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易错 01 集合与常用逻辑用语（3 个易错点错因分析与分类讲
解+10 个易错核心题型强化训练）
易错点错因分析与分类讲解
易错点 1 忽视对空集的讨论而致误
【例 1】. [ 2湖南师大附中 2023 第三次月考]已知集合 A = x -1 < x 4 ， B = x x - 2a x - a -1 .
若 AI B = ，则实数 a 的取值范围为（）
A. a a > 2 B. a a 2 C. a a =1或a 2 D. a a 1
特别提醒：当两集合的交集为空集时，需考虑其中含参数的集合是否为空集，本题求解的易错之处在于忽
2
略 a +1 = 2a ，即 B = 的情况.
2
【解析】因为 a +1 > 2a ，当 a =1 a2时， +1 = 2a ，则 B = ，满足 AI B = ；当 a 1时，
2a 4,
a2 +1 > 2a B = x 2a < x < a2 ì，则 +1 ，因为 AI B = 2， a +1 1，所以 í 解得 a 2a 1, .
综上，实数 a 的取值范围为 a a =1或a 2 .故选C .
【变式】.[江西景德镇乐平中学 2022月考]设集合M = x -3 < x < 7 ,
N = x 2 - t < x < 2t +1, t R .若 M U N = M ， 实数 t 的取值范围为（ ）
A. 3, + B. - ,3 C. - ,3 D. 3,+
特别提醒：要求解的含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集时，应考虑所求集合为空集的特殊情况，
因此本题求解的易错之处在于忽略 N = 的情况.
【 解 析 】 由 M UU = M 得 N M . 因 为 集 合 M = x -3 < x < 7 ，
1
N = x 2 - t < x < 2t +1, t R .当 N = 时，有 2 - t 2t +1, ，解得 t 3 ；当 N = 时，有
ì2t +1 > 2 - t,

í 2t +1 7,
1
，解得 < t 3.综上，实数 t 的取值范围为 - ,3 .故选C .
2 t 3 - -3,
易错点 2 忽略集合中元素的互异性而致误
ì b ü 2022 2022
【例 2】. [湖南邵阳二中 2023 第五次月考]已知 a,b R ，若 ía, ,1 = a2 ,a + b,0 ，则 a + b
a
的值为（）
A. -1 B. 0 C. 1 D. ±1
特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的
互异性.本题的易错之处是忽略检验当 a =1时是否满足集合中元素的互异性.
ì b ü b
【解析】由集合相等可知 0 ía, ,1 且 a 0，则 = 0 ，所以 b = 0 2，所以 a =1解得 a =1或
a a
a = -1. 根 据 集 合 中 元 素 的 互 异 性 可 知 a =1应 舍 去 ， 因 此 a = -1， 所 以
a2022 + b2022 2022= -1 + 02022 =1.故选C .
ì b ü 2
【变式】 . [福建龙岩一中 2022 月考 ]已知 a R,b R ,若集合 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，则
a
a2021 + b2021 （）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的
互异性，本题的易错之处是忽视检验 a =1时是否满足集合中元素的互异性.
ì b
= 0
ì b ü a ìb = 0, ì b = 02
【解析】因为 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，所以 ía = a + b，解得 或 ，当 a =1时，不满
a
í
2 a =1
í
a =1
a = -1


足集合中元素的互异性，故 a = -1,b = 0 2021，即 a + b2021 = -1 2021 + 02021 = -1.故选 B
易错点 3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误
【 例 3 】 . [ 河 南 驻 马 店 二 中 2023 第 二 次 培 优 考 ] 已 知 p : x - x -12 0，
q : x + m éx - 1+ 2m ù 0 m > 0 .若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .
特别提醒：根据充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件求参数，可参考如下结论：
（1）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 对应的集合是 p 对应的集合的真子集；
（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 对应的集合是 q 对应的集合的真子集；
（3）若 p 是 q 的充要条件，则 p 对应的集合与 q 对应的集合相等.
此题易错之处在于误认为 B = -m, 2m +1 m > 0 是 A = -3,4 的真子集.
x2【解析】由不等式 - x -12 0，解得-3 x 4 ，设 p 对应的集合为 A ，则 A = -3,4 .由不等
式 x + m éx - 1+ 2m ù 0 m > 0 ，解得 -m x 2m +1 m > 0 ，设 q 对应的集合为 B ，则
p q ì -m -3,B -m, 2m +1 m > 0 .因为 是 的充分不必要条件，所以 A 是 B的真子集，则 í （不同
2m +1 4
时取等号），解得m 3,，所以实数 m 的取值范围是 3, + .
2
【变式】. [湖南名校 2022第二次联考]已知“ a x a +1”是“-2 x 5 ”的充分不必要条件，则
实数的取值范围是（）
A. -2,+ B. -2,2 C. -2,2 D. -2,2
特别提醒：根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数，可参考如下结论，（1）若 p 是 q 的必要不充
分条件，则 q 对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 对应集合是 q 对应集合的真子集；
（3）若 p 是 q 的充要条件，则 p 对应集合与 q 对应集合相等
2
此题易错之处在于若“ a x a +1”是“ -2 x 5 ”的充分不必要条件，误认为 B A .
【解析】设 A = x a x a2 +1 , B = x -2 x 5 .若“ a x a2 +1”是“ -2 x 5 ”的
ì a -2
充分不必要条件，则 A B ，则 ía2 1 5 ，等号不同时成立，解得-2 < a 2，故选C +
【易错核心题型强化训练】
一．元素与集合关系的判断（共 1 小题）
1．（2024 泸县校级开学）设集合 A = {(x1， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ) | xi {-1，0，1}， i = 1，2，3，4，5}，那么
集合 A中满足条件1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3的元素的个数为 (　　 )
A．60 B．100 C．120 D．130
【分析】从条件“1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3”入手，讨论 xi 所有取值的可能性，分别为 5 个数值中
有 2 个是 0，3 个是 0 和 4 个是 0 三种情况
【解答】解：由于 | xi |只能取 0 或 1，且“1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3”，
因此 5 个数值中有 2 个是 0，3 个是 0 和 4 个是 0 三种情况：
① xi 中有 2 个取值为 0，另外 3 个从 -1，1 中取，共有方法数：C
2
5 2
3 = 80 ；
② xi 中有 3 个取值为 0，另外 2 个从 -1，1 中取，共有方法数：C
3
5 2
2 = 40；
③ xi 中有 4 个取值为 0，另外 1 个从 -1，1 中取，共有方法数：C
4 215 = 10．
\总共方法数是80 + 40 +10 = 130 ． 即元素个数为 130．
故选： D ．
【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能
力，属于中档题．
二．集合的确定性、互异性、无序性（共 1 小题）
2．（2024 扬中市校级开学）设集合 A = {2，1- a ， a2 - a + 2}，若 4 A，则 a = (　　 )
A． -3或 -1或 2 B． -3或 -1 C． -3或 2 D． -1或 2
【分析】分别由1- a = 4， a2 - a + 2 = 4，求出 a的值，代入观察即可．
【解答】解：若1- a = 4，则 a = -3 ，
\a2 - a + 2 = 14 ，
\ A = {2 ，4，14}；
若 a2 - a + 2 = 4，则 a = 2或 a = -1，
a = 2时，1- a = -1，
\ A = {2 ， -1， 4}；
a = -1时，1- a = 2（舍 )，
故选：C ．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题．
三．集合的包含关系判断及应用（共 1 小题）
x x P
3．（2024 ì 浦东新区校级模拟）函数 f (x) = í ，其中 P 、 M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定
-x x M
f (P) = {y | y = f (x) ， x P}， f (M ) = {y | y = f (x)， x M}．给出下列四个判断，其中正确判断有 (　　 )
①若 PIM = ，则 f (P)I f (M ) = ；
②若 PIM ，则 f (P)I f (M ) ；
③若 PUM = R ，则 f (P)U f (M ) = R ；
④若 PUM R ，则 f (P)U f (M ) R ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数 y = x 与 y = -x 图象来研究，分析可得答案．
【解答】解：由题意知函数 f (P) 、 f (M )的图象如图所示，
设 P = [x2 ， + ) ， M = (- ， x1]，
Q| x2 |<| x1 | ， f (P) = [ f (x2 ) ， + ) ，
f (M ) = [ f (x1) ， + ) ，则 PIM = ．
而 f (P)I f (M ) = [ f (x1) ， + ) ，故①错误．
对于②，若 P = (2， 4)M = (3， 4) ，则 f (P) = (2 ， 4) ， f (M ) = (-4， -3) ，
则 f (P)I f (M ) = ，故②错误．
设 P = [x1， + ) ， M = (- ， x2 ]，
Q| x2 |<| x1 | ，则 PUM = R ．
f (P) = [ f (x1) ， + ) ， f (M ) = [ f (x2 ) ， + ) ，
f (P)U f (M ) = [ f (x1) ， + ) R ，故③错误．
④由③的判断知，当 PUM R ，则 f (P)U f (M ) R 是正确的．故④对．
故选： A．
【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉
络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题
常用的一种思路．
四．并集及其运算（共 1 小题）
4．（2024 浙江学业考试）已知集合 A = {0，1， 2}，集合 B = {0，2， 4}，则 AUB = (　　 )
A．{0} B．{2} C．{0 ，2， 4} D．{0 ，1，2， 4}
【分析】根据并集的概念求解即可．
【解答】解：Q集合 A = {0，1， 2}，集合 B = {0，2， 4}，
\ AUB = {0，1，2， 4}．
故选： D ．
【点评】本题主要考查并集的概念，属于基础题
五．交集及其运算（共 4 小题）
5．（2024 沙依巴克区校级模拟）已知集合 A = {x | 2 x 4}， B = {x | -a < x a + 3}，若 AIB = A，则 a取值
范围是 (　　 )
A． a > -2 B． a -1 C． a…1 D． a > 2
ì2 > -a
【分析】条件 AIB = A可转化为 A B ，即可得不等式组 í ，即可解得．
4 a + 3
【解答】解：Q AIB = A，
\ A B ，
ì2 > -a
\ í ，
4 a + 3
解得， a…1，
故选：C ．
【点评】本题考查了集合的运算与集合间关系的转化，同时考查了不等式的解法，属于基础题．
6．（2024 北京学业考试）已知集合 A = {-1，0，1}， B = {1， 2}，则 AIB 等于 (　　 )
A．{-1，0，1} B．{0 ，1} C．{1} D．{1， 2}
【分析】要求 AIB ，即求由所有属于集合 A且属于集合 B 的元素所组成的集合．
【解答】解：Q集合 A = {-1，0，1}， B = {1， 2}，
\ AIB = {1}，
故选：C ．
【点评】本题主要考查集合交集的概念，是简单的基础题．
7．（2024 让胡路区校级开学）设全集U = R ，集合 A = {x | x2 - x - 2 0}， B = {x | lgx > 0}，则 AIB = (　　 )
A．{x | -1 x 2} B．{x |1 < x 2} C．{x |1 < x < 2} D．{x | x… -1}
【分析】分别解一元二次不等式、对数不等式，化简 A， B ，然后求交集．
【解答】解：解 x2 - x - 2 0 得 -1 x 2 ， A = {x | -1 x 2}，
由 lgx > 0得 x > 1，故 B = {x | x > 1}，
所以 AIB = {x |1 < x 2}．
故选： B ．
【点评】本题考查不等式的解法，交集的运算，属于基础题．
8．（2024 平江县校级开学）已知集合 A = {y | y = -2x ， x [2，3]}， B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0}．
（1）当 a = 4时，求 AIB ；
（2）若命题“ x A”是命题“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
【分析】（1）求出集合 A， B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）当 a = 4时， B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0} = {x | x2 + 3x - 28 > 0} = {x | x > 4或 x < -7}．
A = {y | y = -2x ， x [2，3]} = {y | -8 y - 4}，
则 AIB = {x | -8 x < -7}．
（2）若命题“ x A”是命题“ x B ”的充分不必要条件，则 A B ，
B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0} = {x | (x - a)(x + a + 3) > 0}．
对应方程的两个根为 x = a或 x = -a - 3，
①若 a 3 3= -a - 3，即 a = - ，此时 B = {x | x - }，满足 A B ，
2 2
3
②若 a < -a - 3，即 a < - ，此时 B = {x | x > -a - 3或 x < a}}，
2
若满足 A B ，则 a… - 4或 -a - 3 - 8 ，解得 a… - 4或 a…5（舍去），
此时 -4 a 3< - ．
2
③若 a > -a - 3 a 3，即 > - ，此时 B = {x | x > a 或 x < -a - 3}}，
2
若满足 A B ，则 -a - 3… - 4或 a - 8 （舍 ) 3，解得 - < a 1．
2
综上 -4 a 1．
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，注意要进行分类讨论．
六．交、并、补集的混合运算（共 1 小题）
9．（2024 合江县校级开学）设全集U = {1，2，3，4， 5}，集合 A = {1，3， 5}，集合 B = {3， 4}，则
( U A)IB = (　　 )
A．{3} B．{4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
【分析】先解出 A的补集，再求出结果即可
【解答】解：因为全集U = {1，2，3，4，5}，集合 A = {1，3，5}，
所以 U A = {2， 4}，
又因为集合 B = {3， 4}，所以 ( U A)IB = {4}，
故选： B ．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
七．充分条件与必要条件（共 2 小题）
10．（2024 东坡区校级开学）设 x ， y R ，下列说法中错误的是 (　　 )
A．“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必要条件
B．“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0”的必要不充分条件
C．“ x > 1， y > 1”是“ x + y > 2， xy > 1”的充要条件
D．“ x > y ”是“ x2 > y2 ”的既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件，必要条件的概念判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于 A，因为 x2 > 1的解集为 (- ， -1) (1， + ) ，所以“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必
要条件，选项 A正确；
对于 B ，“ xy = 0 ”时，“ x2 + y2 = 0”不一定成立，反之“ x2 + y2 = 0”成立时，“ xy = 0 ”一定成立，所以
“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0”的必要不充分条件，选项 B 正确；
对于C ，“ x > 1， y > 1”时，“ x + y > 2， xy > 1”一定成立，反之“ x + y > 2， xy > 1”成立时， x > 1， y > 1
x 1不一定成立，如 = ， y = 4 ，所以“ x > 1， y > 1”是“ x + y > 2， xy > 1”的充分不必要条件，选项C
2
错误；
对于 D ，当 x = 1， y = -2时，满足“ x > y ”，但不满足“ x2 > y2 ”；当 x = -2 ， y = -1时，满足
“ x2 > y2 ”，但不满足“ x > y ”，所以“ x > y ”是“ x2 > y2 ”的既不充分也不必要条件，选项 D 正确．
故选：C ．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11．（2024 春 顺德区校级月考）设{an}是公差不为 0 的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正
整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的 (　　 )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．
【解答】解：因为数列{an}是公差不为 0 的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差 d > 0 ，
a a a令 n = a1 + (n -1)d > 0，解得 n > 1- 1 ，[1- 1 ]表示取整函数，d d
a
所以存在正整数 N = 1+ [1- 10 ]，当 n > N0 时， an > 0，充分性成立；d
当 n > N0 时， an > 0， an-1 < 0 ，则 d = an - an-1 > 0 ，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．
八．全称量词和全称命题（共 1 小题）
12．（2023 秋 昆明期末）已知"x [0 ， 2]， p > x ； $x0 [0， 2]， q > x0 ．那么 p ， q的取值范围分别为
(　　 )
A． p (0,+ )， q (0,+ ) B． p (0,+ )， q (2,+ )
C． p (2,+ )， q (0,+ ) D． p (2,+ )， q (2,+ )
【分析】根据全称命题与特称命题的定义，分别写出 p ， q的取值范围即可．
【解答】解：由"x [0 ， 2]， p > x ；
得 p > 2 ．
由$x0 [0， 2]， q > x0 ；
得 q > 0．
\ p ， q的取值范围分别为 (2,+ )和 (0,+ )．
故选：C ．
【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，是基础题．
九．存在量词和特称命题（共 1 小题）
13．（2024 1 开福区校级模拟）若命题“ $a < 0， a + > b”是假命题，则实数 b 的取值范围为 　 [-2 ，
a
+ ) 　．
1
【分析】将问题转化命题“"a < 0 ， a + b ”是真命题，求解即可．
a
1
【解答】解：因为命题“$a < 0， a + > b”是假命题，
a
a 0 a 1所以命题“" < ， + b ”是真命题，
a
当 a < 0 时， a 1 ( 1 1+ = - -a + ) - 2 -a × = -2 ，
a -a -a
1
当且仅当 -a = ，即 a = -1时等号成立，
-a
1
所以 (a + )
a max
= -2，
所以b… - 2 ，
所以实数b 的取值范围是[-2 ， + ) ，
故答案为：[-2 ， + ) ．
【点评】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
一十．命题的真假判断与应用（共 9 小题）
14．（2024 红谷滩区校级模拟）已知m ， n表示两条直线，a ， b ， g 表示三个平面，则下列是真命题的
有 (　　 )个．
①若aIg = m， bIg = n，m / /n，则a / /b ；
②若m ， n相交且都在a ， b 外，m / /a ，m / /b ， n / /a ， n / /b ，则a / /b ；
③若m / /a ，m / /b ，则a / /b ；
④m / /a ， n / /b ，m / /n，则a / /b ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于①，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，即可判断；
对于②，可由面面平行的判定定理即可判断；
对于③，可考虑m 和交线平行，即可判断；
对于④，可考虑m 、 n和交线平行，即可判断．
【解答】解：对于①，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，满足条件，但它们不平行，故①
错；
对于②，若m ， n相交且都在a ， b 外，m / /a ，m / /b ， n / /b ， n / /a ，
由面面平行的判定定理可得，设m ， n相交确定的平面为 g ，则有 g / /a ， g / /b ，
则有a / /b ，故②对；
对于③，若m / /a ，m / /b ，则a / /b 或a 、 b 相交，由于m 可和交线平行，故③错；
对于④，若m / /a ， n / /b ，m / /n，则a / /b 或a 、 b 相交，由于m 、 n可和交线平行，故④错．
故选： A．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行的判断和性质，以及面面平行的判断和性质，
考查空间想象能力，以及推理能力，属于基础题和易错题．
15．（2024 春 宝山区校级月考）函数 f (x) = xlnx ，正确的命题是 (　　 )
A．值域为 R B．在 (1,+ )上是增函数
C． f (x) 有两个不同零点 D．过 (1,0) 点的切线有两条
【分析】求出函数 f (x) = xlnx 的定义域和导数，利用导数判断 f (x) 的单调性，求出最值，再判断选项中的
命题是否正确．
【解答】解：函数 f (x) = xlnx ，且 x (0,+ ) ；
则 f (x) = lnx +1，
令 f (x) 1= 0 ，解得 x = ，
e
x (0, 1所以 )时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减；
e
x 1 ( ， + ) 时， f (x) > 0 ， f (x) 单调递增；
e
1 1 1
所以 x = 时， f (x) 取得最小值为 f ( ) = - ，
e e e
f (x) [ 1所以 的值域为 - ， + ) ，因此 A错误；
e
1
又 < 1，所以 f (x) 在 (1,+ )上单调递增，所以 B 正确；
e
x (0, 1又 )时， lnx < 0，所以 f (x) = xlnx < 0，
e
1 1
所以 f (x) 在 (0, ) 内没有零点，在 ( ， + ) 内有 1 个零点，因此C 错误；
e e
又 x = 1时 y = 0 ，所以 (1,0) 是函数 f (x) 图象上的点，
且 x = 1时 k = f （1） = 0 +1 = 1，所以过该点的切线方程为 y = x -1，只有 1 条，因此 D 错误．
故选： B ．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，也考查了导数的应用以及函数的极值，零点问题，是综合题．
ì1 (x A)
16．（2024 春 普陀区校级月考）对于全集 R 的子集 A，定义函数 fA (x) = í 为 A的特征函数．设
0 (x CR A)
A， B 为全集 R 的子集，下列结论中错误的是 (　　 )
A．若 A B ， fA (x) fB (x) B． f A (x) = 1- fA (x)R
C． f I (x) = fA (x) × fB (x) D． f (x) = f (x) + f (x)A B AUB A B
【分析】根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对 A、 B 、C 、 D 各项中的
运算加以验证，进而求解；
1 (x A) 1 (x B)
【解答】解： A :Q A ì ì B ，可得 x A则 x B ，Q fA (x) = í ， fB (x) = í ，而C0 (x C R
A中
R A) 0 (x CR B)
可能有 B 的元素，但CR B中不可能有 A的元素，\ fA (x) fB (x) ，故 A正确；
ì1, x C AB ：因为 f A (x) =
U
í ，综合 fA (x)的表达式，可得 f A = 1- fA (x)，故 B 正确；R 0, x A R
ì 1, x AIB ì 1, x A B ì1, x A ì1, x BC : f I (x) =
I
í I = í U = í × = f (x) × f (x) ，故C 正确；A B 0, x CR (A B) 0, x (CR A) (CR B) 0, x C íR A 0, x CR B A B
ì0, x A B
D : f U (x) =
U
í f (x) + f (x)，故 D 错误；A B
1, x C (AUB) A BU
故选： D ．
【点评】考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；
17．（2024 绥中县校级开学）下列命题中是真命题的有 (　　 )
A．有 A， B ，C 三种个体按3:1: 2的比例分层抽样调查，如果抽取的 A个体数为 9，则样本容量为 30
B．一组数据 1，2，3，3，4，5 的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．某一组样本数据为 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间
[114.5，124.5]内的频率为 0.4
【分析】 A中，由分层抽样原理求出样本容量的值；
B 中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可；
C 中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可；
D 中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可．
9
【解答】解：对于 A，由分层抽样原理知，样本容量为 n = 3 = 18，所以选项 A错误；
3 +1+ 2
对于 B ，数据 1，2，3，3，4 5 x 1， 的平均数为 = (1+ 2 + 3 + 3 + 4 + 5) = 3，
6
众数为 6，中位数也是 3，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项 B 正确；
对于C ，甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5；
1
它的平均数是 x = (5 + 6 + 9 +10 + 5) = 7 ，
5
1
方差为 s2 = [(5 - 7)2 + (6 - 7)2 + (9 - 7)2 + (10 - 7)2 + (5 - 7)2 ] = 4.4 ，
5
这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C 错误；
对于 D ，由题意知样本容量为 10，样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频数是 4，
所以频率为 0.4，选项 D 正确．
故选： BD．
【点评】本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
18．（2024 春 芝罘区校级月考）如图，点 E 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，点 M 在线段 BD1
上运动，则下列结论正确的是 (　　 )
A．直线 AD 与直线C1M 始终是异面直线
B．存在点 M ，使得 B1M ^ AE
C．四面体 EMAC 的体积为定值
D．当 D1M = 2MB 时，平面 EAC ^ 平面 MAC
【分析】当 M 为 BD1 的中点时可知 A错误，证明 BD1 / / 平面 EAC 可知C 正确；建立空间坐标系，利用向量
判断 BD即可．
【解答】解：（1）当 M 为 BD1 的中点时，直线 AD 与直线C1M 是相交直线，交点为 A，故 A错误；
（2）以 D 为原点，以 DA， DC ， DD1 为坐标轴建立空间坐标系 D - xyz ，
设正方体棱长为 1，则 A(1，0， 0) ， E(0 1，0， )， B(1，1， 0) ， D1(0，0，1) ， B1(1，1，1) ，2
uuur uuur uuuur
\ AE = ( 1-1，0， )， B1B = (0，0， -1) ， BD = (-1， -1，1) ．2 1
uuuur uuuur uuuur uuur uuuur
BM = lBD1(0 l 1)，则 B1M = B1B + BM = (-l ， -l ，l -1) ，
uuuur uuur
若 B1M ^ AE ，则 B1M × AE = 0，即l
1 (l 1) 0 l 1+ - = ，解得 = ，
2 3
\当 M 为线段 BD1 的靠近 B 的三等分点时， B1M ^ AE ，故 B 正确；
（3）连接 BD，取 BD的中点O，连接 EO，则O也是 AC 的中点，
由中位线定理可知 BD1 / /EO ，
\ BD1 / / 平面 ACE ，故VE-MAC = VM - ACE = VB- ACE ，故C 正确；
（4）Q AC ^ BD， AC ^ DD1 ， BDIDD1 = D ，
\ AC ^ 平面 BDD1，
\ AC ^ OE ， AC ^ OM ，故 EOM 为二面角 E - AC - M 的平面角，
D M 2BM M (2 2 1当 1 = 时， ， ， ) ，又O(
1 1
， ， 0) ，
3 3 3 2 2
uuuur uuur
\ OM = (1 1 1 1 1 1， ， ) ，OE = (- ， - ， )，
6 6 3 2 2 2
uuur uuuur
\ OE 1 1 1× OM = - - + = 0，\OE ^ MO ，
12 12 6
故平面 EAC ^ 平面 MAC ，故 D 正确．
故选： BCD．
【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．
19．（2024 春 璧山区校级月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中
的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度 c 随时间 t 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物
后，血管中药物浓度随时间 t 变化的关系如图所示．则下列结论正确的是 (　　 )
A．在 t1 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在 t2 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在[t2 ， t3 ]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在[t1 ， t2 ]和[t2 ， t3 ]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的
斜率，
f (t +Vt) - f (t)
平均变化率是 再结合图象，逐一判断项即可．
Vt
【解答】解：选项 A，在 t1 时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项 A正确；
选项 B ，在 t2 时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的 f (t2 ) 不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项 B 错误；
选项C ，由平均变化率公式知，甲、乙两人在
f (t ) - f (t )
[t2 ， t3 ]内，血管中药物浓度的平均变化率均为 3 2 ，即选项C 正确；t3 - t2
D f (t ) - f (t )选项 ，在 [t1 ， t2 ]和 [t2 ， t3 ]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为 2 1 和t2 - t1
f (t3 ) - f (t2 )
t3 - t2
显然不相同，即选项 D 不正确．
故选： AC ．
【点评】本题考查函数的实际应用，判断的关键是理解两个概念：瞬时变化率和平均变化率，考查逻辑推
理能力，属于基础题．
20．（2024 p春 沙坪坝区校级月考）设函数 f (x) = sin(wx - )(w > 0) ，已知 f (x) 在 [0 ，p ]有且仅有 3 个零
6
点，下列结论正确的是 (　　 )
A．在 (0,p ) 上存在 x1 ， x2 ，满足 f (x1) - f (x2 ) = 2
B． f (x) 在 (0,p ) 有且仅有 1 个最小值点
C． f (x) 在 (0, p )单调递增
2
D w [13 ,19． 的取值范围是 ]
6 6
【分析】由题意根据 f (x) 在区间 [0 ，p ]有 3 个零点画出大致图象，可得区间长度p 介于周期 [T + | OA |，
3 T + | OA |)，再用w 表示周期，得w 的范围．
2
【解答】解：画出函数 f (x) = sin(wx p- )大致图象如图所示，
6
当 x = 0 时 y = sin( p ) 1- = - ；
6 2
又w > 0 ，所以 x > 0 时 f (x) 在 y 轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
函数在[0 ，p ]仅有 3 个零点时，则p 的位置在C ~ D 之间（包括C ，不包括 D) ，
令 f (x) = sin(wx p p p 1- ) = 0，则wx - = kp 得， x = ( + kp ) × (k z)，
6 6 6 w
y p 2p轴右侧第一个点横坐标为 ，周期T = ，
6w w
p
所以 + T p p 3< + T ，
6w 6w 2
p 2p p p 3 2p 13 19即 + < + × ，解得 w < ，所以 D 错误；
6w w 6w 2 w 6 6
在区间[0 ，p ]上，函数 f (x) 达到最大值和最小值，
所以存在 x1 ， x2 ，满足 f (x1) - f (x2 ) = 2，所以 A正确；
由大致图象得， f (x) 在 (0,p ) 内有且只有 1 个最小值点， B 正确；
13
因为w 最小值为 ，所以 0 < x p p wx p 11p p p< 时， - < - < (- ， ) ，
6 2 6 6 12 2 2
x (0, p所以 ) 时，函数 f (x) 不单调递增，所以C 错误．
2
故选： AB ．
【点评】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出w 的范围，再判断命题的真假性，是解
题的关键．
21．（2024 春 沙坪坝区校级月考）已知 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，且关于 x 的方程 f (x) = x 无实数根，现有
下列说法，其中说法正确的是 (　　 )
A．若 a > 0，则不等式 f ( f (x) ) > x 对一切 x R 恒成立
B．若 a < 0 ，则必然存在实数 x0 使不等式 f ( f (x0 )) > x0 成立
C．关于 x 的方程 f ( f (x)) = x一定没有实数根
D．若 a + b + c = 0 ，则不等式 f ( f (x) ) < x 对一切 x R 恒成立
【分析】函数 f [ f (x)]为一个复合函数，把 f (x) 看作为一个未知数 t ， t 的范围就是 f (x) 的值域；
由此入手进行判断，能够得到正确答案．
【解答】解：函数 f [ f (x)]为一个复合函数，可以把方括号里的 f (x) 看作为一个未知数 t ， t 的范围就是 f (x)
的值域；
对于 A， f [ f (x)]可以看作 f (t) ，而题中 f (x) = x 无实根，方括号里的 f (x) 看作为一个未知数 t ，
则外层为一个开口向上的 2 次函数，且 f (x) = x 无实根，且 a > 0，
所以不等式 f [ f (x)] > x对一切 x R 都成立， A正确；
对于 B ， a < 0 时，由 f (x) = x 无实根知二次函数 y = f (x) - x 开口向下，且与 x 轴没有交点，
同理，令 t = f (x) ，则二次函数 y = f (t) - t 也开口向下，且与横轴没有交点，
所以不等式 f [ f (x)] < x 对一切 x R 都成立， B 错误；
对于C ， f [ f (x)]看为 f (t) ，而题中 f (x) = x 无实根，所以方程 f [ f (x)] = x无实根，所以C 正确；
对于 D ，由 a + b + c = 0 知 f （1） = 0 < 1，又 f (x) = x 无实根，所以 a < 0 ，
由选项 B 知不等式 f ( f (x) ) < x 对一切 x R 恒成立， D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了函数的定义与性质的应用问题，考查了分析与运算求
解能力，是中档题．
22．（2024 p p 平罗县校级一模）设函数 f (x) = 3sin(wx + j)(w > 0,- < j < ) 2p的图象关于直线 x = 对称，它
2 2 3
的周期是p ，有下列说法：
① f (x) 的函数图象过点 (0, 3) ；
2
② f (x) p在[ , 2p ]上是减函数；
12 3
5p
③ f (x) 的一个对称中心是 ( ,0)；
12
④将 f (x) 的图象向右平移 |j |个单位长度得到函数 y = 3sinwx的图象．
其中正确的序号是　①③　．（正确的序号全填上）
p
【分析】由题意求出函数 f (x) 的解析式为 f (x) = 3sin(2x + ) ，再判断题目中的命题是否正确．
6
【解答】解：因为函数 f (x) 的周期为T p w 2p= ，所以 = = 2，
T
2
又函数 f (x) 的图象关于直线 x = p 对称，
3
所以由 f (x) = 3sin(2x + j) ，
2
可知 2 p + j = kp p+ ，解得j = kp 5p- ，
3 2 6
p p
又 - < j < ，
2 2
p
所以 k = 1时，j = ；
6
\函数的解析式为： f (x) = 3sin(2x p+ ) ；
6
当 x = 0 时 f (0) 3= ， f (x) 3的图象过点 (0, ) ，①正确；
2 2
x [ p 2p p p 3p ， ]时， 2x + [ ， ]， f (x) 是先增后减，②错误；
12 3 6 3 2
x 5p当 = 时， f (x) 0 5p= ，即函数 f (x) 的一个对称中心是 ( ， 0) ，③正确；
12 12
j p由 = ，w = 2 ，将 f (x) p的图象向右平移 个单位，得函数 y = 3sin[2(x p- ) p+ ] = 3sin(2x p- )的图象，
6 6 6 6 6
不是函数 y = 3sin 2x 的图象，④错误；
综上所述，正确的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性、周期性、对称性以及三角函数解析式的求法应用问题，是基
础题．易错 01 集合与常用逻辑用语（3 个易错点错因分析与分类讲
解+10 个易错核心题型强化训练）
易错点错因分析与分类讲解
易错点 1 忽视对空集的讨论而致误
【例 1】. [ 2湖南师大附中 2023 第三次月考]已知集合 A = x -1 < x 4 ， B = x x - 2a x - a -1 .
若 AI B = ，则实数 a 的取值范围为（）
A. a a > 2 B. a a 2 C. a a =1或a 2 D. a a 1
【变式】.[江西景德镇乐平中学 2022月考]设集合M = x -3 < x < 7 ,
N = x 2 - t < x < 2t +1, t R .若 M U N = M ， 实数 t 的取值范围为（ ）
A. 3, + B. - ,3 C. - ,3 D. 3,+
易错点 2 忽略集合中元素的互异性而致误
【例 2】. [湖南邵阳二中 2023 第五次月考]已知 a,b R ì，若 ía,
b ,1ü = a2 ,a + b,0 2022 2022，则 a + b
a
的值为（）
A. -1 B. 0 C. 1 D. ±1
ì b ü 2
【变式】 . [福建龙岩一中 2022 月考 ]已知 a R,b R ,若集合 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，则
a
a2021 + b2021 （）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
易错点 3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误
【 例 3 】 . [ 河 南 驻 马 店 二 中 2023 第 二 次 培 优 考 ] 已 知 p : x - x -12 0，
q : x + m é x - 1+ 2m ù 0 m > 0 .若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .
2
【变式】. [湖南名校 2022第二次联考]已知“ a x a +1”是“-2 x 5 ”的充分不必要条件，则
实数的取值范围是（）
A. -2,+ B. -2,2 C. -2,2 D. -2,2
【易错核心题型强化训练】
一．元素与集合关系的判断（共 1 小题）
1．（2024 泸县校级开学）设集合 A = {(x1， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ) | xi {-1，0，1}， i = 1，2，3，4，5}，那么
集合 A中满足条件1 | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 | 3的元素的个数为 (　　 )
A．60 B．100 C．120 D．130
二．集合的确定性、互异性、无序性（共 1 小题）
2．（2024 扬中市校级开学）设集合 A = {2，1- a ， a2 - a + 2}，若 4 A，则 a = (　　 )
A． -3或 -1或 2 B． -3或 -1 C． -3或 2 D． -1或 2
三．集合的包含关系判断及应用（共 1 小题）
x x P
3．（2024 f (x) ì 浦东新区校级模拟）函数 = í ，其中 P 、 M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定
-x x M
f (P) = {y | y = f (x) ， x P}， f (M ) = {y | y = f (x)， x M}．给出下列四个判断，其中正确判断有 (　　 )
①若 PIM = ，则 f (P)I f (M ) = ；
②若 PIM ，则 f (P)I f (M ) ；
③若 PUM = R ，则 f (P)U f (M ) = R ；
④若 PUM R ，则 f (P)U f (M ) R ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
四．并集及其运算（共 1 小题）
4．（2024 浙江学业考试）已知集合 A = {0，1， 2}，集合 B = {0，2， 4}，则 AUB = (　　 )
A．{0} B．{2} C．{0 ，2， 4} D．{0 ，1，2， 4}
五．交集及其运算（共 4 小题）
5．（2024 沙依巴克区校级模拟）已知集合 A = {x | 2 x 4}， B = {x | -a < x a + 3}，若 AIB = A，则 a取值
范围是 (　　 )
A． a > -2 B． a -1 C． a…1 D． a > 2
6．（2024 北京学业考试）已知集合 A = {-1，0，1}， B = {1， 2}，则 AIB 等于 (　　 )
A．{-1，0，1} B．{0 ，1} C．{1} D．{1， 2}
7．（2024 让胡路区校级开学）设全集U = R ，集合 A = {x | x2 - x - 2 0}， B = {x | lgx > 0}，则 AIB = (　　 )
A．{x | -1 x 2} B．{x |1 < x 2} C．{x |1 < x < 2} D．{x | x… -1}
8．（2024 平江县校级开学）已知集合 A = {y | y = -2x ， x [2，3]}， B = {x | x2 + 3x - a2 - 3a > 0}．
（1）当 a = 4时，求 AIB ；
（2）若命题“ x A”是命题“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
六．交、并、补集的混合运算（共 1 小题）
9．（2024 合江县校级开学）设全集U = {1，2，3，4， 5}，集合 A = {1，3， 5}，集合 B = {3， 4}，则
( U A)IB = (　　 )
A．{3} B．{4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
七．充分条件与必要条件（共 2 小题）
10．（2024 东坡区校级开学）设 x ， y R ，下列说法中错误的是 (　　 )
A．“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必要条件
B．“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0”的必要不充分条件
C．“ x > 1， y > 1”是“ x + y > 2， xy > 1”的充要条件
D．“ x > y ”是“ x2 > y2 ”的既不充分也不必要条件
11．（2024 春 顺德区校级月考）设{an}是公差不为 0 的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正
整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的 (　　 )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
八．全称量词和全称命题（共 1 小题）
12．（2023 秋 昆明期末）已知"x [0 ， 2]， p > x ； $x0 [0， 2]， q > x0 ．那么 p ， q的取值范围分别为
(　　 )
A． p (0,+ )， q (0,+ ) B． p (0,+ )， q (2,+ )
C． p (2,+ )， q (0,+ ) D． p (2,+ )， q (2,+ )
九．存在量词和特称命题（共 1 小题）
13 1．（2024 开福区校级模拟）若命题“$a < 0， a + > b”是假命题，则实数b 的取值范围为 　　．
a
一十．命题的真假判断与应用（共 9 小题）
14．（2024 红谷滩区校级模拟）已知m ， n表示两条直线，a ， b ， g 表示三个平面，则下列是真命题的
有 (　　 )个．
①若aIg = m， bIg = n，m / /n，则a / /b ；
②若m ， n相交且都在a ， b 外，m / /a ，m / /b ， n / /a ， n / /b ，则a / /b ；
③若m / /a ，m / /b ，则a / /b ；
④m / /a ， n / /b ，m / /n，则a / /b ．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024 春 宝山区校级月考）函数 f (x) = xlnx ，正确的命题是 (　　 )
A．值域为 R B．在 (1,+ )上是增函数
C． f (x) 有两个不同零点 D．过 (1,0) 点的切线有两条
ì1 (x A)
16．（2024 春 普陀区校级月考）对于全集 R 的子集 A，定义函数 fA (x) = í 为 A的特征函数．设
0 (x CR A)
A， B 为全集 R 的子集，下列结论中错误的是 (　　 )
A．若 A B ， fA (x) fB (x) B． f A (x) = 1- fA (x)R
C． f I (x) = fA (x) × fB (x) D． f U (x) = fA (x) + fB (x)A B A B
17．（2024 绥中县校级开学）下列命题中是真命题的有 (　　 )
A．有 A， B ，C 三种个体按3:1: 2的比例分层抽样调查，如果抽取的 A个体数为 9，则样本容量为 30
B．一组数据 1，2，3，3，4，5 的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．某一组样本数据为 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间
[114.5，124.5]内的频率为 0.4
18．（2024 春 芝罘区校级月考）如图，点 E 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，点 M 在线段 BD1
上运动，则下列结论正确的是 (　　 )
A．直线 AD 与直线C1M 始终是异面直线
B．存在点 M ，使得 B1M ^ AE
C．四面体 EMAC 的体积为定值
D．当 D1M = 2MB 时，平面 EAC ^ 平面 MAC
19．（2024 春 璧山区校级月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中
的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度 c 随时间 t 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物
后，血管中药物浓度随时间 t 变化的关系如图所示．则下列结论正确的是 (　　 )
A．在 t1 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在 t2 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在[t2 ， t3 ]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在[t1 ， t2 ]和[t2 ， t3 ]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
20．（2024 p春 沙坪坝区校级月考）设函数 f (x) = sin(wx - )(w > 0) ，已知 f (x) 在 [0 ，p ]有且仅有 3 个零
6
点，下列结论正确的是 (　　 )
A．在 (0,p ) 上存在 x1 ， x2 ，满足 f (x1) - f (x2 ) = 2
B． f (x) 在 (0,p ) 有且仅有 1 个最小值点
C． f (x) 在 (0, p )单调递增
2
D 13 19．w 的取值范围是[ , ]
6 6
21．（2024 春 沙坪坝区校级月考）已知 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，且关于 x 的方程 f (x) = x 无实数根，现有
下列说法，其中说法正确的是 (　　 )
A．若 a > 0，则不等式 f ( f (x) ) > x 对一切 x R 恒成立
B．若 a < 0 ，则必然存在实数 x0 使不等式 f ( f (x0 )) > x0 成立
C．关于 x 的方程 f ( f (x)) = x一定没有实数根
D．若 a + b + c = 0 ，则不等式 f ( f (x) ) < x 对一切 x R 恒成立
22．（2024 平罗县校级一模）设函数 f (x) = 3sin(wx + j)(w 0, p p> - < j < ) x 2p的图象关于直线 = 对称，它
2 2 3
的周期是p ，有下列说法：
① f (x) 3的函数图象过点 (0, ) ；
2
② f (x) 在[ p , 2p ]上是减函数；
12 3
③ f (x) 5p的一个对称中心是 ( ,0)；
12
④将 f (x) 的图象向右平移 |j |个单位长度得到函数 y = 3sinwx的图象．
其中正确的序号是　　．（正确的序号全填上）

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