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考点 01 集合（4 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间
的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集
合语言描述不同的具体问题，能使用 Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算．
【知识点】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或 N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元
素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B(或 B A)．
(2)真子集：如果集合 A B，但存在元素 x∈B，且 x A，就称集合 A 是集合 B 的真子
集，记作 A B(或 B A)．
(3)相等：若 A B，且 B A，则 A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
集合语言 图形语言 记法
运算
并集 {x|x∈A，或 x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且 x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且 x A} UA
常用结论
1．若集合 A 有 n(n≥1)个元素，则集合 A 有 2n个子集，2n－1 个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
【核心题型】
题型一　集合的含义与表示
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；
三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例 1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．M 1,3 ， N 3, 1 B．M 1,3 ， N 3, 1
C．M x, y | y x2 + 3x ， N x | y x2 + 3x D．M 0 ， N 0
【答案】B
【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.
【详解】选项 A：两个集合中元素对应的坐标不同，A 错误；
选项 B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B 正确；
选项 C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C 错误；
选项 D：M 是以 0 为元素的集合， N 是数字 0，D 错误.
故选：B
【变式 1】已知集合{a,b,c} { 1,0,1}，若下列三个关系有且只有一个正确：① a 1；
② b = -1；③ c 0，则a2023 2b + 4c （ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】假设① a 1，② b = -1错，③ c 0对，
因为{a,b,c} { 1,0,1}，
所以有 a 1,b=0, c=1，此时 a2023 2b + 4c 1+ 4 3；
假设① a 1，③ c 0错，② b = -1对，
因为 a 1错，必有 a 1，而b = -1，不符合集合元素的互异性，假设不成立；
假设② b = -1，③ c 0错，① a 1对，
因为 c 0错，所以 c = 0 ，
因为b = -1错，所以b 1对，而 a 1对，因此只能 a b 1，不符合集合元素的互异
性，假设不成立，
综上所述： a2023 2b + 4c 3，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断.
2
【变式 2】（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知 A x x ax +1 0 ，若2 A，且
3 A，则 a的取值范围是（ ）
é5 ,10 5 ,10 5 10A ù é． ê ÷ B． ú C． ê ,+

÷ D

． ,
2 3 è 2 3 2 ÷ è 3
【答案】A
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
5 10
【详解】由题意得 4 2a +1 0且9 3a +1 > 0，解得 a < ．
2 3
故选：A
2
【变式 3】（23-24 · · A x ex 2x高三下 湖南长沙 阶段练习）已知集合 1 ，
B 1,0,1 ，则集合 A B 的非空子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
【答案】B
【分析】由题意化简集合A ，得 AI B 0,1 ，由此即可进一步求解.
【详解】因为 A x x2 2x 0 x 0 x 2 ，B 1,0,1 ，因此 AI B 0,1 ．
故该集合的非空子集个数为22 1 3个.
故选：B．
题型二　集合间的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成
漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进
而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
【例 2】在集合 A 1,1,2,3,4,5,6 的子集中，含有 3 个元素的子集的个数为 .
【答案】35
【分析】根据给定条件，利用子集的意义，借助组合列式计算即得.
【详解】集合 A 1,1,2,3,4,5,6 中有 7 个元素，
所以含有 3 3个元素的子集的个数为C7 35 .
故答案为：35
【变式 1】（2024· 2海南·模拟预测）已知集合 A 1,2,4 , B a,a ，若 AI B B ，则
a .
【答案】2
【分析】根据交集结果可知B A，结合子集关系分析求解.
【详解】因为 AI B B ，可得B A，
可知 a, a2 A，且 a a2 ，所以 a 2 .
故答案为：2.
【变式 2】集合 A { 3,m}，B m2 + 4m, 1 ，且 A B ，则实数m ．
【答案】 1
ìm 1
【分析】根据集合关系 A B ，可得 í 2 ，从而可求解.
m + 4m 3
【详解】由题意得 A B ，
ìm 1
则 í 2 ，解得m 1
m + 4m
.
3
故答案为： 1 .
2
【变式 3】若集合 A x ax ax +1< 0 ，则实数 a 的值的集合为 ．
【答案】{a∣0 a 4}
【分析】分 a 0与 a 0两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当 a 0时， A x 1 < 0 满足题意；
ìa > 0
当 a 0时，应满足 íΔ 0，解得0 < a 4 ；
综上可知，a 的值的集合为{a∣0 a 4}．
故答案为：{a∣0 a 4}．
题型三　集合的基本运算
命题点 1　集合的运算
ì π 2π ü
【例 3】（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知集合 A íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z ，
6 3


集合B
ì
íx kπ
π
+ < x kπ π< + ,k Zü ，则 AI B （ ）
4 3
2kπ π+ , 2kπ π+ k Z kπ
π
+ , kπ π+ A． ÷， B． ÷， k Z
è 4 3 è 4 3
2kπ π ,2kπ π π πC． + +

÷， k Z

D． kπ + , kπ +

÷， k Z
è 6 3 è 6 3
【答案】A
【分析】根据给定条件把集合 B 写成用 2kp +q (k Z)形式表示的集合，再与集合 A 求
交集即可.
【详解】依题意，
B π π ìx 2kπ + < x < 2kπ + , k Zü ìx 2kπ 5π + < x < 2kπ 4π+ ,k Züí 4 3 í
，
4 3
ì
而 A íx 2kπ
π x 2π+ < < 2kπ + ,k Zü ，
6 3
所以 A B
ì
íx 2kπ
π
+ < x < 2kπ π+ ,k π π Zü 2kπ + , 2kπ +

÷， k Z .
4 3 è 4 3
故选：A
【变式 1】（2024·云南红河·二模）设集合 A 0,1,2 , B 3, m ，若 A B 2 ，则 A B
（ ）
A． 0,1, 2,3 B． 0,1,2 C． 1,2,3 D． 2,3
【答案】A
【分析】根据集合的运算性质进行判断即可.
【详解】由 A B 2 得m 2 ，
所以 B 2，3 ， A B 0，1，2，3 .
故选：A.
【变式 2】（23-24 高一上·陕西宝鸡·期中）已知
U {1,2,3,4,5,6,7}, A {2,4,5}, B {1,3,5,7},则 AI U B （ ）
A．{1,3,4} B．{3,4} C．{2,4,6} D．{2,4}
【答案】D
【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得．
【详解】因U {1,2,3,4,5,6,7}, A {2,4,5}, B {1,3,5,7},
则 U B {2,4,6} ,故 AI ( U B) {2,4} .
故选：D．
命题点 2　利用集合的运算求参数的值(范围)
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用 Venn 图表示；如果集
合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例 4】（2024·四川凉山·二模）已知集合 A y y x +1, 1 x 1 ，B x x a ，若
A B B ，则 a的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 2, + C． , 2 D． ,1
【答案】B
【分析】求出函数值域化简集合 A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.
【详解】集合 A y y x +1, 1 x 1 [0, 2]，而B ( ,a]，
由 A B B ，得 A B ，则 a 2，
所以 a的取值范围为 2, + .
故选：B
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 A 5, 1,1,5 ，B x a < x < a + 3 ，若
A B 中有 2 个元素，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 2, 1 B． 2, 1 C． 2,2 D． 5, 1
【答案】A
【分析】根据两集合的元素特征和 A B 中只有 2 个元素的要求，可得到关于 a的不等
式组，解之即得.
【详解】因为B x a < x < a + 3 ， a + 3 a 3，
又 A 5, 1,1,5 ， A B 中有 2 个元素，
ì 5 a < 1
所以 A B 中的 2 个元素只能是 1,1，则 í 2 < a < 1
1< a 3 5
，解得 .
+
故选：A.
【变式 2】．已知集合 A x 3 < 2x +1 < 7 ，B x x < 4或 x > 2 ，
C x 3a 2 < x < a +1 ．
(1)求 AI R B ；
(2)若“ p : x R AU B ”是“ q : x C ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
【答案】(1) x | 2 < x 2
(2) 3 < a
2
<
3
【分析】（1）先求出集合A ，再求出 R B，最后由交集的运算求出 AI R B ；
（2）先求出 A B ，再求出 R A B ，再由充分不必要条件构造关于 a的方程组，解
出即可.
【详解】（1）因为 A x 3 < 2x +1 < 7 x 2 < x < 3 ，又 R B = x | -4 x 2 ，
所以 AI R B = x | -2 < x 2 .
（2） A B x x < 4或 x > 2 ，所以 R AU B = x | -4 x -2 ，
因为“ p : x R AU B ”是“ q : x C ”的充分不必要条件，
则 R AU B C ，又C x 3a 2 < x < a +1 ，
ì3a 2 < 4 2
所以 í 3 < a <
a +1
.
> 2 3
题型四　集合的新定义问题
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给
定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
ì1, x A
【例 5】（23-24 高三下·上海·阶段练习）对于全集 R 的子集 A，定义函数 fA x í
0, x A
为 A 的特征函数．设 A，B 为全集 R 的子集，下列结论中错误的是（ ）
A．若 A B ，则 fA x fB x B． fA (x) 1 fA (x)
C． fA B (x) fA (x) × fB (x) D． fA B (x) fA (x) + fB (x)
【答案】D
【分析】根据新定义进行验证．
【详解】选项 A， A B ，若 x A，则 x B ，此时 fA (x) fB (x) 1，
若 x B 且 x A，则 fA (x) 0， fB (x) 1，若 x B，则 x A，则 fA (x) fB (x) 0，所
以 fA (x) fB (x)成立，A 正确；
选项 B，由补集定义知 x A时， x A， fA (x) 1, fA (x) 0，
同样知 x A时， x A， fA (x) 0, fA (x) 1，
所以 fA (x) 1 fA (x) ，B 正确；
选项 C， x AI B时，必有 x A且 x B ，因此 fAIB (x) fA (x) fB (x) 1，
当 x AI B时， x A与 x B中至少有一个成立，
因此 fAIB (x) 0，而 fA (x) 0与 fB (x) 0至少有一个成立，
综上有 fA B (x) fA (x) × fB (x) ，C 正确；
选项 D，当 A B 时，若 x AI B，则 x AU B ， x A， x B ，
因此 fAUB (x) fA (x) fB (x) 1，此时 fA B (x) fA (x) + fB (x)不成立，D 错误．
故选：D．
ì 0, x 0
3
【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义 sgn x ì ü í x ，若集合 A íy | y sgn xi ，
, x 0x i 1
则 A 中元素的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.
【详解】由题知 y 的可能取值有 3， 2， 1，0，1，2，3，则集合 A 中有 7 个元素.
故选：B.
【变式 2】（2024·黑龙江·二模）已知集合 A 1,2 ，B 3,4 ，定义集合：
A* B x, y x A, y B ，则集合 A* B 的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】B
【分析】先确定集合 A* B 有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【详解】根据题意， A* B x, y x A, y B 1,3 ， 1,4 ， 2,3 ， 2,4 ，
则集合 A* B 的非空子集的个数是 24 1 15 .
故选：B
1+ a
【变式 3】已知实数集A 满足条件:若 a A，则 A，则集合A 中所有元素的乘积
1 a
为（ ）
A．1 B． 1 C．±1 D．与 a的取值有
关
【答案】A
【分析】根据题意，递推出集合 A 中所有元素，可得答案．
1+ a
【详解】由题意，若 a A， A，
1 a
1 1+ a+
\ 1 a 11 a A1 +
，
a
1 a
1 1+ a ÷è a 1\ A，
1 1 a +1 a ֏
1 a 1+
\ a +1a 1 a A1
，

a +1
A ì综上，集合 ía,
1 a 1 1+ a
, , ü .
a a +1 1 a


1 a 1 1+ a
所以集合 A 中所有元素的乘积为 a × ÷ × × 1 .
è a a +1 1 a
故选：A.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1 与 1 表示同一个集合
B．由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或{3,2,1}
C．方程 x 1 2 x 2 0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}
D．集合 x | 4 < x < 5 可以用列举法表示
【答案】B
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】对于 A，1 不能表示一个集合，故错误；
对于 B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；
对于 C，因为集合的元素具有互异性，而{1,1,2}中有相同的元素，故错误；
对于 D，因为集合 x | 4 < x < 5 中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.
故选：B.
2．（2024·福建厦门·二模）设集合 A 1,0,1 ，B x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i 1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
【答案】D
【分析】明确集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的含义，结合组合数的计算，
即可求得答案.
【详解】由题意知集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数，
即指 x1 , x2 , x3 , x4 , x5中取值为-1 或 1 的个数和为 1 或 2 或 3，
故满足条件的元素的个数为C1 2 25 2 + C5 2 + C
3
5 2
3 10 + 40 + 80 130（个），
故选：D
3．集合M {x N∣0 < x < 3}的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【分析】首先判断出集合M 有 2 个元素，再求子集个数即可.
【详解】易知集合M {x N∣0 < x < 3} 1,2 有 2 个元素，
所以集合M 的子集个数是 22 4 .
故选：D.
4．（2024·浙江·模拟预测）已知全集
U 1,2,3,4,5 , M I U N 1,2 , U M I N 4 , U M U N 3 ，则M N （ ）
A． B． 4 C． 5 D． 1,2
【答案】C
【分析】根据Venn 图，即可求解.
【详解】如图，画出Venn 图，并将条件中的集合标在图中，
如图，集合M N 1,2,5 4,5 5 ．
故选：C
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）设 A1， A2，× × × ， An n 4 为集合 S 1,2, × × ×, n 的 n个不同子
ì0, i A
集，为了表示这些子集，作 n行 n列的数阵，规定第 i行第 j j列的数为 aij í
1, i A
．则
j
下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是 0，当且仅当 A1
B．数阵中第 n列的数全是 1，当且仅当 An S
C．数阵中第 j 行的数字和表明集合 Aj 含有几个元素
D．数阵中所有的 n2 个数字之和不超过 n2 n +1
【答案】ABD
ì0, i A
【分析】由集合的子集的概念和规定第 i行与第 j 列的数为 aij
j
í
1, i A
，对选项一一
j
判断即可．
【详解】选项 A：数阵中第一列的数全是 0 ，当且仅当1 A1， 2 A1，× × × ， n A1，
\ A1 ，故 A 正确．
选项 B：数阵中第 n列的数全是 1，当且仅当1 An ， 2 An ，× × × ， n An ，\ An S ，
故 B 正确．
选项 C：数阵中第 j 列的数字和表明集合 Aj 含有几个元素，故 C 错误．
选项 D：当 A1， A2，× × × ， An 中一个为S 本身，其余 n 1个子集为S 互不相同的 n 1元
子集时，
2
数阵中所有的 n2 个数字之和最大，且为 n + n 1 n2 n +1，故 D 正确.
故选：ABD
6．（2024 高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪，直到 1872
年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴
德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的
时代，也结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将
有理数集Q划分为两个非空的子集 M 与 N，且满足M N Q，M N ，M 中的
每一个元素小于 N 中的每一个元素，则称 (M , N )为戴德金分割．试判断下列选项中，
可能成立的是（ ）
A．M x x < 0 ， N x x > 0 是一个戴德金分割
B．M 没有最大元素，N 有一个最小元素
C．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素
D．M 没有最大元素，N 也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.
【详解】对于 A，因为M x x < 0 ， N x x > 0 ，所以M N x x 0 Q ，故 A
错误；
对于 B，设M x x < 0, x Q ， N x x 0, x Q ，满足戴德金分割，
此时M 没有最大元素， N 有一个最小元素为 0，故 B 正确；
对于 C，若M 有一个最大元素， N 有一个最小元素，
则不能同时满足M N Q，M N ，故 C 错误；
对于 D，设M x x < 2, x Q ， N x x 2, x Q ，满足戴德金分割，
此时M 没有最大元素， N 也没有最小元素，故 D 正确．
故选：BD.
三、填空题
7．已知集合 A 1, 2 , B 1, a,3 ，且 A B ，则a ．
【答案】2
【分析】根据集合自己的概念即可求解．
【详解】∵ A 1, 2 , B 1, a,3 ，且 A B ，
∴集合 A 里面的元素均可在集合 B 里面找到，
∴a=2．
故答案为：2
四、解答题
8．已知集合 A U ，B U ，全集U 1,2,3,4,5,6 ，且 U A 1,3,4 ，B 3,5,6
(1)求集合A ；
(2)求 A B .
【答案】(1) 2,5,6
(2) 5,6
【分析】（1）根据补集的定义和运算即可求解；
（2）根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】（1）因为U {1,2,3,4,5,6}, U A {1,3,4}，
所以 A {2,5,6} .
（2）B {3,5,6}，由（1）知，
AI B {5,6} .
9．已知集合 A 1,4 ，B 1,4,5,6 .
(1)求 A B 及 A B ；
(2)求 BA.
【答案】(1) AI B 1,4 ， A B 1,4,5,6
(2) B A 5,6
【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解.
【详解】（1）集合 A 1,4 ，B 1,4,5,6 ,
故 AI B 1,4 ， A B 1,4,5,6
（2） B A 5,6 .
【综合提升练】
一、单选题
1 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A x x 4x 5 0 , B x a 3 < x < a + 4 ，
若 A U B R，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a a >1 B． a 1< a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于 a的不等式组，解之
即得.
【详解】Q x2 4x 5 0,\ x 1或 x≥5，\ A x x 1或 x 5 ，
A B R, ì
a 3 1
又 \í ，解得1 a 2
a
.
+ 4 5
故选:D.
2．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合
A 2,0 , B x x2 2x 0 ，则 U A B （ ）
A． 1,1,2 B． 1,0,1 C． 1 D． 1,1
【答案】D
【分析】根据集合的并集与补集运算即可.
【详解】因为 A 2,0 , B 0,2 ，所以 A B 2,0,2 ，又U = -2,-1,0,1,2 ，
所以 U AU B 1,1 ．
故选：D.
3．（23-24 高三下·湖北·阶段练习）已知集合 A {1,2}，B {0,2}，若定义集合运算：
A* B z z xy, x A, y B ，则集合 A* B 的所有元素之和为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【分析】计算出 z 的所有取值即可得.
【详解】 x 可为1、 2， y 可为 0 、 2，有 z 0、 2、 4，
故 A* B {0,2,4}，所以集合 A* B 的所有元素之和为 6.
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合U Z， A x x 2k +1, k Z ，
B x x 4k + 2,k Z ，则 x x 4k, k Z （ ）
A． U A B B． U AU B C． U AI B D． U A B
【答案】B
【分析】分析集合 A 可知 A {x x 4k +1或 4k + 3,k Z}，结合并集和补集的定义与运算
即可求解.
【详解】对于集合 A x x 2k +1, k Z 中的元素，
当 k = 2t ， t Z时， x 4t +1；当 k 2t +1， t Z时， x 4t + 3，
所以 A B {x x 4k +1或 4k + 2或 4k + 3,k Z}，
故 U (A B) x x 4k, k Z .
故选：B．
ì x 3 ü
5．设全集U R ，集合 Aíx 0 ．集合B x lnx 1 ，则 AI U B （x 2 ） +
A． e,3 B． e,3 C． 2,e D． 2,e
【答案】D
【分析】先求集合 A, B，再结合集合间的运算求解.
x 3 ì x 3 x + 2 0
【详解】因为 0等价于 í ，解得 2 < x 3，即 A x 2 < x 3 ，x + 2 x + 2 0
又因为B x lnx 1 x x e ，可得 U B x | x < e ，
所以 A U B 2,e .
故选：D.
ì x +1 ü
6．（2024·陕西咸阳· 2二模）已知集合 A íx 0 ， B 5 x x y log2 x 16 ，则
A R B （ ）
A． 1,4 B． 1,4 C． 1,5 D． 4,5
【答案】B
【分析】计算出集合A 、 B 后，借助补集定义及交集定义即可得.
x +1 ì x +1 5 x 0
【详解】由 0，即 í ，解得 1 x < 5，故 A x 1 x < 5 ，5 x 5 x 0
由 y log2 x2 16 ，可得 x2 16 > 0，即 x>4或 x< 4，故 R B x 4 x 4 ，
故 A R B x 1 x 4 .
故选：B.
7．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 a S ，则当且仅当 a m + n
（其中正整数m 、 n S 且m n）或 a p + q （其中正整数 p 、 q S 且 p q）．现有
如下两个命题：① 5 S ；②集合 x x 3n, n N* S ．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合S 的定义即可判断①是假命题，根据集合S 的定义先判断5 S ，
3n S ，再由"x A，有 x 3n + 5，3n S ，5 S 且3n 5，所以 x S ，可判断 ②是
真命题.
【详解】因为若 a S ，则当且仅当 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中
p, q S , p,q Z*且 p q)，
且集合S 是由某些正整数组成的集合，
所以1 S ， 2 S ，
因为3 1+ 2，满足 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且 p q)，所以3 S ，
因为 4 1+ 3，且1 S ，3 S ，所以 4 S ，
因为 5 =1+ 4，1 S ， 4 S ，所以5 S ，故①对；
下面讨论元素3n n 1 与集合S 的关系，
当 n 1时，3 S ；
当 n 2时， 6 2 + 4， 2 S ， 4 S ，所以6 S ；
当 n 3时，9 3+ 6，3 S ，6 S ，所以9 S ；
当 n 4时，12 3+ 9，3 S ，9 S ，所以12 S ；依次类推，
当 n 3时，3n 3+ 3 n 1 ，3 S ，3 n 1 S ，
所以3n S ，则 x x 3n, n N* S ，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断1 S ， 2 S ，3 S ， 4 S ，再根据集合
S 的定义求解.
x
8．已知函数 f x 4 x ， y x 为高斯函数，表示不超过实数 x 的最大整数，例如4 + 2
ì ü 0.5 1， 1.3 1.记 A 2, 1,0,1 ， B y y é f x 1 ù + é f 1 x 1 ùí ê ú , x R2 ， ê 2 ú
则集合A ， B 的关系是（ ）
A． A B 2 B． AI B 1,0,1
C． A B 1,0 D． AI B 0,1
【答案】C
【分析】根据题意分别求出集合B 0, 1 ，然后利用集合的交集运算从而求解.
4x
【详解】由题意得 f x x ，所以4 + 2
y é f x 1 ù é f 1 x 1 ù 1 2 2 1 ê ú + ê ú
é ù + é ù ，
2 2 ê 2 4x + 2 ú ê 4x + 2 2 ú
1 1 2 1 2 1 1
因为 4x + 2 > 2 ，所以0 < x < ，所以 x 0,1 ，所以 4 + 2 2 4 + 2 2 4x

+ 2
, ÷，
è 2 2
2 1 1 1
x

,

，
4 + 2 2 ֏ 2 2
2
0, 1 1 2 1 2 1 1当 x ÷时， x
0, ，
,0 ，此时 y 0 + 1 1，
4 + 2 è 2 2 4 + 2 è 2 ÷ 4x + 2 2 è 2 ÷
2 1 ,1 1 2 1 ,0 2 1 当 x ÷时， x ÷， x 0,
1
÷，此时 y 1+ 0 14 2 2 ，+ è 2 4 + 2 è 2 4 + 2 2 è 2
2 1 1 2 2 1
当 时，
4x + 2 2 2 4x + 2 4x
0，此时 y 0 + 0 0，
+ 2 2
综上：B 0, 1 ，所以 A B 1,0 ，故 C 正确.
故选：C.
é 1 ù é
【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对 y ê f x ú + ê f 1 x
1
ùú 分情况讨论具体的 2 2
取值求出集合 B ，从而求解.
二、多选题
9．若全集U 1,2,3,4,5,6 ，M 1,4 ， N 2,3 ，则集合 5,6 等于（ ）
A． M U N B． M U N C． M N D． N MU U U U U
【答案】BCD
【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.
【详解】对 A， U M 2,3,5,6 ， U N 1,4,5,6 ，故 U M U U N 1,2,3,4,5,6 ，故 A
错误；
对 B，M U N 1,2,3,4 ，故 U M U N 5,6 ，故 B 正确；
对 C， U M 2,3,5,6 ，故 M N 5,6 ，故 C 正确；U
对 D， U N 1,4,5,6 ，故 M 5,6 ，故 D 正确.U N
故选：BCD
12
10．（2024·辽宁辽阳· 2一模）已知集合 A {x | N, x N}, B {x | x 6x < 7}，则
x +1
（ ）
A． A B 1,2,3,5 B． A B 1,7 11
C．12 x y∣x A, y B D．$a A, y∣y lg x2 ax + 9 R
【答案】BCD
【分析】求出集合 A, B，根据集合的运算即可判断 A，B；结合 x y <12，可判断 C；
由 y∣y lg x2 ax + 9 R ，结合判别式，可求得 a 的范围，即可判断 D.
12
【详解】由题意得 A {x | N, x N} {0,1,2,3,5,11}, B {x | x2 6x < 7} ( 1,7) ，
x +1
故 A B 0,1,2,3,5 ， A B 1,7 11 ，A 错误，B 正确；
由于 x A, y B，故 x y <11 ( 1) 12，则12 x y∣x A, y B ，C 正确；
y∣y lg x2若 ax + 9 R ，则 x2 ax + 9能取到所有的正数，
即 a2 36 0，则 a 6或 a 6，
即$a A, y∣y lg x2 ax + 9 R ，D 正确，
故选：BCD
11．已知集合 A, B满足B x, y, z ∣x + y + z 11, x, y, z A ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 A 2,0,1,13 ，则 B 中的元素的个数为 1
B．若 A x∣x 2k +1, k N ，则 B 中的元素的个数为 15
C．若 A N+ ，则 B 中的元素的个数为 45
D．若 A N ，则 B 中的元素的个数为 78
【答案】BCD
【分析】对于 A，由集合 B 的定义即可列举出集合 B 中所有的元素即可判断；对于 B，
A 中的元素均为正奇数，对 x 分类讨论即可验算；对于 C，原问题等价于将 11 个大小
相同、质地均匀的小球分给甲 乙 丙 3 个人，每人至少分 1 个，利用隔板法即可验算；
对于 D，原问题等价于将 14 个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙 3 个人，每
人至少分 1 个，利用隔板法验算即可.
【详解】由题意得B { 2,0,13 , 2,13,0 , 0, 2,13 , 13,0, 2 , 13, 2,0 , 13,0, 2 }，
所以 B 中的元素的个数为6，A 错误.
由题意得A 中的元素均为正奇数，在 B 中，
当 x 1时，有 1,1,9 , 1,3,7 , 1,5,5 , (1,7,3), 1,9,1 共 5 个元素，
当 x 3时，有 3,1,7 , 3,3,5 , 3,5,3 , 3,7,1 共 4 个元素，
当 x 5时，有 5,1,5 , 5,3,3 , 5,5,1 共 3 个元素，
当 x 7时，有 7,1,3 , 7,3,1 共 2 个元素，
当 x 9 时，有 9,1,1 共 1 个元素，
所以 B 中的元素的个数为5 + 4 + 3 + 2 +1 15，B 正确.
B x, y, z∣ x + y + z 11, x, y, z N+ ，可转化为将 11 个大小相同、质地均匀的小球分
给甲 乙 丙 3 个人，每人至少分 1 个，
2
利用隔板法可得分配的方案数为C10 45，所以 B 中的元素的个数为 45，C 正确.
B x, y, z∣ x + y + z 11, x, y, z N { x, y, z ∣ x +1 + y +1 + z +1 14, x +1, y +1, z +1 N+
，
可转化为将 14 个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙 3 个人，每人至少分 1 个，
利用隔板法可得分配的方案数为C213 78，所以 B 中的元素的个数为78，D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断 CD 选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，
由此即可顺利得解.
三、填空题
12．已知集合M 2,0,2,4 ， N x x m ，若M N M ，则m 的最大值
为 ．
【答案】 2
【分析】依题意可得M N ，即可求出m 的取值范围，从而得解.
【详解】因为M 2,0,2,4 ， N x x m 且M N M ，
所以M N ，则m 2，所以m 的最大值为 2 .
故答案为： 2
13 2．（2024·广东湛江·一模）已知全集U 为实数集R ，集合 A x x 4 ，
B x log2 x > 2 ，则 AU U B ．
【答案】 , 4
【分析】解不等式可分别求得集合 A, B，根据并集和补集定义可得到结果.
【详解】由 x2 4得： 2 x 2，即 A 2,2 ；
由 log2 x > 2得： x>4，即B 4,+ ，\ U B , 4 ，\ AU U B , 4 .
故答案为： , 4 .
14．（2024·辽宁·一模）已知集合M x | y 2x2 + 3x + 2 ， N {x N∣x > 2}，则
M ，M N .
ì
【答案】 íx |
1
x 2ü 0,1,2
2
【分析】首先解一元二次不等式求出集合M ，再根据交集的定义计算可得.
1
【详解】由 2x2 + 3x + 2 0，即 2x +1 x 2 0，解得 x 2 ，2
所以M x | y 2x2 1+ 3x + 2 ìíx | x 2ü2 ，
又 N {x N∣x > 2}，所以M I N 0,1,2 .
ì 1 ü
故答案为： íx | x 2 ； 0,1,2
2
四、解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且 A B，
求实数 a 的取值范围．
【答案】[1，＋∞).
【详解】解：若 A＝ ，则 Δ＝4－4a＜0，解得 a＞1；
若 1∈A，由 1－2＋a＝0 得 a＝1，此时 A＝{1}，符合题意；
若 2∈A，由 4－4＋a＝0 得 a＝0，此时 A＝{0，2}，不符合题意．
综上，实数 a 的取值范围是[1，＋∞).
【考查意图】利用集合间的关系求参数的取值范围．
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝
A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【详解】（1） 由 x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以 A＝[－1，5].
由 2x－6≥0，得 x≥3，所以 B＝[3，＋∞）.
所以 M＝[3，5].
（2） 因为 M∩C＝M，所以 M C，
则 解得 a≤2.
故实数 a 的取值范围是（－∞，2].
17．已知 a 2为实数，设集合 A x 2x + a x ．
(1)设集合B x lgx 0 ，若B A，求实数 a的取值范围．
(2)若集合 A R ，求实数 a的取值范围；
【答案】(1) a 3
(2) a 1
【分析】（1）根据包含关系可得1 A，故可求参数的取值范围.
（2）根据解集为R 可得判别式的符号，故可求参数的取值范围.
【详解】（1）B 1 ，因为B A，故1 A，故 2 1+ a 1即 a 3 .
（2）因为 A R ，故 2x + a x2 即 x2 + 2x a 0 在R 上恒成立，
故D 4 + 4a 0，故 a 1 .
ì 1, x M
18．对于集合M ，定义函数 fM x í1, x M ．对于两个集合M , N ，定义集合
M N x∣fM x × fN x 1 ．已知集合 A 1,3,5,7,9 , B 2,3,5,6,9 ．
(1)求 fA 1 与 fB 1 的值；
(2)用列举法写出集合 A B ；
(3)用Card M 表示有限集合M 所包含元素的个数．已知集合 X 是正整数集的子集，求
Card X A + Card X B 的最小值，并说明理由.
【答案】(1) fA 1 1， fB 1 1；
(2) A B {1,2,6,7}；
(3)4.
【分析】（1）根据给定的定义计算即得.
（2）求出 A B ，再结合定义及运算写出集合 A B .
（3）根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，1 A,1 B ，所以 fA 1 1， fB 1 1 .
（2）由 A 1,3,5,7,9 , B 2,3,5,6,9 ，得 A B 3,5,9 ，
因此属于A 不属于 B 的元素为1,7 ，属于 B 不属于A 的元素为 2,6，
所以 A B {1,2,6,7} .
（3）依题意，对于集合C ， X ，
①若 a C 且 a X ，则Card(C (X a )) Card(C X ) 1，
②若 a C 且 a X ，则Card(C (X a )) Card(C X ) +1，
因此要使Card(X A) + Card(X B)的值最小，3，5，9 一定属于集合 X ，
1,2,6,7是否属于集合 X 不影响Card(X A) + Card(X B)的值，集合 X 不能含有 A B
之外的元素，
所以当 X 为集合{1,2,6,7}的子集与集合 3,5,9 的并集时，Card(X A) + Card(X B)
取得最小值 4 .
【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利
用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质、包含关系以及集合运算等知识综合解决.
19．对于数集 X 1, x1, x2 ,× × ×, xn ，其中0 < x1 < x2 < ×× × < xn ， n 2，定义向量集
Y ar ar s, t , s X , t X r r r r，若对任意 a1 Y ，存在 a2 Y ，使得 a1 ×a2 0 ，则称 X 具
有性质 P．
(1)设 X 1,1,2 ，请写出向量集 Y 并判断 X 是否具有性质 P（不需要证明）．
0 < x 1< ì
1
(2)若 ，且集合 í 1, x, ,1
ü
具有性质 P，求 x 的值；2 2
x3 x4 x(3) n若 X 具有性质 P，且 x2 q ，q 为常数且 q > 1 ，求证： ××× qx2 x
．
3 xn 1
【答案】(1)Y 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 2, 1 , 2,1 , 2,2 ， X 具有性
质 P ；
1
(2) ；
4
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据向量集 Y 的定义，结合 X 的元素，直接写出Y ，再判断是否满足性质
P 即可；
（2）根据性质 P 的定义，任取 m
r
a,b x, 1 ÷， n
r
c,d 1,d ，讨论
2 d 的取值，è
结合 x 的范围，即可求得 x 的取值；
x
（3 i）根据性质 P 的定义推出 x 为定值，结合
x1 1，即可推证.
j
【详解】（1）根据向量集Y 的定义可得：
Y 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 1, 1 , 1,1 , 1,2 , 2, 1 , 2,1 , 2,2 ，
ur uur r r
若 a1 1, 1 ，则存在 a2 1, 1 ，使得 a1 ×a2 0 ，
r
同理亦可证明对任意 a1 Y ，也满足性质 P ，
故 X 1,1,2 具有性质 P．
（2）对任意 a，b X ，都存在 c， d X ，使得 ac + bd 0，
r
即对于m a, b r r r，都存在 n c, d ，使得m × n 0 ，其中 a，b，c， d X ，
ì
因为集合 í 1, x,
1 ,1ü 具有性质 P，
2
r 1 r
选取m a,b x, 1 ÷， n c,d 1,d ，则有 x + d 0，
è 2 2
假设 d x，则有 x
1
+ x 0 1，解得 x 0，这与0 < x < 矛盾，
2 2
x 1假设 d 1，则有 0
1 1
，解得 x ，这与0 < x < 矛盾，
2 2 2
1 1 1
假设 d 1，则有 x + 0，解得 x ，这与0 < x < 矛盾，
2 2 2
d 1 x 1 0 x 1 1 1假设 ，则有 + ，解得 ，满足0 < x < ，故 x ；
2 4 4 2 4
ì 1 1
经检验，集合 í 1, , ,1
ü
具有性质 P．
4 2
（3）证明：取 a
r
1 x1, x
r r r
1 Y ，设 a2 s, t Y 且满足 a1 ×a2 0 ，
由 s + t x1 0得 s + t 0，从而 s，t 异号，
∵－1 是 x 中唯一的负数，
∴s，t 中一个为－1，另一个为 1，故1 X ．
因为 x2 q >1，所以 x1 1，
X 具有性质 P，取 a,b xi , x j ，1 i j n，
设 cxi + dx j 0，因为 x j > xi ，且 c，d 中的正数大于等于 1，
所以只能 d 1，
xi
所以 c Xx ，
1 i j n．
j
又 X 中只有 n 1 个大于 1 的正数，
即 x2 x3 < ××× < xn 1 < xn ，
x3 x4 x
且 < < ××× < n < xx x x n ，这 n 1 个大于 1 的正整数都属于集合 X，2 2 2
x3 x4 xn
所以只能 x x xx 2 ， x 3，… x n 1，2 2 2
x3 x4 xn
即 ××× xx x 2 ，2 3 xn 1
x3 x4 x
即 ××× n qx x ．2 3 xn 1
【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质 P 的定义，推出 x1 1，
xi
以及 x 为定值，进而根据 X 中只有 n 1 个大于 1 的正数解决问题.j
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·上海宝山·一模）已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 a S ，
则当且仅当 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且
p q) .现有如下两个命题: ① 4∈S ；②集合 x x 3n + 5, n N S .则下列选项中正确
的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题.
【答案】C
【分析】根据集合S 的定义即可判断①是假命题，根据集合S 的定义先判断5 S ，
3n S ，再由"x A，有 x 3n + 5，3n S ，5 S 且3n 5，所以 x S ，可判断 ②是
真命题.
【详解】因为若 a S ，则当且仅当 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中
p, q S , p,q Z*且 p q)，
且集合S 是由某些正整数组成的集合，
所以1 S ， 2 S ，
因为3 1+ 2，满足 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且 p q)，所以3 S ，
因为 4 1+ 3，且1 S ，3 S ，所以 4 S ，故①是假命题；
记 A x x 3n + 5,n N ，
当 n 0时，5 A，因为 5 =1+ 4，1 S ， 4 S ，所以5 S ；
下面讨论元素3n n 1 与集合S 的关系，
当 n 1时，3 S ，当 n 2时， 6 2 + 4， 2 S ， 4 S ，所以6 S ，
当 n 3时，9 3+ 6，3 S ，6 S ，所以9 S ，
当 n 4时，12 3+ 9，3 S ，9 S ，所以12 S ，依次类推，
当 n 3时，3n 3+ 3 n 1 ，3 S ，3 n 1 S ，所以3n S ，
下面讨论 n 1时，集合A 中元素与集合S 的关系，
因为"x A，有 x 3n + 5，3n S ，5 S 且3n 5，所以 x S ，
综上所述，"x A，有 x S ，
即 x x 3n + 5, n N S ，故②是真命题.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断1 S ， 2 S ，3 S ， 4 S ，再根据集合
S 的定义求解.
2 2．已知函数 f x x 2ax +1 a R ，若非空集合
A x∣f x 0 , B x∣f f x 1 ，满足 A B ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． é 1 2, 1ù B． é 2, 1ù C． é ù é ù 1, 2 D． 1,1+ 2
【答案】A
【分析】不妨设 f (x) 1的解集为[m, n]，从而得B x∣m f x n ，进而得到 n 0
且m f (x)min 0 ，又m ， n(m n)为方程 f (x) 1的两个根，可得m 2a，由此得到关于
a的不等式组，解之即可得解.．
【详解】因为 f x x2 2ax +1，
不妨设 f (x) 1的解集为[m, n]，则由 f f x 1得m f x n ，
所以B x∣f f x 1 x∣m f x n ，
又 A x∣f x 0 ， A B ，所以 n 0且m f (x)min < 0 ，
因为 f (x) 1的解集为[m, n]，所以m, n是 f (x) 1，即 x2 2ax +1 1的两个根，
故m + n 2a ，即m 2a，
此时由m < n 0，得 2a < 0，则 a<0，
因为 f x x2 2ax +1，显然D 4a2 + 4 > 0 ，且 f x 开口向上，对称轴为 x a，
所以 f x 2min f a a 2a
2 +1 a2 +1，则 2a a2 +1 0，
又 a<0，解得 2 1 a 1，即 a é 1 2, 1ù .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设 f (x) 1的解集为[m, n]，进而得到 n 0
且m f (x)min < 0 ，从而得解.
3．已知集合 A x Z x +1 0 ，B x 2 < x < 3 ，则 AI B （ ）
A． x Z x 1 B． x 1 x 3
C． 1,0,1,2,3 D． 1,0,1,2
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得.
【详解】集合 A x Z x +1 0 ，B x 2 < x < 3 ，所以 A B 1,0,1,2 .
故选：D
4 x．（2024·全国·模拟预测）已知集合M x 2x 3 > 0 , N y y e +1 ，则（ ）
A．M I N 1,
3 B M U N
3
÷ ． ,
3
+
2 2 ÷
C． N M 1, ÷ D．M N
è è è 2
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合M , N 的范围，再根据交并补和集合间
的关系的定义分别判断各选项即得.
【详解】QM x 2x 3 > 0 3 ,+ ÷， N y y >1 1,+ ，
è 2
因M N
3 ,+

2 ÷
,故 A 项错误；
è
由M N 1, + ，知 B 项错误；
由 N M

1,
3 ù
ú ,知 C 项错误；è 2
因M N ，故 D 项正确.
故选：D.
5．（23-24 高三上·上海·期中）设 a R 且 a 0，n 为正整数，集合
S ì íx cos aπx x
ü
．有以下两个命题：①对任意 a，存在 n，使得集合 S 中至少有 2
n
2
个元素；②若存在两个 n，使得 S 中只有 1 个元素，则 a < ，那么（ ）
5
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
【答案】A
【分析】
x
对于①命题，令函数 f (x) cos(ap x) ，分 a > 0和 a < 0两种情况，利用零点存在定
n
理得即可判断；对于②命题，通过举例说明.
【详解】对于①命题，设 a > 0，令函数 f (x) cos(ap x)
x
，
n
因为 f (0) 1 > 0， f (2n) cos(2anp ) 2 < 0，
所以存在 x1 (0, 2n)有 f (x1) 0，
1 1
当 n > 时， f ( ) cos( p )
1 1
+ 1 < 0 ，
a a an an
1
所以存在 x0 ( ,0)有 f (xa 0
) 0，
对于 a< 0 ，因为 y cos(anp ) 是偶函数，
所以 a<0和 a > 0情况一样，故①是真命题；
对于②命题，通过①得出一下结论： n越小，集合S 元素数量越少，同理得出如果集合
S 只能有一个元素，只能是 x > 0的区间存在一个零点，
因此先讨论 g(x) cos(
2 p x) x , h(x) cos(2 p x) x 的零点情况（如果 n 2只有一个零
5 2 5 3
点， n 1也只有一个零点），
其图象如下图：
2
即 a 时，也满足
5
故②是假命题.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于零点存在定理的应用以及由①得出的结论.
二、多选题
6．设集合 X 是实数集R 的子集，如果点 x0 R 满足：对任意 a > 0，都存在 x X ，使
得0 < x x0 < a ，称 x0 为集合 X 的聚点，则在下列集合中，以 0 为聚点的集合有（ ）
A． x | x R, x 0 B．{x Z | x 0}
ì 1
C． íx x , n
n
N* ü ìD x x ,n N*
ü
． í
n n +1


【答案】AC
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合
聚点的定义，从而得到答案.
【详解】对于集合 x | x R, x 0 ，对任意的 a a> 0，都存在 x ，使得
2
0 < x 0 a < a，
2
所以 0 是集合 x | x R, x 0 的聚点，A 选项正确；
对于集合{x Z | x 0}，对于某个实数 a > 0，比如 a 0.5，
此时对任意的 x {x Z | x 0}，都有 x 0 1，
也就是说不可能0 <| x 0 |< 0.5，从而 0 不是集合{x Z | x 0}的聚点，B 选项错误；
ì 1
对于集合 íx x , n N*
ü a 1 1 ，对任意的 > 0，都存在 x n > ，即 < a ，
n a n
1
0 < x 0 1 < a ìx x , n N* ü使 ，所以 0 是集合 í 的聚点，C 选项正确； n n
ì n * ü n 1 n
对于集合 íx x ,n N ， 1 ， 随着 n 增大而增大，
n +1 n +1 n +1 n +1
n 1 1 1
的最小值为 ，故当 a < 时，即不存在 x，使得0 < x 0 < a ，D 选项错
n +1 1+1 2 2
误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定
义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关
键，着重考查推理与论证能力.
7．下列说法正确的是（ ）
M ìx x π kπ , k Zü N ìx x π kπ ,k ZüA．已知集合 í + ， í + ，则M N
4 2 2 4
B．终边落在 y 轴上的角的集合可表示为 a a 90° + kπ,k Z
ì π 5π
C．若 sin x cos x > 0 ，则 x íx + 2kπ < x < + 2kπ,k Z
ü
4 4
D．在VABC 中，若 sin 2A sin 2B ，则VABC 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】根据集合M ， N 表示终所在的位置，即可判断 A；根据角度与弧度不能混用
即可判断 B；根据辅助角公式结合正弦函数的性质即可判断 C；由题意可得 2A 2B或
2A + 2B π，即可判断 D.
【详解】集合M 表示终边落在直线 y ±x上角的集合，
集合 N 表示终边落在直线 y ±x及坐标轴上角的集合，因此 A 正确；
B 选项出现角度与弧度混用错误；
C sin x cos x 0 2 sin 选项， > 即 x
π

π
÷ > 0

，即 sin x ÷ > 0，
è 4 è 4
所以 2kπ
π
< x < π + 2kπ π，解得 + 2kπ
5π
< x < + 2kπ, k Z，故 C 正确；
4 4 4
D 选项，若 sin 2A sin 2B ，
因为 A, B 0, π ，所以 2A, 2B 0,2π ，
π
所以 2A 2B或 2A + 2B π，所以 A B 或 A + B ，
2
所以VABC 为等腰三角形或直角三角形，故 D 错误．
故选：AC.
三、填空题
8．（23-24 高三下·上海·开学考试）已知集合 A x 2 < x 1 ，集合
B x 2a 1 x a +1 ，若 A B ，则实数 a的取值范围为 .
【答案】 , 3 1,+
【分析】由题意分集合 B 是否为空集进行讨论，结合 A B ，列出相应的不等式
（组），从而即可得解.
【详解】集合 A x 2 < x 1 ，集合B x 2a 1 x a +1 ，且 A B ，
若B ，则 2a 1 > a +1，即 a > 2，此时满足 A B ，即 a > 2满足题意；
若B ，则 2a 1 a +1，即 a 2，此时若要使得 A B ，
则还需 2a 1 >1或 a +1 2，解得 a 3或 a > 1，
注意到此时 a 2，从而此时满足题意的 a的范围为 a 3或1< a 2；
综上所述，实数 a的取值范围为 , 3 1,+ .
故答案为： , 3 1,+ .
2p
9．（2024·四川遂宁· *二模）已知等差数列 an 的公差为 ，集合 S {x | x cos an , n N }3
有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两
个元素分析、推理作答.
【详解】 an a1 + n 1 d a
2π
1 + n 1 ，3
则 cos a cos
é
n êa
2π
1 + n 1
ù cos 2π n + a 2π
3 ú 3 1
，
è 3 ÷
2π
2π 3其周期为 ，而 n N* ，即 cos an 最多 3 个不同取值，
3
集合 S {x | x cos an ,n N
*}有且仅有两个元素，设 S {a,b}，
则在 cos an , cos an+1, cos an+2 中， cos an cos an+1 cos an+2 或 cos an cos an+1 cos an+2 ，
或 cos an cos an+2 cos an+1，又 cos an cos an+3 ，即 cos an+3 cos an+2 cos an+1，
所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为 cosq , cos
2π
q +

3 ÷
,
è
2π
于是有 cosq cos(q
2π
+ ) q + ，即有 q +

÷ 2kπ,k Z
π
，解得q kπ ,k Z ，
3 è 3 3
不相等的两项为 cosq , cos
q 4π+ ÷，
è 3
故 ab cos(kπ
π
) cos[(kπ π ) 4π+ ] π cos(kπ ) cos kπ cos2 kπ cos π 1 ， k Z .
3 3 3 3 3 2
1
故答案为： .
2
【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等
的两项之间隔一项，从而求得答案.
10．（23-24 高三上·江西·期末）定义：有限集合 A x x ai , i n, i N+ ,n N+ ，
S a1 + a2 +L+ an 则称S 为集合A 的“元素和”，记为 A .若集合
P x x i +1 2i , i n, i N+ ,n N+ ，集合 P 的所有非空子集分别为 P1， P2，…， Pk ，
则 P1 + P2 +L+ Pk .
【答案】 n × 4n
【分析】根据错位相减可得 P 中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为 2n 1 ，
因此 P1 + P2 +L+ Pk 2
n 1 Sn ，即可求解．
【详解】由题意知集合 P 中的元素分别为 2 21，3 22， 4 23，L， (n +1) ×2n ，
设 Sn 2 2
1 + 3 22 +L+ (n +1) × 2n ①，则 2S 2 22 3n + 3 2 +L + (n +1) × 2n+1 ②，
n
① ②，得 S 4 + (22 + 23 +L+ 2n ) (n 1) 2n+1 4 4 2 2+ × + (n +1) × 2n+1 n × 2n+1n ，所以1 2
S n × 2n+1n ．
由于集合 P 中每一个元素在子集中出现的次数为 2n 1 ，所以
| P1 | + | P2 | +L+ | P | 2
n 1 × S 2n 1 n+1k n × n × 2 n × 2
2n n × 4n ．
故答案为： n × 4n ．
四、解答题
11．设自然数 n 3，由 n个不同正整数 a1,a2 ,a3L,an 构成集合 S a1, a2 , a3L,an ，若
集合S 的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合PS ，记 card PS 为集合PS 元素的个
数
(1)已知集合 A {1,2,3,4}，集合B {1,2,4,8}，分别求解 card PA , card PB ．
(2)对于集合 S a1, a2 , a3L,an ，若 card PS 取得最大值，则称该集合S 为“极异集合”
①求 card PS 的最大值（无需证明）．
② S a , a , a L,a d a 2i 1已知集合 1 2 3 n 是极异集合，记 i i 求证：数列 dn 的前 n项和
Dn 0．
【答案】(1) card PA 10 , card PB 15；
(2)① 2n 1；②证明见解析
【分析】（1）根据 card PS 定义求出集合的子集个数即可得出结果；
（2）①根据元素个数可得集合 S a1, a2 , a3L,an 共有 2n 1个非空子集， card PS 的
最大值为 2n 1 ；
n
②根据极异集合的定义，利用等比数列前 n项和即可得只需证明 ai 2n 1，再由元
i 1
素互异性和元素的取值范围可得结论.
【详解】（1）已知集合 A {1,2,3,4}的非空子集有 15 个：
{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3}L{1,2,3,4}
计算可得PA {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，即 card PA 10 ．
集合B {1,2,4,8}的非空子集有 15 个：{1},{2},{4},{8},{1,2},{1,4}L{1,2,4,8}
计算可得PB {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}，即 card PB 15
（2）①集合 S a n n1, a2 , a3L,an 共有 2 1个非空子集， card PS 的最大值为 2 1
②Qd i 1i ai 2 ，
\Dn d1 + d2 + d3 +L+ dn a1 2
0 + a 212 +L+ an 2
n 1
n
a + a 0 1 n 11 2 +L+ an 2 + 2 +L+ 2 ai 2n 1 0
i 1
n
即证 ai 2n 1
i 1
不妨设 a1 < a2 < a3 a1,a2 ,a3L,an
Q集合S 是极异集合，\card PS 2n 1，代表有 2n 1个不同的正整数，
P ì
n
即 S ía1,L, a üi ，
i 1
所以PS 中有 2n 1个元素，由元素互异性可得
n
a a ni 1 + 2 2
i 1
n
Qa 1 a a + 2n 2 2n又 1 ，即可得 i 1 1，
i 1
因此数列 dn 的前 n项和Dn 0 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新的定义，并结合数列及其前 n项和性质进行
化简计算，并由集合元素的互异性得出结论.
12．（23-24 高三下·北京·阶段练习）设 k 是正整数，A 是 N* 的非空子集（至少有两个元
素），如果对于 A 中的任意两个元素 x，y，都有 | x y | k ，则称 A 具有性质 P(k ) ．
(1)试判断集合 B {1,2,3,4}和C {1,4,7,10}是否具有性质 P(2)？并说明理由．
(2)若 A a1,a2 , ,a12 {1,2, , 20}．证明：A 不可能具有性质 P(3) ．
(3)若 A {1,2, , 2023}且 A 具有性质P(4)和P(7)．求 A 中元素个数的最大值．
【答案】(1) B 不具有性质 P(2)，C 具有性质 P(2)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)920
【分析】（1）根据定义判断B,C 是否具有性质P 2 即可；
（2）将 1,2,L, 20 分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；
（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A ，由此可得集合 A 中元素个数不
超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A .
【详解】（1）因为B 1,2,3,4 ，又1 N* , 2 N* ,3 N* , 4 N*，
但 4 2 2，所以集合 B 不具有性质P 2 ，
因为C 1,4,7,10 ，又1 N* , 4 N* ,7 N* ,10 N*，
但 4 1 3, 7 1 6, 10 1 9, 7 4 3, 10 4 6, 10 7 3，
所以集合C 具有性质P 2 .
（2）将集合 1,2,L, 20 中的元素分为如下11个集合，
1,4 , 2,5 , 3,6 , 7,10 , 8,11 , 9,12 , 13,16 , 14,17 , 15,18 , 19 , 20 ，
所以从集合 1,2,L, 20 中取12个元素，则前9个集合至少要选 10 个元素，
所以必有 2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，
所以 A 不可能具有性质P 3 .
（3）先说明连续 11 项中集合A 中最多选取 5 项，
以1,2,3 × ××,11为例.
构造抽屉{1,8}，{2, 9}，{3,1 0} ，{4,11}，{5}，{6}，{7}.
① 5,6,7 同时选，因为具有性质P(4)和P(7)，
所以选 5 则不选1,9；选 6 则不选 2,10；选 7 则不选3,11；
则只剩 4,8 . 故1,2,3 × ××,11中属于集合A 的元素个数不超过 5 个.
② 5,6,7 选 2 个，
若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素，
3,8可以选，故1,2,3 × ××,11中属于集合A 的元素个数不超过 5 个.
若选5,7 ，则只能从 2,4,8,10 中选，但 4,8不能同时选，
故1,2,3 × ××,11中属于集合A 的元素个数不超过 5 个.
若选6,7 ，则 2,3,10,11,5不可选，又{1,8}只能选一个元素，
4,9 可以选，故1,2,3 × ××,11中属于集合A 的元素个数不超过 5 个.
③ 5,6,7 中只选 1 个，
又四个集合{1,8}，{2, 9}，{3,1 0} ，{4,11}每个集合至多选 1 个元素，
故1,2,3 × ××,11中属于集合A 的元素个数不超过 5 个.
由上述①②③可知，连续 11 项自然数中属于集合A 的元素至多只有 5 个，
如取1,4,6,7,9 .
因为 2023=183×11+10，则把每 11 个连续自然数分组，前 183 组每组至多选取 5 项；
从 2014 开始，最后 10 个数至多选取 5 项，故集合A 的元素最多有184 5 920个.
给出如下选取方法：从1,2,3 × ××,11中选取1,4,6,7,9；
然后在这 5 个数的基础上每次累加 11，构造 183 次.
此时集合A 的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20 ； 23,26,28,29,31； ××××××；
2014,2017,2019,2020,2022，共920个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合A 的元素最多有920个.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、
新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，
这样有助于对新定义的透彻理解.
13．（2024·北京·模拟预测）已知集合 A 1,2,3, , n *，其中 n N , A1, A2 ,L, Am 都是A
的子集且互不相同，记M i Ai 的元素个数， Nij Ai Aj 的元素个数
(i, j 1,2,L, m , i < j) .
(1)若 n 4, A1 1,2 , A2 1,3 , N13 N23 1，直接写出所有满足条件的集合 A3；
(2)若 n 5，且对任意1 i < j m，都有 Nij > 0，求m 的最大值；
(3)若n 7, M i 3 i 1,2,L,m 且对任意1 i < j m，都有 Nij 1，求m 的最大值.
【答案】(1) A3 {1}或 A3 {1,4}或 A3 {2,3}或 A3 {2,3,4}
(2) mmax 16
(3) mmax n
【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；
（2）将集合 A {1,2,3,4,5}的子集进行两两配对得到 16 组，写出选择A 的 16 个含有元
素 1 的子集即可得到mmax ；
（3）分 A1 ~ Am中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及 A1 ~ Am均为三元集合
讨论即可.
【详解】（1）因为 N13 N23 1，则 A1 A3 和 A2 I A3的元素个数均为 1，
又因为 n 4, A1 1,2 , A2 1,3 ，则 A 1,2,3,4 ，
若 A1 A3 1 ， A2 A3 1 ，则 A3 {1}或 A3 {1,4}；
若 A1 A3 2 ， A2 A3 3 ，则 A3 {2,3}或 A3 {2,3,4}；
综上 A3 {1}或 A3 {1,4}或 A3 {2,3}或 A3 {2,3,4} .
（2）集合 A {1,2,3,4,5}共有 32 个不同的子集，
将其两两配对成 16 组Bi ,Ci (i 1,2,L,16)，
使得Bi Ci , Bi Ci A，则Bi ,Ci 不能同时被选中为子集 Aj ( j 1,2,L,m) ，故
m 16 .
选择A 的 16 个含有元素 1 的子集: A1 {1}, A2 {1,2}, A3 {1,3}, A16 A，符合题意.
综上，mmax 16 .
（3）结论: mmax n，令 A1 {1}, A2 {1,2}, A3 {1,3},L, An {1, n}，集合 A1 ~ An 符合题
意.
证明如下：
①若 A1 ~ Am中有一元集合，不妨设 A1 {1}，则其它子集中都有元素 1，且元素 2 ~ n都
至多属于 1 个子集，
所以除 A1外的子集至多有 n 1个，故m n .
②若 A1 ~ Am中没有一元集合，但有二元集合，不妨设 A1 {1,2} .其它子集分两类:
B j 1,b j 或 1,b j ,b j ( j 1,2,L, s)，和C j 2,c j 或 2,c j ,c j ( j 1,2,L, t) ，
其中 s t,b j ,b j 互不相同， c j ,c j 互不相同且均不为 1，2.
若 t 0，则 s n 2，有m 1+ s + t n 1 < n
若 t 1，则由 B j C1 1得每个集合 Bj 中都恰包含C1中的 1 个元素（不是 2)，且互不
相同，
因为C1中除 2 外至多还有 2 个元素，所以 s 2 .
所以m 1+ s + t 1+ 2 + 2 < n .
③若 A1 ~ Am均为三元集合，不妨设 A1 {1,2,3} .将其它子集分为三类：
B j 1,b j ,b j ( j 1,2,L, s),C j 2,c j ,c j ( j 1,2,L, t), D j 3,d j ,d j ( j 1,2,L, r) ，其
中 s t r .
s n 3若 t r 0，则 (除 1，2，3 外，其它元素两个一组与 1 构成集合B1 ~ Bs )，2
所以m 1+ s 1
n 3
+ < n .
2
若 t 1，不妨设C1 {2,4,5}，则由 B j C1 1得每个集合 Bj 中都或者有 4、或者有 5，
又B1, B2 ,L, Bs 中除 1 外无其它公共元素，所以 s 2 .
所以m 1+ s + t + r 1+ 2 + 2 + 2 7 n .
综上，mmax n .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对 A1 ~ Am中集
合元素个数进行分类讨论；当 A1 ~ Am均为三元集合时，不妨设 A1 {1,2,3}，再将其它
子集分为三类讨论.考点 01 集合（4 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间
的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集
合语言描述不同的具体问题，能使用 Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算．
【知识点】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N*(或 N＋)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中____________都是集合 B 中的元
素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作________(或 B A)．
(2)真子集：如果集合 A B，但存在元素 x∈B，且________，就称集合 A 是集合 B 的真
子集，记作________(或 B A)．
(3)相等：若 A B，且________，则 A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是________________的子集，是
________________________的真子集．
3．集合的基本运算
表示
集合语言 图形语言 记法
运算 　
并集
交集
补集
常用结论
1．若集合 A 有 n(n≥1)个元素，则集合 A 有 2n个子集，2n－1 个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
【核心题型】
题型一　集合的含义与表示
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；
三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例 1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．M 1,3 ， N 3, 1 B．M 1,3 ， N 3, 1
C．M x, y | y x2 + 3x 2， N x | y x + 3x D．M 0 ， N 0
【变式 1】已知集合{a,b,c} { 1,0,1}，若下列三个关系有且只有一个正确：① a 1；
② b = -1；③ c 0，则a2023 2b + 4c （ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【变式 2】（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知 A x x2 ax +1 0 ，若2 A，且
3 A，则 a的取值范围是（ ）
é5 ,10 A B
5 10 ù 5 10
． ê ÷ ． , ú C
é
．
2 3 è 2 3 ê
,+ ÷ D． ,
2 è 3 ÷
2
【变式 3】（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合 A x ex 2x 1 ，
B 1,0,1 ，则集合 A B 的非空子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
题型二　集合间的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成
漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进
而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
【例 2】在集合 A 1,1,2,3,4,5,6 的子集中，含有 3 个元素的子集的个数为 .
【变式 1】（2024·海南· 2模拟预测）已知集合 A 1,2,4 , B a,a ，若 AI B B ，则
a .
【变式 2】集合 A { 3,m} B m2， + 4m, 1 ，且 A B ，则实数m ．
【变式 3】若集合 A x ax2 ax +1< 0 ，则实数 a 的值的集合为 ．
题型三　集合的基本运算
命题点 1　集合的运算
ì π 2π ü
【例 3】（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知集合 A íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z ，
6 3
B ìx kπ π π ü集合 í + < x < kπ + ,k Z ，则 AI B （4 3 ）

A． 2kπ
π π
+ , 2kπ + π π
4 3 ÷
， k Z B． kπ + , kπ +4 3 ÷，
k Z
è è

C． 2kπ
π π π
+ , 2kπ + ÷， k Z D． kπ + , kπ
π
+ ， k Z
è 6 3 ÷ è 6 3
【变式 1】（2024·云南红河·二模）设集合 A 0,1,2 , B 3, m ，若 A B 2 ，则 A B
（ ）
A． 0,1, 2,3 B． 0,1,2 C． 1,2,3 D． 2,3
【变式 2】（23-24 高一上·陕西宝鸡·期中）已知
U {1,2,3,4,5,6,7}, A {2,4,5}, B {1,3,5,7},则 AI U B （ ）
A．{1,3,4} B．{3,4} C．{2,4,6} D．{2,4}
命题点 2　利用集合的运算求参数的值(范围)
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用 Venn 图表示；如果集
合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例 4】（2024·四川凉山·二模）已知集合 A y y x +1, 1 x 1 ，B x x a ，若
A B B ，则 a的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 2, + C． , 2 D． ,1
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 A 5, 1,1,5 ，B x a < x < a + 3 ，若
A B 中有 2 个元素，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 2, 1 B． 2, 1 C． 2,2 D． 5, 1
【变式 2】．已知集合 A x 3 < 2x +1 < 7 ，B x x < 4或 x > 2 ，
C x 3a 2 < x < a +1 ．
(1)求 AI R B ；
(2)若“ p : x R AU B ”是“ q : x C ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
题型四　集合的新定义问题
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给
定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
ì1, x A
【例 5】（23-24 高三下·上海·阶段练习）对于全集 R 的子集 A，定义函数 fA x í
0, x A
为 A 的特征函数．设 A，B 为全集 R 的子集，下列结论中错误的是（ ）
A．若 A B ，则 fA x fB x B． fA (x) 1 fA (x)
C． fA B (x) fA (x) × fB (x) D． fA B (x) fA (x) + fB (x)
ì 0, x 0
ì 3 ü
【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义 sgn x í x , x 0 ，若集合 A íy | y sgn xi ， x i 1
则 A 中元素的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式 2】（2024·黑龙江·二模）已知集合 A 1,2 ，B 3,4 ，定义集合：
A* B x, y x A, y B ，则集合 A* B 的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
1+ a
【变式 3】已知实数集A 满足条件:若 a A，则 A，则集合A 中所有元素的乘积
1 a
为（ ）
A．1 B． 1 C．±1 D．与 a的取值有
关
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1 与 1 表示同一个集合
B．由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或{3,2,1}
C．方程 x 1 2 x 2 0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}
D．集合 x | 4 < x < 5 可以用列举法表示
2．（2024·福建厦门·二模）设集合 A 1,0,1 ，B x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i 1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
3．集合M {x N∣0 < x < 3}的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
4．（2024·浙江·模拟预测）已知全集
U 1,2,3,4,5 , M I U N 1,2 , U M I N 4 , U M U N 3 ，则M N （ ）
A． B． 4 C． 5 D． 1,2
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）设 A1， A2，× × × ， An n 4 为集合 S 1,2, × × ×, n 的 n个不同子
ì0, i Aj
集，为了表示这些子集，作 n行 n列的数阵，规定第 i行第 j 列的数为 aij í ．则
1, i Aj
下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是 0，当且仅当 A1
B．数阵中第 n列的数全是 1，当且仅当 An S
C．数阵中第 j 行的数字和表明集合 Aj 含有几个元素
D．数阵中所有的 n2 个数字之和不超过 n2 n +1
6．（2024 高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪，直到 1872
年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴
德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的
时代，也结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将
有理数集Q划分为两个非空的子集 M 与 N，且满足M N Q，M N ，M 中的
每一个元素小于 N 中的每一个元素，则称 (M , N )为戴德金分割．试判断下列选项中，
可能成立的是（ ）
A．M x x < 0 ， N x x > 0 是一个戴德金分割
B．M 没有最大元素，N 有一个最小元素
C．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素
D．M 没有最大元素，N 也没有最小元素
三、填空题
7．已知集合 A 1, 2 , B 1, a,3 ，且 A B ，则a ．
四、解答题
8．已知集合 A U ，B U ，全集U 1,2,3,4,5,6 ，且 U A 1,3,4 ，B 3,5,6
(1)求集合A ；
(2)求 A B .
9．已知集合 A 1,4 ，B 1,4,5,6 .
(1)求 A B 及 A B ；
(2)求 BA.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国· 2专题练习）已知集合 A x x 4x 5 0 , B x a 3 < x < a + 4 ，
若 A U B R，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a a >1 B． a 1< a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
2．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合
A 2,0 , B x x2 2x 0 ，则 U A B （ ）
A． 1,1,2 B． 1,0,1 C． 1 D． 1,1
3．（23-24 高三下·湖北·阶段练习）已知集合 A {1,2}，B {0,2}，若定义集合运算：
A* B z z xy, x A, y B ，则集合 A* B 的所有元素之和为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合U Z， A x x 2k +1, k Z ，
B x x 4k + 2,k Z ，则 x x 4k, k Z （ ）
A． U A B B． U AU B C． U AI B D． U A B
ì x 3
5．设全集U R ，集合 Aíx 0
ü
x + 2
．集合B x lnx 1 ，则 AI U B （ ）

A． e,3 B． e,3 C． 2,e D． 2,e
ì x +1 ü
6．（2024· · 2陕西咸阳 二模）已知集合 A íx 0 ， B x y log5 x 2 x 16 ，则
A R B （ ）
A． 1,4 B． 1,4 C． 1,5 D． 4,5
7．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 a S ，则当且仅当 a m + n
（其中正整数m 、 n S 且m n）或 a p + q （其中正整数 p 、 q S 且 p q）．现有
*
如下两个命题：① 5 S ；②集合 x x 3n, n N S ．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
8 4
x
．已知函数 f x ， y xx 为高斯函数，表示不超过实数 x 的最大整数，例如4 + 2
0.5 1， 1.3 1.记 A ì ü 2, 1,0,1 ， B íy y éê f x
1
ù + éú ê f 1
1
x ùú , x R ，
2 2
则集合A ， B 的关系是（ ）
A． A B 2 B． AI B 1,0,1
C． A B 1,0 D． AI B 0,1
二、多选题
9．若全集U 1,2,3,4,5,6 ，M 1,4 ， N 2,3 ，则集合 5,6 等于（ ）
A． U M U U N B． U M U N C． U M N D． U N M
12
10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 A {x | N, x N}, B {x | x2 6x < 7}，则
x +1
（ ）
A． A B 1,2,3,5 B． A B 1,7 11
C．12 x y∣x A, y B D．$a A, y∣y lg x2 ax + 9 R
11．已知集合 A, B满足B x, y, z ∣x + y + z 11, x, y, z A ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 A 2,0,1,13 ，则 B 中的元素的个数为 1
B．若 A x∣x 2k +1, k N ，则 B 中的元素的个数为 15
C．若 A N+ ，则 B 中的元素的个数为 45
D．若 A N ，则 B 中的元素的个数为 78
三、填空题
12．已知集合M 2,0,2,4 ， N x x m ，若M N M ，则m 的最大值
为 ．
13．（2024· 2广东湛江·一模）已知全集U 为实数集R ，集合 A x x 4 ，
B x log2 x > 2 ，则 AU U B ．
14．（2024·辽宁·一模）已知集合M x | y 2x2 + 3x + 2 ， N {x N∣x > 2}，则
M ，M N .
四、解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且 A B，
求实数 a 的取值范围．
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝
A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求实数 a 的取值范围．
17 2．已知 a为实数，设集合 A x 2x + a x ．
(1)设集合B x lgx 0 ，若B A，求实数 a的取值范围．
(2)若集合 A R ，求实数 a的取值范围；
ì 1, x M18．对于集合M ，定义函数 fM x í1, x M ．对于两个集合M , N ，定义集合
M N x∣fM x × fN x 1 ．已知集合 A 1,3,5,7,9 , B 2,3,5,6,9 ．
(1)求 fA 1 与 fB 1 的值；
(2)用列举法写出集合 A B ；
(3)用Card M 表示有限集合M 所包含元素的个数．已知集合 X 是正整数集的子集，求
Card X A + Card X B 的最小值，并说明理由.
19．对于数集 X 1, x1, x2 ,× × ×, xn ，其中0 < x1 < x2 < ×× × < xn ， n 2，定义向量集
Y ar ar r r r r s, t , s X , t X ，若对任意 a1 Y ，存在 a2 Y ，使得 a1 ×a2 0 ，则称 X 具
有性质 P．
(1)设 X 1,1,2 ，请写出向量集 Y 并判断 X 是否具有性质 P（不需要证明）．
0 x 1
1
< < ì 1, x, ,1ü(2)若 ，且集合 í 具有性质 P，求 x 的值；2 2
x x x
(3) X 3 4 n若 具有性质 P，且 x2 q ，q 为常数且 q > 1 ，求证： ××× qx ．2 x3 xn 1
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·上海宝山·一模）已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 a S ，
则当且仅当 a m + n(其中m,n S 且m n)，或 a p + q(其中 p, q S , p,q Z*且
p q) .现有如下两个命题: ① 4∈S ；②集合 x x 3n + 5, n N S .则下列选项中正确
的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题.
2．已知函数 f x x2 2ax +1 a R ，若非空集合
A x∣f x 0 , B x∣f f x 1 ，满足 A B ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． é 1 2, 1ù B． é 2, 1ù C． é1, 2 ù D． é 1,1+ 2 ù
3．已知集合 A x Z x +1 0 ，B x 2 < x < 3 ，则 AI B （ ）
A． x Z x 1 B． x 1 x 3
C． 1,0,1,2,3 D． 1,0,1,2
4．（2024· · M x 2x 3 > 0 , N y y ex全国 模拟预测）已知集合 +1 ，则（ ）
A．M I N 1,
3 B
3 3
÷ ．M U N ,+

÷ C． N M 1, ÷ D．M N
è 2 è 2 è 2
5．（23-24 高三上·上海·期中）设 a R 且 a 0，n 为正整数，集合
S ì íx cos aπx x
ü
．有以下两个命题：①对任意 a，存在 n，使得集合 S 中至少有 2
n
2
个元素；②若存在两个 n，使得 S 中只有 1 个元素，则 a < ，那么（ ）
5
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
二、多选题
6．设集合 X 是实数集R 的子集，如果点 x0 R 满足：对任意 a > 0，都存在 x X ，使
得0 < x x0 < a ，称 x0 为集合 X 的聚点，则在下列集合中，以 0 为聚点的集合有（ ）
A． x | x R, x 0 B．{x Z | x 0}
ìx x 1 , n N* ü ìx x n üC *． í D． í ,n N
n n +1


7．下列说法正确的是（ ）
ì π kπ
A．已知集合M íx x + , k Z
ü ì π kπ
， N íx x + ,k Z
ü
，则M N
4 2 2 4
B．终边落在 y 轴上的角的集合可表示为 a a 90° + kπ,k Z
ì π
C．若 sin x cos x > 0 ，则 x íx + 2kπ x
5π 2kπ,k Zü< < +
4 4
D．在VABC 中，若 sin 2A sin 2B ，则VABC 为等腰三角形
三、填空题
8．（23-24 高三下·上海·开学考试）已知集合 A x 2 < x 1 ，集合
B x 2a 1 x a +1 ，若 A B ，则实数 a的取值范围为 .
2p
9．（2024·四川遂宁· *二模）已知等差数列 an 的公差为 ，集合 S {x | x cos an , n N }3
有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．
10．（23-24 高三上·江西·期末）定义：有限集合 A x x ai , i n, i N+ ,n N+ ，
S a1 + a2 +L+ an 则称S 为集合A 的“元素和”，记为 A .若集合
P x x i +1 2i , i n, i N+ ,n N+ ，集合 P 的所有非空子集分别为 P1， P2，…， Pk ，
则 P1 + P2 +L+ Pk .
四、解答题
11．设自然数 n 3，由 n个不同正整数 a1,a2 ,a3L,an 构成集合 S a1, a2 , a3L,an ，若
集合S 的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合PS ，记 card PS 为集合PS 元素的个
数
(1)已知集合 A {1,2,3,4}，集合B {1,2,4,8}，分别求解 card PA , card PB ．
(2)对于集合 S a1, a2 , a3L,an ，若 card PS 取得最大值，则称该集合S 为“极异集合”
①求 card PS 的最大值（无需证明）．
②已知集合 S a1, a2 , a3L,an i 1是极异集合，记 di ai 2 求证：数列 dn 的前 n项和
Dn 0．
12．（23-24 高三下·北京·阶段练习）设 k 是正整数，A 是 N* 的非空子集（至少有两个元
素），如果对于 A 中的任意两个元素 x，y，都有 | x y | k ，则称 A 具有性质 P(k ) ．
(1)试判断集合 B {1,2,3,4}和C {1,4,7,10}是否具有性质 P(2)？并说明理由．
(2)若 A a1,a2 , ,a12 {1,2, , 20}．证明：A 不可能具有性质 P(3) ．
(3)若 A {1,2, , 2023}且 A 具有性质P(4)和P(7)．求 A 中元素个数的最大值．
13．（2024· *北京·模拟预测）已知集合 A 1,2,3, , n ，其中 n N , A1, A2 ,L, Am 都是A
的子集且互不相同，记M i Ai 的元素个数， Nij Ai Aj 的元素个数
(i, j 1,2,L, m , i < j) .
(1)若 n 4, A1 1,2 , A2 1,3 , N13 N23 1，直接写出所有满足条件的集合 A3；
(2)若 n 5，且对任意1 i < j m，都有 Nij > 0，求m 的最大值；
(3)若n 7, M i 3 i 1,2,L,m 且对任意1 i < j m，都有 Nij 1，求m 的最大值.

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