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考点 10 二次函数与幂函数（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
【知识点】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当 α 为奇数时，y＝xα为奇函数；当 α 为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为 f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
4ac－b2 ( 4ac－b2值域 [ ，＋∞) －∞，4a 4a ]
b
对称轴 x＝－
2a
( b 4ac－b2顶点坐标 － ，2a 4a )
奇偶性 当 b＝0 时是偶函数，当 b≠0 时是非奇非偶函数
在( b－∞，－ ]上单调递减； 在( b－∞，－ 上单调递增；2a 2a]
单调性
[ b b在 － ，＋∞ 上单调递增 在 － ，＋∞ 上单调递减2a ) [ 2a )
【核心题型】
题型一　幂函数的图象与性质
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y
＝1，y＝x 所分区域．根据 α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇
偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比
较．
【例题 1】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1
A． - 3
1
y = x 2 B． y = x 2 C． y = x D． y = x3
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
1
【详解】对于 A：函数 y = x 2 = x 的定义域为 0, + ，显然不符合题意，故 A 错误；
1
- 1
对于 B：函数 y = x 2 = 的定义域为 0, + ，显然不符合题意，故 B 错误；
x
对于 C：函数 y = x3的定义域为R ，又 y = x3为奇函数，
但是 y = x3在 0, + 上函数是下凸递增，故不符合题意，故 C 错误；
1 1
对于 D： y = x3 = 3 x 定义域为R ，又 y = x3 为奇函数，
1
且 y = x3 在 0, + 上函数是上凸递增，故 D 正确.
故选：D
【变式 1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知正数 a，b 满足 aea = blnb = 2 ，则（ ）
A． a <1 < b B． a < b <1
C． a > 1 > b D． a > b >1
【答案】A
a 2 2
【分析】由已知可得 e = 且 lnb = ，分别作出相关的函数图象即可求解.
a b
【详解】由 aea = blnb = 2 ，得
x 2
所以方程 e =
2
的实根为 a，方程 lnx = x 的实根为b ，x
x 2
在同一坐标系下画出 y = e , y = lnx, y = 的图象，显然 a <1 < b，
x
故选:A．
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 22.1 ，b = log 15， c = 51.052 ，则 a,b,c的大小关系为
（ ）
A．b < a < c B．b【答案】A
【分析】利用指数函数 y = 2x 与对数函数 y = log2x 的单调性比较 a,b与中间值 4 的大小关系
进而得到 a与b 的大小关系；利用幂函数 y = x2.1 的单调性得到 a与 c的大小关系，最终得到
a,b,c的大小关系.
【详解】Q y = 2x 是R 上的增函数， 2.1 > 2，\a = 22.1 > 22 = 4 ．
Q y = log2x在 0, + 上单调递增，15 < 24 ，
\b = log 4215 < log2 2 = 4，\b < a，
Qc = 51.05
2.1
= 5 ， y = x2.1 在 0, + 上单调递增， 2 < 5 ，
2.1 2.1\a = 2 < 5 = c，\b < a < c ，
故选：A．
【变式 3】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1 1
A． y = x 2 B．
-
y = x 2 C． y = x
3 D． y = x3
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
1
【详解】对于 A：函数 y = x 2 = x 的定义域为 0, + ，显然不符合题意，故 A 错误；
1
- 1
对于 B：函数 y = x 2 = 的定义域为 0, + ，显然不符合题意，故 B 错误；
x
对于 C：函数 y = x3的定义域为R ，又 y = x3为奇函数，又 y = x3在 0, + 上函数是下凸递
增，故不符合题意，故 C 错误；
1 1 1
对于 D：函数 y = x3 = 3 x 的定义域为R ，又 y = x3 为奇函数，且 y = x3 在 0, + 上函数是
上凸递增，故 D 正确.
故选：D
题型二　二次函数的解析式
求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与 x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）已知二次函数 f x 满足对于任意的 x, y R ，
f x f y = f xy ，且 f 2 = 4 .若 f p + q + f q =1，则 p2 + 2q2 的最大值与最小值之和
是（ ）
A． 4 + 2 2 B． 2 2 C．4 D． 2
【答案】C
f x = ax2【分析】设 + bx + c a 0 ，根据题意求得 f x = x2 ，由 f p + q + f q =1得到
p + q 2 + q2 =1，设 p + q = cosq ， q = sinq ，即 p = cosq - sinq ， q = sinq ，利用三角函数
的性质求最大值最小值即可.
【详解】设 f x = ax2 + bx + c a 0 ，
因为 f x f y = f xy ，令 y = 0 ，得 f x f 0 = f 0 ，故 f 0 = 0，所以 c = 0 ，
令 y =1，得 f x f 1 = f x ，故 f 1 =1，即 a + b =1，
又 f 2 = 4，即 4a + 2b = 4，故 a =1，b = 0 2，所以 f x = x ，
2
由 f p + q + f q =1，得 p + q + q2 =1，设 p + q = cosq ， q = sinq ，即 p = cosq - sinq ，
q = sinq ，
则 p2 + 2q2 = cosq - sinq 2 + 2sin2 q =1- 2sinq cosq + 2sin2 q =1- sin 2q + 1- cos 2q
= 2 - sin 2q - cos 2q = 2 - 2 sin 2q
π
+ ÷ é 2 - 2,2 + 2ùè 4
，
所以 p2 + 2q2 的最大值与最小值之和为 2 + 2 + 2 - 2 = 4，
故选：C
【变式 1】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知二次函数 f x 满足对于任意的
x, y R, f x f y = f xy 且 f 2 = 4．若 f p + q + f q =1，则下列说法正确的是（ ）
A． p + 2q -1 B． p + 2q 2
C． p2 + 2q2 2 - 2 D． p2 + 2q2 2 + 2
【答案】BD
【分析】设 f x = ax2 + bx + c a 0 ，根据题意，求得 f x = x2 ，由 f p + q + f q =1，
得到 p + q 2 + q2 =1，设 p + q = cosq ,q = sinq ，得到 p = cosq - sinq ,q = sinq ，结合三角函
数的性质，逐项计算，即可求解.
【详解】设二次函数 f x = ax2 + bx + c a 0 ，
因为 f x f y = f xy ，令 y = 0 ，可得 f x f 0 = f 0 ，故 f 0 = 0，所以 c = 0 ，
令 y =1，得 f x f 1 = f x ，故 f 1 =1，即 a + b =1；
又因为 f 2 = 4，即 4a + 2b = 4，解得 a =1,b = 0，所以 f x = x2 ，
由 f p + q + f q =1 2，可得 p + q + q2 =1，
设 p + q = cosq ,q = sinq ，即 p = cosq - sinq ,q = sinq ，
从而 p + 2q = cosq + sinq = 2 sin
q p+ ÷ é - 2, 2ù ，故 A 错误，B 正确；è 4
又由 p2 + 2q2 = cosq - sinq 2 + 2sin2 q =1- 2sinq cosq + 2sin2 q =1- sin 2q + 1- cos 2q
= 2 - sin 2q - cos 2q = 2 π- 2 sin 2q +

÷ é 2 - 2,2 + 2ù ，所以 C 错误、D 正确．è 4
故选：BD．
【变式 2】（多选）（2023·河北沧州·三模）已知二次函数 g x 满足 g x - 4 = g 2 - x ，
2
g x x；当 x 0,2 时， g x x +1 ÷ .函数 f x 的定义域为R ， y = f x + e
x
是奇函数，
è 2
y = f x - 3ex 是偶函数， e为自然对数的底数，则（ ）
A．函数 g x 的最小值为 0
B． f 0 =1
C． f g x -1
D．函数 f x 的导函数 f x 的最小值为 2 2
【答案】ACD
2
【分析】设 g x = ax + bx + c a 0 ，根据已知条件求出 a、b 、 c的值，可得出函数 g x 的
解析式，利用二次函数的基本性质可判断 A 选项；利用函数奇偶性的定义可得出关于 f x 、
f -x 的等式组，求出 f x 的解析式，求出 f 0 的值，可判断 B 选项；利用函数的最值与
导数的关系可判断 C 选项；利用基本不等式求出 f x 的最小值，可判断 D 选项.
【详解】设 g x = ax2 + bx + c a 0 ，
由 g x - 4 = g 2 - x 知函数 g x 的图象关于直线 x = -1对称，
b
即- = -1，解得b = 2a .
2a
因为 g x x，由题意可得 g 1 1，
x 0,2 g x x +1
2

当 时， ÷ ，则 g 1 1，
è 2
所以 g 1 =1，故 a + b + c =1，即 c =1- 3a，
所以 g x = ax2 + 2ax +1- 3a a 0 .
又 g x x 2恒成立，即 ax + 2a -1 x +1- 3a 0恒成立，
ì a > 0 ìa > 0 1
于是 í ，整理可得 í ，解得 a = ，
Δ = 2a -1
2 - 4a 1- 3a 0 4a -1
2 0 4
所以， g x 1 1 1 1= x2 + x + = x +1 2 ，则 g x = g -1 = 0，
4 2 4 4 min
因此，函数 g x 的最小值为 0 ，A 正确；
因为函数 y = f x + ex - x x为奇函数，则 f -x + e = - f x - e ，①
又因为函数 y = f x - 3ex 为偶函数，则 f -x - 3e- x = f x - 3ex ，②
联立①②可得 f x = ex - 2e- x ，于是， f 0 = -1，B 错误；
f x = ex + 2e- x于是， > 0 ，即 f x 在R 上单调递增.
注意到 g x 0，从而 f g x f 0 = -1，C 正确；
由基本不等式可得 f x = ex + 2e- x 2 ex ×2e- x = 2 2 ，当且仅当 ex = 2e- x 时，
x 1即当 = ln 2时，等号成立，故函数 f x 的最小值为
2 2 2
，D 正确，
故选：ACD.
【变式 3】（2023·山东·一模）已知二次函数 f x 满足 f (0) = -1，顶点为 (1, -2) .
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若函数 f x 在区间[a -1,4]上单调递增，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) f (x) = x2 - 2x -1
(2) 2,5
【分析】（1）由二次函数 f x 顶点为 (1, -2) 可设 f (x) = a(x -1)2 - 2 ，由 f (0) = -1即可求出
a，则求出 f x 的解析式.
（2）根据二次函数 f x 的开口和对称轴即可求得实数 a的取值范围.
【详解】（1）设 f (x) = a(x -1)2 - 2 ，
则由 f (0) = -1得：a - 2 = -1，
\a = 1，
\ f (x) = (x -1)2 - 2 = x2 - 2x -1.
（2）由（1）知 f (x) = x2 - 2x -1，开口向上，对称轴为 x =1，
则若函数 f x 在区间[a -1,4]上单调递增，
ìa -1< 4
需满足 í ，
a -1 1
\2 a < 5，
∴实数 a 的取值范围为 2,5 .
题型三　二次函数的图象与性质
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论
哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间
的位置关系进行分类讨论．
命题点 1　二次函数的图象
【例题 3】（2024·浙江·模拟预测）如图①，在矩形 ABCD中，动点M 从点A 出发，沿
A B C 的方向运动，当点M 到达点C 时停止运动．过点M 作MN ^ AM 交CD 于点 N ，
设点M 的运动路程为 x,CN = y，图②表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则矩形
ABCD的面积是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
【答案】A
BM CN
【分析】设 AB = m，则BC = 9 - m，由正切值 tan MAB = tan NMC = ，代入
AB CM
数值后得出二次函数关系，再结合图象和对称轴，顶点坐标求出m ，最后求出面积即可.
【详解】由图②可知， AB + BC = 9，设 AB = m，则BC = 9 - m，
如图，当点M 在BC 上时，
则 AB = m, BM = x - m, MC = 9 - x, NC = y，
因为MN ^ AM MAB = NMC ，所以 tan MAB = tan NMC
BM CN
= ，
AB CM
x - m y
即 = ，化简为 y
1 x2 9 + m= - + x - 9，
m 9 - x m m
2
9 + m
x 9 + m
÷
当 = 时，代入上式并结合图②可得 y 42 = -9 +
è m = ，4 5
m
m 81解得m = 5或 = （舍去），所以 AM = 5, BC = 4，
5
所以矩形 ABCD的面积是 20，
故选：A.
【变式 1】（2023·山东枣庄·二模）指数函数 y = a x 的图象如图所示，则 y = ax2 + x图象顶点
横坐标的取值范围是（ ）
, 1 1 A． - - ÷ B． - ,0
è 2 è 2 ÷
1 1
C． 0, D． - , +
è 2 ÷ 2 ÷ è
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象可知， a 0,1 ，再结合二次函数的顶点式即可解出．
2
【详解】由图可知， a 0,1 y ax2 x a 1 1 1，而 = + = x + ÷ - a 0 ，顶点横坐标为 x = - ，
è 2a 4a 2a
1 1
所以- - , - ．
2a 2 ֏
故选：A．
uuur uuur
【变式 2】（多选）（2023·湖北孝感·模拟预测）已知向量 AB = ax,-1 ， BC = x - ax,1- x ，
uuur uuur
则函数 f x = AB × AC 的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的坐标表示得函数解析式，然后分 a = 0， a > 0， a<0讨论即可.
uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 AC = AB + BC = (x, -x) ，所以 f (x) = AB × AC = ax2 + x .
当 a = 0时， f x = x，A 正确；
当 a > 0时， f x 1 1的零点为 0 和- ，且 - < 0 ，B 正确，Ca 错误；a
1 1
当 a<0时， f x 的零点为 0 和- ，且 - > 0 ，Da 正确.a
故选：ABD.
【变式 3】（多选）（23-24 高三上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数 y = ax2 + bx + c的图象
如图所示，有以下结论：① a + b + c > 0 ；② a - b + c<0；③ abc > 0；④ b2 > 4ac；⑤
b
-3 < < -2，下面的选项中所有序号结论全正确的是（ ）
a
A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
【答案】AC
【分析】观察题图结合二次函数图象的性质即可逐一判断每一序号，从而即可求解.
【详解】由图可知 f 1 = a + b + c > 0，故结论①正确；
由图可知 f -1 = a - b + c < 0，故结论②正确；
由图可知二次函数图象开口向下，所以 a<0，且 f 0 = c > 0 ，对称轴
x b= - >1 > 0 b > 0 ，所以 abc < 0，故结论③不正确；
2a
由图可知二次函数图象与 x 轴有两个交点，所以D = b2 - 4ac > 0 b2 > 4ac，故结论④正确；
b 3 b
由图可知对称轴1< - < -3 < < -2，故结论⑤正确；
2a 2 a
综上所述：下面的选项中所有序号结论正确的有①②④⑤.
故选：AC.
命题点 2　二次函数的单调性与最值
f (x) x2 (m 2)x 1 é 1 1 ù【例题 4】（2024·全国·模拟预测）若函数 = - - + 在 ê- , ú上单调，则实数m 2 2
的取值范围为（ ）
é1 ,1ù U é3, 9 ù é1 ,2ù é 9 ùA． ê ú ê B． U 3, 2 2 ú ê 2 ú ê 2 ú
é 1
C． ê- ,1
ù
ú U
é
ê3,
9 ù é 1
ú D． ê- , 2
ù U é3, 9 ù
2 2 2 ú ê 2 ú
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令 g x = x2 - m - 2 x +1，
ìm - 2 1 , ì m - 2 1 m - 2 1 m - 2 1 ,
ì - , ì - ,
2 2 2 2 2 2 2 2
则 í
g 1
或 í 或 í 或 í
÷ 0 g
1 1 1
-

÷ 0 g
-
2 2 2 ÷
0 g ÷ 0,
è è è è 2
9 1
解得3 m 或- ≤m≤12 ，2
1 9
即实数 m 得取值范围为[- ,1]U [3, ] .2 2
故选：C．
1
【变式 1】（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 y = 2 的单调增区间为（6 5x x ）- -
é 5 5 ù
A． ê- , + ÷ B．2
-6, -
è 2 ú
é 5 5
C． ê- ,1

÷和 1, + D．（- , -6）U

-6, -
ù
2 è 2 ú
【答案】C
【分析】令 t = -x2 - 5x + 6 ，根据二次函数的性质求出 t 的单调区间，再由复合函数的单调性
即可得函数的单调增区间.
【详解】设 t = -x2 - 5x + 6 ，则有 x -6 且 x 1，
t = -x2 - 5x + 6 = -(x 5+ )2 49+ ，则 t 49- ,0 U ù
2 4
0, ú ，è 4
1
所以函数 y = 2 的定义域为：{x | x -6且 x 1}，6 - 5x - x
5 ù é 5
由二次函数的性质可知 t 的单调递增区间为： - , -6 ， -6,- ú；单调递减区间为： - ,1è 2 ÷ ê 2
和 1, + ；
y 1又因为 = 在区间 - ,0 和 0, + 上单调递减，
t
y 1 é
5
由复合函数的单调性可知：函数 = 2 的单调增区间为：6 - 5x - x ê
- ,1÷和 1, + .
2
故选：C.
【变式 2】（2024·辽宁·模拟预测）命题 p ：存在m -1,1 ，使得函数 f x = x2 - 2mx在区间
a,+ 内单调，若 p 的否定为真命题，则 a的取值范围是 .
【答案】 - , -1
【分析】先给出命题 p 的否定，由函数 f (x) = x2 - 2mx的单调性进行求解.
【详解】命题 p 的否定为：任意m -1,1 ，使得函数 f (x) = x2 - 2mx在区间[a, + )内不单
调，
由函数 f (x) = x2 - 2mx在 - , m 上单调递减，在 m,+ 上单调递增，
则 a < m ，而m -1,1 ，
得 a < -1，
- , -1
故答案为：
【变式 3】（23-24 高三下·北京· 2阶段练习）已知函数 f (x) = x + ax + b 在区间[0, 4]上的最大
值为 M，当实数 a，b 变化时，M 最小值为 ．
【答案】2
2
【分析】 f (x) = x - 4x -[-(a + 4)x - b] ，则M 即为函数 g(x) = x2 - 4x与函数
h(x) = -(a + 4)x - b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，由图象观察
即可得出答案.
2 2
【详解】 f (x) = x - 4x + (a + 4)x + b = x - 4x -[-(a + 4)x - b] ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 g(x) = x2 - 4x， x [0 , 4]与函数 h(x) = -(a + 4)x - b，
x [0 , 4]图象上点的纵向距离，
则M 即为函数 g(x) = x2 - 4x与函数 h(x) = -(a + 4)x - b图象上点的纵向距离的最大值中的最
小值，
作出函数 g(x),h(x)图象，如图，
由图象可知，当函数 h(x) 的图象刚好为 y=- 2 时此时 a = -4,b = 2，M 取得最小值为 2.
故答案为：2
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（23-24 2高三上·全国·期末）二次函数 f x = ax + bx + 5满足条件 f -1 = f 3 ，则 f 2
的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据题意，由二次函数的对称性，代入计算，即可得到结果.
2
【详解】因为函数 f x = ax + bx + 5满足条件 f -1 = f 3 ，
所以 f x = ax2 + bx + 5 -1+ 3的图像关于直线 x = =1对称，
2
则 f 2 = f 0 = 5．
故选：A．
é 1 1 ù
2 2．（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) = x - (m - 2)x +1 在 ê- , ú上单调，则实数m 的取 2 2
值范围为（ ）
é1 ,1ù U éA． ê ú ê3,
9 ù é1 ù é
ú B． ê , 2ú U ê3,
9 ù
2 2 2 2 ú
é 1 ù é
C． ê- ,1ú U ê3,
9 ù é 1 ù é 9 ù
2 2 ú
D． ê- , 2 2 ú
U ê3, 2 ú
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令 g x = x2 - m - 2 x +1，
ìm - 2 1 ì m - 2 1 ìm - 2 1 ìm - 2 1

, , - , - ,
2 2 2 2 2 2 2 2
则 í 或 í 或 1 1 í
或
g 0 g - 0 g 1-
í
÷ ÷ ÷ 0 g
1
÷ 0, è 2 è 2 è 2 è 2
9 1
解得3 m 或- ≤m≤12 ，2
即实数 m 得取值范围为[
1
- ,1]U [3, 9] .
2 2
故选：C．
3．（22-23 高三·全国·对口高考）已知二次函数 f x 满足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x
的最大值是 8，则此二次函数的解析式为 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
【答案】A
2
f (x) = a 1 【分析】根据条件设二次函数为 x - ÷ + k(a 0)，代入条件求解即可.
è 2
【详解】根据题意，由 f (1- x) = f (x) 得: f (x)
1
图象的对称轴为直线 x = ，
2
1
2

设二次函数为 f (x) = a x - ÷ + k(a 0)，
è 2
1
因 f (x)
1
的最大值是 8，所以 a<0，当 x = 时， f
2 2 ÷
= k = 8 ，
è
1 2
即二次函数 f (x) = a x -
+ 8(a 0)，
è 2 ÷
2
由 f (2) = -1得: f (2) = a 2
1
- ÷ + 8 = -1，解得： a = -4 ，
è 2
1 2
则二次函数 f (x) = -4 x - ÷ + 8 = -4x
2 + 4x + 7，
è 2
故选：A.
1
4．（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 y = 2 的单调增区间为（6 5x x ）- -
é 5
A． ê- , +

÷ B． -6,
5
- ù
2 è 2 ú
é 5 5 ù
C． ê- ,1÷和 1, + D．（- , -6）U -6, - 2 è 2 ú
【答案】C
【分析】令 t = -x2 - 5x + 6 ，根据二次函数的性质求出 t 的单调区间，再由复合函数的单调性
即可得函数的单调增区间.
【详解】设 t = -x2 - 5x + 6 ，则有 x -6 且 x 1，
49
t = -x2 5 49- 5x + 6 = -(x + )2 + ，则 t - ,0 U 0, ù ，
2 4 è 4 ú
y 1所以函数 = 2 的定义域为：{x | x -6且 x 1}，6 - 5x - x
t , 6 6, 5 ù é 5 由二次函数的性质可知 的单调递增区间为： - - ， - - ú；单调递减区间为： ê- ,1÷è 2 2
和 1, + ；
y 1又因为 = 在区间 - ,0 和 0, + 上单调递减，
t
1 é 5
由复合函数的单调性可知：函数 y = 2 的单调增区间为： ê- ,1÷和 1, + .6 - 5x - x 2
故选：C.
二、多选题
5．（23-24 高三上·福建厦门·期中）下列函数中，满足“ "x1， x2 0，+ ，都有
f (x1) - f (x2 ) < 0
x - x ”的有（ ）1 2
A． f (x) = -3x +1 B． f x = ex - e- x
C 2． f x = x + 4x + 3 f x 2D． =
x
【答案】AD
【分析】根据题意可知满足题意的函数为在 0，+ 上减函数，由此一一判断选项中函数的
单调性，可得答案.
f (x ) - f (x )【详解】由"x1， x2 0，+ 1 2，都有 < 0，可知函数 f (x) 在 x 0，+ x - x 时减函数.1 2
函数 f (x) = -3x +1在 x 0，+ 时为减函数，符合题意，故 A 正确；
1
函数 y = -e- x = -( )x 在 x 0，+ x - x时为增函数，所以 f x = e - e 在 x 0，+ 时为增函数，
e
故 B 错误；
2
函数 f x = x + 4x + 3图象的对称轴为 x = -2，故在 x 0，+ 时 f x = x2 + 4x + 3为增函数，
故 C 错误；
函数 f x 2= 在 x 0，+ 时单调递减，符合题意，故 D 正确.
x
故选：AD.
6．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． f x = -3x5 B． f x = 2x
1
C． f x 1= D．
x f x = -2x
3
【答案】AD
【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【详解】对于 A， f x = -3x5是奇函数，在其定义域上单调递减，故 A 正确；
对于 B， f x = 2x 是在其定义域上单调递增的指数函数，故 B 错误；
对于 C， f -1 = -1, f 1 =1 f x 1，故 = 在其定义域上不单调递减，故 C 错误；
x
1
对于 D， f x = -2x3 是奇函数，在其定义域上单调递减，故 D 错误.
故选：AD.
三、填空题
x
7．（2024· x-1全国·模拟预测）已知函数 f x = , g x = e - e- x+1 +1，则 f x 与 g x 的图
x -1
象交点的纵坐标之和为 ．
【答案】2
【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.
f x x 1【详解】对于 = = +1，可以把 f x 的图象看作：
x -1 x -1
1
由 f1 x = 的图象向上平移 1 个单位长度得到，x -1
而 f1 x
1
的图象可看作由 f2 x = 的图象向右平移 1 个单位长度得到；x
对于 g x = ex-1 - e- x+1 +1 = ex-1 1- x-1 +1的图象可看作由e
g1 x = ex-1
1
- x-1 的图象向上平移 1 个单位长度得到，e
而 g1 x x
1
的图象可看作由 g2 x = e - x 的图象向右平移 1 个单位长度得到．e
易知 f2 x
1 1
= g x与
x 2
x = e - x 都为奇函数，e
则易知 f2 x 与 g2 x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为 0．
因为将函数图象向右平移不改变 f1 x 与 g1 x 两函数图象交点处函数值的大小，
所以 f1 x 与 g1 x 的图象交点的纵坐标之和为 0，
又将函数图象向上平移 1 个单位长度会使得原交点处的函数值都增加 1，
则 f x 与 g x 的图象的两个交点的纵坐标与 f1 x 与 g1 x 的图象两个交点的纵坐标相比
都增加 1，
故 f x 与 g x 的图象交点的纵坐标之和为 2．
故答案为：2
8．（23-24 2高三下·北京·阶段练习）已知函数 f (x) = x + ax + b 在区间[0, 4]上的最大值为 M，
当实数 a，b 变化时，M 最小值为 ．
【答案】2
【分析】 f (x) = x2 - 4x -[-(a + 4)x - b] ，则M 即为函数 g(x) = x2 - 4x与函数
h(x) = -(a + 4)x - b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，由图象观察
即可得出答案.
2 2
【详解】 f (x) = x - 4x + (a + 4)x + b = x - 4x -[-(a + 4)x - b] ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 g(x) = x2 - 4x， x [0 , 4]与函数 h(x) = -(a + 4)x - b，
x [0 , 4]图象上点的纵向距离，
则M 即为函数 g(x) = x2 - 4x与函数 h(x) = -(a + 4)x - b图象上点的纵向距离的最大值中的最
小值，
作出函数 g(x),h(x)图象，如图，
由图象可知，当函数 h(x) 的图象刚好为 y=- 2 时此时 a = -4,b = 2，M 取得最小值为 2.
故答案为：2
9．（2024·辽宁· 2模拟预测）命题 p ：存在m -1,1 ，使得函数 f x = x - 2mx在区间 a,+
内单调，若 p 的否定为真命题，则 a的取值范围是 .
【答案】 - , -1
【分析】先给出命题 p 的否定，由函数 f (x) = x2 - 2mx的单调性进行求解.
【详解】命题 p 的否定为：任意m -1,1 ，使得函数 f (x) = x2 - 2mx在区间[a, + )内不单
调，
由函数 f (x) = x2 - 2mx在 - , m 上单调递减，在 m,+ 上单调递增，
则 a < m ，而m -1,1 ，
得 a < -1，
故答案为： - , -1
四、解答题
10．（23-24 高三上·全国·期末）已知二次函数 f x 满足 f x +1 - f x = -4x -1，且
f 0 = -1．求 f x 的解析式；
【答案】 f (x) = -2x2 + x -1
【分析】由题意设 f (x) = ax2 + bx -1，再由已知得 a(x +1)2 + b(x +1) -1- (ax2 + bx -1) = -4x -1，
根据多项式相等列方程求参即可.
【详解】由 f 0 = -1，设 f x = ax2 + bx -1 a 0 ，
由 f x +1 - f x = -4x -1，则 a(x +1)2 + b(x +1) -1- (ax2 + bx -1) = -4x -1，
2a = -4
整理得 2ax + (a + b) = -4x
ì
-1，则 í ，解得 a = -2,b =1．
a + b = -1
所以 f (x) = -2x2 + x -1．
11．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数 f x = 2x +1 + 3x - 3 ．
(1)解不等式 f x > 5；
(2)设函数 g x = -3x2 +12x + m，若函数 f x 与 g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范
围．
ì 3 7 ü
【答案】(1) íx | x < - 5 或
x >
5
, 73(2) - -

12 ֏
【分析】（1）分类讨论去绝对值，然后列不等式求解；
（2）通过观察图象可得 f x = g x 在 1, + 2上无解，然后转化为m < 3x - 7x - 2 min ，利
用二次函数的性质求最值即可.
ì
2 - 5x, x
1
-
2
1
【详解】（1） f x = 2x +1 + 3x - 3 = í4 - x, - < x <1，
2
5x - 2, x 1

ì x 1 1 -
ì- < x <1 x 1
若 f x > 5
ì
，即 í 2 或 í 2 或 í ，
2 - 5x > 5 4 - x > 5
5x - 2 > 5
3 7
解之得 x < - 或 x > ，
5 5
ì 3 7 ü
则原不等式的解集为 íx | x < - 或 x >5 5
；

（2）函数 g x = -3x2 +12x + m，
若函数 f x 与 g x 的图象无公共点，即 f x = g x 在 1, + 上无解，
可得：-3x2 +12x + m = 5x - 2无解，即3x2 - 7x - m - 2 = 0在 1, + 上无解，
m < 3x2即 - 7x - 2 ， x 1,+ min ，
2
因为函数 y = 3x2 7 73- 7x - 2 = 3 x -

÷ - ，
è 6 12
当 x 1,+ 73时， ymin = - ，12
73
所以m < - ，即m ,
73
的取值范围为 - - ．12 è 12 ÷
12．（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数 f (x) = x2 - 2(a -1)x + 4．
(1)若 a = 2，求 f (x) 在[-2,3]上的最值；
(2)求函数 f (x) 在[1, 2]上的最小值．
【答案】(1)最小值为3，最大值为12
ì7 - 2a, a 2
(2) f (x)min =

í-a2 + 2a + 3,2 < a < 3

12 - 4a, a 3
【分析】（1）代入 a = 2，根据二次函数的性质，得出单调区间，进而结合端点处的函数值，
即可得出最值；
（2）求出函数的对称轴，分类讨论对称轴与区间的关系，得出函数的单调性，进而得出函
数的最小值.
【详解】（1）当 a = 2时， f (x) = x2 - 2x + 4, x [-2,3] .
∵ f (x) 的对称轴为 x =1，
∴ f (x) 在[-2,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增.
又 f -2 =12， f 1 = 3， f 3 = 7 ，
所以，当 x =1时， f (x) 取得最小值为 f (1) = 3，
当 x = -2时， f (x) 取得最大值为 f (-2) =12．
（2）二次函数 f (x) = x2 - 2(a -1)x + 4的对称轴为 x = a -1 .
当 a -1 1，即 a 2时， f (x) 在[1, 2]上单调递增，
∴ f (x)min = f (1) =1- 2(a -1) + 4 = 7 - 2a ；
当1< a -1< 2，即 2 < a < 3时， f (x) 在[1, a -1]上单调递减，在[a -1,2]上单调递增，
∴ f (x)min = f (a -1) = (a -1)
2 - 2(a -1)2 + 4 = -a2 + 2a + 3；
当 a -1 2，即 a 3时， f (x) 在[1, 2]上单调递减，
∴ f (x)min = f (2) = 2
2 - 4(a -1) + 4 =12 - 4a ．
ì7 - 2a, a 2
f (x) = 综上， min í-a
2 + 2a + 3,2 < a < 3 .

12 - 4a, a 3
综合提升练
一、单选题
1．（23-24 高三上·山东济宁·期中）函数 f (x) = 2x2 - x - 3 的单调递增区间为（ ）
1 3- , ù (- , -1) é , + é1 A． ú B． C． ê2 ÷
D． ê ,+ 4 4 ÷è
【答案】C
【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.
【详解】由题意，令 t = 2x2 - x - 3 = 2x - 3 x +1 0 3，即 x -1或 x ，2
é3
根据二次函数性质知： t = 2x2 - x - 3在 (- ,-1]上递减，在 ê ,+ 2 ÷ 上递增
3
又 y t é = 在定义域上递增，故 f x = 2x2 - x - 3 的单调递增区间为 ê ,+ ÷ . 2
故选：C
2
2．（2024·辽宁·一模）若函数 f x = 3-2x +ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是
（ ）
A． - , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
u u
【详解】设 f u = 3 ，u = -2x2 + ax，则 f u = 3 在 - , + 上单调递增.
因为 f x -2x2= 3 +ax 在区间 (1, 4)内单调递减，所以函数u = -2x2 + ax在区间 1,4 内单调递减，
a
结合二次函数的图象和性质，可得： 1，解得 a 4.
4
故选：A
3．（2023 高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为 R 且为奇函数的是（ ）
A． y = x B． y = log x C． y = x3 D． y = 2x2
【答案】C
【分析】分别求出每个函数的奇偶性和定义域，逐个选项分析求解即可.
【详解】对于 A 选项，定义域为 0，+ ，故 A 错误，
对于 B 选项，定义域为 0，+ ，故 B 错误，
对于 C 选项，定义域为R ，且令 f (x) = y = x3，则 f (-x) = -x3，
f (-x) + f (x) = 0， f (-x) = - f (x) ，故 f (x) 是奇函数，故 C 正确，
对于 D 选项，定义域为R ，且令 f (x) = y = 2x ，则 f (-x) = 2- x ，
故 f (-x) - f (x)，故 f (x) 不是奇函数，故 D 错误
故选：C
4．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程 x + 5 + ln x = 0和 x + 5 + ex = 0的解分别是a 和b ，
则函数 f x = x +a x + b 的单调递减区间是（ ）

A． - ,
5 ù é5
ú B． ê ,+

÷ C． - ,5 D． 5,+
è 2 2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出a + b 即可作答.
【详解】方程 x + 5 + ln x = 0和 x + 5 + ex = 0依次化为： ln x = -x - 5和 ex = -x - 5，
因此a 和b 分别是直线 y=- x- 5与曲线 y = ln x 和 y = ex 的交点横坐标，
而函数 y = ln x 和 y = ex 互为反函数，它们的图象关于直线 y = x 对称，
又直线 y=- x- 5垂直于直线 y = x ，因此直线 y=- x- 5与曲线 y = ln x 和 y = ex 的交点关于直
线 y = x 对称，
于是a + b = -5，函数 f (x) = x2 + (a + b )x +ab = x2 - 5x +ab ，
所以函数 f (x) 的单调递减区间是 (
5
- , ] .
2
故选：A
5．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上单调递增，则实
数 a 的取值范围是（ ）
1 1
A．(－ ，＋∞) B．[－ ，＋∞)
4 4
1 1
C．[－ ，0) D．[－ ，0]
4 4
【答案】D
【详解】当 a＝0 时，f(x)＝2x－3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当 a≠0 时，二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 x＝－ ，因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增，所
以 a<0，且－ ≥4，得－ ≤a<0.综上，得－ ≤a≤0.
6 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + ax + b a,b R 的最小值为 0，若关于 x
的不等式 f x < c的解集为 m, m + 4 ，则实数 c的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】先由 f x = x2 + ax + b a,b R 的最小值为 0，得到Δ = 0，再由 f (x) < c的解集为
(m,m + 4)，得到 f (x) - c = 0 的根为m, m + 4，从而利用韦达定理即可求解.
【详解】因为 f x = x2 + ax + b a,b R 开口向上，最小值为 0 ，
2
\D = a2 - 4b = 0, a\b = ，
4
f (x) x2 ax a
2 2
= + + = x a 则 +
4 2 ÷
，
è
Q f (x) < c 的解集为 (m,m + 4)，所以m, m + 4是 f (x) - c = 0 的两个不等实根，
2
即m, m + 4是 x2 + ax a+ - c = 0的两个不等实根，
4
m -a - 4所以m + m + 4 = -a ，则 = ，
2
2 2
\c = f (m) = m
a -a - 4 a+ ÷ =
+ ÷ = 4 .
è 2 è 2 2
故选：D.
2
7．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2ax -x+1 的值域为 M ．若 1, + M ，则实数 a
的取值范围是（ ）
1 1 1 1 1
A． - ,
ù é ù ù é é
è 4 ú
B． ê0, ú C． - , - ú ê , + ÷ D． , + 4 è 4 ÷ 4 ê4
【答案】B
【分析】对实数 a分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当 a = 0时， f x = 2- x+1 0,+ ，符合题意；
2
当 a 0时，因为函数 f x = 2ax -x+1的值域为M 满足 1, + M ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 y = ax2 - x +1的最小值小于或等于零；
4a -1 1
若 a > 0时，依题意有 y = ax2 - x +1的最小值 0，即0 < a ，
4a 4
若 a < 0时，不符合题意；
1
综上：0 a ，
4
故选：B.
8．（23-24 高三下·广东·阶段练习）已知函数 f x = ax2 - 2x + ln x 存在极值点，则实数 a的
取值范围是（ ）
1 1 ù
A． - , B． - , 2 C． - , D． - , 2
è 2 ÷ è 2 ú
【答案】A
1
【分析】求出函数的导数，由题意可得 f x = 2ax - 2 + = 0 在 (0, + )上有变号零点，即可
x
分离参数，利用换元法，结合二次方程的判别式以及二次函数的性质，即可求得 a 的物质范
围.
2
【详解】函数 f x = ax - 2x + ln x 的定义域为 (0, + )，且 f x = 2ax 2 1- + ，
x
由于函数 f x 存在极值点，即 f x = 2ax 2 1- + = 0 在 (0, + )上有变号零点，
x
由 f x = 2ax 1 1 1- 2 + = 0 ，得 a = - ，
x x 2x2
t 1 0 a t 1 t 2 y t 1令 = > 2，则 = - ，则 a 的取值范围为 = - t 在 (0, + )上的值域，
x 2 2
1 2 1
且需满足 t - t + a = 0的D =1- 2a > 02 ，即 a < ；2
y t 1 1 1 1对于 = - t 2 = - t -1 2 + ，当 t > 0时， y = - t -1 2 1 1+ ，
2 2 2 2 2 2
1 1
故 a <

，即实数 a的取值范围是
2
- ,
2 ÷ ，è
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查了导数的应用，根据函数存在极值点求参数的范围，解答的关
键是求导后，将原问题转化为 f x = 2ax 1- 2 + = 0 在 (0, + )上有变号零点的问题，继而参
x
变分离，结合二次方程以及二次函数的性质即可求解.
二、多选题
9．（2023·浙江宁波·模拟预测）随机变量x 的分布列如表：其中 xy 0，下列说法正确的是
（ ）
x 0 1 2
y 2y
P x
3 3
A． x + y =1 B．E x 5y=
3
C．D x 有最大值 D．D x 随 y 的增大而减小
【答案】ABC
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选
项的正误即可．
y 2y
【详解】由题意可知 x + + =1，即 x + y =1，故 A 正确；
3 3
E x = 0 x 1 y 2y 5y + + 2 = ，故 B 正确；
3 3 3
2 2 2
D x = x 0
5y y- + 1 5y 2y 2 5y- + -
3 ÷ 3 ÷ ÷è è 3 3 è 3
2 2 2
= 1- y 0 5y y 5y 2y- 5y 25 2 3 ÷ + 1- ÷ + 2 - ÷ = - y + 3y，è 3 è 3 3 è 3 9
因为 xy 0， x + y =1，易得0 < y <1，
f y 25= - y2而 + 3y 27开口向下，对称轴为 y = ，
9 50
f y 0, 27 27所以 在 ÷ 上单调递增，在 ,1

÷上单调递减，
è 50 è 50
f y y 27故 在 = 处取得最大值，
50
所以D x 27随着 y 的增大先增大后减小，当 y = 时取得最大值，故 C 正确，D 错误.
50
故选：ABC.
10．（2024·河南信阳· 2模拟预测）若函数 f x = x - m 2 x 1 é 1 , 1- + 在 - ù
ê 2 2 ú
上单调，则实数m

的值可以为（ ）
1 5
A． -1 B．- C． D．3
2 2
【答案】BD
【分析】分别讨论D 0和D > 0两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当D = (m - 2)2 - 4 0，即0 m 4时， f x = x2 - m - 2 x +1 = x2 - m - 2 x +1，
所以 f (x) x
m - 2
的对称轴为 = ，则 f (x) 的图象如下：
2
2 é 1 1 ù m - 2 1
结合图象可知，要使函数 f x = x - m - 2 x +1 在 ê- , ú上单调，则 或 2 2 2 2
m - 2 1
- ，解得：m 3或m 1，即3≤m≤ 4 或0 m 1；
2 2
②当D = (m - 2)2 - 4 > 0，即m < 0或m > 4 2，令 h(x) = x - m - 2 x +1，则 h(x) 的对称轴为
x m - 2= ，则 h(x) 的图象如下：
2
2
结合图象可知，要使函数 f x = x - m 2 x 1 é 1 1- + 在 ê- ,
ù
ú上单调， 2 2
ì1 m - 2 1 m - 2 1 m - 2 1 m - 2

ì ì- ì-
2 2 2 2 2 2 2 2
则 í ，或 í ，或 í ，或 í
h(1) 0 h( 1- ) 0 h(1) 0 h( 1- ) 0
2 2 2 2
9 1
解得： 4 < m≤ ，或- m < 0，
2 2
9 1
综上：3 m 或- ≤m≤12 ；2
故选：BD
11．（2024·浙江·模拟预测）二次函数 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a 0）的自变量 x
与函数值 y 的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
3
且当 x = 时，对应的函数值 y < 0 .下列说法不正确的有（
2 ）
A． abc > 0
mn 100B． >
9
1
C．关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在- 和 02
之间
P t + 2, y P t - 2, y t 1D． 1 1 和 2 2 在该二次函数的图象上，则当实数 < 时， y1 > y2 2
【答案】BCD
ìb = -a 3
【分析】先根据二次函数图象上的点求得 íc 2 ，再由当
x = 时，对应的函数值 y < 0 求
= 2
a 8得 < - ，从而求得 abc<0 ，判断 A，求出mn = 4 a +1 2 后求解范围判断 B，根据抛物线的
3
1
对称性及函数过点 0,2 得函数零点范围即可判断 C，由 y1 > y2 列不等式求解 t < 判断 D.2
ìa + b + c = 2 ìb = -a
【详解】将 0,2 , 1,2 代入 y = ax2 + bx + c得 íc 2 ，解得= í ， c = 2
3
所以二次函数 y = ax2 - ax + 2，当 x = 时，对应的函数值 y < 0 ，
2
9 a 3 a 8 8所以 - + 2 < 0，解得 a < - ，所以b = -a > ，
4 2 3 3
所以 a 0.b 0,c > 0，所以 abc<0 ，故 A 错误；
当 x=-1时，m = a + a + 2 = 2a + 2，当 x = 2时， n = 4a - 2a + 2 = 2a + 2，
所以mn = 2a + 2 2 8 100= 4 a +1 2，因为 a < - ，所以mn > ，故 B 正确；
3 9
因为二次函数 y = ax2 - ax + 2过 0,2 , 1,2 1，所以其对称轴为 x = ，
2
3
又当 x = 时，对应的函数值 y < 0 ，
2
1
根据二次函数的对称性知，当 x = - 时，对应的函数值 y < 0 ，
2
而当 x = 0时， y = 2 > 0
1
，所以二次函数与 x 轴负半轴的交点横坐标在- 和 0 之间，
2
1
所以关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在- 和 0 之间，2
故 C 正确；
因为P1 t + 2, y1 和P2 t - 2, y2 在该二次函数的图象上，
所以 y1 = a t + 2
2 - a t + 2 + 2， y2 = a t - 2
2 - a t - 2 + 2，
若 y1 > y2 ，则 a t + 2 2 - a t + 2 + 2 > a t - 2 2 - a t - 2 + 2，
2
因为 a<0，所以 t + 2 - t + 2 1< t - 2 2 - t - 2 ，解得 t < ，故 D 正确.
2
故选：BCD
三、填空题
12．（2023·河南信阳·一模）在-2， -1，0，1，2 的五个数字中，有放回地随机取两个数字
分别作为函数 y = ax2 + 3bx - 2中 a，b 的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概
率为 ．
1
【答案】 /0.2
5
【分析】利用一次函数二次函数的性质，结合概率求法分析得出答案.
【详解】五个数字任取一个作数字作系数 a，放回后随机任取一个数作为 b，有5 5 = 25种
不同取法.
当 a = 0时，函数图像为一条直线 y = 3bx - 2，若图像恰好经过第一、三、四象限，则b > 0，
即有 a = 0，b =1； a = 0，b = 2 两组数满足；
a 0时，二次函数经过第一、三、四象限则开口向下，又图像过点 0, -2 ，顶点必在第一
a<0 3b象限，即满足 ，- > 0，D > 0，有 a = -2 ，b = 2 ； a = -1，b =1； a = -1，b = 2 三
2a
组数满足．故共有 5 组满足，
5 1
所求概率为 = ．
25 5
1
故答案为：
5
13．（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) = xa (0 < a < 1) 在区间 (-1,0) 上单调递减，则a 的一
个取值为 ．
2
【答案】 3 （不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为 f (x) = xa (0 < a < 1) 在 (0, + )上单调递增，又 f (x) 在区间 -1,0 上单调递减，
所以 f (x)
2
可以为偶函数，不妨取a = ，
3
2
此时 f (x) = x 3 = 3 x2 ，函数定义域为 x R ，
2 2
且 f (-x) = -x 3 = 3 -x 2 = f (x) ，故 f (x) = x 3 为偶函数，
满足在区间 (-1,0) 上单调递减.
2
故答案为： 3 （不唯一）
3 3
14．（2023· · a + b浙江 二模）若 a2 + b2 = a + b ，则
a2 + b2
的取值范围是 .
【答案】 (0,
9]
8
a3 + b3 a3 + b3 a3 + b3
【分析】利用基本不等式结合
a2 2
= 求得0 < a + b 2，将 整理变形为
+ b a + b a2 + b2
a3 + b3 a (a + b)
2 - (a + b)
2 2 = + b - ，令 t = a + b, t (0, 2]，结合二次函数知识即可求得答案.a + b 2
【详解】由 a2 + b2 = a + b 可得 a + b = a2 + b2 2ab ，
2
而 2(a2 + b2 ) (a + b)2 ,\a2 b2 (a + b)+ ，当且仅当 a = b时，等号成立，
2
a b (a + b)
2
即 + ，解得0 a + b 2，
2
a3 + b3 a3 + b3
由 2 2 a + b 0,\0 < a + b 2
a2 + b2
= = a + b - ab可知 ，
a + b
a3 + b3 (a + b)2 - (a + b)
所以 2 2 = a + b - ab = a + b - ，a + b 2
3 3
令 t = a + b, t (0, 2] a + b 1 t 2 3 1 3，则 = - + t = - (t - )2 9
a2 2
+ ，
+ b 2 2 2 2 8
1 2 3 3 3
函数 y = - t + t 在 (0, ]单调递增，在[ , 2]单调递减
2 2 2 2
0 1 t 2 3 9故 < - + t ，
2 2 8
a3 + b3 9
即 2 2 的取值范围是 (0, ]，a + b 8
故答案为： (0,
9]
8
四、解答题
15．（23-24 高三上· 2山东菏泽·期末）已知函数 f x = -x + mx - m ．
(1)若函数 f x 的最大值为 0，求实数 m 的值．
(2)若函数 f x 在 -1,0 上单调，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) m = 0或m = 4
(2) - , -2 U 0, +
【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；
（2）利用二次函数的性质及函数的单调性即可求解.
2 2
【详解】（1） f x = -x2 mx m m m+ - = - x -

2 ÷
- m + ，
è 4
2
由二次函数的性质， f x m的最大值为-m + ，
4
因为函数 f x 的最大值为 0，
m2
所以-m + = 0即m2 - 4m = 0，解得m = 0或m = 4 .
4
2 f x x2 mx m x m
2
= - + - = - -
m2
（ ） 2 ÷
- m + ，
è 4
所以函数 f x m图象的对称轴是 x = ，
2
要使函数 f x 在 -1,0 上单调，
m m
只需要 0或 -1 ,解得m 0 或m -2 .
2 2
所以实数 m 的取值范围为 - , -2 U 0, + .
16．（23-24 · · f x +1 = x2高三上 贵州黔东南 阶段练习）已知函数 - 2x .
(1)求 f x 的解析式；
(2)若为任意实数，试讨论 f x 在 a - 2, a 上的单调性和最小值.
(1) f x = x2【答案】 - 4x + 3
(2)答案见解析
【分析】（1）利用配凑法，通过整体代换得到解析式；
（2）分别讨论 a 2、 a - 2 < 2 < a 和 a - 2 2的情况，结合二次函数性质可求得结果.
【详解】（1）Q f x +1 = x2 - 2x = x +1 2 - 4 x +1 + 3 \ f x = x2， - 4x + 3 .
（2）由（1）得： f x 为开口方向向上，对称轴为 x = 2的抛物线；
① 2当 a 2时， f x 在 a - 2, a 上单调递减，\ f x = f a = a - 4a + 3min ；
②当 a - 2 < 2 < a ，即 2 < a < 4时， f x 在 a - 2,2 上单调递减，在 2, a 上单调递增，
\ f x = f 2 = 4 -8 + 3 = -1min ；
③当 a - 2 2，即 a 4时， f x 在 a - 2, a 上单调递增，
\ f x = f a - 2 = a - 2 2 - 4 a - 2 + 3 = a2 -8a +15min ；
2
综上所述：当 a 2时， f x 在 a - 2, a 上单调递减， f x = a - 4a + 3min ；
当 2 < a < 4时， f x 在 a - 2,2 上单调递减，在 2, a 上单调递增， f x = -1min ；
当 a 4时， f x 在 a - 2, a 上单调递增， f x = a2 -8a +15min .
17．（22-23 高三上·山东菏泽·期中）已知函数 f x = ax2 - 2ax +1+ b a > 0 ，函数在区间 2,3
上的最大值为 4， f 0 =1.
(1)求 f x 的解析式；
(2)设 g f xx = x x，若不等式 g 2 k ×2 在 -1,1 上有解，求实数 k 的取值范围.
x
【答案】(1) f x = x2 - 2x +1
(2) - ,1
【分析】（1）判断 f x 在 2,3 上的单调性，结合其最大值和 f 0 =1求得 a,b，即得答案；
（2）结合（1）求出 g x f x = x的表达式，继而将 g 2 k ×2x 在 -1,1 上有解，转化为
x
k 1 1 2 + 2 - 在 -1,1 上有解，利用换元结合二次函数性质即可求得答案.t t
【详解】（1） f x = ax2 - 2ax +1+ b = a x -1 2 +1+ b - a，其图象对称轴为 x =1，
Qa > 0，\ f x 在 2,3 单调递增，
\ f 3 = 4 即9a - 6a +1+ b = 3a + b +1 = 4，\3a + b = 3 .
又 f 0 =1，则有1+ b =1即b = 0，所以 a =1，b = 0，
所以 f x 2的解析式为 f x = x - 2x +1 .
2
（2）由（1）得 g x f x x - 2x +1= = = x 1+ - 2，
x x x
g 2x k ×2x则 在 -1,1 x上有解，即 g 2 - k × 2x = 2x 1+ x - 2 - k ×2x 0在 -1,1 上有解，.2
x 1
令 t = 2 t 2

÷，则 k
1 2
1+ 2 - 在 -1,1 上有解，è 2 t t
k 1 1 2 + - 1所以
è t 2 ÷
, t 2
t ， max 2
1 1 2 1
2 1 1 1 1 2 2
+ - = -1 2 = 2 1+ - = 1 又
t 2 t t ÷
， ，故当 时，
2 t t t 2 t
-1÷ 取到最大值 1，
è è t
1 2
即 1+ - =1t 2 t ÷ ，所以 k 1，è max
所以实数 k 的取值范围是 - ,1 .
18 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + ax - 3
(1)若函数 f x 在 -4,5 上是单调函数，求实数 a的取值范围.
(2)当 a = 3, x -1,1 时，不等式 f x > m + 2x - 4恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) (- , -10]U[8,+ )
3- , (2) 4 ֏
【分析】（1）利用二次函数的性质，建立不等式即可求出结果；
（2 2）根据题意得，当 x [-1,1]时， x2 + x +1 > m 恒成立，构造函数 g x = x + x +1，将问
题转化为 g x > mmin 即可求解.
2 a
【详解】（1）函数 f x = x + ax - 3的对称轴为 x = - ，
2
又函数 f x 在 -4,5 上是单调函数，
a 5 a\- 或- -4 ，解得 a -10或 a 8，
2 2
∴实数 a 的取值范围为 (- , -10]U[8,+ ) ；.
（2）
当 a = 3， x -1,1 时， f (x) > m + 2x - 4恒成立，即 x2 + x +1 > m 恒成立，
g x = x2令 + x +1, x -1,1 ， g x > mmin 恒成立，
函数 g x 1的对称轴 x = - -1,1 ，
2
\ g x g 1 3 3= - = ,\m 3
故 m 的范围为 - ,

÷ .
è 4
19．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = kx2 + 2kx +1在区间 -3,2 上有□ □ 值为 4，求
实数 k 的值．两个方框处为无法辨认的两个汉字，请你结合上下文把这两个字补上并解答该
题．
【答案】两个模糊的字应当是“最大”，解答见解析
【分析】由于是两个字，我们展开联想，与函数有关的有最大值、最小值或者也许就是函数
值，结合二次函数的性质逐一求解计算．
【详解】由于是两个字，我们展开联想，与函数有关的有最大值、最小值或者也许就是函数
值，不妨来逐一试一试．
（1）最大值为 4．显然 k = 0不合题意．
当 k 0时，化成配方形式 f x = k x +1 2 +1- k ，图象对称轴为 x=-1，顶点横坐标在区间
-3,2 内．
当 k < 0时，在顶点处即当 x=-1时函数有最大值，于是 f -1 =1- k = 4，得 k = -3；
3
当 k > 0时，在离顶点较远的端点 x = 2处有最大值，于是 f 2 = 9k - k +1 = 4，得 k = ．
8
3
于是，所求 k = -3或 8 ．
（2）最小值为 4．
3
当 k < 0时，在离顶点较远的端点 x = 2处有最小值，于是 f 2 = 9k - k +1 = 4，得 k = ，舍
8
去；
当 k > 0时，在顶点处即当 x=-1时函数有最小值，于是 f -1 =1- k = 4，得 k = -3 < 0，舍
去．
因此，不存在实数 k 使函数的最小值为 4．
（3）函数值为 4．（不妨设不是最大值与最小值）
由于 k = 0时 f x =1，因此 k 0，
函数值域为一闭区间，
当 k < 0时， x=-1时函数有最大值 f -1 =1- k ，当 x = 2时有最小值 f 2 = 8k +1，
因此值域为 8k +1,1- k , 4 8k +1,1- k ，且8k +1 < 4 <1- k ，解得 k < -3；
当 k > 0时，值域为 1- k,9k - k +1 ,1- k < 4 < 8k +1 3，解得 k > ．
8
3
因此取 k < -3或者 k > 的一切实数值皆可．
8
从解答过程我们可以判断．两个模糊的字应当是“最大”．
拓展冲刺练
一、单选题
3m
1．（23-24 高三下·河南·开学考试）已知正数m，n满足 +1 = 2m，若
n m + 2n lmn
2恒成立，
则实数l 的最小值为（ ）
1 2
A B C 1
4
． ． ． 2 D．4 5 5
【答案】D
1 2m -1
= 4m
2 + 8m - 5 l 4m
2 + 8m - 5 4
【分析】变形得到 ，变形得到 2 ，求出 ，得到答n 3m 9m 9m2 5
案.
【详解】因为m > 0, n > 0 ，所以m + 2n lmn2
1 2

n2
+ l ，
mn
3m 1 2m 1 2m -1因为 + = ，所以 = ，
n n 3m
2m -1
2
2 2m -1 2
故 ÷ + × l
4m + 8m - 5

è 3m m 3m 9m2
l ，
4m2 + 8m - 5 5 1
2
8 1 4 5 1 4
2
4 4
即 2 = - ÷ + × + = - - ÷ + ，9m 9 è m 9 m 9 9 è m 5 5 5
当且仅当m
5
= 时，等号成立，
4
故l
4 4
，实数l 的最小值为 .
5 5
故选：D
2．（2023 高三·全国·专题练习）函数 y = x2 +3x 的单调递减区间为（ ）
, 3ù é 3A． - - ú B． ê- ,+

è 2 ÷ 2
C． 0, + D． - , -3
【答案】D
【分析】先求出函数 (- , -3]的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数
的单调性即可得解.
【详解】由题意，得 x2 + 3x 0，解得 x -3或 x 0 ，
所以函数 y = x2 +3x 的定义域为 (- , -3]U[0, + )，
3
令 t = x2 + 3x，则 t = x2 + 3x开口向上，对称轴为 x = - ，2
所以 t = x2 + 3x在 (- , -3]上单调递减，在[0, + ) 上单调递增，
而 y = t 在[0, + ) 上单调递增，
所以函数 y = x2 +3x 的单调递减区间为 (- , -3] .
故选：D.
3．（2023 高三·全国·专题练习）已知 y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且 α，β(α<β)是方程 y＝0
的两个实数根，则 α，β，m，n 的大小关系是（ ）
A．αC．m<α<β【答案】C
【分析】根据方程与函数的关系，结合函数图像以及平移变换，可得答案.
【详解】∵α，β 为方程 y＝0 的两个实数根，
∴α，β 为函数 y＝(x－m)(x－n)＋2 023 的图像与 x 轴交点的横坐标，
令 y1＝(x－m)(x－n)，
∴m，n 为函数 y1＝(x－m)(x－n)的图像与 x 轴交点的横坐标，
易知函数 y＝(x－m)(x－n)＋2 023 的图像可由 y1＝(x－m)(x－n)的图像向上平移 2 023 个单位
长度得到，
∴m<α<β故选：C.
4．（2023·四川绵阳·模拟预测）在 y = 3x , y = log0.3 x, y = x
3, y = x ，这四个函数中，对于定
f x + f x
义域中的任意 x , x (x x )
x + x
，使 f 1 2
1 2
1 2 1 2 ÷ < 恒成立的函数的个数是（ ）
è 2 2
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
x1 + x2 f x1 + f x2 【分析】根据 f ÷ < 可得函数图象上任意两点 x1, f x1 , x2 , f x2 中
è 2 2
点的函数值小于中点的纵坐标，再数形结合判断即可.
f x1 + x2
f x1 + f x2
【详解】由 ÷ < 可得函数图象上任意两点 x1, f x1 , x2 2 2 , f x2 中点è
的函数值小于中点的纵坐标，则函数为凹函数.
又 y = 3x , y = log0.3 x图象满足题意.
故选：C
二、多选题
5．（22-23 高三上·山东烟台·期末）已知函数 f (x) = x2 - 2x + 2 ，关于 f (x) 的最值有如下结论，
其中正确的是（ ）
A． f (x) 在区间[-1,0]上的最小值为 1
B． f (x) 在区间[-1,2]上既有最小值，又有最大值
C． f (x) 在区间 2,3 上的最小值为 2，最大值为 5
D． f (x) 在区间[0,a](a > 1)上的最大值为 f (a)
【答案】BC
【分析】 f (x) = x2 - 2x + 2 = (x -1)2 +1的图象开口向上，对称轴为直线 x =1 ,根据二次函数的
性质逐项判断即可.
【详解】函数 f (x) = x2 - 2x + 2 = (x -1)2 +1的图象开口向上，对称轴为直线 x =1．
在选项 A 中，因为 f (x) 在区间[-1,0]上单调递减，
所以 f (x) 在区间[-1,0]上的最小值为 f (0) = 2，A 错误．
在选项 B 中，因为 f (x) 在区间[-1,1]上单调递减，在 1,2 上单调递增，
所以 f (x) 在区间[-1,2]上的最小值为 f (1) =1．
又因为 f (-1) = 5, f (2) = 2, f (-1) > f (2) ，
所以 f (x) 在区间[-1,2]上的最大值为 f (-1) = 5，B 正确．
在选项 C 中，因为 f (x) 在区间 2,3 上单调递增，
所以 f (x) 在区间 2,3 上的最小值为 f (2) = 2 ，最大值为 f (3) = 5，C 正确．
在选项 D 中，当1< a 2时， f (x) 在区间 0,a 上的最大值为 2，
当 a > 2时，由图象知 f (x) 在区间 0,a 上的最大值为 f (a) ，D 错误．
故选:BC.
6．（2024 高三·全国·专题练习）(多选)若函数 y＝x2－3x－4 的定义域为[0，m]，值域为[－
25
，－4]，则实数 m 的取值范围可以是（
4 ）
3
A．[0，4] B．[ ，2]
2
8
C．[ ，2] D．[1，2]
5
【答案】BC
【详解】∵ y＝x2－3x－4＝(x－ )2－ ，作出函数 y＝x2－3x－4 在区间[0，m]上的图象如图
所示．由图象可知，当 x＝ 时，ymin＝－ .令 y＝x2－3x－4＝－4 得出 x＝0 或 x＝3.当 0＜m
＜ 时，函数 y＝x2－3x－4 在区间[0，m]上单调递减，此时 ymin＝m2－3m－4＞－ ，不符
合题意；当 ≤m≤3 时，且当 x∈[0，m]时，由图象可知 ymin＝－ ，ymax＝－4，符合题意；当
m＞3 时，且当 x∈[0，m]时，由图象可知 ymin＝－ ，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合题
意．综上所述，实数 m 的取值范围是[ ，3].故选 BC.
三、填空题
7．（20-21 高三上·辽宁大连·阶段练习）函数 f (x) =| x2 - 3x + 2 |的单调递减区间
是 .
( ,1) 3【答案】 - 和 , 2

è 2 ÷
【分析】对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果.
【详解】当 x 2或 x 1时， f (x) = x2
3
- 3x + 2，对称轴为 x = ，
2
当1 x 2
3
< < 时， f (x) = -x2 + 3x - 2 ，对称轴为 x = ，
2
作出 f (x) 的图象如图所示，
由图可知 f (x)
3
单调递减区间为 (- ,1)和( , 2) ，
2
故答案为： (- ,1)
3 ,2 和 ÷
è 2
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x - ax - b ,a,b R，若对任意的
x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求实数M 的取值范围是 ．
1
【答案】 - ,
ù
è 4 ú
【分析】利用换元法结合三点控制法求解即可.
【详解】令 x = t, x = t 2 ，则 f x = g t = -at 2 + t - b , t 0,2 ，
ìg 0 M ì b M

取三点控制得 íg 1 M ，进而 í -a +1- b M ，
g 2 M -4a + 2 - b M
ì 3b 3M

化简得 í -4a + 4 - 4b 4M ，可得8M 3b + -4a + 4 - 4b + -4a + 2 - b ，

-4a + 2 - b M
即8M 3b + -4a + 4 - 4b - -4a + 2 - b = 2 1，解得M ．
4
1
故答案为： - ,
ù
è 4 ú
四、解答题
9．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 f x = a 3x 1× + x-1 是定义域为R 的偶函数.3
(1)求 a 的值；
(2) g x = 9x + 9- x若 + mf x + m2 -1，求函数 g x 的最小值.
【答案】(1) 3
ì 5 2 4
- m - 3,m < -
(2) g(x) = 4 3min í
m2 4+ 6m +1,m -
3
【分析】（1）由偶函数的定义转化为等式恒成立问题，由系数为 0 求 a值即可；
（2）由换元法，把函数转化为二次函数，然后分类讨论确定函数的最小值，从而求得参数m
值．
【详解】（1） f x = a 1×3x + xx-1 = a ×3 + 3 ×3- x3
f -x = a ×3- x + 3 ×3x则 ，
因为 f (x) 是定义域为R 的偶函数，
则 a ×3- x + 3 ×3x = a ×3x + 3 ×3- x ，
3- a 3x - 3- x即 = 0对任意 x R 恒成立，则 a = 3；
（2）由（1 x - x）知， f (x) = 3 3 + 3
g x = 32x + 3-2x + 3m 3x则 + 3- x + m2 -1
= 3x + 3- x 2 + 3m 3x + 3- x + m2 - 3，
令 t = 3x + 3- x ，由基本不等式可得 t 2，当且仅当 x = 0时等号成立，
则原函数化为： h(t) = t 2 + 3mt + m2 - 3， t 2, + ，
3m 2 4①当- 即m - 时，
2 3
h(t) = t 2 + 3mt + m2 - 3在 2, + 上单调递增，
则 h(t)min = h(2) = m
2 + 6m +1 2，即 g x = m + 6m +1min ，；
3m
②当- > 2，即m
4
< - 时，
2 3
3m 3m
h(t) t 2 = + 3mt + m2 - 3在 2, -

2 ÷单调递减，在
- , + ÷单调递增，
è è 2
2
则 h(t) 3 3m 3m 5min = h(- m) =
- 2 2
2 2 ÷
+ 3m - ÷ + m - 3 = - m - 3；
è è 2 4
g x 5即 = - m2 - 3min ，4
ì 5- m2 - 3,m
4
< -
综上所述， g(x)
4 3
min = í .
m2 + 6m +1,m 4 -
3
10．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x x - 2 - 2， x R ．求函数 f x 的单调区
间．
【答案】单调递增区间为 - ,1 和 2, + ，单调递减区间为 1,2
ìx2 - 2x - 2, x 2
【分析】由 f x = x x - 2 - 2 = í ，利用二次函数的性质求解.
-x
2 + 2x - 2, x < 2
2
【详解】由题意得 f x
ìx - 2x - 2, x 2,
= x x - 2 - 2 = í
-x2 + 2x - 2, x < 2.
2
当 x 2时， f x = x -1 - 3，
此时函数 f x 的单调递增区间为 2, + ，没有单调递减区间；
当 x < 2时， f x = - x -1 2 -1，
此时函数 f x 的单调递增区间为 - ,1 ，单调递减区间为 1,2 ．
综上所述，函数 f x 的单调递增区间为 - ,1 和 2, + ，单调递减区间为 1,2 .
11．（2024 高三·全国· 2专题练习）已知函数 f x = x - 2ax + b a,b R ，记M 是 f x 在区
间 0,1 上的最大值．
(1)当b = 0且M = 2时，求 a的值；
1
(2)若M ，证明0 a 1．
2
1 3
【答案】(1) a = - 或 a = ；
2 2
(2)证明见解析.
【分析】（1）由 f x 在 0,1 上的最大值在 0,1 的端点处或对称轴处取得，分类讨论求出 a
的值并检验即可；
1+ f 0 - f 1 1 1
（2）a = ，由 f 0 , f 1 ，求出 f 0 - f 1 的取值范围即可证明结
2 2 2
论.
【详解】（1）b = 0时， f x = x2 - 2ax ，易知， f x 在 0,1 上的最大值在 0,1 的端点处或
对称轴处取得．
而 f 0 = 0，所以M = f 1 或 f a
若M = f 1 = 1- 2a = 2 a 1 a 3= - = 2 2，解得 或 ，此时， f x = x + x或 f x = x - 3x，
2 2
当 f x = x2 + x， f x 在 0,1 上单调递增，最大值为 f 1 = 2；
f x = x2当 - 3x时， f x 在 0,1 上单调递增，最大值为 f 1 = 2；
若M = f a = a2 = 2，解得 a = ± 2 ，
当 a = - 2 时， f x = x2 + 2 2x， f x 在 0,1 上单调递增，最大值为 f 1 =1+2 2 2；
当 a = 2 时， f x = x2 - 2 2x ， f x 在 0,1 上单调递增，最大值为 f 1 = 2 2 -1 2，
综上， a
1 3
= - 或 a = ．
2 2
M 1 f 0 1 , f 1 1 1 1 1（2）由 ，得 ，即- f 0 ,- f 1 1 ，
2 2 2 2 2 2 2
ì f 0 = b
所以-1 f 0 - f 1 1 1+ f 0 - f 1 ，且 í
f 1 =1- 2a b
，所以a = ，
+ 2
而 f 0 - f 1 -1,1 ，所以 a 0,1 ，即0 a 1.
12．（23-24 高三上·江苏扬州·期中）已知函数 f x = x2 - px - q ln x p,q R .
(1)若 p = a, q = a2 ， f x 的最小值为 0，求非零实数 a 的值；
(2)若 p = a2 ,q = a， f x 0恒成立，求实数 a 的取值范围.
3
【答案】(1)1 或-2e4
(2)[0,1]
【分析】（1）求出导函数，解出 f (x) = 0的解.分 a > 0，以及 a<0两种情况，得出函数的单
调性，进而根据函数的最小值，列出方程，求解即可得出答案；
（2）先根据已知推得 a 0，取特殊点得出0 a 1，即证当0 a 1时，
f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立.方法一：将函数看成关于 a的二次函数，根据二次函数的
性质，列出不等式组，求解即可说明；方法二：先证明 x -1 ln x .放缩得出
x2 - a2x - a ln x x2 - a2x - a(x -1) = x2 - a2 + a x + a ，通过计算得出D 0，即可得出
x2 - a2 + a x + a 0 恒成立，进而得出证明.
【详解】（1）因为 f (x) = x2 - ax - a2 ln x(x > 0)，
2 2
f (x) 2x a a 2x - ax - a
2 (x - a)(2x + a)
则 = - - = = ，
x x x
a
令 f (x) = 0，则 x = - 或 x = a .
2
1°若 a > 0，则 a 0
a
> > - ，
2
解 f (x) < 0 ，可得0 < x < a ，所以 f (x) 在 (0,a)单调递减；
解 f (x) > 0 ，可得 x > a，所以 f (x) 在 (a,+ ) 单调递增.
所以 f (x) 2min = f (a) = -a ln a = 0，解得 a =1；
a
2°若 a<0，则 a < 0 < - ，
2
f (x) < 0 0 x a< < - f (x) a解 ，可得 ，所以 在 0,-

÷单调递减；2 è 2
解 f (x)
a
> 0 ，可得 x
a
> - ，所以 f (x)

在 - , +

2 ÷单调递增
.
2 è
2 2
所以 f (x) = f
a a a 2 a
min - ÷ = + - a ln - ÷ = 0，
è 2 4 2 è 2
3
= ln a即 -
3
4 ÷
，解得
è 2 a = -2e
4 .
3
综上， a的值为 1 或-2e4 .
（2 2）若 a<0时， f (x) = x x - a - a ln x，
当0 < x < min a2 ,1 时， x - a2 < 0, -a ln x < 0 ，则 f (x) < 0不满足条件.
若 a 0时，由 f (1) =1- a2 0，可得0 a 1.
下面证明其充分性，即证当0 a 1时， f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立.
解法一：关于 a的函数 h(a) = -xa2 - a ln x + x2 ,0 a 1是一段开口向下的抛物线.
只要证 h 0 = x2 0 ① 2以及 h 1 = -x - ln x + x 0 ②都成立即可，其中①式显然成立.
令j (x) = x2 - x - ln x ，
j (x) 2x 1 1 2x
2 - x -1 (2x +1)(x -1)
则 = - - = = ，
x x x
所以当 x (0,1) 时，j (x) < 0，j(x) 单调递减；
当 x (1,+ )时，j (x) > 0 ，j(x) 单调递增.
所以j(x) j(1) = 0，②式得证.
所以，当0 a 1时， f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立.
综上， a的取值范围是[0,1] .
解法二：令 h(x) = x -1- ln x
1 x -1
，则 h (x) =1- = = 0 .
x x
当 x (0,1) 时，h (x) < 0,h(x)单调递减；当 x (1,+ )时，h (x) > 0,h(x)单调递增.
所以 h(x) h(1) = 0 ，则 x -1 ln x .
由 ln x x -1，得a [0,1]时， x2 - a2x - a ln x x2 - a2x - a(x -1) = x2 - a2 + a x + a ，
a [0,1] x2又当 时，方程 - a2 2+ a x + a = 0的D = a2 + a - 4a = a éa(a +1)2 - 4 ù 0，
所以 x2 - a2x - a ln x 0对"x (0,+ )恒成立.
所以，a [0,1]均满足.
综上， a的取值范围是[0,1] .
【点睛】方法点睛：在研究 f (x) = x2 - a2x - a ln x 0恒成立时，为了简便，将函数看做关于
a的函数，根据二次函数的性质，即可列出不等式组.考点 10 二次函数与幂函数（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
【知识点】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当 α>0 时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当 α<0 时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当 α 为奇数时，y＝xα为 ；当 α 为偶数时，y＝xα为 ．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为 f(x)的 ．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
值域
对称轴 x＝
顶点坐标
奇偶性 当 b＝0 时是偶函数，当 b≠0 时是非奇非偶函数
( b ] b在 －∞，－ 上单调递 ； 在(－∞，－ ]上单调递 ；2a 2a
单调性
[ b b在 － ，＋∞)上单调递 在[－ ，＋∞)上单调递 2a 2a
【核心题型】
题型一　幂函数的图象与性质
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y
＝1，y＝x 所分区域．根据 α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇
偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比
较．
【例题 1】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1 1
A． - 3y = x 2 B． y = x 2 C． y = x D． y = x3
【变式 1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知正数 a，b 满足 aea = blnb = 2 ，则（ ）
A． a <1 < b B． a < b <1
C． a > 1 > b D． a > b >1
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 22.1 ，b = log215， c = 51.05，则 a,b,c的大小关系为
（ ）
A．b < a < c B．b【变式 3】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是
（ ）
1 1 3 1A． -y = x 2 B． y = x 2 C． y = x D． y = x3
题型二　二次函数的解析式
求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与 x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）已知二次函数 f x 满足对于任意的 x, y R ，
f x f y = f xy ，且 f 2 = 4 .若 f p + q + f q =1，则 p2 + 2q2 的最大值与最小值之和
是（ ）
A． 4 + 2 2 B． 2 2 C．4 D． 2
【变式 1】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知二次函数 f x 满足对于任意的
x, y R, f x f y = f xy 且 f 2 = 4．若 f p + q + f q =1，则下列说法正确的是（ ）
A． p + 2q -1 B． p + 2q 2
C． p2 + 2q2 2 - 2 D． p2 + 2q2 2 + 2
【变式 2】（多选）（2023·河北沧州·三模）已知二次函数 g x 满足 g x - 4 = g 2 - x ，
2
g x x；当 x 0,2 g x x +1 时， ÷ .函数 f x
x
的定义域为R ， y = f x + e 是奇函数，
è 2
y = f x - 3ex 是偶函数， e为自然对数的底数，则（ ）
A．函数 g x 的最小值为 0
B． f 0 =1
C． f g x -1
D．函数 f x 的导函数 f x 的最小值为 2 2
【变式 3】（2023·山东·一模）已知二次函数 f x 满足 f (0) = -1，顶点为 (1, -2) .
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若函数 f x 在区间[a -1,4]上单调递增，求实数 a的取值范围.
题型三　二次函数的图象与性质
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论
哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间
的位置关系进行分类讨论．
命题点 1　二次函数的图象
【例题 3】（2024·浙江·模拟预测）如图①，在矩形 ABCD中，动点M 从点A 出发，沿
A B C 的方向运动，当点M 到达点C 时停止运动．过点M 作MN ^ AM 交CD 于点 N ，
设点M 的运动路程为 x,CN = y，图②表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则矩形
ABCD的面积是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
【变式 1】（2023·山东枣庄·二模）指数函数 y = a x 的图象如图所示，则 y = ax2 + x图象顶点
横坐标的取值范围是（ ）
- , 1- 1 A． ÷ B． - ,02 2 ÷è è

C． 0,
1 1
÷ D． - , +

è 2 è 2 ÷
uuur uuur
【变式 2】（多选）（2023·湖北孝感·模拟预测）已知向量 AB = ax,-1 ， BC = x - ax,1- x ，
uuur uuur
则函数 f x = AB × AC 的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式 3】（多选）（23-24 高三上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数 y = ax2 + bx + c的图象
如图所示，有以下结论：① a + b + c > 0 ；② a - b + c<0；③ abc > 0；④ b2 > 4ac；⑤
-3 b< < -2，下面的选项中所有序号结论全正确的是（ ）
a
A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
命题点 2　二次函数的单调性与最值
【例题 4】（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) x2 (m 2)x 1
é 1 , 1= - - + - ù在
ê 2 2ú
上单调，则实数m

的取值范围为（ ）
é1 ù é
A． ê ,1ú U ê3,
9 ù é1 ,2ùú B． ê ú U
é
ê3,
9 ù
2 2 2 2 ú
é 1- ,1ù U é3, 9 ù é 1- , 2ù éC． ê ú ê ú D． ê ú U ê3,
9 ù
2 2 2 2 ú
1
【变式 1】（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 y = 2 的单调增区间为（ ）6 - 5x - x
é 5 5 ù
A． ê- , + ÷ B． -6, - 2 è 2 ú
é 5
C． ê- ,1

÷和 1,
5
+ ùD．（- , -6）U -6, -
2 è 2 ú
【变式 2】（2024·辽宁·模拟预测）命题 p ：存在m -1,1 2，使得函数 f x = x - 2mx在区间
a,+ 内单调，若 p 的否定为真命题，则 a的取值范围是 .
【变式 3】（23-24 高三下·北京· 2阶段练习）已知函数 f (x) = x + ax + b 在区间[0, 4]上的最大
值为 M，当实数 a，b 变化时，M 最小值为 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（23-24 高三上·全国·期末）二次函数 f x = ax2 + bx + 5满足条件 f -1 = f 3 ，则 f 2
的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．7
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) = x2 - (m - 2)x
1 1
+1 é- , ù在 ê ú上单调，则实数m 的取 2 2
值范围为（ ）
é1 ,1ù U é3, 9 ù é1A． ê ú ê ú B． ê , 2
ù U é3, 9 ù
2 2 2 ú ê 2 ú
é 1- ,1ù U é 9 ù é 1 ù é 9 ùC． ê 2 ú ê
3, ú D． ê- , 2ú U 3,2 2 ê 2 ú
3．（22-23 高三·全国·对口高考）已知二次函数 f x 满足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x
的最大值是 8，则此二次函数的解析式为 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
1
4．（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 y = 2 的单调增区间为（6 5x x ）- -
é 5- , + A． ê ÷ B． -6,
5
- ù
2 è 2 ú
é 5 ,1 1, , 6 U 6, 5C． ê- ÷和 + D．（- - ） - -
ù
2 è 2 ú
二、多选题
5．（23-24 高三上·福建厦门·期中）下列函数中，满足“ "x1， x2 0，+ ，都有
f (x1) - f (x2 ) < 0
x1 - x
”的有（ ）
2
A． f (x) = -3x +1 B f x = ex - e- x．
C． f x = x2 + 4x + 3 2D． f x =
x
6．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． f x = -3x5 B． f x = 2x
1
C． f x 1= D．
x f x = -2x
3
三、填空题
x
7 2024· · f x = , g x = ex-1 - e- x+1．（ 全国 模拟预测）已知函数 +1，则 f x 与 g x 的图
x -1
象交点的纵坐标之和为 ．
8．（23-24 高三下·北京· 2阶段练习）已知函数 f (x) = x + ax + b 在区间[0, 4]上的最大值为 M，
当实数 a，b 变化时，M 最小值为 ．
9 2024· · p m -1,1 f x = x2．（ 辽宁 模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 - 2mx在区间 a,+
内单调，若 p 的否定为真命题，则 a的取值范围是 .
四、解答题
10．（23-24 高三上·全国·期末）已知二次函数 f x 满足 f x +1 - f x = -4x -1，且
f 0 = -1．求 f x 的解析式；
11．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数 f x = 2x +1 + 3x - 3 ．
(1)解不等式 f x > 5；
(2) 2设函数 g x = -3x +12x + m，若函数 f x 与 g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范
围．
12．（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数 f (x) = x2 - 2(a -1)x + 4．
(1)若 a = 2，求 f (x) 在[-2,3]上的最值；
(2)求函数 f (x) 在[1, 2]上的最小值．
综合提升练
一、单选题
1．（23-24 高三上·山东济宁·期中）函数 f (x) = 2x2 - x - 3 的单调递增区间为（ ）
1- , ù 3 1A． ú B． (- , -1)
é , + éC． ê ÷ D． ,+

4 ÷è 2 ê4
2
2．（2024·辽宁·一模）若函数 f x = 3-2x +ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是
（ ）
A． - , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
3．（2023 高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为 R 且为奇函数的是（ ）
A． y = x B． y = log2x C． y = x3 D． y = 2x
4．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程 x + 5 + ln x = 0和 x + 5 + ex = 0的解分别是a 和b ，
则函数 f x = x +a x + b 的单调递减区间是（ ）
5 5
A． - ,
ù é
ú B． ê ,+

÷ C． - ,5 D． 5,+
è 2 2
5．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上单调递增，则实
数 a 的取值范围是（ ）
1 1
A．(－ ，＋∞) B．[－ ，＋∞)
4 4
1 1
C．[－ ，0) D．[－ ，0]
4 4
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x2 + ax + b a,b R 的最小值为 0，若关于 x
的不等式 f x < c的解集为 m, m + 4 ，则实数 c的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
2
7．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2ax -x+1 的值域为 M ．若 1, + M ，则实数 a
的取值范围是（ ）
1 1 1 1 1
A． - ,
ù é ù ù é é
ú B． ê0, ú C．4 4
- , -
è è 4ú
ê , + ÷ D． , + ÷ 4 ê 4
8．（23-24 高三下·广东· 2阶段练习）已知函数 f x = ax - 2x + ln x 存在极值点，则实数 a的
取值范围是（ ）
1- , A． ÷ B． - , 2
1
C． - ,
ù
ú D． - , 2 è 2 è 2
二、多选题
9．（2023·浙江宁波·模拟预测）随机变量x 的分布列如表：其中 xy 0，下列说法正确的是
（ ）
x 0 1 2
y 2y
P x
3 3
A． x + y =1 B．E x 5y=
3
C．D x 有最大值 D．D x 随 y 的增大而减小
2 é 1 1 ù10．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数 f x = x - m - 2 x +1 在 ê- , ú上单调，则实数m 2 2
的值可以为（ ）
1 5
A． -1 B．- C． D．3
2 2
11．（2024·浙江·模拟预测）二次函数 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a 0）的自变量 x
与函数值 y 的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
3
且当 x = 时，对应的函数值 y < 0 .下列说法不正确的有（
2 ）
A． abc > 0
B．mn
100
>
9
1
C．关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在- 和 02
之间
D．P1 t + 2, y1 和P2 t - 2, y2
1
在该二次函数的图象上，则当实数 t < 时， y1 > y2 2
三、填空题
12．（2023·河南信阳·一模）在-2， -1，0，1，2 的五个数字中，有放回地随机取两个数字
分别作为函数 y = ax2 + 3bx - 2中 a，b 的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概
率为 ．
13．（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) = xa (0 < a < 1) 在区间 (-1,0) 上单调递减，则a 的一
个取值为 ．
3 3
14．（2023·浙江· a + b二模）若 a2 + b2 = a + b ，则 的取值范围是 .
a2 + b2
四、解答题
15．（23-24 高三上·山东菏泽·期末）已知函数 f x = -x2 + mx - m ．
(1)若函数 f x 的最大值为 0，求实数 m 的值．
(2)若函数 f x 在 -1,0 上单调，求实数 m 的取值范围．
16．（23-24 2高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数 f x +1 = x - 2x .
(1)求 f x 的解析式；
(2)若为任意实数，试讨论 f x 在 a - 2, a 上的单调性和最小值.
17．（22-23 高三上· 2山东菏泽·期中）已知函数 f x = ax - 2ax +1+ b a > 0 ，函数在区间 2,3
上的最大值为 4， f 0 =1.
(1)求 f x 的解析式；
f
(2) g x x 设 = x x，若不等式 g 2 k ×2 在 -1,1 上有解，求实数 k 的取值范围.
x
18．（2024 2高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + ax - 3
(1)若函数 f x 在 -4,5 上是单调函数，求实数 a的取值范围.
(2)当 a = 3, x -1,1 时，不等式 f x > m + 2x - 4恒成立，求实数m 的取值范围.
19．（2024 高三·全国· 2专题练习）函数 f x = kx + 2kx +1在区间 -3,2 上有□ □ 值为 4，求
实数 k 的值．两个方框处为无法辨认的两个汉字，请你结合上下文把这两个字补上并解答该
题．
拓展冲刺练
一、单选题
3m
1．（23-24 高三下·河南·开学考试）已知正数m，n满足 +1 = 2m，若m + 2n lmn2恒成立，n
则实数l 的最小值为（ ）
1 2
A B C 1
4
． ． ． 2 D．4 5 5
2．（2023 高三·全国·专题练习）函数 y = x2 +3x 的单调递减区间为（ ）
3ù é 3
A． - , - ú B2 ． ê
- ,+
2 ֏
C． 0, + D． - , -3
3．（2023 高三·全国·专题练习）已知 y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且 α，β(α<β)是方程 y＝0
的两个实数根，则 α，β，m，n 的大小关系是（ ）
A．αC．m<α<β4．（2023·四川绵阳·模拟预测）在 y = 3x , y = log0.3 x, y = x
3, y = x ，这四个函数中，对于定
f x + f x
义域中的任意 x1, x2 (x x
x1 + x2 1 2
1 2 )，使 f ÷ < 恒成立的函数的个数是（ ）
è 2 2
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
5．（22-23 高三上·山东烟台·期末）已知函数 f (x) = x2 - 2x + 2 ，关于 f (x) 的最值有如下结论，
其中正确的是（ ）
A． f (x) 在区间[-1,0]上的最小值为 1
B． f (x) 在区间[-1,2]上既有最小值，又有最大值
C． f (x) 在区间 2,3 上的最小值为 2，最大值为 5
D． f (x) 在区间[0,a](a > 1)上的最大值为 f (a)
6．（2024 高三·全国·专题练习）(多选)若函数 y＝x2－3x－4 的定义域为[0，m]，值域为[－
25
，－4]，则实数 m 的取值范围可以是（
4 ）
3
A．[0，4] B．[ ，2]
2
8
C．[ ，2] D．[1，2]
5
三、填空题
7．（20-21 高三上·辽宁大连·阶段练习）函数 f (x) =| x2 - 3x + 2 |的单调递减区间
是 .
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x - ax - b ,a,b R，若对任意的
x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求实数M 的取值范围是 ．
四、解答题
9．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 f x a 1= ×3x + x-1 是定义域为R 的偶函数.3
(1)求 a 的值；
(2)若 g x = 9x + 9- x + mf x + m2 -1，求函数 g x 的最小值.
10．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x x - 2 - 2， x R ．求函数 f x 的单调区
间．
11．（2024 2高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x - 2ax + b a,b R ，记M 是 f x 在区
间 0,1 上的最大值．
(1)当b = 0且M = 2时，求 a的值；
M 1(2)若 ，证明0 a 1．
2
12．（23-24 高三上·江苏扬州·期中）已知函数 f x = x2 - px - q ln x p,q R .
(1)若 p = a, q = a2 ， f x 的最小值为 0，求非零实数 a 的值；
(2)若 p = a2 ,q = a， f x 0恒成立，求实数 a 的取值范围.

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