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考点 12 对数与对数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合提
升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
【知识点】
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 .
以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ aloga N， ＝ (a>0，且 a≠1，
N>0)．
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝ ；
M
②loga ＝ ；N
③logaMn＝ (n∈R)．
logcb
(3)对数换底公式：logab＝ (a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)．logca
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
性 过定点 ，即 x＝1 时，y＝0
质 当 x>1 时， ； 当 x>1 时， ；
当 0在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
4.反函数
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 (a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图
象关于直线 对称．
常用结论
n
1．logab·logba＝1， log bn ＝ log b.am m a
2．如图给出 4 个对数函数的图象
则 b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，(1，－1a ).
【核心题型】
题型一　对数式的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
【例题 1】（23-24 高三下·湖南衡阳·阶段练习）集合 A = x N |1 2x-1 4 ,则集合
B = m | m = logab,a,b A 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混
响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0 ，则经过 t 秒后这段声
t
-
音的声强变为W t = W e t ，其中t 是一个常数．把混响时间TR 定义为声音的声强衰减到原0
来的10-6 所需的时间，则TR 约为（参考数据： ln2 0.7,ln5 1.6）（ ）
A．6.72t B．8.3t C．13.8t D．148t
【变式 2】（2024·辽宁丹东·一模）若2a = 3，3b = 5，5c = 4，则 log4 abc = （ ）
A 1 2．-2 B． 2 C． D．12
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 为等差数列，且 a1 + a4 + a6 + a8 + a11 = 80，
则 log2 a5 + a7 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．3
题型二　对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
1
【例题 2】（2024·北京东城·一模）设函数 f x = +1，则（ ）
ln x
f x + f 1 2 f x f 1 A． ÷ = B． - = 2
è x è x ÷
C． f x f 1 1 = 2 D． f x = 2 f
è x ÷ x ÷ è
ì x +1 ü
【变式 1】（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 A = íx 0 ，B = x y = log5 x 2 x
2 -16 ，则
-
A R B = （ ）
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）若3m - 9n + log3m - 2log n
m
9 = 0，则 的取值范围为（ ）n
A． 0,2 B． 0,2 C． 2, + D． 2, +
2
【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，则
实数 a的取值范围是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
题型三　对数函数的性质及应用
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；
二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成．
命题点 1　比较对数式的大小
【例题 3】（2024·云南·一模）已知 f x = lgx a f 1 ，若 = ,b = f
1 ,c = f 3 ，则（ ）
è 4 ÷ 2 ÷
è
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D．b > a > c
【变式 1】（2024·全国·二模）已知 a = 30.4 ,b = log a 33 ,c = log3 log3a ，则（ ）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > c > a D． c > a > b
【变式 2】（2024·浙江温州·二模）已知 a = sin0.5,b = 30.5 ,c = log0.30.5，则 a,b,c的大小关系是
（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < a < b D． c < b < a
【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）设 a = log2024 2023，b = log2023 2022， c = log0.2024 0.2023，
则（ ）
A． cC．b < a < c D． a < b < c
命题点 2　解对数方程、不等式
【例题 4】（2023· 2山东·模拟预测）已知集合M = x 4x -8x + 3 < 0 ， N = x 0 < log3x <1 ，
则M N =（ ）
1 ,3 3 1,3 1 31, A． 2 ÷ B． 2 ÷ C． D．è , ÷è è 2 2
【变式 1】（2024·上海青浦·二模）已知 f x = lg x -1， g x = lg x - 3，若
f x + g x = f x + g x ，则满足条件的 x 的取值范围是 ．
ìx +1, x 0
【变式 2】（2024·湖北·一模）已知函数 f x = í fln x 1 , x 0 ，则关于 x 的不等式 x ≤1 + >
的解集为 ．
【变式 3】（23-24 高三下·北京·开学考试）函数 y = lgx + lg 5 - 2x 的定义域是 .
命题点 3　对数函数的性质及应用
ì 1 1 1 1 ü
【例题 5】（2024·广东·一模）已知集合 A = í- ,- , , , 2,3 ，若 a,b,c A且互不相等，则
2 3 2 3
使得指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x ，幂函数 y = xc 中至少有两个函数在 (0, + )上单调
递增的有序数对 (a,b, c)的个数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【变式 1】（2024·江西九江·二模）若函数 f x = ln ax +1 在（1，2）上单调递减，则实数 a
的取值范围是（ ）
1 1
A． - ,0 - ,0 éB． ÷ C． ê- ,0

÷ D． -1,0
è 2 2
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）在区间 1,4 内随机取一个数 b，则函数
f x = log x22 - 2bx + 8 在区间 1,2 上单调递减的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 3
【变式 3】（2024·辽宁·一模）若函数 f x 使得数列 an = f (n) ， n N* 为递减数列，则称函
数 f x 为“数列保减函数”，已知函数 f x = ln x - ax为“数列保减函数”，则 a 的取值范围
（ ）
A． ln3,+ B． ln 2,+ C． 1, + D． 0, +
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023 高三上·四川·学业考试）函数 f x = lnx 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广西·二模）已知函数 f x = ln é x - a x + e + 2e
2
ù a R 为偶函数，则 f x 的
最小值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D． ln2
3．（2024·湖南·一模）已知 a,b R ，且 a > 0,b > 0，则ab >1是 lna × lnb > 0的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·浙江·二模）若函数 f x = ln ex +1 + ax为偶函数，则实数 a 的值为（ ）
1
A 1．- B．0 C．
2 2
D．1
二、多选题
5．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数 f x = ln x ，0 < a < b，且 f a = f b ，则下
列说法正确的是（ ）
A．ab =1 B． ab =10
C．a + 2b的最小值为 2 2 D． a +1 2 + b +1 2 > 8
6．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数 y = loga x -1 +1(a > 0, a 1)的图象恒过定点 P ，若点 P
在直线mx + ny -1 = 0(m > 0,n > 0)上，则（ ）
A mm
1
B 4m2 + n2
1 2
． ． C．m + n
1 1 2 8
> D． + >
8 2 4 m +1 n 3
三、填空题
7．（2024·云南红河·二模）已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0时， f x =1+ log2x，
则 f -2 + f 0 = .
8．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知 f x = 2loga x -1 +1（ a > 0且 a 1)，函数 y = f x
的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标为 ．
四、解答题
9．（23-24 高三上·青海西宁·阶段练习）已知 a = log 0.2， b = 20.2 ， c = 0.20.32 ，比较 a、 b 、
c的大小.
10．（23-24 高三上·上海长宁·期中）已知函数 f x = loga x ，其中常数 a > 0且a 1.
(1)判断上述函数在区间 0,1 上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；
(2)若 t > 0，利用上述函数在区间 0,1 f t f 2 上的单调性，讨论 和 2 ÷ 的大小关系，并述è t +1
理由.
2
11．（23-24 高三上·山东泰安·阶段练习）已知 f x = log1 x - ax + 5a ．
3
(1)若 a = 2，求 f x 的值域；
(2)若 f x 在 1, + 上单调递减，求 a 的取值范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2024 高三上·全国·竞赛） log2 4 =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
ì
2．（2024·陕西西安·一模）设集合 A = íx
1 ü ì
<1 ，B = íy y lg
1 ü
= ，则 A R B =（ ）
x x
A．R B． 0, + C． D． - ,0 1, +
3．（23-24 高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 f (x) = e|x| + log 2| x |，设
a = f (log 12 ),b = f (7
-0.1),c = f (log1 25)，则 a3 ，b ， c的大小关系为（ ）4
A．b < a < c B． c < a < b C． c < b < a D． a < c < b
4．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知 f x 是定义在R 上周期为 2的奇函数，当 x 0,1
f x lg 1时， = ，则 f x 在 1,2 上是（ ）.
1- x
A．增函数且 f x < 0 B．增函数且 f x > 0
C．减函数且 f x < 0 D．减函数且 f x > 0
ì -x2 + 2x, x 0

5．（23-24 高三上·山东济宁·期中）已知函数 f x = í 1 ，则函数 y = f é f x -1ù
ln -x + , x < 0 x
的零点个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024·全国·模拟预测）下列结论中错误的个数为（ ）
lg2 1 1
① < e ② é 2 ù 6 ③ 2lg3 3lg2 ④ e
x
x-2lnx
lge log e （其中 为自然对数的底数）； -8 ； = ； = e3 = -2 x2
（其中 x > 0）．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数 x，y，不等式 x 1+ lnx xlny - ay
恒成立，则实数 a的取值范围是 （ ）
0, 1ù é 1 , 1ù é 1 ,+ é 1 A．
è e ú
B． ê 3 C． D． e e ú êe2 ÷ ê
,+
e3 ÷
8．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，则（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
二、多选题
9 2．（2024 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数 f x = log2 x + ax + b ，
g x = x - a x + b ，其中 a，b 分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函
数 f x 的值域为 0, + ”为事件 A，“函数 g x 为偶函数”为事件 B，则下列结论正确的是
（ ）
A．P AB 1= B．P A + B 7=
18 36
P B A 1 1C． = D．P
2 B A = 30
1
10．（23-24 x高三上·江苏淮安·期中）已知函数 f x = log4 1+ 4 - x ，则下列说法中正确的2
是（ ）
A．函数 f x 的图象关于 y 轴对称 B．函数 f x 的图象关于原点对称
C．函数 f x 在 0, + 上是增函数 D．函数 f x é1的值域为 ê , +

÷
2
11．（2023·全国·模拟预测）已知 loga c > logb c（ a,b > 0且 a,b,c 1），则下列说法正确的是
（ ）
A．当 c >1时， a < b
B．当0 < c <1时， a < b
C．当 a < b 时， (a -1)(b -1)(c -1) > 0
D．当1< b < a时， 2c - 2 < 0
三、填空题
12．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）由函数的观点，不等式 log3x < 3- 3
x
的解集是 .
13．（2024 x高三·全国·专题练习）已知 x1, x2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的两个根，则
x1 + x2 =
14．（2024·天津·一模）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 f x = f 5x ，当 x 1,5 时，
f x = ln x .若在区间 1,25 内，函数 g x = f x - ax 有三个不同零点，则实数 a的取值范围
为 .
四、解答题
15．（23-24 2高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数 f x = lg ax - 2ax + 2 的定义域为
R .
(1)求实数 a的取值范围；
(2)若 a > 0，函数 f x 在 0,3 上的最大值与最小值的和为 lg5，求实数 a的值.
16．（2023·陕西·模拟预测）已知函数 f x 1- x 1= log a , f1+ x 2 ÷ = -1．è
(1)求 a及函数 f x 的定义域；
(2)求函数 g x = f x - loga 3 - 3x 的零点．
17．（23-24 高三上·湖北·期中）记M n 是各项均为正数的数列 an 的前 n项积，已知 a1 =1，
2anM n = M n+1 - M n .
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明： log 2 M n n
2 + n - 2 .
2
18．（2023 高三·全国·专题练习）设函数 f x = ln x + 2 - 的定义域为 D，若命题 p：
a - x
“ $x D ， f x 0 ”为假命题，则 a 的取值范围是
19．（23-24 2高三上·安徽淮南·阶段练习）（1）已知函数 f x = x - 2x + 3, g x = log2x + m，
若对"x1 2,4 ,$x2 16,32 ，使得 f x1 g x2 ，求实数m 的取值范围；
2 p f x = log x3 1 （ ）若命题 ：函数 a - ax （ a > 0且a 1）在区间 - ,0÷内单调递增是真
è 2
命题，求 a的取值范围.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24 高三下·江西· a阶段练习）已知实数 a，b 满足2 + a = 2,b = log16 3，则（ ）
A． a > b B． a < b C． a = b D．a，b 的大小无法判
断
2．（2024·湖南岳阳·二模）设 a = log23，b = log35， c = log58，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C．b > c > a D． c > a > b
3. （ 2024· 陕 西 西 安 · x - x 2一 模 ） 已 知 函 数 f x = e + e x ， 若 满 足

f log3m + f log1m÷ - 2e
2
- < 0 ，则实数m 的取值范围为（
e ）è 3
1 1
A． 0, ÷ B． ,3÷ C． 0,3 D． 3, +
è 3 è 3
4．（23-24 高三下·江西·开学考试）142857 被称为世界上最神秘的数字，
142857 1 =142857,142857 2 = 285714,142857 3 = 428571,142857 4 = 571428,
142857 5 = 714285,142857 6 = 857142，所得结果是这些数字反复出现，若
a = e0.142857 ,b ln1.285714= +1,c = 1.285714 ，则（
2 ）
A． a > b > c B． c > b > a
C．b > a > c D． a > c > b
5．（23-24 高三上·山东日照·阶段练习）已知函数 f (x) = lg x2 - 2x + 2023x-1 + 20231-x ，则不
等式 f 3x < f x + 3 成立的 x 的取值范围是（ ）
1 , 3 1 ,0 U 2 , 3 A． - ÷ B． - ÷ ÷ C． -1,0 U
0, 3 2 3
4 2 4 3 2 ÷
D． , ÷
è è è è 2 è 3 2
二、多选题
6．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）若实数 a，b 满足 log3a＜log3b，则下列各式一定正
确的是（　　）
1
A．3a＜3b B．（ ）a－b＞1
3
C．ln （b－a）＞0 D．loga3＜logb3
a -1
7．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a > 0，a 1，b > 0，且 ln b = ，则
a
下列结论正确的是（ ）
A．当 0 < a < 1时，b < a B．当 a > 1时，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
三、填空题
8 a b
b
．（23-24 高三上·湖南·阶段练习）已知正实数 a,b满足：3 = 27 + log3 ，则 a与3ba 大小关
系为 .
n
9．（2022·全国·模拟预测）已知数列 an 的通项公式为 an = ，若 x 表示不超过 x 的最大整2
数，如[0.5] = 0，[lg 499] = 2，则数列 lg an 的前 2022 项的和为 ．
四、解答题
ax +1
10．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）已知函数 f x = log2 是奇函数.1- x
(1)求实数 a的值；
1+ x
(2)当b > 0，b R ，解关于 x 的不等式 f x > log2 .b
11．（2023·上海·模拟预测）已知 f x = ex ln 1+ x .记 g x = mf ax ，其中常数 m， a > 0 .
(1)证明：对任意 m， a > 0，曲线 y = g x 过定点；
(2)证明：对任意 s， t > 0， f s + t > f s + f t ；
(3)若对一切 x 1和一切使得 g 1 =1的函数 y = g x ， y lx 恒成立，求实数l 的取值范围.考点 12 对数与对数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合提
升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
【知识点】
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其
中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1) log N对数的性质：log 1＝0，log a＝1， a aa a ＝N(a>0，且 a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M
②loga ＝logaM－logaN；N
③log Mna ＝nlogaM (n∈R)．
logcb
(3)对数换底公式：logab＝ (a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)．logca
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性 过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
质 当 x>1 时，y>0； 当 x>1 时，y<0；
当 00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象
关于直线 y＝x 对称．
常用结论
n
1．logab·logba＝1， log m bn ＝ loga m a
b.
2．如图给出 4 个对数函数的图象
则 b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
1
3．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，( ，－1).a
【核心题型】
题型一　对数式的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
【例题 1】（23-24 x-1高三下·湖南衡阳·阶段练习）集合 A = x N |1 2 4 ,则集合
B = m | m = logab,a,b A 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先求出集合A 中的元素，然后利用对数的运算确定集合 B 中的元素即可.
【详解】 A = x N |1 2x-1 4 = 1,2,3 ，
则m = log2 1 = log3 1 = 0或m = log2 2 = log3 3 =1或m = log3 2或m = log2 3，
所以B = 0,1, log3 2, log2 3 ，元素个数为 4 .
故选：B.
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混
响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0 ，则经过 t 秒后这段声
t
-
音的声强变为W t = W e t ，其中t 是一个常数．把混响时间TR 定义为声音的声强衰减到原0
来的10-6 所需的时间，则TR 约为（参考数据： ln2 0.7,ln5 1.6）（ ）
A．6.72t B．8.3t C．13.8t D．148t
【答案】C
【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.
【详解】由题意，W T 10-6W T= ，即 - RR 0 e t =10-6，等号两边同时取自然对数得
T
- R T
lne t = ln10-6 ，即-
R = -6ln10，所以TR =t 6ln10 =t 6 ln2 + ln5 13.8t ．t
故选：C．
【变式 2】（2024·辽宁丹东·一模）若2a = 3，3b = 5，5c = 4，则 log4 abc = （ ）
A -2 B 1 2． ． 2 C． D．12
【答案】B
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【详解】由2a = 3，3b = 5，5c = 4，可得 a = log2 3,b = log3 5,c = log5 4，
所以 abc = log2 3 log3 5 log 4
lg3 lg5 lg 4
5 = = 2 log abc = log 2
1
=
lg 2 lg3 lg5 ，则 4 4 .2
故选：B.
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 为等差数列，且 a1 + a4 + a6 + a8 + a11 = 80，
则 log2 a5 + a7 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根据题意，利用等差数列的性质和对数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由等差数列的性质，可得 a1 + a4 + a6 + a8 + a11 = 5a6 = 80 ，解得 a6 =16，
所以 log2 a5 + a7 = log2 2a6 = log232 = 5 .
故选：B.
题型二　对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例题 2】（2024·北京东城·一模）设函数 f x 1= +1，则（ ）
ln x
A． f x + f 1 ÷ = 2 B． f x - f
1 = 2
è x ÷ è x
1 1
C． f x f ÷ = 2 D． f x = 2 f x x ÷è è
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.
【详解】函数 f x 1= +1的定义域为 0,1 U 1, + ，
ln x
f x f 1+ 1 1 1 1 ÷ = +1+ +1 = + + 2 = 2对于 A， è x ln x ln 1 ln x - ln x ，故 A 正确；
x
f x - f 1 1 1 1 1 2 ÷ = +1- 1 -1 = - - =对于 B， è x ln x ln ln x - ln x ln x ，故 B 错误；
x
x=e f x 1= +1 = 2, f 1 1对于 CD，当 时， ÷ = +1 = 0，故 CD 错误.1 è x -1
故选：A.
ì x +1 ü
【变式 1】（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 A = íx 0 ，B = x y = log2 x2 -165 x ，则 -
A R B = （ ）
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
【答案】B
【分析】计算出集合A 、 B 后，借助补集定义及交集定义即可得.
x +1 ì0 x +1 5 - x 0【详解】由 ，即 í ，解得-1 x < 5，故 A = x -1 x < 5 ，5 - x 5 - x 0
由 y = log2 x2 -16 ，可得 x2 -16 > 0，即 x>4或 x<- 4，故 R B = x -4 x 4 ，
故 A R B = x -1 x 4 .
故选：B.
m
【变式 2】（2024·全国· m n模拟预测）若3 - 9 + log3m - 2log9n = 0，则 的取值范围为（n ）
A． 0,2 B． 0,2 C． 2, + D． 2, +
【答案】A
【分析】由3m + log m = 32n3 + log3n
x
．构造函数 f x = 3 + log3x ，再结合 log3n < log3 2n ，
利用函数 f x 为增函数求解．
m n
【详解】解：法一：因为3 - 9 + log3m - 2log9n = 0，
m
所以3 + log3m = 3
2n + log3n．
x
构造函数 f x = 3 + log3x ， f x 的定义域为 0, + ，且 f x 为增函数．
因为 log3n < log3 2n 2n，所以3 + log3n < 32n + log3 2n ，
3m + log m < 32n即 3 + log3 2n ，即 f m < f 2n ，所以m < 2n ，
m
即 的取值范围为 0,2 ．
n
故选：A．
m
法二：因为3 - 9n + log3m - 2log9n = 0，
3m + log m = 32n所以 3 + log3n．
构造函数 f x = 3x + log3x ， f x 的定义域为 0, + ，且 f x 为增函数．
因为 f m - f 2n = 3m + log3m - é 3
2n + log 2n 2n 2n3 ù = 3 + log3n - é3 + log3 2n ù = log
1
3 < 0，2
所以 f m < f 2n ，所以m < 2n ，
m
即 的取值范围为 0,2 ．
n
故选：A．【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 f x = ln x2 - 2ax + 3a 在 1, + 上单调
递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
【答案】B
【分析】根据复合函数单调性的规则以及函数在 1, + 上有意义列不等式求解即可.
【详解】因为函数 f x = ln x2 - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，
ì -2a
- 1
所以 í 2 ，解得-1 < a 1.
1- 2a + 3a > 0
故选：B.
题型三　对数函数的性质及应用
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；
二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成．
命题点 1　比较对数式的大小
1 1
【例题 3】（2024·云南·一模）已知 f x = lgx ，若 a = f ÷ ,b = f ÷ ,c = f 3 ，则（4 ）è è 2
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D．b > a > c
【答案】B
【分析】根据 f x = lgx 将 a,b,c进行转化，再利用 y = lg x 在 0, + 上为增函数进行判断
即可.
f x lgx a f 1 lg 1【详解】由 = 得： = ÷ = = - lg 4 = lg 4， b = f
1 1
÷ = lg = - lg 2 = lg 2，
è 4 4 è 2 2
c = f 3 = lg3，
因为 y = lg x 在 0, + 上为增函数，
所以 lg 4 > lg3 > lg 2 ，
即 a > c > b .
故选：B.
【变式 1】（2024·全国·二模）已知 a = 30.4 ,b = log a 33 ,c = log3 log3a ，则（ ）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > c > a D． c > a > b
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】因为 a = 30.4 > 30 3=1，b = log a = log 30.43 3
3
= 0.43 < 0.40 =1，又0.43 > 0，
所以 a >1 > b > 0 c = log log 0.4，又 3 3a = log3 log33 = log30.4 < log31 = 0 ，
所以 a > b > c .
故选：A
0.5
【变式 2】（2024·浙江温州·二模）已知 a = sin0.5,b = 3 ,c = log0.30.5，则 a,b,c的大小关系是
（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < a < b D． c < b < a
【答案】B
【分析】构造函数 y = sin x - x，利用导数法求最值得 sin x < x ，从而有 a < 0.5，再利用函数
y = log0.3x 单调递减得0.5 < c <1，利用函数 y = 3x 单调递增得b >1，即可比较大小.
【详解】对 x
0, π ÷，因为 y = sin x - x，则 y = cos x
π
-1 < 0 ，即函数 y = sin x - x在
2
0, ÷
è è 2
单调递减，
且 x = 0时， y = 0 ，则 sin x - x < 0，即 sin x < x ，所以 a = sin0.5 < 0.5，
因为 2log0.30.5 = log0.30.25 > log0.30.3 =1且 log0.30.5 < log0.30.3 =1，所以0.5 < c = log0.30.5 <1，
又b = 30.5 > 30 =1，所以 a < c < b .
故选：B
【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）设 a = log2024 2023，b = log2023 2022， c = log0.2024 0.2023，
则（ ）
A． cC．b < a < c D． a < b < c
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到 c最大，再利用作差法，结合基本不等式得到b < a ，从
而得解.
【详解】由对数函数的性质知 c = log0.2024 0.2023 > log0.2024 0.2024 =1，
0 = log2024 1< log2024 2023 < log2024 2024 =1，
0 = log2023 1 < log2023 2022 < log2023 2023 =1，
所以 c >1， 0 < a < 1，0 < b <1；
当 n > 2时， ln n +1 > ln n > ln n -1 > 0，
2
所以 ln n +1 é ln n +1 + ln n -1 ù× ln n -1 - ln n 2 < ê - ln n
2
2
ú

2 2
é ln n +1 n -1 ù é ln n2 -1 ù
= ê ú -

ln n 2 = ê ú - ln n 2
2 ê 2 ú
2
ln n2
< - ln n
2 = ln n 2 - ln n 2 = 0，
è 2
÷

取 n = 2023，则 lg 2022 × lg 2024 - lg 2023 2 < 0，
b a log 2022 log 2023 lg 2022 lg 2023所以 - = 2023 - 2024 = -lg 2023 lg 2024
lg 2022 × lg 2024 - lg 2023 2
= < 0 ，即b < a ，
lg 2023 × lg 2024
综上，b < a < c
命题点 2　解对数方程、不等式
【例题 4】（2023· 2山东·模拟预测）已知集合M = x 4x -8x + 3 < 0 ， N = x 0 < log3x <1 ，
则M N =（ ）
1 ,3 1, 3 1,3 1 3 A． B． C． D． ,
è 2 ÷
÷
è 2
2 2 ֏
【答案】A
【分析】解一元二次不等式及对数不等式后结合并集定义计算即可得.
1 3
【详解】由 4x2 -8x + 3 < 0，可得 2x - 3 2x -1 < 0，解得 < x < ，2 2
M ìx 1 x 3ü即 = í < <2 2
，

由0 < log3x <1，即 log31< log3x < log33，即1< x < 3，
N x 1 x ì 1即 = < < 3 ，故M N = íx < x ü< 32 .
故选：A.
【变式 1】（2024·上海青浦·二模）已知 f x = lg x -1， g x = lg x - 3，若
f x + g x = f x + g x ，则满足条件的 x 的取值范围是 ．
【答案】 0,10 U 1000,+ ；
【分析】由绝对值等式可知 f x g x 0 ，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值
范围求出结果即可.
【详解】因为 f x + g x = f x + g x ，
所以 f x g x 0 ，即 lg x -1 lg x - 3 0，
解得 lg x 1或 lg x 3，
所以 x 的取值范围是 0,10 U 1000,+ ，
故答案为： 0,10 U 1000,+ .
ìx +1, x 0
【变式 2】（2024·湖北·一模）已知函数 f x = í
ln x +1 , x > 0
，则关于 x 的不等式 f x ≤1
的解集为 ．
【答案】 - , e -1
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.
【详解】当 x 0 时， f x = x +1 1得 x 0 ，\ x 0
当 x > 0时， f x = ln x +1 1，得-1 < x e -1，所以0 < x e -1，
综上： f x ≤1的解集为 - , e -1 ，
故答案为： - , e -1 .
【变式 3】（23-24 高三下·北京·开学考试）函数 y = lgx + lg 5 - 2x 的定义域是 .
é1, 5 【答案】 ÷
ê 2
【分析】结合函数解析式得到不等式组，进而可得到答案.
ì
ìlg x 0 x 1

【详解】由题意，得 íx > 0 ，即 íx > 0 ，

5 - 2x > 0 x 5<
2
5
所以1 x
5
< é ，所以定义域为
2 ê
1, ÷ .
2
é1, 5 故答案为： ê 2 ÷
命题点 3　对数函数的性质及应用
ì 1 1 1
【例题 5】（2024·广东·一模）已知集合 A = í- ,- , ,
1 , 2,3ü ，若 a,b,c A且互不相等，则
2 3 2 3
使得指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x ，幂函数 y = xc 中至少有两个函数在 (0, + )上单调
递增的有序数对 (a,b, c)的个数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】B
【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】若 y = a x 和 y = logb x 在 (0, + )上单调递增， y = xc 在 (0, + )上单调递减，
2 1
则有A2 ×C2 = 4 个；
若 y = a x 和 y = xc 在 (0, + )上单调递增， y = logb x 在 (0, + )上单调递减，
C1 ×C1 1则有 2 2 ×C2 = 8个；
若 y = logb x 和 y = xc 在 (0, + )上单调递增， y = a x 在 (0, + )上单调递减，
C1 ×C1 1则有 2 2 ×C2 = 8个；
若 y = a x 、 y = logb x 和 y = xc 在 (0, + )
2 1
上单调递增，则有A2 ×C2 = 4 个；
综上所述：共有 4 + 8 + 8 + 4 = 24个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧
（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又
可能用到分类加法计数原理．
（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、
直观化．
【变式 1】（2024·江西九江·二模）若函数 f x = ln ax +1 在（1，2）上单调递减，则实数 a
的取值范围是（ ）
A． 1 1- ,0 B． - ,0
é
÷ C． ê- ,0

÷ D． -1,0
è 2 2
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性结合函数求解.
【详解】函数 f x = ln ax +1 在 1,2 上单调递减，
由函数 y = ln x 在定义域内单调递增，所以函数 g x = ax +1在 1,2 上单调递减且恒大于 0，
ìa < 0 1
则有 íg 2 2a 1 0，解得- a < 0 . = + 2
故选：C
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）在区间 1,4 内随机取一个数 b，则函数
f x = log x22 - 2bx + 8 在区间 1,2 上单调递减的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 3
【答案】D
【分析】依题意根据复合函数的单调性可得 y = x2 - 2bx + 8在区间 1,2 上单调递减，且
2 ìb 2y = x - 2bx + 8 > 0在区间 1,2 上恒成立，即可得到 í b4 4b 8 0，从而求出 的取值范围， - + >
再根据几何概型的概率公式计算可得.
【详解】若 f x = log 22 x - 2bx + 8 在区间 1,2 上单调递减，
又函数 y = log2x 在定义域上是增函数，
所以 y = x2 - 2bx + 8在区间 1,2 上单调递减，且 y = x2 - 2bx + 8 > 0在区间 1,2 上恒成立，
ìb 2
P 3- 2 1所以 í ，解得 2 b < 3，故所求的概率 = = .
4 - 4b + 8 > 0 4 -1 3
故选：D.
【变式 3】（2024·辽宁·一模）若函数 f x 使得数列 an = f (n) ， n N* 为递减数列，则称函
数 f x 为“数列保减函数”，已知函数 f x = ln x - ax为“数列保减函数”，则 a 的取值范围
（ ）
A． ln3,+ B． ln 2,+ C． 1, + D． 0, +
【答案】B
【分析】易知 f n +1 < f n 对任意的 n N*恒成立，参变分离即可求解.
【详解】由题可知 f n +1 < f n 对任意的 n N*恒成立，
即 a > ln

1
1
+ ÷ 对任意的n n N
*恒成立，
è
1
因为 t =1+ 在 n 1时单调递减， y = lnt 在 t > 0时单调递增，
n
y 1\ = ln 1+ ÷ 在 n 1时单调递减，
è n
1
\ln 1+ ÷ 在 n＝1 时取最大值,且最大值为n ln 2，è
\a > ln2 .
故选：B.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023 高三上·四川·学业考试）函数 f x = lnx 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可.
【详解】因为 f x = lnx 的定义域为 (0, + )，故 BD 错误；
又 f x = lnx 0，故 C 错误；故 A 正确.
故选：A
2．（2024·广西·二模）已知函数 f x = ln é x - a x + e + 2e
2 ù a R 为偶函数，则 f x 的
最小值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D． ln2
【答案】A
【分析】由函数 f x 2 2为偶函数，求得 a = e，得到 f x = ln(x + e ) ，结合对数函数的性质，
进而求得函数的最小值，得到答案.
f x = ln é x - a x + e + 2e2 ù = ln[x2 - (a - e)x - ae + 2e2【详解】由函数 ]，
可得 f -x = ln[x2 + (a - e)x - ae + 2e2 ]，
因为函数 f x 为偶函数，可得 x2 - (a - e)x - ae + 2e2 = x2 + (a - e)x - ae + 2e2，
a = e f x = ln(x2 + e2可得 ，即 ) ，
当 x = 0时，函数 f x 取得最小值，最小值为 f 0 = ln e2 = 2 .
故选：A.
3．（2024·湖南·一模）已知 a,b R ，且 a > 0,b > 0，则ab >1是 lna × lnb > 0的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】若 a = e,b =1，符合ab >1，但此时 ln a × ln b = 0 ，不满足充分性，
若 a = e-1 = b ，符合 lna × lnb > 0，但是 ab <1，不满足必要性.
故选：D
4．（2024·浙江· x二模）若函数 f x = ln e +1 + ax为偶函数，则实数 a 的值为（ ）
1
A．- B 0 C 1． ．
2 2
D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.
【详解】 f x = ln ex +1 + ax的定义域为R ，
x
f -x = ln e- x 1 e +1+ - ax = ln x ÷ - ax = ln ex +1 - x - ax，
è e
由于 f x = ln ex +1 + ax为偶函数，故 f -x = f x ，即
ln ex +1 - 1+ a x = ln ex +1 + ax 1+ 2a x = 0，
1 2a 1故 + = 0 ，解得 a = -
2
故选：A
二、多选题
5．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数 f x = ln x ，0 < a < b，且 f a = f b ，则下
列说法正确的是（ ）
A．ab =1 B． ab =10 C．a + 2b的最小值为 2 2
D． a +1 2 + b +1 2 > 8
【答案】AD
【分析】根据题意，由 lg a = lgb ，得到 lg ab = 0，可判定 A 正确、B 不正确；由基本不
2
等式，求得 a + 2b > 2 2 ，可得判定 C 不正确；结合 a +1 + b +1 2 = a2 + b2 + 2 a + b + 2，
结合基本不等式，可判定 D 正确.
【详解】由函数 f x = ln x ，且 f a = f b ，如图所示，可得0 < a < 1 < b，
所以 lg a = lgb ，即- ln a = ln b，可得 lg ab = 0，解得ab =1，故 A 正确；B 错误；
由 a + 2b 2 a × 2b = 2 2 ，当且仅当 a = 2b时等号成立，
因为0 < a < 1 < b，所以 a + 2b > 2 2 ，故 C 错误；
由 a +1 2 + b +1 2 = a2 + b2 + 2 a + b + 2 2ab + 4 ab + 2 = 8，
2 2
当且仅当 a = b时等号成立，因为0 < a < 1 < b，所以 a +1 + b +1 > 8，故 D 正确．
故选：AD．
6．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数 y = loga x -1 +1(a > 0, a 1)的图象恒过定点 P ，若点 P
在直线mx + ny -1 = 0(m > 0,n > 0)上，则（ ）
1
A mm B 4m2 + n2 1 2． ． C．m + n
1 1 2 8
> D． + >
8 2 4 m +1 n 3
【答案】BCD
【分析】根据对数函数的性质可得定点，得出 2m + n =1，利用均值不等式判断 A，重要不
等式判断 B，转化为二次函数判断 C，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断 D.
【详解】由题得点P 2,1 ，即2m + n 1= 1,0 < m < ,0 < n < 1，
2
1 1
所以 2m + n =1 2 2mn ，即mn ，当且仅当 2m = n = 时取等号，故 A 错误；8 2
2 1
4m2 n2 (2m + n) 1+ = ，当且仅当 2m = n = 时取等号，故 B 正确；
2 2 2
2
m2 + n = m2 - 2m +1 = (m 1)2 1 1 1- > - ÷ = ，故 C 正确；
è 2 4
由 2m + n =1，2(m +1) + n = 3，
1 2 1 1 é n 4 m +1 ù + ÷ é2 m +1 + nù = ê2 2
1 8
+ + + ú 4 + 4 = ，且取不到等号，
è m +1 n 3 3 m +1 n 3 3
1 2 8
故 + > ，故 D 正确．
m +1 n 3
故选：BCD
三、填空题
7．（2024·云南红河·二模）已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0时， f x =1+ log2x，
则 f -2 + f 0 = .
【答案】-2
【分析】根据奇函数的定义和 x > 0时的解析式分别求出 f (0)和 f (-2)的值即可.
【详解】因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，
所以 f (-x) = - f (x) ，得 f (0) = 0，
f (-2) = - f (2) = -(log2 2 +1) = -2，
所以 f (-2) + f (0) = -2 .
故答案为：-2 .
8．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知 f x = 2loga x -1 +1（ a > 0且 a 1)，函数 y = f x
的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标为 ．
【答案】 2,1
【分析】令 x -1 = 1即可求出定点.
【详解】令 x -1 = 1得 x = 2，
此时 f 2 =1，
所以函数 y = f x 的图象恒过定点 2,1 ，即点P 2,1 .
故答案为： 2,1 .
四、解答题
9．（23-24 高三上·青海西宁·阶段练习）已知 a = log 0.2， b = 20.22 ， c = 0.20.3 ，比较 a、 b 、
c的大小.
【答案】 a < c < b
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因 log2 0.2 < log2 1 = 0，所以 a<0，
因 20.2 > 20 =1，所以b >1，
因0 < 0. 20. 3 < 0. 20 = 1，所以0 < c <1，
所以 a < c < b
10．（23-24 高三上·上海长宁·期中）已知函数 f x = loga x ，其中常数 a > 0且a 1.
(1)判断上述函数在区间 0,1 上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；
2
(2)若 t > 0 ，利用上述函数在区间 0,1 上的单调性，讨论 f t 和 f 2 ÷ 的大小关系，并述è t +1
理由.
【答案】(1)函数在区间 0,1 上的单调递减，证明见解析；
2 2
(2)当 t =1时， f t = f 2 ÷，当 t > 0且 t 1时， f t > f .è t +1 t 2 +1÷ è
【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性；
（2）利用（1）中的结论即可得到大小关系.
【详解】（1） f x = loga x 在区间 0,1 上单调递减，
证明：当 0 < a < 1时，任取0 < x1 < x2 1，
则 f x1 - f x2 = loga x1 - loga x2 = loga x1 - loga x2 = log
x1
a x ，2
x x
因为0 < x1 < x2 1
1 1
，则0 < <1x ，所以
loga > 0
2 x
，
2
即 f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 ，所以此时 f x = loga x 在区间 0,1 上单调递减，
当 a > 1时，任取0 < x1 < x2 1，
f x1 - f x2 = loga x log x log x log x log
x2
1 - a 2 = - a 1 + a 2 = a x1
x
因为0 < x1 < x 1
2
2 ，则 >1 log
x2
，所以 a > 0x x ，1 1
即 f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 ，所以此时 f x = loga x 在区间 0,1 上单调递减，
综上所述， f x = loga x 在区间 0,1 上单调递减，
（2）当 x >1时， 0 < a < 1时，函数 f x = - loga x 在 1, + 上单调递增，
当 a > 1时，函数 f x = loga x在 1, + 上单调递增，
由（1） f x 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，
2 2
当 t =1时， 2 =1 f t = f

，
t +1 t 2 +1÷
，
è
2
当0 < t <1时， t 2 +1 1,2 ， 1,2 ，
t 2 +1
f t log t 1 1= a = - loga = logt a ，t
t -1 21 2
- 2 = > 0
1 2
2 ，即 > ，t t +1 t t +1 t t 2 +1
\ f t = f 1 2 ÷ > ft ÷，è è t 2 +1
2 1 1 1 2
当 t > 1时，0 < 2 <1，0 < <1， f t = f ÷，且 >t +1 t è t t t 2 ，+1
f t f 1 2 所以 = ÷ > f 2 ÷，è t è t +1
2
综上，当 t =1时， f t = f ÷，
è t 2 +1
t 0 t 1 f t > f 2 当 > 且 时， 2 ÷ .è t +1
2
11．（23-24 高三上·山东泰安·阶段练习）已知 f x = log1 x - ax + 5a ．
3
(1)若 a = 2，求 f x 的值域；
(2)若 f x 在 1, + 上单调递减，求 a 的取值范围．
【答案】(1) - , -2
1
(2) - , 2
ù
è 4 ú
【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；
ìa
1
（2）根据复合函数单调性结合条件可得 í 2 ，进而即得.
1- a + 5a > 0
2
【详解】（1）若 a = 2，则 f x = log1 x - 2x +10 ，
3
因为 x2 - 2x +10 = x -1 2 + 9 9 > 0 ，当且仅当 x =1时，等号成立，
可知 f x 的定义域为R ，
且 y = log1 x在定义域内单调递减，可得 f x log1 9 = -2 ，
3 3
所以 f x 的值域为 - , -2 .
（2）因为 y = log1 x在定义域内单调递减，
3
由题意可知： y = x2 - ax + 5a 在 1, + 上单调递增，且 x2 - ax + 5a > 0 在 1, + 上恒成立，
ìa
1 1
可得 í 2 ，解得- < a 2，
1- a + 5a > 0
4
1 ù
所以 a 的取值范围 - , 2ú .è 4
综合提升练
一、单选题
1．（2024 高三上·全国·竞赛） log2 4 =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】对数运算可解.
2
【详解】 log2 4 = log2 2 = 2 .
故选：D
ì 1 ü ì 1 ü
2．（2024·陕西西安·一模）设集合 A = íx <1x
，B = íy y = lg x
，则 A R B =（ ）

A．R B． 0, + C． D． - ,0 1, +
【答案】C
【分析】分别求出 A = - ,0 1,+ ，B = R ，然后求出 R B = ，从而可求解，
1
【详解】由题意得 <1，解得 x >1或 x < 0 ，所以 A = - ,0 1,+ ，
x
1
由 y = lg 的值域为R ，所以B = R ，即 R B = ，x
所以 A R B = ，故 C 正确.
故选：C.
3．（23-24 高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 f (x) = e|x| + log 2| x |，设
a = f (log 12 ),b = f (7
-0.1),c = f (log
3 1
25)，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
4
A．b < a < c B． c < a < b C． c < b < a D． a < c < b
【答案】A
【分析】先研究函数 f (x) = e|x| + log 2| x |的性质，利用奇偶性对函数值进行等价变形，最后利
用单调性进行比较大小.
【详解】解：已知 f (x) 的定义域为R ，且 f (-x) = e|- x| + log 2| -x |= f (x) ，
所以函数 f (x) 为偶函数，
当 x (0,+ )时，函数 f (x) = ex + log 2 x为增函数，
所以 a = f (log
1) = f (- log 3) = f (log 3)， c = f (log1 25) = f (- log4 25) = f (log4 25)2 2 2 .3 4
因为 y = log2 x 在定义域上为单调递增函数，
所以 log2 2 < log2 3 < log2 4 ，即1< log2 3 < 2，
因为 y = 7x 在R 上为增函数，
所以0 < 7-0.1 < 70 =1，
因为 y = log4 x 在定义域上为单调递增函数，
所以 log4 25 > log -0.14 16 = 2，所以 log4 25 > log2 3 > 7 > 0，
根据函数 f (x) = ex + log 2 x在 0, + 上为增函数，
所以 f (log4 25) > f (log 3) > f (7
-0.1
2 ) ，所以 c > a > b .
故选：A．
4．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知 f x 是定义在R 上周期为 2的奇函数，当 x 0,1
时， f x = lg 1 ，则 f x 在 1,2 上是（ ）.
1- x
A．增函数且 f x < 0 B．增函数且 f x > 0
C．减函数且 f x < 0 D．减函数且 f x > 0
【答案】A
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得 x -1,0 的解析式，再由其周期即可得到 x 1,2
的图像，即可判断.
【详解】因为 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f -x = - f x ，
当 x 0,1 时， f x = lg 1 ，设-x 0,1 ，则 x -1,0 ，
1- x
f x lg 1 1所以 - = = - f x ，则 f x = - lg = lg 1+ x ，
1+ x 1+ x
且0 <1+ x <1，所以 f x = lg 1+ x < 0，
又 f x 是周期为 2 的函数，
所以 f x 在 1,2 的图像与 -1,0 的图像相同，且为增函数，且 f x < 0 .
故选：A
ì -x2 + 2x, x 0

5．（23-24 高三上·山东济宁·期中）已知函数 f x = í 1 ，则函数 y = f é f x -1ù
ln -x + , x < 0 x
的零点个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令 f x -1 = t ，先求出使 f t = 0时的 t 的值，然后画出函数 f x 和函数 y = t +1，
其中 t 0,2, t3 的图象，观察其交点个数即可得答案.
【详解】由已知 f é f x -1 ù = 0，
令 f x -1 = t ，即 f t = 0，
ì-t 2 + 2t = 0
当 í 时，得 t1 = 0或 t2 = 2，
t 0
ì
ln -t 1+ = 0 1
当 í t 时，明显函数 g t = ln -t + 在 - ,0 上单调递减，且
t t < 0
g -1 = -1 0, g -2 = ln 2 1- = ln 2 - ln e 0， g -1 g -2 < 0，
2
ln t 1故存在 t3 -2, -1 ，使 - 3 + = 0t ，3
ì -x2 + 2x, x 0
画出 f x = í 1 的图象如下，
ln -x + , x < 0 x
再画出直线 y = t +1，其中 t 0,2, t3 ，
观察图象可得交点个数为5个，
即函数 y = f é f x -1 ù 的零点个数是5 .
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）下列结论中错误的个数为（ ）
lg2 1 1 x
① < （其中 elge log e 为自然对数的底数）；② é -8
2 ù 6 = -2；③ 2lg3 = 3lg2
e
；④ x-2lnx
x2
= e
3
（其中 x > 0）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由对数函数的单调性即可判断①，由指数的运算即可判断②，由对数的运算即可
判断③④
lg2 1
【详解】对于①：由于 = ln2, = ln3，又 y = lnx x > 0lge log e 是增函数，故①正确．3
1 1 1
对于②：由于 é
-8
2 ù 6
= 8
2 6 = 83 = 2，所以②错误．
对于③：对 2lg3 = 3lg2 两边同时取常用对数，得 lg2lg3 = lg3lg2 ，即 lg3 lg2 = lg2 lg3，显然正
确，故③正确．
x x x
对于④： ex-2lnx e e e= 2lnx = 2 = 2 ，故④正确．e elnx x
综上，错误结论的个数为 1.
故选：B．
7．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数 x，y，不等式 x 1+ lnx xlny - ay
恒成立，则实数 a的取值范围是 （ ）
0, 1ù é 1 , 1ù é 1 ,+ é 1 A． ú B．è e ê e3 e ú
C． ê 2 ÷ D． ê 3 ,+ e e ÷
【答案】C
x y x y ln t -1
【分析】对不等式分离参数得到 a ln - ，令 t = ，构造函数 g(t) =y x y ，x t
t 0, + ，则 a g(t)max ，通过导数研究 g(t)单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式 x 1+ lnx xlny - ay 恒成立，且 x > 0，y > 0，
分离参数得 ay x lny - lnx x x x y x- x ，所以 a lny - lnx - ，即 a ln -y y y x y ，
t y a lnt -1 t 0, + g(t) ln t -1设 = ，得 ， ，设 = ， t 0, + ，则 a g(t)
x t t max
.
g (t) 2 - ln t= 2 ，由 g (t) = 0得 t = e2 ，当 t (0,e
2 )时， g (t) > 0， g(t)单调递增；当 t (e2 ,+ )
t
时， g (t) < 0 ， g(t)单调递减；
所以 g(t) g(e2 )
2 -1 1
max = = 2 = .e e2
a 1所以 2 .e
故选：C.
8．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，则（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
【答案】D
【分析】分别求解m = 0, n = 0 时的解，比较解与 a的大小，代入计算可判断m, n与 0 的关系.
【详解】解：9a = 8，解得 a = log9 8，
令10t - 9 = 0，解得： t = lg9，
令8t - 7 = 0，解得： t = log8 7，
' 1
ln x +1
1
- ln x
令 f x = log x+1 x x >1 ，则 é ùf x ln x= ê = x x +1 ，
ê ln x +1
ú 2
ú ln x +1
1 1 1 1
因为 x >1，所以 > > 0， ln x +1 > ln x > 0 ，则有 ln x +1 - ln x > 0，
x x +1 x x +1
即 f x > 0恒成立，所以 f x 在 1,+ 上单调递增，
则有 log8 7 < log9 8 < lg9，
所以 n = 8a - 7 = 8log9 8 - 7 > 8log8 7 - 7 = 0，
m =10a - 9 =10log9 8 - 9 <10lg9 - 9 = 0，
所以 n > 0 > m .
故选：D
二、多选题
9．（2024 高三·全国· 2专题练习）已知定义在R 上的函数 f x = log2 x + ax + b ，
g x = x - a x + b ，其中 a，b 分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函
数 f x 的值域为 0, + ”为事件 A，“函数 g x 为偶函数”为事件 B，则下列结论正确的是
（ ）
A．P AB 1= B．P A 7+ B =
18 36
C．P B A 1= D．P B A 1=2 30
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出事件 A, B的所有可能结果，并求出概率，再结合事件的和与积、
条件概率逐项分析即可.
【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有6 6 = 36种情况，
函数 f (x) = log (x22 + ax + b) 的值域为 0, + ，即函数 y = x2 + ax + b 的最小值为 1，则
2
b a= +1，
4
b a
2
满足 = +1的 a,b 有 2,2 4,5 P A 2 1， ，共 2 种情况，则 = = ，
4 36 18
P A 17=1- P A = ，
18
由函数 g x = x - a x + b = x2 + b - a x - ab 为偶函数，得 a = b，
满足 a = b的 a,b 有 1,1 ， 2,2 ， 3,3 ， 4,4 ， 5,5 ， 6,6 ，共 6 种情况，
P B 6 1= = ，
36 6
对于 A，满足事件 A，B 同时发生的 a,b 有 2,2 ，P AB 1= ，A 错误；
36
对于 B，事件 A + B 包含的 a,b 有 1,1 ， 2,2 ， 3,3 ， 4,4 ， 5,5 ， 6,6 ， 4,5 ，共
7 种情况，
因此P A + B 7= ，B 正确；
36
1
P ABP B A 1对于 C， = = 36 = 1 ，C 正确；P A 2
18
对于 D，满足事件 A，B 同时发生的 a,b 有 1,1 ， 3,3 ， 4,4 ， 5,5 ， 6,6 ，共 5 种情
况，
5
5 P AB 5因此P AB = ，则P B A = =
36 = ，D 错误．
36 P A 17 34
18
故选：BC
10 23-24 · · f x = log 1+ 4x 1．（ 高三上 江苏淮安 期中）已知函数 4 - x ，则下列说法中正确的2
是（ ）
A．函数 f x 的图象关于 y 轴对称 B．函数 f x 的图象关于原点对称
é1
C．函数 f x 在 0, + 上是增函数 D．函数 f x 的值域为 ê , + 2 ÷
【答案】ACD
【分析】利用对数的运算性质将函数解析式化简为 f x = log x - x4 2 + 2 ，利用函数奇偶性
的定义可判断 AB 选项；利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性可判断 C 选项；利用
函数 f x 的单调性求出函数 f x 的值域，可判断 D 选项.
x
【详解】因为 f x = log 1+ 4x 1- x = log 1+ 4x - log 2x log 1+ 4= = log 2x + 2- x4 2 4 4 4 2x 4 ，
对于 A 选项，对任意的 x R ， 2x + 2- x > 0，则函数 f x 的定义域为R ，
f -x = log - x4 2 + 2x = f x ，所以，函数 f x 为偶函数，A 对 B 错；
对于 C 选项，任取x1、 x2 0, + 且 x1 > x2 ，即 x1 > x2 0，则 2x1 > 2x2 1，
x1 + x2 > 0，则 2x1 +x2 >1，
x1 x2
所以， 2x 2- x 2x 2- x 2x 2x 1 1 2 - 21 + 1 - 2 + 2 = 1 - 2 + x - = 2x1 - 2x2 -è 2 1 2x2 ÷ 2x1 +x2
2x1 - 2x2 2x1 +x2 -1
= x +x > 0，即 2
x1 + 2- x1 > 2x2 + 2- x2 > 0，
2 1 2
f x = log 2x - x x - x所以， 1 + 2 1 > log 2 2 + 2 21 4 4 = f x2 ，
故函数 f x 在 0, + 上是增函数，C 对；
对于 D 选项，因为函数 f x 为R 上的偶函数，且在 0, + 上为增函数，
故函数 f x 在 - ,0 1上为减函数，所以， f x f 0 = log4 2 = ，2
故函数 f x é1的值域为 ê ,+

÷，D 对.
2
故选：ACD.
11．（2023·全国·模拟预测）已知 loga c > logb c（ a,b > 0且 a,b,c 1），则下列说法正确的是
（ ）
A．当 c >1时， a < b
B．当0 < c <1时， a < b
C．当 a < b 时， (a -1)(b -1)(c -1) > 0
D．当1< b < a时， 2c - 2 < 0
【答案】CD
【分析】根据对数函数的图象与性质，画出函数的图象，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由满足 loga c > logb c的情况有以下六种：
ì0 < c <1
（1）如图 1 所示，可得 í1 ， < b < a
ìc >1
（2）如图 2 所示，可得 í1 ， < a < b
ì0 < c <1
（3）如图 3 所示，可得 í
0 < a <1 b
，
<
ìc >1
（4）如图 4 所示，可得 í
0 < b <1 a
，
<
ì0 < c <1
（5）如图 5 所示，可得 í
0 b
，
< < a <1
ìc >1
（6）如图 6 所示，可得 í
0
，
< a < b <1
对于 A 中，当 c >1时，第（4）种情况不满足 a < b ，所以 A 错误；
对于 B 中，当0 < c <1时，第（1）种和第（5）种情况不满足 a < b ，所以 B 错误；
对于 C 中，当 a < b 时，第（2）种、第（3）种和第（6）种情况均有 (a -1)(b -1)(c -1) > 0 ，
所以 C 正确；
对于 D 中，当1< b < a时，如第（1）种情况，则0 < c <1，所以 2c - 2 < 0 成立，所以 D 正确.
故选：CD．
三、填空题
12．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）由函数的观点，不等式 log3x < 3- 3
x
的解集是 .
【答案】 0,1
【分析】由不等式 log3x < 3- 3
x x
可得3 + log3x - 3 < 0，构建函数 f x = 3x + log3x - 3，利用
函数单调性解不等式.
【详解】由不等式 log3x < 3- 3
x x
，可得3 + log3x - 3 < 0，
令 f x = 3x + log3x - 3，可知 f x 的定义域为 0, + ，
y = 3x因为 ,y = log3x在定义域 0, + 上单调递增，
可知 f x 在定义域 0, + 上单调递增，且 f 1 = 0，
对于不等式即为 f x < f 1 ，解得0 < x <1，
x
所以不等式 log3x < 3- 3 的解集是 0,1 .
故答案为： 0,1 .
13．（2024 高三· x全国·专题练习）已知 x1, x2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的两个根，则
x1 + x2 =
【答案】10
【分析】根据指数和对数函数的性质，结合指数函数和对数函数的图象，数形结合，即可求
得结果.
x
【详解】由题可知， x1, x2 也是 y = 2 , y = log2 x与 y = -x +10图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：
数形结合可知， x1, x2 为 A, B两点对应的横坐标；
x
根据指数函数和对数函数的性质可知， y = 2 , y = log x关于 y = x2 对称；
又 y = -x +10与 y = x 垂直，故 y = -x +10与 y = x 的交点 H 为线段 AB 的中点，
ì y = x ìx = 5
联立 í ，可得 í ，即H 5,5 x + x，故 1 2 = 5，解得 x1 + x2 =10 .
y = -x +10 y = 5 2
故答案为：10 .
14．（2024·天津·一模）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 f x = f 5x ，当 x 1,5 时，
f x = ln x .若在区间 1,25 内，函数 g x = f x - ax 有三个不同零点，则实数 a的取值范围
为 .
ln 5 1
【答案】 ,
è 25 5e ÷
ì ln x,1 x < 5

【分析】根据题意得到 f x = í x 画出函数图像，计算直线 y = ax 与函数相切和
ln ,5 x < 25 5
过点 25, ln 5 时的斜率，根据图像得到答案.
【详解】函数 f x 满足 f x = f 5x ，当 x 1,5 , f x = lnx ，
所以当 x 5,25 , x 1,5 , f x f x= ÷ =ln
x
，
5 è 5 5
ì ln x,1 x < 5
f x = 故 í x ， g x = f x - ax = 0，\ f x = ax ，
ln ,5 x < 25 5
画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数 g(x) = f (x) - ax有三个不同零点，
则直线 y = ax 应在图中的两条虚线之间，
上方的虚线为直线与 f x = ln x 5 x < 25 相切时，
5
下方的虚线是直线 y = ax 经过点 25, ln 5 时，
当直线 y = ax 与 f x x= ln 5 x < 25 相切时，
5
f x 1= ，设切点为P x0 , ln
x0
÷，x è 5
ln x01 - 0 1则斜率 a 5 ln x= = ，\ 0 =1，\ x = 5e ，此时 a = ，
x x - 0 5 0 5e0 0
当直线 y = ax 经过点 25, ln 5 a k ln 5时， = = ，
25
ln 5
故答案为： ,
1
.
è 25 5e ÷
ì ln x,1 x < 5
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于先求出 f x = í x ，再画出函数图像，计
ln ,5 x < 25 5
算直线 y = ax 与函数相切和过点 25, ln 5 时的斜率，根据图象得到答案.
四、解答题
15 2．（23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数 f x = lg ax - 2ax + 2 的定义域为
R .
(1)求实数 a的取值范围；
(2)若 a > 0，函数 f x 在 0,3 上的最大值与最小值的和为 lg5，求实数 a的值.
【答案】(1) 0,2 ；
1
(2)1或 .
3
【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.
（2）利用函数单调性求出最大最小值，列式求解即可.
【详解】（1）由 f x 的定义域为R ，得 ax2 - 2ax + 2 > 0对任意的 x R 恒成立，
当 a = 0时， ax2 - 2ax + 2 = 2 > 0恒成立，则 a = 0；
ìa > 0
当 a 0时， í 0 < a < 2 0 < a < 2
Δ = 4a
2 -8a < 0，解得 ，则 ，
所以实数 a的取值范围是0 a < 2 ，即 a 0,2 .
（2 2）令u = ax - 2ax + 2 a > 0 ，显然函数u = ax2 - 2ax + 2 在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单
调递增，
而函数 y = lgu 在 (0, + )上单调递增，因此函数 f x 在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，
于是 f x = f 1 = lg 2 - a 0 < a < 2 ，而 f 3 = lg 3a + 2 > lg 2 = fmin 0 ，则
f x = f 3max = lg 3a + 2 ，
依题意， lg 2 - a + lg 3a + 2 = lg5，即 (2 - a)(3a + 2) = 5 a 1，解得 a =1或 = ，
3
1
所以实数 a的值是1或 .
3
1- x 1
16．（2023·陕西·模拟预测）已知函数 f x = loga , f = -1．1+ x ÷è 2
(1)求 a及函数 f x 的定义域；
(2)求函数 g x = f x - loga 3 - 3x 的零点．
【答案】(1) a = 3，定义域为 (-1,1)
2
(2) x = -
3
1
【分析】（1）利用 f ÷的值求得 a，解分式不等式求得 f x 的定义域.
è 2
（2）通过解对数方程求得正确答案.
1 1 1 -
【详解】（1）依题意 f = log 2 ÷ a 1 = log
1
a = - loga 3 = -1,a = 3，
è 2 1+ 3
2
所以 f x log 1- x 1- x= 3 ，由 > 0得 1- x 1+ x > 0，1+ x 1+ x
解得-1 < x <1，所以 f x 的定义域为 -1,1 .
（2） g x = f x - loga é3 1- x ù = log
1- x
3 - loga é3 1- x ù ，1+ x
ì-1 < x <1
则 í -1 < x <1 g x -1,1
1- x
，所以 的定义域为 ，
> 0
令 g x = 0得 log 1- x3 = loga é3 1- x ù，1+ x
ì1- x
= 3 1- x 1 1 2
所以 í1+ x ，1 - x > 0 ，则 = 3,1+ x = , x = - .
-1 < x <1
1+ x 3 3
17．（23-24 高三上·湖北·期中）记M n 是各项均为正数的数列 an 的前 n项积，已知 a1 =1，
2anM n = M n+1 - M n .
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明： log 2 M n
2
n + n - 2 .
n
【答案】(1) an = 2 -1
(2)证明见解析
【分析】（1）由M n 与 an 关系 2anM n = M n+1 - M n，转化为递推关系 2an = an+1 -1，再构造数
列求解即可；
（2）由0 < 2i -1 < 2i ，放缩后累乘可证.
【详解】（1）因为数列 an 的各项均为正数，故M n > 0，
M
由 2anM n = M n+1 - M
n+1
n可得， 2an = -1M ，n
即 2an = an+1 -1 .
所以有 2 an +1 = an+1 +1，
故 an +1 是公比为 2，首项为 a1 +1 = 2 的等比数列，
所以 an +1 = a1 +1 2n-1 n， an = 2 -1.
2
1 n n+ -1
（2）方法 1：由（1）可知，M n = 2 -1 22 -1 × × × 2n -1 21 22 ××× 2n = 2 2 2 .2
n2 n
+ -1 2
所以 log 2 M n log 2
2 2 n n
2 = + -1÷ log 2 2 = n
2 + n - 2 .
è 2 2
方法 2：由（1）可知，
n n
log M = log 2i -1 = log 2i2 n 2 2 -1
i=1 i=2
n n
log 2i 2 i 2 (2 + n)(n -1)< 2 = = × = n2 + n - 2 .
i=2 i=2 2
当 n =1时， log 22 M n = n + n - 2，
所以 log 2 M n n
2 + n - 2 .
2
18．（2023 高三·全国·专题练习）设函数 f x = ln x + 2 - 的定义域为 D，若命题 p：
a - x
“ $x D ， f x 0 ”为假命题，则 a 的取值范围是
【答案】 - , -2
【分析】根据特称命题为假命题转化为全称命题是真命题，进而转化为恒成立问题，利用恒
成立问题即可求解.
【详解】命题 p：“ $x D ， f x 0 ”为假命题，则“ "x D， f x > 0 ”为真命题.
则函数 g x = ln x + 2 2的图象要恒在 h x = 图象的上方（两个函数需都有意义）.
a - x
h x 2 2= 的图象可看做 y = - 平移得到，由于 g x = ln x + 2 的图象以 x = -2为渐近线，
a - x x
故作图可知，只有当 a -2时，才能满足要求.
所以 a 的取值范围是 - , -2 .
故答案为： - , -2 .
19．（23-24 高三上·安徽淮南·阶段练习）（1）已知函数 f x = x2 - 2x + 3, g x = log2x + m，
若对"x1 2,4 ,$x2 16,32 ，使得 f x1 g x2 ，求实数m 的取值范围；
3 1
（2）若命题 p ：函数 f x = loga x - ax （ a > 0且a 1）在区间 - ,0÷内单调递增是真
è 2
命题，求 a的取值范围.
【答案】（1） - , -1 é3 ,1 （2）
ê4 ÷
【分析】（1）由题意只需 é f x1 ù ég x2 ùmin min ，由函数的单调性求出最小值即可.
（2）由题意首先由真数大于 0 求出 a的取值范围，然后对底数 a进行分类讨论结合复合函
数单调性即可求解.
【详解】（1）因为"x1 2,4 ,$x2 16,32 ，使得 f x1 g x2 ，
所以只需 é f x1 ù ég x2 ùmin min ，
因为 f x = x2 - 2x + 3 = x -1 2 + 2 在 2,4 上单调递增，
所以 f x = x -1 2 + 2在 2,4 上的最小值 é f x1 ù = f 2 = 2 -1
2
+ 2 = 3，min
因为 g x = log2x + m在 16,32 上单调递增，
所以 g x = log2x + m在 16,32 上的最小值 é g x2 ù = g 16 = log2 16 + m = 4 + mmin ，
所以m + 4 3，解得m -1 .
所以实数m 的取值范围为 - , -1 .
1
（2）由题意真数 x3 - ax > 0 在 - ,02 ÷
上恒成立，
è
2 1- ,0 1即 a > x 在 ÷上恒成立，所以 a ，且注意到a 1，
è 2 4
3 1
由题意函数 f x = loga x - ax （ a > 0且a 1）在区间 - ,0÷内单调递增，
è 2
不妨设 y = g t = loga t = f x t x = x3， - ax，
接下来分以下两种情形来求 a的取值范围：
1
情形一：当 a <1时，函数 y = g t = loga t 关于 t 单调递减，4
t x = x3 - ax 1 由复合函数单调性可知，只需 在区间 - ,0÷内单调递减，
è 2
t x = 3x2 1- a 0 - ,0 a 3 1
2 3
即 在区间 ÷上恒成立，所以2 -

è ÷
= ，
è 2 4
1
又 a <1
3
，所以此时有 a <1.
4 4
情形二：当 a > 1时，函数 y = g t = loga t 关于 t 单调递增，
3 1
由复合函数单调性可知，只需 t x = x - ax在区间 - ,0÷内单调递增，
è 2
即 t x = 3x2 1- a 0 在区间 - ,0

÷上恒成立，所以2 a 3 0
2 = 0，
è
又a >1，所以此时 a不存在.
é3
综上所述：符合题意的 a的取值范围为 ê ,1 . 4 ÷
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知实数 a，b a满足2 + a = 2,b = log16 3，则（ ）
A． a > b B． a < b C． a = b D．a，b 的大小无法判
断
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数 f (x) = 2x + x ，利用单调性并借助媒介数比较大小.
1 1
【详解】函数 f (x) = 2x + x 在R 上单调递增，且 f ( ) = 2 + < 2，则由 2a + a = 2，得
2 2
a 1> ，
2
又b = log16 3 < log 4
1
16 = ，所以 a > b .2
故选：A
2．（2024·湖南岳阳·二模）设 a = log23，b = log35， c = log58，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C．b > c > a D． c > a > b
【答案】A
3 3 3
【分析】根据指数函数性质得出 a > ，b < ， c < ，然后利用作差法比较b 与 c的大小关
2 2 2
系即可.
2 3 3 3
【详解】因为32 > 23 ，所以 log2 3 > log2 2 ，即 2log2 3 > 3，所以 log2 3 > ，即 a > ；2 2
3 3
因为52 < 33 ，所以 l og3 5
2 < l og 33 3 ，即2 l og3 5 < 3，所以 log3 5 < ，即b < ；2 2
因为82 < 53
3 3
，所以 l og5 8
2 < l og 535 ，即2 l og5 8 < 3，所以 log5 8 < ，即 c < ；2 2
1 - l og 3 × l og 8
又因为b - c
1
= l og3 5 - l og5 8 = - l og 8 =
5 5
l og5 3
5 l og5 3
，
且2 l og5 3 × l og5 8 < l og5 3 + l og5 8 = l og5 24 < l og5 25 = 2，
所以 l og5 3 × l og5 8 < 1，所以b - c > 0，所以b > c；
综上所述， a > b > c .
故选：A.
3. （ 2024· 陕 西 西 安 · 一 模 ） 已 知 函 数 f x = ex + e- x x2 ， 若 满 足

f log3m + f
2
log1m÷ - 2e - < 0 ，则实数m 的取值范围为（ ）
è 3 e
0, 1 1 A． ÷ B． ,3÷ C． 0,3 D． 3, +
è 3 è 3
【答案】B
【分析】判断函数 f x 的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为
f log3m < f 1 ，再利用奇偶性和单调性求解即可.
【详解】 f x 的定义域为R ， f -x = e- x + ex -x 2 = e- x + ex x2 = f x ，
f x 为偶函数，
f x = ex - e- x x2 + 2x ex + e- x ， f 0 = 0，
当 x > 0时， ex >1，0 0， f x > 0，
f x 在 0, + 上单调递增，

f log m f log m 2e 23 + 1 ÷ - - < 0 ，
è 3 e
即 f log3m + f -log m 2e
2
3 < + = 2 f (1)，e
即 2 f log3m < 2 f 1 ，也就是 f log3m < f 1 ，
f x = ex + e- x x2 在 0, + 单调递增且为偶函数，
f log3m < f 1 f log3m < f 1 ，
log3m <1，即-11
，解得 < m < 3 .
3
1
实数m 的取值范围为 ,3

÷ .
è 3
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出
f x 为偶函数和在 0, + 上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为
f log3m < f 1 ，再由单调性求解.
4．（23-24 高三下·江西·开学考试）142857 被称为世界上最神秘的数字，
142857 1 =142857,142857 2 = 285714,142857 3 = 428571,142857 4 = 571428,
142857 5 = 714285,142857 6 = 857142，所得结果是这些数字反复出现，若
a e0.142857 ,b ln1.285714= = +1,c = 1.285714 ，则（
2 ）
A． a > b > c B． c > b > a
C．b > a > c D． a > c > b
【答案】D
【分析】设 f x = ex - x -1(x > 0)，利用导数研究函数 f (x) 的单调性可得 ex > x +1(x > 0)，
结合 x +1 > 1+ 2x (x > 0) 可得 ex > 1+ 2x (x > 0) ，则 a > c ；由 ex > x +1(x > 0)得
x > lnx +1(x >1)，进而c > b ，即可求解.
【详解】由题意知， a = e0.142857 ,c = 1.285714 = 1+ 2 0.142857 ，
设 f x = ex - x -1(x > 0)， f (x) = ex -1，
当 x 0, + 时， f x > 0, f x 单调递增，
x
所以 f x = e - x -1 > f 0 = 0，所以 ex > x +1(x > 0) .
因为 x2 + 2x +1 >1+ 2x(x > 0) ，所以 x +1 > 1+ 2x (x > 0) ，
得 ex > 1+ 2x (x > 0) ，所以 e0.142857 > 1+ 2 0.142857 ，即 a > c ；
由 ex > x +1(x > 0)，得 x > ln(x +1)(x > 0)，所以 x -1 > lnx(x >1)，即 x > lnx +1(x >1)，
所以 1.285714 > ln 1.285714 1
ln1.285714
+ = +1，即c > b .
2
综上 a > c > b .
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 h x ；
(3)利用导数研究 h x 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
π
常用的不等式： sin x < x < tan x 0 < x < 2 ÷
， ln(x +1) < x(x > 0) ，
è
ln x x -1 x2 - x x > 0 ， ex x x+1， e ex > x x > 0 .
5 23-24 · · f (x) = lg x2 - 2x + 2023x-1 + 20231-x．（ 高三上 山东日照 阶段练习）已知函数 ，则不
等式 f 3x < f x + 3 成立的 x 的取值范围是（ ）
1 , 3 1 ,0 U 2 , 3 A． - ÷ B． - ÷ ÷ C． -1,0 U
3 2 3
4 2 4 3 2
0, ÷ D． ,
è è è è 2 ÷ è 3 2
【答案】B
【分析】先判断的对称性，然后利用导数讨论其单调性，结合对称性即可求解，注意最后的
范围要考虑定义域..
【详解】由 x2 - 2x > 0得的定义域为 (- ，0) U (2，+ ) ，
因为 f 1- x = lg é 1- x
2 - 2 1- x ù + 2023
1-x -1 + 20231- 1-x = lg x2 -1 + 2023- x + 2023x
2 1+x -1 1- 1+x 2 x - x
， f 1+x = lg é 1+x - 2 1+x ù + 2023 + 2023 = lg x -1 + 2023 + 2023 ， 所 以
f 1- x =f 1+x ，所以 f (x) 的图象关于 x =1对称.
记 g x = f x +1 = lg x2 -1 + 2023x + 2023- x ，
当 x > 0 2时，由复合函数单调性易知 y = lg x -1 单调递增，
记 h x = 2023x + 2023- x，则 h x = 2023x - 2023- x ln 2023，
记m x = 2023x - 2023- x ，则m x = 2023x + 2023- x ln 2023 > 0，
所以m x 在 0, + 上单调递增，所以m(x) > m(0) = 0，所以 h (x) > 0，所以 h x 在 0, +
上单调递增，所以 g x 在 0, + 上单调递增，
综上， f (x) 在 1, + 上单调递增，图象关于 x =1对称，
由此可知，要使 f (3x) < f (x + 3)，必有 | 3x -1|<| x + 3 -1|，两边平方整理得8x2 -10x - 3 < 0，
1 3
解得- < x < ，
4 2
又3x (- ,0) (2, + ),x + 3 (- ,0) (2, + )
2
，得 x < -3或 x > 或-1 < x < 0，
3
1 2
所以 f (3x) < f (x + 3)的解集为 - ,0÷ ,
3
÷ .
è 4 è 3 2
故选：B.
二、多选题
6．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）若实数 a，b 满足 log3a＜log3b，则下列各式一定正
确的是（　　）
1
A．3a＜3b B．（ ）a－b＞1
3
C．ln （b－a）＞0 D．loga3＜logb3
【答案】AB
【详解】解析：因为函数 y＝log3x 为（0，＋∞）上的增函数，由 log3a＜log3b，可得 b＞a＞
0.由于函数 y＝3x 为 R 上的增函数，则 3a＜3b，故 A 正确；函数 y＝（ ）x 为 R 上的减函
数，且 a－b＜0，则（ ）a－b＞（ ）0＝1，故 B 正确；由对数的性质可得 b－a＞0，但 b－
a 与 1 的大小关系不确定，故 ln （b－a）与 0 的大小关系不确定，故 C 错误；取 a＝3，b＝
9，则有 log33＝1＞ ＝log93，即 loga3＞logb3，故 D 错误．
a -1
7．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a > 0，a 1，b > 0，且 ln b = ，则
a
下列结论正确的是（ ）
A．当 0 < a < 1时，b < a B．当 a > 1时，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
【答案】ABC
【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合对数函数的性质进行求解判断即可.
a -1 1
【详解】因为 ln b - ln a = - ln a = a - - 2ln a ，
a a
f x x 1
2
令函数 = - - 2ln x 1 2 x -1 ，则 ，
x f x =1+ 2 - = 0x x x2
则函数 f x 在 0, + 上单调递增，且 f 1 = 0，
可知当 x 0,1 时， f x < 0 ；当 x 1,+ 时， f x > 0；
且 f a 1= ln b - ln a = a - - 2ln a ，则有：
a
当0 < a < 1时， f a < 0，即 ln b - ln a < 0，可得 0 < b < a <1，故 A 正确；
当 a >1时， f a > 0，即 ln b - ln a > 0，可得b > a >1，故 B 正确；
又因为当 0 < b < a <1时， y =loga x在定义域内单调递减，可得 loga b > loga a =1；
当b > a >1时， y =loga x在定义域内单调递增，可得 loga b > loga a =1，
所以 C 正确，D 错误．
故选：ABC.
1
【点睛】关键点睛：构造函数 f x = x - - 2ln x，利用导数判断单调性，结合单调性进行
x
求解运算是解题的关键.
三、填空题
b
8．（23-24 a b高三上·湖南·阶段练习）已知正实数 a,b满足：3 = 27 + log3 a ，则
a与3b大小关
系为 .
【答案】 a < 3b
【分析】由题意可得3a + log3a < 3
3b + log33b ，令 f x = 3x + log3 x(x > 0)，则有 f a < f 3b ，根
据函数的单调性即可得答案.
a b b
【详解】解：因为3 = 27 + log a 3b 3b3 ，所以3 + log3a = 3 + log3 3b - 1 < 3 + log3 3ba ，
设 f x = 3x + log3 x(x > 0)，又因为 y = 3x 与 y = log3x在 0, + 上单调递增，
所以 f x = 3x + log3x 在 0, + 上单调递增，
因为 f a < f 3b ，
所以 a < 3b .
故答案为： a < 3b
n
9．（2022·全国·模拟预测）已知数列 an 的通项公式为 an = ，若 x 表示不超过 x 的最大整2
数，如[0.5] = 0，[lg 499] = 2，则数列 lg an 的前 2022 项的和为 ．
【答案】3848
【分析】由题意 lg an ì n ü= é ùíêlg ú ，由 k lg an < k +1, k Z,k -1 解不等式，对 n分类讨 2
论，结合分组求和即可得解.
Q lg a ìé n ùü【详解】 n = í
ê
lg ú ， 2
\数列 lg an 的 2022 项的和为 lg a1 + lg a2 + lg a3 + L + lg a2022 ，
当-1 lg a1 < 0时， n =1；当0 lg an <1时， n = 2,3,4,L,19；
当1 lg an < 2时， n = 20,21,22,L,199；当 2≤lgan < 3时， n = 200,201,22,L,1999；当
lg an = 3时， n = 2000,2001,2002,2003,L, 2022，
\数列 lg an 的前 2022 项的和为 lg a1 + lg a2 + lg a3 +L+ lg a2022
= -1 1+18 0 +1 180 + 2 1800 + 3 23 = 3848．
故答案为：3848.
【点睛】关键点点睛：关键是由 x 的定义由 k lg an < k +1, k Z,k -1 分类讨论即可顺利
得解.
四、解答题
ax +1
10．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）已知函数 f x = log2 是奇函数.1- x
(1)求实数 a的值；
1+ x
(2)当b > 0，b R ，解关于 x 的不等式 f x > log2 .b
【答案】(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义列方程，解方程得到 a的值.
（2）利用函数的单调性列不等式，分类讨论解不等式，得到 x 取值范围即可.
ax +1
【详解】（1）因为 f x = log2 是奇函数，1- x
2 2
所以 f -x +f x = log -ax +1 log ax +1 log 1- a x2 + =1+ x 2 1- x 2 1- x2 = 0，
1- a2x2
即 2 =1，解得 a = ±1，1- x
又 a = -1时 f x = log 1- x2 ，其定义域为 x x 1 ，此时 f x 为非奇非偶函数，1- x
所以 a =1 .
（2）由（1）得 f x 1+ x= log2 ，所以 f x > log
1+ x 1+ x 1+ x
，即 log > log ，
1- x 2 b 2 1- x 2 b
ì1+ x
> 0 ì
1- x -1 < x <1
1+ x
根据对数函数的定义域和单调性可得 í > 0 ，由于b > 0，所以 í1+ x > 0 ，
b
1+ x 1+ x>
1 1
>
1- x b
1- x b
ì-1 < x <1 ì-1 < x <1
所以 í1 x b ，即 íx ， - < >1- b
因此，当1- b -1，即b 2时，不等式的解为-1 < x <1，
当-1 <1- b <1，即0 < b < 2时，不等式的解为1- b < x <1，
综上所述，当b 2时，不等式解集为 x -1< x <1 ，当0 < b < 2时，不等式解集为
x 1- b < x <1 .
11 x．（2023·上海·模拟预测）已知 f x = e ln 1+ x .记 g x = mf ax ，其中常数 m， a > 0 .
(1)证明：对任意 m， a > 0，曲线 y = g x 过定点；
(2)证明：对任意 s， t > 0， f s + t > f s + f t ；
(3)若对一切 x 1和一切使得 g 1 =1的函数 y = g x ， y lx 恒成立，求实数l 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) - ,1 .
【分析】（1）常数 m， a > 0，当 x = 0时， g 0 = mf 0 = 0，故曲线 y = g x 过原点.
（2） f 0 = 0，由 f s + t > f s + f t 等价于 f s + t - f s > f t - f 0 ，用作差法构
造函数 h x = f x + t - f x ，对函数 h x 进行求导，判断函数 h x 的单调性，得
h x > h 0 = 0，从而可得证.
2u
（3）用作差法证明对数平均不等式，函数 y = ln(1+ u) - ，通过求导和基本不等式可得
2 + u
出 y 0，得出结论；
【详解】（1） g 0 = mf 0 = 0，故曲线 y = g x 过原点.
（2）当 x = 0时， f 0 = 0，故 f s + t > f s + f t 等价于 f s + t - f s > f t - f 0 .
考虑 h x = f x + t 1- f x .则 h (x) = ex+t ln(1+ x + t) + ÷ - ex

ln(1+ x)
1
+ .
è 1+ x + t è 1+ x ÷
令 y=et - 1+ t , y = et -1,
当 t > 0时， et >1, t 0所以 y = et > 0, y=e - 1+ t 在 0, + 单调递增， y > y = e - 0 -1 = 0t=0 ，
所以 y=et - 1+ t > 0 ，即 et >1+ t ，
et ln(1 x t) 1 (1 t) ln(1 x t) 1+ t ln(1 x) 1+ t所以 + + + ÷ + + + + > + + ，
è 1+ x + t 1+ x + t 1+ x + t
1+ t 1
而 x 0 ，且 t > 0时， > ，
1+ x + t 1+ x
故 h x > 0，函数 y = h x 在 0, + 上严格增.
因此当 x > 0时， h x > h 0 = 0 .特别地， f s + t - f s > f t - f 0 .证毕.
2u
（3）首先证明对数平均不等式：当 n 0 时， ln(1+ u) .
2 + u
2
考虑函数 y = ln(1+ u)
2u 1 4 u
- ，则 y = - = 0，等号成立当且仅当
2 + u 1+ u (2 + u)2 (1+ u)(2 + u)2
u = 0 .
2u
故当u 0 时， ln(1+ u) - 0 .
2 + u
因为 g 1 =1，所以由 g 1 l ×1得l 1 .
下证当l 1时， y lx 对任意 x 1和一切使得 g 1 =1的函数 y = g x 成立.
1
由题意，1 = g(1) = mea ln(1+ a)，故m = ea ln(1+ a) .
令 k = lea ln(1+ a) ，考虑函数 y = eax ln(1+ ax) - kx .
则 y aeax
ln(1 ax) 1= + + - k aeax ln(1+ ax) 1+ - ea ÷ ÷ ln(1+ a) .
è 1+ ax è 1+ ax
当 a > 0且 x 1时， ax > 0 .由对数平均不等式， ln(1+ ax)
2ax ax
.
2 + ax 1+ ax
y aeax ln(1 ax) 1 a故 + + - e ln(1+ a) ae
a - ea ln(1+ a) > 0，
è 1+ ax ÷
从而函数 y = eax ln(1+ ax) - kx 在 1, + 上严格增，得 y 0，即证.
综上，所求范围为 - ,1 .
【点睛】关键点睛：用作差法构造函数和对数平均不等式是解题的关键，通过求出构造函数
的单调性讨论及最值，从而得出结论，考查分类讨论思想，整体思想，属于较难题.

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