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考点 02 常用逻辑用语（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必
要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题
进行否定．
【知识点】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p q，则 p 是 q 的 条件，q 是 p 的 条件
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
p 是 q 的 条件 p q
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”
表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对 M 中任意一个 x，p(x)成立 存在 M 中的元素 x，p(x)成立
简记
否定 x∈M，﹁p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
若 p 以集合 A的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 p ： A {x | p(x)}， q ：
B {x | q(x)}，则
（1）若 A B ，则 p 是 q 的充分条件；
（2）若 B A，则 p 是 q 的必要条件；
（3）若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
（4）若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；
（5）若 A B ，则 p 是 q 的充要条件；
（6）若 A B 且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题 p 与 p 的否定的真假性相反.
【核心题型】
题型一　充分、必要条件的判定
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据 p q，q p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据 p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围
的推断问题．
【例题 1】（2024·陕西·模拟预测）给出下列三个命题：
①命题 p : $x R ，使得 x2 + x -1 < 0，则 p : "x R ，使得 x2 + x -1 0；
②“ x > 5或 x < -1”是“ x2 - 4x - 5 > 0 ”的充要条件；
③若 p q为真命题，则 p q 为真命题.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2 2
【变式 1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线 x + y + b 0与圆C : x +1 + y -1 5有公共点
的一个充分不必要条件是（ ）
A．b - 10, 10 B．b - 10, 10
C．b -4,4 D．b -4,4
1 a b 1 1 1
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）“ ÷ > ”是“ > ”成立的（ ）
è 2 è 2 ÷ a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式 3】（2024·安徽淮北·一模）记 Sn 是等差数列 an 的前 n项和，则“ an 是递增数列”是
ìSn ü“ í 是递增数列”的（n ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二　充分、必要条件的应用
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列
出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【例题 2】（23-24 高三上·浙江宁波·期末）命题“ $x -2,1 ， x2 - x - a > 0 ”为假命题的一个
充分不必要条件是（ ）
a 1A． ≤- B． a 0 C． a 6 D． a 8
4
1 1
【变式 1】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－13 2
则实数 m 的取值范围是 ．
【考查意图】已知充要关系求参数的取值范围．
【变式 2】（2024 高三·全国·专题练习）若“ x a ”是“ sin x + cos x >1”的一个充分条件，则a
的一个可能取值是 .（写出一个符合要求的答案即可）
2
【变式 3】（2023·海南海口·模拟预测）已知集合P x x - 2x < 0 ,Q x x - a <1 ，则
P UQ P的充要条件是（ ）
A． 0 < a < 1 B．0 < a 1 C．0 a <1 D．0 a 1
题型三　全称量词与存在量词
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到
一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题
求参数的范围．
命题点 1　含量词命题的否定
【例题 3】（2024·四川成都·二模）命题“ "x N*, 2x - x2 0 ”的否定是（ ）
A．$x0 N
*, 2x0 - x2 0 B $x N*． , 2x0 20 0 - x0 > 0
C．"x N*, 2x - x2 < 0 D．"x N*, 2x - x2 0
【变式 1】（2024·四川宜宾·二模）命题“ "x >1, lnx > 0 ”的否定是（　　）
A．"x >1, lnx < 0 B．"x >1, lnx 0
C．$x >1, lnx 0 D．$x 1, lnx 0
π
【变式 2】（2024·山西·模拟预测）命题“ "x
0, ÷， ex + 2sin x > 2x ”的否定是（2 ）è
π
A．“ "x 0, ÷
π
2 ， e
x + 2sin x 2x ” B．“ "x 0, 2 ÷
， ex + 2sin x 2x ”
è è
x π π C．“ $ 0, ， x ” D．“ $x 0, ， x ”
è 2 ÷
e + 2sin x 2x 2 ÷ e + 2sin x < 2x è
【变式 3】（2023· 2湖南岳阳·模拟预测）命题“ $x0 R，使得 x0 -1 0 ”的否定是（ ）
A．$x0 R，使得 x0 -1
2 0 B．$x 20 R，使得 x0 -1 0
C．"x R ， x -1 2 > 0恒成立 D．"x R ， x -1 2 0恒成立
命题点 2　含量词命题真假的判断
1
【例题 4】（2023· 2四川泸州·一模）已知命题 p : "x R ， x + 2 > 2，命题 q : $x R ，x 0
ln x0 -2，则下列命题是真命题的为（ ）
A． ( p) q B． p q C． p ( q) D． ( p) ( q)
【变式 1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“ a > 1,b > 1 ”是“ ab >1”的必要条件
B．"x > 0,ex > 2x
C．"x > 0,2x x2
D． a + b 0
a
的充要条件是 -1
b
【变式 2】（2023·四川绵阳·一模）下列 5 个命题：①“ $x0 R x2， 0 +1< 0 ”的否定；②
sina sinb 是a b 的必要条件；③“若 a，b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的逆命题；④“若
x2 - 3x + 2 0 ，则 x 1”的否命题；⑤ "x {x | x是无理数}， x3是无理数.其中假命题的个
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
【变式 3】（2023·河北·模拟预测）命题 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命题q：$x R，
2x2 - 4x + 3 0，则（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
命题点 3　含量词命题的应用
【例题 5】（2024· · “ "x R sin2四川凉山 二模）已知命题 ， π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，
则 m 的取值范围为（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
4
【变式 1】（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意 x (1,3)， a x + ”为假命题，则实数 a 的取
x
值范围是 ．
p : x 0, x 2【变式 2】（2024·四川成都·模拟预测）设命题 " > + > a ，若 p 是假命题，则实数
x
a的取值范围是 .
【变式 3】（2024·福建漳州·模拟预测）若$a [0, + )， cosa < m 为真命题，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．m 1 B．m > 1 C．m -1 D．m > -1
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
π
1．（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）“函数 y tan x -j 的图象关于 ,0 4 ÷对称”是è
π
“j - + kπ， k Z ”的（
4 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24 高三上·全国·阶段练习）“ a - 5 或a 5” 2是“圆C1 : x + y2 1与圆
C : (x + a)2 + (y - 2a)22 36 存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
π 2 2
3．（2024·广东·一模）“a + kπ(k Z) ” “ 3 cos a + sin a是 3 +1”的（ ）4 sina cosa
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
4．（2023·
x y
河南·二模）设椭圆 + 1 m > 0,n > 0 3的离心率为 e，则“ e ”是“ m 4n ”
m n 2
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）若数列 an 为等比数列，则“ a3 1”是“ a1 + a5 2 ”的
（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
二、多选题
6．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题“ "x >1，x2 <1”的否定是“ $x 1，x2 1”
1 1
B．“ a >10 ”是“ < ”a 10 的充分不必要条件
C．若函数 f x 的定义域为 0,2 ，则函数 f 2x 的定义域为 0,1
D．记 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 x1 x2 为函数 f x x 图象上的任意两点，则
f
f x1 + x2 x + f x ÷ > 1 2
è 2 2
7．（2024·广东梅州·一模）已知直线m ， n和平面a ，b ，且n a，则下列条件中， p 是q
的充分不必要条件的是（ ）
A． p : m∥a ， q : m∥n B． p : m ^ a ， q : m ^ n
C． p :a ∥b ， q : n∥b D． p : n ^ b ， q :a ^ b
三、填空题
8．（2024·四川成都·一模）命题“ "x > 0， tan x > x ”的否定为 ．
x
9．（23-24 高三上·河北张家口· 3a -1阶段练习）已知函数 f x x （ a > 0且a 1），若a +1
$x 0,3 ， f x2 + 3 + f -ax - a - 2 0是假命题，则实数 a 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2024·上海·一模）（1）在用“五点法”作出函数 y 1- sinx, x 0,2π 的大致图象的过程中，
第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
x 0
-sinx 0
1- sinx 1
（2）设实数 a > 0且a 1，求证： x a a xlna ；（可以使用公式： ex ex ）
3 3 2（ ）证明：等式 x + ax + bx + c x - x1 x - x2 x - x3 对任意实数 x 恒成立的充要条件是
ìx1 + x2 + x3 -a

íx1x2 + x2x3 + x3x1 b

x1x2x3 -c
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）命题“ "x R ， ex - x -1 0 ”的否定是（ ）
A．“ $x R， ex - x -1 0 ” B．“ $x R， ex - x -1 0 ”
C．“ "x R ， ex - x -1 < 0 ” D．“ $x R， ex - x -1 < 0 ”
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ "x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线 l1： ax + 3y - 6 0 ，直线 l2： 2x + a -1 y - 4 0，则“ a -2 ”
是“ l1∥l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·安徽·模拟预测）若 a > 0，b > 0，则“ a + b 2 ”是“ a + b 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不
充分也不必要条件
5．（2024·全国·模拟预测）若直线 l和圆C 的方程分别为 y x + m, (x -1)2 + (y - 2)2 5 - m ，
则“ 3 < m < 5 ”是“直线 l和圆C 没有公共点”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
6．（2024·黑龙江·二模）已知a ，b 为两个不重合平面，l，m 为两条不同直线，则 l / /a 的
充分条件是（ ）
A．m ^ a ，m ^ l B． l b ， b //a
C．m a ， l //m D．a ^ b ，a I b m ， l //m
uuur uuur uuur
7．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，命题P : sin2 A cos2B + cos2C ，命题Q : AB + AC BC ，
则 P 是 Q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) x ln x - ax2 - x2 ，则“ f (x) 有两个极值”的一个充
2
分不必要条件是（ ）
1 1 1
A．-1 < a <1 B．- < a < 0 C．- < a < 0 D．0 < a <
4 2 2
二、多选题
9．（2024·河南开封·二模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名
的高斯取整函数为 f x x ， x 表示不超过 x 的最大整数，例如 -3.5 -4， 2.1 2．下
列命题中正确的有（ ）
A．$x R， f x x -1
B．"x R ， n Z， f x + n f x + n
C．"x, y > 0， f lg x + f lg y f lg xy
D．$n N*， f lg1 + f lg 2 + f lg3 + ×××+ f lg n 92
10．（2024·全国·模拟预测）下列说法中，正确的是（ ）
A．“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的既不充分也不必要条件
B．命题“ "x 0, + ， x + sinx >1”的否定是“ "x 0, + ， x + sinx 1”
C．已知随机变量 X 服从正态分布 N m,s 2 ，若P X -1 + P X 5 1，则m 2
D． y -x x 既是奇函数又是减函数
11．（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
x 1
1
A．"x R ， + 2 B．"x R ， 1
x x2 +1
C．$x R ， ln(| x | +1) 0 D．$x R ， x2 + x +1 0
三、填空题
12．（2024·辽宁沈阳·一模） sinx 1的一个充分不必要条件是 .
13．（2024·全国·模拟预测）“函数 y tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 0 ”的 条
件．
14．（23-24 高三上·四川成都·期中）已知 a > 0，b > 0，则在下列关系① a2 + b2 2 ② b e1-a
cos a 1③ ④ ea - ea eb + eb中，能作为“ a + b 2 ”的必要不充分条件的是 （填正
2 3- b
确的序号）.
四、解答题
15．（2024·广东·模拟预测）设 X，Y 为任意集合，映射 f : X Y ．定义：对任意 x1, x2 X ，
若 x1 x2 ，则 f x1 f x2 ，此时的 f 为单射．
(1)试在R R上给出一个非单射的映射；
(2)证明： f 是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z 与映射 g, h : Z X ，若对任意
z Z ，有 f (g(z)) f (h(z))，则 g h；
(3)证明： f 是单射的充分必要条件是：存在映射j :Y X ，使对任意 x X ，有
j( f (x)) x ．
16．（2024·广东·模拟预测）已知集合A 中含有三个元素 x, y, z，同时满足① x < y < z；②
x + y > z；③ x + y + z 为偶数，那么称集合A 具有性质 P .已知集合 Sn 1,2,3,L, 2n
(n N*, n 4) ，对于集合 Sn 的非空子集 B ，若 Sn 中存在三个互不相同的元素 a,b,c，使得
a + b,b + c,c + a均属于 B ，则称集合 B 是集合 Sn 的“期待子集”.
(1)试判断集合 A 1,2,3,5,7,9 是否具有性质 P ，并说明理由；
(2)若集合B 3,4,a 具有性质 P ，证明：集合 B 是集合 S4 的“期待子集”；
(3)证明：集合M 具有性质 P 的充要条件是集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·山西·一模）设命题 p : $x R, a x > kx ，则 p 为（ ）
A．"x R, a x > kx B．$x R, a x kx
C．"x R, a x kx D．$x R, a x kx
2．（2024·天津·一模）已知 a,b R ，则“ b > a ”是“ a2 < b2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不
充分也不必要条件
3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知直线m ， n和平面a ，且m ^ a ，则“ n∥a ”是“ n ^ m ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2024·重庆·模拟预测）设 n N* 且 n 2，命题甲：{an}为等比数列；命题乙：
an an-1an+1 ；则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
5．（2024·天津河西·一模）“ x2 x ”是“ 1”的（x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
r r r r
6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量 a 2,2 ,b x,-3 ，则“ x < 3 ”是“ a 与b 的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．（23-24 *高三上·江苏盐城·期中）在VABC 中，若 A nB n N ，则（ ）
A．对任意的 n 2，都有 sin A < nsin B
B．对任意的 n 2，都有 tan A < n tan B
C．存在 n，使 sin A > nsin B成立
D．存在 n，使 tan A > n tan B成立
三、填空题
8．（2023·吉林·二模）命题“ $x R， ax2 + x +1< 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围为 .
π π
9．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）若命题“ "x0
, ê ú ， tan 2x0 + 2 m ”是假命题，则实数 8 6
m 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（23-24 高三上·北京大兴·期末）已知函数 f x ax + ln 1- x .
1+ x
(1)若曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线斜率为 0，求 a的值；
(2)当 a 4时，求 f x 的零点个数；
(3)证明：0 a 2 是 f x 为单调函数的充分而不必要条件.考点 02 常用逻辑用语（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必
要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题
进行否定．
【知识点】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件 p q 且 q p
p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q p
p 是 q 的充要条件 p q
p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”
表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”
表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对 M 中任意一个 x，p(x)成立 存在 M 中的元素 x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，﹁p(x) x∈M，﹁p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
若 p 以集合 A的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 p ： A {x | p(x)}， q ：
B {x | q(x)}，则
（1）若 A B ，则 p 是 q 的充分条件；
（2）若 B A，则 p 是 q 的必要条件；
（3）若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
（4）若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；
（5）若 A B ，则 p 是 q 的充要条件；
（6）若 A B 且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题 p 与 p 的否定的真假性相反.
【核心题型】
题型一　充分、必要条件的判定
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据 p q，q p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据 p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围
的推断问题．
【例题 1】（2024·陕西·模拟预测）给出下列三个命题：
①命题 p : $x R ，使得 x2 + x -1 < 0，则 p : "x R ，使得 x2 + x -1 0；
②“ x > 5或 x < -1”是“ x2 - 4x - 5 > 0 ”的充要条件；
③若 p q为真命题，则 p q 为真命题.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】运用含有一个量词的命题的否定可判断①，解一元二次不等式并结合充分条件、
必要条件的定义可判断②，运用复合命题的真假关系可判断③.
【详解】对于①，命题 p : $x R ，使得 x2 + x -1 < 0，则 p : "x R ，使得 x2 + x -1 0，
故①正确；
对于②，因为 x2 - 4x - 5 > 0 的解集为{x | x < -1或 x > 5}，所以“ x > 5或 x < -1”是“ x2 - 4x - 5 > 0 ”
的充要条件，故②正确；
对于③，若 p q为真命题，则 p 、q中至少有一个为真命题，
当 p 真q假或 p 假q真时，则 p q 为假，当 p 真q真时，则 p q 为真，故③错误.
故正确的命题是①②，即正确命题的个数为 2.
故选：C.
【变式 1】（2024· 2陕西咸阳·模拟预测）直线 x + y + b 0与圆C : x +1 + y -1 2 5有公共点
的一个充分不必要条件是（ ）
A．b - 10, 10 B．b - 10, 10
C．b -4,4 D．b -4,4
【答案】B
【分析】求出当直线与圆C 有公共点时b 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】圆C 的圆心为C -1,1 ，半径为 r 5 ，
-1+1+ b b
若直线 x + y + b 0与圆C 有公共点，则 5 ，解得- 10 b 10 ，
2 2
因为 - 10, 10 - 10, 10 ， -4,4 - 10, 10 ， -4,4 - 10, 10 ，
x + y + b 0 C : x +1 2所以，直线 与圆 + y -1 2 5有公共点的一个充分不必要条件是为
b - 10, 10 .
故选：B.
a b 1 1
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）“ 1 1 ÷ > ”是“ > ”成立的（ ）
è 2 è 2 ÷ a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性以及不等式的性质、充分条件、必要条件的定义即可判断.
1
a b
1 1 1
【详解】取 a -1,b 1，则 ÷ > ÷ ，但 a < b ，故不充分，è 2 è 2
a b
取 a 1,b -1
1 1
> 1 < 1 ，则 ，但
a b 2 ÷ ÷
，故不必要．
è è 2
故选：D．
【变式 3】（2024·安徽淮北·一模）记 Sn 是等差数列 an 的前 n项和，则“ an 是递增数列”是
ìSn ü“ í 是递增数列”的（n ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
S d d
【分析】根据等差数列的求和公式可得 n n + a1 - ，即可充要条件的定义求解.n 2 2
【详解】若 an 是递增数列，则公差 d > 0，所以
n n -1 d
S na

1 +
n 2 a n -1 d d n a d + + - ，
n n 1 2 2 1 2
Sn+1 Sn d n d a d d n a d d S故 - + + 1 - ÷ - + 1 - ÷ > 0
ì n ü
，所以 í 为递增数列，n +1 n è 2 2 2 è 2 2 2 n


ìS ü n n -1 d
í n
S
若 na为递增数列，则 S 1 + d d ，则 n+1
S
- n
d
> 0
n n 2 n + a -
，
n +1 n 2
n n 2 1 2
故 d > 0，所以 an 是递增数列，
故“ a ìSn ün 是递增数列”是“ í 是递增数列”的充要条件，
n
故选：C
题型二　充分、必要条件的应用
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列
出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【例题 2】（23-24 高三上·浙江宁波·期末）命题“ $x -2,1 ， x2 - x - a > 0 ”为假命题的一个
充分不必要条件是（ ）
a 1A． ≤- B． a 0 C． a 6 D． a 8
4
【答案】D
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数 a的取值范围，再求其真子集，即可判断
选项.
【详解】若命题“ $x -2,1 ， x2 - x - a > 0 ”为假命题，
则命题的否定“ "x -2,1 ， x2 - x - a 0 ”为真命题，
即 a x2 - x ， x -2,1 恒成立，
2
y x2 - x x
1 1
- ÷ - ， x -2,1 ，当 x -2，取得最大值 y 6，
è 2 4
所以 a 6，选项中只有 a a 8 是 a a 6 的真子集，
所以命题“ $x -2,1 ， x2 - x - a > 0 ”为假命题的一个充分不必要条件为 a 8 .
故选：D
1 1
【变式 1】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－13 2
则实数 m 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解析：由题意得（ ， ） （m－1，m＋1），所以 且等号不能同时成立，
解得－ ≤m≤ .
【考查意图】已知充要关系求参数的取值范围．
【变式 2】（2024 高三·全国·专题练习）若“ x a ”是“ sin x + cos x >1”的一个充分条件，则a
的一个可能取值是 .（写出一个符合要求的答案即可）
π
【答案】 （答案不唯一）
4
【分析】解不等式 sin x + cos x >1，可得出满足条件的一个a 的值.
π
【详解】由 sin x + cos x π 2>1 可得 2 sin x + ÷ >1，则 sin x + > ，è 4 è 4 ÷ 2
2kπ π x π 2kπ 3π所以 + < + < + k Z 2kπ x 2kπ π，解得 < < + k Z .
4 4 4 2
因为“ x a ”是“ sin x + cos x >1”的一个充分条件，
所以a
π π
的一个可能取值为 （答案不唯一，a 2kπ,2kπ + ÷ k Z 均满足题意）．4 è 2
π π
故答案为： （答案不唯一，a 2kπ,2kπ + ÷ k Z 均满足题意）.4 è 2
2
【变式 3】（2023·海南海口·模拟预测）已知集合P x x - 2x < 0 ,Q x x - a <1 ，则
P UQ P的充要条件是（ ）
A． 0 < a < 1 B．0 < a 1 C．0 a <1 D．0 a 1
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求集合 P，解根式不等式求集合 Q，根据集合并集结果有Q P
即可求参数 a 的范围，最后由充分、必要性定义可得答案.
【详解】由题设，P {x | 0 < x < 2}，Q {x | a x < a +1}，
ìa > 0
若P UQ P，则Q P ，故 í ，可得0 < a 1.
a +1 2
所以0 < a 1是P UQ P的充要条件.
故选：B
题型三　全称量词与存在量词
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到
一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题
求参数的范围．
命题点 1　含量词命题的否定
【例题 3】（2024·四川成都·二模）命题“ "x N*, 2x - x2 0 ”的否定是（ ）
A $x N*, 2x 2 * x． 0 - x 0 B．$x N , 2 00 0 0 - x
2
0 > 0
C．"x N*, 2x - x2 < 0 D．"x N*, 2x - x2 0
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为存在命题，任意变存在，范围不变，结论相反，
则命题“ "x N*, 2x - x2 0 ”的否定是“ $x0 N
*, 2x0 - x20 > 0 ”，
故选：B.
【变式 1】（2024·四川宜宾·二模）命题“ "x >1, lnx > 0 ”的否定是（　　）
A．"x >1, lnx < 0 B．"x >1, lnx 0
C．$x >1, lnx 0 D．$x 1, lnx 0
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.
【详解】根据全称量词命题的否定有：命题“ "x >1, lnx > 0 ”的否定是：$x >1, lnx 0 .
故选：C

【变式 2】（2024·山西·模拟预测）命题“ "x 0,
π
2 ÷
， ex + 2sin x > 2x ”的否定是（ ）
è
A．“ "x
0, π π ÷ ， ex + 2sin x 2x ” B．“ "x 0, ÷， ex2 2 + 2sin x 2x
”
è è
π π
C．“ $x 0, ÷， x ” D．“ $x 0, ， x ”
è 2
e + 2sin x 2x 2 ÷ e + 2sin x < 2x è
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.
"x 【详解】依题意全称量词命题“ 0,
π
÷， ex2 + 2sin x > 2x
”的否定为：
è
π
存在量词命题“ $x 0, ÷， x2 e + 2sin x 2x
”.
è
故选：C
【变式 3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）命题“ $x0 R，使得 x0 -1
2 0 ”的否定是（ ）
A．$x0 R
2
，使得 x0 -1 0 B $x R x -1
2
． 0 ，使得 0 0
C．"x 2 R ， x -1 > 0恒成立 D．"x R ， x -1 2 0恒成立
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
2 2
所以命题“ $x0 R，使得 x0 -1 0 ”的否定是“ "x R ， x -1 > 0恒成立”.
故选：C.
命题点 2　含量词命题真假的判断
2 1
【例题 4】（2023·四川泸州·一模）已知命题 p : "x R ， x + 2 > 2，命题 q : $x0 R ，x
ln x0 -2，则下列命题是真命题的为（ ）
A． ( p) q B． p q C． p ( q) D． ( p) ( q)
【答案】A
【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可
2 1
【详解】 x 1时 x + 2 2，故 p 假x
x -20 e 时 ln x0 -2，故q真
故 p q为真
故选：A
【变式 1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“ a > 1,b > 1 ”是“ ab >1”的必要条件
B．"x > 0,ex > 2x
C．"x > 0,2x x2
D． a + b
a
0的充要条件是 -1
b
【答案】B
【分析】举反例来判断 ACD，利用指数函数的性质判断 B.
【详解】对于 A，当 a 2,b 1时，满足ab >1，但不满足a > 1,b > 1，故“ a > 1,b > 1 ”不是
“ ab >1”的必要条件，故错误；
x
e
对于 B，根据指数函数的性质可得，对于"x > 0, ÷ >1，即 e
x > 2x ，故正确；
è 2
对于 C，当 x 3时，2x < x2，故错误；
a
对于 D，当 a = b = 0时，满足 a + b 0，但 -1不成立，故错误.
b
故选：B.
【变式 2】（2023· 2四川绵阳·一模）下列 5 个命题：①“ $x0 R ， x0 +1< 0 ”的否定；②
sina sinb 是a b 的必要条件；③“若 a，b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的逆命题；④“若
x2 - 3x + 2 0 ，则 x 1”的否命题；⑤ "x {x | x是无理数}， x3是无理数.其中假命题的个
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】写出命题的否定即可判断①，根据必要条件的定义判断②，写出逆命题判断③，
写出否命题判断④，利用特殊值判断⑤.
【详解】对于①“ $x0 R
2
， x0 +1< 0 ”的否定为“ "x R
2
， x +1 0 ”，显然为真命题；
对于②：由a b 能推得出 sina sinb ，故a b 是 sina sinb 的充分条件，
sina sinb 是a b 的必要条件，故②为真命题，
对于③：“若 a，b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的逆命题为：若 a + b 是偶数，则 a，b 都是偶
数，
当 a 1，b 3时满足 a + b 是偶数，但是 a，b 都是奇数，故③是假命题；
对于④：“若 x2 - 3x + 2 0 ，则 x 1”的否命题为“若 x2 - 3x + 2 0，则 x 1”，
由 x2 - 3x + 2 0则 x 1且 x 2，故④为真命题；
对于⑤："x {x | x是无理数}， x3是无理数，为假命题，
如 x 3 2 为无理数，但是 x3 33 2 2为有理数，故⑤为假命题.
故选：B
【变式 3】（2023·河北·模拟预测）命题 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命题q：$x R，
2x2 - 4x + 3 0，则（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
【答案】D
【分析】对于命题 p ：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q：根据存在命题结
合二次函数的D判别式分析判断.
【详解】对于命题 p ：令 t x > 1，则 y t + 2t 2 - 3 2t 2 + t - 3开口向上，对称轴为
t 1 - ，
4
且 y |x 1 0，则 y 2t 2 + t - 3 > 0，
所以"x >1， x + 2x - 3 > 0，即命题 p 为真命题；
对于命题q D -4 2：因为 - 4 2 3 -8 < 0，
所以方程 2x2 - 4x + 3 0无解，即命题q为假命题；
故选：D.
命题点 3　含量词命题的应用
【例题 5】（2024· 2四川凉山·二模）已知命题“ "x R ， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，
则 m 的取值范围为（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“ "x R ， sin2 π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，
则“ $x0 R ， sin
2 π + x + 2cos x + m > 0 ”是真命题，
m > -sin2所以 π + x - 2cos x 有解，
2
所以m > -sin π + x - 2cos x min ，
又-sin2 π + x - 2cos x -sin2 x - 2cos x cos2 x - 2cos x -1 cos x -1 2 - 2，
因为 cos x -1,1 ，所以 -sin2 π + x - 2cos x -2min ，
即m > -2 .
故选：B.
4
【变式 1】（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意 x (1,3)， a x + ”为假命题，则实数 a 的取
x
值范围是 ．
【答案】 (- ,5)
【分析】首先求命题为真命题时 a的取值范围，再求其补集，即可求解.
x (1,3) a x 4 a 【详解】若命题“任意 ， + ”为真命题，则 x
4
+ ，
x ֏ x max
4
设 y x + ， x (1,3)， x 4 4+ 2 x × 4，当 x 2时，等号成立，
x x x
由对勾函数的性质可知，当 x 1,2 时，函数单调递减，当 x 2,3 单调递增，
f 1 5 f 3 3 4 4， + < 5，所以 4 x + < 5，
3 x
即a 5，
所以命题“任意 x (1,3)， a x
4
+ ”为假命题，则 a的取值范围为 - ,5 .
x
故答案为： - ,5
2
【变式 2】（2024·四川成都·模拟预测）设命题 p : "x > 0, x + > a ，若 p 是假命题，则实数
x
a的取值范围是 .
【答案】a < 2 2
【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.
【详解】因为 p 是假命题，故 p 为真命题，
2
因为 x > 0，故 x + 2 2 ，当且仅当 x 2 时，等号成立，x
故a < 2 2 .
故答案为：a < 2 2 .
【变式 3】（2024·福建漳州·模拟预测）若$a [0, + )， cosa < m 为真命题，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．m 1 B．m > 1 C．m -1 D．m > -1
【答案】D
【分析】由题意可知，只需m > (cosa )min 即可.
【详解】若$a [0, + )， cosa < m 为真命题，则m > (cosa )min .
因为 cosa 在[0, + ) 上的最小值为 -1，所以m > -1，
故选：D.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
π
1．（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）“函数 y tan x -j 的图象关于 ,0÷对称”是
è 4
“j
π
- + kπ， k Z ”的（
4 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可.
π
【详解】当函数 y tan x -j 的图象关于 ,04 ÷对称时，è
π j kπ -k +1 π有 - ， k Z π kπ π ，得j - - + ， k Z，
4 2 4 2 4 2
ì
易知 íj j
π
- + kπü ìíj j π kπ - + ü， k Z
4

4 2
y tan(x j) π - ,0 j π所以“函数 的图象关于 ÷对称”是“ - + kπ， k Z ”4 的必要不充分条è 4
件．
故选：B．
2．（23-24 高三上·全国·阶段练习）“ a - 5 或a 5”是“圆C1 : x2 + y2 1与圆
C2 : (x + a)
2 + (y - 2a)2 36 存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先求两圆内含时 a 的取值范围，然后可得两圆有公切线时 a 的取值范围，即可得答
案.
【详解】圆C1的圆心为 0,0 ，半径 r1 1，圆C2 的圆心为 -a, 2a ，半径 r2 6 ，
所以两圆的圆心距为 d C1C2 a
2 + 4a2 5a2 ，
两圆内含时，即 5a2 < 6 -1 ，解得- 5 < a < 5 ，
所以当两圆有公切线时，a 5或 a - 5 ，
所以“ a - 5 或a 5” “ C : x2是 圆 1 + y2 1 2与圆C2 : (x + a) + (y - 2a)2 36 存在公切线”的充
要条件．
故选：C．
2 2
3．（2024·广东·一模）“a
π
+ kπ(k Z) ” “ 3 cos a + sin a是
4 3 +1
”的（ ）
sina cosa
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出 tana ，再利用齐次式法求值及充分条件、必要条件的定义判
断得解.
π
【详解】由a + kπ(k Z)，得 tana 1，
4
3 cos2 a + sin2 a 2
由 3 +1 tan a + 3，得 3 +1，解得 tana 1或 tana 3 ，
sina cosa tana
π
“a + kπ(k Z) ” “ 3 cos
2 a + sin2 a
所以 是 3 +1”的充分不必要条件，A 正确.4 sina cosa
故选：A
2 2
4．（2023· ·
x y
河南 二模）设椭圆 + 1 m > 0,n > 0 3的离心率为 e，则“ e ”是“ m 4n ”
m n 2
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论m, n判断充分性，由离心率定义判断
必要性，即可得答案.
m - n 3 n - m 3
【详解】当m > n 时 e ，则m 4n；当m < n 时 e ，则 n 4m；
m 2 n 2
e 3所以 推不出m 4n，充分性不成立；
2
当m 4n e m - n 3 时，则 ，必要性成立；
m 2
3
综上，“ e ”是“ m 4n ”的必要不充分条件.
2
故选：B
5．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）若数列 an 为等比数列，则“ a3 1”是“ a1 + a5 2 ”的
（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】C
【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、
必要性.
【详解】若数列 an 的公比为q，
由 a3 a1q
2 1 4，故 a1 > 0，则 a5 a1q > 0，
所以 a 21 + a5 2 a1a5 2a3 2，当且仅当 a1 a5 ，即 q 1时取等号，故充分性成立；
a
由a1 + a 2
3 2 2 1 4
5 ，故 2 + aq 3
q 2 ，若 q ，则 a3 ，故必要性不成立；2 5
故选：C
二、多选题
6．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题“ "x >1，x2 <1”的否定是“ $x 1，x2 1”
B．“ a
1 1
>10 ”是“ < ”a 10 的充分不必要条件
C．若函数 f x 的定义域为 0,2 ，则函数 f 2x 的定义域为 0,1
D．记 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 x1 x2 为函数 f x x 图象上的任意两点，则
f x1 + x2
f x1 + f x2
2 ÷
>
è 2
【答案】BCD
【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，判断 A，根据充分，必要条件的定义，判断
B，根据复合函数的定义域公式，判断 C，利用作差法判断 D.
【详解】对于 A 选项，“ "x >1，x2 <1，”的否定为“ $x >1，x2 1”，故 A 错误；
1 1 a -10
对于 B 选项，由 < ，得 > 0，故 a >10或 a < 0a 10 ，10a
1 1
因此 a >10是 < 的充分不必要条件，故 Ba 10 正确；
对于 C 选项， f x 中，0 x 2， f 2x 中，0 2 x 2 ，即0 x 1，故 C 正确；
D f ( x1 + x2 ) x1 + x
f (x
对于 选项， 2 , 1
) + f x2 x + x 1 2
2 2 2 2
2 2

Q x

1
+ x2 x1 + x2 x1 + x x + x÷ - ÷ 2 - 1 2
+ 2 x1x2
，
è 2 ÷ ÷è 2 2 4
2x1 - x2
0 ,
4
2 2

Q x x + x x + x1 x2，\ 1 2 ÷ > 1 2 ÷ ÷è 2 2 ÷
> 0
è
x1 + x2 x1 + x2 f ( x1 + x2 ) f (x1) + f (x )\ > \ > 2 ，故 D 正确.
2 2 2 2
故选：BCD
7．（2024·广东梅州·一模）已知直线m ， n和平面a ，b ，且n a，则下列条件中， p 是q
的充分不必要条件的是（ ）
A． p : m∥a ， q : m∥n B． p : m ^ a ， q : m ^ n
C． p :a ∥b ， q : n∥b D． p : n ^ b ， q :a ^ b
【答案】BCD
【分析】结合命题的充分不必要条件：由线面关系可得到 A 错误；由线面垂直的性质和判
定可推出 B 正确；由线面平行的性质和判定可推出 C 正确；由面面垂直的性质和判定可推
出 D 正确.
【详解】A：若m∥a ，n a，则直线m ， n可能平行或异面，所以 p 不能推出q，故 A 错
误；
B：若 p : m ^ a ，则直线 m 垂直于平面a 的每一条直线，又n a，所以 q : m ^ n成立，
但若 q : m ^ n成立，根据线面垂直的判定，还需在平面a 找一条与 n 相交的直线，且 m 不在
平面a 内，故 q 不能推出 p，故 B 正确；
C：若 p :a ∥b ，且n a，由面面平行的性质可知， q : n∥b 成立；反之，由线面平行的
判定可知当 q : n∥b ，不能推出 p :a ∥b ，故 C 正确；
D：若 p : n ^ b ，且 n a，由面面垂直的判定定理可知 q :a ^ b 成立；反之，若 q :a ^ b ，
且n a，则直线 n 与平面b 可能成任意角度，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
8．（2024·四川成都·一模）命题“ "x > 0， tan x > x ”的否定为 ．
【答案】$x0 > 0， tan x0 x0
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.
【详解】命题“ "x > 0， tan x > x ”为全称量词命题，
其否定为：$x0 > 0， tan x0 x0 .
故答案为：$x0 > 0， tan x0 x0
x
9 23-24 · · f x 3a -1．（ 高三上 河北张家口 阶段练习）已知函数 x （ a > 0且a 1），若a +1
$x 0,3 ， f x2 + 3 + f -ax - a - 2 0是假命题，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 a 0 < a <1或 a 3
【分析】对 a进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识
求得正确答案.
【详解】因为 f x 3a
x -1 3 a x +1 - 4
x 3
4
- ，
a +1 a x +1 a x +1
若 a > 1，由于 y
4
单调递减，则 f x 在 R 上单调递增；
a x +1
4
若 0 < a < 1，由于 y x 单调递增，则 f x 在 R 上单调递减，a +1
又 f x + f -x 6 4 4 - x - 2，故 2 - f -x f x ，a +1 a- x +1
因为$x 0,3 ， f x2 + 3 + f -ax - a - 2 0是假命题，
故"x 0,3 2， f x + 3 + f -ax - a - 2 < 0恒成立为真命题，
2
即不等式 f x + 3 < 2 - f -ax - a f ax + a 对"x 0,3 恒成立，
2
当 a > 1时， x2 + 3 < a 4x +1 x + 3 < a ，即 x +1 + - 2 < a在"x 0,3 恒成立，
x +1 x +1
设 t x +1 1< t < 4 a t 4，即 > + - 2在 t 1,4 恒成立．
t
4
由于对勾函数 h t t + - 2在 1,2 单调递减，在 2,4 单调递增，
t
因为 h t < h 1 h 4 3，因此 a 3；
2
当 0 < a < 1时， x2 x + 3+ 3 > a x +1 a < ，
x +1
a 4即 < x +1 + - 2在"x 0,3 恒成立，
x +1
4
当 t 2时，函数 h t t + - 2有最小值 f 2 2，
t
即 a < 2，又因为 0 < a < 1，故 0 < a < 1．综上可知： a 0 < a <1或 a 3 ．
故答案为： a 0 < a <1或 a 3
【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，
可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，
分离参数时，要注意不等式的符号.
四、解答题
10．（2024·上海·一模）（1）在用“五点法”作出函数 y 1- sinx, x 0,2π 的大致图象的过程中，
第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
x 0
-sinx 0
1- sinx 1

（2）设实数 a > 0且a 1，求证： a x a xlna ；（可以使用公式： ex ex ）
（3 3 2）证明：等式 x + ax + bx + c x - x1 x - x2 x - x3 对任意实数 x 恒成立的充要条件是
ìx1 + x2 + x3 -a

íx1x2 + x2x3 + x3x1 b

x1x2x3 -c
【答案】（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.
（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.
（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.
π 3π
【详解】（1）“五点法”作函数 y sinx, x 0,2π 的图象的5个关键点的横坐标为0, , π, , 2π，
2 2
所以表格如下：
π 3π
x 0 π 2π
2 2
-sinx 0 -1 0 1 0
1- sinx 1 0 1 2 1
（2）实数 a > 0且a 1 x，则 a x eln a ex ln a，
因此 (a x ) (ex ln a ) ex ln a × (x ln a) a x ln a，
所以 (a x ) a x ln a .
（3） (x - x1)(x - x2 )(x - x
2
3) [x - (x1 + x2 )x + x1x2 ](x - x3)
x3 - (x 21 + x2 )x + x1x2x - x x
2
3 + (x1 + x2 )x3x - x1x2x3
x3 - (x1 + x2 + x3)x
2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x - x1x2x3，
x3 + ax2 + bx + c x3依题意， - (x1 + x2 + x3)x
2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x - x1x2x3对任意实数 x 恒成
立，
ìa -(x1 + x2 + x3) ìx1 + x2 + x3 -a

因此 íb x

1x2 + x2x3 + x3x1 íx1x2 + x2x3 + x3x1 b ，

c -x1x2x 3 x1x2x3 -c
3 2
所以等式 x + ax + bx + c (x - x1)(x - x2 )(x - x3)对任意实数 x 恒成立的充要条件是
ìx1 + x2 + x3 -a

íx1x2 + x2x3 + x3x1 b .

x1x2x3 -c
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）命题“ "x R ， ex - x -1 0 ”的否定是（ ）
A．“ $x R， ex - x -1 0 ” B．“ $x R， ex - x -1 0 ”
C．“ "x R ， ex - x -1 < 0 ” D．“ $x R， ex - x -1 < 0 ”
【答案】D
【分析】利用“含有一个量词命题的否定”形式即可得出答案.
【详解】根据全称量词命题的否定可知，
命题“ "x R ， ex - x -1 0 ”的否定是“ $x R， ex - x -1 < 0 ”.
故选：D
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ "x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
【答案】C
【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。
【详解】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“ "x R ，$n N * ， n > x2 ”的
否定形式是“ $x R，"n N * ， n x2 ”.
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线 l1： ax + 3y - 6 0 ，直线 l2： 2x + a -1 y - 4 0，则“ a -2 ”
是“ l1∥l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两直线平行求解 a的值，结合充要关系的定义判断即可.
【详解】由 l1∥l2 可得6 a a -1 ，解得 a 3或 a -2 .
当 a 3时， l1：3x + 3y - 6 0 ， l2： 2x + 2y - 4 0，显然 l1， l2重合，舍去，
故 l1∥l2 时， a -2 .
因此“ a -2 ”是“ l1∥l2 ”的充要条件.
故选：C
4．（2024·安徽·模拟预测）若 a > 0，b > 0，则“ a + b 2 ”是“ a + b 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不
充分也不必要条件
【答案】B
【分析】借助充分条件与必要条件的定义，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式验证
必要性即可得.
【详解】当 a b 1时， a + b 2 成立，而 a + b 1不成立，
故“ a + b 2 ”不是“ a + b 1”的充分条件；
当 a + b 1时，有 a + b 2 ab ，当且仅当 a b时等号成立，
2则 a + b a + b a + b + 2 ab 2 a + b 2 2，
故“ a + b 2 ”是“ a + b 1”的必要条件.
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）若直线 l和圆C 的方程分别为 y x + m, (x -1)2 + (y - 2)2 5 - m ，
则“ 3 < m < 5 ”是“直线 l和圆C 没有公共点”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】C
【分析】由圆的方程可得m < 5，再根据圆心到直线的距离大于半径求解可得m < -3或
3 < m < 5，进而根据充分与必要条件的性质判断即可.
【详解】因为 (x -1)2 + (y - 2)2 5 - m 表示圆，所以5 - m > 0，即m < 5．
若圆C 与直线 y x + m没有公共点，则圆心C(1,2) 到直线 y x + m的距离大于半径，
|1- 2 + m |
即 > 5 - m ，解得m < -3或3 < m < 5．
2
所以“ 3 < m < 5 ”是“直线 l和圆C 没有公共点”的充分不必要条件．
故选：C
6．（2024·黑龙江·二模）已知a ，b 为两个不重合平面，l，m 为两条不同直线，则 l / /a 的
充分条件是（ ）
A．m ^ a ，m ^ l B． l b ， b //a C．m a ， l //m D．a ^ b ，
a I b m ， l //m
【答案】B
【分析】对于 ACD，根据空间中线面关系可得 l / /a 或 l a ，故 ACD 均不是充分条件，结
合面面平行的定义可得 B 正确.
【详解】对于 A，若m ^ a ，m ^ l ，则 l / /a 或 l a ，故 A 中条件不是充分条件，故 A 错
误；
对于 B，若 l b ， b //a ，由面面平行的定义可得 l / /a ，
故 B 中条件是 l / /a 的充分条件，故 B 正确；
对于 C，若m a ， l //m，则 l / /a 或 l a ，C 中条件不是充分条件，故 C 错误；
对于 D，a ^ b ，a I b m ， l //m，则 l / /a 或 l a ，D 中条件不是充分条件，
故 D 错误；
故选：B.
uuur uuur uuur
7．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，命题P : sin2 A cos2B + cos2C ，命题Q : AB + AC BC ，
则 P 是 Q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换解命题 P 可得 A，B，C 必有一个为直角；根据平面向量的线性
运算与垂直关系的向量表示解命题 Q 可得 A 为直角，结合充分、必要条件的定义即可求
解.
【详解】命题 P：由 sin2B + cos2B 1， sin2C + cos2C 1及 sin2 A cos2B + cos2C ,
得 sin2 A + sin2B + sin2C 2 ,
sin2 A sin2B sin2C 1- cos2A 1- cos2B 1- cos2C 3 1∴ + + + + - cos2A + cos2B + cos2C
2 2 2 2 2
3 1
- cos A + B + A - B + cos A + B - A - B 2 2 + cos2 p - A + B
3 1
- [2cos A + B cos A - B + 2cos2 A + B -1
2 2
2 - cos(A + B)[cos(A + B) + cos(A - B)]
2 + 2cosAcosBcosC 2，
得cosAcosBcosC 0，则 cosA， cosB， cosC 必有一个为 0，
∴A，B，C 必有一个为直角．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
命题 Q：由 AB + AC BC 得 AB + AC AC - AB ，
uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur
即 AB + AC AC - AB ，得 4AB × AC 0 ，
uuur uuur
即 AB × AC 0，∴A 为直角，
故 P 是 Q 的必要不充分条件.
故选：B．
8 2
1 2
．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) x ln x - ax - x ，则“ f (x) 有两个极值”的一个充
2
分不必要条件是（ ）
1 1 1 1A．- < a <1 B．- < a < 0 C．- < a < 0 D．0 < a <
4 2 2
【答案】B
【分析】根据 y f (x) 有两个正的穿越零点，求得 f x 有两个极值点的充要条件，再求其
充分不必要条件即可.
【详解】由题可得 f (x) ln x +1- 2a +1 x，
若满足题意，则 y f (x) 有两个正的穿越零点，
令 ln x +1- 2a +1 x 0 2a 1 ln x +1，则 + ，
x
h x ln x +1 - ln x令 ，则 h (x) ，
x x2
当 x 0,1 时， h (x) > 0， h x 单调递增；
当 x 1, + 时， h (x) < 0， h x 单调递减；
h 1 又 ÷ 0， h 1 1，当 x 趋近于正无穷时， h x 趋近于 0 ，
è e
y 2a 1 0,1 a 1若 f (x) 有两个正的穿越零点，则 + ，解得 - ,02 ÷，è
1
即 f (x)

有两个极值的充要条件是： a - ,0

÷，
è 2
1
根据选项，则 f (x) 有两个极值的一个充分不必要条件是- < a < 0 .
4
故选：B.
ln x +1
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对 f (x) 0，分离参数，构造函数 h x ，
x
利用导数研究其单调性，从而求得 f x 有两个极值点的充要条件.
二、多选题
9．（2024·河南开封·二模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名
的高斯取整函数为 f x x ， x 表示不超过 x 的最大整数，例如 -3.5 -4， 2.1 2．下
列命题中正确的有（ ）
A．$x R， f x x -1
B．"x R ， n Z， f x + n f x + n
C．"x, y > 0， f lg x + f lg y f lg xy
D．$n N*， f lg1 + f lg 2 + f lg3 + ×××+ f lg n 92
【答案】BD
【分析】根据给定的定义，结合存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项分析即得.
【详解】对于 A，当 x Z时， f (x) x，当 x Z时， f (x) Z，而 x -1 Z，
因此 f (x) x -1，A 错误；
对于 B，"x R ， n Z，令 f (x) m，则m x < m +1，m + n x + n < m + n +1，
因此 f (x + n) m + n f (x) + n，B 正确；
对于 C，取 x
1
, y 2，0 < lg 2 <1
1
，则 f (lg ) -1, f (lg 2) 0， f (lg(
1
2)) f (0) 0，
2 2 2
1 1
显然 f (lg ) + f (lg 2) f (lg( 2)) ，C 错误；
2 2
对于 D， n N*，当1≤ n≤9时， f (lg n) 0，当10 n 99时， f (lg n) 1，而
f (lg100) 2，
因此 f (lg1) + f (lg 2) + f (lg3) + ×××+ f (lg99) + f (lg100) 92，此时 n 100 ，D 正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假必须推理论证；判断全称量
词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明.
10．（2024·全国·模拟预测）下列说法中，正确的是（ ）
A．“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的既不充分也不必要条件
B．命题“ "x 0, + ， x + sinx >1”的否定是“ "x 0, + ， x + sinx 1”
C X N m,s 2．已知随机变量 服从正态分布 ，若P X -1 + P X 5 1，则m 2
D． y -x x 既是奇函数又是减函数
【答案】ACD
【分析】利用充分必要条件定义及不等式性质可判断 A，由全称命题的否定定义可判断 B，
由正态分布的概率可判断 C，由函数的图像可判断 D.
【详解】选项 A：由“ a > b ”不能得到“ a2 > b2 ”，反之，由“ a2 > b2 ”也不能得到“ a > b ”，所以
“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的既不充分也不必要条件，所以 A 正确；
选项 B：命题“ "x 0, + ， x + sinx >1”的否定是“ $x 0, + ， x + sinx 1”，所以 B 错误；
-1+ 5
选项 C：因为P X -1 + P X 5 1，所以m 2，所以 C 正确；
2
ì-x2 , x 0
选项 D： y -x x í 2 ，作出它的图象如图：知它既是奇函数又是减函数，所以 D
x , x < 0
正确．
故选：ACD．
11．（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
1 1
A．"x R ， x + 2 B．"x R ， 1
x x2 +1
C．$x R ， ln(| x | +1) 0 D．$x R ， x2 + x +1 0
【答案】BC
【分析】运用全称和特称量词的命题的知识分析即可.
1
【详解】对 A，当 x 0时， x + 无意义，故 A 错误；
x
1
对 B，易得"x R ， x2 +1 1，则 x2 +1 1，可得 12 ，故 B 正确；x +1
对 C，当 x 0时， ln(| x | +1) 0成立，故 C 正确；
对 D，D 1- 4 -3 < 0，可得 x2 + x +1 > 0，故 D 错误.
故选：BC
三、填空题
12．（2024·辽宁沈阳·一模） sinx 1的一个充分不必要条件是 .
π
【答案】 x 2 （答案不唯一）
【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.
π
【详解】因为 x 时 sinx 1，
2
x π由 sinx 1可得 + 2kπ, k Z ,
2
故 sinx π 1的一个充分不必要条件是 x 2 ，
π
故答案为： x 2 （答案不唯一）
13．（2024·全国·模拟预测）“函数 y tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 0 ”的 条
件．
【答案】充分必要
【分析】先由函数 y tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称求得 x0 的值，再解方程 sin2x0 0 求得
x0 的值，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】函数 y tanx
kπ
图象的对称中心为 ,0

÷ ,k Z，
è 2
kπ
所以由“函数 y=tanx 的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“ x0 ,k Z ”．2
因为 sin2x0 0 等价于 2x0 kπ,k Z x
kπ
，即 0 ,k Z ．2
所以“函数 y tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 0 ”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
14．（23-24 高三上·四川成都·期中）已知 a > 0，b > 0，则在下列关系① a2 + b2 2 ② b e1-a
③ cos
a 1
④ ea - ea eb + eb中，能作为“ a + b 2 ”的必要不充分条件的是 （填正
2 3- b
确的序号）.
【答案】②③
【分析】利用基本不等式可判断①；数形结合，作出 y e1-x 的图象，结合不等式相应的几
1 1 a 1
何意义判断②；利用放缩法说明 ，再用构造函数，利用导数知识说明 cos ，
3- b a +1 2 3 - b
从而判断③；构造函数 g(a) ea - ea,a (0, 2)，求导判断单调性，数形结合，说明两命题
之间的推理关系，判断④.
a 3 ,b 1【详解】对于①，取 ，满足 a + b 2，但不满足 a2 + b2 ，2 2 2
即 a + b 2成立推不出 a2 + b2 2 ，
由于 a2 + b2 2ab，故 2(a2 + b2 ) (a + b)2 ,\a + b 2(a2 + b2 ) ，
而 a2 + b2 2 ，故 a + b 2，当且仅当 a b 1时取等号，
即 a2 + b2 2 成立可推出 a + b 2成立，
故 a2 + b2 2 不是“ a + b 2 ”的必要不充分条件；
对于②，作出函数 y e1-x 的图象，如图曲线，即将 y e- x 的图像向右平移 1 个单位得到；
则 y e1-x （ x > 0, y > 0）表示几何意义为曲线 y e1-x 在第一象限内和坐标轴围成的区域部
分（不含坐标轴），
则b e1-a 中相应的点 (a , b ) 所在区域即上述区域；
而 a + b 2表示的几何意义为直角三角形 AOB区域部分（不含坐标轴），
显然直角三角形 AOB区域部分（不含坐标轴）对应集合为曲线 y e1-x 在第一象限内和坐标
轴围成的区域部分（不含坐标轴）相应集合的真子集，
即b e1-a 是 a + b 2的必要不充分条件，
1 1
对于③，由 a + b 2得3- b a +1，故 ，（ a,b (0, 2)），
3 - b a +1
a 1 1 a 1
设 f (a) cos - , (0 < a < 2) ，则 f (a) - sin + , (0 < a < 2)，
2 a +1 2 2 (a +1)2
则 f (a) 在 (0,2)上单调递减，且 f (0) 1, f (2)
1 1 1 π 1
- sin1+ < - sin + < 0，
2 9 2 4 9
则存在 a0 (0, 2)，使得 f (a0 ) 0，即 a (0, a0 ) 时， f (a) > 0， f (a) 在 (0, a0 ) 上单调递增，
a (a0 , 2) 时， f (a) < 0， f (a) 在 (a0 , 2)上单调递减，
而 f (0) 0, f (2) cos1
1
- > 0，则在 (0,2)上 f (a) > 0恒成立，
3
即 cos
a 1 a 1
，故 cos ；
2 a +1 2 3 - b
而当 cos
a 1 1 1 2
成立时，不妨取 a 2,b ， cos1 > > 成立，
2 3 - b 2 2 5
a 1
但 a + b 2不成立，故 cos 是 a + b 2的必要不充分条件；
2 3 - b
对于④，当 a + b 2时，设 g(a) ea - ea,a (0, 2)，
则 g (a) ea - e，显然 g (a) 在 (0,2)单调递增，
当 0 < a < 1时， g (a) < 0， g(a)在( 0, 1)单调递减，
当1 < a < 2 时， g (a) > 0， g(a)在 (1, 2)单调递增，
又 g(1) 0, g(0) 1, g(2) e2 - 2e >1，
作出 g(a)的大致图象如图：
由图象可知存在 t (1, 2)，使得 g(t) 1，
故当 a (t, 2)时， g(a) ea - ea,a (0, 2)只有唯一解，
若 a b，则 a + b > 2 与条件不符；
即此时得不出 ea - ea eb - eb，
即 ea - ea eb - eb不是 a + b 2的必要条件，
故能作为“ a + b 2 ”的必要不充分条件的是②③，
故答案为：②③
【点睛】关键点点睛：本题考查了必要条件的判断，实质还是考查导数的应用，难度较大，
难点是选项③④的判断，解答时要注意利用放缩法结合构造函数判断③，利用构造函数，
判断函数单调性，数形结合判断④.
四、解答题
15．（2024·广东·模拟预测）设 X，Y 为任意集合，映射 f : X Y ．定义：对任意 x1, x2 X ，
若 x1 x2 ，则 f x1 f x2 ，此时的 f 为单射．
(1)试在R R上给出一个非单射的映射；
(2)证明： f 是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z 与映射 g, h : Z X ，若对任意
z Z ，有 f (g(z)) f (h(z))，则 g h；
(3)证明： f 是单射的充分必要条件是：存在映射j :Y X ，使对任意 x X ，有
j( f (x)) x ．
【答案】(1) f x x2 （答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
2
【详解】（1）由题意不妨设 f x x ，当 x1, x2 （ x1, x2 非 0）互为相反数时， f x1 f x2
满足题意；
（2）一方面若 f 是单射，且 f (g(z)) f (h(z))，则 g z h z ，即 g h（否则若
g z h z ，有 f (g(z)) f (h(z))，矛盾），
另一方面，若对任意 z Z ，由 f (g(z)) f (h(z))可以得到 g h，
我们用反证法证明 f 是单射，
假设 f 不是单射，即存在 g z h z ，有 f (g(z)) f (h(z))，
又由 f (g(z)) f (h(z))可以得到 g h，即 g z h z ，这就产生了矛盾，
所以 f 是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若 f 是单射，则由 x1 x2 可得 f x1 f x2 ，
同理存在单射j ，使得 f x1 , f x2 Y ， f x1 f x2 ，有j( f (x1)) x1 x2 j( f (x2 )) ，
另一方面，若存在映射j :Y X ，使对任意 x X ，有j( f (x)) x ，
我们用反证法来证明 f 是单射，
若 f 不是单射，即存在 x1 x2 ，有 f x1 f x2 ，
又若 f x1 f x2 ，则由题意j( f (x1)) x1 x2 j( f (x2 ))，这与 x1 x2 产生矛盾，
所以此时 f 是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即
可顺利得证.
16．（2024·广东·模拟预测）已知集合A 中含有三个元素 x, y, z，同时满足① x < y < z；②
x + y > z；③ x + y + z 为偶数，那么称集合A 具有性质 P .已知集合 Sn 1,2,3,L, 2n
(n N*, n 4) ，对于集合 Sn 的非空子集 B ，若 Sn 中存在三个互不相同的元素 a,b,c，使得
a + b,b + c,c + a均属于 B ，则称集合 B 是集合 Sn 的“期待子集”.
(1)试判断集合 A 1,2,3,5,7,9 是否具有性质 P ，并说明理由；
(2)若集合B 3,4,a 具有性质 P ，证明：集合 B 是集合 S4 的“期待子集”；
(3)证明：集合M 具有性质 P 的充要条件是集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数 2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质 P ，确定集合 B ，再根据“期待子集”的定义，确定集合 B 是集合 S4 的“期
待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的 a,b,c，使得a + b,b + c,c + a均属于M
证明满足性质 P 的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的 a,b,c，再证明
a + b,b + c,c + a均属于M ，即可证明.
【详解】（1）集合 A 1,2,3,5,7,9 不具有性质 P ，理由如下：
（i）从集合A 中任取三个元素 x, y, z均为奇数时， x + y + z 为奇数，不满足条件③
（ii）从集合A 中任取三个元素 x, y, z有一个为 2，另外两个为奇数时，不妨设 y 2， x < z ，
则有 z - x 2，即 z - x y ，不满足条件②，
综上所述，可得集合 A 1,2,3,5,7,9 不具有性质 P .
（2）证明：由3+ 4 + a 是偶数，得实数 a是奇数，
当 a < 3 < 4时，由 a + 3 > 4，得1 < a < 3，即 a 2，不合题意，
当3 < 4 < a 时，由3 + 4 > a ，得 4 < a < 7 ，即 a 5，或 a 6（舍），
因为3+ 4 + 5 12是偶数，所以集合B {3,4,5}，
令 a + b 3,b + c 4,c + a 5，解得a 2, b 1, c 3，
显然 a,b,c S4 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
所以集合 B 是集合 S4 的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合M 是集合 Sn 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 a,b,c，使得a + b,b + c,c + a均属
于M ，
不妨设 a < b < c，令 x a + b ， y a + c， z b + c，则 x < y < z，即满足条件①，
因为 x + y - z (a + b) + (a + c) - (b + c) 2a > 0，所以 x + y > z，即满足条件②，
因为 x + y + z 2(a + b + c)，所以 x + y + z 为偶数，即满足条件③，
所以当集合M 是集合 Sn 的“期待子集”时，集合M 具有性质 P .
再证必要性：
当集合M 具有性质 P ，则存在 x, y, z，同时满足① x < y < z；② x + y > z；③ x + y + z 为偶
数，
a x + y + z x + y + z x + y + z令 - z ，b - y， c - x，则由条件①得 a < b < c，
2 2 2
a x + y + z z x + y - z由条件②得 - > 0 ，
2 2
由条件③得 a,b,c均为整数，
z c z x x + y + z z + x - y
z + z - y - y
因为 - + - > z - y > 0，
2 2 2
所以0 < a < b < c < z ，且 a,b,c均为整数，
所以 a,b,c Sn ，
因为 a + b x,a + c y,b + c z ，
所以a + b,b + c,c + a均属于M ，
所以当集合M 具有性质 P 时，集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
综上所述，集合M 是集合 Sn 的“期待子集”的充要条件是集合M 具有性质 P .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质 P ”和“期待子集”的定义.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·山西·一模）设命题 p : $x R, a x > kx ，则 p 为（ ）
A．"x R, a x > kx B．$x R, a x kx
C．"x R, a x kx D．$x R, a x kx
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式判定即可.
【详解】由题意可知 p : "x R, a x kx .
故选：C
2．（2024·天津·一模）已知 a,b R ，则“ b > a ”是“ a2 < b2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不
充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为 a,b R ，当b > a 时，有b > a 0，则 a2 < b2 成立，即充分性成立；
ìa 0
当 í 时，02 < -1 2b 1 ，即 a
2 < b2 成立，而-1 > 0 ，即b > a 不成立，进而必要性不成
-
立.
所以 a,b R ，“ b > a ”是“ a2 < b2 ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知直线m ， n和平面a ，且m ^ a ，则“ n∥a ”是“ n ^ m ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据线面的位置关系结合充分条件和必要条件判断即可.
【详解】当m ^ a ，n∥a 时，则有 n ^ m ；
反之，当m ^ a ， n ^ m 时， n//a 或n a；
所以“ n∥a ”是“ n ^ m ”的充分不必要条件.
故选：A
4．（2024·重庆·模拟预测）设 n N* 且 n 2，命题甲：{an}为等比数列；命题乙：
an an-1an+1 ；则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据题意，由等比数列的定义结合等比中项的公式代入计算，即可判断.
a
{a } n+1
a
【详解】若 n 为等比数列，则满足
n
a a ，即 a
2
n an-1an+1，
n n-1
所以 an ± an-1an+1 ，故充分性不成立，
当 an 0时，数列{an}满足 an an-1an+1 ，但此时{an}为等比数列不成立，
故必要性不成立，
所以{an}为等比数列是 an an-1an+1 的既不充分也不必要条件.
故选：D
1
5．（2024·天津河西·一模）“ x2 x ”是“ 1”的（x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得
解.
【详解】由 x2 x得 x x -1 0 ，解得0 x 1，
1 1- x ìx x -1 0
由 1得 0，所以 í ，解得0 < x 1，x x x 0
1
所以“ x2 x ”是“ 1”成立的必要不充分条件.x
故选：B
r r
6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量 a r r2,2 ,b x,-3 ，则“ x < 3 ”是“ a 与b 的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不
充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标表示以及夹角范围计算，考虑向量反向的情况可得结论.
ar
r r r r r
“ x < 3 ” ×b a b cos a,b 2x - 6 < 0 cos ar
r
【详解】若 可得 ，可得 ,b < 0 ；
r r
当 x -3时， a 与b 的方向相反，其夹角为180o ，
r r
即 a 与b 的夹角为钝角或平角，充分性不成立；
r r r
若“ a 与b r的夹角为钝角”，即可知 a ×b 2x - 6 < 0，解得 x < 3，必要性成立；
r r
因此“ x < 3 ”是“ a 与b 的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
二、多选题
7．（23-24 高三上·江苏盐城· *期中）在VABC 中，若 A nB n N ，则（ ）
A．对任意的 n 2，都有 sin A < nsin B
B．对任意的 n 2，都有 tan A < n tan B
C．存在 n，使 sin A > nsin B成立
D．存在 n，使 tan A > n tan B成立
【答案】AD
【分析】根据给定条件，举例说明判断 BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断 AC.
π π
【详解】在VABC 中，当 A 3B时， n 3，取B ，则 A ， tan A 1，
12 4
tan B tan(π π- ) 3 -1 2 - 3 ，3tan B 3(2 - 3)，则 tan A > 3tan B，B 错，D 对；
3 4 1+ 3
ì0 < A < π ì0 < nB < π

显然 í0 < B < π，即 í0 < B < π ，则0 < B
π
< ，
n +1
0 < C < π 0 < π - B - nB < π
π
令 f (x) sin nx - nsin x，0 < x < ,n 2 ， f (x) n cos nx - ncos x n(cos nx - cos x) < 0，
n +1
因此函数 f (x)

在 0,
π
÷上单调递减，则 f (x) < f (0) 0，即 sin nB < nsin B，从而
è n +1
sin A < nsin B ，A 对，C 错.
故选：AD
【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，
分析并运用函数的单调性求解作答.
三、填空题
8．（2023·吉林·二模）命题“ $x R， ax2 + x +1< 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围为 .
1
【答案】 a
4
【分析】分析可知命题“ "x R ， ax2 + x +1 0 ”为真命题，对实数 a的取值进行分类讨论，
在 a 0时，直接验证即可；当 a 0时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数 a的不等式
组，综合可得出实数 a的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“ "x R ， ax2 + x +1 0 ”为真命题.
当 a 0时，由 x +1 0可得 x -1，不合乎题意；
ìa > 0
a 0 a 1当 时，由题意可得 í ，解得 .
Δ 1- 4a 0 4
1
因此，实数 a的取值范围是 a .
4
1
故答案为： a .
4
π π
9．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）若命题“ "x0 ê , ， tan 2x0 + 2 m ”是假命题，则实数 8 6 ú
m 的取值范围是 ．
【答案】 3, +
【分析】利用命题为真命题由正切函数单调性即可求得m 3，可知为假命题时实数m 的取
值范围是 3, + .
x π , π【详解】若命题“ "

0 ê ú ， tan 2x0 + 2 m ”是真命题，可得 tan 2x0 + 2 mmin 即可； 8 6
y tan 2x + 2 x π π 易知 0 在 0
ê
,
8 6 ú
上单调递增，

π
所以 tan 2x0 + 2 tan 2 ÷ + 2 3min ，可得m 3；è 8
又因为该命题是假命题，所以可得m > 3，
即实数m 的取值范围是 3, + .
故答案为： 3, +
四、解答题
1- x
10．（23-24 高三上·北京大兴·期末）已知函数 f x ax + ln .
1+ x
(1)若曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线斜率为 0，求 a的值；
(2)当 a 4时，求 f x 的零点个数；
(3)证明：0 a 2 是 f x 为单调函数的充分而不必要条件.
【答案】(1) a 2
(2)3 个
(3)证明见解析
【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；
（2）结合函数的单调性与零点的存在性定理去研究函数零点个数问题即可得；
（3）当0 a 2 时去推导 f x 为单调函数可证明充分性，找出不在该范围内的 a亦能使
f x 为单调函数即可证明不必要条件.
1+ x - 1+ x - 1- x 2
【详解】（1） f x a + a +1- x 1+ x 2 x2 -1，
f 0 a 2则 + 0，即 a 2；
-1
（2）当 a 4时， f x 4x ln 1- x 1- x+ ，则 > 0，即-1 < x <1，
1+ x 1+ x
又 f -x -4x + ln 1+ x 4x ln 1- x - + ÷ - f x ，1- x è 1+ x
故 f x 为奇函数，
f x 4 2 + ，-1 < x <1，
x2 -1
令 f x > 0，即 4 2+ > 0 2 22 ，解得x 1 - < x < ，- 2 2
令 f x < 0，即-1 < x 2 2< - 或 < x <1，
2 2

故 f x 在 -1,
2 2 2
- ÷÷上单调递减，在 - , ÷÷ 上单调递增，
è 2 è 2 2
2
在 ,1÷÷上单调递减，
è 2

由 f 0 2 0 + ln1 0，则 f ÷÷ > 0，又 f 0.99 3.96 - ln199 < 0，
è 2

f x 2

故 在 ,12 ÷÷
上必有一零点，
è

由 f x 2为奇函数，则 f x 在 -1, - ÷÷上亦有一零点，
è 2
故当 a 4时， f x 的零点个数为 3 个；
2
3 f x a 2 ax - a + 2（ ） + 2 ，-1 < x <12 ，x -1 x -1
由-1 < x <1，故-1 < x2 -1 < 0，
ax2 - a + 2 a x2 -1 + 2，即-a + 2 < a x2 -1 + 2 < a + 2
当0 a 2 时，-a + 2 0，即 ax2 - a + 2 0 ，
故 f x 0，即此时 f x 在 -1,1 上单调递减，
故0 a 2 是 f x 为单调函数的充分条件；
当-2 a 0时， a + 2 0，即 ax2 - a + 2 0 ，
故 f x 0，即此时 f x 在 -1,1 上单调递增，
故0 a 2 不是 f x 为单调函数的必要条件；
综上所述，0 a 2 是 f x 为单调函数的充分而不必要条件.
【点睛】关键点睛：本题（2）问中讨论函数零点问题，需要注意结合函数的单调性与零点
的存在性定理去研究.

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