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考点 06 函数的概念及其表示（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、
解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
【知识点】
1．函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对
应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合
B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线 x＝a 与函数 y＝f(x)的图象至多有 1 个交点．
2．在函数的定义中，非空数集 A，B，A 即为函数的定义域，值域为 B 的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【核心题型】
题型一　函数的定义域
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的 x 的取值集合；
(2)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出；
(3)若复合函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数 f(x)的定义域为 g(x)在[a，b]上的值域．
ì x -1 ü
【例题 1】（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = x y = -x ，B = íx 0 ，则
x +1


AI B =（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． 0,1 D． - ,1
【答案】B
【分析】分别求解集合 A, B，再求 A B 即可.
【详解】因为 y = -x 的定义域为 - ,0 ，所以 A = - ,0 ，
x -1 ì x +1 x -1 0
由 0得 í ，解得-1 < x 1，所以B = -1,1 ，x +1 x +1 0
故 AI B = -1,0 ，
故选：B．
【变式 1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 y = f x 的定义域为 0,4 ，则函数
y f (x +1)= + (x - 2)0 的定义域是（
x 1 ）-
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式
组作答.
f (x +1)
【详解】因为函数 y = f x 0的定义域为 0,4 ，又函数 y = + (x - 2) 有意义，
x -1
ì0 x +1 4

则有 íx -1 > 0 ，解得1< x < 2或 2 < x 3，

x - 2 0
f (x +1)
所以函数 y = + (x - 2)0 的定义域是 1,2 2,3 .
x -1
故选：C
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）若集合 A = x N y = 3- x ，B = 0,1 ，则集合 A B 的
真子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先求集合 A，确定 A B 即可求解.
【详解】因为 A = x N 3- x 0 = 0,1,2,3 ，B = 0,1 ，所以 AI B = 0,1 ，
所以集合 A B 的真子集的个数为22 -1 = 3 .
故选:D.
【变式 3】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数 y = f 2x 的定义域为 -2,4 ，则
y = f x - f -x 的定义域为（ ）
A． -2,2 B． -2,4
C． -4,4 D． -8,8
【答案】C
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数 f x 的定义域，对于函数
y = f x - f -x ，可列出关于 x 的不等式组，由此可得出函数 y = f x - f -x 的定义域.
【详解】因为函数 y = f 2x 的定义域为 -2,4 ，则-2 x 4，可得-4 2x 8，
所以，函数 y = f x 的定义域为 -4,8 ，
ì-4 x 8
对于函数 y = f x - f -x ，则有 í ，解得-4 x 4，
-4 -x 8
因此，函数 y = f x - f -x 的定义域为 -4,4 .
故选：C.
题型二　函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
1- x2
【例题 2】（2023·重庆·模拟预测）已知函数 f 1- x = 2 x 0 ，则 f x =（ ）x
1 1
A． 2 -1 x 0 B． 2 -1 x 1
4 4
C． 2 -1 x 0 D． 2 -1 x 1 x -1 x -1 x -1 x -1
【答案】B
【分析】利用换元法令 t =1- x ，运算求解即可.
【详解】令 t =1- x ，则 x =1- t ，且 x 0，则 t 1，
1- 1- t 2 1
可得 f t = 2 = 2 -1, t 1 ， 1- t t -1
所以 f x
1
= 2 -1 x 1 x .-1
故选：B.
【变式 1】（2023·河南·模拟预测）已知函数 f (x) 对定义域{x∣x 0}内的任意实数 x 满足
f (2x) - 2 f 2 ÷ = 4x ，则 f (x) = .
è x
2 x 16【答案】- -
3 3x
4
【分析】先把 x 都化为 2x，进行化简得到 f (x) - 2 f ÷ = 2x
4
，再把 x 替换为 得到
è x x
f 4 ÷ - 2 f (x)
8
= ，最后联立方程组求解即可.
è x x
f (2x) - 2 f 2 4x f (2x) 2 f 4 【详解】由 ÷ = ，得 - ÷ = 2 × (2x)，即 f (x)
4
- 2 f ÷ = 2x ①，
è x è 2x è x
x 4 4 将 换为 ，得 f ÷ - 2 f (x)
4
= 2 ②，由①+2②，得-3 f (x) 2x
16
= + ，故
x è x x x
f (x) 2 x 16= - - .
3 3x
2 x 16故答案为：- - .
3 3x
1 25
【变式 2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数 f (x) 的最大值是 f ÷ = ，且它的图像过
è 2 4
点 (2, 4)，求函数 f (x) 的解析式．
2
【答案】 f (x) = - x
1
-
25
÷ +
è 2 4
【分析】由二次函数性质与待定系数法求解．
2
f (x) a x 1 25【详解】解：根据题意设 = - ÷ + ，
è 2 4
1
2
25
又过点 (2, 4)，则 a 2 - 2 ÷
+ = 4
è 4
解得 a = -1，
2
f (x) x 1 25故 = - - 2 ÷
+
è 4
【变式 3】（2024·山东济南·一模）已知集合 A = u x u x = ax2 - a + b x + b ,a,b R ，函
2
数 f x = x -1 . 若 函 数 g x 满 足 ： 对 任 意 u x A， 存 在 l, m R ， 使 得
u x = l f x + mg x ，则 g x 的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即
可）
【答案】 g x = x -1（满足 g 1 = 0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式
均正确）
【分析】根据u 1 = 0，求得 g 1 = 0，则满足 g 1 = 0的一次函数或二次函数均可.
【详解】u x = ax2 - a + b x + b 2， f x = x -1，
u 1 = a - a + b + b = 0 ， f 1 = 0，
u x = l f x + mg x ，u 1 = l f 1 + mg 1 = mg 1 = 0，
所以 g 1 = 0，则 g x 的解析式可以为 g x = x -1 .
经检验， g x = x -1满足题意.
故答案为： g x = x -1（答案不唯一）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.
题型三　分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验．
ì4x , x 0
【例题 3】（2024·四川广安·二模）已知函数 f x = í ，则 f é f -2 ù 的值为 .
log2 x, x > 0
【答案】-4
【分析】先求 f -2 的值，结合所求结果的符号，再代入 f x 解析式求得.
1
【详解】Q f -2 = 4-2 = > 0，
16
\ f é f -2 ù = f
1 = log 1 = log -4 16 ÷ 2 16 2
2 = -4 .
è
故答案为：-4 .
ì
x
2 - 3x, x 3
【变式 1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 f x = í ，若 $x R ，使得
log3 x, x > 3
0
f x 20 10m + 4m 成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
é 9 1 ù é 5 ù
A． ê- , - ú B． ê- ,0 4 4 2 ú
9 ù é 1 5 ù
C． - ,- - ,+ ÷ D． - ,-
è 4 ú ê 4 è 2 ú
0, +

【答案】C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
3ù 3
【详解】因为函数 y = x2 - 3x在区间 - , ú 上单调递减，在区间 ，3÷上单调递增，è 2 è 2
x 3 9所以当 = 时，函数 y = x2 - 3x, x 3取得最小值- .
2 4
又因为函数 y = log3 x在区间 3, + 上单调递增，
所以当 x > 3时， log3 x >1.
ìx2 - 3x, x 3 9
综上可得函数 f x = í 的最小值为- .
log3 x, x > 3 4
因为$x0 R ，使得 f x0 10m + 4m2成立，
9 2 9 1
所以- 10m + 4m ，解得：m - 或m - .
4 4 4
故选：C.
ì f (x +1), x < 4
【变式 2】（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = í x ，则 f 2 + log2 , x 4 23 = （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】根据给定条件，判断并代入计算函数值即得.
【详解】由1< log2 3 < 2，得3 < 2 + log23 < 4，
所以 f (2 + log23) = f (3 + log 3) = 2
3+log2 3
2 = 2
3 2log2 3 = 24 .
故选：D
ìx2 + ax, x < 0

【变式 3】（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 f x = í x 的最小值为
- , x 0 x +1
-1，则a = .
【答案】2
【分析】由题意得出函数 y = x2 + ax在 - ,0 上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
y x 1【详解】当 x 0 时， = - = -1 > -1 .
x +1 x +1
因为 f x 的最小值为-1，所以函数 y = x2 + ax在 - ,0 上取得最小值-1，
ì a
- < 0 2
则 í 2 ，解得 a = 2 .
a- = -1
4
故答案为：2.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1- x}， N = {- 2,0,1,2, 3}，
则 ( U M ) I N =（ ）．
A．{- 2,0,1} B．{2, 3} C．{1,2, 3} D． N = {2}
【答案】B
【分析】先求集合 M，然后由集合的运算可得.
【详解】由1- x 0解得M = - ,1 ，
所以 U M = 1,+ ，所以 ( U M ) N = 2, 3 .
故选：B
ì 1, x > 0,

2．（2024·山西运城·一模）已知符号函数 sgn x = í 0, x = 0, 则函数

-1, x < 0.
f (x) = sgn(x) × ln x + x2 +1 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得到 f (x) 为偶函数，排除 AB，再计算出 f 1 = ln 2 > 0，得到正确答案.
【详解】 sgn x 定义域为 R，且为奇函数，故 sgn -x = -sgn x ，
f (x) = sgn(x) × ln x + x2故 +1 的定义域为 R，
且 f (-x) = sgn(-x) × ln
2
-x + -x +1÷ = -sgn x × ln
è -x + x2 +1

= -sgn x 1× ln ÷ = sgn x × ln x2 +1 + x = f x ，
è x2 +1 + x
故 f (x) = sgn(x) × ln x + x2 +1 为偶函数，AB 错误；
当 x =1时， f 1 = sgn 1 × ln 2 = ln 2 > 0 ，C 错误，D 正确.
故选：D
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列 4个函数，其中对于任意 x R 均成立的是（ ）
A． f sin 3x = sin x B． f sin 3x = x3 + x2 + x
C 2． f x + 2 = x + 2 D f x2． + 4x = x + 2
【答案】D
【分析】根据函数定义逐项判断 ABC，采用换元的方法求解 D 中函数的解析式并进行判断.
【详解】对于 A，当 x = 0时， f 0 = 0 π 3；当 x = 3 时， f 0 = ，与函数定义矛盾，不符合；2
π 3 2
对于 B π π π，当 x = 0时， f 0 = 0；当 x = 3 时， f 0 = ÷ + ÷ + ，与函数定义矛盾，不è 3 è 3 3
符合；
对于 C，当 x = -2时， f 6 = 0；当 x = 2时， f 6 = 4 ，与函数定义矛盾，不符合；
2
对于 D，令 x + 2 = t ，则 x = t - 2，所以 f é t - 2 + 4 t - 2 ù = f t
2 - 4 = t ，
令 t 2 - 4 = m -4, + ，所以 t = ± m + 4 ，
所以 f m = ± m + 4 = m + 4 m -4 ，
所以 f x = x + 4 x -4 ，符合.
故选：D.
ì x -1
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = íx 0
ü
，B = x y = 2x - x2 ，则 AI B =
x
（ ）
A． x 0 < x 1 B． x 0 x 1 C． x 0 < x 2 D． x 0 x 2
【答案】A
【分析】先解不等式，再利用集合的交集即可求解.
【详解】因为集合 A = {x |
x -1
0} = {x | x(x -1) 0且 x 0 ，所以 A = x 0 < x 1 ．
x
2
又集合B = x 2x - x 0 ，所以B = x 0 x 2 ，则 A B = x 0 < x 1 ．
故选：A．
二、多选题
5．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 f x 的定义域为R ，且
f x f y = f xy + xy x + y ，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f x
C ． 是 x x R且x 0 上的增函数 D． f x 是R 上的增函数
x
【答案】AC
f x
【分析】A.

令 y = 0 判断；B.令 g x = , x 0，分别令 x = y = -1， x = y =1判断；CD.由
x
f x
g x = , x 0，令 y =1判断.
x
【详解】解：在 f x f y = f xy + xy x + y 中，
令 y = 0 ，得 f 0 f x = f 0 ，即"x R, f 0 é f x -1ù = 0．
因为函数 f x 为非常数函数，所以 f 0 = 0，A 正确．
g x f x 令 = , x 0，则 g x g y = g xy + x + y．
x
令 x = y = -1，则[g -1 ]2 = g 1 - 2，①
令 x = y =1 2，则[g 1 ] = g 1 + 2 ，②
由①②，解得 g 1 = 2, g -1 = 0，从而 f 1 = 2 ，B 错误．
令 y =1，则 g x g 1 = g x + x +1，即 g x = x +1，
因为 f 0 = 0，所以 f x = x x +1 ，所以 C 正确，D 错误．
故选：AC
ì 2x -1 , x 2
6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数 f x = í ，若关于 x 的方程 f x - m = 0
-x + 5, x > 2
恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数m 取值范围的有（ ）
A． 0,3 B． 1,2
C． 2,3 D． 0
【答案】BCD
【分析】将方程 f x - m = 0有根转化为曲线 y = f x 和直线 y = m的交点个数问题，根据
函数图像分析运算即可得解.
【详解】解：因为关于 x 的方程 f x - m = 0恰有两个不同的实数解，
所以函数 y = f x 的图象与直线 y = m的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，
所以当m 1,3 U 0 时，函数 y = f x 与 y = m的图象有两个交点，
所以实数 m 的取值范围是 1,3 U 0 ．
四个选项中只要是 1,3 U 0 的子集就满足要求.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 f x lg1+ 2x= 的定义域是 .
x
( , 1【答案】 - - ) U (0,+ )
2
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数 f x lg1+ 2x 1+ 2x 1= 有意义，则 > 0 x(2x +1) > 0，解得 x < - 或 x > 0，
x x 2
所以函数 f x = lg1+ 2x 1的定义域是 (- ,- ) U (0,+ ) .
x 2
1
故答案为： (- ,- ) U (0,+ )
2
8．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 f x 在R 上可导，且 f (2x + 3) = 4x2 -1，
则 f (1) = ．
【答案】-4
【分析】利用换元法求得 f x 解析式，求导，求 f (1) 即可.
t 2x 3 x t - 3【详解】令 = + ，则 = 2 ，则 f (t) = t
2 - 6t + 8，即 f x = x - 6x + 8，
f x = 2x - 6，所以 f (1) = -4 ．
故答案为：-4
四、解答题
9．（2023·江西九江·模拟预测）若 f x 的定义域为 -4,4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x2 的定
义域．
é
【答案】 ê-2,
3ù
.
2ú
【分析】由题意列出不等式组解之即得.
【详解】由函数 y = f x 2的定义域为 -4, 4 ，则要使函数 g(x) = f (2x +1) + f x 有意义，
ì-4 2x +1 4
则 í
-4
，
x2 4
3
解得-2 x ,
2
3
∴函数 g(x) = f (2x +1) + f x2 é的定义域为 ê-2, ùú . 2
10．（2023·河南信阳·一模）已知函数 f x = x - 2 + x + 2 .
(1)求不等式 f x x + 3的解集；
(2) 2若 g x = x - 3 + x + 3 ，F x = f x + g x ，且F a - 3a + 2 = F a - 2 ，求满足条件的
整数 a的所有取值的和.
【答案】(1) - ,1 3, +
(2)6
【分析】（1）分 x -2， -2 < x 2 和 x > 2三种情况讨论，去绝对值符号，解不等式即可；
（2）先判断函数的奇偶性，再去绝对值符号，作出函数图象，结合图象分类讨论即可得
解.
【详解】（1）解：当 x -2时， f x = 2 - x - 2 - x = -2x ，
∴ -2x x + 3，∴ x -1，∴ x -2；
当 -2 < x 2 时， f x = 2 - x + x + 2 = 4，∴ 4 x + 3， x 1，∴ -2 < x 1；
当 x > 2时， f x = x - 2 + x + 2 = 2x ，∴ 2x x + 3， x 3，∴ x 3，
综上，不等式 f x x + 3的解集为 - ,1 3, + ；
（2）解：因为F -x = -x - 2 + -x + 2 + -x - 3 + -x + 3 = x + 2 + x - 2 + x + 3 + x - 3 = F x ，
∴ F x 为偶函数，
当0 x < 2时，F x = 2 - x + 3- x + x + 2 + x + 3 =10，
当 2 x < 3时，F x = x - 2 + 3 - x + x + 2 + x + 3 = 2x + 6，
当 x 3时，F x = x - 2 + x - 3 + x + 2 + x + 3 = 4x ，
作出函数图象如图所示，
F a2若 - 3a + 2 = F a - 2 ，则
① a2 - 3a + 2 = a - 2，∴ a = 2；
② a2 - 3a + 2 = - a - 2 ，∴ a = 0或 a = 2；
③ -2 a2 - 3a + 2 2，-2 a - 2 2，∴ 0 a 3，
综上整数 a的取值为 0，1，2，3，故和为 6.
11．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x = x - 2 + 2x -1 ．
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x 2x - a 恒成立，求实数 a的取值范围．
3
【答案】(1)
2
é1, 5 ù(2)
ê 2ú
【分析】（1）利用分类讨论，去掉绝对值，结合一次函数的单调性即可得解；
（2）结合（1）中结论，作出 f (x) 与 h(x) 的大致图象，求得 f (x) | 2x - a |恒成立的临界情
况对应的 a值，从而得解.
【详解】（1）因为 f x = x - 2 + 2x -1 ，
当 x 2时， f x = 3x - 3，此时 f x 3 2 - 3 = 3；
1
当 < x < 2时， f x = x +1 1，此时 +1 < f x 2 1 3< + ，即 < f x < 3；
2 2 2
x 1当 时， f x = 3- 3x f x 3 3 1 3，此时 - = ；
2 2 2
f x 3综上， 的最小值为 .
2
（2）记 h(x) =| 2x - a |，作出 f (x) 与 h(x) 的大致图象，
要使 f (x) | 2x - a |恒成立，
则只需当函数 h(x)
1 3
的图象过点 A , ÷ 或B(2,3)2 2 时，为临界情况（如图），è
h 1 3由 ÷ = 1- a = a
5 a 1，得 = 或 = - （舍去），
è 2 2 2 2
由 h(2) =| 4 - a |= 3，得 a =1或 a = 7（舍去），
1 5 a é 5 ù所以 ≤ a ≤ 2 ，即实数 的取值范围为 ê
1,
2 ú
.

π 3π
12．（2023·浙江温州·三模）已知函数 f (x) = sin(wx - ) 在区间[0, ]上恰有 3 个零点，其中
4 2
w 为正整数.
(1)求函数 f x 的解析式；
g x
(2)将函数 f x π的图象向左平移 个单位得到函数 g x F x 的图象，求函数 = f x 的单调4
区间.
【答案】(1) f (x) = sin(2x
π
- )；
4
(kπ 3π , kπ π(2) - + )(k Z) .
2 8 2 8
π
【分析】（1）根据给定条件，求出wx - 4 的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式求
解作答.
（2）由（1）求出函数 g x 的解析式，进而求出F x ，再利用正切函数的单调性求解作答.
3π π π 3πw π
【详解】（1）由 x [0, ]，得wx - [- , - ]，
2 4 4 2 4
因为函数 f (x) = sin(wx
π 3π
- ) 在区间[0, ]上恰有 3 个零点，
4 2
2π 3πw π 3π 3 w 13于是 - < ，解得 < ，而w 为正整数，因此w = 2，
2 4 2 6
所以 f (x) = sin(2x
π
- ) .
4
π π π π
（2）由（1）知， g(x) = f (x + ) = sin[2(x + ) - ] = sin(2x + )，
4 4 4 4
π kπ π
由 f (x) 0，得 2x - kπ,k Z ，即有 x + , k Z，
4 2 8
g(x) sin(2x
π
+ ) sin(2x π+ )
因此F (x) = = 4 = 4 = - tan(2x
π
+ )，
f (x) sin[(2x π+ ) π- ] -cos(2x π+ ) 4
4 2 4
由 kπ
π 2x π- < + < kπ π+ ,k Z kπ 3π x kπ π ，解得 - < < + ,k Z，
2 4 2 2 8 2 8
所以函数F (x)
g(x)
= kπ 3π kπ π的单调减区间为 ( - , + )(k Z)f (x) .2 8 2 8
综合提升练
一、单选题
ìlog3 x, x > 0f (x) = f ( f (11．（2024·陕西西安·一模）已知函数 í x )) =9 , x 0 ，则 （2 ）
1
A B 1 2． ． 2 C． D．24 2
【答案】A
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
ìlog x, x > 0f (x) = 3 f (1【详解】函数 í x ，则 ) = log
1
3 < 09 , x 0 ， 2 2
1 1 log 1 13 log3 1
所以 f ( f ( )) = f (log 2 2 2
2 3
) = 9 = (3 ) = .
2 4
故选：A
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数 f (x) 满足 2 f (x) + f (-x) = 3x2 + 2x + 6，则（ ）
2x2 + 4x + 3
A． f (x) 的最小值为 2 B．$x R, < 2f x
2x2 + 4x + 5
C． f (x) 的最大值为 2 D．"x R, < 2f x
【答案】B
2
【分析】首先根据题意得到 f x = x + 2x + 2，再结合二次函数的性质依次判断选项即可.
【详解】因为 2 f (x) + f (-x) = 3x2 + 2x + 6， 2 f (-x) + f (x) = 3x2 - 2x + 6，
所以 f x = x2 + 2x + 2 .
所以 f x = x +1 2 +1 1，所以 f x 的最小值1，无最大值，为故 A，C 错误.
2x2 + 4x + 3 1
对选项 B， = 2 - ，
x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
1 2x2 + 4x + 3
因为 x2 + 2x + 2 = x +1 2 +1 1，所以 2 - 2 < 2，即 < 2，x + 2x + 2 f (x)
故 B 正确.
2x2D + 4x + 5 2 1对选项 ，
x2
= + ，
+ 2x + 2 x2 + 2x + 2
2
x2 + 2x + 2 = x +1 2 1 2x + 4x + 5因为 +1 1，所以 2 + 2 > 2，即 > 2，x + 2x + 2 f (x)
故 D 错误.
故选：B
3．（2023·浙江·二模）已知函数 f x 满足 f 2x = f x +1 ，则 f x 可能是（ ）．
A． f x = x B． f x = log2 x
x ì1, x QC． f x = 2 D． f x = í
0, x Q
【答案】D
【分析】根据函数 f x 满足 f 2x = f x +1 ，一一验证各选项中的函数是否满足该性质，
即可得答案.
【详解】对于 A， f x = x，则 f 2x = 2x ， f x +1 = x +1，不满足 f 2x = f x +1 ；
对于 B， f x = log2 x，则 f 2x = log2 2x =1+ log2 x， f x +1 = log2 (x +1)，
不满足 f 2x = f x +1 ；
C f x = 2x f 2x = 22x对于 ， ，则 = 4x， f x +1 = 2x+1 = 2 2x ，不满足 f 2x = f x +1 ；
ì1, x Q对于 D， f x = í ，当 x Q时， 2x Q,x +1 Q，故 f 2x = f x +1 =10, x Q ；
当 x Q 时， 2x Q,x +1 Q，故 f 2x = f x +1 = 0，
即此时 f x ì
1, x Q
= í 满足 f 2x = f x +1 D0, x Q ， 正确，
故选：D
ì 1 ü
4．（2024·山东枣庄·一模）已知集合M = x log3x < 0 ， N = íx y = x + x -1 ，则
M U R N = （ ）
A． - ,1 B． - ,1 C． - ,0 0,1 D． - ,0 0,1
【答案】D
【分析】首先解对数不等式求出集合M ，再根据函数的定义求出集合 N ，最后根据补集、
并集的定义计算可得.
【详解】由 log3x < 0，可得 log3x < log31，所以0 < x <1，
即M = x log3x < 0 = x 0 < x <1 ，
ìx 0
对于函数 y = x
1
+ ，则
x 1 í
，解得0 x <1x 1 0 或 x >1，- -
ì 1 ü
所以 N = íx y = x + = 0,1 1,+ ，
x -1
所以 R N = - ,0 1 ，
所以M R N = - ,0 0,1 .
故选：D
ìlog x +1, x 1
5．（2023· 2全国·模拟预测）已知函数 f x = í 2 f a = 2 a
x , x 1
，若 ，则 的值为（
< ）
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，讨论 a的范围，明确方程，解出即可.
【详解】当a 1时， log2a +1 = 2，解得 a = 2，
当a < 1时， a2 = 2，得 a = - 2 ，
所以 a的值是 2 或- 2 ．
故选：A.
ìx
2 +
a > 0, a 1 f x = a - 5 x +1, x 16．（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 í x 是R 上的减函
1- a , x >1
数，则 a的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 2,3 C． 2, + D． 3, +
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数 y = 1- a x (a > 0,a 1)是减函数，所以 a > 1．
2 5 - a又因为函数 y = x + (a - 5） x +1图像的对称轴是直线 x = ，
2
y = x2 + a - 5 x +1 5 - a 5 - a所以函数 在 - ,

÷上单调递减，在2
,+ ÷上单调递增．
è è 2
ìa >1

f x 5 - a又函数 是R 上的减函数，所以 í 1 ，解得 2 a 3，
2
a - 3 1- a
所以 a的取值范围是 2,3 ．
故选:B．
7．（23-24 高三上·四川遂宁·期中）函数 y = loga (2x -1) + 3(a > 0,a 1) 的图象恒过点 (m, n)，
函数 f (x) = (
n )x 的定义域为 0,2 ， g(x) = f (2x) + f (x)，则函数 g(x)的值域为（ ）m
A． 2,90 B． 2,6 C． 2,12 D． 2,20
【答案】C
【分析】由题可知，当 2x -1 =1时，即可求出定点坐标 (m, n)，即可求得 f (x) 的解析式，进
而可得 g(x)的解析式，再结合抽象函数的定义域求得 g(x)的定义域，结合函数的单调性即
可求解.
【详解】当 2x -1 =1时，即 x =1，则 y = loga 1+ 3 = 3，
所以 y = loga (2x -1) + 3(a > 0,a 1) 恒过定点 (1,3)，
则 f (x) = 3x ，定义域为 0,2 ，由0 2 x 2 ，得0 x 1，
则 g(x) = f (2x) + f (x)的定义域为 0,1 ，
则 g(x) = f (2x) + f (x) = 32x + 3x ， x [0,1]
又 y = 3x , y = 32x 在 0,1 上单调递增，则 g(x) = 32x + 3x 在 0,1 上单调递增，
g(x) 0 0则 min = g(0) = 3 + 3 = 2，
g(x)max = g(1) = 3
2 + 31 =12，
所以函数 g(x)的值域为 2,12 .
故选：C
8．（2024·浙江温州·二模）已知定义在 0,1 上的函数
ì1 , x m是有理数 m,n是互质的正整数
f x = ín n ，则下列结论正确的是（ ）
1,x是无理数
A． f x 1 1 1 的图象关于 x = 对称 B． f x 的图象关于 , ÷对称2 è 2 2
C． f x 在 0,1 单调递增 D． f x 有最小值
【答案】A
【分析】利用特殊值可排除 B、C，利用函数的性质可确定 A、D.
f 2 1 3【详解】对于 BC，由题意可知： - ÷ = f

- 2 +

÷ =12 ，è è 2
f x 1 , 1 2 3 2 1显然 的图象不关于 ÷对称，而- + < - ，故 B、C 错误；
è 2 2 2 2
对于 D，若 x 为有理数，则 f x 1= ，显然 n + ，函数无最小值，故 D 错误；
n
m
对于 A，若 x = n 是有理数，即
m, n m < n 互质，则 n - m,n 也互质，即
f m 1 n - m n ÷
= = f
n ÷
，
è è n
若 x 为无理数，则1- x也为无理数，即 f x = f 1- x =1，
1
所以 f x 的图象关于 x = 对称，故 A 正确.
2
下证：m, n互质，则 n - m,n 也互质.
反证法：若m, n互质， n - m,n 不互质，不妨设 n - m = ka,n = kb ，
则m = k b - a ,n = kb，此时与假设矛盾，所以 n - m,n 也互质.
故选：A
【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定 A、B，而作为抽象函数
可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.
二、多选题
9．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
1
A．函数 f x = 在定义域内是减函数
x
B．若 g x 是奇函数，则一定有 g 0 = 0
ì-x2 - ax - 5 x 1
C．已知函数 f x = ía 在 R 上是增函数，则实数 a的取值范围是

x >1
x
-3, -1
é 1 3ù
D．若 f x 的定义域为 -2,2 ，则 f 2x -1 的定义域为 ê- , 2 2ú
【答案】ABC
1
【分析】对于 AB，取 g x = f x = ，-1 <1即可说明；对于 C，分段讨论，但要注意结合
x
-12 - a a 1- 5 ，由此即可判断；对于 D，由-2 2x -1 2 即可判断.
1
【详解】对于 AB，若 g x = f x 1= ，因为-1 <1， g x 是奇函数，但
x
f -1 = -1 < f 1 =1， x = 0时， g x 无意义，故 AB 描述不正确，符合题意；
ì-x2 - ax - 5 x 1
对于 C，已知函数 f x = ía 在 R 上是增函数，
x >1 x
首先当 x >1时， f x a= 单调递增，则 a<0，
x
x 1 f x = -x2 a a其次当 时， - ax - 5（对称轴为 x = - ）单调递增，则- 1，即 a -2，
2 2
ì-x2 - ax - 5 x 1
2 a
但若要保证函数 f x = ía 在 R 上是增函数，还需满足 -1 - a 1- 5 ，
x >1 1 x
即 a -3，
所以实数 a的取值范围是 -3, -2 ，故 C 描述不正确，符合题意；
1 3
对于D，若 f x 的定义域为 -2,2 ，则 f 2x -1 的定义域满足-2 2x -1 2 ，解得- x ，
2 2
故 D 描述正确，不符合题意.
故选：ABC.
10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 f x 是定义域为R 的偶函数， g x 是定义域为R 的奇
函数，且 f x + g x = 2ex .函数F x = f 2x - 2mf x 在 0, + 上的最小值为-11，则下列
结论正确的是（ ）
A f x = ex + e- x． B． g x 在实数集R 单调递减
13
C．m = 3 D．m = -3.3或
4
【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于 f x , g x 的方程组，即可得 f x , g x 的解析式，
从而得选项 A；结合函数的单调性，可判断选项 B；根据 f x 的解析式，求出F x 的解析
式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函
数的定义域，即可求出其最小值，从而解得m = 3，即可判断选项 C 与选项 D.
【详解】A，因为 f x 为偶函数，所以 f -x = f x ，又 g x 为奇函数，所以
g -x = -g x ，
因为 f x + g x = 2ex ①，所以 f -x + g -x = 2e- x ，即 f x - g x = 2e- x ②，
由①②得： f x = ex + e- x ， g x = ex - e- x ，所以选项 A 正确；
B，因为函数 y = ex , y = -e- x 在R 上均为增函数，
g x = ex - e- x故 在R 上单调递增，所以选项B错误；
2
C、D，因为 f 2x = e2x + e-2x = ex + e- x - 2，
所以F x = ex + e- x 2 - 2m ex + e- x - 2 ，
又 f x = ex + e- x 2 exe- x = 2 x - x，当 ex = e- x ，即 x = 0时等号成立， t = e + e 2, + ，
h t = t 2设 - 2mt - 2 = (t - m)2 - m2 - 2 t 2 ，对称轴 t = m，
当m > 2 时，函数 h t 在 2, m 上为减函数，在 m, + 上为增函数，
则 h(t)min = h m = -m2 - 2 = -11，解得m = 3或m = -3（舍）；
当m 2时， h t 在 2, + 上单调递增， h(t)min = h 2 = 2 - 4m = -11 m
13
，解得： = > 2，
4
不符合题意.
综上m = 3，所以选项 C 正确，D 错误.
故选：AC .
ìsin πx, x 0,2
11．（23-24 高三上·黑龙江大庆·阶段练习）对于函数 f x = í1 ．下列结 f x - 2 , x 2, + 2
论正确的是（ ）
A．任取 x1, x2 2,+ ，都有 f x1 - f x2 1
B．函数 y = f x - ln x -1 有 2 个零点
C．函数 y = f x 在 4,5 上单调递增
D．若关于 x 的方程 f x = m m < 0 有且只有两个不同的实根 x1, x2 ，则 x1 + x2 = 3．
【答案】AD
【分析】利用分段函数及三角函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】
1 1
根据分段函数的性质可知： x 2,4 时， f x = sin éπ x - 2 ù = sin πx，2 2
当 x 4,6 时， f x 1= sin πx，……可作出函数 y = f x 的部分图象，如上所示，
4
x 2 f x é 1 - , 1 ù对于选项 A，易知 时， ，
ê 2 2 ú
故任取 x1, x2 2,+ ，都有 f x1 - f x2 1，
f x 1 , f x 1 1 1当 1 = 2 = - 或 f x1 = - , f x2 = 时取得等号，故 A 正确；2 2 2 2
对于选项 B， y = f x - ln x -1 的零点即 y = ln x -1 与 y = f x 的交点横坐标，
易知 y = ln x -1 在 1, + 上单调递增，
f 3 = sin 3π = -1 = ln 1 < ln 3 5 1而 ÷ -1÷， f ÷ = sin
5π 1 5
= = ln e > ln
2 2 e 2 2 2 2 2
-1
2 ÷
，
è è è è
f 2 = 0 = ln 2 -1 ，
利用零点存在性定理及三角函数的单调性结合图象可知，
y = f x - ln x 1 3- 5 在 1, 2 ÷ 和 ,3÷上分别各一个零点，è è 2
又 x = 2也是其一个零点，故 B 错误；
1 é 9 ù
对于 C 项，易知 x 4,5 f x = sin πx ，此时 y = f x 在 ê4, 2ú 上单调递增，故 C 错误；4
m 1, 1对于 D 项，由图象可知 - -

2 ÷时满足题意，由三角函数的对称性可知
x1 + x2 = 3，故 D
è
正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：本题利用函数的“类周期”性质，作出函数草图，根据数形结合及三角函
数的性质、函数与方程的关系一一判定选项即可.
三、填空题
1
12．（2024·北京平谷·模拟预测）函数 f x = + ln 1- x 的定义域是
x + 2
【答案】 - , -2 -2,1
【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.
1 ìx + 2 0
【详解】函数 f x = + ln 1- x 有意义的条件是
x 2 í
，解得 x <11 x 0 且
x -2，
+ - >
所以函数 f x 定义域为 - , -2 -2,1 .
故答案为： - , -2 -2,1 .
13．（2023·湖南娄底·模拟预测）已知函数 f x 满足以下条件：①在区间 0, + 上单调递
增；②对任意x1，x2，均有 f x1x2 = f x1 + f x2 -1，则 f x 的一个解析式为 ．
【答案】 f x = ln x +1（答案不唯一）
【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.
【详解】如： f x = ln x +1，则 f x1 = ln x1 +1， f x2 = ln x2 +1，
又 f x1x2 = ln x1x2 +1 = ln x1 + ln x2 +1，则 f (x1x2 ) = f (x1) + f (x2 ) -1，
此时 f (x) 在区间 0, + 上单调递增，满足题设.
故答案为： f x = ln x +1（答案不唯一）
14 2．（2024·辽宁·一模）已知集合M = x | y = -2x + 3x + 2 ， N = {x N∣x > -2}，则
M = ，M N = .
ì 1 ü
【答案】 íx | - x 2 0,1,2
2


【分析】首先解一元二次不等式求出集合M ，再根据交集的定义计算可得.
1
【详解】由-2x2 + 3x + 2 0，即 2x +1 x - 2 0，解得- x 2 ，2
所以M = x | y = -2x2 + 3x + 2 = ìíx | 1- x 2ü ，
2
又 N = {x N∣x > -2}，所以M I N = 0,1,2 .
ì 1
故答案为： íx | - x 2
ü
； 0,1,2
2
四、解答题
m
15．（2023·山东·模拟预测）已知函数 f (x) = x + 的图像过点 (1,3)x ．
(1)求实数m 的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
【答案】(1)2
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）将点坐标代入解析式求解，
（2）由奇函数的定义证明．
【详解】（1）解：∵函数 f (x) = x
m
+
x 的图像过点
(1,3)，
∴ 3 =1+ m，∴ m = 2 ；
m
（2）证明：∵函数 f (x) = x + 的定义域为{x | x 0}x ，
又 f (-x) = -x
2
- = - f (x)，
x
∴函数 f (x) 是奇函数．
16．（2023·四川遂宁· x - (a +1)模拟预测）已知集合 A = x -3 < x 2 ，函数 g(x) = 的定义
x - a
域为集合 B ．
(1)当 a =1时，求 A B ；
(2)设命题 p： x A，命题 q： x B ，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a的取值范
围．
【答案】(1) AI B = -3,1 U 2
(2) - , -4 U 2,+
【分析】（1）根据题意得B = {x | x <1或 x 2}，再求交集运算即可；
（2）由题知B = {x | x a +1或 x < a ， A B，再根据集合关系求解即可.
x - (a +1) x - 2
【详解】（1）解：当 a =1时， g(x) = = ，
x - a x -1
x - 2
由题意 0，解得 x <1或 x 2，所以B = {x | x <1或 x 2}，
x -1
又 A = x | -3 < x 2 ，
所以 AI B = -3,1 U 2 .
x - (a +1) ì(x - a)[x - (a +1)] 0
（2）解：由题意 0，即 í ，解得： x a +1x a 0 或
x < a，
x - a -
所以B = {x | x a +1或 x < a ，
因为 p 是 q 的充分不必要条件，
所以，集合A 是集合 B 的真子集，
所以 a > 2或 a +1 -3，解得 a > 2或 a -4
故实数 a的取值范围 - , -4 U 2,+ ．
f x
17．（2023·河南·模拟预测）已知 f x 为定义在R 上的偶函数， g x = ，且
ln 2
f x + g x = 2x+1．
(1)求函数 f x ， g x 的解析式；

(2)求不等式 2 é f x ù - 3g x 8的解集．
【答案】(1) f (x) = 2x + 2- x ； g(x) = 2x - 2- x ；
(2) 0,1 .
【分析】（1）由题可得函数 g x 为奇函数，然后根据奇函数和偶函数的性质列方程求函数
f x ， g x 的解析式；

（2）令 2x - 2- x = t ，进而 2 é f x 2 ù - 3g x 8可化为 2t - 3t 0，根据指数函数性质解不
等式即得.
【详解】（1）由题意易知， f -x = f x ，则 é f -x ù = é f x ù ，
即- f -x = f x ，
f x f
xg x 故 为奇函数，故 = 为奇函数，
ln 2
又 f (x) + g(x) = 2x+1 ①，则 f (-x) + g(-x) = 2- x+1，
故 f (x) - g(x) = 2- x+1 ②，
由①②解得 f (x) = 2x + 2- x ， g(x) = 2x - 2- x ；
2
（2）由 2 é f x x - x ù - 3g x 8，可得 2 2 + 2 - 3 2x - 2- x 8，
2 22x 2所以 + 2 + 2-2x - 3 2x - 2- x 8 x - x，即 2 éê 2 - 2 + 4ùú - 3 2x - 2- x 8，
令 2x - 2- x = t ，则 2t 2 - 3t 0，
0 t 3解得 ，
2
ì2x - 2- x 0 ì22x 1

所以 í x - x 3 ，即 í2 - 2 22x 3 x
，
2
- ×2 -1 0
2
ìx 0

所以 í 1 x ，
- 2 2 2
解得0 x 1，
故不等式的解集为 0,1 ．
18．（23-24 高三下·青海海南·开学考试）已知m 0，函数 f (x) =| 2x -1| - | x - m | .
(1)当m = 0时，解不等式 f (x) 0 ;
(2)若 f (x)
3
的图象与 x 轴围成的面积小于 ，求m 的取值范围.
2
1ù
【答案】(1) - , ú 1, + è 3
(2) -1 < m 0
【分析】（1）根据绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解；
（2）转化为分段函数，求出三角形顶点坐标即可求出面积，解不等式得解.
【详解】（1）当m = 0时， f (x) 0化为 | 2x -1| - | x | 0，即 2x -1 x ，
可得， 2x -1 2 x2 ，即3x2 - 4x + 1 0，
3x -1 (x -1) 0 x 1 x 1所以 ，解得 或 ，
3

所以不等式的解集为 - ,
1ù
è 3ú
1, + .

ì
-x +1- m , x < m

（2）由题设可知， f x = í-3x +1+ m , m x 1 ，
2

x -1+ m, x
1
>
2
所以 f (x) 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
m +1
,0

÷ , 1- m ,0 ,
1
,m
1
- ，
è 3 è 2 2 ÷
2
S 1 é m +1= ù 1 1- 2m 3所以三角形面积
2 ê
1- m -
è 3 ÷ ú
m - = < ，
2 6 2
即 1- 2m 2 < 9，所以-3 <1- 2m < 3，解得-1 < m < 2，
又m 0，所以-1 < m 0 .
ìx lnx - , x 1
19．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 f x = aí a > 1
1 lnx
，其中
+ ,0 < x <1
x a
(1)求 f x 的单调区间
(2) f ex-1求方程 = f lnx + a 的零点个数.
【答案】(1)单调增区间是 1, + ,单调减区间是 0,1
(2) 3个
【分析】(1)求 f x 的导函数,解导函数不等式,即可求出单调递增和递减区间;
(2)利用（1）中函数的单调性可得相应的方程，再构建新函数，从而可判断相应方程的根，
f x = f 1 注意结合 ÷这个性质.
è x
lnx 1 ax -1
【详解】（1）当 x 1, f x = x - , f x =1- = ,又因为 a > 1 ,所以 f
a ax ax x > 0 , 1, +
是单调增区间;
0 x 1, f x 1 lnx f x 1 1 x - a当 < < = + , = - 2 + = 2 ,又因为 a > 1 ,所以 f x < 0 , 0,1 是单调x a x ax ax
减区间;
（2）对于方程 f ex-1 = f lnx + a ,
当 x 1, ex-1 e0 =1, lnx + a 0 + a >1,
当 x 1, f x 在 1, + 是单调递增的;
f ex-1方程 = f lnx + a ,所以 ex-1=lnx + a ,
t x = ex-1设 - lnx - a, x > 0, a >1
t x = ex-1 1 1- , x-1设 h x = e - , h x 1= ex-1 + 2 > 0 ,x x x
t x 在 0, + 是单调递增的，而 t 1 = 0，
故当 x 0,1 时， t x < 0，当 x 1,+ 时， t x > 0，
故 t x 在 1, + 上是单调递增，在 0,1 上单调递减.
故在 1, + 上有 t x = t 1 =1- a < 0min ，
下证当 x > e, x > 2ln x，
u x = x - 2ln x, x > e u x x - 2设 ，则 = > 0，
x
故u x 在 e, + 上为增函数，故u x > u e = e - 2 > 0，
故原不等式成立.
由 x > e, x > 2ln x可得 x > e,ex > x2 ，
ì 3+ 1+ 4a ü 2
故当 x > max íe +1, 2
时，有 t x > x -1 - x -1 - a > 0，

x-1
故此时方程 f e = f lnx + a 在 1, + 上有且只有一个实数根.
当0 < x < e1-a 时， ex-1由 f x 在 0,1 为减函数可得 ex-1=lnx + a ，其中0 < x < e1-a ，
因为 t x = ex-1 - lnx - a 0,1 t x = ex-1 - lnx - a 0,e1-a在 为减函数，故 在 为减函数，
t e-a = ee- a -1 1-a 1-a> 0 ， t e1-a = ee -1 - 1- a - a = ee -1 -1，
因为 a > 1，故1- a < 0，所以 e1-a 1 0 t e1-a- < ，故 < 0，
故方程 f ex-1 = f lnx + a 在0 < x < e1-a 上有且只有一个实数根.
若 e1-a x <1，则 ex-1 < e0 =1, lnx + a 1，
而由 f x 的解析式可得 f x = f 1 ÷ .
è x
f ex-1故方程 = f lnx + a 1-x即为 f e = f lnx + a ，
此时 e1-x > e0 =1，故 e1-x = lnx + a ，其中 e1-a x <1，
v x = e1-x - lnx - a e1-a x <1 v x = -e1-x 1设 ， ，则 - < 0，x
v x ée1-a故 在 ,1 上为减函数，而 v 1 =1- a < 0，
v e1-a = e1-e1-a - 1-a1- a - a = e1-e -1 > 0，
1-a
故此时 v x 在 é e ,1 有且只有零点
即 f ex-1 = f lnx + a 在 ée1-a ,1 有且只有一个零点，
方程 f ex-1 = f lnx + a 的零点个数有3个
【点睛】思路点睛：复合方程的解的个数讨论，应该根据外函数的单调性和函数解析式满足
的性质将复杂方程转化为简单方程来处理，后者可进一步利用导数来处理.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）执行如图所示的程序框图，将输出的 y 看成输入的 x 的函数，
得到函数 y = f (x) ，若 f

f
1
÷÷ = 4，则a = （4 ）è è
3 3
A． -1 B．- C． -1或- D．1
2 2
【答案】B
1
【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出 f ÷，再分类讨论，结合
è 4
函数解析式计算可得.
ì2x , x 1 1 1 1
【详解】由程序框图可得 y = f x = í ，则 f ÷ = 2 - a = - a，
2x - a, x <1 è 4 4 2
1 a 1 a 1
1 1
若 - < ，即 > -

时， f f ÷÷ = 2
- a - a =1- 3a = 4，解得 a = -1（舍去）；
2 2 4 2 ÷è è è
1 1 1 -a
若 - a≥1，即 a
1 2 3 - 时， f f2 2 ÷÷
= 22 = 4 = 2 ，解得 a = - .
è è 4 2
故选：B
ì x ,0 < x <1 2
2．（2023·全国·模拟预测）设 f x = í ，若 f m = f m +1 ，则 f2 x -1 , x 1 m ÷
= （ ）
è
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据 f x 的定义域可得m > 0，分m 1和0 < m <1两种情况，结合题意解得
m 1= ，代入求解即可.
4
【详解】因为 f ì
m > 0
x 的定义域为 0, + ，则 ím 1 0，解得m > 0， + >
若m 1，则m +1 2 >1，可得 2 m -1 = 2m - 2 2m，不合题意；
1
若0 < m <1，则m +1 >1，可得 m = 2m ，解得m = ；4
1
综上所述：m = .
4
所以 f
2
= f 8 =14 .
è m ÷
故选：A.
2
3．（2023·河南郑州·二模）若函数 f x = 的部分图象如图所示，则 f 5 = （ ）
ax2 bx c + +
1 2 1 1
A．- B．- C．- D．-
3 3 6 12
【答案】A
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.
【详解】由图象知， ax2 + bx + c = 0的两根为 2，4，且过点 (3,1)，
ì 2
=1
9a + 3b + c
c
所以 í2 4 = ，解得 a = -2,b =12,c = -16，
a
2 4 b + = - a
所以 f x 2 1= = ，
-2x2 +12x -16 -x2 + 6x -8
所以 f (5)
1 1
= = - ，
-25 + 30 -8 3
故选：A
4．（23-24 高三上·河北保定·期末）已知函数 f (x) 满足："x， y Z，
f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1成立，且 f (-2) =1，则 f 2n n N* =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
【答案】C
【分析】令 x = y = 0 ，求出 f 0 ，令 x = y = -1，求出 f -1 ，令 x = 1, y = -1，求出 f 1 ，
再令 x = n, y =1, n N*，可求出 f n +1 , f n 的关系，再利用累加法结合等差数列前 n项和
公式即可得解.
【详解】令 x = y = 0 ，则 f 0 = f 0 + f 0 +1，所以 f 0 = -1，
令 x = y = -1，则 f -2 = f -1 + f -1 + 2 +1 = 2 f -1 + 3 =1，
所以 f -1 = -1，
令 x = 1, y = -1，则 f 0 = f 1 + f -1 - 2 +1 = f 1 - 2 = -1，所以 f 1 =1，
令 x = n, y =1,n N*，则 f n +1 = f n + f 1 + 2n +1 = f n + 2n + 2，
所以 f n +1 - f n = 2n + 2，
则当 n 2时， f n - f n -1 = 2n，
则 f n = f n - f n -1 + f n -1 - f n - 2 +L+ f 2 - f 1 + f 1
2n + 4 n -1= 2n + 2n - 2 +L+ 4 +1 = +1 = n2 + n -1，
2
当 n =1时，上式也成立，
2
所以 f n = n + n -1 n N* ，
所以 f 2n = 4n2 + 2n -1 n N* .
故选：C.
ì elnx
x > 0
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = í x ，若关于 x 的方程
x +1 x 0
2
é f x ù - af x +1- a = 0 有 8 个不相等的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 1,2 2 -1 B． 2 -1,1
C． 2 2 - 2,1 D． 1,2 2 + 2
【答案】C
elnx
【分析】利用导数研究函数 h x = 的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数 f x
x
的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于 a的不等式组，解不
等式组即可得到实数 a的取值范围.
elnx e 1- lnx
【详解】令 h x = ，则 h x = 2 ，令 h x = 0，解得 x=e，x x
故当0 < x < e时， h x > 0, h x 单调递增，当 x>e时， h x < 0, h x 单调递减，
所以 h x = h e =1 hmax ，且当 x >1时， x > 0 ，当0 < x <1时， h x < 0，
结合绝对值函数的图象可画出函数 f x 的大致图象，如图所示：
令 t = f x 2，则方程 é f x ù - af x +1- a = 0 ，
2
即方程 t - at +1- a = 0 * Δ = a2， - 4 1- a = a2 + 4a - 4，
①当Δ < 0 时， * 式无实数根，直线 y = t 和 f x 的图象无交点，原方程无实数根；
②当Δ = 0时， * 式有两个相等的实数根，直线 y = t 和 f x 的图象最多有 4 个交点，
2因此要使 é f x ù - af x +1- a = 0 有 8 个不相等的实数根，
则 * 式有两个不相等的实数根，不妨设为 t1, t2 ，且 t1 < t2 ，则0 < t1 < t2 <1.
ìΔ = a2 + 4a - 4 > 0

a 0 < <1
则 í 2 ，解得 2 2 - 2 < a <1 .
1- a > 0

2 1 - a 1+1- a > 0
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助导数与绝对值函数的性质作出函数 f x 的大致图
象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于 a的不等式组，
二、多选题
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数 f (x) 在 R 上单调递增，函数 g(x)在 (- ,0)上单调递增，
在[0, + ) 上单调递减，则（ ）
A．函数 f ( f (x))在 R 上单调递增
B．函数 f (g(x)) 在 (- ,0)上单调递增
C．函数 g(-g(x)) 在 (- ,0)上单调递减
D．函数 g(- f (x))在[0, + ) 上单调递减
【答案】AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为 f (x) 在 R 上单调递增，所以 f ( f (x))在 R 上单调递增，故 A 正确；
因为 f (x) 在 R 上单调递增， g(x)在 (- ,0)上单调递增，所以 f (g(x)) 在 (- ,0)上单调递增，
故 B 正确；
因为 g(x)在 (- ,0)上单调递增，所以 -g(x)在 (- ,0)上单调递减，因为 -g(x)的值域是否在
(- ,0)上无法判断，
所以 g(-g(x)) 在 (- ,0)上的单调性无法判断，故 C 错误；
因为- f (x) 在 R 上单调递减， g(x)在[0, + ) 上单调递减，因- f (x) 的值域是否在[0, + ) 上
无法判断，所以 g(- f (x))在[0, + ) 上的单调性无法判断，故 D 错误.
故选：AB.
ì1, x > 0

7．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数 sgn x = í0, x = 0 ，

-1, x < 0
π
函数 f x = sgn x - ÷ + sin2x, g x = 2x - 2π-x , 则下列说法正确的是（ ）
è 2
sgn x π πA． -
> 0
2 ÷ 的解集为
,+
2 ÷è è
B．函数 f x 在R 上的周期为 π
π
C．函数 g x 的图象关于点 ,02 ÷对称è
D．方程 f x = g x 的所有实根之和为 2π
【答案】AC
【分析】利用新定义及三角函数的性质一一判定即可.
ì
1, x
π
>
2
π π π π
【详解】根据定义可知 sgn x - ÷ = í0, x = ，故 sgn x - ÷ > 0的解集为 , + ÷，A 正
è 2 2 è 2 è 2
1, x π - < 2
确；
ì
1+ sin 2x, x
π
>
2
所以 f x = sgn π x - ÷ + sin2x =

ísin2x, x
π
= ，
è 2 2
π
-1+ sin2x, x < 2
ì1 sin 2x, x π + > -
2
而 f x + π = ísin2x, x π= - ，显然 f x f x + π ， π不是函数 f x 的一个周期，故 B
2
π

-1+ sin2x, x < -
2
错误；
g -x + π = 2- x+π - 2π- - x+π - x+π x由题意可得 = 2 - 2 = -g x ，即函数 g x 的图象关于点
π
,0

÷对称，故 C 正确；
è 2
ì π
-1- sin 2x, x >
2
π
由上可知 f -x + π = í-sin2x, x = ，故 f x + f -x + π = 0，
2

1- sin2x, x
π
<
2
f x π 即函数 的图象也关于点 ,0÷对称且最大值为 2，易知 g x 在R 上单调递增，
è 2
g π = 0 = f π 1, g 3π
3π π π π
且 ÷ ÷ ÷ = 2 4 - 24 = 24 22 -1 2 = f x ，
è 2 è 2 è 4
÷
maxè
π 3π
所以由零点存在性定理知在 , ÷ 内方程 f x = g x 存在一根，
è 2 4
由函数的对称性可知 f x = g x 有 3 个根，
2 π π 3π且该 3 根之和为 + = ，
2 2 2
故 D 错误.
故选：AC
【点睛】本题关键在于函数的对称性，二级结论如下：若函数 y = h x 满足
h x + a + h -x b c y h x a + b c+ = 函数 = 关于 , ÷ 中心对称，此外 D 项需要判定函数的
è 2 2
π
单调性及零点存在位置，注意不能忽略 x = .2
8．（2024·全国·一模）已知函数 f (x) 的定义域为[0, + ) ，且满足① f (xf (y)) f (y) = f (x + y)；
② f (2) = 0；③当 x [0, 2)时， f (x) 0，则（ ）
A． f (3) = -2 B．若 f (x + y) = 0，则 x 2 - y
C． f (1) = 2 D． f (x) 在区间[0, 2)是减函数
【答案】BC
ì0 x 2
【分析】根据题意求出 f x 的解析式 f x = í 2 ，然后就可逐项求解判断.
0 x < 2 2 - x
【详解】由题意得当 x > 2时，令 x = 2 + t t > 0 ，则 f é tf 2 ù f 2 = f t + 2 = f x ，
因为 f 2 = 0 ，所以 f x = 0 x 2 ，
当0 x < 2时，令 x + t = 2 t > 0 ，则0 = f 2 = f x + t = f étf x ù f x ，
又因为 f étf x ù = 0，所以 tf x 2
2 2
，即 f x = ，
t -x + 2
但 f x 2> 在 x 0,2 时不成立，
2 - x
若有 x1 f x
2
0,2 且 1 > f x 2 - x > 22 - x ，则得 1 1 ，1
这时总可以找到 y < 2 - x1，使 f x1 ·y 2，所以 f é yf x1 ù = 0 ,
即 f x1 + y = f
2
é yf x1 ù f x1 = 0 ，此式与 x1 + y 2矛盾，即 f x = ，2 - x
ì0 x 2
f x = 从而 í 2 ，
0 x < 2 2 - x
对 A： f 3 = 0，故 A 错误；
对 B： f x + y = 0，即 x + y 2，即 x 2 - y，故 B 正确；
对 C： f 1 2= = 2，故 C 正确；
2 -1
2
对 D：当 x 0,2 ， f x = 为增函数，故 D 错误；
2 - x
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题主要是根据题中给出的 3 个条件进行合理运用求出函数的解析式，
在求解析式时需要分情况讨论并且要巧妙的当 x > 2时设 x = 2 + t t > 0 ，当0 x < 2时设
x + t = 2 t > 0 ，再结合题中条件从而可求解.
三、填空题
9．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 f x = .
①定义城为 - ,0 ，②导函数 f x > 0；③值域为 - , +
【答案】 log1 -x （答案不唯一）
e
【分析】取 f x = log1 -x ，验证定义域，导数，值域即可.
e
【详解】取 f x = log1 -x ，
e
因为 -x > 0，解得 x < 0 ，所以 f x 的定义城为 - ,0 ，符合①；
f x 1= 1 × -1
1
= - > 0
-x ln x ，符合②；
e
因为 -x > 0，所以 f x 的值域为 - , + ，符合③.
故答案为： log1 -x （答案不唯一）
e
2 - x
10．（2023·上海徐汇·三模）函数 y = lg( ) 的定义域为 .
x + 3
【答案】 (-3,2)
【分析】利用对数函数的定义列出不等式，求解不等式作答.
【详解】函数 y
2 - x
= lg( ) 2 - x中， > 0，即 (x - 2)(x + 3) < 0，解得-3 < x < 2，
x + 3 x + 3
y lg(2 - x所以函数 = ) 的定义域为 (-3,2) .
x + 3
故答案为： (-3,2)
四、解答题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f x = 2x - 2 - 2 x +1 ．
(1)画出函数 f (x) 的图象；
(2)设函数 f (x) 的最大值为m ，若正实数 a，b ， c满足 a + 3b + 4c = m，求 a2 + 2ab + 5b2 + 4c2
的最小值．
【答案】(1)作图见解析；
8
(2) .
3
【分析】（1）化函数 f (x) 为分段函数，再作出图象即得.
（2）由（1）求出m 的值，再利用柯西不等式求出最小值.
ì4, x -1
【详解】（1）依题意，函数 f (x) = 2|x -1| - 2|x +1| =

í-4x,-1 < x <1，函数 f (x) 的图象如下：

-4, x 1
（2）由（1）知，当 x -1时， f (x) = 4，当-1 < x <1时， f (x) 单调递减，-4 < f (x) < 4，
当 x 1时， f (x) = -4 ，
因此 f (x)max = 4 ，即m = 4 ，则 a + 3b + 4c = 4，有 (a + b) + 2b + 4c = 4，
由柯西不等式得[(a + b)2 + (2b)2 + (2c)2 ](12 +12 + 22 ) [(a + b) + 2b + 4c]2 =16，
2
于是 é a + b + 2b
2 8 a + b 2b 2c+ 2c 2 ù ，当且仅当 = = 时取等号，3 1 1 2
a + b 2b 2c 1 2
由 = = ，且 a + 3b + 4c = 4，得 a = b = ,c = ，
1 1 2 3 3
a b 1 2 8所以当 = = ,c = 时， 2 2 2 取得最小值 .
3 3 a + 2ab + 5b + 4c 3
12．（23-24 高三上·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息
的平均量，又被称为信息熵 信源熵 平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中
的事件 样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信
源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的
事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分
布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，
这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通
常为比特，但也用Sh、 nat 、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作
为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了 1Sh的信息，而掷m 次就为m
位.更一般地，你需要用 log2 n位来表示一个可以取 n个值的变量.在 1948 年，克劳德 艾尔伍
德 香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得
1871 年由英国物理学家詹姆斯 麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的
麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量x 所有取值为1,2,L, n，定义x 的信息熵
n n
H (x ) = - Pi log2 Pi ，（ Pi =1， i = 1,2,L,n）。
i=1 i=1
(1)若 n = 2，试探索x 的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值；
1
(2)若P1 = P2 = ，Pk +1 = 2Pk （ k = 2,3,L,nn-1 ），求此时的信息熵.2
【答案】(1) H (x ) = -P1 log2 P1 - (1- P1) log2 (1- P1)，P1 (0,1) ，最大值为1.
1
(2) H (x ) = 2 - n-2 .2
【分析】（1）由题意可知P1 + P2 =1且H (x ) = -P1 log2 P1 - P2 log2 P2 ，减少变量可得x 的信息
熵关于P1的解析式，求导可得单调性，故而求出最大值；
1
（2）由Pk +1 = 2Pk 可知数列 Pk 从第二项起，是首项为 2n-1 ，公比为 2 的等比数列，故而可
n
求出Pk （ k = 2,3,L,n）的通项公式，再由H (x ) = - Pi log2 Pi 可得H (x ) 的解析式.
i=1
【详解】（1）当 n = 2时，P1 (0,1) , H (x ) = -P1 log2 P1 - (1- P1) log2 (1- P1)，
令 f (t) = -t log2 t - (1- t) log2 (1- t)， t (0,1)，
则 f '(t) = - log2 t + log2 (1- t) = log
1
2 -1÷ ，
è t
所以函数 f t 1 1 在 0, ÷上单调递增，在 ,1
è 2 è 2
÷上单调递减，

1
所以当P1 = 时，H (x ) 取得最大值，最大值为H (x ) =1.2 max
1
（2）因为P1 = P2 = ，P = 2P （ k = 2,3,L,n），2n-1 k +1 k
k -2
P P 2k -2 2 1所以 k = 2 × = = （ k = 2,3,L,nn-1 n-k +1 ），2 2
故Pk log
1
2 Pk = n-k +1 log
1 n - k +1
2 2 2n-k +1
= -
2n-k +1
，
P log P 1 log 1 n -1而 1 2 1 = 2n-1 2 2n-1
= - ，
2n-1
n
于是H (x )
n -1 P log P n -1 n -1 n - 2 2 1= 2n-1 + k 2 k = 2n-1 + n-1 + +L+ + ，k =2 2 2n-2 22 2
整理得H (x )
n -1 n n n -1 n - 2 2 1
=
2n-1
- n + + +2 2n 2n-1 2n-2
+L+ +
22 2
S 1 2 3 n -1 n令 n = + 2 + +L+ + ，2 2 23 2n-1 2n
1 S 1 2 3 L n -1 n则 n = 2 + 3 + 4 + + + ，2 2 2 2 2n 2n+1
1 1 1 1 1 n n + 2
两式相减得 Sn = + + +L+ -2 2 22 23 2n 2n+1
=1-
2n+1
因此 S 2
n + 2
n = - n ，2
H (x ) n -1 n S n -1 n n + 2所以 = n-1 - n + n = n-1 - n + 2 - n = 2
1
-
2 2 2 2 2 2n-2
.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列定义写出Pk ，进而写出H (x ) 的通项公式，应
用裂项相消及等比数列前 n 项和公式求化简.考点 06 函数的概念及其表示（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函
数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
【知识点】
1．函数的概念
一般地，设 A，B 是 ，如果对于集合 A 中的 一个数 x，按照某种
确定的对应关系 f，在集合 B 中都有 的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集
合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一
个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 ．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线 x＝a 与函数 y＝f(x)的图象至多有 1 个交点．
2．在函数的定义中，非空数集 A，B，A 即为函数的定义域，值域为 B 的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【核心题型】
题型一　函数的定义域
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的 x 的取值集合；
(2)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出；
(3)若复合函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数 f(x)的定义域为 g(x)在[a，b]上的值域．
ì x -1
【例题 1】（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = x y = -x ，B = íx 0ü ，则
x +1
AI B =（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． 0,1 D． - ,1
【变式 1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 y = f x 的定义域为 0,4 ，则函数
y f (x +1)= + (x - 2)0 的定义域是（
x 1 ）-
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）若集合 A = x N y = 3- x ，B = 0,1 ，则集合 A B 的
真子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 3】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数 y = f 2x 的定义域为 -2,4 ，则
y = f x - f -x 的定义域为（ ）
A． -2,2 B． -2,4
C． -4,4 D． -8,8
题型二　函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
2
【例题 2】（2023·重庆·模拟预测）已知函数 f 1- x 1- x= x 0 ，则 f x =2 （ ）x
1
A． 2 -1 x 0
1 4 4
B． 2 -1 x 1 C． 2 -1 x 0 -1 x 1 x -1 x -1 x -1 D． x -1 2
【变式 1】（2023·河南·模拟预测）已知函数 f (x) 对定义域{x∣x 0}内的任意实数 x 满足
f (2x) 2- 2 f ÷ = 4x ，则 f (x) = .
è x
1 25
【变式 2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数 f (x) 的最大值是 f ÷ = ，且它的图像过
è 2 4
点 (2, 4)，求函数 f (x) 的解析式．
【变式 3】（2024·山东济南·一模）已知集合 A = u x u x = ax2 - a + b x + b ,a,b R ，函
2
数 f x = x -1 . 若 函 数 g x 满 足 ： 对 任 意 u x A， 存 在 l, m R ， 使 得
u x = l f x + mg x ，则 g x 的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即
可）
题型三　分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验．
ì
4
x , x 0
【例题 3】（2024·四川广安·二模）已知函数 f x = í ，则 f é f -2 ù 的值为 .
log2 x, x > 0

ìx2 - 3x, x 3
【变式 1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 f x = í ，若 $x R ，使得
log3 x, x > 3
0
f x0 10m + 4m2成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
é 9 1 ù é 5
A． ê- , - B - ,0
ù
4 4 ú
．
ê 2 ú

C． - ,
9
- ù é
1
ú ê- ,
5
+ ù÷ D． - ,-
è 4 4 è 2 ú
0, +

ì f (x +1), x < 4
【变式 2】（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = í x ，则 f 2 + log23 =2 , x 4 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
ìx2 + ax, x < 0

【变式 3】（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 f x = í x 的最小值为
- , x 0 x +1
-1，则a = .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1- x}， N = {- 2,0,1,2, 3}，
则 ( U M ) I N =（ ）．
A．{- 2,0,1} B．{2, 3} C．{1,2, 3} D． N = {2}
ì 1, x > 0,
2．（2024·山西运城·一模）已知符号函数 sgn x = í 0, x = 0, 则函数

-1, x < 0.
f (x) = sgn(x) × ln x + x2 +1 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列 4个函数，其中对于任意 x R 均成立的是（ ）
A． f sin 3x = sin x B． f sin 3x = x3 + x2 + x
C． f x2 + 2 = x + 2 D f x2． + 4x = x + 2
ì x -1 ü
4．（2024·全国· 2模拟预测）已知集合 A = íx 0 ，B = x y = 2x - x ，则 AI B =
x
（ ）
A． x 0 < x 1 B． x 0 x 1 C． x 0 < x 2 D． x 0 x 2
二、多选题
5．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 f x 的定义域为R ，且
f x f y = f xy + xy x + y ，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f x
C ． 是 x x R且x 0 上的增函数 D． f x 是R 上的增函数
x
ì 2x -1 , x 2
6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数 f x = í ，若关于 x 的方程 f x - m = 0
-x + 5, x > 2
恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数m 取值范围的有（ ）
A． 0,3 B． 1,2
C． 2,3 D． 0
三、填空题
7．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 f x lg1+ 2x= 的定义域是 .
x
8．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 f x 在R 上可导，且 f (2x + 3) = 4x2 -1，
则 f (1) = ．
四、解答题
9．（2023·江西九江·模拟预测）若 f x 的定义域为 -4,4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x2 的定
义域．
10．（2023·河南信阳·一模）已知函数 f x = x - 2 + x + 2 .
(1)求不等式 f x x + 3的解集；
(2)若 g x = x - 3 + x + 3 ，F x = f x + g x ，且F a2 - 3a + 2 = F a - 2 ，求满足条件的
整数 a的所有取值的和.
11．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x = x - 2 + 2x -1 ．
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x 2x - a 恒成立，求实数 a的取值范围．
12．（2023·浙江温州·三模）已知函数 f (x) = sin(wx
π) [0, 3π- 在区间 ]上恰有 3 个零点，其中
4 2
w 为正整数.
(1)求函数 f x 的解析式；
g x
(2)将函数 f x π

的图象向左平移 个单位得到函数 g x 的图象，求函数F x =
4 f x 的单调
区间.
综合提升练
一、单选题
f (x) ì
log
1 2024· · = 3
x, x > 0 1
．（ 陕西西安 一模）已知函数 í9x , x 0 ，则
f ( f ( )) = （ ）
2
1
A． B 1． 2 C
2
． D．2
4 2
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数 f (x) 满足 2 f (x) + f (-x) = 3x2 + 2x + 6，则（ ）
2x2 + 4x + 3
A． f (x) 的最小值为 2 B．$x R, < 2f x
2x2x R, + 4x + 5C． f (x) 的最大值为 2 D．" < 2f x
3．（2023·浙江·二模）已知函数 f x 满足 f 2x = f x +1 ，则 f x 可能是（ ）．
A． f x = x B． f x = log2 x
1, x Q
C． f x = 2x ìD． f x = í
0, x Q
ì 1 ü
4．（2024·山东枣庄·一模）已知集合M = x log3x < 0 ， N = íx y = x + ，则
x -1


M U R N = （ ）
A． - ,1 B． - ,1 C． - ,0 0,1 D． - ,0 0,1
ìlog2x +1, x 15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = í 2 ，若 f a = 2，则 ax , x 1 的值为（< ）
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
ìx
2 + a - 5 x +1, x 1
6．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0, a 1，函数 f x = í 是R 上的减函
1- a
x , x >1
数，则 a的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 2,3 C． 2, + D． 3, +
7．（23-24 高三上·四川遂宁·期中）函数 y = loga (2x -1) + 3(a > 0,a 1) 的图象恒过点 (m, n)，
函数 f (x)
n
= ( )x 的定义域为 0,2 ， g(x) = f (2x) + f (x)，则函数 g(x)的值域为（ ）
m
A． 2,90 B． 2,6 C． 2,12 D． 2,20
8．（2024·浙江温州·二模）已知定义在 0,1 上的函数
ì1 m
, x是有理数 m,n是互质的正整数f x = ín n ，则下列结论正确的是（ ）
1,x是无理数
A． f x x 1 1 1 的图象关于 = 对称 B． f x 的图象关于 ,
2 2 2 ÷
对称
è
C． f x 在 0,1 单调递增 D． f x 有最小值
二、多选题
9．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
1
A．函数 f x = 在定义域内是减函数
x
B．若 g x 是奇函数，则一定有 g 0 = 0
ì-x2 - ax - 5 x 1

C．已知函数 f x = ía 在 R 上是增函数，则实数 a的取值范围是
x >1 x
-3, -1
D．若 f x é 1 3ù的定义域为 -2,2 ，则 f 2x -1 的定义域为 ê- , 2 2 ú
10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 f x 是定义域为R 的偶函数， g x 是定义域为R 的奇
函数，且 f x + g x = 2ex .函数F x = f 2x - 2mf x 在 0, + 上的最小值为-11，则下列
结论正确的是（ ）
A． f x = ex + e- x B． g x 在实数集R 单调递减
13
C．m = 3 D．m = -3.3或
4
ìsin πx, x 0,2
11．（23-24 高三上·黑龙江大庆·阶段练习）对于函数 f x = í1 ．下列结 f x - 2 , x 2, + 2
论正确的是（ ）
A．任取 x1, x2 2,+ ，都有 f x1 - f x2 1
B．函数 y = f x - ln x -1 有 2 个零点
C．函数 y = f x 在 4,5 上单调递增
D．若关于 x 的方程 f x = m m < 0 有且只有两个不同的实根 x1, x2 ，则 x1 + x2 = 3．
三、填空题
1
12．（2024·北京平谷·模拟预测）函数 f x = + ln 1- x 的定义域是
x + 2
13．（2023·湖南娄底·模拟预测）已知函数 f x 满足以下条件：①在区间 0, + 上单调递
增；②对任意x1，x2，均有 f x1x2 = f x1 + f x2 -1，则 f x 的一个解析式为 ．
14 2024· · M = x | y = -2x2．（ 辽宁 一模）已知集合 + 3x + 2 ， N = {x N∣x > -2}，则
M = ，M N = .
四、解答题
f (x) x m15．（2023·山东·模拟预测）已知函数 = + 的图像过点 (1,3)x ．
(1)求实数m 的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
16．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合 A = x -3 < x 2 ，函数 g(x) x - (a +1)= 的定义
x - a
域为集合 B ．
(1)当 a =1时，求 A B ；
(2)设命题 p： x A，命题 q： x B ，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a的取值范
围．
f x
17．（2023·河南·模拟预测）已知 f x 为定义在R 上的偶函数， g x = ，且
ln 2
f x + g x = 2x+1．
(1)求函数 f x ， g x 的解析式；

(2)求不等式 2 é f x ù - 3g x 8的解集．
18．（23-24 高三下·青海海南·开学考试）已知m 0，函数 f (x) =| 2x -1| - | x - m | .
(1)当m = 0时，解不等式 f (x) 0 ;
3
(2)若 f (x) 的图象与 x 轴围成的面积小于 ，求m 的取值范围.
2
ìx lnx - , x 1
19．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 f x = aí a > 1
1 lnx
，其中
+ ,0 < x <1
x a
(1)求 f x 的单调区间
(2) f ex-1求方程 = f lnx + a 的零点个数.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）执行如图所示的程序框图，将输出的 y 看成输入的 x 的函数，
得到函数 y = f (x)
1
，若 f f 4 ÷÷
= 4，则a = （ ）
è è
3 3
A． -1 B．- C． -1或- D．1
2 2
ì x ,0 < x <1
2．（2023·全国·模拟预测）设 f x = í ，若 f m 2= f m +1 f ，则 ÷ = （2 x 1 , x 1 m ） - è
A．14 B．16 C．2 D．6
2
3．（2023·河南郑州·二模）若函数 f x = 的部分图象如图所示，则 f 5 = （ ）
ax2 + bx + c
1 2 1 1
A．- B．- C．- D．-
3 3 6 12
4．（23-24 高三上·河北保定·期末）已知函数 f (x) 满足："x， y Z，
f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1 *成立，且 f (-2) =1，则 f 2n n N =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
ì elnx
x > 0
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = í x ，若关于 x 的方程
x +1 x 0
é f x
2
ù - af x +1- a = 0 有 8 个不相等的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 1,2 2 -1 B． 2 -1,1
C． 2 2 - 2,1 D． 1,2 2 + 2
二、多选题
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数 f (x) 在 R 上单调递增，函数 g(x)在 (- ,0)上单调递增，
在[0, + ) 上单调递减，则（ ）
A．函数 f ( f (x))在 R 上单调递增
B．函数 f (g(x)) 在 (- ,0)上单调递增
C．函数 g(-g(x)) 在 (- ,0)上单调递减
D．函数 g(- f (x))在[0, + ) 上单调递减
ì1, x > 0

7．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数 sgn x = í0, x = 0 ，

-1, x < 0
函数 f x π= sgn x -

÷ + sin2x, g x = 2x - 2π-x , 则下列说法正确的是（2 ）è
π π
A． sgn x - ÷ > 0的解集为 ,+
è 2 2 ÷ è
B．函数 f x 在R 上的周期为 π
g x π C．函数 的图象关于点 ,0 对称
è 2 ÷
D．方程 f x = g x 的所有实根之和为 2π
8．（2024·全国·一模）已知函数 f (x) 的定义域为[0, + ) ，且满足① f (xf (y)) f (y) = f (x + y)；
② f (2) = 0；③当 x [0, 2)时， f (x) 0，则（ ）
A． f (3) = -2 B．若 f (x + y) = 0，则 x 2 - y
C． f (1) = 2 D． f (x) 在区间[0, 2)是减函数
三、填空题
9．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 f x = .
①定义城为 - ,0 ，②导函数 f x > 0；③值域为 - , +
10．（2023·上海徐汇·三模）函数 y = lg(
2 - x ) 的定义域为 .
x + 3
四、解答题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f x = 2x - 2 - 2 x +1 ．
(1)画出函数 f (x) 的图象；
(2)设函数 f (x) 的最大值为m ，若正实数 a，b ， c满足 a + 3b + 4c = m，求 a2 + 2ab + 5b2 + 4c2
的最小值．
12．（23-24 高三上·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息
的平均量，又被称为信息熵 信源熵 平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中
的事件 样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信
源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的
事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分
布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，
这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通
常为比特，但也用Sh、 nat 、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作
为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了 1Sh的信息，而掷m 次就为m
位.更一般地，你需要用 log2 n位来表示一个可以取 n个值的变量.在 1948 年，克劳德 艾尔伍
德 香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得
1871 年由英国物理学家詹姆斯 麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的
麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量x 所有取值为1,2,L, n，定义x 的信息熵
n n
H (x ) = - Pi log2 Pi ，（ Pi =1， i = 1,2,L,n）。
i=1 i=1
(1)若 n = 2，试探索x 的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值；
1
(2)若P1 = P2 = ，Pk +1 = 2Pk （ k = 2,3,L,nn-1 ），求此时的信息熵.2

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