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考点 11 指数与指数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合提
升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特
殊点等性质，并能简单应用．
【知识点】
1．根式
(1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
(2)式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)(n a)n＝a.
当 n 为奇数时，n an＝a，
， ，
当 n a a ≥ 0为偶数时，n an＝|a|＝{－a，a < 0.
2．分数指数幂
m
正数的正分数指数幂： a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，n>1)．
m
－ 1 1
正数的负分数指数幂： a n ＝ *m ＝ (a>0，m，n∈N ，n>1)．n m
a n
a
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域
是 R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
当 x>0 时，y>1； 当 x<0 时，y>1；
性质
当 x<0 时，00 时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，(－1， ).a
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，则 c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象越高，底数越大．
【核心题型】
题型一　指数幂的运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
y x
【例题 1】（2024·广东·模拟预测）若 xy 3，则 x + y ．
x y
【答案】±2 3
【分析】分 x > 0, y > 0和 x < 0, y < 0两种情况分类计算.
x > 0, y > 0 x y y x【详解】当 时， + xy + xy 2 3 ，
x y
当 x < 0, y < 0
y x
时， x + y - xy + - xy -2 3 .
x y
故答案为：±2 3
1 (x +1)2 + ex - e- x
【变式 1】（2024 x高三下·全国·专题练习）已知函数 f (x) ( ) -2 12(x2 +1) ，则
f (log 6) f (log 12 + 2 ) 6 ．
【答案】6
2x + ex - e- x
【分析】根据函数奇偶性的定义可判断 g(x) 2(x2 +1) 为奇函数，即可得
h(log 6) h(log 1 12 + 2 ) 6 6 ，进而根据指数幂的运算即可求解
.
1 x (x +1)2 + ex - e- x
【详解】Q函数 f (x) ( ) -2 12(x2 +1) ，
h(x) (x +1)
2 + ex - e- x 2x + ex - e- x 1
设 +12(x2 +1) 12(x2 +1) 12 ，
g(x) 2x + e
x - e- x
令 2(x2 +1) ，
- x x x
g( x) -2x + e - e 2x + e - e
- x
则 - - -g(x)2[(-x)2 +1] 2(x2 +1) ，
h(x) 1 + h(-x) g(x) + g(-x) +
6 ，
又 - log2 6 log
1
2 ， h(log2 6) + h(log
1 1
6 2
)
6 6 ，
Q(1) log 6 (1
log 1
) 22 + 6 1 + 6 ，
2 2 6
f (log2 6)
1
+ f (log2 ) 66 ．
故答案为：6．
ì 2x , x 1, 7
【变式 2

】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x í f
f x - 2 , x >1,
则 ÷ ．
è 2
2 1
【答案】 / 2
2 2
【分析】直接代入分段函数求函数值即可.
7 3 1-
【详解】由题意得 f ÷ f ÷ f
1 2 2 2
2 2
-
2 ÷
．
è è è 2
2
故答案为： .
2
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）化简下列各式：
2
é 1 -2.5 ù 3
（1） ê 0.0645 ÷ ú
3
- 3 3 - π0 =
êè ú 8
a3b2 3 ab2
4
（2） 1 1 1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 设 - -1x 2 + x 2 3，则 x + x 的值为
a
【答案】 0 / ab-1 7
b
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案；
（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；
1 1
（3）将 -x 2 + x 2 3平方，即可求得答案.
2
é 1 -2.5 ù 3
【详解】（1 ） ê 0.0645
3 0
÷ ú - 3 3 - π
êè ú 8
3 1 ( 2.5) 2 14 - 3 5 3 3 3 ÷ -10 2 ÷
-1
è è
2 -1 3 5 ÷
- -1
è 2
5 3
- -1 0 .
2 2
1 2 1
a3b2 3 ab2 (a3b2a3b3 )2 5 2 4 7- -3 3
4 1 1 a b3 3 ab
-1 a
（2） 1 1 1 1- 2 - b ；3 3
a 4b2 ÷ a 3b3 ab a b
è
1 1
（3）因为 -x 2 + x 2 3，
1 1
2
-
x + x-1 x 2 + x 2 ÷ - 2 32 - 2 7 .
è
a
故答案为：（1）0；（2） ；（3）7
b
题型二　指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、
对称变换得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
1
【例题 2】（2024 高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ x ，y＝loga（xa
1
＋ ）（a＞0，且 a≠1）的图象可能是（　　）
2
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
x
【变式 1】（23-24 高三下·江西·开学考试）函数 f x x - x 的图象大致为（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.
【详解】 f -x -x - x x - f x ，且函数定义域为{x | x 0}，关于原点对称，所以 f x 2 - 2
为奇函数，排除 CD．
当 x > 0时， 2x - 2- x > 0，所以 f x > 0，排除 B，经检验 A 选项符合题意.
故选：A．
【变式 2】（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 y a x ，对数函数 y logb x 的图象
如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到 a,b的范围，从而得到结
果.
【详解】由图象可得，指数函数 y a x 为减函数，
对数函数 y logb x 为增函数，
所以0 < a <1,b >1，
即0 < a < 1 < b .
故选：B
【变式 3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 y xa， y bx ， y log c x 在同一平面直角坐标
系的图象如图所示，则（ ）
A． log 1 c < b
a < sin b log c < sin b < baB． 1
2 2
C． sin b < b
a < log 1 c D． sin b < log 1 c < b
a
2 2
【答案】B
【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得 a,b,c的取值范围，进而根据指对数与三
角函数的性质判断即可.
【详解】因为 y xa图象过 1,1 ，故由图象可得 a<0，
又 y bx 图象过 0,1 ，故由图象可得0 < b <1，
又 y log c x 图象过 1,0 ，故由图象可得 c >1 .
故 log 1 c < log 1 1 0
a
，0 < sin b <1，ba > b0 1，故 log 1 c < sin b < b .
2 2 2
故选：B
题型三　指数函数的性质及应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小
还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
命题点 1　比较指数式大小
【例题 3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设a 0.8-0.4 , b log0.50.8, c log0.40.9，则 a,b,c的大
小关系是（ ）
A．b > c > a B． a > c > b C．b > a > c D． a > b > c
【答案】D
【分析】利用中间值“1”与 a,b,c比较得出 a >1,0 < b,c <1，再由作差比较法比较b,c，利用
换底公式和对数函数的单调性即得.
a 0.8-0.4 > 0.80【详解】因为 1,b log0.50.8 < log0.50.5 1，所以 a > b．同理 a > c.
又因 y log0.5 x 在定义域内为减函数，故b log0.50.8 > log0.5 0.9，
而 log0.50.9 - log0.4 0.9
1 1 log0.9 0.4 - log - 0.9 0.5
log0.9 0.5 log0.9 0.4 log0.9 0.5 × log
，
0.9 0.4
因 log0.9 0.5 > 0， log0.9 0.4 > 0，且 log0.9 0.4 - log0.9 0.5 > 0，故 log0.50.9 > log0.4 0.9，即 b > c，
所以 a > b > c．
故选：D.
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知 a log5 2，b lg4， c 2e-1，则 a,b,c的大小关系为
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c < b < a
【答案】A
【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.
【详解】因为 a log5 2 < log5 5
1
，b lg4 > lg 10
1
，所以 a < b ；
2 2
又因为3lg2 lg23 lg8 <1,3e-1 >1，则3lg2 < 3e-1 ，
即 lg2 < e-1 ，所以 2lg2 lg4 < 2e-1 ，即b < c ；
所以 a < b < c．
故选：A．
【变式 2】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 a > b，则 a + c > b + c B．若a > b > 0，则 a0.4 > b0.4
1 a+c 1 b+cC a > b < ．若 ，则 ÷ ÷ D．若 a > b > 0,c > 0
b b + c
，则 >
è 2 è 2 a a + c
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断 A；根据幂函数单调性可判断 B；根据指数函数的性质
即可判断 C；利用作差法即可判断 D.
【详解】对于 A，因为 a > b，所以 a + c > b + c，故 A 结论正确；
对于 B，当a > b > 0时，因为幂函数 y x0.4 在 0, + 上单调递增，所以 a0.4 > b0.4 ，故 B
结论正确；
对于 C，因为 a > b，所以 a + c > b + c，
1 x 1 a+c 1 b+c
而函数 y ÷ 为减函数，所以 ÷ <

2 ÷
，故 C 结论正确；
è è 2 è 2
b b + c b a + c - a b + c c b - a
对于 D， - a a + c a a + c a a ，+ c
因为 a > b > 0,c > 0，所以 c b - a 0, a a + c 0，
b b + c c b - a
所以 - < 0
b b + c
a a c a a c ，所以 < ，故 D 结论错误.+ + a a + c
故选：D.
【变式 3】（2024·陕西西安·模拟预测）若 a 0.311.5 ,b log312,c log
2
3
2 6,d - ，则有3
（ ）
A． a > b > c B．b > a > d
C． c > a > b D．b > c > a
【答案】B
【分析】由题意首先得0 < a <1, d 2 3 - < 0，进一步
3
b log312 1+ log3 4 > 2,c log2 6 1+ log23 > 2，从而我们只需要比较 log3 4, log2 3的大小关
系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】 a 0.311.5 < 0.310 1，所以0 < a <1, d
2
3 - < 0，
3
b log312 1+ log3 4 > 2,c log2 6 1+ log23 > 2，
2
ln4 + ln2
又因为 log3 4 ln4 × ln2
÷
è 2 (ln2 2)2 ， < <1
log23 ln3 × ln3 ln3 × ln3 (ln3)
2
所以b < c ，即 d < a < b < c .
故选：B.
命题点 2　解简单的指数方程或不等式
【例题 4】（23-24 高三上· x陕西咸阳·阶段练习）若函数 f x a +1（ a > 0且a 1）在区间
1,2 上的值域为 3,5 ，则实数 a的值为（ ）
1 1A． 2 B．2 C．3 D． 3
【答案】B
【分析】分 a > 1与 0 < a < 1两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.
【详解】①当 a > 1时， f x a x +1单调递增，
ì f 1 a +1 3
故 í 2 ，解得 a 2；
f 2 a +1 5
②当 0 < a < 1时， f x a x +1单调递减，
ì f 1 a +1 5
í f 2 a2 1 3，无解， +
综上可知 a 2 .
故选：B
【变式 1】（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 f (x) 22x - a × 2x + 4 ，若 f (x) 0恒
成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． (- ,4] B． (- , 2] C．[4,+ ) D．[2,+ )
【答案】A
x 4 x 4
【分析】参变分离可得 a 2 + x 恒成立，结合基本不等式求出 2 + x 的最小值，即可求出2 2
参数的取值范围.
【详解】因为 f (x) 0恒成立，即 22x - a × 2x + 4 0恒成立，
a 2x 4所以 + x 恒成立，又由 2
x 4 4+ 2 2x
2 2x 2x
4（当且仅当 x 1时取等号），
所以 a 4．
故选：A．
【变式 2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数 f x sinx + x，若 x R ，不等式
f 2x m+ f - 2 2 x ÷ > 0恒成立，则正实数m 的取值范围为（2 ）è
A． 3,4 B． 2, + C． 3, + D． 4, +
【答案】B
【分析】分析出函数 f x 为奇函数，利用导数分析可知函数 f x 在R 上为增函数，由
f 2x f m+ x - 2 2 > 0可得出m > 2 2 × 2x 2÷ - 2x ，令2 t 2
x > 0 ，求出函数 y 2 2t - t 2 在
è
0, + 上的最大值，即可得出实数m 的取值范围.
【详解】因为 f x sinx + x，其中 x R ，则 f x cos x +1 0，且 f x 不恒为零，
所以，函数 f x 在R 上为增函数，
又因为 f -x sin -x + -x -sin x - x - f x ，故函数 f x 为奇函数，
x
由 f 2 + f m m x - 2 2 x÷ > 0可得 f - 2 2 > - f 22 2x ÷ f -2
x ，
è è
m 2
所以， x - 2 2 > -2
x
，所以，m > 2 2 × 2x - 2x ，2
令 t 2x > 0 ，因为 y 2 2t - t 2 - t - 2 2 + 2 2 ，当且仅当 t 2 时，等号成立，
所以，m>2 .
故选：B.
x
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）若集合 A x log2x 1 ，集合B x e 2 ，则 AI B
（ ）
ì 1
A． íx x ln2
ü
B． x 0 < x 1 C． x 0 < x ln2 D． x 0 < x 2
2
【答案】C
【分析】先求出集合 A, B，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为 A x log2x 1 x 0 < x 2 ，
B x ex 2 x x ln2 ，所以 A B x 0 < x ln2 ，
故选：C.
命题点 3　指数函数性质的综合应用
1
【例题 5】（23-24 高三上·陕西·阶段练习）已知函数 f x x - a是奇函数.2 +1
(1)求 a的值；
(2)求 f x 在 -1,3 上的值域.
1
【答案】(1) a
2
é 7 1- , ù(2) ê 18 6ú
.

【分析】（1）根据 f x 1 x - a，利用函数是奇函数求解；2 +1
1 1
（2）根据指数函数的单调性易证 f x x - 是R 上的减函数求解.2 +1 2
1
【详解】（1）解：因为 f x x - a，2 +1
x
所以 f -x 1 2 - x - a x - a .2 +1 2 +1
因为 f x 是奇函数，
f -x - f x 2
x 1
所以 ，即 x - a - - a ，2 +1 ÷è 2x +1
2a 1 2
x
即 + 1，
2x +1 2x +1
a 1解得 .
2
（2）由（1）可知 f x 1 1 - ，
2x +1 2
1 1
易知 t 2x +1在R 上单调递增且 t 2x +1 >1， y - 在 1, + 上单调递减，t 2
所以 f x 是R 上的减函数.
f 1 1 f 3 7因为 - ， - ，
6 18
所以 f x 在 -1,3 é 7上的值域为 ê- ,
1 ù
.
18 6 ú
【变式 1】（23-24 高三上·广东茂名·阶段练习）若函数 f (x) (2a -1)x-3 + b的图象恒经过定点
(3, -2)．
(1)求b 的值；
(2)当 f (x) 在R 上是增函数，求 a 的范围．
【答案】(1) -3
(2) a > 1
【分析】（1）利用条件建立方程1+ b -2，即可求出结果；
（2）由（1）得到 f (x) (2a -1)x-3 - 3，再根据条件即可得到结果.
【详解】（1）因为 f (x) 的图象过 (3, -2)
所以 f (3) (2a -1)3-3 + b -2，得到1+ b -2，所以b -3 .
（2）由（1）知， f (x) (2a -1)x-3 - 3
因为 f (x) 在R 上是增函数，所以 2a -1 >1，得到 a > 1 .
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) | 2x - 4 | + | x + 3 |．
f ( x)
(1) 1 1求不等式 ÷ 的解集；
è 2 128
(2)若 f (x) > kx +1恒成立，求实数 k 的取值范围．
x x 0 x 8 ü【答案】(1) 或 3
(2) -3,2 ．
【分析】（1）根据指数函数的单调性得到不等式，求出 f x 2x - 4 + x + 3 7，三段法解
绝对值不等式，求出不等式解集；
（2）画出 f (x) | 2x - 4 | + | x + 3 |的图象，数形结合得到答案.
1 f x 1 1
7 x
1
【详解】（ ）依题意， ，由于 y 在 R 上单调递减，
è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2
故 f x 2x - 4 + x + 3 7，
当 x < -3时， 4 - 2x - x - 3 7 ，解得 x -2，故 x < -3；
当-3 x 2时， 4 - 2x + x + 3 7，解得 x 0 ，故-3 x 0 ；
当 x > 2时， 2x
8 8
- 4 + x + 3 7，解得 x ，故 x ；
3 3
f x
1 1 8ü
综上所述，不等式 ÷ 的解集为 x x 0或 x
è 2 128 3
．

ì 1- 3x, x < -3,
（2）由（1）可知， f x í7 - x,-3 x 2,，

3x -1, x > 2,
作出函数 f x 的图象如图所示，
观察可知，临界状态为直线 y kx +1过B 2,5 或与直线 y 1- 3x 平行，
当直线 y kx +1过B 2,5 时， 2k +1 5，解得 k 2，
当直线 y kx +1与直线 y 1- 3x 平行时， k -3，此时 y -3x +1与 y kx +1重合，
故实数 k 的取值范围为 -3,2 ．
【变式 3】（23-24 高三上·江苏淮安·期中）已知不等式 log2 x + 2 log2 8 - 2x .
(1)求不等式的解集A ；
x-1 x
(2)若当 x A 1 1时，不等式 ÷ - 4

÷ + 2 m总成立，求m 的取值范围.
è 4 è 2
【答案】(1) A -2, 2
(2) m 1
【分析】（1）根据对数函数的单调性结合对数不等式可得出关于 x 的不等式组，即可解出集
合A ；
1 x-1 x2 1 （ ）求出函数 f x ÷ - 4 ÷ + 2在 -2,2 上的最小值，即可得出实数m 的取值范围.
è 4 è 2
x + 2 > 0
【详解】（1）解：因为 log2 x + 2
ì
log2 8 - 2x ，则 í -2 < x 28 ，解得 ， - 2x x + 2
故 A -2, 2 .
x-1
2 f x 1 1
x
（ ）解：令 ÷ - 4

÷ + 2，则原问题等价 f x 4 2 min
m，
è è
f x 1
x 1 x
4 × 且 ÷ - 4 × ÷ + 2，其中 x -2,2 ，
è 4 è 2
x
t 1 1 1
2 é1
令 ÷
é
ê , 4÷，可得 y f x 4t
2 - 4t + 2 4 t -

÷ +1，其中 t ê , 4

÷ ，
è 2 4 è 2 4
当 t
1
时，即当 x 1时，函数 y f x 取得最小值，即 f x fmin 1 1，2
所以，m 1.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
5
1．（2024· 1 四川绵阳·二模） x - ÷ 的展开式中，x 的系数为（ ）
è x
A．-5 B．-10 C．5 D．10
【答案】A
【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 1 求得 r 值，则答案可求．
1 5 r x - T Cr × x 5-r 1× -
5-3r
【详解】 的展开式的通项为 (-1)r × Cr ÷ r+1 5 × x
2 ．
è x è x
÷ 5

5 - 3r
令 1，得 r 1．
2
x 1的系数为-C5 -5．
故选：A．
3x2 - b．（2024·内蒙古包头·一模）已知 f x x b > 0 是奇函数，则b （ ）3 + b
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据题意，利用 f 0 0，求得b 1，结合函数奇偶性的定义与判定，即可求解.
x 0
【详解】由函数 f x 3 - b x b > 0 是奇函数，可得 f 0
3 - b 1- b

3 + b 30
0，
+ b 1+ b
3x -1
解得b 1，即函数 f x ，
3x +1
1
3x -1 3- x -1 3x
-1 1- 3x
又由函数 f x 的定义域为R ，且 f -x - x 1 x - f xx ，3 +1 3 +1 +1 3 +1
3x
所以函数 f x 为奇函数，所以b 1符合题意.
故选：D.
3．（23-24 高三上·广东梅州·期中）计算：1.10 + 3 64 - 0．5-2 + lg25 + 2lg2 （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
【分析】根据根式、指数、对数运算求得正确答案.
-2
1.10 + 3 64 - 0.5-2 + lg25 + 2lg2 1+ 3 43 - 1 【详解】 ÷ + lg 25 + lg 4
è 2
1+ 4- 22 + lg(25 4) 1+ 2 3 .
故选：C
x
4．（2024 · · f (x) 4 ×2010 + 2高三下 全国 专题练习）已知 x + x cos x(-1 x 1)，设函数 f (x)2010 +1
的最大值是M ，最小值是 N ，则（ ）
A．M + N 8 B．M - N 8
C．M + N 6 D．M - N 6
【答案】C
f (x) 4 ×2010
x + 2
【分析】将 看成两个函数的和，函数 g(x) 在R 上单调递增，函数 y x cos x
2010x +1
为奇函数，从而函数 f (x) 的最大值与最小值之和为函数 g(x)的最大值和最小值之和，结合
单调性利用指数运算化简求值即可.
x x
【详解】因为 g(x) 4 ×2010 + 2 4 × (2010 +1) - 2 4 2- ，
2010x +1 2010x +1 2010x +1
由复合函数单调性的判断方法，知此函数 g(x)在R 上为增函数
又 -x cos -x -x cos x，所以 y x cos x为R 上的奇函数，故其最大值加最小值为 0，
所以M + N g(1) + g(-1) 8 (
2 2 ) 8 (2 2010 2 - -1 + 1 - + ) 8 - (
2 2011) 6 .
2010 +1 2010 +1 2010 +1 2010 +1 2011
故选：C
二、多选题
5．（23-24 高三上· - x x福建漳州·阶段练习）小明同学对函数 f x a - ka (a > 0且 a 1)进得
研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．函数 f x 的定义域为R B．函数 f x 有可能是奇函数，也有可能是偶
函数
C．函数 f x 在定义域内单调递减 D．函数 f x 不一定有零点
【答案】ABD
【分析】根据解析式确定定义域，令 k 1、 k -1研究 f x 的性质判断各项的正误即可.
【详解】由 x R ，有 a x > 0，即 f x 恒有意义，故定义域为R ，A 对；
当 k 1，则 f x a- x - a x x - x，故 f -x a - a - f (x)，此时为奇函数，
当 k -1，则 f x a- x + a x f -x a x + a- x，故 f (x)，此时为偶函数，B 对；
f x a- x 1+ a x x 1若 x + a > 0 ，令 t a x ，易知 y t + 在 0,1 上递减，在 1, + 上递增，a t
当 a > 1时， t a x 在 - , + 上递增，根据复合函数的单调性可知，
f x 在 0, + 上递增，在 - ,0 上递减，所以 f x 在定义域内不递减，且无零点，C 错；
若 f x a- x - a x ，显然 f 0 0，此时函数有零点，综上， f x 不一定有零点，D 对.
故选：ABD
2
6．（2024·山东临沂·一模）已知函数 f x x + a a R ，则（ ）2 -1
A． f x 的定义域为 - ,0 U 0, +
B． f x 的值域为R
C．当 a 1时， f x 为奇函数
D．当 a 2时， f -x + f x 2
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断 A，再分 2x -1 > 0、-1 < 2x -1 < 0分别
求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断 B，根据奇偶性判断 C，根据指数
幂的运算判断 D.
【详解】对于函数 f x 2 x + a a R ，令 2x -1 0，解得 x 0，2 -1
所以 f x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，故 A 正确；
2 2
因为 2x > 0，当 2x -1 > 0时 x > 0，所以 + a > a ，2 -1 2x -1
2 2
当-1 < 2x -1 < 0时 x < -2，所以 x + a < -2 + a ，2 -1 2 -1
综上可得 f x 的值域为 - , -2 + a U a,+ ，故 B 错误；
a 1 2 2
x +1 2- x +1 2x +1
当 时 f x x +1 x ，则 f -x - x - x - f x ，2 -1 2 -1 2 -1 2 -1
2
所以 f x x +1为奇函数，故 C 正确；2 -1
2 2x +1 x - x
当 a 2时 f x x + 2 x +1，则 f -x f x
2 +1 1 2 +1+ x + + - x +1 2，2 -1 2 -1 2 -1 2 -1
故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题
x
7．（2023·上海金山·一模）若 x > 0时，指数函数 y m2 - 3 的值总大于 1，则实数m 的取
值范围是 .
【答案】m < -2或m>2
【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于m 的不等式，求解不等式即可得
到结果.
【详解】由已知可得，m2 - 3 > 0且m2 - 3 1.
又 x > 0时， y > 1，
即 x 0m2 - 3 >1 m2 - 3 ，
所以有m2 - 3 >1，即 m + 2 m - 2 > 0，
解得m < -2或m>2 .
故答案为：m < -2或m>2 .
8．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y x
x
称为高斯函数.例如： 2.1 2， -3.1 -4 . f (x) 2 + 3已知函数 ，则 é f -1 ù x+1 ，1+ 2
函数 y f (x) 的值域为 .
【答案】 1 0,1,2
1 5
【分析】利用分离参数法可得 f (x) +1 ，根据题意直接代入求解即可得
2 è1+ 2x+1 ÷
é f -1 ù ；根据指数函数性质可得 f (x) 的值域，进而可得 y f (x) 的值域.
x
f (x) 2 + 3 1 5【详解】因为 x+1 +1

，
1+ 2 2 è1+ 2x+1 ÷
é f -1 7ù é ù所以 ê 4 ú
1；

又因为 2x+1 > 0 ，则1+ 2x+1 >1，
1 1
可得0 < x f x ,31+ 2 +1
<1，所以 ÷，
è 2
f x 1 ,1 若 ÷ ， é
è 2
f x ù 0 ；
若 f x 1,2 ， é f x ù 1；
若 f x 2,3 ， é f x ù 2；
综上所述：函数 y f (x) 的值域为 0,1,2 .
故答案为：1； 0,1,2 .
四、解答题
9．（2024 高三·全国·专题练习）画下列函数图像
(1) y 2x+2 ；
y x + 2(2) .
x -1
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
【分析】（1）利用函数图象平移的性质，结合指数函数的图象即可得解；
（2）利用函数图象平移的性质，结合反比例函数的图象即可得解.
【详解】（1）将 y 2x 的图象向左平移 2 个单位，即可得到 y 2x+2 的图象，如图，
y x + 2（2）因为 1
3
+ ，
x -1 x -1
3 x + 2
先作出 y x 的图象，将其图象向右平移
1 个单位，再向上平移 1 个单位，即得 y 的
x -1
图象，如图，
10．（2024 高三·全国·专题练习）化简：
(1) (27
2
- 1-
) 3 + (0.002) 2 -10( 5 - 2)-1 + ( 2 - 3)0 ；
8
(2) 3 (1+ 2)3 + 4 (1- 2)4
167
【答案】(1)－
9
(2) 2 2
167
【详解】(1) 原式＝( )－ ＋( )－ － ＋1＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .9
(2) 原式＝(1＋ )＋|1－ |＝1＋ ＋ －1＝ 2 2 .
x - x x - x
11 23-24 · 2 + 2 2 - 2．（ 高三上 安徽合肥·阶段练习）已知函数 f x ， g x .
2 2
(1)若存在 x 0, + x 1，使得 f x t × 2 + 成立，求实数 t 的取值范围；
2
(2)若不等式 f 2x + 2bg x 0，对任意的 x 1,2 恒成立，求实数b 的取值范围.
é3 1
【答案】(1) t ê , ； 8 2 ÷
é 17
(2) ê- ,+ . 12 ÷
1 -2x - x
【分析】（1）由题设，问题化为 t 2 - 2 +1 在 x 0, + 有解，应用换元法及二次函2
数性质求参数范围；
22x2 + 2
-2x m2 + 2
（ ）由题设得 + b 2x + 2- x 0，令 2x - 2- x m ，问题进一步化为b - 对任2 2m
m é3 ,15 ù意的 ê 恒成立，根据右侧单调性求最值，即可得参数范围. 2 4 ú
1 ∵ f x 2
x + 2- x
【详解】（ ） ， f x t 1×2x + ，
2 2
∴ 2
x + 2- x t 2x 1
1
× + t 2-2x - x，即 - 2 +1 在 x 0, + 有解，
2 2 2
2
令m 2- x 0,1 t 3 1 m 1 ，所以 + - ,
8 2 ֏ 2
1 3 3 1
当m t 1 é 时 min ；当m 趋向于 0 或1时 t 趋向于 ，即 t ,2 8 2 ê8 2 ÷
.

2x -2x
（2） f 2x + 2bg x 0 2 + 2，即 + b
2 2
x + 2- x 0，
令 2x - 2- x m ，因为 x 1,2 ，所以 y 2x - 2- x 为增函数，
m é3 ,15 ù所以 ，则 22x + 2-2x m2ê ， 2 4 ú
+ 2

m2 + 2 m2 + 2 é3 15ù
所以 + bm 0，化为b - 对任意的m , 恒成立，
2 2m ê2 4 ú
j m m
2 + 2 m 1
- - + m é
3 ,15 ù ÷在 ê ú 上单调递减，2m è 2 m 2 4
3 j 3 3 2 17当m 时，取得最大值为 - + - ，
2 2 ÷ ÷è è 4 3 12
17 17
所以b - ，实数b é 的取值范围为 - ,+ .
12 ê 12 ÷
12．（23-24 x高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数 f x a + b， g x loga x， a > 0, a 1 ，
其中 a,b均为实数.
(1)若函数 f x 的图像经过点 A 0,2 ，B 1,3 ，求 a,b的值;
(2)如果函数 f x 的定义域和值域都是 -1,0 ，求 a + b 的值.
(3)若 a满足不等式 22a+1 > 25a-2 ，且函数 g 2x -1 在区间 1,3 上有最小值-2，求实数 a 的
值.
【答案】(1) a 2，b 1
3
(2) a + b -
2
(3) a 5
5
x
【分析】（1）将 A, B点坐标代入 f x a + b直接求解即可；
（2）根据指数函数的单调性结合定义域和值域的概念分情况讨论即可；
（3）先根据指数函数的单调性求出 a的范围，再由对数函数的单调性求出 a 的值即可.
【详解】（1）因为函数 f x a x + b的图像经过点 A 0,2 ，B 1,3 ，
ìa0 + b 2 ìa 2
所以 í 1 ，解得a b í
.
+ 3 b 1
x
（2）当 a > 1时，函数 f x a + b在 -1,0 上为增函数，
ì f -1 a-1 + b -1
由题意可得 í
f 0 a0
无解；
+ b 0
当 0 < a < 1时，函数 f x a x + b在 -1,0 上为减函数，
ì f -1 a-1 + b 0 ì 1 a
由题意可得 í f 0 ，解得 a0 + b -1 í 2 ， b -2
所以 a b
3
+ - .
2
（3）因为 22a+1 > 25a-2 ，所以 2a +1 > 5a - 2，解得a < 1，
又 a > 0，所以 0 < a < 1，函数 g 2x -1 loga 2x -1 在区间 1,3 上单调递减，
所以当 x 3时， g 2x -1 取得最小值-2，
即 g 2 3-1 loga 2 3-1 loga 5 -2，
a 5解得 .
5
综合提升练
一、单选题
1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知 a > 0且a 1，下列等式正确的是（ ）
6
A．a-2 × a3 a-6
a
B． a2
a3
3
-
C． a6 + a3 a9 D． a 2
1

a3
【答案】D
【分析】ABC 选，利用指数幂的运算法则判断，D 选项，由分数指数幂的定义得到 D 正确.
【详解】A 选项， a > 0且a 1，故 a-2 ×a3 a-2+3 a，A 错误；
6
B 选项， a > 0且a 1 a ，故 3 a
6-3 a3，B 错误；
a
C 选项， a6 + a3 a9 ，C 错误；
3
- 1 1
D 选项， a > 0且a 1 2，故 a 3 3 ，D 正确.
a 2 a
故选：D
2x2．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知 f x ax 为奇函数，则 f 1 （ ）2 -1
2 2
A． B．- C．2 D．-23 3
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义求参数 a得函数解析式，再求值即可.
x - x x - x ax x - x+ax
【详解】由题意可知 f x f x 2 2 2 2 × 2 2 - 2+ -
2ax
+
-1 2-ax
+ 0，
-1 2ax -1 1- 2ax 2ax -1
2x所以 - 2- x+ax 0 x - -x + ax 0 a 2 ，
2x
所以 f x 2 2
22x
f 1 .
-1 4 -1 3
故选：A
3 x．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 3 ，若 a f log36 ,b f log
3
510 ,c f ÷ ，则
è 2
（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．b < c < a
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.
【详解】依题意， log36 1+ log3 2 1 log 3
3 3
> + 3 ， log510 1+ log5 2 <1+ log5 5 ，2 2
因此 log510
3
< < log36，而函数 f (x) 3x 在R 上单调递增，2
所以 f (log510) < f (
3) < f (log36)，即b < c < a .2
故选：D
ì2x + 2- x , x 3

4．（2024·江苏南通·二模）已知函数 f x í x ，则 f log2 9 （ ）
f ÷ , x 3
>
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】B
ì2x + 2- x , x 3
f x 【详解】因为 í f x 2 ÷ , x > 3 è
由于 log2 9 > 3，则 f (log2 9) f (
1 log 1 1 102 9) f (log2 3) 2
log2 3 +
2 2log 3
3 +
2 3 3 ．
故选：B
5 x．（2023·江西南昌·三模）设函数 f x a 0 < a <1 ， g x logb x b >1 ，若存在实数m
满足：① f (m) + g(m) 0 ；② f (n) - g(n) 0，③ | m - n | 1
1
，则 m - n 的取值范围是
2
（ ）
1
A． (- ,
1
- ) B ( 1 , 3- 5
3 1
． - - ) C． (- , - ) D 3+ 5．
2 4 4 2 (- ,
1
- )
2 4 4 2
【答案】D
【分析】由① f (m) + g(m) 0 ，② f (n) - g(n) 0解出0 < m <1， n >1，解出
1 m - n 1< - ；结合③ 3+ 5转化为线性规划问题解出 .
2 2 z > - 4
x
【详解】函数 f x a 0 < a <1 ， g x logb x b >1 ，
若存在实数m 满足：① f (m) + g(m) 0 ；② f (n) - g(n) 0，
am - log m an log n m即 b ，且 b n，则 a - a logb mn < 0，
1 1
则0 < mn < 1，且0 < m <1， n >1，所以 m - n < - ，
2 2
又因为③ | m - n | 1，
ì0 < mn <1 1
则 í ，令 z m - n
m - n 1
，
2
不防设 x m ， y n ，则转化为线性规划问题，
在A 点处 z 取最小值.
ì
1 -1+ 5ì
y
x
2
由 í x 解得 í ，
y x +1 y 5 +1 2
3+ 5
代入解得 z > - .
4
故选：D .
6．（23-24 高三上·福建莆田·阶段练习）函数 y a x-1 + 2(a > 0且 a 1)的图象恒过定点 k,b ，
9 1
若m + n b - k 且m > 0, n > 0 ，则 + 的最小值为（ ）
m n
9 5
A．9 B．8 C． D．
2 2
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数 y a x-1 + 2(a > 0且 a 1)的图象恒过定点 1,3 ，所以m + n 3 -1 2，
2 9 1 m n 9 1 10 9n m + ÷ + + ÷ + + 10 + 2 9 16，
è m n è m n m n
2 9 1 +

÷ 16,
9 1
+ 8，
è m n m n
9n m 1 3
当且仅当 ，即 n , m 等号成立，
m n 2 2
9 1
所以 + 的最小值为8 .
m n
故选：B.
7．（23-24 高三上·云南楚雄·期末）设 3 9 的小数部分为 x，则 x3 + 6x2 +12x （ ）
3 2
A．1 B． C．2 D．
2 3
【答案】A
3
【分析】先算出 3 9 的整数部分，再表示出 3 9 的小数部分，所以有 x + 2 9，利用二项式
定理即可计算 x3 + 6x2 +12x .
【详解】由3 > 3 9 > 3 8 2，得 3 9 的整数部分为 2，则 3 9 x + 2，
3
所以 x + 2 9 x3 + 2C1 2 2 2 3 2，即 3x + 2 C3 x + 8 x + 6x +12x + 8 9，
所以 x3 + 6x2 +12x 1 .
故选：A
8．（23-24 高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）
A． n an a B． loga (MN ) loga M＋loga N
C 1 1 3． a 2 a 2 a a 2 D． (log3 2 + log9 2) × (log4 3+ log8 3)
5

4
【答案】D
【分析】根据指数幂运算及对数运算公式判断各个选项.
【详解】对 A：当 n为偶数且 a<0时， n an a -a ，故 A 不正确；
对 B：只有M > 0, N > 0时， loga (MN ) loga M＋loga N 才成立，故 B 不正确；
C 1 1 1 1 1 1 1 1 1对 ： a 2 a 2 a a 2 a 2 ×a 2 a 2 a a 2 × a 2 a 2 ，故 C 不正确；
(log 2 log 2) (log 3 log 3) (log 2 1 log 2) (1 log 3 1对 D： 3 + 9 × 4 + 8 3 + 2 3
× 2 + log 3)2 3 2
3 log 2 5 log 3 3 ln 2 5 ln 3 5 3 × × × × ，故 D 正确；2 6 2 2 ln 3 6 ln 2 4
故选：D
二、多选题
9．（2024·广西柳州·三模）若 a > b，则（ ）
A． a3 - b3 > 0 B． ln a - b > 0 C． ea-b > 1 D． a - b > 0
【答案】AC
【分析】利用幂函数、对数函数、指数函数的性质，结合特殊值法即可得解.
【详解】对于 A，因为 y x3在R 上单调递增， a > b，
所以 a3 > b3，即 a3 - b3 > 0 ，故 A 正确；
对于 B，取 a 1,b 0，满足 a > b，但 ln a - b ln1 0，故 B 错误；
对于 C，因为 a > b，所以 a - b > 0，则 ea-b > e0 1，故 C 正确；
对于 D，取 a 0,b -1，此时 a - b -1 < 0，故 D 错误.
故选：AC.
x
10．（23-24 高三上·浙江温州·期末）已知函数 f x 2 -1 x ，则（ ）2 +1
1
A．不等式 f x < 的解集是 -1,1
3
B．"x R ，都有 f -x f x
C． f x 是 R 上的递减函数
D． f x 的值域为 -1,1
【答案】AD
2
【分析】由题意可得 f (x) 1- x ，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断2 +1
A；利用奇偶函数的定义计算即可判断 B；举例说明即可判断 C；根据指数型函数的的值域
的求法计算即可判断 D.
x
A f (x) 2 -1 1 2 f (x) 1 1 1 2 1 1 1 2【详解】 ： x - x ，由 < 3 ，得 - < -2 1 2 1 3 2x
<
1 3 ，即
<
+ 3 2x
<
+ + +1 3
，
3
得 < 2x +1 < 3，解得-1 < x <1，即原不等式的解集为 (-1,1)，故 A 正确；
2
x+1
B： f (-x) 1 2 1 2- - x -2 +1 2x
f (x)，故 B 错误；
+1
C f (1) 1 2 1 3 2： - < 1- f (2)3 3 5 5 ，所以
f (x) 在 R 上单调递减不成立，故 C 错误；
2
D：由0 < < 2
2
知 -1 < 1- f (x)x < 1，即函数 的值域为 (-1,1)x ，故 D 正确.2 +1 2 +1
故选：AD
x - x
11．（22-23 高三上·河北邯郸·期中）设函数 f(x) e - e＝ ，则下列结论正确的是（ ）
2
A．|f(x)|是偶函数 B．-f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
【答案】ABC
【分析】首先判断函数 f x 的奇偶性，再此基础依次判断选项.
ex - e- x e- x x
【详解】函数 f(x)= 定义域为 R，则 f(-x) - e＝ ＝-f(x)，∴f(x)是奇函数，
2 2
f -x - f x f x ，所以函数 f x 是偶函数，故 A 正确；
- f -x f x - é- f x ù ，所以函数- f x 是奇函数，故 B 正确；
f x 是奇函数， f x 是偶函数，所以 f x f x 是奇函数，故 C 正确；
∵f(|-x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数，故 D 不正确．
故选：ABC
三、填空题
12．（2024·北京房山·一模）若对任意m,n R ，函数 f (x) 满足 f (m) f (n) f (m + n) ，且当m > n
时，都有 f (m) < f (n)，则函数 f x 的一个解析式是 ．
x
【答案】 f x 1 2 ÷ （答案不唯一）è
【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解.
x
1
【详解】由题意，可取 f x ÷ ，
è 2
x
1
函数 f x ÷ 是减函数，满足m > n 时，都有 f (m) < f (n)，
è 2
m n m+n
因为 f m f n 1 1 1 × ÷ ÷ ÷ f m + n ，
è 2 è 2 è 2
x
所以函数 f x 1 ÷ 满足题意.
è 2
x
1
故答案为： f x ÷ .（答案不唯一）
è 2
x
13．（2024·全国·模拟预测）已知16log12 x - 9log12 x x，16log9 y -12log9 y y ，则 y ．
5 +1
【答案】
2
【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为16m - 9m 12m ，16n - 9n 12n ，然
9 x x x x 3+ 9 1 3 后通过两等式的联系（均可化为 ÷ ÷ 形式），构造函数 y ÷ + ÷ 研究出 m
è16 è 4 è16 è 4
x
与 n 的关系，从而建立 x 与 y 的关系，进而求出 y .
【详解】令m log12 x， n log9 y ，则 x 12m ， y 9n，
由题可得16m - 9m 12m ，16n - 9n 12n ，
9
m 3 m n 9 3
n
所以 + 1
+ ， 1 .
è16 ÷ 4 ÷ 16 ÷ ÷ è è è 4
9 x 3 x
因为函数 y ÷ + ÷ 在R 上单调递减，所以m n .
è16 è 4
9 m 3 m m
2
é 3 ù 3
m
由 ÷ + ÷ 1

，得 ê ÷ ú + ÷ -1 0，
è16 è 4 ê è 4 ú è 4
3
m
5 -1 x 12m 4
m
2 5 +1
得 ÷ ，故 4 2 y 9n ÷
.
è è 3 5 -1 2
5 +1
故答案为： .
2
2x+1
14．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知函数 f (x) x - x -1- a ，存在实数 x1, x2 ,L, xn 使2 + 2
n-1
得 f xi f xn 成立，若正整数 n的最大值为 8，则正实数 a的取值范围是 .
i 1
9 4
【答案】 a <
7 3
2x+1g(x) -1
【分析】设 2x + 2- x ，得到-1- a < g(x) - a <1- a，然后分类讨论 a的范围，解出
即可.
x+1
g(x) 2 1 1 2 x - -
【详解】设 2 + 2- x (2x )2 +1，又因为 (2x )2 > 0, (2x )2 +1 >1，所以
-1 < g(x) <1，
则-1- a < g(x) - a <1- a，当0 a 1时，-1- a -1,0 1- a 1，
n-1
则0 f (x) a +1，显然存在任意正整数 n使得 f (xi ) f (xn ) 成立；
i 1
当 a > 1时，-1- a <1- a < 0， a -1< f (x) < a +1，
ì7(a -1) < a +1 9 4
要使得正整数 n的最大值为 8，则 í ，解得 a <
8(a -1)
，
a +1 7 3
a 9 4则实数 的取值范围是 a < .
7 3
9 4
故答案为： a < .
7 3
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数 f (x)
的值域，然后根据题意列不等式求解.
四、解答题
15．（23-24 高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
1 0
1
(1) 2计算：0.0643 + 5 2 1- - + 0.1-2 ÷ ÷ ；
è 2 è 4
b a3 × 3 ab
(2)化简（用分数指数幂表示）： (a > 0,b > 0)
a3 b2 × ab
【答案】(1)99.9
19 1
(2) - -a 12b 12
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则计算出答案；
（2）将根式化为分数指数幂，再进行计算即可.
1 1
1 0 1 é 2 ù 2 -2
【详解】（1
2
）0.0643 5+ - - 2 1 + 0.1-2 ÷ ÷ 0.43 3 +1- 3 1 ê ÷ ú +
è 2 è 4 ÷ ê è 2 ú è10
0.4 +1 3- +100 99.9
2
1
1 1 2
b a3

× a3b3 ÷ 5 1 5 7
b a3 × 3 ab è b ×a3b6 a3b6
5 13 7 5
- - 19 1- -
（2） a3 4 6 4 12 12
3 2 1 1 5 13 5
b a b .
a b × ab 1 1 2 a3 × a 4b4 a 4 b4a3 b2 × a 2b2 ÷
è
16．（2023 x高三·全国·专题练习）已知 f x 2 的图象，指出下列函数的图象是由 f x 的图
象通过怎样的变换得到的.
(1) y 2x+1 ；
(2) y 2x +1；
(3) y 2-x；
(4) y 2 x .
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案.
【详解】（1） y 2x+1 的图象是由 y 2x 的图象向左平移 1 个单位长度得到的．
（2） y 2x +1的图象是由 y 2x 的图象向上平移 1 个单位长度得到的．
（3） y 2-x与 y 2x 的图象关于 y 轴对称，
作 y 2x 的图象关于 y -x轴的对称图形便可得到 y 2 的图象．
（4） y 2 x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，
故保留当 x 0 时， y 2x 的图象，再作其关于 y 轴的对称图形，即可得到 y 2 x 的图象．
2
17．（23-24 2 m -2m高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数 f x m - 5m + 5 x 在 0, + 上单调
x
递减，函数 g x 2 - k ．
(1)求m 的值；
(2)记集合 A y y f x , x 1,2 ，集合B y y g x , x -1,1 ，若 AI B A，求实
数 k 的取值范围．
【答案】(1) m 1
(2) 0,1
【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求m 的值；
（2）由函数的单调性，求 f x 和 g x 在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数 k 的
取值范围.
【详解】（1）由题意得，m 2 - 5m + 5 1，解得m 1或m 4 ，
m 1 f x x-1 1当 时， ，在 0, + 上单调递减，满足题意；
x
当m 4 时， f x x8 ，此时 f x 在 0, + 上单调递增，不满足题意．
综上，m 1．
（2）由（1）知， f x 1 ，又 x 1,2 1，则 A é ,1ùê ．x 2 ú
∵ g x 2x - k ， x -1,1 é1，∴ B ê - k, 2 - k
ù
2 ú
．

ì1 - k 1
∵ AI B A，∴ A B

，∴ í2 2 ，解得0 k 1，
2 - k 1
即实数 k 的取值范围为 0,1 ．
18．（23-24 高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：
(1) log1 x2 - x - 2 > log1 (x -1) -1．
2 2
(2)1 4x - 3 ×2x + 3 7．
【答案】(1) 2,3
(2) - ,0 1,2
【分析】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；
（2）分1 4x - 3 × 2x + 3和 4x - 3 ×2x + 3 7两部分进行求解，然后取交集即可.
2
【详解】（1） log 1 x - x - 2 > log 1 x -1 -1 log 1 é2 x -1 ù，
2 2 2
ìx2 - x - 2 > 0
由对数函数的性质可得： í ，解得 x > 2，
x -1 > 0
由于 y log 1 x 2为递减函数，所以 x - x - 2 < 2 x -1 ，解得0 < x < 3，
2
综上：不等式的解集为 2,3 .
x
（2）首先求解1 4x - 3 × 2x + 3的解，转化可得 2 -1 2x - 2 0，
所以 2x 1或 2x 2，解得 x 0 或 x 1；
再解 4x - 3 ×2x + 3 7，转化可得 2x - 4 2x +1 0，
所以 2x 4，解得 x 2，
综上：1 4x - 3 × 2x + 3 7的解集为 - ,0 U 1,2 .
ì 1 ü ì 2 ü ì 1 a 1 ü
19．（23-24 高三下·全国·自主招生） S1 ía a3 < 2 , S2 ía loga < 2 , S3 ía ÷ <3 3 2
，
è
求 S1 S2 U S3
【答案】 S1 S2 U S3 0, +
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性化简集合，即可由集合的运算求解.
1
【详解】由 a3 < 2 a < 8, S1 a a < 8 ,
log 2
6
由 a < 2, a >1或3 0 < a
6
< ，故 S2 0,
3 3 ÷
÷ 1,+ ,
è
1 a 1 1 a
由 ÷ < log1 ÷ > log
1
1 a > log3 2，故 S3 a a > log 2 ，
è 3
3
2 3 è 3 3 2
6
因此 S1 S2 0, 3 ÷÷
1,8 ,
è
由于 23 < 32 < 3 6 ，所以 log3 2
3 < log3 3
6 3log3 2 < 6 log 2
6
3 < <13
故 S1 S2 U S3 0, +
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为
（ ）
ex - e- x ex - e- x
A． f x f x 4 x - 3 B． 3- 4 x
x
f x e + e
- x x
C． 4 x 3 D．
f x
- x -1
【答案】A
【分析】利用 f x 在 1, + 上的值排除 B，利用奇偶性排除排除 C，利用 f x 在 1, + 上
的单调性排除 D，从而得解.
x
B x >1 f x e - e
- x
【详解】对于 ，当 时， ，易知 ex - e- x > 0，3- 4x < 0，
3- 4x
则 f x < 0 ，不满足图象，故 B 错误；
exf x + e
- x
, 3 U 3 3- - - , 3 对于 C， 4 x 3 ，定义域为- 4 ÷ 4 4 ÷
U , + ÷ ，
è è è 4
e- x + ex xf ( x) e + e
- x
又 - f (x) f x y4 -x 3 4 x 3 ，则 的图象关于 轴对称，故 C 错误；- -
x x 1
对于 D，当 x >1时， f x 1+x -1 x -1 x -1，
由反比例函数的性质可知， f x 在 1, + 上单调递减，故 D 错误；
x - x
检验选项 A， f x e - e 4 x - 3 满足图中性质，故 A 正确.
故选：A.
2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断 AC；举出反例即可判断 B；由作差法即
可判断 D.
【详解】对于 AC，当 x > 0时，"x > 0,ex >1,cosx 1，
所以"x > 0,ex > cosx，故 A 正确，C 错误；
对于 B，当 a 0,b -1时， a2 0 <1 b2，故 B 错误；
é 2 ù
对于 D 3， a - b3 a - b a2 ab 1 3+ + b2 a - b ê a + b 2 ÷ + b ú ，
ê è 2 4 ú
é 1
2
3 ù
因为 a > b，所以 a3 - b3 a - b ê a + b÷ + b2 ú > 0，故 D 错误.
ê è 2 4 ú
故选：A.
1
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数 f x 为偶函数，满足 f x + 2 - f x ，且-2 x 0
x
3
时， f x x ÷÷ - 2 ，若关于 的方程 f x - loga x +1 0至少有两解，则 a的取值范围
è 3
为（ ）．
1
A． ,3÷ B． 0,
1ù 3, 0, 1ù U 3, é1 + ùC． + D． ,3
è 3 è 3ú è 5ú ê 5 ú
【答案】C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
1 1
【详解】由已知 f x + 2 - ，则
f x -
f x f x 2 ，则 f x + 2 f x - 2- ，
可知函数 f x 为周期函数，最小正周期T 4，
x
3
又当-2 x 0时， f x 3 ÷÷ - 2，è
可知函数 f x 的图象如图所示，且 f x 的值域为 -1,1 ，
关于 x 的方程 f x - loga x +1 0至少有两解，
可得函数 y f x 与函数 y loga x +1 的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当 0 < a < 1时， loga 4 +1
1 1 1
-1 loga ，解得 a a
0, ù，即
a 5
，
è 5ú
当 a > 1时， loga 2 +1 1 loga a ，解得 a 3，即 a 3,+ ，
a 0, 1ù综上所述 ú 3,+ ，è 5
故选：C.
4 x．（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x 3 -1 ， a < b < c，且
f a > f c > f b ，则（ ）
A． a<0，b < 0， c < 0 B． a<0，b 0， c > 0
C．3-a < 3c D．3a + 3c < 2
【答案】D
【分析】画出 f x 的图象，根据 a,b,c以及 f a , f c , f b 的大小关系确定正确答案.
【详解】令 f x 3x -1 1，解得 x log3 2，
画出 f x 3x -1 的图象如下图所示，
由于 a < b < c，且 f a > f c > f b ，
由图可知： a<0，0 < c < log3 2，b 的值可正可负也可为 0 ，所以 AB 选项错误.
1 8 1
当 a -2,b 0,c
1
时， f -2 -1 , f 0 0, f 3 -1，
2 9 9 ֏ 2
满足 f a > f c f b 1> ，3-a 32 9 > 32 ，所以 C 选项错误.
f a 3a -1 1- 3a , f c 3c -1 3c -1，
f a > f c ,1- 3a > 3c -1，所以3a + 3c < 2，D 选项正确.
故选：D
5．（2024·全国·模拟预测）若 2x - 4y 2 ，x， y R ，则 x - y的最小值为（ ）
A 1
3 5
． 2 B． C． D．42 4
【答案】C
22x
【分析】构造 4x- y y ，变形 2
x 4x + 2 ，然后用基本不等式求出结果即可.
4
【详解】因为 2x 4x + 2 ，
2x 4y 2+ 2 2 y y所以 4x- y 2 4 + 2 2 ×4 + 2 4y 2y y y + + 2 2 ．4 4 4 4y
2 2
因为 2y > 0，所以 4y + y 2 4
y
4 4y
2 2 ．
5 5
所以 4x- y 4 2 44 ，即 x - y ．4
y 2 1 3
当且仅当 4 y ， 2x4 4
y + 2 ，即 y ， x 时等号成立，4 2
x - y 5所以 的最小值为 ．
4
故选：C．
二、多选题
6．（23-24 高三上· x - x江苏扬州·期末）已知函数 f x x e + a ×e 是奇函数或偶函数，则
y f x 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶性求对应参数 a 的值，再由指数型函数性质判断 x > 0时的函数值符号，
即可得答案.
f -x -x e- x【详解】由已知得 + a ×ex ，
y f x -x e- x若 为偶函数，则 + a ×ex x ex + a ×e- x 恒成立，
所以 x(1+ a)(ex + e- x ) 0恒成立，故 a -1，则 f x x ex - e- x ，
所以 x > 0时有 f x > 0，显然 C 对，D 错；
y f x -x e- x + a ×ex -x ex若 为奇函数，则 + a ×e- x 恒成立，
所以 x(a -1) ex - e- x 0恒成立，故 a 1，则 f x x ex + e- x ，
所以 x > 0时有 f x > 0，显然 B 对，A 错；
故选：BC
7．（2024 高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）
3
A． 6 + 7 > 2 2 + 5 B． ln3 2 > logπ 3
1
e -C 2． 2 17 <17 D． ln π > π ÷è
【答案】ABD
【分析】平方之后再作差即可判断 A，根据指数、对数函数的性质判断 B，当 x>4时，
ln x
2x > x2 ，即可判断 C，令 g(x) 1 (x > 0)，利用导数说明函数的单调性，即可判断 D.
x 2
【详解】对于 A，因为
2 26 + 7 - 2 2 + 5 13+ 2 42 - 13 + 4 10 2 42 - 40 > 0，
2 2
即 6 + 7 > 2 2 + 5 ，显然 6 + 7 > 0， 2 2 + 5 > 0，
所以 6 + 7 > 2 2 + 5 ，故 A 正确；
3 3 3
对于 B， ln > 0 ，所以 ln3 2 >1，又 log 3 < log π 1，所以
ln
2 π π 3
2 > log 3，故 B 正确；π
对于 C，当 x > 0时，函数 y 2x 与函数 y = x2 有 2个交点 (2, 4)， (4,16)，
作出 y 2x 和 y = x2 的图象，如图所示，
2
结合图象可知，当 x>4时， 2x > x2 ，又 17 > 4 ，所以 2 17 > 17 ，故 C 错误；
ln x 1 1- ln x
对于 D，设 g(x) 1 (x > 0)，则 g (x) 2 ，
x 2 3x 2
令 g (x) > 0，则 0 < x < e2 ，令 g (x) < 0，则 x > e2 ，
所以 g(x)在 (0,e2 )上单调递增，在 (e2 ,+ )上单调递减，
ln π ln e 1-
又0 < e < π < e2 ，所以 g(π) > g(e) 2，即 1 > 1 ，化简得 ln π e>
π 2 e2 ÷
，故 D 正确．
è π
故选：ABD
ln x
【点睛】关键点点睛：D 选项的关键是构造函数 g(x) 1 (x > 0)，利用导数说明函数的单
x 2
调性，从而比较函数值的大小.
三、填空题
8．（23-24 2+ 2-3x高三上·上海静安·阶段练习）函数 y x +1 + x - 2 + 3 的最小值为 .
【答案】12
【分析】根据函数的定义域，讨论 x 的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数的
最小值.
2
【详解】函数的定义域需满足 2 - 3x 0 x
2
ù，即 ，即定义域为 - ,
3 è 3
，
ú
当 x -1时， y -1- x + 2 - x + 32+ 2-3x 1- 2x + 32+ 2-3x ，
函数在区间 - , -1 单调递减，当 x=-1时， y 2+ 5min 3+ 3 ，
1 x 2当- < 时， 2+ 2-3x 2+ 2-3x ，
3 y x +1+ 2 - x + 3 3+ 3
2 ù 2 2
函数在区间 -1, ú 单调递减，当 x 时， ymin 3+ 3 12 ，è 3 3
综上可知，函数的最小值为12 .
故答案为：12
四、解答题
9 x．（23-24 高三上·河北石家庄·期末）已知函数 f x e ．
(1)若函数 f mx2 - x + m 的值域为 1, + ，求m 的取值范围；
(2)若过点 2, n 可以作曲线 y f x 的两条切线，求 n的取值范围．
é 1 ù
【答案】(1) ê0, 2ú
(2) 0,e2
2
【分析】（1）设函数 g x mx - x + m 的值域为D，由题意结合复合函数的值域可知
0, + D ，对m 是否为 0 分类讨论即可.
（2）设出切点，求出过该切点的切线方程，将点 2, n 代入切线方程可得 n的表达式，由题
意直线 y n t与函数 h t 3- t e 有两个不同的交点，利用导数来研究函数单调性，进而求
解即可.
2
【详解】（1）令函数 g x mx - x + m 的值域为D．
2
因为 f mx - x + m 的值域为 1, + ，所以 0, + D ．
当m 0时，D R，符合题意；
ìm > 0
当m
1
0 时， í 0 < m
Δ 1- 4m
2 ，解得 ． 0 2
é 1 ù
综上，m 的取值范围为 ê0, 2ú ．
2 x t（ ）在曲线 f x e 上任取一点P t, e , f x ex，
t t
所以曲线 y ex 在点 P 处的切线方程为 y - e e x - t ，即 y et x + 1- t et ．
由题意可知，点 2, n 在直线 y et x + 1- t et t上，可得 n 2e + 1- t et 3- t et ．
令 h t 3- t et ，则 h t 2 - t et ．
当 t < 2时， h t > 0，此时 h t 单调递增，当 t > 2时， h t < 0 ，此时 h t 单调递减，
所以 h(t) 2max h 2 e ，且当 t < 2时， h t > 0，当 2 < t < 3时， h t > 0．
由题意可知，直线 y n 与曲线 y h t 的图象有两个交点，则0 < n < e2 ，
所以 n的取值范围为 0,e2 ．
a - x
10．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 f x log1
9 2 + bx
，
g x m ×4x - 2x+2 + 3 .
(1)若 y lg ég x ù 的值域为R ，求满足条件的整数m 的值；
(2)若非常数函数 f x 是定义域为 -2,2 的奇函数，且"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ，
f x 11 - g x2 > - ，求m 的取值范围.2
【答案】(1)1
(2) - , 2
【分析】（1）根据函数 y lg é g x ù 的值域为R ，可得函数 g x 的值域包含 0, + ，再分
m 0，m > 0和m < 0三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数 f x 的解析式，再根据"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ，
f x1 - g x2
1 1
> - ，则只要 f x + > g x f xmin 即可，求出函数 的最小值，再从m 分2 2 min
情况讨论，结合二次函数的性质求出 g x 的最小值即可.
【详解】（1）因为函数 y lg ég x ù 的值域为R ，
所以函数 g x 的值域包含 0, + ，
2g x m × 4x - 2x+2 + 3 m × 2x - 4 ×2x + 3，
x+2
当m 0时， g x -2 + 3，其值域为 - ,3 ，不满足条件，
当m 0 x时，令 t 2 , t 0, + ，
则函数 y mt 2
2
- 4t + 3的对称轴为 t ，
m
2 2m > 0 y m × 当 时， min ÷ - 4
2
× + 3 4 3- ，
è m m m
即 g x é3 4的值域为 ê - , +

÷，
m
ì 4
3- 0 4
所以 í m ，解得0 < m ，
3 m > 0
2
当m < 0时， < 0，则函数 y mt 2 - 4t + 3的值域为 - ,3 ，
m
即函数 g x 的值域为 - ,3 ，不满足条件，
4
综上所述，0 < m ，所以满足条件的整数m 的值为1；
3
（2）因为函数 f x 是定义域为 -2,2 的奇函数，
ì f 0 0
所以 í
f -1 f 1
，
-
ì
log
a
1 0
9 2 ìa 2 ìa 2
即 í ，解得 í 或 í ，
log a +1 - log a -1 b 1 b -1
1 2 - b 1 9 9 2 + b
ìa 2
由函数 f x 不是常数函数，所以 í ，
b 1
ìa 2
经检验，符合题意，所以 íb 1 ，
f x log 2 - x即 1
9 2 + x
，
由"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ， f x1 - g x2
1
> - ，
2
得"x1 1,2 ，$x2 -1,1 f x
1
， 1 + > g x2 2 ，
只要 f x 1+ > gmin x min 即可，2
当 x 1,2 2 - x 4 - 2 + x 4时， -1 0, 1 ù ，
2 + x 2 + x 2 + x è 3ú
所以函数 f x log
1 1
1 min ，
9 3 2
1
则 f x + 1min ，2
g x m × 4x - 2x+2 x 2+ 3 m × 2 - 4 ×2x + 3，
令 n 2x ，因为 x -1,1 1，所以 n é , 2ùê ， 2 ú
函数 y m ×n2
1
- 4n + 3,n éê , 2
ù
，
2 ú
当m 0时， y 4n 3,n
é1 - + , 2ùê ， 2 ú
则 n 2时， ymin -5 <1恒成立，符合题意；
m 0 y m ×n2当 时，函数 - 4n + 3,n é
1
ê , 2
ù 2
ú 的对称轴为 n ， 2 m
当m < 0时，则 n 2时， ymin 4m - 5 < 0恒成立，符合题意；
0 2 1当 < ，即m > 4 时，
m 2
n 1则 时， y
1
min m +1，2 4
ìm > 4

所以 í1 ，不等式组无解；
m +1<1 4
2
当 2，即0 < m 1时，
m
则 n 2时， ymin 4m - 5 < 0恒成立，符合题意；
1 2
当 < < 2，即1< m < 4时，
2 m
则 n
2 y 4 时， min - + 3，m m
ì1< m < 4

所以 í 4 ，解得1< m < 2，
- + 3 <1 m
综上所述，m 的取值范围为 - , 2 .
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 y f x ， x a,b ， y g x ， x c, d .
（1）若"x1 a,b ，"x2 c, d ，有 f x1 < g x2 成立，则 f x < g xmax min ；
（2）若"x1 a,b ，$x2 c, d ，有 f x1 < g x2 成立，则 f x < g xmax max ；
（3）若$x1 a,b ，$x2 c, d ，有 f x1 < g x2 成立，则 f x < gmin x max ；
（4）若"x1 a,b ，$x2 c, d ，有 f x1 g x2 成立，则 f x 的值域是 g x 的值域的子
集.考点 11 指数与指数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合提
升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特
殊点等性质，并能简单应用．
【知识点】
1．根式
(1)一般地，如果 xn＝a，那么 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
(2)式子n a叫做 ，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)(n a)n＝ .
当 n 为奇数时，n an＝ ，
，
n a a ≥ 0
，
当 为偶数时，n an＝|a|＝{－a，a < 0.
2．分数指数幂
m
正数的正分数指数幂： a n ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
m
－ 1
正数的负分数指数幂： a n ＝ ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
n am
0 的正分数指数幂等于 ,0 的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域
是 .
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
性质 过定点 ，即 x＝0 时，y＝1
当 x>0 时， ； 当 x<0 时， ；
当 x<0 时， 当 x>0 时，
在(－∞，＋∞)上是_______ 在(－∞，＋∞)上是_______
常用结论
1
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，(－1， .a)
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，则 c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象越高，底数越大．
【核心题型】
题型一　指数幂的运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
y x
【例题 1】（2024·广东·模拟预测）若 xy 3，则 x + y ．
x y
2 x - x
【变式 1】（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数 f (x)
1 (x +1) + e - e
( )x -
2 12(x2 +1) ，则
f (log 6) f (log 12 + 2 ) 6 ．
ì 2x , x 1, 7
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x í f f x 2 , x 1,则 ÷ ． - > è 2
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）化简下列各式：
2
é 1 -2.5 ù 3
（1） ê 0.0645
3 0
÷ ú - 3 3 - π =
êè ú 8
a3b2 3 ab2
（2） 1 1
4
1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 设 -x 2 + x 2 3，则 x + x
-1的值为
题型二　指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、
对称变换得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
1
【例题 2】（2024 高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ x ，y＝loga（xa
1
＋ ）（a＞0，且 a≠1）的图象可能是（　　）
2
A． B．
C． D．
x
【变式 1】（23-24 高三下·江西·开学考试）函数 f x x - x 的图象大致为（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
【变式 2】（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 y a x ，对数函数 y logb x 的图象
如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
【变式 3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 y xa， y bx ， y log c x 在同一平面直角坐标
系的图象如图所示，则（ ）
a a
A． log 1 c < b < sin b B． log 1 c < sin b < b
2 2
C． sin b < b
a < log 1 c D． sin b < log 1 c < b
a
2 2
题型三　指数函数的性质及应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小
还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
命题点 1　比较指数式大小
【例题 3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设a 0.8-0.4 , b log0.50.8, c log0.40.9，则 a,b,c的大
小关系是（ ）
A．b > c > a B． a > c > b C．b > a > c D． a > b > c
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知 a log5 2，b lg4， c 2e-1，则 a,b,c的大小关系为
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D． c < b < a
【变式 2】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 a > b，则 a + c > b + c B．若a > b > 0，则 a0.4 > b0.4
1 a+c b+c 1 b b + cC．若 a > b，则 ÷ < ÷ D．若 a > b > 0,c > 0，则 >
è 2 è 2 a a + c
2
【变式 3】（2024·陕西西安·模拟预测）若 a 0.311.5 ,b log312,c log2 6,d 3 - ，则有3
（ ）
A． a > b > c B．b > a > d
C． c > a > b D．b > c > a
命题点 2　解简单的指数方程或不等式
【例题 4】（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 f x a x +1（ a > 0且a 1）在区间
1,2 上的值域为 3,5 ，则实数 a的值为（ ）
A 1
1
． 2 B．2 C．3 D． 3
【变式 1】（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 f (x) 22x - a × 2x + 4 ，若 f (x) 0恒
成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． (- ,4] B． (- , 2] C．[4,+ ) D．[2,+ )
【变式 2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数 f x sinx + x，若 x R ，不等式
f 2x + f m x - 2 2 ÷ > 0恒成立，则正实数m 的取值范围为（2 ）è
A． 3,4 B． 2, + C． 3, + D． 4, +
3 2024 · · A x log x 1 B x ex【变式 】（ 高三 全国 专题练习）若集合 2 ，集合 2 ，则 AI B
（ ）
ìx 1A． í x ln2
ü
2
B． x 0 < x 1 C． x 0 < x ln2 D． x 0 < x 2

命题点 3　指数函数性质的综合应用
1
【例题 5】（23-24 高三上·陕西·阶段练习）已知函数 f x x - a是奇函数.2 +1
(1)求 a的值；
(2)求 f x 在 -1,3 上的值域.
【变式 1】（23-24 高三上·广东茂名·阶段练习）若函数 f (x) (2a -1)x-3 + b的图象恒经过定点
(3, -2)．
(1)求b 的值；
(2)当 f (x) 在R 上是增函数，求 a 的范围．
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) | 2x - 4 | + | x + 3 |．
(1) 1
f ( x)
1
求不等式 ÷ 的解集；
è 2 128
(2)若 f (x) > kx +1恒成立，求实数 k 的取值范围．
【变式 3】（23-24 高三上·江苏淮安·期中）已知不等式 log2 x + 2 log2 8 - 2x .
(1)求不等式的解集A ；
x-1 x
(2) x A 1 1 若当 时，不等式 ÷ - 4 ÷ + 2 m总成立，求m 的取值范围.
è 4 è 2
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1 1
5

．（2024·四川绵阳·二模） x - ÷ 的展开式中，x 的系数为（ ）
è x
A．-5 B．-10 C．5 D．10
x
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知 f x 3 - b x b > 0 是奇函数，则b （ ）3 + b
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（23-24 高三上·广东梅州·期中）计算：1.10 + 3 64 - 0．5-2 + lg25 + 2lg2 （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
x
4．（2024 4 ×2010 + 2高三下·全国·专题练习）已知 f (x) x + x cos x(-1 x 1)，设函数 f (x)2010 +1
的最大值是M ，最小值是 N ，则（ ）
A．M + N 8 B．M - N 8
C．M + N 6 D．M - N 6
二、多选题
5 - x x．（23-24 高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数 f x a - ka (a > 0且 a 1)进得
研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．函数 f x 的定义域为R B．函数 f x 有可能是奇函数，也有可能是偶
函数
C．函数 f x 在定义域内单调递减 D．函数 f x 不一定有零点
2
6．（2024·山东临沂·一模）已知函数 f x x + a a R ，则（ ）2 -1
A． f x 的定义域为 - ,0 U 0, +
B． f x 的值域为R
C．当 a 1时， f x 为奇函数
D．当 a 2时， f -x + f x 2
三、填空题
x
7．（2023·上海金山·一模）若 x > 0时，指数函数 y m2 - 3 的值总大于 1，则实数m 的取
值范围是 .
8．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y x
x
称为高斯函数.例如： 2.1 2， -3.1 -4 . f (x) 2 + 3已知函数 ，则 é f -1 ù1+ 2x+1
，
函数 y f (x) 的值域为 .
四、解答题
9．（2024 高三·全国·专题练习）画下列函数图像
(1) y 2x+2 ；
x + 2
(2) y .
x -1
10．（2024 高三·全国·专题练习）化简：
27 2- 1-(1) ( ) 3 + (0.002) 2 -10( 5 - 2)-1 + ( 2 - 3)0 ；
8
(2) 3 (1+ 2)3 + 4 (1- 2)4
x - x x - x
11．（23-24 2 + 2 2 - 2高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 f x ， g x .
2 2
(1)若存在 x 0, + ，使得 f x t 1× 2x + 成立，求实数 t 的取值范围；
2
(2)若不等式 f 2x + 2bg x 0，对任意的 x 1,2 恒成立，求实数b 的取值范围.
12．（23-24 x高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数 f x a + b， g x loga x， a > 0, a 1 ，
其中 a,b均为实数.
(1)若函数 f x 的图像经过点 A 0,2 ，B 1,3 ，求 a,b的值;
(2)如果函数 f x 的定义域和值域都是 -1,0 ，求 a + b 的值.
(3)若 a满足不等式 22a+1 > 25a-2 ，且函数 g 2x -1 在区间 1,3 上有最小值-2，求实数 a 的
值.
综合提升练
一、单选题
1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知 a > 0且a 1，下列等式正确的是（ ）
6
A．a-2 × a3 a-6
a
B． 3 a
2
a
3
- 1
C． a6 + a3 a9 D． a 2
a3
2x2．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知 f x ax 为奇函数，则 f 1 （ ）2 -1
2 2
A． B - C 2 D -23 ． ． ．3
3 x．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 3 ，若 a f log36 ,b f log510 ,c f
3
÷ ，则
è 2
（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．b < c < a
ì2x + 2- x , x 3
4．（2024·江苏南通·二模）已知函数 f x í x ，则 f log 9 （f , x 3 2 ） ÷ >
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
5．（2023·江西南昌·三模）设函数 f x a x 0 < a <1 ， g x logb x b >1 ，若存在实数m
满足：① f (m) + g(m) 0 ；② f (n) - g(n) 0，③ | m - n | 1
1
，则 m - n 的取值范围是
2
（ ）
( 1 1 3 1A． - , - ) B 1． (- , 3- 5- ) C． (- , - ) D ( 3+ 5 , 1．2 4 4 2 - - )2 4 4 2
6．（23-24 高三上·福建莆田·阶段练习）函数 y a x-1 + 2(a > 0且 a 1)的图象恒过定点 k,b ，
若m + n b - k 且m > 0, n > 0
9 1
，则 + 的最小值为（ ）
m n
9 5
A．9 B．8 C． D．
2 2
7．（23-24 高三上·云南楚雄·期末）设 3 9 的小数部分为 x，则 x3 + 6x2 +12x （ ）
3 2
A．1 B． C．2 D．
2 3
8．（23-24 高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）
A． n an a B． loga (MN ) loga M＋loga N
C 1 1 3
5
． a 2 a 2 a a 2 D． (log3 2 + log9 2) × (log4 3+ log8 3) 4
二、多选题
9．（2024·广西柳州·三模）若 a > b，则（ ）
A． a3 - b3 > 0 B． ln a - b > 0 C． ea-b > 1 D． a - b > 0
x
10．（23-24 高三上· 2 -1浙江温州·期末）已知函数 f x x ，则（ ）2 +1
A．不等式 f x 1< 的解集是 -1,1
3
B．"x R ，都有 f -x f x
C． f x 是 R 上的递减函数
D． f x 的值域为 -1,1
x - x
11 e - e．（22-23 高三上·河北邯郸·期中）设函数 f(x)＝ ，则下列结论正确的是（ ）
2
A．|f(x)|是偶函数 B．-f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
三、填空题
12．（2024·北京房山·一模）若对任意m,n R ，函数 f (x) 满足 f (m) f (n) f (m + n) ，且当m > n
时，都有 f (m) < f (n)，则函数 f x 的一个解析式是 ．
x
13．（2024·全国·模拟预测）已知16log12 x - 9log12 x x，16log9 y -12log9 y y ，则 y ．
2x+1
14．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知函数 f (x) x - x -1- a ，存在实数 x2 + 2 1
, x2 ,L, xn 使
n-1
得 f xi f xn 成立，若正整数 n的最大值为 8，则正实数 a的取值范围是 .
i 1
四、解答题
15．（23-24 高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
1
1 0
(1) 2计算：0.0643 5+ - 1 ÷ -
-2
2
2 ÷ + 0.1 ；
è è 4
b a3 × 3 ab
(2)化简（用分数指数幂表示）： (a > 0,b > 0)
a3 b2 × ab
16．（2023 高三·全国· f x 2x专题练习）已知 的图象，指出下列函数的图象是由 f x 的图
象通过怎样的变换得到的.
(1) y 2x+1 ；
(2) y 2x +1；
(3) y 2-x；
(4) y 2 x .
2
17．（23-24 高三上·安徽· 2 m -2m阶段练习）已知幂函数 f x m - 5m + 5 x 在 0, + 上单调
g x 2x递减，函数 - k ．
(1)求m 的值；
(2)记集合 A y y f x , x 1,2 ，集合B y y g x , x -1,1 ，若 AI B A，求实
数 k 的取值范围．
18．（23-24 高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：
2
(1) log1 x - x - 2 > log1 (x -1) -1．
2 2
(2)1 4x - 3 ×2x + 3 7．
ì 1 ü ì
a ü
19．（23-24 高三下·全国·自主招生） S1 ía a3 2
, S ì 2 ü 1 1< 2 ía loga < 2

3
, S3 ía ÷ < ，
è 3 2
求 S1 S2 U S3
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为
（ ）
x - x x - x
A． f x e - e B． f x e - e 4 x - 3 3- 4 x
x
f x e + e
- x x
C． D． f x 4 x - 3 x -1
2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
1
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数 f x 为偶函数，满足 f x + 2 - f x ，且-2 x 0
x
3
时， f x x ÷÷ - 2 ，若关于 的方程 f x - loga x +1 0至少有两解，则 a的取值范围
è 3
为（ ）．
1 1ù 1ù é1 ù
A． ,3÷ B． 0, 3, + C． 0, U 3, + D． ,3
è 3 è 3ú è 5ú ê 5 ú
4．（23-24 x高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x 3 -1 ， a < b < c，且
f a > f c > f b ，则（ ）
A． a<0，b < 0， c < 0 B． a<0，b 0， c > 0
C．3-a < 3c D．3a + 3c < 2
5．（2024·全国·模拟预测）若 2x - 4y 2 ，x， y R ，则 x - y的最小值为（ ）
1 3 5A． 2 B． C． D．42 4
二、多选题
6．（23-24 x - x高三上·江苏扬州·期末）已知函数 f x x e + a ×e 是奇函数或偶函数，则
y f x 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024 高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）
3
A． 6 + 7 > 2 2 + 5 B． ln3 2 > logπ 3
1
-
C 2． 2 17 <17 D． ln π e> ÷
è π
三、填空题
8．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）函数 y x +1 + x - 2 + 32+ 2-3x 的最小值为 .
四、解答题
9．（23-24 高三上·河北石家庄· f x ex期末）已知函数 ．
(1) 2若函数 f mx - x + m 的值域为 1, + ，求m 的取值范围；
(2)若过点 2, n 可以作曲线 y f x 的两条切线，求 n的取值范围．
a - x
10．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 f x log1
9 2 + bx
，
g x m ×4x - 2x+2 + 3 .
(1)若 y lg ég x ù 的值域为R ，求满足条件的整数m 的值；
(2)若非常数函数 f x 是定义域为 -2,2 的奇函数，且"x1 1,2 ，$x2 -1,1 ，
f x 11 - g x2 > - ，求m 的取值范围.2

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