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考点 08 函数的奇偶性、周期性（3 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，
偶函数 如果 x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝ 关于 y 轴对称
f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，
奇函数 如果 x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝ 关于原点对称
－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个
x∈D 都有 x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做 f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具
有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
【核心题型】
题型一　函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的
等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
π
【例题 1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数 f x 的图像向左平移 个单位长度后得到
6
y = 2sin2 x + cos 2x π- 3 ÷
的图像，则（ ）
è
A． f 0 =1 B． f x 是偶函数
C． f x π的图像关于点 ,1
π
÷中心对称 D．当 x = 时， f x 2 取到最小值è 4
【答案】BC
【分析】利用三角变换和图象变换得到 f x = -cos 2x +1，代入计算后可判断 AD 的正误，
根据定义可判断 B 的正误，利用整体法可求判断 C 的正误.
π 1 3
【详解】 y = 2sin2 x + cos 2x -

÷ =1- cos 2x + cos 2x + sin 2x
è 3 2 2
3
= sin 2x 1- cos 2x +1 = sin 2x π- ÷ +1，2 2 è 6
故 f x = sin 2x π π - -
+1 = -cos 2x +1，
è 3 6 ÷
对于 A， f 0 = -cos 0 +1 = 0，故 A 错误.
对于 B， f -x = -cos -2x +1 = -cos 2x +1 = f (x) ，而 x R ，故 f x 为偶函数，故 B 正确.
2x kπ π对于 C，令 = + ,k Z x
kπ π
，则 = + ,k Z，
2 2 4
f x kπ π π 故 的图像的对称中心对称为 + ,1÷ ,k Z，当 k = 0时，对称中心为 ,1 ，故 C 正
è 2 4 4 ÷ è
确.
f x cos 2x 1 2 cos π 1 f π f π对于 D， = - + = - + = ÷，故 ÷为 f x 取到最大值，故 D 错误.
è 2 è 2
故选：BC.
【变式 1】（2024·北京丰台·一模）已知函数 f x 具有下列性质：
①当 x1, x2 0,+ 时，都有 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1；
②在区间 0, + 上， f x 单调递增；
③ f x 是偶函数．
则 f 0 = ；函数 f x 可能的一个解析式为 f x = ．
【答案】 -1 f (x) =| x | -1（答案不唯一）
【分析】令 x1 = x2 = 0即可求出 f 0 ，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验
证即可.
【详解】因为当 x1, x2 0,+ 时，都有 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1，
令 x1 = x2 = 0可得 f 0 = f 0 + f 0 +1，解得 f 0 = -1，
不妨令 f (x) =| x | -1， x R ，
x -1, x 0
则 f (x) x 1
ì
= - = í ，所以 f x 在 0, + x 1, x 0 上单调递增，满足②； - - <
又 f (-x) =| -x | -1 =| x | -1 = f (x)，所以 f x 为偶函数，满足③；
当 x1, x2 0,+ 时 f x1 + x2 = x1 + x2 -1 = x1 + x2 -1，
f x1 = x1 -1 = x1 -1， f x2 = x2 -1 = x2 -1，
所以 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1，满足①.
故答案为： -1； f (x) =| x | -1（答案不唯一）
2 2024· · f x e
x - e- x ex + e- x
【变式 】（ 内蒙古赤峰 一模）已知 = ， g x = ．下列结论中可能2 2
成立的有 ．
① f 2x = 2 f x × g x ；
2 2② g 2x = é f x ù - é g x ù ；
③ h x
f x
=
g x 是奇函数；
④对"x0 > 0 ， f f x0 > f x0 ．
【答案】①③④
【分析】根据题意，由指数的运算即可判断①②，由函数奇偶性的定义即可判断③，利用
导数判断函数的单调性，即可判断④.
ex - e- x x - x 2x -2x
【详解】因为 2 f x × g x = 2 e + e e - e× × = = f 2x ，故①正确；
2 2 2
2x -2x
f 2 2x g x e - 2 + e e
2x + 2 + e-2x
因为 é ù - é ù = - = -1 g 2x ，故②错误；4 4
ex - e- x e2x -1
f x
h x 2 e
x - e- x x e2x -1 2
因为 = = x - x = =
e
g x e + e ex + e- x e2x
= 2x =1-1 ，+ e +1 e2x +1
2 ex
定义域为R ，关于原点对称，
2x
h -x =1 2 2 2e- -2x =1- =1-则 e +1 1+ e2x e2x +1，
e2x
2x 2 e2x +1
2e 2 所以 h -x + h x =1- 2x +1- = 2 - = 0，e +1 e2x +1 e2x +1
f x
所以 h x = g x 是奇函数，故③正确；
x
m x f x x e - e
- x
令 = - = - x ，其中 x 0, + ，
2
m x 1= ex + e- x 1 1- 2 ex - x则 ×e -1 = 0 ，2 2
当且仅当 ex = e- x 时，即 x = 0时，等号成立，
所以m x > 0，即函数m x 在 0, + 上单调递增，
所以m x > m 0 = 0，即 f x > x，
f x 1= ex + e- x 1 2 ex - x又 ×e =1，2 2
当且仅当 ex = e- x 时，即 x = 0时，等号成立，
所以 x 0, + 时， f x >1 > 0，则函数 f x 在 0, + 上单调递增，
所以对"x0 > 0 ， f f x0 > f x0 ，故④正确；
故答案为：①③④
【变式 3】（2024· x河南信阳·一模）若函数 f (x) = sin x ×[log3(9 + 2m) - x]的图像关于原点对称，
则 m＝ ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】根据题意，由条件可得 g(x) = log3(9
x + 2m) - x = log (3x 2m3 + x )为偶函数，再由偶函3
数的性质即可得到结果.
【详解】因为 f x 的图像关于原点对称，则 f x 为奇函数，且 y = sin x 为奇函数，
g(x) log (9x 2m) x 2m则 = 3 + - = log (3
x
3 + x )为偶函数，即 g(-x) = g(x)，3
log3(3
- x + 2m ×3x ) = log3(3
x + 2m 1×3- x )，则 2m =1，则m = ．
2
1
故答案为： 2
题型二　函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已
知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
命题点 1　利用奇偶性求值(解析式)
【例题 2】（2023·四川·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时，
f x = x2 - ax + a -1，则满足 f x 0的 x 的取值范围是（ ）
A． - , -1 0,1 B． -1,1 C． -1,0 1, + D． - , -1 1, +
【答案】C
【分析】先通过函数为奇函数求出 a，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【详解】依题意 f x 是奇函数，所以 f 0 = a -1 = 0，即 a =1，
则 f x = x2 - x， x 0 ，
当 x 0 时，令 f x 0，解得 x 1或 x = 0，
根据对称性，当-1 x < 0时， f x 0，
故满足 f x 0的 x 的取值范围是 -1,0 1, + ．
故选：C．
【变式 1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数 f (x) 的定义域为R ， y = f (x) + 2ex 是偶函数，
y = f (x) - 3ex 是奇函数，则 f (x) 的最小值为（ ）
A． e B． 5 C． 2 2 D． 2 5
【答案】B
ex + 5e- x
【分析】根据奇偶函数的定义可得 f (x) = ，再利用基本不等式求最小值.
2
x
ì f (x) + 2e = f (-x) + 2e
- x
ex + 5e- x
【详解】由题意可得 í ，解得 f (x) = ，
f (x) - 3e
x = - é - x f (-x) - 3e ù 2
ex + 5e- x x - x 1
因为 f (x) 2 e 5e= = 5 ，当且仅当 ex = 5e- x，即 x = ln 52 时，等号成立，2 2
所以 f (x) 的最小值为 5 .
故选：B.
【变式 2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为 1,0 的奇函数 f x = .
【答案】 sinπx（答案不唯一）
【分析】根据对称中心，考虑正弦函数（答案不唯一，正确即可）
【详解】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点 1,0 对称，
所以此函数可类比于正弦函数，
因为正弦函数 y = sinx是奇函数，且关于点 π,0 对称，
所以可联想到 f x = sinπx .
故答案为： sinπx（答案不唯一）.
【变式 3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知 f x ， g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函
3 2
数， f x + g x = x + ax + a ，则 f 3 = ．
【答案】27
【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数 f x 的解析式，即可得解.
【详解】因为 f x ， g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，
而 f x + g x = x3 + ax2 + a ，①
所以 f (-x) + g(-x) = -x3 + ax2 + a ，即 f (x) - g(x) = x3 - ax2 - a ，②
由① + ②得 f (x) = x3 ，所以 f (3) = 27．
故答案为： 27 .
命题点 2　利用奇偶性解不等式
【例题 3】（2024·广西柳州·三模）设函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的 x，
y R ，都有 f x - f y < x - y .若函数 g x - f x = x 2，则不等式 g 2x - x + g x - 2 < 0
的解集是（ ）
A． -1,2 B． 1,2
C． - , -1 U 2, + D． - ,1 U 2, +
【答案】D
【分析】由 f (x) 的奇偶性可判断 g(x)也为奇函数，然后结合 | f (x) - f (y) |<| x - y |，及单调性
的定义可判断 g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．
【详解】Q g(x) - f (x) = x，\ g(x) = f (x) + x ，
由于 f x 是定义在R 上的奇函数，即 f x + f -x = 0，
\ g(-x) = f (-x) - x = - f (x) - x = -g(x)，故 g x 为奇函数，
Q对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) - f (y) |<| x - y |，
\ g(x) - x - g(y) - y <| x - y | ，
x y g(x) - g(y) - (x - y)当 时，有 < 1| x ，- y |
g(x) - g(y)
即 -1 <1，
x - y
0 g(x) - g(y)\ < < 2， \ g(x)x - y 单调递增，
Q g(2x - x2 ) + g(x - 2) < 0 ，
\ g(2x - x2 ) < -g(x - 2) = g(2 - x)，
\2x - x2 < 2 - x ，
整理可得， x2 - 3x + 2 > 0 ，
解可得， x > 2或 x <1，
故选：D
【变式 1】（2024·辽宁·一模）已知函数 f x = log2 4x +16 - x - 2，若 f a -1 f 2a +1 成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A． - , -2 B． - , -2 U 0, +
é 2, 4ù , 2 U é4- - - , + C． ê ú D．3 ê3 ÷
【答案】C
【分析】构造函数 g x = f x + 2 ，判断 g x 的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后
根据单调性将不等式去掉函数符号即可求解.
【详解】记 g x = f x + 2 = log 4x+22 +16 - x - 4, x R，
4x+2 ln 4 4x+2g x -16令 = -1 = 4x+2 +16 ln 2 4x+2
= 0
+16 ，解得 x = 0，
当 x > 0时， g x > 0， g x 单调递增，
当 x < 0 时， g x < 0， g x 单调递减.
16 1+ 4x
因为 g -x = log 4- x+22 +16 + x - 4 = log2 x + x - 44
= log 4x+22 +16 - x - 4 = g x ，
所以 g x 为偶函数.
所以 f a -1 f 2a +1 f a - 3+ 2 f 2a -1+ 2 g a - 3 g 2a -1 ，
又 g x 在 0, + 上单调递增，
所以 a - 3 2a -1
4
，即3a2 + 2a -8 0，解得-2 a .
3
故选：C
【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用
导数研究单调性进行求解.
x
【变式 2】（2024·四川南充·二模）设函数 f x = sin x + e - e- x - x + 3，则满足
f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范围是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． 3, + D． - ,3
【答案】C
【分析】构造函数 g x = f x - 3，说明其单调性和奇偶性, f (x) + f (3 - 2x) < 6转化为
g(x) < g(2x - 3) 解不等式即可求解.
x - x
【详解】 f x = sin x + e - e - x + 3，
设 g x = f x - 3 = sin x + ex - e- x - x ，
又易知 g(-x) = -g(x)，\ g(x) 为R 上的奇函数，
又 g (x) = cos x + ex + e- x -1 cos x + 2 -1 =1+ cos x 0，
\ g(x) 在R 上单调递增，
又 f (x) + f (3- 2x) < 6，
\[ f (x) - 3] + [ f (3 - 2x) - 3] < 0 ，
\ g(x) + g(3 - 2x) < 0，
\ g(x) < -g(3 - 2x)，又 g(x)为R 上的奇函数，
\ g(x) < g(2x - 3)，又 g(x)在R 上单调递增，
\ x < 2x - 3，
\ x > 3，
故满足 f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范围是 (3, + )．
故选：C．
【变式 3】（2024·贵州贵阳·一模）已知 f x 是定义在R f x + ex上的偶函数，且 也是偶函
数，若 f a > f 2a -1 ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,1 1, 1 1B． + ,1 C． ÷ D． - , ÷ 1,+
è 3 è 3
【答案】D
x
【分析】首先根据函数 f x 是定义在R 上的偶函数， f -x = - f x ，再由函数 f x + e
也是偶函数，变形求得函数 f x 的解析式，并求得函数 f x 的单调区间，即可求解不等
式.
【详解】因为函数 f x 是定义在R 上的偶函数， f -x = f x ，所以- f -x = f x ，则
f -x = - f x ，
x - x
又因为函数 f x + e 也是偶函数，所以 f -x + e = f x + ex f x 1= e- x - ex，得 ，2
1
因为 y = e- x - x x为减函数， y = ex 为增函数，所以 f x = e - e 为减函数，2
令 f x = 0，得 x = 0，
所以 x > 0时， f x < 0， f x 在 0, + 上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数 f x 在 - ,0 上单调递增，
所以 f a > f 2a -1 ，即 f a > f 2a -1 ，即 a < 2a -1 1，得 a > 1或 a < ，
3
1
所以不等式的解集为 - , ÷ 1, + .
è 3
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据 f -x = f x ，得到 f x = - f -x ，从而求得
函数 f x 的解析式.
题型三　函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已
知区间上，进而解决问题．
【例题 4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1为奇函数，则 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根据 f x + 3 = - f x 得出函数 f x 的周期；再根据 g x 为奇函数得出
（f x）+ （f - x）= 2，利用赋值法求出 （f 0）；最后利用 f x 的周期即可求解.
【详解】因为 f x + 3 = - f x ，
所以 f x + 6 = - f x + 3 = f x ，
所以 f x 的周期为 6.
又因为 g x = f x -1为奇函数，
所以 g x + g -x = 0，即 f x -1+ f -x -1 = 0，即 f x + f -x = 2，
令 x = 0，则 2 f 0 = 2，即 f 0 =1.
所以 f 198 = f 6 33 + 0 = f 0 =1，
故选：C.
【变式 1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在 R 上的函数 f x 满足 f x + 2 + f (x) = f 4 ，
f 2x +1 1 1是奇函数， f ( ) = 则（ ）
2 2
17
f (k 1) 1
17
A． - = - B． f (k 1- ) = 0
k =1 2 2 k =1 2
17
kf (k 1 17
17
) 1 17C． - = -2 2 D． kf (k - ) =k =1 k =1 2 2
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数 f (x) 的周期，及 f (-x +1) + f (x +1) = 0和
f (x + 2) + f (x) = 0，再逐项计算判断得解.
【详解】由 f (x + 2) + f (x) = f 4 ，得 f (x + 4) + f (x + 2) = f 4 ，则 f (x + 4) = f (x) ，即函数 f (x)
的周期为 4，
由 f (2x +1)是 R 上的奇函数，得 f (-2x +1) = - f (2x +1) ，即 f (-x +1) + f (x +1) = 0，
1 3
于是 f ( ) + f ( ) 0 f (
5
= ， ) + f (
7) 5 1= f ( ) + f (- ) = 0 f (1) 3，即 + f ( )
5 7
+ f ( ) + f ( ) = 0 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
17
f (k 1因此 - ) = 4[ f (1) + f (3) + f (5) 7+ f ( )] + f (16 1+ ) = f (1) 1=
k =1 2 2 2 2 2 2 2 2
，AB 错误；
由 f (x + 4) + f (x + 2) = f 4 ，取 x = 0，得 f (2) = 0，则 f (4) = f (0) = - f (2) = 0，
f (x + 2) + f (x) = 0 x 3 f (3因此 ，取 = ，得 ) + f (
7) = 0，
2 2 2
1 3 5 7 1 3 5 7 3 7
于是 f ( ) + 2 f ( ) + 3 f ( ) + 4 f ( ) = [ f ( ) + f ( )]+ 3[ f ( ) + f ( )]+ f ( ) + f ( ) = 0，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
17
kf (k 1) 4[ f (1则 - = ) + 2 f (3) + 3 f (5) + 4 f (7)] +17 f (16 1) 17+ =2 2 2 2 2 2 2 ，C 错误，D 正确.k =1
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可
求解.
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为R 的函数 f x 满足
f -x + f x - 2 = 0, f x = f -x - 4 ，则 f 2023 =（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．3
【答案】C
【分析】根据抽象函数的周期性求函数值.
【详解】因为 f x = f -x - 4 ，所以 f -x = f x - 4 ．
又因为 f -x + f x - 2 = 0，所以 f x - 4 + f x - 2 = 0，
所以 f x - 2 + f x = 0，即 f x - 2 = - f x ，
所以 f x - 4 = - f x - 2 = f x ，所以函数 f x 是周期为 4 的函数．
在 f -x + f x - 2 = 0中令 x =1，得 2 f -1 = 0，即 f -1 = 0，
所以 f 2023 = f 506 4 -1 = f -1 = 0．
故选:C．
【变式 3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在R 上的函数 f x , g x 满足
f 1+ x + f 1- x = 0, f x + 3 + g x = 2, f x + g 1- x = 2，则下列结论中正确的是（ ）
A． f x 是奇函数 B． g x 是周期为 4 的周期函数
n=1
C． f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0 D． g n = 40
20
【答案】BCD
【分析】利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算一一判定选项即可.
【详解】因为 f x + g 1- x = 2，所以 f 1- x + g x = 2．
又因为 f x + 3 + g x = 2，所以 f x+3 = f 1- x ．
又 f 1+ x + f 1- x = 0 ，则 f 1+ x + f x + 3 = 0，
即 f x + 2 = - f x ，所以 f x + 4 = f x ，故 f x 是周期为 4 的周期函数．
因为 f x + 3 + g x = 2，所以 g x 也是周期为 4 的周期函数，故 B 正确；
因为 f 1+ x + f 1- x = 0 ，则 f x + 2 = - f -x ，即- f x = - f -x ，
所以 f -x = f x ，所以 f x 为偶函数，故 A 错误；
因为 f x + 2 = - f x ，令 x =1，得 f 3 = - f 1 ，即 f 1 + f 3 = 0，
令 x = 2，得 f 4 = - f 2 ，即 f 2 + f 4 = 0，
故 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0，故 C 正确；
由 g x = 2 - f x + 3 ，
得 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = é 2 - f 4 ù + é 2 - f 5 ù + é 2 - f 6 ù + é 2 - f 7 ù
= 8 - é f 4 + f 1 + f 2 + f 3 ù = 8，
20
所以 g n = 5 é g 1 + g 2 + g 3 + g 4 ù = 40 ，故 D 正确．
n=1
故选：BCD．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，设甲： y = f x 的图象关于 y 轴
对称；乙： f x 是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】由寄偶函数的概念及图像性质可判断必要性成立，通过举特例可判断充分性不成立.
【详解】令 g x = f x ，若 f x 是奇函数或偶函数，则 g -x = f -x = f x = g x ，
所以 g x 是偶函数，所以 y = f x 的图像关于 y 轴对称，必要性成立；
ì1, x <1,反之，不妨令 f x = í f x =11, x 1,则 ，所以 y = f x 的图像关于
y 轴对称，
-
但是 f x 是非奇非偶函数，充分性不成立，则甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
2．（2024·天津·一模）如图是函数 f x 的部分图象，则 f x 的解析式可能为（ ）
f x sin5x f x cos5xA． =
2x
B． =
- 2- x 2x + 2- x
f x cos5x sin5xC． = - x x D． f x =2 - 2 2- x - 2x
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除 C，根据在原点附近的函数值的正负可排除 BA，即可求
解.
【详解】由图可知： f x 的图象关于 y 轴对称，则为偶函数，
对于 A， f
sin -5x
-x -sin5x= - x x = = f x 2 - 2 - 2x - 2- x ，为偶函数，
但当 x 取一个很小的正数，例如 x = 0.0001，选项中的 f 0.0001 > 0，而原图象中值为负数，
故 A 不符合，舍去，
cos -5xB, f x cos5x对于 - =
2- x + 2x
= x - x = f x ,为偶函数，但是 x = 0处有意义，但是原函数在2 + 2
x = 0处无意义，故 B 不符合，
cos -5x cos5x
对于 C， f -x = x C- x = x = - f x ，为奇函数，故 不符合，2 - 2 2 - 2- x
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）定义在R 上的函数 f x 周期为 4，且 f 2x +1 为奇函数，则
（ ）
A． f x 为偶函数 B． f x +1 为偶函数
C． f x + 2 为奇函数 D． f x + 3 为奇函数
【答案】D
【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导 B、D，利用反例说明 A、C.
【详解】定义在R 上的函数 f x 周期为 4，所以 f x + 4 = f x ，
又 f 2x +1 为奇函数，所以 f -2x +1 = - f 2x +1 ，
即 f -x +1 = - f x +1 ，所以 f x +1 为奇函数，故 B 错误；
所以 f -x + 2 = - f x ，则 f -x + 2 = - f x + 4 ，
所以 f -x + 3 = - f x + 3 ，则 f x + 3 为奇函数，故 D 正确；
由 f -x +1 = - f x +1 ，所以 f -x +1 + f x +1 = 0 ，则 f x 关于 1,0 对称，
令 f x = sin πx ，则 f x + 4 = sin π x + 4 = sin πx = f x ，满足函数 f x 周期为 4，
且 f 2x +1 = sin 2πx + π = -sin 2πx 满足 f 2x +1 为奇函数，
但是 f x = sin πx 为奇函数，故 A 错误；
令 f x = cos π x ÷，则 f x 4 cos
é π+ = ê x + 4
ù = cos π ú x ÷ = f x ，满足函数 f x 周期为2 2 2 4，è è
f 2x 1 cos é π 2x 1 ù cos πx π又 + = ê + =

+ ÷ = -sin πx 满足 f 2x +1 为奇函数，
2 ú è 2
但是 f x + 2 = cos é πê x + 2
ù
ú = cos
π x + π π
2 2 ÷
= -cos x ÷为偶函数，故 C 错误.
è è 2
故选：D
1
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x ，则使得 f 2a < f a -1 成立的正实cosx + e
数 a的取值范围为（ ）
é1 1 1
A． ê ,+

÷ B． ,+ ÷ C． - , -1 D． - , -1 , +
3 è 3 è 3 ÷
【答案】B
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可.
f x 1 1【详解】由题知 f x 的定义域为R ，且 - = x = x = f x cos -x + e - cosx + e ，
所以 f x 为偶函数．
f x 1 , f x sinx - e
x
又当 x 0 时， = = < 0cosx + ex 2 ，cosx + ex
所以函数 f x 在 0, + 上单调递减，在 - ,0 上单调递增，
ì 2a > a -1
所以若 f 2a < f a -1 1成立，则需 í 解得 a > ．
a > 0, 3
故选 B．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 和 g x 分别为 R 上的奇函数和偶函数，满足
f x + g x = 2ex ， f x ， g x 分别为函数 f x 和 g x 的导函数，则下列结论中正确的
是（ ）
A f x = ex - e- x．
B．当 x > 0时， g x 的值域为 2, +
C．当 x 0 时，若 f x ax恒成立，则 a 的取值范围为 - , 2
n
D．当 n N* 时，满足 g 1 g 2 × × × g n > en+1 + 2 2
【答案】ACD
f x + g x = 2ex f x = ex - e- x【分析】根据函数奇偶性以及 即可求得 ，可得 A 正确；利
用基本不等式可得 g x = ex + e- x 2 ex ×e- x = 2，但等号不成立，即 B 错误；对参数 a 的取
值进行分类讨论，利用导数求得函数单调性即可得 a 的取值范围为 - , 2 ，即 C 正确；易
知 g x g x > ex1 +x21 2 + 2，累成即可得 D 正确.
【详解】对于 A，因为 f x 和 g x 分别为 R 上的奇函数和偶函数，满足 f x + g x = 2ex ，
即可得 f -x + g -x = - f x + g x = 2e- x ，
f x = ex - x x所以可得 - e ， g x = e + e- x ，故 A 正确；
对于 B， g x = ex + e- x 2 ex ×e- x = 2，
当且仅当 x = 0时，等号成立，又因为 x > 0，所以 g x 的值域为 2, + ，故 B 错误．
对于 C，分两种情况．① a 2，令 h x = f x - ax，
当 x 0 时，则 h x = ex + e- x - a 2 - a 0 ， h x 单调递增，
所以 h x h 0 = 0，即 f x ax；
2
② a > 2，方程 h x = 0的正根为 x1 = ln
a + a - 4
，
2
若 x 0, x1 ，则 h x < 0， h x 单调递减，
h x < h 0 = 0 ，即 f x < ax，与题设 f x ax矛盾．
综上，a 的取值范围是 - , 2 ，故 C 正确．
x +x - x +x x -x -x +x x +x - x +x x +x
对于 D， g x1 g x2 = e 1 2 + e 1 2 + e 1 2 + e 1 2 e 1 2 + e 1 2 + 2 > e 1 2 + 2，
g 1 g n > en+1则 + 2 ，
g 2 g n -1 > en+1 + 2，
…
g n g 1 > en+1 + 2 ，
累乘得 é g 1 g
2
2 × × × g n ù
= é g 1 g n ù ég 2 g n -1 ù ××× ég n g 1 ù > en+1
n
+ 2 ，
n
故 g 1 g 2 × × × g n > en+1 + 2 2 ，故 D 正确．
故选：ACD
x 1
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 f (x) = 2sin x × tan + sin 2x × tan x，则（ ）2 2
A． f (x) 是偶函数 B． f (x) 的最小正周期为 2π
C． f (x) 的最大值为 4 D． f (x) 的最小值为 0
【答案】ABD
【分析】先将 f x 化简，再逐项分析答案即可.
π
【详解】因为 f (x) = 2sin x × tan
x 1
+ sin 2x × tan x ì ü的定义域为 íx | x kπ + 且x 2k +1 π ，2 2 2
所以 cos x -1,0 0,1 ，
x 1
又因为 f (x) = 2sin x × tan + sin 2x × tan x
2 2
sin x
= 4sin x ×cos x × 2x + sin x cos x
sin x
2 2 cos cos x
2
4sin2 x= + sin2 x = 2 1- cos x +1- cos2 x
2
= - cos x +1 2 + 4，
所以 f x 为偶函数，故 A 正确；
f x 的最小正周期为 2π，故 B 正确；
因为 cos x -1，所以 f x 没有最大值；
当 cos x =1时， f x min = 0 ，故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ， f (x + 2)是奇函数， f (x -1)是偶函
数， f (0) =1，则 f (726) = ．
【答案】 -1
【分析】根据题意，结合 f (x + 2)是奇函数， f (x -1)是偶函数，推得函数 f x 是周期为 12
的周期函数，进而求得 f (726)的值，得到答案.
【详解】解法一因为 f (x + 2)是奇函数，可得 f (2 - x) = - f (2 + x)，所以 f (4 - x) = - f (x)，
又因为 f (x -1)是偶函数，可得 f (-1- x) = f (-1+ x)，即 f (-2 - x) = f (x)，
所以 f (x +12) = f (4 - (-x -8)) = - f (-8 - x) = - f (-2 - (6 + x)) = - f (6 + x)
= - f (4 - (-2 - x)) = f (-2 - x) = f (x)，
所以 f x 是周期为 12 的周期函数，则 f (726) = f (60 12 + 6) = f (6) = - f (0) = -1．
解法二 因为 f (x + 2)是奇函数，可得 f x 的图象关于点 (2,0)对称，
又因为 f (x -1)是偶函数，可得 f x 的图象关于直线 x=-1对称，
所以 f x 是周期为 4 -1- 2 = 12 的周期函数，所以 f (726) = f (60 12 + 6) = f (6) = - f (-2) ，
因为 f x 的图象关于直线 x=-1对称，所以 f (-2) = f (0) =1，则 f (726) = - f (-2) = -1．
故答案为： -1 .
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时，
f x = x - cosx +1，则当 x…0时， f x = ．
【答案】 x + cosx -1
【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当 x = 0时要单调独验证.
【详解】解：当 x > 0, -x < 0, f -x = -x - cos -x +1，又因为 f x 为R 上的奇函数，
所以 f -x = - f x = -x - cos -x +1，解得 f x = x + cosx -1，
又 f 0 = 0 + cos0 -1 = 0，所以当 x 0, f x = x + cosx -1．
故答案为： x + cosx -1.
四、解答题
9．（2023· · f x = ax3陕西西安 模拟预测）已知奇函数 + bx2 + cx 在 x =1处取得极大值 2.
(1)求 f x 的解析式；
(2)求 f x 在 -4,3 上的最值.
3
【答案】(1) f x = -x + 3x
(2)最大值为 52，最小值为-18
【分析】（1）利用函数奇偶性可得b = 0，再由 f x 在 x =1上取得极大值2可求得 a = -1,c = 3，
可得解析式；
（2）由（1）中解析式求导可得其在 -4,3 上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即
可求出其最值.
【详解】（1）易知函数 f x 的定义域为 x R ，
因为 f x 是奇函数，所以 f -x = - f x ，则b = 0 .
由 f x = ax3 + cx ，得 f x = 3ax2 + c .
因为 f x 在 x =1上取得极大值 2，
ì f 1 = 3a + c = 0, ìa = -1,
所以 í
f 1
解得
= a + c = 2, í c = 3,
ìa = -1,
经经检验当 í 时， f x 在 x =1处取得极大值 2
c = 3
，
故 f x = -x3 + 3x .
（2）由（1）可知， f x = -3x2 + 3 = -3 x -1 x +1 ，
当 x -1,1 时， f x > 0, f x 单调递增；
当 x -4, -1 和 1,3 时， f x < 0, f x 单调递减；
即函数 f x 在 x=-1处取得极小值 f -1 = -2，在 x =1处取得极大值 f 1 = 2 ；
又因为 f -4 = 52, f 3 = -18，
所以 f x 在 -4,3 上的最大值为 52，最小值为-18 .
2 π
10．（2023· 陕西宝鸡·模拟预测）设函数 f x = cos 2 2x + ÷ + sin x .2 è 4
é π π ù
(1)求函数 f x 在区间 ê- , 上的最大值和最小值； 12 3 ú
(2)设函数 g x x R g x π+ π对任意 é ù，有 ÷ = g x ，且当 x ê0, ú 时， g x
1
= - f x2 2 ；求è 2
函数 g x 在 -p ,0 上的解析式.
3
【答案】(1)最大值为 ，最小值为 0
4
ì 1
- sin2x
π
- x 0

2 2 ÷
(2) g x = è í
1
sin2x
π
-π x < -

÷
2 è 2
1 1
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 f x = - sin 2x + ，再利用三角函数的性质求解；
2 2
g x π π（2）由 + ÷ = g x 2 得到函数 g x 的一个周期为 ，再由（1）得到è 2
g x 1= sin 2x x é0, π ù ê ú ÷求解.2 è 2
2
【详解】（1）由已知 f x = cos 2x
π
+ ÷ + sin
2 x ，
2 è 4
2
= cos 2x ×cos
π
- sin 2x ×sin π 1- cos 2x 1 1
2 4 4 ÷
+ = - sin 2x + ，
è 2 2 2
x é π π π 2π又因为 ê- ,
ù 2x éú 则 ê- ,
ù
12 3 6 3 ú
，

所以 sin 2x
1
é- ,1ù f x = f π- 3= f x π= f ê ú ，即 = 0 2 max ，è 12 ÷ 4 min ，è 4 ÷
所以函数 f x é π π在区间 ê- ,
ù 3
上的最大值和最小值分别为 和 0.
12 3 ú 4
g x π+ （2）由 ÷ = g x 可知函数 g x
π
2 的一个周期为 ，è 2
1
又由（1）可知 g x = sin 2x x é π ù
2
0,
è ê 2 ú
÷，

x é π ù π π π 1 π 1当 ê- ,0ú时， x +
é0, ù g x + = sin 2 x + ê ú ，则 ÷ = - sin 2x， 2 2 2 è 2 2 ÷è 2 2
g x π g x g x 1由 + ÷ = 知， = sin 2
x π 1 +

÷ = - sin 2x
è 2
，
2 è 2 2
é
当 x ê-π,
π
- ÷时， x
π
+ π éê0,
1
÷则 g x + π = sin 2 x
1
+ π = sin 2x，
2 2 2 2
由 g x + π = g x 知 g x 1= sin 2x ，
2
ì 1
- sin2x
π
2
- x 0
è 2 ÷
综上， g x = í .
1 sin2x -π
π
x < -
2 è 2
÷

11．（22-23 高三上·河南·阶段练习）已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且
f (x) = log2 2x +1 - kx, g(x) = f (x) + 2x .
(1)求 f (x) 的解析式；
(2) x x若不等式 g 4 - a × 2 +1 > g(-15) 恒成立，求实数 a的取值范围；
(3)设 h(x) = x2 - 2mx + 5，若存在 x1 [0, 2]，对任意的 x2 [1, 4]，都有 g x1 h x2 ，求实数
m 的取值范围.
【答案】(1) f x = log2 2x +1 1- x2
(2) - ,8
(3) - , 2
【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而 f (x) 的解析式；
（2）易知 g x 在R 上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可；
（3）原问题等价于 g x 在 0,2 上的最小值不大于 h x 在 1,4 上的最小值.
【详解】（1 - x）由题意知 log2 2 +1 + kx - log2 2x +1 + kx = 0，
- x 1 1
即-2kx log 2 +1= 2 x = -x ，所以k =
x
，故 f x = log2 2 +1 - x .2 +1 2 2
（2）由（1）知， g x = f x + 2x = log2 2x 3+1 + x ，易知 g x 在R 上单调递增，2
g 4x - a × 2x所以不等式 +1 > g -15 恒成立，等价于 4x - a × 2x +1 > -15，
x
即 a 4 +16< x 恒成立.2
4x +16 16
又 = 2x + …8，当且仅当 x = 2x x 时，等号成立，2 2
所以 a < 8，即实数 a的取值范围是 - ,8 .
（3）因为存在 x1 0,2 ，对任意的 x2 1,4 ，都有 g x1 h x2 ，
所以 g x 在 0,2 上的最小值不大于 h x 在 1,4 上的最小值.
g x log 2x 1 3因为 = 2 + + x在 0,2 上单调递增，2
所以当 x 0,2 时， g(x)min = g 0 =1.
h x = x2 - 2mx + 5图象的对称轴方程为 x = m, x 1,4 ，
当m 1时， h x 在 1,4 上单调递增， h(x)min = h 1 = 6 - 2m…1 5，解得m ，2
所以m 1；
当1< m < 4时， h x 在 1, m 上单调递减，在 m, 4 上单调递增，
h(x)min = h m = 5 - m2…1，解得1< m 2；
当m…4 时， h x 在 1,4 上单调递减， h(x)min = h 4 = 21-8m…1 m 5，解得 ，2
所以m .
综上，实数m 的取值范围是 - , 2 .
2
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知 f x ax + bx + c= 是定义在[－2，2]上的函数，若
4 + x2
满足 f x + f -x = 0且 f (1) 1= ．
5
(1)求 f x 的解析式；
(2) g x = x2设函数 - 2mx + 4 m R ，若对任意 x1, x2 1,2 ，都有 g x2 < f x1 恒成立，
求 m 的取值范围．
x
【答案】(1) f x =
4 + x2
m 12(2) >
5
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得 c = 0 f (1)
1
，进而结合 = 即可求解，
5
（2）将问题转化为 g x2 < f xmax 1 min ，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者
利用对勾函数的单调性求解.
【详解】（1） x -2,2 ，且 f x + f -x = 0，所以 f x 为奇函数，
将 x = 0代入 f x + f -x = 0可得 f 0 = 0 c，即 = 0，所以 c = 0 ，
4
ìa + b 1=
ax2 + bx 1 1 5 5
即 f x = ，因为 f (1) = ，所以 f -1 = -2 ，代入可得 í4 + x 5 5 a - b 1
，
= -
5 5
ìa = 0 x
解得 í f x =
b =1
，故 2 ；4 + x
f x x= 2 , f x
-x
= 2 = - f x
x
，函数为奇函数，满足，故 f x = ．
4 + x 4 + x 4 + x2
（2）只要 g x2 < f x 1 x < xmax 1 min ，设 1 2 2，则
x2 x1 x2 - xf x 1 4 - x1x2 2 - f x1 = 2 - =4 + x2 4 + x21 4 + x22 4 + x2 ，1
∵1 x1 < x2 2，∴ x2 - x1 > 0,4 - x1x2 > 0，∴ f x2 - f x1 > 0，即 f x2 > f x1 ，
x 1
故函数 f x = 2 在[1，2]上单调递增，最小值为 f (1) = ．4 + x 5
2
法一： g x = x - 2mx + 4 1< 在[1，2]上恒成立，只要 2m x 19> +

，
5 ֏ 5x max
é 95 ù é 95
y = x 19+ 在 ê1, ú 上单调递减，在 ê , 2÷÷上单调递增，5x 5 5
x 19 24 19 39 24当 x =1时， + = ，当 x = 2时， x + = < ，
5x 5 5x 10 5
19 24 12
故当 x =1时， x + ÷ = ，所以m >5x ．è max 5 5
法二： g x = x2 - 2mx + 4 = x - m 2 + 4 - m2 ， x 1,2 ，
m 3 1 1 39当 时， g x = g(2) < 4 - 4m + 4 < m >
2 max
， ，解得 ，舍去；
5 5 20
m 3当 > 时， g x = g(1) 1< ，1 2m 4 1 12 12- + ，因此m > ，2 5 5 5 5
m 12综上所述： > ．
5
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知 f x = x +1 x + a x + b 为奇函数，则 y = f x 在 x = 0处
的切线方程为（ ）
A． x + y = 0 B． x - y = 0
C．3x + y = 0 D．3x - y = 0
【答案】A
【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
【详解】因为 f x = x +1 x + a x + b = x +1 éx2 + a + b x + abù
= x3 + a + b +1 x2 + a + b + ab x + ab，
所以 f -x = -x3 + a + b +1 x2 - a + b + ab x + ab ，
因为 f x 为奇函数，所以 f -x + f x = 2 a + b +1 x2 + 2ab = 0对 x R 恒成立，
ìa + b +1 = 0
所以 í f x = x3 - x
ab = 0
，代入函数表达式得 ，
所以 f x = 3x2 -1，则 f 0 = 0, f 0 = -1，
所以 y = f x 在 x = 0处的切线方程为 y = -x，即 x + y = 0 .
故选：A
2 2024· · f x = sin x + x3．（ 四川 模拟预测）已知 +1，若 f -a = m，则 f a = （ ）
A．-m B．1- m C． 2 - m D．m -1
【答案】C
【分析】构造奇函数 g x = sin x + x3，利用奇函数的性质运算即可求解.
【详解】设 g x = sin x + x3，显然它定义域关于原点对称，
且 g -x = sin -x + -x 3 = - sin x + x3 = -g x ，
所以 g x 为奇函数，
f -a = g -a +1 = m ，则 g -a = -g a = m -1，
所以 g a =1- m， f a = g a +1 =1- m +1 = 2 - m .
故选：C.
3．（2024·广东茂名·一模）函数 y = f x 和 y = f x - 2 均为R 上的奇函数，若 f 1 = 2 ，则
f 2023 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出 y = f x 的周期为 4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【详解】因为 y = f x - 2 为奇函数，所以 y = f x 关于 -2,0 对称，即
f (-x) + f (x - 4) = 0，
又 y = f x 关于原点对称，则 f (-x) = - f (x) ，有 f (x) = f (x - 4) f (x + 4) = f (x)，
所以 y = f x 的周期为 4，故 f 2023 = f -1+ 2024 = f -1 = - f 1 = -2 .
故选：A
4．（2023·广东·一模）已知函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x > 0时， f (x) = ax +1，若
f (-2) = 5，则不等式 f (x)
1
> 的解集为（
2 ）
1
A． - , - ÷ U 0,
1 1 ,0 U 0, 1 ÷ B． -
è 2 è 6 è 2 ÷ ÷ è 6
, 1 1 1 1C． - -
,+ ÷ ÷ D． - ,0÷ U ,+ ÷
è 2 è 6 è 2 è 6
【答案】A
【分析】根据条件可求得 x > 0时 f (x) 的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当 x < 0 时
f (x) 的解析式，分情况解出不等式即可.
【详解】因为函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，
所以 f (-2) = - f (2) = 5，则 f (2) = -5，
则 2a +1 = -5，所以 a = -3，
则当 x > 0时， f (x) = -3x +1，
当 x < 0 时， -x > 0，
则 f (x) = - f (-x) = -[-3 (-x) +1] = -3x -1，
1 1
则当 x > 0时，不等式 f (x) > 为-3x +1 > ，
2 2
0 1解得 < x < ，
6
f (x) 1 1当 x < 0 时，不等式 > 为-3x -1 > ，
2 2
解得 x
1
< - ，
2

故不等式的解集为 - ,
1 1-
2 ÷
0, ÷，
è è 6
故选：A.
5．（2024· 2 2安徽芜湖·二模）已知直线 l： Ax + By + C = 0 A + B 0 与曲线 W： y = x3 - x有
三个交点 D、E、F，且 DE = EF = 2，则以下能作为直线 l 的方向向量的坐标是（ ）．
A． 0,1 B． 1,-1 C． 1,1 D． 1,0
【答案】C
【分析】由函数 y = x3 - x的性质可得曲线W 的对称中心 (0,0)，即得E(0,0) ，再根据给定长
度求出点D的坐标即得.
【详解】显然函数 f (x) = x3 - x的定义域为 R， f (-x) = (-x)3 - (-x) = - f (x) ，即函数 f (x) 是
奇函数，
因此曲线W 的对称中心为 (0,0)，由直线 l 与曲线W 的三个交点 D, E, F 满足 DE = EF = 2，
得E(0,0) ，
设D(x, x3 - x) ，则 x2 + (x3 - x)2 = 4 ，令 x2 = t ，则有 t3 - 2t 2 + 2t - 4 = 0 ，即
(t 2 + 2)(t - 2) = 0，
uuur
解得 t = 2，即 x = ± 2 ，因此点D( 2, 2)或D(- 2, - 2)，ED = ( 2, 2)或
uuur
ED = (- 2, - 2)，
uuur
选项中只有坐标为 (1,1) 的向量与ED共线，能作为直线 l 的方向向量的坐标是 (1,1) .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为 (0,0)，从而得到E(0,0) ，然
后再去设点D坐标，根据 DE = 2 ，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出D的坐标
即可.
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 f x = x3 + lg x2 +1 + x +1，若等差数列 an 的前 n
项和为 Sn ，且 f a4 -1 = -9， f a2021 - 3 =11，则 S2024 =（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
【答案】D
【分析】先得到 f -x + f x = 2，从而得到 a4 + a2021 = 4，利用等差数列的性质和公式求出
答案.
【详解】令 g x = f x -1 = x3 + lg x2 +1 + x ，定义域为 R，
x2 +1 - x x2 +1 + x
且 g -x = -x3

+ lg x2 +1 - x = -x3 + lg
x2 +1 + x
= - éx3ê + lg x2 +1 + x ùú = -g x ，
故 g x 为奇函数，
即 f -x -1 = - f x +1， f -x + f x = 2，
又 f a4 -1 + f a2021 - 3 =11- 9 = 2，
所以 a4 -1+ a2021 - 3 = 0 ，即 a4 + a2021 = 4，
2024 aS 1 + a2014 2024 = =1012 a4 + a2021 =1012 4 = 40482
故选：D
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x + 2 = 4 - f x ，且
2026
f x + 3 - 2为奇函数， f 4 = 5，则 f k =（ ）
k =1
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.
【详解】由 f x + 2 = 4 - f x 可得 f x + 4 = 4 - f x + 2 = 4 - é4 - f x ù = f x ，
故 f x 的一个周期为 4，
由 f x + 3 - 2为奇函数可得 f 0 + 3 - 2 = 0，得 f 3 = 2，
对于 f x + 2 = 4 - f x ，令 x =1，得 f 1 + f 3 = 4，则 f 1 = 2 ，
令 x = 2，得 f 2 + f 4 = 4 ，又 f 4 = 5，所以 f 2 = -1，
则 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 8，
2026
故 f k = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 +L+ f 2026
k =1
= 506 é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù + f 1 + f 2 = 506 8 + 2 + -1 = 4049 .
故选：C.
8．（2024·黑龙江吉林 ·二模）已知偶函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，且当 x 0,1 时，

f x = 2x +1，则 f log 1 19÷的值为（ ）
è 2
35 3 29 35
A． B． C．- D．
29 16 35 16
【答案】D
【分析】由偶函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，可得函数 f x 是以 2为周期的周期函数，再
根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为函数 f x 为偶函数，所以 f x =f -x ，
又 f x = f 2 - x ，所以 f -x = f 2 - x ，即 f x = f 2 + x ，
所以函数 f x 是以 2为周期的周期函数，
因为 4 = log2 16 < log2 19 < log2 32 = 5，

所以 f log 1 19÷ = f - log2 19 = f log
19
2 19 = f log2 19 - 4 = f log2 16 ÷è 2 è
log 19
= 2 2 16 19+1 = +1 35= .
16 16
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命
题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，
并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数
图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，
将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的
区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定
义，由此发展的混沌理论在生物学 经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数
的周期点是一个关键概念，定义如下：设 f (x) 是定义在 R 上的函数，对于 x R，令
xn = f (xn-1)(n =1，2，3，L) ，若存在正整数 k 使得 xk = x0，且当 0ì
2x，x
1
<
2
的一个周期为 k 的周期点.若 f (x) = í ，下列各值是 f (x) 周期为 1 的周期点的
2(1- x)， x… 1
2
有（ ）
1 2
A．0 B． C． D．1
3 3
【答案】AC
1 2
【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当 x0 = 0、 x0 = 、 x0 = 、 x0 = 1时的函数周期，3 3
进而得出结果.
【详解】A： x0 = 0时， x1 = f 0 = 0，周期为 1，故 A 正确；
1 x f 1 2 x f 2 2B： x0 = 时， 1 = ÷ = ， 2 = ÷ = ，x3 =L x
2
= = ，
3 è 3 3 è 3 3 n 3
1
所以 不是 f x 的周期点.故 B 错误；
3
2 2
C： x0 = 时， x3 1
= x2 =L = xn = ，周期为 1，故 C 正确；3
D： x0 = 1时， x1 = f 1 = 0 ，\1不是 f x 周期为 1 的周期点，故 D 错误.
故选：AC.
10．（2023·山西·模拟预测）奇函数 f x 与偶函数 g x 的定义域均为R ，且满足
f x - g x = 2x ，则下列判断正确的是（ ）
x
A f x + g x 0 B f x 2 - 2
- x
． ． =
2
C． f x 在R 上单调递增 D． g x 的值域为 - , -1
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性求出 f x , g x 即可判断 ABC；利用基本不等式可判断 D.
【详解】因为 f x 为奇函数， g x 为偶函数，所以 f -x = - f x , g -x = g x ，
因为 f x - g x = 2x ①，所以 f -x - g -x = 2- x ，即- f x - g x = 2- x ②，
x
①② f x 2 - 2
- x x - x
所以由 解得 = , g x 2 + 2= - ，故 B 正确；
2 2
f x + g x = -2- x < 0，故 A 错误；
y = 2x R y=2-x在 上单调递增， 在R 上单调递减，则 f x 在R 上单调递增，故 C 正确；
g x 2
x + 2- x 2 2x ×2- x
因为 = - - = -1，当且仅当 x = 0时取等号，
2 2
所以 g x 的值域为 - , -1 ，所以 D 正确.
故选：BCD.
11．（2024·湖南·二模）已知函数 f x , g x 的定义域均为R, g x +1 + f 1- x =1，
f x +1 - g x + 2 =1，且 y = f x 的图像关于直线 x =1对称，则以下说法正确的是（ ）
A． f x 和 g x 均为奇函数 B．"x R, f x = f x + 4
3
C．"x R, g x = g x + 2 D． g - = 0
è 2 ÷
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于 B，由 f (x +1) - g(x + 2) =1，得 f (x) - g(x +1) =1，
又 g(x +1) + f (1- x) =1，\ f (x) + f (1- x) = 2，
Q y = f (x)的图象关于直线 x =1对称，\ f (1- x) = f (1+ x)，
\ f (x) + f (1+ x) = 2,\ f (x + 2) + f (1+ x) = 2，
\ f (x) = f (x + 2)，则 f x 是周期函数，且周期为T = 2，
所以 f (x) = f (x + 4) ，故 B 正确；
对于 A，Q y = f (x)的图象关于直线 x =1对称，
\ f (-x) = f (2 + x),\ f (x) = f (-x),\ f (x)是偶函数，
若 f (x) 为奇函数，则 f (x) = 0 恒成立，不满足 f (x) + f (1+ x) = 2，故 A 错误；
对于 C，由 f (x +1) - g(x + 2) =1，得 g(x) + f (2 - x) =1，
\ g(x) + f (x) =1,\ g(2 + x) + f (2 + x) =1，
因为 f (x) = f (x + 2) ，则 g(x + 2) = g(x)，
所以 g(x)是周期函数，且周期为T = 2，则 g x = g x + 2 ，故 C 正确；
对于 D，由 f (x) + f (1- x) = 2 f
1
，得 2 ÷
=1，
è
又 f (x) = f (x
3
+ 2),\ f - ÷ =1，
è 2
由 g(x) f (x) 1 g
3 f 3+ = ，得 - ÷ + -

÷ =1,
3
\ g -

÷ = 0，故 D 正确.
è 2 è 2 è 2
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数 f (x) 关于直线 x = a轴对称，则 f (x) = f (2a - x)，若函数 f (x) 关于
点 (a , b ) 中心对称，则 f (x) = 2b- f (2a - x)，反之也成立；
1 1
（2）关于周期：若 f (x + a) = - f (x)，或 f (x + a) = ，或 f (x + a) = -f (x) f (x) ，可知函数
f (x)
的周期为 2a .
三、填空题
12．（2023·四川雅安·一模）已知函数 f (x) 的定义域为 (- , + ), y = f (x) + ex为偶函数，
y = f (x) - 2ex 为奇函数，则 f (x) 的最小值为 .
1
【答案】 3 / 32
【分析】根据奇偶性得出关于 f (x) 和 f (-x) 的两个方程，联立解得 f (x) ，再由基本不等式得
最小值．
【详解】 y = f (x) + ex 是偶函数，所以 f (-x) + e- x = f (x) + ex ，
y = f (x) - 2ex 是奇函数，所以 f (-x) - 2e- x = - f (x) + 2ex，
1 x 3 - x
两式联立解得 f (x) = e + e ，
2 2
由基本不等式得 f (x)
1 ex 3= + e- x 1 2 ex ×3e- x = 3 ，当且仅当 ex = 3e- x ，即 x = ln 3时，2 2 2
等号成立，因此 f (x) 的最小值是 3．
故答案为： 3．
13．（2024·山东枣庄·一模）已知 f x + 2 为偶函数，且 f x + 2 + f x = -6，则
f 2027 = ．
【答案】-3
【分析】由条件结合偶函数定义可得 f x + 2 = f -x + 2 ，由 f x + 2 + f x = -6结合周期
函数定义证明 f x 为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.
【详解】因为 f x + 2 为偶函数，
所以 f x + 2 = f -x + 2 ，又 f x + 2 + f x = -6，
所以 f -x + 2 + f x = -6，
因为 f x + 2 + f x = -6，所以 f x + 4 + f x + 2 = -6，
所以 f x + 4 = f x ，
所以函数 f x 为周期函数，周期为 4，
所以 f 2027 = f 3 = f -1 ，
由 f -x + 2 + f x = -6，可得 f 1 + f 1 = -6 ，
由 f x + 2 + f x = -6，可得 f 1 + f -1 = -6，
所以 f 1 = f -1 = -3，
所以 f 2027 = -3，
故答案为：-3 .
14．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f x , g x 的定义域为R ，且
31
f -x = f x + 6 , f 2 - x + g x = 4，若 g x +1 为奇函数， f 2 = 3，则 g(k) = ．
k =1
【答案】 -1
【分析】由 f x 的对称性及 f 2 - x + g x = 4 得 g x = g -2 - x ，再由 g x +1 为奇函数
得 g x = -g x - 4 ，从而得 g x -8 = g x ，即 g x 是周期为 8 的周期函数，再利用周期
可得答案.
【详解】由 g x +1 为奇函数，得 g -x +1 = -g x +1 ，即 g 2 - x = -g x ，
由 f -x = f x + 6 ，得 f 2 - x = f x + 4 = f é2 - -2 - x ù ，又 f 2 - x + g x = 4 ，
于是 4 - g x = 4 - g -2 - x ，即 g x = g -2 - x ，从而 g 2 - x = -g -2 - x ，
即 g x + 4 = -g x ，因此 g x -8 = -g x - 4 = g x ，函数 g x 的周期为 8 的周期函数，
显然 g(1) + g(5) = g(2) + g(6) = g(3) + g(7) = g(4) + g(8) = 0，又 g(32) = g(0) = 4 - f (2) =1，
31 8
所以 g(k) = 4 g(k) - g(32) = 4 0 -1 = -1.
k =1 k =1
故答案为： -1
【点睛】结论点睛：函数 f x 关于直线 x = a对称，则有 f a + x = f (a - x)；函数 f x 关
于 (a , b ) 中心对称，则有 f 2a - x + f (x) = 2b ；函数 f x 的周期为 2a ，则有
f x - a = f (x + a) .
四、解答题
15．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时，
f x log 1+ 2
x
= 2 ．3- 2x
(1)求 f x 的解析式；
(2)若关于 x 的方程 f x = k 在R 上有解，求实数 k 的取值范围．
ì 1+ 2x
log2 x , x < 0
【答案】(1) f x = 3- 2í
3 2
x -1
log2 x , x 0 1+ 2
(2) -log23, log23
【分析】（1）根据函数奇偶性求解析式；
（2）求函数 f x 的值域，即可求 k 的取值范围.
【详解】（1）当 x > 0时，-x < 0，
- x x
则 f -x = log 1+ 22 = log
1+ 2
，
3- 2- x 2 3 2x -1
因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数，
所以 f -x = - f x ，
f x log 1+ 2
x x
log 3 2 -1故 = - 2 = ，3 2x -1 2 1+ 2x
当 x = 0时， f 0 = 0，符合上式，
ì x
log
1+ 2
2 , x < 0
f x f x = 3- 2
x
综上，所以 的解析式为 í .
log 3 2
x -1
2 x
, x 0
1+ 2
1+ 2x 4
（2）当 x < 0 时， f x = log 2 3- 2x = log2 -1+ ，è 3- 2x ÷
x 1 4因为 x < 0 ，所以-1 < -2 < 0 ，所以 < -1+
3 3 - 2x
<1，
所以-log23 < f x < 0，
由对称性可知，当 x > 0时，0 < f x < log23，
当 x = 0时， f 0 = 0，
综上，-log23 < f x < log23，
所以实数 k 的取值范围是 -log23, log23 ．
16．（2023·上海黄浦·一模）已知集合A和定义域为R 的函数 y = f x ，若对任意 t A， x R ，
都有 f x + t - f x A，则称 f x 是关于 A 的同变函数.
(1)当 A = 0, + x与 0,1 时，分别判断 f x = 2 是否为关于 A 的同变函数，并说明理由；
(2)若 f x 是关于 2 的同变函数，且当 x 0,2 时， f x = 2x ，试求 f x 在
2k, 2k + 2 k Z 1上的表达式，并比较 f x 与 x + 的大小；
2
(3) n f x é2-n , 21-n若 为正整数，且 是关于 ù的同变函数，求证： f x 既是关于
m ×2-n m Z 的同变函数，也是关于 0, + 的同变函数.
【答案】(1)当 A = 0, + f x = 2x时， 是关于 0, + 的同变函数；当 A = 0,1 时， f x
不是关于 0,1 的同变函数，理由见解析.
(2) f x = 2 x - 2k + 2k ，当 x = 2k 1+ k Z 时， f x x 1 1= + ；当 x 2k + k Z 时，
2 2 2
f x 1< x + .
2
(3)证明见解析.
【分析】（1）当 A = 0, + 时，运用定义证明即可；当 A = 0,1 时，举反例说明即可.
（2）由定义推导出 y = f x - x 是以 2 为周期的周期函数，进而可得 f (x) 在
2k, 2k + 2 k Z 1解析式，再运用作差法后使用换元法研究函数的最值来比较 f (x) 与 x +
2
的大小.
（3）运用定义推导出 f x - x 是以 2-n 为周期的周期函数，再用定义分别证明
t = m ×2-n m Z 与 t 0, + 两种情况即可.
x t
【详解】（1）当 A = 0, + 时，对任意的 t A， x R ， f x + t - f x = 2 2 -1 ，
由 2t >1，可得 2t -1 > 0 ，又 2x > 0，所以 f x + t - f x A，
故 f x = 2x 是关于 0, + 的同变函数；
当 A = 0,1 1 2时，存在 A，2 R ，使得 f x + t - f x = 2
2 2 -1 >1，即
f x + t - f x A，所以 f x 不是关于 0,1 的同变函数.
（2）由 f x 是关于 2 的同变函数，可知 f x + 2 = f x + 2 恒成立，
所以 f x + 2 - x + 2 = f x - x恒成立，故 y = f x - x 是以 2 为周期的周期函数.
当 x 2k, 2k + 2 k Z 时， x - 2k 0,2 ，由 f x - x = f x - 2k - x - 2k ，
可知 f x = f x - 2k + 2k = 2 x - 2k + 2k .
（提示： f x = f x - 2k + 2k 也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证）
对任意的 x R ，都存在 k Z ，使得 x 2k, 2k + 2 ，故 f x = 2 x - 2k + 2k .
所以 f x 1- x + ÷ = 2 x 2k 2k x
1
- + - -
è 2 2
t 2
令 2 x - 2k = t，则 x - 2k = ，可得 t 0,2 ，
2
2
所以 f x 1 t 1 1 1- 2 x + ÷ = t - - = - t -1 0（当且仅当 t =1，即 x = 2k + 时取等号）.
è 2 2 2 2 2
1 1
所以当 x = 2k + k Z 时， f x = x + ；
2 2
当 x 2k
1
+ k Z 时， f x < x 1+ .
2 2
（3）因为 f x -n 1-n是关于 é2 ,2 ù 的同变函数，
所以对任意的 t é 2
-n , 21-n ù ， x R ，都有 f x + t - f x é 2
-n , 21-n ù，
f x + 2-n - f x 2-n故 ，用 x + 2-n 代换 x 1-n，可得 f x + 2 - f x + 2-n 2-n ，
é f x + 2-n - f x ù + é f x + 21-n - f x + 2-n ù 21-n f x + 21-n - f x 21-n所以 ，即 ，
又 f x + 21-n - f x 21-n 1-n，故 f x + 2 - f x = 21-n f x + 2-n - f x = 2-n，且 .
所以 f x + 2-n - x + 2-n = f x - x，故 f x - x 是以 2-n 为周期的周期函数.
对任意的 t = m ×2-n m Z ， x R ，由 f x + m × 2-n - x + m × 2-n = f x - x ，
可得 f x + m × 2-n - f x = m ×2-n ，（*）
-n
所以 f x 是关于 m ×2 m Z 的同变函数.
-n -n
对任意的 t 0, + ，存在非负整数 m，使 t é m × 2 , m +1 × 2 ù ，
所以 t - m -1 ×2-n é -n 2 ,2
1-n ù ，对任意的 x R ， f x + t - f x =
f x + t - m -1 ×2-n + m -1 ×2-n - f x = f x + t - m -1 × 2-n + m -1 × 2-n - f x
2-n + m -1 × 2-n = m × 2-n 0，即 f x + t - f x 0, + ，
所以 f x 是关于 0, + 的同变函数.
故 f x 既是关于 m ×2-n m Z 的同变函数，也是关于 0, + 的同变函数.
17．（2023· x - x上海普陀·一模）设函数 y = f x 的表达式为 f x = ae + e .
(1)求证：“ a =1”是“函数 y = f x 为偶函数”的充要条件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
1
(2) m 或m 5 .
3
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在[0, + ) 的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数 f x = aex + e- x 的定义域为 R， e x - e- x 不恒为 0，
函数 y = f x 为偶函数 "x R, f (-x) - f (x) = 0
"x R, ae- x + ex - (aex + e- x ) = 0 "x R,(1- a)(ex - e- x ) = 0 a =1，
所以“ a =1”是“函数 y = f x 为偶函数”的充要条件.
（2）当 a =1时， f (x) = ex + e- x ，求导得 f (x) = ex - e- x ，函数 f (x) 在 R 上单调递增，
当 x > 0时， f (x) > f (0) = 0 ，即函数 f (x) = ex + e- x 在[0, + ) 单调递增，又 f (x) 是偶函数，
因此 f (m + 2) f (2m - 3) f (| m + 2 |) f (| 2m - 3 |) | m + 2 | | 2m - 3 |，
即 (m - 5)(3m -1) 0
1
，解得m 或m 5，
3
1
所以实数m 的取值范围是m 或m 5 .
3
18．（2024· x全国·模拟预测）已知函数 f x = g x e +1 + 2 ．
(1)若 g x = x，求证：当 x > 0时， f x > 2ex
(2)若 g x = sinx -1，求证： f x 在 -π, π 上有且仅有三个零点x1，x2， x3 （ x1 < x2 < x3），
且 x1 + x2 + x3 = 0 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数 h x ，利用导数判断单调性求出最值可得结果，
（2）函数零点即图像与 x 轴交点，构造函数j x ，利用函数奇偶性、单调性及零点存在性
性定理可得结果.
x
【详解】（1）若 g x = x，则 f x = x e +1 + 2．设
h x = f x - 2ex = x - 2 ex + x + 2 , x > 0，
则 h x = x -1 ex +1 = m x ，m x = xex > 0，所以 h x 在 0, + 上单调递增．
所以 h x > h 0 = 0．又 h x 在 0, + 上单调递增，
所以 h x > h 0 = 0．即当 x > 0时， f x > 2ex ．
（2）若 g x = sinx -1，则 f x = sinx -1 ex +1 + 2．
x x
令 f x = 0 e -1，得 x - sinx = 0 ,设j x
e -1
= x - sinx ， x -π, π ．e +1 e +1
j x e
- x -1
则 - = - x - sin -x = -j x ．所以j x 为奇函数．e +1
又j 0 = 0，所以 0 是j x 的一个零点．
下面证明：函数j x 在 0, π 上存在唯一的零点．
x x
j x e -1
2e
因为 = - sinx ， x 0, π ，所以j x = 2 - cosx ．
ex +1 ex +1
é π
所以当 x ê , π ÷时，j x > 0，j x 2 单调递增．
π
j π e
2 -1 eπ -1
又 ÷ = -1< 0，j π = > 0，所以j x
é π
2 π π
在
e +1 ê
, π ÷ 上存在唯一的零点 x0 ．
è 2 2 e +1
x
由（1）知当 x > 0时， x - 2 ex + x + 2 > 0 e -1 x，即 x < ，e +1 2
π x
所以当 0 < x < 2 时，
j x < - sinx ．
2
F πx x sinx x 0, F x 1设 = - ， ÷，则 = - cosx．2 è 2 2
π
所以当 x
0, ÷时，F x < 0，F x 单调递减；
è 3
π
当 x ,
π
3 2 ÷时，
F x > 0，F x 单调递增，
è
F x max ì所以 < íF 0 , F π
ü
= max ì0, π -1ü ÷ í = 0．
è 2 4

所以当 x 0,
π
2 ÷
时，j x < 0．
è
所以当 x 0, π 时，j x 仅有一个零点 x0 ．
因为j x 为奇函数，所以当 x -π,0 时，j x 也仅有一个零点-x0 ．
所以j x 在 -π, π 上有 3 个零点，分别为 x1 = -x0， x2 = 0， x3 = x0 ．
即 f x 有 3 个零点 x1, x2 , x3，且 x1 + x2 + x3 = 0 ．
【点睛】解决本题关键是构造函数，利用函数的奇偶性，零点存在性定理及导数判断函数的
单调性证得结果.
19．（2023·上海徐汇·一模）若函数 y = f (x), x R 的导函数 y = f (x), x R 是以T (T 0)为周
期的函数，则称函数 y = f (x), x R 具有“T 性质”．
(1)试判断函数 y = x2 和 y = sin x 是否具有“ 2π性质”，并说明理由；
(2)已知函数 y = h(x)，其中 h(x) = ax2 +bx + 2sinbx(0 < b < 3)具有“ π性质”，求函数 y = h(x)在[0, p]
上的极小值点；
(3)若函数 y = f (x), x R 具有“T 性质”，且存在实数M > 0使得对任意 x R 都有 | f (x) |< M
成立，求证： y = f (x), x R 为周期函数．
（可用结论：若函数 y = f (x), x R 的导函数满足 f (x)=0, x R ，则 f (x) = C （常数）．）
【答案】(1) f (x) = x2 不具有“ 2π性质”， g(x) = sin x 具有“ 2π性质”，理由见解析
2π
(2)
3
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得 h (x + π) = h (x)
aπ
可得 cosbx - cosb(x + π) = x Rb 对 恒成立，再令
x = 0、 x π= 求出 a、 b 的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得
b
sin(bx bπ) sin(bπ) aπ sin(bπ) 0 aπ+ × = ，所以 = 且 = 02 2 2b 2 2b ，即可求出
a、b 的值，再利用导数求出函
数的极小值点；
（3）令 h x = f x +T - f x ，则 h x = 0，从而得到 h x = c（ c为常数），法一：分
c = 0 、 c > 0、 c < 0三种情况讨论；法二：分 c = 0 和 c 0两种情况讨论，当 c 0时，不妨令
M
c > 0 é ù，记 n = ê +1，推出矛盾即可得解. c ú
【详解】（1） f (x) = x2 不具有“ 2π性质”．理由是： f (x) = 2x ， f 2π - f (0) = 4π 0，
\ f 2π f (0)；
g(x) = sin x 具有“ 2π性质”．理由是： g (x) = cos x， g (x + 2π) = g (x) ．
（2）法一： h(x) = ax2 +bx + 2sinbx(0 < b < 3)，则 h (x) = 2ax + b + 2bcosbx(0 < b < 3)，
由 h (x + π) = h (x) cosbx
aπ
可得 - cosb(x + π) = 对 x Rb 恒成立．
令 x = 0 aπ π，得1- cosbπ = ①；令 x = ，得 -1+ cosbπ aπ= ②．
b b b
2aπ
① +②得 = 0 ，因此 a = 0，从而 cosbx = cos(bx + bπ)恒成立，
b
\bπ = 2kπ 即有b = 2k,k Z 且b 0 ．
π 2π
由0 < b < 3得b=2，所以 h (x) = 2 + 4cos 2x ，当 x [0, π]时，令 h (x) = 0可得 x = , x = ，列
3 3
表如下：
π π p 2π 2π
x [0, ) ( ,
2p) ( , π]
3 3 3 3 3 3
h (x) + 0 - 0 +
h(x) Z 极大值 ] 极小值 Z
函数 h(x) 在[0, p]
2π
的极小值点为 ．
3
法二： h (x) = 2ax + b + 2bcosbx(0 < b < 3)，
由 h (x + π) = h (x)，可得 cosbx - cosb(x + π)
aπ
=
b ，
cos é bx bπ+ bπ ù é bπ bπ ù aπ所以 ê ÷ - ú - cos ê bx + + =
è 2 2
÷ ú ，
è 2 2 b
cos bx bπ cos bπ sin bx bπ sin bπ cos bx bπ cos bπ bπ bπ aπ即 + ÷ + + ÷ - + ÷ + sin

2 2 2 2 2 2
bx + ÷sin = ，
è è è è 2 2 b
sin(bx bπ所以 + ) sin(
bπ) aπ× = ，所以 sin(
bπ) 0 aπ= 且 = 0，所以 a = 0且b=2k(k Z) b 02 2 2b 2 2b 且 ．
由0 < b < 3得b=2，所以 h (x) = 2 + 4cos 2x ，当 x [0, π]时，令 h (x) = 0 x
π , x 2π可得 = = ，列
3 3
表如下：
π π p 2p 2π 2π
x [0, ) ( , ) ( , π]
3 3 3 3 3 3
h (x) + 0 - 0 +
h(x) Z 极大值 ] 极小值 Z
函数 h(x) 在[0, p]
2π
的极小值点为 ．
3
（3）令 h x = f x +T - f x ，因为 y = f x , x R 具有“T ”性质
\ f x +T = f x ，
\h x = f x +T - f x = 0，
\h x = c = f x +T - f x （ c为常数），
法一：
① 若 c = 0 ， f (x) 是以T 为周期的周期函数；
②若 c > 0，由 f (nT ) = f (0) + nc ，
n M - f (0)当 时， f (nT ) = f (0) + nc f (0) + M - f (0) = M ，这与 f x < M 矛盾，舍去；
c
③若 c < 0，由 f (nT ) = f (0) + nc ，
n -M - f (0)当 时， f (nT ) = f (0) + nc f (0) - M - f (0) = -M ，这与 f x < M 矛盾，舍去．
c
综上， c = 0 ． f x +T - f x = 0，所以 f x 是周期函数．
法二：
当 c = 0 时， f x +T - f x = 0，所以 f x 是周期函数．
n é M当 c 0时，不妨令 c > 0 ù，记 = ê ú +1，其中 [x]表示不大于 x 的最大整数．（ c < 0同理可 c
证），
若存在 f x0 > 0，这 f x0 + nT = f x0 + nc
M
> nc = é ù ê ú +1÷c > M ．è c
这与 f x < M 矛盾．
f x M 若存在 0 < 0
é ù
，这 f x0 - nT =| f x0 - nc |> nc = ê ú +1÷c > M ．è c
这与 f x < M 矛盾．
若不存在 x0 R ，使得 f x0 > 0或 f x0 < 0，则 f x =0, x R ，此时 c = 0 ，与 c 0矛盾，
故舍去．
综上， c = 0 ． f x +T - f x = 0，所以 f x 是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理
解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解
的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么
情况下可以使用书上的概念.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知函数 f x = lg x -1 + 2x + 2- x，则满足不等式
f x +1 < f 2x 的 x 的取值范围为（ ）
A． -2, -1 B 1． 1,2 C． - , - 3 1,+ D． - , -2 U 1, +
【答案】D
【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得 f x 的奇偶性
与单调性，从而转化所求不等式得到关于 x 的不等式组，解之即可得解.
【详解】由 x -1 > 0，得 f x 的定义域为 - , -1 1,+ ，
又 f -x = lg x -1 + 2- x + 2x = f x ，故 f x 为偶函数，
而当 x >1时，易知 y = lg x -1 = lg x -1 单调递增，
而对于 y = 2x + 2- x ， y = 2x + 2- x = 2x + 2- x ln 2 > 0在 1, + 上恒成立，
所以 y = 2x + 2- x 在 1, + 上也单调递增，
故 f x 在 1, + 上单调递增，
ì x +1 < 2x
则由 f x +1 < f 2x ，得 í x 1 1 ，解得 x >1或 x < -2 . + >
故选：D.
2．（2024·重庆·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足： f x1 + x2 = f x1 + f x2 ，且 x > 0
时， f x < 0 2，则关于 x 的不等式 f x + f 2x 0的解集为（ ）
A． -2,0 B． 0,2
C． - , -2 U 0, + D． - ,0 2, +
【答案】A
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.
【详解】任取 t1 < t2 ，则 t2 - t1 > 0，
而 x > 0时， f x < 0 ，则 f t2 - t1 < 0 ，
f t2 = é t2 - t1 + t1 ù = f t2 - t1 + f t1 < f t1 ，
所以 f x 在R 上单调递减，
"x1, x2 R ， f x1 + x2 = f x1 + f x2 ，
取 x1 = x2 = 0，则 f (0) = 0，令 x2 = -x1，
得 f 0 = f x1 + f -x1 = 0，
所以 f x 为R 上的奇函数，
f x2 + f 2x 0 2，即 f x f -2x ，则 x2 -2x ，解得 x -2,0
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x3 + a -1 x2 - x + b是定义在 m，2 + m 上的奇函
数， f x 为 f x 的导函数，则 f a + b + m =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义和性质进行运算研究即可．
【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以m + 2 + m = 0 ，得m = -1．
由 f x 为奇函数可得 f 0 = 0，得b = 0，
又 f -x = - f x ，所以 a =1，
所以 f x = x3 - x ， f x = 3x2 -1，
故 f a + b + m = f 0 = -1，
故选：A.
1
4．（2024·云南红河· 3二模）已知函数 f x = x - x ，对于任意的 x 1,2 ，不等式e +1

f x +1 f t +1 ÷ + 2 ÷÷ <1 t 恒成立，则实数 的取值范围为（x 1 (x 1) x 6 ）è - è - -
A． 1, + B． -1,1 C． - , -1 D． - , -1
【答案】C
1 x +1 t +1
【分析】令 g(x) = f x - ，得到 g(x)为奇函数，从而得到 g ÷ < g - ÷2 è x -1 è x -1
2 x - 6 ÷
恒成立，根据函数单调性得到不等式，化简得到 x 1，2 时， x +1 x -1 x - 6 < - t +1 恒
成立，设 p(x) = x +1 x -1 x - 6 = x3 - 6x2 - x + 6， x 1，2 ，求导得到其单调性，结合特
殊点的函数值，得到0 - t +1 ，得到答案.
1 x
【详解】设 g(x)
1
= f x - x R ，则 g x = x - x3
1 1- e
- = - x3
e +1 2 2 ex 1 x R + ，2
1- e- xg x x3 e
x -1
- = + = + x3 = -g x
- x x ，所以 g(x)2 e +1 2 e +1 为奇函数.
f x +1
t +1 x +1 1
所以 ÷ + f 2 ÷ <1 f - < - f
t +1 ÷ 1+
è x -1
，
è x -1 x - 6 ÷ è x -1
÷
2 è x -1
2 x - 6 ÷ 2
g x +1

g t +1

即 ÷ < - 2 ÷ 恒成立，è x -1 è x -1 x - 6 ÷
由 f x 在R 上单调递减且 g(x) = f x 1- ，得 g(x)在R 上单调递减，
2
x +1 t +1
所以 > -x -1 x .-1 2 x - 6 恒成立
由 x 1，2 ，知 x -1 > 0且 x -1 > 0，
所以 x 1，2 时， x +1 x -1 x - 6 < - t +1 恒成立.
设 p(x) = x +1 x -1 x - 6 = x3 - 6x2 - x + 6， x 1，2 ，
p (x) = 3x2 -12x -1，当 x 1，2 时 p (x) < 0，
所以 p(x)在 p(x) < 0内单调递减，而 p(1) = 0，所以 p(x) < 0，
所以0 - t +1 ，即 t -1 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数
法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的
研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结
合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
二、多选题
5．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，对任意 x, y R 都有
2 f x + y x - y ÷ f ÷ = f x + f y ，且 f 1 = -1，则下列说法正确的是（2 2 ）è è
1
A． f -1 =1 B． f x +

2 ÷为奇函数è
C． f x - f 2 - x = 0 D． f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2025 = -1
【答案】BCD
【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答案.
【详解】令 x = y =1，则 2 f 1 f 0 = f 1 + f 1 = 2 f 1 ，所以 f 0 =1，
令 x = -1, y =1，则 2 f 0 f -1 = f -1 + f 1 = 2 f -1 ，\ f -1 = f 1 = -1，故 A 错误；
f x 1 1+ 1 要证 ÷为奇函数，只需证 f x + ÷ + f - x ÷ = 0，即 f x + f 1- x = 0，
è 2 è 2 è 2
x 1, y 1 1 1= = 0 2 f f = f 1 + f 0 = 0 \ f 令 ，则 ， = 0，
è 2 ÷ è 2 ÷ ÷ è 2
y =1- x 1 2x -1 令 ，则 2 f ÷ f ÷ = f x + f 1- x = 0 ，所以成立，故 B 正确；
è 2 è 2
令 y = -x，则 2 f 0 f x = f x + f -x = 2 f x ，\ f x = f -x ，所以 f x 为偶函数，
由 B 可知， f 1- x = - f x ，所以 f 1- x = - f x = - f -x ，则有
f 2 - x = - f 1- x = f x ，故 C 正确；
由 C 可知 f 2 - x = f x ，又 f x 为偶函数，所以 f 2 - x = f -x ，则 f x 周期为 2，
f 1 = -1， f 2 = f 0 =1，所以 f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2025 =1012 0 -1 = -1，故 D
正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：（1）若 f x 为奇函数，则满足 f x = - f -x ，若 f x 为偶函数，则
满足 f x = f -x ；（2）若 f x 为周期函数，且周期为T ，则满足 f x +T = f x ；（3）
若 f x 关于点 a,0 对称，且关于直线 x = b 对称，则 f x 为周期函数，周期为 4 a - b .
6．（2024·河南·一模）定义在 R 上的函数 f (x) = loga ( 1+ b
2x2 + bx) （ a > 0且 a 1，b 0 ），
若存在实数 m 使得不等式 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若 a > 1，b > 0，则实数 m 的取值范围为 -2,2
B．若 0 < a < 1，b < 0，则实数 m 的取值范围为 - , 2
C．若 a > 1，b < 0，则实数 m 的取值范围为 - ,-2 U 2,+
D．若 0 < a < 1，b > 0，则实数 m 的取值范围为 2, +
【答案】BD
【分析】先判断函数 f (x) = log ( 1+ b2x2 + bx) 为奇函数，再分 a > 1和 0 < a < 1讨论 y = log ta a
的单调性，分b > 0和b < 0讨论函数 t = 1+ b2x2 + bx 的单调性，根据复合函数的单调性判断
得出 f (x) 的单调性，利用单调性将 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0进行等价转化成含参数m 的
不等式，求解即得.
【详解】对于函数 f (x) = log ( 1+ b2x2a + bx) ，因
f (x) + f (-x) = loga ( 1+ b
2x2 + bx) + loga ( 1+ b
2x2 - bx)
= loga[( 1+ b
2x2 + bx)( 1+ b2x2 - bx)] = 0 ，则函数 f (x) 是奇函数.
不妨设 t = 1+ b2x2 + bx ，则 y = loga t ，
对于 A 项，当 a > 1时， y = loga t 在定义域内为增函数，
因b > 0，则 t = 1+ b2x2 + bx 在 R 上也是增函数，故 f (x) = log ( 1+ b2a x
2 + bx) 在 R 上也是
增函数.
由 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0 f (-m + m2 +12) - f (-m) = f (m)，则
-m + m2 +12 m ，即 m2 +12 2m （*），
①当m 0时，此时恒成立；② 当m > 0时，由（*）可得m2 +12 4m2 ，解得-2 m 2 ，
综上可知，m (- , 2]，故 A 项错误；
对于 B 项，当 0 < a < 1时， y = log 2 2a t 在定义域内为减函数，因b < 0，则 t = 1+ b x + bx 在 R
上也是减函数，故 f (x) = log ( 1+ b2x2a + bx) 在 R 上是增函数，
由 A 项分析可得， f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立可得，m (- , 2]，故 B 项正确；
对于 C 项，当 a > 1时， y = loga t 在定义域内为增函数，因b < 0，则 t = 1+ b2x2 + bx 在 R 上
是减函数，故 f (x) = log 2 2a ( 1+ b x + bx) 在 R 上是减函数，
由 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0 f (-m + m2 +12) - f (-m) = f (m)，则
-m + m2 +12 m ，即 m2 +12 2m （*），
①当m 0时，无解；② 当m > 0时，由（*）可得m2 +12 4m2 ，解得m -2或m 2，
综上可知，m [2,+ )，故 C 项错误；
对于 D 项，当 0 < a < 1时， y = loga t 在定义域内为减函数，因b > 0，则 t = 1+ b2x2 + bx 在 R
上也是增函数，故 f (x) = loga ( 1+ b
2x2 + bx) 在 R 上是减函数，
由 C 项分析可得， f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立可得，m [2,+ )，故 D 项正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内外
函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数m 的不等式恒成立问题，
再对参数m 分类讨论不等式解的情况即得.
三、填空题
7．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = - f (x) ，且当0 < x < 2时，
f (x) = 3x - ln x，则 f (211) = .
【答案】-3
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得 f x + 2 + f x = 0，所以 f x + 4 + f x + 2 = 0，
所以 f x + 4 = f x ，即T = 4是函数 f x 的一个周期，
所以 f 211 = f 3 = - f 1 = - 31 - ln1 = -3 .
故答案为：-3
8．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，且有
f -3 = -12, f -x + f x = 0，且对任意 x R 都有 f x > 3，则使得 f ex - 3ex - 3 0成
立的 x 的取值范围是 .
【答案】 ln3,+
【分析】构造函数 g x = f x - 3x，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【详解】由 f -x + f x = 0 知 f x 是奇函数，\ f 3 = - f -3 =12，
设 g x = f x - 3x，则 g 3 = f 3 - 3 3 =12 - 9 = 3, g x = f x - 3 > 0 ，
\ g x x x x x在R 上单调递增，由 f e - 3e - 3 0得 f e - 3e 3，
x
即 g e g 3 ，\ex 3，得 x ln3, x的取值范围是 ln3,+ .
故答案为： ln3,+
ì 1- x2 , -1 x 1
9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知 f x = í ，若直线 y = kn x 与 f x 有 2n
f x - 2 , x >1
个交点 n N* 2，则 k1 + k 22 +L+ k 2n = .
n
【答案】
2n +1
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到 kn 的表达式，最
2 2
后裂项求和即可求得 k1 + k2 +L+ k
2
n 的值.
【详解】当-1 x 1时， y = f x = 1- x2 ，即 x2 + y2 =1， y 0，
当 x >1时， f (x) = f (x - 2)，所以可得函数周期为 2，
画出函数图象，如图所示：
若直线 y = kn x 与 f x 有 2n个交点，
根据图象知，直线 y = kn x 与第 n +1个半圆相切其圆心为On+1 2n,0
不妨设切点为 P ，连接POn+1，
POn+1 1
所以在RtVOPO 中， tan POOn+1 = = = kn+1 OP n ， O 2 2n+1O -1
k 1 1= = k 2 1 1 1 1 1 1= = = = - n
2n 2 -1 4n2 -1 ，故
n 2 ÷
，2n 2 -1 4n -1 2n -1 2n +1 2 è 2n -1 2n +1
k 2 k 2 L k 2 1 1 1 1 1 1 n所以 1 + 2 + + n =

1- + - +L+ -

÷ = .2 è 3 3 5 2n -1 2n +1 2n +1
n
故答案为： .
2n +1
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
四、解答题
10．（23-24 高三上·全国·阶段练习）已知函数 f (x) = log x2 2 +1 + ax 是偶函数.
(1)求 a的值;
(2)设 g(x) = f (x) + x ， h(x) = x2 - 2x + m，若对任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得
g x1 h x2 ，求m 的取值范围.
1
【答案】(1) a = -
2
(2) (- , 2]
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解 a的值；
（2）由题意可得 g x 在 0,4 上的最小值不小于 h x 在 0,5 上的最小值，分别求出 g x
和 h x 的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为 f (x) = log2 2x +1 + ax 是偶函数，
所以 f (-x) = f (x)，
log 2- x即 2 +1 - ax = log x2 2 +1 + ax，
log 2x2 +1 - log 2- x2 +1 + 2ax = 0 ，
log2 2x +1 - log 12 x +1 ÷ + 2ax = 0，è 2
x
x log2 2 +1 - log 1+ 22 x ÷ + 2ax = 0，
è 2
2x +1
log2 + 2ax = 0 1+ 2x ，
x ÷
è 2
log2 2
x + 2ax = 0，
x + 2ax = 0，
1+ 2a x = 0，
所以1+ 2a
1
= 0 ，即 a = - .
2
（2） g(x) = log2 2x +1 1+ x ，2
因为对任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得 g x1 h x2 ，
所以 g x 在 0,4 上的最小值不小于 h x 在 0,5 上的最小值，
因为 g(x) = log 2x 12 +1 + x 在 0,4 上单调递增，2
所以 g x 考点 08 函数的奇偶性、周期性（3 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，
如果 x∈D，都有－x∈D，
偶函数 关于 对称
且 ，那么函数 f(x)就叫做
偶函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，
如果 x∈D，都有－x∈D，
奇函数 关于 对称
且 ，那么函数 f(x)就叫做
奇函数
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个
x∈D 都有 x＋T∈D，且 ，那么函数 y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就叫做 f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具
有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
【核心题型】
题型一　函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的
等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
π
【例题 1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数 f x 的图像向左平移 个单位长度后得到
6
y = 2sin2 x π+ cos 2x -

÷的图像，则（ ）
è 3
A． f 0 =1 B． f x 是偶函数
C． f x π π的图像关于点 ,1÷中心对称 D．当 x = 时， f x 2 取到最小值è 4
【变式 1】（2024·北京丰台·一模）已知函数 f x 具有下列性质：
①当 x1, x2 0,+ 时，都有 f x1 + x2 = f x1 + f x2 +1；
②在区间 0, + 上， f x 单调递增；
③ f x 是偶函数．
则 f 0 = ；函数 f x 可能的一个解析式为 f x = ．
ex - e- x ex + e- x
【变式 2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 f x = ， g x = ．下列结论中可能2 2
成立的有 ．
① f 2x = 2 f x × g x ；
2② g 2x = é f x ù - ég x
2
ù ；
③ h x
f x
=
g x 是奇函数；
④对"x0 > 0 ， f f x0 > f x0 ．
3 2024· · f (x) = sin x ×[log (9x【变式 】（ 河南信阳 一模）若函数 3 + 2m) - x]的图像关于原点对称，
则 m＝ ．
题型二　函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已
知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
命题点 1　利用奇偶性求值(解析式)
【例题 2】（2023·四川·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时，
f x = x2 - ax + a -1，则满足 f x 0的 x 的取值范围是（ ）
A． - , -1 0,1 B． -1,1 C． -1,0 1, + D． - , -1 1, +
【变式 1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数 f (x) 的定义域为R ， y = f (x) + 2ex 是偶函数，
y = f (x) - 3ex 是奇函数，则 f (x) 的最小值为（ ）
A． e B． 5 C． 2 2 D． 2 5
【变式 2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为 1,0 的奇函数 f x = .
【变式 3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知 f x ， g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函
数， f x + g x = x3 + ax2 + a ，则 f 3 = ．
命题点 2　利用奇偶性解不等式
【例题 3】（2024·广西柳州·三模）设函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的 x，
y R ，都有 f x - f y < x - y .若函数 g x - f x = x 2，则不等式 g 2x - x + g x - 2 < 0
的解集是（ ）
A． -1,2 B． 1,2
C． - , -1 U 2, + D． - ,1 U 2, +
【变式 1】（2024·辽宁·一模）已知函数 f x = log 4x2 +16 - x - 2，若 f a -1 f 2a +1 成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A． - , -2 B． - , -2 U 0, +
é
C． ê-2,
4ù
ú D． - , -2 U
é4 , +
3 ÷ ê 3
【变式 2】（2024· x四川南充·二模）设函数 f x = sin x + e - e- x - x + 3，则满足
f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范围是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． 3, + D． - ,3
【变式 3】（2024·贵州贵阳·一模）已知 f x x是定义在R 上的偶函数，且 f x + e 也是偶函
数，若 f a > f 2a -1 ，则实数 a的取值范围是（ ）
,1 1, 1- + ,1 1 A． B． C． ÷ D． - , ÷ 1,+
è 3 è 3
题型三　函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已
知区间上，进而解决问题．
【例题 4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1为奇函数，则 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【变式 1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在 R 上的函数 f x 满足 f x + 2 + f (x) = f 4 ，
f 2x +1 f (1) 1是奇函数， = 则（ ）
2 2
17
f (k 1 1
17 1
A． - ) = -2 2 B． f (k - ) = 0k =1 k =1 2
17 17
C． kf (k 1) 17 1 17- = - D． kf (k - ) =
k =1 2 2 k =1 2 2
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为R 的函数 f x 满足
f -x + f x - 2 = 0, f x = f -x - 4 ，则 f 2023 =（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．3
【变式 3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在R 上的函数 f x , g x 满足
f 1+ x + f 1- x = 0, f x + 3 + g x = 2, f x + g 1- x = 2，则下列结论中正确的是（ ）
A． f x 是奇函数 B． g x 是周期为 4 的周期函数
n=1
C． f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0 D． g n = 40
20
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，设甲： y = f x 的图象关于 y 轴
对称；乙： f x 是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2024·天津·一模）如图是函数 f x 的部分图象，则 f x 的解析式可能为（ ）
sin5x cos5x
A． f x = B． f x =
2x - 2- x 2x + 2- x
cos5x sin5x
C． f x = D． f x =
2- x - 2x 2- x - 2x
3．（2024·河北·模拟预测）定义在R 上的函数 f x 周期为 4，且 f 2x +1 为奇函数，则
（ ）
A． f x 为偶函数 B． f x +1 为偶函数
C． f x + 2 为奇函数 D． f x + 3 为奇函数
1
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x ，则使得 f 2a < f a -1 成立的正实cosx + e
数 a的取值范围为（ ）
é1 1
A． ê ,+ ÷ B． ,+ ÷ C． - , -1 D． - , -1
1 , +

3 ÷ è 3 è 3
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 和 g x 分别为 R 上的奇函数和偶函数，满足
f x + g x = 2ex ， f x ， g x 分别为函数 f x 和 g x 的导函数，则下列结论中正确的
是（ ）
A． f x = ex - e- x
B．当 x > 0时， g x 的值域为 2, +
C．当 x 0 时，若 f x ax恒成立，则 a 的取值范围为 - , 2
n
D．当 n N* 时，满足 g 1 g 2 × × × g n > en+1 + 2 2
x 1
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 f (x) = 2sin x × tan + sin 2x × tan x，则（
2 2 ）
A． f (x) 是偶函数 B． f (x) 的最小正周期为 2π
C． f (x) 的最大值为 4 D． f (x) 的最小值为 0
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ， f (x + 2)是奇函数， f (x -1)是偶函
数， f (0) =1，则 f (726) = ．
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时，
f x = x - cosx +1，则当 x…0时， f x = ．
四、解答题
9．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数 f x = ax3 + bx2 + cx 在 x =1处取得极大值 2.
(1)求 f x 的解析式；
(2)求 f x 在 -4,3 上的最值.
2 π
10．（2023· 陕西宝鸡·模拟预测）设函数 f x = cos 2x + ÷ + sin2 x .2 è 4
(1)求函数 f x é π在区间 ê- ,
π ù
ú上的最大值和最小值； 12 3
(2)设函数 g x π对任意 x R ，有 g x + ÷ = g x x é，且当 ê0,
π ù 1
è 2 2 ú
时， g x = - f x ；求
2
函数 g x 在 -p ,0 上的解析式.
11．（22-23 高三上·河南·阶段练习）已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且
f (x) = log2 2x +1 - kx, g(x) = f (x) + 2x .
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)若不等式 g 4x - a × 2x +1 > g(-15) 恒成立，求实数 a的取值范围；
(3)设 h(x) = x2 - 2mx + 5，若存在 x1 [0, 2]，对任意的 x2 [1, 4]，都有 g x1 h x2 ，求实数
m 的取值范围.
12 2023· · f x ax
2 + bx + c
．（ 黑龙江佳木斯 模拟预测）已知 = 2 是定义在[－2，2]上的函数，若4 + x
满足 f x + f -x = 0 1且 f (1) = ．
5
(1)求 f x 的解析式；
(2)设函数 g x = x2 - 2mx + 4 m R ，若对任意 x1, x2 1,2 ，都有 g x2 < f x1 恒成立，
求 m 的取值范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知 f x = x +1 x + a x + b 为奇函数，则 y = f x 在 x = 0处
的切线方程为（ ）
A． x + y = 0 B． x - y = 0
C．3x + y = 0 D．3x - y = 0
2．（2024·四川·模拟预测）已知 f x = sin x + x3 +1，若 f -a = m，则 f a = （ ）
A．-m B．1- m C． 2 - m D．m -1
3．（2024·广东茂名·一模）函数 y = f x 和 y = f x - 2 均为R 上的奇函数，若 f 1 = 2 ，则
f 2023 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．2
4．（2023·广东·一模）已知函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x > 0时， f (x) = ax +1，若
f (-2) = 5 1，则不等式 f (x) > 的解集为（ ）2
1 1 1 1
A． - , -

÷ U

0,

÷ B． - ,0÷ U 0,

è 2 è 6 è 2 è 6 ÷
, 1 1 , 1 1 C． - - ÷ + ÷ D． - ,0÷ U2
,+ ÷
è è 6 è 2 è 6
5．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线 l： Ax + By + C = 0 A2 + B2 0 与曲线 W： y = x3 - x有
三个交点 D、E、F，且 DE = EF = 2，则以下能作为直线 l 的方向向量的坐标是（ ）．
A． 0,1 B． 1,-1 C． 1,1 D． 1,0
6．（2024· 3 2四川成都·模拟预测）已知函数 f x = x + lg x +1 + x +1，若等差数列 an 的前
n项和为 Sn ，且 f a4 -1 = -9， f a2021 - 3 =11，则 S2024 =（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x + 2 = 4 - f x ，且
2026
f x + 3 - 2为奇函数， f 4 = 5，则 f k =（ ）
k =1
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
8．（2024·黑龙江吉林 ·二模）已知偶函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，且当 x 0,1 时，

f x = 2x +1，则 f log 1 19÷的值为（ ）
è 2
35 3 29 35
A． B． C．- D．
29 16 35 16
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定
义，由此发展的混沌理论在生物学 经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数
的周期点是一个关键概念，定义如下：设 f (x) 是定义在 R 上的函数，对于 x R，令
xn = f (xn-1)(n =1，2，3，L) ，若存在正整数 k 使得 xk = x0，且当 0ì2x x 1 ， <
的一个周期为 k 的周期点.若 f (x) =
2
í ，下列各值是 f (x) 周期为 11 的周期点的 2(1- x)， x…
2
有（ ）
1 2
A．0 B． C． D．1
3 3
10．（2023·山西·模拟预测）奇函数 f x 与偶函数 g x 的定义域均为R ，且满足
f x - g x = 2x ，则下列判断正确的是（ ）
x - x
A． f x + g x 0 B． f x 2 - 2=
2
C． f x 在R 上单调递增 D． g x 的值域为 - , -1
11．（2024·湖南·二模）已知函数 f x , g x 的定义域均为R, g x +1 + f 1- x =1，
f x +1 - g x + 2 =1，且 y = f x 的图像关于直线 x =1对称，则以下说法正确的是（ ）
A． f x 和 g x 均为奇函数 B．"x R, f x = f x + 4
C．"x R, g x 3= g x + 2 D． g - = 0
è 2 ÷
三、填空题
12．（2023·四川雅安·一模）已知函数 f (x) 的定义域为 (- , + ), y = f (x) + ex为偶函数，
y = f (x) - 2ex 为奇函数，则 f (x) 的最小值为 .
13．（2024·山东枣庄·一模）已知 f x + 2 为偶函数，且 f x + 2 + f x = -6，则
f 2027 = ．
14．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f x , g x 的定义域为R ，且
31
f -x = f x + 6 , f 2 - x + g x = 4，若 g x +1 为奇函数， f 2 = 3，则 g(k) = ．
k =1
四、解答题
15．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时，
x
f x log 1+ 2= 2 ．3- 2x
(1)求 f x 的解析式；
(2)若关于 x 的方程 f x = k 在R 上有解，求实数 k 的取值范围．
16．（2023·上海黄浦·一模）已知集合A和定义域为R 的函数 y = f x ，若对任意 t A， x R ，
都有 f x + t - f x A，则称 f x 是关于 A 的同变函数.
(1)当 A = 0, + 与 0,1 x时，分别判断 f x = 2 是否为关于 A 的同变函数，并说明理由；
(2)若 f x 是关于 2 的同变函数，且当 x 0,2 时， f x = 2x ，试求 f x 在
2k, 2k + 2 k Z 1上的表达式，并比较 f x 与 x + 的大小；
2
(3) n -n 1-n若 为正整数，且 f x 是关于 é 2 ,2 ù 的同变函数，求证： f x 既是关于
m ×2-n m Z 的同变函数，也是关于 0, + 的同变函数.
17．（2023·上海普陀·一模）设函数 y = f x 的表达式为 f x = aex + e- x .
(1)求证：“ a =1”是“函数 y = f x 为偶函数”的充要条件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求实数m 的取值范围.
18．（2024· x全国·模拟预测）已知函数 f x = g x e +1 + 2 ．
(1)若 g x = x，求证：当 x > 0 f x > 2ex时，
(2)若 g x = sinx -1，求证： f x 在 -π, π 上有且仅有三个零点x1，x2， x3 （ x1 < x2 < x3），
且 x1 + x2 + x3 = 0 ．
19．（2023·上海徐汇·一模）若函数 y = f (x), x R 的导函数 y = f (x), x R 是以T (T 0)为周
期的函数，则称函数 y = f (x), x R 具有“T 性质”．
(1)试判断函数 y = x2 和 y = sin x 是否具有“ 2π性质”，并说明理由；
(2)已知函数 y = h(x)，其中 h(x) = ax2 +bx + 2sinbx(0 < b < 3)具有“ π性质”，求函数 y = h(x)在[0, p]
上的极小值点；
(3)若函数 y = f (x), x R 具有“T 性质”，且存在实数M > 0使得对任意 x R 都有 | f (x) |< M
成立，求证： y = f (x), x R 为周期函数．
（可用结论：若函数 y = f (x), x R 的导函数满足 f (x)=0, x R ，则 f (x) = C （常数）．）
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知函数 f x = lg x -1 + 2x + 2- x，则满足不等式
f x +1 < f 2x 的 x 的取值范围为（ ）
A． -2, -1 B． 1,2 C 1． - , - 3 1,+ D． - , -2 U 1, +
2．（2024·重庆·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足： f x1 + x2 = f x1 + f x2 ，且 x > 0
时， f x < 0 2，则关于 x 的不等式 f x + f 2x 0的解集为（ ）
A． -2,0 B． 0,2
C． - , -2 U 0, + D． - ,0 2, +
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x3 + a -1 x2 - x + b是定义在 m，2 + m 上的奇函
数， f x 为 f x 的导函数，则 f a + b + m =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
1
4．（2024· 3云南红河·二模）已知函数 f x = x - x ，对于任意的 x 1,2 ，不等式e +1
f x +1

f t +1

÷ + ÷ <1恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ）
è x -1 è (x -1)
2 x - 6 ÷
A． 1, + B． -1,1 C． - , -1 D． - , -1
二、多选题
5．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，对任意 x, y R 都有
2 f x + y f x - y ÷ ÷ = f x + f y ，且 f 1 = -1，则下列说法正确的是（2 2 ）è è
1
A． f -1 =1 B． f x +

÷为奇函数
è 2
C． f x - f 2 - x = 0 D． f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2025 = -1
6．（2024·河南·一模）定义在 R 上的函数 f (x) = log ( 1+ b2x2a + bx) （ a > 0且 a 1，b 0 ），
若存在实数 m 使得不等式 f (-m + m2 +12) + f (-m) 0恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若 a > 1，b > 0，则实数 m 的取值范围为 -2,2
B．若 0 < a < 1，b < 0，则实数 m 的取值范围为 - , 2
C．若 a > 1，b < 0，则实数 m 的取值范围为 - ,-2 U 2,+
D．若 0 < a < 1，b > 0，则实数 m 的取值范围为 2, +
三、填空题
7．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = - f (x) ，且当0 < x < 2时，
f (x) = 3x - ln x，则 f (211) = .
8．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，且有
f -3 = -12, f -x + f x = 0，且对任意 x R 都有 f x > 3，则使得 f ex - 3ex - 3 0成
立的 x 的取值范围是 .
f x =
ì 1- x2 , -1 x 1
9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知 í ，若直线 y = kn x 与 f x 有 2n
f x - 2 , x >1
* 2 2 2
个交点 n N ，则 k1 + k2 +L+ kn = .
四、解答题
10．（23-24 高三上·全国·阶段练习）已知函数 f (x) = log2 2x +1 + ax 是偶函数.
(1)求 a的值;
(2)设 g(x) = f (x) + x ， h(x) = x2 - 2x + m，若对任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得
g x1 h x2 ，求m 的取值范围.
11．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二
a11 a12
阶行列式的运算定义如下： = aa a 11
a22 - a21a12 ．
21 22
x -2023
(1)在等比数列 an 中， a1,a4045 是 = -3 a ×ax x 的两个实根，求 2021 2022 × a2023 ×a2024 ×a2025 的
值；
2n 5n+1 +1 1 b b
(2)已知数列 bn 的前 n 2项和为Tn ，且Tn = ，若 cn = n nn ，求数列 cn 1 3 n 的前
-1 2-1
2
n项和；
(3)已知 f x 是奇函数， g x 是偶函数．设函数F x = f x + g x ，且存在实数M ，使得
F x + 4 1
= M
F x 1 对于任意的 x R 都成立，若
f 2 =1，求 f 1234 的值．
12．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、
ex + e- x
拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 ch x = 的图象，类比
2
三角函数的三种性质：①平方关系：① sin2 x + cos2 x =1，②和角公式：
ì sin x = cos x,
cos x + y = cos x cos y - sin x sin y ，③导数： í cos x 定义双曲正弦函数 = -sin x,
x - x
sh x e - e= ．
2
(1)直接写出 sh x ， ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当 x > 0时， sh x > ax恒成立，求实数 a 的取值范围；
(3)求 f x = ch x - cos x - x2 的最小值．

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