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考点 16 导数的概念及其意义、导数的运算（3 种核心题型+
基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够
用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导
数
【知识点】
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数记作 f′(x0)或 y′| x＝x .0
Δy f x0＋Δx －f x0
f′(x0)＝ lim
→ ＝ lim → .
Δx 0 Δx Δx 0 Δx
(2)函数 y＝f(x)的导函数(简称导数)
f x＋Δx －f x f′(x)＝y′＝ lim→ .
Δx 0 Δx
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且 α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
1
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝
xln a
1
f(x)＝ln x f′(x)＝
x
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f x f′ x g x －f x g′ x[g x ]

′＝ (g(x)≠0)；
[g x ]2
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数与函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y
对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
1 －f′ x
2.[ ]′＝ (f(x)≠0)f x [f x ]2
【核心题型】
题型一　导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则
求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
2 + Dx 3 - 23
【例题 1】（2024·重庆·模拟预测） lim =（ ）
Dx 0 Dx
A．72 B．12 C．8 D．4
【答案】B
3
【分析】令 f x = x ，根据导数的概念，可求解.
【详解】令 f x = x3 ，根据导数的概念，
2 + Dx 3 -8 2 + Dx 3 - 23 f 2 + Dx - f 2
lim lim lim = = = f 2 ，
Dx 0 Dx Dx 0 Dx Dx 0 Dx
f x = 3x2，所以 f 2 =12 .
故选：B．
【变式 1】（2024·广西·二模）记函数 y = f x 的导函数为 y ， y 的导函数为 y ，则曲线
y
y = f x K =的曲率 3 ．若函数为 y = lnx2 ，则其曲率的最大值为（ ）é1+ y ù 2
A 2 B 2 2 3 2 3． ． C． D．
3 2 9 3
【答案】C
【分析】根据定义求解 y 和 y ，由曲率的定义求出曲率K ，利用导数判断单调性求出最大
值.
【详解】函数 y = ln x 0, + y 1 1的定义域为 ， = ， y = -
x x2
，
1
x2 x
所以曲线 y = ln x K = =的曲率 3 3 ，
é1 1+ ù
2 x2 +1
ê x2 ú
3 1
1+ x2 2 3- x × × 1+ x2 2 ×2x 2
\K 1- 2x= 2 3 = 5 ， x > 0， 1+ x2 1+ x2 2
2 2
当0 < x < 时，K > 0，当 x > 时，K < 0，
2 2

0, 2
2
K 在 ÷÷ 上单调递增，在 ,+ ÷÷ 上单调递减，
è 2 è 2
2 2 3
所以当 x = 时，曲率K 取得最大值 .
2 9
故选：C.
【变式 2】（多选）（2024·全国·模拟预测）记函数 fn x 的导函数为 fn+1 x ，已知
f x = x2ex 2 x1 ，若数列 an ， bn 满足 fn x = x + an x + bn e ，则（ ）
A． an 为等差数列 B． bn 为等比数列
50
1 48C． =b 49 D．8bn 2
an
n=3 n
【答案】ACD
【分析】利用给定定义结合等差数列定义判断 A，排除法判断 B，利用累加法求出bn ，再用
裂项相消法判断 C，利用数列的性质判断单调性判断 D 即可.
【详解】若 f1 x = x2ex f x = (x2 x，则 2 e ) = (x2 + 2x)ex ，
f 2 x 2 xn x = x + an x + bn e ， fn+1 x = x + an+1x + bn+1 e ，
故 an+1 - an = 2 ，易知 a1 = 0,b1 = 0,a2 = 2,b2 = 0，经检验 a2 - a1 = 2 ，
故 an 是以 0 为首项， 2为公差的等差数列，故 A 正确，
而 b1 = 0，又因为等比数列中不能有 0 ，则 bn 不可能为等比数列，故 B 错误，
易得 an = 2 n -1 = 2n - 2，bn+1 = an + bn ，故bn+1 - bn = 2n - 2，
b (n -1)(2n - 2)则 n - b1 = 0 + + 2n - 4 = ，则bn = (n -1)(n - 2)，2
50
1 1 1 1 1 1 1 48故 = + + = - + + - =
n=3 bn 1 2 48 49 2 48 49 49
，故 C 正确，
a n-1
令T nn = 2 -8bn = 4 -8(n -1)(n - 2)，且T1 > 0,T2 > 0,T3 = 0，
当n 4时，令Cn = Tn+1 -Tn = 3 4
n-1 -16(n -1) n-1，Cn+1 - Cn = 9 4 -16 > 9 4
3 -16 > 0 ，
故Cn > 9 4
3 -16 > 0，故Tn+1 -Tn > 0，即 Tn 此时为单调递增数列，
故Tn > T4 > 0
a
，即Tn 0 恒成立，故8b 2 nn 成立，故 D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构造新数列，利用数列的性质判断单调性，然后求出
端点值，得到所要证明的不等关系即可
【变式 3】（2023·全国· 2模拟预测）已知函数 f x = x × f 0 + x × f 1 - 2，则 f 2 =（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
ì f 1 = f 0 + f 1 - 2
【分析】求导，根据 í 即可求解 f x = 2x2 + 2x - 2，代入即可求值.
f 0 = f 1
ì f 1 = f 0 + f 1 - 2
【详解】由题意知 f x = 2x × f 0 + f 1 ,所以 í
f 0
，解得
= f 1
f 0 = f 1 = 2，则 f x = 2x2 + 2x - 2，故 f 2 =10．
故选：B
题型二　导数的几何意义
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①
切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点 P 处的切线”与“过点 P 的切线”．
命题点 1　求切线方程
【例题 2】（多选）（2024· 3河南郑州·模拟预测）过点 P a,b 作直线 l 与函数 f x = -2x 的图
象相切，则（ ）
A．若 P 与原点重合，则 l 方程为 y = 0
B．若 l 与直线 x - 6y = 0垂直，则6a + b = 4
C．若点 P 在 f x 的图象上，则符合条件的 l 只有 1 条
a3D 1．若符合条件的 l 有 3 条，则 < -
b 2
【答案】AD
【分析】设切点坐标，求出切线斜率满足的等量关系，依据在点处的切线方程的求法求出切
线方程判断选项 A；根据斜率求出切点的横坐标，分别讨论点P a,b 是否在函数 f x 的图
象上，可判断选项 B；通过切线斜率求解切点个数可判断直线条数，从而判断选项 C；符合
条件的 l 有 3 条时，点P a,b 不在图象上，通过斜率求切点与点P a,b 坐标的关系可判断
选项 D.
3
【详解】设 l 与 f x = -2x 的图象切于点Q t, -2t3 ，当点 P 与点Q不重合时，切线斜率
k f t 6t 2 -2t
3 - b
= = - = ，整理得： 4t3 - 6at 2 - b = 0，当点 P 与点Q重合时，切线斜率
t - a
k = f a = -6a2 = -6t 2 ，
3
对于 A，若 P 与原点重合，点 P 在函数 f x = -2x 图象上，则 a = b = 0，此时 t = 0， k = 0，
l 即 x 轴，方程为 y = 0 ，A 正确；
对于 B，若 l 与直线 x - 6y = 0垂直，则 k = -6t 2 = -6， t = ±1，
当点P a,b 为切点时，6a + b = 4 或6a + b = -4，
-2t3 - b
当点P a,b 不为切点时，满足-6t 2 = ，整理得 4t3 - 6at 2 - b = 0，
t - a
当 t =1时 4 - 6a - b = 0，6a + b = 4 ，当 t = -1时-4 - 6a - b = 0，6a + b = -4，B 错误；
对于 C，当点 P 在 f x 的图象上时，b = -2a3， 4t3 - 6at 2 - b = 0，则 4t3 - 6at 2 + 2a3 = 0，
2 a
即 t - a 2t + a = 0，所以 t = a 或 t = - ，故 a 0有两解，符合条件的直线有两条， C 错
2
误；
对于 D，若符合条件的 l 有 3 条，则点 P a,b 不在 f x 图象上，设 l 与 f x = -2x3的图象
切于点Q t,-2t3 ，则有 4t3 - 6at 2 - b = 0，
3
设 g t = 4t - 6at 2 - b = 0， g t =12t 2 -12at = 0，
由 g t = 0得 t = 0或 t = a，符合条件的 l 有 3 条， g t 有 3 个零点，
3 3
则 g 0 g a = -b -2a3 - b < 0 3 2a a 1，所以b 2a + b < 0 ， +1< 0， < - ，D 正确.
b b 2
故选：AD
【变式 1】（2024·贵州·模拟预测）过点P(1,-3)作曲线 y = 2x3 - 3x 的切线，请写出切线的方
程 .
【答案】3x + y = 0或 21x - 2y - 27 = 0
【分析】设切点 (a, 2a3 - 3a)，求导并写出切线方程，代入点 (1, -3)求出 a值即可.
【详解】设切点为 (a, 2a3 - 3a)，而 f (x) = 6x2 - 3，
所以切线的斜率 k = f (a) = 6a2 - 3，故切线方程为 y - (2a3 - 3a) = (6a2 - 3)(x - a)，
因为切线过点 (1, -3)，\-3- (2a3 - 3a) = (6a2 - 3)(1- a)，
3
化简可得 a = 0或 a = ，则切点为 0,0 3或 ,
9
2 2 4 ÷
，
è
则代入得切线方程为：3x + y = 0或 21x - 2y - 27 = 0 ，
故答案为：3x + y = 0或 21x - 2y - 27 = 0
【变式 2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 f x = lnx 在点P x0, y 0 处的切线过原点O 0,0 ，
则 x0 = .
【答案】 e
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入O 0,0 求解.
1
【详解】因为 f x = lnx ，所以 f x = ，
x
1
所以 f x 在点P x0, y 0 处的切线方程为 y - lnx0 = x - x x 0 .0
又切线过原点O 0,0 ，则-lnx0 = -1，所以 x0 = e .
故答案为： e
2x
【变式 3】（2024·四川成都·二模）已知函数 f x ae -1= 的图象在 1, f 1 处的切线经过点
x
2,2e2 ．
(1)求 a的值及函数 f x 的单调区间；
(2) 3若关于 x 的不等式l x - x - lnxe2lx + lnx < 0在区间 1, + 上恒成立，求正实数l 的取值
范围．
【答案】(1)1
é1
(2) ê ,+

e ÷
【分析】（1）求导，求出切线方程，然后代点 2,2e2 求出 a的值，进而利用导数求函数单
调性即可；
x2 -1 e2lx -1
（2）将不等式变形为 ，然后令 t = ln x, t > 0 ，可得 f t f lx ，利用 f x
ln x lx
的单调性得到 t lx ，进而构造函数求导求最值即可.
2x
【详解】（1）函数 f x ae -1= 的定义域为 - ,0 0, + ，
x
2axe2x - ae2x -1 2 2
则 f x = ，则 f 1 = ae +1，又 f 1 = ae -1，
x2
所以 f x 在点 1, f 1 y - ae2处的切线 -1 = ae2 +1 x -1 ，
2,2e2 2e2 2代入点 得 - ae -1 = ae2 +1 2 -1 ，解得 a =1；
2xe2x - e2x -1 2x -1 e
2x +1
则 f x = = ，设j x = 2x -1 e2x +1, x 0
x2 x2
则j x = 4xe2x ，令j x > 0，得 x > 0，令j x < 0，得 x < 0 ，
所以j x > j 0 = 0，即 f x > 0在 - ,0 0, + 上恒成立，
所以函数 f x 的单调增区间为 - ,0 , 0, + ，无单调减区间；
e2x
（2）由（1）得 f x -1=
x
2 2lx
l x3 - x - lnxe2lx + lnx < 0在区间 1, + x -1 e -1上恒成立，即 ，
ln x lx
2t 2lx
令 t = ln x, t > 0 e -1 e -1，则 ，即 f t f lx ，
t lx
ln x
只需要 t lx ，也就是l 在 1, + 上恒成立，
x
h x ln x , x 1 h x 1- ln x令 = > ，则 = ，
x x2
令 h x > 0得0 < x < e，令 h x < 0得 x>e，
故 h x 1 1= h e = l max ，所以 ，e e
é1
即正实数l 的取值范围是 ê ,+ e ÷ .
x2 -1 e2lx -1
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是将不等式变形为 ，令 t = ln x, t > 0 ，
ln x lx
然后转化为 f t f lx ，利用函数函数 f x 的单调性来解答，充分利用了函数单调性来
解决问题.
命题点 2　求参数的值(范围)
a
【例题 3】（2024· 2内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线 y = x + 3x + 在 x =1处的切线与直线
x
x - 2y +1 = 0垂直，则a = （ ）
9 11
A．3 B． C．7 D．
2 2
【答案】C
【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.
【详解】由 y = x2 + 3x
a a
+ ，求导得 y = 2x + 3- 2 ，当 x =1时， y = 5 - a ，x x
由曲线 y = x2 3x
a
+ + 在 x =1处的切线与直线 x - 2y +1 = 0垂直，得5 - a = -2 ，
x
所以 a = 7 .
故选：C
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）若直线 y = 2x - b与曲线 f (x) = e2x - 2ax(a > -1)相切，则b
的最小值为（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
1
【详解】根据直线与函数相切，可得 x0 = ln a +1 以及-b = a +1 é1- ln a +1 ù2 ，即可换元
t = a +1 t > 0 , 构造函数 g t = t 1- lnt t > 0 ，利用导数求解函数的最值求解.
【分析】设切点坐标为 x0 , y0 ．由已知，得 f x = 2e2x - 2a，则 f x = 2e2x00 - 2a = 2 ，
x 1解得 0 = ln a +1 ．2
又切点在切线 y = 2x - b与曲线 f x = e2x - 2ax 上，
所以 ln(a +1) - b = a +1- aln a +1 ，所以-b = a +1 é 1- ln a +1 ù ．
令 t = a +1 t > 0 , g t = t 1- lnt t 0 1> ，则 g t =1- lnt + t - ÷ = -lnt ．
è t
令 g t = -lnt = 0，解得 t =1．当 t 0,1 时， g t >0，则 g t 在 0,1 上单调递增；
当 t 1,+ 时， g t < 0，则 g t 在 1, + 上单调递减．
所以 g t g 1 =1，即-b 1，所以b -1，则b 的最小值为－1．
故选：C
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）曲线 y = ex 在 A x1, y1 处的切线与曲线 y = ln x + m相切于点
1 1B x2 , y2 ，若 x1 < x2且 + =1x - x y - y ，则实数m 的值为 .2 1 2 1
2
【答案】
e
【分析】利用导数求出 y = ex 在 A x1, y x1 处的切线方程为 y = e 1 x - x1 + y1 ，函数 y = ln x + m
1
在点B x2 , y2 处的切线方程为 y - y2 = x - x x2 ，，根据两切线重合求解 x1 +1 e 1 = 0x ，求2
出 x1，x2 ，进而求出m .
【详解】函数 y = ex 在 A x1, y1 处的切线斜率为 y = ex1 则切线方程为
y = ex1 x - x1 + y = ex11 x - x1ex1 + y1，
1 1
函数 y = ln x + m在B x2 , y2 处的切线斜率为 y = ，则切线方程为 y - y2 = x - x2 x x ，即2 2
y 1= x -1+ y
x 2 ，2
x 11
由题意有 e = x ①且-x1e
x1 + y1 = y2 -1②
- x x
，故 x 1 12 = e ， y2 - y1 = -x1e +1，
2
1 1 1 x1
+ = + 1 e +1从而 = =1 x +1 ex1 = 0x2 - x y y e
- x 1
1 2 - 1 - x
，整理得 ，
1- x ex11 1 1- x1e
x1 1
1
所以 x1 = -1，即 x2 = e, y1 = .e
代入式②，得 ln e + m
1 1 2 2
-1 = + = ，即m = .
e e e e
2
故答案为：
e
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = (x -1)2 ex - ax，且曲线 y = f (x) 在点
(0, f (x))处的切线方程为 y = -2x + b．
(1)求实数 a，b 的值；
(2)证明：函数 f (x) 有两个零点．
【答案】(1) a =1,b =1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
2 2
x
（ ）利用转化的思想将原问题转化为函数 g(x) = (x -1) - x 有两个零点，利用导数研究函e
数 g(x)的单调性，结合零点的存在性定理即可证明.
2 x
【详解】（1）由题意可得 f (x) = x -1 e - a，由切线方程可知其斜率为-2，
ì f 0 = -2 ìa =1
所以 í f 0 b ，解得 =
í
b =1
；
（2）由 f (x)
x
= 0 可得 (x -1)2 ex - x = 0 (x -1)2，所以 - = 0．
ex
函数 f (x) 2
x
有两个零点即函数 g(x) = (x -1) - x 有两个零点．e
g (x) = (x 1-1) 2 + ÷ ，
è ex
当 x <1时， g (x) < 0， g(x)单调递减；当 x >1时， g (x) > 0， g(x)单调递增．
又 g(0)
1 2
= 1 > 0， g(1) = - < 0 ， g(2) =1- 2 > 0，e e
所以 g(0)g(1) < 0， g(1)g(2) < 0．
由零点存在定理可得$x1 (0,1)使得 g x1 = 0，$x2 (1, 2)使得 g x2 = 0，
所以函数 f (x) 有两个零点
题型三　两曲线的公切线
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合
列方程组求解．
【例题 4】（2023·山西· 3 2模拟预测）已知函数 f x = a - 3 x + a - 2 x + a -1 x + a若对任意
x0 R ，曲线 y = f x 在点 x0 , f x0 和 -x0 , f -x0 处的切线互相平行或重合，则实数a =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求得 f x = 3 a - 3 x2 + 2 a - 2 x + a -1，根据题意转化为 y = f x 为偶函数，即
可求解.
【详解】由函数 f x = a - 3 x3 + a - 2 x2 + a -1 x + a，
2
可得 f x = 3 a - 3 x + 2 a - 2 x + a -1，
因为曲线 y = f x 在点 x0 , f x0 和 -x0 , f -x0 处的切线互相平行或重合，
可得 y = f x 为偶函数，所以a - 2 = 0，解得 a = 2 .
故选：C.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x + a 2 + lnx 的图象上存在不同的两点 A, B，
使得曲线 y = f x 在点 A, B处的切线都与直线 x + 2y = 0 垂直，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
【答案】A
【分析】根据题意知 f (x) = 2有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可
求得参数的范围.
【详解】由题意知 f (x) = 2x
1
+ 2a + ，因为切线与直线 x + 2y = 0 垂直，
x
所以曲线 y = f x 在点 A, B处的切线斜率都是 2，
即关于 x 的方程 f x = 2x 2a 1+ + = 2有两个不相等的正实数根，
x
x2化简得， - 1- a x 1+ = 0有两个不相等的正实数根，
2
ì 1- a > 0

则 í ，解得Δ = 1- a 2 1- 4 > 0 a <1- 2 . 2
故选：A.
1
【变式 2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数 f x = sin 2x .若曲线 y = f x 在点 A x1, f x 2 1
处的切线与其在点B x2 , f x2 处的切线相互垂直，则 x1 - x2 的一个取值为 .
π
【答案】 (答案不唯一)
2
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知， cos 2x1 ×cos 2x2 = -1，再根据函数的取值，
即可求解.
【详解】 f x = cos 2x，由题意可知， f x1 f x2 = -1，
ìcos 2x =1
cos 2x ×cos 2x = -1 1 x = k π x π即 1 2 ，所以 í ，得 1 1 ， 2 = + k2π ， k1, k2 Z
cos 2x 1
，
2 = - 2
ìcos 2x1 = -1 π
或 í x = + k π x = k π k ,k Z
cos 2x2 =1
，得 1 3 ，2 2 4
， 3 4 ，
所以 x1 - x
π π
2 = - + k1 - k2 π ， x1 - x2 = + k3 - k4 π ， k1, k2 ,k3 ,k4 Z ,2 2
所以 x1 - x
π
2 的一个取值为 .2
π
故答案为： (答案不唯一)
2
【变式 3】（2023·江苏南通· 2 2 x-1模拟预测）已知函数 f x = x - ax + a ，g x = 2e - ax
(1)若 a =1，证明：曲线 y = f x 与曲线 y = g x 有且仅有一条公切线；
(2)当 x 1时， f x - g x 2ax，求 a 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2) -1+ ln2 a 1+ 2
【分析】（1）先设切点再分别求出切线，斜率和截距对应相等求解,再由单调性证明唯一性
即可;
（2）把不等式化简构造函数，根据导函数求解最值即可求出参数范围.
2
【详解】（1）当 a =1时， f x = x - x +1，g x = 2ex-1 - x，
f x = 2x -1，g x = 2ex-1所以 -1
2
所以曲线 y = f x 在点（x1，x1 - x1 +1）处的切线方程为
y - x21 - x1 +1 = 2x1 -1 x - x 21 ，即 y = 2x1 -1 x - x1 +1，
曲线 y = g x 在点（x2， 2ex2 -1 - x2）处的切线方程为
y - 2ex2 -1 - x2 = 2ex2 -1 -1 x - x2 ，
y = 2ex2 -1即 -1 x - 2ex2 -1 x2 -1
ì 2x -1 = 2ex2 -1 -1 ìx = ex2 -11 1
令 í-x2 +1 = -2ex2 -1 x -1 得 í-x2 1 2 1 +1 = -2e
x2 -1 x2 -1
2
消去x2，整理得 x1 - 2x1lnx1 -1 = 0
所以 x1 - 2lnx
1
1 - = 0．x 1
2
设 h x = x - 2lnx 1- （x > 0），则
x h
x -1x =
x2
0
所以 h(x)在（0，+∞）上单调递增，
又 h 1 = 0，
所以 h(x)在（0，+∞）上有唯一的零点 x =1，
所以方程 x - 2lnx
1
- = 0有唯一的解 x =1
x
所以曲线 y = f x 与曲线 y = g x 有且仅有一条公切线 y = x ．
（2）因为对"x 1，f x - g x 2ax恒成立，
所以 2ex-1 x - a 2 在 x 1,+ )上恒成立，
x - a 2
所以 在 x 1,+ )上恒成立，
ex-1
2
x - a 2
令G x =
ex-1
x 1 ，
x - a 2 - 2 x - a x - a éx - a + 2 ùG x = - x-1 = - ，e ex-1

则当 x < a时G x < 0，G(x)单调递减，
当a < x < a + 2 时，G x > 0，G(x)单调递增，
当 x > a + 2 时，G x < 0单调递减，
所以在 x = a处 G(x)有极小值，在 x = a + 2处 G(x)有极大值．
①当 a + 2 1，即 a -1时，由G x = G 1 = 1- a 2 2，max 解得1- 2 a 1+ 2 ，舍
去．
②当 a + 2 >1，即 a > -1时，则G x = max G a + 2max ,G 1 ，
ìa > -1
ìa > -1
4
所以，由 íG a + 2 = a+1 2 ，解得 ía -1+ ln2
e

G 1 = 1 a
2 2 1- 2 a 1+ 2-
2 2
因为8 > e2 ，所以 2 > e3 ，所以 ln2 > ，3
2 1
所以-1+ ln2 > -1+ = - >1- 2 > -1，
3 3
所以-1+ ln2 a 1+ 2
综上，a 的取值范围为-1+ ln2 a 1+ 2
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
cos x
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + 2x ，则曲线 y = f x 在 x = 0处的切e
线方程为（ ）
A． 2x - 2y +1 = 0 B． x + y -1 = 0
C． x - y +1 = 0 D．2x - y +1 = 0
【答案】C
【分析】代入法求得 f 0 ，以及利用导数的四则运算法则求得 f x 进一步求得 f 0 即可
得解.
-sin x - cos x
【详解】由题意知 f x = x + 2 ， f 0 =1，e
∴曲线 y = f x 在 x = 0处的切线的斜率为 f 0 -sin 0 - cos 0= + 2 =1，
e0
∴曲线 y = f x 在 x = 0处的切线方程为 y -1 = x，且 x - y +1 = 0 .
故选：C．
2．（2024·广东·二模）函数 f x 的定义域为R, f 2 = 3，若"x R, f x > 1，则 f x > x +1
的解集为（ ）
A． -2,2 B． 2, + C． - , 2 D． - , +
【答案】B
【分析】构造函数 f x = 2x -1，解不等式即可得出答案.
【详解】构造函数 f x = 2x -1，满足 f 2 = 3， f x = 2 >1，
则由 f x > x +1可得 2x -1 > x +1，解得： x > 2 .
故选：B.
1
3．（2024·全国·模拟预测）若曲线 f x = + loga x（ a > 0且a 1）有两条过坐标原点的切x
线，则 a的取值范围为（ ）

0, e
e
A． ÷÷ B． ,1÷÷ C． 1, e D． e,+
è e

è e
【答案】C
1 2
【分析】先设出切点，列出切线方程，再根据 =lna x 1- lnx ，构造函数0 0
g x 2=
x 1- lnx ，根据导数求得 g(x)的单调性，即可得到关于参数 a的不等式，解不等式
即可.
【详解】由 f x 1 1 1= + loga x，得 f x = - 2 + ．x x xlna
1 1 1设切点为P x0 , + logx a
x0 ÷ ，则 f x0 = - 2 +x x lna ，è 0 0 0
1 1 1
所以曲线 f x 在点 P 处的切线方程为 y - + loga x0 ÷ = - 2 + ÷ x - x0 ，
è x0 è x0 x0lna
1 1 1
将点 0,0 的坐标代入切线方程，得- + loga x0 ÷ = - 2 + ÷ -x0 ，
è x0 è x0 x0lna
1 log x 2 1 2所以 - =lna a 0 x ，即
1- lnx =
0 lna
0 x ．0
1 2
显然 x0 e，所以 =lna x0 1- lnx ．0
g x 2设 = 2lnxx 1- lnx （ x > 0且 x e），则 g
x =
x2 (1- lnx)2 ．
当 x 0,1 时， g x < 0；当 x 1,e e,+ 时， g x > 0．
所以 g x 在 0,1 上单调递减，在 1,e 和 e, + 上分别单调递增．
又当 x 0,e 时， g x > 0，当 x e, + 时， g x < 0 ，且 g x 的极小值为 g 1 = 2 ，所
以 g x 的大致图象如图．
1 1
由题意可知，函数 g x 的图象与直线 y = 有两个不同的交点，结合图象可知 > 2，所
lna lna
0 1以 < lna < ，所以
2 1< a < e
．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数切线的含参问题，其中根据切线方程化简得到等式
1 2
= ，从而构造函数 g x
2
=
lna x 1- lnx x 1- lnx 是关键，再对 g(x)求导，利用导数求单调0 0
1
性，从而得到 g(x)的大致图象，结合图象可知 > 2求解.
lna
6
4．（2024· 6 2 6四川·模拟预测）已知 (1+ x) = a0 + a1x + a2x +L+ a6x ，则 iai =（ ）
i=1
A．48 B．192 C．128 D．72
【答案】B
【分析】令 f x = (1+ x)6 ，求导，然后令 x =1求解.
6
【详解】解：令 f x = (1+ x) ，
则 f x = 6(1+ x)5 = a + 2a 2 51 2x + 3a3x +L+ 6a6x ，
6
令 x =1，得 iai = 192．
i=1
故选：B．
5．（2024·湖南娄底·一模）若直线 ex - 4y + eln4 = 0 是指数函数 y = a x (a > 0且 a 1)图象的一
条切线，则底数a = （ ）
A 2 1． 或 2 B．
e C． e D． e或 e
【答案】D
【分析】设切点坐标为 x0 , f x0 ，根据导数的几何意义，列式运算求得 a的值.
【详解】设切点坐标为 x0 , f x ，对函数 y = a x0 ，求导得 y = a xlna，
切线方程 ex - 4y + eln4 = 0
e
化成斜截式为 y = x
eln4
+ ，
4 4
ì e = a x0 lna > 0 4
由题设知 í lna > 0 a > 1
a x ex
，显然 ，即 ，
0 + eln40 =
4
a x e e ex + eln4 1由 0 = ，得 = 0 ，即 = x + ln4，
4lna 4lna 4 lna 0
即1 = x0 × lna + lnaln4 = lna
x0 + ln4lna = ln a x0 ×4lna ，
x e
即 e = a 0 × 4lna = × 4lna ，化简得
4lna 4
lna = 4lna ，
令 lna = t > 0 1，即 4t = 4t ，利用指数函数与一次函数的性质，可知 t =1或 2 ，
即 lna =1 1或 ，解得 a = e2 或 e .
故选：D.
二、多选题
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线
为这些曲线的公切线，已知直线 l： y = kx + b为曲线C1： y = aex (a > 0)和C2 ：
y = ln x (a > 0)的公切线，则下列结论正确的是（ ）
a
A．曲线C1的图象在 x 轴的上方
B．当 a =1时， ln k + b = -1
1
C．若b = 0，则 a =
e
D．当 a =1时，C1和C
1
2 必存在斜率为 的公切线k
【答案】ABD
【分析】由函数解析式可直接判断 A，利用导数研究曲线C2 的切线方程，可用含 k 的式子表
ax ln x
示出切点的坐标，再将其代入直线 l，即可判断 B，设 f x = e ， g x = ，利用
a
f x1 = g x2 = k
1 1
，并结合斜率的计算公式，可得 a = 判断 C，若C1和C2 存在斜率为 的e k
公切线，则存在m 和 n f m 1 1使得 = ， g n = ，再结合选项 B 中所得，求出m 和 n的值
k k
判断 D．
【详解】选项 A，由 a > 0， ex > 0得 ae x > 0，可知曲线C1的图象在 x 轴的上方，故 A 正确；
选项 B，当 a =1时，C1： y = ex ，C2 ： y = ln x ，
C 1对于 2 ： y = ln x ，有 y = (x > 0)，x
因为直线 l： y = kx + b为曲线C2 的切线，
1 1 1
所以 = k ，即 x = ，此时 y = ln = - ln k ，
x k k
1
所以切点坐标为 ,- ln k ÷，将其代入切线方程 y = kx + b中，
è k
有- ln k =1+ b ，整理得 keb+1 =1，可得 ln k + b = -1，即 B 正确；
选项 C，当b = 0时，公切线 l为 y = kx ，
x 1
设 f (x) = aex ， g(x) = ln ，则 f (x) = aex ， g (x) = (x > 0)，
a x
aex ln x1 2f x = aex = k = 1 x = x =1 a 1所以 11 ，x g x = = k = a ，解得 1 2 ， = ，故 C 错误；1 2 x x e2 2
选项 D，当 a =1时， f (x) = ex ， g(x) = ln x，则 f (x) = ex ， g (x)
1
= (x > 0)，
x
C C 1 m n f (m) em 1 1 1若 1和 2 存在斜率为 的公切线，则存在 和 使得 = = ， g (n) = = (n > 0) ，k k n k
b+1 1
由选项 B 可知， keb+1 =1，即 e = ，k
所以 eb+1 m eb+1
1 1
= e ， = ，即m = b +1， n =n eb+1
，符合题意，
1
故当 a =1时，C1和C2 必存在斜率为 的公切线，即 D 正确．k
故选：ABD．
7．（2023·全国·模拟预测）若过点P 1,l 最多可作 n n N* 条直线与函数 f x = x -1 ex的
图象相切，则（ ）
A．当 l = 0 时，切线方程为 y = e x -1
l 4n 1 - , - B．当 = 时， ÷ U 0
è e
C．当 n = 2时，λ 的值不唯一
D．l + n的值一定小于 3
【答案】ABD
【分析】设切点，求导得切线方程，进而将问题转化为直线 y = l 与函数
g x = -ex x2 - 2x +1 的图象的交点情况，结合选项即可逐一求解.
x
【详解】不妨设切点为 x , x -1 e 00 0 ，
因为 f x = xex x，则过点P 1,l 的切线方程为 y - l = x e 00 x -1 ，
x x
即 x0 -1 e 0 - l = x0e 0 x -1 l = -ex 20 ，整理得 0 x0 - 2x0 +1 ．
令 g x = -ex x2 - 2x +1 g x = -ex x2，则 -1 ．
当 x < -1或 x >1时， g x < 0， g x 单调递减，
当-1 < x <1时， g x > 0， g x 单调递增，
g 1 4- = - ， g 0 = -1， g 1 = 0，
e
当 x - 时， g x 0，
当 x + 时， g x - ．
综上， g x 的大致图象如图．
当 l = 0 时，切点为P 1,0 ，切线方程为 y = e x -1 ，故 A 正确．此时l + n = 0 +1 < 3成
立．
4
当 n =1时，直线 y = l 与函数 g x 的图象只有一个交点，由图象可知：l - , - e ÷ U 0 ，è
故 B 正确．此时满足l + n < 3．
当 n = 2时，当l = g -1 4= - ，此时直线 y = l 与函数 g x 的图象有两个交点，故 C 错
e
误．此时l + n < 3成立．
l 4当 n = 3时， - ,0

e ÷，所以
l + n < 3．
è
综上，l + n < 3，故 D 正确．
故选：ABD
三、填空题
1
8．（2024·四川·模拟预测）已知m > 0, n > 0 ，直线 y = x + m +1与曲线 y = lnx - n + 3相切，
e
则m + n = ．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为 x0 , y0 ，求导由斜率可得 x0 的值，从而代入曲
线方程与切线方程可得 y0 ，即可得m + n的值.
【详解】设切点坐标为 x0 , y0 ，对函数 y = lnx - n + 3
1
求导得 y = ，
x
1 1
则切线斜率 k = = x = ex ，得 0 ，0 e
所以 y0 = ln e - n + 3 = 4 - n y
1
，且 0 = ×e + m +1 = 2 + m ，e
则 4 - n = 2 + m，即m + n = 2．
故答案为：2.
9．（2024·山东·一模）已知 A，B 分别为直线 y = 3x - 3和曲线 y = 2ex + x上的点，则 AB 的
最小值为 ．
10 1
【答案】 / 10
2 2
【分析】由题意 AB 的最小值为A 到直线 y = 3x - 3上距离的最小值，再设 A x0 , y0 ，则当A
处的切线与 y = 3x - 3平行时取得最小值.
【详解】由题意 AB 的最小值为曲线上点A 到直线 y = 3x - 3距离的最小值，
设 f x = 2ex + x - 3x - 3 = 2ex - 2x + 3 f x = 2ex，则 - 2为增函数，
令 f x = 0则 x = 0，故当 x < 0 时 f x < 0， f x 单调递减；当 x > 0时 f x > 0， f x
单调递增.
故 f x f 0 = 5 > 0，即 y = 3x - 3在曲线 y = 2ex + x下方.
则当A 处的切线与3x - y - 3 = 0平行时 AB 取得最小值.
设 A x0 , y0 ，对 y = 2ex + x求导有 y = 2ex +1，由 y = 3可得 x0 = 0 .
3 0 - 2 - 3
故当 A 0,2 时取最小值 AB
10
= = .
32 + -1 2 2
10
故答案为：
2
四、解答题
10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 f (x) = 2(mx - ln x) + e .
(1)若 f (x) 的图象在点 (1, f (1))处的切线与直线 l : 2x + y +1 = 0 垂直，求m 的值;
(2)讨论 f (x) 的单调性与极值.
5
【答案】(1) m =
4
(2)答案见解析.

【分析】（1）求导，根据直线垂直可得 f (1) = 2(m -1)
1
= ，即可求解，
2
（2）求导，对m 进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得， f (x) 的定义域为 (0, + ) .
\ f (x) = 2m 2 2(mx -1)- = .
x x
Q f (x)的图象在点 (1, f (1))处的切线与直线 l:2x + y +1 = 0垂直，
\ f (1) = 2(m -1) 1= ，
2
m 5解得 = .
4
f (x) 2(mx -1)（2）由（1）知 = .
x
①当m 0时， f (x) < 0 恒成立.
\ f (x)在 (0, + )上为减函数，此时 f (x) 无极值;
②当m > 0时，由 f (x) > 0
1
，得 x > ，由 f (x) < 0 ，得0 < x
1
< ，
m m
1
\ f (x) 0, 1 在 m ÷上单调递减，在
, + ÷上单调递增，
è è m
1
故 f (x)

的极小值为 f m ÷
= 2ln m + 2 + e .
è
综上可得，当m 0时， f (x) 在 (0, + )上为减函数， f (x) 无极值;
当m > 0 时， f (x) 在 0,
1 1
÷上单调递减，在 ,+

m ÷上单调递增
.
è è m
f (x) 的极小值为2ln m + 2 + e，无极大值.
11．（2024·广东深圳·二模）已知函数 f x = ax +1 ex ， f x 是 f x 的导函数，且
f x - f x = 2ex ．
(1)若曲线 y = f x 在 x = 0处的切线为 y = kx + b，求 k，b 的值；
(2)在（1）的条件下，证明： f x kx + b．
【答案】(1) k = 3，b =1；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得 a的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数 g x = 2x +1 ex - 3x -1，利用导数研究函数 g(x)的单调性从而求出最小值大
于 0，可得证.
【详解】（1）因为 f x = ax +1 ex ，所以 f x = ax + a +1 ex ，
因为 f x - f x = 2ex ，所以 a = 2．
则曲线 y = f (x) 在点 x = 0处的切线斜率为 f 0 = 3．
又因为 f 0 =1，
所以曲线 y = f (x) 在点 x = 0处的切线方程为 y = 3x +1，
即得 k = 3，b =1．
（2）设函数 g x = 2x +1 ex - 3x -1， x R ，
则 g x = 2x + 3 ex - 3，
设 h x = g x x，则 h x = e 2x + 5 ，
5
所以，当 x > - 时， h x > 0， g x 单调递增．
2
又因为 g 0 = 0，
所以， x > 0时， g x > 0， g x 单调递增；
5
- < x < 0时， g x < 0， g x 单调递减．
2
5
又当 x - 时， g x = 2x + 3 ex - 3 < 0 ，
2
综上 g x 在 - ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增，
所以当 x = 0时， g x 取得最小值 g 0 = 0，
即 2x +1 ex - 3x -1≥0，
所以，当 x R f x 3x +1时，
综合提升练
一、单选题
1．（2023· x全国·模拟预测）已知函数 f x = xe +1，过点P 2,1 可作曲线 y = f x 的切线条
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
x
【分析】求出 f x 的导函数，设切点坐标为 x 00 , x0e +1 ，写出切线方程，把 2,1 代入，
得到关于 x0 的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由 f x = xex +1，得 f x = x +1 ex ．设切点坐标为 x0 , x0ex0 +1 ，
x
则切线方程为 y - x 00e -1 = e
x0 x0 +1 x - x0 ，
x x
把 2,1 代入可得-x0e 0 = e 0 x0 +1 2 - x0 ，即 x20 - 2x0 - 2 = 0 ，
因为Δ =12 > 0，所以该方程有 2 个不同的实数解，故切线有 2 条．
解法二 由 f x = xex +1，得 f x = x +1 ex ，令 f x = 0，得 x=-1．
当 x < -1时， f x < 0，当 x > 0时， f x > 0，
故 f x 在 - , -1 上单调递减，在 (-1, + )上单调递增，
1
故 f x 的极小值为 f -1 =1- ，且 f 0 =1，则点P 2,1 在曲线 y = f x 的下方，
e
数形结合可知，过点 P 可作曲线 y = f x 的 2 条切线．
故选：B
1
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f x =
ex
-1，则曲线 y = f x 在点 -1, f -1 处
的切线方程为（ ）
A． ex + y +1 = 0 B． ex - y +1 = 0
C． ex + y -1 = 0 D． ex - y -1 = 0
【答案】A
【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
【详解】由 f x 1 1= x -1，得 f x = -e ex ，
所以 f -1 = -e，又 f -1 = e -1，
故曲线 y = f x 在点 -1, f -1 处的切线的方程为 y - e -1 = -e x +1 ，即 ex + y +1 = 0 .
故选：A.
3．（2024·福建漳州·一模）若曲线 y = aex-2 + x在点 2,2 + a 处的切线方程为 y = 4x + b ，则
a + b =（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.
【详解】因为 y = aex-2 + x，则 y = aex-2 +1，
ìa +1 = 4 ìa = 3
由题意可得： í8 b 2 a ，解得 íb 3，所以
a + b = 0 .
+ = + = -
故选：C.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = x2 - x + 2 ex ，则函数 f x 的图象在 x =1处的切
线方程为（ ）
A．3ex - y + e = 0 B． 2ex - y - e = 0 C．3ex - y - e = 0 D． 2ex + y - 4e = 0
【答案】C
【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.
【详解】对 f x = x2 - x + 2 ex 求导，
得 f x = 2x -1 ex + x2 - x + 2 ex = x2 + x +1 ex ，
∴ f x 的图象在 x =1处的切线斜率为 f 1 = 3e，又 f 1 = 2e，
∴ f x 的图象在 x =1处的切线方程为 y - 2e = 3e x -1 ，
即3ex - y - e = 0 .
故选：C
5．（2024· x江西上饶·一模）已知函数 f x = xe ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的导函数为 f x = x -1 ex B． f x 在 -1, + 上单调递减
C． f x 1的最小值为 - D． f x 的图象在 x = 0e 处的切线方程为
y = 2x
【答案】C
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐一判断即可.
x x x x
【详解】A： f x = xe f x = e + xe = x +1 e ，因此本选项不正确；
B：由上可知： f x = ex + xex = x +1 ex ，
当 x > -1时， f x > 0，函数 f x 单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知： f x = x +1 ex ，
当 x > -1时， f x > 0，函数 f x 单调递增，
当 x < -1时， f x < 0，函数 f x 单调递减，
所以当 x=-1时，函数 f x 1的最小值为 - e ，因此本选项正确；
D f x = x +1 ex：由上可知 ，因为 f 0 =1，f 0 = 0，
所以 f x 的图象在 x = 0处的切线方程为 y = x ，因此本选项不正确，
故选：C
6．（2024·重庆· x模拟预测）已知直线 y = ax + b 与曲线 y = ex 相切于点 x 00 , e ，若 x0 - ,3 ，
则 a + b 的取值范围为（ ）
A． - , e B． -e3 ,eù C． 0,e D 0,e3． ù
【答案】B
【分析】由导数几何意义可得 a = ex0 ，b = 1- x x00 e ，所以 a + b = 2 - x x00 e ，令
g x = 2 - x ex ，对 g x 求导，得到 g x 的单调性和最值，即可得出答案.
【详解】因为 y = ex ，所以 y = ex ，∴ a = ex0 ．
又∵切点 x , ex00 在直线 y = ax + b 上，
∴ ex0 = ax + b = x ex0 + b b = 1- x ex0 ∴ a + b = 2 - x ex00 0 ，解得 0 ． 0 ．
令 g x = 2 - x ex ，则 g x = 1- x ex ， x - ,3 ，
令 g x > 0，解得： x <1；令 g x < 0，解得：1< x < 3；
可得 g x 在 - ,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
x < 2时， g x > 0， 2 < x < 3时， g x < 0 ，
当 x 趋近负无穷时， g x 趋近 0 ， g 3 = -e3 ； g x = g 1 = emax ，
故 a + b 3的取值范围为 -e ,eù ．
故选：B．
7．（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = x sin x在点 xi , f xi 处的切线均经过坐标原点，
5
其中0 < xi < 5π， i =1,2,3,4,5 ，则 f (xi ) =（ ）
1
5π 25π
A．5π B． C． D．15π
2 2
【答案】B
【分析】首先求出导函数，根据导数的几何意义表示出切线方程，从而得到 cos xi = 0 ，即可
求出 xi ，再代入计算可得.
【详解】 f (x) = x sin x，则 f (x) = sin x + x cos x， f (xi ) = sin xi + xi cos xi
故函数 f (x) 点 xi , f xi 处的切线为 y - xi sin xi = (sin xi + xi cos xi )(x - xi )，
又切线均经过坐标原点，则 0 - xi sin xi = (sin xi + xi cos xi )(0 - xi ) ，化简整理可得 x2i cos xi = 0，
又0 < xi < 5π， i =1,2,3,4,5 ，所以 cos xi = 0 ，
π 3 5 7 9
则 x1 = ， x2 = π ， x2 3
= π
2 ，
x4 = π2 ，
x5 = π2 ，2
f x π sin π π 3π 3π 3π 5π 5π 5π又 1 = = ， f x2 2 2 2 = sin = - ， f x = sin = ，2 2 2 3 2 2 2
f x 7π 7π 7π 7π 9π 9π4 = f
= sin = - f x = f ÷ ， 5 ÷ = sin
9π 9π
= ，
è 2 2 2 2 è 2 2 2 2
5 π 3π 5π 7π 9π 5π
所以 f (xi ) = f ÷ + f ÷ + f ÷ + f ÷ + f ÷ = ．
i=1 è 2 è 2 è 2 è 2 è 2 2
故选：B．
8．（2024·宁夏银川·一模）已知函数 y = a x 与 y =loga x（ a > 0且a 1）的图象只有一个交
1 1 1
点，给出四个值：① ；② ；③
4 16 e
e ；④ e ，则 a的可能取值为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
1
x

【分析】构造函数 f x = ÷ - log 1 x ，利用导数确定其零点个数判断①；通过特殊点判
è 4 4
断②；对③④：在 a > 1，由两个函数图象只有一个交点，则它们与直线 y = x 相切，设切
点为 (m,m)，利用公切线求出 a值进行判断．
1
x

【详解】对于①：令 f x = ÷ - log 1 x, x > 0，
è 4 4
x 1
x
ln 1
2

x -1
f x 1 ln 1 1
÷
则 = - = è 4 è 4
÷

÷ ，
è 4 4 x ln 1 x ln 1
4 4
1 x 1 2 1 x 2 1 1
令 g x = x ÷ ln ÷ -1, x > 0， g x = ÷ 1+ x ln4 4 4 4 ÷ ln ÷ ，è è è è è 4
x 0, 1 当 ÷时， g x > 0， g x ln 4 单调递增；è
x 1 ,+ 当 ÷时， g x < 0， g x 单调递减；
è ln 4
2
g x g 1 = g log e log= 4 e ln 1 -1 log e= 4 ln 4 2 ln 4所以 ÷ 4 ÷ -1 = -1 < 0 ，
è ln 4 e è 4 e e
所以 f x 1 单调递增，且 f ÷ < 0， f 1 > 0，
è 4
所以 f x 有唯一零点，从而 y = a x 与 y =loga x的图像只有一个交点，故①正确；
1 1 1 1 1
对于②：若 a = ，可知 , ÷和 , ÷是 y = a x 与 y =loga x的图像的两个交点，故②错16 è 4 2 è 2 4
误；
对于③④：因为 a > 1，因为 y = a x 与 y =loga x互为反函数，
若两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线 y = x 相切，
设切点为 m, m ，则 am = m ， a x = a x ln a am ln a =1，所以m ln a =1，
log m m ln m且 a = = m m ln a = ln m，所以 ln m = 1，解得m = e，ln a
1
所以 a = ee ，故③正确，④错误；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：对于③④：分析可知两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线
y = x 相切，结合导数的几何意义分析求解.
二、多选题
9．（2024·浙江·二模）设定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若"x R ，均有
xf x = x +1 f x ，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f -2 = 0 （ f x 为 f x 的二阶导数）
C． f 2 < 2 f 1 D． x = -1是函数 f x 的极大值点
【答案】AB

【分析】由 xf x = x +1 f x ，令 x = 0 é f x ù f x ，即可判断 A；由已知得 ê ú = ，即得函数
x x
f x
= ex + c ，确定 c = 0 x，从而可得 f x = x e + c ，求导数，即可判断 B；令
x
f x
g x = , (x > 0)，判断其单调性，即可判断 C；根据极值点与导数的关系可判断 D.
x
【详解】由"x R ， xf x = x +1 f x ，令 x = 0，则 0 = 0 +1 f 0 ,\ f 0 = 0，A 正确；
f x × x - f x f x
当 x 0 时，由 xf x = x +1 f x 得 xf x - f x = xf x ，故 2 = ，x x
é f x ù f x f x
即 ê ú = ，则 = e
x + c （c 为常数），则 f x = x ex + c ，
x x x
f 0 = 0满足该式，故 f x = x ex + c x，则 f x = e + c + xex ，
将 f x = x ex + c 代入 xf x = x +1 f x x中，得 x e + c + xex = x +1 x ex + c ，
即 xex + xc + x2ex = x2ex + x2c + cx + xex ，而 x R ，故 c = 0 ，
则 f x = xex f x = ex + xex f x = ex， ， + ex + xex = ex (2 + x) ，
故 f -2 = ex (2 - 2) = 0，B 正确；
g f xx 令 = , (x > 0)， g x = ex > 0，故 g x 在 (0,+ )上单调递增，
x
f 2 f 1
故 > ，即 f 2 > 2 f 1 ，C 错误；
2 1
x x x
由于 f x = e + xe ，令 f x > 0,\e 1+ x > 0，即得 x > -1，
令 f x < 0,\ex 1+ x < 0，即得 x < -1，
故 f x 在 ( - ,-1)上单调递减，在 ( -1,+ )上单调递增，
故 x = -1是函数 f x 的极小值点，D 错误，
故选：AB
10．（2024·
3
全国·模拟预测）已知函数 f x = x - a + b．若过原点可作函数的三条切线，则
（ ）
A 3． f x 恰有 2 个异号极值点 B．若 a > 0，则b 0，a
C． f x 3恰有 2 个异号零点 D．若 a<0，则b a ，0
【答案】BD
【分析】利用函数导数的符号可判断 AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程
有三解，转化为利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断 BD.
【详解】因为 f x = 3 x - a 2 0(x R)，所以 f (x) 在R 上单调递增，故 AC 错误；
2
设过原点的函数的切线的切点为 x0 , y0 ，则切线的斜率 k = f x0 = 3 x0 - a ，
所以切线方程为 y - y0 = 3 x0 - a
2 x - x0 ，
3
即 y - é x0 - a + bù = 3 x - a
2
0 x - x0 ，
因为过原点 (0,0)，所以- é x0 - a
3 + bù = 3 x0 - a
2 -x0 ，
化简得 2x30 - 3ax
2
0 + a
3 = b，即方程有 3 个不等实数根，
令 g(x) = 2x3 - 3ax2 + a3，则 g (x) = 6x(x - a)，
当 a > 0时， x < 0 或 x > a时， g (x) > 0，0 < x < a 时， g (x) < 0，
所以 g(x)在 (- ,0), (a,+ )上单调递增，在 (0,a)上单调递减，
所以 g(x)极大值 g(0) = a3，极小值为 g(a) = 0，如图，
所以 y = b与 y = g(x) 相交有三个交点需满足0 < b < a3，故 B 正确；
同理，当 a<0时，可知 g(x)极大值 g(a) = 0，极小值为 g(0) = a3，如图，
可得 a3 < b < 0时， y = b与 y = g(x) 相交有三个交点，故 D 正确.
故选：BD
11．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线 f x = x3 - x, g x = x2 - a2 + a 都相切，则 a
的值可以是（ ）
A 2．0 B．- C． log2 7
e π
D． +
4 π e
【答案】ABC
【分析】设该直线与 f x 相切于点 x1, x31 - x 2 31 ，求出切线方程为 y = 3x1 -1 x - 2x1 ，设该
2 2 2 2
直线与 g x 相切于点 x2 , x2 - a + a ，求出切线方程为 y = 2x2x - x2 - a + a ，联立方程组，
a2 a 9得到- + = x4 2x3
3 x2 1 h x 9 x4 2x3 31 - 1 - 1 + ，令 = - - x2
1
+ ，讨论 h x 的单调性，从
4 2 4 4 2 4
而得到最值，则可得到-a2 + a -1，解出 a的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端
点比较大小即可判断是否在区间内.
3 2 2
【详解】设该直线与 f x 相切于点 x1, x1 - x1 ，因为 f x = 3x -1，所以 f x1 = 3x1 -1，
3 2 2 3
所以该切线方程为 y - x1 - x1 = 3x1 -1 x - x1 ，即 y = 3x1 -1 x - 2x1 .
2 2
设该直线与 g x 相切于点 x2 , x2 - a + a ，因为 g x = 2x，所以 g x2 = 2x2 ，
2 2 2 2
所以该切线方程为 y - x2 - a + a = 2x2 x - x2 ，即 y = 2x2x - x2 - a + a ，
ì3x21 -1 = 2x2
所以 í 3 2 2 ，
-2x1 = -x2 - a + a
2 2
所以-a2

+ a = x2 - 2x3 3x= 1
-1 3 9 4 3 3 2 1
2 1 ÷ - 2x1 = x1 - 2x2 4 1
- x1 + ，
è 2 4
h x 9= x4令 - 2x3 3 1- x2 + ,\h x = 9x3 - 6x2 - 3x ，
4 2 4
x , 1 U 0,1 h x x 1所以当 - -

÷ 时， < 0；当 - ,0 U 1, + 时， h x > 0；
è 3 è 3 ÷
1 1
\h x - , - 0,1 - ,0 在 ÷ 和 上单调递减；在 ÷和 1, + 上单调递增；
è 3 è 3
又 h
1 5
-

÷ = ,h 1 = -1，所以 h x -1, + ，
è 3 27
a2 1- 5 1+ 5
é1- 5 1+ 5 ù
所以- + a -1，解得 a ，所以 a的取值范围为 ê , ú ，
2 2 2 2
所以 A 正确；
2 1- 5 2 5 - 2 + 2B 1- 5 2对于 ，- - = > 0，所以 < - < 0，所以 B 正确；
4 2 4 2 4
3 1+ 5
对于 C， 因为0 < log2 7 < log2 2 2 = < ，所以 C 正确；2 2
e π e π 1+ 5
对于 D， 因为 + > 2 × = 2 > ，所以 D 不正确.
π e π e 2
故选：ABC
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）曲线 y = (x + 2)ex-1在 x =1处的切线方程为 ．
【答案】 4x - y -1 = 0
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义 ，即可求得答案.
【详解】由题意得 y = ex-1 + (x + 2)ex-1 = (x + 3)ex-1，且 y = 4x=1 ，
x =1时， y = 3，所以曲线 y = (x + 2)ex-1在 x =1处的切线方程为 y - 3 = 4 x -1 ，
即 4x - y -1 = 0 ，
故答案为： 4x - y -1 = 0
13．（2024·全国·模拟预测）设直线 y = kx 与曲线 y = ln x 相切，则 k = ．
1
【答案】
e
1
【分析】设出切点，由导数的意义可得 k = x ，与直线斜率相等，从而解出
x0 = e，求出斜
0
率即可.
【详解】设切点为P x0 , ln x0 ，
y 1
1
因为 = ，所以切线的斜率 k = x ，x 0
ln x
又因为 k = k 0OP = x ，0
从而 ln x0 =1，解得 x0 = e，
所以 k
1
= ．
e
1
故答案为： .
e
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w π> 0, j π ÷， x = 为 y = f x
è 2 6
π f x x π的图象的对称轴， x = - 为 的零点.若$ 0 - ,
π
使得 y = f x 的图象在
3 è 3 6 ÷
x0 , f x π 7π0 处的切线与 x 轴平行，则w 的最小值为 f x ；若 在 , ÷上单调，则w
è 2 12
的最大值为 ．
【答案】 3 9
【分析】根据已知对称性推得w = 2k +1 n N .进而结合已知可知w 3，即可得出w 的最
π
小值；根据函数的单调性，得出T ≥ ，解得w 12．逐个检验w =11以及w = 9 ，结合函
6
数的零点解出j 的值，检验单调性，即可得出答案.
【详解】设 y = f x 的周期为T ，
因为 x
π
= 为 y = f x x π图象的对称轴， = - 为 f x 的零点，
6 3
1+ 2k π π π 2k +1 2π π
所以，所以有 T = -
4 6
- ÷ = , k N，所以 × = k N ，
è 3 2 4 w 2
所以w = 2k +1 n N ，即w 为正奇数．
$x π π- , 又因为 0 y = f x x , f x x
è 3 6 ÷
使得 的图象在 0 0 处的切线与 轴平行，

则 x = x0是 y = f x 的图象的对称轴.
π π π 3 T 3 2π 3π所以， - - ÷ = = × = ，w 3，满足条件.6 è 3 2 4 4 w 2w
所以，w 的最小值为 3；
π 7π 7π π π T 2π π
因为 f x 在 , ÷上单调，则有 - = ，即T = 2 12 ，解得w 12．è 12 2 12 2 w 6
π f x π检验当w =11时，由 x = - 为 的零点可知，- 11+j = kπ,k Z ．
3 3
π π π
因为 j ，所以j = - ，此时 f x = sin 11x -2 3 ÷ ．è 3
当 x
π , 7π 11x π 31π 73π ÷时， - ,

è 2 12
，
3 è 6 12 ÷
结合正弦函数的性质可知，此时 f x x π , 7π 在 2 12 ÷上不单调，不符合题意；è
π f x π检验当w = 9 时，由 x = - 为 的零点可知，- 9 +j = kπ,k Z ．
3 3
j π因为 ，所以j = 0，此时 f x = sin9x．
2
x π 7π , 9π 21π π 7π 当 2 12 ÷时，
9x , ÷ ，此时 f x 在 x , 上单调，符合题意.
è è 2 4 ÷ è 2 12
所以w 的最大值为 9，此时j = 0．
故答案为：3；9.
四、解答题
15．（2024· 2 x广西·二模）已知函数 f x = 2x - 5x + 2 e ．
(1)求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)求 f x 的单调区间与极值．
【答案】(1) 3x + y - 2 = 0
3 3 9
(2)单调递增区间为 - , -1 和 ,+ ÷，单调递减区间为 -1, 2 ÷；极大值为 ，极小值为è 2 è e
3
-e2
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极
值.
2 x 2 x
【详解】（1）由 f x = 2x - 5x + 2 e ，可知 f x = 2x - x - 3 e ，
所以 f 0 = -3e0 = -3，又 f 0 = 2 ，
所以 f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y - 2 = -3(x - 0)，即3x + y - 2 = 0 ；
2 f x = 2x2（ ） - x - 3 ex = x +1 2x - 3 ex ， f x 的定义域为R ，
由 f x = 0，得 x 3= ，或 x=-1，
2
3 3
当 x < -1或 x > 时， f x > 0， f x 在 (- , -1), ( ,+ ) 上均单调递增；2 2
当-1 < x
3
< 时， f x < 0 3 ， f x 在 -1, 上单调递减；
2 è 2 ÷
3 3
所以函数 f x 的单调递增区间为 - , -1 和 ,+ ÷；单调递减区间为 -1,2 2 ÷，è è
9
故函数 f x 在 x=-1处取得极大值，极大值为 f -1 = ；
e
3 3
在 x = 处取得极小值，极小值为
2 -e2
.
16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数 f x = x + 2 ln x +1 - ax ，曲线 y = f x 在点
0, f 0 处的切线斜率为 1．
(1)求 a 的值；
(2)设函数 g x = f x ，求 g x 的单调区间；
(3)求证： xf x 0．
【答案】(1) a =1
(2)单调递减区间为 -1,0 ，单调递增区间为 0, +
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）求出 g x 的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2），可得 f x 在 -1, + 为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.
x + 2
【详解】（1）由题意得 f x 的定义域为 -1, + ， f x = ln x +1 + - a ，
x +1
因为 f 0 =1．所以 ln1+ 2 - a =1，解得 a =1 .
（2）因为 g x = f x = ln x x + 2+1 + -1， g x 的定义域为 -1, + ，
x +1
g x 1 1 x= - =
x +1 x +1 2 x +1 2 ，
令 g x = 0，得 x = 0，
g x 与 g x 在区间 0, + 上的情况如下：
x -1,0 0 0, +
g x - 0 +
g x 递减 极小 递增
所以 g x 的单调递减区间为 -1,0 ，单调递增区间为 0, + ；
（3）证明：由（2）得，在 x = 0时， g x 取得最小值 1，所以 f x > 0恒成立，
所以 f x 在 -1, + 为增函数，又因为 f 0 = 0，
当-1 < x < 0时， f x < 0 ，所以 xf x > 0；
当 x > 0时， f x > 0，所以 xf x > 0，
当 x = 0时， xf x = 0，
综上， xf x 0 .
17．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知函数 f x = 2ln x ， g x = -x2 + ax - 3 a R ．
(1)证明：对于"a - , 4 ， x 1,+ ，都有 f x g x ．
(2)当 a = 4时，直线 l： y = kx + b与曲线 y = f x 和 y = g x 均相切，求直线 l的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2) y = 2x - 2
【分析】（1）由 f x g x 得 2ln x + x2 - ax + 3 0，根据 a - , 4 转化为证明
2ln x + x2 - 4x + 3 0，构造函数F x = 2ln x + x2 - 4x + 3 x 1 后利用导函数证不等式.
2
（2）先设 y = f x 的切线方程为 y = x + 2ln xx 1 - 2，结合其和 y = g x 也相切，联立后根1
1 1 4
据二次方程有唯一解可得 2ln + - + 3 = 0 F xx x2 x ，利用 的性质，求出x1即可.1 1 1
【详解】（1）因为 f x g x ，所以 2ln x -x2 + ax - 3，即 2ln x + x2 - ax + 3 0．
当 a - , 4 时, 2ln x + x2 - ax + 3 2ln x + x2 - 4x + 3，
欲证"a - , 4 ， f x g x ，只需证 2ln x + x2 - 4x + 3 0在 x 1,+ 上恒成立．
令F x = 2ln x + x2 - 4x + 3 x 1 ，F x 2= + 2x - 4，
x
2 2 2
当 x 1时 + 2x - 4 2 2x - 4 = 0 ，当且仅当 = 2x即 x =1时等号成立，
x x x
故F x 2= + 2x - 4 0，
x
所以函数F x 在区间 1, + 上单调递增，所以F x F 1 = 0 ，所以 f x g x ．
综上所述，对于"a - , 4 ， x 1,+ ，都有 f x g x ．
（2 2）当 a = 4时， g x = -x + 4x - 3，设直线 l与曲线 y = f x 的切点为 x1, 2 ln x1 ，
2
因为 f x 2= ，所以曲线 y = f x 在点 x1, 2 ln x1 的切线方程为 y = x + 2ln xx x 1
- 2，
1
ì 2
y = x + 2ln x1 - 2 2 2
联立方程 í x1 ，得 x + - 4÷ x + 2ln x1 +1 = 0 ，
2 è x1 y = -x + 4x - 3
2
2 1 1 4
由Δ = 0，得 - 4÷ - 4 2ln x1 +1 = 0 ，即 2ln + 2 - + 3 = 0．
è x1 x1 x1 x1
2
由（1）知，函数F x 在 0, + 上单调递增，且F 1 = 2ln1+1 - 4 1+ 3 = 0，
2ln 1 1 4所以方程 + 2 - + 3 = 0x x x 有且只有一个实根， 1 1 1
1
所以 =1 x =1x ，即 1 ，1
代入 y
2
= x + 2ln x1 - 2得 y = 2x - 2x ，1
所以直线 l的方程为 y = 2x - 2 ．
2
18．（2024· · f x 1 a x x全国 模拟预测）已知曲线 = - - + alnx 在点 2, f 2 处的切线与直
2
1
线 y = - x +1垂直．
2
(1)求 a的值．
(2)判断 f x 的单调性，并求极值．
【答案】(1) -6
(2)函数 f x 在 0,1 ， 6, + 上单调递减，在 1,6 13上单调递增，极小值为 ，极大值为
2
24 - 6ln6．
1
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义可得 f 2 × - ÷ = -1，即可得解；
è 2
（2）先求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即
可.
f x 1 a x a f 2 1 a【详解】（1）由题意得 = - - + ，则 = - - ，
x 2
又因为曲线 f x 在点 2, f 2 y 1处的切线与直线 = - x +1垂直，
2
-1 a- 1 所以 ÷ × -2 2 ÷
= -1，解得 a = -6 ；
è è
2
（2）由（1 x）知 a = -6 ，则 f x = 7x - - 6lnx，定义域为 0, + ，
2
6 x - 6 x -1所以 f x 7 x = - - = - x > 0 ，
x x
令 f x < 0，解得0 < x <1或 x > 6，令 f x > 0，解得1< x < 6，
所以函数 f x 在 0,1 ， 6, + 上单调递减，在 1,6 上单调递增，
13
故函数 f x 的极小值为 f 1 = ，极大值为 f 6 = 42 -18 - 6ln6 = 24 - 6ln6．
2
19．（2024· x天津·二模）已知函数 f x = e - ax ， a R ．
(1)若曲线 y = f x 在 x =1处的切线的斜率为 2，求 a的值；
"x 0,1 f 2x 1+ x(2)当 a = 0时，证明： ， < ；
1- x
(3)若 f x + sin x >1在区间 0, + 上恒成立，求 a的取值范围．
【答案】(1) a = e - 2
(2)证明见解析
(3) a 2
【分析】（1）对于 f x ，求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）将问题化为证明 2x < ln(1+ x) - ln(1- x)恒成立，构造函数
g x = ln 1- x - ln 1+ x + 2x，利用导数即可得证.
（3 x）构造函数j x = e - ax + sin x，将问题转化为j x >1恒成立，利用导数分类讨论 a 2
与 a > 2两种情况，从而得解.
x
【详解】（1）由 f x = e - ax ，可知 f x = ex - a ，
因为 y = f x 在 1, f 1 处的切线斜率为 2，
所以 f 1 = e - a = 2，所以， a = e - 2．
（2）证明：当 a = 0时， f 2x = e2x，要证 f 2x 1+ x< ，
1- x
2x 1+ x 2x 1+ x
即证 e < ，两边取对数得， ln e < ln ，
1- x 1- x
即证 2x < ln(1+ x) - ln(1- x)，
令 g x = ln 1- x - ln 1+ x + 2x，只需证 g x < 0即可．
-1 1 -2x2g x = - + 2 = < 0
1- x 1+ x 1- x 1 x ．+
所以， g x 在 x 0,1 上单调递减．
所以， g x < g 0 = 0成立，
1+ x
所以"x 0,1 ， f 2x < .
1- x
（3）若 f x + sin x >1在区间 0, + 上恒成立，
即 ex - ax + sin x >1在区间 0, + 上恒成立．
令j x = ex - ax + sin x x．则j x = e - a + cos x，
x x
令m x = e - a + cos x，m x = e - sin x ，因为 x > 0，
ex x所以 >1，所以 ex > sin x，m x = e - sin x > 0
所以m x 在 x 0, + 时单调递增．
可知m x > m 0 = 2 - a ．
当 a 2时，m x > 0 ，即j x > 0，所以j x 在 x 0, + 时单调递增．
所以j x > j 0 =1成立．
当 a > 2时，m 0 = 2 - a < 0 ，
当 x + 时，m x > 0 ，
所以$x0 0, + 使得m x0 = 0．
当 x 0, x0 时，m x < 0，即j x < 0，所以j x 此时单调递减；
当 x x0 ,+ 时，m x > 0 ，即j x > 0，所以j x 此时单调递增；
所以，j(x)min = j x0 < j 0 =1不成立，舍去．
综上， a 2．
【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式 f x,l 0（ x D ，l 为参数）恒成立问
题中参数范围的步骤：
1.将参数与变量分离，不等式化为 f1 l f2 x 或 f1 l f2 x 的形式；
2.求 f2 x 在 x D 时的最大值或者最小值；
3.解不等式 f1 l f2 x fmax 或 1 l f2 x min ，得到l 的取值范围.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线 y = ex-2 +1的切线，则切线方程为（ ）
A． y = x B． y = 2x y
1
C． = x D． y = ex
e2
【答案】A
【分析】设切点坐标为 (t, et-2 +1) ，求得切线方程为 y - (et-2 +1) = et-2 (x - t) ，把原点 (0,0)代
入方程，得到 (t -1)et-2 =1，解得 t = 2，即可求得切线方程.
【详解】由函数 y = ex-2 +1，可得 y = ex-2 ，
设切点坐标为 (t, et-2 +1) ，可得切线方程为 y - (et-2 +1) = et-2 (x - t) ，
把原点 (0,0)代入方程，可得0 - (et-2 +1) = et-2 (0 - t)，即 (t -1)et-2 =1，
解得 t = 2，所以切线方程为 y - (e0 +1) = e0 (x - 2)，即 y = x .
故选：A.
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数
f x = 2x x - 2 x - 22 x - 23 x - 24 x - 25 x - 26 ，则 f 0 = （ ）
A． 220 B． 221 C．222 D． 223
【答案】C
2
【分析】观察 f (x) ，构造函数j x = x - 2 x - 2 x - 23 x - 24 x - 25 x - 26 ，利用导数
的四则运算得到 f (x) = 2j(x) + 2xj (x)，代入 x = 0即可得解.
j x = x - 2 x - 22 x - 23 x - 24【详解】设 x - 25 x - 26 ，
则 f (x) = 2xj(x)，故 f (x) = 2j(x) + 2xj (x)，
所以 f (0) = 2j(0) = 2 0 - 2 0 - 22 0 - 23 0 - 24 0 - 25 0 - 26
= 21+1+2+3+4+5+6 = 222 .
故选：C.
1
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数 f (x) = sin x + cos x ，且 f (x0 ) = f (x0 ) ，则 tan 2x0 的值2
是（ ）
2 3
- 2
4
A． B． C． D．-
3 4 3 3
【答案】B
【分析】求出函数 f (x) 的导函数，利用给定等式求出 tan x0 ，再利用二倍角的正切计算即
得.
【详解】函数 f (x) = sin x + cos x ，求导得 f (x) = cos x - sin x ，
f (x ) 1由 0 = f (x0 ) ，得 cos x0 - sin x
1
0 = (cos x
1
0 + sin x0 ) ，解得 tan x0 = ，2 2 3
2 1
tan 2x 2 tan x0 3 3所以 0 = = = .1- tan2 x 1 10 - ( )2 4
3
故选：B
ì 1
x

f x ÷ ln
1 , x 0
4．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 = í è 2 è 2 ÷ ，若函数 g x = f x - mx有

4ln
2x, x > 0
4 个零点，则m 的取值范围为（ ）
ìm m 16üA． í 2 B． m m eln2 2
e


ì 16ü ì 16ü
C． ím eln2 2 < m < 2e2
D． ím m = eln 2或m = 2
e
【答案】D
【分析】由题意可知：函数 g x 的零点个数即为 y = f x 与 y = mx 的交点个数，利用导数
求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出 f x 的图象，如图所示
令 g x = f x - mx = 0，可得 f x = mx，
由题意可知：函数 g x 的零点个数即为 y = f x 与 y = mx 的交点个数，
若 x > 0，则 f x = 4ln2 x f x 8ln x，可得 = ，
x
设切点坐标为 8ln xx1, 4 ln2 x 11 , x1 >1，切线斜率为 k1 = x ，1
则切线方程为 y - 4ln2 x
8ln x1
1 = x - x x 1 ，1
2 2
代入点O 0,0 ，可得-4ln x1 = -8ln x1，解得 x1 = e ，
16
此时切线斜率为 k1 = ；e2
x 0 f x 1
x 1 1 x ln 1
x
若 ，则 = ÷ = - ln 2 ×

÷ ，可得 f x = ln2 2 ×

2 2 2 2 ÷
，
è è è
x
x ,- ln 2 × 1
2 x2
设切点坐标为 2 ÷ ÷÷ , x2 0
1
，切线斜率为
2 k2 = ln
2 2 ×
è 2 ÷
，
è è
x
1 2
x
1 2
则切线方程为 y + ln 2 × 2 ÷ = ln 2 × ÷ x - x2 ，
è 2 è 2
1 x 2 1
x
2 1
代入点O 0,0 ，可得 ln 2 × 2 ÷ = ln 2 × ÷ -x2 ，解得 x2 = - = - log2 e，
è 2 è 2 ln 2
此时切线斜率为 k2 = e × ln
2 2；
ì
结合图象可知m 的取值范围为 ím m = eln2 2
16
或m = ü2 . e
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以
形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问
题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图
形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
5．（2024·重庆· 4模拟预测）设点 P (异于原点)在曲线C : y = ax a 0 上，已知过 P 的直线 l
é 3
垂直于曲线C 过点 P 的切线，若直线 l的纵截距的取值范围是 ê , + ÷，则a = （4 ）
A．2 B．1 C． -1 D． ±1
【答案】B
【分析】设P x0 ,ax40 x0 0 ，求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而表示出直线
1
l 2的方程，即可得到直线 l的纵截距，再令 f (x) = + ax (x > 0)，当 a > 0时利用均值不等
4ax
式计算可得，当 a<0时推出矛盾.
【详解】设P x0 ,ax40 x0 0 ，由曲线C : y = ax4 a 0 ，则 y = 4ax3 ，
所以 y |x=x = 4ax
3
，
0 0
1
由直线 l垂直于曲线C 过点 P 的切线，则直线 l的斜率为- 4ax 3 ，0
4 1 1 1 4
所以直线 l的方程为 y - ax0 = - (x - x ) y = - x + + ax4ax3 0 ，即0 4ax
3 4ax2 0 ，0 0
1 4 1
令 x = 0 4，则 y = 2 + ax0 ，即直线 l的纵截距为 2 + ax4ax0 4ax
0 ，
0
f (x) 1设函数 = + ax2 (x > 0)，
4ax
a 1
1
若 > 0，则 f (x) 1 1 3 1 33 × × x2 = 3 ，当且仅当 = x2 ，即 x = 12 时取等号，8ax 8ax 4 a 8ax 2a3
3
因为直线 l
é 3 1 3
的纵截距的取值范围为 ê , + ÷，则 3 = ，解得 a =1； 4 4 a2 4
1
若 a<0， f (x) 3 1 1 3 1 - 3 × × x2 = - 3 ，当且仅当 = x2 ，即 x
1
= - 1 时取等号，不
8ax 8ax 4 a2 8ax 2a3
合题意；
综上可得 a =1 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数的几何意义及两直线垂直斜率的关系得到直线
l的斜率，从而得到直线 l的方程，再表示出纵截距.
二、多选题
6 2023· · f x = x3 - 3x2．（ 广东 二模）已知函数 +1的图象在点 m, f m 处的切线为 lm ，则
（ ）
A． lm 的斜率的最小值为-2 B． lm 的斜率的最小值为-3
C． l0 的方程为 y =1 D． l-1的方程为 y = 9x + 6
【答案】BCD
f x = x3 2【分析】对函数 - 3x +1求导，表示出在点 m, f m 的切线斜率即可.
【详解】因为 f x = 3x2 - 6x = 3(x -1)2 - 3 -3，所以 lm 的斜率的最小值为-3 .
因为 f 0 = 0, f 0 =1，所以 l0 的方程为 y =1.
因为 f -1 = 9, f -1 = -3，所以 l-1的方程为 y + 3 = 9 x +1 ，即 y = 9x + 6 .
故选：BCD.
y
K x =
7．（23-24 高三下· 河南·阶段练习）定义函数 y = f x 的曲率函数 3 （ y 是1+ y 2 2
y 的导函数），函数 y = f x 在 x = x0处的曲率半径为该点处曲率K x0 的倒数，曲率半径
是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为 0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数 y = sinx x
π
在 = 处的曲率半径为 12
C．若圆C 为函数 y = lnx的一个曲率圆，则圆C 半径的最小值为 2
1
D．若曲线 y = lnx在 x1, x2 x1 x2 处的弯曲程度相同，则 x1x2 < 2
【答案】ABD
【分析】直接根据倒数的性质即知 A 正确；直接根据曲率半径的定义计算函数 y = sinx在
x π=
2 处的曲率，再取倒数得到曲率半径即可判断
B 正确；使用三元均值不等式可以证明函
数 y = lnx 2 2的曲率圆的半径一定大于 2，从而 C 错误；设 x1 = a， x2 = b ，然后将条件转化为
关于 a,b的等式，再使用基本不等式进行处理，即可证明 D 正确.
【详解】对于 A，若曲线在各点处的曲率均不为 0，显然K x 0，由K x 0知
K x > 0，
1
由于曲线在 x = x0处的曲率为K x0 ，曲率圆的半径为 K x ，0
所以曲率圆的半径等于曲率的倒数. 而曲率大于 0，所以曲率越大，曲率圆越小，A 正确；
y
B y = sinx K x
-sin x sin x
= =
对于 ，若 ，直接计算知 3 3
= 3 ，所以
1+ y 2 2 1+ cos x 2 2 1+ cos2 x 2
sin π
K π 1 ÷ =
2 = =1
è 2 3 π 2 1
，
2
1+ cos
è 2 ÷
从而函数 y = sinx x
π
在 = 处的曲率为 1，从而函数 y = sinx
π
2 在
x =
2 处的曲率半径为
1 的倒数，
即 1，B 正确；
1
y -
1
x2 x2
y = lnx K x
x
= 3 = 3 = =对于 C，若 ，直接计算知 3 3 2 ，这1+ y 2 2 1 2 1 21+ 1+ x2 2 1+ ÷ ÷ 2 ÷
è è x ÷ è
x

里 x > 0 .
3
1+ x2 2
所以 x 处的曲率圆半径 R x 1= = ，
K x x
从而我们有
3
3
3 1 1 22 1 1 2
1+ x2 2 + + x
2 3 1 1
1 ÷
3 × × x2 2 ÷ 3 3 × × × x
2
，
R x 3 3= = = è 2 2 è = 2 2 = > 2
K x x x x x 2
所以圆C 的半径一定大于 2，不可能以 2 为最小值，C 错误；
x
对于 D，若 y = lnx C K x =，在 选项的过程中已经计算得知 3 1+ x2 ，2
现在如果曲线 y = lnx在 x1, x2 x1 x2 处的弯曲程度相同，则K x1 = K x2 ，故
x1 x= 23 3
1+ x2 ，21 1+ x22 2
x2 2 2 3 2 31 x2 1+ x 1+ x
所以 2 3
=
2 3 ，即
1 2 .
1+ x 2 = 21 1+ x2 x1 x2
1+ a 3 1+ b 3 3 3x2 = a x2 = b a b a,b > 0 1+ a 1+ b 设 1 ， 2 ，则 ， ， = ，将 = 两边展开，
a b a b
a2 3a 1得到 + + 3+ = b2 3b 3
1
+ + + ，从而 a2 1 1- b2 + 3 a - b + - ÷ = 0 .a b è a b
2 2
故 0 = a - b + 3 a b 1 1- + - a b a b 3 a b b - a a b a b 3 1 ÷ = - + + - + = - + + - ÷ ，
è a b ab è ab
而 a b ，
a b 3 1 0 1故 + + - = ，这意味着 = a + b + 3 > 2 ab + 3，从而
ab ab
3 2
2 ab 3 2+ 3 ab 1 2 1< = + 3 1 2 ÷ ÷ .è è 2
定义函数 g x = 2x3 + 3x2 1 3 2，则 g ab < g ÷ ，由于 ab > 0，函数 g x = 2x + 3x 在 0, +
è 2
上递增，
1 2 2 1
故 ab < ，所以 x1x2 = x1 x2 = ab < ，D 正确.2 2
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：在适当的时候使用均值不等式是解决本题 C，D 选项的关键.
三、填空题
2
8．（2024·上海闵行·二模）函数 y = - x 在 x =1x 处的切线方程为 .
【答案】3x + y - 4 = 0
【分析】切线的斜率是在 x =1处的导数，切线过 1, f 1 ，由直线的点斜式方程可以求出切
线方程.
【详解】 f x 2= - x f '， x 2= - 2 -1 f 1 =1, f
'
，所以 1 = -3，
x x
所以在 x =1处的切线方程为 y -1 = -3 x -1 ，即3x + y - 4 = 0，
故答案为：3x + y - 4 = 0 .
9．（2024·全国·模拟预测）曲线 y = 2 x 与 y = 2 + lnx的公切线方程为 .
【答案】 x - y +1 = 0
【分析】设出两曲线的切点 A x1,2 x1 x1 > 0 和B x2 ,2 + lnx2 x2 > 0 ，由导数的意义可得
1
x2 = x1 ，再由点斜式得出公切线方程 y = x + lnx2 +1x ，把点A 代入直线方程可得2
ln x1 - x1 +1 = 0，构造函数 h x = lnx - x +1，求导分析单调性得到 h(x)max = h 1 = 0，进
而得出 x1 =1, x2 =1，最后得到直线方程.
【详解】设曲线 f x = 2 x 上的切点为 A x1,2 x1 x1 > 0 ，曲线 g x = 2 + lnx 上的切点为
B x2 ,2 + lnx2 x2 > 0 .
f x 1 , g x 1因为 = = x ，x
1 1
则公切线的斜率 k = =x x ，所以 x2 = x1 .1 2
1
因为公切线的方程为 y - 2 + lnx2 = x - x2
1
，即 y = x + lnx2 +1x ，2 x2
将 xx1,2 x1 1代入公切线方程得2 x1 = + lnx +1x 2 ，2
由 x2 = x1 ，得 ln x1 - x1 +1 = 0 .
令h x = lnx - x +1, x > 0 1，则 h x = -1，
x
当0 < x <1时， h x > 0；当 x >1时， h x < 0，
故函数 h x 在 0,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减， h(x)max = h 1 = 0，
所以 x1 =1, x2 =1，
故公切线方程为 y = x +1，即 x - y +1 = 0 .
故答案为： x - y +1 = 0 .
四、解答题
10．（2024·河北·模拟预测）已知函数 f x = eax - ex - b在 x = 0处的切线为 x 轴．
(1)求 a,b的值；
(2)求 f x 的单调区间．
【答案】(1) a = e，b =1
(2)单调递减区间为 - ,0 ，单调递增区间为 0, +
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 f 0 = 0且 f 0 = 0，即可得到方程组，解得
即可；
（2）求出函数的导函数 f x ，再利用导数说明 f x 的单调性，即可求出 f x 的单调区
间.
【详解】（1）因为 f x = eax - ex - b f x = aeax，所以 - e，
依题意 f 0 = 0且 f 0 = 0，
ìe0 - b = 0 ìa = e
所以 í 0 ，解得 .
ae - e = 0
í
b =1
（2）由（1）可得 f x = eex - ex -1函数的定义域为R ，
f x = eex+1 - e = e eex又 -1 ，
令 g x = f x = eex+1 - e ，则 g x = eex+2 > 0，所以 g x （ f x ）在定义域R 上单调递增，
又 f 0 = 0，所以当 x < 0 时 f x < 0，当 x > 0时 f x > 0，
所以 f x 的单调递减区间为 - ,0 ，单调递增区间为 0, + .
11．（2023·贵州·模拟预测）已知函数 f x = ln x, g x = a x -1 2 -1 .
1
(1)当 a = 时，求函数F x = f x - g x 的最大值；
4
1
(2)当 a = - 时，求曲线 y = f x 与 y = g x 的公切线方程.
4
3
【答案】(1) ln 2 +
4
(2) y = x -1
1
【分析】（1）代入 a = ，然后求出F x ，进而可得单调性求出最值；
4
1
（2）代入 a = - ，设出切点，求出切线方程，利用方程为同一直线，列方程组求解即可.
4
a 1【详解】（1）当 = 时,
4
F x = f x - g x = ln x - é1ê x -1
2 -1ù ln x 1= - x2 1 3ú + x + ， 4 4 2 4
F x 1 1 x 1 -x
2 + x + 2 - x - 2 x +1
\ = - + = = ，
x 2 2 2x 2x
令F x > 0，得0 < x < 2，令F x < 0，得 x > 2，
\求函数F x 在 0,2 上单调递增，在 2, + 上单调递减，
F x F 2 ln 2 1 4 1 2 3 3\ = = - + + = ln 2 +max ；4 2 4 4
a 1= - g x 1= - x -1 2（2）当 时， -1 1= - x2 1 x 5+ - ，
4 4 4 2 4
设函数 f x = ln x上一点为 x1, ln x1 ，
1
又 f x 1= ，\ f x1 = x ，x 1
1
\函数 f x = ln x上过点 x1, ln x1 的切线方程为： y = x - x1 + ln xx 1，1
y 1即 = x + ln x -1x 1 ，1
设函数 g x x , 1 x2 1 x 5 上一点为 2 - + - ，
è 4 2 2 2 4 ÷
g x 1 x 1又 = - + ，\ g x2
1 1
= - x2 +2 2 2 2
1 1 5 1 1 1 1 5
\ 2过点 x2 ,- x2 + x -

的切线方程为： y = - x + x - x - x2 + x - ，
è 4 2 2 4 ÷ 2 ÷ 2 è 2 2 4 2 2 2 4
y 1 x 1 x 1 5即 = - 2 + ÷ + x
2
2 2 4 2
- ，
è 4
1
若 y = x + ln x -1 y =
1 x 1 1- + 2 5
x 1 与 2 2 2 ÷
x + x2 - 为同一直线，
1 è 4 4
ì 1 1 1

- x + =
2 2 2 x1 ìx1 =1则 í ，解得 í ,
1 2 5 x2 = -1

x - = ln x -1
4 2 4 1
\公切线的方程为： y = x -1 .
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = lnx +1, g x = ex -1.
(1)求曲线 y = f x 与 y = g x 的公切线的条数；
(2)若 a > 0,"x -1, + , f x +1 a2g x + a2 - a +1，求 a的取值范围.
【答案】(1)2 条
(2) a 1
【分析】（1）设切点，求导，分别求解 f x , g x 的切线方程，根据公切线可得
ì 1 = ex 2
í x1 ，即可求解 x2 = 0或 x2 =1，从而得解，
ln x1 = -x2e
x2 + ex2 -1
（2 2 x）将问题转化为 ln x +1 a e - a对于"x -1,+ 恒成立，根据 x = 0可得a 1，进而
构造函数m(x) = ln x - x +1,证明 ln x +1 x ，即可先求解 x a2ex - a ，构造函数
F x = x - a2ex + a, x > -1 ，求导，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）设 f x = lnx +1, g x = ex -1的切点分别为 x1, f x1 , x2 , g x2 ，
f x 1则 = , g (x) = ex ，
x
故 f x = lnx +1, g x = ex -1在切点处的切线方程分别为
y 1= x - x 11 + ln x1 +1 y = x + ln xx x 1，1 1
y = ex2 x - x x22 + e -1 y = ex2 x - x x2 x22e + e -1
则需满足；
ì 1
= e
x2
í x1 ,故 ln
1
= -x ex2x 2 + e
x2 -1 ex2 -1 x2 -1 = 0，2
ln x = -x ex 2 + e
x2
1 2 -1
e
解得 x2 = 0或 x2 =1，
因此曲线 y = f x 与 y = g x 有两条不同的公切线，
2 f x +1 a2g x + a2 - a +1 ln x +1 +1 a2 ex 2（ ）由 可得 -1 + a - a +1，
ln x +1 a2即 ex - a对于"x -1,+ 恒成立，
ln 0 +1 a2e0 - a ，结合 a > 0,解得a 1
设m(x) = ln x - x +1,，
则当 x >1时m (x)
1
= -1< 0,m x 单调递减，当0 < x <1时，m (x) > 0, m x 单调递增，
x
故当m(x) m 1 = 0，故 ln x x -1,
因此 ln x +1 x ， x > -1 ，
F x = x - a2 x令 e + a, x > -1 ，则F x =1- a2ex ，
令F x =1- a2ex = 0，得 x = -2ln a，
当-2ln a -1 2时，此时 a e ，F x =1- a ex < 0，故F x 在 x > -1上单调递减，
所以
e 2 2 2a e e e e e
2
2 2 - - + - - - + + e
F x F 1 1 a a -a + ea - e
÷ ÷
< - = - - + = = è 2 4 è 2 4 = e - 2 < 0
e e e e
，
所以F x = x - a2ex + a < 0，由于 ln x +1 x 进而 ln(x +1) - a2ex + a < 0，满足题意，
当-2ln a > -1时，此时1 < a < e ，
F x =1- a2ex令 > 0，解得-1 < x < -2ln a, F x 单调递增，
令F x =1- a2ex < 0，解得 x > -2ln a, F x 单调递减，
故F x F x = F -2ln amax = -2ln a -1+ a ，
令 p a = -2ln a -1+ a 2 a - 2，则 p a = - +1 = ，
a a
2 a - 2
由于 1< a < e ，所以 p a = - +1 = < 0，a a
故 p a 在1 < a < e 单调递减，故 p a < p 1 ，即可 p a < 0，
因此F x F x = F -2ln a = -2ln a -1+ a < 0 F x < 0max
所以F x = x - a2ex + a < 0，由于 ln x +1 x 进而 ln(x +1) - a2ex + a < 0，满足题意，
综上可得a 1
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题考点 16 导数的概念及其意义、导数的运算（3 种核心题型+
基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够
用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导
数
【知识点】
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数记作 或 .
Δy
f′(x0)＝ lim
→ ＝ .
Δx 0 Δx
(2)函数 y＝f(x)的导函数(简称导数)
f x＋Δx －f x
f′(x)＝y ′＝ lim→ .
Δx 0 Δx
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的 ，
相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且 α≠0) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝______
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ln x f′(x)＝_____
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
f x f′ x g x －f[ ]
x g′ x
′＝ (g(x)≠0)；
g x [g x ]2
[cf(x)]′＝ ．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数与函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝ ，即
y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
1 －f′ x
2.[ ] ′＝ (f(x)≠0)f x [f x ]2
【核心题型】
题型一　导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则
求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
2 + Dx 3 - 23
【例题 1】（2024·重庆·模拟预测） lim =（ ）
Dx 0 Dx
A．72 B．12 C．8 D．4
【变式 1】（2024·广西·二模）记函数 y = f x 的导函数为 y ， y 的导函数为 y ，则曲线
y
y = f x K =的曲率 3 ．若函数为 y = lnx2 ，则其曲率的最大值为（ ）é
1+ y ù
2

A 2 B 2 C 2 3 2 3． ． ． D．
3 2 9 3
【变式 2】（多选）（2024·全国·模拟预测）记函数 fn x 的导函数为 fn+1 x ，已知
f1 x = x2ex ，若数列 an ， bn 满足 fn x = x2 + an x + bn ex ，则（ ）
A． an 为等差数列 B． bn 为等比数列
50 1 48
C． = D．8bn 2an
n=3 bn 49
2
【变式 3】（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = x × f 0 + x × f 1 - 2，则 f 2 =（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
题型二　导数的几何意义
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①
切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点 P 处的切线”与“过点 P 的切线”．
命题点 1　求切线方程
3
【例题 2】（多选）（2024·河南郑州·模拟预测）过点 P a,b 作直线 l 与函数 f x = -2x 的图
象相切，则（ ）
A．若 P 与原点重合，则 l 方程为 y = 0
B．若 l 与直线 x - 6y = 0垂直，则6a + b = 4
C．若点 P 在 f x 的图象上，则符合条件的 l 只有 1 条
3
D．若符合条件的 l 有 3 a 1条，则 < -
b 2
【变式 1】（2024·贵州·模拟预测）过点P(1,-3)作曲线 y = 2x3 - 3x 的切线，请写出切线的方
程 .
【变式 2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 f x = lnx 在点P x0, y 0 处的切线过原点O 0,0 ，
则 x0 = .
ae2x -1
【变式 3】（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 的图象在 1, f 1 处的切线经过点
x
2,2e2 ．
(1)求 a的值及函数 f x 的单调区间；
(2) 3 2lx若关于 x 的不等式l x - x - lnxe + lnx < 0在区间 1, + 上恒成立，求正实数l 的取值
范围．
命题点 2　求参数的值(范围)
a
【例题 3】（2024· 2内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线 y = x + 3x + 在 x =1处的切线与直线
x
x - 2y +1 = 0垂直，则a = （ ）
9 11
A．3 B． C．7 D．
2 2
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）若直线 y = 2x - b与曲线 f (x) = e2x - 2ax(a > -1)相切，则b
的最小值为（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）曲线 y = ex 在 A x1, y1 处的切线与曲线 y = ln x + m相切于点
B x2 , y2
1 1
，若 x1 < x2且 + =1 mx - x y - y ，则实数 的值为 .2 1 2 1
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = (x -1)2 ex - ax，且曲线 y = f (x) 在点
(0, f (x))处的切线方程为 y = -2x + b．
(1)求实数 a，b 的值；
(2)证明：函数 f (x) 有两个零点．
题型三　两曲线的公切线
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合
列方程组求解．
3 2
【例题 4】（2023·山西·模拟预测）已知函数 f x = a - 3 x + a - 2 x + a -1 x + a若对任意
x0 R ，曲线 y = f x 在点 x0 , f x0 和 -x0 , f -x0 处的切线互相平行或重合，则实数a =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x + a + lnx 的图象上存在不同的两点 A, B，
使得曲线 y = f x 在点 A, B处的切线都与直线 x + 2y = 0 垂直，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
1
【变式 2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数 f x = sin 2x .若曲线 y = f x 在点 A x1, f x1 2
处的切线与其在点B x2 , f x2 处的切线相互垂直，则 x1 - x2 的一个取值为 .
【变式 3】（2023· 2 2江苏南通·模拟预测）已知函数 f x = x - ax + a ，g x = 2ex-1 - ax
(1)若 a =1，证明：曲线 y = f x 与曲线 y = g x 有且仅有一条公切线；
(2)当 x 1时， f x - g x 2ax，求 a 的取值范围．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
cos x
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + 2x ，则曲线 y = f x 在 x = 0处的切e
线方程为（ ）
A． 2x - 2y +1 = 0 B． x + y -1 = 0
C． x - y +1 = 0 D．2x - y +1 = 0
2．（2024·广东·二模）函数 f x 的定义域为R, f 2 = 3，若"x R, f x > 1，则 f x > x +1
的解集为（ ）
A． -2,2 B． 2, + C． - , 2 D． - , +
1
3．（2024·全国·模拟预测）若曲线 f x = + loga x（ a > 0且a 1）有两条过坐标原点的切x
线，则 a的取值范围为（ ）

0, e
e
A． e ÷÷
B． ,1e ÷÷
C． 1, e D． e,+
è è
6
4．（2024· 6 2 6四川·模拟预测）已知 (1+ x) = a0 + a1x + a2x +L+ a6x ，则 iai =（ ）
i=1
A．48 B．192 C．128 D．72
5．（2024·湖南娄底·一模）若直线 ex - 4y + eln4 = 0 是指数函数 y = a x (a > 0且 a 1)图象的一
条切线，则底数a = （ ）
A 2 1． 或 B． e2 C． e D．
e或 e
二、多选题
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线
为这些曲线的公切线，已知直线 l： y = kx + b为曲线C1： y = aex (a > 0)和C2 ：
y = ln x (a > 0)的公切线，则下列结论正确的是（ ）
a
A．曲线C1的图象在 x 轴的上方
B．当 a =1时， ln k + b = -1
1
C．若b = 0，则 a =
e
1
D．当 a =1时，C1和C2 必存在斜率为 的公切线k
7．（2023·全国· * x模拟预测）若过点P 1,l 最多可作 n n N 条直线与函数 f x = x -1 e 的
图象相切，则（ ）
A．当 l = 0 时，切线方程为 y = e x -1
4
B．当 n =1时，l

- , -

÷ U 0
è e
C．当 n = 2时，λ 的值不唯一
D．l + n的值一定小于 3
三、填空题
8．（2024·四川·模拟预测）已知m > 0, n > 0 y
1
，直线 = x + m +1与曲线 y = lnx - n + 3相切，
e
则m + n = ．
9．（2024·山东·一模）已知 A，B 分别为直线 y = 3x - 3和曲线 y = 2ex + x上的点，则 AB 的
最小值为 ．
四、解答题
10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 f (x) = 2(mx - ln x) + e .
(1)若 f (x) 的图象在点 (1, f (1))处的切线与直线 l : 2x + y +1 = 0 垂直，求m 的值;
(2)讨论 f (x) 的单调性与极值.
11．（2024· x广东深圳·二模）已知函数 f x = ax +1 e ， f x 是 f x 的导函数，且
f x - f x = 2ex ．
(1)若曲线 y = f x 在 x = 0处的切线为 y = kx + b，求 k，b 的值；
(2)在（1）的条件下，证明： f x kx + b．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = xex +1，过点P 2,1 可作曲线 y = f x 的切线条
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f x = x -1，则曲线 y = f x 在点 -1, f -1 处e
的切线方程为（ ）
A． ex + y +1 = 0 B． ex - y +1 = 0
C． ex + y -1 = 0 D． ex - y -1 = 0
3．（2024·福建漳州·一模）若曲线 y = aex-2 + x在点 2,2 + a 处的切线方程为 y = 4x + b ，则
a + b =（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．1
4 2023· · f x = x2 - x + 2 ex．（ 全国 模拟预测）已知函数 ，则函数 f x 的图象在 x =1处的切
线方程为（ ）
A．3ex - y + e = 0 B． 2ex - y - e = 0 C．3ex - y - e = 0 D． 2ex + y - 4e = 0
5 x．（2024·江西上饶·一模）已知函数 f x = xe ，则下列说法正确的是（ ）
A f x f x = x -1 ex． 的导函数为 B． f x 在 -1, + 上单调递减
C． f x 1的最小值为 - D． f x e 的图象在 x = 0处的切线方程为
y = 2x
6．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 y = ax + b 与曲线 y = ex 相切于点 x0 , ex0 ，若 x0 - ,3 ，
则 a + b 的取值范围为（ ）
A． - , e B -e3． ,eù C． 0,e D． 0,e3 ù
7．（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = x sin x在点 xi , f xi 处的切线均经过坐标原点，
5
其中0 < xi < 5π， i =1,2,3,4,5 ，则 f (xi ) =（ ）
1
5π 5π 25πA． B． C． D．15π
2 2
8．（2024·宁夏银川·一模）已知函数 y = a x 与 y =loga x（ a > 0且a 1）的图象只有一个交
1 1 1
点，给出四个值：① ；② ；③ ee ；④ e ，则 a的可能取值为（16 ）4
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、多选题
9．（2024·浙江·二模）设定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若"x R ，均有
xf x = x +1 f x ，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f -2 = 0 （ f x 为 f x 的二阶导数）
C． f 2 < 2 f 1 D． x = -1是函数 f x 的极大值点
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x - a 3 + b．若过原点可作函数的三条切线，则
（ ）
A． f x 恰有 2 个异号极值点 B．若 a > 0，则b 0，a3
C． f x 3恰有 2 个异号零点 D．若 a<0，则b a ，0
11．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线 f x = x3 - x, g x = x2 - a2 + a 都相切，则 a
的值可以是（ ）
A 0 B 2 e π． ．- C． log
4 2
7 D． +
π e
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）曲线 y = (x + 2)ex-1在 x =1处的切线方程为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）设直线 y = kx 与曲线 y = ln x 相切，则 k = ．

14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0, j
π
π÷， x = 为 y = f x
è 2 6
π
的图象的对称轴， x = - 为 f x x π , π的零点.若$ 0 -

÷使得 y = f x 的图象在3 è 3 6
x π 7π 0 , f x0 处的切线与 x 轴平行，则w 的最小值为 ；若 f x 在 , 上单调，则w
è 2 12 ÷
的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024· 2广西·二模）已知函数 f x = 2x - 5x + 2 ex．
(1)求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)求 f x 的单调区间与极值．
16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数 f x = x + 2 ln x +1 - ax ，曲线 y = f x 在点
0, f 0 处的切线斜率为 1．
(1)求 a 的值；
(2)设函数 g x = f x ，求 g x 的单调区间；
(3)求证： xf x 0．
17 2．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知函数 f x = 2ln x ， g x = -x + ax - 3 a R ．
(1)证明：对于"a - , 4 ， x 1,+ ，都有 f x g x ．
(2)当 a = 4时，直线 l： y = kx + b与曲线 y = f x 和 y = g x 均相切，求直线 l的方程．
2
18．（2024· · f x 1 a x x全国 模拟预测）已知曲线 = - - + alnx 在点 2, f 2 处的切线与直
2
y 1线 = - x +1垂直．
2
(1)求 a的值．
(2)判断 f x 的单调性，并求极值．
19．（2024· x天津·二模）已知函数 f x = e - ax ， a R ．
(1)若曲线 y = f x 在 x =1处的切线的斜率为 2，求 a的值；
1+ x
(2)当 a = 0时，证明："x 0,1 ， f 2x < ；
1- x
(3)若 f x + sin x >1在区间 0, + 上恒成立，求 a的取值范围．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线 y = ex-2 +1的切线，则切线方程为（ ）
A． y = x B． y = 2x
1
C． y = x D． y = ex
e2
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数
f x = 2x x - 2 x - 22 x - 23 x - 24 x - 25 x - 26 ，则 f 0 = （ ）
A． 220 B． 221 C．222 D． 223
1
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数 f (x) = sin x + cos x ，且 f (x0 ) = f (x0 ) ，则 tan 2x0 的值2
是（ ）
2 3 2 4
A．- B． C． D．-
3 4 3 3
ì 1 x ln 1 f x ÷ ÷ , x 04．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 = íè 2 è 2 ，若函数 g x = f x - mx有
2
4ln x, x > 0
4 个零点，则m 的取值范围为（ ）
ìm m 16üA． í 2 B． m m eln2 2
e
ì
C． ím eln2 2 m
16ü ìm m eln2 2 m 16< < = = üD． 或
e2
í
e
2
5．（2024·重庆· 4模拟预测）设点 P (异于原点)在曲线C : y = ax a 0 上，已知过 P 的直线 l
é 3
垂直于曲线C 过点 P 的切线，若直线 l的纵截距的取值范围是 ê , +

÷，则a = （4 ）
A．2 B．1 C． -1 D． ±1
二、多选题
6．（2023·广东· 3二模）已知函数 f x = x - 3x2 +1的图象在点 m, f m 处的切线为 lm ，则
（ ）
A． lm 的斜率的最小值为-2 B． lm 的斜率的最小值为-3
C． l0 的方程为 y =1 D． l-1的方程为 y = 9x + 6
y
K x =
7．（23-24 高三下·河南·阶段练习）定义函数 y = f x 的曲率函数 3 （ y 是1+ y 2 2
y 的导函数），函数 y = f x 在 x = x0处的曲率半径为该点处曲率K x0 的倒数，曲率半径
是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为 0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数 y = sinx x
π
在 = 2 处的曲率半径为
1
C．若圆C 为函数 y = lnx的一个曲率圆，则圆C 半径的最小值为 2
D．若曲线 y = lnx在 x1, x2 x1 x
1
2 处的弯曲程度相同，则 x1x2 < 2
三、填空题
2
8．（2024·上海闵行·二模）函数 y = - x 在 x =1处的切线方程为 .x
9．（2024·全国·模拟预测）曲线 y = 2 x 与 y = 2 + lnx的公切线方程为 .
四、解答题
10．（2024· ax河北·模拟预测）已知函数 f x = e - ex - b在 x = 0处的切线为 x 轴．
(1)求 a,b的值；
(2)求 f x 的单调区间．
11．（2023·贵州·模拟预测）已知函数 f x = ln x, g x = a x -1 2 -1 .
1
(1)当 a = 时，求函数F x = f x - g x 的最大值；
4
1
(2)当 a = - 时，求曲线 y = f x 与 y = g x 的公切线方程.
4
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = lnx +1, g x = ex -1.
(1)求曲线 y = f x 与 y = g x 的公切线的条数；
(2)若 a > 0,"x -1, + , f x +1 a2g x + a2 - a +1，求 a的取值范围.

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