考点03等式性质与不等式性质（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）（含答案） 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

资源简介

考点 03 等式性质与不等式性质（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
【知识点】
1．两个实数比较大小的方法
a－b > 0 a b，
作差法{a－b＝0 a b， (a，b∈R)a－b < 0 a b.
2．等式的性质
性质 1　对称性：如果 a＝b，那么；
性质 2　传递性：如果 a＝b，b＝c，那么；
性质 3　可加(减)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；
性质 4　可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc；
性质 5　可除性：如果 a＝b，c≠0，那么 .
3．不等式的性质
性质 1　对称性：a>b ；
性质 2　传递性：a>b，b>c ；
性质 3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质 4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性质 5　同向可加性：a>b，c>d ；
性质 6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性质 7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1 1
1．若 ab>0，且 a>b < .
a b
b b＋m
2．若 a>b>0，m>0 < ；
a a＋m
b b＋m
若 b>a>0，m>0 > .
a a＋m
【核心题型】
题型一　数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
e2 021＋1 e2 022＋1
【例题 1】(1)已知 M＝，N＝，则 M，N 的大小关系为________．
e2 022＋1 e2 023＋1
(2)若 a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则 P，Q 的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P（3）(2022·全国甲卷)已知 9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
e +1
【变式 1】（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c
ln 5
= +1，则 a,b,c的大关系为
e 5
（）
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【变式 2】（2024·全国· 0.4模拟预测）若 a = 2 ,b = 30.25 ,c = log0.7 0.5，则 a,b,c的大小关系为
（）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c1
【变式 3】（2024·云南昆明·模拟预测）设 a = ,b
ln5 ln6
= ,c = ，则（）
6 10 12
A． c 0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
（2）（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
【变式 1】已知 a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)
A．2ab(a－c)
1 1
C. > D．(a－c)3>(b－c)3
a－c b－c
【变式 2】(多选)若 a>0>b>－a，ca b
A．ad>bc B. ＋ <0
d c
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
【变式 3】(多选)设 a，b，c，d 为实数，且 a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　)
A．c2c d
C．ac0
a b
题型三　不等式性质的综合应用
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范
围．
b
【例题 3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知1< a < 3,3 b>c，且 a＋b＋c＝0，那么的取值范围是
a
________．
【变式 2】（2024·浙江·模拟预测）已知正数 a，b，c 满足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，则
k = a2 + b2 的取值范围为．
ax + by
【变式 3】（2024·浙江·模拟预测）对 x, y定义一种新运算T ，规定：T x, y = 2x y （其中+
a,b a 0 + b 1均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T 0,1 = = b ，已
2 0 +1
ì T 2m,5 - 4m 4
知T 1, -1 = -2,T 4,2 =1，若关于m 的不等式组 í
T m,3 2m P
恰好有 3 个整数解，则
- >
实数 P 的取值范围是 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）“ a > b > 0,c > 0
a b
”是“ > ”的（）
a + c b + c
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）设 a = ln4,b = tan
1
+ tan1,c 3= ，则（）
2 2
A． a ab > b2
B．若 a 
a b
b
D．若0 < a < b，则 2a + > 2 ab
2
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知实数 x，y 满足-1 < x < y <1，则 x + y 的取值范围
是．
6．（2024·河北邯郸·三模）记min{x, y, z}表示 x，y，z 中最小的数．设 a > 0，b > 0，则
min ìía,
1 , 1 + 3bü
b a 的最大值为
．

四、解答题
(x + y)2 1 1
7．（2024·四川绵阳·二模）（1）已知 a，b，x，y 均为正数，求证： 2 2 + 并指出ax + by a b
等号成立的条件；
2
2 1 f (x) 4x + 4x +1（）利用（）的结论，求函数 = 2 (x > 0)的最大值，并指出取最大值时 x 的5x + 4x + 2
值．
【综合提升练】
一、单选题
1
1．（2023·广东·二模）若 a = 3 + ,b 5
1 ,c 2 1= - = + ，则（
2 2 2 3 3 ）
A． a > c > b B． a > b > c
C． c > b > a D．b > c > a
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，则 4a - 2b 的取值范围是（）
A． 1,5 B． 2,7 C． 1,6 D． 0,9
3．（2024·陕西西安·一模）已知 a,b,c R ，则下列选项中是“ a B． ac2 < bc2 C． a2 < b2 D．3a < 3b
a b
a 2 14 2023· · = + ln 2,b =1+ 20.2 ,c = 21.1．（辽宁沈阳模拟预测）已知，则（
5 ）
A． a a > c B．b > c > a C． c > a > b D． c > b > a
二、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）以maxM 表示数集M 中最大的数．设0 < a < b < c <1，已知b 2a
或 a + b 1，则max b - a,c - b,1- c 的最小值为．
四、解答题
7．（2024·辽宁沈阳· 2一模）已知等比数列 an 的各项均为正数，且 a1 + 2a2 =1,a3 = 2a2 × a5 .
(1)求数列 an 的通项公式；
2n
(2)设bn = loga 2 ，求证：1+ b < .n n 2n +1
8．（2023·河北·模拟预测）已知 x 0,1 f x = ex， .
(1)证明： x +1 f x 1 ；
1- x
f 2x 1+ x(2)比较与的大小.
1- x
2
9．（2023·全国·模拟预测）（1 a 3a - b）设 a，b 为正实数，求证：．
a + b 4
2 a b c a
3 b3 c3 ab + bc + ac
（）设，，为正实数，求证： + + ．
a + b b + c c + a 2
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024· 2云南大理·模拟预测）若m 为函数 f x = m(x - m) n - x （其中m 0 ）的极小值
点，则（）
A．m > n > 0 B．m < n < 0
C．mn > m2 D．mn < m2
2
2．（2023·贵州贵阳· 2 4 2三模）已知正实数 a,b,c分别满足 a = ，b = ln 2 ， c = ，其中 e是e 3e
自然常数，则 a,b,c的大小关系为（）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 a,b,c为实数，则下列命题成立的是（）
A．若 a b - c
C．若 a c > b c ，则 a > b
2 2
D．若 a > b，则 <
a b
1
4．（2023·四川南充·一模）已知： 2a+1 = 3 b-3， 2 = ，则下列说法中错误的是（）3
3
A． a + b = 2 B．11
2
二、多选题
5．（2023· 2广东肇庆·二模）已知正数 a,b满足等式 a - b = 2 2lnb - lna ，则下列不等式中可
能成立的有（）
1
A． a > b2 > B． a
1
< b2 <
2 2
C． a > b >1 D．b < a <1
1
6．（2023· · 17 1 1 35河北三模）已知a = ,b = cos ,c = 3tan ,d = e18 ,m = ln ，则下列不等式成立
18 3 3 18
的是（）
A． c > b > a B． c > a > b
C．d > a > m D．a > d > m
7．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数 a,b满足1 ab 4,4
a
9，则（）
b
A． 2 a 6 B．1 b 3 C． 4 a3b 144 D．1 ab3 4
三、填空题
sin1
8．（2023· · a = b 3 c π 2 - 3内蒙古赤峰一模）已知， = ， = -3 ，则
a,b,c的大小关系
2π 9 6
是 .
9 2 2．（2023·四川凉山·一模）已知P x, y 是曲线 x + y = 1 x > 0 x + y +1上的点，则的取值
x +1
范围是 .
10．（2023·广东深圳·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足：
2an+1 = a + a
* 2
n n+2 n N ，且a3，a7为方程 x -18x + 65 = 0的两根，且 a7 > a3 .若对于任意
n N* ，不等式 2n an 4 - l > an -1
2
恒成立，则实数l 的取值范围为 .
四、解答题
11．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数 f x = ex + k ln x +1 -1 k R ．
(1)当 k =1时，求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)若对任意 x 1,+ ，都有 f x 0，求实数 k 的取值范围；
1
(3)当 k - 时，对任意的 s, t 0,+ ，且 s t ，试比较 f s + f t 2 f s - 2 f t 与的大
2 s - t
小．考点 03 等式性质与不等式性质（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
【知识点】
1．两个实数比较大小的方法
a－b > 0 a > b，
作差法{a－b＝0 a＝b， (a，b∈R)a－b < 0 a < b.
2．等式的性质
性质 1　对称性：如果 a＝b，那么 b＝a；
性质 2　传递性：如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c；
性质 3　可加(减)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；
性质 4　可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc；
a b
性质 5　可除性：如果 a＝b，c≠0，那么＝ .
c c
3．不等式的性质
性质 1　对称性：a>b b性质 2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质 3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质 4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质 5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质 6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质 7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1 1
1．若 ab>0，且 a>b < .
a b
b b＋m
2．若 a>b>0，m>0 < ；
a a＋m
b b＋m
若 b>a>0，m>0 > .
a a＋m
【核心题型】
题型一　数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
e2 021＋1 e2 022＋1
【例题 1】(1)已知 M＝，N＝，则 M，N 的大小关系为________．
e2 022＋1 e2 023＋1
【答案】M>N
e2 021＋1 e2 022＋1
【解析】方法一　M－N＝－
e2 022＋1 e2 023＋1
e2 021＋1 e2 023＋1 － e2 022＋1 2
＝
e2 022＋1 e2 023＋1
e2 021＋e2 023－2e2 022
＝
e2 022＋1 e2 023＋1
e2 021 e－1 2
＝ >0.
e2 022＋1 e2 023＋1
∴M>N.
ex＋1
方法二　令 f(x)＝
ex＋1＋1
1
ex＋1
1 1
e ＋1 ＋1－e 1 1－e
＝＝＋，
ex＋1＋1 e ex＋1＋1
显然 f(x)是 R 上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即 M>N.
(2)若 a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则 P，Q 的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P【答案】C
eb
P aeb b
【解析】　P，Q 作商可得＝＝，
Q bea ea
a
ex ex x－1
令 f(x)＝，则 f′(x)＝，
x x2
ex
当 x>1 时，f′(x)>0 ，所以 f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，
x
eb ea
因为 a>b>1，所以 < ，
b a
eb
eb ea P
又 >0， >0 b，所以＝ a<1，所以 Pa
（3）(2022·全国甲卷)已知 9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【答案】　A
【解析】　∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令 f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x>1 且 1∴xm－1>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又 9m＝10，∴9m－10＝0，即 f(9)＝0，
又 a＝f(10)，b＝f(8)，
∴f(8)e +1 ln 5
【变式 1】（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c = +1，则 a,b,c的大关系为
e 5
（）
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【答案】B
ln x
【分析】根据 a,b,c的特点，构造函数 f (x) = ，判断其单调性，得到
x
f (x)max = f (e)
1
= ，故有 f (e) > f (5), f (e) > f (2)，再运用作差法比较 f (5), f (2)即得.
e
ln x f (x) 1- ln x【详解】设 f (x) = ，则 = 2 ，x x
当0 < x < e时， f (x) > 0 ， f (x) 在 (0, e)上递增；
当 x>e时， f (x) < 0 ， f (x) 在 (e,+ ) 上递减,
故 f (x)max = f (e)
1
= .
e
1 ln 5
则 > ,
1 ln 2
> ，即b > c,b > a；
e 5 e 2
25
由 ln 5 ln 2 2ln 5 - 5ln 2 ln 32 0可知 c < a- = = < ，故b > a > c .
5 2 10 10
故选：B.
0.4 0.25
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）若 a = 2 ,b = 3 ,c = log0.7 0.5，则 a,b,c的大小关系为
（）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断 a,c 范围，比较它们的大小；利
用作商法比较 a,b的大小，即可得答案.
【详解】因为函数 y = 2x 在 R 上单调递增，所以 a = 20.4 < 20.5 = 2 ．
1 1 1
a 20.4 20.4 20 20 28 20又 256 20= = ÷ = ÷ =

÷ >1，所以b < a < 2 ．b 30.25 30.25 20 5è è 3 è 243
3
因为0.52 = 0.25 < 0.343，故0.5 < 0.343 = 0.72 , y = log x在 (0, + )上单调递减，0.7
3 3
所以 log 2 a < c0.7 0.5 > log0.7 0.7 = > 2 ，所以，2
所以实数 a,b,c的大小关系为b < a < c，
故选：B．
1 ln5 ln6
【变式 3】（2024·云南昆明·模拟预测）设 a = ,b = ,c = ，则（）
6 10 12
A． c c，
a b 1 ln5 5 - 3ln5 lne
5 - ln125
又 - = - = = > 0，得 a > b，
6 10 30 30
所以 a > b > c，
故选：A
题型二　不等式的性质
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
【例题 2】．（1）(多选)(2023·汕头模拟)已知 a，b，c 满足 c一定成立的是(　　)
A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
【答案】BCD
【解析】因为 a，b，c 满足 c所以 c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，
所以 ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2ac.
（2）（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断 AC；举出反例即可判断 B；由作差法即
可判断 D.
【详解】对于 AC，当 x > 0时，"x > 0,ex >1,cosx 1，
所以"x > 0,ex > cosx，故 A 正确，C 错误；
对于 B，当 a = 0,b = -1时， a2 = 0 <1 = b2，故 B 错误；
é 2 ù
对于 D a3 - b3， = a - b a2 + ab + b2 1 3= a - b ê a + b÷ + b2 ú ，
ê è 2 4 ú
é 1 2 3 ù
因为 a > b 3 3，所以 a - b = a - b ê 2 a + b÷ + b ú > 0，故 D 错误.
ê è 2 4 ú
故选：A.
【变式 1】已知 a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)
A．2ab(a－c)
1 1
C. > D．(a－c)3>(b－c)3
a－c b－c
【答案】D
【解析】∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故 A 错误；
取 a＝3>b＝2>c＝1>0，则 a(b－c)＝3由 a>b>c>0 可知，a－c>b－c>0，
1 1
∴ < ，(a－c)3>(b－c)3，故 C 错误，D 正确．
a－c b－c
【变式 2】(多选)若 a>0>b>－a，ca b
A．ad>bc B. ＋ <0
d c
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
【答案】BCD
【解析】因为 a>0>b，c0，所以 ad因为 0>b>－a，所以 a>－b>0，因为 cac＋bd a b
所以－c>－d>0，所以 a(－c)>(－b)(－d)，所以 ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋ <0，故
cd d c
B 正确；
因为 c－d，因为 a>b，所以 a＋(－c)>b＋(－d)，即 a－c>b－d，故 C 正确；
因为 a>0>b，d－c>0，所以 a(d－c)>b(d－c)，故 D 正确．
【变式 3】(多选)设 a，b，c，d 为实数，且 a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　)
A．c2c d
C．ac0
a b
【答案】AD
【解析】因为 a>b>0>c>d，
所以 a>b>0,0>c>d，
对于 A，因为 0>c>d，由不等式的性质可得 c2对于 B，取 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则 a－c＝3，b－d＝3，
所以 a－c＝b－d，故选项 B 错误；
对于 C，取 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则 ac＝－2，bd＝－2，
所以 ac＝bd，故选项 C 错误；
对于 D，因为 a>b>0，dc d
所以 > ，
a b
c d
故－ >0，故选项 D 正确．
a b
题型三　不等式性质的综合应用
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范
围．
b
【例题 3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知1< a < 3,3 < b < 6 ，则的取值范围为（
2a ）
3 1
A． ,1÷ B． 2,6 C． 1,6 D． ,3
è 2 è 2 ÷
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为1< a < 3,3 b>c，且 a＋b＋c＝0，那么的取值范围是
a
________．
c 1
【答案】－2< <－
a 2
【解析】由于 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，
c
所以 a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c－c， >－2，
a
c 1
－a－c>c，－a>2c， <－，
a 2
c 1
所以－2< <－ .
a 2
【变式 2】（2024·浙江·模拟预测）已知正数 a，b，c 满足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，则
k = a2 + b2 的取值范围为．
【答案】9 < k < 41
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】Q正数 a、b 、 c满足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，
\c2 =16 - a2， a2 > 0所以0 < c2 <16
同理：有 c2 = 25 - b2得到0 < c2 < 25，所以0 < c2 <16
两式相加： a2 + b2 + 2c2 = 41
即 a2 + b2 = 41- 2c2
又Q-16 < -c2 < 0 ,即-32 < -2c2 < 0
\9 < 41- 2c2 < 41
即9 < k < 41．
故答案为：9 < k < 41
【变式 3】（2024·浙江·模拟预测）对 x, y定义一种新运算T ，规定：T x, y ax + by= 2x y （其中+
a,b a 0 + b 1均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T 0,1 = = b ，已
2 0 +1
ìT 2m,5 - 4m 4
知T 1, -1 = -2,T 4,2 =1，若关于m 的不等式组 í 恰好有 3 个整数解，则
T m,3- 2m > P
实数 P 的取值范围是 .
【答案】-2 P
1
< -
3
【分析】根据已知得出关于 a,b的方程组，求出 a,b，再代入不等式组求出解集，再根据已
知条件得到取值范围.
【详解】因为T 1, -1 = -2,T 4,2 =1，
a - b 2, 4a + 2b所以 = - + 2 =1，解得 a =1,b = 3，
2 -1 2 4
2m + 3 5 - 4m 1所以T 2m,5 - 4m = 4 m - ，
4m + 5 - 4m 2
m + 3 3- 2mT m,3 2m - = > P 9 - 3P m < ，
2m + 3 - 2m 5
因为不等式组恰有 3 个整数解，
9 - 3P 1
所以 2 < 3 -2 P < - ，
5 3
1
故答案为：-2 P < - .
3
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
a b
1．（2023·陕西西安·模拟预测）“ a > b > 0,c > 0 ”是“ > ”的（）
a + c b + c
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得
出结论.
a b a - b c
【详解】若 a > b > 0,c > 0，则 - = > 0a + c b + c a + c b + c ，即充分性成立，
令 a = -1,b = -2,c = 3
-1 -2
，则 > ，即必要性不成立；
-1+ 3 -2 + 3
a > b > 0,c > 0 a b故“ ”是“ > ”的充分不必要条件.
a + c b + c
故选：A
1 3
2．（2024·全国·模拟预测）设 a = ln4,b = tan + tan1,c = ，则（）
2 2
A． a x，进而得
è 2
b > c，再结合对数的性质，利用作差比较法可得 a < c，从而可得正确答案.
π
【详解】构造函数 f x = tan x - x, x 0, ÷，
è 2
f x sin x

x cos
2 x + sin2 x sin2 x
则 = ÷ - = -1 = = tan
2 x > 0，
è cos x cos2 x cos2 x
所以 f x 在 0, π 2 ÷内单调递增，又 f 0 = tan 0 - 0 = 0，è
f x 0, π 于是在 2 ÷内 tan x - x > 0，即 tan x > x恒成立.è
由0
1 1 π 1 1< < < ，得 < tan ,1 < tan1，
2 2 2 2
tan 1所以 + tan1
1 1 3> + = ，故b > c；
2 2 2
3 3 1 1
又 ln 4 - = ln 4 - ln e2 = ln 16 2 - ln e3 2 1 ln 16= ，2 2 e3
易知，函数 y = ln x 在 0, + 16 16内单调递增，又 3 <1，所以 ln < ln1 = 0，e e3
ln 4 3 1 ln 16 3于是 - = 3 < 0，即 ln 4 < ，故 a < c．2 2 e 2
综上所述， a < c < b．
故选:D.
3 3 3
3．（23-24 高三上·陕西西安·阶段练习）若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，则 a，b，c 的
2 4 4
大小关系为（）
A． a a，构造函数 h(x) = sin x + tan x - 2x, (x 0, 4 ÷
) ，利用导
è
数可得c > b ，则答案可求.
3
2
3 3 2 3【详解】因为 4 < e2 ÷ ，所以 4 < e2 ，所以 a = ln 4 < b = = ln e2 ，
è 2
h x = sin x + tan x - 2x, x π 0, 令 ÷÷，所以，则
è è 4
1 cos3 x 2cos2 x 1 cos3 x - cos2- + x - cos2 x -1 h (x) = cos x + - 2 = =
cos2 x cos2 x cos2 x
cos2 x cos x -1 - cos x +1 cos x -1 cos x -1 cos2 x - cos x -1
= = ，
cos2 x cos2 x
2
2 cos x - cos x 1 cos x 1 5 1+ 2- = -

÷ - - ,-1 ，
è 2 4
2 ÷÷è
cos x -1 cos2 x - cos x -1
所以 h x = > 0，
cos2 x
即 h x = sin x π + tan x - 2x, x
0, ÷÷恒为递增函数，
è è 4
3
则 h( ) > h(0) = 0，即 sin
3
+ tan 3 3- > 0，所以c > b ，
4 4 4 2
综上： a ab > b2
B．若 a 
a b
b
D．若0 < a < b，则 2a + > 2 ab
2
【答案】AC
【分析】对 A 和 C 利用不等式性质即可判断，对 B 和 D 举反例即可反驳.
【详解】对 A，因为 a ab ，两边同乘b 得 ab > b2 ，
则 a2 > ab > b2 ，故 A 正确；
对 B，当 c = 0 时， ac2 = bc2 ，故 B 错误；
1 1 c c
对 C，因为0 < a < b，则 > ，又因为 c > 0，所以 > ，故 C 正确；
a b a b
对 D，举例 a = 2,b = 8，则 2a
b
+ = 2 2 8 + = 8，而
2 2 2 ab = 2 2 8 = 8
，
此时两者相等，故 D 错误.
故选：AC.
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知实数 x，y 满足-1 < x < y <1，则 x + y 的取值范围
是．
【答案】 -2,2
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由-1 < x < y <1可得-1 < x <1，-1 < y <1，所以-2 < x + y < 2，
故答案为： -2,2
6．（2024·河北邯郸·三模）记min{x, y, z}表示 x，y，z 中最小的数．设 a > 0，b > 0，则
min ìa, 1 , 1í + 3b
ü
b a 的最大值为
．

【答案】2
1 1
【分析】分 a是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若 a ，则可以得到
b b
min ìa, 1 1í + 3b
ü 2 1 ，并且存在 a = 2，b =
ì
，使得min ía, + 3b
ü = 2 a 1>
a ，，同理时，我们 2 a

b
可以证明min
ì
ía,
1 , 1 + 3bü < 2 .
b a
，由此即可得解

a 1
1 1 1
【详解】若，则 ab 1，此时min
ì
ía, , + 3b
ü = min ìa, + 3bü
b b a
í ，
a
a 1因为 + 3b

÷ =1+ 3ab 4 a
1
，所以和 + 3ba 中至少有一个小于等于
2，
è a
min ìa, 1 + 3bü 2 b 1 1 1所以 í ，又当 a = 2 =a ，时，
a = = + 3b = 2，
2 b a
所以min
ì
ía,
1 , 1 + 3bü
b a 的最大值为
2．

a 1
1
若 > ，则ab ì>1，此时min ía, ,
1 3bü min ì1 1+ = , + 3bü
b a í ，b b a
1 1
因为 + 3b
1= + 3 < 4 1 1
b a ÷ ab ，所以和
+ 3b中至少有一个小于 2，
è b a
min ìa, 1 , 1所以 í + 3b
ü
< 2b a ．
综上，min
ì 1 1 ü
ía, , + 3bb a 的最大值为
2．

故答案为：2.
1
【点睛】关键点点睛：关键是分 a是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
b
四、解答题
(x + y)2 1 1
7．（2024·四川绵阳·二模）（1）已知 a，b，x，y 均为正数，求证： + 并指出
ax2 + by2 a b
等号成立的条件；
2 4x
2 + 4x +1
（）利用（1）的结论，求函数 f (x) = 2 (x > 0)的最大值，并指出取最大值时 x 的5x + 4x + 2
值．
ax = by f x 5【答案】（1）证明见解析，当时取等号；（2）的最大值为，此时 x = 2 .
6
【分析】（1）采用作差法进行证明，再根据最后化简的式子分析取等条件；
2é x +1 + xù
（2 ）将 f x 变形为 f x = 2 ，然后根据（1）的结论求解出最大值并确定此时2 x +1 + 3x2
x 的值.
1 1 x + y 2 a + b x + y 2 a + b ax2 + by2 - ab x + y 2
【详解】（1）因为 + ÷ - 2 2 = - =è a b ax + by ab ax2 + by2 ab ax2 + by2
a2 2
2
x + b2 y2 - 2abxy ax - by
= =
ab ax2 + by2 ab ax2 + by2
a,b, x, y ab ax2 + by2又均为正数，所以 > 0, ax - by 2 0，
2 2
1 1 x + y x + y 1 1
所以 +

÷ - 0，所以 + ，
è a b ax2 + by2 ax2 + by2 a b
当且仅当 ax - by = 0，即 ax = by 时取等号；
2
4x2 + 4x +1 é x +1 + xù
（2）因为 f x =
5x2
= ，
+ 4x + 2 2 x +1 2 + 3x2
2 é x +1 + xù 1 1 5
由（1）可知
2 x +1 2
+ = ，
+ 3x2 2 3 6
当且仅当 2 x +1 = 3x ，即 x = 2时取等号，
所以 f x 5的最大值为，此时 x = 2 .
6
【综合提升练】
一、单选题
1 1 1
1．（2023·广东·二模）若 a = 3 + ,b = 5 - ,c = 2 + ，则（
2 2 2 3 3 ）
A． a > c > b B． a > b > c
C． c > b > a D．b > c > a
【答案】A
【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
a c 3 2 3 - 2 2 4 2 - 3 3 32 - 27【详解】因为 - = - + = = > 0，所以 a > c .
2 6 2 6 2 6
c b 3 2 2 + 3 - 2 5- = 2 - 5 + = ，
2 3 2
因为 (2 2 + 3)2 - (2 5)2 = 4 6 - 9 = 96 - 81 > 0，
且 2 2 + 3 > 0,2 5 > 0，所以 2 2 + 3 > 2 5 ，所以 c - b > 0，所以c > b .故 a > c > b .
故选： A
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，则 4a - 2b 的取值范围是（）
A． 1,5 B． 2,7 C． 1,6 D． 0,9
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设 4a - 2b = m a - b + n a + b = m + n a - m - n b ，
ìm + n = 4 ìm = 3
所以 í ，解得 í ，
m - n = 2 n =1
所以 4a - 2b = 3 a - b + a + b ，
又 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，
所以3 a - b 0,3 , 4a - 2b 2,7 ，故 A，C，D 错误.
故选：B.
3．（2024·陕西西安·一模）已知 a,b,c R ，则下列选项中是“ a B． ac2 < bc2 C． a2 < b2 D．3a < 3b
a b
【答案】B
【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即
可.
a = -1,b =1 c c【详解】对于 A，当，满足 a 不成立，
a b
当 a =1,b = -1,c =1
c c
时，满足 > ，但 a < b 不成立，故 A 错误；
a b
对于 B，当 c = 0 时， a < b ac2 < bc2，但 ac2 < bc2 a < b ，故 B 正确；
对于 C， a = -2,b =1时， a < b ，但 a2 < b2 不成立，
a =1,b = -2 时， a2 < b2 ，但 a < b 不成立，故 C 错误；
对于 D，因为指数函数 y = 3x 在R 上单调递增，故 a < b 3a < 3b，故 D 错误.
故选：B
1
4 2023· · a = 2 + ln 2,b =1+ 20.2 1.1．（辽宁沈阳模拟预测）已知 ,c = 2 ，则（
5 ）
A． a 0，所以b > c；
c 1- a = 21.1 - 2 + ln 2÷ = 2 2
0.1 - 2 - ln 20.2 = 2(20.1 -1- ln 20.1)，
è 5
设函数 f (x) = x -1- ln x, f (x) =1
1 x -1
- = ，
x x
所以 x (0,1) 时， f (x) < 0 ，函数 f (x) 单调递减，
x 1, + 时， f (x) > 0 ，函数 f (x) 单调递增，
所以 f (x) f (1) = 0，而 20.1 1，
所以 f (20.1) = 20.1 -1- ln 20.1 > 0，所以 c > a ，
所以 a < c < b，
故选：D.
17 1 1
5．（2023·全国·模拟预测）设 a = ，b = cos ， c = 3sin ，则下列正确的是（）
18 3 3
A．b > a > c B．b > c > a C． c > a > b D． c > b > a
【答案】D
π
【分析】先利用导数证明当 x (0, )时， tan x > x > sin x ，再分别利用作商，作差比较法可
2
判断 a，b ， c大小.
【详解】先来证明当 x (0,
π)时， tan x > x > sin x .
2
2
令 f x = tan x - x ， x (0, π)，则 f
2 x
1- cos x
=
cos2
> 0，
x
π
所以函数 f x 在 (0, ) 上单调递增，可得 f x > f 0 = 0，即得 tan x > x；
2
令 g x = x - sin x ， x (0, π)，则 g x =1- cos x > 0，
2
所以函数 g x 在 (0, π) 上单调递增，可得 g x > g 0 = 0，即得 x > sin x ；
2
所以当 x (0,
π)时， tan x > x > sin x .
2
因为 a >,b > 0,c > 0，
1
c 3sin 1
由 = 3 = 3tan
1 π 1 1
1 ，因为 (0, )，所以 tan > ，则3tan
1
> 1，所以c > b3 ，b cos 3 3 2 3 3
3
a b 17- = - cos 1 17= - (1- 2sin2 1又 ) = 2sin2
1 1
- < 2 (1)2 1- = 0 a b > a .
故选：D.
二、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）以maxM 表示数集M 中最大的数．设0 < a 0，
ìb =1- n - p
所以 ía 1 m n p， = - - -
若b 2a ，则b =1- n - p 2 1- m - n - p ，故 2m + n + p 1，
令M =max b - a,c - b,1- c = max m, n, p ，
ì2M 2m

因此 íM n ,故 4M 2m + n + p 1
1
,则M ，
4
M p
若 a + b 1，则1- n - p +1- m - n - p 1，即m + 2n + 2 p 1，
M =max b - a,c - b,1- c = max m, n, p ，
ìM m

则 í2M 2n ,故5M m + 2n + 2 p 1 M
1
,则，
5
2M 2 p
当且仅当m + 2n + 2 p =1且max m,n, p 1= 时等号成立，
5
m n 1如取 = = p = 时可满足等号成立，
5
综上可知max b - a,c - b,1- c 1的最小值为，
5
1
故答案为：
5
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在b 2a 和 a + b 1前提下进行合理分类讨
论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.
四、解答题
7．（2024·辽宁沈阳· 2一模）已知等比数列 an 的各项均为正数，且 a1 + 2a2 =1,a3 = 2a2 × a5 .
(1)求数列 an 的通项公式；
b log 2 1 b 2n(2)设 n = a ，求证： + n < .n 2n +1
1
【答案】(1) an = 2n
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列基本量计算；
1 2n
（2）根据对数运算求得bn = - ，由1+ bn - < 0得证.2n 2n +1
【详解】（1）设 an 的公比为q a2 2
2
，由 43 = 2a2 ×a5知 a1q = 2 a1q a1q ，
\q 1= ，
2
由 a1 + 2a =1
1
2 得 a1 + 2 × a1 × q =1,\a1 = ，2
1
\an = n .2
1
（2）证明：由题知bn = loga 2 = - ，n 2n
1 b 2n 1 1 2n -1所以 + n - = - - = < 02n +1 2n 2n +1 2n 2n +1 ，
2n
\1+ bn < .2n +1
8．（2023·河北·模拟预测）已知 x 0,1 ， f x = ex .
(1)证明： x +1 f x 1 ；
1- x
f 2x 1+ x(2)比较与的大小.
1- x
【答案】(1)证明见解析
(2) f (2x)
1+ x

1- x
x
【分析】（1）通过构造函数 h x = e - x -1，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
h x = ex - x -1的最小值，从而得出 ex x +1，即可证明结果；
（2 g x = ex 1- x - e- x）通过构造函数 1+ x ，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
g x = ex 1- x - e- x 1+ x 在区间 0,1 x上的最大值，从而得出 e 1- x e- x 1+ x ，即可得
出结果；
x 1 f x 1 x 1【详解】（1）要证 + ，即证 x +1 e ，
1- x 1- x
设 h x = ex - x -1，则 h x = ex -1，
由 h x > 0，得 x > 0，由 h x < 0，得 x < 0 ，
所以 h x = ex - x -1在区间 - ，0 上单调递减，在区间 0，+ 上单调递增，
所以 h x 在 x = 0处取得最小值，即 h x h 0 = 0，所以 ex x +1，
∵ ex x +1，用-x代替 x ，得 e- x 1- x > 0 ，
e x 1 1所以，结论成立，所以不等式 x +1 f x 成立.
1- x 1- x
（2）因为 f 2x = e2x ， x éê0,
1
÷ ，
2
令 g x = ex 1- x - e- x 1+ x ，
所以 g x = ex (1- x) - ex + e- x (1+ x) - e- x = x e- x - ex ，
é 1 é 1
易知，当 x ê0, 2 ÷
时， e- x - ex 0，所以 g x 在区间 ê0, ÷上单调递减， 2
又因为 g 0 = 0 g x 0 ex 1- x e- x 1+ x e2x 1+ x，所以，即，得到，
1- x
f 2x 1+ x所以 .
1- x
2
9 2023· · 1 a b a 3a - b．（全国模拟预测）（）设，为正实数，求证：．
a + b 4
3
2 a a b
3 c3 ab + bc + ac
（）设，b，c 为正实数，求证： + + ．
a + b b + c c + a 2
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.
a2 3a - b (a - b)2
【详解】（1）因为 - = ，a，b 为正实数，
a + b 4 4(a + b)
(a - b)2 a2 3a - b
所以 0 ，所以，当且仅当 a = b时，取等号．
4(a + b) a + b 4
a3 3a2 - ab
（2）由（1），得．
a + b 4
b3 3b2 - bc c3 3c2 - ac
同理，得，
b + c 4 c + a 4
a3 b3 c3 3a2 - ab + 3b2 - bc + 3c2 - ac
所以 + + =
a + b b + c c + a 4
3 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac 3(ab + bc + ac) - (ab + bc + ac) ab + bc + ac
= ，
4 4 2
当且仅当 a = b = c时，取等号．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024· 2云南大理·模拟预测）若m 为函数 f x = m(x - m) n - x （其中m 0 ）的极小值
点，则（）
A．m > n > 0 B．m < n < 0
C．mn > m2 D．mn < m2
【答案】C
【分析】m = n 时 f x 为单调函数，无极值点不符合题意；令 f x = 0有两根为 x = m 或
x m + 2n= ，分m > 0、m < 03 讨论，根据
m 为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得
答案.
【详解】若m = n ，则 f x = -m(x - m)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故m n .
由于 f x = m x - m -3x + m + 2n ，且m n，故 f x = 0 m + 2n有两根为 x = m 或 x = 3
m + 2n
①当m > 0时，若m 为极小值点，则需满足：m < ，故有0 < m < n，
3
可得mn > m2；
m + 2n
②当m < 0时，若m 为极小值点，则需满足：m > ，故有：0 > m > n，
3
可得mn > m2 .
故 A，B 选项错误，综合①②有：mn > m2 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据m 为极小值点得到m, n的关系再结合不等式的性
质解题.
2
2 2 4 2．（2023·贵州贵阳·三模）已知正实数 a,b,c分别满足 a = ，b = ln 2 ，，其中 e是
e c = 3e
自然常数，则 a,b,c的大小关系为（）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
【答案】A
ln x
【分析】利用作商法可比较出 a,c 大小关系；可构造函数 f x = ，将 a,b和b,c大小关系
x
的比较转化为 f 2 , f e 和 f e2 , f 8 大小的比较，利用导数可求得 f x 单调性，从而比
较出大小关系.
a2 2= a 2 a 2 3e 3 e【详解】由得： = ，\ = = ，
e e c e 4 2 4
2
Qe 4 16 e
4
> = \ > a 3 e ÷ ，，\ = >1，又 c > 0，\a > c；
è 3 9 3 c 4
f x ln x
1 1
- ln x ×
令 = ，则
x f x = x 2 x 2 - ln x= ，x 2x × x
\当 x 0,e2 时， f x > 0 2；当 x e ,+ 时， f x < 0；
\ f x 在 0,e2 上单调递增，在 e2 ,+ 上单调递减；
\ f ln e 1 ln 2e > f 2 2，即 = > ，\ > ln 2，即 a > b；
e e 2 e
2 ln e2 2 ln8 3ln 2 4 2
且 f e > f 8 ，即 = > = ，
e e \ln 2 <
，即b < c ；
2 2 2 2 3e
综上所述： a > c > b .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用函数单调性比较大小的问题；解题关键是能
ln x
够根据所给数字的特征，将问题转化为 f x = 的不同函数值的比较问题，从而利用导数
x
求得函数单调性，根据单调性得到大小关系.
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 a,b,c为实数，则下列命题成立的是（）
A．若 a b - c
C．若 a c > b c ，则 a > b
2 2
D．若 a > b，则 <
a b
【答案】C
【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】对于 A，若 a b c ，可知 c 0，不等式两边同时除以 c ，即 > a > bc c ，可得，即 C
正确；
对于 D，若 a > b，不妨取 a =1,b = -1
2
，则 = 2
2
> = -2，可得 D 错误；
a b
故选：C
1
4．（2023·四川南充· b-3一模）已知： 2a+1 = 3， 2 = ，则下列说法中错误的是（）
3
3
A． a + b = 2 B．11
2
【答案】D
2a+1 = 3 2b-3
1
【分析】由， = ，得到 a = log2 3 -1,b = 3- log2 3，再由 log2 3
2 > log2 2
3
，得到
3
3
2 > log2 3 > log2 22
3
= ，然后逐项判断.
2
2a+1 = 3 2b-3
1
【详解】解：因为， = ，
3
所以 a = log2 3 -1,b = 3- log2 3，
则 a + b = log2 3 -1 + 3 - log2 3 = 2，故 A 正确；
3
因为 log 32 > log 23 ，则 2 > log 3 > log 2 32 2 2 2 2 = ，2
1 3 3所以 < 3 - log2 3 < ，即1 2 > ，所以b - a = 3 - log2 2
3 - log2 3 -1 = 4 - 2log2 3 <1，故 C 正确；
2 log 3 3因为 > 2 > ，所以2
ab = log2 3 -1 3- log2 3 = - log2 3
2 + 4log2 3 - 3 = - log2 3 - 2
2 +1<1，故 D 错误；
故选：D
二、多选题
5 2．（2023·广东肇庆·二模）已知正数 a,b满足等式 a - b = 2 2lnb - lna ，则下列不等式中可
能成立的有（）
a b2 1A > > B a < b2
1
．． <
2 2
C． a > b >1 D．b < a <1
【答案】AC
【分析】将已知转化为 a2 + lna2 = b + lnb4 ，通过构造函数法，结合导数判断当 b 0,1 时，
b2 + ln b2 > a2 + lna2 ，进而构造函数 g(x) = x + ln x，根据单调性即可判断选项 CD；同理利用
构造函数和求导即可判断 AB.
2
【详解】因为 a - b = 2 2lnb - lna ， a > 0，b > 0，
a2所以 - b = 2 lnb2 - lna ，
所以 a2 + lna2 = b + 2lnb2 = b + lnb4 ，
构造 f (b) = b2 + ln b2 - (b + ln b4 )
= b2 + 2ln b - b - 4ln b = b2 - b - 2ln b，
2 1
所以 f (b) = 2b -1- = 2(b - ) -1，
b b
1 1+ 17
当 2 b - ÷ -1 < 0，即b b
0,
4 ÷è ÷
时，
è
分析b 0,1 即可，
所以 f b 在 0,1 上单调递减，
所以 f (b) > f (1) = 0，所以 f (b) > 0，
所以b2 + ln b2 - (b + ln b4 ) > 0，
所以b2 + ln b2 > b + ln b4 ，
由b + ln b4 = a2 + ln a2 ，
所以b2 + ln b2 > a2 + lna2 ，
构造 g(x) = x + ln x， x 0,1 ，
则 g (x)
1
=1+ > 0，
x
所以 g(x)在 0,1 上单调递增，
所以由b2 + ln b2 > a2 + lna2 得 g(b2 ) > g(a2 )，
所以b2 > a2 ，
故此时 a b >1可能成立，故 C 选项可能正确，
由 a2 + lna2 = b + 2lnb2 = b + lnb4 ，即 a2 + lna2 = b2 + 2lnb2 ，
构造 h a = a2 + 2lna - 2lna - a = a2 - a a > 0 ，
1 4a a -1 h a 0, a 1所以 h a = 2a - = ，设 0 = 0 < ，2 a 2 a 2
当0 < a < a0 时， h a < 0，所以 h a 在 0, a0 单调递减，在 a0 ,1 上单调递增，
且 h 1 = h 0 = 0，所以当 0 < a < 1时， h a < 0
即 a2 + 2lna < 2lna + a ，
所以 2ln b2 + b2 < 2ln a + a ，
构造m x = 2ln x + x , x 0,
1
2 ÷
，
è
则m x 2 1= + > 0，所以m x 在 0, + x 上单调递增，2 x
所以b2 < a ，故 A 可能正确，B 项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理
能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数 f (b) = b2 - b - 2ln b 以及
h a = a2 + 2lna - 2lna - a ，利用导数以及参数的范围进行判断.
1
6．（2023· 17 1河北·三模）已知a = ,b = cos ,c = 3tan 1 ,d 35= e18 ,m = ln ，则下列不等式成立
18 3 3 18
的是（）
A． c > b > a B． c > a > b
C．d > a > m D．a > d > m
【答案】AC
1 1
【分析】先利用三角函数线得到 tana > a > sina ，进而得到 c = 3tan > 3 =1，作差法得
3 3
到b > a，得到 c > b > a；再构造函数 f x = ex - x -1， x > 0与 g x = ln x - x +1， x > 0，证明
出d > a > m .
【详解】设 AOB = a 为锐角，作出单位圆，与 x 轴交于A 点，则 A(1,0)，
过点A 作 AC 垂直于 x 轴，交射线OB于点C ，连接 AB ，过点 B 作BD ⊥ x 轴于点D，
由三角函数定义可知 AC = tana ，BD = sina ，
1
设扇形OAB 的面积为 S1，则 SVOAC > S1 > SVABO ，即 tana
1 a 1> > sina ，故
2 2 2
tana > a > sina ，
所以 c = 3tan
1
> 3 1 =1，
3 3
b a cos 1 17 1 2sin2 1 17 1- = - = - - = - 2sin2 1 = 2 1 sin2 1- ，
3 18 6 18 18 6 36 6 ÷è
1 1
sin 1 1 0，故b > a，6 6 è 36 6
综上： c > b > a，A 正确，B 错误；
令 f x = ex - x -1， x > 0，则 f x = ex -1，
当 x > 0 x时， f x = e -1 > 0，故 f x 在 0, + 上单调递增，
1 1 19
所以 f ÷ > f 0 = 0 ，所以 e18 > ，
è18 18
令 g x = ln x - x +1 g x 1 1 1- x， x > 0，则 = - = ，
x x
当0 < x <1时， g x > 0， g x 单调递增，当 x >1时， g x < 0， g x 单调递减，
g 35 = ln 35 35- +1 < g 1 = 0 ln 35 35 1 17故 ÷ ，故 < - = ，
è 18 18 18 18 18 18
故d > a > m ，C 正确，D 错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有
x x ln x x -1 x > 0 ln 1 1 1 1 1e ex ， e x +1，， -1， < ln +1 < 等.x x 1+ x è x ÷ x
a
7．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数 a,b满足1 ab 4,4 9，则（）
b
A． 2 a 6 B．1 b 3 C． 4 a3b 144 D．1 ab3 4
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质，变形求解.
a
【详解】1 ab 4,4 9，两式相乘得 4 a2 36，所以 2 a 6，A 正确；
b
1 b 1 1 ab 4 1 b2 1由题得，又，两式相乘得 1，所以 b 1，B 错误；
9 a 4 9 3
2 2
因为1 a b 16,4
a
9，所以两式相乘得
b 4 a
3b 144，C 正确；
因为1 a2b2 16,
1 b 1 1
3，所以两式相乘得 ab 4，D 错误．
9 a 4 9
故选：AC
三、填空题
sin1
8．（2023· 3内蒙古赤峰·一模）已知 a = ，b = ， c π 2 - 3= -3 ，则
a,b,c的大小关系
2π 9 6
是 .
【答案】 c > a > b
sinx
【分析】构造函数 f x = ，利用函数的单调性比较出 a与b 的大小，再用作差比较出 a
3x
与 c的大小，即可得出结果.
f x sinx f x xcosx - sinx【详解】根据题意，设 = ，则其导数 = .
3x 3x2
令 g(x) = xcosx - sinx， g (x) = cosx - xsinx - cosx = -xsinx
0, π 故在区间 ÷上， g (x) < 0恒成立，则有 g(x) < g(0)2 ，即 xcosx - sinx < 0 恒成立è
\ f x < 0 0, π π 在 2 ÷上恒成立，\函数 f x 在 0, 2 ÷上单调递减，è è
sin π
则有 f 1 > f π sin1 3 3 ÷ ，即 > =
è 3 3 3 π 2π
3
\a > b
又 c - a π 2 - 3 sin1 2π - 6 + 3 3 - 6sin1 π 3= - - = ，而 sin1 < sin = ，
9 6 3 18 3 2
\c - a 2π - 6> > 0，即 c > a
18
故答案为： c > a > b
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
9．（2023·四川凉山· 2 2一模）已知P x, y 是曲线 x + y = 1 x > 0 x + y +1上的点，则的取值
x +1
范围是 .
【答案】 0,2
【分析】根据已知条件做出图形，利用两点斜率公式及不等式的性质即可求解.
x + y +1 y
【详解】 =1+ ，
x +1 x +1
由题意可知,作出图形，如图所示，
因为P x, y 2是曲线 x + y2 =1 x > 0 上的点，则
y
表示过点P x, y ,Q -1,0 两点直线的斜率，
x +1
y 1- 0
显然当 P 位于 A 0,1 处时，有最大值 kQA = =1
x +1 0 - -1 ，
-1- 0
显然当 P 位于B 0, -1 y处时，有最小值 kQB = = -1，
x +1 0 - -1
y
所以-1 < <1
x +1
所以0 <1
y
+ < 2
x +1
x + y +1
故的取值范围是 0,2
x +1
故答案为： 0,2 .
10．（2023·广东深圳·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足：
2an+1 = a
* 2
n + an+2 n N ，且a3，a7为方程 x -18x + 65 = 0的两根，且 a7 > a3 .若对于任意
* 2n a 4 - l > a -1 2n N ，不等式 n n 恒成立，则实数l 的取值范围为 .
18
【答案】 - ， ÷
è 5
n -1 2
【分析】先利用等差数列通项公式求解 an ，再利用数列的单调性求解数列bn = 2n -1 × 2n-2
的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.
*
【详解】由 2an+1 = an + an+2 n N 可知数列 an 是等差数列，设其公差为d ，
解方程 x2 -18x + 65 = 0得 x = 5或 x =13，又 a7 > a3 ，
\ a3 = 5，a7 =13，Qa7 - a3 = 4d d
13 - 5
，\ = = 2 ，
4
\an = 5 + 2 n - 3 = 2n -1 .
由 2n an 4 - l > an -1
2
得 2n 2n -1 4 - l > 2n - 2 2 ，
n -1 2 n -14 l
2
\ - >
2n-2
，设bn = ， 2n -1 2n -1 × 2n-2
2 n -1 2 3 2
则b
n -2n + 5n - 2
n+1 - bn = 2n +1 × 2n-1
- =
，2n -1 ×2n-2 4n2 -1 × 2n-1
4n2 -1 × 2n-1由 > 0对于任意 n N* 恒成立，所以只考虑-2n3 + 5n2 - 2的符号，
设 f n = -2n3 + 5n2 - 2 n 1 ， f n = -6n2 +10n = -2n 3n - 5 ，
令 f n > 0解得1 5 n < ，即 f n 5在1 n < 上单调递增，
3 3
令 f n < 0 5 5解得 n > ，即 f n 在 n > 上单调递减，
3 3
f 1 =1， f 2 = 2， f 3 = -11，
当 n 3， f x f 3 < 0，
当 n =1， n = 2时， f n > 0，即bn+1 - bn > 0，\b1 < b2 < b3 ，
3
b b -2n + 5n
2 - 2
当 n 3， f x < 0 ，即 n+1 - n = < 0 4n2 -1 ×2n-1 ，
即从 n 3，bn 开始单调递减，
b 2 2 18即 n b3 = ，\4 - l > ，即l < ，5 5 5
18
\l 的取值范围为 -

， ÷ .
è 5
18
故答案为： - ， ÷ .
è 5
四、解答题
11．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数 f x = ex + k ln x +1 -1 k R ．
(1)当 k =1时，求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)若对任意 x 1,+ ，都有 f x 0，求实数 k 的取值范围；
1
(3) k - s, t 0,+ s t f s + f t 2 f s - 2 f t 当时，对任意的，且，试比较与的大
2 s - t
小．
【答案】(1) 2x - y = 0
(2) k = -1
2 f
(3) f s f t s - 2 f t + >
s - t
【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程；
（2）由已知不等式恒成立且 f 0 = 0知 f 0 = 0，进而求得 k = -1，再代入 y = f x 应用
导数研究 f x 0恒成立，根据充要关系确定参数值；
（3）设 s > t 0，构造 g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù ，利用导数研究 g s 单
调性，进而确定其函数值符号，即可证结论.
【详解】（1）当 k =1时 f x = ex + ln x +1 -1， f 0 = 0 x 1，所以 f x = e + ，
x +1
f 0 = 2，
所以 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 2x - y = 0．
（2）对"x -1,+ k都有 f x 0且 f 0 = 0 x，而 f x = e + ，则 f 0 =1+ k = 0，
x +1
所以 k = -1 x，此时 f x = e - ln x +1 -1，故 f x g(x) ex 1= = - ，则
x +1
g (x) 1= ex +
x +1 2 ，
在 x -1, + 上 g (x) > 0，即 g(x) = f x 单调递增，且 f 0 = 0，
当 x -1,0 时 f 0 < 0， f x 单调递减，当 x 0, + 时 f 0 > 0， f x 单调递增，
所以 f x f 0 = 0 ，满足题意，
综上， k = -1．
（3）不妨设 s > t 0，令 g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù ，
所以 g s = f s s - t + f t - f s ，则 g s = f s s - t ，
又 f x = ex k+ ， f x = ex
k
- 2 ， f x ex
2k
= +
x 1 x 1 3 ，且 x > 0，x +1 + +
1 f x ex 2k x 1 1当 k - ， = + 3 e - 3 ，而 ex >1， <1
2 x +1 x +1 x +1 3 ，
所以 f x > 0，故 g x = f s s - t > 0， g s 在 0, + 上单调递增，
所以 g s > g t = 0，所以 g s 单调递增，故 g s > g t = 0，
g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù > 0 2 ff s f t s - 2 f t 所以，即 + > ．s - t
【点睛】关键点点睛：第二问，根据不等式恒成立及 f 0 = 0得 f 0 = 0求参数范围，求证
所得参数范围使不等式恒成立，由充要关系确定范围；第三问，构造
g s = é f s + f t ù s - t - 2 é f s - f t ù 研究其函数值符号即可.

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