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考点 04 基本不等式（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解基本不等式的推导过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
【知识点】
a＋b
1．基本不等式： ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立．
(3)其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， 叫做正数 a，b 的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
b a
(2) ＋ ≥ (a，b 同号)．
a b
(3)ab≤ (a，b∈R)．
a2＋b2
(4) ≥ (a，b∈R)．
2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 .
(2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【核心题型】
题型一　利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；三是消元法．
命题点 1　配凑法
m m
【例题 1】（2024·辽宁·一模）已知m > 2n > 0，则 + 的最小值为（ ）m - 2n n
A．3 + 2 2 B．3- 2 2 C． 2 + 3 2 D．3 2 - 2
【变式 1】故选：D（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 x ， y ， z 满足
x2 + xy + yz + xz + x + z = 6 ，则3x + 2y + z 的最小值是 .
【变式 2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函 f x = x + 3 + 10 - 2x 的最小值为 m．
(1)求 m 的值；
(2)若 a，b 为正数，且 a + b = m，求 3a +1 + 3b + 2 的最大值.
2ab
【变式 3】（2024·黑龙江·二模）已知实数 a，b 且 ab > 0，则 取得最大值时，
a2 + b2 + a2b2 + 9
a + b 的值为（ ）
A． 3 B． 2 3 C．-2 3 D． 2 3 或-2 3
命题点 2　常数代换法
1 1
【例题 2】（2024·江苏南通·二模）设 x > 0， y > 0， + 2y = 2，则 x + y 的最小值为（　　）x
3 3
A． B． 2 2 C． + 2 D．32 2
1 1
【变式 1】（2024·四川成都·模拟预测）若 a,b是正实数，且 + =1，则 a + b 的最
3a + b 2a + 4b
小值为（ ）
4 2
A． B． C．1 D3 ． 25
【变式 2】（23-24 高三上·浙江宁波·期末）已知 a > 0,b > 0，则下列选项中，能使 4a + b 取得
最小值 25 的为（ ）
A． ab = 36 B． ab = 9a + b C．a2 + b = 21 D．16a2 + b2 = 625
1 1
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）设正实数 a，b 满足 a + b = 2 ，则 + 的最小值为
a +1 b + 2
（ ）
2 3 4 5
A． B C D3 ． ． ．4 5 6
命题点 3　消元法
2 2
【例题 3】（2024·全国·模拟预测）已知 x > 0， y > 0且 x + y =1
x y
，则 2 + 2 的最小值为1+ x 1+ y
（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式 1】（2023·重庆·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y = 6，则 2x + y 的最小值
为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式 2】 (2023·烟台模拟 )已知 x>0， y>0， x＋3y＋ xy＝9，则 x＋3y 的最小值为
________．
1 1
【变式 3】（2024·浙江·模拟预测）已知a,b > 0,ab = 1，求 S = + 的最小值．
1+ a 1+ 2b
题型二　基本不等式的常见变形应用
基本不等式的常见变形
a + b
2 a2＋b2
(1)ab ≤ ≤ .
2 2
2 a＋b a2＋b2
(2) ≤ ab≤ ≤ (a>0，b>0)．
1 1 2 2
a＋b
【例题 4】（2023·全国·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a + b =1，则下列不等式不正确的是
（ ）
ab 1 a2 b2 1A． B． +
4 2
1 1
C． + > 2 D．
a b 1 a + b 1+
【变式 1】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方
式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形VABC 中，点 O 为斜边 AB 的中点，点 D 为斜边
AB 上异于顶点的一个动点，设 AD = a，BD = b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
a + b
A． ab a > 0,b 0 2ab> B． ab a > 0,b > 0
2 a + b
C a + b a
2 + b2
． a > 0,b > 0 D． a2 + b2 2 ab a > 0,b > 0
2 2
【变式 2】（2023·陕西宝鸡·二模）设 a，b R ，则“ a + b 2 ”是“ a2 + b2 2 ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ， Sn +1 = n +1，则
下列说法正确的是（ ）
A． a1 = 2 -1 B． an 是递减数列
99
1 n + 5C． (-1)n 1 = 8 D． an+1 + <
n=1 an an 2
题型三　基本不等式的实际应用
　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，
抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
【例题 5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛 ABCD，
设直角边 AD = x 米，BC = 2x 米，若 AD + AB + BC =12米，问当 x = 米时，直角梯形
花坛 ABCD的面积最大．
【变式 1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周
的该商品的单价分别为 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购
买 100 元的该商品，乙每周购买 20 件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 a1,a2，则
（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小无法确定
【变式 2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣
赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的
同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该
画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方 3 米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方 1 米
处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【变式 3】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方
米）的计算公式是W = 长 + 4 宽+ 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场
地的面积是 10000 平方米，每平方米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单
位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1 1
1.（2024·河南南阳·一模）已知正实数 x, y满足 + =1 4xy - 3xx y ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2023·河南开封·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a + b =1， a b ，则下列不等式成立的是
（ ）
a b 2 1 1 a b 1 1A． + < < a + b B． + < + < 22 2 2a 2b
1 1 1 1
C． a + b < 2 < a + b D． a + b < a + b < 22 2 2 2
3．（22-23 高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油
都说“师傅，给我加 300 元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种
汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，
乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（ ）
A．甲更合算 B．乙更合算
C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算
4．（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的
数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三
三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有这样一个相关的问题：被3除
余 2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 an ，记数列 an 的前 n
S 2Sn + 60项和为 n ，则 的最小值为（ ）n
A．60 B．61 C．75 D．76
2
5．（2023·河南信阳·模拟预测）若 -5 < x 1 f x x + 2x + 2< - ，则函数 = 有（ ）
2x + 2
A．最小值 1 B．最大值 1 C．最小值 -1 D．最大值 -1
e 1 ab
6．（2024·四川凉山·二模）已知正数 a,b满足 a + 2b = ò dx，则1 x a2 的最大值为（ ）+ b
1
A． 2 B． 2 2 C． D．2 2 +1 2 2 +1
二、多选题
7．（2024·江苏·一模）已知 x, y R ，且12x = 3，12y = 4，则( )
A． y > x B． x + y > 1
C． xy
1
< D． x + y < 2
4
8．（2024·贵州贵阳·一模）已知 a > 0,b > 0，且 a + b = 2 ，则（ ）
A． 2a
1 1
+ 2b 2 2 B． + 2a b
C． log2a + log2b 1 D． a2 + b2 2
三、填空题
9.（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
A AB π1 = A1AC = , BM = lBB1 ，CN = mCC1 ，若存在l 0,1 , m 0,1 ，使3 AM × BN = 0
成立，则l + m 的最小值为 .
10．（2024·江西九江·二模）在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 A，B，
C 成等差数列， a2 + c2 = 4，则VABC 面积的最大值是 ， 4sin Asin C + 3 b2 = .
四、解答题
11．（2024·四川广安·二模）已知 a，b ， c均为正数，且 a + b + c = 3 .
1 9
(1)是否存在 a，b ， c，使得 + 0,5 ，说明理由；
a b + c
(2)证明： 3 + a + 3 + b + 3 + c ≤6 .
12．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2x - 3 , g x = 3- x - 2
(1)求不等式 f x g x 的解集 N ；
2 2
(2)设 N 的最小数为 n a,b
3n b + 3 a
，正数 满足 a + b = ，求 + 的最小值.
2 a b
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东湛江·一模）已知 ab > 0， a2 + ab + 2b2 =1，则 a2 + 2b2 的最小值为（ ）
A 8 - 2 2
3
． B 2 2． C D 7 - 2 2． ．
7 3 4 8
2．（2024·辽宁鞍山·二模）已知a ，b 均为锐角， sina = 3sin b cos a + b ，则 tana 取得最
大值时， tan a + b 的值为（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D．2
3．（23-24 高三上·浙江金华·期末）若 tan 2a = 3tan a - b ，则 tan a + b 的最大值为（ ）
A 3． 3 B．1 C． 2 - 3 D．
3
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前 6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，
几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，
a
其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若 2a + 2b = 1，则 4 +1 4b +1 的最小值
为（ ）
25 9 9 25
A． B． C． D．
4 16 4 16
5．（2024· 2陕西西安·一模）已知二次函数 y = -x + b - a x + ab的图象与 x 轴交于A 、 B 两点，
图象在A 、 B 两点处的切线相交于点 P ．若ab =1，则VABP的面积的最小值为（ ）．
A．1 B． 2 C． 2 D． 4
6．（2023·山东泰安·模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药
品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验
二：小芳将 20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个
实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于 20克 B．小于 20克
C．大于等于 20克 D．小于等于 20克
7．（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个 11 人
制的标准足球场，其底线宽 AB = 68m，球门宽EF = 7.32m，且球门位于底线 AB 的中间，
在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线 AC 上的M 点处起脚射门，当 EMF 最大时，
点M 离底线 AB 的距离约为（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
3
8．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）设实数 x，y 满足 x > ， y > 3，不等式
2
k 2x - 3 y - 3 ≤8x3 + y3 -12x2 - 3y2 恒成立，则实数 k 的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． 2 3 D． 4 3
二、多选题
1 1
9．（23-24 高三上·河北沧州·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，且 + =1，则下列说法正确的
a b
有（ ）
A． ab 8 B． a + b 4 C．a2 +b2 8 D． a + 4b 9
10．（23-24 高三上·湖南常德·期末）已知a > b > 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
a b
A > B 2ab a
2 + b2
． ． <
a +1 b +1 a + b 2
C． a + b + ln ab > 2 1 1D． <
1+ ln a 1+ lnb
1 1 1
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数 a，b，c 满足 < < ，则（
a b c ）
A c a c b B b b - c． - > - ． >
a a - c
a + b 1
C． a - c 2 a - b b - c D．
a + 2 2ab 2
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2，4，4，6，a，b，
1 1
12，14，18，20，且总体的平均值为 10．则 + 的最小值为 ．
a b
3 1 l
13．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数 m，n，不等式 + 成立，则 λ 的最
m n 2m + n
大值为
14．（2024·四川泸州·二模）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
c2 = 3a2 - 3b2 ，则 tan A - B 的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = x + a + b ，不等式 f x < 4的解集为
{x∣0 < x < 6} .
(1)求实数 a,b的值；
1 1
(2)函数 f x 的最小值为 t ，若正实数m, n, p满足m + 2n + 3p = t ，求 +m + 2 p 2n 的最小+ p
值.
16．（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数 f x = 2x - 2 + x +1 ．
(1)求 f x 5的解集；
(2)设 f x 的最小值为m ，若正数 a，b ， c满足 a + b + c = m ，求 ab + ac + bc的最大值．
17．（2024·青海·一模）已知正数 a,b,c满足 a + b + c = 2．求证：
(1) a2 + b2 + c2
4
；
3
(2) 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 6．
18．（2024·广东·一模）海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随
着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为 5、4、3、2、1
五个层级，分别对应如下五组质量指标值： [300,350)， [350,400)， [400,450)， [450,500)，
[500,550]．从该品牌海参中随机抽取 10000 颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直
方图．
(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于 400 的为二级，质量指标值
不低于 400 的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于 400 和低于 400 的样本
中随机抽取 10 颗，再从抽取的 10 颗海参中随机抽取 4 颗，记其中一级的颗数为 X，求 X 的
分布列及数学期望；
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢
*
购一个订单，每个订单均由 n n 2, n N 箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均
1
为 n + 5 2 ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为 Y，抢到海参总箱数为 Z．
①求 Y 的分布列及数学期望；
②当 Z 的数学期望取最大值时，求正整数 n 的值．
19．（2023·四川达州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，
b c a 3a
+ = + .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面积S 的最小值.
拓展冲刺练
一、单选题
a b
1．（2024·辽宁·一模）已知 a,b R ．则“ a > 0且b > 0 ”是“ + 2 ”的（ ）
b a
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·山东济宁·一模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 a = 3，
a cos B = (2c - b)cos A，则VABC 面积的最大值为（ ）
9 3 9 3 9 9A． B． C． D．
4 2 4 2
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥 P - ABC 中， AB = 2 2 ， PC = 1， PA + PB = 4 ，
CA - CB = 2，且PC ^ AB，则二面角P- AB-C 的余弦值的最小值为（ ）
3
A 2 B C 1 10． ． ．
3 4 2
D．
5
4．（23-24 高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲 乙两
名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如
下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打 2 局，当两人获胜局数不少于 3 局时，则认为这轮训
练过关；否则不过关.若甲 乙两人每局获胜的概率分别为 p1， p2，且满足 p1 + p
4
2 = ，每局3
之间相互独立.记甲、乙在 n轮训练中训练过关的轮数为 X ，若E X =16，则从期望的角度
来看，甲 乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27 B．24 C．32 D．28
二、多选题
sinx
5．（2024·江苏·一模）已知函数 f x = ，则（ ）
2 - cos2x
A． f x 的最小正周期为 π B． f x 的图象关于点 π,0 对称
C．不等式 f x > x D f x 2无解 ． 的最大值为
4
6 a．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）已知 a > 0， e 1- ln b =1，则（ ）
A．1< b < e B．a > ln b C． ea - ln b <1 D．b - a <1
7．（2023·全国·模拟预测）实数 a，b 满足 a2 + 4b2 = 2，则（ ）
ab 1A．
2
B． a + b 的最大值为 2 3
é
a b 10 10
ù
C． - ê- , ú
2 2
D． a + 2b a3 + 8b3 9的最大值为
2
三、填空题
2 1
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知实数 x > 0，y > 0，若 2x + 3y =1，则 +x y 的最小值为 ．
9．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 AO 通过路口O后转向
西北方向OB，围绕道路OA,OB打造了一个半径为 2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区
相切的观光道MN ，则MN 的最小值为 km．
四、解答题
10．（2023·四川资阳·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ．
(1)求 a2 + b2 的最小值；
(2)证明： a +1 + b +1 2 2 ．
11．（22-23 高一下·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名
绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居
四大名绣之首．1915 年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具
有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点 D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点，
ADC = 60°， AD = 2．
(1)若 ACD = 45°，求三角形手巾的面积；
AC
(2)当 取最小值时，请帮设计师计算 BD 的长．
AB
12．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 z = f (x, y)在
约束条件 g(x, y) 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中l 为拉格朗日系数．分别对 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求导，
并使之为 0，得到三个方程组，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程组，得出解 (x, y)，就是二元函数 z = f (x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
在约束条件 g(x, y) 的可能极值点． x, y的值代入到 f (x, y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数 f (x, y) = x2 + xy + y2关于变量 x 的导数．即：将变量 y 当做常数，即：
fx (x, y) = 2x + y ，下标加上 x ，代表对自变量 x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
Lx , Ly , Ll 表示分别对 x, y, λ进行求导．
(1)求函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2关于变量 y 的导数并求当 x =1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 x, y满足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y
的最大值．
(3)①若 x, y, z为实数，且 x + y + z =1 2，证明： x + y2 + z2
1
．
3
2 1 1② 2设 a > b > c > 0，求 2a + + -10ac + 25cab a(a b) 的最小值．-考点 04 基本不等式（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解基本不等式的推导过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
【知识点】
a＋b
1．基本不等式： ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
a＋b
(3)其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
b a
(2) ＋ ≥2(a，b 同号)．
a b
2
(3)ab
a b
≤ (a，b∈R)．
2
a2＋b2 a b
2
(4) ≥ (a，b∈R)．2 2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P.
1
(2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2.
4
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【核心题型】
题型一　利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；三是消元法．
命题点 1　配凑法
【例题 1】（2024·辽宁·一模）已知m > 2n 0
m m
> ，则 的最小值为（
m 2n n ）-
A．3 2 2 B．3- 2 2 C． 2 3 2 D．3 2 - 2
【答案】A
【分析】根据题意，m = m - 2n 2n，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【详解】由m > 2n > 0，
\m - 2n > 0，m = m - 2n 2n，
m m m - 2n 2n m - 2n 2n 2n m - 2n
\ = = 3 3 2 2 ，
m - 2n n m - 2n n m - 2n n
2n m - 2n
当且仅当 = ，即m = 2 2 n时等号成立.m - 2n n
故选：A.
【变式 1】故选：D（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 x ， y ， z 满足
x2 xy yz xz x z = 6 ，则3x 2y z 的最小值是 .
【答案】 4 3 - 2
x z 6【分析】因式分解得到 = ，变形后得到3x 2y z = 2 x 6 y x y 1 x y 1，利用基
本不等式求出最小值.
【详解】因为 x, y, z为正实数，
x2故 xy yz xz x z = 6 x2 xz xy yz x z = 6，
即 x x 6 z y x z x z = 6 x y 1 x z = 6 x z = x y 1 ，
3x 2y z = 2 x y x z = 2 x y 6
x y 1
= 2 x y 1 6 - 2 2 2 x y 1 6 × - 2 = 4 3 - 2，
x y 1 x y 1
当且仅当 2 x y 6 1 = ，即 x y = 3 -1，此时 x 6 z = = 2 3x y 1 x ， y 1
所以3x 2y z 的最小值为 4 3 - 2 .
故答案为： 4 3 - 2
【变式 2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函 f x = x 3 10 - 2x 的最小值为 m．
(1)求 m 的值；
(2)若 a，b 为正数，且 a b = m，求 3a 1 3b 2 的最大值.
【答案】(1) m = 8；
(2) 3 6 .
【分析】（1）讨论去绝对值，将 f x 转换为分段函数，求最小值.
（2）原式平方后，运用基本不等式求得最大值.
ì3x - 7, x 5
【详解】（1）∵ f x = x 3 10 - 2x = í13 - x,-3 < x < 5，

7 - 3x, x -3
∴当 x≥5时， f x 8，
当-3 < x < 5时，8 < f (x) <16，
当 x -3时， f (x) 16，
∴ f (x)min = f 5 = 8，即m = 8 .
（2）由（1）可得 a b = 8，
∴ 23a 1 3b 2 = 3a 1 3b 2 2 3a 1 3b 2 = 27 2 3a 1 3b 2 ，
2
因为 2 3a 1 3b 2 3a 1 3b 2 = 27，所以 3a 1 3b 2 54 ，
所以 3a 1 3b 2 的最大值为3 6 ，
25 23
当且仅当 3a 1 = 3b 2 ，即 a = ,b = 时，等号成立．6 6
综上所述：最大值为3 6 .
a b ab 0 2ab【变式 3】（2024·黑龙江·二模）已知实数 ， 且 > ，则 取得最大值时，
a2 b2 a2b2 9
a b 的值为（ ）
A． 3 B． 2 3 C．-2 3 D． 2 3 或-2 3
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解.
2ab 2ab 2
【详解】 a2 b2
=
a2b2 9 2ab a2b2 9 2 ab 9 ，
ab
又 ab > 0 9，所以 ab 2 ab 9× = 6 ，
ab ab
2ab 1
所以 2 ，a b2 a2b2 9 4
当且仅当 ab = 3，即 a = b = 3 ，或 a = b = - 3 取等号，
所以 a b = 2 3 或 a b = -2 3 .
命题点 2　常数代换法
2 x 0 y > 0 1
1
【例题 】（2024·江苏南通·二模）设 > ， ， 2y = 2，则 x y 的最小值为（　　）x
3 3
A． B． 2 2 C． 2 D．32 2
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
1 1
【详解】因为 2y = 2，所以 y =1，
x 2x
1 1 1 1 1
因为 x > 0， y > 0

，所以 x =
y
x y
y 2x
= xy 1
2 2xy
3 xy 1 3 2 xy 1 3 2 3= × = 2 = 2 .
2 2xy 2 2xy 2 2 2
ì 1
xy = ì 1 2 2xy x =
当且仅当 í ，即 í 2 时取等.
1
y =1
y = 2 - 2
2x
故选：C.
1 1
【变式 1】（2024·四川成都·模拟预测）若 a,b是正实数，且 =1，则 a b 的最
3a b 2a 4b
小值为（ ）
4 2
A． B． C D
5 3
．1 ． 2
【答案】A
【分析】观察等式分母可知 3a b 2a 4b = 5 a b ，利用基本不等式中“1”的妙用可得
结果.
【详解】因为
a b 1= 5a 5b 1= é 3a b 2a
1
4b ù = é 3a b 2a 4b
1 1 ù
5 5 5 3a b 2a 4b
1 2 2a 4b 3a b 1

2 2 2a 4b 3a b
4
= × = ，5 3a b 2a 4b 5

3a b 2a 4b 5
3 1
当且仅当 a = ,b = 时取等号，
5 5
4
所以 a b 的最小值为 .
5
故选：A
【变式 2】（23-24 高三上·浙江宁波·期末）已知 a > 0,b > 0，则下列选项中，能使 4a b 取得
最小值 25 的为（ ）
A． ab = 36 B． ab = 9a b C．a2 b = 21 D．16a2 b2 = 625
【答案】B
【分析】A 选项，利用基本不等式直接进行求解；B 选项，利用基本不等式“1”的妙用求解；
25 π
C 选项，可以举出反例；D 选项，设 a = cosq ,b = 25sinq

，q 0,

，利用三角恒等变换4 2
得到 4a b = 25 2 cos

q
π
-
4
25,25 2 ù .

【详解】A 选项， 4a b 2 4ab = 4 ab = 24，
当且仅当 4a = b，即 a = 3,b =12时，等号成立，A 错误；
9 1
B 选项，因为 ab = 9a b ，所以 =1，
b a
4a b 4a b 9 1 36a b 36a b故 = = 4 9 13 2 × = 25，
b a b a b a
36a b b 15,a 5当且仅当 = ，即 = = 时，等号成立，B 正确；
b a 2
C 选项，当 a = 4,b = 5时，满足a2 b = 21，此时 4a b =16 5 = 21 < 25，C 错误；
D 选项， a > 0,b > 0
25 π
，设 a = cosq ,b = 25sinq ，其中q 0, ，4 2
π
则 4a b = 25cosq 25sinq = 25 2 cos

q - ，
4
q 0, π π π π π因为 ，所以q - - ,

，故 4a b = 25 2 cos
q - 25,25 2 ù，
2 4 4 4 4
显然 4a b 取不到最小值 25，D 错误.
故选：B
1 1
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）设正实数 a，b 满足 a b = 2 ，则 的最小值为
a 1 b 2
（ ）
2 3 4 5
A． B． C3 ． D．4 5 6
【答案】C
【分析】由已知可得 a 1 b 2 = 5，根据“1”的代换化简得出
1 1 1 2 b 2 a 1 = .进而根据基本不等式，即可求得答案.
a 1 b 2 5 a 1 b 2
【详解】因为 a b = 2 ，所以 a 1 b 2 = 5，
1 1 1 1 1 1 b 2 a 1
所以 =

a 1 b 2 5 a 1 b 2
a 1 b 2 = 2 5 a 1 b 2
1 2 2 b 2 a 1
4
× = ，
5 a 1 b

2 5
当且仅当 a 1 = b 2, a b = 2
3
，即 a = ,b
1
= 时，等号成立，
2 2
1 1 4
所以 的最小值为 ．
a 1 b 2 5
故选：C．
命题点 3　消元法
x2 y2
【例题 3】（2024·全国·模拟预测）已知 x > 0， y > 0且 x y =1，则 2 的最小值为1 x 1 y2
（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
1 1 3- 2xy
【分析】由基本不等式和 x y =1可得 0 < xy
1
，化简可得 =
4 1 x2 1
，
y2 2 - 2xy x2 y2
令 t = 3- 2xy ，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.
1
【详解】因为 x y =1，所以 x y =1 2 xy ，当且仅当 x = y = 时等号成立，
2
所以0
1
< xy ．
4
1 1 1 x2 1 y2 22 x2 y2 2 x y - 2xy
因为1 x2
2 = =1 y 1 x2 1 y2 1 x2 y2
=
x2 y2 1 x y 2 - 2xy x2 y2
3- 2xy
=
2 - 2xy x2 y2 ，
t 5= 3- 2xy t é ,3 xy 3- t令 ，则 ê ， = ， 2 2
1 1 t 4t 4
2 2 = 2 = =
所以1 x 1 y 3 - t t 2 - 2t 5 52 - 3 - t t - 2
，
4 t
5 5 5
由对勾函数 y = x 在[ ,3)上单调递增，则当 x = 时函数取到最小值，
x 2 2
1 1 4 8
5 2 2 =
所以当 t = 1 x 1 y 5 2 5 5时， - 5 ，2 2
2
2 2 x2 1 -1 y2x y 1 -1 1 1 8 2
所以 2 2 = = 2 - 2 - = .1 x 1 y 1 x2 1 y2 2 2 1 x 1 y 5 5
故选：B．
【变式 1】（2023·重庆·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 xy 2x y = 6，则 2x y 的最小值
为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知 x > 0，y > 0，且 xy+2x+y=6，
6 - 2x
y=
x 1
6 - 2x 8 4 4 2 x 1 82x+y=2x+ =2(x+1) - ，当且仅当 = , x =1时取等号，
x 1 x 1 x 1
故 2x+y 的最小值为 4.
故选:A
【变式 2】 (2023·烟台模拟 )已知 x>0， y>0， x＋3y＋ xy＝9，则 x＋3y 的最小值为
________．
【答案】　6
【解析】方法一　(换元消元法)
1 1 x 3y 2
由已知得 9－(x＋3y)＝xy ＝ ·x·3y≤ · ，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等3 3 2
号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，
得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
方法二　(代入消元法)
9－3y
由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝ ，
1＋y
9－3y 9－3y＋3y 1＋y
所以 x＋3y＝ ＋3y＝
1＋y 1＋y
9＋3y2 3 1＋y 2－6 1＋y ＋12
＝ ＝
1＋y 1＋y
12 12
＝3(1＋y)＋ －6≥2 3 1＋y · －6
1＋y 1＋y
＝12－6＝6，
12
当且仅当 3(1＋y)＝ ，即 y＝1，x＝3 时取等号，
1＋y
所以 x＋3y 的最小值为 6.
1 1
【变式 3】（2024·浙江·模拟预测）已知a,b > 0,ab = 1，求 S = 的最小值．
1 a 1 2b
【答案】 2 2 - 2
b 1 S 1
1
= -
【分析】根据条件， = 代入消去b ，将S 的表达式分离常数得 a 2 3，利用基本a a
不等式求得结果.
【详解】Qa,b > 0 ，ab =1，
S 1 1 1 1\ = =
1 a 1 2b 1 a 1 2
a
1 a a2 2a 2 1 a= = = -
1 a a 2 a2 3a 2 a2 3a 2
1 1= -
a 2 3，
a
a 2 2
2
Q 2 a × = 2 2 ，当且仅当 a = ，即 a = 2 时等号成立，
a a a
S 1 1所以 - = 2 2 - 2 .
2 2 3
故S 的最小值为 2 2 - 2 .
题型二　基本不等式的常见变形应用
基本不等式的常见变形
a b
2 a2＋b2
(1)ab ≤ 2
≤ .
2
2 a＋b a2＋b2
(2) ≤ ab≤ ≤ (a>0，b>0)．
1 1 2 2
a＋b
【例题 4】（2023·全国·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a b =1，则下列不等式不正确的是
（ ）
A． ab
1
B a2． b2
1

4 2
1 1
C． > 2 D．
a b 1 a b 1
【答案】D
【分析】根据基本不等式逐项判断 ABD，消元，化简，结合不等式性质判断 C.
【详解】因为 a > 0，b > 0，且 a b =1，
ab a b
2
1
由基本不等式可得 = （当且仅当 a = b时取等号），A 正确；
2 4
a b a2 b2 1 a2 b2
由基本不等式知 ，则 ，
2 2 2 2
2
即 a b2
1
（当且仅当 a = b时取等号），B 正确；
2
1 1 1 1 2
由题得 = = ，
a b 1 1- b b 1 1- b2
2 2
由已知0 < b <1，故1- b 0,1 ，所以 > 2，
1- b2
1 1
故 > 2 ，C 正确；
a b 1
a b a b 1
由基本不等式可得 = ，
2 2 2
即 a b 2 （当且仅当 a = b时取等号），D 错误.
故选：D.
【变式 1】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方
式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形VABC 中，点 O 为斜边 AB 的中点，点 D 为斜边
AB 上异于顶点的一个动点，设 AD = a，BD = b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
a b
A． ab a > 0,b 2ab> 0 B． ab a > 0,b > 0
2 a b
C a b a
2 b2
． a > 0,b > 0 D a2 b2． 2 ab a > 0,b > 0
2 2
【答案】C
a b
【分析】由VABC 为等腰直角三角形，得到OC = ，OD = OB - BD ，然后在Rt△OCD
2
中，得到 CD 判断.
1 a b a b a - b
【详解】解：由图知：OC = AB = ,OD = OB - BD = - b = ，
2 2 2 2
2 2
在Rt△OCD中，CD = OC 2 OD2 a b= ，
2
OC OD a b a
2 b2
所以 ，即 a > 0,b > 0 ，
2 2
故选：C
【变式 2】（2023·陕西宝鸡·二模）设 a，b R ，则“ a b 2 ”是“ a2 b2 2 ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】C
【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
2
【详解】若 a b 2 2 2 a b，则 a b 2成立，当且仅当 a = b =1时取等，
2
若 a2 b2 2 ，不妨设 a = b = -1，则 a b 2不成立，
所以“ a b 2 ”是“ a2 b2 2 ”的充分不必要条件.
故选：C.
【变式 3】（2024·全国· 2模拟预测）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ， Sn 1 = n 1，则
下列说法正确的是（ ）
A． a1 = 2 -1 B． an 是递减数列
99
n 1 a 1 n 5C． (-1) = 8a D． n 1 【答案】ABD
【分析】令 n =1，求得 a1的值可以判断 A；利用数列的前 n项和与裂项的关系求出数列的通
1
项，再利用分子有理 a 的特点，采用裂项相消的方法求和可判断 B；采用裂项相消的方法n
求和可判断 C；先恒等变形，再连续使用两次基本不等式及其变形可判断 D．
A S 1 2 = n 1 n 1 S 1 2 =1 1 = a 1 2【详解】选项 ：由 n ，令 = ，得 1 1 ，
又 an > 0，所以 a1 = 2 -1，故选项 A 正确；
2
选项 B：因为 an 为正项数列，且 Sn 1 = n 1，所以 Sn = n 1 -1，
所以当 n 2时， an = Sn - Sn-1 = n 1 - 1- ( n -1) = n 1 - n(n 2) ，
又 a1 = 2 -1满足上式，所以 an = n 1 - n(n 1)，
( n 1 - n)( n 1 n) 1
所以 an = n 1 - n = = ，n 1 n n 1 n
显然 n 1 n 是递增数列，且 n 1 n > 0，所以 an 是递减数列，故选项 B 正确；
选项 C：
1
-1 n = (-1)n
a n 1 n ，所以n
99
1 n 1- = - 2 -1 3 2 - 4 - 3 L-a 100 - 99 = -11，故选项 C 错误；n=1 n
a 1 1选项 D： n 1 = n 2 - n 1 a n 1 - n = n 2 - n 1 n 1 n = n 2 n ，n
2
1
所以 2 a én 1 = ( n 2 n) 2 ( n 2)
2 ( n)2 ù = 4(n 1)， an
因为 n 2 n ，所以等号取不到，
1 4 n 1 n 5
所以 an 1 < 4(n 1) =a 2 2 ，故选项 D 正确．n
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：与基本不等式相关的 4 种常考类型，
根式形式： a b 2 ab(a > 0,b > 0)，当且仅当 a = b时，等号成立．利用基本不等式求最值，
一定要注意“一正、二定、三相等”缺一不可．
ab a b
2

整式形式： (a,b R)， a
2 b2 2ab(a,b R) ， (a b)2 4ab(a,b R) ，
2
a b
2
a2 b2
(a,b R)，以上不等式当且仅当 a = b时，等号成立．
2 2
b a
分式形式： 2(ab > 0)，当且仅当 a = b时，等号成立．
a b
1
倒数形式： a 2(a 0)
1
> ，当且仅当 a =1时，等号成立； a -2(a < 0)，当且仅当 a = -1
a a
时，等号成立．
题型三　基本不等式的实际应用
　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，
抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
【例题 5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛 ABCD，
设直角边 AD = x 米，BC = 2x 米，若 AD AB BC =12米，问当 x = 米时，直角梯形
花坛 ABCD的面积最大．
【答案】 2
【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解.
【详解】由题意 AB =12 - 3x米，
则直角梯形花坛 ABCD的面积
2
x 2x 12 - 3xS 1 é3x 12 - 3x ù= = 3x 12 1- 3x =18，
2 2 2 4
当且仅当3x =12 - 3x，即 x = 2时，等号成立，
所以当 x = 2米时，直角梯形花坛 ABCD的面积最大．
故答案为： 2 .
【变式 1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周
的该商品的单价分别为 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购
买 100 元的该商品，乙每周购买 20 件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 a1,a2，则
（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小无法
确定
【答案】B
【分析】由题意求出 a1,a2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
a 200 2mn1 = 100 100 = a 20(m n) m n【详解】由题意得 m n ， 2 = = ，
m n 40 2
2mn 2mn
因为m > 0, n > 0, m n
m n
，故 > mn ， < = mn
2 m n
，
2 mn
即 a1 < a2 ，
故选：B
【变式 2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣
赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的
同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该
画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方 3 米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方 1 米
处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A
【分析】由题意作出图形，选设观赏者与油画的水平距离为 x ，观赏时的视角为 ADB = q ，
求出△ABD 中的三边，由余弦定理求得 cosq 的表达式，依题应使q 最大，即使 cosq 最小，
求出表达式的最小值以及此时 x 的值即得.
【详解】
如图，设观赏者的眼睛在点D处，油画的上沿在点A 处，下沿在点 B 处，
点C 在线段 AB 延长线上，且保持与点D在同一水平线上，
则 ADB = q 即观赏时的视角.
依题意 AB = 2, BC = 1, AC ^ DC ，
不妨设DC = x ，则BD = x2 1, AD = x2 9 ，
cosq 2x
2 6
△ABD = x
4 6x2 9
在 中，由余弦定理，
2 =2 x 1 × x2 9 x4 10x2 9
2 4
= 1 4x = 1-- 9 ，
x4 2 10x2 9 x x2
10
9
因 x > 0 2，则 x 2 2 9 = 6，当且仅当 4x x = 9
时，即 x = 3 时等号成立，
x2 9由 6可得 x2
9
10 16，
x2 x2
0 4 1< 9 cosq
4 3
= 1-
则 x2 2 10
4 ，则 2 9 2 ，
x x 2 10x
π π
因函数 y = cos x在 (0, ) 上单调递减，故得0 q ，
2 6
π
即最大视角为 ，此时观赏者距离油画的直线距离为
6 3 1.73
.
故选：A.
【变式 3】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方
米）的计算公式是W = 长 4 宽 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场
地的面积是 10000 平方米，每平方米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单
位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
x W 4x 40000【分析】设矩形场地的长为 米，则 = 10016x ，结合基本不等式计算即可求解.
10000
【详解】设矩形场地的长为 x 米，则宽为 米，
x
W (x 4)(10000 4) 4x 40000= = 10016 2 4x 40000× 10016 = 10816 ，
x x x
40000
当且仅当 4x = ，即 x =100 时，等号成立.
x
所以平整这块场地所需的最少费用为1 10816 = 10816元.
故选：C
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1.（2024·河南南阳·一模）已知正实数 x, y
1 1
满足 =1x y ，则
4xy - 3x 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用条件转化得 xy = x y，将问题式化简结合基本不等式求最值.
1 1
【详解】由 x > 0, y > 0，且 =1，可得 xy = x yx y .所以
4xy - 3x = 4x 4 y - 3x = x 4 y .
1 1
又因为 x 4y = (x 4y) = 5
4y x
9，
x y x y
4y x
当且仅当 = ，即 x = 3, y
3
= 时取等号，所以 4xy - 3x 9x y .2
故选：B.
2．（2023·河南开封·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a b =1， a b ，则下列不等式成立的是
（ ）
a b 2 1 1 1 1A． < < a b B． a b < a b < 22 2 2 2
1 1 1 1
C．
2a
b < 2 < a b D． a < a b < 22 2 2b
【答案】A
【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件.
【详解】 2a b = a b 2 ab =1 2 ab 1 a b = 2，
∵ a b ，∴等号不成立，故 a b < 2 ；
1 1 2 1 1 1 1a b a × b = 2 a b = 2 = 2 ，2 2 2 2 2 2
1 1
∵ a b ，∴等号不成立，故 a b > 2 ，2 2
a b 2 1 1综上， < < a 2 2b
.
故选：A.
3．（22-23 高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油
都说“师傅，给我加 300 元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种
汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，
乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（ ）
A．甲更合算 B．乙更合算
C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算
【答案】A
【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.
【详解】设两次的单价分别是 x, y x y 元/升，
600 2
=
甲加两次油的平均单价为 300 300 1 1 ，单位：元/升，
x y x y
a ax ay x y乙每次加油 升，加两次油的平均单价为 =2a 2 ，单位：元/升，
因为 x > 0， y > 0， x y ，
2 x y
1 1 x y x y <
所以 x y
x y = 2 > 2 2 × = 4，即 1 1 2 ，
y x y x x y
即甲的平均单价低，甲更合算.
故选：A
4．（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的
数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三
三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有这样一个相关的问题：被3除
余 2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 an ，记数列 an 的前 n
2S 60
项和为 S ，则 nn 的最小值为（ ）n
A．60 B．61 C．75 D．76
【答案】B
【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最
S 2Sn 60小公倍数”得 n ，再由基本不等式求得 的最小值.n
【详解】被3除余 2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，
公差为15的等差数列 an ，
S 8n n(n -1)所以 n = 15
15 1
= n2 n，
2 2 2
2 15 n2 1 n

60∴ 2Sn 60 = 2 2 =15n 60 1 2 15n 60× 1 = 61，
n n n n
15n 60当且仅当 = ，即 n = 2时取等号，
n
2S 60
∴当 n = 2时 n 取最小值为61．
n
故选：B.
2
5．（2023· x 2x 2河南信阳·模拟预测）若 -5 < x < -1，则函数 f x = 有（ ）
2x 2
A．最小值 1 B．最大值 1 C．最小值 -1 D．最大值 -1
【答案】D
é - x 1 1 ù
【分析】由题意，0 < - x 1 < 4， f x = - ê ú ，利用基本不等式求解.ê 2 -2 x 1 ú
【详解】因为 -5 < x < -1，所以0 < - x 1 < 4，
x 1 2 1 é - x 1 1 ùf x - x 1 1= = - ê ú -2 × = -12 .x 1 ê 2 -2 x 1 ú 2 -2 x 1
- x 1 1
当且仅当 =2 2 x 1 ，即 x = -2时等号成立，-
所以函数 f x 有最大值 -1 .
故选：D.
e 1 ab
6．（2024·四川凉山·二模）已知正数 a,b满足 a 2b = ò dx，则 2 的最大值为（ ）1 x a b
1
A． 2 B． 2 2 C． D．2 2 1 2 2 1
【答案】C
e 1 ab
【分析】先由 ò dx得到 a 2b =1，然后代入 2 ，利用基本不等式求最值即可.1 x a b
e 1 e
【详解】 ò dx = ln x |1 = ln e - ln1 =1，则 a 2b =1，又 a > 0,b > 0，1 x
ab 1 1 1 1 1
= =
所以 a2 b a 1 a a 2b
= a 2b =
1 a 2b 2 2 1，
b a b a b a 2 1b a
a 2b 1 1
当且仅当 = ，即 a = ,b = 时等号成立.
b a 2 1 2 2
故选：C.
二、多选题
7．（2024·江苏·一模）已知 x, y R ，且12x = 3，12y = 4，则( )
A． y > x B． x y > 1
C． xy
1
< D． x y < 2
4
【答案】ACD
【分析】用对数表示 x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计
算得到答案．
【详解】∵12x = 3，∴ x = log12 3，同理 y = log12 4，
∵ y = log12 x 在 x > 0时递增，故 y > x ，故 A 正确；
∵ x y = log12 12 =1，∴B 错误；
2
∵ x > 0， y > 0 x y 1
1
，∴ xy = ，当且仅当 x = y 时等号成立，而 x < y ，故 xy < ，∴C
2 4 4
正确；
2
∴ x y = x y 2 xy =1 2 xy < 2 ，即 x y < 2 ，∴D 正确．
故选：ACD．
8．（2024·贵州贵阳·一模）已知 a > 0,b > 0，且 a b = 2 ，则（ ）
1 1
A． 2a 2b 2 2 B． 2a b
C． log2a log2b 1 D． a2 b2 2
【答案】ABCD
【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.
【详解】A. 2a 2b 2 2a b = 4 > 2 2 ，当 a = b =1时，等号成立，故 A 正确；
1 1 a b 2 2
= = = 2
B. a b ab ab a b
2
，当 a = b =1时，等号成立，故 B 正确；

2
2
C. log2a log b = log
a b
2 2 ab log2 = 0 <1，故 C 正确；
2
2
D. a2 b2 = a b 2 - 2ab = 4 - 2ab 4 2 a b- = 2，当 a = b =1时等号成立，故 D 正确 .
2
故选：ABCD
三、填空题
9.（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，
π uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur A1AB = A1AC = , BM = lBB1 ，CN = mCC1 ，若存在l 0,1 , m 0,1 ，使3 AM × BN = 0
成立，则l m 的最小值为 .
1
【答案】 2 -
2
uuur r uuur r uuur r uuuur uuur
【分析】设 AB = a, AC = b, AA1 = c ，将向量 AM × BN = 0
m
转化为基底表示，可得 - 12 2 lm = 0 ，
再利用基本不等式求解.
uuur r uuur r uuurAB a, AC b , AA cr,| ar
r
【详解】设 = = 1 = |=| b | | c
r
= |，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur r
则 AM = AB BM ar lcr = , BN r r= BC CN = b - a mc
uuuur uuur r r r
因为 AM × BN = 0 ，所以 a lc × b ar r- mc = 0，
r
ar r r r
r r r r r
即 ×b - a2 ma ×c lb ×c - la ×c lmc 2 = 0 ，
- 1 m即 2 2 lm = 0 ，由
l 0,1 , m 0,1 1，得 m = 1 2 ，l (0,1) l ，
l m = l 1 = l 1 1 1 1 1 1所以 1 2l 2 1 - 2 2 2 - 2 = 2 -2(l 2 ，2)
l 1 1 2 -1
当且仅当 2 = 2(l 1) ，即l = 时等号成立，2 2
所以l m
1
的最小值为 2 - .
2
1
故答案为： 2 - .
2
10．（2024·江西九江·二模）在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 A，B，
C 成等差数列， a2 c2 = 4，则VABC 面积的最大值是 ， 4sin Asin C 3 b2 = .
3
【答案】 12
2
【分析】由等差数列性质可得 B，结合重要不等式及三角形面积公式即可求得三角形面积的
3a 3c
最大值；运用正弦定理可得 sin A = ， sin C = ，由余弦定理可得b2 = 4 - ac ，代入求
2b 2b
解即可.
【详解】由题意知， 2B = A C ，
π
又 A B C = π，所以 B = 3 ，
又 a2 c2 = 4， a2 c2 2ac，当且仅当 a = c 时取等号，
所以 ac 2，当且仅当 a = c 时取等号，
S 1 1 π 3 3所以 a = cABC = ac sin B = ac sin = ac ，当且仅当 时取等号.△ 2 2 3 4 2
故VABC 3面积的最大值为 .
2
a c b
因为 = = ， B
π
= ，
sin A sin C sin B 3
sin A a sin B 3a sin C c sin B 3c所以 = = ， = = ，
b 2b b 2b
3a 3c 3ac
所以 4sin Asin C = 4 = ，
2b 2b b2
2 2 2 π
由余弦定理得b = a c - 2ac cos B = 4 - 2ac cos = 4 - ac，
3
所以 (4sin Asin C 3)b2 = (
3ac 2 2
2 3)b = 3ac 3b = 3ac 3(4 - ac) =12 .b
3
故答案为： ；12 .
2
四、解答题
11．（2024·四川广安·二模）已知 a，b ， c均为正数，且 a b c = 3 .
a b c 1 9(1)是否存在 ， ， ，使得 0,5 ，说明理由；
a b c
(2)证明： 3 a 3 b 3 c ≤6 .
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)证明见解析
1 9 1 9
【分析】（1）依题意可得b c = 3- a > 0 ，则 = ，利用乘“1”法及基本不等
a b c a 3- a
1 9
式求出 的最小值，即可说明；
a b c
（2）将 3 a 3 b 3 c 平方，再利用基本不等式计算可得.
1 9
【详解】（1）不存在 a，b ， c，使得 0,5 .理由如下：
a b c
因为 a，b ， c都是正数，且 a b c = 3，所以b c = 3- a > 0 ，
1 9 1 9 1 a 3 1 9所以 = = é - a ù
a b c a 3- a 3 a 3- a
1
= 10
3-a 9a 1 10 2 3-a 9a 16 × = ，3 a 3-a 3 a 3-a 3
3- a 9a 3 9
当且仅当 = ，即 a = ,b c = 时取等号，
a 3- a 4 4
1 9 16
即 的最小值为 ，
a b c 3
1 9
所以不存在 a，b ， c，使得 0,5 .
a b c
2
（2）因为 3 a 3 b 3 c
= 9 a b c 2 3 a × 3 b 2 3 b × 3 c 2 3 a × 3 c
12 3 a 3 b 3 b 3 c 3 a 3 c
= 30 2 a b c
= 36，当且仅当 a = b = c =1时等号成立，
所以 3 a 3 b 3 c ≤6 .
12．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2x - 3 , g x = 3- x - 2
(1)求不等式 f x g x 的解集 N ；
3n 2 2
(2) b 3 a设 N 的最小数为 n，正数 a,b满足 a b = ，求 的最小值.
2 a b
(1) N = ì【答案】 íx |
2 x 8 ü
3 3
(2) 6
【分析】（1）依题意可得 2x - 3 x - 2 ≤3，利用零点分段法分类讨论，分别计算可得；
3n 2 2 4 1
（2 b 3 a）由（1）可得 a b = = 12 ，将式子 变形为
- 3
a b ，再由乘
“1”法及基本不等
a b
式计算可得.
【详解】（1）不等式 f x g x ，即 2x - 3 3 - x - 2 ，
即 2x - 3 x - 2 ≤3，
ìx 3 ì3 < x < 2 ìx 2
所以 í 2 或 í2 或 í2x 3 x 2 3， -2x 3 - x 2 3 2x - 3 - x 2 3
- -
2 x 3 3 8解得 或 < x < 2或 2 x ，
3 2 2 3
2
综上可得 x
8
，
3 3
ì 2 8ü
所以不等式的解集为 N = íx | x
3 3
；

2
（2）因为 N 的最小数为 n = ，所以 a b
3n
= = 1
2 ，可得
a =1- b，
3
ìb =1- a > 0
所以 í ，解得 0 < a < 1
a > 0
，
b2 3 a2 1- a 2 3 1- b 2
所以 = = a b 4 1 2 4 1 - - 2 = - 3
a b a b a b a b
4 1= a b - 3 = 5
4b a 4b a 4b a
- 3 = 2 2 2 × = 6
a b a b a b a b
，
4b a a 2 b 1当且仅当 = ，即 = ， = 时取等号，
a b 3 3
b2 3 a2
所以 的最小值为6．
a b
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东湛江·一模）已知 ab > 0， a2 ab 2b2 =1，则 a2 2b2 的最小值为（ ）
A 8 - 2 2
3
． B 2 2． C D 7 - 2 2． ．
7 3 4 8
【答案】A
【分析】利用不等式 a2 2b2 2 2ab，将等式 a2 ab 2b2 =1左边转化为因式 a2 2b2 表
示，求解即可.
【详解】因为 ab > 0，得： a2 2b2 2 2a2b2 = 2 2ab （当且仅当 a = 2b时成立），
2 2
即得： ab
a 2b 2
= (a2 2b2 ) ，
2 2 4
1 a2 ab 2b2 a2 2b2 2则 = (a2 2b2 ) 4 2= (a2 2b2 )，
4 4
a2 2b2 1 8 - 2 2 =
得： 4 2 7 ，
4
所以 a2 2b2 8 - 2 2 的最小值为 ，
7
故选：A.
2．（2024·辽宁鞍山·二模）已知a ，b 均为锐角， sina = 3sin b cos a b ，则 tana 取得最
大值时， tan a b 的值为（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D．2
【答案】D
【分析】先利用 sina = sin a b - b 展开变形，可得 tan a b = 4 tan b ，再利用
tan b = tan a b -a 展开变形，将 tana 用 tan a b 表示出来，利用基本不等式求最值及
等号成立条件即可.
【详解】 sina = sin a b - b = sin a b cos b - cos a b sin b = 3sin b cos a b ,
则 sin a b cos b = 4sin b cos a b ，
所以 tan a b = 4 tan b = 4 tan a b -a
tan a b - tana
= 4
1 tan a b tana ，
3tan a b
tan a 3= =
整理得 tan2 a b 4 tan a b 4 ，
tan a b
因为a ，b 均为锐角，且3sin b cos a b = sina > 0 ，即 cos a b > 0，
所以 tan a b > 0 ，
所以 tan a b 4 2 tan a b 4 × = 4tan a b tan a b ，
当且仅当 tan a b
4
=
tan tan a b = 2a b ，即 时等号成立，
tana 3 3=
所以 tan a 4 b 4 ，
tan a b
所以 tana 取得最大值时， tan a b 的值为 2 .
故选：D.
3．（23-24 高三上·浙江金华·期末）若 tan 2a = 3tan a - b ，则 tan a b 的最大值为（ ）
A． 3 B 3．1 C． 2 - 3 D．
3
【答案】D
【分析】由角度关系得到a b = 2a - a - b ，再用两角差的正切公式展开，设 tan a - b = t ，
结合基本不等式求出最值，注意取等号的条件.
【详解】因为a b = 2a - a - b ，
tan 2a - tan a - b 2 tan a - b 所以 tan a b = tan é 2a - a - b ù = =1 tan 2a tan a - b 1 ， 3tan2 a - b
2 tan a - b 2t 2 2 3
设 tan a - b = t = = =，则1 3tan2 a - b 1 3t 2 1 3t 1 3 ，
t 2 3tt
ì1
= 3t t 3当且仅当 ít = 时，等号成立.
t > 0
3
故选：D
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前 6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，
几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，
a b
其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若 2a 2b = 1，则 4 1 4 1 的最小值
为（ ）
25 9 9 25
A． B． C． D．
4 16 4 16
【答案】D
【分析】令m = 2a ， n = 2b ，结合基本不等式可得0 < mn
1
a，化简 4 1 4b 1 可得
4
4a 1 4b 1 = mn 2 - 2mn 1 2，转化为求关于mn 的二次函数在区间 (0, ]上的最小值即可.4
【详解】不妨设m = 2a ， n = 2b ，则m > 0， n > 0，
所以m n 2 mn ，当且仅当m = n 时取等号，
即0 < mn
1
，当且仅当m = n 时取等号，
4
所以 4a 1 4b 1 = m2 1 n2 1 = mn 2 m2 n2 1 = mn 2 m n 2 - 2mn 1
2 1= mn - 2mn 2 = mn -1 2 1，（0 < mn ）
4
1
所以当mn = 时， 25mn 2 - 2mn 2取得最小值 ，
4 16
故选：D．
5．（2024· 2陕西西安·一模）已知二次函数 y = -x b - a x ab的图象与 x 轴交于A 、 B 两点，
图象在A 、 B 两点处的切线相交于点 P ．若ab =1，则VABP的面积的最小值为（ ）．
A．1 B． 2 C． 2 D． 4
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点 P 坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积
的最值.
【详解】设 A x1,0 ，B x2 ,0 ，
则x1与x
2
2是方程-x b - a x ab = 0的两根，
则 x1 x2 = b - a ， x1x2 = -ab，
AB = x1 - x2 = x1 - x2
2 - 4x1x2 = a b ，
又 y = -2x b - a ，
则函数 y = -x2 b - a x ab在点 A x1,0 处的切线方程为 y = -2x1 b - a x - x1 ，
y = -x2同理函数 b - a x ab在点B x2 ,0 处的切线方程为 y = -2x2 b - a x - x2 ，
ì x1 x2 b - a
ìy = -2x1 b - a x - x
x = =
1 2 2
则 í
y = -2x2 b - a x - x2
，解得 í ，
-x
2
1 x2 x1 x2
2 - 4x1x2 a b
2
y = = = 2 2 2

P b - a , a b
2
即点 2 2
，

S 1 AB y 1 1则 VABP = × P = a b
3 ×4ab ×2 ab = 2，当且仅当 a = b =1时等号成立，
2 4 4
故选：C.
6．（2023·山东泰安·模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药
品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验
二：小芳将 20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个
实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于 20克 B．小于 20克
C．大于等于 20克 D．小于等于 20克
【答案】C
【分析】设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到5a = bx,ay = 20b，再根据均值不等式计
算得到答案.
【详解】设天平左、右两边臂长分别为 a,b，小明、小芳放入的药品的克数分别为 x ， y ，
5a = bx,ay = 20b x 5a则由杠杆原理得： ，于是 = , y
20b
= ，
b a
x y 5a 20b 2 5a 20b故 = × = 20 ，当且仅当 a = 2b时取等号.
b a b a
故选：C.
7．（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个 11 人
制的标准足球场，其底线宽 AB = 68m，球门宽EF = 7.32m，且球门位于底线 AB 的中间，
在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线 AC 上的M 点处起脚射门，当 EMF 最大时，
点M 离底线 AB 的距离约为（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【答案】C
【分析】根据题意可设 AMF = b , AME = a ， AM = x > 0，利用两角差的正切公式可得当
2 2
x AB - EF= 时， EMF 取得最大时，代入数据可得结果.
2
【详解】设 AMF = b , AME = a ， AM = x > 0，所以 EMF = b -a ；
记 AB = a = 68m, EF = b = 7.32m可得 tan b
a b
= , tana a - b= ；
2x 2x
a b a - b b
-
tan b tan b - tana-a = = 2x 2x x 4b=
1 tan b tana a b a - b a2
=
1 × 1 - b
2 2
4x a - b
2 ，
2x 2x 4x2 x
tan b 4b-a =
当 EMF 取最大时， 2 24x a - b 取最大即可，
x
a2 - b2 a2 - b2
易知 4x 2 4x × = 4 a2 - b2 ，此时 tan b a
b
- =
2 2 取到最大值，x x a - b
2
4x a - b
2 2
= a - b
2
当且仅当 时，即 x = 时，等号成立，
x 2
2 2
将 a = 68m,b = 7.32m a - b代入可得 x = 33.80m .
2
故选：C
3
8．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）设实数 x，y 满足 x > ， y > 3，不等式
2
k 2x - 3 y - 3 ≤8x3 y3 -12x2 - 3y2 恒成立，则实数 k 的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． 2 3 D． 4 3
【答案】B
4x2 y2 4x2 y2
【分析】令 a = 2x - 3 > 0，b = y - 3 > 0 ，不等式变形为 k ，求出
y - 3 2x - 3 y - 3 2x - 3
的最小值，从而得到实数 k 的最大值.
【详解】 x
3
> ， y > 3，变形为 2x - 3 > 0，y - 3 > 0，
2
令 a = 2x - 3 > 0，b = y - 3 > 0 ，
则 k 2x - 3 y - 3 8x3 y3 -12x2 - 3y2 转化为
8x3 y3 -12x2 - 3y2k 4x
2 y2
k2x - 3 y - 3 ，即 ，y - 3 2x - 3
2 2
4x2 y2其中 a 3
2 b 3 2 2 3a 2 3b
=
y - 3 2x - 3 b a b a
12 a b a b=

24 × = 24
b a b a
ìa = 3,
b = 3
当且仅当 í ，即 x = 3, y = 6时取等号，可知 k 24 .
b a
= a b
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题
1 1
9．（23-24 高三上·河北沧州·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，且 =1，则下列说法正确的
a b
有（ ）
A． ab 8 B． a b 4 C．a2 b2 8 D． a 4b 9
【答案】BCD
【分析】根据均值不等式判断 A，利用“1”的变形技巧及均值不等式判断 BD，由重要不等式
及不等式性质判断 C.
1 1 1 1 1 1
【详解】当 a > 0，b > 0时， 2 ，即1 2 ，所以 ，即 ab 4，
a b ab ab ab 4
1 1
当且仅当 = ，即 a = b = 2时取等号，故 A 错误；
a b
1 1
因为 a > 0，b > 0，所以 a b = (a b) = 2
b a 2 b a 2 × = 4 ，
a b a b a b
b a
当且仅当 = ，即 a = b = 2a b 时取等号，故 B 正确；
由 A 可知， a2 b2 2ab 2 4 = 8，当且仅当 a = b，即 a = b = 2时取等号，故 C 正确；
因为 a 0 1 1 a 4b a 4b> ，b > 0，所以 a 4b =1 4 5 2 × = 5 4 = 9，
a b b a b a
4b a
当且仅当 = ，即 a = 3,b
3
= 时取等号，故 D 正确．
a b 2
故选：BCD．
10．（23-24 高三上·湖南常德·期末）已知a > b > 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
a b 2 2
A． > B 2ab a b． <
a 1 b 1 a b 2
C． a b ln ab > 2 1 1D． <
1 ln a 1 lnb
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断 AB，利用特值法判断 CD．
1 1 a 1 b 1 a b
【详解】∵a > b > 0，∴1 <1 即0 < < ，∴ > ，A 正确；
a b a b a 1 b 1
2ab 2ab
由基本不等式知： = ab
a b
a = b
a b 2 ，当且仅当 时等号成立 2 ab
又 a2 b2 2ab，∴ 2 a2 b2 a b 2
a2 +b2 a +b 2 a b a2 b2∴ 即 ,当且仅当 a = b时等号成立；
2 4 2 2
a > b > 0 , 2ab a
2 b2
已知 故 < ，B 正确;
a b 2
a 1,b 1 a b ln ab 1 1 ln 1 1令 = = ， = = < 2，C 错误；
e e e e
令b
1
= ，1 ln b =1 ln
1
= 0，分母为零无意义，D 错误．
e e
故选：AB．
1 1 1
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数 a，b，c 满足 < < ，则（
a b c ）
A． c - a > c - b B b b - c． >
a a - c
a b 1
C． a - c 2 a - b b - c D．
a 2 2ab 2
【答案】BCD
b b - c
【分析】选项 A，利用不等式的性质可判断；选项 B，根据 - > 0，可判断；选项 C
a a - c
和 D，利用均值不等式可判断.
1 1 1
【详解】选项 A：由0 < < < ，得 a > b > c > 0，
a b c
则-a < -b ，所以 c - a < c - b ，A 错误．
b b - c b a - c - a b - c c a - b
选项 B：因为 - = = > 0a a - c a a - c a a ，- c
b b - c
所以 > ，B 正确．
a a - c
选项 C：由 a > b > c > 0，得 a - b > 0，b - c > 0，
所以 a - c = a - b b - c 2 a - b b - c ，
当且仅当 a - b = b - c时取等号， C 正确．
选项 D：因为 a 2 2ab a a 2b = 2 a b ，
a b 1
当且仅当 a = 2b时取等号，所以 2 ，D 正确．a 2 2ab
故选：BCD
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2，4，4，6，a，b，
1 1
12，14，18，20，且总体的平均值为 10．则 的最小值为 ．
a b
1
【答案】 / 0.2
5
1 1
【分析】根据平均数的概念可求 a b 的值，再利用不等式可求 的最小值.
a b
【详解】因为各个个体的值是有小到大排列的，所以6 a b 12，
2 4 4 6 a b 12 14 18 20
又总体平均值为10，所以 =10 a b = 20 .
10
1 1 1 a b 1 1 1 2 b a 1

2 2 b a
1
所以 = = × = （当且仅当 a = b =10
a b 20 a b 20 a b 20

a b

5
时取“ = ”）.
1
故答案为：
5
3 1 l
13．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数 m，n，不等式 成立，则 λ 的最
m n 2m n
大值为
【答案】7 2 6 / 2 6 7
【分析】根据题意，转化为l (2m n)(
3 1
)成立，利用 (2m n)(
3 1) 7 3n 2m = ，
m n m n m n
结合基本不等式求得最小值，即可求解.
3 1 l 3 1
【详解】因为m, n都为正数，则不等式 成立，即为l (2m n)( )成立，
m n 2m n m n
又由 (2m n)( 3 1 ) = 7 3n 2m 7 2 3n 2m × = 7 2 6 ，
m n m n m n
3n 2m
当 =m n 时，即 3n = 2m 时，等号成立，
所以l 7 2 6 ，即l 的最小值为7 2 6 .
故答案为：7 2 6 .
14．（2024·四川泸州·二模）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
c2 = 3a2 - 3b2 ，则 tan A - B 的最大值为 ．
2
【答案】
4
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到 tan A = 2 tan B，再利用基本不等式即可
得解.
【详解】由余弦定理得 a2 = b2 c2 - 2bc cos A,b2 = a2 c2 - 2ac cos B ，
两式相减得 2 a2 - b2 = 2c(a cos B - bcos A)，
因为 c2 = 3a2 - 3b2 ，所以 c = 3(a cos B - bcos A) ，
由正弦定理得 sin C = 3(sin Acos B - sin B cos A) ，
即 sin(A B) = 3(sin Acos B - sin B cos A)，
所以 sin Acos B sin B cos A = 3(sin Acos B - sin B cos A)，
则 sin Acos B = 2cos Asin B ，
因为在VABC 中， cos A, cos B不同时为 0 ， sin A > 0,sin B > 0，故 cos A 0,cos B 0，
所以 tan A = 2 tan B，
π
又 c2 = 3a2 - 3b2 > 0，所以 a > b，则A > B，故0 < B < ，则 tan B > 0，2
tan A B tan A - tan B tan B 1- = = =
所以 1 tan A tan B 1 2 tan2 B 1 2 tan B
tan B
1 2
=
4 ，
2 1 2 tan B
tan B
1
当且仅当 = 2 tan B 2，即 tan B = 时，等号成立，tan B 2
tan A - B 2则 的最大值为 .
4
2
故答案为： .
4
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一
正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，
就会出现错误．
四、解答题
15．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = x a b ，不等式 f x < 4的解集为
{x∣0 < x < 6} .
(1)求实数 a,b的值；
1 1
(2)函数 f x 的最小值为 t ，若正实数m, n, p满足m 2n 3p = t ，求 m 的最小 2 p 2n p
值.
ìa = -3
【答案】(1) í
b =1
(2)最小值为 4
【分析】（1）根据解集得到方程，解出 a,b即可；
（2）根据乘“1”法即可得到最小值.
【详解】（1）Q x a b < 4，易知 4 - b > 0，
\b - a - 4 < x < 4 - a - b .
Q f x < 4的解集为{x∣0 < x < 6}，
ìb - a - 4 = 0 ìa = -3
\í4 a b 6 ，解得
.
- - =
í
b =1
（2）由（1）得 f x = x - 3 1，
\ f x 的最小值为 1，即m 2n 3p =1.
1 1 1 1
\ = m 2 p 2n p
m 2 p 2n p m 2 p 2n p


1 1 2n p m 2 p 2 2 2n p m 2 p= × = 4 ，
m 2 p 2n p m 2 p 2n p
1
当且仅当m 2 p = 2n p = 时，等号成立.
2
1 1
\
m 2 p 2n 的最小值为 4. p
16．（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数 f x = 2x - 2 x 1 ．
(1)求 f x 5的解集；
(2)设 f x 的最小值为m ，若正数 a，b ， c满足 a b c = m ，求 ab ac bc的最大值．
4 ù
【答案】(1) - ,- ú 2, 3
4
(2)
3
【分析】（1）分 x 1，-1 < x <1和 x -1三种情况求解即可；
（2）先分情况求出 f x 的最小值为 2，则 a b c = 2，两边平方化简后利用基本不等式可
求得 ab ac bc的最大值．
【详解】（1）当 x 1时， f x = 2x - 2 x 1≥5，解得 x 2；
当-1 < x <1时， f x = 2 - 2x x 1≥5，解得 x -2（舍去）；
当 x -1时， f x = 2 - 2x - x -1 4≥5，解得 x - ．
3
综上， f x 5 4 ù的解集为 - ,- ú 2, ． 3
（2）当 x 1时， f x = 3x -1 2；
当-1 < x <1时， f x = 3- x 2,4 ；
当 x -1时， f x =1- 3x 4．
所以 f x 的最小值为 2，即m = 2 ，则 a b c = 2，
所以 a b c 2 = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 1 1 1 1 = a2 b2 a2 c2 1 b2 1 c2
2 2 2 2 2 2
2ab 2ac 2ac
1
2 a2 1× b2 2 1 a2 1× c2 1 2 b2 1× c2 2ab 2ac 2bc = 3 ab bc ac ，
2 2 2 2 2 2
2
当且仅当 a = b = c = 时，取等号，
3
即 ab bc ac
4 4
，所以 ab ac bc的最大值为 ．
3 3
17．（2024·青海·一模）已知正数 a,b,c满足 a b c = 2．求证：
(1) a2 b2 c2
4
；
3
(2) 3a 2 3b 2 3c 2 6．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
2
【分析】（1）根据 a b c = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac，结合基本不等式，即可得证；
（2）由 3a 2 3b 2 3c
1
2 = × (2 × 3a 2 2 × 3b 2 2 × 3c 2)，结合基本不等式，
2
即可得证.
【详解】（1）证明：因为正数 a,b,c满足 a b c = 2，
由 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,a2 c2 2ac，当且仅当 a = b = c时，等号成立，
2
可得 a b c = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 3(a2 b2 c2 )，
即3(a2 b2
4
c2 ) 4 2 2，所以 a b c2 ，当且仅当 a = b = c时，等号成立.
3
（2）证明：由 3a 2 3b
1
2 3c 2 = × (2 × 3a 2 2 × 3b 2 2 × 3c 2)
2
1 (4 3a 2 4 3b 2 4 3c 2 1 3 ) = ×[ (a b c) 9] = 6，
2 2 2 2 2 2
当且仅当3a 2 = 4,3b 2 = 4,3c 2 = 4，即 a
2
= b = c = ，等号成立.
3
所以 3a 2 3b 2 3c 2 6 .
18．（2024·广东·一模）海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随
着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为 5、4、3、2、1
五个层级，分别对应如下五组质量指标值： [300,350)， [350,400)， [400,450)， [450,500)，
[500,550]．从该品牌海参中随机抽取 10000 颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直
方图．
(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于 400 的为二级，质量指标值
不低于 400 的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于 400 和低于 400 的样本
中随机抽取 10 颗，再从抽取的 10 颗海参中随机抽取 4 颗，记其中一级的颗数为 X，求 X 的
分布列及数学期望；
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢
*
购一个订单，每个订单均由 n n 2, n N 箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均
1
为 n 5 2 ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为 Y，抢到海参总箱数为 Z．
①求 Y 的分布列及数学期望；
②当 Z 的数学期望取最大值时，求正整数 n 的值．
【答案】(1)分布列见解析，期望E X 8=
5
2
(2)①分布列见解析，期望值E Y = n 5 2 ；②正整数 n 的值为 5；
3
【分析】（1）利用频率分布直方图计算出分层抽样比为 ，可得抽取的 10 颗样本中有 6 颗
2
二级品，4 颗一级品，利用超几何分布公式计算概率即可得分布列和期望值；
（2）①易知订单总数量为 Y 的所有可能取值为0,1,2，分别求得对应概率可得 Y 的分布列
和期望值；
E Z = nE Y 2=
② 显然Z = nY ，利用期望值性质计算可得 n 10 25 ，再由基本不等式即
n
可得 Z 的数学期望取最大值时，正整数 n 的值为 5.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，质量指标为二级与一级的分层随机抽样的比例为
0.008 0.004 3
= ；
0.005 0.002 0.001 2
所以抽取的 10 颗样本中有 6 颗二级品，4 颗一级品；
从抽取的 10 颗海参中随机抽取 4 颗，记其中一级的颗数为 X，则 X 的所有可能取值为
0,1,2,3,4；
4
P X C 1 C
3C1 8 C2C2 3
易知 = 0 = 64 = ，P X =1 = 6 44 = , P X = 2 = 6 44 = ,C10 14 C10 21 C10 7
C1 3 4P X = 3 = 6C4 44 = , P X = 4
C 1
= 4 =
C10 35 C
4
10 210
；
所以可得 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
1 8 3 4 1
P 14 21 7 35 210
E X 0 1 1 8 3可得数学期望 = 2 3 4 1 8 4 = .
14 21 7 35 210 5
（2）根据题意可知订单总数量为 Y 的所有可能取值为0,1,2，
2 2
é ù n2 10n 24
则P Y 1= 0 = ê1- ú = ；
ê n 5
2
ú n 5
4
1 é 1 ù 2 n2 10n 24 P Y =1 = C12 × ê1- ú = ； n 5 2 2 4 ê n 5 ú n 5
P Y 2 1= =
n 5 4 ；
所以 Y 的分布列为
Y 0 1 2
2n2 10n 24 2 n2 10n 24 1
P
4
4
n 5 4 n 5 n 5
n2 2 10n 24 2 n2 10n 24 1 2
数学期望E Y = 0 1 2 = ；
n 5 4 n 5 4 n 5 4 n 5 2
2n
易知Z = nY ，所以E Z = E nY = nE Y = n 5 2 ；
又 n 2,n N* ，
E Z 2n 2n 2 2 1= = = =
所以Z 的数学期望 n 5 2 n2 10n 25 n 10 25 10
n 10 2 n
25 ，

n
25 1
当且仅当 n = ，即 n = 5时，等号成立，E Z 取得最大值 ；
n 10
因此 Z 的数学期望取最大值时，正整数 n 的值为 5.
19．（2023·四川达州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，
b c a 3a
= .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面积S 的最小值.
1
【答案】(1) 2
(2) 2
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出 2sinBsinC = cosBcosC ，即可
求得 tan B tan C的值；
（2）分析可知 B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出
tan A - 2 ，求出 sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.
b c a 3a
【详解】（1）解：Q = ，
cosB cosC cosA cosBcosC
\ bcosC ccosB cosA = a cosBcosC 3cosA .
由正弦定理得 sinBcosC cosBsinC cosA = sinA cosBcosC 3cosA .
\sin B C cosA = sinA cosBcosC 3cosA .
因为0 < A < π ，则 sin A > 0，
Q A B C = π ， sin B C = sinA，
则 cosA = -cos B C = sinBsinC - cosBcosC ，
所以， cos A = cos B cosC 3cos A，即 2cos A cos B cosC = 0，
所以， 2 sinBsinC - cosBcosC cos B cosC = 0，
1
\2sinBsinC = cosBcosC ，即 tanBtanC = .
2
1
（2）解：由（1）得 tanBtanC = .
2
ìtan B < 0
若 í ，则 B 、C 均为钝角，则B C > πtan C 0 ，矛盾， <
所以， tan B > 0， tan C > 0，此时 B 、C 均为锐角，合乎题意，
\ tanA = -tan B tanB tanC C = = -2 tanB tanC -4 tanBtanC = -2 2 ，
tanBtanC -1
2
当且仅当 tanB = tanC = 时，等号成立，且A 为钝角.
2
Q tan A -2 2 ，则 tan π - A 2 2 ，且 π - A为锐角，
ì
tan
sin π - Aπ - A = 2 2
cos π - A
由 ísin2 π - A cos2 π - A =1 2 2 2 2，解得 sin π - A ，即 sin A ，
cos π A 0 3 3 - >
sin π - A > 0
当且仅当 tanB = tanC 2= 时，等号成立，
2
Qbc = 3 S 1 bc sin A 3 sin A 3 2 2，\ = = = 2 .
2 2 2 3
因此，VABC 面积的最小值为 2 .
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·辽宁·一模）已知 a,b R
a b
．则“ a > 0且b > 0 ”是“ 2 ”的（ ）
b a
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
a b a b a b a b
【详解】当 a > 0且b > 0时， > 0, > 0，所以 2 × = 2，当且仅当 = ，即 a = b
b a b a b a b a
时取等号，
a b
所以由 a > 0且b > 0可以得出 2，
b a
a b
显然，当 a = b = -2，有 2成立，但得不出 a > 0且b > 0，
b a
a b
所以“ a > 0且b > 0 ”是“ 2 ”的充分而不必要条件，
b a
故选：A.
2．（2024·山东济宁·一模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 a = 3，
a cos B = (2c - b)cos A，则VABC 面积的最大值为（ ）
A 9 3 9 3
9 9
． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】A
【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得A ，结合余弦定理以及不等式求得bc
的最大值，再求三角形面积的最大值即可.
【详解】因为a cos B = (2c - b)cos A，由正弦定理可得： sin Acos B = 2sin C cos A - sin B cos A，
即 sin A B = 2sin C cos A， sin C = 2sin C cos A，
又C 0, π 1， sin C π 0，故 cos A = ；由 A 0, π ，解得 A = ；
2 3
1 b2 c2 - 9
由余弦定理，结合 a = 3，可得 cos A = = ，
2 2bc
即b2 c2 = bc 9 2bc ，解得bc 9，当且仅当b = c = 3时取得等号；
故VABC 1的面积 S = bc sin A 1 3 bc 3 9 9 3= = ，当且仅当b = c = 3时取得等号.
2 2 2 4 4
9 3
即VABC 的面积的最大值为 .
4
故选：A.
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥 P - ABC 中， AB = 2 2 ， PC = 1， PA PB = 4 ，
CA - CB = 2，且PC ^ AB，则二面角P- AB-C 的余弦值的最小值为（ ）
2 3A 1 10． B． C．
3 4 2
D．
5
【答案】A
【分析】首先得P,C 的轨迹方程，进一步作二面角P- AB-C 的平面角为 PHC ，结合轨
迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件.
2 2
【详解】因为PA PB = 4 = 2a，所以 a = 2 x y，点 P 的轨迹方程为 =1（椭球），
4 2
又因为CA - CB = 2，所以点C 的轨迹方程为 x2 - y2 =1，（双曲线的一支）
过点 P 作PH ^ AB, AB ^ PC ，而PH PC = P, PF , PC 面PHC ，
所以 AB ^ 面PHC ，
设O为 AB 中点，则二面角P- AB-C 为 PHC ，
π ù
所以不妨设OH = 2cosq ,q 0, ú , PH = 2 sinq ,CH = 4cos
2 q -1，
2
2
cos PHC 2sin q 4cos
2 q -1-1 2cos2 q 2 1- sin2 q
所以 = = = × ，
2 2 sinq 4cos2 q -1 2 2 sinq 4cos2 q -1 2 sinq 3- 4sin2 q
2 2
cos2 PHC 1
1- sin q
所以 = × ，令1- sin2 q = t,0 < t <1，
2 sin2 q 3 - 4sin2 q
21- sin2 q 2 2
cos2 PHC 1 1 t 1 t 2 = × = × × =
所以 2 sin2 q 3 - 4sin2 q 2 1- t 4t -1 2 1- t 4t -1 2 9 ，

2
2
等号成立当且仅当 t = =1- sin2 q ，
5
15 10
所以当且仅当 sinq = , cosq = 时， cos PHC 2= .
5 5 min 3
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得
解.
4．（23-24 高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲 乙两
名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如
下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打 2 局，当两人获胜局数不少于 3 局时，则认为这轮训
4
练过关；否则不过关.若甲 乙两人每局获胜的概率分别为 p1， p2，且满足 p1 p2 = ，每局3
之间相互独立.记甲、乙在 n轮训练中训练过关的轮数为 X ，若E X =16，则从期望的角度
来看，甲 乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27 B．24 C．32 D．28
【答案】A
【分析】先求得每一轮训练过关的概率，利用二项分布的期望列方程，结合基本不等式以及
二次函数的性质求得正确答案.
【详解】设每一轮训练过关的概率为 p ，
则 p = p2 p2 2 1 2 11 2 p1 C2 p2 1- p2 p2 C2 p1 1- p1
= -3p21 p
2
2 2 p1 p2 p1 p2 = -3p2 p21 2 2 p1 p
4
2 = -3p
2
1 p
2 8
2 p1 p ，3 3 2
2
0 < p p p1 p2 4
2
1 2 = ，当且仅当 p2 9 1
= p2 = 时等号成立.
3
y 3x2 8函数 = - x 的开口向上，对称轴为 x
4
= ，
3 9
2
所以0 < -3p2 p2 8 4 8 4 161 2 p1 p2 -3 ×

× = ，3 9 3 9 27
依题意， X : B n, p E X = n -3p2 p2 8，则 1 2 p1 p

2 =16，
3
n 16 16= = 27
-3p2 p2 8 p p 16 ，所以至少需要 27轮.1 2 3 1 2 27
故选：A
【点睛】方法点睛：求解相互独立事件和独立重复事件结合的问题，要注意区别两者的不同，
相互独立事件的概率可以不相同，独立重复事件概率是相同的.求最值的方法可以考虑二次
函数的性质，也可以考虑基本不等式，利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”.
二、多选题
sinx
5．（2024·江苏·一模）已知函数 f x = ，则（ ）
2 - cos2x
A． f x 的最小正周期为 π B． f x 的图象关于点 π,0 对称
C．不等式 f x > x 2无解 D． f x 的最大值为
4
【答案】BD
【分析】对于选项 A:验证 f π x = f x 是否成立即可判断；对于选项 B:验证
f 2π - x = - f x 是否成立即可判断；对于选项 C:利用 f -π = 0 > -π 即可验证 f x > x有
解；对于选项 D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断.
sin π x -sinx【详解】对于选项 A: f π x = = f x ,\π f x 2 cos2 π x 2 cos2x 不是 的周期，故- -
A 错误;
sin 2π - x
对于选项 B: f 2π x
-sinx
- = = = - f x ,\ f x π,02 - cos2 2π - x 2 - cos2x 关于 对称，故 B 正
确；
对于选项 C: f -π = 0 > -π,\ f x > x 有解，故 C 错误；
f x sinx sinx对于选项 D: = =2 - 1- 2sin2x 2sin2x 1，若 sinx 0 ，则 f x 0 ，
sinx > 0, f x
1 1 2
= =
若 则 ，
2sinx 1 2 2 4
sinx
当且仅当 2sinx
1
= 2，即 sinx = 时，原式取等，故 D 正确.sinx 2
故选:BD.
6．（23-24 a高三上·江苏连云港·阶段练习）已知 a > 0， e 1- ln b =1，则（ ）
A．1< b < e B．a > ln b C． ea - ln b <1 D．b - a <1
【答案】ABD
【分析】由已知条件，利用对数式的运算判断范围，通过构造函数，利用基本不等式和导数
求最值判断不等式是否成立.
1
【详解】已知 a > 0，则 ea > 1，有0 <
ea
<1，
a
由 e 1- ln b =1 1，得1- ln b = a ，则0 <1- ln b <1，即0 < ln b <1，e
所以1< b < e，A 选项正确；
函数 f x = ex - x -1，有 f x = ex -1，
x < 0 时， f x < 0， f x 单调递减， x > 0时， f x > 0， f x 单调递增，
f x = f 0 = 0 f x = ex - x -1 0min ， ，即 ex x 1， x = 0时等号成立，
a 0 1 ln b 1已知 > ，由 - = a = e
-a > -a 1，所以a > ln b，B 选项正确；
e
1 1
已知 a > 0，则 ea > 1， ea a 2 e
a 1× a = 2
a
，当且仅当 e = ，即
ea e
a =1等号成立，
e e
所以 ea
1
a > 2，有 ea 1- ln b > 2，得 ae e - ln b >1
，C 选项错误；
1
设1- ln b = a = t ，有0 < t <1，则 a = - ln t ，b = e1-t ，有e b - a = e
1-t ln t ，
设 g t = e1-t ln t 0 < t <1 g t e1-t 1，有 = - ，
t
设 p t = ln t - t 1 0 < t <1 1，则 p t = -1 > 0 0 < t <1 ，
t
所以 p t = ln t - t 1< 0，即 ln t < t -1，- ln t >1- t ，
1 1-t
所以 > e ， g t >0在 0,1 上恒成立，
t
得 g t 在 0,1 上单调递增， g t < g 1 =1，即b - a <1，D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，要证明不等式，构造一个适当的函数，
利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能
获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
7．（2023·全国·模拟预测）实数 a，b 满足 a2 4b2 = 2，则（ ）
ab 1A．
2
B． a b 的最大值为 2 3
é
a b 10 10
ù
C． - ê- ,2 2 ú
D a 2b a3 8b3 9． 的最大值为
2
【答案】ACD
【分析】对于 A 选项，利用基本不等式即可判断；对于 B 选项，利用参数方程即可求解；
对于 C 选项，利用 B 选项即可求解；对于 D 选项，令 t = 2ab 即可求解,
【详解】对于 A 选项，由 a2 4b2 4ab ，得 4ab 2，
ab 1所以 ，当且仅当 a = 2b时取“=”，故 A 正确；
2
ìa = 2 cosq ,

对于 B 选项，令 í 2 且q 0,2p ，则 a b = 2 cosq
2 sinq 10 = sin q j ，
b = sinq , 2 2
2
sinj 2其中 = ， cosj
1
= ，
5 5
又q 0,2p ，所以 sin q j 的最大值为 1，
所以 a b 10的最大值 ，故 B 错误；
2
2
对于 C 选项，由 B 中的分析知， a - b = 2 cosq - sinq 10= - sin q -j ，
2 2
其中 sinj
2 cosj 1= ， = ，
5 5
é 10 10 ù
又q 0,2p ，所以 a - b ê- ,2 2 ú ，故 C 正确；
对于 D 选项，令 t = 2ab ，
则 a 2b a3 8b3 = a4 2b 4 a3 ×2b a 2b 3
1 2
= a2 2 4b2 - 2 2ab 2 2ab a2 4b2 = 4 - 2t 2 2t 9= -2 t - ，
2 2
1
t 1 t = a 2b a3 8b3 9且 ，所以当 时， 取最大 ，
2 2
故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
2 1
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知实数 x > 0，y > 0，若 2x 3y =1，则 x y 的最小值为 ．
【答案】7 4 3 / 4 3 7
【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.
【详解】由 x > 0，y > 0，
2 1 2 1 1 2 1 2x 3y 4 3 6y 2x = = = x y x y x y x y
6y 2x
7 2 × = 7 4 3 ，
x y
ì
x 6 - 3 3=
6y 2x 3
当且仅当 =x y ，即 í 时，等号成立， y 2 3 - 3 = 3
2 1
所以 x y 的最小值为为7 4 3 .
故答案为：7 4 3 .
9．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 AO 通过路口O后转向
西北方向OB，围绕道路OA,OB打造了一个半径为 2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区
相切的观光道MN ，则MN 的最小值为 km．
【答案】 4 2 4
【分析】在VOMN 2中，利用余弦定理结合基本不等式可得MN 2 2 ab ，利用正弦定
4
理可得 ab = sinasin 45° -a ，利用三角函数的有界性建立不等式，即可求解.
【详解】如图，设切点为 P ，连接OP．由题意得 MON =135°，
设OM = akm,ON = bkm ，
在VOMN 中，
MN 2 = a2 b2 - 2ab cos135°
= a2 b2 2ab 2 2 ab ,
当且仅当 a = b时取等号．
设 OMN = a ，则 ONM = 45° -a ，
2
所以 a = ,b
2
=
sina sin 45° -a ，
故 ab
4
=
sinasin 45° -a
16 16
=
2sin 2a 45° - 2 2 - 2
（当且仅当a = 22.5°时取等号），
16 2 2
所以MN 2 =16( 2 1)2 ，
2 - 2
解得MN 4 2 1 ，所以MN 的最小值为 4 2 4 km．
故答案为： 4 2 4 .
四、解答题
10．（2023·四川资阳·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 a b = 2 ．
(1)求 a2 b2 的最小值；
(2)证明： a 1 b 1 2 2 ．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出 a2 b2 的最小值．
2 a 1 b 1 4 2 a 1 2 b 1 a 3 b 3（2）化简已知得 ，即 = 4，利用基2 2
本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为 a b = 2 ，所以 a2 b2 2ab = 4，所以 a 2 b2 = 4 - 2ab．
2
因为 a > 0，b > 0 a b ，所以 ab = 1，当且仅当 a = b =1时，等号成立，
2
则 a2 b2 4 - 2 = 2，即 a2 b2 的最小值是 2．
（2）证明：因为 2 a 1
a 3
，当且仅当 a =1时，等号成立，
2
2 b 1 b 3 ，当且仅当b =1时，等号成立，
2
所以 2 a 1 2 b 1
a 3 b 3
= 4．当且仅当 a = b =1时，等号成立
2 2
则 2 a 1 b 1 4，即 a 1 b 1 2 2 ，当且仅当 a = b =1时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将 a 1 b 1 2 2 的证明转化为
2 a 1 a 3 b 3 b 1 4的证明，其中 = 4是解题关键，本题考查不等式的证明，基2 2
本不等式的应用，属于较难题.
11．（22-23 高一下·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名
绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居
四大名绣之首．1915 年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具
有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点 D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点，
ADC = 60°， AD = 2．
(1)若 ACD = 45°，求三角形手巾的面积；
AC
(2)当 取最小值时，请帮设计师计算 BD 的长．
AB
(1) 9 3 3【答案】
4
(2) 3 -1
【分析】（1）由正弦定理求得DC 的长，即可得DB的长，由三角形面积公式即可求得答
案.
2
（2）设CD = BD = 2m, (m > 0) AC，利用余弦定理表示出 AC 2 , AB2 ，即可得 2 的表达式，结AB
合基本不等式确定其最小值，即可求得答案.
【详解】（1）在VACD中， ACD = 45°， ADC = 60°，故 DAC = 75°， ADB =120°，
DC AD 2 sin 75°
由正弦定理得 = ，即DC = ，
sin DAC sin ACD sin 45°
而 sin 75° = sin(30° 45 1 2 3 2 2 6°) = = ，
2 2 2 2 4
2 2 6
故DC = 4 =1 3 ，
2
2
1 1
故BD = DC = (1 3) ,
2 2
1
故三角形手巾的面积为 SVADC SVADB = AD DC
1
sin ADC AD DB sin ADB
2 2
1 2 (1 3) 3 1 1 3 3 9 3 3= 2 =
2 2 2 2 2 4
（2）设BD = m(m > 0)，则CD = 2m，
则在△ABD 中， AB2 = BD2 AD2 - 2BD × AD cos ADB = m2 4 2m，
在VACD中， AC 2 = CD2 AD2 - 2CD × AD cos ADC = 4m2 4 - 4m，
AC 2 4m2 4 - 4m 4(m2 4 2m) -12(1 m)
故 2 =AB m2
=
4 2m m2 4 2m
4 12(1 m) 12(1 m)= - 2 = 4 - = 4
12
-
m 4 2m (m 1)2 3 (m 1) 3 ，
m 1
3
由于 (m 1) 3 2 (m 1) 3 × = 2 3 ，当且仅当m 1 = ，即
m 1 m = 3 -1
时取等号，
m 1 m 1
4 12 4 12- - = 4 - 2 3
故 (m 1) 3 2 3 ，
m 1
AC 2 AC
即 2 取到最小值即 取最小值时，m = 3 -1，AB AB
即此时BD = 3 -1 .
AC
【点睛】关键点睛：第二问求解 取最小值时 BD的长，关键是设CD = BD = 2m, (m > 0)，
AB
AC 2
分别利用余弦定理表示出 AC 2 , AB2 ，从而可得 2 的表达式，进而利用基本不等式求解.AB
12．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 z = f (x, y)在
约束条件 g(x, y) 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
L(x, y,l) = f (x, y) lg(x, y)，其中l 为拉格朗日系数．分别对 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求导，
并使之为 0，得到三个方程组，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) lg y (x, y) = 0，解此方程组，得出解 (x, y)，就是二元函数 z = f (x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
在约束条件 g(x, y) 的可能极值点． x, y的值代入到 f (x, y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数 f (x, y) = x2 xy y2关于变量 x 的导数．即：将变量 y 当做常数，即：
fx (x, y) = 2x y ，下标加上 x ，代表对自变量 x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
Lx , Ly , Ll 表示分别对 x, y, λ进行求导．
(1)求函数 f (x, y) = x2 y2 2xy xy2关于变量 y 的导数并求当 x =1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 x, y满足 g(x, y) = 4x2 y2 xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x y
的最大值．
1
(3)①若 x, y, z 2 2 2为实数，且 x y z =1，证明： x y z ．
3
②设 a > b > c > 0，求 2a2
1 1
-10ac 25c2
ab a(a - b) 的最小值．
【答案】(1) f y (x, y) = 2x
2 y 2x 2xy， f y (1, y) = 4y 2；
(2) 2 10 ；
5
(3)①证明见解析；②4.
【分析】（1）根据给定条件，对变量 y 求导并求值.
（2）利用拉格朗日乘数法求出极值，再判断并求出最大值.
（3）①利用换元法，结合平方数是非负数推理即得；②利用二次函数、均值不等式求出
最小值.
2
【详解】（1）函数 f (x, y) = x2 y2 2xy xy2，对变量 y 求导得： f y (x, y) = 2x y 2x 2xy，
当 x =1时， f y (1, y) = 4y 2 .
（2）令 L(x, y,l) = 2x y l(4x2 y2 xy -1) ，
ì 10 ì 10
x = - x =
L (x, y,l) 2 8lx l y 0 10

10ì x = =
10
则 íLy (x, y,l) =1 2l y
10
lx = 0 ，解得 íy = -

或 íy = ，
L (x, y,l) = 4x2 y2
5 5
l xy -1 = 0
l 10
10
= l = -
5 5
于是函数 f (x, y)在约束条件 g(x, y) = 0 ( 10 , 10的可能极值点是 - - ) ( 10 , 10， )，
10 5 10 5
x 10 , y 10 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10当 = - = - 时，函数 的一个极值为函数 - - = - ，
10 5 10 5 5
x 10 , y 10 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10当 = = 时，函数 的一个极值为函数 = ，
10 5 10 5 5
方程 4x2 y2 xy -1 = 0视为关于 x 的方程： 4x2 yx y2 -1 = 0 ，则 D1 = y
2 -16(y2 -1) 0，
解得 | y |
4
，
15
2 2 2
视为关于 y 的方程： y2 xy 4x2 -1 = 0，则D2 = x - 4(4x -1) 0，解得 | x | ，15
因此函数 z = f (x, y) 2 10 2 10对应的图形是封闭的，而 > - ，
5 5
所以 f (x, y) 2 10的最大值为 .
5
（3）①由 x y z =1， x, y, z R x
1 l , y 1 l , z 1，设 = 1 = = - (l l ),l ,l R ，3 3 2 3 1 2 1 2
x2 y2 z2 1 1则 = ( l1)
2 ( l 2 1 1 12 ) [ - (l l )]
2
1 2 = l
2 l 2 (l l )21 2 1 2 ，3 3 3 3 3
当且仅当l1 = l2 = 0时取等号，
x2 y2 z2 1所以 .
3
1 1
②当 a > b > c > 0时， 2a2 -10ac 25c2 a2
(a - b) b
= (a - 5c)2
ab a(a - b) ab(a - b)
ìa = 5c
a2 1 1 a2 = a2 4 2 a2 4 × = 4
b(a - b) (b a - b)2 a
2 a2 ，当且仅当 íb = a - b时取等号，
2 a = 2
2 1 1
所以5c = 2b = a = 2 时， 2a -10ac 25c
2
ab a(a b) 取得最小值 4.-
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
①在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一
正”、“二定”、“三相等”的条件；
②利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上
一个数，以及“1”的代换等应用技巧.

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