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易错 03 函数及其性质（10 个易错点错因分析与分类讲解+6
个易错核心题型强化训练）
易错点错因分析与分类讲解
易错点 1 对复合函数定义域的理解不透彻致误
1.[江苏三校 2023 联考]已知函数 y = f (2x -1) [ 2,3] y f (x)的定义域是 - ，则 = 的定义域是（ ）
x + 2
A. -2,5 B. -2,3 C. -1,3 D. -2,5
特别提醒：
（1）已知 f (x) 的定义域为 a,b ，则 f g(x) 的定义域为 a g(x) b 的解集；
（2）已知 f g(x) 的定义域为 a,b ，则 f (x) 的定义域为 g(x)在 a,b 上的值域.
【解析】因为函数 y = f (2x -1)的定义域 -2,3 ，所以 -2 x 3，所以 -5 2x -1 5，所以函数
y = f (x) 的定义域为 -5,5
-5 x 5
要使 y f (x) ì= 有意义，则需要 í ，解得-2 < x 5 y
f (x)
，所以 = 的定义域是 -2,5 .故选
x + 2 x + 2 > 0 x + 2
D.
【答案】D
2. [江苏扬州高邮 2022调研]已知 g(x) = f 2x -1 +1，且 g(x)的定义域为 1,4 ，值域为 3, + ，设函
数 f (x) 的定义域为 A，值域为 B ，则 AI B = （ ）
A B. 4,7 é 5 ù C. 2,7 D. ê2, 2ú
特别提醒：
（1）已知 f (x) 的定义域为 a,b ，则 f (g(x)) 的定义域为不等式 a g(x) b 的解集；
（2）已知 f (g(x)) 的定义域为 a,b ，则 f (x) 的定义域为 g(x)在 a,b 上的值域.
【解析】因为 g(x) = f (2x -1) +1，且 g(x)的定义域为 1,4 ，值域为 3, + ，所以 f (2x -1)的定义域
为 1,4 ，值域为 2, + .由1< x 4得1< 2x -1 7 ，所以 f (x) 的定义域为 1,7 ，值域为 2, + ，则
A = 1,7 ， B = 2, + ，所以 AI B = 2,7 .故选C .
【答案】C
易错点 2 忽视函数定义域而致误
3.[重庆 2023 一诊]已知定义域为 (0, + )的减函数 f (x) 满足 f (xy) = f (x) + f (y) ，且 f (2) = -1，则不
等式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3的解集为 .
特别提醒：本题中 f (x) 的定义域 (0, + )，在解不等式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3时，要保证 x + 2 > 0且
x + 4 > 0.
【解析】因为 f (xy) = f (x) + f (y) 且 f (2) = -1，令 x = y = 2，则 f (4) = 2 f (2) = -2，令 x = 4 ，
y = 2 ， 则 f (8) = f (4) + f (2) = -3， 所 以 不 等 式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3 = f (8)， 即
ì x + 2 > 0

í x + 4 > 0 即，解得-2 < x < 0，所以不等式的解集 (-2,0)

f é x + 2 (x + 4) ù > f (8)
4.[安徽黄山 2022 一模]连续函数 f (x) 是定义在 (-1,1) 上的偶函数，当 x 0 时， xf (x) > 0.若
f (a +1) - f (2a) > 0，则 a 的取值范围是（ ）
A. 1 - ,1
1 1 1
3 ÷
B. - ,0÷ C. - ,1÷ D. - ,0è ÷è 2 è 2 è 3
特别提醒：本题中 f (x) 的定义域为（- 1, 1），在解不等式 f (a +1) - f (2a) > 0时，要保证-1 < a +1 <1且
-1 < 2a <1.
【解析】当 0 < x <1时，由 xf (x) > 0 得 f (x) > 0；当 -1 < x < 0时，由 xf (x) > 0 得 f (x) < 0 .所以函
数 f (x) 在（- 1, 0）上单调递减，在( 0, 1)上单调递增.由 f (a +1) - f (2a) > 0可得 f (a +1) > f (2a) ，所以
ì a +1 > 2a ,
1
í-1 < a +1 <1, 解得- < a < 0 .故选 D .
3
-1 < 2a <1,
【答案】 D
exf (x) -15.[河南中原顶级名校 2022联考]函数 = -1的零点个数为（ ）
1- x 2+1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
特别提醒：在本题中，若忽视定义域为 x 0 且 x -2 ，则得到的函数 f x 有 2个零点，因此在利用数形
结合判断函数零点时，将零点个数转化成两个函数图象交点的个数，需要注意一些特殊点（如定义域或端
点）和特殊位置（如直线与曲线的切点、曲线的间断点等）.
【 解 析 】 令 f x = 0， 则 ex -1 =1- (x +1)2 ， x 0且x -2 x. 令 y 1= e -1 x 0且x -2 ，
y 2 =1- (x +1)
2 x 0且x -2 ，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，易得这两个函数
的图象只有 1个交点，所以原函数只有 1个零点.故选 B .
易错点 3 忽视分段函数交界处的函数值的大小
ì(3a -1)x + 4a, x 1

6.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知 f (x) = í 1 满足对于任意实数 x1 x2 ，都有2 x-1

a + , x >1,
2
f x1 - f x2 < 0成立，则实数 a 的取值范围是 .
x1 - x2
特别提醒：本题中的函数 f (x) 在 x =1处是两端的交界，研究该函数在 R 上单调递减时，一定要保证当 x =1
2-1 1
时，第一段的函数值不小于第二段的函数值，即 (3a -1) + 4a a +
2
f (x ) - f (x )
【解析】因为对于任意实数 x1 x2 ，都有 1 2 < 0 成立，所以函数 f (x) 在 R 上单调递增，所以x1 - x2
ì
3a -1< 0,
0 1í < a <1, ，解得 a
1 é1 1< ，所有实数 a 的取值范围是 , .
4 3
÷
ê4 3
(3a -1) 1+ 4a a2-1 + ,
2
易错点 4 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误
ì 3a - 2 x + 3, x 1,
7.[吉林部分学校 2023 大联考]已知函数 f (x) = í a > 0且a 1 是 R 上的单调函数，
loga x + 5a, x >1,
则 a 的取值范围是（ ）
A. 0,
2
÷ U 1, +
1
B. 0, ÷ U 1, +
è 3 è 2
C. 2 ,1 ÷ U 1,+
1
D. ,1

÷ U 1,+
è 3 è 2
特别提醒：分段函数在定义域内是单调函数，不仅需要限制每段内是单调性相同的单调函数，还需要限制
交界处函数值的大小.本题中的分段函数 f (x) 在 x =1处是两段的交界，当 f (x) 在 R 上单调递增时，需限
制3a - 2 + 3 loga 1+ 5a ，当 f (x) 在 R 上单调递减时，需限制3a - 2 + 3 loga 1+ 5a .
ì(3a - 2)x + 3, x 1，
【解析】 f (x) = í (a > 0且a 1)是 R 上单调递增，
loga x + 5a, x >1
若 f (x) 在 R 上单调递增，
ì 3a - 2 > 0,

则 í a
1
>1, 解得0 < a
2
3a - 2 + 3 loga 1+ 5a,
1 ù
综上， a 的取值范围是 0, ú U 1, + .故选 B .è 2
【答案】B
易错点 5 对数型复合函数的定义域为 R 和值域为 R 理解不透彻致误
8.[河北“五个一”名校 2023 联考]已知函数 f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的值域为 R ，那么 a 的取值范围
是 .
特别提醒：（1）若 f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的定义域为 R ，当 a = 0 时不符合题意，当 a 0 时需 a > 0 且
D < 0；
2
（2）若 f (x) = lg(ax - 6x + 5)的值域为 R ，当 a = 0 时符合题意，当 a 0 时需 a > 0 且D 0
【解析】令m(x) = ax2 - 6x + 5 的值域为 A，若 f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的值域为 R ，则 0, + A，若
a = 0 ，则m(x) = -6x + 5, A = R ，符合题意；
ì a > 0,
若 a 9 0 ，则当 í 即0 < a 时， 0, + A，符合题意.
D = (-6)
2 - 4a 5 0, 5
9 é 9ù
综上, 0 < a ,所以 a 的取值范围是 ê0, .5 5ú
易错点 6 函数的图象画的不准确而致误
ì 3x+1 -1 , x 0,
9.[河北 2023联考]已知函数 f (x) = í
ln x, x > 0.
若函数 g(x) = f (x) - a 有 3个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A. 0, 1 B. 0, 2 C. （2， + ） D. （1， + ）
特别提醒：利用函数的图象解决问题时，需准确画出函数的图象，注意特殊点、渐近线的位置，否则可能
导致解题错误.本题中画函数 y = f (x) 的图象时，注意当 x < -1时， y = f (x) 单调递减，当 x - 时，
f (x) = 3x+1 -1 的图象与直线 y =1无限接近，忽略这点可能导致解题错误.
【解析】要使函数 g(x) = f (x) - a 有 3 个零点，则 f (x) = a 有 3 个不相等的实根，即 f (x) 的图象与直线
y = a有 3个交点.画出函数 y = f (x) 的图象与直线 y = a如图所示.
由图象可以看出，若 f (x) 的图象与直线 y = a有 3个交点，则 a 0, 1 ，故选 A .
【答案】 A
易错点 7 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误
10.[江苏常州一中 2023 调研]若函数 f (x) 的定义域为 R ， f (x -1)为奇函数， f (x +1)为偶函数，当
x -1,1 时， f (x) = -x2 +1，则下列结论错误的是（ ）
A. f (7) 3= - B. f x + 7 为奇函数
2 4
C. f (x)在 6, 8 上单调递增 D. 方程 f (x) + lg x = 0仅有7个实数根
特别提醒：本题的 D选项，确定方程 f (x) + lg x = 0的实数根的个数，即 y = f (x) 与 y = - lg x 的图象的交
点个数时，需画出两函数的图象，在画函数 y = - lg x 的图象时需要注意到，当 x =10 时， y = -1，而当
x >10 时， y < -1，所以当 x 10时， y = f (x) 与 y = - lg x 的图象无交点.本题的易错之处在于不能准确
把握 y = f (x) 与 y = - lg x 的图象的位置.
【解析】因为 f x -1 为奇函数，所以 f (x) 的图象关于点（-1，0）对称，- f (-x) = f x - 2 .因为 f x +1
为偶函数，所以 f (x) 的图象关于直线 x =1对称， f (-x) = f x + 2 ，则 f x + 2 = - f (x - 2)，
f (x + 6) = - f (x + 2) = f (x - 2) ，所以 f (x) 的周期为 8，结合题意，作出 f (x) 的图象，如图所示.
对于 A， f 7 = - f 1- 1 3 ÷ ÷ = - - +1

÷ = - ，故 A正确
è 2 è 2 è 4 4
对于 B ， f (x) 的图象关于点（-1，0）对称，周期为 8，则 f (x) 的图象关于点（7，0）对称，
则 f (x + 7)为奇函数，故 B 正确；
对于C ， f (x) 在（6，8）上单调递增，故C 正确；
对于 D ， f (x) + lg x = 0的实数根的个数即为 y = f (x) 与 y = - lg x 的图象的交点个数，如图，
由图可知 y = f (x) 与 y = - lg x 的图象有 6 个交点，所以方程 f (x) + lg x = 0有 6 个实数根，
故 D 错误.
【答案】D
易错点 8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误
1 x
11.[江苏南京师大附中 2022开学考改编]当0 < x 时， 4 loga x，则 a 的取值范围是 .2
特别提醒：若对数函数的底数中含有参数，则要注意按照底数大于 1 和底数大于 0 小于 1 两种情况讨论，
以免漏解，同时需要注意对数函数的真数要大于 0.
x
【解析】分别记函数 f (x) = 4 ， g(x) = loga x .
当 a >1时，作出 f (x) 和 g(x)的大致图像，
如图①所示，由图①知，当 a >1时，不满足题意.
当0 < a <1时，作出 f (x) 和 g(x)的大致图像，如图②所示，
0 1 1 1< x 4x log x f g
1 1
要使当 时，不等式 a 恒成立，只需满足2 2 ÷ ÷
，即 42 loga ，即
è è 2 2
2 log 1 2a ，解得 a <12 2
易错点 9 对数型复合函数单调性判断不清致误
x 2
12.[四川泸州江阳区 2022期末]若函数 y = f (x) 与 y = 5 互为反函数，则 y = f x - 2x 的单调递减区间
是 .
特别提醒：一般地，若 a >1，则函数 y = loga f (x)的单调性与函数 y = f (x) 的单调性相同，若0 < a <1，
则函数 y = loga f (x)的单调性与函数 y = f (x) 的单调性相反.
【解析】因为 y = f (x) 与 y = 5x 互为反函数，所以 f (x) = log x 25 ，则 f x - 2x = log5 x2 - 2x .设
m = x2 - 2x ，则 f (m) = log5 m x
2
，由 - 2x > 0，解得 x < 0 或 x > 2 ，因为 f (m) = log5 m 在其定义域
m = x2上单调递增，又 - 2x 在 - ,0 2上单调递减，在 2, + 上单调递增，所以 y = f x - 2x 的单调
递减区间是 - ,0
易错点 10 忽视函数图象端点的取值致错
ì ln x, x > 0, 2
13.[陕西安康 2022期末]已知函数 y = f (x) í ，若函数 y = f x + mf (x) +1有
-x
2 - 4x - 3, x 0,
6个零点，则 m 的取值范围是（ ）
A. -2,
10 10ù
÷ B.3
-2,
è è 3 ú
C. 10 2, ÷ D. 2,
10ù
è 3 è 3 ú
特别提醒：在本题中，若忽视当 x = 0 时， f (x) = -3则得到 g(t) = 0在 (-3,1)上有个不同的实数根，会得
到 2 3< m < .故解答此类问题，既要注意最值，也要注意端点值，有时需要着重检验断点的取值是否符合
10
题意
【解析】设 t = f (x) ，则 y = g(t) = t 2 + mt +1，作出函数 f (x) 的大致图象，如图所示.
则函数 y = ( f (x))2 + fm(x) +1有 6 个零点等价于方程 g(t) = 0在上有 2 个不同的实数根，则
ìm2 - 4 > 0
g(-3) = 9 - 3m +1 0

íg(1) =1+ m +1 > 0

m-3 < - <1
2
解得 2 < m 10 ，故选 D
3
【易错核心题型强化训练】
一．函数的图象与图象的变换（共 2 小题）
1．（2024 长安区校级一模）函数 f (x) = (1 2- x )sin x 的图象的大致形状是 (　　 )1+ e
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性以及极限思想进行判断即可．
f (x) 1+ e
x - 2 x
【解答】解： = x × sin x
e -1
= × sin x ，
1+ e ex +1
- x
f ( x) e -1 sin( x) 1- e
x ex -1
则 - = - x × - = x (-sin x) = x × sin x = f (x) ，e +1 1+ e e +1
则函数 f (x) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除C ， D ，
当 x > 0 ，且 x 0， f (x) > 0 ，排除 B ，
故选： A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想进行排除是解决本题的关键．
2
2 2024 y x -1．（ 临渭区三模）下列可能是函数 = 的图象的是 (　　 )
e|x|
A． B．
C． D．
【分析】根据函数定义域和特殊值可排除 ABD ．
【解答】解：函数定义域为 R ，排除选项 AB ，当 x > 1时， y > 0 ，排除选项 D ，
故选：C ．
【点评】本题考查函数的识图问题，注意利用函数的奇偶性、定义域进行筛选，特殊值验证法的应用，属
于中档题．
二．函数的最值及其几何意义（共 2 小题）
3．（2024 天心区校级模拟）已知函数 f (x) = lg(x2 41- x + ) ，则 (　　 )
4
A． f (x) 的最小值为 1 B．$x R， f （1） + f (x) = 2
C． f (log 2) f (2> ) D 1． f (90.1 - ) > f (30.18 19 - )3 2 2
【分析】根据对数函数的单调性即可求解 AB ，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD．
【解答】解： f (x) = lg[(x 1- )2 1+10]…lg10 = 1，当且仅当 x = 时， f (x) 取得最小值 1， A正确；
2 2
x 1因为当且仅当 = 时， f (x) 取得最小值，且最小值为 1，所以 f （1） > 1，所以 f （1） + f (x) > 2 ， B 错
2
误；
0 log 2 lg2 lg2 1 | log 2 1 1 2 1 1 1 1因为 < 9 = < = ，所以 9 - |> ，又 | - |= ，且 f (x) 在 (- , ) 上单调递减，在 ( ,+ )lg9 lg8 3 2 6 3 2 6 2 2
f (log 2) f (2上单调递增，所以 9 > ) ，C 正确；3
因为90.1 = 30.2 > 30.18 > 1，所以90.1 1 1 1- > 30.18 - > ，所以 D 正确．
2 2 2
故选： ACD ．
【点评】本题考查对数型函数的单调性判断、最值的求法及其应用，属于中档题．
4．（2024 庄浪县校级一模）设 f (x) = loga (1+ x) + loga (3 - x)(a > 0 ， a 1) ，且 f （1） = 2．
（1）求 a的值及 f (x) 的定义域．
（2 3）求 f (x) 在区间[0 ， ]上的最大值．
2
【分析】（1）由 f （1） = 2，求出 a的值，由对数的真数大于 0，求得 x 的取值范围，即得定义域；
（2 3）化简 f (x) ，考查 f (x) 在区间[0 ， ]上的单调性，求出最大值．
2
【解答】解：（1）Q f (x) = loga (1+ x) + loga (3 - x)(a > 0， a 1) ，
\ f （1） = loga 2 + loga 2 = 2loga 2 = 2 ，
\a = 2 ；
\ f (x) = log2 (1+ x) + log2 (3 - x) ，
ì1+ x > 0
\ í ，
3 - x > 0
解得 -1 < x < 3；
\ f (x)的定义域是 (-1,3)．
（2）Q f (x) = log (1+ x) + log (3 - x) = log (1+ x)(3 - x) = log [-(x -1)22 2 2 2 + 4]，
且 x (-1,3) ；
\当 x = 1时， f (x) 在区间[0 3， ]上取得最大值，是 log2 4 = 2．2
【点评】本题考查了求函数的定义域和在闭区间上的最值问题，解题时应根据函数的解析式，求出定义域，
根据定义域求出最值，是基础题．
三．函数奇偶性的性质与判断（共 2 小题）
5 2024 f (x) (x +1)(x + a)．（ 安宁区校级模拟）设函数 = 为奇函数，则实数 a的值为 (　　 )
x
A．0 B．1 C． -1 D．2
【分析】法一：由函数 f (x) 为奇函数，根据奇函数的性质得到 f (-x) = - f (x) ，分别代入列出关于 a的方程，
即可求出 a的值．
法二：由奇函数的性质可知， g(x) = (x +1)(x + a) = x2 + (a +1)x + a 为偶函数，根据偶函数的性质可知，函数
的对称轴 x = 0 可求 a
【解答】解：由题意可得， x 0， f (-x) = - f (x) ，
(-x +1)(-x + a) (x +1)(x + a)
\ = - ，
-x x
整理可得， 2(a +1)x = 0对任意 x 0都成立，
\a +1 = 0 ，
\a = -1，
故答案为： -1．
法二：Q y (x +1)(x + a)= 是奇函数，
x
由奇函数的性质可知， g(x) = (x +1)(x + a) = x2 + (a +1)x + a 为偶函数，
根据偶函数的性质可知，函数的对称轴 x = -(a +1) = 0 ，
\a = -1，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，当函数为偶函数时有 f (-x) = f (x) ；当函数为奇函数时有
f (-x) = - f (x) ，熟练掌握此性质是解本题的关键
6．（2024 涪陵区校级模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x +1)为奇函数， f (x + 2)为偶函数，则 (　　 )
A．4 为 f (x) 的一个周期
B． f (211) = 0
C．由 f (0) + f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 2可知， f （2） = 2
D．函数 y = f (x) + lg | x |的所有零点之和为 0
【分析】根据已知条件得到 f (x) 的对称性、周期性，进而画出草图逐项判断即可．
【解答】解：因为函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x +1)为奇函数， f (x + 2)为偶函数，
所以 f (x) 的图象关于 (1,0) 对称，关于 x = 2对称，
即 f (2 - x) + f (x) = 0 ， f (2 - x) = f (2 + x) ，
所以 f (2 + x) = - f (x) ， f (4 + x) = f (x) ，即函数的周期T = 4， A正确；
根据题意，画出 f (x) 可能的两个周期内的图象：
由 f (x +1)为奇函数，所以 f （1） = 0， f （3） = 0，所以 f (211) = f (4 52 + 3) = f （3） = 0， B 正确；
若 f (0) + f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 2，结合 f (0) = - f （2） = f （4）， f （1） = f （3） = 0，
所以 f （4） = 2， f （2） = -2，所以C 错误；
y = f (x) + lg | x |的所有零点，即为 y = f (x) 与 y = -lg | x |图象交点的横坐标，这两个函数都是偶函数，
所以它们的交点也是关于 (0,0) 对称成对出现，所以所有零点之和为 0， D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题考查函数的零点、方程的根以及两函数图象交点间的关系，属于中档题．
四．抽象函数及其应用（共 17 小题）
7．（2024 山东模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，若 f (-x) = - f (x) ， f (1+ x) = f (1- x) ，则 f (2024) = ( 　　
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据 f (-x) = - f (x) 得出 f (x) 为奇函数，且 f (0) = 0；根据 f (1+ x) = f (1- x) ，得出 f (x) 的图象关
于 x = 1对称，从而得出 f (x) 的周期为 4，计算 f (2024) 即可．
【解答】解：因为 f (x) 的定义域为 R ，且 f (-x) = - f (x) ，所以 f (x) 为奇函数，所以 f (0) = 0；
又因为 f (1+ x) = f (1- x) ，所以 f (x) 的图象关于 x = 1对称，所以 f (-x) = f (2 + x) ；
所以 f (2 + x) = - f (x) ，所以 f (4 + x) = - f (2 + x) = f (x) ，所以 f (x) 的周期为 4，
所以 f (2024) = f (506 4) = f (0) = 0．
故选： A．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与对称性应用问题，是基础题．
8．（2024 安徽模拟）若定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 2 f (x + y) f (x - y) = f (2x) + f (2y) ，且 f （1） = -1，
则 f (0) + f （1） + f （2） + + f (2024) = ( 　　 )
A．0 B． -1 C．2 D．1
1 1
【分析】利用赋值法，先后求出 f (0) = 1， f ( ) = 0，再令 y = x - ，得到 f (x) + f (x -1) = 0 ，则问题可解．
2 2
【解答】解：由 2 f (x + y) f (x - y) = f (2x) + f (2y) ，且 f （1） = -1，
令 x = y 1= ，可得 2 f （1） f (0) = f （1） + f （1），所以 f (0) = 1，
2
x 1 1再令 = ， y = 0 ，所以 2 f ( ) f (1) = f (1) + f (0) = -1+1 = 0 ，可得 f (1) = 0，
2 2 2 2
y x 1 1 1再令 = - ，可得 2 f (2x - ) f ( ) = f (2x) + f (2x -1) ，
2 2 2
1
由 f ( ) = 0得 f (2x) + f (2x -1) = 0 ，即 f (x) + f (x -1) = 0 ，
2
所以 f (0) + f （1） + f （2） +L+ f (2024)
= f (0) + [ f （1） + f （2） ] + × × × + [ f (2023) + f (2024)] = 1+1012 0 = 1．
故选： D ．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性以及赋值法的应用，属于中档题．
9 1．（2024 遵义二模）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (1) = ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y) ，则
2
下列结论正确的是 (　　 )
A． f (0) = 0 B． f (x) 的周期为 4
C f (2x 1． -1)关于 x = 对称 D． f (x) 在 (0,+ )单调递减
2
1 p
【分析】根据给的抽象函数的性质，构造特殊函数 f (x) = cos ax ，结合 f (1) = ，可取 a = ，然后利用函
2 3
f (x) p数 = cos x ，逐项判断即可．
3
【解答】解：因为 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y) 符合余弦函数模型，所以令 f (x) = cos ax ，
因为 f (1) 1= ，所以代入可得 a p= + 2kp 或 a p= - + 2kp (k Z )，
2 3 3
p p
取 a = ，即 f (x) = cos x 进行验证，
3 3
对于 A， f (0) = cos0 = 1，故 A错误；
对于 B 2p， f (x) = cos p x ， f (x) 的周期为 = 6p ，故 B 错误；3
3
C f (2x 1) cos(2p x p 1对于 ， - = - ) ，此时 f (2 -1) = cos0 = 1 1，取得最大值，故 x = 为对称轴，C 正确；
3 3 2 2
对于 D ，因为 f (x) 是周期函数，故 f (x) 在 (0,+ )不可能单调递减， D 错误．
故选：C ．
【点评】本题考查抽象函数的性质，余弦函数的性质及应用，属于中档题．
10．（2024 鄠邑区三模）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的图象关于
点 (2,1)对称，且 f (0) = 0，则 f （1） + f （2） + + f (50) = ( 　　 )
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【分析】根据 f (2x - 3) 的图象关于点 (2,1)对称，判断 f (x) 的图象关于点 (1,1)对称，由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，
得出 g(x) 的图象关于直线 x = 2对称，且 g(x) 的图象关于点 (1,-1)对称，判断 g(x) 是周期函数，由此求解即
可．
【解答】解：因为 f (2x - 3) 的图象关于点 (2,1)对称，
所以 f (2x - 3) + f (2(4 - x) - 3) = 2 ，即 f (2x - 3) + f (5 - 2x) = 2 ，
用 x 代替 2x ，得 f (x - 3) + f (5 - x) = 2 ，
即 f (x - 3) = - f (5 - x) + 2 ，
所以 f (x) 的图象关于点 (1,1)对称．
所以 f (1+ x) + f (1- x) = 2，
由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，可得 f (2 + x) - 2x = f (2 - x) + 2x，
即 f (2 + x) - 2(2 + x) = f (2 - x) - 2(2 - x) ．
令 g(x) = f (x) - 2x，则 g(2 + x) = g(2 - x)，
则 g(x) 的图象关于直线 x = 2对称．
又因为 g(1+ x) + g(1- x) = f (1+ x) - 2(1+ x) + f (1- x) - 2(1- x) = f (1+ x) + f (1- x) - 4 = 2 - 4 = -2 ，
则 g(x) 的图象关于点 (1,-1)对称，
即 g(1+ x) + g(1- x) = -2， g(2 + x) + g(-x) = -2，
又 g(2 + x) = g(2 - x)，
所以 g(2 - x) + g(-x) = -2，
即 g(2 + x) + g(x) = -2，
g(4 + x) + g(x + 2) = -2，
所以 g(x + 4) = g(x)，
故 g(x) 是以 4 为周期的函数，
因为 g(0) = f (0) - 2 0 = 0 ， g （1） = -1， g （2） = -2 - g(0) = -2， g （3） = g （1） = -1，
所以 g(0) + g （1） +g （2） +g （3） = -4，即 g （1） +g （2） +g （3） +g （4） = -4，
所以 f （1） + f （2） +L+ f (50) = g （1） +g （2） +L+ g(50) + 2(1+ 2 +L+ 50)
= -4 12 -1- 2 + 2550 = 2499．
故选： D ．
【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，属于难题．
11．（2024 保定二模）已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) ，则 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (-1) = -1
C． f (x) 是奇函数
D．存在函数 f (x) 以及 x0 ，使得 f (x0 ) 的值为 4e
2
【分析】根据题意，利用赋值法对选项逐一分析，即可判断 A， B ，C ， D ．
【解答】解，对于 A，由 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) ，取 x = y = 0 ，得 f (0) = 0，选项 A正确．
对于 B ，令 x = y = 1，得 f （1） = 2 f （1），解得 f （1） = 0．
令 x = y = -1，得 f （1） = -2 f (-1) = 0 ，
所以 f (-1) = 0，选项 B 错误．
对于C ，令 y = -1，得 f (-x) = - f (x) + x3 f (-1) = - f (x)，
所以 f (x) 是奇函数，选项C 正确．
对于 D ，当 xy 0 时，在 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) 两边同时除以 x3 y3 ，
f (xy) f (x) f (y)
得 3 3 =x y x3
+ 3 ，y
f (x) ìx3ln x , x 0
令 3 = ln | x |，则 f (x) = ，x í 0, x = 0
当 x > 0 时， f (x) = x3lnx ，
所以 f (x) = x2 × (3lnx +1)，
所以 f （e） = e2 (3lne +1) = 4e2 ，选项 D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12．（2024 泊头市模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 2 f (x) f (y) = f (x + y) ， f （1） = 1，则 (　　 )
A． f (0) 1=
2
B． f (x) 为偶函数
C． f (x + y) = f (x -1) f (y +1) + f (y -1) f (x +1)
23
D． f (i) = f (24)(i N * )
i=1
【分析】利用赋值法，求出 f (0) ，即可判断选项 A，求出 f （1）与 f (-1) ，即可判断选项 B ；
计算 f (x + y) 与 f (x -1) f (y +1) + f (y -1) f (x +1) 的值，判断选项C ；
判断 f （1）， f （2）， f （3），L， f (24) 是等比数列，求出首项和公比，求和即可判断选项 D ．
【解答】解：对于 A，令 x = 1， y = 0 ，得 2 f （1） f (0) = f （1），所以 f （1）[2 f (0) -1] = 0 ，
因为 f （1） = 1，所以 2 f (0) -1 = 0 ，解得 f (0) 1= ，选项 A正确；
2
对于 B ，令 x = 1， y 1= -1，得 2 f （1） f (-1) = f (0) ，所以 f (-1) = f (1) ，选项 B 错误；
4
对 于 C ， 令 y = 1， 得 2 f (x) f （ 1 ） = f (x +1)， 所 以 f (x +1) = 2 f (x)， 所 以
f (y 1) 2 f (y), f (x 1) f (x)+ = - = , f (y -1) f (y)= ，
2 2
所以 f (x -1) f (y f (x)+1) + f (y -1) f (x +1) = × 2 f (y) f (y)+ × 2 f (x) = 2 f (x) f (y) = f (x + y) ，选项C 正确；
2 2
对于 D ，由 f (x +1) = 2 f (x)知， f （1）， f （2）， f （3），L， f (24) 是等比数列，且首项为 f （1） = 1，
公比为 2，
23 23 23
由等比数列的前 n 1- 2项和公式，得 f (i) = = 223 -1, f (24) = 1 224-1 = 223 ，所以 f (i) f (24) ，选项 D
i=1 1- 2

i=1
错误．
故选： AC ．
【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
13．（2024 开封模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)， f （1） = 1，则 (　　 )
A． f (0) = 2
B． f (3 - x) = f (3 + x)
C． f (x) 是周期函数
D p． f (x) 的解析式可能为 f (x) = 2sin x
6
【分析】根据余弦函数的和差化积公式，构造函数 f (x) = 2cos p x ，然后逐项判断即可．
3
【解答】解：根据 cos x cos y 2cos x + y cos x - y p+ = ，且 f （1） = 1，不妨设 f (x) = 2cos x ，
2 2 3
显然 f (0) = 2cos0 = 2 ， A对；
因为 f （3） = 2cosp = -2 ，所以 x = 3是 f (x) 的对称轴，即 f (3 - x) = f (3 + x) ， B 对；
2p
该函数最小正周期为T = = 6p ，C 对；
3
对于 D 选项，由 A正确可知， 2sin 0 = 0 2 ， D 错．
故选： ABC ．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性以及对称性的判断及应用，属于中档题．
14．（2024 汕头模拟）已知定义域为 R 的函数 f (x) ．满足 f (x + y) = f (x) f (y) - f (1- x) f (1- y) ，且
f (0) 0， f (-1) = 0，则 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (x) 是偶函数
2024
C．[ f (x)]2 + [ f (1+ x)]2 = 1 D． f (i) = -1
i
【分析】通过对抽象等式中的自变量进行赋值求值，依次判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再利用周
期性求出若干值，对选项依次判断求解．
【解答】解：对于 A项，由 f (x + y) = f (x) f (y) - f (1- x) f (1- y) ，
x y 1 1 1令 = = ，则 f (1) = [ f ( )]2 - [ f ( )]2 = 0 ，故 A项正确；
2 2 2
对于 B 项，令 x = y = 0 ，则 f (0) = [ f (0)]2 - [ f （1） ]2 = [ f (0)]2 ，
因 f (0) 0，故 f (0) = 1，
令 y = 1，则 f (x +1) = f (x) f （1） - f (1- x) f (0) = - f (1- x) ①，
所以函数 f (x) 关于点 (1,0) 成中心对称，
令 x = y = 1，则 f （2） = [ f （1） ]2 - [ f (0)]2 = -1，
令 y = 2 ，则 f (x + 2) = f (x) f （2） - f (1- x) f (-1) = - f (x) ②，
由①可得： f (x + 2) = - f (-x) ③，由②③可知： f (-x) = f (x) ，
且函数 f (x) 的定义域为 R ，则函数 f (x) 是偶函数，故 B 项正确；
对于C 项，令 y = -x ，则 f (0) = f (x) f (-x) - f (1- x) f (1+ x) ，
因为 f (0) = 1， f (-x) = f (x) ， f (x +1) = - f (1- x) ，代入上式中得，
故得：[ f (x)]2 + [ f (1+ x)]2 = 1，故C 项正确；
对于 D 项，由上可知： f (x + 2) = - f (x) ，则 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，
故函数 f (x) 的一个周期为 4，故 f （4） = f (0) = 1，
令 x = 2， y = 1，则 f （3） = f （2） f （1） - f (-1) f (0) = 0，
所以 f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 0 + (-1) + 0 +1 = 0 ，
2024
则 f (i) = 254 0 = 0，故 D 项错误．
i=1
故选： ABC ．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性的判断和应用，属于中档题．
15．（2024 茂名模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y) × f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y) ， f （1） = 2，
f (x +1)为偶函数，则 (　　 )
A． f （3） = 2 B． f (x) 为奇函数
2024
C． f （2） = 0 D． f (k) = 0
k =1
【分析】利用赋值法，结合 f (x +1)为偶函数，得到 f (x) 的奇偶性与周期性，再逐项计算求解、判断即可．
【解答】解：因为函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y) × f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y) ，
f （1） = 2， y = f (x +1) 为偶函数，
令 x = y = 0 ，得 f (0) = 0，再令 x = 0 ，则 f (y) f (-y) = f 2 (0) - f 2 (y) ，
显然 f (y) 不恒为零，所以 f (-y) = - f (y) ，即 f (x) 为奇函数， B 正确；
所以 f (x +1) = f (-x +1) = - f (x -1) ，所以 f (x + 2) = - f (x) ，所以 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，即 f (x) 的周
期为 4，
则 f （3） = f (-1) = - f （1） = -2， A错误；
f (0 + 2) = - f (0) = 0 ，C 正确；
由 A， B ，C 可知， f （1） = 2， f （2） = 0， f （3） = -2， f （4） = f (0) = 0 ，且 f (x) 的周期为 4，
2024
所以 f (k) = 506 [ f （1） + f （2） + f （3） + f （4） ] = 0， D 正确．
k =1
故选： BCD．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性的判断和应用，赋值法的应用，属于中档题．
16 2024 f (x) R f a f b 2 f (a + b a - b．（ 保定一模）若函数 的定义域为 ，且 （ ） + （ ） = ) f ( )， f （4） = -1，
2 2
则 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (x) 为偶函数
C． f (x) 的图象关于点 (2,0) 对称
2024
D． f (i) = 0
i=1
【分析】利用赋值法，结合函数 f (x) 的奇偶性、周期性逐项判断即可．
【解答】解：对于 A：令 a = b = 4 ，则 2 f （4） = 2 f （4） f (0) ，\ f (0) = 1， A错误；
对于 B : b = -a 时， f （a） + f (-a) = 2 f (0) f （a） = 2 f （a），
\ f （a） = f (-a)， f (x) 为偶函数， B 正确；
对于C ：令 a = 4，b = 0 ，由 A选项可知， f （4） + f (0) = 2 f 2 （2） = 0，\ f （2） = 0，
\ f (2 + x) + f (2 - x) = 2 f （2） f (x) = 0 ，\ f (x) 关于点 (2,0) 对称，C 正确；
对于 D ：由C 知 f (x) 是以 8 为周期的周期函数，且每个周期内函数值之和为 0，又 2024 可被 8 整除，
2024
\ f (i) = 0， D 正确．
i=1
故选： BCD．
【点评】本题考查抽象函数的性质，赋值法在研究抽象函数中的应用，属于中档题．
17．（2024 如皋市模拟）设 a为常数， f (0) 1= ， f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，则 (　　 )
2
A f (a) 1 B f (x) 1． = ． = 恒成立
2 2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y) D．满足条件的 f (x) 不止一个
【分析】利用赋值法，对每一项进行判断．
1 1
【解答】解：令 x = y = 0 ，可得 f (0) = 2 f (0) f （a），结合 f (0) = ，解得 f （a） = ，故 A正确；
2 2
令 y = 0 ，原式化为 f (x) = f (x) f （a） + f (0) f (a - x)，
代入 f (a) 1= 可得 f (x) = f (a - x) ，所以原式即： f (x + y) = 2 f (x) f (y) ，故C 正确；
2
再令 y = x 得 f (2x) = 2[ f (x)]2…0，即函数值非负，
令 y = a - x ，可得 f （a） = 2[ f (x)]2 ，即 f (x) 1= ± （负值舍去），故 B 正确；
2
1
所以仅有一个函数关系式 f (x) = 满足条件，故 D 错误．
2
故答案为： ABC ．
【点评】本题考查函数性质的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
18．（2024 秦皇岛二模）已知函数 f (x) 满足：对"x ， y R ，都有 f (x - y) = f (x) f (y) + f (1+ x) f (1+ y) ，
且 f (0) f （2），则下列说法正确的是 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (0) = 0
2026
C． f (x) + f (2 - x) = 0 D． f (i) = -1
i=1
【分析】利用赋值法，即可求出 f (0) 和 f （1）的值，判断选项 A和 B ；
由题意，判断 f (x) 为偶函数，利用赋值法，推导出 f (x) + f (2 - x) = 0 ，判断选项C ；
2026
由 f (x) 为偶函数，且 f (x) = - f (2 - x) ，推导出 f (x) 是周期函数，由此计算 f (i) 的值，判断选项 D ．
i=1
ì
A x y 0 x y 1 f (0) = f
2 (0) + f 2 (1)
【解答】解：对于 ，分别令 = = 和 = = ，得 í ，
f (0) = f
2 (1) + f 2 (2)
所以[ f (0)]2 = [ f （2） ]2 ，
又因为 f (0) f （2），所以 f (0) = - f （2），
令 x = 1， y = 0 ，则 f （1） = f (0) f （1） + f （1） f （2） = 0，选项 A正确；
对于 B ，结合选项 A，解得 f (0) = 0或 f (0) = 1，
若 f (0) = 0，则 f (0) = [ f （1） ]2 + [ f （2） ]2 = 0，所以 f （2） = 0，
此时与 f (0) f （2）矛盾，舍去；
若 f (0) = 1，则 f (0) = [ f （1） ]2 + [ f （2） ]2 = 1，解得 f （2） = ±1，
因为 f (0) f （2），所以 f （2） = -1，选项 B 错误；
对于C ，令 x = 0 ，则 f (-y) = f (0) f (y) + f （1） f (1+ y) ，
因为 f （1） = 0， f (0) = 1，所以 f (-y) = f (y) ，所以 f (x) 为偶函数，
令 x = 1，则 f (1- y) = f （1） f (y) + f （2） f (1+ y) = f （2） f (1+ y) = - f (1+ y) ，
所以 f (1- y) = - f (1+ y)，
令 y = 1- x ，则 f (x) = - f (2 - x) ，即 f (x) + f (2 - x) = 0 ，选项C 正确；
对于 D ，由 f (x) 为偶函数，所以 f (-x) = f (x) = - f (2 - x)，
则 f (x + 2) = - f (-x) = - f (x) ，则 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，
即 f (x + 4) = f (x) ，所以 f (x) 是周期为 4 的周期函数，
又 f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = -1+ f （3） + f （4） = -1+ f (-1) + f (0) = f (-1) = f （1） = 0，
2026
所以 f (i) = 506[ f （ 1 ） + f （ 2 ） + f （ 3 ） + f （ 4 ） ] + f （ 1 ） + f （ 2 ） = f （ 1 ） + f （ 2 ）
i=1
= 0 + (-1) = -1，选项 D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与周期性应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
19．（2024 友谊县校级模拟）已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，"x R ， f (8 - x) - f (x) = 0 ，且 f (x + 3)为
奇函数，若 f (-1) = -2，则 (　　 )
A． f （3） = 0
B． f (x) 的一个周期为 2
C． f （4） = 0
D． f (2023) + f (2024) - f (2025) = 4
【分析】由 f (x + 3)为奇函数，得 f (-x + 3) = - f (x + 3) ，令 x = 0 求得 f （3）的值，即可判断选项 A，求出
f (x) 是周期函数，判断选项 B ；
对 f (8 - x) = f (x) 两边求导数，求得 f （4）的值，判断选项C ，对 f (x + 2) = - f (x) 两边求导数，求得 f
（1）和 f (-1) ，对 f (x + 4) = f (x) 两边求导数，求得 f （4），根据周期性求出 f (2023) + f (2024) - f (2025)
的值，判断选项 D ．
【解答】解：选项 A中，由 f (x + 3)为奇函数，得 f (-x + 3) = - f (x + 3) ，令 x = 0 ，得 f （3） = - f （3），
解得 f （3） = 0，所以 A对；
选 项 B 中 ， 因 为 f (-x + 3) = - f (x + 3) ， 所 以 f (x) = - f (6 - x) ， 又 因 为 f (8 - x) - f (x) = 0 ， 所 以
f (6 - x) = - f (8 - x) ，即 f (x + 2) = - f (x) ，
所以 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，所以 f (x) 的一个周期为 4，所以 B 错；
选项C 中，由 f (8 - x) = f (x) ，两边求导数，得 - f (8 - x) = f (x)，令 x = 4，得 - f （4） = f （4），所以 f
（4） = 0，所以C 对；
选项 D 中，由 f (x + 2) = - f (x) ，两边求导数，得 f (x + 2) = - f (x) ，令 x = -1，得 f （1） = - f (-1) ，
由 f (x + 4) = f (x) ，两边求导数，得 f (x + 4) = f (x) ，所以 f (x) 的一个周期为 4，
所以 f (2023) = f (-1) = -2， f (2024) = f （4） = 0， f (2025) = f （1） = - f (-1) = 2 ，
所以 f (2023) + f (2024) - f (2025) = -2 + 0 - 2 = -4 ，所以 D 错．
故选： AC ．
【点评】本题考查了抽象函数的周期性与奇偶性应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
20．（2024 3 河南一模）已知函数 f (x) 的定义域为 R ， f (x + y) - f (x - y) = f (x + ) f (y 3+ ) ， f (0) 0，则
2 2
(　　 )
A． f (3) = 0 B． f (0) = -2
2
2022
C． f (x) k的一个周期为 3 D． f ( ) = 2
k =1 2
【分析】根据抽象等式，利用赋值法，变形得到函数的奇偶性和周期性，根据函数的性质，依次判断 A、
B 、C 选项，最后结合周期性以及函数值求解 D 选项．
【解答】解：对于 A，令 x = y = 0 ，则 f (0) - f (0) = f 2 (3) 3，所以 f ( ) = 0，选项 A正确；
2 2
对于 B ，令 x = 0 ，则 f (y) - f (-y) = f (3) f (y 3+ ) = 0 ，即 f (y) = f (-y) ，
2 2
3
所以 f （3） = f (-3)，令 x = y = ，则 f （3） - f (0) = f 2 （3），
2
令 x = y 3= - ，则 f (-3) - f (0) = f 2 (0) = f （3） - f (0) ，所以 f 2 (0) = f 2 （3），
2
因为 f 2 (0) + f (0) = f （3），所以[ f 2 (0) + f (0)]2 = f 2 （3），
所以 ( f 2 (0) + f (0))2 = f 2 (0)，
因为 f (0) 0，所以 f (0) = -2， f （3） = 2，选项 B 正确；
3
对于C ，令 y = - ，则 f (x 3- ) - f (x 3 3+ ) = f (x + ) f (0) = -2 f (x 3+ ) ，
2 2 2 2 2
f (x 3) f (x 3所以 - + + ) = 0， = 0, f (x 3) 9+ + f (x + ) = 0，
2 2 2 2
3 9
所以 f (x - ) = f (x + )，所以 f (x) = f (x + 6) ，
2 2
由此知， f (x) 的一个周期为 6，选项C 错误；
对于C ，因为 f (x 3- ) + f (x 3+ ) = 0，且 f (y) = f (-y) ，
2 2
x 1 x 1, f ( 1) f (5 1令 = ， = - + ) = f ( ) + f (5) = 0，
2 2 2 2
1 1
令 x = ， x = , f (-1) + f (2) = f (1) + f (2) = 0，
2 2
且 f （3） = 2， f (3) = 0，
2
f (1所以 ) 3+ f (1) + f ( ) + f (2) + f (5) + f (3) = 2 ，
2 2 2
由 f (x 3- ) + f (x 3+ ) = 0知， f (x) + f (x + 3) = 0，所以 f （6） = 0，
2 2
因为 f (x) 的一个周期为 6，且 2022 = 12 168 + 6，
2022
所以 f (k ) = f (3) = 2，选项 D 正确．
k =1 2
故选： ABD ．
【点评】本题考查了利用赋值法求函数的周期、对称性、特殊点的函数值应用问题，是中档题．
21．（2024 玉林模拟）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的图象关于点
(2,1)对称，且 f (0) = 0，则 (　　 )
A． f (x) 的图象关于点 (1,1)对称
B．函数 g(x) = f (x) - 2x的图象关于直线 x = 2对称
C．函数 g(x) = f (x) - 2x的周期为 2
D． f （1） + f （2） + + f (50) = 2499
【分析】选项 A中，由 f (2x - 3) 的图象关于点 (2,1)对称，得出 f (x - 3) + f (5 - x) = 2 ，判断 f (x) 的图象关
于点 (1,1)对称；
选项 B 中，由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，得出 g(2 + x) = g(2 - x)，判断 g(x) 的图象关于直线 x = 2对称；
选项C 中，由 g(1+ x) + g(1- x) = -2，得出 g(x) 的图象关于点 (1,-1)对称，判断 g(x) 是以 4 为周期的函数；
选项 D 中，由 g(x) 是周期函数，由此计算即可求出 f （1） + f （2） + + f (50) 的值．
【解答】解：对于 A，因为 f (2x - 3) 的图象关于点 (2,1)对称，所以 f (2x - 3) + f (2(4 - x) - 3) = 2 ，即
f (2x - 3) + f (5 - 2x) = 2 ，
所以 f (x - 3) + f (5 - x) = 2 ，即 f (x +1) + f (x -1) = 2，所以 f (x) 的图象关于点 (1,1)对称，选项 A正确．
对于 B ，由 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ，得 f (2 + x) - 2(2 + x) = f (2 - x) - 2(2 - x) ，所以 g(2 + x) = g(2 - x)，
所以 g(x) 的图象关于直线 x = 2对称，选项 B 正确．
对于C ， g(1+ x) + g(1- x) = f (1+ x) - 2(1+ x) + f (1- x) - 2(1- x) = f (1+ x) + f (1- x) - 4 = -2 ，
则 g(x) 的图象关于点 (1,-1)对称，所以 g(x) 是以 4 为周期的函数，即 g(x + 4) = g(x)，选项C 错误．
对于 D ，因为 g(0) = f (0) - 2 0 = 0 ， g （1） = -1， g （2） = -2 - g(0) = -2， g （3） = g （1） = -1，
所以 f （1） + f （2） + + f (50) = g （1） +g （2） + + g(50) + 2(1+ 2 + + 50) = -4 12 -1- 2 + 2550 = 2499，
选项 D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题考查了抽象函数的对称性与周期性应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
22．（2024 安徽三模）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y)， f （1） = 1， f
（2） = 0，则下列说法中正确的是 (　　 )
A． f (x) 为偶函数 B． f （3） = -1
2023
C． f (-1) = - f （5） D． f (k) = 1
k =1
【分析】利用和差角公式证明正弦平方差公式： sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B) ，符合题意，据此构造
p x
函数 f (x) = sin ，再逐项验证选项即可；
2
【解答】解：先介绍正弦平方差公式： sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B) ，
证明过程如下：
sin2 A - sin2 B = (sin A + sin B)(sin A - sin B)
(sin( A + B A - B ) sin( A + B A - B= + + - )) (sin( A + B A - B× + ) A + B A - B- sin( - ))
2 2 2 2 2 2 2 2
= (2sin A + B cos A - B )(2sin A - B cos A + B )
2 2 2 2
= (2sin A + B cos A + B )(2sin A - B cos A - B )
2 2 2 2
= sin(A + B)sin(A - B) ；
p p
由题意，可以令 f (x) = sin x ，因为 f (x) = sin x 为奇函数，故选项 A错误；
2 2
因为 f （3） = -1，故选项 B 正确；
因为 f (-1) = -1 = - f （5），故选项C 正确；
2023
因为T = 4， 2023 4 = 505LL3，故 f (k) = f (1) + f (2) + f (3) = 0 ，故选项 D 错误．
k =1
故选： BC ．
【点评】本题考查抽象函数的函数值、奇偶性、周期性的判断及应用，属于较难的题目．
23 ．（ 2024 青 羊 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 R ， 对 于 任 意 实 数 x 、 y 均 满 足
f ( x + 2y ) f (x) + 2 f (y)= ，若 f （2） = 1， f （5） = 10，则 f (724) =　2167　．
3 3
【分析】由 x = 5 ， y = 2 ，可得 f （3），由 x = 2， y = 5，可得 f （4），计算 f （6），猜想 f (n) 的解析式，
利用数学归纳法证明，即可计算 f (724)的值．
x + 2y f (x) + 2 f (y)
【解答】解：因为 f ( ) = ，且 f （2） = 1， f （5） = 10，
3 3
x 5 y 2 f (5 + 4) f (5) + 2 f (2) 10 + 2令 = ， = ，可得 = = = 4 ，所以 f （3） = 4，
3 3 3
x 2 y 5 f (2 +10) 1+ 2 10令 = ， = ，可得 = = 7 ，所以 f （4） = 7，
3 3
f ( x + 2y ) f (x) + 2 f (y) x + 2y由 = ，得 f (x) = 3 f ( ) - 2 f (y)，
3 3 3
f (6) 3 f (6 + 2 3所以 = ) - 2 f (3) = 3 f (4) - 2 f (3) = 13，
3
结合 f （2） = 1， f （3） = 4， f （4） = 7， f （5） = 10， f （6） = 13，
可猜想 f (n) = 3(n -1) - 2 = 3n - 5．
用数学归纳法证明：
当 n 6(n N *) 时，由上述知 f (n) = 3n - 5成立．
假设当 n k(n,k N *) 时有 f (n) = 3n - 5，
则当 n = k +1时，不妨设 k…6 ， f (k +1) = 3 f ((k +1) + 2(k - 5)) - 2 f (k - 5) = 3 f (k - 3) - 2 f (k - 5)
3
= 3[3(k - 3) - 5] - 2[3(k - 5) - 5]) = 3(k +1) - 5．
所以 f (n) = 3n - 5成立，所以 f (724) = 3 724 - 5 = 2167 ．
故答案为：2167．
【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了猜想与数学归纳法的应用问题，是难题．
五．函数的周期性（共 1 小题）
24．（ 2024 玄武区三模）已知 f (x) 是定义在 R 上的函数， f （ 1） = 10，且对于任意 x R 都有
f (x + 20)…f (x) + 20 ， f (x +1) f (x) +1，若 g(x) = f (x) - x +1，则 g(10) =　10　．
【分析】解决此题关键是要分析出 f (x) 或 g(x) 的性质，根据 f (x + 20)…f (x) + 20 ， f (x +1) f (x) +1，若
g(x) = f (x) +1- x ，不难得到 g(x) 是一个周期函数，且周期 T = 1，则只要根据 f （ 1 ） = 10，
g(x) = f (x) +1- x 求出 g （1）就不难求出 g(x) 的其它函数值．
【解答】解：由 g(x) = f (x) +1- x 知 f (x) = g(x) + x -1，从而有
g(x + 20) + (x + 20) -1…f (x + 20)…f (x) + 20 = g(x) + x -1+ 20
则 g(x + 20)…g(x)
又由 f (x +1) f (x) +1得 g(x +1) + (x +1) -1 g(x) + x -1+1 g(x +1) g(x)
则有： g(x) g(x + 20) g(x +19) g(x +1) g(x)
得 g(x) = g(x +1)，即 g(x) 是周期为 1 的周期函数，
又Q g （1） = f （1） +1-1 = 10
\ g(10) = 10
故答案为 10
【点评】对于抽象函数问题的处理，有两种思路，一是“凑”出题目中要求的值，二是分析函数性质根据
函数的性质解题．若题干中出现： f (x + y) = f (x)g f (y) ； f (x + y) = f (x) + f (y)； f (xgy) = f (x)g f (y)；
f (xgy) = f (x) + f (y) 类的条件时一般采用第一种思路，而本题中未出现这种情况，一般要采用第二种思路．
六．函数恒成立问题（共 10 小题）
25 ．（ 2024 榆 林 三 模 ） 已 知 a (0,2p ) ， 若 当 x [0， 1]时 ， 关 于 x 的 不 等 式
(sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina > 0 恒成立，则a 的取值范围为 (　　 )
A ( p , 5p ) B (p , 5p ) C (p , p． ． ． ) D (p． , 5p )
12 12 6 6 6 3 3 6
【 分 析 】 先 利 用 f (0) > 0， f （ 1 ） > 0得 sina > 0， cosa > 0 ， 由 此 可 知 函 数
f (x) = (sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina 的对称轴落在 (0,1) 上，则只需△< 0 ，解出a 的范围．
【解答】解：当 x = 0 时， sina > 0，当 x = 1时， cosa > 0 ，
所以函数 f (x) = (sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina 的对称轴：
sina 1+
x = 2 (0,1) ，
sina + cosa +1
ìsina > 0

所以 ícosa > 0 ，

(2sina +1)
2 - 4sina (sina + cosa +1) < 0
ì
sina > 0

即 ícosa > 0 ，结合a (0,2p )
p a 5p ，解得 < < ．
12 12
sin 2a 1>
2
故选： A．
【点评】本题考查二次不等式恒成立问题的解题方法，三角不等式的解法，属于中档题．
26．（2024 牡丹江一模）已知 g(x) = x3 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x) 在区间 (- ， 0]上单调递减，
若关于实数m 的不等式 f (log2 m) + f (log0.5 m)…2 f （3）恒成立，则m 的取值范围是 (　　 )
A． (0, 1] B．[8， + ) C． (0, 1]U[8， + ) D． (0, 1]U[8， + )3 3 8
【分析】根据 g(x) = x3 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，可知 f (x) 是偶函数，然后结合单调性构造关于m 的不
等式求解．
【解答】解：因为 g(x) = x3 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，
所以 f (x) 是偶函数， f (log0.5 m) = f (- log2 m) = f (log2 m) ，
所以 f (log2 m) + f (log0.5 m)…2 f （3）可化为：
f (log2 m)…f （3），又 f (x) 在区间 (- ， 0]上单调递减，所以 f (x) 在 (0,+ )上递增，
所以 | log2 m |…3，即 log2 m…3或 log2 m - 3，
即m…8 1或 0 < m ．
8
故选： D ．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题．
27．（2024 龙岗区校级模拟）已知 ex + sin x…ax +1对任意 x [0， + ) 恒成立，则实数 a的取值范围为 (　　 )
A． (- ， 2] B．[2 ， + ) C． (- ，1] D．[1， + )
【分析】令 f (x) = ex + sin x - ax -1， x…0，由题意可知： f (x)…0对任意 x [0， + ) 恒成立，且 f (0) = 0，
可得 f (0) = 2 - a…0，解得 a 2 ，并代入检验即可．
【解答】解：令 f (x) = ex + sin x - ax -1， x…0，则 f (x) = ex + cos x - a ，
由题意可知： f (x)…0对任意 x [0， + ) 恒成立，且 f (0) = 0，
可得 f (0) = 2 - a…0，解得 a 2 ，
若 a 2 ，令 g(x) = f (x) ， x…0，
则 g (x) = ex - sin x…1- sin x…0，
则 g(x) 在[0 ， + ) 上递增，可得 g(x)…g(0) = 2 - a…0 ，
即 f (x)…0对任意 x [0， + ) 恒成立，
则 f (x) 在[0 ， + ) 上递增，可得 f (x)…f (0) = 0 ，
综上所述： a 2 符合题意，即实数 a的取值范围为 (- ， 2]．
故选： A．
【点评】本题考查利用函数的单调性求出函数的最值，进而解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档
题．
x-e
28．（2024 e 呼和浩特模拟）若 e + lnax 在 x (0,+ ) 上恒成立，则 a的最大值为 (　　 )
a
e2-e 1 1-e 1+ -eA． B． 2e2 C． e1-e D． e e
2
【分析】显然 a > 0，然后原式可化为 ex-e - ae - alnax…0，令函数 f (x) = ex-e - ae - alnax ， x > 0 ，结合隐零
点问题的解题思路，求其最小值，令其大于等于零，解出 a的范围即可．
【解答】解：因为 x > 0 ，结合 lnax 有意义可知， ax > 0 ，所以 a > 0，
原式可化为 ex-e - ae - alnax…0，令函数 f (x) = ex-e - ae - alnax ， x > 0 ，
f (x) = ex-e a- ，显然该函数为增函数， x 0时， f (x) - ， x + 时， f (x) + ，
x
所以存在 t > 0 ，使得 f (t) = 0 ， et-e a- = 0，可得 et-e a= ， lnt = lna - t + e ，
t t
且 0 < x < t 时， f (x) < 0 ， f (x) 递减， x > t 时， f (t) > 0 ， f (x) 递增，
令 f (x)min = f (t) = e
t-e - ae - alnat a= + at - 2ae - 2alna
t
…2 a × at - 2ae - 2alna = 2a(1- e - lna)…0 ，
t
即1- e - lna…0，所以 lna 1- e，解得 a e1-e ．
故选：C ．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解题思路，函数最值的求法，属于中档题．
29．（2024 江苏模拟）已知不等式 (ax + 3)(x2 - b) 0对任意 x (0,+ ) 恒成立，其中 a， b 是整数，则 a + b
的取值可以为 (　　 )
A． -4 B． -2 C．0 D．8
【分析】结合 y = ax + 3与 y = x2 - b在 (0,+ )上的图象判断即可．
【解答】解：画出 y = ax + 3与 y = x2 - b在 (0,+ )上的图象如图所示时，
不等式 (ax + 3)(x2 - b) 0对任意 x (0,+ ) 恒成立，
由 ax 3+ 3 = 0得 x = - ， x2 - b = 0得 x = ± b （负值舍去），
a
ì
b > 0

此时 ía < 0 ，结合 a，b Z 得 a = -1，b = 9或 a = -3 ，b = 1，

3- = b
a
所以 a + b = 8 或 -2 ．
故选： BD．
【点评】本题考查不等式的解法和性质，数形结合思想的应用，属于中档题．
30．（2024 新县校级模拟）已知 a N * ，函数 f (x) = e3x - xa > 0恒成立，则 a的最大值为 　7　．
【分析】显然 a为奇数 (a N *)，然后只需研究 x > 0 时， e3x 3x- xa > 0 恒成立，整理得 a < ，再研究函数
lnx
g(x) 3x= 在 (0,+ )上最小值即可．
lnx
【解答】解：当 a为正偶数时，当 x - 时， e3x 0且 xa + ，此时 e3x - xa > 0 不恒成立，
所以 a为正奇数，则当 x < 0 时， xa < 0 < e3x 恒成立，
所以只需研究 x > 0 时， e3x - xa 0 a 3x> 恒成立即可，即 < ， (x > 0) 恒成立，
lnx
g(x) 3x x 0 g (x) 3(lnx -1)令函数 = ， > ，令 = 2 = 0 ，则 x = e，lnx (lnx)
g (x) > 0 x > e， g(x) 递增， g (x) < 0 0 < x < e ， g(x) 递减，
所以 g(x)min = g （e） = 3e 8.2 ，
所以 a 7 ．
故答案为：7．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，解决不等式恒成立的解题思路，属于中档题．
31．（2024 马鞍山模拟）已知不等式 (x +1)2 l(x2 +1)(x2 - 2x + 5)对任意 x R 恒成立，则实数l 的取值范围
[1是 　 ， + ) 　．
2
1
【分析】分离参数，然后令 t = x +1，将原式化为函数 g(t) = 4 ，再研究 t 的范围，利用函数的单(t + - 3)2 +1
t
调性求值域．
l… (x +1)
2
【解答】解：原不等式可化为： ，令 x +1 = t ，
(x2 +1)(x2 - 2x + 5)
t2
则不等式右边可化为 g(t) = ，
t4 - 6t3 +18t2 - 24t +16
t = 0 时， g(t) = 0 ；
t 0 时， g(t) 1 1=
t2 16
=
6t 24 18 (t 4
，
+ 2 - - + + - 3)
2 +1
t t t
4
因为 t + …4 t 4或 + 4 4- 4，所以 t + - 3…1，或 t + - 3 - 7 ，
t t t t
1 1
所以 4
1
，所以要使原式恒成立，只需l ．
(t + - 3)2 +1 2 2
t
1
故答案为：[ ， + ) ．
2
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解题思路，基本不等式的应用等，属于中档题．
32．（2024 3 月份模拟）若存在实数 a，对任意实数 x [0，1]，使得不等式 x3 - m x + a x3 + m 恒成立，
3
则实数m 的取值范围是 　[ ,+ ) 　．
9
ìx3 - x m + a
【分析】原式可化为 í 对任意实数 x [0，1]恒成立，由此得到的关于 a的不等式有解，进而3
x - x -m + a
求出m 的范围．
3
【解答】解：不等式 x3 - m 3 ìx - x m + ax + a x + m 等价于： í 对任意实数 x [0，1]恒成立，x3 - x -m + a
令 f (x) = x3 - x， x [0，1]，令 f (x) = 3x2 -1 = 0得： x 1= ± （负值舍去），
3
x [0, 1 ) 时， f (x) < 0 ， f (x) 递减， x ( 1 ,1]时， f (x) > 0 ， f (x) 递增，
3 3
1 2 3
所以 f (x)min = f ( ) = - ， f (x)max = f (0) = f （1） = 0，3 9
ìm + a 0

则关于 a的不等式 í
m a -2 3
有解，
- + 9
2 3 2 3
只需 -m a m - 能成立，所以 -m m - ，
9 9
3
所以m ．
9
3
故答案为：[ ,+ ) ．
9
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解题思路，导数的应用，属于中档题．
33．（2024 江西模拟）若不等式 | a ×3x + bx + b | 2x + 2 在 x [0， 2]上恒成立，则 a - b的最大值为 　6　．
3x 3x
【分析】结合 0 x 2 ，原式可化为 | a × + b | 2 ，利用函数 f (x) = ， x [0， 2]为增函数，即函数
x +1 x +1
x x
g(x) a ×3 a ×3= + b 在 [0 ， 2]上为单调函数，则 | + b |的最值在 0 和 2 处取得，据此构造关于 a，b 的不等
x +1 x +1
式组，即可求得 a - b的最大值．
x
【解答】解：因为 0 x 2 3，所以 | a ×3x + bx + b | 2x + 2 可化为 | a × + b | 2 ，
x +1
x x
f (x) 3= x [0 2] f (x) 3 [(x +1)ln3 -1]…3
x (ln3 -1)
令 ， ， ，则 = > 0 ，
x +1 (x +1)2 (x +1)2
x
故 f (x) 在[0 ， 2] 3上单调递增，即 [1,3]，
x +1
所以 | a + b | 2， | 3a + b | 2，即 -2 a + b 2， -2 3a + b 2 ，
故 a - b = (3a + b) - 2(a + b) 6，当且仅当 a = 2，b = -4 时，上式成立，
所以 a - b的最大值为 6．
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的单调性与最值的关系，含绝对值不等式的性质等，属于中档题．
34．（2024 萍乡二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691 年，莱布尼茨
x x
-
c
y c(e + e
c )
等得出悬链线的方程为 = ，其中 c 为参数．当 c = 1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为
2
ex + e- xcosh x = ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足
2
ì(sin x) = cos x
性质：①导数： ；②二倍角公式： cos 2x = 2cos2í x -1；③平方关系： sin2 x + cos2 x = 1．定
(cos x) = -sin x
ex - e- x
义双曲正弦函数为 sinh x = ．
2
（1）写出 sinh x ， cosh x 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
（2）任意 x > 0 ，恒有 sinh x - kx > 0成立，求实数 k 的取值范围；
17
（3）正项数列{an}(n N
*) 满足 a 21 = a > 1， an+1 = 2an -1，是否存在实数 a，使得 a2024 = ？若存在，求出8
a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；
（2）构造函数 F (x) = sinh x - kx ，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求 k 的取值范围即可；
（3）方法一、求出 a1， a2 ， a3 ，猜想 an ，用数学归纳法证明即可．
方法二、构造数列{xn}，根据 an = cosh(xn ) ，利用递推公式求解即可．
【解答】解：（1）①导数： (sinh(x)) = cosh(x)， (cosh(x)) = sinh(x)，证明如下：
ì x - x x - x
(sinh x) (
e - e ) e + e = = = cosh x
2 2
í ，x - x x - x

(cosh x)
e + e e - e
= ( ) = = sinh x
2 2
②二倍角公式： cosh(2x) = 2(cosh x)2 -1，证明如下：
ex + e- x e2x + 2 + e-2x e2x + e-2x2(cosh x)2 -1 = 2 ( )2 -1 = -1 = = cosh(2x) ；
2 2 2
③平方关系： (cosh x)2 - (sinh x)2 = 1，证明如下：
ex + e- x ex - e- x 2x -2x 2x -2x(cosh x)2 - (sinh x)2 ( )2 ( )2 e + 2 + e e - 2 + e= - = - = 1；
2 2 4 4
（2）令 F (x) = sinh x - kx ， x (0,+ ) ， F (x) = cosh x - k ，
x - x
①当 k 1时，由 cosh x e + e= … ex × e- x = 1，又因为 x > 0 ，所以 ex e- x ，等号不成立，
2
所以 F (x) = cosh x - k > 0，即 F (x)为增函数，
此时 F (x) > F (0) = 0 ，对任意 x > 0 ， sinh x > kx 恒成立，满足题意；
②当 k > 1时，令G(x) = F (x) ， x (0,+ ) ，则G (x) = sinh x > 0 ，可知G(x)是增函数，
由G(0) = 1- k < 0 与G(ln2k) 1= > 0 可知，存在唯一 x0 (0, ln2k)，使得G(x4k 0
) = 0 ，
所以当 x (0, x0 ) 时， F (x) = G(x) < G(x0 ) = 0，则 F (x)在 (0, x0 ) 上为减函数，
所以对任意 x (0, x0 ) ， F (x) < F (0) = 0 ，不合题意；
综上知，实数 k 的取值范围是 (- ，1]；
x - x
（3 e + e）方法一、由 a1 = a > 1，函数 cosh x = 的值域为[1， + ) ，2
对于任意大于 1 的实数 a1，存在不为 0 的实数m ，使得 cosh m = a1，
类比双曲余弦函数的二倍角公式 cosh(2x) = 2(cosh x)2 -1，由 cosh m = a1，
a2 = 2(cosh m)
2 -1 = cosh(2m) ， a3 = cosh(2
2 m) ，猜想： an = cosh(2
n-1m)，
由数学归纳法证明如下：①当 n = 1时， a1 = a = cosh(2
1-1m) = cosh(m) 成立；
②假设当 n = k(k 为正整数）时，猜想成立，即 a = cosh(2k -1k m)，则
ak +1 = 2a
2
k -1 = 2[cosh(2
k -1m)]2 -1 = cosh(2 2k -1m) = cosh(2k m)，符合上式，
综上知， an = cosh(2
n-1m)；
et + e-t 17
若 a = cosh(22023 m) 17= ，设 t = 22023 m，则 cosh t = = ，解得： et 4 12024 = 或 ，8 2 8 4
t ln4 m ln2 e
m + e-m 1 1 -1
= ± = ± a = cosh m = = (222022 + 222022即 ，所以 2022 ，即 1 )．2 2 2
1 1 -1a = (222022 2022 17综上知，存在实数 + 22 )，使得 a2024 = 成立．2 8
方法二、构造数列{xn}(xn > 0) ，且 an = cosh(xn ) ，
因为 a = 2a2n+1 n -1，所以 an+1 = 2(cosh x
2
n ) -1 = cosh(2xn )，则 an+1 = cosh(xn+1) = cosh(2xn ) ，
因为 cosh(x) 在 (0,+ )上单调递增，所以 xn+1 = 2xn ，即{xn}是以 2 为公比的等比数列，
1
2023
所以 x = x 22023 ，所以 ex2024 = (ex1 )2 ，所以 ex1 = (ex20242024 1 )2
2023
，
1
又因为 a = cosh(x ) = (ex2024 + e- x 17 12024 x20242024 2024 ) = ，解得 e = 4或 ，2 8 4
1 1 1 -1 1 -12023 2023 1 2022 2022
所以 a = a1 = cosh(x ) = (e
x1 + e- x1 ) = (42 + 42 ) = (22 + 221 ) ，2 2 2
1 1 -1
综上知，存在实数 a = (222022 + 222022 ) 17，使得 a
2 2024
= 成立．
8
【点评】本题考查了函数与数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．易错 03 函数及其性质（10 个易错点错因分析与分类讲解+6
个易错核心题型强化训练）
易错点错因分析与分类讲解
易错点 1 对复合函数定义域的理解不透彻致误
1.[江苏三校 2023 联考]已知函数 y = f (2x -1) [ 2,3] y f (x)的定义域是 - ，则 = 的定义域是（ ）
x + 2
A. -2,5 B. -2,3 C. -1,3 D. -2,5
2. [江苏扬州高邮 2022调研]已知 g(x) = f 2x -1 +1，且 g(x)的定义域为 1,4 ，值域为 3, + ，设函
数 f (x) 的定义域为 A，值域为 B ，则 AI B = （ ）
A B. 4,7 C. 2,7 é 5 ù D. ê2, 2 ú
易错点 2 忽视函数定义域而致误
3.[重庆 2023 一诊]已知定义域为 (0, + )的减函数 f (x) 满足 f (xy) = f (x) + f (y) ，且 f (2) = -1，则不
等式 f (x + 2) + f (x + 4) > -3的解集为 .
4.[安徽黄山 2022 一模]连续函数 f (x) 是定义在 (-1,1) 上的偶函数，当 x 0 时， xf (x) > 0.若
f (a +1) - f (2a) > 0，则 a 的取值范围是（ ）
A. 1- ,1 1 ÷ B. - ,0
1 1
÷ C. - ,1÷ D. - ,0è 3 2 2 ÷è è è 3
ex -1
5.[河南中原顶级名校 2022联考]函数 f (x) = 2 -1的零点个数为（ ）1- x +1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
易错点 3 忽视分段函数交界处的函数值的大小
ì(3a -1)x + 4a, x 1
6.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知 f (x) = í 满足对于任意实数 x x ，都有
a
2 x-1 1+ , x >1, 1 2
2
f x1 - f x2 < 0成立，则实数 a 的取值范围是 .
x1 - x2
易错点 4 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误
ì 3a - 2
f (x) x + 3, x 1,7.[吉林部分学校 2023 大联考]已知函数 = í a > 0且a 1 是 R 上的单调函数，
loga x + 5a, x >1,
则 a 的取值范围是（ ）
A. 0,
2
÷ U 1, B.
0, 1+ ÷ U 1, +
è 3 è 2
C. 2 ,1

÷ U 1,
1
+ D. ,1÷ U 1,+
è 3 è 2
易错点 5 对数型复合函数的定义域为 R 和值域为 R 理解不透彻致误
8.[河北“五个一”名校 2023 联考]已知函数 f (x) = lg(ax2 - 6x + 5)的值域为 R ，那么 a 的取值范围
是 .
易错点 6 函数的图象画的不准确而致误
ì 3x+1 -1 , x 0,
9.[河北 2023联考]已知函数 f (x) = í
ln x, x > 0.
若函数 g(x) = f (x) - a 有 3个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A. 0, 1 B. 0, 2 C. （2， + ） D. （1， + ）
易错点 7 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误
10.[江苏常州一中 2023 调研]若函数 f (x) 的定义域为 R ， f (x -1)为奇函数， f (x +1)为偶函数，当
x -1,1 时， f (x) = -x2 +1，则下列结论错误的是（ ）
A. f (7) 3= - B. f x + 7 为奇函数
2 4
C. f (x)在 6, 8 上单调递增 D. 方程 f (x) + lg x = 0仅有7个实数根
易错点 8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误
1 x
11.[江苏南京师大附中 2022开学考改编]当0 < x 时， 4 loga x，则 a 的取值范围是 .2
易错点 9 对数型复合函数单调性判断不清致误
x 2
12.[四川泸州江阳区 2022期末]若函数 y = f (x) 与 y = 5 互为反函数，则 y = f x - 2x 的单调递减区间
是 .
易错点 10 忽视函数图象端点的取值致错
ì ln x, x > 0,
13.[陕西安康 2022期末]已知函数 y = f (x)
2
í 2 ，若函数 y = f x + mf (x) +1有
-x - 4x - 3, x 0,

6个零点，则 m 的取值范围是（ ）
A. 10 10ù -2, ÷ B. -2,
è 3 è 3 ú
C. 10 10ù 2, ÷ D. 2,
è 3 è 3 ú
【易错核心题型强化训练】
一．函数的图象与图象的变换（共 2 小题）
1．（2024 2 长安区校级一模）函数 f (x) = (1- )sin x 的图象的大致形状是 (　　 )
1+ ex
A． B．
C． D．
2
2．（2024 y x -1 临渭区三模）下列可能是函数 = |x| 的图象的是 (　　 )e
A． B．
C． D．
二．函数的最值及其几何意义（共 2 小题）
3 41．（2024 天心区校级模拟）已知函数 f (x) = lg(x2 - x + ) ，则 (　　 )
4
A． f (x) 的最小值为 1 B．$x R， f （1） + f (x) = 2
C． f (log 29 2) > f ( ) D． f (9
0.1 1- ) > f (30.18 1- )
3 2 2
4．（2024 庄浪县校级一模）设 f (x) = loga (1+ x) + loga (3 - x)(a > 0 ， a 1) ，且 f （1） = 2．
（1）求 a的值及 f (x) 的定义域．
（2）求 f (x) 3在区间[0 ， ]上的最大值．
2
三．函数奇偶性的性质与判断（共 2 小题）
5 2024 f (x) (x +1)(x + a)．（ 安宁区校级模拟）设函数 = 为奇函数，则实数 a的值为 (　　 )
x
A．0 B．1 C． -1 D．2
6．（2024 涪陵区校级模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x +1)为奇函数， f (x + 2)为偶函数，则 (　　 )
A．4 为 f (x) 的一个周期
B． f (211) = 0
C．由 f (0) + f （1） + f （2） + f （3） + f （4） = 2可知， f （2） = 2
D．函数 y = f (x) + lg | x |的所有零点之和为 0
四．抽象函数及其应用（共 17 小题）
7．（2024 山东模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，若 f (-x) = - f (x) ， f (1+ x) = f (1- x) ，则 f (2024) = ( 　　
)
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2024 安徽模拟）若定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 2 f (x + y) f (x - y) = f (2x) + f (2y) ，且 f （1） = -1，
则 f (0) + f （1） + f （2） + + f (2024) = ( 　　 )
A．0 B． -1 C．2 D．1
9．（2024 1 遵义二模）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (1) = ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y) ，则
2
下列结论正确的是 (　　 )
A． f (0) = 0 B． f (x) 的周期为 4
C． f (2x 1-1)关于 x = 对称 D． f (x) 在 (0,+ )单调递减
2
10．（2024 鄠邑区三模）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的图象关于
点 (2,1)对称，且 f (0) = 0，则 f （1） + f （2） + + f (50) = ( 　　 )
A．0 B．50 C．2509 D．2499
11．（2024 保定二模）已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (xy) = y3 f (x) + x3 f (y) ，则 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (-1) = -1
C． f (x) 是奇函数
D．存在函数 f (x) 以及 x0 ，使得 f (x0 ) 的值为 4e
2
12．（2024 泊头市模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 2 f (x) f (y) = f (x + y) ， f （1） = 1，则 (　　 )
A． f (0) 1=
2
B． f (x) 为偶函数
C． f (x + y) = f (x -1) f (y +1) + f (y -1) f (x +1)
23
D． f (i) = f (24)(i N * )
i=1
13．（2024 开封模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)， f （1） = 1，则 (　　 )
A． f (0) = 2
B． f (3 - x) = f (3 + x)
C． f (x) 是周期函数
D． f (x) p的解析式可能为 f (x) = 2sin x
6
14．（2024 汕头模拟）已知定义域为 R 的函数 f (x) ．满足 f (x + y) = f (x) f (y) - f (1- x) f (1- y) ，且
f (0) 0， f (-1) = 0，则 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (x) 是偶函数
2024
C．[ f (x)]2 + [ f (1+ x)]2 = 1 D． f (i) = -1
i
15．（2024 茂名模拟）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y) × f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y) ， f （1） = 2，
f (x +1)为偶函数，则 (　　 )
A． f （3） = 2 B． f (x) 为奇函数
2024
C． f （2） = 0 D． f (k) = 0
k =1
16．（2024 保定一模）若函数 f (x) a + b a - b的定义域为 R ，且 f （a） + f （b） = 2 f ( ) f ( )， f （4） = -1，
2 2
则 (　　 )
A． f (0) = 0
B． f (x) 为偶函数
C． f (x) 的图象关于点 (2,0) 对称
2024
D． f (i) = 0
i=1
17．（2024 如皋市模拟）设 a为常数， f (0) 1= ， f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，则 (　　 )
2
A． f (a) 1= B． f (x) 1= 恒成立
2 2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y) D．满足条件的 f (x) 不止一个
18．（2024 秦皇岛二模）已知函数 f (x) 满足：对"x ， y R ，都有 f (x - y) = f (x) f (y) + f (1+ x) f (1+ y) ，
且 f (0) f （2），则下列说法正确的是 (　　 )
A． f （1） = 0 B． f (0) = 0
2026
C． f (x) + f (2 - x) = 0 D． f (i) = -1
i=1
19．（2024 友谊县校级模拟）已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，"x R ， f (8 - x) - f (x) = 0 ，且 f (x + 3)为
奇函数，若 f (-1) = -2，则 (　　 )
A． f （3） = 0
B． f (x) 的一个周期为 2
C． f （4） = 0
D． f (2023) + f (2024) - f (2025) = 4
20．（2024 河南一模）已知函数 f (x) 的定义域为 R ， f (x + y) - f (x 3- y) = f (x + ) f (y 3+ ) ， f (0) 0，则
2 2
(　　 )
A． f (3) = 0 B． f (0) = -2
2
2022
C f (x) k． 的一个周期为 3 D． f ( ) = 2
k =1 2
21．（2024 玉林模拟）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 + x) - f (2 - x) = 4x ．若 f (2x - 3) 的图象关于点
(2,1)对称，且 f (0) = 0，则 (　　 )
A． f (x) 的图象关于点 (1,1)对称
B．函数 g(x) = f (x) - 2x的图象关于直线 x = 2对称
C．函数 g(x) = f (x) - 2x的周期为 2
D． f （1） + f （2） + + f (50) = 2499
22．（2024 安徽三模）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y)， f （1） = 1， f
（2） = 0，则下列说法中正确的是 (　　 )
A． f (x) 为偶函数 B． f （3） = -1
2023
C． f (-1) = - f （5） D． f (k) = 1
k =1
23 ．（ 2024 青 羊 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 R ， 对 于 任 意 实 数 x 、 y 均 满 足
f ( x + 2y ) f (x) + 2 f (y)= ，若 f （2） = 1， f （5） = 10，则 f (724) =　　．
3 3
五．函数的周期性（共 1 小题）
24．（ 2024 玄武区三模）已知 f (x) 是定义在 R 上的函数， f （ 1） = 10，且对于任意 x R 都有
f (x + 20)…f (x) + 20 ， f (x +1) f (x) +1，若 g(x) = f (x) - x +1，则 g(10) =　　．
六．函数恒成立问题（共 10 小题）
25 ．（ 2024 榆 林 三 模 ） 已 知 a (0,2p ) ， 若 当 x [0， 1]时 ， 关 于 x 的 不 等 式
(sina + cosa +1)x2 - (2sina +1)x + sina > 0 恒成立，则a 的取值范围为 (　　 )
A ( p , 5p ) B (p． ． , 5p ) C p p． ( , ) D p 5p． ( , )
12 12 6 6 6 3 3 6
26．（2024 牡丹江一模）已知 g(x) = x3 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x) 在区间 (- ， 0]上单调递减，
若关于实数m 的不等式 f (log2 m) + f (log0.5 m)…2 f （3）恒成立，则m 的取值范围是 (　　 )
A． (0, 1] B．[8， + ) C． (0, 1]U[8， + ) D． (0, 1]U[8， + )3 3 8
27．（2024 龙岗区校级模拟）已知 ex + sin x…ax +1对任意 x [0， + ) 恒成立，则实数 a的取值范围为 (　　 )
A． (- ， 2] B．[2 ， + ) C． (- ，1] D．[1， + )
x-e
28．（2024 e 呼和浩特模拟）若 e + lnax 在 x (0,+ ) 上恒成立，则 a的最大值为 (　　 )
a
e2-e 1 -e 1A． B． 2e2 C． e1-e
1+ -e
D． e e
2
29．（2024 江苏模拟）已知不等式 (ax + 3)(x2 - b) 0对任意 x (0,+ ) 恒成立，其中 a， b 是整数，则 a + b
的取值可以为 (　　 )
A． -4 B． -2 C．0 D．8
30．（2024 新县校级模拟）已知 a N * ，函数 f (x) = e3x - xa > 0恒成立，则 a的最大值为 　　．
31．（2024 马鞍山模拟）已知不等式 (x +1)2 l(x2 +1)(x2 - 2x + 5)对任意 x R 恒成立，则实数l 的取值范围
是 　　．
32．（2024 3 月份模拟）若存在实数 a，对任意实数 x [0，1]，使得不等式 x3 - m x + a x3 + m 恒成立，
则实数m 的取值范围是 　　．
33．（2024 江西模拟）若不等式 | a ×3x + bx + b | 2x + 2 在 x [0， 2]上恒成立，则 a - b的最大值为 　　．
34．（2024 萍乡二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691 年，莱布尼茨
x x
-
y c(e
c + e c )
等得出悬链线的方程为 = ，其中 c 为参数．当 c = 1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为
2
ex + e- xcosh x = ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足
2
ì(sin x) = cos x
性质：①导数： ；②二倍角公式： cos 2x = 2cos2í x -1；③平方关系： sin2 x + cos2 x = 1．定
(cos x) = -sin x
ex - e- x
义双曲正弦函数为 sinh x = ．
2
（1）写出 sinh x ， cosh x 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
（2）任意 x > 0 ，恒有 sinh x - kx > 0成立，求实数 k 的取值范围；
（3）正项数列{an}(n N
*) 满足 a1 = a > 1， a
2
n+1 = 2an -1
17
，是否存在实数 a，使得 a2024 = ？若存在，求出8
a的值；若不存在，请说明理由．

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