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培优点 05 三角函数中有关ω的范围问题（4 种核心题型+基
础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
在三角函数的图象与性质中，ω 的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉
及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
【核心题型】
题型一　三角函数的单调性与 ω 的关系
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求 ω 的取值范围．
2π π π
【例题 1】（2024·广东湛江·一模）已知函数 f x = sin wx + ÷ w > 0 在区间 ,3 12 6 ÷上单è è
调递增，则w 的取值范围是（ ）
A． 2,5 B． 1,14 C． 9,10 D． 10,11
【答案】D
2π
【分析】由 x 的范围可求得wx + 的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即
3
可构造不等式组求得结果.
π π 2π π 2π π 2π
【详解】当 x , ÷时，wx + w + , w +12 6 3 12 3 6 3 ÷
，
è è
ì π
w
2π π
+ - + 2kπ
Q f x π π 12 3 2在 , 上单调递增，\ k Z ，
è12 6 ÷
í
π w 2π π+ + 2kπ
6 3 2
ìw -14 + 24k k Z ì-14 + 24k -1+12k解得： í ，又w > 0，\ ，
w -1+12k
í
-1+12k > 0
1 13
解得： < k ，又 k Z ，\k =1，\10 w 11，
12 12
即w 的取值范围为 10,11 .
故选：D.
【变式 1】（多选）（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0,j R)
π π π 5π
在区间 ,4 2 ÷ 上单调，且满足
f ÷ = - f ÷ ，下列结论正确的有（ ）
è è 4 è 12
f π A． ÷ = 0
è 3
f π B．若 - x ÷ = f x
2π
，则函数 f x 的最小正周期为
è 3 3
C．关于 x 方程 f x =1在区间 0,2π 上最多有 4 个不相等的实数解
f x éπ ,11πD ．若函数 在区间 ê ÷ 上恰有 5 个零点，则w
8 ,3ù
3 6
的取值范围为
è 3 ú
【答案】ABD
【分析】对 A：利用对称性直接求得；
π π
对 B：根据对称中心与对称轴可得周期表达式，结合区间 ,4 2 ÷上单调求出函数的最小正周è
期，即可判断；
π π 2π
对 C：先判断出周期T 4 - ÷ = ，结合周期越大， f x =1的根的个数越少，解出
è 2 3 3
f x =1在区间 0,2π 上最多有 3 个不相等的实数根，即可判断.
2T 11π π 5T对 D：由题意分析 < - ，建立关于w 的不等式组，求出w 的取值范围.
6 3 2
【详解】函数 f x = sin wx +j f π = - f 5π 满足 4 ÷ ÷ .è è 12
5π π
+ π
对 A：因为 12 4 π ，所以 f= ÷ = 0，故 A 正确；
2 3 è 3
π π π
对 B：由于 f - x ÷ = f x ，所以函数 f x 的一条对称轴方程为 x 3 π .又 ,0= = 3 ÷为一è 3 2 6 è
个对称中心，
1 1 π π π
由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期满足 + k ÷T = - = k N ，即
è 4 2 3 6 6
T 2π= k N 3 2k +1 .
π , π 1 π π又区间 ÷上单调，故 T - ，即T
π
，故T
2π
=
4 2 ，故
B 正确；
è 2 2 4 2 3
f x sin wx π π= +j , f π = - f 5π 对 C：函数 在区间 4 2 ÷上单调，且满足 4 ÷ ÷，è è è 12
f π π π 2π可得： ÷ = 0，所以周期T 4 - ÷ = ，
è 3 è 2 3 3
又周期越大， f x =1的根的个数越少.
T 2π w 2π
π
当 = 时， = = 3，又 f

÷ = 0， f x = sin π +j = 0，得 f x = sin 3x .3 T è 3
所以 f x =1在区间 0,2π π 5π 3π上有 3 个不相等的实数根： x = ， x = 或 x = ，
6 6 2
故至多 3 个不同的实数解，故 C 错误.
对 D：函数 f x é π ,11π 11π π 5T在区间 ê ÷ 上恰有 5 个零点，所以 2T < - ， 3 6 6 3 2
2 2π 3π 5 2π 8 10
π π 2π 2π 2π
所以 × < × ，解得： < w ，且满足T 4
- = ，即 ，即
w 2 2 w 3 3 è 2 3 ÷ 3 w 3
w 3
8 ù
，故 ,3ú .故 D 正确.è 3
故选：ABD
【变式 2】（2024·福建南平·二模）函数 f x = sinwx w 0 é π π> ù在区间 ê- , 6 3 ú 上单调递增，且
在区间 0, 2π 上恰有两个极值点，则w 的取值范围是 .
3 5
【答案】 < w
4 4
3 3 5
【分析】利用正弦型函数的单调性可得0 < w ，利用正弦型函数的极值点可得 < w .
2 4 4
π π
【详解】由 f x = sinwx w > 0 é- , ù在区间 ê ú 上单调递增， 6 3
π w π π π可得- - + 2kπ， w + 2kπ ， k Z，
6 2 3 2
3 3
即w 3-12k ，w + 6k ， k Z，即0 < w ，
2 2
又 f x = sinwx w > 0 在区间 0,2π 上恰有两个极值点，
3π
可得 < 2wπ
5π 3 5
，即 < w .
2 2 4 4
3 5
综上， < w .
4 4
3
故答案为： < w
5
.
4 4
π
【变式 3】（23-24 高三下·

甘肃·阶段练习）已知函数 f (x) = sin wx + ÷ (w > 0)6 ．è
(1)当w = 2时，求函数 f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
(2)若函数 f (x) 的导函数为 g(x)，且 g(x) é在 ê0,
π ù
2 ú
上为减函数，求 ω 的取值范围．

1
【答案】(1) y = 3x +
2

(2) 0,
5ù
è 3 ú
1 π
【分析】（1）代入w = 2，依次求得 f 0 = ， f 0 = 2cos = 3 即可得解；
2 6
g x = -w2 sin π é π（2 ù）原题等价于 wx + ÷ 0在 ê0, 2 ú 上恒成立，进一步结合复合函数单调性、è 6
值域即可列出不等式组求解.
π
【详解】（1）因为w = 2，所以 f (x) = sin 2x + ÷，
è 6
故 f 0 1= ，且 f x = 2cos 2x
π
+ f 0 π÷，从而 = 2cos = 3 ，2 è 6 6
此时函数 f (x) 在点 (0, f (0))
1 1
处的切线方程 y - = 3x ，即 y = 3x + .
2 2
（2） g x = f x = w cos wx π+ 2 ÷， g x = -w sin wx
π
+
6 6 ÷
，
è è
因为 g(x) é0,
π ù é π ù
在 ê 2 ú 上为减函数，所以
g x 0在 ê0, 2 ú 上恒成立，
-w2 sin π é π ù即 wx + ÷ 0在 0, 上恒成立，
è 6 ê 2 ú
sin π é π ù也就是 wx + ÷ 0在 0, 上恒成立，
è 6 ê 2 ú
x é0, π ù
π é π
注意到w > 0，且当 ê ú 时，有wx + ê ,
π w π+ ù，
2 6 6 2 6 ú
ì π w π + π 5
所以当且仅当 í 2 6 满足题意，解得0 < w ，
w > 0
3
5ù
也就是说 ω 的取值范围为 0,
è 3 ú
.
题型二　三角函数的对称性与 ω 的关系
T
　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和
2
T
对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期
4
性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于 ω 的不等式组，进而可以研究
“ω”的取值范围．
【例题 2】（2023·内蒙古赤峰·三模）已知函数 f x = 3 sinwx - coswx w > 0 的一条对称轴
是 x
π
= ，若存在m,c R3 使直线
x + my + c = 0与函数 f x 的图像相切，则当w 取最小正数
时，实数 m 的取值范围是（ ）
1
A． - ,0

1
÷ ,
1 1
+ é é ÷ B． - ,0 ,+
è 2 è 2 ê 2 ÷ ÷ ê 2
- , 1- 1 1 ù é1 C． 4 ÷
U ,+ D． - , - , +
è è 4 ÷ ÷ è 4ú ê 4
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的对称性求w ，再由导数的几何意
义求 m 的取值范围.
【详解】 f x = 3 sinwx - coswx = 2sin π wx -

÷，
è 6
∵ x π= 是 f x 3 的一条对称轴，
wπ π π
∴ - = + kπ ， k Z，
3 6 2
∴w = 2 + 3k ，又w > 0，
∴w 的最小正整数值为 2．
∴ f x = 2sin 2x π- ÷，
è 6
∴ f x = 4cos 2x
π
- ÷ -4,4 ，
è 6
若$m,c R 使 x + my + c = 0与 f x 相切，
4 1 4 m 1 1则m 0 ，且- - ，解得 或m -
m 4 4
故选：D.
1
【变式 1】（2023·四川成都·模拟预测）已知函数 f (x) = 2 2 coswx sin(wx
π
+ ) é ù的图象在 0,
4 ê 2 ú
上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数w 的取值范围为 .
( 5π , 3π 3π【答案】 - - ]U[ ,
5π)
4 4 4 4
【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简 f (x) ，再根据正弦函数的对称轴和对称中
心可求出结果.
f (x) 2 2 coswx sin(wx π) 2 2 coswx(sinwx cos π【详解】 = + = + coswx sin
π)
4 4 4
π
= sin 2wx + cos 2wx +1 = 2 sin(2wx + ) +1 ,
4
当w = 0 时， f (x) 为常数，不合题意，
0 x 1 π 2wx π π当w > 0， 时， + w + ，
2 4 4 4
é0, 1 ù要使 f (x) 在 ê ú 上恰有一条对称轴和一个对称中心， 2
π w π 3π 3π 5π则 + < ，即 w < ，
4 2 4 4
1 π π π
当w < 0 ，0 x 时，w + 2wx + ，
2 4 4 4
é0, 1 ù要使 f (x) 在 ê ú 上恰有一条对称轴和一个对称中心， 2
π w π π 5π w 3π则- < + - ，即- < - .
4 2 4 4
( 5π , 3π故答案为： - - ]U[
3π , 5π)
4 4 4 4
1
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = + 3sinwxcoswx - cos2wx w > 0 ，若 f x
2
的图象在 0, π 上有且仅有两条对称轴，则w 的取值范围是 ．
é5
【答案】 ê ,
4
6 3 ÷
【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简 f x ，由已知条件结合正弦函数性质可
得结果.
【详解】因为 f x 1 3sinwxcoswx cos2wx 3 sin2wx 1 cos2wx sin 2wx π= + - = - = -

，
2 2 2 ֏ 6
因为 f x 的图象在 0, π 3π上有且仅有两条对称轴，所以 2wπ π 5π- < ，
2 6 2
5 4 5 4
解得 w < ，所以w
é
的取值范围是 , ．
6 3 ê ÷ 6 3
é5 4
故答案为： ê ,6 3 ÷
.

【变式 3】（2023·上海普陀·三模）设函数 f x 3= sin2wx +cos2wx，其中0 < w < 2 .
2
(1)若 f x 的最小正周期为 π，求 f x 的单调增区间；
(2) f x π ù若函数 图象在 0, 3 ú 上存在对称轴，求w 的取值范围.è
é π
【答案】(1) ê- + kπ,
π
+ kπùú ， k Z 3 6
1
(2) w < 2
2
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出w ，然后利
用正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数 y = sin x 的对称轴公式求参数的范围.
【详解】（1）由题意，
f x 3 sin2wx cos2wx 3= + = sin2wx 1+ (cos 2wx +1) = sin 2wx
π 1+ + ，
2 2 2 ֏ 6 2
2π
又0 < w < 2，于是 = π ，则w =1，则 f x π 1= sin
2w
2x + ÷ + ，
è 6 2
π é π
根据正弦函数的单调递增区间，令 2x + ê2kπ - , 2kπ
π
+ ù
6 2 2 ú
, k Z，

é π π ù
解得 ê- + kπ, + kπú ， k Z ,即为 f (x) 的单调递增区间. 3 6
x 0, π ù 2wx π π , 2πw π+ + ù（2）当
è 3 ú
， ，
6 è 6 3 6 ú
2πw π π
0 w 2 + ,
3π
注意到题干 < < ，则 ，
3 6 ֏ 6 2
根据正弦函数 y = sin x 的对称轴 x = kπ
π
+ ,k Z，
2
π π 3π
显然只有 k = 0 时一条对称轴 x =
2
,
6 2 ÷
，
è
2πw π π 1
于是 + ，解得w ，
3 6 2 2
1
结合0 < w < 2可得 w < 2
2
题型三　三角函数的最值与 ω 的关系
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 ω 的不等式(组)，进而求出 ω
的值或取值范围．
【例题 3】（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知函数 f x = sin wx π+ ÷ (w > 0)
π
在区间 0,6 2 ÷è è
内有最大值，但无最小值，则w 的取值范围是（ ）
2 , 8ù é1 , 5 A B C
2 , 5ù é1 8 ． ú ． ．è 3 3 ê6 6 ÷ è 3 6 ú
D． , ÷
ê6 3
【答案】A
【分析】
根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为w > 0，所以当 0 < x π< 2 时，
π wx π π π则有 < + < w + ，
6 6 2 6
因为 f x π 在区间 0, ÷内有最大值，但无最小值，
è 2
π π w π 3π结合函数图象，得 < + ，
2 2 6 2
2 8
解得 < w ，
3 3
故选：A
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx π+j w > 0 满足 f x f 12 ÷，è
且 f x é π π ù在区间 ê- , ú 上恰有两个最值，则实数w 的取值范围为 ． 3 3
é12
【答案】 ê , 4

5 ÷
π
【分析】先根据 f 12 ÷
是函数的最小值求出w 与j 间的等量关系，进行消元，再结合在给定
è
区间上恰有两个最值的条件建立不等关系，建立不等关系时，要注意结合三角函数的图像，
特别注意端点值的取舍．
【详解】因为 f x f π ÷，所以 f
π = sin π w +j
12 12 ÷ ÷
= -1，
è è è12
π 3π π 3π
所以 w +j = 2kπ + ， k Z ，即j = 2kπ - w + ， k Z ，
12 2 12 2
f x sin wx 2kπ π w 3π cos éw x π ù所以 = + - + ÷ = - ê -

．
è 12 2 è 12
÷
ú
π π 5πw w x π πw当- x 时，- - ÷ w > 0 3 3 12 è 12 4 ．
f x é π , π ù 5πw πw因为 在区间 ê- ú 上恰有两个最值，且 - >12 4 ， 3 3
ì
w > 0

2π 5πw所以 í- < - -π
12
，解得 w < 4．
12 5
0 πw < < π 4
é12 ,4 故答案为： ê 5 ÷
．

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件建立不等关系，特别注意端点值的取舍
【变式 2】（23-24 高三下·广东·阶段练习）已知函数 f x = cos wx -j 的图象关于原点对称，
其中w > 0，j -π,0 é π π ù，且在区间 ê- , 上有且只有一个最大值和一个最小值，则w 的取 3 6 ú
值范围为 ．
é 9
【答案】 ê3, 2 ÷
【分析】先根据余弦函数的对称性求出j ，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为函数 f x = cos wx -j 的图象关于原点对称，
所以 f 0 = cos -j = cosj = 0，
又因j -π,0 π，所以j = - ，
2
f x cos wx j cos wx π 所以 = - = + ÷ = -sinwx ，
è 2
x é π , π ù wx é π w, π由 ê- ú且w
ù
> 0，得 ê- wú，有且只有一个最大值和一个最小值， 3 6 3 6
ì 3π π π
- < - w - 2 3 2 9
由正弦函数的图象与性质可得 í ，解得3 w <π π 3π ， w < 2
2 6 2
é 9
所以w 的取值范围为 ê3, ÷ . 2
é
故答案为： ê3,
9
÷ .
2
【变式 3】（23-24 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 f x 的定义域为D，若存在实数
a x + f x ，使得对于任意 x 1 21 D 都存在 x2 D满足 = a ，则称函数 f x 为“自均值函2
数”.
(1)判断函数 f x = 2x 是否为“自均值函数”，并说明理由；
g x sin wx π(2)若函数 = +

÷ w > 0)， x 0,1 为“自均值函数”，求w 的取值范围.
è 6
【答案】(1)不是，理由见解析
é5π
(2) ê , +

÷
6
x x
【分析】（1）假设满足条件得到 2 2 = 2a - x1，分别计算函数 h x1 = 2a - x1， g x2 = 2 2 的
值域，不满足条件，得到答案.
π
（2）变换得到 sin wx2 + ÷ = 2a - x1， y = 2a - x1的值域是 2a -1,2a ，根据值域关系排除
è 6
w π π π π π+ 的情况，得到w + > ，计算函数最值得到w + π ，解得答案.
6 2 6 2 6
【详解】（1） f x = 2x ，D = R x，若 f x = 2 是“自均值函数”，
则存在实数 a，使得对于任意 x1 R 都存在 x R
x + f x
2 满足
1 2 = a ，
2
x1 + 2
x2
即 = a，即 2x2 = 2a - x1，2
函数 h x x1 = 2a - x1的值域为R ， g x2 = 2 2 的值域为 0, + ，不满足条件，
故函数 f x = 2x 不是为“自均值函数”.
（2）存在 a R ，对于"x1 0,1 ，存在 x2 0,1
x
，有 1
+ g x2 = a ，
2
即 sin

wx
π
2 + = 2a - x ，
è 6 ÷ 1
当 x1 0,1 时， y = 2a - x1的值域是 2a -1,2a ，
g x = sin wx π+ 2 2 ÷在 x2 0,1 值域包含 2a -1,2a ，
è 6
当 x2 0,1 π π π时，w > 0，则 wx2 + w + ，6 6 6
w π π若 + ，则 g x 1= g x ≤1
6 2 2 min
， 2 ，2
g x 1此时 2 值域的区间长度不超过 2 ，而区间 2a -1,2a 长度为1，不符合题意，
π π
于是得w + > ， g x
6 2 2
=1max ，
π
要使 g x2 = sin wx2 + ÷在 x2 0,1 的值域包含 2a -1,2a ，
è 6
π
则 g x2 = sin wx2 + ÷在 x2 0,1 的最小值小于等于 0 ，
è 6
wx π π 3π+ é , ù π 5π又 2 ê ú 时， g x2 递减且 sin π = 0，而有w + π ，解得w ，6 2 2 6 6
此时取 a
1
= ， y = 2a - x1的值域是 0,1 ，2
而 g x2 0， g x2 =1max ，故 g x2 在 x2 0,1 的值域包含 0,1min ，
所以w
é5π
的取值范围是 ê , + 6 ÷
.

【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合
应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，
这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.
题型四　三角函数的零点与 ω 的关系
T
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为 ，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的
2
取值．
π
【例题 4】（2023·河南开封·模拟预测）将函数 f x = cos 2x 的图象向右平移 个单位长度后，
6
1
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 w >1 ，得到函数 g x 的图象，若在区间
w
0,π 内有 5 个零点，则w 的取值范围是（ ）
23 w 29 23A． < B． < w
29

12 12 12 12
29 w 35 29 w 35C． < D． < ≤
12 12 12 12
【答案】D
π
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得 g x = cos 2wx - ÷ ，再根据余弦函数的图象
è 3
9π π 11π
可得 < 2wπ - ，求解即可.
2 3 2
π
【详解】将函数 f x = cos 2x 的图象向右平移 个单位长度，得到
6
f x
π
- ÷ = cos
é
ê2
π ù π
6
x -
6 ÷è è ú
= cos 2x - ÷的图象，
è 3
1 π
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 w >1 ，得到函数 g x = cos 2wx - 的
w ֏ 3
图象.
x π π 0, π 时， 2wx - éê- , 2wπ
π
- ，
3 ÷ 3 3
y = cos x y x π , 3π , 5π , 7π , 9π ,11π在 轴右方的零点为 = ,L
2 2 2 2 2 2
因为函数 g x 的图象在区间 0,π 内有 5 个零点，
9π 2wπ π 11π 29 35所以 < - ，解得 < w ≤ .
2 3 2 12 12
故选:D.
【变式 1】（2023·全国·三模）将函数 f x = sin2x π的图像先向右平移 个单位长度，再把所
8
2
得函数图像的横坐标变为原来的 w > 0 倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图像，若函数
w
g x π在 , π

÷上没有零点，则w 的取值范围是 .
è 4
1 ù é 5ù
【答案】 0, U 1,
è 4 ú ê 4 ú
【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围即
可.
【详解】将函数 f x = sin2x π的图像先向右平移 个单位长度，得到函数
8
y = sin2 x π -

÷ = sin

2x
π
-
8 ÷
的图像，
è è 4
2
再把所得函数图像的横坐标变为原来的 w > 0 倍，纵坐标不变，得到函数
w
g x = sin 2 w x π π -

2 4 ÷
= sin wx - ÷ 的图像，
è è 4
x π , π wx π wπ π当 ÷时， - - ,wπ
π π- ÷ .由 g x 在4 4 4 4 4 , π ÷上没有零点，得è è è 4
ìwπ π
- kπ, 4 4
í k Z π ， wπ - k +1 π 4
ì
4k
5
+1 w k + ,
4
即 í k Z 0 w 1 5，解得 < 或1 w .
4k +1 k 5+ 4 4
4
0, 1 ù故答案为： ú U
é 5ù
è 4 ê
1, .
4 ú
π 1
【变式 2】（22-23 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x = cos wx - ÷ - (w > 0) ，将
è 3 2
f x 1的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 2 ，纵坐标不变，得到函数 g x 的图像.已知
g x 在 0,p 上恰有 5 个零点，则w 的取值范围是 .
7
【答案】 2 w <
3
π 1 1 é π π ù
【分析】求得 g x = cos 2wx - ÷ - ，换元转化为 cost = 在 t ê- , 2πw -è 3 2 2 3 3 ú 上恰有
5

个不相等的实根，结合 y = cos t 的性质列出不等式求解.
g x cos 2wx π 1【详解】 = - ÷ -
π
，令 t = 2wx - ，
è 3 2 3
由题意 g x 在 0, π 上恰有 5 个零点，
π π
即 cost
1
= 在 t
é
ê- , 2πw -
ù
ú 上恰有 5 个不相等的实根，2 3 3
由 y = cost
11π π 13π 7
的性质可得 2πw - < ，解得 2 w < ．
3 3 3 3
7
故答案为： 2 w < ．
3
【变式 3】（21-22 高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 f (x) = sinwx + 3 coswx(w > 0) .
5
(1)当0 < w < 3时，函数 y = f (x
p
- ) - f (x)
3 的图象关于直线
x = p 对称，求 f (x) 在 0,p 上的
w 12
单调递增区间；
(2)若 f (x)
p p
的图像向右平移 个单位得到的函数 g(x)在[ ,p ]上仅有一个零点，求 ω 的取值
3 2
范围．
é
【答案】(1) ê0,
p ù é7p
和 ,p
ù
12 ú ê 12 ú
(2)1 w
5
<
2
f (x) 2sin(wx p y 2sin wx
p
【分析】（1）化简函数 = + )，得到 = -

÷，结合三角函数的性质，3 è 3
12 p
求得w = k + 2, k Z ，得到w = 2，得出 f x = 2sin 2x + ÷ ，进而求得 g x 的单调增区5 è 3
间.
kp p w p2 + -（ ）令 g(x) = 0 ，求得 x = 3 3 ,k Z ，根据 g(x)在[
p ,p ]上仅有一个零点，列出不等
w 2
式组，即可求解.
【详解】（1）解：因为 f (x) = sinwx + 3 coswx
p
= 2sin(wx + )(w > 0)，
3
所以 y = f (x
p
- ) - f (x) = 2sinwx - 2sin wx p+
3w 3 ֏
= 2sinwx - 2sinwx cos p - 2coswx sin p
3 3
2(1 sinwx 3= - coswx) = 2sin wx
p
- ÷，2 2 è 3
y p 5p p由 = 2sin

wx -
5
÷的图象关于直线 x = p 对称，可得 sin w - = ±1，
è 3 12 ÷ è 12 3
5p p p
所以 w - = kp + , k
12
Z 解得w = k + 2, k Z ，
12 3 2 5
又因为0 < w < 3，所以当 k = 0时，w = 2 .
p p p p
所以 f x = 2sin 2x + ÷ ，令 - + 2kp 2x + + 2kp,k Z2 3 2 ，è 3
5p p
解得- + kp x + kp ,k Z ，
12 12
又由 x 0,p ，所以， k = 0或 k =1，
即 g(x)在 0,p é上的单调递增区间为 ê0,
p ù é7p
和 ,p
ù
.
12ú ê 12 ú
（2）解：由已知得 g(x) = 2sin[w(x
p
- ) p+ ]，令 g(x) = 0 得w(x
p p
- ) + = kp ,k Z
3 3 3 3 ，
kp p p+ w - p
即 x = 3 3 ,k Z ，因为 g(x)在[ ,p ]上仅有一个零点，
w 2
ì
p kp
p p
+ w -
3 3 p
2 w
p p
(k -1)p + w -3 3 p
所以 í < ,k Z ，
w 2

(k +1)p
p p
+ w -
3 3 > p
w

ì3k -1 ì
w 6k - 2 6k - 2 > 0
2
w 6k 8 , 3k -1由于w > 0，所以 í > - 得 í 6k - 2 ，
2
w 3k + 2< 3k + 2
2 6k -8 < 2
1
解得 k 2
5
< 因为 k Z，所以 k =1，所以1 w <
3 2
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
f x sin wx π 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 = - ÷ (w > 0) 在区间 0, π 上有且仅
è 3
有两条对称轴，则w 的取值范围是（ ）
é11,17 17 23ù 11 17 é17 23 A． ê ÷ B , C
ù
． ú ． , ú D． ê , 6 6 è 6 6 è 6 6 6 6 ÷
【答案】A
【分析】由 x
3π π 5π
的取值范围求出wx
π
-
3 ，再结合题意及正弦函数的性质得到
wπ - < ，
2 3 2
解得即可.
【详解】当 x 0, π ，则wx π π π- éê- ,wπ -
ù
ú， w > 0 ，3 3 3
3π π 5π é11 17
依题意可得 wπ - <

，解得w ,
2 3 2 ê 6 6 ÷
，

故选：A
2．（2023·浙江杭州·一模）已知函数 f (x) = coswx - 3 sinwx （ω＞0），若 f（x）在区间 0,2p
上有且仅有 3 个零点和 2 条对称轴，则 ω 的取值范围是（　　）
é5 4 é13 19
A．
ê
,
6 3 ÷
B．
ê
,
12 12 ÷
é 4 19 é13 4
C． ê , ÷ D． , ÷ 3 12 ê12 3
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量 x 的取值范
p
围求解出wx + 的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得w 的取值范围
3
【详解】函数 f (x) = coswx - 3 sinwx
1 3
= 2 coswx - sinwx2 2 ÷÷è
= 2cos wx p+ ÷，
è 3
因为 x [0, 2p ]，
wx p+ ép , 2pw p+ ù所以
3 ê 3 3 ú
，

由于函数 f (x) 在区间[0, 2p ]上有且仅有 3 个零点和 2 条对称轴，
根据函数的图像：
5p p 13
所以 2pw + < 3p é，整理得：w ê ,
4
÷．2 3 12 3
故选：D．
π π
3．（2024·河南郑州·一模）已知函数 f (x) = 2sin wx - (w > 0) é ÷ 在 ê0,
ù
2 ú 上的值域为 -1,2 ，è 6
则w 的取值范围为（ ）
é4 4A ù é． ê , 2ú B． ê ,
8ù é2 , 4ù é2 , 8ù
3 ú C3 3 ． ê
D．
3 3ú ê3 3ú
【答案】B
π é π π π ù π π π π
【分析】根据题意可得wx - ê- , w - ú ，再利用值域可限定 w - π + ，解6 6 2 6 2 2 6 6
w é 4 , 8ù得 的取值范围为 ê . 3 3ú
x é0, π ù【详解】由 ê ú 及w > 0可得wx
π π
- éê- ,
π w π- ùú ， 2 6 6 2 6
根据其值域为 -1,2 ，且 2sin π -

÷ = -1，
è 6
π π π π
由正弦函数图象性质可得 w - π + ，
2 2 6 6
2 w 8 4 8
即可得 ，解得 w .
3 2 6 3 3
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin 2pwx w > 0 在区间 0,2 上单调，且在区间
0,18 上有 5 个零点，则w 的取值范围为（ ）
1 , 5 é1 5 ùA． ÷ B． ,
è 9 36 ê9 36 ú
1 , 1 é1 , 1ùC． D
è 9 8 ÷
．
ê9 8ú
【答案】D
【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其单调性和零点，可得答案.
f x = sin 2πwx f x T 2π 1【详解】因为 ，所以函数 的最小正周期 = = w > 0 ．
2πw w
因为 f x 在区间 0,2 1 1上单调，所以 T = 2 1，可得w ；
4 4w 8
因为 f x 5 2 5在区间 0,18 上有 5 个零点，所以 2T 18 < T ，即 18 < ，可得
2 w 2w
1
w 5< ；
9 36
1 1
综上， w ．
9 8
故选：D．
二、多选题
π
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分图象如è
图所示，则下列说法正确的是（ ）
j πA． = - 3
π
B．若w = 2，则函数 f x 的对称中心为 + kπ,0÷ k Z
è 6
C．若函数 f x π , π 5 ù在 ÷内单调递增，则w 的取值范围为 0,
è 2 è 6 ú
1 ù
D．若函数 f x 在 -π,2π 内没有最值，则w 的取值范围为 0,
è 6 ú
【答案】ACD
【分析】借助图象可得j 的值，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对 A：由题意可知， A = 2，由 f 0 = 2sinj = - 3 3，可得 sinj = - ，
2
π
因为 j < ，所以j
π
= -
3 ，故选项
A 正确；
2
f x 2sin π= π π kπ对 B：若w = 2，则 2x - ÷，令 2x - = kp , k Z，则 x = + ,k Z，
è 3 3 6 2
所以函数 f x π kπ 的对称中心为 + ,0÷ k Z ，故选项 B 不正确；
è 6 2
f x 2sin wx π= - π π π对 C：因为 ÷，令- + 2kπ wx - + 2kπ,k Z，
è 3 2 3 2
π 2kπ
得- + x
5π 2kπ
+ , k Z，根据 f x 的部分图象可知 k = 0，
6w w 6w w
ì π π-
6w 2 1 5 5
所以 í ，即- w 5π ，因为
w > 0，所以0 < w ，故选项 C 正确；
π 3 6 6
6w
π 5π
对 D：由选项 C 可知， k = 0 é ù， f x 在 ê- , ú 上单调递增． 6w 6w
ì π
- -π
因为 f x 在 -π,2π 6w 1内没有最值，所以 í ,又w > 05π ，可得0 < w ， 2π 6
6w
故选项 D 正确.
故选：ACD．
6．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知w > 0，函数 f x = cos π wx + ÷ ，下列选项正
è 6
确的有（ ）
A．若 f x 的最小正周期T π= ，则ω = 4；
2
π
B．当w = 2时，函数 f x 的图象向右平移 后得到 g x = cos 2x 的图象；
6
f x π , π w é5 11ùC．若 在区间 2 ÷上单调递增，则 的取值范围是è ê
, ú ； 3 6
D．若 f x 在区间 0, π 4 7 ù上有两个零点，则w 的取值范围是 , ú；è 3 3
【答案】AC
【分析】利用周期公式可判断 A 正确；由平移规则可求判断 B 错误；由余弦函数图像性质
ì
π
π 1 2π
-
2 2 w
πw π
可得 í + -π + 2kπ,k Z，解不等式可判断 C 正确；根据零点个数可求得
2 6

wπ
π
+ 2kπ,k Z
6
3π π 5π 4 7
wπ + < ，即可得w
é
的取值范围是 ê , ÷，可得 D 错误.2 6 2 3 3
π 2π π
【详解】对于 A，若 f x 的最小正周期T = ，可得T = = 2 ，可得ω = 4，即 A 正确；2 w
f x cos 2x π对于 B，当w = 2时，可得 = + ÷ ， f x
π
的图象向右平移 后得到
è 6 6
g x cos π π π= 2

x -

÷ + = cos

6 6 ÷
2x -
6 ÷ ，即 B 错误；è è è
w 0 f x π , π π πw π对于 C，由 > 可知若 在区间 ÷上单调递增，可得wx + + ,wπ
π
+
2 ÷，è 6 è 2 6 6
ìπ π 1 2π -
2 2 w w 2
πw π
ì
因此需满足 í + -π + 2kπ,k Z

，解得 ；
2 6
í 7 1
- + 4k w - + 2k
π 3 6
wπ + 2kπ,k Z 6
é5 11ù
显然当 k =1时符合题意，即可得w ê , ú ，所以 C 正确； 3 6
对于 D，当 x 0, π wx π é π ,wπ π+ + ù时， 6 ê 6 6 ú，
3π π 5π 4 7
若 f x 在区间 0, π 上有两个零点，可得 wπ + < ，解得 w < ；
2 6 2 3 3
é4 7
即w 的取值范围是 ê , ÷，所以 D 错误； 3 3
故选：AC
三、填空题
π
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = sinwx 1- (w > 0) 在区间 , π4 ÷有且仅有 1 个零点，2 è
则w 的取值范围为 ．
1 , 2 5 ,13 ù【答案】 ÷
è 6 3 è 6 6 ú
8 πw
【分析】先由周期与所给区间长度关系得出 0 < w ，据此可得 的范围，根据原题可转
3 4
π 5π
化为讨论 在区间内， 在区间内两种情况得出w 的取值范围.
6 6
1 π 【详解】 f x = sinwx - 在
2
, π
4 ÷有且仅有
1 个零点，
è
1 π
即方程 sinwx = 在
2
, π
4 ÷上有且只有
1 个根，
è
T 2π π 3π= π - = 0 w 8由 ，可得 < ，
w 4 4 3
π
因为 x , π
πw
÷ ，所以wx , πw

，
è 4 è 4 ÷
8 0 πw 2π由 0 < w 知 < ，
3 4 3
0 πw π
π
当 < < 时，即0
2
< w < 时，方程 sinwx
1
= 在
4 6 3 2
, π ÷上有且只有 1 个根，
è 4
π
则需 < πw
5π 1 5 1 2
，解得 < w ，所以 < w < ；
6 6 6 6 6 3
π πw 5π 2 10 1 π
当 < 时，即 w <

时，方程 sinwx = 在 , π4 ÷上有且只有
1 个根，
6 4 6 3 3 2 è
5π π 5
则需 < πw 2π + ，解得 < w
13 5 13
8，所以 < w ，满足 0 < w ，
6 6 6 6 6 6 3
1 2 5 13ù
综上，w 的取值范围为 ,6 3 ÷
, ú .è è 6 6
1 2 5 13
故答案为： , ÷
, ù
è 6 3 è 6 6 ú
π π
8．（2024· ·

全国 模拟预测）已知函数 f x = 2sin wx - ÷ w > 0 在区间 0, ÷上不单调，且
è 6 è 3
2π
在区间 , π

÷上单调，则w 的取值范围是 ．
è 3
é 5 , 8ù【答案】 ê 2 3 ú
π wπ π π 2π
【分析】由函数在区间 0, ÷上不单调，可得 - >3 ，解得w > 2；由函数在区间 , πè 3 6 2 è 3 ÷
2πw π π π π
上单调，可得 - , πw - ÷ kπ - , kπ + ÷ k Z ，列出不等式组求解即可.
è 3 6 6 è 2 2
π π wx π wπ π【详解】解：因为w > 0，所以当 0 < x < 3 时，- < - < - ．6 6 3 6
因为函数 f x 0, π 在区间 ÷上不单调，
è 3
wπ π π
所以 - > ，解得w > 2．
3 6 2
2π x π 2πw π wx π π当 < < 时， - < - < πw - ．
3 3 6 6 6
因为函数 f x 2π在区间 , π

÷上单调，
è 3
2πw π , πw π kπ π ,kπ π所以 - - ÷ - +
k Z ，
è 3 6 6 è 2 2 ÷
（易错：在区间上单调需要考虑单调递增或单调递减两种情况），
ì2πw π
- kπ
π
-
3 6 2
所以 í ，其中 k Z ，
πw π- kπ+ π
6 2
3
解得 k
1
- w k 2 + k Z ．
2 2 3
3
由 k
1 2 7
- k + ，得 k ，
2 2 3 3
又因为w > 0，所以 k 0,1,2 ．
2
当 k = 0时，0 < w ；
3
k 1 1 w 5当 = 时， ；
3
5 8
当 k = 2时， w ．
2 3
又因为w > 2，
é 5 8ù
所以w 的取值范围是 ê , ． 2 3ú
é 5 8ù
故答案为： ê , 2 3 ú
9．（2024·山西晋城·一模）若函数 f (x) = coswx(0 < w <100)

在 π,
5π
上至少有两个极大值
è 2 ÷
点和两个零点，则w 的取值范围为 ．
8 12
【答案】 , 2÷ U ,1005 5 ÷è è
【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.
2kπ
【详解】令wx = 2kπ ， k Z ，得 f (x) 的极大值点为 x = ， k Z ，则存在整数 k ，使得
w
ì
w > 0

2kπ
í > π ，
w
2 k +1 π 5π
<
w 2
4(k +1)
解得 < w < 2k(k N*)．
5
因为函数 y = cos x在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
4(k +1)
所以 < w < 2k(k N*)．
5
当 k =1
8 12
时， < w < 2．当 k = 2时， < w < 4．
5 5
4(k +1) 4(k + 2)
当 k 2时， < < 2k ．又0 < w <100，
5 5
8 12 16 204 8 12
所以w 的取值范围为 , 2÷ , 4 5 5 ÷
,6÷ ××× ,100÷ = , 2÷ ,100÷．
è è è 5 è 5 è 5 è 5
8 12
故答案为： , 2÷ ,100

÷
è 5 è 5
【点睛】
4 k +1
关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出 < w < 2k k N* 并赋值计算5
是解决问题关键.
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2sin wx j w 0, j π+ >

÷ .
è 2
(1)若 f x 的图象经过点 A 3π π ,04 ÷，B , 24 ÷，且点 B 恰好是 f x 的图象中距离点A 最近的è è
最高点，试求 f x 的解析式；
(2)若 f 0 1 f x 5π= - , π 3π ，且 在 ÷ 上单调，在 0, ÷ 上恰有两个零点，求w 的取值范围.
è 9 è 4
f x = 2sin π【答案】(1) x +

4 ֏
14 5ù
(2) ,
è 9 3 ú
【分析】（1）依题意可得函数 f x 的周期求出w ，又过点 B 取最值求j ；
（2）根据 f 0 = -1求j ，由已知条件及正弦函数的性质求w 的取值范围.
T 3π π π 2π
【详解】（1）依题意可知： = - = ，即T = 2π= ，所以w =1，
4 4 4 2 w
B π ,2 又过点 ÷，所以1
π π
+j = + 2kπ,k π Z ,即j = + 2kπ,k Z ，
è 4 4 2 4
π π
又 j ，所以j = ，即 f x = 2sin x π+
2 4 ÷
.
è 4
（2）因为 f 0 = 2sinj = -1 j π π π，且 ，所以j = - ，即 f x = 2sin wx -

÷ w > 0 ，2 6 è 6
又当 x
0, 3π ÷时 f x
π π 3π π
恰有两个零点，- < wx - < w - ，
è 4 6 6 4 6
3π π 14 26
依题意： π < w - 2π，即 < w ，
4 6 9 9
f x 5π , π 5π π又 在 ÷上单调，所以 w - < wx
π π
- < πw - ，
è 9 9 6 6 6
ì5π w π π - - ìw > 0
; 9 6 2
2 14 26
依题意 若 í 0 < w < w π π ，即 í 2 ，所以 ，因 ，故不合题意； πw - w 3 9 9
6 2 3
ì5π π π 6
w -
ìw
9 6 2 5 6 w 5 14 w 26 14 5若 í ，即 í ，所以 ，因 < ，故 < w ；
πw π 3π- w 5 5 3 9 9 9 3
6 2 3
ì5π w π 3π - ìw 3 9 6 2
若 í
πw π 5π
，即 í 8 ，显然不等式组无解；
- w
6 2 3
w 14 , 5ù综上 的取值范围为 .
è 9 3 ú

11．（2023·河北承德·模拟预测）已知w >1，函数 f (x) = cos wx
π
-
3 ÷
.
è
(1)当w = 2时，求 f (x) 的单调递增区间；
π
(2)若 f (x)
é
在区间 ê ,
π ù
上单调，求w 的取值范围.
6 3 ú
π
【答案】(1)[- + kπ,kπ
π
+ ],k Z
3 6
(2)w [2, 4]
π
【分析】（1）令-π + 2kπ 2x - 2kπ,k Z求 x 的范围，即可得增区间；
3
（2）由题意 y = cos t t
πw π
在 [ - ,
πw π
- ]上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求w 的
6 3 3 3
取值范围.
π π
【详解】（1）由题设 f (x) = cos(2x - )3 ，令
-π + 2kπ 2x - 2kπ,k Z，
3
π kπ x kπ π ,k Z f (x) [ π所以- + + ，故 的单调递增区间为 - + kπ,kπ
π
+ ],k Z .
3 6 3 6
x π π é , ù t wx π [ π w π , π w π（2）由 ê ú ，则 = - - - ]， 6 3 3 6 3 3 3
πw π πw π
所以 y = cos t 在[ - , - ]上单调，又w >1，
6 3 3 3
ì πw π
- 2kπ
[ πw π , πw π- - ] [2kπ, π + 2kπ] k Z 6 3若 ， ，则
6 3 3 3 í
， k Z，
πw π- π + 2kπ
3 3
所以 2 +12k w 4 + 6k ， k Z，故 k = 0时 2 w 4 ，满足题设；
ì πw π- -π + 2kπ
[ πw π , πw π

若 - - ] [-π + 2kπ,2kπ] k

Z 6 3， ，则 ， k Z，
6 3 3 3 í πw π- 2kπ
3 3
所以-2 +12k w 1+ 6k ， k Z，此时没有满足题设的 k 值；
综上，w [2, 4]
【综合提升练】
一、单选题
π 2π
1．（2023·河南·
é ù
模拟预测）若函数 f (x) = sin(wx + )(w > 0) 在 ê0,6 3 ú 上恰有两个零点，且在
é π π ù
ê- ,12 12ú 上单调递增，则
w 的取值范围是（ ）

11,4ù é11,4ù é11 17 11A． ú B． ê ú C． ê , ÷ D． ,
17
4 4 4 4 4 4 ÷è è
【答案】B
é 2π ù π π
【分析】有函数在 ê0, ú 区间上有两个零点可知 2π
2π π é ù
w × + < 3π f (x) - ,
3 3 6
，由 在 上
ê 12 12ú
单调递增可求出w 的取值范围，然后联立即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
Q 2π函数 f (x) = sin(wx
π
+ )(w > 0) é在 ê0,
ù
6 3 ú 上恰有两个零点，
\ 2π w 2π π × + < 3π
3 6 ，
11 17
解得： w < ①，
4 4
π π
又Q f (x)
é- , ù在 ê 12 12ú 上单调递增，
ì π π π
- w + -
12 6 2
π π π
\ í w + ，解得：12 6 2 0 w > 0

é11 ù
由①②式联立可知w 的取值范围是 ê , 4 4 ú
.

故选：B
π
2．（2023·贵州黔东南·三模）已知函数 f x = cos wx + (w > 0)在 0, π 有且仅有两个零点，
è 6 ÷
则w 的取值范围是（ ）
é1
A． ê ,
4 1 4ù 4 7 ù é4 7
÷ B． , C． , D． ,
2 3 è 2 3ú è 3 3ú ê 3 3 ÷
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】因为 f x = cos π wx + ÷ ，且在 0, π 仅有两个零点，w > 0，
è 6
故wx
π ,wπ π 4 7 +
3π π 5π ù
，所以 < wπ + ，解得w , .
è 6 6 ÷ 2 6 2 è 3 3ú
故选：C.
π
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知函数 f (x) = A tan(wx
π
+ )(w > 0) f x ，若 （ ）在区间 ，π
3 ֏ 2
内单调递减，则w 的取值范围是（ ）

A． 0
1 1 7
， ÷ B． ( , ) C． (0,
1]U[1 , 7] D． (0,
1) U (1 , 7)
è 6 3 6 6 3 6 6 3 6
【答案】C
π
【分析】转化为 y = tan(wx
π
+ )(w > 0) 在区间 ，π2 ÷ 内单调递增，根据正切函数的单调区3 è
π
间求出 y = tan(wx
π
+ )(w π> 0) 的单调递增区间，再根据区间 ，π3 2 ÷
是 y = tan(wx + )(w > 0)
è 3
的单调递增区间的子集列式可求出结果.
π π
【详解】因为 （f x）在区间 ，π ÷ 内单调递减，所以 A < 0， y = tan(wx + )(w > 0)2 在区间è 3
π
，π2 ÷ 内单调递增，è
π π π kπ 5π kπ π
由 kπ - < wx + < kπ + ， k Z，得 - < x < + ， k Z，
2 3 2 w 6w w 6w
kπ 5π kπ π
所以 y = tan(wx
π
+ )(w > 0) 的单调递增区间为 - , +

， k Z，
3 è w 6w w 6w ÷
π π kπ 5π , kπ π 依题意得 ， ÷ - + ， k Z
è 2
，
è w 6w w 6w ÷
ìkπ 5π π
- w 6w 2
所以 í k Z
π kπ π
， ，
+
w 6w
所以 2k
5
- w k 1+ ， k Z，
3 6
2k 5 1 11 1 1由 - k + 得 k ，由0 < w k + 得 k - ，
3 6 6 6 6
1 k 11所以- 且 k Z，
6 6
所以 k = 0或 k =1，
5 1 1
当 k = 0时，- w ，又w > 0，所以0 < w ，
3 6 6
1 7
当 k =1时， w .
3 6
1 1 7
综上所述：w (0, ]U[ , ] .
6 3 6
故选：C.
4．（23-24 高三上·河北·期末）函数 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < π 的部分图象如下图所
π ù
示，若 f x 在区间 0, ú 恰有一条对称轴和一个对称中心，则w 的取值范围是（2 ）è
é 4 7 4 7 ù
A． ê , B． , 3 3 ÷ è 3 3 ú
é5 , 8 5C． ê ÷ D． ,
8ù
3 3 è 3 3ú
【答案】C
2π
【分析】根据函数图象求出j ，由 x 的取值范围求出wx + 的取值范围，再结合正弦函数
3
图象得到不等式组，解得即可.
3
【详解】由图可知函数过点 0, 3 ，所以 f 0 = 2sinj = 3 ，即 sinj = ，又0 < j < π ，
2
j π j 2π所以 = 或 = ，依题意可得w > 0，
3 3
j π若 = 则靠近 y 轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去；
3
j 2π 2π所以 = f x = 2sin ，即 wx +
3 3 ÷
，
è
x 0, π ù wx 2π 2π , wπ 2π+ + ù因为 ，所以 ．
è 2 ú 3 è 3 2 3 ú
又 y = sin x x
2π
， ,3π

3 ÷的图象如下所示：è
f x 0, π ù要使函数 在区间 恰有一条对称轴和一个对称中心，
è 2 ú
3π wπ 2π 5 8 5 8
则 + < 2π，解得 w <
é
，即w 的取值范围是 ê , .2 2 3 3 3 3 3 ÷
故选：C．
5．（2023·吉林长春·一模）将函数 f (x) = cos

x
2π
+ ÷ 图象上所有点的横坐标变为原来的
è 3
1 é0, 2π ù é π π(w > 0) ù，纵坐标不变，所得图象在区间 ê 3 ú 上恰有两个零点，且在 ê
- ,
12 12ú 上单调递w
减，则w 的取值范围为（ ）
A é
9 ,3ù é9． ê ú B． ê , 4
é11 ù 11
÷ C． ê , 4ú D． ,6
ù
4 4 4 è 4 ú
【答案】C
é 2π ù
【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在 0,
ê 3 ú
上恰有两个零点

é π , π ù以及在 ê-12 12ú 上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案
.

2π
【详解】依题意可得 y = cos wx + ÷，
è 3
0 x 2因为 π
2π wx 2π 2w π 2π，所以 + + ，
3 3 3 3 3
y 2π 2π π因为 = cos
é ù
wx + ÷在 ê0, 3 ú 恰有
2 个零点，且 cos + k1π ÷ = 0， k1 Z，
è 3 è 2
5π 2w π 2π 7π 11 17所以 + < ，解得 w< ，
2 3 3 2 4 4
2k π wx 2π π 2k π k Z 2π 2k2π x π 2k π令 2 + + 2 ， 23 2
，得- + + ， k Z，
3w w 3w w 2
令 k2 = 0，得 y = cos
wx 2π é 2π , π ù + ÷在 ê- 上单调递减，è 3 3w 3w ú
é π , π ù é 2π , π所以 ê- -
ù
12 12 ú ê 3w 3w ú
，

ì 2π π
- - 3w 12
所以 í π π ，又
w > 0，解得0
3w 12
11 é11 ù
综上所述， w 4，故w 的取值范围是 , 4 ．
4 ê 4 ú
故选：C.
6．（2024·贵州贵阳·一模）将函数 f x =sinx π的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函
3
1
数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 (w > 0) 倍，得到函数 g x 的图像.
w
π
若函数 g x 在 - ,02 ÷ 上单调递增，则w 的取值范围是（ ）è

A． 0,
1 ù 1ù 1 ù
ú B． 0, ú C． 0, ú D． 0,1 è 6 è 3 è 2
【答案】B
【分析】首先求函数 g x π的解析式，再根据 x - ,0 ÷，代入函数的解析式，结合正弦导
è 2
函数的图像和性质，即可求解.
π
【详解】由三角函数的图像变换规律可知， g x = sin wx - ÷，
è 3
x π π π π - ,0

÷，wx - - ×w - ,
π
-
2 3 2 3 3 ÷
，
è è
因为函数 g x π在 - ,0
π w π π- × - - w > 0
è 2 ÷
上单调递增，所以 ，且 ，
2 3 2
1
得0 < w .
3
故选：B
7．（2024·四川雅安·三模）已知函数 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，则下列说法中正确的个
数是（ ）
①当w = 2时，函数 y = f x - 2logπ x 有且只有一个零点；
②当w = 2时，函数 y = f x +j π为奇函数，则正数j 的最小值为 ；
3
③若函数 y = f x 0, π w 1在 3 ÷上单调递增，则 的最小值为 ；è 2
④若函数 y = f x 在 0, π 上恰有两个极值点，则w 13 25ù的取值范围为 , .
è 6 6 ú
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由
极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.
【详解】依题意，w > 0，函数 f (x) = 2(1 sinwx 3+ coswx) = 2sin(wx π+ )，
2 2 3
对于①： f (x)
π
= 2sin(2x + )，令 y = f x - 2logπ x = 0 ，即 f x = 2log3 π
x，
作出函数 y = f (x) 和函数 y = 2logπ x的图象，如图，
(0, 7π) f (13π观察图象知，两个函数在 上只有一个零点， ) = 2sin
5π
= 2，
12 12 2
当 x
13π 13π
= 时， y = 2logπ = 2log
13
π +2logπ π = 2+2log
13
12 12 12 π
> 2，
12
x 13π当 > 时， 2logπ x > 2 f (x) ，12
因此函数 y = f x 与函数 y = 2logπ x的图象有且只有一个交点，①正确；
对于②： f (x +j) = 2sin(2x + 2j
π π
+ )为奇函数，则 2j + = kπ,k Z ，
3 3
j π kπ π= - + ,k Z，即正数j 的最小值为 ，②正确；
6 2 3
π π π π(w +1) π
对于③：当 x (0, ) 时，wx + ( , ) ，由 y = f x 3 在 (0, )3 上单调递增，3 3 3
ì π(w +1) π
1 1
得 í 3 2 ，解得0 < w≤ ，正数w 有最大值 ，③错误；
2 2 w > 0
对于④：当 x (0, π) wx
π
时， + (
π ,wπ π+ ) ，而 y = f x 在 (0, π) 上恰有两个极值点，
3 3 3
3π π 5π 7 13 7 13
由正弦函数的性质得 < wπ + ，解得 < w ，因此w 的取值范围是 ( , ]，④
2 3 2 6 6 6 6
错误.
综上，共 2 个正确，
故选：B.
p p
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 3 cos wx + ÷ + cos wx - ÷ w > 0
p p 在 ，
3 6 2 ÷è è è
上单调递增，则w 的取值范围是（ ）
é 4 5ù é5 11ù é5 11ù é7 ù
A． ê ，ú B． ê ， ú C． ， D． ，2 3 3 6 6 ê3 6 ú ê 6 ú
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结
合三角函数的图象与性质进行求解即可.
p
【详解】法一:由题 f x = 3 cos wx + ÷ + cos wx
p
- = 3 cos wx p+ ÷ ÷ + sin
p
wx +

3 ÷è è 6 è 3 è 3
2cos wx p p p= + -

÷ = 2cos

wx +
p
÷，令p + 2kp wx + 2p + 2kp ， k Z ，
è 3 6 è 6 6
5p 11p
因为w > 0 + 2kp + 2kp，所以 6 x 6 ， k Z ，
w w
π 5p 11p+ 2kp + 2kp
因为 f x 在 ,π ÷上单调递增，所以 6 p 且 6 p ，è 2 w 2 w
5 4k 11 5 11 1得 + w + 2k ．由 + 4k + 2k ，得 k ，
3 6 3 6 12
5 11
又 k Z 且w > 0，所以 k = 0， w .
3 6
故选:C.
法二:由题 f x = 3 cos wx p p p p + ÷ + cos wx -

÷ = 3 cos

3 6
wx + ÷ + sin3
wx + ÷
è è è è 3
= 2cos p p wx + - ÷ = 2cos

wx
p
+ ÷，
è 3 6 è 6
p x p wp p wx p p由 < < ，得 + < + < wp + ，
2 2 6 6 6
设 f x p T p的最小正周期为 T，则由题意得p - = ，所以0 < w 2，
2 2 w
p wp p p
从而 < + p + ，结合函数 y = cos x在 p , 2p π 上单调递增， f x 在 ,π ÷上单调递6 2 6 6 è 2
wp p
增，得 + p
p 5 11
，且wp + 2p ，解得 w .
2 6 6 3 6
故选:C.
二、多选题

9．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) = cos wx
π
- ÷ + B(w > 0, B > 0) ，则（6 ）è
π
A．若函数 f (x) 的图象关于直线 x = 对称，则w 的值可能为 33
x f (x) = B [0, p] w é
11,14 B．若关于 的方程 在 上恰有四个实根，则 的取值范围为 ÷
ê 3 3
π
C．若函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数 g(x)
3
为奇函数，则w 的最小值是 1
π 3π
D．若函数 f (x)
é
在区间 ê ,
ù
4 4 ú 上单调，则
1 w 2

【答案】BC
1
【分析】根据函数的对称轴代入得出w = 3k + (k Z) 判断 A，由根的个数可确定
2
7π wπ π 9π - < ，据此判断 B，平移后由函数为奇函数可得w = 3k +1(k Z)，可判断 C，
2 6 2
特殊值检验可判断 D.
π πw π
【详解】对于 A，因为函数 f (x) 的图象关于直线 x = 对称，所以 - = kπ(k Z)3 ，则3 6
w 1= 3k + (k Z) ，因为w > 0，则w 的值不可能为 3，故 A 错误；
2
π é π π
对于 B，当 x [0, π]时，wx - ê- ,wπ -
ù
ú，若 f (x) = B在 x [0, π]上恰有四个实根，则6 6 6
7π wπ π 9π 11 14 - < ，解得 w < ，故 B 正确；
2 6 2 3 3
对于 C，由已知得 g(x) = cos
éw x π π ù é πw π ùê - ÷ - ú = cos êwx -
+ ÷ú ，因为函数 g(x)为奇函数，
è 3 6 è 3 6
πw π π
所以 + = kπ + (k Z)，即w = 3k +1(k Z)，因为w > 0，所以w 的最小值是 1，故 C
3 6 2
正确；
对于 D，当w = 2时， f (x) = cos 2x
π é π 3π- ù÷ + B(B > 0)，因为 x
è 6 ê
, ú ， 4 4
2x π é π , 4π ù é π 3π- ù所以 ê ú，所以函数 f (x) 在区间 ê ,4 4 ú 上不单调，故
D 错误．
6 3 3
故选：BC．
π
10．（23-24

高三上·山东滨州·期末）已知函数 f x = cos wx + ÷ w > 0 3 ，下列选项中正确的有è
（ ）
A．若 f x 的最小正周期T = 2，则w = π
B．当w = 2时，函数 f x π的图象向右平移 个单位长度后得到 g x = cos 2x 的图象
3
C．若 f x 在区间 0, π 上单调递减，则w 的取值范围是 0,
2ù
è 3 ú
D．若 f x 1 7 ù在区间 0, π 上只有一个零点，则w 的取值范围是 ,
è 6 6 ú
【答案】ACD
【分析】利用最小正周期公式可得w ，可判断 A；利用三角函数图象的平移可得 g(x)，可判
断 B；利用余弦函数的减区间列不等式组求w 的取值范围，可判断 C；结合 y = cos x在区间
0, π 上只有一个零点，列不等式组可求w 的取值范围，可判断 D.
2π
【详解】对于 A：由 f x 的最小正周期T = 2可得 = 2，又w > 0，解得w = πw ，故 A 正确；
对于 B：当w = 2时， f x = cos 2x
π
+ π÷，将其图象向右平移 个单位长度后，得
è 3 3
g x cos é2 x π π ù cos π= - + = ê 3 ÷ 3 ú 2x - ÷ 的图象，故 B 错误； è è 3
x 0, π π wx π wπ π π对于 C：由 得 < + < + ，令wx + = t ，
3 3 3 3
则 y = cos t
π π
在区间 ,wπ + ÷ 上单调递减，
è 3 3
ìw > 0
2
于是 í π ，解得0 < w
2
w ù，即 0, ，故 C 正确；
wπ + π 3 è 3
ú
3
对于 D：因为 f x 在区间 0, π 上只有一个零点，
y = cos t π π 所以 在区间 ,wπ + ÷ 只有一个零点，
è 3 3
ì
w > 0

wπ π π+ > 1 w 7< w
1
于是 í ，解得 ，即 ,
7 ù
ú，故 D .
3 2 6 6 è 6 6
正确


wπ
π 3π
+
3 2
故选：ACD.
11．（2023·安徽·模拟预测）已知函数 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，下列说法正确的是
（ ）
A．函数 f x 的值域为 -2,2
B．若存在 x1, x2 R ，使得对"x R 都有 f x1 f x f x2 ，则 x1 - x2 的最小值为
2π
w
é π π ù 1 ù
C．若函数 f x 在区间 ê- , ú 上单调递增，则w 的取值范围为6 3 0, è 2 ú
D．若函数 f x 在区间 0, π 上恰有 3 个极值点和 2 个零点，则w 的取值范围为
13 8ù
,
è 6 3 ú
【答案】ACD
【分析】化简 f x 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识
对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】已知函数 f x = 2sin π wx + ÷，可知其值域为 -2,2 ，故选项 A 正确；
è 3
若存在 x1, x2 R ，使得对"x R 都有 f x1 f x f x2 ，
所以 x1 - x
T π
2 的最小值为 = ，故选项 B 错误；2 w
函数 f x π π的单调递增区间为 2kπ - wx + 2kπ π+ ，
2 3 2
é2kπ 5π πê - 2kπ +
ù
ú
x 6 6ê ,w w ú
k Z ，
ê ú

ì
2kπ
5π
- π
6 - w 6 1
所以 í ，令 k = 0，则0 < w ,\w 的取值范围为 0,
1 ù
ú ，故选项 C 正确；
2kπ π+ 2 è 2
6 π
w 3
若函数 f x 在区间 0, π wx π π ,wπ π 上恰有 3 个极值点和 2 个零点， + + ÷，3 è 3 3
5π wπ π 3π 13 8由如图可得： < + < w ，
2 3 6 3
13 8
\w 的取值范围为 ,
ù
ú ，故选项 D 正确；è 6 3
故选：ACD
三、填空题
p
12．（2023·山东·模拟预测）已知函数 f ( x ) =| sin w x | + | cos w x | (w > 0)
,p 在区间 4 ÷
上单调递
è
增，则w 的取值范围是 ．
1 ù
【答案】 0,
è 4ú
【分析】将 f (x) 变形，求出 f (x)
π
单调递增区间，将 ( , π) 包含于 f (x) 单调递增区间列式即可.
4
【详解】解： f (x) = 1+ 2 | sinwx || coswx | = 1+ | sin 2wx | 1 1- cos 4wx= + ，
2
令 2kπ 4wx (2k +1)π
kπ x (2k +1)π， k Z，所以 ,k Z，w > 0．即 f (x) 单调递增区
2w 4w
[ kπ , (2k +1)π间为 ],k Z，w > 0，
2w 4w
ì kπ π


2w 4 2k w 2k +1所以只需 í k Z ,k Z(2k 1)π ， ，解得 ，
w > 0，
+ π 4
4w
ì
2k
2k +1

4 1 1 1
则 í - < k 2k 1 ，解得 ，又
k Z，所以 k = 0，所以0 < w ，即w 的取值范围
+ 0 2 6> 4
4
0, 1 ù是 ．
è 4ú
1 ù
故答案为： 0, .
è 4ú
13．（2024·广西贺州·一模）已知函数 f (x) = 4sinwx, g(x) = 4cos(wx
π
- ) + b(w > 0) ，且
3
"x1, x2 R,| f (x1) - g(x2 ) | 8，将 f (x) = 4sinwx
p
的图象向右平移 3w 个单位长度后，与函数
uuur uuur
g(x)的图象相邻的三个交点依次为 A，B，C，且BA × BC < 0，则w 的取值范围
是 ．
2π
【答案】 (0, )
8
【分析】求出函数 f (x), g(x)的值域，由给定不等式求出b ，求出 f (x) 的图象平移后的函数
解析式，作出图形，数形结合求解即得.
【详解】依题意，函数 f (x) 的值域为[-4,4]， g(x)的值域为[b - 4,b + 4]，
由"x1, x2 R, f (x1) - g(x2 ) 8，得 | (b - 4) - 4 | 8，且 | (b + 4) - (-4) | 8，解得b = 0，
g(x) π π= 4cos(wx - ) = 4sin(wx + ) ，将 f (x) = 4sinwx p的图象向右平移 3w 个单位长度后，3 6
得 h(x) = 4sinw(x
p
- ) = 4sin(wx p- ) ，在同一坐标系内作出函数 y = g(x), y = h(x)的图象，
3w 3
观察图象知， | AC |
2π
= ，取 AC 中点D，连接BD，由对称性知 | AB |=| BC |，BD ^ ACw ，
uuur uuur
由BA × BC < 0，得 ABC
π
> ，即 ABD
π
> ， | AD |>| BD |，
2 4
由h(x) = g(x)
p
，得 sin(wx - )
π p π
= sin(wx + ) ，则wx - +wx + = π + 2kπ,k Z，
3 6 3 6
wx 7 π kπ,k 7 p解得 = + Z ，于是 y = 4sin( π + kπ - ) = ±2 2 ，则 | BD |= 4 2 ，
12 12 3
π
因此 > 4 2 2π，解得0 < w < ，
w 8
所以w 的取值范围是 (0, 2π) .
8
(0, 2π故答案为： )
8
【点睛】关键点点睛：解决两个正余弦型函数图象交点问题，利用诱导公式化成同名函数，
作出对应图象是解题的关键.
π
14．（2024·浙江·模拟预测）设函数 f x = sin -wx ÷ (w > 0) ，若存在 x0 0, π 使 f x
1
è 6 0
=
2
成立，则w 的取值范围是 .
【答案】 (
4 , + )
3
π π π
【分析】根据题意确定 x 0, π 时， -wx ( -wπ, )，结合正弦函数的图象和性质找到
6 6 6
当 x
π π 1
< 时，离 最近且使得 sinx = 的 x 值，由此列出不等式，即可求得答案.
6 6 2
【详解】由于函数 f x = sin π -wx

÷ (w > 0) ，
è 6
π π π
当 x 0, π 时， -wx ( -wπ, )，
6 6 6
y = sinx x π π 1 7π根据正弦函数 的性质可知当 < 时，离 最近且使得 sinx = 的 x 值为- ,
6 6 2 6
故存在 x 0, π f x 1 π0 ，使 0 = 成立，需满足 -wπ<
7π
- ,\w 4> ，
2 6 6 3
4
即w 的取值范围为 ( , + )，
3
故答案为： (
4 , + )
3
四、解答题
r
15．（22-23 高三上·安徽阜阳·期中）已知向量m = 3sinwx,
3 nr 3- ÷， = , coswx ÷÷，w > 0，è 2 è 2
函数 f x mr r= × n ．
1
(1)若w = ，求 f x 在 0,3π 上的单调递减区间；
3
3
(2)若关于 x 的方程 f x = - 在 0,1 上有 3 个解，求w 的取值范围．
2
【答案】(1) 2π,3π
é
(2) ê2π,
10π
÷．
3
1 π
【分析】(1)化简得 f x = 3sin x - ÷，由正弦函数的性质可得函数 f x 的单调递减区间
è 3 6
为[2π + 6kπ,5π + 6kπ] k Z ，进而可得在 0,3π 上的单调递减区间；
sin wx π 1(2)由题意可得 -
= - x ,0, 4π , 2π ,10π , 4π÷ ，从而可得 =L ,L，结合题意可得
è 6 2 3w w 3w w
ì10π
>1 3w
í .
2π
，求解即可
1
w
f x mr r 3
3 3 1
【详解】（1）解：依题意， = ×n =

3sinwx, -

÷ × , coswx ÷÷ = 3 sinwx - coswx ÷è 2 2 2 2 ÷è è
= 3sin π wx -

÷，
è 6
w 1当 = 时， f x 1 π= 3sin x - ．
3 è 3 6 ÷
π 2kπ 1 x π 3π令 + - + 2kπ k Z ，
2 3 6 2
得 2π + 6kπ x 5π + 6kπ k Z ，
当 k = 0时， 2π x 5π，
故 f x 在 0,3π 上的单调递减区间为 2π,3π ；
π 1
（2）解：依题意， sin wx - ÷ = - ，
è 6 2
wx π 7π 2kπ k Z wx π 11π则 - = + 或 - = + 2kπ k Z ，
6 6 6 6
4π 2kπ
则 x = + k Z x 2π + 2kπ 或 = k Z ．
3w w w
则 x =L,0,
4π , 2π ,10π , 4π ,L，
3w w 3w w
ì10π
>1 3w 10π
则 í2π ，解得
2π w < ，
1 3
w
w é2π,10π 即 的取值范围为 ê ÷． 3
16．（2023·湖南长沙·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知边 c = 6，
且 sin A + sin B = 2sin C ．
(1)求VABC 面积的最大值；
(2)设当VABC 的面积取最大值时的内角 C 为j ，已知函数 f (x) = sin(wx -j)(w > 0)在区间

0,
π
2 ÷上恰有三个零点和两个极值点，求
w 的取值范围．
è
【答案】(1) 9 3
14 w 17(2) <
3 3
【分析】（1）法一：由正弦定理可得 a + b = 2c，推出顶点 C 的轨迹是以 A, B为焦点的椭圆，
利用椭圆的几何性质结合三角形面积可求得答案；法二：由正弦定理可得 a + b = 2c，利用
cosC 54 - ab余弦定理求得 = ，进而求出 sin C ，利用三角形面积公式结合基本不等式可求得
ab
答案；
π
（2）由条件可确定 f (x) = sin

wx -

÷ ，根据函数的零点个数以及极值点个数列出相应不等
è 3
式可求得答案.
【详解】（1）法一：由题意知 c =| AB |= 6，
由 sin A + sin B = 2sin C 得： a + b = 2c，即 | CA | + | CB |=12 >| AB |，
则顶点 C 的轨迹是以 A, B为焦点的椭圆（除去长轴的两个端点），
当顶点 C 为椭圆的短轴的端点时VABC 的面积最大，
π
此时 a = b = c = 6，VABC 是等边三角形，C = ，
3
S 1所以 VABC = ×62 ×sin
π
= 9 3
max ．2 3
法二：由 sin A + sin B = 2sin C 得： a + b = 2c =12，
2
QcosC a + b
2 - 36 (a + b)2 - 36 - 2ab 54 - ab
= = = ，
2ab 2ab ab
\sin C = 1- cos2 C 6= 3ab -81，
ab
1 2
所以 S△ABC = absin C = 3 3ab 81
a + b
- 3 3 ÷ -81 = 9 3 ，2 è 2
当且仅当 a = b时取等号，
此时VABC
π
是等边三角形，C = ，VABC 的面积的最大值为
3 9 3
.
π
（2）由（1）有 f (x) = sin wx - 3 ÷
，
è
x 0, π当

÷ 时，wx
π π wπ π
- - , -
2 3 3 2 3 ÷
，
è è
Q函数 f (x) = sin(wx -j)(w > 0) 在区间 0,
π
2 ÷上恰有三个零点和两个极值点，è
2π wπ π 5π 14 17则 < - ，解得 < w ．
2 3 2 3 3
π
17．（2023·江苏盐城·三模）已知函数 f x = 2a sin ax + a cos ax + ÷ + b a > 0 的值域为
è 4
-1,3 .
(1)求 f x 的单调递增区间；
(2)若 f wx w > 0 é在 ê0,
π ù
ú上恰有一个零点，求w 的取值范围. 6
ékπ 3π , kπ π ù【答案】(1) ê - + ú k Z 8 8
é11,19 (2) ÷
ê 4 4
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 f x 的解析式，利用函数 f x 的值域可得出关于
a、b 的方程组，解出这两个量的值，可得出函数 f x 的解析式，，利用正弦型函数的单调
性可求得函数 f x 的递增区间；
f wx w > 0 0 x π π 2wx π πw π（2）由（1）可得出 的表达式，由 ，则 + + ，根据
6 4 4 3 4
已知条件可得出关于w 的不等式，解之即可.
【详解】（1）解：

f x = 2a sin ax + a cos ax π+ ÷ + b
2 2
= 2a sin ax + a cos ax - sin ax + bè 4 è 2 2
÷÷

2 a sin ax 2 a cos ax π= + + b = a sin ax +

2 2 4 ÷
+ b，
è
a = 2
因为 a > 0，且函数 f ì
-a + b = -1 ì
x 的值域为 -1,3 ，则 í
a + b
，解得
= 3 í b
，
=1
所以， f x = 2sin 2x π+ 4 ÷ +1，è
2kπ π 2x π 2kπ π k Z 3π π由 - + + 可得 kπ - x kπ + k Z ，
2 4 2 8 8
é 3π π ù
因此，函数 f x 的增区间为 êkπ - , kπ + ú k Z . 8 8
（2）解：因为 f wx π= 2sin 2wx + ÷ +1，
è 4
π π π πw π
由于0 x ，则 2wx + + ，
6 4 4 3 4
π 1
由 f wx = 0可得 sin 2wx +

÷ = - ，
è 4 2
因为 f wx w > 0 é0, π ù 7π πw π 11π 11 19在 ê ú上恰有一个零点，则 + < ，解得 w < . 6 6 3 4 6 4 4
é11 19
因此，w 的取值范围是 ê , . 4 4 ÷
18．（23-24 高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数
f (x) = 4sin2 π + 2x ÷ ×sin x + (cos x + sin x) × (cos x - sin x)．
è 4
(1)化简函数 f (x) ；
π 2π
(2)已知常数w > 0 y = f (wx) é ù，若函数 在区间 ê- , 上是增函数，求w 的取值范围 2 3 ú
【答案】(1) f (x) = 2sin x +1

(2) 0,
3ù
．
è 4 ú
【分析】（1）由二倍角公式、诱导公式、平方关系化简可得；
（2）利用正弦函数性质求得函数的单调增区间，然后利用集合的包含关系得出不等关系后
可得参数范围．
【详解】（1）
f (x) = 2 é ê1- cos
π + x ù 2 2 2 2 ÷ú
×sin x + cos x - sin x = (2 + 2sin x) ×sin x +1- 2sin x = 2sin x +1；
è
（2）∵ f (wx) = 2sinwx +1，
π 2kπ wx π 2kπ(k π 2kπ π 2kπ由- + + Z) 得：- + x + (k Z) ，
2 2 2w w 2w w
y f (wx) é π 2kπ , π 2kπ∴ = - + + ù的递增区间为 ê ú ,k Z， 2w w 2w w
y f (wx) é π , 2π ù é π , 2π π π∵ = - ù é ù在 ê 上是增函数，∴当 k = 0时， - - , ， 2 3 ú ê 2 3 ú ê 2w 2w ú
ì
w > 0

p p , 3 3∴ í- - 解得0 < w ,\w
ù
的取值范围是 0, ú ;
2w 2 4 è 4
p 2p
2w 3
19．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = 2sin(2wx
π
+ )(w > 0) .
6
(5π
3π
(1)若点 ,0)是函数 f (x)
é ù
图像的一个对称中心，且w (0,1) ，求函数 f (x) 在 ê0, ú 上的值8 4
域；
π 2π
(2)若函数 f (x)

在 ,3 3 ÷上单调递增，求实数
w 的取值范围.
è
【答案】(1)[-1,2]
1
(2) ù 0,
è 4ú
4 1 2
【分析】（1）利用整体代入法求w = k - ÷，从而得到w = ，进而利用正弦函数的性质，5 è 6 3
结合 x 的取值范围即可得解；
（2）利用整体代入法求得 f (x) 的单调性，从而利用数轴法得到关于 k0 ,w 的不等式，结合正
弦函数的周期性先确定 k0 的值，再得到w 的取值范围，由此得解.
5π π 4 1
【详解】（1）由题意得:w × + = kπ,k Z ,\w = k - ÷ ,k Z,4 6 5 è 6
Qw (0,1) 2\w = ,
3
\ f (x) = 2sin π 4 π 2wx + ÷ = 2sin

x +
,
è 6 ÷ è 3 6
Q x éê0,
3π ù 4 π π 7π
ú ,\ x +
é ù
4 3 6 ê
, ú ， 6 6
sin 4 x π\ + é 1 - ,1ù ，
è 3 6 ÷ ê 2 ú
é0, 3π故函数 f (x)
ù
在 ê ú 上的值域为[-1,2] . 4
π 2kπ 2wx π π 2kπ, k Z kπ π（2）令- + + + ，解得 - x
kπ π
+ ，
2 6 2 w 3w w 6w
Q π 2π函数 f (x)

在 , 上单调递增，
è 3 3 ÷
π , 2π k\ 0π π , k- 0π π+ ,k3 3 ÷ w 3w w 6w ÷ 0
Z，
è è
ìk0π π π
- w 3w 3 ì 3k0 1+w\í ,即 í ,
k0π π 2π+ 6k0 +1 4w
w 6w 3
2π π 1 1 2π 3
又w > 0， - T = × ,\0 < w ,
3 3 2 2 2w 2
1 5 1
\- < k0 ,\k0 = 0,\0 < w ，6 6 4
1 ù
所以w 的取值范围为 0, .
è 4ú
【拓展冲刺练】
一、单选题
p é π 3 ù
1．（2023·

广西·模拟预测）已知函数 f (x) = cos wx + 3 ÷
(w > 0)在区间
è ê
, π
4 4 ú
上单调递减，

则实数w 的取值范围为（ ）

A． 0,
8ù
ú B． 1,2 è 9
2ù
C． 0,1 D． 0,
è 3 ú
【答案】A
【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的 2 倍，求得w 的初步范围，然后结合余弦函数
的单调性进一步确定w 的范围，得到答案.
π πw π 5π 3πw π
【详解】由题意有T
2π
= π
w ，可得
0 < w 2，又由 < + ，必有 + π ，可
3 4 3 6 4 3
0 w 8得 < .
9
故选：A
π π 3π
2．（2023·陕西商洛·模拟预测）若函数 g x = cos wx + é ù÷ 在区间 ê ,4 4 ú 上单调递减，则正è 3
数w 的取值范围为（ ）
8ù 5 8ù
A． 0, B． ,
è 9 ú è 3 3ú

C． 0,
2ù 8
ú D． ,+

è 3 ÷ è 3
【答案】A
3π π π
【分析】由题意知T 2 -4 4 ÷
= π ，可得w 的大致范围，由此可得wx + 的取值范围，再
è 3
由 y = cos x的单调递减区间列出不等式组，即可解出答案.
【详解】根据函数 y = g x é π 3π ù在区间 ê , 4 4 ú 上单调递减，
T 2π 3π π得 = 2
-
w 4 4 ÷
= π，可得0 < w 2，
è
π πw π 5π
又由 < + ，
3 4 3 6
3πw π
必有 + π ，
4 3
可得0
8
< w .
9
故选：A
p π3 ．（2023·四川泸州·一模）已知函数 f x = 2sin wx - ÷ (w > 0)在 0, ÷上存在最值，且在
è 6 è 3
2π , π ÷上单调，则w 的取值范围是（3 ）è

A． 0,
2ù é1, 5ù é 5ú B． ê ú C． ê ,
8ù é11,17 ùD．
è 3 3 2 3ú ê 4 3 ú
【答案】C
π 2π
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对 x 0, ÷ 进行最值分析，对区间 x , π3 3 ÷è è
上进行单调分析；
π π π wπ π
【详解】当 0 < x < 时，因为w > 0，则- < wx - < -3 ，6 6 3 6
因为函数 f x 0, π wπ π π在 3 ÷上存在最值，则 - > ，解得w > 2，è 3 6 2
2π x π 2πw π wx π当 < < 时， - < - < πw
π
- ，
3 3 6 6 6
因为函数 f x 2π在 , π

上单调，
è 3 ÷
2πw π π π π
则 - , πw - ÷ kπ - ,kπ +3 6 6 2 2 ÷
k Z ，
è è
ì2πw π π- kπ - ,
3 6 2 3 1 2
所以 í 其中 k Zπ π ，解得
k - w k + k Z ，
πw - kπ + , 2 2 3
6 2
3 k 1 2 7所以 - k + ，解得 k ，
2 2 3 3
又因为w > 0，则 k 0,1,2 ．
2
当 k = 0时，0 < w ；
3
当 k =1时，1 w
5
；
3
5 w 8当 k = 2时， ．
2 3
w > w é 5 8ù又因为 2，因此 的取值范围是 ê , 2 3ú
．

故选：C．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.
4．（2023·河南·二模）已知函数 f x = asinwx + bcoswx，其中w > 0，若函数满足以下条件：
①函数 f x é 3在区间 ê π,
4 πù π ú 上是单调函数；② f x f ÷ 对任意 x R 恒成立； 7 7 è 4
③经过点 b, 2a 的任意直线与函数 y = f x 恒有交点，则w 的取值范围是（ ）
A． 0,1 éê3,
28ù é 28ù
ú B． (0,1) 3, 9 ê 9 ú
C． 0,1 3,5 7 D． 0,1 3,5
【答案】A
2π π
【分析】根据题意得到函数的周期为 ，由②得到 x = 是函数的一条对称轴，结合①可
w 4
知0 w
28 28 w 56< ， ，再结合②和③即可求解.
9 5 9
【详解】由函数 f x = a sinwx + b coswx 2π可知，函数的周期为T = ，
w
f x f p π由条件② ÷ 对任意 x R 恒成立，可知 x = 是函数的一条对称轴，
è 4 4
é 3 4 ù
结合条件①函数 f x 在区间 ê π, πú 上是单调函数，则有 7 7
ì π
+ n
π 3π ìw 28n×
4 w 7 5 28n w 28(n +1)í ，又w > 0π ，解得 í

(n 1) π 4π w 28(n 1)
，即 ，
+
+ + × 5 9
4 w 7 9
ì28(n +1)
> 0 ìn > -1 9
又因为w > 0，故 í n Z
28(n +1) 28n
，解得 í 5 ，又 ，
n
9 5 4
从而 n = 0或 n =1 .
0 w 28 28 56当 n = 0时， < ；当 n =1时， w ，
9 5 9
由② f x f p ÷ 对任意 x R 恒成立， f (x) = w(a coswx - bsinwx)，则
è 4
f (π) = w(a cos wπ wπ- bsin ) = 0，由③经过点 b, 2a 的任意直线与函数 y = f x 恒有交4 4 4
a
点，得 2a
a
a2 +b2 ，解得 a b ，易知b 0 ， 1，-1 1，
b b
π wπ wπ wπ a wπ
此时由 f ( ) = w(a cos - bsin ) = 0，可得 tan = ，从而-1 tan 1，
4 4 4 4 b 4
0 28 28 56 wπ π 3π wπ 7π由 < w 或 w ，得0 < 或 ，
9 5 9 4 4 4 4 9
28
所以0 < w 1或3 w ，
9
故选：A.
【点睛】根据三角函数的单调性和对称轴求参数，研究三角函数的性质基本思想将函数看成
y = Asin(wx + j)的形式，根据整体思想来研究相关性质.
二、多选题
5．（2022·山东聊城·一模）已知函数 f x = 2sin wx +j + a,w > 0，则下列结论正确的是
（ ）
A．若对于任意的 x R ，都有 f x 1成立，则 a -1
B．若对于任意的 x R ，都有 f x +p = f x 成立，则w = 2
p 1
C．当j
p
= 时，若 f x é ù 在 ê0, 上单调递增，则w 的取值范围为 0,
ù
3 2 ú è 3ú
é p ù
D．当a = - 3时，若对于任意的j R ，函数 f x 在 ê0, ú上至少有两个零点，则w 的 2
取值范围为 4, +
【答案】ACD
【分析】由题可得 a 1- 2sin wx +j 恒成立，利用三角函数的性质可判断 A，利用函数的
wp
周期的含义可判断 B，利用正弦函数的单调性可判断 C，由题可得 +j -j 2p ，进而可
2
判断 D.
【详解】对于 A，对于任意的 x R ，都有 f x 1成立，
所以 a 1- 2sin wx +j 恒成立，又 sin wx +j -1,1 ，1- 2sin wx +j -1,3 ，
∴ a -1，故 A 正确；
对于 B，由题可得p 是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为p ，故 B 错误；
j p é
p ù
对于 C，当 = 时，当 x ê0, ú 时，wx
p p wp p
+ é , + ù
3 2 3 ê 3 2 3 ú
，

wp p p 1
则 + ，w > 0，故0 < w ，故 C 正确；
2 3 2 3
é
对于 D，当a = - 3时，当 x ê0,
p ù é wp ù
2 ú
时，wx +j êj, +j ， 2 ú
p
由 f x = 2sin wx +j - 3 é在 ê0,
ù
ú上至少有两个零点， 2
wp
则 +j -j 2p ，即w 4，故 D 正确.
2
故选：ACD.
π
6．（2023·广东湛江·一模）已知w > 0，函数 f x = cos wx + ，下列选项正确的有（3 ÷ ）è
A．若 f x 的最小正周期T = 2，则w = π
B．当w = 2时，函数 f x π的图象向右平移 个单位长度后得到 g x = cos 2x 的图象
3
2π é 5ù
C．若 f x 在区间 , π ÷上单调递增，则w 的取值范围是 ê1,è 3 3ú
D．若 f x 在区间 0, π 1 7 ù上只有一个零点，则w 的取值范围是 ,
è 6 6 ú
【答案】ACD
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定 A 正确；利用三角函数的图象变换，可判定 B 错
2π
误；根据 f x 在区间 , π ÷上单调递增，列出不等式组，求得w 的范围，得到当 k = 0时，
è 3
不等式有解，可判定 C 正确；由 f x 在区间 0, π 上只有一个零点，列出不等式组，求得w
的范围，可判定 D 正确．
2π
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得T = = 2，得w = π ，所以 A 正确；
w
当w = 2时，可得 f x π= cos 2x + 3 ÷ ，è
π
将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度后得
3
f x π- = cos é2 x π π ù- + = cos π 3 ÷ ê 3 ÷è è 3 ú
2x - ÷ g x ，所以 B 错误；
è 3
ì2πw π+ p + 2kπ
f x 2π

若 在区间 , π
3 3
÷上单调递增，则 í ,k Z ，
è 3 πw π+ 2π + 2kπ
3
解得1+ 3k
5
w + 2k, k Z，
3
5
又因为w > 0，所以只有当 k = 0时，此不等式有解，即1 w ，所以 C 正确；
3
ìpw π π+ >
f x 0, π
3 2 1 7
若 在区间 上只有一个零点，则 í π 3π ，解得
< w ，所以 D 正确．
pw + 6 6
3 2
故选：ACD．
三、填空题
7．（2024·山东烟台·一模）若函数 f (x) = sinwx + 3coswx -1在 0,2π 上恰有 5 个零点，且在
[ π- , π ]上单调递增，则正实数w 的取值范围为 .
4 15
9 5
【答案】 w
4 2
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数 f (x) ，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数 f (x) = 2sin(wx
π
+ ) -1，由 f (x) = 0 ，得 sin(wx
π
+ ) 1= ，
3 3 2
wx π 2kπ π wx π 2kπ 5π则 + = + 或 + = + , k Z，
3 6 3 6
由 x [0, 2π] wx
π π
，得 + [ , 2πw
π
+ ]，由 f (x) 在[0, 2π]上恰有 5 个零点，
3 3 3
29π π 37π 9 35
得 2πw + < ，解得 w < ，
6 3 6 4 12
π wx π π 5π π 5π π由- + ，得- x ，即函数 f (x) 在[- , ]上单调递增，
2 3 2 6w 6w 6w 6w
π π 5π π 5π π π π 5
因此[- , ] [- , ]，即- - ，且 ，解得0 < w ，
4 15 6w 6w 6w 4 6w 15 2
9 5
所以正实数w 的取值范围为 w .
4 2
9 w 5故答案为：
4 2
【点睛】方法点睛：求函数 y = Asin wx +j A > 0,w > 0 的单调区间时，可把wx + j 看成
π 3π
一个整体，由 + 2kπ wx +j + 2kπ k Z 求得函数的单调递减区间，由
2 2
π
- + 2kπ wx π+j + 2kπ k Z 求得函数的单调递增区间．
2 2
π
8．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 f (x) = -sin wx - ÷ (w > 0)
π
在区间 , π

上单
è 4 ÷ è 3
调递减，则w 的取值范围是 .
0, 3ù【答案】
è 4 ú
wπ π wx π【分析】由题可得 - < - < wπ
π
- ，由于 y = -sin x的单调递减区间为
3 4 4 4
ìwπ π π
é π π ù
- 2kπ -
3 4 2
ê2kπ - , 2kπ + (k Z)，可得 w . 2 2
í
ú wπ π π
，从而求得 的取值范围
- 2kπ+
4 2
π
【详解】当 x , π
wπ π wx π π÷ 时， - < - < wπ - ，
è 3 3 4 4 4
y sin x é2kπ π ,2kπ π又 = -
ù
的单调递减区间为 ê - + ú (k Z)， 2 2
ìwπ π
- 2kπ
π
-
3 4 2
所以 í (k Z)，
wπ π- 2kπ+ π
4 2
3
解得6k - w 2k
3
+ (k Z) 3，且 2k + 6k
3
- (k Z)，解得 k
3
，又w > 0，
4 4 4 4 8
3ù
所以 k = 0，所以w 的取值范围为 0,
è 4 ú
.
0, 3ù故答案为：
è 4 ú

9．（2024·广东茂名·一模）函数 f x = 2sin wx
π π π
+ ÷（w > 0

）在区间
6
,
6 2 ÷上有且只有两è è
个零点，则w 的取值范围是 .
11,5 17 23ù【答案】 3 ÷
,
è è 3 3 ú
【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.
f x π , π T π 3T由于 在区间 ÷上有且只有两个零点，所以 <
è 6 2
，
2 3 2
π π 3π
即 < 3 < w 9
π
，由 f x = 0得，wx + = kπ ， k Z ，
w 3 w 6
x π , π∵

÷，∴wx
π
+
πw π πw π
+ , +
6 2 6 ÷
，
è è 6 6 2 6
ì πw π
+ < π
ìπ πw π + < 2π
∴ 6 6 6 6
11 17 23
í 或 í ，解得 < w < 5或 < w ，
2π πw π 3π 3π πw π< + < + 4π 3 3 3
2 6 2 6
w 11 17 23所以 的取值范围是 ,5÷

,
ù
.
è 3 è 3 3 ú
11,5 17 23ù故答案为： 3 ÷
,
è è 3 3 ú
wx π πw π , πw π 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到 + + + ÷，再根据零点6 è 6 6 2 6
个数得到不等式组，解出即可.
四、解答题
π
10．（22-23 高三上·上海黄浦·期中）已知函数 f x = sin wx + ÷，w > 0；
è 3
(1)当w = 2时，求 f x é π ù在 ê0, 的值域； 2 ú
π
(2)若至少存在三个 x0 (0, )使得 f x0 = -1，求w 的取值范围；3
π é π
(3)若 f x é ù在 ê ,πú 上是增函数，且存在m ê , π
ù f 2m π 2ú，使得 -

÷ >2 成立，求实数
w
2 è 3ω 2
的取值范围.
【答案】(1)[ 3- ,1]
2
31
(2) ( , + )
2
1 1
(3) ( , ]
8 6
π π 4π
【分析】（1）由题意可得 2x + ,据此即可求得函数的值域；
3 3 3
π π wπ π
（2）由题意得到wx + ( , + ) ,列出关于w 的不等式，求解不等式即可确定w 的取值
3 3 3 3
范围；
（3）由题意列出关于w 的不等式，求解不等式即可确定w 的取值范围．
f (x) sin(2x π【详解】（1）当w = 2时， = + ) ,
3
由 x
π
é ù π π 4π 3ê0, 2 ú ，可得 2x + ,\- sin(2x
π
+ ) 1，
3 3 3 2 3
故 f (x) 的值域为[ 3- ,1]．
2
π π
（2）∵对于函数 f (x) = sin(wx + )(w > 0)3 ，至少存在三个 x0 (0, )，使得
f (x0 ) = -1，3
π
即函数 f (x) = sin(wx
π
+ )(w > 0) 的图象在 (0, )3 至少有 3 个最低点，3
x (0, π) π π wπ π，所以wx + ( , + )，
3 3 3 3 3
wπ π 3π
故 + > + 2π 2，即有w
31
> ，
3 3 2 2
即w
31
的取值范围是 ( ,+ ) .
2
f x [ π ,π] π π 1 2π（3）由题意 在 是增函数，则 - ，w > 0，所以0 < w 2，
2 2 2 w
wx π [wπ π ,wp π] wπ π ( π , 4π],wπ π ( π , 7π+ + + ，而 + + ]，
3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3
故wπ
π π
+ ，即0
1
< w ，
3 2 6
π π 2 é π π ù 2
由于存在m [ , π]使得 f (2m - ) > ，即 sin w(2m - ) + > 成立，2 3w 2 ê 3ω 3 ú 2
2 π π
即 sin 2wm > 成立，而 2wm [wπ,2wπ]，又wπ (0, ], 2wπ (0, ]，
2 6 3
故 2wπ
π 1
> ，即w > ，
4 8
1 1
综上可得， < w ，即w
1 1
的取值范围是 ( , ] .
8 6 8 6
π
11．（22-23 高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = sinwx w > 0 ù在区间 0, 6 ú 内是增函è
数．
(1)求w 的取值范围；
π 2π
(2)将函数 y = f x 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像与将其向右平移 个单位
3 3
长度后所得到的图像重合．求w 的值．
【答案】(1) 0 < w 3
(2)2
π
【分析】（1）确定wx 0, w
ù π π
ú ，根据单调性得到 w ，解得答案.è 6 6 2
（2）根据三角函数的平移法则得到w = 2k ，结合w 的范围得到答案.
π ù π ù
【详解】（1）因为 x 0, ú，w > 0，则wx 0, wú ，è 6 è 6
已知 f x = sinwx w > 0 在区间 0, π ù π π6 ú 内是增函数，则 w ，解得0 < w 3．è 6 2
sin éw x π ù sin éw x 2π ù sin wx π （2）由已知可得 ê + ÷ú = ê - ÷ú，即 + w ÷ = sin
wx 2π- w ÷，
è 3 è 3 è 3 è 3
π 2π
所以 w - - w ÷ = 2kπ ，即w = 2k ， k Z，当且仅当 k =1时，w = 2，符合0 < w 3．3 è 3
故w = 2．培优点 05 三角函数中有关ω的范围问题（4 种核心题型+基
础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
在三角函数的图象与性质中，ω 的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉
及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
【核心题型】
题型一　三角函数的单调性与 ω 的关系
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求 ω 的取值范围．
2π
【例题 1】（2024·广东湛江·一模）已知函数 f x = sin wx + ÷ w > 0
π
在区间 ,
π
上单
è 3 è12 6 ÷
调递增，则w 的取值范围是（ ）
A． 2,5 B． 1,14 C． 9,10 D． 10,11
【变式 1】（多选）（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0,j R)
π , π f π = - f 5π 在区间 4 2 ÷ 上单调，且满足 4 ÷ ÷ ，下列结论正确的有（ ）è è è 12
f π A． = 0
è 3 ÷
f π - x = f x f x 2πB．若 ÷ ，则函数 的最小正周期为
è 3 3
C．关于 x 方程 f x =1在区间 0,2π 上最多有 4 个不相等的实数解
D．若函数 f x éπ ,11π 在区间 ê ÷ 上恰有 5 个零点，则w
8 ,3ù
3 6
的取值范围为
è 3 ú
é π π ù
【变式 2】（2024·福建南平·二模）函数 f x = sinwx w > 0 在区间 ê- , 上单调递增，且 6 3 ú
在区间 0, 2π 上恰有两个极值点，则w 的取值范围是 .
π
【变式 3】（23-24 高三下·甘肃·阶段练习）已知函数 f (x) = sin
wx + ÷ (w > 0)6 ．è
(1)当w = 2时，求函数 f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
(2)若函数 f (x) 的导函数为 g(x)，且 g(x) é在 ê0,
π ù
2 ú 上为减函数，求 ω 的取值范围．
题型二　三角函数的对称性与 ω 的关系
T
　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和
2
T
对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期
4
性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于 ω 的不等式组，进而可以研究
“ω”的取值范围．
【例题 2】（2023·内蒙古赤峰·三模）已知函数 f x = 3 sinwx - coswx w > 0 的一条对称轴
是 x
π
= ，若存在m,c R 使直线 x + my + c = 03 与函数
f x 的图像相切，则当w 取最小正数
时，实数 m 的取值范围是（ ）
1
A． - ,0
1 1 , + é- ,0 é1
2 ÷
B．
2 ÷ ê 2 ÷
,+ ÷
è è ê 2
1 1 1 ù é1
C． - , - ÷ U ,+ D． - , - , +
è 4 è 4 ÷ ÷ è 4ú ê 4
1
【变式 1】（2023·四川成都·模拟预测）已知函数 f (x) = 2 2 coswx sin(wx
π
+ ) é的图象在 ê0,
ù
4 2 ú
上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数w 的取值范围为 .
1
【变式 2】（2024·全国· 2模拟预测）已知函数 f x = + 3sinwxcoswx - cos wx w > 0 ，若 f x
2
的图象在 0, π 上有且仅有两条对称轴，则w 的取值范围是 ．
【变式 3】（2023·上海普陀· 3三模）设函数 f x = sin2wx +cos2wx，其中0 < w < 2 .
2
(1)若 f x 的最小正周期为 π，求 f x 的单调增区间；
(2)若函数 f x π ù图象在 0, 3 ú 上存在对称轴，求w 的取值范围.è
题型三　三角函数的最值与 ω 的关系
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 ω 的不等式(组)，进而求出 ω
的值或取值范围．
【例题 3】（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知函数 f x = sin wx π+ ÷ (w > 0) 在区间 0,
π
è 6
÷
è 2
内有最大值，但无最小值，则w 的取值范围是（ ）
2 , 8ù é1 , 5 2 , 5ù é1 8 A． ú B． ê ÷ C． D3 6ú ．
,
è 3 3 6 6 ê6 3 ÷ è
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0 π 满足 f x f 12 ÷，è
且 f x é π π ù在区间 ê- , ú 上恰有两个最值，则实数w 的取值范围为 ． 3 3
【变式 2】（23-24 高三下·广东·阶段练习）已知函数 f x = cos wx -j 的图象关于原点对称，
é π π ù
其中w > 0，j -π,0 ，且在区间 ê- , ú上有且只有一个最大值和一个最小值，则w 的取 3 6
值范围为 ．
【变式 3】（23-24 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 f x 的定义域为D，若存在实数
a，使得对于任意 x1 D x
x1 + f x 都存在 22 D满足 = a ，则称函数 f x 为“自均值函2
数”.
(1) x判断函数 f x = 2 是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数 g x = sin wx
π
+ ÷ w > 0)， x 0,1 为“自均值函数”，求w 的取值范围.
è 6
题型四　三角函数的零点与 ω 的关系
T
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为 ，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的
2
取值．
π
【例题 4】（2023·河南开封·模拟预测）将函数 f x = cos 2x 的图象向右平移 个单位长度后，
6
1
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 w >1 ，得到函数 g x 的图象，若在区间
w
0,π 内有 5 个零点，则w 的取值范围是（ ）
23 w 29 23 29A． < B． < w
12 12 12 12
29 w 35 29 35C． < D． < w ≤
12 12 12 12
π
【变式 1】（2023·全国·三模）将函数 f x = sin2x 的图像先向右平移 个单位长度，再把所
8
2
得函数图像的横坐标变为原来的 w > 0 倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图像，若函数
w
g x π 在 , π ÷上没有零点，则w 的取值范围是 .
è 4
π 1
【变式 2】（22-23 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x = cos wx - 3 ÷ - (w > 0) ，将è 2
f x 1的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 g x2 的图像.已知
g x 在 0,p 上恰有 5 个零点，则w 的取值范围是 .
【变式 3】（21-22 高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 f (x) = sinwx + 3 coswx(w > 0) .
p 5
(1)当0 < w < 3时，函数 y = f (x - ) - f (x) 的图象关于直线 x = p 对称，求 f (x) 在 0,p 3 上的w 12
单调递增区间；
(2)若 f (x)
p p
的图像向右平移 个单位得到的函数 g(x)在[ ,p ]上仅有一个零点，求 ω 的取值
3 2
范围．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 f x sin π= wx -

3 ÷
(w > 0) 在区间 0, π 上有且仅
è
有两条对称轴，则w 的取值范围是（ ）
é11,17 17 , 23ù 11,17A B C ù é
17 23
． ê ÷ ． ú ． ú D． , 6 6 è 6 6 è 6 6 ê 6 6 ÷
2．（2023·浙江杭州·一模）已知函数 f (x) = coswx - 3 sinwx （ω＞0），若 f（x）在区间 0,2p
上有且仅有 3 个零点和 2 条对称轴，则 ω 的取值范围是（　　）
é5
A． ê ,
4 é13 ,19 B．
6 3 ÷ ê12 12 ÷
é 4 ,19 é13 4 C． ê ÷ D． ,3 12 ê12 3 ÷
3．（2024·河南郑州·一模）已知函数 f (x) = 2sin
π é π ù
wx - ÷ (w > 0) 在 ê0, 2 ú 上的值域为 -1,2 ，è 6
则w 的取值范围为（ ）
é4 ù é4 , 8ù é2 , 4ù é2 8ùA． ê , 23 ú B． ê C3 3ú ．
D． ,
ê 3 3ú ê 3 3ú
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin 2pwx w > 0 在区间 0,2 上单调，且在区间
0,18 上有 5 个零点，则w 的取值范围为（ ）
1
A． ,
5 é1
÷ B． ê ,
5 ù
è 9 36 9 36 ú
1 , 1 é1C． ÷ D． ê ,
1ù
è 9 8 9 8ú
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w 0, j π> < ÷的部分图象如
è 2
图所示，则下列说法正确的是（ ）
j πA． = - 3
π
B．若w = 2，则函数 f x 的对称中心为 + kπ,06 ÷ k Z è
C．若函数 f x π , π 5 ù在 ÷内单调递增，则w 的取值范围为 0,
è 2 è 6 ú
1 ù
D．若函数 f x 在 -π,2π 内没有最值，则w 的取值范围为 0,
è 6 ú
π
6．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知w > 0，函数 f x = cos wx + ÷ ，下列选项正
è 6
确的有（ ）
A．若 f x T π的最小正周期 = ，则ω = 4；
2
π
B．当w = 2时，函数 f x 的图象向右平移 后得到 g x = cos 2x 的图象；
6
f x π , π w é5 ,11ùC．若 在区间 2 ÷上单调递增，则 的取值范围是 ；è ê3 6 ú
4
D．若 f x 在区间 0, π 上有两个零点，则w 的取值范围是 ,
7 ù
；
è 3 3ú
三、填空题
1 π
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = sinwx - (w > 0)在区间 , π4 ÷有且仅有 1 个零点，2 è
则w 的取值范围为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x π= 2sin wx -
w > 0 0, π ÷ 在区间 3 ÷上不单调，且è 6 è
2π
在区间 , π 上单调，则w 的取值范围是 ．
è 3 ÷
5π
9．（2024·山西晋城·一模）若函数 f (x) = coswx(0 < w <100)

在 π,

÷ 上至少有两个极大值
è 2
点和两个零点，则w 的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2sin wx +j w
π
> 0, j ÷ .
è 2
(1)若 f x A 3π ,0 π 的图象经过点 B4 ÷， , 24 ÷，且点 B 恰好是 f x 的图象中距离点A 最近的è è
最高点，试求 f x 的解析式；
5π 3π
(2)若 f 0 = -1 ，且 f x 在 , π ÷ 上单调，在 0,

÷ 上恰有两个零点，求w 的取值范围.
è 9 è 4
11．（2023·河北承德·模拟预测）已知w >1，函数 f (x) = cos wx
π
-
3 ÷
.
è
(1)当w = 2时，求 f (x) 的单调递增区间；
π π
(2)若 f (x)
é
在区间 ê ,
ù
6 3 ú
上单调，求w 的取值范围.

【综合提升练】
一、单选题
π é0, 2π1．（2023·河南·模拟预测）若函数 f (x) = sin(wx + )(w > 0) ù6 在 ê 3 ú 上恰有两个零点，且在
é π
ê- ,
π ù
12 12ú 上单调递增，则
w 的取值范围是（ ）

11
A． , 4
ù é11,4ù é11,17 11 17
4 ú
B． ê C．4 ú ê 4 4 ÷
D． , ÷
è è 4 4
2．（2023·贵州黔东南·三模）已知函数 f x = cos wx
π
+ ÷ (w > 0)在 0, π 有且仅有两个零点，
è 6
则w 的取值范围是（ ）
é1 , 4 1A． ê ÷ B． ,
4ù 4
C． ,
7 ù é4 7
D． , ÷
2 3 è 2 3ú è 3 3ú ê3 3
π π
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知函数 f (x) = A tan(wx + )(w > 0)，若 （f x

）在区间 ，π
3 ֏ 2
内单调递减，则w 的取值范围是（ ）
0 1 (1 , 7A． ， ÷ B． )
1 1 7
C． (0, ]U[ , ] D． (0,
1) U (1 , 7)
è 6 3 6 6 3 6 6 3 6
4．（23-24 高三上·河北·期末）函数 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < π 的部分图象如下图所
f x 0, π ù示，若 在区间 ú 恰有一条对称轴和一个对称中心，则w 的取值范围是（2 ）è
é 4 , 7 4 7 ùA． ê ÷ B． , 3 3 è 3 3 ú
é5
C． ê ,
8 5 , 8ù
3 3 ÷
D．
è 3 3ú
2π
5．（2023·吉林长春·一模）将函数 f (x) = cos x + 3 ÷
图象上所有点的横坐标变为原来的
è
1 2π π π(w > 0) é0, ù é ù，纵坐标不变，所得图象在区间 ê 3 ú 上恰有两个零点，且在 ê
- ,
12 12ú 上单调递w
减，则w 的取值范围为（ ）
A é
9 ,3ù é9． ê ú B． ê , 4
é11 ù 11 ù
4 ÷
C． ê , 4ú D． ,6 4 4 è 4 ú
π
6．（2024·贵州贵阳·一模）将函数 f x =sinx的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函
3
1
数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 (w > 0) 倍，得到函数 g x 的图像.
w
π
若函数 g x 在 - ,02 ÷ 上单调递增，则w 的取值范围是（ ）è
0, 1 ù 1ù 1 ùA． B． 0,
è 6 ú è 3ú
C． 0, ú D． 0,1 è 2
7．（2024·四川雅安·三模）已知函数 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，则下列说法中正确的个
数是（ ）
①当w = 2时，函数 y = f x - 2logπ x 有且只有一个零点；
②当w = 2时，函数 y = f x +j π为奇函数，则正数j 的最小值为 ；
3
③若函数 y = f x 在 0, π w 1
è 3 ÷
上单调递增，则 的最小值为
2
；
y f x 0, π w 13 25ù④若函数 = 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围为 ,
è 6 6 ú
.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 3 cos wx
p
+ ÷ + cos
wx p p -

÷ w > 0

在 ，p
è 3 è 6 è 2 ÷
上单调递增，则w 的取值范围是（ ）
é 4 5ù é5 11ù é5 11ù é7 ù
A． ê ，ú B． ê ， ú C． ê ， ú D． ê ，2 3 3 6 6 3 6 6 ú
二、多选题
9．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) = cos

wx
π
- ÷ + B(w > 0, B > 0) ，则（6 ）è
A．若函数 f (x)
π
的图象关于直线 x = 3 对称，则
w 的值可能为 3
B．若关于 x 的方程 f (x) = B在[0,
11 14
p] é 上恰有四个实根，则w 的取值范围为 , ÷
ê 3 3
C．若函数 f (x)
π
的图象向右平移 个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数 g(x)
3
为奇函数，则w 的最小值是 1
é π , 3πD ù．若函数 f (x) 在区间 ê 上单调，则1 w 2 4 4 ú
π
10 ．（23-24 高三上·山东滨州·期末）已知函数 f x = cos wx + ÷ w > 0 3 ，下列选项中正确的有è
（ ）
A．若 f x 的最小正周期T = 2，则w = π
π
B．当w = 2时，函数 f x 的图象向右平移 个单位长度后得到 g x = cos 2x 的图象
3
C．若 f x 在区间 0, π 2ù上单调递减，则w 的取值范围是 0,
è 3 ú
f x 0, π w 1 , 7 ùD．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
è 6 6 ú
11．（2023·安徽·模拟预测）已知函数 f x = sinwx + 3coswx(w > 0)，下列说法正确的是
（ ）
A．函数 f x 的值域为 -2,2
B．若存在 x1, x2 R ，使得对"x R 都有 f x1 f x f x2 ，则 x1 - x2 的最小值为
2π
w
C．若函数 f x é π , π- ù在区间 ê ú 上单调递增，则w
1 ù
的取值范围为 0,
6 3 è 2 ú
D．若函数 f x 在区间 0, π 上恰有 3 个极值点和 2 个零点，则w 的取值范围为
13 8ù
,
è 6 3 ú
三、填空题
p
12．（2023·山东·模拟预测）已知函数 f ( x ) =| sin w x | + | cos w x | (w

> 0) 在区间 ,p ÷上单调递
è 4
增，则w 的取值范围是 ．
π
13．（2024·广西贺州·一模）已知函数 f (x) = 4sinwx, g(x) = 4cos(wx - ) + b(w > 0) ，且
3
"x1, x2 R,| f (x1) - g(x2 ) | 8，将 f (x) = 4sinwx
p
的图象向右平移 3w 个单位长度后，与函数
uuur uuur
g(x)的图象相邻的三个交点依次为 A，B，C，且BA × BC < 0，则w 的取值范围
是 ．
π 1
14．（2024·浙江·模拟预测）设函数 f x = sin -wx ÷ (w > 0) ，若存在 x0 0, π 使 f x0 =è 6 2
成立，则w 的取值范围是 .
四、解答题
mr = 3sinwx, 3- r
3
15．（22-23 高三上·安徽阜阳·期中）已知向量 ÷， n = , coswxè 2 2
÷
÷
，w > 0，
è
r r
函数 f x = m × n ．
1
(1)若w = ，求 f x 在 0,3π 上的单调递减区间；
3
3
(2)若关于 x 的方程 f x = - 在 0,1 上有 3 个解，求w 的取值范围．
2
16．（2023·湖南长沙·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知边 c = 6，
且 sin A + sin B = 2sin C ．
(1)求VABC 面积的最大值；
(2)设当VABC 的面积取最大值时的内角 C 为j ，已知函数 f (x) = sin(wx -j)(w > 0)在区间

0,
π
÷上恰有三个零点和两个极值点，求w 的取值范围．
è 2
17．（2023·江苏盐城·三模）已知函数 f x = 2a sin ax + a cos ax
π
+ ÷ + b a > 0 的值域为
è 4
-1,3 .
(1)求 f x 的单调递增区间；
(2)若 f wx w > 0 é在 ê0,
π ù
ú上恰有一个零点，求w 的取值范围. 6
18．（23-24 高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数
f (x) = 4sin2 π + 2x ÷ ×sin x + (cos x + sin x) × (cos x - sin x)．
è 4
(1)化简函数 f (x) ；
π 2π
(2)已知常数w > 0，若函数 y = f (wx) é ù在区间 ê- , ú 上是增函数，求w 的取值范围 2 3
π
19．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = 2sin(2wx + )(w > 0) .
6
5π é 3π ù
(1)若点 ( ,0)是函数 f (x) 图像的一个对称中心，且w (0,1) ，求函数 f (x) 在 ê0, 上的值8 4 ú
域；
π 2π
(2)若函数 f (x) 在 , w .
è 3 3 ÷
上单调递增，求实数 的取值范围

【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）已知函数 f (x) = cos wx
p
+ ÷ (w
π 3
> 0) é在区间 , π
ù
上单调递减，
è 3 ê 4 4 ú
则实数w 的取值范围为（ ）
8ù
A． 0, ú B9 ．
1,2
è
C． 0,1 D． 0,
2ù
è 3 ú
π π 3π
2．（2023·陕西商洛·模拟预测）若函数 g x = cos é ù wx + ÷ 在区间 ê ,4 4 ú 上单调递减，则正è 3
数w 的取值范围为（ ）
0, 8ù 5 , 8ùA． B9 ． è ú è 3 3ú
0, 2ù 8C． ú D． ,+

è 3 ÷ è 3
p
3
π
．（2023·四川泸州·一模）已知函数 f x = 2sin wx - ÷ (w > 0)在 0, 3 ÷上存在最值，且在è 6 è
2π
, π

÷上单调，则w 的取值范围是（3 ）è

A． 0,
2ù é1, 5ù é 5 , 8ù é11 17 ùB． C． D． ,
è 3 ú ê 3 ú ê2 3ú ê 4 3 ú
4．（2023·河南·二模）已知函数 f x = asinwx + bcoswx，其中w > 0，若函数满足以下条件：
①函数 f x é 3 π, 4 πù π 在区间 ê ú 上是单调函数；② f x f ÷ 对任意 x R 恒成立； 7 7 è 4
③经过点 b, 2a 的任意直线与函数 y = f x 恒有交点，则w 的取值范围是（ ）
0,1 é3, 28A． ùê ú B． (0,1)
28
é3, ù
9 ê 9 ú
C． 0,1 3,5 7 D． 0,1 3,5
二、多选题
5．（2022·山东聊城·一模）已知函数 f x = 2sin wx +j + a,w > 0，则下列结论正确的是
（ ）
A．若对于任意的 x R ，都有 f x 1成立，则 a -1
B．若对于任意的 x R ，都有 f x +p = f x 成立，则w = 2
p 1
C．当j
p
= é ù ù时，若 f x 在
3 ê
0, ú上单调递增，则w 的取值范围为 0, 2 è 3ú
D．当a = - 3时，若对于任意的j R ，函数 f x é0, p ù在 ê ú上至少有两个零点，则w 的 2
取值范围为 4, +
6．（2023·广东湛江·一模）已知w > 0，函数 f x = cos wx π + ÷ ，下列选项正确的有（3 ）è
A．若 f x 的最小正周期T = 2，则w = π
π
B．当w = 2时，函数 f x 的图象向右平移 个单位长度后得到 g x = cos 2x 的图象
3
f x 2π , π w é 5ùC．若 在区间 ÷上单调递增，则 的取值范围是 1,
è 3 ê 3 ú
D．若 f x 1 7 ù在区间 0, π 上只有一个零点，则w 的取值范围是 ,
è 6 6 ú
三、填空题
7．（2024·山东烟台·一模）若函数 f (x) = sinwx + 3coswx -1在 0,2π 上恰有 5 个零点，且在
[ π- , π ]上单调递增，则正实数w 的取值范围为 .
4 15
π π
8．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 f (x) = -sin wx - ÷ (w > 0) 在区间 , π4 3 ÷
上单
è è
调递减，则w 的取值范围是 .
9．（2024·广东茂名·一模）函数 f x π= 2sin wx + π π ÷（w > 0）在区间 ,6 6 2 ÷上有且只有两è è
个零点，则w 的取值范围是 .
四、解答题
π
10．（22-23 高三上·上海黄浦·期中）已知函数 f x = sin wx + ÷，w > 0；
è 3
f x é0, πw 2 ù(1)当 = 时，求 在 ê 2 ú的值域；
π
(2)若至少存在三个 x0 (0, )使得 f x0 = -1，求w 的取值范围；3
π π
(3)若 f x é在 ê ,π
ù é
ú 上是增函数，且存在m ê , π
ù f 2m π- 2，使得
2 2 ú 3ω ÷
> 成立，求实数w
è 2
的取值范围.
11．（22-23 高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = sinwx w > 0 π ù在区间 0,
è 6 ú
内是增函

数．
(1)求w 的取值范围；
(2)将函数 y = f x π 2π的图像向左平移 个单位长度后得到的图像与将其向右平移 个单位
3 3
长度后所得到的图像重合．求w 的值．

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