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考点 14 函数的零点与方程的解（3 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
【知识点】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程 f(x)＝0 有实数解 函数 y＝f(x)有零点 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函数
y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程
f(x)＝0 的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在
区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分
法．
常用结论
1．若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
【核心题型】
题型一　函数零点所在区间的判定
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
【例题 1】（2024· · 3x贵州贵阳 模拟预测）设方程 × log3 x =1的两根为x1， x2 x1 < x2 ，则
（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 3 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 4
【答案】C
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出0 < x1 <1 < x2 < 2，即可判断 AD，计算出
log3 x1x2 < 0，可判断 BC.
x
3x × log x =1 log x 1= = 1 【详解】由 3 可得 3 3x ÷
，
è 3
x
在同一直角坐标系中同时画出函数 y = log3 x 和 y
1
= ÷ 的图象，如图所示：
è 3
log 1 1
1 1 2
因为 3 < ÷ = ， log3 2 = log3 2
1 1
> ÷ = ，
è 3 3 è 3 9
由图象可知，0 < x1 <1 < x2 < 2，
所以1< x1 + x2 < 3故 A，D 错误；
1
x
1 1
x
2log3 x1x2 = log3 x1 + log3 x2 = - ÷ + ÷ ，
è 3 è 3
x x
x < x 1
1
>
1 2
因为 1 2，所以 ÷ ÷ ，所以 log3 x1x2 < 0，
è 3 è 3
1
所以0 < x1x2 <1，即 x1 < x ，故 B 错误，C 正确.2
故选：C
【变式 1】（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = 3x + x - 6 有一个零点 x = x0，则 x0 属于下
列哪个区间（ ）
1 ,1 3 3 5 A． 2 ÷ B．
1, , 2
2 ÷ C． 2 ÷ D．è è
2, ÷
è è 2
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理计算即可.
【详解】由题知 f x 在R 上单调递增，
1 3
∵ f ÷ = 3 - 5.5 < 0， f 1 = -2 < 0 f
3
， = 32 - 4.5，
è 2 ÷è 2
3 2 f 3 > 0 1, 3 又3 - 4.5 > 0，∴ ÷ ，即在 2 ÷上存在 x 使得 f x = 0 .è 2 è 0 0
故选：B.
x-1
【变式 2】（2023·海南·模拟预测）函数 f x = 2 + x - 3的零点所在的区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】C
【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.
x-1
【详解】易知函数 f x = 2 + x - 3在R 上单调递增，
又 f 1 =1+1- 3 < 0， f 2 = 2 + 2 - 3 > 0，
由函数的零点存在定理可知，函数 f x 的零点所在的一个区间是 1,2 ．
故选：C
6
【变式 3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数 f x = - log2 x 零点所在的一个区间 .x
【答案】 3,4
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数 f x 6= - log2 x 为 0，+ 上的减函数,x
函数的图像在 0，+ 上为一条连续不断的曲线,
又 f 3 = 2 - log2 3 > 2 - log2 4 = 0 , f 4
3 3 1
= - log2 4 = - 2 = - < 0 ,2 2 2
6
所以函数 f x = - log2 x 零点所在的一个区间为 3,4 .x
3,4
故答案为:
题型二　函数零点个数的判定
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令 f(x)＝0，方程有多少个解，则 f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数．
【例题 2】（2024·天津·二模）已知函数 f x = sin2 x + 2sin x cos x - cos2 x ，关于 f x 有下面
四个说法：
① f x 的图象可由函数 g x = 2 sin 2x π的图象向右平行移动 8 个单位长度得到；
② f x é π在区间 ê- ,
π ù
4 4 ú
上单调递增；

x é π , π ù
é
3 -1
ù
③当 ê ú 时， f x 的取值范围为6 2 ê
, 2 ；
2
ú

④ f x 在区间 0,2π 上有3个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】首先把 f x 用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可.
【详解】因为 f x = sin2 x + 2sin x cos x - cos2 x = sin 2x - cos2 x - sin2 x ，
即 f x = sin2x -cos2x = 2sin 2x
π
- ÷ .
è 4
对于①，函数 g x = 2 sin 2x π的图象向右平行移动 8 个单位长度，
得到 y = 2 sin 2
x π -

÷ = 2 sin
π
2x - ÷ ，所以①正确；
è 8 è 4
π π π 3π π
对于②， x
é
ê- ,
ù
ú，则 2x -
é- , ù
4 4 ， 4 ê 4 4 ú
f x = 2 sin 2x π- ÷先减后增，所以②错误；
è 4
x π π é , ù 2x π é π , 3π ù对于③，当 ê ，则 - ， 6 2 ú 4 ê12 4 ú
2x π π x 3π当且仅当 - = 时，即 = 时， f x = 2
4 2 8 max
，
当且仅当 2x
π π π
- = π π 6 - 2 3 -1时，即 x = ， f x = 2 sin 2 - = 2 = ，
4 12 6 min 6 4 ֏ 4 2
é 3 -1 ù
所以 f x 的取值范围为 ê , 2ú，所以③正确；
2
π é π 15π ù
对于④，由 x 0,2π ，则 2x - - ,
4 ê 4 4 ú
，

π
则当 2x - = 0,2x
π π
- = π,2x - = 2π,2x π- = 3π时， f x = 0，
4 4 4 4
所以 f x = 0在 x 0,2π 上有 4个零点，所以④错误.
故选：B.
【变式 1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数 f x 满足 f x + 8 = f x ， f x + f 8 - x = 0，
当 x 0,4 时， f x = ln π 1+ sin x ÷，则函数F x = f 3x - f x 在 0,8 内的零点个数为
è 4
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，判断 y = f 3x 的图象关于点 4,0 对称，利用导数判断函数 f x 在 0,4
上的单调性，在同一坐标系中作出 y = f 3x 与 y = f x 的图象，得出交点个数，并结合对
称性及 f 12 = f 4 = 0可得解.
【详解】根据题意，函数 f x 的周期为 8，图象关于点 4,0 对称，
又 f é 3 8 - x ù + f 3x = f 8 - 3x + f 3x = - f 3x + f 3x = 0，
所以函数 y = f 3x 的图象也关于点 4,0 对称，
由 x 0,4 ， f x = ln 1+ sin
π x
4 ÷
，
è
π cos π x
\ f x = 4 4 0 π x π ππ ，Q < ， sin x 0，1+ sin x 4 4
4
令 f x > 0，解得0 x < 2，令 f x < 0，解得 2 < x < 4 ，
所以函数 f x 在 0,2 上单调递增，在 2,4 上单调递减， f 2 = ln 2， f 0 = f 4 = 0，
在同一个坐标系中，作出函数 y = f 3x 与 y = f x 的图象，如图，
由图可得，函数 y = f 3x 与 y = f x 在 0,4 上有两个交点，
因为函数 y = f 3x 与 y = f x 图象均关于点 4,0 对称，
所以函数 y = f 3x 与 y = f x 在 4,8 上有两个交点，又 f 12 = f 4 = 0，
所以函数F x = f 3x - f x 在 0,8 内的零点个数为 5.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质及函数零点个数问题，依据题意，可判断函数
y = f 3x 与 y = f x 图象均关于点 4,0 对称，利用导数判断函数 y = f x 在 0,4 上的单
调性，并根据单调性，极值作出 y = f x 与 y = f 3x 在 0,4 上的图象，根据图象求得结果.
【变式 2】．（2024·青海西宁·二模）记t x 是不小于 x 的最小整数,例如
t 1.2 = 2,t 2 = 2,t -1.3 = -1, - x 1则函数 f x =t x - x - 2 + 的零点个数为 .
8
【答案】3
【分析】先将 f x =t x 1 1- x - 2- x + 的零点个数转化为 g x =t x - x和 h x = 2- x - 的交
8 8
点个数，然后画图确定交点个数.
【详解】令 f x = 0 ,则t x - x 1= 2- x - ,
8
令 g x =t x - x, h x = 2- x 1- ,
8
则 g x 与 h x 的交点个数即为 f x 的零点个数,
当-1 < x 0时, g x = 0 - x = -x 0,1 ,
又 g x +1 =t x +1 - x +1 =t x - x = g x ,
所以 g x 是周期为 1 的函数,
h x 在R 上单调递减,且 h -1 >1, h 0 7= ,h 3 = 0 ,
8
所以可作出 g x 与 h x 的图象如图,
所以 g x 与 h x 有 3 个交点，故 f x 的零点个数为 3,
故答案为：3.
【变式 3】（2024·北京西城·一模）关于函数 f x = sinx + cos2x，给出下列三个命题：
① f x 是周期函数；
②曲线 y = f x x π关于直线 = 2 对称；
③ f x 在区间 0,2π 上恰有 3 个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】选项①，根据条件得到 f x + 2π = f (x) ，即可判断出①的正误；选项②，根据条
件得出 f (π - x) = f (x) ，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令 f (x) = 0 ，直
接求出 x 的值，即可得出③的正误，从而得出结果.
【详解】对于①，因为 f x = sinx + cos2x，所以
f x + 2π = sin(x + 2π) + cos2(x + 2π) = sin x + cos2x = f (x)，故T = 2π，所以选项①正确，
对于②，因为 f (π - x) = sin(π - x) + cos2(π - x) = sin x + cos2x = f (x)，
π
由对称轴的定义知， x = 2 为函数
f (x) 的一条对称轴，所以选项②正确，
对于③，因为 f x = sinx + cos2x = -2sin2x + sin x +1，令 f (x) = 0 ，得到
-2sin2x + sin x +1 = 0，
sin x 1 x 0,2π sin x 1 11π解得 = - 或 sin x = 1，又 ，由 = - x 7π，得到 = 或 x = ，
2 2 6 6
x π由 sin x = 1，得到 = 2 ，所以选项③正确，
故选：D.
题型三　函数零点的应用
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结
合求解.
命题点 1　根据零点个数求参数
2x x 2
【例题 3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = e - 2 a +1 xe + a a + 2 x （其
中 e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．$a R ，使函数 f x 恰有 1 个零点
B．$a R ，使函数 f x 恰有 3 个零点
C．"a R ，函数 f x 都有零点
D．若函数 f x 有 2 个零点，则实数 a的取值范围为 e - 2,e
【答案】AB
2
ex x
【分析】通过观察式子的结构得到 ÷ - 2 a
e
+1 + a a + 2 = 0 ，从而将问题化为函数
è x x
g x e
x
= 图象与 y = a 或 y = a + 2的交点问题，利用导数研究 g x 的图象，从而数形结合
x
即可得解．
【详解】令 f x = e2x - 2 a +1 xex + a a + 2 x2 = 0，显然 x = 0不是 f x 的零点，
2
ex 2 a 1 e
x ex ex
所以 ÷ - + + a a + 2 = 0 ，即 - a ÷ - a - 2÷ = 0，
è x x è x è x
ex ex
从而得 = a或 = a + 2．
x x
x x
设 g e e x -1x = ，则 g x = ．
x x2
令 g x = 0，得 x =1，
可知当 x >1时， g x > 0，所以函数 g x 在 1, + 上单调递增，
可知当 x < 0 或0 < x <1时， g x < 0，所以函数 g x 在 - ,0 , 0,1 上单调递减，
且 g 1 = e．作出函数 g x 的大致图象，如图．
ìa < 0
对于 A，结合图像知，当 a + 2 = e或 í ，即 a = e - 2或-2 a < 00 a 2 e 时，函数
f x 恰
+ <
有 1 个零点，故 A 正确．
对于 B，结合图像知，当 a = e时，函数 f x 恰有 3 个零点，故 B 正确．
ìa 0
对于 C，结合图像知，当 ía 2 ，即0 a < e-2时，函数
f x 没有零点，故 C 错误．
+ < e
ì0 a < e
对于 D，结合图像知，当 í 或 a + 2 < 0，即 a < -2或e-2 < a < e时，函数 f x
a + 2 > e
有 2
个零点，故 D 错误．
故选：AB．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【变式 1】（2024·安徽黄山·二模）若函数 f (x) = 1- x2 - k x -1 - 4有两个零点，则实数 k
的取值范围是 .
15
【答案】 ( ,2]8 ．
【分析】令 f (x) = 0 ，则有 1- x2 = k(x -1) + 4，将问题转化为半圆 x2 + y2 =1(y 0)与直线
y = k(x -1) + 4 有两个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】令 f (x) = 1- x2 - k(x -1) - 4 = 0，
则 1- x2 - k(x -1) - 4 = 0 ，所以 1- x2 = k(x -1) + 4，
又因为 y = 1- x2 0，即为 x2 + y2 =1(y 0)，表示单位圆位于 x 轴上及上方部分；
而 y = k(x -1) + 4 ，表示过点 (1, 4)且斜率为 k 的直线，
所以将问题转化为半圆 x2 + y2 =1(y 0)与直线 y = k(x -1) + 4 有两个交点，
| 4 - k | 15
当直线与半圆相切时； =1，解得 k =
1+ k 2
，
8
当直线过点 (-1,0) 时，则有-2k + 4 = 0，解得 k = 2，
15
综上， k ( ,2]8 ．
15
故答案为： ( ,2]8 ．
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程 ax2 - ln x = 0在 1, + 上有两个不同的根，则
a 的取值范围为（ ）
1 1 A． 0, ÷ B． - , ÷ C． 1,e D． - , 2
è 2e è e
【答案】A
ln x ln x
【分析】变形得到 a = 2 ， x >1，即 y = a 与 f x = 2 ， x >1有两个不同的交点，令x x
ln x 1f x = 2 ， x 1

> ，求导得到单调性和极值，最值情况，进而得到 a
x
0,
2e ÷
,
è
ax2 ln x 0 a ln x【详解】 - = = 2 ， x >1，x
f x ln x令 = 2 ， x >1，x
即 y = a 与 f x ln x= 2 ， x >1有两个不同的交点，x
f x x - 2x ln x 1- 2ln x则 = = ， x >1，
x4 x3
令 f x 0 1> ，即1- 2ln x > 0 ，解得1< x < e2 ，
令 f x < 0，即1- 2ln x < 0 1，解得 x > e2 ，
ln x
1 1
故 f x = 2 在 1,e2 ÷上单调递增，在 e
2 ,+ ÷ 上单调递减，x è è
1 1
故 f x ln x 1= 2 在 x = e2 处取得极大值，也是最大值， f e2 = ，x ÷è 2e
且当 x >1时， f x ln x= 2 > 0，当 x =1时， f 1 = 0，x
当 x + 时， f x ln x= 趋向于 0，
x2
故 a
1
0, 2e ÷
,
è
故选：A
【变式 3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数 y = f (x) ，其中 f (x)
2 + x
= log 1 x - 2 .2
(1)求证： y = f (x) 是奇函数；
(2)若关于 x 的方程 f (x) = log 1 x + k 在区间[3, 4]上有解，求实数 k 的取值范围.
2
【答案】(1)证明见解析
(2) -1,2
【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；
4
（2）分离参数，将原问题等价转换为 k = - x +1在 3,4 上有解，由此转换为求函数值域
x - 2
问题.
2 + x
【详解】（1）函数 y = log 1 的定义域为D = - ,-2 2,+ ，
2 x - 2
在D中任取一个实数 x ，都有-x D，并且
f ( x) log 2 - x
-1
- = 1 = log
x - 2 x + 2
1 = log

1 ÷ = - f (x) .
2 -x - 2 2 x + 2 2 è x - 2
2 + x
因此， y = log 1 x - 2 是奇函数.2
（2） f (x) = log 1 x + k 等价于 x + k x + 2 k x + 2 4= 即 = - x = - x +1在 3,4 上有解.
2 x - 2 x - 2 x - 2
记 g(x)
4
= - x +1，因为 g(x)在 3,4 上为严格减函数，
x - 2
所以， g(x)max = g(3) = 2， g(x)min = g(4) = -1，
g(x) -1,2 k -1,2 故 的值域为 ，因此，实数 的取值范围为 .
命题点 2　根据函数零点的范围求参数
f x π= cos wx + π【例题 4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ÷ w > 0

在区间 ,π4 3 ÷
上
è è
单调递减，且 f x 在区间 0, π 上只有 1 个零点，则w 的取值范围是（ ）
0, 1 ù 1A． ú B． ,
3 ù 1 3 ù 1
ú C． , ú D． ,
5 ù
è 4 è 2 4 è 4 4 è 4 4 ú
【答案】C
【分析】结合余弦函数的单调性与零点列式计算即可得.
π π π π π 3π
【详解】当 x 0, π 时，wx + ,wπ +4 4 4 ÷， 则 < wπ + ，è 2 4 2
当 x
π π π π π π
, π ÷时，wx + 3 4
w+ ,wπ + ÷，则wπ + π ，
è è 3 4 4 4
π
即有 < wπ
π
+ π 1 3，解得 < w .
2 4 4 4
故选：C.
2
【变式 1】（2024·四川巴中·一模）若函数 f x = 2ax + 3x -1在区间 -1,1 内恰有一个零点，
则实数 a 的取值集合为（ ）
A． a | -1 < a < 2 B．{a | a 9= - 或-1 < a < 2} .
8
C．{a | -1 a 2} D．{a | a
9
= - 或-1 a 2} .
8
【答案】D
【分析】根据题意，分 a = 0和 a 0，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不
等式，即可求解.
由函数 f x = 2ax2 + 3x -1，
2
【详解】由函数 f x = 2ax + 3x -1，
若 a = 0，可得 f x
1
= 3x -1，令 f x = 0，即3x -1 = 0，解得 x = ，符合题意；
3
若 a 0，令 f x = 0，即 2ax2 + 3x -1 = 0，可得D = 9 + 8a ，
9 9 2
当Δ = 0时，即9 + 8a = 0 2，解得 a = - ，此时 f x = - x + 3x -1，解得 x = ，符合题意；
8 4 3
0 a 9当D > 时，即 > - 且 a 0，则满足 f -1 × f 1 = (2a - 4)(2a + 2) 08 ，
解得 -1 a 2 且 a 0，
若 a = -1，可得 f x = -2x2 + 3x -1，令 f x = 0，即 2x2 - 3x +1 = 0 ，
1 1
解得 x =1或 x = ，其中 x = (-1,1)，符合题意；
2 2
若 a = 2，可得 f x = 4x2 + 3x -1，令 f x = 0，即 4x2 + 3x -1 = 0 ，
1 1
解得 x=-1或 x = ，其中 x = (-1,1)，符合题意；
4 4
9
综上可得，实数 a的取值范围为{a | a = - 或-1 a 2} .
8
故选：D.
【变式 2】（2023·河南·模拟预测）已知函数 f (x) = log2 (x -1) + a在区间 (2,3) 上有且仅有一
个零点，则实数 a的取值范围为 .
【答案】 (-1,0)
【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解
【详解】解： 由对数函数的性质，可得 f x 为单调递增函数，且函数 f (x) 在 (2,3) 上有且
仅有一个零点，
所以 f 2 × f 3 < 0 ，即 a × (a +1) < 0 ，解得-1 < a < 0，
所以实数 a的取值范围是 (-1,0) ，
故答案为： (-1,0)
【变式 3】（2023·全国· p模拟预测）将函数 f (x) 2= sinwx(w > 0)的图像向右平移 个单位
2 3w
长度得到函数 g(x)
π 5π
的图像．若 g(x)在区间 , ÷ 内有零点，无极值，则w 的取值范围
è 3 6
是 ．
2 ,1 【答案】 5 ÷è
【分析】根据题意，求得平移之后的函数 g x ，再由条件，列出不等式，代入计算，即可
得到结果.
g(x) 2= sinw x π- 2 π 【详解】
2 ÷
= sin wx - ÷ (w > 0)，
è 3w 2 è 3
5π π T 2π
依题意得 - ，\T π，又T = ，\0 < w 2．
6 3 2 w
Q x π , 5π π π π 5π π 3 6 ÷，
\ w - < wx - < w - ．
è 3 3 3 6 3
Q g(x) π , 5π 函数 在区间 3 6 ÷ 内有零点，无极值，è
ì π π π
- < w - < 0
\ 3 3 3 2 2í < w <1 w
,1
0 5π w π π
，解得 ，即 的取值范围是 5 ÷ ．
< - 5 è
6 3 2
2 ,1 ÷
故答案为： è 5
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
x
1．（2023·浙江宁波· 1一模）已知函数 f (x) = 2x + log 2 x, g(x) = ÷ - log2 x, h(x) = x
3 + log2 x 的
è 2
零点分别为 a,b,c，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D．b > c > a
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断 a,c 小于 1，b 大于 1，再由数形结合判断 a,c
即可.
x x
【详解】令 g(x) 1 1= ÷ - log2 x = 0，可得2 ÷
= log2 x > 0，所以 x >1，即b >1；
è è 2
令 f (x) = 2x + log2 x = 0
x
，可得 2 = - log2 x > 0，即 log2 x < 0 ，所以0 < x <1，
即 0 < a < 1；
令 h(x) = x3 + log2 x = 0 x
3
，可得 = - log2 x，由此可得 log2 x < 0 ，所以0 < x <1，
即0 < c <1，
作 y = 2x , y = - log x, y = x32 的图象，如图，
由图象可知， a < c，所以 a < c < b .
故选：D
2 2023· · f x = x2 - 4x + a e2 x-4 4-2 x．（ 贵州毕节 模拟预测）若函数 + e 有唯一零点，则实数a =
（ ）
A 1．2 B． 2 C．4 D．1
【答案】A
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
f 4 - x = 4 - x 2 - 4 4 - x + a e2(4-x)-4 4-2(4-x)【详解】由 + e
= x2 - 4x + a e4-2x + e2x-4 = f x ，
得 f 4 - x = f x ，即函数 f x 的图象关于 x = 2对称，
2 2 x-4 4-2 x
要使函数 f x = x - 4x + a e + e 有唯一的零点，
则 f 2 = 0 ，即 4 -8 + 2a = 0 ，得 a = 2．
故选：A．
3．（23-24 高三下· x四川雅安·开学考试）已知函数 f x = 2 + x - 4，若存在 x1 < x2，使得
f x1 f x2 < 0，则下列结论不正确的是（ ）
A． x1 <1 B． x2 >1
C． f x 在 x , x x + x 1 2 内有零点 D．若 f x 在 1 2 x1, 2 ÷ 内有零点，则è
f x1 + x2 ÷ > 0
è 2
【答案】A
【分析】根据函数的单调性结合零点存在定理逐项判断即可得结论.
f x = 2x【详解】因为 + x - 4在 0, + 上单调递增，且 x1 < x2， f x1 f x2 < 0，
所以 f x1 < 0， f x2 > 0，根据零点存在定理可得函数 f x 在 x1, x2 内有零点，故 C 正
确；
又因为 f 1 = -1< 0，所以 x2 >1，故 B 正确；
3
又因为 f 1.21 = 21.21 + 1.21 - 4 < 22 - 2.9 = 2 2 - 2.9 < 0，则x1可能大于1，故 A 不正确；
若函数 f x x , x1 + x2 f x + x 在 1 2 ÷ 内有零点，则
1 2
÷ > 0，故 D 正确.
è è 2
故选：A.
ìx3 , x 0
4．（2024·北京海淀·一模）已知 f x = í ，函数 f (x) m (0,2)
lg x 1 , x
的零点个数为 ，过点
+ > 0
与曲线 y = f (x) 相切的直线的条数为 n，则m, n的值分别为（ ）
A．1,1 B．1,2 C． 2,1 D． 2, 2
【答案】B
【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得 n .
【详解】令 f x = 0，即 x 0 时， x3 = 0，解得 x = 0，
x > 0时， lg x +1 = 0，无解，故m =1，
设过点 (0,2)与曲线 y = f (x) 相切的直线的切点为 x0 , y0 ，
当 x < 0 时， f x = 3x2，则有 y - x30 = 3x20 x - x0 ，
有 2 - x30 = 3x
2
0 -x0 3，整理可得 x0 = -1，即 x0 = -1，
即当 x0 < 0 时，有一条切线，
lg e
当 x > 0时， f x = ，则有 y - lg x 1
lg e
0 + = x - x x +1 x 0 ，0 +1
有 2 - lg x0 +1
lg e
= -x
x 1 0 ，整理可得 2 + lg e x0 + 2 - x0 +1 lg x0 +1 = 0+ ，0
令 g x = 2 + lg e x + 2 - x +1 lg x +1 x > 0 ，
则 g x = 2 - lg x +1 ，
令 g x = 0 ，可得 x = 99 ，
故当 x 0,99 时， g x > 0，即 g x 在 0,99 上单调递增，
当 x 99, + 时， g x < 0，即 g x 在 99, + 上单调递减，
由 g 99 = 2 + lg e 99 + 2 - 200 = 99lg e > 0，
g 0 = 2 - 0 = 2 > 0，故 g x 在 x 0,99 上没有零点，
又 g 999 = 2 + lg e 999 + 2 -1000 3 = 999lg e -1000 < 0，
故 g x 在 99,999 上必有唯一零点，
即当 x0 > 0 时，亦可有一条切线符合要求，
故 n = 2 .
故选：B.
f x 2sin 2x j π π5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 = + - < j <
π
÷的图像关于点2 2
,0÷中
è è 3
π
心对称，将函数 f x 的图像向右平移 个单位长度得到函数 g x 的图像，则下列说法正确
3
的是（ ）
A． f x π π- 在区间 ， ÷上的值域是 -1，2
è 3 6
B． g x = -2sin2x
é π 5π ù
C．函数 g x 在 ê- ， ú上单调递增 12 12
D．函数 g x 在区间 -π，π 内有 3 个零点
【答案】C
f π 0 π π【分析】先通过 ÷ =

求出j ，则求出了函数 f x 解析式，对于 A：通过 x - , ÷，
è 3 è 3 6
π
求出 2x + 的范围，进而可得函数值域；对于 B：直接平移可得答案；对于 C：通过
3
π 2kπ 2x π π- + - + 2kπ,k Z求出函数 g x 的单调递增区间；对于 D：通过 g x = 0求
2 3 2
出 x 取值即可.
【详解】Q函数 f x π π 2π 的图像关于点 ,0÷中心对称，\ f = 2sin +j = 0
è 3
，
è 3 ÷ è 3 ÷
2π 2π
\ +j = kπ,k Z ，即j = - + kπ,k Z
π π
，又- < j < ，
3 3 2 2
\j π= ，则 f x = 2sin 2x π+
3 ÷
．
è 3
x π π π π 2π - , 2x + - , sin

2x π 3
ù
当 ÷时， ÷ ， +

÷ 3 6 3 3 3 3
- ,1ú ，
è è è è 2
\ f x - 3,2ù ，故 A 错误；
π π
将函数 f x 的图像向右平移 个单位长度得到函数 g x = 2sin 2x - ÷的图像，故 B 错误；3 è 3
π π π π 5π
令- + 2kπ 2x - + 2kπ,k Z，得- + kπ x + kπ, k Z，
2 3 2 12 12
π 5π π 5π
当 k = 0
é ù
时，- x ，\函数 g x 在 - , 上单调递增，故 C 正确；
12 12 ê 12 12 ú
令 2x
π
- = kπ, k Z π kπ，得 x = + ， k Z ，
3 6 2
\ 5π π π函数 g x 在区间 -π, π 内的零点有 x = - ， x = - , x = , x 2π= ，共 4 个，故 D 错
6 3 6 3
误．
故选：C.
二、多选题
6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数 f x = 2x -1 - a, g x = x2 - 4 x + 2 - a ，则（ ）
A．当 g x 有 2 个零点时， f x 只有 1 个零点
B．当 g x 有 3 个零点时， f x 只有 1 个零点
C．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 2 个零点
D．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 4 个零点
【答案】BD
【分析】将问题转化为 y = 2x -1 , y = x2 - 4 x + 2 与 y = a 的图象交点问题，结合图象，逐一
分析各选项中 a的取值范围，从而得解.
【详解】令 f x = 0, g x = 0，得 2x -1 = a, x2 - 4 x + 2 = a，
x 2
利用指数函数与二次函数的性质作出 y = 2 -1 , y = x - 4 x + 2 的大致图象，如图所示，
由图可知，当 g x 有 2 个零点时， a = -2 或 a > 2，
此时 f x 无零点或只有 1 个零点，故 A 错误；
当 g x 有 3 个零点时， a = 2，此时 f x 只有 1 个零点，故 B 正确；
当 f x 有 2 个零点时， 0 < a < 1，此时 g x 有 4 个零点．故 C 错误，D 正确.
故选：BD.
7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数 f (x) = (x2 + x)ex + ln x的零点为 x0 ，下列判断正确的是
（ ）
1 1
A． x0 < B． x0 >2 e
C． ex0 + ln x0 < 0 D． x0 + ln x0 < 0
【答案】ABD
1 1
【分析】求导，利用导数判断 f (x) 的单调性，结合零点存在性定理可得 x0 ,e 2 ÷，进而逐è
项分析判断.
2 x 1
【详解】由题意可得： f (x) 的定义域为 (0, + )，且 f (x) = (x + 3x +1)e + x ，
2
因为 f (x) = (x + 3x +1)ex
1
+ > 0
x ，所以函数
f (x) 在 (0, + )上单调递增，
1 3 1
对于 A：因为 f ( ) = e - ln 2 > 1- ln 2 > 02 4 ，所以 x0 < ，故 A 正确；2
B f (1) e +1
1 e +1 1 3 3 3- -
对于 ：因为 = ee2 -1 < e2 -1 = e 2 (e +1- e2 ) < e 2 (e
3
+1- e) < 0，
e e e2 2
1
所以 x0 > ，故 B 正确；e
对于 C：因为 x
1
0 > ，则 ln x > -1， ex00 >1，所以 e
x0 + ln x0 > 0，故 C 错误；e
1 1
对于 D：因为 x0 < ，所以 x0 + ln x0 < - ln 2 < 02 ，故 D 正确．2
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求
解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（2）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况进而求解．
三、填空题
8．（2024·重庆·模拟预测）若1< w 2π，则关于 x 的方程 sinwx = x 的解的个数是 ．
【答案】3
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出 y = sinwx 和 y = x 的图象，找出两函数图
象交点个数即可.
【详解】由 y = sinwx ，知 sinwx -1,1 2π，T = ，
w
因为1< w 2π，所以1 T < 2π，
在同一坐标系下分别画出 y = sinwx 和 y = x 的图象，由图象可得 y = sinwx 和 y = x 共有 3 个
交点，
即方程 sinwx = x 有 3 个根.
故答案为：3.
x 1
9．（2023·河北· xe + - ln x模拟预测）已知 f (x) = x ， x0 是该函数的极值点，定义 x 表示超
2
过实数 x 的最小整数，则 f x0 的值为 .
e +1
【答案】
2
x 1
【分析】求出函数导数，转化为求增函数 g(x) = e - x2 的零点
x0 ，利用零点存在性定理确定
x 1 0 ,1÷ ，根据新定义求解即可.
è 2
x 1
∵ xe + - ln x【详解】 f (x) = x , (x > 0)，
2
∴ f x 1= x +1 ex 1 -

2 x2 ÷
，
è
g(x) = ex 1令 - 2 ，则 g x = ex
2
+ 3 > 0x ，x
∴ g(x)在 (0, + )上为增函数，
g 1 1又 ÷ = e - 4 < 0, g(1) = e -1 > 0 x

，∴存在唯一 0 ,1

÷ ，使得 g x0 = 0，
è 2 è 2
1
即 f (x) 唯一的极值点 x0 ,12 ÷
，
è
∴ x0 = 1，∴ f x0 = f (1) e +1= ，2
e +1
故答案为： .
2
四、解答题
10．（2023· 2四川成都·一模）已知函数 f x = ax - xcosx + sinx -1 .
(1)若 a =1时，求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)若 a =1时，求函数 f x 的零点个数；
π
(3)若对于任意 x é ùê0, ú ， f (x) 1- 2a a2 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) y = -1
(2)两个
(3) 1, +
【分析】（1）当a =1 f x = x2， - xcosx + sinx -1，然后即可求解；
（2）求出导数 f x = x 2 - sinx ，x R ，然后根据 f x 的单调性并结合零点存在定理，
即可求解.
（3 2）利用（2）中结论，即证 x + 2 a - xcosx + sinx - 2 0恒成立，从而可求解.
2
【详解】（1）当a =1时，函数 f x = x - xcosx + sinx -1，因为 f 0 = -1，所以切点为
0, -1 ，
由 f x = 2x - cosx + xsinx + cosx = x 2 + sinx ，x R ，得 f 0 = 0，
所以曲线在点 0, f 0 处的切线斜率为 0 ，
所以曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y = -1.
（2）由（1）可知 f x = 2x - cosx + xsinx + cosx = x 2 + sinx ，x R ，
因为 sinx -1,1 ，所以 2 + sinx > 0 ，令 f x = 0，则 x = 0，
当 x - ，0 时， f x < 0， f (x) 单调递减；
当 x 0，+ 时， f x > 0， f x 单调递增；
π p 2 π π2
又因为 f 0 = -1< 0， f ÷ = > 0, f - ÷ = - 2 > 0，
è 2 4 è 2 4
π
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的 x1 - ,0÷使得 f x1 = 0

，存在唯一的 x2 0,
π
è 2 ÷ è 2
使得 f x2 = 0 .
故函数 f x 有且仅有两个零点.
（3）因为 x
π
é ùê0, 2 ú ，当 x = 0时，由 f (0) = -1 1- 2a 得a 1，
é π ù
下面证明：当a 1时，对于任意 x ê0, ， f (x) 1- 2a恒成立， 2 ú
即证 ax2 - xcosx + sinx -1 1- 2a，即证 x2 + 2 a - xcosx + sinx - 2 0；
而当a 1 2时， x + 2 a - xcosx + sinx - 2 x2 + 2 - xcosx + sinx - 2 = x2 - xcosx + sinx，
2 2由（ ）知， x2 - xcosx + sinx 0 ；所以a 1时， x + 2 a - xcosx + sinx - 2 0恒成立；
综上所述， a 1,+ .
f x sin wx π= - π11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ÷ (0 < w < 3)， x = 是 f x 的零
è 4 8
点．
(1)求w 的值；
y f x π f 1 π= - + x + (2)求函数 ÷ ÷的值域．
è 8 è 2 8
【答案】(1)w = 2
é 9(2) ùê- , 2 8 ú
【分析】（1）根据函数的零点性质并结合范围求解w .
（2）利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.
f π sin π w π 【详解】（1）由已知可得 8 ÷
= -8 4 ÷
= 0 ，
è è
π π
解得 w - = kπ,k Z，
8 4
即w = 2 + 8k, k Z ，
又0 < w < 3，可得w = 2．
（2）由 f x sin 2x π= - ÷，可得
è 4
y π= f 1 π x - ÷ + f x +8 2 8 ÷è è
= sin 2x
π
-
2 ÷
+ sinx
è
= -cos2x + sinx
= - 1- 2sin2x + sinx
2
= 2 1 9 sinx + ÷ - ，
è 4 8
其中-1 sinx 1，
1
则当 sinx = - 时，函数 y = f x
π f 1- + x π+ 9÷ ÷取得最小值- ，4 è 8 è 2 8 8
π
sinx 1 y = f x -
1 π
当 = 时，函数 ÷ + f8
x + ÷取得最大值 2，
è è 2 8
故函数 y = f

x
π 1 π 9
- ÷ + f

x +
é ù
÷的值域为 - , 2 ．
è 8 è 2 8 ê 8 ú
12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数 f x = 2x2 + m x - m + 2 ．
(1)若 f x 为奇函数，求实数m 的值；
(2)已知 f x 仅有两个零点，证明：函数 y = f x - 3仅有一个零点．
【答案】(1) 2
(2)证明见解析
【分析】（1）利用奇函数的定义计算m 的值即可；
（2）利用 f x 仅有两个零点确定m 的值，之后研究函数 y = f x - 3的单调性，进而研究
函数零点个数.
【详解】（1）解：因为 f (x) = (2x2 + m)(x - m + 2)=2x3 - 2(m - 2)x2 + mx - m(m - 2)为奇函数，
所以可知 f (x) 的定义域为R ，且 f (x) + f (-x) = 0，
即 2x3 - 2(m - 2)x2 + mx - m(m - 2) + 2(-x)3 - 2(m - 2)(-x)2 + m(-x) - m(m - 2) = 0，
即-2(m - 2)x2 - m(m - 2) = 0，
ì-2(m - 2) = 0
所以 í m(m 2) 0，解得
m = 2 .
- - =
（2）证明：①当m > 0时， 2x2 + m > 0 ，
所以函数 f (x) = (2x2 + m)(x - m + 2)不可能有两个零点，此时不合题意；
②当m < 0时，令 f (x) = 0 m，解得： x = ± - 或m - 2，
2
m m
又因 - > 0, - - < 0,m - 2 < 0 ，
2 2
f x m 2 m则要使得 （ ）仅有两个零点，则 - = - - ，
2
即 2m2 - 7m + 8 = 0 ，此方程无解，此时不合题意；
③当m = 0时，即 f (x) = 2x3 + 4x2 ，
令 f (x) = 0 ，解得 x = 0或 x = -2，符合题意，所以m = 0 .
令 h(x) = f (x) - 3 = 2x3 + 4x2 - 3，则 h (x) = 6x2 + 8x = 2x(3x + 4)，
令 h (x) > 0
4 4
，解得： x > 0或 x < - ，令 h (x) < 0解得：- < x < 0，
3 3
故 h(x) (
4
在 - ，- )， (0
4
，+ )
3 上递增，在
(- ，0)
3 上递减，
又 h(
4 17
- ) = - < 0
3 27 ，
x + , f (x) +
故函数 y = f (x) - 3仅有一个零点．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·吉林长春·一模）方程 log3 x + x = 2的根所在区间是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】将问题转化为 f x = log3 x + x - 2零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求
解即可.
【详解】设 f x = log3 x + x - 2，则方程 log3 x + x = 2根所在区间即为 f x 零点所在区间，
Q y = log3 x 与 y = x - 2在 0, + 上均为增函数，\ f x 在 0, + 上单调递增；
对于 A，Q f 1 = log3 1+1- 2 = -1，\当 x 0,1 时， f x < -1，A 错误；
对于 B，Q f 1 = -1< 0， f 2 = log3 2 + 2 - 2 = log3 2 > 0，即 f 1 f 2 < 0，
\$x0 1,2 ，使得 f x0 = 0，B 正确；
对于 CD，当 x > 2时， f x > f 2 > 0，\ f x 在区间 2,3 和 3,4 上无零点，C 错误，D
错误.
故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号，设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数， y = x 也被称为“高斯函数”，例如
2.1 = 2， 3 = 3， -1.5 = -2，设 x0 为函数 f x 3= log3 x - 的零点，则 x =（ ）x +1 0
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断 x0 所在区间，最后根据高斯函
数的定义计算可得.
3
【详解】解：因为 y = log3 x与 y = - 在 0, + 上单调递增，x +1
所以 f x = log 33 x - 在 0, + 上单调递增，x +1
f 3 log 3 3 1 3 1又 = 3 - = - = > 0 f 2 log 2
3
， = 3 - = log3 2 -1 < 0 ，3+1 4 4 2 +1
所以 f x 在 2,3 上存在唯一零点 x0 ，即 x0 2,3 ，所以 x0 = 2 .
故选：A
3．（2023· 2宁夏银川·三模）函数 f x = log2 x + x + m 在区间 2,4 上存在零点，则实数m 的
取值范围是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数 f x = log2 x + x2 + m 在区间 2,4 上存在零点，
由函数 f (x) 在 (2, 4)的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足 f (2) × f (4)<0，
即 (m + 5)(m +18) < 0，
解得-18所以实数m 的取值范围是 -18, -5 .
故选：D.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x = 3cos wx +j π w < 0，- < j
π
< 的最小正周期
è 2 2 ÷
π π , π- π 为 ，在区间 ÷上单调递减，且在区间 0, ÷上存在零点，则j 的取值范围是（ ）
è 6 6 è 6
π π π π ù é π π π
A． , ÷ B． - ,- C． , D

． 0,
ù
è 6 2 è 2 3 ú ê 3 2 ÷

è 3 ú
【答案】B
【分析】根据给定周期求得w = -2 ，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间
列出不等式组，然后结合已知求出范围.
π 2π【详解】由函数 f (x) 的最小正周期为 ，得 = π| | ，而w < 0 ，解得w = -2w ，
则 f (x) = 3cos(-2x +j) = 3cos(2x -j) ，由 2kπ 2x -j 2kπ + π,k Z，
得 2kπ+j 2x 2kπ + π +j, k Z，又 f (x) (
π π
在 - , ) 上单调递减，
6 6
因此 2kπ+j
π π
- ，且 2kπ + π +j, k Z
2π 2kπ j π ，解得- - - - 2kπ,k Z ①，
3 3 3 3
π
由余弦函数的零点，得 2x -j = nπ + , n Z，即 2x = nπ
π
+ +j,n Z，
2 2
而 f (x) 在 (0,
π ) π π上存在零点，则0 < nπ + +j < ,n Z，
6 2 3
于是-nπ
π π π π π π
- < j < -nπ - , n Z ②，又- < j < ，联立①②解得- < j - ，
2 6 2 2 2 3
所以j
π π
的取值范围是 (- ,- ] .
2 3
故选：B
f x sin wx j w 0,0 j p5．（2023· 内蒙古赤峰·二模）记函数 = + > < < ÷的最小正周期为T .
è 2
p
若 f T 3= ， x = 为 f x 的零点，则w 的最小值为（ ）
2 6
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
2p 3 p
【分析】先求出函数的周期T = ，再由 f T = 可求出j ，然后由 x = 为 f x 的零w 2 6
点，可求得结果.
【详解】因为 f x = sin wx +j w > 0,0 j
p
< < 2p 3÷的最小正周期为T = ，且2 fw T = ，è 2
2p 3
所以 sin w × +j = sinj = ，
è w ÷ 2
0 j p p因为 < < ，所以j = ，
2 3
所以 f x = sin wx
p
+
3 ÷
，
è
p
因为 x = 为 f x 的零点，
6
f p p所以 ÷ = sin w
p
+
6 6 3 ÷
= 0，
è è
p p
所以 w + = kp , k Z，解得w = 6k - 2, k Z，
6 3
因为w > 0，所以w 的最小值为 4，
故选：C
6．（2024·安徽芜湖·二模）在数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，首项 a1 =1，且函数
f x = x3 - an+1 sin x + 2an +1 x +1的导函数有唯一零点，则 S5 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
【答案】C
【分析】计算 f x ，分析 f x 的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得 an 的递推关
系，求出前 5 项，计算求和即可.
3
【详解】因为 f x = x - an+1 sin x + 2an +1 x +1，
所以 f x = 3x2 - an+1 cos x + 2an +1 ，由题意可知： f x = 0有唯一零点.
令 g x = f x = 3x2 - an+1 cos x + 2an +1 ，可知 g x 为偶函数且有唯一零点，
则此零点只能为 0，即 g 0 = 0，代入化简可得： an+1 = 2an +1，
又 a1 =1，所以 a2 = 3， a3 = 7 ， a4 =15， a5 = 31，所以 S5 = 57 .
故选：C
7．（2023· x四川南充·模拟预测）函数 f x = xlnx -1的零点为x1，函数 g x = e x -1 - e的
零点为x2，则下列结论正确的是（ ）
1
A． ex2 × lnx1 = e
2 B ex2 -1． + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
【答案】B
【分析】由 y = ln x 与 y = ex 互为反函数，可得 x1(x2 -1) =1，运用等量代换及基本不等式可分
别判定各个选项.
【详解】由题意知， f (x1) = x1 ln x
1
1 -1 = 0 ln x1 = x ，1
g(x x2 x22 ) = e (x2 -1) - e = 0 e (x2 -1) = e e
x2 -1 1=
x2 -1
，
令 t = x -1 et
1
2 ，则 = ，t
又因为 y = ln x 与 y = ex 互为反函数，
所以 y = ln x 、 y = ex
1
分别与 y = 的的交点关于 y = xx 对称，
所以 x1t =1，即： x1(x2 -1) =1，
又因为 f (1) = -1 < 0 ， f (2) = 2ln 2 -1 = ln 4 - ln e > 0，
所以由零点存在性定理可知， x1 (1,2) ，
1
又因为 x1(x2 -1) =1，即 x2 = +1x ，1
所以 x2 (
3 , 2)
2 ，
x x e 12 2
对于 A 项，因为 e (x2 -1) - e = 0 e = ， ln x1 = ， x1(x -1) =1x2 -1 x
2
1
x e 1 e2
所以 e × ln x1 = × = = ex2 -1 x1 x (x -1)
，故 A 项错误；
1 2
1
对于 B 项，因为 x1(x2 -1) =1，所以 = x2 -1x ，1
又因为 ex -1
1
2 = x ( 3 , 2)
x2 -1
， 2 2 ，
ex2 -1 1 1 1所以 + = ( ) + (x2 -1) > 2 ( ) × (x2 -1) = 2，故 B 项正确；x1 x2 -1 x2 -1
1 1 1
对于 C 项，因为 ln x1 = x ，
= x
x 2
-1，所以 ln x1 - x2 = - x2 = (x2 -1) - x2 = -1x ，故 C 项错1 1 1
误；
1 1
对于 D 项，因为 ln x1 = ， x2 = +1 xx x ， 1
(1,2) ，
1 1
x 1 1 12 + = ( +1) + 1 > 2 (
1
+1) 1× = 2
所以 1+ ln x1 x1 1+ x 1 11 + ，故 D 项错误.
x1 x1
故选：B.
8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[ a ]表示不大于实数 a 的最大整数，如[1.68]=1，设 x1, x2 分
别是方程 x + 2x = 4及 x + ln(x -1) = 4的根，则[x1 + x2 ] = （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】用零点存在性定理确定两个根的取值范围即可.
【详解】因为 x1, x2 分别是方程 x + 2x = 4， x + ln(x -1) = 4的根，
则 x1, x2 分别是函数 g(x) = x + 2x - 4及 h(x) = x + ln(x -1) - 4的零点，
3 5 3
而函数 g(x)是单调递增函数，又 g(1) = -1 < 0 ， g( ) = 2 2 - > 0，则 1< x
2 2 1
< ，
2
7 5 1 7
函数 h(x) 在 (1, + )上单调递增， h(3) = ln 2 -1 < 0 ， h( ) = ln - > 0，则3 < x < ，
2 2 2 2 2
因此 4 < x1 + x2 < 5，所以[x1 + x2 ] = 4 .
故选：C
【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数 f (x) 在区间[a,b]上是连续不断的曲线，
且 f (a) × f (b) < 0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个
零点.
二、多选题
9．（2024· 3 2甘肃陇南·一模）已知函数 f x = x + x + ax - 4 有 3 个不同的零点 x1, x2 , x3 ,且
2
x x1x2 = 3 ，则（ ）2
A． a = -4 B． f x < 0 的解集为 -1,2
C． y = x - 7是曲线 y = f x 的切线 D．点 -1,0 是曲线 y = f x 的对称中心
【答案】AC
【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得 a，从而可判断 AB，利用导数的几何意
义可判断 C，举反例排除 D.
A f x = x3 + x2【详解】对于 ，因为 + ax - 4 有 3 个不同的零点 x1, x2 , x3 ,
所以不妨设 f x = x - x1 x - x2 x - x3 ，
易知 f x 展开式中的常数项为-x1x2x3，故-x1x2x3 = -4，
x2x 3 x
3
又 31x2 = ，所以- = -4，解得 x2 2 3
= 2，
所以 f x3 = f 2 = 23 + 22 + 2a - 4 = 0，解得 a = -4 ，故 A 正确；
对于 B，因为 f x = x3 + x2 - 4x - 4 = x - 2 x + 2 x +1 ，
令 f x < 0 ，即 x - 2 x + 2 x +1 < 0，
利用数轴穿根法，解得 x<- 2或-1 < x < 2，故 B 错误；
对于 C，易得 f x = 3x2 + 2x - 4，
当切线斜率为1时，令 f x = 3x2 + 2x - 4 =1 x 5，解得 = - 或 x =1，
3
当 x =1时， f 1 = 1- 2 1+ 2 1+1 = -6，
此时切线为 y + 6 = x -1，即 y = x - 7，故 C 正确；
对于 D，因为 f -3 = -3 - 2 -3 + 2 -3 +1 = -10，又 f 1 = -6，
所以 f -3 f 1 ，所以点 -1,0 是曲线 y = f x 的对称中心，故 D 错误.
故选：AC.
10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数 f x = 2 sin wx + j w > 0 的最小正周期T < π ，
f π =1 f x x π ÷ ，且 在 = 处取得最大值.下列结论正确的有（5 ）è 10
A． sinj 2=
2
15
B．w 的最小值为
2
π π 35
C．若函数 f x 在 , ÷上存在零点，则w 的最小值为
è 20 4 2
13π 11π
D．函数 f x 在 , ÷上一定存在零点
è 20 15
【答案】ACD
f x x π= f π 【分析】A 选项，由 图象关于 对称结合 ÷ =1可判断选项；B 选项，由最小10 è 5
π
正周期T < π ， f ÷ =1，且 f x 在 x
π
= 处取得最大值可得w 表达式；C 选项，结合 AB
è 5 10
5 35 5 35
选项分析确定w 表达式，验证即可；D 选项，分ω = , ，ω , 两种情况分析零
2 2 2 2
点即可.
π π
【详解】A 选项，因 f x 在 x = 处取得最大值，则 f x 图象关于 x = 对称，则
10 10
f 0 f π 2= ÷ = 2 si n φ = 1 si n φ = ，故 A 正确；
è 5 2
2π π B 选项，最小正周期T < π ，则 < π ω > 2 ， f ÷ =1，ω è 5
π π
则 ω φ
π π 3π
+ = + 2mπ或 ω + φ = + 2mπ，又 f x 在 x = 处取得最大值，
5 4 5 4 10
π
则 ω + φ
π 5
= + 2nπ，则ω = - + 20 m - n 或ω 5= + 20 m - n ，
10 2 2 2
5
其中m, n Z ，则w 的最小值为 ，故 B 错误；
2
C 选项，由 AB
π π 5
选项分析结合 ω + φ = + 2mπ，可知ω = - + 20 m - n 时，
5 4 2
j 3π
k 3 - π
可取 = ，令 3 4 ÷4 ωx π
，
+ = kπ x = è
4 ω
3
k - ÷π π π 则 è 4 , ÷ 4k - 3 < ω < 20k - 15，其中 k Z . è 20 4
ω
35
当 k 1时，不存在相应的w ，当 k = 2时，5 < ω < 25，则存在w = 满足题意；
2
由 AB
π
选项分析结合 ω φ
3π 5
+ = + 2mπ，可知ω = + 20 m - n 时，
5 4 2
k 1 π - π可取j = ÷4 ，令ωx π+ = kπ x = è 4
，
4 ω
k 1 - ÷π π , π 则 è 4 ÷ 4k - 1 < ω < 20k - 5， è 20 4
ω
k 45当 1时，不存在相应的w ，当 k = 2时，7 < ω < 35，则存在ω = 满足题意，
2
综上可知w
35
的最小值为 ，故 C 正确；
2
35 35 3p
D 选项，由 C 分析可知，w = 时，可取 f x = 2 sin x +2 è 2 4 ÷
，

f 13π 11π 163π此时 ÷ = 2
97π
si n > 0， f ÷ = 2 si n < 0 ，存在零点；
è 20 8 è 15 12
w 5= 5 p 时，可取 f x = 2 sin x +2 2 4 ÷ ，è
f 13π 15π 11π 25π此时 ÷ = 2 si n < 0， f ÷ = 2 si n > 0，存在零点；
è 20 8 è 15 12
5 35 45 4π T
当ω , 11π 13π π 2π时，ω mi n
2 2 mi n
= Tmax = ，注意到 - = > = ，2 45 15 20 15 2 45
f x 13π ,11π 则此时函数 在 上一定存在零点，
è 20 15 ÷
f x 13π ,11π 综上 在 20 15 ÷上一定存在零点，故 D 正确.è
故选：ACD
【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.对于三
角函数的零点问题，常利用代值验证结合周期分析可解决问题.
2
11 2023· · f (x) ax - 2x +1．（ 江西 模拟预测）已知函数 = x ，则下列结论正确的是（ ）e
A．对于任意的 a R ，存在偶函数 g(x)，使得 y = ex f (x) + g(x)为奇函数
B．若 f (x) 只有一个零点，则 a =1
C．当 a =1时，关于 x 的方程 f (x)
4
= m有 3 个不同的实数根的充要条件为0 < m <
e3
D．对于任意的 a R ， f (x) 一定存在极值
【答案】ACD
【分析】取 g(x) = -ax2 -1可判断 A；由 f (x) = 0 得 ax2 - 2x +1 = 0，分 a = 0与 a 0讨论求解
可判断 B；利用导数研究 f (x) 的性质，作出图象，转化为图象交点问题，数形结合可判断
C；分 a = 0与 a 0讨论，结合极值的定义可判断 D.
【详解】若 y = ex f (x) + g(x) = ax2 - 2x +1+ g(x)为奇函数，显然可取 g(x) = -ax2 -1，故选项
A 正确；
由 f (x) = 0 ，得 ax2 - 2x +1 = 0．
1
当 a = 0时，解得 x = ；当 a 0时，D1 = 4 - 4a = 0，解得 a =1，2
所以若 f (x) 只有一个零点，则 a = 0或 a =1，故选项 B 错误；
x2a =1 f (x) - 2x +1 f (x) -x
2 + 4x - 3
当 时， = ，则 = ．由 f (x) = 0x x ，解得 x =1或 x = 3．e e
当 x - ,1 时 f (x) < 0 ， f (x) 单调递减；当 x 1,3 时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递增；当
x 3,+ 时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减，
所以 f (x) 的极小值为 f (1) = 0，极大值为 f (3)
4
=
e3
．
又当 x =1时， f (x) = 0 ；当 x 1时， f (x) > 0 ，
当 x + 时， f (x) 0；当 x - 时 f (x) + ，
f (x) 的大致图象如图，
4
由图可知，当 y = f (x) 的图象与直线 y = m有 3 个交点时，有0 < m < 3 ，e
4
所以关于 x 的方程 f (x) = m有 3 个不同的实数根的充要条件为0 < m < 3 ，故选项 C 正确；e
-ax2f (x) + (2a + 2)x - 3= x ，e
3
若 a = 0，则 f (x) 只有一个变号零点 x = ，此时函数 f (x) 存在极值；
2
若 a 0 2 2，因为-ax2 + (2a + 2)x - 3 = 0 的判别式D2 = (2a + 2) -12a = 4 a - a +1 > 0，
所以 f (x) 有两个变号零点，此时函数 f (x) 既存在极大值又存在极小值，故选项 D 正确．
故选：ACD．
三、填空题
1
12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间 a,b 的长度为b - a 1．经过估算，函数 f x = x - x32
1
的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过 的开区间）．
6
1 1
【答案】 , ÷（不唯一）
è 3 2
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
1 1
【详解】解：因为 y = x , y = -x3 都是减函数，2
1
所以 f x 1= x - x3 是减函数，2
1 1 1 1
2 3 3 3
又 f 1 1= -1 1= - < 0, f 1 = 1 - 1 < 0, f 1 = 1 - 1 > 0，
2 2 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 3 ÷ ÷ ÷è è è è è 2 è 3
f 1 f 1 即 ×2 ÷ 3 ÷
< 0 ，
è è
所以函数 f x 1在 ,
1 1 1 1
3 2 ÷
上有零点，且 - = ，
è 2 3 6
1 1
故答案为 , ÷（不唯一）
è 3 2
13 2．（2024·河南南阳·一模）已知函数 f x = 3x - 2lnx + a -1 x + 3在区间 1,2 上有最小值，
则整数 a的一个取值可以是 ．
【答案】-4（答案不唯一， a {a Z | -10 < a < -3}中的任意整数均可）
【分析】将问题“ f (x) 在 (1, 2)上有最小值”转化为 f (x) 在 (1, 2)上有变号零点且在零点两侧的
函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可.
2
【详解】由 f (x) = 3x2 - 2ln x + (a -1)x + 3 2可知， f (x) = 6x - + a 1 6x + (a -1)x - 2- = ，
x x
又 f (x) = 3x2 - 2ln x + (a -1)x + 3在 (1, 2)上有最小值，
所以 f (x) 在 (1, 2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令 h(x) = 6x2 + (a -1)x - 2，则 h(x) 在 (1, 2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
ì Δ = (a -1)2 + 4 6 2 > 0

所以 í h(1) = 6 + a -1- 2 < 0 ，解得-10 < a < -3，

h(2) = 6 4 + 2(a -1) - 2 > 0
又因为 a Z，所以 a {a Z | -10 < a < -3} .
故答案为：-4（答案不唯一， a {a Z | -10 < a < -3}中的任意整数均可）.
14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数 f (x) = ex + x - 2 的零点为x ，函数 g(x) = 2 - x - ln x1
的零点为x ，给出以下三个结论：① ex1 +ex
3
2
2 > 2e；② x1x2 > 4 ；③ x2 ln x1 + x1 ln x2 < 0 .其中所
有正确结论的序号为 .
【答案】①③
【分析】根据函数零点的定义结合函数的单调性推出 x1 = ln x2 = 2 - x2，可得 x1 + x2 = 2 .利用基
1
本不等式可判断①；结合二次函数单调性可判断②；判断出 0 < x1 < , x1 + x2 = 22 ，即可推出
lnx1 < ln
1
= -lnx2 ，从而推出 x2lnx1 + x1lnx2 < -x2lnx2 + x1lnx =x 2 x1 - x2 × lnx2 ，即可判断③.2
【详解】由题意得 ex1 + x1 - 2 = 0, ln x2 + x2 - 2 = e
ln x2 + ln x2 - 2 = 0，则 f x1 = f ln x2 = 0，
即x1和 ln x2为 f (x) = e
x + x - 2 的零点；
而 f (x) = ex + x - 2 在 R 上单调递增，且 f (0) = -1 < 0, f (1) = e -1 > 0，
\ f (x)在 R 上有且仅有一个零点，\ x1 = ln x2 = 2 - x2 ,\ x1 + x2 = 2 ，
又 x x 1,\ex1 + ex2 > 2 ex1 ex21 2 = 2e ，①正确；
f (0) = -1 < 0, f 1 3又 ÷ = e - > 0,\0 < x
1
1 <2 2 2 ，è
而 y = -x2 + 2x在 (0, 1)上单调递增，
2
\ x1x
2 1 1 3
2 = x1 2 - x1 = -x1 + 2x1 < 2 2 - 2 ÷ = ，②错误；è 4
Q 0 x 1 3
1 1 2
< 1 < , x1 + x2 = 2,\ < x < 2 < <2 2 2 ， 2 x ，2 3
则 lnx1 < ln
1
= -lnx2 ,\ x2lnx1 + x1lnx2 < -x2lnx2 + x1lnx2 = x1 - x2 × lnxx 2 ，2
而 x1 - x2 < 0, ln x2 > 0，故 x1 - x2 × lnx2 < 0，即 x2 ln x1 + x1 ln x2 < 0，③正确.
综上，所有正确结论的序号为①③，
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：本题综合性较强，涉及到函数零点以及单调性以及不等式证明相关知识，
解答的关键在于根据 ln x2 + x2 - 2 = 0，变式为 eln x2 + ln x2 - 2 = 0，从而推出x1和 ln x2为
f (x) = ex + x - 2 的零点，再结合函数的单调性，说明 x1 = ln x2 = 2 - x2，以下问题则可顺利解
决.
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f (x) =| x - a | .
(1)若不等式 f (x) - f (x + m) 1恒成立，求实数 m 的最大值；
1
(2)若函数 g(x) = f (x) + 有零点，求实数 a的取值范围.
a
【答案】(1)m 最大值为 1
(2) (- ,0)
【分析】（1）利用绝对值三角不等式将原不等式进行转化从而求解；
（2）通过分类讨论求解不等式.
【详解】（1）∵ f (x) =| x - a |，∴ f (x + m) =| x + m - a |，
∴ f (x) - f (x + m) =| x - a | -∣x + m - a |，则原不等式恒成立等价于：
| x - a | -∣x + m - a | 1恒成立，由绝对值不等式 a - b a ± b 可得：
| x - a | -∣x + m - a | m ，
∴ | m | 1，∴ -1 m 1，
∴实数 m 的最大值为 1；
（2）由题意可得 g(x) = x - a
1
+ , a 0，
a
当 a > 0时， g(x) > 0 恒成立，故没有零点，不符合题意；
当 a<0时， x - a
1 1
+ = 0，解得： x = a ± ，即原函数有零点，
a a
综上所述，实数 a的取值范围为 (- ,0)
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = xlnx + ax a R .
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)当 a = -1时，方程 f x = m有两个解，求参数m 的取值范围.
(1) 0,e-a-1 -a-1【答案】 单调递减区间是 ，单调递增区间是 e , +
(2) -1,0
【分析】（1）求出函数定义域并求导，研究单调性即可.
（2）研究函数当 a = -1时的单调性及最值并结合图像求出m 的取值范围.
【详解】（1）由题意知函数 f x 的定义域为 0, + ， f x = lnx +1+ a .
令 f x = 0，得 x = e-a-1 .
-a-1
当 x 0,e 时， f x < 0, f x 单调递减；
-a-1
当 x e ,+ 时， f x > 0, f x 单调递增.
所以 f x 的单调递减区间是 0,e-a-1 -a-1，单调递增区间是 e , + .
（2）当 a = -1时， f x = xlnx - x，则 f x = lnx，函数 f x 的定义域为 0, + ，
令 f x = 0，得 x =1，
当 x 0,1 时， f x < 0, f x 单调递减；
当 x 1, + 时， f x > 0, f x 单调递增.
所以当 x =1时， f x 取得最小值，为 f 1 = -1.
又当 x 0 时， f x 0, f e = 0，
画出 f x 的大致图象，如图：
因为方程 f x = m 有两个解，
所以-1 < m < 0 ，即m -1,0 .
π
17．（2023·江苏·三模）将函数 f x = sin x的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函图象
4
1
上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数 y = g x 的图象．
w
é π π(1) ù若w = 2，求函数 y = g x 在区间
ê
- ,
4 4 ú上的最大值；
(2) y = g x π , π 若函数 在区间 4 2 ÷ 上没有零点，求 ω 的取值范围．è
2
【答案】(1)
2

(2) 0,
1 ù 5
ú
é1, ù ．
è 2 ê 2ú
π
【分析】（1）由函数图象变换知识可得 g x = sin 2x - 4 ÷，后由 y = g x 单调性可得最值è
ìwπ π
- kπ 4 4
情况；（2）由（1）结合题意可知 í ， k Zπ π .后由 w - k +1 π 2 4
4k +1≤ 2k 5+ 可进一步确认 k 大致范围，后可得答案.
2
π
【详解】（1）函数 f x = sin x的图象先向右平移 个单位长度，则解析式变为：
4
sin x π- 1 ÷，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞04 ）倍（纵坐标不变），è w

则解析式变为si n ωx
π g x sin 2x π- ÷ .则 = -

4 4 ÷
.
è è
π x π 3π π π当- 时，- ≤ 2x - ≤ ，
4 4 4 4 4
é 3π πù π π
因函数 y = sin x 在 ê- , -
é ù
ú 上单调递减，在 ê- , ú 上单调递增， 4 2 2 4
π ì 3π πüsi n π 2 - 2 ÷
= -1，max ísi n - ÷ , si n = si n = .
è è 4 4 4 2
∴ π 2 é
π π
-1≤ sin 2x -

÷≤ ，∴ y = g x 在区间 ê- ,
ù 2
4 4 ú上的最大值为 ．è 4 2 2
（2） g x = sin wx
π
- π π πw π π πw π÷，当 < x < 时， - < wx - < - ，
è 4 4 2 4 4 4 2 4
ìwπ π
π π
- kπ
g x , 4 4要使 在 4 2 ÷ 上无零点，则 í k Zπ π ， .è w - k +1 π 2 4
4k +1≤w 5 5 3≤ 2k + ， k Z ，w > 0， 4k +1≤ 2k + k ≤ ，
2 2 4
k 0 1 w 5
1
当 = 时， ；当 k = -1时，-3≤w ≤ 0 w
1
< ≤ ，
2 2 2
当 k -2时，w < 0 舍去．
综上：w
1 ù é 5 ù
的取值范围为 0,
è 2 ú
ê1, ． 2ú
a
18 2024· · f x = x2 x-1．（ 全国 模拟预测）已知函数 - x +1 e - 2x3 + 3x2 +16 ．
(1)当 a = 2时，求曲线 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程．
(2)设函数 g x = f x - x2ex-1 1+ ax3，若 g x 有两个零点，求实数 a的取值范围．
3
【答案】(1) 2x + y -1 = 0
(2) 0,
6
e ֏
【分析】（1）先将 a = 2的值代入函数，对函数求导，求出切线斜率，再求出点的坐标，进
而求出切线方程.
2 a -x +1 e
x-1
（ ）由 g x 有两个零点，得出 = 有两个不相等的实数根，构造函数
6 3x2 +1
h x -x +1 e
x-1 a
= ，将问题转化为 h x 与直线 y = 的图像有两个不同的交点，进而得出 a
3x2 +1 6
的取值范围.
2 x-1 1 3 2
【详解】（1）当 a = 2时， f x = x - x +1 e - 2x + 3x +1 ，且 f 1 = -1，3
f x = 2x -1 ex-1 x2 1所以 + - x +1 ex-1 - 6x2 + 6x3 = x
2 + x ex-1 - 2x2 - 2x ，
则 k = f 1 = 2 1- 2 - 2 = -2，
所以曲线 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y +1 = -2 x -1 ，即 2x + y -1 = 0 .
（2）函数 g x = f x - x2ex-1 1+ ax3 = -x +1 ex-1 a- 3x2 +1 ，3 6
因为 g x 有两个零点，
x-1
所以 -x a+1 ex-1 = 3x2 +1 a -x +1 e，即 = 有两个不相等的实数根，6 6 3x2 +1
-x +1 ex-1 x 3x2 - 6x + 7 ex-1
设函数 h x = ，则 h x = - 2 ，
3x2 +1 3x2 +1
2
因为 -6 - 4 3 7 = -48 < 0，所以3x2 - 6x + 7 > 0 恒成立，
所以当 x - ,0 时， h x > 0,h x 单调递增，且0 < h x < h 0 1= ；
e
当 x 0, + 时， h x < 0, h x 1单调递减，且 h x < h 0 = ，
e
-x +1 ex-1 a
因为函数 h x = 的图像与直线 y = 有两个不同的交点，
3x2 +1 6
0 a 1 6 6所以 < < ，即0 < a < ．所以实数 a的取值范围为 0, ．
6 e e ֏ e
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体
现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 f x = 0分离变量得出 a = g x ，将问题等价转化为直线 y = a 与函
数 y = g x 的图象的交点问题.
19．（2023·福建福州·模拟预测）设 a > -1，函数 f x = x +1 lnx + a -1 x +1．
(1)判断 f x 的零点个数，并证明你的结论；
(2)若 a 0，记 f x 的一个零点为 x0 ，若 x1 + a = sinx1，求证： x1 - lnx0 0．
【答案】(1)零点个数=1，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据 a 的取值范围确定函数 f x 的单调性，从而判断零点的个数；
（2）将不等式 x1 - ln x0 0 理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.
'
【详解】（1） f x = ln x 1 x -1+ + a ，令 h x = f ' x '，则 h x =
x x2
，
当 x >1 '时， h x > 0,h x 单调递增，当0 < x <1 '时， h x < 0, h x h'单调递减， 1 = 0，
在 x =1处 h x 取得极小值也是最小值，Qa > -1，\ h 1 =1+ a > 0 f '，即 x > 0, f x 单调
递增，
x 2 2当 趋于 0 时， f x 趋于- ， f e = 2 e +1 + a -1 e2 +1 = e2 a +1 + 3 > 3 > 0，
\ 2在 x 0,e 内存在唯一的零点，即 f x 的零点个数为 1；
（2）令 g x = sin x - x, g ' x = cos x -1 0, g x 是减函数， g 0 = 0，
即当 x > 0时， g x < 0,sin x < x ，当 x < 0 时， g x > 0,sin x > x，
由 x1 + a = sin x1知： a = sin x1 - x1 0,\ x1 0；
由（1）的讨论知 f x 存在唯一的零点 x0 ，
当 a 0时， f 1 = a 0 ，\ x0 0,1 ，
\ x0 +1 ln x0 + a -1 x0 +1 = 0, x0 0,1 , a
x0 +1ln x 1\ = -
x 0
- +1 0
x ，0 0
sin x x x +1又a = sin x1 - x1，\ 1 -
0
1 = - ln x
1
- +1 x 0,1 , x 0
x 0 x …①，其中 0 1 ，0 0
令 t = ln x0， x0 = e
t
，则 t 0；
et +1 1
式即为 sin x1 - x1 = - t t - t +1 = - 1+ e-t t - e-t +1 ，不等式 x1 - ln x0 0 等价于 x1 t ，e e
其意义为：当函数 g x = sin x - x, x 0 与函数 p x = - 1+ e- x x - e- x +1 , x 0 的函数值
相等时，比较对应的自变量之间的大小关系；
\设m x = p x - g x = - x +1 e- x - sin x +1, x 0 ，
m' x = xe- x - cos x x π ù，当 - ,0ú 时， cos x > 0, xe
- x < 0,\m' x < 0 π，当 x - 时，
è 2 2
π πxe- x - e 2 < -1 '，m x = xe- x - cos x < -1- cos x < 0,\m x 是减函数，
2
又m 0 = 0，\ x 0时， m x 0，即 p x g x ，
\ p t = g x1 时 x1 t ，当且仅当 x1 = t = 0 时等号成立；
即 x1 - ln x0 0
g x p x
【点睛】本题第二问的难点在于对不等式 x1 - ln x0 0 的几何解释，即当 与 的函数
m x = p x - g x
值相等时，对应的自变量的大小关系，如此构造函数 并判断单调性就顺
理成章了，其中对于导函数中有三角函数时，往往采用分区间 讨论符号
拓展冲刺练
一、单选题
1 2024· · f (x) = 2sin 3x
π
+ ．（ 山西晋城 二模）将函数 4 ÷ 的图象向右平移
j （j > 0）个单位长
è
度，得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)在区间 (0,j)上恰有两个零点，则j 的取值范围是
（ ）
é5π , 3π é3π 13π 5π 3π ù 3π 13π ùA． ê ÷ B． ê , ÷ C． , D． , 12 4 4 12 è 12 4 ú è 4 12 ú
【答案】C
π
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得 g(x) = 2sin(3x + - 3j)，由 g(x)在 (0,j)4 上有 2 个
π
零点得 -2π - 3j < -π4 ，解之即可求解.
π
【详解】将函数 f (x) = 2sin(3x + )的图象向右平移j 个单位长度，
4
π π π
得 g(x) = 2sin(3x
π
+ - 3j)的图象， 由 0 < x < j ，得 - 3j < 3x + - 3j <4 ，4 4 4
又 g(x)在 (0,j) π上有 2 个零点，所以 -2π - 3j < -π4 ，
5π j 3π j (5π , 3π解得 < ，即实数 的取值范围为 ]12 4 12 4 .
故选：C
π π
2．（2024·全国·模拟预测）设函数 f x = cos wx + 在区间 0, 上恰有 3 个零点、2 个极
è 4 ÷
÷
è 2
值点，则w 的取值范围是（ ）
7
A ． ,
9 ù 9 11ù 9 13ù 7 13ù
2 2ú
B． , C． , D． ,
è è 2 2 ú è 2 2 ú è 2 2 ú
【答案】B
【分析】首先根据题意确定w > 0，再代入求整体角的取值范围，得到 3 个零点、2 个极值
点的位置，解不等式求得结果.
【详解】当w < 0 时，无法满足函数 f x 0, π 在区间 ÷上的零点比极值点多，所以w > 0，
è 2
选项表示的区间也全部在正半轴．
函数 f x = cos wx
π
+
π
÷ 在区间 0, ÷上恰有 3 个零点、2 个极值点，
è 4 è 2
t wx π π , πw π令 = +

+ ÷，则相当于函数 y = cost
π πw π
在区间
4 4 2 4
, + ÷上恰有 3 个零点、2
è è 4 2 4
个极值点．
π 3π 5π
如图，要使函数 y = cost 恰有 3 个零点 , , 2 π,2π2 2 2 、 个极值点 ，
5π πw π
则 < + 3π ，
2 2 4
9 11
所以 < w ．
2 2
故选：B．
3．（2023·北京· x - x模拟预测）已知函数 f x = e - e ，下列命题正确的是（ ）
① f x 是奇函数；
②方程 f x = x2 + 2x有且仅有 1 个实数根；
③ f x 在R 上是增函数；
④如果对任意 x 0, + ，都有 f x > kx ，那么 k 的最大值为 2.
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
2
【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，令 g x = f x - x - 2x，可得
g 0 = 0，再结合零点存在性定理分析判断，对于③,对函数求导后利用导数判断，对于④,
问题转化为 ex - e- x - kx > 0恒成立，构造函数 h(x) = ex - e- x - kx ，求导后分析判断.
① f x = ex - e- x【详解】对于 ，因为 的定义域为R ，
f -x = e- x x x - x且 - e = - e - e = - f x ，所以 f x 是奇函数，所以①正确，
对于②，令 g x = f x - x2 - 2x = ex - e- x - x2 - 2x，
因为 g 0 = 0，所以方程所以 f x = x2 + 2x有一个根为 0，
g 2 = e2 - e-2因为 -8 < 0， g 3 = e3 - e-3 -15 > 0，
所以方程 f x = x2 + 2x在 (2,3) 至少有一个根，所以②错误，
对于③，由 f x = ex - e- x x，得 f x = e + e- x > 0，
所以 f x 在R 上是增函数，所以③正确，
对于④，若对任意 x 0, + ，都有 f x > kx ，即 ex - e- x - kx > 0恒成立，
令 h(x) = ex - e- x - kx ，则 h (x) = ex + e- x - k ，
ex + e- x 2 ex × e- x = 2，当且仅当 ex = e- x ，即 x = 0时取等号，
因为 x > 0，所以取不到等号，所以 ex + e- x > 2 ，
若 k 2，则 h (x) > 0恒成立，所以 h(x) 在 x 0, + 上递增，
所以 h(x) > h(0) = 0，即 ex - e- x - kx > 0恒成立，
若 k > 2，则存在 x0 (0, + ) 使 h (x0 ) = 0，
所以当0 < x < x0 时， h (x) < 0，当 x > x0时， h (x) > 0，
所以 h(x) 在 (0, x0 )上递减，在 (x0 ,+ )上递增，
所以 h(x) 在 (0, x0 )上，有 h(x) < h(0) = 0 不合题意，
综上， k 2，所以 k 的最大值为 2，所以④正确，
故选：B
【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，第④个解的关键
是将问题转化为 ex - e- x - kx > 0恒成立，然后构造函数 h(x) = ex - e- x - kx ，利用导数结合基
本不等式讨论，考查分类思想和计算能力，属较难题.
2
4．（2023·四川南充·一模）已知函数 f (x) = ln x - + 2 - m （0 < m < 3）有两个不同的零点
x
x1，x2（ x1 < x2），下列关于x1，x2的说法正确的有（ ）个
x
① 2 < e2mx
2
② x1 > ③ x1xm + 2 2
>1
1
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】令 g x = ln x 2- + 2 ，判断 g x 的单调性结合 g 1 = 0得到0 < x1 <1， x2 >1，进x
而有 ln x
2 2
1 - + 2 = -m， ln xx 2
- + 2 = m，两式作差可判断①；根据0 < x1 <1得到 ln x1 < 0
1 x2
可判断②；将得到的两式相加，再利用换元法可判断③.
【详解】Q f (x)
2
= ln x - + 2 - m （0 < m < 3）有两个不同的零点x1，x2，且 x1 < x2，x
2
即x1，x2是方程 ln x - + 2 = m的两个不同的根，x
令 g x 2= ln x - + 2 ， x 0, + ，易知 g 1 = 0，
x
Q g x 1 1= + 2 > 0 ，\ g x 在 0, + 单调递增，x x
\ x 0,1 时， g x = ln x 2- + 2 < 0，
x
x 1, + 时， g x = ln x 2- + 2 > 0，
x
2 2
\ 0 < x1 <1， x2 >1，\ ln x1 - + 2 = -m， ln x2 - + 2 = mx1 x
，
2
2
对于①，两式作差得， ln x2 - + 2 - ln x
2
x 1
- + 2÷ = 2m，
2 è x1
x2 2 x2 - x1 整理得， ln + = 2m
x1 x1x2
2 x - x
Q 2 1

> 0 \ ln
x2
， < 2m
x2 2m
，即 < e ，故①正确；
x1x2 x1 x1
2
对于②，Q ln x1 - + 2 = -mx ，且
0 < x1 <1，\ ln x1 < 0，
1
2
\ - + 2
2
> -m ，即 < m + 2
2
x x ，
\ x1 > ，故②正确；
1 1 m + 2
ln x 2 2 m ln x 2对于③，Q 1 - + = - ， 2 - + 2 = mx x ，1 2
2 2
两式相加得， ln x1 - + ln x2 - + 4 = 0x x ，1 2
2 x + x
整理得，\ ln x1x2

- 1 2 + 4 = 0，即 2 x1 + x2 = x1x2 ln x x + 4x x ，x 1 2 1 21x2
Q 2 x1 + x2 > 2 × 2 x1x2 ，
即 x1x2 ln x1x2 + 4x1x2 > 2 ×2 x1x2 ，
令 t = x x t > 0 ，则 t 21 2 ln t 2 + 4t 2 > 2 ×2t ，
2
整理得 t ln t + 2t - 2 > 0，即 ln t - + 2 > 0 ，
t
Q x 0,1 2时， g x = ln x - + 2 < 0，
x
x 1, + 时， g x = ln x 2- + 2 > 0，
x
\ t = x1x2 >1，即 x1x2 >1，故③正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查函数零点的问题，解答的关键在于构造函数，根据函数的单调
性确定零点的范围.
5 23-24 · · 2x．（ 高三下 湖南 阶段练习）设方程 × log2x = 1的两根为x1， x2 x1 < x2 ，则（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 2 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 3
【答案】C
【分析】首先结合函数的图象和零点存在性定理确定 x1, x2 的范围，判断 AD；再去绝对值后，
即可判断 BC.
0 < x < x 2x × log x =1 log x 1
x

【详解】由题意得， 1 2 ，由 2 得 2 - 2 ÷
= 0，
è
x
如图画出函数 y = log 12 x 和 y =

÷ 的图象，两个函数有 2 个交点，
è 2
x
1 1 1 3 1 1令 f x = log x - 2 ÷ x > 0 ，则 f 1 = - < 0， f 2 =1- = > 0 f

，
2 2 4 4 ÷
=1- > 0 ，
è è 2 2
f 1 由 ÷ × f 1 < 0 ， f 1 × f 2 0 x
1
< 得 1

,1

÷ ， x2 1,2 ，故 A 错；
è 2 è 2
x
1 2
x1 x2 x1
由 log2x2 - ÷ = log x
1
- = 0 log x - log x = 1 1 ，得 -
2 2 1 2 ÷ 2 2 2 1 2 ÷ 2 ÷
，
è è è è
x2 x1
由 x
1
1 ,1÷ ， x2 1,2 ，得2 log2x2 + log
1 1
2x1 = ÷ - ÷ < 0，è è 2 è 2
即 log2 x1x2 < 0，所以0 < x1x2 <1，故 C 对，B 错，
x 1 由 1 ,1÷ ， x2 1,2 ，所以 x1 + x2 < 3，D 错误.
è 2
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的根的问题，转化为函数图象的交点问题，并结
合零点存在性定理，判断根的范围，这是这个题的关键.
二、多选题
1
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数 f x = 3sinwxcoswx - cos2wx,w > 0，则下列结论
2
正确的是（ ）
A．"w 0,1 , f x é π在 ê- ,
π ù
上单调递增
6 4 ú
B．若w =1且 f x1 - f x2 = 2，则 x1 - x2 = πmin
C．若 f x =1在 0, π é5 4 上有且仅有 2 个不同的解，则w 的取值范围为 ê , 6 3 ÷
D．存在w 0,1 π，使得 f x 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
【答案】ACD
f x = sin 2wx π- 【分析】由 ÷，选项 A：利用正弦函数的单调性判断； 选项 B：利用正
è 6
弦函数的最值、周期判断；选项 C：利用正弦函数的图象判断； 选项 D：利用三角函数的
图象变换判断.
【详解】 f x = 3 sinwx coswx 1- cos 2wx = sin 2wx
π
-
2 6 ÷
，
è
w 0,1 x é π , π ù π
é 2w +1 π ù2wx , π w π é π , π" ，当 ê- ú 时， - ê- - ú -
ù
6 4 6 ê ú
，
6 2 6 2 2
é π π ù
由复合函数、正弦函数单调性可知 f x 在 ê- , ú 上单调递增，故 A 正确； 6 4
T π
对于 B，若w =1且 f x1 - f x2 = 2，则 x1 - x2 = =min ，故 B 不正确；2 2
π π
对于 C，若 x 0, π ，则 2wx - éê- , 2wπ
π
- ù
6 6 6 ú
，

若 f x sin 2wx π= -

÷ =1在 0, π 上有且仅有 2 个不同的解，如图所示：
è 6
3 5 4
可得 π 2wπ
π 5 5 4
- < π，解得 w < ，也就是w
é
的取值范围为 , ，故 C 正确；
2 6 2 6 3 ê6 3 ÷
对于 D， g x = sin 2w x π π + - = sin 2wx wπ π+ - 1 ÷ ÷ ÷，可知当w = 时， g x = sin x是
è è 6 6 è 3 6 2
奇函数，故 D 正确.
故选：ACD.
ì
x
4
+ , x > 0,
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í x 的图象与直线 y = a 的交点的

log2 -x - 2 , x < 0
横坐标分别为 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，则（ ）
A． a > 4 B． x1x2 = 4

C． x3x4 = 4 D．a
x3
+1
32 3
x ÷的最小值为è 4 9
【答案】ACD
【分析】先根据函数关系式正确作出函数图象，平移直线 y = a ，即可确定实数 a的取值范
围，挖掘x1与 x2 , x3 与 x4之间的等量关系，由此即可逐一判断每个选项.
4
【详解】当 x > 0时， f x = x + 在 0,2 单调递减，在 2, + 单调递增，且 f 2 = 4．
x
当 x < 0 时， f x = log2 -x - 2 在 - ,-4 单调递减，在 -4,0 单调递增，且 f -4 = 0．
作出函数 f x 的图象，如图．
对于 A，当 a > 4时，函数 f x 的图像与直线 y = a 有 4 个交点，A 正确．
对于 B，易知 x1 < -4,-4 < x2 < 0，由 f x1 = f x2 ，
可得 log2 -x1 - 2 + log2 -x2 - 2 = 0，即 log2x1x2 = 4，所以 x1x2 =16 ，B 错误．
4
对于 C，易知0 < x3 < 2, x4 > 2, x3, x4 是方程 x + = ax 的两个根，
即关于 x 的方程 x2 - ax + 4 = 0 的两个根，由根与系数的关系，得 x3x4 = 4，C 正确．
对于 D，由根与系数的关系，得 x3 + x4 = a ．
2

x 4

+
x3 x + x x + x
2 3 x ÷
所以 a 1 1 4 + ÷ = a × 3 4 =
3 4 = è 3 3 ．
x x x 4
= x
4 3
+ 2x3 +
è 4 4 4 x3
x3
g x 1 x3 2x 4 3 4设 = + + (0 < x < 2) g x = x2，则 + 2 - ．
4 x 4 x2
g x = 0 3 x2令 ，则 + 2 4- = 0．
4 x2
3x4 8x2 16 0 x 2 3整理，得 + - = ，解得 = （负值已舍去），
3
2 3 2 3
所以 g x 在 0, 单调递减，在 , 2 单调递增，
è 3 ÷
÷ ÷÷
è 3
2 3 g x g 32 3所以 3 ÷÷ = ，D 正确．è 9
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：D 选项的判断是本题的关键点，注意利用等量关系消元，再借助导数
求其最小值，体现了导数的工具作用．
ì x
ex
, x 0

f x ln x8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数 = í , 0 < x 4，则下列说法正确的
x
2 f x - 4 , x > 4

是（ ）
A *．函数 f (x) 在 (4k，4k + e) k N 上单调递增
B．函数 f (x) 在 (4k + e，4k + 4) k N* 上单调递减
x
C．若方程 f (x) = a(x <1) 1有两个实数根x1，x ，则 = a2 x2
f (x) = bx(0 x 8) b ln 2D．当方程 的实数根最多时， 的最小值为
8
【答案】ABD
【分析】先利用导数分析函数在 0,4 上的单调性，再结合函数的已知性质，分析函数在
4k, 4k + 4 ， k N* 的单调性，可判断 AB 的真假；对 C：分 x1 < x2和 x1 > x2 两种情况讨论，
可判断 C 的真假；借助函数单调性的结论，分析方程 f (x) = bx(0 x 8)解的个数，判断 D
的真假.
1
【详解】当 x (0, 4]时， f (x) = f (x + 4)，
2
即 f (x + 4) = 2 f (x) ，故 f (x + 4) = 2 f (x) ，
又当 x (0, 4]时， f (x)
1- ln x
= ，
x2
由 f (x + 4) = 0得 2 f (x) = 0，解得 x = e，
故 f (x) 在 (0, e)上单调递增，在 (e,4]上单调递减.
故 f (x) ， x 4,8 在 (4, 4 + e)上单调递增，在 (4 + e,8]上单调递减，
同理得 f (x) 在 (4k, 4k + e) k N* *上单调递增，在 (4k + e,4k + 4) k N 上单调递减，故 A，
B 正确；
若方程 f (x) = a(x <1)有两个实数根x1，x2，由图象可知：
x x (0,1) ln x则当 x < 0 时 = a ，当 x 时， = ae ，x
x ln x
x < 0 < x <1 1 = 2 = ln x不妨设 21 2 ，则 ex x ln x = a ，1 2 e 2
x

1- x 1- x
又 ÷ = ，当 x < 0 时， > 0恒成立.
è ex ex ex
x x x1 x
所以函数 y = x 在 (- ,0)
1
上单调递增，则 x = e 1 ， = = a，
e 2 x ex12
x1 1
若 x1 > x2 ，则 =x a ，故 C 错误；2
由 f (x) = bx知 x = 0时有 1 个根，
由函数的单调性，做函数在 0,8 上的草图如下：
若直线 y = bx 与 y = f (x)(0 < x 4) 的图象有两个交点，
4b f (4) ln 4 b ln 2则 = ，即 ，又 f (8) = 2 f (4)，
4 8
则当b
ln 2
= 时，直线 y = bx过点 (4, f (4))和点 (8, f (8))，
8
此时直线 y = bx 与 y = f (x)(0 < x 8)有 4 个交点，即方程 f (x) = bx有 4 个根，根的个数最多.
所以方程 f (x) = bx在 0,8 的根就有 5 个.
b 要是再小一点，方程 f (x) = bx在 0,8 的根就只有 3 个.
b ln 2故 的最小值为 ，故 D 正确.
8
故选：ABD
【点睛】难点点睛：该题当 x 0,4 时，函数的解析式是知道的，所以函数的单调性也好分
析，但当 x 4k, 4k + 4 时，函数解析式不明确，分析函数的单调性就有点困难.此时可利用
f x = 2 f x - 4 f ' x = 2 f ' x - 4 ，所以函数在 4k, 4k + 4 和在 0,4 的单调性有一致性，
从而分析函数在 4k, 4k + 4 的单调性.
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知 f x = 4sin x sin x - 3 cos x +1相邻的两个零点分别为
x1, x2 ，则 cos x1 - x2 = .
3
【答案】± / ±0.75
4
【分析】解法一：利用三角恒等变形，化归到一般形式 f x π= 3- 4sin 2x + ÷，易知 x1 - x
è 6 2
即有可能是锐角，也有可能是钝角，再利用函数零点转化为已知角的特值问题，即
sin 2x
π
+ = sin π 31 ÷ 2x2 +
π 7 π 7
÷ = ，再去求 cos 2x + = ， cos 2x + = - ，然后利
è 6 è 6 4 1 6 ÷ 4 2 ÷è è 6 4
用两角差公式求 cos é 2 x1 - x2
1 2 9ù = ，再利用降倍升次的二倍角公式求得 cos x8 1 - x2 = ，16
最后即可求出结果.
π kπ
解法二：根据正弦型函数性质知这两个零点一定关于直线 x = +6 2 对称，也就是有一个相
π
等关系 x1 + x2 = + kπ，这样可以利用这个关系消去其中一个变量x2，就可以化简3
cos x1 - x2 = ± cos
π
2x1 - ÷ ，再利用诱导公式即可转化到已知零点的函数值，即求出结果.
è 3
【详解】解法一：因为 f x = 4sin x sin x - 3 cos x +1 = 4sin2 x - 4 3 sin x cos x +1
= 2 1- cos 2x - 2 3 sin 2x +1 = 3- 4sin p 2x +

6 ÷
，
è
π π 3
由 f (x)

相邻的两个零点分别为 x1, x2 ，不妨设 sin 2x1 + ÷ = sin 2x2 + = ，
è 6 è 6 ÷ 4
3
由于正弦值为 的相邻两个角一定是第一象限角和第二象限角，
4
所以 cos π 7 π 7 2x1 + ÷ = ， cos 2x2 + ÷ = - ，
è 6 4 è 6 4
则 cos é2 x1 - x2 ù = cos
é
ê 2x
π
1 +

÷ -

2x
π ù
6 2
+ ÷
è è 6
ú


cos 2x p cos 2x π sin 2x π sin 2x p 7 7 3 3 1= 1 + ÷ 2 + ÷ + 1 + ÷ 2 + ÷ =
è 6 è 6 è 6 è 6 4
- + = .
è 4
÷÷
4 4 8
1
所以 2 1+cos2 x - xcos x
1+ 9
1 - x = 1 2 = 8 = ,2 2 2 16
又因为 f (x) 的周期为 π，所以两个零点 x1, x2 有可能落在半个周期之内，也有可能落在半个周
期之外且一个周期之内，即 x1 - x2 0, π ，
又不妨设 x1 < x2，则 cos x1 - x2 = cos(x2 - x1)考点 14 函数的零点与方程的解（3 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
【知识点】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程 f(x)＝0 有实数解 函数 y＝f(x)有 函数 y＝f(x)的图象与 有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函
数 y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 ，这个 c
也就是方程 f(x)＝0 的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在
区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法
叫做二分法．
常用结论
1．若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
【核心题型】
题型一　函数零点所在区间的判定
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
x
【例题 1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程3 × log3 x =1的两根为x1， x2 x1 < x2 ，则
（ ）
A．0 < x1 <1， x2 > 3 B． x
1
1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 4
x
【变式 1】（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = 3 + x - 6 有一个零点 x = x0，则 x0 属于下
列哪个区间（ ）
1 3 5,1 1, 3 , 2 A． 2 ÷ B． 2 ÷ C． ÷ D． 2,è è 2 2 ÷è è
【变式 2】（2023· · f x = 2x-1海南 模拟预测）函数 + x - 3的零点所在的区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
6
【变式 3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数 f x = - log2 x 零点所在的一个区间 .x
题型二　函数零点个数的判定
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令 f(x)＝0，方程有多少个解，则 f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数．
【例题 2】（2024·天津·二模）已知函数 f x = sin2 x + 2sin x cos x - cos2 x ，关于 f x 有下面
四个说法：
① f x 的图象可由函数 g x = 2 sin 2x π的图象向右平行移动 8 个单位长度得到；
② f x é π在区间 ê- ,
π ù
4 4 ú上单调递增；
x é π π ù
é 3 -1 ù
③当 ê , ú 时， f x 的取值范围为 , 2 ； 6 2 ê ú 2
④ f x 在区间 0,2π 上有3个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数 f x 满足 f x + 8 = f x ， f x + f 8 - x = 0，
当 x 0,4 时， f x = ln 1+ sin
π x ÷，则函数F x = f 3x - f x 在 0,8 内的零点个数为
è 4
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式 2】．（2024·青海西宁·二模）记t x 是不小于 x 的最小整数,例如
t 1.2 = 2,t 2 = 2,t -1.3 = -1,则函数 f x 1=t x - x - 2- x + 的零点个数为 .
8
【变式 3】（2024·北京西城·一模）关于函数 f x = sinx + cos2x，给出下列三个命题：
① f x 是周期函数；
②曲线 y = f x π关于直线 x = 2 对称；
③ f x 在区间 0,2π 上恰有 3 个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三　函数零点的应用
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结
合求解.
命题点 1　根据零点个数求参数
【例题 3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = e2x - 2 a +1 xex + a a + 2 x2 （其
中 e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．$a R ，使函数 f x 恰有 1 个零点
B．$a R ，使函数 f x 恰有 3 个零点
C．"a R ，函数 f x 都有零点
D．若函数 f x 有 2 个零点，则实数 a的取值范围为 e - 2,e
【变式 1】（2024·安徽黄山·二模）若函数 f (x) = 1- x2 - k x -1 - 4有两个零点，则实数 k
的取值范围是 .
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程 ax2 - ln x = 0在 1, + 上有两个不同的根，则
a 的取值范围为（ ）
A ． 0,
1 1
÷ B． - ,

÷ C． 1,e D． - , 2
è 2e è e
【变式 3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数 y = f (x) f (x)
2 + x
，其中 = log 1 x - 2 .2
(1)求证： y = f (x) 是奇函数；
(2)若关于 x 的方程 f (x) = log 1 x + k 在区间[3, 4]上有解，求实数 k 的取值范围.
2
命题点 2　根据函数零点的范围求参数
π π
【例题 4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = cos wx + 4 ÷ w > 0 在区间 ,π3 ÷ 上è è
单调递减，且 f x 在区间 0, π 上只有 1 个零点，则w 的取值范围是（ ）
0, 1 ù 1 3 ù 1 3 ù 1 5 ùA． 4 ú
B． , C． , D．2 4 ú 4 4 ú
,
è è è è 4 4 ú
【变式 1】（2024·四川巴中·一模）若函数 f x = 2ax2 + 3x -1在区间 -1,1 内恰有一个零点，
则实数 a 的取值集合为（ ）
A． a | -1 < a < 2 B．{a | a 9= - 或-1 < a < 2} .
8
C．{a | -1 a 2} D．{a | a
9
= - 或-1 a 2} .
8
【变式 2】（2023·河南·模拟预测）已知函数 f (x) = log2 (x -1) + a在区间 (2,3) 上有且仅有一
个零点，则实数 a的取值范围为 .
2 p
【变式 3】（2023·全国·模拟预测）将函数 f (x) = sinwx(w > 0)的图像向右平移 3w 个单位2
长度得到函数 g(x)的图像．若 g(x)
π , 5π 在区间 ÷ 内有零点，无极值，则w 的取值范围
è 3 6
是 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
x
1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数 f (x) = 2x + log2 x, g(x)
1= - log x, h(x) = x
3 + log x 的
è 2 ÷ 2 2
零点分别为 a,b,c，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D．b > c > a
2．（2023·贵州毕节· 2 2 x-4 4-2 x模拟预测）若函数 f x = x - 4x + a e + e 有唯一零点，则实数a =
（ ）
A．2 B 1． 2 C．4 D．1
3．（23-24 高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 f x = 2x + x - 4，若存在 x1 < x2，使得
f x1 f x2 < 0，则下列结论不正确的是（ ）
A． x1 <1 B． x2 >1
C． f x 在 x , x x + x内有零点 D．若 f x 在 x , 1 2 1 2 1 ÷ 内有零点，则
è 2
f x1 + x2 ÷ > 0
è 2
ìx3 , x 0
4．（2024·北京海淀·一模）已知 f x = í ，函数 f (x) 的零点个数为m ，过点 (0,2)
lg x +1 , x > 0
与曲线 y = f (x) 相切的直线的条数为 n，则m, n的值分别为（ ）
A．1,1 B．1,2 C． 2,1 D． 2, 2
π π π
5．（2024· · 全国 模拟预测）已知函数 f x = 2sin 2x +j - < j < ÷的图像关于点 ,0÷中
è 2 2 è 3
π
心对称，将函数 f x 的图像向右平移 个单位长度得到函数 g x 的图像，则下列说法正确
3
的是（ ）
A． f x π π 在区间 - ， ÷上的值域是 -1，2
è 3 6
B． g x = -2sin2x
C．函数 g x é π 5π ù在 ê- ， 上单调递增 12 12 ú
D．函数 g x 在区间 -π，π 内有 3 个零点
二、多选题
6．（2024· x甘肃定西·一模）已知函数 f x = 2 -1 - a, g x = x2 - 4 x + 2 - a ，则（ ）
A．当 g x 有 2 个零点时， f x 只有 1 个零点
B．当 g x 有 3 个零点时， f x 只有 1 个零点
C．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 2 个零点
D．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 4 个零点
7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数 f (x) = (x2 + x)ex + ln x的零点为 x0 ，下列判断正确的是
（ ）
1 1
A． x0 < B． x0 >2 e
C． ex0 + ln x0 < 0 D． x0 + ln x0 < 0
三、填空题
8．（2024·重庆·模拟预测）若1< w 2π，则关于 x 的方程 sinwx = x 的解的个数是 ．
x 1
9 2023· · xe + - ln x．（ 河北 模拟预测）已知 f (x) = x ， x0 是该函数的极值点，定义 x 表示超
2
过实数 x 的最小整数，则 f x0 的值为 .
四、解答题
10．（2023· 2四川成都·一模）已知函数 f x = ax - xcosx + sinx -1 .
(1)若 a =1时，求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)若 a =1时，求函数 f x 的零点个数；
(3) é若对于任意 x ê0,
π ù
ú ， f (x) 1- 2a2 恒成立，求
a的取值范围.

π
11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 f x = sin wx - ÷ (0 < w < 3)
π
， x = 是 f x 的零
è 4 8
点．
(1)求w 的值；
π 1 π
(2)求函数 y = f x - ÷ + f8
x + ÷的值域．
è è 2 8
12．（2023· 2四川绵阳·模拟预测）函数 f x = 2x + m x - m + 2 ．
(1)若 f x 为奇函数，求实数m 的值；
(2)已知 f x 仅有两个零点，证明：函数 y = f x - 3仅有一个零点．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·吉林长春·一模）方程 log3 x + x = 2的根所在区间是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
2．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号，设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数， y = x 也被称为“高斯函数”，例如
2.1 = 2， 3 = 3， -1.5 = -2 3，设 x0 为函数 f x = log3 x - 的零点，则 x0 =（ ）x +1
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023· 2宁夏银川·三模）函数 f x = log2 x + x + m 在区间 2,4 上存在零点，则实数m 的
取值范围是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x = 3cos wx π π+j w < 0，- < j <

÷ 的最小正周期
è 2 2
π π π
为 π，在区间 - , 上单调递减，且在区间 0, 上存在零点，则j 的取值范围是（ ）
è 6 6 ÷ 6 ÷
è
π
A． ,
π π π π π
÷ B． - ,-
ù é
ú C． ê ,

D 0,
π ù
÷ ．
è 6 2 è 2 3 3 2 è 3 ú
p
5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数 f x = sin wx +j w > 0,0 < j <

÷的最小正周期为T .
è 2
p
若 f T 3= ， x = 为 f x 的零点，则w 的最小值为（ ）
2 6
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2024·安徽芜湖·二模）在数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，首项 a1 =1，且函数
f x = x3 - an+1 sin x + 2an +1 x +1的导函数有唯一零点，则 S5 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
7．（2023·四川南充·模拟预测）函数 f x = xlnx -1的零点为x1，函数 g x = ex x -1 - e的
零点为x2，则下列结论正确的是（ ）
1
A． ex2 × lnx1 = e
2 B x2 -1． e + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[ a ]表示不大于实数 a 的最大整数，如[1.68]=1，设 x1, x2 分
别是方程 x + 2x = 4及 x + ln(x -1) = 4的根，则[x1 + x2 ] = （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．（2024· 3 2甘肃陇南·一模）已知函数 f x = x + x + ax - 4 有 3 个不同的零点 x1, x2 , x3 ,且
2
x1x
x
= 32 ，则（ ）2
A． a = -4 B． f x < 0 的解集为 -1,2
C． y = x - 7是曲线 y = f x 的切线 D．点 -1,0 是曲线 y = f x 的对称中心
10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数 f x = 2 sin wx + j w > 0 的最小正周期T < π ，
f π π ÷ =1，且 f x 在 x = 处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
è 5 10
A． sinj 2=
2
15
B．w 的最小值为
2
f x π , π 35C．若函数 在 ÷上存在零点，则w 的最小值为
è 20 4 2
D．函数 f x 13π在 ,
11π
÷上一定存在零点
è 20 15
2
11．（2023·江西· ax - 2x +1模拟预测）已知函数 f (x) = x ，则下列结论正确的是（ ）e
A．对于任意的 a R ，存在偶函数 g(x)，使得 y = ex f (x) + g(x)为奇函数
B．若 f (x) 只有一个零点，则 a =1
4
C．当 a =1时，关于 x 的方程 f (x) = m有 3 个不同的实数根的充要条件为0 < m <
e3
D．对于任意的 a R ， f (x) 一定存在极值
三、填空题
1
12．（2023· 1广东深圳·一模）定义开区间 a,b 的长度为b - a．经过估算，函数 f x = 3
2x
- x
1
的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过 的开区间）．
6
13．（2024·河南南阳·一模）已知函数 f x = 3x2 - 2lnx + a -1 x + 3在区间 1,2 上有最小值，
则整数 a的一个取值可以是 ．
14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数 f (x) = ex + x - 2 的零点为x ，函数 g(x) = 2 - x - ln x1
3
的零点为x ，给出以下三个结论：① ex1 +ex22 > 2e；② x1x2 > 4 ；③ x2 ln x1 + x1 ln x2 < 0 .其中所
有正确结论的序号为 .
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f (x) =| x - a | .
(1)若不等式 f (x) - f (x + m) 1恒成立，求实数 m 的最大值；
(2)若函数 g(x) = f (x)
1
+ 有零点，求实数 a的取值范围.
a
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = xlnx + ax a R .
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)当 a = -1时，方程 f x = m有两个解，求参数m 的取值范围.
π
17．（2023·江苏·三模）将函数 f x = sin x的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函图象
4
1
上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数 y = g x 的图象．
w
π π
(1)若w = 2 é ù，求函数 y = g x 在区间 ê- ,4 4 ú上的最大值；
(2)若函数 y = g x π在区间 , π 4 2 ÷ 上没有零点，求 ω 的取值范围．è
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x2 - x +1 ex-1 a- 2x3 + 3x2 +1 ．6
(1)当 a = 2时，求曲线 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程．
(2) g x = f x - x2 x-1 1设函数 e + ax3，若 g x 有两个零点，求实数 a的取值范围．
3
19．（2023·福建福州·模拟预测）设 a > -1，函数 f x = x +1 lnx + a -1 x +1．
(1)判断 f x 的零点个数，并证明你的结论；
(2)若 a 0，记 f x 的一个零点为 x0 ，若 x1 + a = sinx1，求证： x1 - lnx0 0．
拓展冲刺练
一、单选题
π
1．（2024·山西晋城·二模）将函数 f (x) = 2sin 3x +

÷ 的图象向右平移j （j > 04 ）个单位长è
度，得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)在区间 (0,j)上恰有两个零点，则j 的取值范围是
（ ）
é5π , 3π é3πA． ê ÷ B． ê ,
13π 5π 3π ù 3π 13π ù
12 4 4 12 ÷
C． , D． ,
è 12 4 ú è 4 12 ú
π
2．（2024·全国·模拟预测）设函数 f x = cos wx +

÷ 在区间 0,
π
2 ÷上恰有 3 个零点、2 个极è 4 è
值点，则w 的取值范围是（ ）
7 , 9 ù 9 ,11ù 9 13ù 7 13ùA． B．
è 2 2ú è 2 2 ú
C． , D． ,
è 2 2 ú è 2 2 ú
3．（2023·北京·模拟预测）已知函数 f x = ex - e- x ，下列命题正确的是（ ）
① f x 是奇函数；
② 2方程 f x = x + 2x有且仅有 1 个实数根；
③ f x 在R 上是增函数；
④如果对任意 x 0, + ，都有 f x > kx ，那么 k 的最大值为 2.
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
2
4．（2023·四川南充·一模）已知函数 f (x) = ln x - + 2 - m （0 < m < 3）有两个不同的零点
x
x1，x2（ x1 < x2），下列关于x1，x2的说法正确的有（ ）个
x
① 2 < e2m
2
x ② x1 > ③ x x >11 m + 2 1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（23-24 高三下· x湖南·阶段练习）设方程2 × log2x = 1的两根为x1， x2 x1 < x2 ，则（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 2 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 3
二、多选题
1
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数 f x = 3sinwxcoswx - cos2wx,w > 0，则下列结论
2
正确的是（ ）
π π
A．"w 0,1 , f x é在 ê- ,
ù
上单调递增
6 4 ú
B．若w =1且 f x1 - f x2 = 2，则 x1 - x2 = πmin
C．若 f x =1在 0, π é5 4 上有且仅有 2 个不同的解，则w 的取值范围为 ê ,6 3 ÷
π
D．存在w 0,1 ，使得 f x 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
ì 4
x + , x > 0,
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í x 的图象与直线 y = a 的交点的

log2 -x - 2 , x < 0
横坐标分别为 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，则（ ）
A． a > 4 B． x1x2 = 4
x
C x 32 3． 3x4 = 4 D．a 3 +1
è x
÷的最小值为
4 9
ì x
, x 0
e
x
ln x
8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数 f x = í , 0 < x 4，则下列说法正确的
x
2 f x - 4 , x > 4

是（ ）
A．函数 f (x) 在 (4k，4k + e) k N* 上单调递增
B．函数 f (x) 在 (4k + e，4k + 4) k N* 上单调递减
x
C f (x) = a(x <1) x x 1．若方程 有两个实数根 1， 2，则 = ax2
ln 2
D．当方程 f (x) = bx(0 x 8)的实数根最多时，b 的最小值为
8
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知 f x = 4sin x sin x - 3 cos x +1相邻的两个零点分别为
x1, x2 ，则 cos x1 - x2 = .
10．（2024· x 2四川成都·三模）若函数 f x = e - kx 大于 0 的零点有且只有一个，则实数 k 的
值为 ．
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = ex ， g(x) = xa ．
(1)当 a =1时，求 f (x) - g(x)的最小值；
(2)讨论函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象在 (0, + )上的交点个数．
2
12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f x = x - 3 ex + a + lnxx ÷ a R ,è
(1)若过点 2,0 的直线与曲线 y = f x 切于点 1, f 1 ，求 a的值；
(2)若 f x 有唯一零点，求 a的取值范围．

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