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易错 02 不等式（4 个易错点错因分析与分类讲解+7 个易错核
心题型 60 题强化训练）
易错点错因分析与分类讲解
易错点 1 忽视不等式中的等号而致误
1. [江苏镇江一中等三校 2023质检]（多选）下列命题是真命题的为（ ）
A. 若ac2 < bc2 ,则a < b B. 若a,b R,则a2 + b2 > 2 a - b -1
b2 a2
C. 若 3 a > 3 b ,则a > b D. 若a > b > 0,则 + > a + b
a b
易错点 2 忽略基本不等式成立的条件致误
2. [广东广州 2023阶段练习]（多选）下列函数中最小值为 8 的是（ ）
A. y 16= ln x + B. y = sin x 16+
ln x sin x
2
C. y = 4x 2-x
x + 25
+ 4 D. y =
x2 + 9
3. [陕西咸阳 2022二模]若 x > 0, y > 0 且 x + y = 2 ，则下列结论中正确的是（）
A. x2 + y2的最小值是1
B. xy 1的最大值是
4
C. 2 1+ 的最小值是4 2
x y
D. x + y的最大值是2
易错点 3 忽视对二次项系数的分类讨论致误
4. [安徽六安 2023第五次质检]“-1 < k < 0 2”是“关于 x 的不等式 kx + 2kx - k + 2 < 0恒成立”的
（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2
5. [河南中原名校 2022 第二次联考]已知命题 p：$x R,ax - ax +1< 0 ，若命题 p 是假命题，则
实数 a 的取值范围为 。
易错点 4 要注意反比例函数的定义域
6.[山东 2022第二次联合检测] m已知非零实数m, n满足 e > en ，则下列关系式一定成立的是（）
A. 1 1 1 1< B. ln m2 +1 > ln n2 +1 C. m + > n + D. m m > n n
m n m n
【易错核心题型强化训练】
一．不等关系与不等式（共 4 小题）
1．（2023 秋 揭西县期末）b 克糖水中含 a克糖 (b > a > 0) ，若再加入m 克糖 (m > 0)，则糖水变甜了．请根
据此事实提炼一个不等式 (　　 )
A a a + m B a a + m C a a - m a a． < ． > ． < D． <
b b + m b b + m b b - m b b + m
2．（2023 c秋 兴文县校级期末）设 a…b…c，且 1 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一个实根，则 的取值范
a
围为 (　　 )
A．[-2 ， 0] B．[ 1- ， 0] C．[-2 1 1， - ] D．[-1， - ]
2 2 2
3．（2023 秋 绍兴期末）已知实数 x ， y ， z 满足3x = 5y - 2y ，5z = 3y + 2y ，且 x < y ，则 (　　 )
A． z > y B． 0 < y < 1 C． x + z > 2y D． x + z < 2y
4．（2023 秋 阜宁县期末）已知 a > 0，b > 0 ，且 a + b = 4，则下列结论正确的是 (　　 )
A． ab 4 B 1 1． + …1 C． 2a + 2b…16 D． a2 + b2 > 8
a b
二．基本不等式及其应用（共 12 小题）
5 2024 x 1 y x 9．（ 博野县校级开学）若 > ，则函数 = + 的最小值为 (　　 )
x -1
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2023 1 4 y秋 五华区校级期末）若两个正实数 x ， y 满足 + = 2，且不等式 x + < m2 - m有解，则实数m
x y 4
的取值范围是 (　　 )
A． (-1,2) B． (- ， -2) (1， + )
C． (-2,1) D． (- ， -1) (2 ， + )
7．（2024 汕头二模）若实数 a，b 满足 0 < a < b，且 a + b = 1．则下列四个数中最大的是 (　　 )
A 1． B． a2 + b2 C． 2ab D． a
2
8．（2024 扬中市校级开学）已知正数 x ， y 满足 x + y = 4，则下列选项不正确的是 (　　 )
A 1 1． + 的最小值是 4 B． xy 的最大值是 4
x y
C． x2 + y2 的最小值是 8 D． x(y 25+1) 的最大值是
2
9．（2023 秋 怀仁市期末）下列命题正确的是 (　　 )
A．若 a > b > 0 ，m a a + m> 0，则 <
b b + m
B．若正数 a、b 满足 a + b 1 1 1 4= ，则 + …
a +1 b +1 3
C．若 x > 0 4，则 2 - 3x - 的最大值是 2 - 4 3
x
D．若 x = (x - 2)y ， x > 0 ， y > 0 ，则 x + 2y 的最小值是 9
10．（2024 丰城市校级开学）下列说法正确的为 ( )
A．若 x > 0 ，则 x(2 - x) 最大值为 1
B y 2(x
2 + 4)
．函数 = 的最小值为 4
x2 + 3
C 1． | x + |…2
x
D a 3 a 4 …2 a 4 4 4．已知 > 时， + × ，当且仅当 a = 即 a = 4时， a + 取得最小值 8
a - 3 a - 3 a - 3 a - 3
11．（2024 a + b 岳麓区校级一模）设 a，b 为两个正数，定义 a，b 的算术平均数为 A(a,b) = ，几何平均数
2
为G(a,b) = ab ，则有：G(a ，b) A(a ，b) ，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学
p p
家 D ． H a + b． Lehmer 提出了“ Lehmer 均值”，即 Lp (a,b) = p-1 ，其中 p 为有理数．下列关系正确的是a + b p-1
(　　 )
A． L0.5 (a ，b) A(a ，b) B． L0 (a ，b)…G(a，b)
C． L2 (a ，b)…L1(a,b) D． Ln+1(a，b) Ln (a,b)
12．（2023 秋 灌南县校级期末）已知 a，b 为正实数，且 ab + a + b = 8，则 (　　 )
A． ab的最大值为 4
B． (a +1)2 + (b +1)2 的最小值为 18
C． a + b的最小值为 4
D 1 1 2． + 的最小值为
a +1 b +1 2
13．（2024 金东区校级模拟）已知 a，b R ，若 a2 + b2 - ab = 2 ，则 ab的取值范围是　 　．
14．（2024 3b - a春 上城区校级期中）已知实数 a > 0，b < 0，则 的取值范围是 　　．
a2 + b2
15．（2023 秋 金平区期末）在 4 □ +9 □ = 60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应
分别填上　　和　　．
16．（2023 秋 濠江区校级期末）若实数 a， b ， c 满足 2a + 2b = 2a+b ， 2a + 2b + 2c = 2a+b+c ，则 c 的最大值
是　　．
三．其他不等式的解法（共 2 小题）
17．（2023 1秋 普陀区校级期末）不等式 < 1的解集为　　．
x
18 2x +1．（2023 秋 吉林期末）不等式 1的解集是　 　．
x + 2
四．指、对数不等式的解法（共 6 小题）
19．（2024 宣城模拟）若 a < x < 3是不等式 log1 x > -1成立的一个必要不充分条件，则实数 a的取值范围是
2
(　　 )
A． (- ,0) B． (- ， 0] C．[0 ， 2) D． (2,3)
20．（2024 开封一模） a，b 为实数，则“ a > b > 1”是“ a + lnb > b + lna ”的 (　　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2024 良庆区校级模拟）若集合 A = {x Z | x2 - 2x - 8 0}， B = {x | log2 x > 1}，则 AIB = (　　 )
A．{2 ， 4} B．{1， 4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
22．（2023 秋 青浦区期末）用函数的观点：不等式 4x + log2 x < 1的解集为 　　．
23．（2023 秋 沙坪坝区校级期末）设集合 A = {x |1 ex-1 e}，若关于 x 的不等式 x2 + mx + n 0 的解集为 A．
（1）求函数 f (x) = x2 + mx + n的解析式．
（2）求关于 x 的不等式 f (x) + l 2 > l(3 - 2x) + 2 的解集，其中l R．
24 2023 f (x) 2
x -1 1
．（ 秋 渝中区校级期末）已知函数 = x
2x
， g(x) = log
+1 4
(2 -1) - x．
2
2x -1 1
（1）解不等式 x > - ；2 +1 2
（2）方程 g(x) = log4 af (x) - log4 (2
x -1)(a > 0) 在[log2 3， 2]上有解，求 a的取值范围？
五．二次函数的性质与图象（共 3 小题）
25．（2024 春 化州市期中）设函数 f (x) = x2 + mx + n2 ， g(x) = x2 + (m + 4)x + n2 + 2m + 4 ，其中 x R ，若
对任意的 t R ， f (t) ， g(t) 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是 (　　 )
A．1 B． 2 C．2 D． 5
26．（2023 秋 厦门期末）已知函数 f (x) = x2 + 2x + c(c > 0) ，若 f (t) < 0，则 (　　 )
A． f (t -1) > 0 B． f (t +1) < 0 C． f (t - 2) < 0 D． f (t + 2) > 0
27．（2023 秋 厦门期末）已知函数 f (x) = x2 + ax + b ．
（1）若 f (x) < 0的解集为 (-3,1) ，求 a，b ；
（2）若 f （1） = 2， a，b (0, ) 1 4+ ，求 + 的最小值．
a b
六．一元二次不等式及其应用（共 32 小题）
28．（2023 秋 牡丹区校级期末）不等式 (x + 3)2 < 1的解集是 (　　 )
A．{x | x > -2} B．{x | x < -4} C．{x | -4 < x < -2} D．{x | -4 x - 2}
29．（2024 南海区校级模拟）已知 a， b ， c R 且 a 0，则“ ax2 + bx + c > 0 的解集为 {x | x 1}”是
“ a + b + c = 0 ”的 (　　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
30．（2023 秋 涟源市期末）已知二次函数 y = -x2 + bx + c 的零点为 -2 和 1，则关于 x 的不等式 x2 + bx - c > 0
的解集为 (　　 )
A． (- ， -1) (2 ， + ) B． (-1,2)
C． (-2,1) D． (- ， -2) (1， + )
31．（2023 秋 石嘴山期末）已知一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (- ，m) (-1， + )(m < -1)，
4
则b + 的最小值为 (　　 )
a(1- m)
A．1 B．2 C．3 D．4
32．（ 2023 1 1秋 长乐区校级月考）若不等式 ax2 + 2x + c < 0 的解集是 (- ,- )U( ,+ )，则不等式3 2
cx2 - 2x + a 0的解集是 (　　 )
A 1 1 1 1．[- , ] B．[- , ] C．[-2 ，3] D．[-3， 2]
2 3 3 2
33．（2024 龙凤区校级开学）若关于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在区间[2 ， 4]上有解，则实数m 的取值范围
为 (　　 )
A． (-3,+ ) B． (0,+ ) C． (- ,0) D． (- ,-3)
34．（2024 广丰区校级开学）不等式mx2 - ax -1 > 0(m > 0)的解集不可能是 (　　 )
A．{x | x 1 1 3< -1或 x > } B． R C．{x | - < x < } D．{x | x < -3
4 3 2
或 x > 5}
35．（2023 秋 梅州期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (-2,1) ，则下列结论正确的是 (　　 )
A． a < 0 B．b < 0 C． c > 0 D． a - b + c < 0
36．（2023 秋 吉林期末）下列说法正确的是 (　　 )
A．命题“$x 0 ，使得 ex x +1”的否定是“"x > 0，都有 ex > x +1”
B 1．“ < 1”是“ a > 1”的必要不充分条件
a
C．若不等式 ax2 + 2x + c > 0 的解集为{x | -1 < x < 2}，则 a + c = 2
D 1．当 x > 1时， 2x + 的最小值为 2 2 + 2
x -1
37．（2023 秋 新化县期末）已知关于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0(a > 0， b > 0)的解集为
( 1- ,-1)U( ,+ ) ，则下列结论正确的是 (　　 )2
A． 2a + b = 1 B． ab 1的最大值为
8
C 1 2． + 的最小值为 4 D 1 1． + 的最小值为3 + 2 2
a b a b
38．（2023 秋 宿州期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | 2 < x < 3}，则下列说法正确的是
(　　 )
A． a > 0
B． a + b + c < 0
C．不等式 cx2 - bx a 1+ < 0 的解集为{x | x < - 或 x 1> - }
2 3
2
D c + 4． 的最小值为 6
a + b
39．（2023 秋 松山区期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | m < x < n}，其中m > 0，则以下选项正
确的有 (　　 )
A． a < 0
B． c > 0
C． cx2 + bx + a 1> 0 的解集为{x | < x 1< }
n m
D cx2 bx a 1 1． + + > 0 的解集为{x | x < 或 x > }
n m
40．（2024 春 浦东新区校级月考）设 a > 0，若关于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是区间 (0,1) 的真子集，则 a
的取值范围是 　　．
41．（2023 秋 清河区校级期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 1> 0 的解集为 (- ， 2) ，那么关于 x 的不等
3
式 cx2 + bx + a < 0 的解集为　　．
42．（2024 重庆模拟）若关于 x 的不等式 0 ax2 + bx + c 2(a > 0) 的解集为{x | -1 x 3}，则 3a + b + 2c的取
值范围是 　　．
43．（2023 秋 阜南县期末）解关于 x 的不等式 (x - a)(x -1) 0(a R) ．
44．（2023 秋 南充期末）已知函数 f (x) = x2 - mx +1．
（1）若关于 x 的不等式 f (x) + n -1 0 的解集为[-1， 2]，求实数m ， n的值；
（2）求关于 x 的不等式 f (x) - x + m -1 > 0(m R) 的解集．
45．（2023 秋 阿勒泰地区期末）已知集合 A = {x | x2 - 3x - 4 < 0}， B = {x | a +1 < x < 3a +1}．
（1）当 a = 2时，求 AUB ；
（2）若 AIB = B ，求 a的取值范围．
46．（2023 秋 金安区校级期末）已知集合 A = {x | -3 x < 0}，集合 B = {x | 2 - x > x2}．
（1）求 AIB ；
（2）若集合C = {x | 2a x a + 2}，且C (AIB)，求实数 a的取值范围．
47．（2023 秋 沙坪坝区校级期末）若函数 f (x) = ax2 + bx + 4，
（1）若不等式 f (x) 1< 0的解集为 ( ,4) ，求 a，b 的值；
2
（2）当 a = 1时，求 f (x) > 0(b R)的解集．
48．（2023 秋 山西期末）已知关于 x 的不等式 ax2 - 3x + b > 0的解集为{x | x < 1或 x > 2}．
（1）求 a，b 的值；
（2）当 c > 0时，求关于 x 的不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 的解集（用 c 表示）．
49．（2023 秋 阳江期末）已知不等式 x2 - (a + 2)x + b 0的解集为{x |1 x 2}．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）解关于 x 的不等式： (x - c)(ax - 2) > 0(c 为常数，且 c 2)
50．（2023 秋 双塔区校级期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + 2bx - 3 < 0 的解集为{x | -1 < x < 2}．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）解关于 x 的不等式： (ax +1)(-bx + m) > 0 ，其中m 是实数．
51．（2023 秋 广州期末）设全集为 R ，集合 A = {x | x2 - 5x - 6 > 0}， B = {x | a +1 < x < 2a -1}．
（1）若 a = 4，求 AUB ， AI R B ；
（2）若 ( R A)IB = ，求实数 a的取值范围．
52．（2023 秋 呼和浩特期末）（1）若关于 x 的不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0对"x R 都成立，求 a的取值范围；
（2）已知二次不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0的解集为{x | x1 < x < x2}，且 | x1 - x2 |= 5，求 a的值．
53．（2023 秋 定西期末）已知集合 A = {x | x2 - 2x - 3 < 0}， B = {x | x2 - (2m -1)x - 2m 0}．
（1）当m = 1时，求 AUB ；
（2）若 x A是 x B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
54．（2023 秋 西安区校级期末）已知关于 x 的不等式 2ax2 - 8x - 3a2 < 0的解集为{x | -1 < x < b}．
（1）求实数 a，b 的值；
2 a b（ ）当 x > 0 ， y > 0 ，且满足 + = 1时，求3x + 2y 的最小值．
x y
55．（2024 春 湖北月考）已知函数 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4， (a R) ．
（1）解关于 x 的不等式： f (x) 1；
（2）命题“"x (1,+ )， f (x)…0”是真命题，求 a的最大值．
56．（2023 秋 天津期末）函数 f (x) = ax2 + bx +1(a,b R)．
（1）若 f (x) < 0的解集是{x | x < -2 ，或 x > 3}，求不等式 ax2 + bx 1+ > 0的解集；
3
（2）当 a > 0时，求关于 x 的不等式 f (x) + (a - b +1)x > 0的解集．
57．（2023 秋 金安区校级期末）已知函数 f (x) = x2 - (a + b)x + a ．
（1）若关于 x 的不等式 f (x) < 0的解集为 (1,2)，求 a，b 的值；
（2）当b = 1时，解关于 x 的不等式 f (x) > 0 ．
58．（2023 秋 三明期末）集合 A = {x | ax2 - 3x - 4…0}， B = {x | x…b 或 x -1}，且 A = B．
（1）求 a，b 的值；
（2）若集合 P = {x | m +1 < x < 2m}，且“ x P ”是“ x R A ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
59．（2023 秋 德庆县校级期末）已知函数 f (x) = ax2 - (2a +1)x + c ，且 f (0) = 2．
（1）若 f (x) < 0的解集为{x | 2 < x f (x)< 8}，求函数 y = 的值域；
x
（2）当 a > 0时，解不等式 f (x) < 0．
七．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共 1 小题）
60．（2023 秋 青羊区校级期末）方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的两根都大于 2，则m 的取值范围是 (　　 )
A． (-5， -4] B． (- ， -4]
C． (- ， -2] D． (- ， -5) (-5， -4]易错 02 不等式（4 个易错点错因分析与分类讲解+7 个易错核
心题型 60 题强化训练）
易错点错因分析与分类讲解
易错点 1 忽视不等式中的等号而致误
1. [江苏镇江一中等三校 2023质检]（多选）下列命题是真命题的为（ ）
A. 2若ac2 < bc ,则a < b 2 2 B. 若a,b R,则a + b > 2 a - b -1
b2 a2
C. 若 3 a > 3 b ,则a > b D. 若a > b > 0,则 + > a + b
a b
特别提醒：在判断不等式是否成立时，需要考虑等号是否成立，此题的 B 选项易错之处在于忽略等号也能
成立而致误.
1
【解析】对于 A ，若 ac2 < bc2 , 2 2，则 c 0 ，且 c > 0 ，两边同乘 c2 ，可得
a < b ，故 A 正确；
对于 B ，若 a =1，b = -1，则 a2 + b2 = 2 a - b -1 ，故 B 错误；
1
对于C ，根据函数 y = x3 在 R 上为增函数可知，若 3 a > 3 b ，则 a > b ，故C 正确；
b2 a2 b2 a2
对于 D ， + - a + b = - a ÷ + - ba b a b ÷è è
b2 - a2 a2 - b2
= +
a b
b - a b + a a - b b + a
= +
a b
= b - a b + a 1 1 -

a b ֏
b a 2- b + a
=
ab
b - a 2 b + a b2 a2
因为 a > b > 0 ，所以 > 0 ，即 + > a + b ，故选 D
ab a b
【答案】 ACD
易错点 2 忽略基本不等式成立的条件致误
2. [广东广州 2023阶段练习]（多选）下列函数中最小值为 8 的是（ ）
A. y = ln x 16+ B. y = sin x 16+
ln x sin x
2
x 2-x D. y x + 25C. y = 4 + 4 =
x2 + 9
特别提醒：利用基本不等式求最值时，要注意必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等".
（1）“一正”是求最值的各项必须为正数；
（2）“二定”是含变量的各项的和或积必须是定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个值就不是
所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【解析】对于 A ， y = ln x 16 16+ 2 ln x × = 8，当且仅当 ln x 16= 即 x = e4 -4或 x = e 时
ln x ln x ln x
取等号，故 A 正确；
对于 B ， y = sin x 16 2 sin x 16 16+ × = 8，当且仅当 sin x = ，即 sin x = ±4时取等
sin x sin x sin x
号，又 sin x = ±4无实根，故不能取等号，故 B 错误；
16
对于C ， y = 4x 42-x
16 16
+ = 4x + 2 4x × = 8 x
x x 当且仅当 4 =4 4 4x
，即 x =1时取等号，故C 正确；
2
D y x + 25 16 16 16对于 ， = = x2 + 9 + 2 x2 + 9 + = 8 2，当且仅当 x + 9 = ，
x2 + 9 x2 + 9 x2 + 9 x2 + 9
即 x = ± 7 时取等号，故 D 正确.
【答案】 ACD
3. [陕西咸阳 2022二模]若 x > 0, y > 0 且 x + y = 2 ，则下列结论中正确的是（）
A. x2 + y2的最小值是1
B. xy 1的最大值是
4
C. 2 1+ 的最小值是4 2
x y
D. x + y的最大值是2
特别提醒：利用基本不等式求最值时，要注意必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”.
（1）“一正”就是各项必须为正数
（2）“二定”就是含变量的各项的和或积必须是定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【解析】
2
2
对于 A ，Q x + y2 = x + y 2 x + y- 2xy = 4 - 2xy 4 - 2 2 ÷ = 2 （当且仅当 x = y =1时取等è
号），\ x2 + y2 = 2 ， A 错误max
x
2
+ y
对于 B ，Q xy ÷ =1（当且仅当 x = y =1取等号），\ xy =1max ， B 错误è 2
C Q 2 1 1 2 1

对于 ， + = + ÷ x + y
1 3 2y y 1= + +

÷ 3 + 2
2y y 3 + 2 2
× ÷÷ = （当且x y 2 è x y 2 è x x 2 è x x 2
2y y
仅当 = ，即 x = 4 - 2 2, y = 2 2 2
2 1 3+ 2 2
- 取等号），\ + = ，C 错误；
x x x y ֏ min 2
对于 D ，Q x + y 2 = x + y + 2 xy = 2 + 2 xy 2 + x + y = 4（当且仅当 x = y =1取等号），
\ x + y = 2 D 正确，故选 D .
min
易错点 3 忽视对二次项系数的分类讨论致误
4. [安徽六安 2023第五次质检]“-1 < k < 0”是“关于 x 的不等式 kx2 + 2kx - k + 2 < 0恒成立”的
（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
特别提醒：本题的易错点是在解决含参的一元二次不等式恒成立问题时，忽视对二次项系数等于 0 这种特
殊情况的讨论，不能认为它就是一元二次不等式直接进行求解.
2
【 解 析 】 当 k = 0 时 ， -2 < 0, 恒 成 立 ， 当 k 0时 ， kx + 2kx - k + 2 < 0恒 成 立 ， 得
ì k < 0,
í 2 解 得 -1 < k < 0， 所 以 当 -1 < k 0时 ， 关 于 x 的 不 等 式
D = 4k + 4k k + 2 < 0,
kx2 + 2kx - k + 2 < 0 2恒成立，所以“-1 < k < 0”是"关于 x 的不等式 kx + 2kx - k + 2 < 0恒成立
"的充分不必要条件.故选 A .
【答案】 A
2
5. [河南中原名校 2022 第二次联考]已知命题 p：$x R,ax - ax +1< 0 ，若命题 p 是假命题，则
实数 a 的取值范围为 。
特别提醒：本题的易错点是在解决一元二次不等式恒成立问题时，忽视二次项系数等于 0 这种特殊情况的
讨论.不能默认为它就是一元二次不等式直接进行求解.
【解析】当 a = 0 时，1< 0命题 p 是假命题，符合题意；当 a 0时，若命题 p 是假命题，则
2 ì a > 0,ax - ax +1 0恒成立，则 í ，解得0 < a 4 .综上可得实数 a2 的取值范围为 0,4 .
D = a - 4a 0,
易错点 4 要注意反比例函数的定义域
6.[山东 2022第二次联合检测] m n已知非零实数m, n满足 e > e ，则下列关系式一定成立的是（）
A. 1 1< B. ln m2 +1 > ln n2 +1 C. m 1+ > n 1+ D. m m > n n
m n m n
1 1
特别提醒：本题容易错解 m > n ，得到 首先应该注意函数的定义域，看两个变量是不是在一个区间内，再做判断.
m n
【解析】因为 e > e ，所以m > n .
1 1
取m =1,n = -2，得 > ，故选项 A 不正确.
m n
取m =1,n = -2 m2，得 +1 < n2 +1，所以 ln m2 +1 < ln n2 +1 ，故选项 B 不正确
1 1 1 1
取m = ,n = ，得m + < n + ，故选项C 不正确
2 3 m n
当m > n > 0 m2 > n2 m m - n n = m2 - n2 > 0 m m > n n n < m < 0 m2 < n2时， 所以 ，所以 ；当 时 ，
所 以 m m - n n = -m2 - -n2 = n2 - m2 > 0 ； 所 以 m m > n n ； 当 m > 0 > n 时 ，
m m > 0 > n n ，所以m m > n n ，综上， D 选项正确.故选 D
【易错核心题型强化训练】
一．不等关系与不等式（共 4 小题）
1．（2023 秋 揭西县期末）b 克糖水中含 a克糖 (b > a > 0) ，若再加入m 克糖 (m > 0)，则糖水变甜了．请根
据此事实提炼一个不等式 (　　 )
A a a + m B a a + m a a - m． < ． > C． < D a a． <
b b + m b b + m b b - m b b + m
【分析】 bg 糖水中有 ag 糖 (b > a > 0) ，若再添mg 糖 (m > 0)，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后
的浓度进行比较即得．
【解答】解：Qbg 糖水中有 ag 糖，
a
糖水的浓度为： ；
b
bg 糖水中有 ag 糖 (b > a > 0) ，若再添mg 糖 (m > 0)，
a + m
则糖水的浓度为： ；
b + m
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
a a + m
\ <
b b + m
故选： A．
【点评】本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，考查运算理解能力，建模能力、化归与转化
思想．属于基础题．
2．（2023 c秋 兴文县校级期末）设 a…b…c，且 1 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一个实根，则 的取值范
a
围为 (　　 )
A．[-2 ， 0] B．[ 1- ， 0] C 1．[-2 ， - ] D．[ 1-1， - ]
2 2 2
【分析】利用 1 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一个实根，得到 a + b + c = 0 ，得 b = -a - c ，利用条件不
等式进行求解即可．
【解答】解：Q1是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一个实根，
\a + b + c = 0，得b = -a - c ，
\a…b…c ，
即 a… - a - c…c ，
ìa… - a - c ì2a… - c
即 í 得 ，
-a - c…c
í
-a…2c
ì2… c- ì c … - 2
a > 0 a
a c 1
若 ，则不等式等价为 í ，即 í 得 -2 - ，
1… 2c c 1 a 2- -
a a 2
ì c c
2 -
ì
- 2
a < 0 a a若 ，则不等式等价为 í ，即 ，此时不等式无解，
1 2c
í c
- … 1-
a a 2
c c 1
综上 的取值范围为 -2 - ，
a a 2
故选：C ．
【点评】本题主要考查不等式的应用，结合根与方程的关系得到b = -a - c ，然后代入不等式进行求解是解
决本题的关键．
3．（2023 秋 绍兴期末）已知实数 x ， y ， z 满足3x = 5y - 2y ，5z = 3y + 2y ，且 x < y ，则 (　　 )
A． z > y B． 0 < y < 1 C． x + z > 2y D． x + z < 2y
【分析】由 5z = 3y + 2y 得 5z- y 3= ( ) y 2+ ( ) y ，判断 g(y) = (3) y (2+ ) y 是减函数，得出 5z- y > 50 ，即 z > y ，判
5 5 5 5
断选项 A；
3x 5y 2y 3x- y (5) y (2由 = - 得 = - ) y ，判断 f (y) 5= ( ) y - (2) y 是增函数，得出 0 < y < 1，判断选项 B ；
3 3 3 3
由3x- y × 3z- y < 3x- y × 5z- y < 1，得出 x + z < 2y ，判断选项C 、 D 即可．
【解答】解：由 5z = 3y + 2y ，得 5z- y (3= ) y + (2) y 3 2，因为 g(y) = ( ) y + ( ) y 在 (0,1) 上单调递减，且 g （1）
5 5 5 5
= 1，
所以5z- y > 1 = 50 ，所以 z - y > 0，即 z > y ，选项 A正确；
因为3x = 5y - 2y ，所以3x- y = (5) y (2- ) y ，因为 x < y ，所以 x - y < 0 ，所以3x- y (0,1) ，
3 3
又 f (y) (5= ) y - (2) y 在 (0,+ )上单调递增，且 f (0) = 0， f （1） = 1，所以 0 < y < 1，选项 B 正确；
3 3
因为3x- y × 5z- y = [(5) y - (2) y ][(3) y (2+ ) y ] 2= 1+ ( ) y[(5) y - (2) y -1] < 1，
3 3 5 5 5 3 3
所以3x- y × 3z- y < 3x- y × 5z- y < 1，所以 x + z - 2y < 0，即 x + z < 2y ，选项 D 正确，C 错误．
故选： ABD ．
【点评】本题考查了不等式的性质应用问题，也考查了构造函数判断函数的单调性问题，是中档题．
4．（2023 秋 阜宁县期末）已知 a > 0，b > 0 ，且 a + b = 4，则下列结论正确的是 (　　 )
A ab 4 B 1 1． ． + …1 C． 2a + 2b…16 D． a2 + b2 > 8
a b
1 1 1 1 1
【分析】由基本不等式及其转化可直接判断选项 ACD ，化简 + = ( + )(a b) 1 (a b+ = + + 2) ，从而判
a b 4 a b 4 b a
断选项 B ．
【解答】解：Qa > 0，b > 0 ，且 a + b = 4，
\ab (a + b)2 = 4 ，（当且仅当 a = b = 2 时，等号成立），
2
故 A正确；
1 1 1
+ = (1 1+ )(a + b)
a b 4 a b
1 (a b 2)… 1= + + 4 = 1，
4 b a 4
a b
（当且仅当 = ，即 a = b = 2 时，等号成立），
b a
故 B 正确；
2a + 2b…2 2a2b = 2 24 = 8，
（当且仅当 2a = 2b ，即 a = b = 2 时，等号成立），
故C 错误；
a2 + b2…2 (a + b )2 = 8，
2
（当且仅当 a = b = 2 时，等号成立），
故 D 错误；
故选： AB ．
【点评】本题考查了基本不等式及其变形的应用，考查了转化思想与整体思想的应用，是中档题．
二．基本不等式及其应用（共 12 小题）
5．（2024 9 博野县校级开学）若 x > 1，则函数 y = x + 的最小值为 (　　 )
x -1
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】将 x 凑成 x -1，然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：因为 x > 1，故 x -1 > 0 ，
x 9所以 + = x -1 9 9+ +1…2 (x -1) × +1 = 7，当且仅当 x = 4时取等号．
x -1 x -1 (x -1)
故选： B ．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
6．（2023 1 4 y秋 五华区校级期末）若两个正实数 x ， y 满足 + = 2，且不等式 x + < m2 - m有解，则实数m
x y 4
的取值范围是 (　　 )
A． (-1,2) B． (- ， -2) (1， + )
C． (-2,1) D． (- ， -1) (2 ， + )
y y
【分析】将不等式 x + < m2 - m有解转化为m2 - m > (x + )min 即可，利用 1 的代换结合基本不等式进行求4 4
解即可．
x y y【解答】解：若不等式 + < m2 - m有解，即m2 - m > (x + )
4 4 min
即可，
Q 1 4+ = 2 1 2，\ + = 1，
x y 2x y
x y (x y )( 1 2) 1 2 2x y …1 2 2x y 1 2 1 1则 + = + + = + + + + × = + = 1+ 2 = 1+1 = 2 ，
4 4 2x y 2 4 y 8x y 8x 4 2
2x y
当且仅当 = ，即 y2 = 16x2 ，即 y = 4x时取等号，此时 x = 1， y = 4 ，
y 8x
即 (x y+ )
4 min
= 2 ，
则由m2 - m > 2 得m2 - m - 2 > 0，即 (m +1)(m - 2) > 0 ，
得m > 2或m < -1，
即实数m 的取值范围是 (- ， -1) (2 ， + ) ，
故选： D ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
7．（2024 汕头二模）若实数 a，b 满足 0 < a < b，且 a + b = 1．则下列四个数中最大的是 (　　 )
A 1． B． a2 + b2 C． 2ab D． a
2
【分析】取 a = 0.4 ，b = 0.6，再分别求出 a2 + b2 ， 2ab 的值，由此能够找到四个数中最大的数．
【解答】解：取 a = 0.4 ，b = 0.6，
则 a2 + b2 = 0.16 + 0.36 = 0.52，
2ab = 2 0.4 0.6 = 0.48，
故选： B ．
【点评】本题考查基本不等式的性质和应用，解题时要认真审题，认真解答．
8．（2024 扬中市校级开学）已知正数 x ， y 满足 x + y = 4，则下列选项不正确的是 (　　 )
A 1 1． + 的最小值是 4 B． xy 的最大值是 4
x y
C． x2 + y2 25的最小值是 8 D． x(y +1) 的最大值是
2
【分析】由基本不等式依次对 4 个选项判断即可．
1 1
【解答】解：对于选项 A，当 x = 2， y = 2 时， + = 1，故不正确；
x y
x + y
对于选项 B ，由基本不等式知 xy ( )2 = 4 ，
2
当且仅当 x = y = 2 时，等号成立，故正确；
对于选项C ， x2 + y2…2( x + y )2 = 8，
2
当且仅当 x = y = 2 时，等号成立，故正确；
对于选项 D ，Q x + y = 4 ，\ x + y +1 = 5，
\ x(y +1) ( x + y +1)2 25= ，
2 4
当且仅当 x = y +1 5= 时，等号成立，故不正确；
2
故选： AD ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
9．（2023 秋 怀仁市期末）下列命题正确的是 (　　 )
A a b 0 m 0 a a + m．若 > > ， > ，则 <
b b + m
B 1 1 4．若正数 a、b 满足 a + b = 1，则 + …
a +1 b +1 3
C．若 x > 0 ，则 2 4- 3x - 的最大值是 2 - 4 3
x
D．若 x = (x - 2)y ， x > 0 ， y > 0 ，则 x + 2y 的最小值是 9
A a a + m【分析】对于选项 ，作差法比较 与 的大小即可；
b b + m
对于选项 B ，化简 a 1 b 1 3 1 1 1 (b +1 a +1+ + + = ， + = × + + 2)，从而利用基本不等式判断；
a +1 b +1 3 a +1 b +1
对于选项C ，利用基本不等式判断即可；
1 2 x 4y
对于选项 D ，化简得 + = 1， x + 2y = + + 4 ，利用基本不等式判断即可．
y x y x
【解答】解：对于选项 A，
a a + m (a - b)m
- = ，
b b + m b(b + m)
Qa > b > 0，m > 0，
a a + m
\ - > 0，
b b + m
a a + m
\ > ，
b b + m
故命题不正确；
对于选项 B ，
Qa + b = 1，
\a +1+ b +1 = 3 ，
1 1
\ +
a +1 b +1
1 1 1
= × ( + ) × (a +1+ b +1)
3 a +1 b +1
1 b +1 a +1
= × ( + + 2)
3 a +1 b +1
… 4 ，
3
b +1 a +1 1
当且仅当 = ，即 a = b = 时，等号成立；
a +1 b +1 2
故命题正确；
对于选项C ，
Q3x 4 4+ …2 3x × = 4 3 ，
x x
当且仅当3x 4 x 2 3= ，即 = 时，等号成立；
x 3
\ 2 - 3x 4- 2 - 4 3 ，
x
2 3x 4故 - - 的最大值是 2 - 4 3 ，
x
故命题正确；
对于选项 D ，
Q x = (x - 2)y ，
\ x + 2y = xy ，
1 2
\ + = 1，
y x
\ x + 2y = (x 1 2+ 2y)( + )
y x
x 4y
= + + 4
y x
…2 x 4y× + 4 = 8，
y x
x 4y
当且仅当 = ，即 x = 4， y = 2 时，等号成立；
y x
故 x + 2y 的最小值是 8，
故命题不正确；
故选： BC ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用及作差法的应用，属于中档题．
10．（2024 丰城市校级开学）下列说法正确的为 ( )
A．若 x > 0 ，则 x(2 - x) 最大值为 1
B y 2(x
2 + 4)
．函数 = 的最小值为 4
x2 + 3
C． | x 1+ |…2
x
D 4 4 4 4．已知 a > 3 时， a + …2 a × ，当且仅当 a = 即 a = 4时， a + 取得最小值 8
a - 3 a - 3 a - 3 a - 3
【分析】由基本不等式的性质依次对 4 个选项判断即可．
x + 2 - x
【解答】解：对于选项 A， x(2 - x) ( )2 = 1，
2
当且仅当 x = 2 - x，即 x = 1时，等号成立，故正确；
2(x2 + 4) 2
对于选项 B ， y = = 2 x2 + 3 + …4，
x2 + 3 x2 + 3
但方程 2 x2 + 3 2= 无解，
x2 + 3
故 2 x2 2+ 3 + > 4 ，故错误；
x2 + 3
1
对于选项C ，Q x 与 同号，
x
\| x 1 1+ |=| x | + | |…2 ，
x x
当且仅当 x = 1或 x = -1时，等号成立，故正确；
4
对于选项 D ，Qa × 不是定值，
a - 3
故不能利用基本不等式求最值，故错误；
故选： AC ．
【点评】本题考查了基本不等式的性质应用，属于中档题．
11．（2024 a + b 岳麓区校级一模）设 a， b 为两个正数，定义 a， b 的算术平均数为 A(a,b) = ，几何平
2
均数为G(a,b) = ab ，则有：G(a ，b) A(a ，b) ，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美
D H L (a,b) a
p + b p
国数学家 ． ． Lehmer 提出了“ Lehmer 均值”，即 p = a p-1 p-1
，其中 p 为有理数．下列关
+ b
系正确的是 (　　 )
A． L0.5 (a ，b) A(a ，b) B． L0 (a ，b)…G(a，b)
C． L2 (a ，b)…L1(a,b) D． Ln+1(a，b) Ln (a,b)
【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项．
a + b a + b
【解答】解：对于 A， L0.5 (a,b) = 1 1 = ab = A(a,b)，当且仅当 a = b 时，等号成立，所以选
+ 2
a b
项 A正确；
对于 B ， L (a,b) 2 2ab 2ab0 = 1 1 = = ab = G(a,b) ，当且仅当 a = b 时，等号成立，所以选项 B 错误；
+ a + b 2 ab
a b
C L (a,b) a
2 + b2 a2 + b2 + a2 + b2 a2 2… + b + 2ab (a + b)
2 a + b
对于 ， 2 = = = = = L1(a,b) ，当且仅当 a = b 时，a + b 2(a + b) 2(a + b) 2(a + b) 2
等号成立，所以选项C 正确；
D a + b对于 ，当 n = 1时，由C 可知， L2 (a,b)… = L1(a,b) ，所以选项 D 错误．2
故选： AC ．
【点评】本题考查了利用基本不等式比较大小的应用问题，是基础题．
12．（2023 秋 灌南县校级期末）已知 a，b 为正实数，且 ab + a + b = 8，则 (　　 )
A． ab的最大值为 4
B． (a +1)2 + (b +1)2 的最小值为 18
C． a + b的最小值为 4
D 1 1 2． + 的最小值为
a +1 b +1 2
【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于 A，因为8 = ab + a + b…ab + 2 ab ，当且仅当 a = b = 2 时取等号，
解得 -4 ab 2 ，即 ab 4 ，故 ab的最大值为 4，所以 A正确；
对于 B ， (a +1)2 + (b +1)2…2(a +1) × (b +1) = 2(ab + a + b +1) = 18，
当且仅当 a +1 = b +1，即 a = b = 2 时取等号，此时 (a +1)2 + (b +1)2 取得最小值 18，所以 B 正确；
对于C ，由 a + b = 8 - ab…8 - (a + b)2 ，当且仅当 a = b = 2 时，等号成立，
2
可得 (a + b)2 + 4(a + b) - 32…0 ，解得 a + b…4 ，即 a + b的最小值为 4，所以C 正确；
D 1 1 1 1 1 2对于 ， + …2 × = 2 = ，
a +1 b +1 a +1 b +1 ab + a + b +1 3
当且仅当 a +1 = b +1，即 a 1 1 2= b = 2 时取等号，此时 + 取得最小值 ，所以 D 错误．
a +1 b +1 3
故选： ABC ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
13．（2024 2 金东区校级模拟）已知 a，b R ，若 a2 + b2 - ab = 2 ，则 ab的取值范围是　[- ， 2]　．
3
【分析】灵活应用基本不等式 a2 + b2…2ab，即可求出 ab的取值范围．
【解答】解：当 ab > 0时，
Qa ，b R ，且 a2 + b2 - ab = 2 ，
\a2 + b2 = ab + 2 ，
又 a2 + b2…2ab当且仅当 a = b 时“ = ”成立；
\ab + 2…2ab ，
\ab 2，当且仅当 a = b = ± 2 时“ = ”成立；
即 0 < ab 2；
当 ab = 0时，不妨设 a = 0，则b = ± 2 ，满足题意；
当 ab < 0时，
又Qa2 + b2… - 2ab，
\ab + 2… - 2ab，
\-3ab 2，
\ab… 2- ，
3
a 6 6 6 6当且仅当 = 、b = - ，或 a = - 、b = 时“ = ”成立；
3 3 3 3
即 0 > ab… 2- ；
3
2
综上， ab的取值范围是[- ， 2]．
3
[ 2故答案为： - ， 2]．
3
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，解题时应注意不等式成立的条件是什么．
14．（2024 3b - a春 上城区校级期中）已知实数 a > 0，b < 0，则 的取值范围是 　[-2 ， -1) 　．
a2 + b2
b
3b - a 3 × -1a b x f (x) 3x -1【分析】化 = ，设 = ，构造函数 = ， x (- ,0) ，利用导数判断 f (x) 的单
a2 + b2 a 21+ (b )2 1+ x
a
调性，求出最值，即可求出 f (x) 的取值范围．
3b - a 3
b
× -1
【解答】解：因为实数 a > 0，b < 0，所以 = a ，
a2 + b2 1 (b+ )2
a
b x x 0 f (x) 3x -1设 = ，则 < ，所以函数 = ，其中 x (- ,0) ，
a 1+ x2
3 1 x2 ( 3x 1) x× + - -
2 3 + x
求导数 f (x) = 1+ x
1+ x2
= 3 ，
(1+ x2 )2
令 f (x) = 0 ，解得 x = - 3 ，
所以 x (- ,- 3)时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减，
x (- 3 ， 0) 时， f (x) > 0 ， f (x) 单调递增，
f (x) f ( 3) 3 (- 3) -1所以 在 x = - 3 时取得最小值为 - = = -2，
1+ 3
3 1-
又因为 x 0时 f (x) -1， x - 时， f (x) = - x - 3 ，
(1)2 +1
x
所以 f (x) 的取值范围是[-2 ， -1) ．
故答案为：[-2 ， -1) ．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
15．（2023 秋 金平区期末）在 4 □ +9 □ = 60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应
分别填上　6　和　　．
【分析】本题运用均值不等式来解决：设两数为 x 、 y ，即 4x + 9y = 60 ，然后利用基本不等式求出 x 与 y
的倒数和的最小值，即可得到此时 x 与 y 满足的关系式，与 4x + 9y = 60 联立即可求出此时 x 与 y 的值．
【解答】解：设两数为 x 、 y ，即 4x + 9y = 60 ，
1 1 (1 1 ) (4x + 9y) 1 4x 9y又 + = + = (13 + + )… 1 (13 +12) 5= ，
x y x y 60 60 y x 60 12
4x 9y
当且仅当 = ，且 4x + 9y = 60 ，即 x = 6 且 y = 4 时成立，
y x
故答案为：6；4．
【点评】此题考查学生灵活运用基本不等式求函数的最小值及掌握取最小值时的条件，是一道中档题．学
生做题时一定注意 4x + 9y = 60 这个条件的利用与灵活变形．
16．（2023 秋 濠江区校级期末）若实数 a，b ， c 满足 2a + 2b = 2a+b ， 2a + 2b + 2c = 2a+b+c ，则 c 的最大值是　
2 - log2 3　．
a+b
【分析】由基本不等式得 2a + 2b…2 2a2b = 2 2 2 ，可求出 2a+b 的范围，
再由 2a + 2b + 2c = 2a+b+c = 2a+b2 c = 2a+b + 2c ， 2c 可用 2a+b 表达，利用不等式的性质求范围即可．
a+b a+b
【解答】解：由基本不等式得 2a + 2b…2 2a2b = 2 2 2 ，即 2a+b…2 2a2b = 2 2 2 ，所以 2a+b…4 ，
t 1
令 t = 2a+b ，由 2a + 2b + 2c = 2a+b+c 可得 2a+b + 2c = 2a+b2 c ，所以 2c = = 1+
t -1 t -1
因为 t…4 t 4 4 4，所以1 < ，即1 < 2c ，所以 0 < c log2 = 2 - log 3t -1 3 3 3 2
故答案为： 2 - log2 3
【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．
三．其他不等式的解法（共 2 小题）
17．（2023 1秋 普陀区校级期末）不等式 < 1的解集为　 (1， + ) (- ， 0) 　．
x
【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之
x -1
【解答】解：原不等式等价于 > 0 ，即 x(x -1) > 0 ，
x
所以不等式的解集为 (1， + ) (- ， 0) ；
故答案为： (1， + ) (- ， 0)
【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．
18．（2023 2x +1秋 吉林期末）不等式 1的解集是　 (-2，1]　．
x + 2
【分析】先化简分式不等式，再进行等价转化为一元二次不等式组，由一元二次不等式的解法求出解集．
2x +1
【解答】解：由 1 2x +1得 -1 0 x -1，则 0 ，
x + 2 x + 2 x + 2
ì(x + 2)(x -1) 0
所以 í ，解得 -2 < x 1，
x + 2 0
即不等式的解集是 (-2，1]，
故答案为： (-2，1]．
【点评】本题考查了分式不等式的化简及转化，一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于中档题．
四．指、对数不等式的解法（共 6 小题）
19．（2024 宣城模拟）若 a < x < 3是不等式 log1 x > -1成立的一个必要不充分条件，则实数 a的取值范围是
2
(　　 )
A． (- ,0) B． (- ， 0] C．[0 ， 2) D． (2,3)
【分析】求出不等式 log1 x > -1的解集，根据必要不充分条件即可写出实数 a的取值范围．
2
【解答】解：不等式 log1 x > -1可化为 log1 x > log 1 2，解得 0 < x < 2，
2 2 2
若 a < x < 3是不等式 log1 x > -1成立的一个必要不充分条件，则实数 a的取值范围是 (- ， 0]．
2
故选： B ．
【点评】本题考查了对数不等式的解法与应用问题，是基础题．
20．（2024 开封一模） a，b 为实数，则“ a > b > 1”是“ a + lnb > b + lna ”的 (　　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】令 f (x) = x - lnx， x (0,+ ) ，利用导数说明函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的定义判
断即可．
【解答】解：令 f (x) = x - lnx， x (0,+ ) ，
f (x) 1 1 x -1则 = - = ，所以当 0 < x < 1时 f (x) < 0 ，当 x > 1时 f (x) > 0 ，
x x
即 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
所以当 a > b > 1时可以得到 f （a） > f （b），即 a - lna > b - lnb成立，
即 a + lnb > b + lna 成立，所以充分性成立，
当 0 < a < b < 1时 f （a） > f （b），即 a - lna > b - lnb成立，即 a + lnb > b + lna 成立，
所以由 a + lnb > b + lna 推不出 a > b > 1，所以必要性不成立，
所以“ a > b > 1”是“ a + lnb > b + lna ”的充分不必要条件．
故选： A．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，以及充分与必要条件的判断问题，是中档题．
21．（2024 良庆区校级模拟）若集合 A = {x Z | x2 - 2x - 8 0}， B = {x | log2 x > 1}，则 AIB = (　　 )
A．{2 ， 4} B．{1， 4} C．{3， 4} D．{2 ，3， 4}
【分析】利用一元二次不等式的解法和对数的单调性解不等式化简集合，再求交集即可．
【解答】解：由 x2 - 2x - 8 0，解得 -2 x 4 ，
又因为 x Z ，所以 A = {-2， -1，0，1，2，3， 4}，
又由 log2 x > 1，解得 x > 2，所以 B = {x | x > 2}，
所以 AIB = {3， 4}．
故选：C ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和对数的单调性应用问题，是基础题．
22．（2023 1秋 青浦区期末）用函数的观点：不等式 4x + log2 x < 1的解集为 　 (0, ) 　．2
【分析】根据函数 f (x) = 4x + log x 12 是定义域 (0,+ )的单调增函数，且 f ( ) = 1，由此求出不等式的解集．2
1
【解答】解：因为函数 f (x) = 4x + log2 x ，是定义域 (0,
1
+ )的单调增函数，且 f ( ) = 42 1+ log
2 2
= 1，
2
所以不等式 4x + log2 x < 1
1
的解集为 (0, ) ．
2
1
故答案为： (0, ) ．
2
【点评】本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的问题，是基础题．
23．（2023 秋 沙坪坝区校级期末）设集合 A = {x |1 ex-1 e}，若关于 x 的不等式 x2 + mx + n 0 的解集为 A．
（1）求函数 f (x) = x2 + mx + n的解析式．
（2）求关于 x 的不等式 f (x) + l 2 > l(3 - 2x) + 2 的解集，其中l R．
【分析】（1）化简集合 A，根据不等式 x2 + mx + n 0 的解集为 A求出m 、 n即可．
（2）不等式可化为 x2 + (2l - 3)x + l(l - 3) > 0 ，解一元二次不等式即可．
【解答】解：（1）集合 A = {x |1 ex-1 e} = {x | 0 x -1 1} = {x |1 x 2}，
因为不等式 x2 + mx + n 0 的解集为{x |1 x 2}，
所以 1 和 2 是方程 x2 + mx + n = 0的解，
ì1+ 2 = -m
由根与系数的关系知， í ，
1 2 = n
解得m = -3， n = 2，
所以 f (x) = x2 - 3x + 2 ．
（2）不等式 f (x) + l 2 > l(3 - 2x) + 2 可化为 x2 - 3x + 2 + l 2 > l(3 - 2x) + 2 ，
即 x2 + (2l - 3)x + l(l - 3) > 0 ，
即 (x + l)[x + (l - 3)] > 0，
解得 x < -l 或 x > -l + 3，
所以不等式的解集为{x | x < -l 或 x > -l + 3}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了指数不等式的解法问题，是基础题．
2x24．（2023 -1秋 渝中区校级期末）已知函数 f (x) = x ， g(x) = log (2
x -1) 1- x．
2 +1 4 2
2x -1 1
（1）解不等式 x > - ；2 +1 2
（2）方程 g(x) = log af (x) - log x4 4 (2 -1)(a > 0) 在[log2 3， 2]上有解，求 a的取值范围？
t -1 1
【分析】（1）设 2x = t ，不等式化为 > - ，求出 t 的取值范围，再解指数不等式即可；
t +1 2
x x
（2）化简函数 g(x) (2 +1)(2 -1)，由方程求出 a的表达式，根据题意得出 a =
2x
在 [log2 3， 2]上有解，利用
换元法即可求出 a的取值范围．
【解答】解：（1）设 2x = t ，则 t > 0 ，
2x -1 1
所以不等式 x > -
t -1 1
，可化为 > - ，
2 +1 2 t +1 2
即 2(t -1) > -(t +1)，解得 t 1> ，
3
1 1
即 2x > ，解得 x > log2 ，即 x > - log 3，3 3 2
所以不等式的解集为 (- log2 3， + ) ；
x
（2）函数 g(x) = log4 (2
x -1) - log 2x log 2 -14 = 4 x ，2
由 log4 af (x) - log4 (2
x -1) = log a4 x ，2 +1
2x -1 a (2x x
得 log +1)(2 -1)4 x = log4 x ，解得 a = ，2 2 +1 2x
由 g(x) = log4 af (x) - log
x
4 (2 -1)(a > 0) 在[log2 3， 2]上有解，
(2xa +1)(2
x -1)
等价于 =
2x
在[log2 3， 2]上有解，
(2x x2x t [3 4] y +1)(2 -1) (t +1)(t -1) t
2 -1 1
设 = ， ，则 = x = = = t - ， t [3， 4]，2 t t t
1
所以函数 y = t - 在 t [3， 4]上单调递增，
t
t 3 y 8 t 4 y 15当 = 时， = ，当 = 时， = ，
3 4
a 8 15所以 的取值范围是[ ， ]．
3 4
【点评】本题考查了对数函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
五．二次函数的性质与图象（共 3 小题）
25．（2024 春 化州市期中）设函数 f (x) = x2 + mx + n2 ， g(x) = x2 + (m + 4)x + n2 + 2m + 4 ，其中 x R ，若
对任意的 t R ， f (t) ， g(t) 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是 (　　 )
A．1 B． 2 C．2 D． 5
【分析】根据函数 f (x) 、 g(x) 是定义域为 R 的二次函数，利用两个函数图象交点处的函数值大于等于 0 即
可求出结果．
【解答】解： f (x) = x2 + mx + n2 m 1= (x + )2 + n2 - m2 ，
2 4
g(x) = x2 + (m 4)x n2 m + 4+ + + 2m + 4 = (x + )2 + n2 1- m2 ，
2 4
根据 f (x) 、 g(x) 是定义域为 R 的二次函数，图象是抛物线，
若对任意的 n， t R ， f (t) 和 g(t) 至少有一个为非负值，
只需两个函数图象交点处的函数值大于等于 0 即可，
由 f (x) g(x) x m + 2= ，可得 = - ，
2
f ( m + 2) g( m + 2 4 - m
2
所以 - = - ) = n2 + …0 ，
2 2 4
解得 -2 n2 +1 m 2 n2 +1，
所以 n = 0 时m 取得最大值为 2．
故选：C ．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
26．（2023 秋 厦门期末）已知函数 f (x) = x2 + 2x + c(c > 0) ，若 f (t) < 0，则 (　　 )
A． f (t -1) > 0 B． f (t +1) < 0 C． f (t - 2) < 0 D． f (t + 2) > 0
【分析】因为函数 f (x) = x2 + 2x + c(c > 0) 且 f (t) < 0，利用 f (x) 的图象，结合对称轴为 x = -1，
f (0) = c > 0 ，可知 -2 < t < 0，则 t + 2 > 0，由此可知 f (t + 2) > 0 ，问题可解．
【解答】解：由题意作出 f (x) 的图象：
易知 -2 < t < 0，所以 t -1， t +1的范围没法确定对应函数值的符号，
而 t - 2 < -2 ，则 f (t - 2) > 0 ， t + 2 > 0，则 f (t + 2) > 0 ，
故 ABC 错， D 正确．
故选： D ．
【点评】本题考查二次函数的图象及应用，属于中档题．
27．（2023 秋 厦门期末）已知函数 f (x) = x2 + ax + b ．
（1）若 f (x) < 0的解集为 (-3,1) ，求 a，b ；
（2）若 f （1） = 2， a，b (0, ) 1 4 + ，求 + 的最小值．
a b
【分析】（1）根据解集可知 -3，1 是对应方程的根，据此求解；
（2）利用基本不等式求解．
1 ì
-3 +1 = -a
【解答】解：（ ）由题意得 í ，
-3 1 = b
解得 a = 2，b = -3；
（2）由题意得： a + b = 1，
1 4 1 4 b 4a b 4a
所以 + = ( + )(a + b) = 5 + + …5 + 2 = 9，
a b a b a b a b
2
当且仅当b = 2a = 时取等号．
3
【点评】本题考查一元二次不等式的解法和性质以及基本不等式的应用，属于中档题．
六．一元二次不等式及其应用（共 32 小题）
28．（2023 秋 牡丹区校级期末）不等式 (x + 3)2 < 1的解集是 (　　 )
A．{x | x > -2} B．{x | x < -4} C．{x | -4 < x < -2} D．{x | -4 x - 2}
【分析】把不等式 (x + 3)2 < 1化一般形式，求出解集即可；
或者把不等式 (x + 3)2 < 1化为 -1 < x + 3 < 1，求出它的解集也可．
【解答】解：【方法一】不等式 (x + 3)2 < 1可化为 x2 + 6x + 8 < 0 ，
(x + 4)(x + 2) < 0 ，
解得 -4 < x < -2，
\该不等式的解集为{x | -4 < x < -2}．
【方法二】不等式 (x + 3)2 < 1可化为 -1 < x + 3 < 1，
两边都减去 3，得 -4 < x < -2，
\该不等式的解集为{x | -4 < x < -2}．
故选：C ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
29．（2024 南海区校级模拟）已知 a， b ， c R 且 a 0，则“ ax2 + bx + c > 0 的解集为 {x | x 1}”是
“ a + b + c = 0 ”的 (　　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】分别判断充分性与必要性是否成立即可．
ì b
- = 2
【解答】解：由题意知，一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | x 1} a，所以 a > 0且 í ，
c = 1
a
所以b = -2a ，且 c = a ；所以 a + b + c = 0 ，充分性成立；
若 a 0，且 a + b + c = 0 ，则 ax2 + bx + c > 0 可化为 ax2 + bx - a - b > 0，即 (x -1)(ax + a + b) > 0， a > 0时，
不等式化为 (x -1)(x b+1+ ) > 0，b = 0 时不等式的解集不是{x | x 1}，必要性不成立；
a
所以是充分不必要条件．
故选： A．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．
30．（2023 秋 涟源市期末）已知二次函数 y = -x2 + bx + c 的零点为 -2 和 1，则关于 x 的不等式 x2 + bx - c > 0
的解集为 (　　 )
A． (- ， -1) (2 ， + ) B． (-1,2)
C． (-2,1) D． (- ， -2) (1， + )
【分析】根据二次函数的零点求出b 、 c 的值，代入不等式 x2 + bx - c > 0 中求解集即可．
【解答】解：二次函数 y = -x2 + bx + c 的零点为 -2 和 1，
所以 -2 和 1 是方程 -x2 + bx + c = 0的实数根，
ì-2 +1 = b
由根与系数的关系知， í ，
-2 1 = -c
解得b = -1， c = 2，
所以不等式 x2 + bx - c > 0 可化为 x2 - x - 2 > 0 ，
解得 x < -1或 x > 2，
所以不等式的解集为 (- ， -1) (2 ， + ) ．
故选： A．
【点评】本题考查了二次函数与对应方程和不等式的应用问题，是基础题．
31．（2023 秋 石嘴山期末）已知一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (- ，m) (-1， + )(m < -1)，
b 4则 + 的最小值为 (　　 )
a(1- m)
A．1 B．2 C．3 D．4
b
【分析】根据给定的解集，可得m -1 = - 并且b > 0 ，再利用均值不等式求出最小值即可．
a
【解答】解：由一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (- ，m) (-1， + )(m < -1)，
所以m ， -1是方程 ax2 + bx + c = 0 的两个不等实根，并且 a > 0，
b
所以m -1 = - ，即有b = a(1- m) > 0 ，
a
4 4 4
所以b + = b + …2 b × = 4，
a(1- m) b b
4
当且仅当b = ，即b = 2 时取等号，
b
所以b 4+ 的最小值为 4．
a(1- m)
故选： D ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与对应方程根的关系应用问题，也考查了基本不等式应用问题，
是基础题．
32．（ 2023 1 1秋 长乐区校级月考）若不等式 ax2 + 2x + c < 0 的解集是 (- ,- )
3 U( ,+ )，则不等式2
cx2 - 2x + a 0的解集是 (　　 )
A 1．[- , 1] B 1．[- , 1] C．[-2 ，3] D．[-3， 2]
2 3 3 2
【分析】根据不等式的解集求出 a， c 的值，从而求出不等式 cx2 - 2x + a 0的解集即可
1 1
【解答】解：不等式 ax2 + 2x + c < 0 的解集是 (- ,- ) ( ,+ )，
3 U 2
ì 1 1 2
- + = -1 1
\- 和 是方程 ax2 + 2x + c = 0 3 2 a的两个实数根，由
3 2 í
，
1 1 c- =
3 2 a
解得： a = -12， c = 2，
故不等式 cx2 - 2x + a 0即 2x2 - 2x -12 0，
即 x2 - x - 6 0，解得： -2 x 3，
所以所求不等式的解集是：[-2 ，3] ，
故选：C ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
33．（2024 龙凤区校级开学）若关于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在区间[2 ， 4]上有解，则实数m 的取值范围
为 (　　 )
A． (-3,+ ) B． (0,+ ) C． (- ,0) D． (- ,-3)
【分析】关于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在区间 [2 ， 4]上有解，结合二次函数的图像得出 42 + 4m - 4 > 0 ，
求解即可．
【解答】解：设 f (x) = x2 + mx - 4 ，因为 f (x) m是二次函数，且开口向上，对称轴为 x = - ；
2
因为关于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0 在区间[2 ， 4]上有解，
等价于 42 + 4m - 4 > 0 ，
解得m > -3，
所以实数m 的取值范围是 (-3,+ ) ．
故选： A．
【点评】本题考查了一元二次不等式在闭区间上有解的问题，是基础题．
34．（2024 广丰区校级开学）不等式mx2 - ax -1 > 0(m > 0)的解集不可能是 (　　 )
A．{x | x 1 1 3< -1或 x > } B． R C．{x | - < x < } D．{x | x < -3
4 3 2
或 x > 5}
【分析】根据不等式与对应的一元二次方程之间的关系，利用判别式即可得出结论．
【解答】解：不等式mx2 - ax -1 > 0 中，因为m > 0，所以△ = a2 + 4m > 0，
所以不等式对应的一元二次方程有两个不等的实数根，
所以该不等式的解集不可能是选项 B 和C ．
故选： BC ．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
35．（2023 秋 梅州期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (-2,1) ，则下列结论正确的是 (　　 )
A． a < 0 B．b < 0 C． c > 0 D． a - b + c < 0
【分析】根据不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集得出 -2 和 1 是方程 ax2 + bx + c = 0 的解，判断 a < 0 ，由此得出选
项中的命题是否正确．
【解答】解：不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (-2,1) ，所以 -2 和 1 是方程 ax2 + bx + c = 0 的解，且 a < 0 ，选
项 A正确；
ì b
-2 +1 = - a
由根与系数的关系知， í ，解得b = a < 0 ， c = -2a > 0 ，选项 B 正确，C 正确；
-2 1 c=
a
由不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (-2,1) ，且 -1 (-2,1)，所以 a - b + c > 0 ，选项 D 错误．
故选： ABC ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
36．（2023 秋 吉林期末）下列说法正确的是 (　　 )
A．命题“$x 0 ，使得 ex x +1”的否定是“"x > 0，都有 ex > x +1”
B 1．“ < 1”是“ a > 1”的必要不充分条件
a
C．若不等式 ax2 + 2x + c > 0 的解集为{x | -1 < x < 2}，则 a + c = 2
D．当 x > 1时， 2x 1+ 的最小值为 2 2 + 2
x -1
【分析】 A中，根据存在量词命题的否定是全称量词命题，判断即可；
B 1中，求出 < 1时 a的取值范围，即可判断充分与必要条件；
a
C 中，根据不等式与对应方程的关系，即可求出 a、 c 的值；
D 中，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：对于 A，命题“$x 0 ，使得 ex x +1”的否定是“"x 0，都有 ex > x +1”，选项 A错误；
对于 B 1， < 1 1时， a < 0 或 a > 1，所以“ < 1”是“ a > 1”的必要不充分条件，选项 B 正确；
a a
ì 2
-1+ 2 = - a ìa = -2
对于 C ，由题意知 -1和 2 是方程 ax2 + 2x + c = 0 的实数解，所以 í ，解得 í ，所以
c c = 4-1 2 =
a
a + c = 2 ，选项C 正确；
对于 D x 1， > 1时， 2x + = 2(x 1) 1- + + 2…2 2(x -1) 1× + 2 = 2 2 + 2，当且仅当 2(x -1) 1= ，
x -1 x -1 x -1 x -1
即 x 1 2= + 时取等号，
2
所以 2x 1+ 的最小值为 2 2 + 2 ，选项 D 正确．
x -1
故选： BCD．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．
37．（2023 秋 新化县期末）已知关于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0(a > 0， b > 0)的解集为
(- ,-1)U(1 ,+ ) ，则下列结论正确的是 (　　 )2
A 1． 2a + b = 1 B． ab的最大值为
8
C 1 2 4 D 1 1． + 的最小值为 ． + 的最小值为3 + 2 2
a b a b
【分析】根据一元二次不等式与二次方程的关系可得 a，b 的关系，结合基本不等式分别检验各选项，即可
得解．
【解答】解：因为关于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0(a > 0， b > 0)的解集为 (- ， -1) (1 ，
2
+ ) ，
ì 1 1 b - 3m- + =
2 2a + 3m
所以 í ，所以 2a + 3m = 2，b - 3m = -1，所以 2a + b = 1，选项 A正确；
1 1-1 = -
2 2a + 3m
因为 a > 0，b > 0 ，所以1 = 2a + b…2 2ab 2a b 1 1，当且仅当 = = 时取等号，解得 ab ，选项 B 正确；
2 8
1 2 2a + b 4a + 2b 4 b 4a …4 2 b 4a+ = + = + + + × = 8 1，当且仅当b = 2a = 时取等号，选项C 错误；
a b a b a b a b 2
1 1 2a + b 2a + b 3 b 2a+ = + = + + …3 + 2 2 b 2a，当且仅当 = 且 2a + b = 1，即 a = 1 2- ，b = 2 -1时取
a b a b a b a b 2
等号，选项 D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题考查了不等式与对应方程根的关系，以及利用基本不等式求最值的问题，是中档题．
38．（2023 秋 宿州期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | 2 < x < 3}，则下列说法正确的是
(　　 )
A． a > 0
B． a + b + c < 0
C．不等式 cx2 - bx + a < 0 的解集为{x | x 1< - 或 x 1> - }
2 3
2
D c + 4． 的最小值为 6
a + b
ì
a < 0

b
【分析】由不等式与方程的关系得 í2 + 3 = - ，从而可得b = -5a ， c = 6a ，且 a < 0 ，再依次对四个选项判
a
2 3 c = a
断即可．
【解答】解：Q不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | 2 < x < 3}，
ì
a < 0
b
\ í2 + 3 = - ，
a

2 3
c
=
a
即b = -5a ， c = 6a ，且 a < 0 ，
故选项 A错误；
a + b + c = a - 5a + 6a = 2a < 0 ，故选项 B 正确；
cx2 - bx + a < 0 可化为 6ax2 + 5ax + a < 0 ，
即 6x2 + 5x +1 > 0，
1 1
故不等式的解集为{x | x < - 或 x > - }，
2 3
故选项C 正确；
c2 + 4 36a2 + 4
= = (-9a) + ( 1- )…6，
a + b -4a a
1
当且仅当 a = - 时，等号成立，
3
故选项 D 正确；
故选： BCD．
【点评】本题考查了二次不等式及二次方程关系及基本不等式的应用，属于中档题．
39．（2023 秋 松山区期末）已知不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | m < x < n}，其中m > 0，则以下选项正
确的有 (　　 )
A． a < 0
B． c > 0
C． cx2 1 1+ bx + a > 0 的解集为{x | < x < }
n m
D． cx2 + bx + a > 0 的解集为{x | x 1 x 1< 或 > }
n m
【分析】依题意，可判断 a < 0 ， c > 0，利用根与系数的关系求出 a、b 、 c 的关系，代入 cx2 + bx + a > 0 求
解即可．
【解答】解：不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | m < x < n}，其中m > 0，
b
所以 a < 0 ，且m + n = - ，mn c= ，选项 A正确；
a a
所以b = -a(m + n) ， c = amn > 0，选项 B 错误；
所以不等式 cx2 + bx + a < 0 可化为 amnx2 - a(m + n)x + a > 0 ；
又 a < 0 ，所以mnx2 - (m + n)x +1 < 0 ，即 (mx -1)(nx -1) < 0 ；
0 m n 1 1 1 1又 < < ，所以 > ，所以 < x < ，
m n n m
1 1
即不等式 cx2 + bx + a < 0 的解集是{x | < x < }，
n m
所以选项C 正确、 D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化与运算能力，是中档题．
40．（2024 春 浦东新区校级月考）设 a > 0，若关于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是区间 (0,1) 的真子集，则 a
的取值范围是 　 (0,1) 　．
【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解．
【解答】解：因为 a > 0，所以解不等式 x2 - ax < 0，得 0 < x < a ，
又因为不等式 x2 - ax < 0的解集是区间 (0,1) 的真子集，
所以 a的取值范围是 (0,1) ．
故答案为： (0,1) ．
【点评】本题考查了含参数的不等式求解问题，是基础题．
41．（2023 1秋 清河区校级期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (- ， 2) ，那么关于 x 的不等
3
式 cx2 1+ bx + a < 0 的解集为　 (-3, )　．
2
【分析】由不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集求出 a、 b 和 c 的关系，再把不等式 cx2 + bx + a < 0 化为
2x2 + 5x - 3 < 0，求出解集即可．
【解答】解：不等式 ax2 + bx + c 1> 0 的解集为 (- ， 2) ，
3
1
所以 - 和 2 是方程 ax2 + bx + c = 0 的解，
3
ì 1
- + 2
b
= -
3 a
1
所以 í- 2
c
= ，
3 a
a < 0

b 5解得 = - a 2， c = - a ，且 a < 0 ；
3 3
所以关于 x 的不等式 cx2 + bx + a < 0
2 5
化为 - ax2 - ax + a < 0，
3 3
整理为 2x2 + 5x - 3 < 0，
3 x 1解得 - < < ，
2
1
不等式的解集为 (-3, )．
2
故答案为： (-3, 1)．
2
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
42．（2024 重庆模拟）若关于 x 的不等式 0 ax2 + bx + c 2(a > 0) 的解集为{x | -1 x 3}，则 3a + b + 2c的取
值范围是 [3　 ， 4) 　．
2
【分析】根据一元二次不等式的解集得到对称轴，再根据端点得到两个等式和一个不等式，求出 a的取值范
围，把3a + b + 2c都表示成 a的形式即可求解．
【解答】解：因为不等式 0 ax2 + bx + c 2(a > 0) 的解集为{x | -1 x 3}，
所以二次函数 f (x) = ax2 + bx + c 的对称轴为直线 x = 1，
ì f (-1) = 2 ìa - b + c = 2
ìb = -2a
且需满足 í f (3) = 2 ，即 í9a + 3b + c = 2，解得 í ，
f (1)…0 a + b + c…0 c = -3a + 2
所以 a + b + c = a - 2a - 3a + 2…0 1 1，解得 a ，所以 a的取值范围是 (0 ， ]，
2 2
3
所以3a + b + 2c = 3a - 2a - 6a + 4 = 4 - 5a [ ,4) ．
2
3
故答案为：[ ,4)．
2
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点
的值，是中档题．
43．（2023 秋 阜南县期末）解关于 x 的不等式 (x - a)(x -1) 0(a R) ．
【分析】根据不等式对应方程的两个实数根，讨论两根的大小写出不等式的解集．
【解答】解：不等式 (x - a)(x -1) 0 对应方程的两个实数根为 a和 1，
当 a > 1时，不等式的解集为[1， a] ；
当 a = 1时，不等式的解集为{1}；
当 a < 1时，不等式的解集为[a，1]．
【点评】本题考查了求含有字母系数的一元二次不等式解集的应用问题，是基础题．
44．（2023 秋 南充期末）已知函数 f (x) = x2 - mx +1．
（1）若关于 x 的不等式 f (x) + n -1 0 的解集为[-1， 2]，求实数m ， n的值；
（2）求关于 x 的不等式 f (x) - x + m -1 > 0(m R) 的解集．
【分析】（1）不等式化为 x2 - mx + n 0 ，根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出m 、 n的值；
（2）不等式化为 (x - m)(x -1) > 0，讨论m 与 1 的大小，即可写出不等式的解集．
【解答】解：（1）因为函数 f (x) = x2 - mx +1，所以不等式 f (x) + n -1 0 可化为 x2 - mx + n 0 ，
所以 -1和 2 是方程 x2 - mx + n = 0的两个实数根，
ì-1+ 2 = m
由根与系数的关系知， í ，解得m = 1， n = -2 ；
-1 2 = n
（2）不等式 f (x) - x + m -1 > 0 可化为 x2 - (m +1)x + m > 0 ，
即 (x - m)(x -1) > 0，
m = 1时，不等式化为 (x -1)2 > 0 ，解得 x 1；
m > 1时，解不等式得， x < 1或 x > m ；
m < 1时，解不等式得， x < m或 x > 1；
综上知，m = 1时，不等式化的解集为{x | x 1}；
m > 1时，不等式的解集为{x | x < 1或 x > m}；
m < 1时，不等式的解集为{x | x < m或 x > 1}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
45．（2023 秋 阿勒泰地区期末）已知集合 A = {x | x2 - 3x - 4 < 0}， B = {x | a +1 < x < 3a +1}．
（1）当 a = 2时，求 AUB ；
（2）若 AIB = B ，求 a的取值范围．
【分析】（1）化简集合 A，求出 a = 2时集合 B ，根据并集的定义计算 AUB ．
（2）由 AIB = B 得 B A，讨论 B = 和 B 时，求出 a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得， A = {x | (x +1)(x - 4) < 0} = {x | -1 < x < 4}；
当 a = 2时， B = {x | 3 < x < 7}，
所以 AUB = {x | -1 < x < 7}．
（2）若 AIB = B ，则 B A，
所以当 B = 时， a +1…3a +1，解得 a 0 ；
ìa > 0,
当 B 时， ía +1… -1, ，解得 0 < a 1；

3a +1 4,
综上， a的取值范围是 (- ，1]．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
46．（2023 秋 金安区校级期末）已知集合 A = {x | -3 x < 0}，集合 B = {x | 2 - x > x2}．
（1）求 AIB ；
（2）若集合C = {x | 2a x a + 2}，且C (AIB)，求实数 a的取值范围．
【分析】（1）整理集合 A、 B ，即可得到它们的交集；
（2）讨论C = 与C 时，求出满足条件的 a的取值范围即可．
【解答】解：（1）因为集合 B = {x | 2 - x > x2} = {x | x2 + x - 2 < 0} = {x | -2 < x < 1}，
所以 AIB = {x | -2 < x < 0}．
（2）当C = 时， 2a > a + 2，即 a > 2，满足条件；
ì2a a + 2
C 当 时， í2a > -2 ，不等式组无解；

a + 2 < 0
综上，实数 a的取值范围是{a | a > 2}．
【点评】本题考查了集合关系中参数的取值范围问题，是基础题．
47．（2023 秋 沙坪坝区校级期末）若函数 f (x) = ax2 + bx + 4，
（1）若不等式 f (x) 0 (1< 的解集为 , 4) ，求 a，b 的值；
2
（2）当 a = 1时，求 f (x) > 0(b R)的解集．
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由韦达定理列方程组求出 a、b 的值；
（2）利用判别式△即可求出对应不等式 f (x) > 0 的解集．
【解答】解：（1）根据不等式 f (x) 1< 0的解集为 ( ,4) 1知， 和 4 是方程 ax2 + bx + 4 = 0的解，
2 2
ì1 9 b
+ 4 = = - 2 2 a
由韦达定理知， a > 0且 í ，解得 a = 2，b = -9；
1 4× 4 = 2 =
2 a
（2）因为 a = 1，所以 f (x) = x2 + bx + 4 ，
因为△ = b2 -16 ，
当△< 0 ，即 -4 < b < 4时，不等式 f (x) > 0 的解集为 R ；
当△ = 0，即b = ±4时，不等式 f (x) > 0 的解集为{x | x b }；
2
f (x) 0 {x | x -b - b
2 -16 -b + b2 -16
当△ > 0，即b < -4或b > 4 时，不等式 > 的解集为 < 或 x > }．
2 2
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．
48．（2023 秋 山西期末）已知关于 x 的不等式 ax2 - 3x + b > 0的解集为{x | x < 1或 x > 2}．
（1）求 a，b 的值；
（2）当 c > 0时，求关于 x 的不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 的解集（用 c 表示）．
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的根，利用根与系数的关系求出 a、b ；
（2）把 a、b 代入不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 中，化简求解即可．
【解答】解：（1）因为不等式 ax2 - 3x + b > 0的解集为{x | x < 1或 x > 2}，
所以 1，2 是方程 ax2 - 3x + b = 0的两根，
ì
1 2
3
+ =
a ìa = 1
由根与系数的关系知 í ，解得 í ；
1 b b = 2 2 =
a
（2）把 a = 1，b = 2 代入不等式 cx2 - (ac +1)x +1 < 0 ，得 cx2 - (c +1)x +1 < 0，
令 cx2 - (c +1)x +1 = 0 1，解得 x = 1或 x = ，
c
① c = 1时，不等式为 (x -1)2 < 0 ，解集为 ；
② c 1> 1时， < 1，不等式的解集为{x | 1 < x < 1}；
c c
③ 0 < c 1 1 1 1< 时， > ，不等式的解集为{x |1 < x < }．
c c
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
49．（2023 秋 阳江期末）已知不等式 x2 - (a + 2)x + b 0的解集为{x |1 x 2}．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）解关于 x 的不等式： (x - c)(ax - 2) > 0(c 为常数，且 c 2)
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出 a、b 的值．
（2）不等式为 (x - c)(x - 2) > 0，讨论 c < 2和 c > 2，写出对应不等式的解集．
【解答】解：（1）因为不等式 x2 - (a + 2)x + b 0的解集为{x |1 x 2}，
所以 1 和 2 是方程 x2 - (a + 2)x + b = 0 的两根，
ì1+ 2 = a + 2
由根与系数的关系知， í ，解得 a = 1，b = 2 ．
1 2 = b
（2）不等式 (x - c)(ax - 2) > 0即为 (x - c)(x - 2) > 0，
由 c 2 ，则 c < 2时，解不等式得， x < c或 x > 2；
c > 2时，解不等式得， x < 2 或 x > c ；
综上， c < 2时，不等式的解集为{x | x < c或 x > 2}；
c > 2时，不等式的解集为{x | x < 2 或 x > c}．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
50．（2023 秋 双塔区校级期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + 2bx - 3 < 0 的解集为{x | -1 < x < 2}．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）解关于 x 的不等式： (ax +1)(-bx + m) > 0 ，其中m 是实数．
【分析】（1）根据不等式的解集对应方程的根，利用根与系数的关系列式求解即可；
（2）根据两根大小关系分类解不等式即可．
【解答】解：（1）因为 ax2 + 2bx - 3 < 0 ，所以 ax2 + 2bx - 3 = 0 的根为 -1和 2，且 a > 0，
ì
-1 2
2b 3
+ = - ìa =
a
所以 í ，解得
2
í ；
1 2 3 b 3- = - = -
a 4
（2 3 3）不等式 (ax +1)(-bx + m) > 0 可化为 ( x +1)( x + m) > 0 ，
2 4
即 (x 2+ )(x 4m+ ) > 0，
3 3
4 m 2 m 1 ( , 4 m)U( 2①当 - < - ，即 > 时，不等式的解集为 - - - ,+ ) ；3 3 2 3 3
4
②当 - m 2 m 1 2 2= - ，即 = 时，不等式的解集为 (- ,- )U(- ,+ ) ；3 3 2 3 3
4 2 1 2 4
③当 - m > - ，即m < 时，不等式的解集为 (- ,- )U(- m,+ ) ．3 3 2 3 3
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
51．（2023 秋 广州期末）设全集为 R ，集合 A = {x | x2 - 5x - 6 > 0}， B = {x | a +1 < x < 2a -1}．
（1）若 a = 4，求 AUB ， AI R B ；
（2）若 ( R A)IB = ，求实数 a的取值范围．
【分析】（1）解不等式求出集合 A，写出 a = 4时集合 B ，根据并集、交集和补集的定义计算即可；
（2）根据 ( R A)IB = ，讨论 a的取值情况，即可求出实数 a的取值范围．
【解答】解：（1）因为集合 A = {x | x2 - 5x - 6 > 0} = {x | x < -1或 x > 6}，
a = 4时，集合 B = {x | 5 < x < 7}，
所以 AUB = {x | x < -1或 x > 5}，
又因为全集为 R ，所以 R B = {x | x 5或 x…7}，
所以 AI( R B) = {x |x < -1或 x…7}；
（2）因为 R A = {x | -1 x 6}，且 ( R A)IB = ，
所以 a +1…2a -1时， a 2 ，此时 B = ，满足题意；
ìa > 2
由 í … ，解得 a…5； a +1 6
ìa > 2
由 í ，解得 a ；
2a -1 -1
综上，实数 a的取值范围是{a | a 2 或 a…5}．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
52．（2023 秋 呼和浩特期末）（1）若关于 x 的不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0对"x R 都成立，求 a的取值范围；
（2）已知二次不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0的解集为{x | x1 < x < x2}，且 | x1 - x2 |= 5，求 a的值．
【分析】（1）讨论 a = 0时和 a 0时，利用判别式△< 0 求出 a的取值范围；
（2）由题意知 x1 、 x2 是对应方程的实数根，利用根与系数的关系即可求出 a的值．
【解答】解：（1） a = 0时，不等式 ax2 + 4ax - 3 < 0为 -3 < 0 ，满足题意；
ìa < 0
a 0 3时，应满足 í 2 ，解得 - < a < 0，
V= 16a +12a < 0 4
所以 a的取值范围是{a | 3- < a 0}；
4
（2）由题意知， x1 、 x2 是方程 ax
2 + 4ax - 3 = 0的实数根，且 a > 0，
ìx1 + x2 = -4
由根与系数的关系知， í 3 ，
x1 × x2 = - a
3
因为 | x1 - x2 |= 5，所以 (x
2
1 - x2 ) = (x
2
1 + x2 ) - 4x1x2 = 16 - 4 (- ) = 25，a
4
解得 a = ．
3
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
53．（2023 秋 定西期末）已知集合 A = {x | x2 - 2x - 3 < 0}， B = {x | x2 - (2m -1)x - 2m 0}．
（1）当m = 1时，求 AUB ；
（2）若 x A是 x B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）化简集合 A、 B ，根据并集的定义求出 AUB ；
（2）根据 x A是 x B 的充分不必要条件得出 A是 B 的真子集，由此列不等式求出 B 中m 的取值范围．
【解答】解：（1）集合 A = {x | x2 - 2x - 3 < 0} = {x | -1 < x < 3}，
m = 1时， B = {x | x2 - x - 2 0} = {x | -1 x 2}，
所以 AUB = {x | -1 x < 3}；
（2）若 x A是 x B 的充分不必要条件，则 A是 B 的真子集，
由 B = {x | x2 - (2m -1)x - 2m 0} = {x | (x - 2m)(x +1) 0}，
所以 2m 和 -1是对应方程的两个解，且 2m > -1；
ì2m > -1
所以 í ，
2m…3
解得m… 3 ，
2
3
所以实数m 的取值范围是{m | m… }．
2
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
54．（2023 秋 西安区校级期末）已知关于 x 的不等式 2ax2 - 8x - 3a2 < 0的解集为{x | -1 < x < b}．
（1）求实数 a，b 的值；
2 x 0 y 0 a b（ ）当 > ， > ，且满足 + = 1时，求3x + 2y 的最小值．
x y
【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出 a、b 的值．
（2）根据题意，利用基本不等式，即可求出3x + 2y 的最小值．
【解答】解：（1）因为不等式 2ax2 - 8x - 3a2 < 0的解集为{x | -1 < x < b}，
所以 a > 0，且 -1，b 是方程 2ax2 - 8x - 3a2 = 0的两个根，
ì 4
-1+ b =
由根与系数的关系知， aí ，
1 b 3- = - a
2
4
解得 a = 2或 a = - （不合题意，舍去），b = 3．
3
2 3
（2）当 x > 0 ， y > 0 时，由（1）得 + = 1，
x y
所以 2x + y = (3x + 2y)(2 3) 12 4y 9x…12 2 4y 9x+ = + + + × = 24，
x y x y x y
ì4y 9x
=
当且仅当 í x y ，即 x = 4， y = 6 时，等号成立，
2y + 3x = xy
所以3x + 2y 的最小值为 24．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的问题，
是基础题．
55．（2024 春 湖北月考）已知函数 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4， (a R) ．
（1）解关于 x 的不等式： f (x) 1；
（2）命题“"x (1,+ )， f (x)…0”是真命题，求 a的最大值．
【分析】（1）根据条件得到 (x -1)[x - (a - 5)] 0，利用含参的一元二次不等式的解法，对 a进行讨论，即可
求出结果；
（2）根据条件得到 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4…0 在区间 (1,+ )上恒成立，从而转化成求 f (x) 在区间 (1,+ )
上的最小值，即可解决问题．
【解答】解：（1）由 f (x) 1，得 x2 + (4 - a)x + a - 4 1，即 (x -1)[x - (a - 5)] 0，
当 a - 5 < 1，即 a < 6 时，解得 a - 5 x 1，
当 a = 6时，解得 x = 1，
当 a - 5 > 1，即 a > 6时，解得1 x a - 5，
综上所述， a < 6 时，原不等式的解为{x | a - 5 x 1}，
当 a = 6时，原不等式的解为{x | x = 1}，
当 a > 6时，原不等式的解为{x |1 x a - 5}．
（2）由题知， f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4…0 在区间 (1,+ )上恒成立，
又 f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4 a对称轴为 x = - 2，
2
a
当 x = - 2 1，即 a 6 时， f (x) = x2 + (4 - a)x + a - 4在区间 (1,+ )上单调递增，
2
所以，当 x (1,+ ) 时， f (x) > f （1） = 1+ 4 - a + a - 4 = 1 > 0恒成立，即 a 6 满足条件，
x a当 = - 2 > 1，即 a > 6，由题有△ = (4 - a)2 - 4(a - 4) 0，得到 4 a 8，所以 6 < a 8 ，
2
综上， a的最大值为 8．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
56．（2023 秋 天津期末）函数 f (x) = ax2 + bx +1(a,b R)．
（1）若 f (x) 1< 0的解集是{x | x < -2 ，或 x > 3}，求不等式 ax2 + bx + > 0的解集；
3
（2）当 a > 0时，求关于 x 的不等式 f (x) + (a - b +1)x > 0的解集．
【分析】（1）不等式 f (x) < 0可化为 ax2 + bx +1 < 0，利用不等式的解集与对应方程的关系求出 a、b ，代入
不等式 ax2 + bx 1+ > 0中求解即可；
3
（2 1）不等式可化为 (x + )(x +1) > 0，讨论 a与 1 的大小，即可写出不等式的解集．
a
【解答】解：（1）由函数 f (x) = ax2 + bx +1，得不等式 f (x) < 0可化为 ax2 + bx +1 < 0，
所以 -2 和 3 是方程 ax2 + bx +1 = 0的解，由根与系数的关系知，
ì
-2 + 3
b
= -
a 1 1
í ，解得 a = - ，b = ；
2 3 1 6 6- =
a
所以不等式 ax2 bx 1 0 1+ + > 可化为 - x2 1 1+ x + > 0，
3 6 6 3
即 x2 - x - 2 < 0 ，解得 -1 < x < 2，
所以该不等式的解集为{x | -1 < x < 2}；
（2）不等式 f (x) + (a - b +1)x > 0可化为 ax2 + (a +1)x +1 > 0，
即 (ax +1)(x +1) > 0 ，
因为 a 1> 0，所以不等式化为 (x + )(x +1) > 0，
a
当 a = 1时，不等式为 (x +1)2 > 0 ，解得 x -1；
当 0 1 1< a < 1时， - < -1，解不等式得， x < - 或 x > -1；
a a
当 a > 1 1时， - > -1，解不等式得， x < -1或 x 1> - ；
a a
综上， a = 1时，不等式的解集为{x | x -1}；
0 a 1 {x | x 1< < 时，不等式的解集为 < - 或 x > -1}；
a
a > 1 1时，不等式的解集为{x | x < -1或 x > - }．
a
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．
57．（2023 秋 金安区校级期末）已知函数 f (x) = x2 - (a + b)x + a ．
（1）若关于 x 的不等式 f (x) < 0的解集为 (1,2)，求 a，b 的值；
（2）当b = 1时，解关于 x 的不等式 f (x) > 0 ．
【分析】（1）由不等式 f (x) < 0的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出 a、b 的值；
（2）b = 1时不等式可化为 (x - a)(x -1) > 0，讨论 a与 1 的大小，从而求出不等式的解集．
【解答】解：（1）由函数 f (x) = x2 - (a + b)x + a ，不等式 f (x) < 0化为 x2 - (a + b)x + a < 0，
由不等式的解集为 (1,2)，所以方程 x2 - (a + b)x + a = 0的两根为 1 和 2，
ì1+ 2 = a + b
由根与系数的关系知： í ，解得 a = 2，b = 1；
1 2 = a
（2）b = 1时不等式 f (x) > 0 可化为 x2 - (a +1)x + a > 0，
即 (x - a)(x -1) > 0；
当 a > 1时，解不等式得 x < 1或 x > a；
当 a = 1时，解不等式得 x 1；
当 a < 1时，解不等式得 x < a 或 x > 1．
所以 a > 1时，不等式的解集为{x | x < 1或 x > a}；
a = 1时，不等式的解集为{x | x 1}；
a < 1时，不等式的解集为{x | x < a 或 x > 1}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
58．（2023 秋 三明期末）集合 A = {x | ax2 - 3x - 4…0}， B = {x | x…b 或 x -1}，且 A = B．
（1）求 a，b 的值；
（2）若集合 P = {x | m +1 < x < 2m}，且“ x P ”是“ x R A ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）由 x = -1是方程 ax2 - 3x - 4 = 0的根得 a，再结合已知条件解一元二次不等式得b ．
（2）由充分不必要条件得集合的包含关系，列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）因为 A = B， B = {x | x…b 或 x -1}，
所以 x = -1是方程 ax2 - 3x - 4 = 0的根，所以 a = 1．
由 x2 - 3x - 4…0可得 x…4 或 x -1，所以 A = {x | x…4或 x -1}，
又因为 A = B， B = {x | x…4或 x -1}，
所以b = 4 ， a = 1．
（2）因为 A = {x | x…4或 x -1}，
所以 R A = {x | -1 < x < 4}，
因为“ x P ”是“ x R A ”的充分不必要条件，所以 P 是 R A的真子集，
ìm +1 < 2m ìm +1 < 2m

所以 í m +1… -1 或 í m +1 > -1 ，则1 < m 2 ，

2m < 4 2m 4
所以实数 a的取值范围是 (1， 2]．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了集合的运算问题，是中档题．
59．（2023 秋 德庆县校级期末）已知函数 f (x) = ax2 - (2a +1)x + c ，且 f (0) = 2．
（1）若 f (x) < 0 f (x)的解集为{x | 2 < x < 8}，求函数 y = 的值域；
x
（2）当 a > 0时，解不等式 f (x) < 0．
【分析】（1）由 f (0) 求出 c 的值，再根据 f (x) < 0 f (x)的解集求出 a的值，写出 y = 的解析式，求函数的值
x
域即可．
（2）利用分类讨论法求不等式 f (x) < 0的解集．
【解答】解：由题意可得， f (0) = c = 2 ；
c 2 1
（1）因为 f (x) < 0的解集为{x | 2 < x < 8}，所以 2 8 = = ，解得 a = ，
a a 8
y f (x) 1 x 2 5所以 = = + - ．
x 8 x 4
x 0 1 x 2 5…2 1 2 5 1当 > 时， + - x × - = - ，当且仅当 x = 4时等号成立；
8 x 4 8 x 4 4
x 0 1 x 2 5 [( 1 x) ( 2)] 5 2 ( 1 2 5 9当 < 时， + - = - - + - - - - x) × (- ) - = - ，当且仅当 x = -4 时等号成立．
8 x 4 8 x 4 8 x 4 4
f (x)
所以函数 y = 的值域为 (- , 9- ]U[ 1- ,+ )．x 4 4
（2） f (x) = ax2 - (2a +1)x + 2 = (ax -1)(x - 2) ．
当 a > 0时，分三种情况讨论：
1 1 1
①当 < 2 ，即 a > 时，解不等式 f (x) < 0，得 < x < 2 ；
a 2 a
1
②当 = 2 a 1，即 = 时，不等式化为 (x - 2)2 < 0 ，无解；
a 2
1
③当 > 2 ，即 0 1< a < 时，解不等式 f (x) < 0，得 2 1< x < ．
a 2 a
1
综上所述，当 a > 时，不等式 f (x) 1< 0 ì的解集为 íx | < x < 2
ü
2 a
；

a 1当 = 时，不等式 f (x) < 0的解集为 ；
2
1 1
当 0 < a < 时，不等式 f (x) < 0 ì的解集为 íx | 2 < x <
ü
．2 a
【点评】本题考查了一元二次不等式域对应方程和函数的应用问题，是中档题．
七．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共 1 小题）
60．（2023 秋 青羊区校级期末）方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的两根都大于 2，则m 的取值范围是 (　　 )
A． (-5， -4] B． (- ， -4]
C． (- ， -2] D． (- ， -5) (-5， -4]
【分析】方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的两根都大于 2，则其相应的函数 f (x) = x2 + (m - 2)x + 5 - m与 x 轴的
两个交点都在直线 x = 2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于 2， f （2） > 0，且△…0，解此三式组成
的方程组即可求出参数m 的范围．
【解答】解：令 f (x) = x2 + (m - 2)x + 5 - m 2 - m，其对称轴方程为 x =
2
ì2 - m
> 2
2
由已知方程 x2 + (m - 2)x + 5 - m = 0的两根都大于 2，故有 í f (2) > 0

V…0

ì2 - m
> 2
2
即 í4 + 2m - 4 + 5 - m > 0 解得 -5 < m - 4

(m - 2)
2- 4(5 - m)…0

m 的取值范围是 (-5， -4]
故应选 A．
【点评】本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，考查知道了一元二次方程根的特征，将其转化
为方程组解参数范围的能力，本题解题技巧是数形结合，借助图象转化出不等式组，此是这一类题的常用
方法．

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