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考点 05 一元二次方程、不等式（2 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
【知识点】
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式 ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数
方程的根 b 没有实数根
根 x1，x2(x1b
不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠－ } R
2a
2．分式不等式与整式不等式
f x
(1) >0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
g x
f x
(2) ≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0.
g x
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【核心题型】
题型一　一元二次不等式的解法
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式 Δ 与 0 的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
命题点 1　不含参数的不等式
【例题 1】（2024·青海·一模）已知集合 A = x y = lg -x2 + 2x + 3 B = x x2， - 4 < 0 ，则
A B =（ ）
A． -1,3 B． -1,2 C． -2,3 D． -2,2
【答案】C
【分析】根据对数真数大于零和一元二次不等式的解法可分别求得集合 A, B，根据并集定义
可求得结果.
2
【详解】由-x2 + 2x + 3 > 0得： x - 2x - 3 = x +1 x - 3 < 0 ，\-1 < x < 3，\ A = -1,3 ；
由 x2 - 4 < 0得： x + 2 x - 2 < 0 ，\-2 < x < 2 ，\B = -2,2 ，\ AUB = -2,3 .
故选：C.
【变式 1】（2024·全国· 2模拟预测）已知集合M = x | x - 6x + 8 < 0 , N = {x |1 < x 3}，则
M N =（ ）
A．{x | 2 x 3} B．{x | 2 < x 3} C．{x | 2 < x 4} D．{x |1 < x 3}
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化简集合 M，再根据交集运算求解即可.
2
【详解】因为M = x | x - 6x + 8 < 0 = {x | 2 < x < 4}， N = {x |1 < x 3}，
所以M I N = {x | 2 < x 3} .
故选：B
【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合 A = x | x2 - x - 6 < 0 ，B = {x | -a x a}，若 A B ，
则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 3, +
【分析】求解一元二次不等式解得集合A ，再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.
2
【详解】集合 A = x | x - x - 6 < 0 = x| x - 3 x + 2 < 0 = {x | -2 < x < 3}，
又B = {x | -a x a}，且 A B ，
ì-a -2 ìa 2
故可得 í ，即 í ，解得 a 3,+ .
a 3 a 3
故答案为： 3, + .
2
【变式 3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合 A = x∣x 4 , B = x∣a -1 x a +1 ，若
A B = ，则 a的取值范围是 .
【答案】 - , -3 U 3, +
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.
【详解】由 x2 4，得 x - 2 x + 2 0 ,解得-2 x 2，
所以 A = x∣- 2 x 2 。
因为 A B = ，
所以 a +1< -2或 a -1 > 2，解得 a < -3或 a > 3，
所以 a的取值范围是 - , -3 U 3, + .
故答案为： - , -3 U 3, + .
命题点 2　含参数的一元二次不等式
1 1
【例题 2】（2024·云南红河·二模）已知 a,b均为正实数，则“ > ”是“ a2 + 2b2a b > 3ab
”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.
1 1
【详解】因为 a，b 均为正实数，若 > ，则b > a > 0；
a b
若 a2 + 2b2 > 3ab，则 (a - 2b)(a - b) > 0 ，即 a > 2b > 0或b > a > 0；
1 1
所以“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的充分不必要条件.a b
故选:A.
【变式 1】（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 0，5 内随机取一个实数 a，则关于 x
2
的不等式 x + 2 - a x - 2a < 0仅有 2 个整数解的概率为（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得 x -2, a ，可得区间 -2, a 内仅包含-1,0两个整数，再
利用几何概型概率公式可得结果.
2
【详解】根据题意可得不等式 x + 2 - a x - 2a < 0等价于 x + 2 x - a < 0；
因为 a 0,5 ，所以不等式的解集为 -2, a ；
依题意可得区间 -2, a 内仅有两个整数，即包含-1,0两个整数，可得0 < a 1；
1- 0 1
由几何概型概率公式可得其概率为P = = .
5 - 0 5
故选：C
ìex - ax2 , x > 0
【变式 2】（2023·江西南昌·三模）函数 f (x) = í 2 ，若关于 x 的不等式
-x + (a - 2)x + 2a, x 0
f (x) 0的解集为[-2,+ )，则实数 a的取值范围是（ ）
e ù é e ù é e2 ù é 2
A． -2,
e
ú B． ê0, ú C． ê0, ú D．{0}U ê ,+ ÷è 2 2 4 4
【答案】C
【分析】当 x > 0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当 x 0 时
根据二次不等式的解法讨论 a的范围进而即得.
【详解】由题意知，当 x - ,-2 时， f x < 0 ；当 x -2,0 时， f x 0；当 x 0, +
时， f x 0．
x x
x 2 e e x - 2
当 x > 0时， f x = e - ax 0 ，即 a 2 ，构造函数 g x = '2 , g x = ex ，x x x3
'
当 x＞2 时， g x ＞0, g x 单调递增，当 0＜x＜2 时， g ' x ＜0, g x 单调递减，
e2 2g x = g 2 = ，\a e ；min 4 4
当 x 0 时， f x = - x + 2 x - a ，当 a - ,-2 时，由 f x 0，解得 x a, -2 ，不合题
意；
当 a = -2 时，由 f x 0，得 x = -2，不合题意；
当a -2,0 时，由 f x 0，得 x -2,a ， x 0 ，所以 x -2,a ，此时
-2, a U 0, + -2, + ，不合题意；
当 a = 0时， f x = -x x + 2 ，由 f x 0，解得-2 x 0，
x
此时当 x > 0时 f x = e > 0恒成立，所以 f x 0的解集为[-2,+ )，符合题意；
当 a 0, + 时，由 f x 0，得 x -2,a ，又 x 0 ，所以 x -2,0 ，此时
-2,0 U 0, + = -2, + 适合题意；
2
综上，关于 x 的不等式 f x 0的解集为 -2, + e，则0 a .
4
故选：C.
2
【变式 3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50 个整
数元素，则 a 的取值范围是 ，这 50 个整数元素之和为 ．
【答案】 -44, -43 U 57,58 -925或 1625
【分析】讨论 a的范围，解出不等式，结合题意确定 a的范围及解集中的整数解，再利用等
差数列求和公式求和即可.
2
【详解】不等式 x + 7a < 7 + a x等价于不等式 x - a x - 7 < 0．
当 a = 7时， x - a x - 7 < 0的解集为 ，不合题意；
当 a < 7时， x - a x - 7 < 0的解集为 a,7 ，
则 50 个整数解为-43，-42，…，5，6，
-43 + 6 50
所以-44 a < -43 ，这 50 个整数元素之和为 = -925；
2
当 a > 7时， x - a x - 7 < 0的解集为 7,a ，
则 50 个整数解为 8，9，…，56，57，所以57 < a 58，
8 + 57 50
这 50 个整数元素之和为 =1625．
2
综上，a 的取值范围是 -44, -43 U 57,58 ，这 50 个整数元素之和为-925或 1625．
故答案为： -44, -43 U 57,58 ；-925或 1625
题型二　一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判别式 Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式 Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
命题点 1　在 R 上恒成立问题
2
【例题 3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k
的取值范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【答案】C
【分析】分类讨论 k = 0与 k 0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
2
【详解】当 k = 0时，不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0可化为-6x + 2 > 0，显然不合题意；
当 k 0 2时，因为 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，
ì k > 0
所以 í 2 ，解得 2 < k <18；
Δ = k - 6 - 4k 2 < 0
综上： 2 < k <18 .
故选：C.
【变式 1】（23-24 高三上·河南·期中）“关于 x 的不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0的解集为
3
R ”是“ < a < 9 ”的（
2 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
2
【分析】求出不等式 2a - 3 x - 2a - 3 x + 4 0的解集为R 的 a的范围，再由必要不充分条
件的定义判断可得答案.
3
【详解】当2a - 3 = 0 即 a = 时，不等式0 x2 - 0 x + 4 0的解集为R ，符合题意；2
3
当2a - 3 0 a 2即 时，若不等式 2a - 3 x - 2a - 3 x + 4 0的解集为R ，
2
ì2a - 3 > 0 3 19
可得 í 2a - 3 2
，解得 < a ，
-16 2a - 3 0 2 2
2
所以不等式 2a - 3 x - 2a - 3 x + 4 0 3 a 19的解集为R 可得 ，充分性不成立，
2 2
3
若 < a < 9，则不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0的解集为R ，必要性成立，
2
所以不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0 3的解集为R ”是“ < a < 9 ”的必要不充分条件.
2
故选：B.
【变式 2】（2023·福建厦门·二模）“ b 0,4 ”是“ "x R ，bx2 - bx +1 > 0成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不
充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由"x R ，bx2 - bx +1 > 0成立求出 b 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义
判断作答.
【详解】由"x R ，bx2 - bx +1 > 0成立，则当b = 0时，1 > 0恒成立，即b = 0，
ìb > 0
当b 0 时， íb2 ，解得
0 < b < 4
4b 0 ， - <
因此"x R ，bx2 - bx +1 > 0成立时，0 b < 4，
因为 (0, 4) [0, 4)，所以“ b 0,4 ”是“ "x R ，bx2 - bx +1 > 0成立”的充分不必要条件.
故选：A
【变式 3】（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一个充分不
必要条件是（ ）
A．-1 a < 0 B． a 0
C．-1 < a 0 D．-1 < a < 0
【答案】D
【分析】分 a = 0和 a 0两种情况讨论求出 a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即
可得解.
【详解】当 a = 0时，-1 < 0恒成立，
ìa < 0
当 a 0时，则 í 2 ，解得-1 < a < 0
4a
，
+ 4a < 0
综上所述，不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立时，-1 < a 0，
所以选项中“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一个充分不必要条件是-1 < a < 0 .
故选：D.
命题点 2　在给定区间上恒成立问题
【例题 4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数 f x = x2 + ax + b，若不等式 f x 2 在 x 1,5
上恒成立，则满足要求的有序数对 (a , b ) 有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
【答案】B
ì-2 1+ a + b 2, 1

【分析】由题意有 í-2 9 + 3a + b 2, 2 ，通过分析得到 a = -6 ，b = 7 是满足题意的唯一

-2 25 + 5a + b 2, 3
解，注意检验.
【详解】由题意若不等式 f x 2 在 x 1,5 上恒成立，
ì-2 f 1 2 ì-2 1+ a + b 2, 1

则必须满足 í-2 f 3 2 ，即 í-2 9 + 3a + b 2, 2 ，

-2 f 5 2 -2 25 + 5a + b 2, 3
ì-2 -1- a - b 2, 1
由 í ，两式相加得-4 8 + 2a 4 -6 a -2, 4
-2 9 3a b 2, 2
，
+ +
ì-2 -9 - 3a - b 2, 2
再由 í ，两式相加得-4 16 + 2a 4 -10 a -6, 5
-2 25 + 5a + b
，
2, 3
ì-2 -5 + b 2, 1

结合（4），（5）两式可知 a = -6 ，代入不等式组得 í-2 -9 + b 2, 2 ，

-2 -5 + b 2, 3
解得b = 7 ，
经检验，当 a = -6 ，b = 7 时， f x = x2 - 6x + 7 = x - 3 2 - 2，
有 é f x ù = f 1 = f 5 = 2， é f x ù = f 3 = -2 ，满足 f x 2 在 x 1,5 max min 上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对 (a , b ) 为： -6,7 ，共一个.
故选：B.
ì-2 f 1 2

【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到 í-2 f 3 2 ，进一步由不等式的性质通过

-2 f 5 2
分析即可求解.
é1 ù
【变式 1】（2023· 2陕西咸阳·模拟预测）已知命题 p ：任意 x ê , 2 2 ú
，使 log2 x - m × log2 x - 3 0
为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A． - , 2 B． - , -2 C． -2,2 D． -2, +
【答案】C
【分析】设 t = log2 x ，由题意可得任意 t -1,1 ， t 2 - mt - 3 0恒成立，结合二次函数
性质列不等式求m 的取值范围.
【详解】设 t = log2 x ，则 t -1,1 ，
原命题等价于：任意 t -1,1 ，使 t 2 - mt - 3 0为真命题，
t 2所以 - mt - 3 0 ，其中 t -1,1
max
设 f t = t 2 - mt - 3 -1 t 1 ， 则
2
函数 f t = t - mt - 3， t -1,1 的最大值为 f -1 与 f 1 中的较大者，
ì f -1 0
所以 í ，
f 1 0
ì1+ m - 3 0
∴ í -2 m 2
1- m
，解得 ，
- 3 0
故选：C.
【变式 2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当 x > 0时，不等式： x2 - mx +16 > 0恒成立，则实数
m 的取值范围是（ ）
A． -8,8 B． - ,8 C． - ,8 D． 8,+
【答案】C
16 16
【分析】先由 x2 - mx +16 > 0得m < x + ，由基本不等式得 x + 8，故m < 8 .
x x
16
【详解】当 x > 0时，由 x2 - mx +16 > 0得m < x + ，
x
16 16 x 16因 x > 0，故 x + 2 x = 8，当且仅当 = 即 x = 4时等号成立，
x x x
m x 16因当 x > 0时， < + 恒成立，得m < 8，
x
故选：C
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = x2 + ax + b，若对任意 x [1,5], f (x) 2，
则所有满足条件的有序数对 (a , b ) 是 ．
【答案】 (-6,7)
ì-2 f (1) 2

【分析】由题意可得 í-2 f (3) 2，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.

-2 f (5) 2
【详解】因为 f (x) = x2 + ax + b对任意 x [1,5], f (x) 2，
ì-2 f (1) 2

所以必须满足 í-2 f (3) 2，

-2 f (5) 2
ì-2 1+ a + b 2

即 í-2 9 + 3a + b 2 ，

-2 25 + 5a + b 2
ì-2 -1- a - b 2
由 í 2 9 3a b 2，得
-4 8 + 2a 4，
- + +
解得-6 a 2，①，
ì-2 -9 - 3a - b 2
再由 í -4 16 + 2a 4
-2 25 + 5a + b 2
，得 ，
解得-10 a -6，②，
由①②得 a = -6 ，
ì-2 1- 6 + b 2 ì3 b 7

所以 í-2 9 -18 + b 2

，即 í7 b 11，解得b = 7 ，

-2 25 - 30 + b 2 3 b 7
经检验，当 a = -6 ，b = 7 时， f (x) = x2 - 6x + 7 = (x - 3)2 - 2，则
f (x) 的最大值为 f (1) = f (5) = 2 ， f (x) 的最小值为 f (3) = -2，
满足任意 x [1,5], f (x) 2，
所以满足条件的有序数对 (a , b ) 只有一对 (-6,7)，
故答案为： (-6,7)
命题点 3　在给定参数范围内的恒成立问题
【例题 5】（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）若mx2 -1< 0对于m 0,2 恒成立，则实数 x
的取值范围为 ．
2 2
【答案】 - , ÷÷ .
è 2 2
ì f (0) < 0
【分析】令 f (m) = mx2 -1(m [0, 2])，则由题意可得 í f (2) 0，解不等式组可得结果
.
<
【详解】令 f (m) = mx2 -1(m [0, 2])，
因为mx2 -1< 0对于m 0,2 恒成立，
ì f (0) < 0 ì-1 < 0 2 2
所以 í
f (2) < 0
，即 í2x2 1 0，解得 ， - <
- < x <
2 2
2 2
所以实数 x 的取值范围为 - , ÷÷，
è 2 2
2 2
故答案为： - , ÷÷ .
è 2 2
【变式 1】（2024 高三·全国·专题练习）设函数 f (x) 是定义在 (- , + )上的增函数．若不等
式 f 1- ax - x2 < f (2 - a)对于任意a [0,1]恒成立，求实数 x 的取值范围.
【答案】 (- , -1) (0,+ )
【分析】首先利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，接下来把
a 作为主元（变量），x 作为参数，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值解决，
2
【详解】∵ f (x) 是增函数，∴ f 1- ax - x < f (2 - a)对于任意a [0,1]恒成立．
1- ax - x2 < 2 - a ，即 x2 + ax +1- a > 0对于任意a [0,1]恒成立．
令 g(a) = (x -1)a + x2 +1．a [0,1]， g(a)为关于 a 的一次函数，在[0,1]上是一条线段，
ìg 0 = x2 +1 > 0
由 í 2 ，得 x (- ,-1) (0,+ )．
g 1 = x + x > 0
【变式 2】（22-23 高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意m -1,1 ，任意 y R ，使得不
2
等式 x + 3- m x - 6 < y -1 + y - 3 成立，则实数 x 的取值范围是 ．
【答案】 -4,2 3 - 2
【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.
【详解】因为对于任意m -1,1 ,任意 y R ，使得不等式 x2 + 3- m x - 6 < y -1 + y - 3 成
立,
设 t y = y -1 + y - 3 ,则 x2 + 3- m x - 6 < t y min
又因为 t y = y -1 + y - 3 y -1 - y - 3 = 2 ,所以 t y = 2min .
2
所以 x + 3- m x - 6 < 2 2即 x + 3- m x -8 < 0
设 g m = x2 + 3 - m x -8 = -mx + x2 + 3x -8 ,
对于任意m -1,1 , g m = -mx + x2 + 3x -8 < 0 ,应用一次函数性质可知
ì g 1 = -x + x2 + 3x -8 < 0
í
g -1 = x + x2 + 3x -8 < 0
ìx2 + 2x -8 < 0 ì -2 - 2 3 < x < 2 3 - 2
即得 í 2 ,解得 í
x + 4x -8 < 0 -4 < x < 2
则实数 x 的取值范围是 -4,2 3 - 2 .
故答案为: -4,2 3 - 2 .
2
【变式 3】（2023 高三·全国·专题练习）若不等式 2x -1 > m x -1 对任意m -1,1 恒成立，
实数 x 的取值范围是 .
【答案】 3 -1,2
2 2
【分析】把题意转化为m x -1 - 2x +1< 0 ，设 f m = m x -1 - 2x +1，由一次函数的单
调性列不等式组，即可求解.
【详解】 2x -1 > m x2 -1 2可转化为m x -1 - 2x +1< 0 .
设 f m = m x2 -1 - 2x +1，则 f m 是关于 m 的一次型函数.
ì
f 1f m 0 = x
2 - 2x < 0
要使 < 恒成立，只需 í
f -1 = -x2 - 2x 2 0
，
+ <
解得 3 -1< x < 2 .
故答案为： 3 -1,2
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = x x - 4x - 5 0 , B = x a - 3 < x < a + 4 ，若
A U B = R，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a a >1 B． a 1 < a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于 a的不等式组，解之即得.
【详解】Q x2 - 4x - 5 0,\ x -1或 x≥5，\ A = x x -1或 x 5 ，
a - 3 -1
又 A B = R,
ì
\í 1 a 2 .
a + 4 5
，解得
故选:D.
2．（2024· 2浙江·模拟预测）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k 的取值
范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【答案】C
【分析】分类讨论 k = 0与 k 0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
2
【详解】当 k = 0时，不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0可化为-6x + 2 > 0，显然不合题意；
2
当 k 0时，因为 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，
ìk > 0
所以 í 2 ，解得 2 < k <18；
Δ = k - 6 - 4k 2 < 0
综上： 2 < k <18 .
故选：C.
1 1
3．（2024·云南红河·二模）已知 a,b均为正实数，则“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的（a b ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.
1 1
【详解】因为 a，b 均为正实数，若 > ，则b > a > 0；
a b
若 a2 + 2b2 > 3ab，则 (a - 2b)(a - b) > 0 ，即 a > 2b > 0或b > a > 0；
1 1
所以“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的充分不必要条件.a b
故选:A.
4．（2024 高三·全国·专题练习）若不等式 a - 2 x2 + 2 a - 2 x - 4 < 0 对一切 x R 恒成立，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． -2,2 D． - , -2
【答案】C
【分析】对二次项系数进行分类讨论可得 a = 2符合题意，当 a 2时利用判别式可求得结果.
【详解】当a - 2 = 0，即 a = 2时，不等式为-4<0 对一切 x R 恒成立．
ì a - 2 < 0
当 a 2时，需满足 í ，
Δ = 4 a - 2
2 +16 a - 2 < 0
ìa - 2 < 0
即 í ，解得-2 < a < 2 .
a - 2 + 4 > 0
综上可知，实数 a 的取值范围是 -2,2 ．
故选：C
5．（23-24 高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件 p 是q的充分不必要条件是（ ）
A．函数 y = f (x) 定义域为A ， p ： f (x) 0在 A 上成立. q： y = f (x) 为增函数；
B． p
1
："x R, x2 - 3x + a > 0成立，q： a + 最小值为 4；
a - 2
C．p:函数 f (x) = 24ax2 + 4x -1在区间 (
1 1
-1,1)恰有一个零点，q: - < a < ；
8 4
D．p:函数 f (x) = cos 2x cosj + sin 2x sinj 为偶函数（ x R ），q:j = kπ(k Z)
【答案】B
1
【分析】对于 A，D 我们都可以证明 p, q互为充要条件，对于 C，取 a = - 即可判断；对于
6
9 1
B， p 成立当且仅当 a > ，注意到 a > 2时有q： a + 最小值为 4 成立，由此即可判断.
4 a - 2
【详解】对于 A，不妨设 f x = 0，则函数 y = f (x) 定义域为全体实数， f (x) = 0 0在实
数域上成立，但它不是增函数，故 A 不符合题意；
2
对于 B， p ："x R, x2 - 3x + a > 0成立等价于 a > -x2 + 3x 3 9= - x - ÷ + 恒成立，从而
è 2 4
a 9> ，
4
1
注意到当 a > 2时有， a + = a 2
1
- + + 2 2 + 2 = 4，等号成立当且仅当 a = 3，即 a > 2
a - 2 a - 2
1
时有q： a + 最小值为 4 成立，故 B 符合题意；
a - 2
1
对于 C，当 a = - 时， f (x) = 24ax2 + 4x -1 = -4x2 + 4x -1在区间 (-1,1)
1
恰有一个零点 x = ，
6 2
a 1 a 1但此时 不满足- < < ，故 C 不满足题意；
8 4
对于 D，p:函数 f (x) = cos 2x cosj + sin 2x sinj 为偶函数（ x R ）等价于
cos 2x cosj + sin 2x sinj = cos -2x cosj + sin -2x sinj 恒成立，
也就是说 2sin 2x sinj = 0恒成立，这意味着只能 sinj = 0 ，从而当且仅当j = kπ(k Z)，故
D 不满足题意.
故选：B.
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a ,b R 且 ab 0，若 x - a x - b x - 2a - b 0在 x 0
上恒成立，则（ ）
A． a < 0 B． a > 0 C．b < 0 D．b > 0
【答案】C
【分析】对 a,b的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答
案．
【详解】由 ab 0得 a 0,b 0，
f x = x - a x - b x - 2a - b = 0 x1 = a, x2 = b, x3 = 2a + b
①若 a > 0,b > 0，则 2a + b > 0 ，且 2a + b > a， 2a + b > b ，
根据穿根法可知 x a, 2a + b 或 x b, 2a + b 时不符合题意，舍去；
②若 a > 0,b < 0 ，要满足题意则 a = 2a + b > b a + b = 0 ，符合题意，如图所示；
③当 a < 0,b > 0 时，同理要满足题意需 2a + b = b > a a = 0，与前提矛盾；
④当 a < 0,b < 0，此时 2a + b < 0，则 f x = x - a x - b x - 2a - b 的三个零点都是负数，
由穿根法可知符合题意；
综上可知满足 x - a x - b x - 2a - b 0在 x 0 恒成立时，只有b < 0满足题意.
故选：C ．
二、多选题
1．（23-24 高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，且 a + 2b = 7 ，若 a2 + 3b2 t 恒成
立，则实数 t 的值可能为（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
【答案】CD
7
【分析】利用 a,b的关系式以及其范围可得 a = 7 - 2b 且0 < b < ，将不等式转化为
2
7 b - 2 2 + 21 t ，利用二次函数单调性即可得 t 49 .
【详解】由 a + 2b = 7 可得 a = 7 - 2b ，
又 a > 0可得0 < b
7
< ，
2
所以可得 a2 + 3b2 = 7 - 2b 2 + 3b2 = 7b2 - 28b + 49 = 7 b - 2 2 + 21，
2 0 b 7即7 b - 2 + 21 t 在 < < 时恒成立即可，2
2
由二次函数单调性可得7 0 - 2 + 21 t ，即 t 49，可知 CD 满足题意；
故选：CD
2．（2024 高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0
B．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R
C．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集一定不是
空集
【答案】AD
【解析】略
三、填空题
1．（23-24 高三下·上海·阶段练习）设 a > 0，若关于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是区间 0,1
的真子集，则 a的取值范围是 ．
【答案】 0,1
【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.
【详解】因为 a > 0，所以 x2 - ax < 0 0 < x < a ，
又不等式 x2 - ax < 0的解集是区间 0,1 的真子集，则 a 0,1 .
故答案为： 0,1 .
2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合 A = x log2 3- x < 2 , B = x x 5 - x - 4 0 ，
则 AI B = .
【答案】 1,3
【分析】由对数不等式和一元二次不等式化简集合 A, B，再由交集运算即可求解.
【详解】 log2 3- x < 2 0 < 3- x < 4，解得-1 < x < 3，故 A = -1,3 ；
x 5 - x - 4 0 x2 - 5x + 4 0 ，解得1 x 4，故B = 1,4 ，故 A B = 1,3 .
故答案为： 1,3
四、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2x - a ，且 f x b 的解集为 -1,3 ．
(1)求 a和b 的值；
(2)若 f x x - t 在 -1,0 上恒成立，求实数 t 的取值范围．
【答案】(1) a = 2,b = 4
(2) - , -5 3, +
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，
（2 2）将问题转化为3x + 2t -8 x + 4 - t 2 0在 -1,0 上恒成立，即可利用二次函数零点分布
求解.
【详解】（1）由 f x b 得 2x - a b，
a - b b + a
易知b 0，则-b 2x - a b，解得 x ，
2 2
由于 f x b -1,3 b + a a - b的解集为 ，则 = 3, = -1，解得 a = 2,b = 4．
2 2
（2）由（1）知 f x = 2x - 2 ，由 f x x - t 得 2x - 2 x - t ，
3x2 + 2t -8 x + 4 - t 2得 0在 -1,0 上恒成立，
Δ = (2t -8)2 - 4 3 4 - t 2 =16 t -1 2 > 0，故 t 1．
令 g x = 3x2 + 2t -8 x + 4 - t 2 ，若 g x 0在 -1,0 上恒成立，
ì g -1 0 ì-t 2 - 2t +15 0
则 í ，即 í 2 ，解得 t -5 t 3 g 0 0
或 ，
4 - t 0
故实数 t 的取值范围为 - , -5 3, + ．
2．（2024 高三·全国·专题练习）（1）解关于实数 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
（2）解关于实数 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数 a即可求得（1）（2）中
的不等式解集.
【详解】（1）易知方程 x2 - (a +1)x + a = 0 2的Δ = a -1 0，
由 x2 - (a +1)x + a = 0得 (x - a)(x -1) = 0，解得 x1 = a, x2 =1，
当 a > 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x 1< x < a ，
当 a =1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 ，
当a < 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x a < x <1 ．
（2）对方程 x2 - ax +1 = 0 ，
当D = a2 - 4 0时，
即-2 a 2时,不等式的解集为
当D = a2 - 4 > 0时，
即 a > 2或 a < -2时,
2
x2 - ax +1 = 0 x a - a - 4 , x a + a
2 - 4
的根为 1 = = ，2 2 2
ì 2 2x a - a - 4 x a + a - 4
ü
不等式的解集为 í < <

2 2
；

综上可得，-2 a 2时,不等式的解集为 ，
ì a - a2 2 ü
a > 2或 a < -2时，不等式的解集为 íx
- 4 a + a - 4
< x < .
2 2
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2x +1 ．
(1)求不等式 f x - f x -1 >1的解集；
(2)若 h x = f x + f x -1 ，且存在 x R 2使不等式 a + 2a -1 h x 成立，求实数 a的取值
范围．
1
【答案】(1) ,+
è 4 ÷
(2) - , -3 1, +
【分析】（1）借助零点分段法计算即可得；
（2）借助绝对值三角不等式可得 h x min ，再解出含 a的不等式即可得.
【详解】（1） f x - f x -1 >1，即 2x +1 - 2x -1 >1，
1
当 x < - 时，-2x -1+ 2x -1 >1，该方程无解；
2
1 x 1 1 1当- 时， 2x +1+ 2x -1 >1，解得 < x ；
2 2 4 2
1 1
当 x > 时， 2x +1- 2x +1 >1，解得 x > ；
2 2
1
综上所述， x > ，
4
1
\ 不等式 f x - f x -1 >1的解集为 , + 4 ÷；è
（2）由题知， h x = 2x +1 + 2x -1 2x +1- 2x -1 = 2，
当且仅当 2x +1 2x -1 0 时等号成立，
\a2 + 2a -1 h x = 2min ，解得 a -3或a 1，
\实数 a的取值范围为 - , -3 1, + .
综合提升练
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的 x (0,+ ), x2 - mx +1 > 0 恒成立，则 m 的取值范围是
（ ）
A． (-2,2) B． (2,+ ) C． (- ,2) D． (- , 2]
【答案】C
【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【详解】"x (0, + ), x2
1
- mx +1 > 0 m < x + ，而当 x > 0 x 1 2 x 1时， + × = 2，当且仅
x x x
当 x
1
= ，即 x =1时取等号，
x
则m < 2，所以 m 的取值范围是 (- ,2) .
故选：C
2．（2023 高三·全国·专题练习）已知命题 p：“ x∈ R ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
【答案】D
2
【分析】根据题意，利用解含参的一元二次不等式 a +1 x - 2 a +1 x + 3 > 0恒成立问题的
方法求解，即可得出答案.
【详解】当 a＝－1 时，3>0 成立；
ì a +1 > 0
当 a≠－1 时，需满足 í ，
Δ = 4 a +1
2 -12 a +1 < 0
解得－1综上所述，－1≤a<2.
故选：D
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合 A = x N∣y = 6 - 2x ，B = y∣y2 - 4 0 ，则集
合 A B 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分别求解集合 A, B，根据交集的定义计算即可.
【详解】因为集合 A = x N∣y = 6 - 2x = 0,1,2,3 , B = y∣y2 - 4 0 = y∣- 2 y 2 ，故
AI B = 0,1,2 .
故选：C.
f (x) ax2 2x a x é
1 ,2ù4．（23-24 高三上·重庆长寿·期末）已知函数 = - + ，对 ê 都有 f (x) 0 2 ú
成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 1, é 4 é 4+ ù 4 ùB． ê ,+ ÷ C． ê ,15 ú D．5 - , è 5 ú
【答案】A
a 2 é1
【分析】根据不等式恒成立，分离参数，可得 1 ，对 x ê , 2
ù
x + ú 恒成立，构造函数，
x 2
结合函数的单调性求得其最小值，即可求得答案.
é1 ù
【详解】由题意知函数 f (x) = ax2 - 2x + a，对 x ê , 2 2 ú
都有 f (x) 0成立，

é1 ù
即 ax2 - 2x + a 0对 x , 2
ê 2 ú
恒成立，

a 2x 2 2 = x é1 ù即 x +1 ,2x 1+ ，对 ê ú 恒成立， 2x
g(x) x 1
1
设 = + ，由于 g(x)
1
= x + é ,1ù在 上单调递减，在 1,2 上单调递增，
x x ê 2 ú
2
则 g
1
min (1) = 2，则 x 1+ ，当且仅当 x =1时等号成立，
x
故a 1，即实数 a的取值范围为[1, + ），
故选：A
5．（23-24 高三上·内蒙古通辽· 2阶段练习）已知命题 p : $x0 R， x0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命
题 p 是假命题，则 a的取值范围为（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
【答案】C
2
【分析】利用含有一个量词命题的否定转化为不等式 x + a -1 x +1 0对"x R 恒成立，根
据判别式可求得-1 a 3 .
2
【详解】根据题意可知，命题 p 的否定为“ "x R ， x + a -1 x +1 0 ”为真命题；
2
即不等式 x + a -1 x +1 0对"x R 恒成立，
所以D = a -1 2 - 4 0，解得-1 a 3；
可得 a的取值范围为-1 a 3 .
故选：C
6．（23-24 2 2高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q：“不等式 a - 4 x + a + 2 x -1 0的解
集是空集”，则条件 p ： “ -2 a <1”是条件q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分 a 2 - 4 = 0 和 a 2 - 4 0 两种情况讨论求出 a的范围，再根据充分条件和必要条
件的定义即可得解.
2 2
【详解】因为不等式 a - 4 x + a + 2 x -1 0的解集是空集，
2 2
所以不等式 a - 4 x + a + 2 x -1 < 0的解集是R ，
当 a 2 - 4 = 0 即 a = ±2 时，
1
若 a = 2 ，则 4x -1< 0， x < ( 舍 )；
4
若 a = -2 ，则 -1 < 0， x R ；
ìa2 - 4 < 0
2 6当 a - 4 0 时，则 í ，解得 -2 < a <
Δ < 0 5
，
综上所述-2 a
6
< ，
5
所以条件 p 是条件q的充分不必要条件．
故选：A．
7．（2024·天津河西·一模）“ x2
1
x ”是“ 1”的（x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得
解.
【详解】由 x2 x得 x x -1 0 ，解得0 x 1，
1 1- x ìx x -1 0
由 1得 0，所以
x x í
，解得0 < x 1，
x 0
1
所以“ x2 x ”是“ 1”成立的必要不充分条件.x
故选：B
ì p, p q
8．（2023· x广东广州·三模）定义max p, q = í ，设函数 f x = max 2 - 2, x2 - 2ax + aq, p < q ，
若$x R 使得 f x 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）．
A． - ,0 U 1, + B． -1,0 1, +
C． - , -1 1,+ D． -1,1
【答案】A
【分析】先考虑命题$x R 使得 f x 0 成立的否定为真命题时 a 的取值范围，再求其补集
即可.
【详解】命题$x R 使得 f x 0 成立的否定为对"x R ， f x > 0，
因为当 x >1或 x < -1时， 2 x - 2 > 0，当-1 x 1时， 2 x - 2 < 0，
所以当 x >1或 x < -1时， f x > 0，
若命题"x R ， f x > 0为真命题，
则当-1 x 1时， x2 - 2ax + a > 0恒成立，
x2所以 - 2ax + a > 0min ，其中 x -1,1 ，
设 g x = x2 - 2ax + a -1 x 1 ，
当 a -1时，函数 g x 在 -1,1 单调递增，
所以当 x=-1时，函数 g x 取最小值，所以1+ 2a + a > 0 ，
1
所以 a > - ，矛盾；
3
当a 1时，函数 g x 在 -1,1 单调递减，
所以当 x =1时，函数 g x 取最小值，所以1- 2a + a > 0，
所以a < 1，矛盾；
当-1 < a <1时，函数 g x 在 -1, a 上单调递减，在 a,1 上单调递增，
所以 x = a时，函数 g x 取最小值，所以 a2 - 2a2 + a > 0，
所以 0 < a < 1，
所以当 0 < a < 1时，命题"x R ， f x > 0为真命题，
所以若$x R 使得 f x 0 成立，则 a 的取值范围为 - ,0 U 1, + .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运
算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有
助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新
题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、多选题
1．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知 a R ，关于 x 的一元二次不等式 ax - 2 x + 2 > 0
的解集可能是（ ）
ì 2
A． íx x > 或 x < -2 B． x x > -2
a
ì
C． íx 2
2 ü ì 2 ü
- < x < D． íx < x < -2a a
【答案】ACD
2
【分析】分 a = 0， a > 0， a<0三种情况结合 与-2的大小关系讨论，可得不等式的解集.
a
【详解】当 a = 0时， ax - 2 x + 2 = -2 x + 2 > 0 x < -2；
2
当 a > 0时， ax - 2 x + 2 = a x - ÷ x + 2
2
> 0 x > 或 x<- 2，故 A 正确；
è a a
当 a < 0时， ax - 2 x + 2 = a x 2 -

a ÷
x + 2 ，
è
2
若 = -2 a = -1，则解集为空集；
a
2 2
若 < -2 -1< a < 0 ，则不等式的解为： < x < -2，故 D 正确；
a a
2 2
若 > -2 a < -1，则不等式的解为：-2 < x < ，故 C 正确.
a a
故选：ACD
2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <1
4
ì
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x
3 x ü - 或 2
2
C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，则 a 的取值范围是
1
D．若关于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，则 p + q 的值为-
2
【答案】CD
【分析】对于 AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于 C，对 a分类讨论即可判断；对于
D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得 p, q，然后即可判断.
【详解】对于 A， 4x2 - 5x +1 > 0 x -1 4x -1 > 0 1 x < 或 x >1，故 A 错误；
4
B 2x2对于 ， - x - 6 0 x - 2 2x + 3 0 3 - x 2 ，故 B 错误；
2
若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，
当 a = 0时， 21< 0是不可能成立的，
ìa < 0
所以只能 íΔ 64a2 84a 0，而该不等式组无解，综上，故
C 正确；
= - <
对于 D，由题意得 q,1是一元二次方程 2x2 + px - 3 = 0 的两根，
ì
q 1
-3
= 3
从而 í 2 ，解得 p =1, q = - ，
2 + p - 3 = 0
2
3
而当 p =1, q = - 时，一元二次不等式 2x2 + x - 3 < 0 x -1 2x 3 3+ < 0 - < x <1满足题
2 2
意，
p + q 1所以 的值为- ，故 D 正确.
2
故选：CD.
3．（22-23 高三上· 2河北唐山·阶段练习）若 ax - 4 x + b 0对任意 x - ,0 恒成立，其中
a ，b 是整数，则 a+b 的可能取值为（ ）
A． -7 B．-5 C．-6 D． -17
【答案】BCD
2
【分析】对b 分类讨论，当b 0时，由 ax - 4 x + b 0可得 ax - 4 0，由一次函数的图
2
象知不存在；当b < 0时，由 ax - 4 x + b 0，利用数形结合的思想可得出 a,b的整数解.
2
【详解】当b 0时，由 ax - 4 x + b 0可得 ax - 4 0对任意 x - ,0 恒成立，
4
即 a 对任意 x - ,0 恒成立，此时 a 不存在；
x
当b < 0时，由 ax - 4 x2 + b 0对任意 x - ,0 恒成立，
可设 f x = ax - 4， g x = x2 + b，作出 f x , g x 的图象如下，
ì a<0
ì a=- 1 ìa=- 4 ìa=- 2
由题意可知 í 4 ，再由 a ，b 是整数可得 í
=- -b b=- 16
或 í
b= 1
或
- í b=- 4 a
所以 a+b 的可能取值为 -17或-5或-6
故选：BCD
三、填空题
ìx2 + 2x + a - 2, x 0
1．（2024 高三 ·全国 ·专题练习）已知 a R ，函数 f x = í 2 若对任意
-x + 2x - 2a, x > 0
x –3, + ， f x x 恒成立，则 a 的取值范围是 ．
é1
【答案】 ê , 2
ù
8 ú
【分析】由题意分类讨论 x > 0和 x 0 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终
结果.
【详解】分类讨论：①当 x > 0时， f x x 即：-x2 + 2x - 2a x，
1 2 1
整理可得： a - x + x，
2 2
1 1
由恒成立的条件可知： a - x
2 + x ÷ x > 0 2 2 ，è max
1 1 2 1 1 1 1
结合二次函数的性质可知：当 x = 时， - x + x ÷ = - + =
1
，则 a ；
2 è 2 2 max 8 4 8 8
②当-3 x 0 时， f x x 即： x2 + 2x + a - 2 -x ，整理可得： a -x2 - 3x + 2，
2
由恒成立的条件可知： a -x - 3x + 2 -3 x 0 min ，
2
结合二次函数的性质可知：当 x = -3或 x = 0时， -x - 3x + 2 = 2min ，则 a 2；
é1 ù
综合①②可得 a的取值范围是 ê , 2ú， 8
é1
故答案为: ê , 2
ù
ú . 8
2 2 2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）若命题“ $x R， a -1 x + a -1 x -1 0 ”为假命题，则
a的取值范围为 .
3
【答案】 - ,1
ù
è 5 ú
【分析】根据已知条件知命题“ "x R ， a2 -1 x2 + a -1 x -1 < 0 ”为真命题，再分类讨论，
即可求解.
2 2
【详解】由题意可知，命题“ "x R ， a -1 x + a -1 x -1 < 0 ”为真命题.
当a2 -1 = 0时，可得 a = ±1 .
若 a =1，则有-1 < 0，符合题意；
1
若 a = -1，则有-2x -1 < 0 ，解得 x > - ，不符合题意；
2
ì 2 a -1< 0 3
当 a2 -1 0时，则 í ，解得- < a <1 .
D = a -1
2 + 4 a2 -1 < 0 5
综上， a
3
的取值范围是 - ,1
ù
ú .è 5
3
故答案为： - ,1
ù
.
è 5 ú
3．（23-24 高三下·上海闵行·阶段练习）设集合 A = {x | 4x2 1}， B = {x | lnx < 0}，则 AI B = .
【答案】 (0,
1]
2
【分析】分别求出A 与 B 中不等式的解集，再根据交集的运算法则求解.
1 1 1 1 1
【详解】由A 2中不等式变形得： x ，解得：- x ，即 A = [- , ]
4 2 2 2 2
，
由 B 中 lnx < 0 = ln1，得到0 < x <1，即B = (0,1)，
则 A I B
1
= (0, ] ,
2
1
故答案为： (0, ] .
2
四、解答题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【详解】（1） 由 x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以 A＝[－1，5].
由 2x－6≥0，得 x≥3，所以 B＝[3，＋∞）.
所以 M＝[3，5].
（2） 因为 M∩C＝M，所以 M C，
则 解得 a≤2.
故实数 a 的取值范围是（－∞，2].
2．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数 f (x) 满足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)在区间[-1,1]上，函数 y = f (x) 的图象恒在直线 y = m的上方，试确定实数 m 的取值范
围．
【答案】(1) f (x) = x2 - x +1
3
(2) m <
4
【分析】（1）设 f (x) = ax2 + bx + c(a 0)，利用 f (0) =1求得 c，由 f (x +1) - f (x) = 2x可求
得 a,b，即得答案；
（2）由题意可知 x2 - x +1 > m在区间 [-1,1]上恒成立，结合二次函数性质求出 f (x) 的最小值，
即可得答案.
【详解】（1）由题意设 f (x) = ax2 + bx + c(a 0)，
由 f (0) =1得 c =1；
由 f (x +1) - f (x) = 2x得 a(x +1)2 + b(x +1) + c - ax2 - bx - c = 2x，
即 2ax + a + b = 2x恒成立，故 2a = 2, a + b = 0，
则 a =1,b = -1，
故 f (x) = x2 - x +1；
（2）由题意在区间[-1,1]上，函数 y = f (x) 的图象恒在直线 y = m的上方，
即 x2 - x +1 > m在区间[-1,1]上恒成立，
2 1 2 3 1
由于 f (x) = x - x +1 = (x - ) + ，当 x [-1, ]时， f (x) 单调递减；
2 4 2
当 x [
1 ,1]时， f (x) 单调递增；
2
故当 x [-1,1]
1 3 3
时， f (x)min = f ( ) = ，故m < .2 4 4
3．（2024 高三·全国·专题练习）设函数 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
【答案】答案见解析
ì a2 -1 x + 2a 0
【分析】由题知 x2 +1 1+ ax ，进而得 x 0 ，将问题转化为 í ，再分
x 0
0 < a < 1，a 1两种情况讨论求解即可；
【详解】因为 f (x) = x2 +1 - ax a > 0 ，不等式 f (x) 1等价于 x2 +1 1+ ax ，
又 x2 +1 1，所以1 1+ ax，即 ax 0，其中 a > 0，所以 x 0 ，
ìx2 +1 1+ ax 2
所以原不等式等价于 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0
即 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0 é 2a ù
所以当 0 < a < 1时，不等式组 í 的解集为 ê0, 2 ú；
x 0 1- a
ì a2 -1 x + 2a 0
当a

1时，不等式组 í 的解集为 0, + .
x 0
é 2a ù
综上，当 0 < a < 1时，不等式 f (x) 1的解集为 ê0, ； 1- a2 ú
当a 1时，不等式 f (x) 1的解集为 0, + ；
ì x
, x…0
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 f(x)＝ í 2 求 f(f(x))≥1 的解集．
x
2 , x < 0
【答案】{x|x≥4 或 x≤－ }
【详解】解：当 x≥0 时，f(x)＝ ≥0，所以 f(f(x))＝f( )＝ ≥1，解得 x≥4；当 x<0 时，f(x)＝
x2>0，所以 f(f(x))＝f(x2)＝ ≥1，解得 x≥ (舍去)或 x≤－ ．综上，f(f(x))≥1 的解集为{x|x≥4
或 x≤－ }．
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数 f x 满足
2 f x + f 1- x = 3x2 + a - 2 x - 2a +1 x R ．
(1)讨论 f x 的奇偶性；
(2)设函数 h x = x + ln é f x ù x 1 ，求证： 1, + y∣y = h x ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对已知等式中的 x 用1- x代换，得到新的等式，结合已知等式可求出 f (x) ，然
后分 a = 0和 a 0讨论函数的奇偶性，
（2）由（1）知 h x = x + ln x2 + ax - a = ln éex x2 + ax - a ù ，则 x2 + ax - a > 0对 x 1,+
恒成立，得 a > -4 ，设函数M x = ex x2 + ax - a ，利用导数可求出函数的最小值得函数 h x
的值域，并求出最小的范围，进而根据集合关系即可证明.
【详解】（1）因为 2 f x + f 1- x = 3x2 + a - 2 x - 2a +1，
2 f 1- x + f x = 3(1- x)2所以 + a - 2 1- x - 2a +1，
根据以上两式可得3 f x = 2 é 2 f x + f 1- x - 2 f 1- x + f x ù 2 = 3x + 3ax - 3a，
所以， f x = x2 + ax - a .
a = 0 f x = x2当 时， 为偶函数.
当 a 0时，因为 f -x = (-x)2 - ax - a = x2 - ax - a ，
所以 f (-x) f (x)， f (-x) - f (x)，
所以 f x 为非奇非偶函数.
（2）由（1）知 h x = x + ln x2 + ax - a = ln éex x2 + ax - a ù .
依题意得 x2 + ax - a > 0对 x 1,+ 恒成立.
a
当- 1，即 a -2时，12 + a - a > 0恒成立；2
a 2
当- >1，即 a < -2 a- 时， ÷ - a > 0，得-4 < a < -2 .2 è 2
故 a > -4 .
设函数M x = ex x2 + ax - a ，
则M x = ex éx
2 + a + 2 x ù = xe
x x + a + 2 .
因为 a > -4 ，所以-a - 2 < 2 .
①当-a - 2 1，即 a -3时，M x 0在 1, + 上恒成立，
故M x 在 1, + 上单调递增，M x M 1 = e，则 h x lne =1，
即 h x 在 1, + 上的最小值为 1.
②当1 < -a - 2 < 2，即-4 < a < -3时，
因为当M x > 0时， x > -2 - a，当M x < 0时，1 x < -2 - a ，
所以M x 在 1, -2 - a 上单调递减，在 -2 - a,+ 上单调递增，
故M x M -2 - a = a + 4 e-2-a ，
则 h x ln é a + 4 e
-2-a
ù = -2 - a + ln a + 4 ，
即 h x 在 1, + 上的最小值为-2 - a + ln a + 4 .
ì1, a 3综上，函数 h x 在 1, + 上的最小值 h(x)min = í
-2 - a + ln(a + 4), -4 < a 3
，
< -
所以，函数 h x 在 1, + 上的值域为 h(x)min ,+ ，
当-4 < a < -3，令 g a = -2 - a + ln a + 4 ，
g a 1 1 -a - 3则 = - + = > 0，故 g a 在 -4, -3 上单调递增，
a + 4 a + 4
因为 g -3 = -2 + 3 + ln -3+ 4 =1，
所以， g a < g -3 =1，即函数 h x 在 1, + 上的最小值 h(x)min 1，
所以， 1, + y∣y = h x .
【点睛】关键点点睛：此题第（2）问解题的关键是由题意得 x2 + ax - a > 0对 x 1,+ 恒
x 2
成立，求出 a的范围，然后构造函数M x = e x + ax - a ，利用导数求其最小值的取值范
围即可证明.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024 2高三·全国·专题练习）已知集合 A = x x - x -12 < 0 ， B = x R log2 5 - x <1 ，
则 R A I B =（ ）
A． x -3 < x 4 B． x -3 x < 4 C． x x 4 D． x 4 x < 5
【答案】D
【分析】分别解二次不等式，对数不等式化简集合 A，B，后由补集，交集定义可得答案.
【详解】由 x2 - x -12 < 0 ，得-3 < x < 4，所以 A = x -3 < x < 4 ；
由 log2 5 - x <1，得0 < 5 - x < 2，解得3 < x < 5，所以B = x 3 < x < 5 .
所以 R A = x x -3或 x 4 ，所以 R A B = x 4 x < 5 .
故选：D．
2．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 0，5 内随机取一个实数 a，则关于 x 的不等式
x2 + 2 - a x - 2a < 0仅有 2 个整数解的概率为（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得 x -2, a ，可得区间 -2, a 内仅包含-1,0两个整数，再
利用几何概型概率公式可得结果.
2
【详解】根据题意可得不等式 x + 2 - a x - 2a < 0等价于 x + 2 x - a < 0；
因为 a 0,5 ，所以不等式的解集为 -2, a ；
依题意可得区间 -2, a 内仅有两个整数，即包含-1,0两个整数，可得0 < a 1；
1- 0 1
由几何概型概率公式可得其概率为P = = .
5 - 0 5
故选：C
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是
（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
【答案】A
【分析】分 a = 0和 a 0两种情况讨论求出 a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即
可得解.
1
【详解】当 a = 0时，-2x +1 > 0，得 x < ，与题意矛盾，
2
ìa > 0
当 a 0时，则 í ，解得 a > 1Δ 4 4a 0 ， = - <
综上所述， a > 1，
所以不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是 A 选项.
故选：A.
4 3 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = x + sin x，若不等式 f x - ax + 2 0 恒成立，
则实数 a 的最大值为（ ）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
【答案】C
【分析】先根据导函数结合余弦函数的范围得出函数单调递增.又 f 0 = 0，根据已知可推
得 x2 - ax + 2 0恒成立，得出D 0，求解即可得出答案.
【详解】由题， f x = 3x2 + cos x ，
π π
当 x
é- , ùê 时， cos x 0恒成立， f x > 0； 2 2 ú
x π π当 - ,- ÷或 x ,+

÷ 时，-1 cos x 1，3x2 >1，所以 f xè 2 2 > 0．è
所以 f x 在 R 上单调递增．
又 f 0 = 0，
f x2所以由 - ax + 2 0 2恒成立，可得 f x - ax + 2 f 0 恒成立，
即 x2 - ax + 2 0恒成立，
故D = a2 -8 0，得-2 2 a 2 2 ，所以 a 的最大值为 2 2 ．
故选：C.
二、多选题
r r r r
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量 a,b满足 | a |= 2 ， | b |= 4，且对任意的实数 t ，都有
r
b + tar r b - a 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
r r r r rA． 4a - b 与b 垂直 B． (3a
r
+ b) ×b = 27
lar 1
r r r r
C． - b + la
r b r r 1- 的最小值为 21 D． la - b - la - b 的最大值为4 2 2 2
【答案】AC
r
b tar r【分析】根据题中条件，结合向量的运算法则，不等式 + b - a ，可化为
1 r r
t 2 + 4t cosq + 4cosq -1 0，利用D 0，可求得 cosq = ，故可求得 a ×b 的值，继而可判断2
r r r 1 r r r r r r 1 r
出 A,B；设 a = (2,0)，b = (2, 2 3) ，用坐标表达 la - b + la - b 及 la - b - la - b ，结4 2
合结果的几何意义即可求得最值，继而判定 C,D.
r r r r r 2 r 2
【详解】由 b + ta b - a 恒成立得 b + ta | b - a | ，
r r r r
即b 2 + 2tar ×b + t 2ar2 b 2 - 2ar ×b + ar2恒成立，
r r
因为 | a |= 2 ， | b |= 4，
r r
设 a,b夹角为q ，则 t 2 + 4t cosq + 4cosq -1 0恒成立，
所以Δ = (4cosq )2 - 4(4cosq -1) 0，
即 4cos2 q - 4cosq +1 0，
所以 (2cosq -1)2 0 ，则 cosq
1
= ，
2
r r r
所以 a ×b a
r b 1= = 4，
2
r r r r
所以 (4ar - b) ×b = 4ar ×b - b 2 = 4 4 -16 = 0，
r r r
所以 4a - b 与b 垂直，A 正确；
r r r r r r(3a + b) ×b = 3a ×b + b 2 = 3 4 +16 = 28，B 不正确；
r r
设 a = (2,0)，b = (2, 2 3) ，
lar 1
r 1 3 1 3
则 - b = (2l,0) - ( , ) = (2l - ,- )，
4 2 2 2 2
r rla - b = (2l,0) - (2, 2 3) = (2l - 2, -2 3)
r 1 r r rla b la b (2l 1)2 ( 3所以 - + - = - + - )2 + (2l - 2)2 + (-2 3)2
4 2 2
2( (l 1= - )2 + (0 3+ )2 + (l -1)2 + (0 - 3)2 ) ，
4 4
1 3
其几何意义是 A(l,0)与 B( ,- )和C(1, 3)连线的距离之和的 2 倍，
4 4
3 5 3
当三点共线时取得最小值，最小值为 2 | BC |= 2 ( )2 + ( )2 = 21，C 正确；
4 4
r r lar 1
r
la - b = (2l - 2,-2 3) ， - b = (2l,0) - (1, 3) = (2l -1, - 3)，
2
r r rla - b r 1- la - b = (2l - 2)2 + (-2 3)2所以 - (2l -1)2 + (- 3)2
2
= 2( (l -1)2 1 3+ (- 3)2 - (l - )2 + (- )2 )
2 2
A(l,0) C(1, 3) D(1 , 3其几何意义是 与 和 )连线的距离之差的 2 倍，
2 2
1
2 3
当三点共线时最得最大值，最大值为 2 CD = 2 1-

÷ + 3 - ÷
è 2 2 ÷
= 2，D 不正确，
è
故选：AC.
6．（23-24 2高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50
个整数元素，则下列各选项正确的是（ ）
A． a的值可能为-43
B．这 50 个整数元素之和可能为-925
C． a的值可能为 57.5
D．这 50 个整数元素之和可能为 1625
【答案】BCD
【分析】考虑 a = 7， a < 7， a > 7，解不等式，再根据解集恰有 50 个整数元素，计算得到
答案.
2
【详解】不等式 x + 7a < 7 + a x等价于不等式 x - a x - 7 < 0 .
当 a = 7时， x - a x - 7 < 0的解集为 ，不合题意；
当 a < 7时， x - a x - 7 < 0的解集为 a,7 ，则 50 个整数解为-43, -42,L,5,6，
-43 + 6 50
所以-44 a < -43，这 50 个整数元素之和为 = -925；
2
当 a > 7时， x - a x - 7 < 0的解集为 7,a ，则 50 个整数解为8,9,L,56,57 ，
8 + 57 50
所以57 < a 58 ，这 50 个整数元素之和为 =1625 .
2
综上所述： a的取值范围是 -44, -43 U 57,58 ，这 50 个整数元素之和为-925 或 1625.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2022 高三上·河南·专题练习）已知 p : x -1 < 1， q : x2 - a +1 x + a 0，若 p 是q的必要不
充分条件，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 0,2
【分析】先对 p 求解得 p : 0 < x < 2，对q化简得 q : x -1 x - a 0，再结合 p 是q的必要不
充分条件，对 a进行分类讨论，即可求解.
【详解】
由 x -1 <1，解得0 < x < 2，所以 p : 0 < x < 2，
对于 q : x2 - a +1 x + a 0，即 x -1 x - a 0 ，
若 a > 1，解得1 x a ，要使 p 是q的必要不充分条件，则 a < 2，所以1 < a < 2 ；
若a < 1，解得 a x 1，要使 p 是q的必要不充分条件，则 a > 0，所以 0 < a < 1；
若 a =1，则q为{x | x =1}，符合题意，所以实数 a的取值范围是 0,2 .
故答案为： 0,2 .
8．（23-24 高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数 y = ax -1 x - a ．甲同学： y > 0的解集
为 1- ,a U ,+

÷ ；乙同学： y
1
< 0 的解集为 - ,a U ,+
a ÷
；丙同学：y 的对称轴大于
è è a
零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则 a 的范围为 ．
【答案】 0 < a < 1
【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.
1
【详解】若甲正确，则 a > 0且 > a，即a2 < 1，则 0 < a < 1；a
0 a 1若乙正确，则 a< 且 < ，即 a2 > 1，则 a < -1；
a
a2 +1
若丙正确，则二次函数的对称轴方程 x = > 0 ，可得 a > 0；
2a
因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故 0 < a < 1 .
故答案为： 0 < a < 1
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = x2 + ax + b，若对任意 x 1,5 , f x 2，
则所有满足条件的有序数对 a,b 是 ．
【答案】 (-6,7)
ì-2 f (1) 2

【分析】由题意可得 í-2 f (3) 2，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.

-2 f (5) 2
【详解】因为 f (x) = x2 + ax + b对任意 x [1,5], | f (x) | 2，
ì-2 f (1) 2

所以必须满足 í-2 f (3) 2，

-2 f (5) 2
ì -2 1+ a + b 2

即 í -2 9 + 3a + b 2 ，

-2 25 + 5a + b 2
ì-2 -1- a - b 2
由 í ，得-4 8 + 2a 4，
-2 9 + 3a + b 2
解得-6 a 2，①，
ì-2 -9 - 3a - b 2
再由 í ，得-4 16 + 2a 42 25 5a b 2 ， - + +
解得-10 a -6，②，
由①②得 a = -6 ，
ì -2 1- 6 + b 2 ì 3 b 7

所以 í -2 9 -18 + b 2

，即 í7 b 11，解得b = 7 ，

-2 25 - 30 + b 2 3 b 7
2
经检验，当 a = -6 ，b = 7 时， f x = x2 - 6x + 7 = x - 3 - 2，则
f (x) 的最大值为 f (1) = f (5) = 2 ， f (x) 的最小值为 f (3) = -2，
满足任意 x [1,5], | f (x) | 2，
所以满足条件的有序数对 (a , b ) 只有一对 (-6,7)，
故答案为： (-6,7) .
10．（23-24 高三上·全国·阶段练习）对任意的 x R ，不等式
2 2x - 7x +14 m x2 - 6x +13 x2 - 8x +17 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．
1 ù
【答案】 - ,
è 2 ú
【分析】设u = x2 - 6x +13 = x - 3 2 + 4 4 ， v = x2 -8x +17 = x - 4 2 +1 1，将不等式恒成
é u + v - 2 2 ùm ê ú u + v - 2
2
立问题转化成 ，构造
4uv f v = ，根据单调性求最值.ê ú 4uvmin
2
【详解】设u = x2 - 6x +13 = x - 3 + 4 4 ，
v = x2 -8x +17 = x - 4 2 +1 1，
x2 7x 14 1则 - + = u + v - 2 ，
2
2
则 x2 - 7x +14 m 2 1 2x - 6x +13 x2 -8x +17 恒成立可化为 u + v - 2 muv恒成立，4
u + v - 2 2 é u + v - 2m
2 ù
即m 恒成立，故 ê ú ，
4uv ê 4uv úmin
u + v - 2
2 v2 + 2 u - 2 v + u - 2 2 1 é u - 2 2 ù
设 f v = = = êv + + 2 u - 2 ú，
4uv 4uv 4u ê v ú
易知 f v 在1< v < u - 2时递减，在 v > u - 2时递增，
f v f u 2 u - 2所以 = - = =1 2- = g umin ，u u
而 g u 1显然在u 4时单调递增，所以 g u = g 4 =min ，2
m 1
ìu = 4
故 ，当且仅当 í 时，即 x = 3时，等号成立，2 v = 2
1 ù
所以实数m 的取值范围为 - ,
è 2 ú
.

【点睛】方法点睛：本题将恒成立问题转化成求最值问题，然后采用双换元和轮流作主法求
最值.
四、解答题
11．（23-24 2高三上·福建莆田·阶段练习）解关于 x 的不等式： ax - a + 2 x + 2 < 0 a R .
【答案】答案见详解
【分析】讨论 a = 0, a > 0, a < 0时，分别解出不等式即可.
【详解】若 a = 0，不等式化为-2x + 2 < 0，解得 x >1；
不等式的解集为{x | x >1}；
若 a 0，则不等式化为 (ax - 2)(x -1) < 0，
且 (ax - 2)(x -1) = 0
2
时， x1 = , x2 =1，a
①若 a > 0，
2
则若 >1，即0 < a < 2 2时，原不等式的解集为{x |1 < x < }；
a a
2
若 =1，即 a = 2时，原不等式的解集为 ；
a
2 2
若 < 1，即 a > 2时，原不等式的解集为{x | < x <1}；
a a
2
②若 a<0，则 < 1，
a
且不等式变化为 (-ax + 2)(x -1) > 0，
解得 x >1或 x
2
< ，
a
ìx x 1 x 2< ü原不等式的解集 í 或 ；
a
综上所述，当 a<0时，不等式的解集为{x | x > 1 ìíx x 1或x
2
< ü；
a


当 a = 0，不等式的解集为{x | x >1}；
当0 < a < 2 时，不等式的解集为{x |1 < x 2< }；
a
当 a = 2时，不等式的解集为 ；
2
当 a > 2时，不等式的解集为{x | < x <1}；
a
12．（2024 2高三·全国·专题练习）设函数 f x = mx - mx -1．
(1)若对于一切实数 x ， f (x) < 0恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于 x 1,3 ， f (x) < -m + 5恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) -4,0
ì
(2) ím | m
6
< ü
7
【分析】（1）分m = 0和m 0 两类情况，当m = 0时采用验证法即可；当m 0 时根据一元
二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数m 的取值范围.
6 6
（2）方法一：先利用分离参数法得出m < 2 ；再求出函数 y = 在[1,3]上的最x - x +1 x2 - x +1
2
小值即可求解. 1 3方法二：先将问题转化为m x - ÷ + m - 6 < 0 在 x 1,3 上恒成立；再分类
è 2 4
1 2
讨论，利用函数的单调性求出函数 g x = m x
3- ÷ + m - 6, x 1,3 的最大值即可求解.
è 2 4
【详解】（1）要使mx2 - mx -1 < 0恒成立，
若m = 0，显然-1 < 0；
ìm < 0
若m 0 ，则 íΔ m2 4m 0，解得
-4 < m < 0 ．
= + <
综上：实数m 的取值范围是 -4,0 ．
（2）方法一：
由 f (x) < -m + 5得：mx2 - mx -1 < -m + 5 2，即m x - x +1 - 6 < 0 .
2
因为 x2
6
- x +1 = x
1 3- + > 0，所以m < ．
è 2 ÷ 2 4 x - x +1
因为函数 y = x2 - x +1在[1,3]上单调递增，
y 6 6= =
所以函数 x2 - x +1 2 1 3 在[1,3]上单调递减，
x - +
è 2 ÷ 4
y 6= 6
当 x = 3 2时，函数 x 1- 3 在
[1,3]
+ 上取得最小值，最小值为 ， 2 ÷ 4 7è
6 ì 6 ü
所以只需m < 即可，所以m 的取值范围是 ím | m <7
．
7
方法二：
2
由 f (x) < -m + 5 1 3，得mx2 - mx -1 < -m + 5，即m x - 2 ÷
+ m - 6 < 0 .
è 4
2
1 3
令 g x = m x - ÷ + m - 6, x 1,3 ，
è 2 4
当m > 0时， g(x)在[1,3]上是增函数，
则 g x = g 3 = 7m - 6 < 0 m 6max ，解得 < ，所以0 < m
6
< ；
7 7
当m = 0时， g x = -6 < 0恒成立；
当m < 0时， g(x)在[1,3]上是减函数，
则 g x = g 1 = m - 6 < 0max ，解得m < 6，所以m < 0．
ì 6 ü
综上所述，m 的取值范围是 ím | m < 7 ．
1
13 2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f (x) = x - 3x + 2ln x .
2
(1)求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意 x1, x2 [1,3]，都有 f (x1) - f (x2 ) 2m - 2，求实数m 的取值范围;
（ⅱ）设 g(x) = f (x)
1 x2 7+ ，且 g(x1) + g(x2 ) = 0 ，求证: x1 + x2 > .2 2
5
【答案】(1) y = -
2
(2)（ⅰ）m ln
3 3
+ ；（ⅱ）证明见解析
2 4
【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程.
（2）（ⅰ）运用导数求 f (x) 的最值，代入解不等式即可.（ⅱ）运用导数研究 h(t) = 2t - 2ln t
在 (0, + )上的最小值，进而解关于 x1 + x2 的一元二次不等式即可.

【详解】（1）由已知得 f (x) x 3
2 5
= - + ，切点 (1, - )，
x 2
则切线斜率 k = f (1) = 0，
5
所以切线方程为 y = - .
2
（2）（ⅰ）依题意知，只要 f x - f x 2m - 2 x [1,3]max min ， ，
2
因为 f (x) x 2 x - 3x + 2 (x -1)(x - 2）= - 3 + = = ，
x x x
f (x) < 0 1< x < 2， f (x) > 0 2 < x < 3，
所以 f (x) 在[1,2)递减，在 (2,3]递增，
所以 f (x)max = max{ f (1), f (3)} max{
5 ,2 ln 3 9} 2ln 3 9= - - = - ， f (x)min = f (2) = 2ln 2 - 4，2 2 2
所以 2m - 2 2ln 3
9
- - (2 ln 2 - 4) = 2ln 3 1- ，
2 2 2
m ln 3 3解得： + .
2 4
（ⅱ）证明：因为 g(x) = x2 - 3x + 2ln x ，定义域为 (0, + )，
由 g(x1) + g(x
2
2 ) = 0 得 x1 + x
2
2 - 3(x1 + x2 ) + 2(ln x1 + ln x2 ) = 0，
即 (x 21 + x2 ) - 3(x1 + x2 ) = 2x1x2 - 2ln(x1x2 )，
令 t = x1x2 > 0
令 h(t) = 2t - 2ln t t 0 h (t)
2(t -1)
， > ，则 = ，
t
h (t) > 0 t >1， h (t) < 0 0 < t <1，
所以 h(t)在( 0, 1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
所以 h(t) h(1) = 2，
所以 (x1 + x2 )
2 - 3(x1 + x2 ) = 2x1x2 - 2ln(x1x2 ) 2
2
即 (x1 + x2 ) - 3(x1 + x2 ) - 2 0 ，
又因为 x1, x2 > 0，
所以 x 3 + 17 71 + x2 > ，即 x1 + x
7
2 > .2 2 2
【点睛】运用导数证明不等式策略
（1）将不等式转化为函数的最值问题，
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较，
（3）适当放缩证明不等式.
2x
14．（23-24 高三上·天津南开· a - b期中）设函数 f (x) = x (a > 0, 且a 1)是定义域为R 的奇a
函数，且 y = f (x)
3
的图象过点 1, 2 ÷ .è
(1)求 a，b 的值；
(2)设 g(x) = (x - p)(x - q)2 , p < q，若"x R, f (-g(x)) + f mxg (x) 0 （ g (x) 为函数 g(x)的
导数），试写出符合上述条件的函数 g(x)的一个解析式，并说明你的理由．
【答案】(1)2
(2) g(x) = (x +1)x2 ，理由见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义和过定点，代入即可；
（2）结合奇函数和单调性性，可化为mxg (x) g(x) 对"x R 恒成立，整理的
(x - q) (1- 3m)x2 + [m(2 p + q) - ( p + q)x]+ pq 0 1，分m 1与m = 3讨论即可.3
【详解】（1）因为 f (x) 是定义域为R 的奇函数，
-2x 2x
所以 f (-x) = - f (x)
a - b a - b
，即 = - ，
a- x a x
(b -1) a x + a- x整理得 = 0 ，解得b =1，
所以 f (x) = a x - a- x ，
又 y = f (x) 的图象过点 1,
3
2 ÷，è
a - a-1 3 1则 = ，解得 a = 2或 a = - ，
2 2
又 a > 0，且a 1，
所以 a = 2．
（2）因为 f (x) 为奇函数，
所以 f (-g(x)) + f mxg (x) 0，得 f mxg (x) f (g(x)) ．
由（1）可得， f (x) = 2x - 2- x ，
因为 f (x) = 2x + 2- x ln 2 > 0，
所以 f (x) 为R 上的单调递增函数，
所以mxg (x) g(x) 对"x R 恒成立．
因为 g(x) = (x - p)(x - q)2 ， g (x) = (x - q)2 + 2(x - p)(x - q)，
所以mx(x - q)(3x - 2 p - q) (x - p)(x - q)2 ，
整理得 (x - q) (1- 3m)x2 + [m(2 p + q) - ( p + q)x]+ pq 0 ，*
当m
1
时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，
3
或者是三个一次因式的积，
无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，
1
因此不可能恒非负，所以m = 3．
所以*式化为 (x - q)[-( p + 2q)x + 3pq] 0恒成立，
p 2q 0, q 3pq所以 + < = p + 2q ．
①若 q = 0，则 p < 0；
3p
②若 q 0，则 =1p 2q ，即
p = q ，与 p < q 矛盾，舍去．
+
m 1综上， = , p < 0, q = 0，
3
所以 g(x) = (x +1)x2 为满足条件的 g(x)的一个解析式．（答案不唯一）考点 05 一元二次方程、不等式（2 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
【知识点】
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式 ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数
方程的根 b 没有实数根
根 x1，x2(x1b
不等式的解集 {x|x≠－ } R
2a
2．分式不等式与整式不等式
f x
(1) >0(<0) ；
g x
f x
(2) ≥0(≤0) .
g x
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 ．
【核心题型】
题型一　一元二次不等式的解法
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式 Δ 与 0 的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
命题点 1　不含参数的不等式
【例题 1】（2024·青海·一模）已知集合 A = x y = lg -x2 + 2x + 3 2，B = x x - 4 < 0 ，则
A B =（ ）
A． -1,3 B． -1,2 C． -2,3 D． -2,2
【变式 1】（2024·全国· 2模拟预测）已知集合M = x | x - 6x + 8 < 0 , N = {x |1 < x 3}，则
M N =（ ）
A．{x | 2 x 3} B．{x | 2 < x 3} C．{x | 2 < x 4} D．{x |1 < x 3}
【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合 A = x | x2 - x - 6 < 0 ，B = {x | -a x a}，若 A B ，
则实数 a的取值范围是 ．
【变式 3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合 A = x∣x2 4 , B = x∣a -1 x a +1 ，若
A B = ，则 a的取值范围是 .
命题点 2　含参数的一元二次不等式
【例题 2】（2024·云南红河·二模）已知 a,b
1 1
均为正实数，则“ > ”是“
a b a
2 + 2b2 > 3ab ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 1】（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 0，5 内随机取一个实数 a，则关于 x
2
的不等式 x + 2 - a x - 2a < 0仅有 2 个整数解的概率为（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
ìex - ax2 , x > 0
【变式 2】（2023·江西南昌·三模）函数 f (x) = í ，若关于 x 的不等式
-x
2 + (a - 2)x + 2a, x 0
f (x) 0的解集为[-2,+ )，则实数 a的取值范围是（ ）
-2, e ù é0, e ù
é e2 ù é 2
A． ú B． ê ú C． ê0, ú D．{0}U
e
ê ,+ ÷
è 2 2 4 4
【变式 3】．（2023· 2湖南·模拟预测）若关于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50 个整
数元素，则 a 的取值范围是 ，这 50 个整数元素之和为 ．
题型二　一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判别式 Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式 Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
命题点 1　在 R 上恒成立问题
【例题 3】（2024· 2浙江·模拟预测）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k
的取值范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【变式 1】（23-24 高三上·河南·期中）“关于 x 的不等式 2a - 3 x2 - 2a - 3 x + 4 0的解集为
3
R ”是“ < a < 9 ”的（
2 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 2】（2023·福建厦门·二模）“ b 0,4 ”是“ "x R ，bx2 - bx +1 > 0成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 3】（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一个充分不
必要条件是（ ）
A．-1 a < 0 B． a 0
C．-1 < a 0 D．-1 < a < 0
命题点 2　在给定区间上恒成立问题
【例题 4】（2023·浙江宁波· 2一模）已知函数 f x = x + ax + b，若不等式 f x 2 在 x 1,5
上恒成立，则满足要求的有序数对 (a , b ) 有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
é1 ù 2
【变式 1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题 p ：任意 x ê , 2ú ，使 log2 x - m × log2 x - 3 0 2
为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A． - , 2 B． - , -2 C． -2,2 D． -2, +
【变式 2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当 x > 0时，不等式： x2 - mx +16 > 0恒成立，则实数
m 的取值范围是（ ）
A． -8,8 B． - ,8 C． - ,8 D． 8,+
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = x2 + ax + b，若对任意 x [1,5], f (x) 2，
则所有满足条件的有序数对 (a , b ) 是 ．
命题点 3　在给定参数范围内的恒成立问题
【例题 5】（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）若mx2 -1< 0对于m 0,2 恒成立，则实数 x
的取值范围为 ．
【变式 1】（2024 高三·全国·专题练习）设函数 f (x) 是定义在 (- , + )上的增函数．若不等
式 f 1- ax - x2 < f (2 - a)对于任意a [0,1]恒成立，求实数 x 的取值范围.
【变式 2】（22-23 高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意m -1,1 ，任意 y R ，使得不
2
等式 x + 3- m x - 6 < y -1 + y - 3 成立，则实数 x 的取值范围是 ．
【变式 3】（2023 高三·全国·专题练习）若不等式 2x -1 > m x2 -1 对任意m -1,1 恒成立，
实数 x 的取值范围是 .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = x x - 4x - 5 0 , B = x a - 3 < x < a + 4 ，若
A U B = R，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a a >1 B． a 1 < a < 2
C． a a < 2 D． a 1 a 2
2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 kx2 + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k 的取值
范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
1 1
3．（2024·云南红河·二模）已知 a,b均为正实数，则“ > ”是“ a2 + 2b2 > 3ab ”的（ ）a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024 2高三·全国·专题练习）若不等式 a - 2 x + 2 a - 2 x - 4 < 0 对一切 x R 恒成立，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． -2,2 D． - , -2
5．（23-24 高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件 p 是q的充分不必要条件是（ ）
A．函数 y = f (x) 定义域为A ， p ： f (x) 0在 A 上成立. q： y = f (x) 为增函数；
B． p
1
："x R, x2 - 3x + a > 0成立，q： a + 最小值为 4；
a - 2
1 1
C．p:函数 f (x) = 24ax2 + 4x -1在区间 (-1,1)恰有一个零点，q: - < a < ；
8 4
D．p:函数 f (x) = cos 2x cosj + sin 2x sinj 为偶函数（ x R ），q:j = kπ(k Z)
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a ,b R 且 ab 0，若 x - a x - b x - 2a - b 0在 x 0
上恒成立，则（ ）
A． a < 0 B． a > 0 C．b < 0 D．b > 0
二、多选题
1．（23-24 高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，且 a + 2b = 7 ，若 a2 + 3b2 t 恒成
立，则实数 t 的值可能为（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
2．（2024 高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0
B．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R
C．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集一定不是
空集
三、填空题
1．（23-24 高三下·上海·阶段练习）设 a > 0，若关于 x 的不等式 x2 - ax < 0的解集是区间 0,1
的真子集，则 a的取值范围是 ．
2．（23-24 高三下·河北保定·开学考试）已知集合 A = x log2 3- x < 2 , B = x x 5 - x - 4 0 ，
则 AI B = .
四、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2x - a ，且 f x b 的解集为 -1,3 ．
(1)求 a和b 的值；
(2)若 f x x - t 在 -1,0 上恒成立，求实数 t 的取值范围．
2．（2024 高三·全国·专题练习）（1）解关于实数 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
（2）解关于实数 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2x +1 ．
(1)求不等式 f x - f x -1 >1的解集；
(2)若 h x = f x + f x -1 ，且存在 x R 2使不等式 a + 2a -1 h x 成立，求实数 a的取值
范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的 x (0,+ ), x2 - mx +1 > 0 恒成立，则 m 的取值范围是
（ ）
A． (-2,2) B． (2,+ ) C． (- ,2) D． (- , 2]
2．（2023 高三·全国·专题练习）已知命题 p：“ x∈ R ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合 A = x N∣y = 6 - 2x ，B = y∣y2 - 4 0 ，则集
合 A B 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
é1 ù
4．（23-24 高三上·重庆长寿·期末）已知函数 f (x) = ax2 - 2x + a，对 x ê , 2 都有 f (x) 0 2 ú
成立，则实数 a的取值范围是（ ）
1, 4 4+ é ,+ é ,1ù 4 ùA． B． ê C． D．5 ÷ ê5 ú - , è 5 ú
5．（23-24 2高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题 p : $x0 R， x0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命
题 p 是假命题，则 a的取值范围为（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
6．（23-24 高三下·山东菏泽· 2阶段练习）已知条件q：“不等式 a - 4 x2 + a + 2 x -1 0的解
集是空集”，则条件 p ： “ -2 a <1”是条件q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
7．（2024·天津河西·一模）“ x2 x ”是“ 1”的（x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·广东广州·三模）定义max p, q ì
p, p q
= í ，设函数 f x = max 2 x - 2, x2 - 2ax + aq, p < q ，
若$x R 使得 f x 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）．
A． - ,0 U 1, + B． -1,0 1, +
C． - , -1 1,+ D． -1,1
二、多选题
1．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知 a R ，关于 x 的一元二次不等式 ax - 2 x + 2 > 0
的解集可能是（ ）
ì 2
A． íx x > 或 x < -2 B． x x > -2
a
ì
C． íx -2 < x
2 ü ì
< D． íx
2 x 2ü< < -
a a


2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <1
4


ì 3 ü
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 2
2


C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，则 a 的取值范围是
1
D．若关于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，则 p + q 的值为-
2
3 2．（22-23 高三上·河北唐山·阶段练习）若 ax - 4 x + b 0对任意 x - ,0 恒成立，其中
a ，b 是整数，则 a+b 的可能取值为（ ）
A． -7 B．-5 C．-6 D． -17
三、填空题
ìx2 + 2x + a - 2, x 01．（2024 高三 ·全国 ·专题练习）已知 a R ，函数 f x = í 若对任意
-x
2 + 2x - 2a, x > 0
x –3, + ， f x x 恒成立，则 a 的取值范围是 ．
2．（23-24 高三上· 2 2河南·阶段练习）若命题“ $x R， a -1 x + a -1 x -1 0 ”为假命题，则
a的取值范围为 .
3．（23-24 高三下·上海闵行·阶段练习）设集合 A = {x | 4x2 1}， B = {x | lnx < 0}，则 AI B = .
四、解答题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合 M；
(2)已知集合 C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若 M∩C＝M，求实数 a 的取值范围．
2．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数 f (x) 满足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)在区间[-1,1]上，函数 y = f (x) 的图象恒在直线 y = m的上方，试确定实数 m 的取值范
围．
3．（2024 高三·全国·专题练习）设函数 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
ì x
, x…0
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 f(x)＝ í 2 求 f(f(x))≥1 的解集．
x
2 , x < 0
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数 f x 满足
2 f x + f 1- x = 3x2 + a - 2 x - 2a +1 x R ．
(1)讨论 f x 的奇偶性；
(2)设函数 h x = x + ln é f x ù x 1 ，求证： 1, + y∣y = h x ．
拓展冲刺练
一、单选题
1 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = x x - x -12 < 0 ， B = x R log2 5 - x <1 ，
则 R A I B =（ ）
A． x -3 < x 4 B． x -3 x < 4 C． x x 4 D． x 4 x < 5
2．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）在区间 0，5 内随机取一个实数 a，则关于 x 的不等式
x2 + 2 - a x - 2a < 0仅有 2 个整数解的概率为（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是
（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
4．（2023· 3全国·模拟预测）已知函数 f x = x + sin x 2，若不等式 f x - ax + 2 0 恒成立，
则实数 a 的最大值为（ ）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
二、多选题
r r r r
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量 a,b满足 | a |= 2 ， | b |= 4，且对任意的实数 t ，都有
r
b + tar b ar- 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
r r r r rA． 4a - b 与b 垂直 B． (3a
r
+ b) ×b = 27
lar 1
r r r r
C． - b + la
r r r 1
- b 的最小值为 21 D． la - b - la - b 的最大值为4 2 2 2
6．（23-24 高三上· 2辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于 x 的不等式 x + 7a < 7 + a x的解集恰有 50
个整数元素，则下列各选项正确的是（ ）
A． a的值可能为-43
B．这 50 个整数元素之和可能为-925
C． a的值可能为 57.5
D．这 50 个整数元素之和可能为 1625
三、填空题
7．（2022 高三上·河南· 2专题练习）已知 p : x -1 < 1， q : x - a +1 x + a 0，若 p 是q的必要不
充分条件，则实数 a的取值范围是 ．
8．（23-24 高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数 y = ax -1 x - a ．甲同学： y > 0的解集
为 - ,a U 1 ,+

÷ ；乙同学： y 0 ,a U
1< 的解集为 - ,+

a a ÷
；丙同学：y 的对称轴大于
è è
零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则 a 的范围为 ．
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = x2 + ax + b，若对任意 x 1,5 , f x 2，
则所有满足条件的有序数对 a,b 是 ．
10．（23-24 高三上·全国·阶段练习）对任意的 x R ，不等式
2x2 - 7x +14 m x2 - 6x +13 x2 - 8x +17 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．
四、解答题
11．（23-24 高三上· 2福建莆田·阶段练习）解关于 x 的不等式： ax - a + 2 x + 2 < 0 a R .
12．（2024 高三·全国·专题练习）设函数 f x = mx2 - mx -1．
(1)若对于一切实数 x ， f (x) < 0恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于 x 1,3 ， f (x) < -m + 5恒成立，求实数m 的取值范围．
1
13．（2023· 2陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f (x) = x - 3x + 2ln x .
2
(1)求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意 x1, x2 [1,3]，都有 f (x1) - f (x2 ) 2m - 2，求实数m 的取值范围;
g(x) f (x) 1 2 7（ⅱ）设 = + x ，且 g(x1) + g(x2 ) = 0 ，求证: x + x > .2 1 2 2
2x
14．（23-24 高三上· · a - b天津南开 期中）设函数 f (x) = x (a > 0, 且a 1)是定义域为R 的奇a
函数，且 y = f (x)
3
的图象过点 1, ÷ .
è 2
(1)求 a，b 的值；
(2)设 g(x) = (x - p)(x - q)2 , p < q，若"x R, f (-g(x)) + f mxg (x) 0 （ g (x) 为函数 g(x)的
导数），试写出符合上述条件的函数 g(x)的一个解析式，并说明你的理由．

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