资源简介

考点 09 函数的对称性（3 种核心题型+基础保分练+综合提升
练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问
题．
【知识点】
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称．
(2)若 f(x－2)是偶函数，则函数 f(x)图象的对称轴为 ；若 f(x－2)是奇函数，则函数
f(x)图象的对称中心为 ．
2．若函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称，则 f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数 y＝f(x)满足 f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)关于 对称；
(2)函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)关于 对称；
(3)函数 y＝f(x)与 y＝－f(－x)关于 对称．
【核心题型】
题型一　轴对称问题
　函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
a＋b
若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 成轴对称．
2
【例题 1】（2024·辽宁·一模）已知函数 f (x + 2)为偶函数，且当 x 2时，
f x = log 1 x2 - 4x + 7 ，若 f (a) > f (b) ，则（ ）
7
A． (a + b - 4)(a - b) < 0 B． (a + b - 4)(a - b) > 0
C． (a + b + 4)(a - b) < 0 D． (a + b + 4)(a - b) > 0
【变式 1】（2024·四川泸州·二模）定义域为R 的函数 f x 满足 f x + 2 = f x - 2 ，当
x -2,2 时，函数 f x = 4 - x2 g(x) = e-|x-2|，设函数 -2 < x < 6 ，则方程 f x - g x = 0的
所有实数根之和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式 2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = x -1 ，公差不为 0 的等差数列 an
的前 n项和为 Sn .若 f a1012 = f a1013 ，则 S2024 =（ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 及其导数 f x 的定义域为R ，记
g x = f x ，且 f x , g x +1 都为奇函数．若 f -5 = 2，则 f 2023 =（ ）
1
A．0 B．- C．2 D．-2
2
题型二　中心对称问题
函数 y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数 y＝
a＋b c
f(x)满足 f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则 y＝f(x)的图象关于点( ， )成中心对称．2 2
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）设 f x 是定义域为R 的偶函数，且 f 2x +1 为奇函数.若
f 1 1 1 1 2023 2023 3 ÷
= , f = f3 2 ÷ 2 ，则 ÷
+ f
3
=
2 ÷ （ ）è è è è
1 1 5 5
A． B．- C．- D．
6 6 6 6
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）定义在R 上的偶函数 f x 满足 f 2- x = - f x ，则
（ ）
A． f x = f 2 + x B． f -x = f 2 - x
C． f x = f 4 - x D． f x - 2 是奇函数
3
【变式 2】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x = ，则函数 y = f x -1 +1x 的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 -1,1 对称
C．关于点 -1,0 对称 D．关于点 1,0 对称
【变式 3】（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）定义在R 上的函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象
关于 y 轴对称，且函数 y = f (x - 2) +1是奇函数，则函数 y = g(x) 图象的对称中心为（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
题型三　两个函数图象的对称
b－a
函数 y＝f(a＋x)的图象与函数 y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝ 对称．
2
【例题 3】（2024 上·北京·高二统考学业考试）在同一坐标系中，函数 y = f x 与 y = - f x
的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于 x 轴对称
C．关于 y 轴对称 D．关于直线 y = x 对称
【变式 1】（2024 下·江苏扬州·高三统考开学考试）定义在R 上的函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的
图象关于 y 轴对称，且函数 y = f (x - 2) +1是奇函数，则函数 y = g(x) 图象的对称中心为
（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【变式 2】（2020 上·安徽·高一校联考期末）已知函数 y = f (x -1)是定义在 R 上的奇函数，
函数 y = g(x) 的图象与函数 y = f (x) 的图象关于直线 x - y = 0对称，那么 y = g(x) 的对称中
心为(　　)
A． (1,0) B． (-1,0) C．( 0, 1) D． (0,-1)
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y＝f(x)的定义域为 R，则函数 y＝f(x－1)与 y＝
f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0 对称 B．y＝0 对称 C．x＝1 对称 D．y＝1 对称
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）函数 y = f x 满足对任意 x R 都有 f x + 2 = f -x
成立，函数 y = f x -1 的图象关于点 1,0 对称，且 f 1 = 4 ，则
f 2018 + f 2019 + f 2020 =（ ）
A．-4 B．0 C．4 D．8
2．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数 f (x) = x3 + ax2 + x + b的图象关于点 (1,1) 对称，则b =
（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
ì2
-1-x + 2, x < -1,
3．（23-24 高三上·全国·开学考试）已知函数 f x = í 则 f x 的图象关于
2 - 2
x+1, x > -1,
（ ）
A．点 1,-2 对称 B．点 -1,2 对称 C．直线 x =1对称 D．直线 x=-1对称
4．（2023·云南·模拟预测）已知函数 f x ， g x 的定义域均为 R ， f x +1 + f x -1 = 2，
g x + 2 是偶函数，且 f x + g 2 + x = 4， g 2 = 2，则（ ）
A． f x 关于直线 x =1对称 B． f x 关于点 1,0 中心对称
15
C． f 2023 =1 D． f (k) =15
k =1
5．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ， f x -1 的图象关于点 (1,0)对
称， f
f x - f x
3 = 0 2 1 ，且对任意的 x1, x2 - ,0 ， x1 x2 ，满足 < 0，则不等式x2 - x1
x -1 f x +1 0的解集为（ ）
A． - ,1 2, + B． -4, -1 0,1
C． -4, -1 1,2 D． -4, -1 2, +
二、多选题
6．（2024·全国·二模）已知 f x 是定义在R 上不恒为0的函数， f x -1 的图象关于直线 x =1
对称，且函数 y
1
= 的图象的对称中心也是 f x 图象的一个对称中心，则（
x 2 ）-
A．点 -2,0 是 f x 的图象的一个对称中心
B． f x 为周期函数，且 4 是 f x 的一个周期
C． f 4 - x 为偶函数
D． f 31 + f 35 = 2
7．（2024·江苏南通·二模）已知函数 f x ， g x 的定义域均为 R， f x 的图象关于点(2，
0)对称， g(0) = g(2) =1， g(x + y) + g(x - y) = g(x) f (y)，则（　　）
A． f x 为偶函数 B． g x 为偶函数
C． g(-1- x) = -g(-1+ x) D． g(1- x) = g(1+ x)
三、填空题
8．（2024·宁夏银川·一模）已知偶函数 f x 的图象关于直线 x = 2对称， f 2 = 2，且对任意
x , x 0,1 f x + x = f x + f x f 7 7+ f 7 7 1 2 ，均有 1 2 1 2 成立，若 ÷ + f 2 ÷ +L+ f2 2 ÷ < tè è è 2n
对任意 n N* 恒成立，则 t 的最小值为 .
9．（23-24 高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f 4x +1 的图象关
100
于点 0,2 中心对称，若 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0，则 f i = .
i=1
四、解答题
10．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数是否存在对称轴或对称中心？
2
(1)f(x) x + x +1＝ ；
x
(2)f(x)＝(ex－e－x)2；
4
(3)f(x)＝2x＋ .
2x
11．（2024·湖南·二模）已函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c(a,b,c R) ，其图象的对称中心为 (1, -2) .
(1)求 a - b - c 的值；
(2)判断函数 f x 的零点个数.
12．（2024 高三下·浙江杭州·专题练习）已知函数 f x x + 7= 关于点 -1,1 中心对称．
x + a
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)讨论 g 2x = x f x 在区间 0, + 上的单调性；
(3)设 a1 =1, an+1 = f an ，证明： 2n-2 2ln an - ln 7 <1．
综合提升练
一、单选题
1 2024· · f x = ex + e2-x．（ 云南昆明 一模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 为增函数 B． f x 有两个零点
C． f x 的最大值为 2e D． y = f x 的图象关于 x =1对称
2．（2024·河南新乡·二模）已知函数 f x 满足 f x + y +1 = f x + f y ，则下列结论一定
正确的是（ ）
A． f x +1是奇函数 B． f x -1 是奇函数
C． f x -1是奇函数 D． f x +1 是奇函数
x
3．（2024 高三·全国· x-1 - x+1专题练习）已知函数 f x = ， g x = e - e +1，则 f x 与 g x
x -1
的图象交点的纵坐标之和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．（2024·全国·模拟预测）若定义在R 上的函数 f x 满足 f x = f x ，且
f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，则下列结论错误的是（ ）
A． f 8 + x = f x B． f x 的图象关于直线 x = 4对称
C． f 201 = 3 D． y = f x + 2 - 3是奇函数
5 ．（ 23-24 高 三 下 · 山 东 菏 泽 · 阶 段 练 习 ） 已 知 函 数 f x 定 义 域 为 R ， 且
f 2 + x - f 2 - x = -4x ， f 1+ 3x 关于 0,2 对称，则 f 2025 =（ ）
A．-4046 B． 4046 C．1 D． 0
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 f x 的定义域为R ，函数 f x 满足
f x + f 4 - x = 6, g x 12x + 2023= ， f x , g x 图象的交点分别是
4x -8
x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 ,LL， xn , yn ，则 y1 + y2 +LL+ yn可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
f x f x -1 7．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数 的定义域为R ， ÷ 为奇函数，设 g x
è 2
10
是 f x 的导函数，若 g 2x +1 为奇函数，且 g 0 1= ，则 kg 2k =（2 ）k =1
13 13 11
A． B．-
11
C． D． -
2 2 2 2
8．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + 2 - 2为奇函数， f 3x +1
2024
为偶函数， f 1 = 0，则 f k =（ ）
k =1
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
二、多选题
9．（2023·山东·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ， f 2x +1 为奇函数，
f 4 - x = f x ， f 0 = 2 ，且 f x 在 0,2 上单调递减，则（ ）
A． f 1 = 0 B． f 8 = 2
C． f x 在 6,8 上单调递减 D． f x 在 0,100 上有 50 个零点
10．（2024·全国·模拟预测）设 f x 是定义域为R 的偶函数，且 f 2x +1 为奇函数．若
f 1 1 ÷ = , f
1 1
÷ =3 3 ，则（ ）è è 2 2
A． f x 的图象关于点 1,0 对称 B． f x 的周期是 2
C． f x 2023 2023 1的图象关于直线 x = 2对称 D． f ÷ + f ÷ =
è 3 è 2 6
11．（2024·湖北·二模）我们知道，函数 y = f (x) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要
条件是函数 y = f (x) 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 y = f (x) 的图象关于点
P(a,b) 4成中心对称图形的充要条件是函数 y = f (x + a) - b为奇函数．已知函数 f (x) = ，
2x + 2
则下列结论正确的有（ ）
A．函数 f (x) 的值域为 (0, 2]
B．函数 f (x) 的图象关于点 (1,1) 成中心对称图形
C．函数 f (x) 的导函数 f (x) 的图象关于直线 x =1对称
D．若函数 g(x)满足 y = g(x +1) -1为奇函数，且其图象与函数 f (x) 的图象有 2024 个交
2024
点，记为 Ai (xi , yi )(i =1,2,L, 2024) ，则 (xi + yi ) = 4048
i=1
三、填空题
12．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y＝g（x）的图象与 y＝ln x 的图象关于直线 x＝2 对
称，则 g（x）＝ ．
13．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f (x) = f (2 - x)，当 x [0,1]
时， f x = 2x .函数 g x = e- x-1 -1< x < 3 ，则 f (x) 与 g(x)的图象所有交点的横坐标之和
为 .
14．（2024· x-1 1-x 3内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R 上的函数 f x = e - e + (x -1) + x，满
足不等式 f 2x - 4 + f 2 - 3x 2，则 x 的取值范围是 ．
四、解答题
x 3a 15．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知函数 f x = 2 ，函数 h x 与 f x 关于点 log2 3, ÷
è 2
中心对称．
(1)求 h x 的解析式；
(2)若方程 f x = h x 有两个不等的实根x1，x2，且 x1 - x2 = 2，求 a 的值．
3
16．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x ．9 + 3
1 1
(1)求证：函数 f x 的图象关于点 , ÷对称；
è 2 2
(2)求 S = f -2022 + f -2021 +L+ f 0 +L+ f 2022 + f 2023 的值．
n
17．（23-24 高三上·上海·期中）已知函数 f x = m - x m, n R .4 +1
(1)当m = 3时，确定是否存在 n，使得 f x 的图象关于原点中心对称；
(2)对于任意给定的非零常数m ， y = f x 的图象与 x 轴负半轴总有公共点，求 n的取值范围；
(3)当 n =1时，函数 g x 的图象与 y = f x 图象关于点 1,0 对称，若对任意： x 1,2 ，
g x < 0恒成立，求m 的取值范围.
18．（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 f x = 2 x + 2x - m m > 0 的图象关于直
线 x =1对称．
(1)求 m 的值，及 f x 的最小值；
a b 1 4(2)设 ， 均为正数，且 a + b = m，求 + 的最小值.
a b
19．（23-24 高三下·山东·开学考试）已知函数 f x = ln x +1 ．
(1)讨论函数F x = ax - f x a R 的单调性；
1 1
(2)设函数 g x = x +1 f ÷ - f +1x x ÷．è è
（ⅰ）求 g 1 - g -2 的值；
（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线 y = g x 关于直线 x = m 对称．
拓展冲刺练
一、单选题
3
1．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数 f x = x ，则 f x 的图象（3 1 ）+
3 3
A．关于点 ,0÷对称 B．关于直线 x = 对称
è 2 2
0, 3 x 1C．关于点 ÷ 对称 D．关于直线 = 对称
è 2 2
2 3
2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 f x 满足 f x + y + f x - y = f x f y ，f 1 = ，
3 2
则下列结论不正确的是（ ）
A． f 0 =3 B．函数 f 2x -1 1关于直线 x = 对称
2
C． f x + f 0 0 D． f x 的周期为 3
3．（2023·四川乐山·一模）已知函数 f x 定义域为 R，且满足 f 0 = 0， f -x = f x ，
f 1- t - f 1+ t + 4t = 0，给出以下四个命题：
① f -1 = f 3 ；
② f x + 2 = f x ；
③ f 4 = 64 ；
④函数 y = f x - 2x 的图象关于直线 x =1对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1
4．（22-23 高三下·全国·阶段练习）已知函数 f x = x + 2ax，则下列关于 f x 的结论中e +1
正确的是（ ）
A． f x 在 1, + 1上有最小值 B．若 a = ，则 f x 有最大值
4
C． f -e + f e =1 D． f x 关于点 0,1 中心对称
5．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知 f x ， g x 都是定义在R 上的函数，对任意 x，y 满足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，则下列说法正确的是（ ）
A． f 0 =1 B．函数 g 2x +1 的图象关于点 1,0 对称
2023
C． g 1 + g -1 = 0 D．若 f 1 =1，则 f n = 1
n=1
二、多选题
π
6．（23-24 高三上·浙江杭州·期末）已知函数 f x = cos 2x ， g x = sin 2x + ÷，则（3 ）è
A．将函数 y = f x π的图象右移 个单位可得到函数 y = g x 的图象
12
B．将函数 y = f x π的图象右移 个单位可得到函数 y = g x 的图象
6
C．函数 y = f x 与 y = g x 的图象关于直线 x π= 对称
24
7π
D．函数 y = f x 与 y = g x 的图象关于点 ,0÷对称
è 24
7．（2024·吉林白山·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，其图象关于 1,2 中心对称，若
f x - f 4 - x
= 2 - x ，则（ ）
4
A． f 2 - 3x + f 3x = 4 B． f x = f x - 4
20
C． f 2025 = -4046 D． f (i) = -340
i=1
三、填空题
x
8．（2023·四川泸州·一模）函数 f x = 的对称中心为 ．
x -1
f x 1 x3 x2 x 1, f m 2, f n 29．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数 = - + + = = ，则
3 3
m + n = ．
四、解答题
1
10．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = a 1- 2 x - 2 ÷
， a R 且 a > 0
è
1
(1)证明：函数 f (x) 的图像关于直线 x = 对称；
2
(2)若 x0 满足 f ( f (x0 )) = x0 但 f (x ) x， 0 0 ，则 x0 称为函数 f (x) 的二阶周期点，如果 f (x) 有两
个二阶周期点 x1, x2 ，试确定实数 a的取值范围．
11．（2023·上海嘉定·二模）已知 f x = x + 2sin x，等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，记
n
Tn = f ai ．
i=1
(1)求证：函数 y = f x 的图像关于点 p ,p 中心对称；
(2)若 a1、 a2、a3是某三角形的三个内角，求T3的取值范围；
(3)若 S100 =100p ，求证：T100 =100p ．反之是否成立？并请说明理由．考点 09 函数的对称性（3 种核心题型+基础保分练+综合提升
练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问
题．
【知识点】
1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称．
(2)若 f(x－2)是偶函数，则函数 f(x)图象的对称轴为 x＝－2；若 f(x－2)是奇函数，则函数 f(x)
图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称，则 f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数 y＝f(x)满足 f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)关于 y 轴对称；
(2)函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)关于 x 轴对称；
(3)函数 y＝f(x)与 y＝－f(－x)关于原点对称．
【核心题型】
题型一　轴对称问题
　函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
a＋b
若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 成轴对称．
2
【例题 1】（2024·辽宁·一模）已知函数 f (x + 2)为偶函数，且当 x 2时，
f x = log 1 x2 - 4x + 7 ，若 f (a) > f (b) ，则（ ）
7
A． (a + b - 4)(a - b) < 0 B． (a + b - 4)(a - b) > 0
C． (a + b + 4)(a - b) < 0 D． (a + b + 4)(a - b) > 0
【答案】A
【分析】由题意判断 f (x) 的图象关于直线 x = 2对称，结合当 x 2时的函数解析式，判断其
单调性，即可判断 f (x) 在直线 x = 2两侧的增减，从而结合 f (a) > f (b) ，可得 | a - 2 |<| b - 2 |，
化简，即得答案.
【详解】因为函数 f (x + 2)为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，则 f (x) 的图象关于直线 x = 2
对称，
当 x 2时， f x = log 1 x2 - 4x + 7 ，因为 y = x2 - 4x + 7 在[2,+ )上单调递增且 y 7，
7
而 y = log 1 x 在 (0, + )上单调递减，故 f x 在[2,+ )上单调递减，
7
则 f x 在 (- , 2]上单调递增，
故由 f (a) > f (b) 可得 | a - 2 |<| b - 2 |，即 | a - 2 |2 <| b - 2 |2 ，
则 a2 - 4a + 4 < b2 - 4b + 4，故 (a + b - 4)(a - b) < 0，
故选：A
【变式 1】（2024·四川泸州·二模）定义域为R 的函数 f x 满足 f x + 2 = f x - 2 ，当
x -2,2 时，函数 f x = 4 - x2 ，设函数 g(x) = e-|x-2| -2 < x < 6 ，则方程 f x - g x = 0的
所有实数根之和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】首先得到 f x 是以 4为周期的周期函数， g x 关于 x = 2对称，在同一平面直角坐
标系中画出 y = g x 与 y = f x x -2,6 的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称
性计算可得.
【详解】因为定义域为R 的函数 f x 满足 f x + 2 = f x - 2 ，即 f x + 4 = f x ，
所以 f x 是以 4为周期的周期函数，
又 g(x) = e- x-2 -2 < x < 6 ，则 g 4 - x = e- 4-x -2 = e- x-2 = g x ，
所以 g x - -2-2 1关于 x = 2对称，又 g -2 = g 6 = e = 4 > 0，e
- x+2
g(x) = e- x-2
ìe ,2 x < 6
又 = íex-2
，
, -2 < x < 2
2
又当 x -2,2 时，函数 f x = 4 - x ，所以 f -2 = f 2 = 0，则 f 6 = f 2 = 0，
令 f x - g x = 0 ，即 f x = g x ，
在同一平面直角坐标系中画出 y = g x 与 y = f x x -2,6 的图象如下所示：
由图可得 y = g x 与 y = f x x -2,6 有 4个交点，交点横坐标分别为 x1, x2 , x3 , x4 ，
且x1与 x4关于 x = 2对称，x2与 x3 关于 x = 2对称，
所以 x1 + x4 = 4， x3 + x2 = 4，
所以方程 f x - g x = 0 的所有实数根之和为 x1 + x2 + x3 + x4 = 8 .
故选：D
【变式 2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = x -1 ，公差不为 0 的等差数列 an
的前 n项和为 Sn .若 f a1012 = f a1013 ，则 S2024 =（ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
【答案】B
【分析】先根据题中条件得到a1012 + a1013 = 2，故 a1 + a2024 = 2，结合等差数列的前 n项和公
式可得.
【详解】由题可知函数 f x 的图象关于直线 x =1对称，
因为 an 的公差不为 0，所以 a1012 a1013
又因 f a1012 = f a
a
，所以 1012
+ a1013
1013 = 1，2
所以a + a = 2
2024 a + a 2024 a
，故 S 1 2024 1012
+ a1013
1012 1013 2024 = = = 2024 ，2 2
故选：B
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 及其导数 f x 的定义域为R ，记
g x = f x ，且 f x , g x +1 都为奇函数．若 f -5 = 2，则 f 2023 =（ ）
1
A．0 B．- C．2 D．-2
2
【答案】C
【分析】根据 g x 的性质结合导数运算分析可知 f x 的图象关于 x =1对称，结合奇函数分
析可知 f x 的周期为 4，根据周期性运算求解.
【详解】因为 g x +1 为奇函数，则 g 1+ x = -g 1- x ，
即 g 1+ x + g 1- x = 0 ，可知 g x = f x 的图象关于点 1,0 对称，
可得 f 1+ x + c = f 1- x + c，即 f 1+ x = f 1- x ，
可知 f x 的图象关于 x =1对称，则 f x = f 2 - x ，
又因为 f x 为奇函数，则 f x = - f -x ，
可得 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，可知 f x 的周期为 4，
所以 f 2023 = f 507 4 - 5 = f -5 = 2 .
故选：C．
题型二　中心对称问题
函数 y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数 y＝
a＋b c
f(x)满足 f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则 y＝f(x)的图象关于点( ， )成中心对称．2 2
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）设 f x 是定义域为R 的偶函数，且 f 2x +1 为奇函数.若
f 1 1 ÷ = , f
1 1 2023 2023
3 3 2 ÷
= f
2 ，则 3 ÷
+ f ÷ =（ ）
è è è è 2
1 1 5 5
A． B．- C．- D．
6 6 6 6
【答案】A
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】由 f 2x +1 为奇函数，得 f 2x +1 + f -2x +1 = 0 ，
得 f x 的图象关于点 1,0 对称，所以 f x = - f 2 - x .
又因为 f x 是定义域为R 的偶函数，所以 f x = - f 2 - x = - f x - 2 ，
f x = - f x - 2 = f x - 4 ，
所以 f x 的周期为 4，
f 2023 + f 2023 = f 168 4 1+ 2 + 1+ f 252 4 + 3+ 所以 3 ÷ 2 ÷ 3 ÷ ÷è è è è 2
= f 2
1
+ ÷ + f

3
1
+ ÷ = - f
1- 1 1 1 1 1 1
3 2 3 ÷
+ f - ÷ = - f ÷ + f ÷ = - + = .
è è è è 2 è 3 è 2 3 2 6
故选：A.
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）定义在R 上的偶函数 f x 满足 f 2- x = - f x ，则
（ ）
A． f x = f 2 + x B． f -x = f 2 - x
C． f x = f 4 - x D． f x - 2 是奇函数
【答案】C
【分析】根据题中条件，可知 f 2 - x = - f -x , f 2 + x = - f -x = - f x ，故 A、B 错误；
对于 C，令 x = x + 2，可得 f 4 + x = f x ，继而 f 4 - x = f x ，C 正确；对于 D， f x - 2
的图象可由 f x 的图象平移得到，从而得到 f x - 2 的对称中心，即可判断 D.
【详解】因为 f 2 - x = - f x ， f x 为偶函数，
所以 f 2 - x = - f -x , f 2 + x = - f -x = - f x ，
所以 A、B 错误；
因为 f x 是偶函数，所以 f 2 + x = - f x ，
所以 f 4 + x = - f x + 2 = f x ，
而 f 4 - x = f -x = f x ，所以 C 正确；
因为 f 2 - x = - f x ，
所以 f x 的图象关于 1,0 中心对称，
f x - 2 的图象可由 f x 的图象向右平移 2 个单位长度得到，
则 f x - 2 的图象关于 3,0 对称，不是奇函数，所以 D 错误．
故选：C.
3
【变式 2】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x = x ，则函数 y = f x -1 +1的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 -1,1 对称
C．关于点 -1,0 对称 D．关于点 1,0 对称
【答案】A
【分析】首先判断函数 f x 3= x 为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
3 3
【详解】函数 f x = 的定义域为 x | x 0 ，又 f -x = - = - f x x x ，
f x 3所以 = x 为奇函数，则函数 f x 的图象关于原点 0,0 对称，
又 y = f x -1 +1 3的图象是由 f x = x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
所以函数 y = f x -1 +1的图象关于点 1,1 对称.
故选：A
【变式 3】（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）定义在R 上的函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象
关于 y 轴对称，且函数 y = f (x - 2) +1是奇函数，则函数 y = g(x) 图象的对称中心为（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.
【详解】由题意得函数 y = f (x - 2) +1是奇函数，则 y = f (x) 关于 -2, -1 对称，
另知函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象关于 y 轴对称，故 y = g(x) 关于 (2,-1)对称，
故选：D
题型三　两个函数图象的对称
b－a
函数 y＝f(a＋x)的图象与函数 y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝ 对称．
2
【例题 3】（2024 上·北京·高二统考学业考试）在同一坐标系中，函数 y = f x 与 y = - f x
的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于 x 轴对称
C．关于 y 轴对称 D．关于直线 y = x 对称
【答案】B
【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.
【详解】当 x = a时， y = f a 与 y = - f a 互为相反数，
即函数 y = f x 与 y = - f x 的图象关于 x 轴对称.
故选：B.
【变式 1】（2024 下·江苏扬州·高三统考开学考试）定义在R 上的函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的
图象关于 y 轴对称，且函数 y = f (x - 2) +1是奇函数，则函数 y = g(x) 图象的对称中心为
（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.
【详解】由题意得函数 y = f (x - 2) +1是奇函数，则 y = f (x) 关于 -2, -1 对称，
另知函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象关于 y 轴对称，故 y = g(x) 关于 (2,-1)对称，
故选：D
【变式 2】（2020 上·安徽·高一校联考期末）已知函数 y = f (x -1)是定义在 R 上的奇函数，
函数 y = g(x) 的图象与函数 y = f (x) 的图象关于直线 x - y = 0对称，那么 y = g(x) 的对称中
心为(　　)
A． (1,0) B． (-1,0) C．( 0, 1) D． (0,-1)
【答案】D
【解析】由奇函数的性质以及函数图象的平移变换法则得出函数 y = f (x) 的图象关于 (-1,0)
对称
再根据函数 y = g(x) 的图象与函数 y = f (x) 的图象关于直线 x - y = 0对称，求出函数
y = g(x) 的对称中心.
【详解】函数 y = f (x -1)是定义在 R 上的奇函数，则其图象关于原点对称
由于函数 y = f (x -1)的图象向左平移一个单位得到函数 y = f (x) 的图象
则函数 y = f (x) 的图象关于 (-1,0) 对称
又因为函数 y = g(x) 的图象与函数 y = f (x) 的图象关于直线 x - y = 0对称
所以函数 y = g(x) 的图象关于 (0, -1) 对称
故选：D
【点睛】本题主要考查了奇函数图象的对称性、函数图象的平移变换以及反函数图象的关系，
属于中档题.
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y＝f(x)的定义域为 R，则函数 y＝f(x－1)与 y＝
f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0 对称 B．y＝0 对称 C．x＝1 对称 D．y＝1 对称
【答案】C
【详解】因为函数 f(x－1)的图象是 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到，f(1－x)＝f(－(x－
1))的图象是 f(－x)的图象也向右平移 1 个单位长度得到；因为 f(x)与 f(－x)的图象是关于 y 轴
(直线 x＝0)对称，所以函数 y＝f(x－1)与 y＝f(1－x)的图象关于直线 x＝1 对称．故选 C.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）函数 y = f x 满足对任意 x R 都有 f x + 2 = f -x
成立，函数 y = f x -1 的图象关于点 1,0 对称，且 f 1 = 4 ，则
f 2018 + f 2019 + f 2020 =（ ）
A．-4 B．0 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及周期性，逐步转化计算，即可得到本题答案.
【详解】因为函数 y = f x -1 的图象关于点 1,0 对称，
所以函数 y = f (x) 的图象关于 (0,0)对称，即 y = f (x) 为R 上奇函数，
所以 f (-x) = - f (x) ，且 f (0) = 0，
又因为 f x + 2 = f -x = - f (x)，所以 f (x + 4) = - f (x + 2)，
所以 f (x + 4) = f (x) ，则 y = f (x) 的周期为 4，
因为 f x + 2 = f -x ，令 x = 0得， f (2) = f (0) = 0
所以， f 2018 + f 2019 + f 2020 = f (2) + f (3) + f (4)
= f (0) + f (-1) + f (0) = - f (1) = -4 .
故选：A
2．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数 f (x) = x3 + ax2 + x + b的图象关于点 (1,1) 对称，则b =
（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】根据对称性可得 f x + f 2 - x = 2 ，由此可构造方程求得结果.
【详解】Q f x 图象关于点 1,1 对称，\ f x + f 2 - x = 2，
f 2 - x = 2 - x 3又 + a 2 - x 2 + 2 - x + b
= -x3 + a + 6 x2 - 4a +13 x +10 +4a +b，
\ f x + f 2 - x = 2a + 6 x2 - 4a +12 x +10 + 4a + 2b = 2，
ì2a + 6 = 0
\ í4a +12 = 0 ，解得： a = -3，b = 2 .

10 + 4a + 2b = 2
故选：D.
ì2-1-x + 2, x < -1,
3．（23-24 高三上·全国·开学考试）已知函数 f x = í x+1 则 f x 的图象关于
2 - 2 , x > -1,
（ ）
A．点 1,-2 对称 B．点 -1,2 对称 C．直线 x =1对称 D．直线 x=-1对称
【答案】B
【分析】根据 g x 是奇函数，可得 g x 关于原点对称，进而根据 f x = g x +1 + 2即可根
据平移求解.
ì2- x , x < 0,
【详解】因为 g x = f x -1 - 2 = í x
-2 , x > 0,
由于 g x 的定义域关于原点对称，且 g -x = -g x ，所以 g x 是奇函数，
所以 f x = g x +1 + 2的图象关于点 -1,2 对称.
故选：B.
4．（2023·云南·模拟预测）已知函数 f x ， g x 的定义域均为 R ， f x +1 + f x -1 = 2，
g x + 2 是偶函数，且 f x + g 2 + x = 4， g 2 = 2，则（ ）
A． f x 关于直线 x =1对称 B． f x 关于点 1,0 中心对称
15
C． f 2023 =1 D． f (k) =15
k =1
【答案】C
【分析】对于 A，由 g x + 2 是偶函数，且 f x + g 2 + x = 4，可得 f x 为偶函数，可求
得其对称轴，对于 B，再结合 f x +1 + f x -1 = 2，可得 f x 关于点 (1，1)中心对称，对于
CD，由前面的计算可得 f x 的周期为 4，然后根据已知条件求出 f (0), f (1), f (2), f (3)，从
而可判断.
【详解】对于 A，∵g(x + 2) 是偶函数，∴g(2 - x) = g(2 + x)，
又 f (x) + g(2 + x) = 4，f (-x) + g(2 - x) = 4，
\ f (-x) = f (x)，\ f (x)是偶函数，∴ f x 关于直线 x = 0对称，所以 A 错误，
对于 B，∵ f (x + 2) + f (x) = 2，∴ f (x + 2) + f (-x) = 2，∴ f (x)关于点 (1，1)中心对称，所以 B
错误，
对于 CD，又 f (-x + 2) + f (-x) = 2，∴ f (-x + 2) = f (x + 2)，即 f (x + 4) = f (x)，∴4 是 f (x) 的
一个周期；
令 x = 0，可得 f (0) + g(2) = 4，
∴ f (0) = 2，f (2) = 0，又 f (1) =1，∴ f (3) =1，
∴ f (2023) = f (4 505 + 3) = f (3) =1，
15
f (k) = 4 3 + f (1) + f (2) + f (3) =12 + 2 =14，
k =1
所以 C 正确，D 错误，
故选：C.
5．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ， f x -1 的图象关于点 (1,0)对
f x - f x
称， f 3 = 0，且对任意的 x1, x

2 - ,0 ， x1 x 2 12 ，满足 < 0，则不等式x2 - x1
x -1 f x +1 0的解集为（ ）
A． - ,1 2, + B． -4, -1 0,1
C． -4, -1 1,2 D． -4, -1 2, +
【答案】C
【分析】首先根据 f (x -1)的图象关于点 (1,0)对称，得出 (x)是定义在 R 上的奇函数，由对任
f (x ) - f (x )
意的x1， x2 (- ,0) ， x1 x
2 1
2 ，满足 < 0 f (x) (- ,0)x - x ，得出 在 上单调递减，然2 1
后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．
【详解】Q f (x -1) 的图象关于点 (1,0)对称，\ f (x)的图象关于点 (0,0)对称，\ f (x)是定
义在 R 上的奇函数，
f (x ) - f (x )
Q对任意的x1， x2 (- ,0) ， x1 x
2 1
2 ，满足 < 0，\ f (x)在 (- ,0)x - x 上单调递减，2 1
所以 f (x) 在 (0, + )上也单调递减，
又 f 3 = 0所以 f -3 = 0，且 f 0 = 0，
所以当 x - ,-3 0,3 时， f x > 0；当 x -3,0 3, + 时， f x < 0 ，
所以由 x -1 f x +1 ì
x -1< 0, ì x -1 > 0,
0可得 í 3 x 1 0或- + í 或
x -1 = 0
0
，
x +1 3
解得 -4≤ x ≤ -1或1 x 2，即不等式 x -1 f x +1 0的解集为 é-4, -1 1,2ù ．
故选：C.
二、多选题
6．（2024·全国·二模）已知 f x 是定义在R 上不恒为0的函数， f x -1 的图象关于直线 x =1
1
对称，且函数 y = 的图象的对称中心也是 f x 图象的一个对称中心，则（
x 2 ）-
A．点 -2,0 是 f x 的图象的一个对称中心
B． f x 为周期函数，且 4 是 f x 的一个周期
C． f 4 - x 为偶函数
D． f 31 + f 35 = 2
【答案】AC
【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数 f (x) 的性质，再逐项推理判断得解.
【详解】由 f (x -1)的图象关于直线 x =1对称，得函数 f (x) 关于 y 对称，即 f (x) 为偶函数，
f (-x) = f (x)，
1 1
显然函数 y = x 图象的对称中心为原点，则函数
y = 的图象的对称中心为 (2,0)，即
x - 2
f (2 + x) + f (2 - x) = 0，
对于 A， f (-2 + x) + f (-2 - x) = f (2 - x) + f (2 + x) = 0 ，则 (-2,0) 是 f (x) 图象的一个对称中心，
A 正确；
对于 B，由 f (2 + x) + f (2 - x) = 0，得 f (4 + x) + f (-x) = 0，即 f (x + 4) = - f (x)，
f (x + 8) = - f (x + 4) = f (x)， f (x) 是周期函数，8 是该函数的一个周期，
若 4 是 f (x) 的一个周期，则 f (x + 4) = f (x) ，而 f (x + 4) = - f (x)，从而 f (x) = 0 与已知矛盾，
B 错误；
对于 C， f (4 - x) = f [-8 + (4 - x)] = f (-4 - x) = f (4 + x) ，因此 f (4 - x)为偶函数，C 正确；
对于 D，由 f (2 + x) + f (2 - x) = 0，得 f (3) + f (1) = 0，
则 f (31) + f (35) = f (8 4 -1) + f (8 4 + 3) = f (-1) + f (3) = f (1) + f (3) = 0，D 错误.
故选：AC
7．（2024·江苏南通·二模）已知函数 f x ， g x 的定义域均为 R， f x 的图象关于点(2，
0)对称， g(0) = g(2) =1， g(x + y) + g(x - y) = g(x) f (y)，则（　　）
A． f x 为偶函数 B． g x 为偶函数 C． g(-1- x) = -g(-1+ x)
D． g(1- x) = g(1+ x)
【答案】ACD
【分析】由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】令 y = -y ，则 g(x - y) + g(x + y) = g(x) f (-y) ，注意到 g x 不恒为 0 ，
故 f y = f -y ，故 A 正确；
因为 f x 的图象关于点(2，0)对称，所以 f (2) = 0，
令 x = 0, y = 2，得 g(2) + g(-2) = g(0) f (2) = 0，
故 g(-2) = -1 g 2 ，故 B 错误；
令 x = y = -1，得 g(-2) + g(0) = g(-1) f (-1) = 0，
令 x = y =1，得 g(2) + g(0) = g(1) f (1) = 2 ，故 g(1), f (1) 0，
从而 f (-1) 0，故 g(-1) = 0 ,
令 x=-1，得 g(-1+ y) + g(-1- y) = 0，化简得 g(-1- y) = -g(-1+ y)，故 C 正确；
令 y = 2，得 g(x + 2) + g(x - 2) = 0 ，而 g(1- x) = -g(x - 3) = g 1+ x ，故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性常有以下结论
（1） f x + a = f b - x f x x a + b关于 = 轴对称，
2
f x a + b（2） + a + f b - x = 2c f x 关于 ,c 中心对称，
è 2 ÷
三、填空题
8．（2024·宁夏银川·一模）已知偶函数 f x 的图象关于直线 x = 2对称， f 2 = 2，且对任意
x1, x2 0,1 ，均有 f x x f x f x f 7 f
7 f 71 + 2 = 1 + 2 成立，若 + ÷ +

÷ +L+ f
7
÷ < t
è 2 è 22 è 2n
对任意 n N* 恒成立，则 t 的最小值为 .
【答案】5
f (1) 1 f 1 1 , f 1 1【分析】先得到函数的周期，赋值法得到 = ， ÷ = ÷ = ，从而得到
è 2 2 è 4 4
f 7 1, f 7= 1 7 7 ÷ = ，进而得到当 n 2

时， f ÷ = ，从而利用求和得到
è 2 2 è 2n 2n
f 7 f 7 7 7+ 7 2 ÷ + f 2 ÷ +L+ f 1 ÷ = 5 - n-1 ，从而得到 t 的最小值.è è 2 è 2 2
【详解】因为函数 f x 的图象关于直线 x = 0和 x = 2对称，
所以 f x = f 4 - x = f x - 4 ，所以其周期T = 4，
f x1 + x2 = f x1 + f x2 中，令 x1 = x2 =1得， f (2) = 2 f (1)，
又 f 2 = 2，解得 f 1 =1 f 1 1，同理可得 ÷ = , f
1 1
2 2 ÷
= ，
è è 4 4
所以 f 7 = f 3 = f 1 =1, f 7 1 1 ÷ = f ÷ = ，
è 2 è 2 2
f 7 ÷ = f

1
3
+ ÷ = f 1
1 1
+ f + ÷ = f 1 f
1 1 7+
4 4 2 4 2 ÷
+ f ÷ = ，
è è è è è 4 4
f 7 = f 7 + f 7 7 7 7 2 ÷ 3 ÷ 3 ÷ = ，解得 f2 2 2 4 ÷
= ，
è è è è 23 23
7 7
依次类推，可得当 n 2 时， f ÷ = ，
è 2n 2n
7 7
- n+1
所以 f 7 7 7 7 1 7+ f ÷ + f 2 ÷ +L+ f
=1+ + 4 2
2 ÷
= 5 - ，
è è 2 è 2n 2 1 1
n
- 2
2
f 7 f 7 f 7 7又 + + 2 ÷ 22 ÷ +L+ f ÷ < t 对任意 n N
* 恒成立，故 t 5 .
è è è 2n
故答案为：5.
【点睛】关键点点睛：关键是得到 f 7 =1, f 7 1 7 7 ÷ = ，以及 f n ÷ = n ，由此即可顺利得è 2 2 è 2 2
解.
9．（23-24 高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f 4x +1 的图象关
100
于点 0,2 中心对称，若 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0，则 f i = .
i=1
【答案】-9700
【分析】先根据条件证明 f 1+ x + f 1- x = 4 ，然后由 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0证明
f n - 2 + f n =12 - 4n，再由此证明 f 4n - 3 + f 4n - 2 + f 4n -1 + f 4n = 28 - 32n，
100 25
最后由 f i = f 4i - 3 + f 4i - 2 + f 4i -1 + f 4i 得到结果.
i=1 i=1
【详解】对任意 x R ，由于 4x +1 R ，且函数 f x 的定义域为R ，
故点 x, f 4x +1 在曲线 y = f 4x +1 上，且曲线 y = f 4x +1 关于点 0,2 中心对称，
故点 -x, 4 - f 4x +1 也在曲线 y = f 4x +1 上，从而 4 - f 4x +1 = f -4x +1 ，
从而对任意 x R 有 f 1+ 4x + f 1- 4x = 4 .
x f 1 4 x x从而对任意 x R ，由 R 知 + ×

4 4 ÷
+ f 1- 4 × ÷ = 4，即 f 1+ x + f 1- x = 4 .
è è 4
根据条件又有 f 2 + x - f 2 - x + 4x = 0，即 f 2 + x - f 2 - x = -4x .
现在对任意的整数 n，我们有：
f n = f 2 + n - 2
= f 2 - n - 2 - 4 n - 2
= f 4 - n + 8 - 4n
= f 1+ 3 - n + 8 - 4n
= 4 - f 1- 3- n + 8 - 4n
= - f n - 2 +12 - 4n，
所以 f n - 2 + f n =12 - 4n，从而有：
f 4n - 3 + f 4n - 2 + f 4n -1 + f 4n
= f 4n - 3 + f 4n -1 + f 4n - 2 + f 4n
=12 - 4 4n -1 +12 - 4 4n
= 28 - 32n .
故有：
100
f i = f 1 + f 2 + ...+ f 100
i=1
= f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 + ...+ f 97 + f 98 + f 99 + f 100
25
= f 4i - 3 + f 4i - 2 + f 4i -1 + f 4i
i=1
25
= 28 - 32i
i=1
25
= 28 × 25 - 32 i
i=1
= 28 × 25 - 32 1× × 1+ 25 × 25
2
= -9700 .
故答案为：-9700 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对函数方程的处理，通过其中 x 取值的任意性，代入合
适的值得到关键条件.
四、解答题
10．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数是否存在对称轴或对称中心？
2
(1)f(x) x + x +1＝ ；
x
(2)f(x)＝(ex－e－x)2；
4
(3)f(x)＝2x＋ .
2x
【答案】(1)存在对称中心
(2)存在对称轴
(3)存在对称轴
【详解】（1）f(x)＝ ＝x＋ ＋1，f(x) 的图象关于点(0，1)中心对称．
（2） 因为 f(x)＝(ex－e－x)2 满足 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)的图象关于 y 轴对称．
（3）因为 f(x)＝2x＋ 满足 f(1－x)＝f(1＋x)，所以 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．
【考查意图】函数对称性的判断．
11．（2024·湖南·二模）已函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c(a,b,c R) ，其图象的对称中心为 (1, -2) .
(1)求 a - b - c 的值；
(2)判断函数 f x 的零点个数.
【答案】(1) -3
(2)答案见解析
【分析】（1）由 f x 的图象关于 (1, -2) 对称，得到 f x +1 + f -x +1 = -4，列出方程组即
可求解；
（2）由（1）得到函数 f x 的解析式，求出 f x ，利用D判断 f x =0根的情况，分类讨
论确定零点的个数.
【详解】（1）因为函数 f x 的图象关于点 1, -2 中心对称，故 y = f x +1 + 2为奇函数，
从而有 f x +1 + 2 + f -x +1 + 2 = 0，即 f x +1 + f -x +1 = -4，
f x +1 = (x +1)3 + a(x +1)2 + b x +1 + c = x3 + a + 3 x2 + 2a + b + 3 x + a + b + c +1，
f 1- x = (1- x)3 + a(1- x)2 + b 1- x + c = -x3 + a + 3 x2 - 2a + b + 3 x + a + b + c +1，
ì2a + 6 = 0 ìa = -3
所以 í2a 2b 2c 2 4，解得 + + + = -
í
b + c 0
，
=
所以 a - b - c = -3；
（2 3 2）由（1）可知， f x = x - 3x - cx + c f x = 3x2， - 6x - c，Δ = 36 +12c，
①当 c -3时，Δ = 36 +12c 0， f x 0，所以 f x 在R 上单调递增，
Q f 1 = -2 < 0， f 3 = 27 - 3 9 - 3c + c = -2c > 0，
\函数 f x 有且仅有一个零点；
c
②当 -3 < c < 0时， x1 + x2 = 2 > 0， x1 × x2 = - > 0，3
\ f x = 0 2有两个正根，不妨设 x1 < x2，则3x1 - 6x1 - c = 0，
\函数 f x 在 - , x1 单调递增，在 x1, x2 上单调递减，在 x2 , + 上单调递增，
Q f x = x3 21 1 - 3x1 - x1 -1 3x21 - 6x1 = -2x1 x21 - 3x1 + 3 < 0， f 3 = -2c > 0，
\函数 f x 有且仅有一个零点；
③当 c = 0 时， f x = x3 - 3x2 ，
令 f x = x3 - 3x2 = 0，解得 x = 0或 x = 3，
\ f x 有两个零点；
c
④当 c > 0时， x1 + x2 = 2， x1 × x2 = - < 0，3
\ f x = 0有一个正根和一个负根，不妨设 x1 < 0 < x2 ，
\函数 f x 在 - , x1 上单调递增，在 x1, x2 上单调递减，在 x2 , + 上单调递增，
Q f x1 > f 0 = c > 0， f x2 < f 1 = -2 < 0，
\函数 f x 有且仅有三个零点；
综上，当 c > 0时，函数 f x 有三个零点；
当 c = 0 时，函数 f x 有两个零点；
当 c < 0时，函数 f x 有一个零点.
x + 7
12．（2024 高三下·浙江杭州·专题练习）已知函数 f x = 关于点 -1,1 中心对称．
x + a
(1)求函数 f x 的解析式；
2(2)讨论 g x = x f x 在区间 0, + 上的单调性；
(3)设 a1 =1, a
n-2
n+1 = f an ，证明： 2 2ln an - ln 7 <1．
x + 7
【答案】(1) f x =
x +1
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由中心对称函数的性质得出即可；
（2）利用导数分析其单调性即可；
a2 1
（3 n）将要证明的不等式利用对数运算变形为 ln < n-2 ，再用数学归纳法结合（2）证明7 2
即可.
f x x + 7【详解】（1）因为函数 = 关于点 -1,1 中心对称，
x + a
所以 f -1- x + f -1+ x = 2 -1- x + 7 -1+ x + 7，即 + = 2，
a -1- x -1+ x + a
4 8
取 x = 2，可得 + = 2，解得 a =1或 a = 7（舍去），
a - 3 a +1
所以 a =1， f x x + 7= .
x +1
（2）因为 g x = x 2f x ， x > 0，
2
g x x + 7
2
x + 7 é 6 ù x + 7 é x - 2 + 3ù
所以 = 2 + 2x ê- ú =
，
x +1 x +1 ê x +1
2 3
ú x +1
3
因为 x + 7 > 0, x +1 > 0, x - 2 2 + 3 3，所以 g x > 0恒成立，
所以 g x = x f x 2 在区间 0, + 上单调递增.
2
3 n-2（ ）证明：要证 2 2ln an - ln 7 <1，即证 ln
an 1<
7 2n-2
，
a2 1 1
当 n =1时， ln 1 < 1-2 ln = ln 7 < ln e
2 = 2，成立，
7 2 7
a2ln n+1 1 a
2 2
< ln n+1 1 an即证
7 2n-1
，即证 < ln ，
7 2 7
2
由题意得 an > 0 ln
an+1 an
，则即证 < ln ，
7 7
an + 7
因为 a1 =1, an+1 = f an = an +1
，
a + 7 an n - 7 1- 7 an+1 - 7 = - 7 = ，an +1 an +1
由 an > 0，即 an - 7 与 an+1 - 7 异号，
7 a 7 a
当 an > 7
n n
，0 < a ln < ln 2
2 7 + a 即证 anan+1 > 7 7 ，即证 an n1+ a ÷
> 7 7 ，
è n
由（2）可知，当 an > 7, g an > g 7 = 7 7 成立.
a2 7 a2
当 a > 7,0 < a < 7 ，即证 ln n+1 < ln ，即证 n+1
7
n+1 n < ，7 an 7 an
2
即证 a a2
7 + a
n n+1 < 7 7 ，即证 an n < 7 7 ，
è 1+ a
÷
n
由（2）可知，当0 < an < 7, g an < g 7 = 7 7 成立.
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：（1）若函数 f x 满足 f m - x + f m + x = 2n，则对称中心为
m, n ；
（2）判断符合函数的单调性时，常用导数判断；
（3）证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当 n =1时的特例和 n >1的一般情况证
明.
综合提升练
一、单选题
1．（2024· x 2-x云南昆明·一模）已知函数 f x = e + e ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 为增函数 B． f x 有两个零点
C． f x 的最大值为 2e D． y = f x 的图象关于 x =1对称
【答案】D
【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.
【详解】A： f (x) = ex - e2-x ，令 f (x) = 0，得 x =1，
当 x <1时， f (x) < 0 ，当 x >1时， f (x) > 0 ，
所以函数 f (x) 在 (- ,1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，故 A 错误；
B：由选项 A 知，函数 f (x) 在 (- ,1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
且 f 1 = 2e > 0，所以函数 f (x) 在 R 上没有零点，故 B 错误；
C：由选项 A 知，函数 f (x) 在 (- ,1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
所以 f x = fmin 1 = 2e，即函数 f x 的最小值为 2e，故 C 错误；
D： f (2 - x) = e2-x + ex = f (x)，所以函数 f (x) 图象关于直线 x =1对称，故 D 正确.
故选：D
2．（2024·河南新乡·二模）已知函数 f x 满足 f x + y +1 = f x + f y ，则下列结论一定
正确的是（ ）
A． f x +1是奇函数 B． f x -1 是奇函数
C． f x -1是奇函数 D． f x +1 是奇函数
【答案】B
【分析】利用赋值法推得 f (x) + f (-2 - x) = 0，从而得到 f (x) 的对称性，再利用函数图象平
移的性质可判断 B，举反例排除 ACD，由此得解.
【详解】因为 f x + y +1 = f x + f y ，
令 x = y = -1，可得 f -1 = f -1 + f -1 ，则 f (-1) = 0；
令 y = -2 - x ，则 f (-1) = f (x) + f (-2 - x) = 0，
故 f (x) 的图象关于点 (-1,0) 对称，
则 f (x -1)的图象关于点 (0,0)对称，即 f (x -1)是奇函数，故 B 正确；
对于 C，令 x = y = 0 ，可得 f 1 = f 0 + f 0 1，则 f 0 = f 1 ，
2
当 f 1 2时， f 0 -1 0，此时 f x -1不可能是奇函数，
由于无法确定 f 1 的值，故 f x -1不一定是奇函数，故 C 错误；
对于 AD，取 f x = x +1，满足题意，但易知 D 错误；
故选：B.
x
3．（2024 x-1 - x+1高三·全国·专题练习）已知函数 f x = ， g x = e - e +1，则 f x 与 g x
x -1
的图象交点的纵坐标之和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】分别判断函数 f x 与 g x 的对称性与单调性，进而求解即可.
【详解】因为函数 p x 1= 为奇函数，其图象关于点 0,0 对称，且 p x 在 - ,0 ， 0, +
x
上单调递减，
f x x x -1+1 1而 = = =1+ = p x -1 +1，
x -1 x -1 x -1
所以 f x 的图象关于点 1,1 对称，且 f x 在 - ,1 ， 1, + 上单调递减．
x - x
因为函数 q x = e - e 为奇函数，其图象关于点 0,0 对称，且为R 上的增函数，
所以 g x = q x -1 +1的图象关于点 1,1 对称，且为R 上的增函数．
从而 f x 与 g x 的图象有两个关于点 1,1 对称的交点，故两交点的纵坐标之和为 2．
故选：B．
4．（2024·全国·模拟预测）若定义在R 上的函数 f x 满足 f x = f x ，且
f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，则下列结论错误的是（ ）
A． f 8 + x = f x B． f x 的图象关于直线 x = 4对称
C． f 201 = 3 D． y = f x + 2 - 3是奇函数
【答案】C
【分析】本题考查抽象函数的图象与性质内容，根据已有条件 f x = f x 和
f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，以及 x 的任意性结合函数奇偶性和周期性概念、对称性的
判定知识去进行转化推理即可.
【详解】由 f x = f x f -x = f x ，所以 f 2 - x = f x - 2
又 f 2 + x + f 2 - x = 6，所以 f 4 + x + f x = 6，且 f 8 + x + f 4 + x = 6，
所以 f 8 + x = f x ，故 A 正确
由 A 可得， f 8 + x = f -x ，所以 f x 的图象关于直线 x = 4对称，故 B 正确
由 A 可得， f x 是周期为 8 的函数， f 201 = f 1 ，
又由 f 2 + x + f 2 - x = 6, f 3 = 6，得 f 3 + f 1 = 6，所以 f 201 = f 1 = 0 ，故 C 错
误
对于 D，由 f 2 + x + f 2 - x = 6 f x 的图象关于点 2,3 对称，
所以 y = f x + 2 - 3的图象关于原点对称，故 D 正确，
故选：C.
5 ．（ 23-24 高 三 下 · 山 东 菏 泽 · 阶 段 练 习 ） 已 知 函 数 f x 定 义 域 为 R ， 且
f 2 + x - f 2 - x = -4x ， f 1+ 3x 关于 0,2 对称，则 f 2025 =（ ）
A．-4046 B． 4046 C．1 D． 0
【答案】A
【详解】令 g x = f x + 2x，通过条件得到 g x 的对称性，进而得到其周期，再通过赋值
求出 g 1 ，进而通过 f 2025 = g 2025 - 2 2025计算求解即可.
【解答】由题设条件得 f 2 + x + 2 2 + x = f 2 - x + 2 2 - x ，
令 g x = f x + 2x ，有 g 2 + x = g 2 - x ，
则 g x 的图象关于直线 x = 2 对称，
因 为 f 1- 3x + f 1+ 3x = 4 ， 有 f 1- 3x + 2 1- 3x + f 1+ 3x + 2 1+ 3x = 8 ， 即
g 1- 3x + g 1+ 3x = 8 ，
则 g x 的图象关于 1,4 对称 .
所以 g x + g 2 - x = 8 ，又 g 2 + x = g 2 - x ，
所以 g x + g 2 + x = 8， g x + 2 + g 4 + x = 8 ，
所以 g 4 + x = g x ，
所以 4为 g x 的一个周期，
因为 g x + g 2 - x = 8
把 x =1 代入得 g 1 = 4 ，
故 g 2025 = g 4 406 +1 = g 1 = 4 ，
有 f 2025 = g 2025 - 2 2025 = -4046 ．
故选：A.
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 f x 的定义域为R ，函数 f x 满足
f x + f 4 - x = 6, g x 12x + 2023= ， f x , g x 图象的交点分别是
4x -8
x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 ,LL， xn , yn ，则 y1 + y2 +LL+ yn可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
【答案】C
【分析】可以分别说明 f x , g x 的对称中心为 2,3 ，从而两个函数的图象交点关于 2,3
对称，即 y1 + y2 +LL+ yn应为 6 的倍数，由此即可逐一判断.
【详解】因为函数 f x 满足 f x + f 4 - x = 6，所以 f x 的对称中心为 2,3 ，
12 2 + x + 2023 12 2 - x + 2023注意到 g 2 + x + g 2 - x = +4 2 + x -8 4 2 - x -8
12 2 + x + 2023 12 2 - x + 2023
= - = 6，
4x 4x
g x 12x + 2023所以 = 的对称中心也是 2,3 ，
4x -8
故两个函数的图象交点关于 2,3 对称，
故 y1 + y2 +LL+ yn应为 6 的倍数，对比选项可知 C 选项符合题意.
故选：C.
7．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数 f x 的定义域为R ， f x -1

÷ 为奇函数，设 g x
è 2
10
是 f x 1的导函数，若 g 2x +1 为奇函数，且 g 0 = ，则 kg 2k =（ ）2 k =1
13 13 11
- 11A． B． C． D． -
2 2 2 2
【答案】D
x
【分析】由 f -1÷为奇函数，结合导数运算可得 g x -1 = g -x -1 ，由 g 2x +1 为奇函
è 2
数，可得 g x +1 + g -x +1 = 0 ，整理可得 g x + 4 = -g x ，进而分析可得
g 8k 2 g 8k 4 1+ = + = - , g 8k + 6 = g 8k 8 1+ = ,k Z ，即可得结果.
2 2
f x -1 x x【详解】因为 为奇函数，则 f -1 = - f - -1

，
è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2
即 f x -1 = - f -x -1 ，两边求导得 f x -1 = f -x -1 ，
则 g x -1 = g -x -1 ，可知 g x 关于直线 x=-1对称，
又因为 g 2x +1 为奇函数，则 g 2x +1 + g -2x +1 = 0 ，
即 g x +1 + g -x +1 = 0 ，可知 g x 关于点 1,0 对称，
令 x =1，可得 g 2 + g 0 = 0，即 g 2 1= -g 0 = - ，
2
由 g x -1 = g -x -1 可得 g x = g -x - 2 ，
由 g x +1 + g -x +1 = 0 ，可得 g x + g -x + 2 = 0，即 g x = -g -x + 2 ，
可得 g -x - 2 = -g -x + 2 ，即 g x + 4 = -g x ，
g 4 g 0 1令 x = 0，可得 = - = - ；
2
令 x = 2，可得 g 6 1= -g 2 = ；
2
且 g x + 8 = -g x + 4 = - é-g x ù = g x ，可知 8 为 g x 的周期，
可知 g 8k + 2 = g 8k + 4 1= - , g 8k + 6 = g 8k + 8 1= ,k Z ，
2 2
10
所以 kg 2k 1= - 1 2 5 6 1 11+ + + + 9 +10 + 3 + 4 + 7 + 8 = - .
k =1 2 2 2
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称
性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，
根据函数的性质解决问题．
8．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + 2 - 2为奇函数， f 3x +1
2024
为偶函数， f 1 = 0，则 f k =（ ）
k =1
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
【答案】D
【分析】根据题中 f x + 2 - 2为奇函数， f 3x +1 为偶函数，从而可得出 f x 为周期为 4
的函数，从而可求解.
【详解】由题意得 f x + 2 - 2为奇函数，所以 f x + 2 - 2 + f -x + 2 - 2 = 0，即
f x + 2 + f -x + 2 = 4，所以函数 f x 关于点 2,2 中心对称，
由 f 3x +1 为偶函数，所以可得 f x +1 为偶函数，则 f x +1 = f -x +1 ，所以函数 f x
关于直线 x =1对称，
所以 f x + 2 = f -x = - f -x + 2 ，从而得 f x = f x + 4 ，所以函数 f x 为周期为 4 的
函数，
因为 f 1 = 0，所以 f 1 + f 3 = 4 ，则 f 3 = 4，
因为 f x 关于直线 x =1对称，所以 f 3 = f -1 = 4，
又因为 f x 关于点 2,2 对称，所以 f 2 = 2，
又因为 f 4 = f -2 = f 0 ，又因为 f -2 = f -2 + 4 = f 2 = 2，所以
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 8，
2024
f k 2024所以 = é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù = 4048，故 D 正确.
k =1 4
故选：D.
二、多选题
9．（2023·山东·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ， f 2x +1 为奇函数，
f 4 - x = f x ， f 0 = 2 ，且 f x 在 0,2 上单调递减，则（ ）
A． f 1 = 0 B． f 8 = 2
C． f x 在 6,8 上单调递减 D． f x 在 0,100 上有 50 个零点
【答案】ABD
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性一一计算即可.
【详解】由函数 f x 的定义域为R ， f 2x +1 为奇函数可知： f 2x +1 = - f 1- 2x ，
令 x = 0，得 f 1 = - f 1 f 1 = 0，故 A 正确；
由上可知 f x 关于 1,0 中心对称，则 f 2 - x = - f x ，
因为 f 4 - x = f x ，则 f x 关于 x = 2轴对称，
且 f 4 - x = - f 2 - x f 4 + x = - f 2 + x = f x ，
所以 f x 的一个周期为 4，即 f 8 = f 0 = 2，故 B 正确；
因为 f x 在 0,2 上单调递减，所以 f x 在 2,4 上单调递增，
由周期性知 f x 在 -2,0 上单调递增，所以 f x 在 6,8 上单调递增，故 C 错误；
易知 f 1 = f 1+ 4 = f 1+ 2 4 =L = f 1+ 24 4 = 0，
且 f 1 = f 3 = f 3+ 4 =L = f 3+ 24 4 = 0，
合计得 f x 在 0,100 上有 25 2个零点，故 D 正确.
故选：ABD
10．（2024·全国·模拟预测）设 f x 是定义域为R 的偶函数，且 f 2x +1 为奇函数．若
f 1 1 , f 1 1 ÷ = =
è 3 3 2 ÷ 2
，则（ ）
è
A． f x 的图象关于点 1,0 对称 B． f x 的周期是 2
f x f 2023 f 2023 1C． 的图象关于直线 x = 2对称 D． ÷ + ÷ =
è 3 è 2 6
【答案】ACD
【分析】求得 f x 的图象的对称中心判断 A；求得 f x 的周期判断 B；求得 f x 图象的对
2023 2023
称轴判断 C；求得 f ÷ + f ÷的值判断 D.
è 3 è 2
【详解】由 f 2x +1 为奇函数得 f 2x +1 + f -2x +1 = 0 ，所以 f x 的图象关于点 1,0 对
称，故 A 正确；
因为 f x 的图象关于点 1,0 对称，所以 f 2 - x + f x = 0, f 2 + x + f -x = 0．
又因为 f x 是定义域为R 的偶函数，所以 f -x = f x ，
所以 f 2 - x = f 2 + x ，所以 f x 的图象关于直线 x = 2对称，故 C 正确；
（另解：因为 f x 的图象关于点 1,0 对称，且关于直线 x = 0对称，所以 f x 的图象关于
直线 x = 2对称，故 C 正确）；
因为 f 2 + x = - f x ，所以 f 4 + x = - f x + 2 = f x ，所以 f x 的周期为 4，故 B 错误；
（另解：因为 f x 的图象关于点 1,0 对称，且关于直线 x = 0对称，所以 4 是 f x 的一个
周期）；
f 2023 2023+ f = f 674 1+ 1 1 1 3 ÷ 2 ÷ 3 ÷
+ f 1011+ ÷ = f 2 + ÷ + f 3+ ÷
è è è è 2 è 3 è 2
f 1 f 1 f 1 f 1 1 1 1= - 3 ÷
+ - ÷ = -2 3 ÷
+ ÷ = - = ，故 D 正确．
è è è è 2 2 3 6
故选：ACD．
11．（2024·湖北·二模）我们知道，函数 y = f (x) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要
条件是函数 y = f (x) 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 y = f (x) 的图象关于点
P(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数 y = f (x + a) - b f (x)
4
为奇函数．已知函数 =
2x
，
+ 2
则下列结论正确的有（ ）
A．函数 f (x) 的值域为 (0, 2]
B．函数 f (x) 的图象关于点 (1,1) 成中心对称图形
C．函数 f (x) 的导函数 f (x) 的图象关于直线 x =1对称
D．若函数 g(x)满足 y = g(x +1) -1为奇函数，且其图象与函数 f (x) 的图象有 2024 个交
2024
点，记为 Ai (xi , yi )(i =1,2,L, 2024) ，则 (xi + yi ) = 4048
i=1
【答案】BCD
【分析】借助指数函数的值域求解判断 A；利用给定定义计算判断 B；利用复合函数求导法
则结合对称性判断 C；利用中心对称的性质计算判断 D.
4
【详解】对于 A，显然 f (x) 的定义域为 R， 2x > 0，则0 < x < 2，即函数 f (x) 的值域为2 + 2
(0,2)，A 错误；
x - x x
对于 B，令 h(x) = f (x +1) -1 4 2 1- 2 1- 2 2 -1= x+1 -1 = x -1 = x ， h(-x) = - x = x = -h(x) ，2 + 2 2 +1 1+ 2 1+ 2 2 +1
即函数 y = f (x +1) -1是奇函数，因此函数 f (x) 的图象关于点 (1,1) 成中心对称图形，B 正确；
对于 C，由选项 B 知， f (-x +1) -1 = -[ f (x +1) -1]，即 f (1- x) + f (1+ x) = 2，
两边求导得- f (1- x) + f (1+ x) = 0，即 f (1- x) = f (1+ x) ，
因此函数 f (x) 的导函数 f (x) 的图象关于直线 x =1对称，C 正确；
对于 D，由函数 g(x)满足 y = g(x +1) -1为奇函数，得函数 g(x)的图象关于点 (1,1) 成中心对
称，
由选项 B 知，函数 g(x)的图象与函数 f (x) 的图象有 2024 个交点关于点 (1,1) 对称，
2024 2024 2024
因此 (xi + yi ) = xi + yi =1012 2 +1012 2 = 4048，D 正确.
i=1 i=1 i=1
故选：BCD
【点睛】结论点睛：函数 y = f (x) 的定义域为 D，"x D，
①存在常数 a，b 使得 f (x) + f (2a - x) = 2b f (a + x) + f (a - x) = 2b ，则函数 y = f (x) 图象
关于点 (a , b ) 对称.
②存在常数 a 使得 f (x) = f (2a - x) f (a + x) = f (a - x)，则函数 y = f (x) 图象关于直线
x = a对称.
三、填空题
12．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y＝g（x）的图象与 y＝ln x 的图象关于直线 x＝2 对
称，则 g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【分析】利用对称的定义求解即可.
【详解】在函数 y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线 x＝2 对称的
点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数 y＝ln x 的图象上，所以 y＝ln （4－x）,
即 g x = ln 4 - x ,
故答案为： ln 4 - x
13．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f (x) = f (2 - x)，当 x [0,1]
时， f x = 2x . g x = e- x-1函数 -1< x < 3 ，则 f (x) 与 g(x)的图象所有交点的横坐标之和
为 .
【答案】4
【分析】在同一坐标系内作出 f x 与 g x 的图象，再利用图象的对称性即可求得 f x 与
g x 的图象所有交点的横坐标之和.
- x
【详解】函数 y = e 是偶函数，图象对称轴为 x = 0，则函数 y = e- x-1 的图象有对称轴 x =1，
g x =e- x-1所以函数 -1< x <3 的图象有对称轴 x =1，
x-1
g 1 =1， x 1,3 时 g x = e- x-1 = 1 ÷ ，在 1,3 上单调递减且 g x > 0，
è e
定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f (x) = f (2 - x)，
则函数 f x 有对称轴 x = 0, x =1，又当 x [0,1]时， f x = 2x，
在同一坐标系在 (-1,3)内作出 f x 与g x 的图象，
由图象可得， f x 与 g x 的图象有 4 个交点，
又 f x 与 g x 的图象均有对称轴 x =1，
则两函数所有交点的横坐标之和为 4.
故选：B
14．（2024· x-1 1-x 3内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R 上的函数 f x = e - e + (x -1) + x，满
足不等式 f 2x - 4 + f 2 - 3x 2，则 x 的取值范围是 ．
【答案】 - , -4
【分析】由函数解析式可令 h x = f x -1，且 h x 是R 上的增函数并关于点 1,0 成中心
对称，将不等式变形即可求得 h 2x - 4 h 3x ，解得 x -4 .
【详解】易知函数 y = ex-1, y = -e1-x , y = (x -1)3 , y = x在R 上为单调性递增，
f x = ex-1 - e1-x 3即可得 + (x -1) + x是R 上的增函数，
x-1 1-x
令 h x = f x -1 = e - e + (x -1)3 + x -1，则 h x 是R 上的增函数，
易知 h 2 - x = e1-x - ex-1 + (1- x)3 +1- x = -h x ，可得 h 2 - x + h x = 0 ,
即 h x 的图象关于点 1,0 成中心对称，
由 f 2x - 4 + f 2 - 3x 2可得 f 2x - 4 -1 - é f 2 - 3x -1 ù，
即 h 2x - 4 -h 2 - 3x ，由 h 2 - x + h x = 0可得 h 3x = -h 2 - 3x ；
所以 h 2x - 4 h 3x ，利用 h x 是R 上的增函数可得 2x - 4 3x，
解得 x -4 .
即 x 的取值范围是 - , -4 .
故答案为： - , -4
【点睛】方法点睛：解函数不等式的方法步骤：
（1）根据解析式特征得出函数奇偶性、对称性、周期性等性质；
（2）再判断得出函数单调性，利用单调性并结合定义域得出不等式（组）；
（3）解不等式可得结论；
四、解答题
15．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知函数 f x = 2x ，函数 h x 与 f x 关于点 log 3,
3a
2 2 ֏
中心对称．
(1)求 h x 的解析式；
(2)若方程 f x = h x 有两个不等的实根x1，x2，且 x1 - x2 = 2，求 a 的值．
9
【答案】(1) h x = 3a -
2x
a 5(2) =
2
【分析】（1）根据函数的对称性可得 h x + f 2log2 3 - x = 3a ，从而可得 h x 的解析式；
（2）根据方程的根，利用一元二次方程根与系数的关系与指数函数的性质，结合
x1 - x2 = 2，即可求得 a 的值．
【详解】（1）已知函数 f x = 2x h x f x log 3, 3a ，函数 与 关于点 2 ÷ 中心对称
è 2
所以 h x + f 2log2 3 - x = 3a ，则 h x = 3a - f 2log2 3 - x
9
= 3a - 22log2 3-x = 3a -
2x
（2）由于方程 f x = h x 有两个不等的实根x1，x2，不妨设 x1 > x2
x 9 2
即 2 = 3a - 两个不等的实根，则 2x - 3a 2x + 9 = 0，由于函数 y = 2xx 是递增函数，2
所以 2x1 + 2x2 = 3a ①， 2x1 × 2x2 = 9 ②
因为 x1 - x2 = 2， x1 > x2 ，则 x1 = 2 + x2，
所以 2x1 -x2 = 4，则 2x1 = 22+x2 代入②得： 22+2x2 = 9，解得 x2 = log2 3-1，
① a
1
= 2x 1 1 3 5代入 得 1 + 2x2 = 2log2 3+1 + 2log2 3-1 = 6 + 3 3 3 2 ÷ = .è 2
3
16．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x ．9 + 3
(1)求证：函数 f x 1 1 的图象关于点 , 对称；
è 2 2 ÷
(2)求 S = f -2022 + f -2021 +L+ f 0 +L+ f 2022 + f 2023 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) S = 2023
1 1
【分析】（1）证明 f x 图象关于点 , ÷对称，转化为证明关系式 f x + f 1 - x = 1；
è 2 2
（2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和.
x x
【详解】（1）因为 f x 3= x ，所以 f9 3 1
3 3 ×9 9
- x = 1-x = = ，+ 9 + 3 9 + 3 ×9x 9x + 3
所以 f x + f 1 - x = 1，即函数 f x 1 , 1 的图象关于点 2 2 ÷对称.è
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为 S = f -2022 + f -2021 +L + f 0 + f (1) +L + f 2022 + f 2023 ，
所以 S = f 2023 + f 2022 +L + f 1 + f (0) +L + f -2021 + f -2022 （倒序），
又由（1）得 f x + f 1 - x = 1，
所以 2S = 4046，所以 S = 2023 .
n
17．（23-24 高三上·上海·期中）已知函数 f x = m - x m, n R .4 +1
(1)当m = 3时，确定是否存在 n，使得 f x 的图象关于原点中心对称；
(2)对于任意给定的非零常数m ， y = f x 的图象与 x 轴负半轴总有公共点，求 n的取值范围；
(3)当 n =1时，函数 g x 的图象与 y = f x 图象关于点 1,0 对称，若对任意： x 1,2 ，
g x < 0恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)存在 n = 6，使得 f x 的图象关于原点中心对称；
(2) m > 0时，m < n < 2m ，m < 0时， 2m < n < m；
1
(3) m
2
【分析】（1）由 f (0) = 0求得 n值，然后检验其满足题意；
（2） f (x) = 0 总有负数解可得；
（3）转化为 x (0,1) 时， f (x) > 0 恒成立，再转化为新函数的取值范围，从而得参数范围．
【详解】（1）m = 3时， f (x) = 3
n
- x ，若 f x 的图象关于原点中心对称，则4 +1
f (0) 3 n= - = 0， n = 6，
2
x
此时 f (x) 3 6 3 × (4 -1)= - x = ，4 +1 4x +1
f ( x) 3(4
- x -1) 3(1- 4x )
- = - x = x = - f (x) , f (x) 是奇函数，图象关于原点对称，满足题意．4 +1 1+ 4
所以存在 n = 6，使得 f x 的图象关于原点中心对称；
（2）由 f (x) = m
n n
- x = 0
x
，因为m 0 ，所以 4 = -1，
4 +1 m
n
由题意 x < 0 ，则0 < 4x <1，即0 < -1<1，m
所以m > 0时，m < n < 2m ，m < 0时， 2m < n < m；
f (x) m 1（3）当 n =1时， = - x ，4 +1
函数 g x 的图象与 y = f x 图象关于点 1,0 对称，若对任意 x 1,2 ， g x < 0恒成立，
则对任意 x (0,1) ， f (x) > 0 恒成立，
1 1 1
0 < x <1时，1< 4x < 4， < < ，5 4x +1 2
f (x) m 1= - x > 0
1 1
，则m > x ，所以m ．4 +1 4 +1 2
18．（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数 f x = 2 x + 2x - m m > 0 的图象关于直
线 x =1对称．
(1)求 m 的值，及 f x 的最小值；
(2)设 a b
1 4
， 均为正数，且 a + b = m，求 + 的最小值.
a b
【答案】(1) m = 4 ，4
9
(2)
4
【分析】（1）先整理 f x ，再利用题意中的对称求出m = 4 ，然后用三角不等式求出最小值
即可；
（2）由（1）可得 a + b = 4 ，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为 f x = 2 x + 2x - m = 2x + 2x - m ，
令 2x = 0
m
，解得 x = 0；令 2x - m = 0，解得 x = ，
2
因为函数 f x 的图象关于直线 x =1对称，
m
所以0 + = 2 1，解得m = 4 ，
2
则 f x = 2x + 2x - 4 ，可得 f 2 - x = 2 2 - x + 2 2 - x - 4 = 2x + 2x - 4 = f x ，
所以m = 4 符合题意，
可得 f x = 2x + 2x - 4 2x - 2x - 4 = 4，
当且仅当 2x × 2x - 4 0 ，即0 x 2时，等号成立，
所以 f x 的最小值为 4.
1
（2）由（1）可得 a + b = 4 ，即 a + b =1，
4
1 4 1 1 4
所以 + = + ÷ a b
1 b 4a 1 b 4a 9+ =
a b 4 a b 4
+ + 5
a b ÷
2 × + 5
4 a b ÷è è ÷
= ，
è 4
b 4a 4 8
当且仅当 = ，即 a = ,b = 时，等号成立，
a b 3 3
1 4 9
所以 + 的最小值为 .
a b 4
19．（23-24 高三下·山东·开学考试）已知函数 f x = ln x +1 ．
(1)讨论函数F x = ax - f x a R 的单调性；
1 1
(2)设函数 g x = x +1 f x ÷ - f +1÷．è è x
（ⅰ）求 g 1 - g -2 的值；
（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线 y = g x 关于直线 x = m 对称．
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出F x = ax - ln x +1 ，求导F x = a 1 ax + a -1- = ， x -1, + ，分
x +1 x +1
a 0和 a > 0两种情况讨论函数的单调性.
1
（2）（ⅰ）求出 g x = x +1 ln 1+ ÷ - ln
2 1 + ÷，直接计算 g 1 ， g -2 即可得结果；
è x è x
（ⅱ）根据 g x 1的定义域，推断函数的对称轴为 x = m = - ，验证 g -1- x = g x 2 即可.
【详解】（1）由题意可知F x = ax - ln x +1 ，则F x 的定义域为 -1, + ，
F x a 1 ax + a -1= - = ， x -1, + ，
x +1 x +1
当 a 0时，F x a 1= - < 0，则F x 在 -1, + 上单调递减；
x +1
当 a > 0时，令F x = 0 1，即 ax + a -1 = 0，解得 x = -1，
a
1 x 1- a 1 1 F x ax + a -1若- < = - ， = 0；
a a x +1
x 1若 > -1，F x ax + a -1= > 0，
a x +1
F x 1-1, -1ù 1 则 在 ú 上单调递减，在 -1, + a ÷ 上单调递增．è a è
综上所述，当 a 0时，F x 在 -1, + 上单调递减；
当 a > 0时，F x 在 -1,
1
-1ù 1 ú 上单调递减，在 -1, + a ÷ 上单调递增．è a è
1 1 4
（2）（ⅰ）函数 g x = x +1 ln 1+ ÷ - lnx 2 + ÷，则 g 1 = 2ln2 - ln3 = ln ，è è x 3
g 2 1 3 3 4- = -ln - ln = -ln = ln ，故 g 1 - g -2 = 0 ．
2 2 4 3
（ⅱ）函数 g x 的定义域为 - ,-1 0, + ．若存在m ，使得曲线 y = g x 关于
直线 x = m 对称，则 - ,-1 0, + 1关于直线 x = m 对称，所以m = -
2
由 g -1- x = 1 1-x ln 1+ ÷ - ln

2 +

-1- x -1- x ÷è è
xln x ln 2x +1 xln x +1 ln 2x +1 x +1 x +1 2x +1= - - = - = 1+ x ln - ln - ln
x +1 x +1 x x +1 x x x +1
= 1+ x ln x +1 ln 2x +1- = g x ．
x x
可知曲线 y = g x 1关于直线 x = - 对称．
2
拓展冲刺练
一、单选题
3
1．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数 f x = x ，则 f x 的图象（3 1 ）+
3 3
A．关于点 ,0÷对称 B．关于直线 x = 对称
è 2 2
3 1
C．关于点 0, ÷ 对称 D．关于直线 x = 对称
è 2 2
【答案】C
【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.
3
【详解】AB 选项， f 1 = , f 2 3= , f 1 ± f 2 ，所以 AB 选项错误.
4 10
x x
C 选项， f 3 3 1+ 3-x = ， f x f x 3 3 3 3 3 3- x +1 - + = x + - x = x + x = x = 3，3 +1 3 +1 3 +1 1+ 3 1+ 3
所以 f x 3 的图象关于点 0, ÷ 对称，C 选项正确.
è 2
3
D 选项， f 0 = , f 0 ± f 1 ，所以 D 选项错误.
2
故选：C
2 3
2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 f x 满足 f x + y + f x - y = f x f y ，f 1 = ，
3 2
则下列结论不正确的是（ ）
A． f 0 =3 B．函数 f 2x -1 1关于直线 x = 对称
2
C． f x + f 0 0 D． f x 的周期为 3
【答案】D
【分析】解法一：令 x =1， y = 0 代入判断 A；令 x = 0，利用奇偶性和对称性的概念判断 B；
令 y = x
π
判断 C；令 y =1，利用周期性的概念判断 D；解法二：构造函数 f (x) = 3cos x，依
3
次验证各选项即可.
【详解】解法一：
令 x =1， y = 0 ，则 2 f 1 2= f 1 f 0 ，解得 f 0 = 3，A 正确；
3
2
令 x = 0，则 f y + f -y = f 0 f y = 2 f y ，
3
所以 f y = f -y ，即 f x 是偶函数，
所以 f 2x -1 = f -2x +1 = f é 2 1- x -1ù
1
，所以函数 f 2x -1 关于直线 x = 对称，B 正确；2
令 y = x ，则 f 2x 2+ f 0 = f 2 x 0，
3
令 t = 2x，则 f t + f 0 0，所以 f x + f 0 0，C 正确；
令 y =1，则 f x +1 + f x -1 = f x ①，
所以 f x + 2 + f x = f x +1 ②，
①②联立得 f x + 2 = - f x -1 ，
所以 f x + 3 = - f x ， f x + 6 = - f x + 3 = f x ，即 f x 的周期为6，D 错误；
解法二：
π
构造函数 f (x) = 3cos x，
3
f 1 3满足 = ，且
2
f x + y + f x - y = 3cos π x + y + 3cos π x - y = 6cos π x cos π y 2= f x f y ，
3 3 3 3 3
f 0 = 3cos 0 = 3，A 正确；
f 2x -1 = 3cos π 2x -1 = 3cos 2π x π é 2π 1 ù -

3 3 3 ÷
= 3cos x - ÷ ，
è ê 3 è 2
ú

因为 f 2x -1 表示 y = 3cos 2π x 1的图象向右平移 个单位，且 y = 3cos 2π x2 的图象关于 y 轴3 3
对称，
所以 f 2x -1 1关于直线 x = 对称，B 正确；
2
由余弦函数的图象和性质可知 f x + f 0 = 3cos π x +1 0，C 正确；
3
2π
f x T = = 6的周期 π ，D 错误；
3
故选：D
3．（2023·四川乐山·一模）已知函数 f x 定义域为 R，且满足 f 0 = 0， f -x = f x ，
f 1- t - f 1+ t + 4t = 0，给出以下四个命题：
① f -1 = f 3 ；
② f x + 2 = f x ；
③ f 4 = 64 ；
④函数 y = f x - 2x 的图象关于直线 x =1对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用赋值法推出 f -1 = f 3 -8，判断①，利用赋值法得 f 0 + 4 = f 2 ，结合
f x + 2 = f x ，可判断②；利用赋值法结合函数的奇偶性求出 f 4 ，判断③，设
g(x) = f x - 2x，根据函数的对称性可判断④.
【详解】对于 f 1- t - f 1+ t + 4t = 0，令 t = 2，则 f -1 - f 3 + 8 = 0，
即 f -1 = f 3 -8，①错误；
令 t =1，则 f 0 - f 2 + 4 = 0，即 f 0 + 4 = f 2 ，
而对于 f x + 2 = f x ，令 x = 0，则 f 2 = f 0 ，矛盾，
故②错误；
由题意知 f 0 = 0， f -x = f x ，
令 t = -1，则 f 2 - f 0 - 4 = 0,\ f 2 = f 0 + 4 = 4，
令 t = 3，则 f -2 - f 4 +12 = 0,\ f 4 = f -2 +12，
故 f 4 = f 2 +12 =16，③错误；
又 f 1- t - f 1+ t + 4t = 0可得 f (1- t) - 2(1- t) = f (1+ t) - 2(1+ t) ，
设 g(x) = f x - 2x，则 f (1- x) - 2(1- x) = f (1+ x) - 2(1+ x)，
即 g(1- x) = g(1+ x) ，即函数 y = g x 的图象关于直线 x =1对称
即函数 y = f x - 2x 的图象关于直线 x =1对称，④正确，
故选：B
【点睛】难点点睛：解答本题的难点是④的判断，解答时要根据已知等式进行变形为
f (1- t) - 2(1- t) = f (1+ t) - 2(1+ t) ，从而设 g(x) = f x - 2x，可得 g(1- x) = g(1+ x) ，即可
判断其正误.
1
4．（22-23 高三下·全国·阶段练习）已知函数 f x =
ex
+ 2ax，则下列关于 f x 的结论中
+1
正确的是（ ）
A． f x 在 1, + 1上有最小值 B．若 a = ，则 f x 有最大值
4
C． f -e + f e =1 D． f x 关于点 0,1 中心对称
【答案】C
【分析】对于 AB，求导后根据 a的取值范围或者取特殊值，分别分析导函数的正负区间，
判断函数单调性，即可判断最值情况；对与 C，D，计算 f -x + f x ，根据结果可判断
f -e + f e 的值以及函数对称性.
ex x
【详解】对于 A， f x = - 2 + 2a
e
，当 a 0时， f x = - 2 + 2a < 0 ，ex +1 ex +1
故 f x 在 R 上单调递减，则 f x 在 1, + 上有最大值，
ex 2x1 e + e
x +1
当 a 时， f x = - 2 +1+ 2a -1 = 2 + 2a -1 > 0，
2 ex +1 ex +1
故 f x 在 R 上单调递增，则 f x 在 1, + 上有最小值，故 A 不正确；
x 2x
1
对于 B，当 a = 时， f x
e 1 e +1
= - 2 + = > 0
4 2 ，ex +1 2 2 ex +1
f x 在 R 上单调递增，函数无最值，故 B 错误；
x
对于 C D 1 1 e 1， ， f -x + f x = - x - 2ax + + 2ax = + =1，e +1 ex +1 1+ ex ex +1
故 f x 1 关于点 0, ÷中心对称 ，则 f -e + f e =1，C 正确，D 不正确；
è 2
故选：C
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
f x a f x a + b c若 + + - + b = c，则函数 f x 关于 , ÷ 中心对称，
è 2 2
若 f x + a = f -x + b ，则函数 f x a + b关于 x = 对称，
2
5．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知 f x ， g x 都是定义在R 上的函数，对任意 x，y 满足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，则下列说法正确的是（ ）
A． f 0 =1 B．函数 g 2x +1 的图象关于点 1,0 对称
2023
C． g 1 + g -1 = 0 D．若 f 1 =1，则 f n = 1
n=1
【答案】D
f x sin 2π 2π【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断 AC，取 = x, g x = cos x 可判
3 3
断 B，对于 D，通过观察选项可以推断 f x 很可能是周期函数，结合 f x g y , g x f y 的
特殊性及一些已经证明的结论，想到令 y = -1和 y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得
2023
出 f x +1 + f x -1 = - f x ，进一步得出 f x 是周期函数，从而可求 f n 的值.
n=1
【详解】解：对于 A，令 x = y = 0 ，代入已知等式得 f 0 = f 0 g 0 - g 0 f 0 = 0，得
f 0 = 0，故 A 错误；
2π 2π
对于 B，取 f x = sin x, g x = cos x ，满足 f x - y = f x g y - g x f y 及
3 3
f -2 = f 1 0，
因为 g 3 = cos 2π =1 0，所以 g x 的图象不关于点 3,0 对称，
所以函数 g 2x +1 的图象不关于点 1,0 对称，故 B 错误；
对于 C，令 y = 0 ， x =1，代入已知等式得 f 1 = f 1 g 0 - g 1 f 0 ，
可得 f 1 é 1- g 0 ù = -g 1 f 0 = 0，结合 f 1 0 得1- g 0 = 0 ， g 0 =1，
再令 x = 0，代入已知等式得 f -y = f 0 g y - g 0 f y ，
将 f 0 = 0， g 0 =1代入上式，得 f -y = - f y ，所以函数 f x 为奇函数.
令 x =1， y = -1，代入已知等式，得 f 2 = f 1 g -1 - g 1 f -1 ，
因为 f -1 = - f 1 ，所以 f 2 = f 1 ég -1 + g 1 ù ，
又因为 f 2 = - f -2 = - f 1 ，所以- f 1 = f 1 é g -1 + g 1 ù ，
因为 f 1 0 ，所以 g 1 + g -1 = -1，故 C 错误；
对于 D，分别令 y = -1和 y =1，代入已知等式，得以下两个等式：
f x +1 = f x g -1 - g x f -1 ， f x -1 = f x g 1 - g x f 1 ，
两式相加易得 f x +1 + f x -1 = - f x ，所以有 f x + 2 + f x = - f x +1 ，
即： f x = - f x +1 - f x + 2 ，
有：- f x + f x = f x +1 + f x -1 - f x +1 - f x + 2 = 0 ，
即： f x-1 = f x+2 ，所以 f x 为周期函数，且周期为 3，
因为 f 1 =1，所以 f -2 =1，所以 f 2 = - f -2 = -1， f 3 = f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 = 0，
2023
所以 f n =1 = f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2023 = f 2023 = f 1 =1，故 D 正确.
n=1
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有 x, y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利
用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，
特别是有 x, y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此
过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
二、多选题
π
6．（23-24 高三上·浙江杭州·期末）已知函数 f x = cos 2x ， g x = sin 2x +

÷，则（3 ）è
π
A．将函数 y = f x 的图象右移 个单位可得到函数 y = g x 的图象
12
π
B．将函数 y = f x 的图象右移 个单位可得到函数 y = g x 的图象
6
C．函数 y = f x 与 y = g x π的图象关于直线 x = 对称
24
D．函数 y = f x 与 y = g x 7π的图象关于点 ,0

÷对称
è 24
【答案】ACD
π
【分析】由三角函数的平移变换可判断 A，B；由 g x = f x - ÷可判断 C；由
è 12
g 7π - x

÷ = - f x 可判断 D.
è 12
g x sin 2x π é π π ù π【详解】因为 = +

÷ = cos ê- +

2x +

÷ = cos

2x -

3 2 ÷
，
è è 3
ú
è 6
将函数 y = f x π é π ù π 的图象右移 个单位可得到 y = cos ê2 x - ÷ = cos12
2x - ÷，
è 12
ú
è 6
é π ù π
将函数 y = f x π 的图象右移 个单位可得到 y = cos
6 ê
2 x - 6 ÷ú
= cos 2x - 3 ÷
，
è è
故 A 正确，B 错误；
由 A 选项可知， g x = f x
π π
- ÷，所以函数 y = f x 与 y = g x = f12 x - ÷的图象关于直è è 12
x π线 = 对称，故 C 正确；
24
若函数 y = f x 与 y = g x 7π的图象关于点 ,0

è 24 ÷
对称，

则在 y = f x 上取点 A x , y 7π 7π 1 1 关于 ,024 ÷的对称点 A - x1,-y1 ÷必在 y = g x 上，è è 12
y cos2x g 7π x sin é2 7π x π ù 7π π所以 1 = 1，所以 - 1 ÷ = ê - 1 ÷ + ú = sin - 2x1 +

è 12 è 12 3 è 6 3
÷

= sin 3π - 2x

1 ÷ = -cos 2x1 = -y1 ，故 D 正确.
è 2
故选：ACD.
7．（2024·吉林白山·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，其图象关于 1,2 中心对称，若
f x - f 4 - x
= 2 - x ，则（ ）
4
A． f 2 - 3x + f 3x = 4 B． f x = f x - 4
20
C． f 2025 = -4046 D． f (i) = -340
i=1
【答案】ACD
【分析】根据对称性即可判断 A，根据 f 1 = 2 ， f 3 = -2 ， f -1 = 6的值即可排除 B,根
据 f x + 4 - f x = -8可求解 C，根据 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = -4, 即可求解 D.
【详解】因为 f x 的图象关于 1,2 中心对称，则 f 2 - x + f x = 4 ,故 A 正确；
f x - f 4 - x
由 = 2 - x ，可得 f x - f 4 - x = 8 - 4x，则 f 2 - x - f 2 + x = 4x，取 x =1
4
得 f 1 - f 3 = 4，
在 f 2 - x + f x = 4中取 x =1可得 f 1 = 2 ，则 f 3 = -2 ，
由 f -1 + f 3 = 4 ，得 f -1 = 6 f 3 ，故 B 错误；
由 f 2 - x - f 2 + x = 4x，得 4 - f x - f 2 + x = 4x,
\ f x + f x + 2 = 4 - 4x ①\ f x + 2 + f x + 4 = -4 - 4x ②，
②-①得 f x + 4 - f x = -8，又
Q2025 =1+ 4 506,\ f 2025 = f 1 -8 506 = 2 -8 506 = -4046，故 C 正确；
又由① f (2) + f (4) = -4,\ f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = -4,
20
\ f (i) 5 4= -4 5 + (-32) = -340，故 D 正确.
i=1 2
故选：ACD.
三、填空题
x
8．（2023·四川泸州·一模）函数 f x = 的对称中心为 ．
x -1
【答案】 1,1
1
【分析】依题意可得 f x =1+ ，再根据幂函数的性质及函数的平移变换判断即可.
x -1
【详解】因为 f x x x -1+1= = =1 1+ ，
x -1 x -1 x -1
x 1
则 f x = 的图象可以由函数 y = x 向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，x -1
y 1因为 = 0,0 x 为奇函数，函数图象关于原点 对称，所以 f x 关于 1,1 对称.
故答案为： 1,1
1 2
9．（23-24 · 3 2高三上 河南·阶段练习）已知函数 f x = x - x + x +1, f m = 2, f n = ，则
3 3
m + n = ．
【答案】2
4
【分析】求导函数，得出导函数关于 x =1对称，得出原函数关于 1, 3 ÷ 中心对称，即可得出è
答案.
【详解】由 f x = x2 - 2x +1 = (x -1)2 0，所以 f x 在R 上严格增，又 f 1 4= ，
3
f x + f (2 x) 1 x3 x2 1- = - + x +1+ 2 - x 3 - 2 - x 2 + 2 - x +1
3 3
1
= x3 - x2 + x +1 1+ (8 + 6x2 -12x - x3) - (4 - 4x + x2 ) + 2 - x +1 8= ，
3 3 3
4
所以 f x 关于 1, 3 ÷ 中心对称，è
又 f m + f n 8= ， f x 在R 上严格增，
3
所以m + n = 2．
故答案为：2.
四、解答题
1
10．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = a 1- 2 x - ÷ ， a R 且 a > 0
è 2
1
(1)证明：函数 f (x) 的图像关于直线 x = 对称；
2
(2)若 x0 满足 f ( f (x0 )) = x0 但 f (x0 ) x， 0 ，则 x0 称为函数 f (x) 的二阶周期点，如果 f (x) 有两
个二阶周期点 x1, x2 ，试确定实数 a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
1
(2) a >
2
f 1 1 【分析】（1）证明 + x2 ÷
= f - x2 ÷
即可；
è è
（2）分0 < a
1
< ， a
1 1
= 和 a > 三种情况讨论去绝对值符号，结合二阶周期点的定义即可
2 2 2
得解.
1 1
【详解】（1）因为 f + x ÷ = a 1- 2 x ， f - x ÷ = a 1- 2 x ，
è 2 è 2
f 1 x f 1+ = 有 2 ÷
- x ÷，
è è 2
所以函数 f x 1的图像关于直线 x = 对称；
2
ì
1 2ax, x
1


（2） f (x) = a 1- 2 x

- = 2÷ í ，
è 2 a 2 - 2x , x 1> 2
ì 2
4a x, x
1

0 a 1当 < < 时，有 f f x = 2
2 í
，
4a2 (1- x), x 1>
2
ì 1 ìx 1>
令 f
x
f x = x ，则 í 2 或 í 2 ，解得 x = 0，
4a2 x = x 4a
2 1- x = x
所以 f f x = x只有一个解 x = 0，
又 f 0 = 0，故 0 不是二阶周期点．
ì 1
x, x
当 a
1
= 时，有 f f x = 2í 1 ，2 1- x, x >
2
ì
x
1
ì
1
f f x x
x > 1
令 = ，则 í 2 或 í 2 ，解得 x ，
x = x 1- x = x
2
ì 1 ü
所以 f f x = x有解集 íx x ，
2
1 ì 1 ü
又当 x 时， f x = x，故 íx x 中的所有点都不是二阶周期点，2 2
ì4a2 x x
1
，
4a

2a
1 1
- 4a2x, < x
1
当 a > 时，有 f f x = 4a 2
2 í
，
2a(1 1 4a -1- 2a) + 4a2x, < x
2 4a

4a2 4a2x x 4a -1－ ， >
4a
令 f f x = x，
ì 1 ì 1 1 ì1 x 4a -1x x < ìx 4a -1 < >
则 í 4a

或 í4a 2

或 í2 4a

或 í 4a ，
4a2x = x 2a - 4a2x = x 2a 1- 2a + 4a2x = x 4a2 - 4a2 x = x
2a 2a 2
解得 x = 0 4a或 2 或 或 2 ，1+ 4a 1+ 2a 1+ 4a
f f x = x 0, 2a , 2a 4a
2
所以 有四个解 , ，
1+ 4a2 1+ 2a 1+ 4a2

2 2
又 f 0 = 0 f 2a 2a 2a 2a 4a 4a， ÷ = ， f ， f ，
è1+ 2a 1+ 2a è1+ 4a2 ÷ 1+ 4a2 è1+ 4a
2 ÷
1+ 4a
2
2a 2
故只有 , 4a 是 f x 的二阶周期点，
1+ 4a2 1+ 4a2
1
综上所述，所求 a的取值范围为 a > ．
2
11．（2023·上海嘉定·二模）已知 f x = x + 2sin x，等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，记
n
Tn = f ai ．
i=1
(1)求证：函数 y = f x 的图像关于点 p ,p 中心对称；
(2)若 a1、 a2、a3是某三角形的三个内角，求T3的取值范围；
(3)若 S100 =100p ，求证：T100 =100p ．反之是否成立？并请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) π + 2 3, π + 3 3ù ；
(3)证明见解析，理由见解析
【分析】（1）函数中心对称性质： f a + x + f b - x = c ，则 f x a + b c 的图象关于点 , ÷
è 2 2
中心对称，根据此定义证明即可；
π 2π
（2）利用三角形内角和为 π和等差中项性质求解出 a2 = 和 a1 + a3 = ，再根据定义展开3 3
T3，根据三角函数恒等变换展开化简即可求出T3的取值范围；
（3）根据等差数列性质可得 an + a101-n = 2π ，将该关系式代入Tn 计算即可.
【详解】（1） f x = x + 2sin x，
f 2π - x = 2π - x + 2sin 2π - x = 2π - x - 2sin x ，
f x + f 2π - x = x + 2sin x + 2π - x - 2sin x = 2π，
故函数 y = f x 的图象关于点 π, π 中心对称；
（2）因为 an 为等差数列，所以 a1 + a2 + a3 = 3a2 ，
又因 a1、 a
π 2π
2、a3是某三角形的三个内角，所以 a1 + a2 + a3 = π，得 a2 = ， a + a = ，3 1 3 3
T3 = a1 + 2sin a1 + a2 + 2sin a a
π 2π
2 + 3 + 2sin a3 = π + 2sin a1 + 2sin + 2sin - a

3 1 ֏ 3
化简得：T3 = π + 3 + 3sin a1 + 3 cos a1 = π + 3 + 2 3 sin
π
a1 + ÷，
è 6
π 2π
因为 a1、 a2、a3是某三角形的三个内角，且 a2 = ，所以 a1 0,3 3 ÷
，
è
a π π 5π+ π 1 ù即 1 6
, ÷， sin a1 + ÷ ,1 ，可得T π + 2 3, π + 3 3ù ；
è 6 6 è 6 è 2 ú 3

（3 +）证明：若 S100 =100π ，根据等差数列性质可得50 an + a101-n =100π, 1 n 50,n N ，
由此可得 an + a101-n = 2π ， a101-n = 2π - an ， sin a101-n = sin 2π - an = -sin an ，
即 sin an + sin a101-n = 0，
n n n n
T100 = f ai = ai + 2sin ai = ai + 2 sin ai = Sn + 2 50 sin an + sin a101-n ，
i=1 i=1 i=1 i=1
解得T100 = Sn =100π ，证毕.
n 100
反之，若T100 =100π，即Tn = f ai =S100 + sin ai =100π
i=1 i=1
S +
因为 an 为等差数列，所以50 a + a 100n 101-n = S100 an + a101-n = , 1 n 50,n N ，50
n 50
即T
é
n = f ai =S100 + êsin ai + sin
S100 ù
- ai ÷ =100π ，
i=1 i=1 è 50
ú

sin S100 - a 当且仅当 i ÷ = -sin a 时， S50 i 100
=100π ，
è
S100
若 sin - ai ÷ -sin ai ，则 S100 100π ，
è 50
故反之不成立，证毕.
【点睛】方法点睛：
常见函数的累加求值：
①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累加求值的过程中，先找
到函数的周期性，再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算；
②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整
体计算.

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