以 a10 >10不成立.故 C
错误；
1+ 17 a a a a 1- 17

D 选项，当b = -4时， n+1 - n = n - ÷÷ n -2 2 ÷÷
，
è è
a a 1+ 17 a a 1- 17故 a1 = = 或 1 = = 时， n
1+ 17 1- 17
为常数列，且 a = 或 a = ，
2 2 10 2 10 2
所以 a10 >10不成立.故 D 错误；
故选：BCD
4．（2024·安徽安庆·二模）满足 a1 = 2， a2 =1， an+2 = a
*
n+1 + an n N 的数列 an 称为卢卡
斯数列，则（ ）
A．存在非零实数 t，使得 an+1 + tan n N* 为等差数列
B．存在非零实数 t，使得 an+1 + tan n N* 为等比数列
C．3a *n+2 = an+4 + an n N
2024
D． -1 iai = a2023 - 3
i=1
【答案】BCD
【分析】对 A、B：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对 C：借助 an+2 = an+1 + an 代
D a = a + a n N* -1 n+2 a = - -1 n+1入即可得；对 ：由 n+2 n+1 n ，得到 n+2 an+1 + -1 n an ，从而
2024
将 -1 i ai 展开后借助该式裂项相消即可得.
i=1
*
【详解】对 A：若数列 an+1 + tan n N 为等差数列，则有 an+2 + tan+1 - an+1 - tan = d ，
即 an+2 = 1- t an+1 + tan + d ，由 an+2 = an+1 + an n N* ，
ì1- t =1
故有 an+1 + an = 1- t an+1 + tan + d

恒成立，即有 ít =1 ，无解，

d = 0
故不存在这样的实数 t ，故 A 错误；
* an+2 + tan+1
对 B：若数列 an+1 + tan n N 为等比数列，则有 = qa ，n+1 + tan
即 an+2 = q - t an+1 + qtan ，由 an+2 = an+1 + an n N* ，
ìq - t =1故有 an+1 + an = q - t an+1 + qtan 恒成立，即有 íqt 1 ， =
t 2 t -1± 5即 + -1 = 0 ，解得 t = ，此时 a2 + ta1 =1-1± 5 = ± 5 0 ，2
故存在非零实数 t，使得 an+1 + tan n N* 为等比数列，故 B 正确；
对 C：由 an+2 = an+1 + an n N* ，
则 an+4 + an = an+3 + an+2 + an = an+2 + an+1 + an+2 + an = 3an+2 ，
*
即有3an+2 = an+4 + an n N ，故 C 正确；
对 D：由 an+2 = an+1 + an n N* ，
-1 n+2 a = -1 n+2故 n+2 an+1 + -1
n+2 a = - -1 n+1n an+1 + -1
n an ，
2024
-1 i a = -1 a + -1 2 a + -1 3 a 2024故 i 1 2 3L+ -1 a2024 =
i=1
-1 2 + -1 2 1+ é - -1
2 a2 + -1 a ù é1 + - -1
3 a3 + -1
2 a ù2 +
é
- -1
4 a4 + -1
3 a ù3 +L+
é
- -1
2023 a + -1 2022 a ù2023 2022
= -2 +1+ é -1 a - -1 2023 ù 1 a2023 = a2023 - 3，故 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由 an+2 = an+1 + an n N* ，得到
2024
n+2 n+1 n -1 i-1 an+2 = - -1 an+1 + -1 an ，从而将 ai 展开后可借助该式裂项相消.
i=1
三、填空题
5．（2023·上海·模拟预测）数列 an *满足 an+1 = 2an an 0, n N ，且 a2与 a4的等差中项是
5，则 a1 + a2 + ×× × + an = ；
【答案】 2n -1
【分析】根据定义得到 an 为等比数列，公比为 2，由 a2与 a4的等差中项是 5 列出方程，求
出首项，从而利用等比数列的求和公式计算出答案.
【详解】 an+1 = 2an an 0, n N* ，则 an 为等比数列，公比为 2，
3
又 a2 + a4 = 2a1 + 2 × a1 =10a1 =10，解得： a1 =1，
1- 2n
所以 a + a n1 2 + × × × + an = = 2 -1．1- 2
故答案为： 2n -1
6．（2023·浙江·二模）已知等比数列 a 满足 a q =n n+1 = 4 an - an-1 ，则公比 .
【答案】2
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由 an+1 = 4 an - an-1 = 4an - 4an-1，
等式两边同时除以 an-1，得 q2 = 4q - 4，
解得 q = 2 .
故答案为：2.
7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1， a
a
n+1 =
n (n N*) a =
3- a ，则 n ．n
2 (n N*【答案】 n-1 )3 +1
1 1
【分析】由题意，根据取倒数法构造{ - }a 2 为等比数列，结合等比数列的通项公式计算即n
可求解.
a an 1 3- an 3【详解】由 n+1 = 3 - a 得：
= = -1
n an+1 an a
，
n
1 1 1 1 1 1
即 - = 3 - ÷，故数列{ - }a 2 为等比数列，an+1 2 è an 2 n
1 1 1 1
- = - 3n-1 1 n-1则
a 2 a 2 ÷
= ×3 ，
n è 1 2
1 1 3n-1 1 3
n-1 +1
所以 = × + =
2 *
，得 a
a 2 2 2 n
=
3n-1
(n N )．
n +1
2 *
故答案为： n-1 (n N ) .3 +1
四、解答题
8．（23-24 n高二上·广东深圳·期末）已知数列 an 满足 an+1 = 2an + 6 ×2 , a1 = 4 .
ìan ü(1)证明数列 í n 为等差数列，并求 a 2 n
；

(2)求数列 an 的前 n项和 Sn .
【答案】(1)证明见解析， an = 3n -1 × 2n
(2) Sn = 3n - 4 ×2n+1 + 8
【分析】（1）根据题意构造等差数列，结合等差数列的概念证明并求解通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为 an+1 = 2a
a a
n + 6 ×2
n
，所以 n+1 n
2n+1
= n + 3，2
a a
所以 n+1 n
2n+1
- n = 3为定值，2
ìa ü a
所以 í n2n 是首项为
1 = 2，公差为 3 的等差数列，
2
a
所以 nn = 2 + 3 n -1 = 3n -1，所以 an = 3n -1 × 2
n
2
（2）由（1）知， an = 3n -1 × 2n ，
所以 Sn = 2 2 + 5 2
2 +L+ 3n -1 ×2n ，
所以 2Sn = 0 + 2 2
2 +L+ 3n - 4 ×2n + 3n -1 × 2n+1，
所以-Sn = 4 + 3 22 +L+ 2n - 3n -1 × 2n+1
4 3 4 - 2
n+1
= + - 3n -1 ×2n+1 = - 3n - 4 × 2n+1 -8，
1- 2
所以 Sn = 3n - 4 × 2n+1 + 8
1 a a9 2024· · {a } a = = n．（ 四川绵阳 模拟预测）已知数列 n 中， 1 ，
*
3 n+1 2
(n N )
- a .n
1
(1)证明：{ -1}a 是等比数列；n
{ 1(2)求数列 }a 的前
n项和.
n
【答案】(1)证明见解析
(2) 2n+1 - 2 + n
1
-1
an+1 1
【分析】（1）由条件推导 1 = 2 (n N
*)，即证明{ -1}a 是公比为 2 的等比数列；-1 n
an
1 1 1
（2）由（1）可得{ -1}的通项公式，从而求出 = 2n +1a a ，由分组求和即可求出数列
{ }
n n an
的前 n项和.
1 an
【详解】（1）因为数列{an}中， a1 = ， an+1 = 2 a (n N
*)
- ，3 n
1 1 2 - a- n -1 2 - 2
an+1 a a 1
所以 1 =
n = n = 2，且 -1 = 3-1 = 2
1 1 1
，
- -1 -1 a1
an an an
{ 1所以 -1}a 是等比数列，公比为 2，首项为 2n
1
（2）由(1)可得 -1 = 2 ×2n-1 = 2n
1 n
，即 = 2 +1a ，n an
1 2 1- 2n
所以数列{ }的前 n项和 S 2 3 n n+1a n = (2 + 2 + 2 +L+ 2 ) + n = + n = 2 - 2 + nn 1- 2
4 a 4a10 n．（2022·全国·模拟预测）已知数列 an 的首项为 a = ，且满足 n+1 = (n N*)1 7 3an +1
.
ì 1 ü
(1)求证：数列 í -1 为等比数列；
an

(2)设bn = n
1
-1÷，求数列 bn a 的前 n项和Tn .è n
【答案】(1)证明见解析
T 4 3n + 4(2) n = -3 3 × 4n
4an 1 1 1
【分析】（1）先求等式 an+1 = -1 = -13an +1
的倒数形式，再配凑为 ，用定义判断
an+1 4

è a
÷
n
ì 1 ü
数列 í -1a
为等比数列即可；
n
（2）先求得 an 和 bn 的通项公式，用错位相减法求数列 bn 的前 n项和Tn 即可.
a 4a1 = n
1 3an +1 3 1
【详解】（ ）由 n+1 3a +1，取倒数得：
= = +
n an+1 4an 4 4a
，
n
1 1 1 1 1
1
所以 - = - = -1an+1 4an 4 4
÷，
è an
a 4 1 3又 1 = ,\ -1 =7 a1 4
，
ì 1 ü
-1 3 1所以数列 í 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
an 4 4
1 3 1 n-1 3
（2）由（1）知， -1 = × ÷ = ，an 4 è 4 4
n

b n 1
3n
所以 n = -1a ÷
= n ，
è n 4
T 3 6 9
3 n -1 3n
n = 1 + 2 + 3 +L+ n-1 + n ，①4 4 4 4 4
1 T 3 6 9
3 n -1L 3n= + + + +
4 n 42 43 44 4n
+ n ②4 +1
，
- 3 T 3 3 3 3 3n 3n + 4① ②得： n = 1 + 2 + 3 +L+ -4 4 4 4 4n 4n+1
=1-
4n+1
，
T 4 1 3n + 4 4 3n + 4n = -3 è 4n+1 ÷
= - n
所以 3 3 × 4培优点 07 数列中的构造问题（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的
数列求数列的通项公式．
【核心题型】
题型一　形如 an＋1＝pan＋f(n)型
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q 引入参数 c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数 x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an
an＋1＝pa ＋qnn 两边同除以 qn＋1，构造新的数列{qn }
命题点 1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)
1 1 1 2 3
【例题 1】（2024·河南·模拟预测）已知数列 an 满足 = × + a =a 3 a 3 ，且 a2 = ，则4 1011n+1 n
（ ）
1011 1011 1010 1010
A 1 3 3 1 ． 3 ÷
B．
è 1+ 31011
C．
1+ 31010
D． ÷
è 3
【变式 1】（2024·天津河西·三模）若数列 an 满足 an+1 = 2an -1，则称 an 为“对奇数列”．已
知正项数列 bn +1 为“对奇数列”，且b1 = 2，则b2024 =（ ）
A． 2 32023 B． 22023 C． 22024 D． 22025
【变式 2】（2022·广西柳州·三模）已知数列 an 的首项 a1 =1，其前 n项和为 Sn ，若
Sn+1 = 2Sn +1，则 a5 = .
【变式 3】（23-24 高三·山东青岛·期末）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = 2，
an+1 = Sn + 2 ．
(1)求数列 an 的通项公式 ;
1
(2)设bn = blog a log a ，记数列 n
3
× 的前
n项和为Tn ，证明Tn < ．
2 n 2 n+2 4
命题点 2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
【例题 2】（2023·河南郑州·模拟预测）在数列 an 中， a1 =1, a2 = 9, an+2 = 3an+1 - 2an -10，则
an 的前 n项和 Sn 的最大值为（ ）
A．64 B．53 C．42 D．25
【变式 1】（20-21 高三上·天津滨海新·期中）已知数列 an 满足 a1 = 0， an+1 = an + 2n -1，则
数列 an 的一个通项公式为（ ）
A． an = n -1 B． an = (n -1)
2 C． an = (n -1)
3 D． a = (n -1)4n
【变式 2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 =1, an + an+1 = 2n +1,
则 S19 = .
*
【变式 3】（2024·湖南邵阳·一模）已知数列 an 的首项为 2, an + an+1 = 2n +1 n N ，则
a10 = .
命题点 3　an＋1＝pa ＋qnn (p≠0,1，q≠0,1)
【例题 3】（2022· · n+1河南 模拟预测）在数列 an 中，若 a1 = 2， an+1 = 3an + 2 ，则 an =（ ）
5 1
A． n ×2n B． -
2 2n
C． 2 ×3n - 2n+1 D． 4 ×3n-1 - 2n+1
a
【变式 1】（2024· n n+2 2024湖南永州·三模）已知非零数列 an 满足 2 an+1 - 2 an = 0，则 =a2021
（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
n
【变式2】（2024·四川南充·二模）已知数列 an ，满足 a1 =1，且 anan+1 = 2 ，则 a7 + a8 = .
【变式 3】（23-24 高三上· n湖南娄底·期末）已知数列 an 满足 a2 = 2,an × an+1 = 2 ,则 a10 的值
为 .
题型二　相邻项的差为特殊数列(形如 an＋1＝pan＋qan－1)
　可以化为 an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中 x1，x2 是方程 x2－px－q＝0 的两个根，若 1 是
方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若 1 不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消
元的方法求数列{an}
【例题 4】（22-23 高三上·湖北·阶段练习）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和，且 a1 = a2 =1，
an = 2an-1 + 3an-2（ n 3），则下列结论正确的是（ ）
A．数列 an - an+1 为等比数列 B．数列 an+1 + 2an 为等比数列
1 n-1 n-1
C． S40 = 320 -1 D 3 + -1．4 a

n = 2
【变式 1】（2024·山西晋中·模拟预测）若数列 an 满足 a1 =1， a2 = 4 ，且对任意的
n N* 1 1 1 1n 2 都有 an+1 - 2an + an-1 = 2，则 + + +L+ =a2 -1 a3 -1 a
（ ）
4 -1 a2024 -1
3 1 1 1- + 1012A．
4 2 ÷
B．
è 2023 2024 2024
3 1 1 1- + 1012C．
4 2 2024 2025 ÷
D．
è 2025
【变式 2】（2024 高三·全国·专题练习）已知数列
an ,a1 =1,a2 = 2,a *n+1 - 5an + 4an-1 = 0 n N ,n 2 ，则 an 的通项公式为 .
【变式 3】（23-24 高三上·四川·阶段练习）在数列 an 中， a1 =1， a2 = 2， an+1 = 3an - 2an-1
(n 2,n N*) .设bn = an+1 - an .
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
a
(2) c = n+1设 n c(1+ b ) × (2n +1) ，记数列 n 的前 n 项和Tn ，求证：Tn <1.n
pan
题型三　倒数为特殊数列(形如 an＋1＝ 型ran＋s )
1 s 1 r 1
　两边同时取倒数转化为 ＝ · ＋ 的形式，化归为 bn＋1＝pbn＋q 型，求出 的表达式，an＋1 p an p an
再求 an．
an *
【例题 5】（2022·浙江·模拟预测）数列 an 满足 an+1 = n N1 2a ， a1 =1+ ，则下列结论n
错误的是（ ）
2 1 1 ì 1 üa A． = + 2 na10 a a
B． í 是等比数列
3 17
C． 2n -1 an =1 D．3a5a17 = a49
【变式 1】（23-24 高三上·山东青岛·期末）设数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知
a 1 ,a 2a= n1 2 n+1
= ，若 S2024 (k -1,k)a +1 ，则正整数 k 的值为（ ）n
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
3 3a 3n
【变式 2】（2021· n全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = ， an+1 = a + 3 ，若 cn = ，则2 n an
c1 + c2 + ×××+ cn = .
4 8an
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的首项 a1 = ，且满足 a3 n+1
=
an + 4
，
b 2 1n = -a .n 2
(1)求证：数列 bn 是等比数列；
n
(2)记 cn = + n，求数列 cn 的前 nb 项和 Sn .n
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022 高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列{an}满足 an+1 - 2n = an + 2n(n N*) ，
a p
且 a n1 > 0．若当且仅当 n = 3时， 取得最小值，且 sin( a ) = 02 1 ，则符合条件的实数 an 1
组成的
集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
a 1
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 a nn 满足 a1 =1， an+1 = a + 2 ，记bn = +1n a
，若存在
n
* log b +log b =6 8m + 6m， n N ，使得 2 m 2 n ，则 的最小值为（ ）mn
8 10 11 14
A． B． C． D．
3 3 4 5
3．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = -1， an+1 + an = 2n +1，
若 Sn+1 + Sn = 2399，则 n =（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
4．（23-24 高三上·河北·阶段练习）在数列 an 中， a =1 a 21 ， n+1 = an - 3an + t ，且 an 2 ，则
实数 t 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． 4 2 D．6
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，满足a1 =1,an+1 =2an +n，则下列
判断正确的是（ ）
A． S3 =11 B． a4 =19 C． S8 = 721 D． a9 = 758
6．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列
a
an 满足 a1 =1 n *，且 an+1 = a2 ,n N+1 ，则下列说法正n
确的是（ ）
A．数列 an 为递减数列 B． 0 < an 1
1 1 1 1
C． a10 , ÷ D． < a <
è 8 7 11 50 10
三、填空题
5 1 1
7．（2022·湖南益阳·一模）已知数列 an 中， a1 =1， an+1 = -2 a ，若bn = a - 2 ，则数列 bn n n
的前 n项和 Sn = .
8 2023· · a a = 3a + 3n+1．（ 陕西汉中 一模）已知数列 n 满足： n+1 n ，若 a1 = 3，则 an 的通项公
式为 .
3 a
9．（23-24 高三下· · n湖北 阶段练习）已知数列 an 中， a1 = ， a *5 n+1
=
2a +1， n N ，则n
anan+1 的前 n项和 Sn = ．
四、解答题
10．（2024·陕西西安·二模）已知数列 an 的前 n项为 Sn ， an = 2n +1，数列 bn 为等比数列，
且 a2 + b2 = 9， S10 + b3 =128 .
(1)求数列 bn 的通项公式；
(2)设 cn = an ×bn，求数列 cn 的前 n项和M n .
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 2， an+1 = 2an + n．
(1)求证 an + n +1 是等比数列，并求 an 的通项公式；
1
(2)设 cn = c + c +L+ c <1an + n
，求证： 1 2 n ．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·四川泸州·三模）已知数列 an 满足 an+1 = 2an + 2， a1 =1，则此数列的通项公式为
（ ）
1,n =1 ì1,n =1
A． a
ì
n = í n-1 B a =
3 2 ,n 2
． n í n
3 ,n 2
C a = 3 2n-1 - 2 D a = 3n． n ． n - 2
2
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 an 各项均为正数， a1 = 3，且有 an+1 = 3- a ，则 an =n
（ ）
1 3 1 1
A． n B． n C．4-2 -1 2 -1 2n
D． + 2
-1 2n -1
3．（2023·云南红河·一模）已知数列 an 满足： a1 = 9, an+1 - an = 2n ，则 a4 =（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
2
4．（2021·四川绵阳·模拟预测）设数列 an 满足 a1 = 3, a
4n + 8n + 5
n+1 = 3an - 4n ，若bn = ，anan+1
且数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，则 Sn = （ ）
n 1 2- 4 2n 1 2A． ÷ B． + n
1+ C． D． n
1+
è 6n + 9 3 6n + 9 è 6n + 9 ÷ ÷ è 6n + 9
a a5 n．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列 an 满足 n+1 = a 0 a -12an + 3
（ n 且 n ），
a2023 +1 a2022 +1
则 a 与 a 的比值为（ ）2023 2022
1
A 1． B． C．2 D．3
3 2
a
6．（2024·广东茂名·一模）数列 an 满足 a1 = 8 a = n， （ n N*n+1 na +1 ），n
1 1 nb n = + l ÷ × ÷ ，若数列 bn 是递减数列，则实数l 的取值范围是（ ）
è an è 2
8- , 7+ - , + 8 7A． ÷ B． ÷ C． ,+ ÷ D． ,+

7 8 7 8 ÷è è è è
a + 2
7．（2023· n四川·模拟预测）在数列 an 中，"n N* ， an+1 = 2 < a2a +1，且 1 < 3，则下列结n
论成立的是（ ）
A． a2022 < a2020 B． a2020 + a2022 > a2021 + a2023
C． a2022 + a2023 < 2a2021 D． a2023 > a2021
3
8．（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列 an 的首项 a1 = ，且 a
3a
= n
5 n+1 2a +1
，
n
1 1 1
+ + × × × + < 2025
a a a ，则满足条件的最大整数
n =（ ）
1 2 n
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
二、多选题
a
9．（21-22 n高三上·山东聊城·期末）已知数列 an 满足 a1 =1, an+1 = 2 + 3a ，则下列结论正确n
的有（　　）
ì 1 ü
A． í + 3 为等比数列
an
B． an 1的通项公式为 an = 2 n +1 - 3
C． an 为递增数列
ì 1 ü
D í n+2． 的前 n 项和Tn = 2 -3n-4
an
10．（2023·重庆·模拟预测）已知数列 an 满足 a = a2n+1 n - 3an + 4 ， a = 4， n N*1 ，则下列结
论正确的有（ ）．
A n-1．数列 an 是递增数列 B． an 4 ×2
n
1 1 1
n
C． + = log a - 2 2n -1
i=1 ai -1 a
D． 2 i
n+1 - 2 2 i=1
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 an+1 = a2n - 2an + 2，则下列说法正确的是
（ ）
1 5
A．当 a1 = 时，1 < an n 2 B．若数列 a2 4 n 为常数列，则
an = 2
n-1
C．若数列 an 为递增数列，则 a1 > 2 D．当 a1 = 3时， a 2n = 2 +1
三、填空题
12．（2020 高三·上海·专题练习）已知数列 an 满足 an+1=3an + 4, a1 = 1，则 an = .
13．（2023·四川乐山·三模）已知数列 an 满足 an+1 = 2an + 2， a1 =1，则 an = ．
14．（2023·全国·模拟预测）数列 an 满足 an+1 + 4an-1 = 4an (n 2) ， a1 =1, a2 = 3，则 log2 a63
的值为 ．
四、解答题
15．（23-24 n高三上·云南楚雄·期末）已知数列 an 满足 a1 = 2， an+1 = an + 2 + 2n -1 .
(1)求 a2，a3；
(2)求 an ，并判断 an - (n -1)2 是否为等比数列.
16．（23-24 高三下·山东·开学考试）已知数列 an 满足 a1 =1, an+1 = an + 2n．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) b = (-1)nn an + n -1 ，求数列 bn 的前 2n项和 S2n ．
17．（2024·陕西宝鸡·一模）已知数列 an ，若 a1 =1，且 an+1 = 2an +1 .
(1)求证： an +1 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；
n a +1 ì 1 ü 1 3
(2) 若b nn = n ，且数列 í 的前项和为 Sn ，求证： S < .2 bnbn+2 3 n 4
18．（2024·山西临汾·一模）已知数列 an 的首项 a1 =1，且满足an+1 = 2an + n -1，等比数列 bn
b 1= 2的首项 1 ，且满足b2 2n
= bn .
(1)求证：数列 an + n 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 anbn 的前 n项和 Sn
19．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列 an 满足： a1 = 2， an+1 = 2an + 4n - 4．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) n求数列 n + 3 an 的前 n 项和 Sn ．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（21-22高三下·青海玉树·阶段练习）已知 Sn 为数列 an 的前n项和，若 an+1 = 2an - 2, S2 =10，
则 an 的通项公式为（ ）
A n． an = 3 - 4 B． a
n
n = 2 + 2 C a
2 2
． n = n + n D． an = 3n -1
a
2．（20-21 高三下· n四川成都·期中）已知数列 an 满足 an+1 = a =12a +1， 1 ，数列 bn 满足n
1
b b +131 =1，bn - bn-1 = n 2
ì n ü
a ，则数列 í 的最小值为（n ）．n
29 22 43
A． B． C．
4 3 2 13
D．
6
二、多选题
3．（2023· 2江苏淮安·模拟预测）设 a，b R ，数列 an 满足 a *1 = a ， an+1 = an + b， n N ，
则下列说法不正确的是（ ）
1
A．当b = 时， a >10 b
1
2 10
B．当 = 时， a >10
4 10
C．当b = -2时， a10 >10 D．当b = -4时， a10 >10
4 *．（2024·安徽安庆·二模）满足 a1 = 2， a2 =1， an+2 = an+1 + an n N 的数列 an 称为卢卡
斯数列，则（ ）
A．存在非零实数 t，使得 an+1 + tan n N* 为等差数列
B．存在非零实数 t，使得 an+1 + tan n N* 为等比数列
C．3an+2 = a
*
n+4 + an n N
2024
i
D． -1 ai = a2023 - 3
i=1
三、填空题
5．（2023· *上海·模拟预测）数列 an 满足 an+1 = 2an an 0, n N ，且 a2与 a4的等差中项是
5，则 a1 + a2 + ×× × + an = ；
6．（2023·浙江·二模）已知等比数列 an 满足 an+1 = 4 an - a ，则公比 q =n-1 .
a
7．（2023·云南昆明· n
*
模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1， an+1 = (n N )，则 a =3- a n ．n
四、解答题
8．（23-24 高二上· n广东深圳·期末）已知数列 an 满足 an+1 = 2an + 6 ×2 , a1 = 4 .
ìa ü
(1)证明数列 í n
2n
为等差数列，并求 an ；

(2)求数列 an 的前 n项和 Sn .
1 a
9 n．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列{an}中， a *1 = ， an+1 = 2 a (n N ) .3 - n
1
(1)证明：{ -1}a 是等比数列；n
1
(2)求数列{ }a 的前
n项和.
n
4a
10．（2022·全国·模拟预测）已知数列 an 的首项为 a
4 n
1 = ，且满足 a = (n N*) .7 n+1 3an +1
ì 1 ü
(1)求证：数列 í -1 为等比数列；
an
1
(2)设bn = n -1a ÷，求数列
bn 的前 n项和Tn .
è n

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