考点13函数的图像(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(含答案) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)

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考点13函数的图像(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(含答案) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)

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考点 13 函数的图像(3 种核心题型+基础保分练+综合提升练
+拓展冲刺练)
【考试提醒】
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函
数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
【知识点】
1.利用描点法作函数图象的方法步骤:列表、描点、连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
关于
①y=f(x) ― ― ―
x 轴―对称―→
y=-f(x).
― 关―于―y 轴―对称②y=f(x) ―→ y=f(-x).

③y=f(x) ― ―
于原―点―对称―→
y=-f(-x).
x 关于 y=x 对称④y=a (a>0,且 a≠1) ― ― ― ― ―→ y=logax(a>0,且 a≠1).
(3)翻折变换
①y=f(x) ― ― ―
保留―x 轴― 上―方图―象 ― ―→
将 x 轴下方图 象翻折上去 y=|f(x)|.
保留 y 轴右侧图象,并作其
②y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →关于 y 轴对 称的图象 y=f(|x|).
常用结论
1.左右平移仅仅是相对 x 而言的,即发生变化的只是 x 本身,利用“左加右减”进行操
作.如果 x 的系数不是 1,需要把系数提出来,再进行变换.
2. 函数图象自身的对称关系
a+b
(1)若函数 y=f(x)的定义域为R,且有 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=
2
对称.
(2)函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称 f(a+x)=2b-f(a-x) f(x)=2b-f(2a-x).
3.两个函数图象之间的对称关系
(1)函数 y=f(x)与 y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称.
(2)函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
【核心题型】
题型一 作函数图象
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法:对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法:含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,
则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
2
【例题 1】(2024 高三下·全国·专题练习)已知函数 f x = x - x - 2 + x - 2 .
(1)画出函数 f x 的图象;
(2)求关于 x 的不等式 f x x +1 的解集.
【答案】(1)图像见解析
é -1+ 13 ,1+ 21
ù
(2) ê ú
2 2
【分析】(1)分类去绝对值得分段函数 f x 的解析式,进而可作出函数 f x 的图象;
(2)法一:分类去绝对值,解不等式即可求得 f (x) | x +1|的解集.
法二:求得 4 - x2 = x +1与 x2 - 4 = x +1的解,数形结合可求得 f (x) | x +1|的解集.
【详解】(1)由 x2 - x - 2 = 0 ,解得 x = 2或 x=-1,
当 x 2时, f (x) = x2 - x - 2 + x - 2 = x2 - 4,
当-1 < x < 2时, f (x) = -x2 + x + 2 - x + 2 = 4 - x2 ,
当 x -1时, f (x) = x2 - x - 2 - x + 2 = x2 - 2x ,
ì x2 - 4, x 2
所以 f (x) =
2
í4 - x ,-1< x < 2 ,
2
x - 2x, x -1
画出函数 f x 的图象如图所示.
(2)法一:当 x 2 1+ 21时,原不等式转化为 x2 - 4 x +1,得 2 x ;
2
当-1 < x < 2 -1+ 13时,原不等式转化为 4 - x2 x +1,得 x < 2;
2
当 x -1时,原不等式转化为 x2 - 2x -x -1,无解.
é -1+ 13 1+ 21 ù
综上,原不等式的解集为 ê , ú .
2 2
4 x2 x 1 x -1± 13法二:当 - = + 时,解得 = ,
2
x2 4 1± 21当 - = x +1时,解得 x = ,
2
数形结合可知,当 f x x +1 -1+ 13 x 1+ 21时,
2 2
é -1+ 13 ,1+ 21
ù
ê 2 2 ú
即原不等式的解集为
【变式 1】(2024·陕西西安·二模)设函数 f (x) = 2x - x +1 .
(1)在坐标系中画出函数 f (x) 的图象;
(2)若 f (x) 4 - a - 2 对任意 x R 恒成立,求 a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;
(2) (- , -3]U[7,+ ) .
【分析】(1)根据题意求出 f x 的分段函数解析式,作出图像,从而可求解.
(2)由(1)中图像可知 f x = -1min ,即 f x 4 - a - 2min 任意 x R 对从而可求解.
ì-x +1, x < -1

【详解】(1)由题意得 f x = í-3x -1, -1 x 0 ,作出图象,如图所示,

x -1, x > 0
(2)由(1)知 f x = -1,所以-1 4 - a - 2min 对任意 x R 恒成立,
即 a - 2 > 5,解得 a 7或 a -3,
所以 a的取值范围为 - ,-3 7, + .
【变式 2】(2024·四川南充·二模)已知函数 f (x) =| 2x - 2 | + | 2x - a |.
(1)当 a = -2 时,画出 f (x) 的图象,并根据图象写出函数 f (x) 的值域;
(2)若关于 x 的不等式 f (x) + 2a a2 有解,求 a 的取值范围.
【答案】(1)图象见解析, 4, +
(2) - , -1 2, +
【分析】(1)分类讨论求出函数的解析式画图求值域即可;
(2)利用绝对值三角不等式求出函数 f (x) =| 2x - 2 | + | 2x - a |的最小值,不等式有解的问题,
a - 2 a2只需 - 2a ,求解即可.
【详解】(1)当 a = -2 时, f (x) = 2x - 2 + 2x + 2 ,
ì-4x, x -1
所以 f (x) =

í4,-1< x <1,作出图象如图所示:

4x, x 1
函数 f (x) 的值域为: 4, + .
(2)关于 x 的不等式 f (x) + 2a a2 有解,
所以 f (x) a2 - 2a 有解,
由绝对值三角不等式得 f (x) = 2x - 2 + 2x - a a - 2 ,
ìa - 2 a2 - 2a
所以 a - 2 a2 - 2a ,所以 í ,
a - 2 -a
2 + 2a
所以 a -1或 a 2,
a - , -1 2,+ 所以 的取值范围为:
【变式 3】(2024·陕西西安·三模)已知函数 f (x) =| 2x +1| + | x + m |(其中m -1,0 ).
1
(1)在给定的平面直角坐标系中画出m = - 时函数 f x 的图象;
2
(2)求函数 f x 的图象与直线 y = 3围成多边形的面积的最大值,并指出面积最大时m 的
值.
【答案】(1)作图见解析;
17
(2)最大值为 ,m = 0 .
6
1
【分析】(1)把m = - 代入,再画出函数图象即可.
2
(2)作出函数 y = f (x) 与直线 y = 3围成多边形,并求出面积表达式,再求出最大值即得.
ì 3x 1 1 - - , x -
2 2
1
【详解】(1)当m = - 时, f (x) 2x 1
1 3 1 1
= + + x - = íx + ,- < x < ,2 2 2 2 2
3x 1 1 + , x 2 2
在坐标平面内作出函数 f (x) 的图象,如图:
ì
-3x -1- m, x
1
-
2
(2)依题意, f (x) = 2x 1 x m
1
+ + + = íx +1- m, - < x < -m,其图象如图:
2
3x +1+ m, x -m

令 y = 3,得函数 y = f (x)
4 + m 2 - m
的图象与直线 y = 3的两个交点 A(- ,3), D( ,3),
3 3
直线 y = x +1- m 与直线 y = 3交于点E(2 + m,3) ,
f ( 1显然 - )
1
= - m, f (-m) =1 2m B( 1 , 1- ,即点 - - m),C(-m,1- 2m) ,
2 2 2 2
函数 y = f (x) 的图象与直线 y = 3围成多边形为四边形 ABCD,其面积为:
SABCD = SVABE - S
1
VCDE = [(2 + m) (
4 + m
- - )][3 1 1- ( - m)]- [(2 + m) 2 - m- ][3 - (1- 2m)]
2 3 2 2 3
(5 + 2m)2 4(1+ m)2 -4m2 + 4m +17
= - = ,
6 3 6
-4m2y + 4m +17显然函数 = 在[-1,0]
17
上单调递增,当m = 0时, ymax = ,6 6
17
所以函数 y = f (x) 的图象与直线 y = 3围成多边形的面积的最大值为 6 ,此时m = 0
题型二 函数图像的识别
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
x cos 2x
【例题 2】(2024·四川成都·三模)函数 f (x) = ln(x2 1) 的图象大致是( )+
A. B.
C. D.
【答案】A
x (0, π【分析】由函数的奇偶性排除两个选项,再根据 )时的函数值为正排除余下两个中的
4
一个即得.
f (x) x cos 2x -x cos 2x【详解】函数 = 2 的定义域为 (- ,0) U (0, + ), f (-x) = 2 = - f (x)ln(x 1) ln(x 1) ,+ +
函数 f (x) 是奇函数,图象关于原点对称,BD 不满足;
当 x (0,
π)时, cos 2x > 0, ln(x2 +1) > 0 ,则 f (x) > 0 ,C 不满足,A 满足.
4
故选:A
1
【变式 1】(2024·湖北·模拟预测)函数 f x = ex - e x - lnx2 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据 x < 0 时 f x 的单调性可排除 BC;再由奇偶性可排除 D.
1
1 ì x
x 2 e - e
x - 2ln -x , x < 0
【详解】 f x = e - e x - lnx = í 1 ,
x
e - e x - 2lnx, x > 0
1
因为当 x < 0 时, y = ex , y = -e x , y = -2ln -x 都为增函数,
1
所以, y = ex - e x - 2ln -x 在 - ,0 上单调递增,故 B,C 错误;
1
-
又因为 f -x = e- x - e x - ln x2 - f x ,
所以 f x 不是奇函数,即图象不关于原点对称,故 D 错误.
故选:A
f x x cos x + sin x【变式 2】(2024·全国·模拟预测)函数 = 的部分图象为(
1 x2 )+
A. B.
C. D.
【答案】B
π
【分析】利用排除法,根据函数奇偶性排除 A;分别取 x 0, ÷ , x

π,

÷,结合函数符
è 2 è 2
号排除 CD.
【详解】由题意可知: f x 的定义域为 R,关于原点对称,
且 f -x
-xcos -x + sin -x -xcos x - sin x
= 2 = 2 = - f x 1+ ,-x 1+ x
所以 f x 为奇函数,其图象关于原点对称,排除 A;

当 x 0,
π
÷ 时, x cos x + sin x > 0,所以 f x > 0,排除 D;
è 2
x 当 π,

÷时, xcos x + sin x < 0,所以 f x < 0 ,排除 C.
è 2
故选:B
m
【变式 3】(多选)(2024· 3安徽合肥·一模)函数 f x = x - m R 的图象可能是( )x
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系,结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知,函数 f x 的定义域为 - ,0 0, + ,
m
当m > 0时, f x = 3x2 + 2 > 0,函数 f x 在 - ,0 , 0, + 上单调递增,故 B 正确;x
当m = 0时, f x = x3 , f x = 3x2 > 0,所以在 - ,0 , 0, + 上单调递增,故 D 正确;
m m
当m < 0 3 3时,当 x > 0时, f x = x - > 0;当 x < 0 时, f x = x - < 0;
x x
故 A 正确;C 错误.
故选:ABD.
题型三 函数图象的应用
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式 Δ 与 0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
命题点 1 利用图象研究函数的性质
【例题 3】(2023·贵州·模拟预测)已知函数 f x = x -1 -1,下列结论正确的是( )
A. f x 是偶函数
B. f x 在 0, + 上单调递增
C. f x 的图象关于直线 x =1对称
D. f x 的图象与 x 轴围成的三角形面积为 2
【答案】C
x - 2, x 1
【分析】去掉绝对值,得到 f x ì= í x, x 1 ,画出其图象,进而判断出四个选项. - <
【详解】A 选项, f ì
x - 2, x 1
x = x -1 -1 = í x, x 1 , - <
画出其函数图象,如下:
故 f x 不是偶函数,A 错误;
B 选项, f x 在 0,1 上单调递减,故 B 错误;
C 选项, f x 的图象关于直线 x =1对称,C 正确;
2 1
D 选项, f x 的图象与 x 轴围成的三角形面积为 =1,D 错误.
2
故选:C
【变式 1】(2022·重庆沙坪坝·模拟预测)若函数 f x +1 为奇函数,且在 2,3 单调递减,则
下列函数在 0,1 一定单调递增的是( )
A. y = f x -1 B. y = f 1- x C. y = f 2x -1 D. y = f -x -1
【答案】D
【分析】由题意判断函数 f (x) 的性质,作出大致图象,利用函数图象的平移以及伸缩变换,
可得答案.
【详解】由题意函数 f x +1 为奇函数,且在 2,3 单调递减,
则函数 y = f (x) 关于点 (1,0) 对称,且在 (3, 4), (-2, -1) 上都是单调递减,
作出其图象示意图如图:
对于 A, y = f x -1 图象是将 y = f (x) 的图象向右平移一个单位得到,在( 0, 1)上的单调性
不确定,故 A 不正确;
对于 B, y = f 1- x 的图象是由 y = f (x) 的图象关于 y 轴对称,再向右平移一个单位得到,
作出其示意图:
可知 y = f 1- x 在( 0, 1)上的单调性不确定,故 B 不正确;
对于 C, y = f 2x -1 是将 y = f (x) 1 1的图象横坐标缩短到原来的 2 ,再向右平移 2 个单位,
结合 y = f (x) 图象可知, y = f 2x -1 在( 0, 1)上的单调性不确定,故 C 不正确;
对于 D, y = f -x -1 的图象是由 y = f (x) 的图象关于 y 轴对称,再向左平移一个单位得到,
作出其示意图:
可知 y = f -x -1 在( 0, 1)上的单调递增,故 D 正确;
故选:D
【变式 2】(多选)(22-23 高三上·湖北·阶段练习)已知函数 f x = x x - a , a R ,下列判
断中,正确的有( )
A.存在 k R ,函数 y = f x - k 有 4 个零点
B.存在常数 a,使 f x 为奇函数
C.若 f x 在区间 0,1 上最大值为 f 1 ,则 a的取值范围为 a 2 2 - 2 或 a 2
D.存在常数 a,使 f x 在 1,3 上单调递减
【答案】BC
【分析】把 f x 表示为分段函数,分类讨论作出函数图像,数形结合研究函数的奇偶性、
单调区间、最值等性质.
ìx2 - ax, x a,
【详解】函数 f x = x x - a = í
-x2
函数图像如图所示:
+ ax, x < a,
由图像可知,函数 f x 的图像与直线 y = k 不可能有 4 个交点,所以不存在 k R 使函数
y = f x - k 有 4 个零点,A 选项错误;
当 a = 0时, f x = x x ,函数定义域为 R, f -x = -x -x = -x x = - f (x),此时 f x 为奇
函数,B 选项正确;
当 a 0或 a 2时, f x 在区间 0,1 上单调递增,最大值为 f 1 ;
a
当1 a < 2时, <1, f x é0, a ù éa ,1ù在区间 ê ú 上单调递增,在区间 ê 2 ú上单调递减,最大值为2 2
f a ÷,不合题意;
è 2
é a ù éa ù
当 0 < a < 1时, f x 在区间 ê0, ú 上单调递增,在区间 ê , a2 ú 上单调递减,在区间 a,1 上单 2
调递增,若最大值为 f 1 ,则有 f 1 f (a a a ) ,即 1- a - a ,由 0 < a < 1,所以
2 2 2
2
1- a a ÷ ,解得 0 < a 2 2 - 2;
è 2
综上, f x 在区间 0,1 上最大值为 f 1 ,则 a的取值范围为 a 2 2 - 2 或 a 2,C 选项正
确;
ìa
若 f x 在 11,3 上单调递减,则有 í 2 ,不等式组无解,故不存在常数 a使 f x 在 1,3 上
a 3
单调递减,D 选项错误;
故选:BC
【变式 3】(多选)(2023·全国·模拟预测)小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线.为
了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保
ì 7
- x +1,0 < x 1
持量 y 与时间 x
20
(单位:天)之间的函数关系 y = f x = í
1 9
1 .则下列说
-
+ ÷ x 2 ,1< x 30 5 è 20
法中正确的是( )
A.随着时间的增加:小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9天后,小菲的单词记忆保持量不低于 40%
D. 26天后,小菲的单词记忆保持量不足 20%
【答案】AB
【分析】根据艾宾浩斯遗忘曲线对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】由函数解析式和图象可知 f x 随着 x 的增加而减少,故 A 正确.
由图象的减少快慢可知:第一天小菲的单词记忆保持量下降最多,B 正确.
1
-
当1 < x 30时, f x 1 9= + ÷ x 2 ,5 è 20
1
-
则 f 9 1 9= + 9 2 = 0.35,5 è 20 ÷
即9天后,小菲的单词记忆保持量低于 40%,故 C 错误.
1 9 1-f 26 1= + ÷ 26 2 > ,故 D 错误.5 è 20 5
故选:AB
命题点 2 利用图象解不等式
ìlog x,0 < x 2,
【例题 4】(23-24 高三下· 2山西·阶段练习)已知函数 f x = í
2x - 3, x

> 2,
f a +1 - f 2a -1 0 ,则实数 a的取值范围是( )
A. - , 2 B. 2, + C. 2,6 1 ,2ùD.
è 2 ú
【答案】D
【分析】画出函数图象,根据单调性得到不等式解出即可.
【详解】画出 f (x) 的图象如图所示,由图可知 f (x) 在 (0, + )上单调递增,
又 f (a +1) f (2a -1)
1
,所以 a +1 2a -1 > 0,解得 < a 2 .
2
故选:D.
ìx2 + 2x +1, x 0
【变式 1】(22-23 高三上·贵州贵阳·开学考试)已知函数 f (x) = í x-1 若关于 x
2 - 2 , x > 0
的不等式 f (x) +1 a(x +1)恒成立, 则 a的取值范围是( )
A. (- , -2]
1 1
éê , +

÷ B. (- , -2]
é ù
3 ê
0,

é
C. ê-2,
1ù é1
ú D.[-2,0] ê ,+

3 3 ÷
【答案】C
【分析】构造函数 g x = f (x) +1,由题可知直线 y = a(x +1)要在函数 y = g(x) 的图象的下
面,利用数形结合即得.
ìx2 + 2x +1, x 0
【详解】∵ f (x) = í x-1 ,
2 - 2 , x > 0
ìx2 + 2x + 2, x 0
设 g x = f (x) +1 = í x 1 ,则 g(x) a(x +1)- 恒成立,
2 - 2 +1, x > 0
作出函数 y = g(x) 与 y = a(x +1)的大致图象,
由 y = a(x +1)可知过定点 A -1,0 ,则过 A -1,0 的直线要在函数 y = g(x) 的图象的下面,
由图象可知当 y = a(x +1)与 y = g(x) 相切与C 点时为一个临界值,
把 y = a(x +1)代入 y = x2 + 2x + 2 2,可得 x + 2 - a x + 2 - a = 0,
D = 2 - a 2由 - 4 2 - a = 0,可得 a = -2 或 a = 2 (舍去),
1- 0 1
当过 A -1,0 的直线经过 B 时为另一个临界值,此时 a = =2 - -1 3,
1
所以 a
é-2, ùê ú . 3
故选:C.
【变式 2】(2023·安徽·模拟预测)定义在 0, + 上的函数 f x 满足:对"x1, x2 0, + ,
f x
x x 1 - f x2 且 1 2 都有 >1,则不等式 f 2log2x - f x > log2x2 - x的解集为(x x )1 - 2
A. 1,2 B. 2,4 C. 4,8 D. 8,16
【答案】B
【分析】由题可得 h x = f x - x 单调递增,又 f 2log2x - f x > log2x2 - x l og x22 > x ,
结合图象可得解集.
【详解】根据题意:当 x1 > x2 时,
f x1 - f x2 >1 f x1 - f x2 > x1 - x2 f x1 - x1 > f x2 - x ,x 21 - x2
当 x1 < x2时,
f x1 - f x2 >1 f x1 - f x2 < x1 - x2 f x1 - xx - x 1 < f x2 - x21 2
可得函数 h x = f x - x 在 0, + 单调递增.
则 f 2log2x - f x > log x22 - x f log2x2 - log 22x > f x - x
log x2 > x log x22 2 > log
x 2
2 2 x > 2
x

在同一坐标系中画出 y = x2 与 y = 2x 图象.
得 2 < x < 4 ,则不等式的解集为 2,4 ,
故选:B.
【变式 3】(2023·四川成都·模拟预测)定义:设不等式F x < 0的解集为 M,若 M 中只有
2
唯一整数,则称 M 是最优解.若关于 x 的不等式 x - 2x - 3 - mx + 2 < 0 有最优解,则实数 m
的取值范围是( )
2 , 7 ù é 7A. ú B. ê- , -2

÷
è 3 4 2
é 7 , 2 é2 , 7 ù é 7 2 7 ùC. ê- - ÷ 2 ê 3 4 ú
D. ê- , -22 ÷
U ,
è 3 4 ú
【答案】D
2
【分析】将不等式转化为 x - 2x - 3 < mx - 2 .设 f x = x2 - 2x - 3 , g x = mx - 2,根据m
的取值范围分类,作出 f x , g x 的图象,结合图象,即可求得m 的取值范围.
x2【详解】 - 2x - 3 - mx + 2 < 0 2可转化为 x - 2x - 3 < mx - 2 .
设 f x = x2 - 2x - 3 , g x = mx - 2,则原不等式化为 f x < g x .
易知 m=0 时不满足题意.
当 m>0 时,要存在唯一的整数 x0 ,满足 f x0 < g x0 ,
f x = x2 - 2x - 3 g x = mx - 2
在同一平面直角坐标系中分别作出函数 , 的图象,如图 1所

ì f (2) g(2) ì3 2m - 2
f (3) < g(3) 0 < 3m - 2 2 m 7则 í ,即 í ,解得 < .
3 4
f (4) g(4) 5 4m - 2
当 m<0 时,要存在唯一的整数 x0 ,满足 f x0 < g x0 ,
f x = x2在同一平面直角坐标系中分别作出函数 - 2x - 3 , g x = mx - 2的图象,如图 2 所

ì f 0 g 0 ì3 -2

则 í f -1 < g -1 7,即 í0 < -m - 2 ,解得- m < -2 .
2 f -2 g -2 5 -2m - 2
é 7 2 7 ù
综上,实数 m 的取值范围是 ê- , -2÷ U , . 2 è 3 4 ú
故选:D
命题点 3 利用图象求参数的取值范围
f x = sin wx 2π- 【例题 5】(2024·四川泸州·三模)已知函数 ÷(w > 0)在 0, π 有且仅有
è 3
三个零点,则w 的取值范围是( )
é8 ,11ù é8 ,11 é5 , 8ù é5 8 A. ê ú B. ê ÷ C. ê ú D. ,3 3 3 3 3 3 ê3 3 ÷
【答案】B
2π wx 2π wπ 2π0 x π 2π【分析】当 时,- - - ,依题意有 2π wπ - < 3π ,解出即
3 3 3 3
可.
2π wx 2π wπ 2π【详解】因为0 x π ,所以- - - ,
3 3 3

因为函数 f x = sin wx - ÷(w > 0)在 0, π 有且仅有三个零点,
è 3

结合正弦函数的图象可知 2π wπ - < 3π ,
3
8 w 11解得 < ,
3 3
故选:B.
【变式 1】(2024·山西长治·一模)已知函数 f (x) = Asin(wx +j)(A
π
> 0,w > 0,|j |< ) 的部分图
2
π
象如图所示,若方程 f (x) = m在[- ,0]上有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是
2
( )
A.[-2, - 3] B. (-2, - 3] C. (-2, -1] D.[-2,-1]
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象,结合五点法作图求出函数 f (x) 的解析式,再分析 f (x) 在
[ π- ,0]上的图象性质即可得解.
2
【详解】观察图象知, A = 2,函数 f (x) T
4 [ π ( 2π的周期 = - - )] = π

,w = = 2,
3 12 3 T
由 f (
π ) 2 2 π j π= ,得 + = + 2kπ,k
π
Z,而 |j |
π
< ,则j = ,
12 12 2 2 3
π π 2π
于是 f (x) = 2sin(2x
π
+ ),当 x [- ,0]时, 2x + [- ,
π ]
3 ,2 3 3 3
2x π当 + [
2π π
- ,- ],即 x
π 5π
[- ,- ],函数 f (x) 单调递减,函数值从- 3 减小到-2,
3 3 2 2 12
2x π [ π π 5π当 + - , ],即 x [- ,0]时,函数 f (x) 单调递增,函数值从-2增大到
3 2 3 12 3

显然函数 f (x) [
π , π] x 5π的 - - 上的图象关于直线 = - 对称,
2 3 12
方程 f (x) = m在[
π π
- ,0]上有两个不相等的实数根,即直线 y = m与函数 y = f (x) 在[- ,0]上
2 2
的图象有两个公共点,
所以实数 m 的取值范围是 (-2,- 3] .
故选:B
ì x2 - 2x, x 1
【变式 2】(2024·安徽合肥·二模)已知函数 f x = í x
1- x 3 , x 1
,若关于 的方程
- >
f x - f 1- a = 0至少有两个不同的实数根,则 a的取值范围是( )
A. - ,-4 U é 2,+ B. -1,1
C. -4, 2 D. é -4, 2 ù
【答案】D
【分析】作出函数的图象,由题意可得 y = f (x) 的图象与 y = f (1- a) 至少有两个不同的交点,
从而得-1 f (1- a) 1,结合图象可得1- 2 1- a 5,求解即可.
2
2 ìx - 2x, x 1 ìx - 2x, x 1
【详解】因为 f (x) = í =

1- | x - 3 , x 1 í
x - 2,1 < x < 3,

-x + 4, x 3
作出函数的图象,如图所示:
由此可知函数 y = f (x) 在 (- ,1)和 (3, + )上单调递减,在 (1,3)上单调递增,
且 f 1 = -1, f 3 = 1,
又因为关于 x 的方程 f (x) - f (1- a) = 0 至少有两个不同的实数根,
所以 f (x) = f (1- a) 至少有两个不同的实数根,
即 y = f (x) 的图象与 y = f (1- a) 至少有两个不同的交点,所以-1 f (1- a) 1,
又因为当 x 1时, f (x) = x2 - 2x ,令 x2 - 2x = 1,可得 x =1- 2 ;
当 x 3时, f (x) = 4 - x,令 4 - x = -1,解得 x = 5,
又因为-1 f (1- a) 1,所以1- 2 1- a 5,解得-4 a 2 .故选:D
ì log2 x -1 , x >1
【变式 3】(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x = í ,若关于 x 的方程 f (x) = m
3
x -1 , x 1
有 3 个不相等的实数根,则m 的取值范围是 .
【答案】1 m 2
【分析】利用分段函数,指数函数,对数函数的性质作出函数 f x 的图象,结合图象,从
而确定m 的取值范围.
【详解】由 f (x) 的解析式作出 f (x) 的大致图像.如图所示:
方程 f (x) = m有 3 个不等实数根等价于 f (x) 的图象与直线 y = m有 3 个不同的公共点,则
1 m 2.故答案为:1 m 2
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
2
1 x.(2024·辽宁抚顺·三模)函数 f x = x-1 的图象大致为( )e
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.
x 2 - x【详解】易知 x R ,因为 f x = x-1 ,令 f (x) = 0,得 x = 0,或 x = 2,e
则 x - ,0 2,+ 时, f (x) < 0 , x 0,2 时, f (x) > 0 ,
所以 f x 在 - ,0 和 (2,+ ) 上单调递减,在 0,2 上单调递增,
所以选项 A 符合题意,
故选:A.
1 a b
2
1
.(2024·海南·模拟预测)已知正实数 a,b,c满足 3 ÷
= log3a, = log2 ÷ 3
b,c = log1c ,则
è è 3
( )
A. a < b < c B. c < b < a
C.b【答案】D
【分析】利用数形结合法,根据题意结合图象交点分析判断.
【详解】因为 c = log1c = -log3c ,即-c = log3c ,
3
x
1
由题意可知: a为 y = ÷ 与 y = log3x的交点横坐标;
è 3
x
b y = 1 为 ÷ 与 y = log3x的交点横坐标;
è 2
c为 y = -x与 y = log3x的交点横坐标;
1
x x

在同一平面直角坐标系中作出 y = , y = log x, y =
1 , y = -x 的图象,
è 2 ÷ 3 3 ÷ è
由图可得: c故选:D.
3.(2024·全国·模拟预测)若方程 x x - a + 2k = 0在区间 0,2 上有解,-4 + 4 2 a < 4,则
实数 k 的取值范围为( )
é a2 ù é a2 ù é 2 ù é 2 ù
A. ê- ,0ú B. ê- ,0ú C. ê0,
a a
8 4 8 ú
D. ê0, ú
4
【答案】A
ìx2 - ax, x a
【分析】把方程 x x - a + 2k = 0在区间 0,2 上有解,转化为函数 f x = í 的图
-x
2 + ax, x < a
像与直线 y = -2k 在区间 0,2 上有交点,根据函数单调性,分类讨论分别求出最值求解即可
【详解】因为方程 x x - a + 2k = 0,即 x x - a = -2k 在区间 0,2 上有解,
ìx2 - ax, x a设函数 f x = í 2 ,则函数 f x 的图像与直线 y = -2k 在区间 0,2 上有交点.
-x + ax, x < a
a
因为-4 + 4 2 a < 4,所以0 < -2 + 2 2 < 2,2
所以函数 f x é在 ê0,
a ù a ù
上单调递增,在 ,a 上单调递减,在 a,+ 上单调递增.
2 ú è 2 ú
2
当 2 a < 4时,在区间 0,2 上, f x = f a a ÷ = , f x = f 0 = 0max ,è 2 4 min
2 2
则0 -2k a a ,解得- k 0.
4 8
a a2
当-4 + 4 2 a < 2时,因为 f 0 = f a = 0, f ÷ = , f 2 = 4 - 2a .
è 2 4
a2 2
则 = 4 - 2a a,解得 a = -4 ± 4 2 ,又-4 + 4 2 a < 2,所以 4 - 2a ,
4 4
2 2
则0 -2k a a ,解得- k 0,
4 8
é a2 ù
综上,实数 k 的取值范围为 ê- ,0ú .
8
故选:A.
4.(2024·陕西西安·模拟预测)以下四个选项中的函数,其函数图象最适合如图的是( )
x x2 +1 ex ex 2x2A. y e= B .
2x y =
C. y = D. y =
x 2x ex
【答案】C
【分析】利用排除法,结合函数值的符号和定义域逐项分析判断.
【详解】根据题意,用排除法分析:
A f x e
x
对于选项 : = ,当 x < 0 时,有 f x < 0 ,不符合题意;
2x
x2 +1 ex
对于选项 B:当 x < 0 时, f x = < 0,不符合题意;
x
D y 2x
2
对于选项 : = x 的定义域为R ,不符合题意;e
故选:C.
ì-xex+1, x 0

5.(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x = í ln x 1 , - , x > 0
4
2h x = é f x ù - 2af x + 4 a R ,若函数 h x 恰有 6 个零点,则实数 a的取值范围是
( )
5 , 5 A. + ÷ B. , 4÷ C. 1, + D. 0, +
è 2 è 2
【答案】A
【分析】先利用导数研究当 x 0 时,函数 f x 的图象和性质,结合对数函数的图象及绝对
值的意义作出函数 f x 的大致图象,然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于 a的
不等式,解不等式即可得到实数 a的取值范围.
【详解】当 x 0 时, f x = -xex+1, f x = - x +1 ×ex+1 ,
令 f x = 0,得 x=-1,当 x < -1时, f x > 0, f x 单调递增,
当-1 < x 0时, f x < 0, f x 单调递减,
又 f -1 =1, f 0 = 0,当 x 趋近于- 时, f x 趋近于 0,
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数 f x 的图象如图所示.
f x = t h x = t 2令 ,则 - 2at + 4,数形结合可知要使 h x 有 6 个零点,
则 g t = t 2 - 2at + 4 = 0有两个不相等的实数根 t1 、 t2 ,不妨令 t1 > t2,有如下两种情况:
若 t2 = 0 < t1 <1,但 g(0) = 4 0,故排除此种情况,
若 t1 >1 > t2 > 0,对于二次函数 g t 开口向上,又 g 0 = 4 > 0,则 g 1 =12 - 2a 1+ 4 < 0,
得 a
5
> ,
2
5
综上,实数 a的取值范围是 ,+ ÷.
è 2
故选:A
【点睛】关键点点睛:解决此类问题需注意以下几点:
(1)会转化,即会将问题转化为方程的根的问题,然后利用函数、方程、不等式的关系进
行解答;
(2)会作图,即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画
出相关函数的大致图象;
(3)会观察,即会利用数形结合思想列方程(组)或不等式(组).
二、多选题
ì ln x -1 , x >1
6.(2023·山西·模拟预测)已知函数 f x = í 2 ,则下列结论正确的是( )
x - 4 x + 3, x 1
A.函数 f x 在 0,2 上单调递减
B.函数 f x 的值域是 -1, +
C.若方程 f x = a有 5 个解,则 a的取值范围为 0,3
1 1
D.若函数 f x - a 有 3 个不同的零点 x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ,则 x1 + +x x 的取值范围为2 3
- , -3
【答案】BCD
【分析】AB 选项,画出 f x 的图象,数形结合得到函数的单调性和值域,得到 A 错误,B
正确;C 选项,方程 f x = a有 5 个解,转化为 y = f x 与 y = a 有 5 个交点,数形结合得
到 a的取值范围;D 选项,由零点个数得到 x1 < -4,由对数函数的性质得到
1 1
x2x3 - x2 + x3 = 0 ,从而求出 x1 + +x x 的取值范围.2 3
ìln x -1 , x 2
ì ln x -1 , x >1 - ln x -1 ,1 < x < 2
【详解】 f

x = í =
x2
í
- 4 x + 3, x 1 x2

- 4x + 3,0 < x 1
x
2 + 4x + 3, x 0
画出 f x 的图象,如下:
A 选项,函数 f x 在 0,1 和 1,2 上单调递减,不能说在 0,2 上单调递减,A 错误;
B 选项,函数 f x 在 x = -2处取得最小值为 -1,故值域是 -1, + ,B 正确;
C 选项,若方程 f x = a有 5 个解,则要满足 y = f x 与 y = a 有 5 个交点,
故 0 < a < 3,所以 a的取值范围为 0,3 ,C 正确;
D 选项,若函数 f x - a 有 3 个不同的零点 x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ,则 a 3,+ ,
2
令 x1 + 4x1 + 3 > 3,解得: x1 < -4,
又- ln x2 -1 = ln x3 -1 ,因为 y = ln x 在 0, + 上单调递增,
1
解得: = x -1x -1 3 ,即
x2x3 - x2 + x3 = 0 ,
2
x 1 1 x + x1 + + = x + 2 31 = x1 +1 - ,-3 x x x x ,2 3 2 3
故 x
1 1
1 + +x x 的取值范围为 - , -3 .2 3
故选:BCD
【点睛】方法点睛:
函数零点问题:将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题,将代数问题
几何化,借助图象分析,大大简化了思维难度,首先要熟悉常见的函数图象,包括指数函数,
对数函数,幂函数,三角函数等,还要熟练掌握函数图象的变换,包括平移,伸缩,对称和
翻折等,涉及零点之和问题,通常考虑图象的对称性进行解决.
7.(2023·福建泉州·模拟预测)函数 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致图像可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【分析】利用函数的单调性和奇偶性,通过对 k 进行分类讨论,得出 f (x) 的单调区间和奇偶
性,再逐一对各个选项即可得出结果.
【详解】因为 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x ,
ì1+ x > 0
所以 í ,解得-1 < x <1,故 f x 1 定义域为 -1,1 . - x > 0
1 k x k -1 +1+ kf x = + = , f (-x) = ln2 1- x - k ln 1+ x ,1+ x 1- x 1- x
1 k
因为 k > 0时, f (x) = + > 0在区间 (-1,1)上恒成立,
1+ x 1- x
所以 f (x) 在区间 (-1,1)上单调递增.
当 k =1时, f (-x) = - f (x) ,此时 f (x) 为奇函数,故选项 B 正确;
当 k = 0时, f (x) = ln 1+ x ,易知其图像为选项 D,故选项 D 正确.
f (x) = 0 x 1+ k 2k 1+ k 2当 k < 0时,由 ,得 = =1+ ,又 - (-1) = > 0,
1- k 1- k 1- k 1- k
1 1+ k 1 f (x) ( 1,1+ k ) (1+ k所以- < < ,即 在区间 - 上单调递增,在区间 ,1)上单调递减,
1- k 1- k 1- k
综上可知, f (x) 在区间 (-1,1)上不严格单调递减,故选项 A 不正确;
当 k = -1时, f (-x) = f (x),此时 f (x) 为偶函数,
且 f (x) 在区间 (-1,0) 上单调递增,在区间( 0, 1)上单调递减,故选项 C 正确,
故选:BCD.
三、填空题
ì ln x , x > 0,
8.(2023·北京房山·一模)设函数 f (x) = í 2 给出下列四个结论:①函数 f (x)
x + 4x +1, x 0.
的值域是R ;② "a >1 +,方程 f (x) = a恰有 3 个实数根;③ $x0 R ,使得
f -x0 - f x0 = 0;④若实数 x1 < x2 < x3 < x4 ,且 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 .则
x1 + x2 x3 - x4 的最大值为 4e
4
- .其中所有正确结论的序号是 .
e
【答案】②③④
【分析】画出函数图象,结合图象对四个结论依次分析,即可求解结论.
ì ln x , x > 0,
【详解】因为函数 f (x) = í 2 ,其图象如下图所示:
x + 4x +1, x 0.
对于①,由图可知,函数 f (x) 的值域不是R ,故①不正确;
对于②,由图可知,"a >1,方程 f (x) = a恰有 3 个实数根,故②正确;
+
对于③,当$x0 R 时,使得有 f (-x0 ) = f (x0 )成立,即 y = x
2 - 4x+1与 y = ln x 有交点,这
显然成立,故③正确;
对于④,不妨设互不相等的实数 x1, x2 , x3 , x4 满足 x1 < x2 < x3 < x4 ,当满足
f x1 = f x2 = f x3 = f x4 时,
x + x
由图可知 1 2 = -2,即 x1 + x2 = -4,2
ln x 13 = ln x4 ,即 - ln x3 = ln x4 , x3 = x ,4
x x 1 x 1 所以 1 + 2 -x 4 ÷ = -4 - x4 ÷,由图可知, xx 4 1,e ,è 4 è 4
1 1 é1
而 y = - x在 x 1,e 上单调递减,所以 - x - e,0
x x 4 êe ÷

4
x x x 1 4 1 4所以 1 +
ù
2 3 - ÷ = -x
- x4 ÷ 0,4e - ú ,
è 3 è x4 è e
则 x1 + x2 x3 - x4 的最大值为 4e
4
- ,故④正确.
e
故答案为:②③④.
ì x +1
, x 0
9.(23-24 高三上·河南漯河·期末)已知函数 f (x) = í ex ,若关于 x 的不等式
x2 - x, x > 0
f 2 (x) - af (x) < 0恰有一个整数解,则实数 a的取值范围为 .
【答案】 é -2e
3 , -e2 U (1, 2]
【分析】由导数得出函数 f (x) 的图象,讨论 a与 0 的关系,结合图象得出实数 a的取值范
围.
exx +1 - x +1f (x) e
x -x
【详解】当 x 0 时, f (x) = ,所以 = 2 = 0
ex ex ex ,
所以 f (x) 在 - ,0 单调递增,
ì x +1
由 f (x) =

í ex
, x 0

x
2 - x, x > 0
3 2
易得 f (-3) = -2e , f (-2) = -e , f (-1) = 0, f 0 =1, f 1 = 0, f 2 = 2,
故函数 f (x) 的图象如下图所示:
由 f 2 (x) - af (x) < 0得 f (x) f (x) - a < 0,
当 a = 0时,显然不成立;
当 a > 0时,解得0 < f (x) < a ,
要使得不等式只有唯一整数解,则1< a 2,此时整数解 x = 0;
当 a<0时,解得 a < f (x) < 0 ,
要使得不等式只有唯一整数解,则-2e3 < a -e2 ,此时整数解 x = -2;
3 2
综上所述:实数 a的取值范围为 é-2e , -e (1, 2] .
故答案为: é-2e
3 , -e2 (1, 2] .
【点睛】关键点点睛:本题的关键是能够通过分类讨论得到函数的图象,进而利用数形结合
思想确定整数解的取值,从而得到不等关系求得结果.
四、解答题
10.(2022 高三上·河南·专题练习)设 f (x) = 2 x +1 - x - 3 .
(1)在如图坐标系中作出函数 f x 的图象,并根据图象求不等式 f (x) 0的解集;
(2)若存在实数 x ,使得不等式 f (x) x - 3 + t 2 - 7t 成立,求实数 t 的取值范围.
【答案】(1)作图见解析;[-5,
1]
3
(2) -1,8
【分析】(1)根据函数的解析式,结合分段函数的性质,画出函数 f x 的图象,结合图象
得到不等式 f (x) 0的解集;
(2 2)根据题意,不等式转化为 2( x +1 - x - 3 ) t - 7t ,结合绝对值的性质,转化为不等式
t 2 - 7t 8,即可求解.
ì-x - 5, x -1

【详解】(1)解:由题意得,函数 f (x) = 2 x +1 - x - 3 = í3x -1,-1< x 3,

x + 5, x > 3
列表如下:
1
x -5 -1 3 43
f (x) 0 -4 0 8 9
描点、连线,得函数 f x 的图象如下:
1
由图可知,不等式 f (x) 0的解集为[-5, ]3 .
(2)解:由 f (x) x - 3 + t 2 - 7t ,可得 2 x +1 - x - 3 x - 3 + t 2 - 7t ,
即 2( x +1 - x - 3 ) t 2 - 7t ,
因为 2( x +1 - x - 3 ) = 2( x +1 - 3- x ) 2 (x +1) + (3- x) = 8,
当且仅当 (x +1)(3 - x) 0,即-1 x 3时取等号,
所以 t 2 - 7t 8,解得-1 t 8,所以实数 t 的取值范围 -1,8 .
11.(23-24 高三上· 2新疆阿克苏·阶段练习)定义域为 R 的奇函数满足 f x = x - 2x(x > 0) .
(1)求 f x 解析式;
(2)求不等式 f x 0的解集.
2
【答案】(1) f x
ìx - 2x, x > 0
= í
-x
2 - 2x, x 0
(2) x x 2或-2 x 0
【分析】(1)根据奇函数的性质即可求解,
(2)利用函数的图象即可求解.
【详解】(1)当 x < 0 时,则 -x > 0,故 f -x = -x 2 - 2 -x = x2 + 2x ,
由于 f x 2为奇函数,所以 f x = - f -x = -x - 2x,
又 f 0 = 0,
ìx2 - 2x, x > 0故 f x = í
-x
2 - 2x, x 0
(2)作出 f x 图象如下:
由图象可知:当 x 2或-2 x 0时, f x 0 ,
故 f x 0 的解为 x x 2或-2 x 0
综合提升练
一、单选题
1.(23-24 高三上·北京昌平·期末)设函数 f x 的定义域为R ,则“ "x R, f x +1 < f x ”
是“ f x 为减函数”的( )
A.充分必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可.
ì-x, x 0 ì-x -1, x -1
【详解】若 f x = í0,0 < x < 0.5 ,则 f x +1 = í0, -1 < x < -0.5 ,

-x + 0.5, x 0.5 -x - 0.5, x -0.5
作出函数图象,

由图象可知"x R, f x +1 < f x 成立,但显然 f x 不为减函数;
若 f x 为减函数,又 x +1 > x ,则 f x +1 < f x ,
所以“ "x R, f x +1 < f x ”是“ f x 为减函数”的必要不充分条件.
故选:B
2x +1 sin π + 3x 2.(2024·四川德阳·二模)函数 2 ÷f x è 的图象大致是(= )
2x -1
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据诱导公式化简 f x ,再利用函数奇偶性的定义判断 f (x)的奇偶性,从而得解.
2x +1 sin π + 3x
【详解】因为 2 ÷ x è 2 +1 ,定义域为
- ,0 U 0, +
f x ,= = ×cos3x
2x -1 2x -1
f ( x) 2
- x +1 x
又 - = - x ×cos -3x
2 +1
= - x ×cos3x = - f x ,2 -1 2 -1
所以 f (x)是奇函数,从而 ACD 错误,B 正确.
故选:B.
3.(2024·四川·模拟预测)函数 f x = 2xln x -1 的大致图象为( )
A. B. C.
D.
【答案】B
【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除,从而得到正确选项.
【详解】因为 f x 的定义域为 - ,1 1, + ,故排除C ;
又 f 3 = 6ln2 > 0 ,故排除A ;
f 1 3 -

÷ = -ln < 0,故排除 D.
è 2 2
故选:B.
4.(2024·天津·二模)函数 f x 的图象如图所示,则 f x 的解析式可能为( )
ln x
x - x
A. f x = 2 B f x
e - e
. =
x +1 x2
x2C. f x -1= D. f ln xx =
x x
【答案】C
【分析】根据奇偶性判断 A;验证 f 1 的值判断 B;根据奇偶性、单调性判断 C;根据单调
性判断 D.
【详解】由图象知,该函数图象关于原点对称,所以函数 f x 为奇函数,且 f 1 = 0,
ln -x ln x对于 A, f -x = 2 = 2 = f x -x +1 x +1 ,为偶函数,故 A 错误;
1 -1
对于 B, f 1 e - e 1= 2 = e - 0 ,故 B 错误;1 e
-x 2C -1
2 x2 -1 1
对于 , f -x x -1= = - ,为奇函数,当 x > 0时, f x = = x - ,
-x x x x
因为 y = x
1
, y = - 在 0, + 为单调递增函数,所以 f x = x 1- 在 0, + 单调递增,故 C
x x
正确;
f x ln x f x 1- ln x对于 D,当 x > 0时, = , = 2 ,所以 x 0,e 时, f x > 0,x x
f x 单调递增,当 x e, + 时, f x < 0, f x 单调递减,故 D 错误,
故选:C.
5.(2024·四川成都·三模)若函数 f x = ex - kx2 大于 0 的零点有且只有一个,则实数 k 的值
为( )
e 2
A.4 B. 2 e C. D
e

2 4
【答案】D
ex
【分析】根据题意,函数 f x 有且仅有一个正零点,转化为方程 k = 2 有且仅有一个正根,x
x
令 g x e= 2 ,利用导数研究函数单调性、极值,数形结合判断得解.x
x
【详解】函数 f x e有且仅有一个正零点,即方程 k = 2 有且仅有一个正根,x
x ex x - 2
令 g x e = 2 ,则 g x = ,x x3
当 x < 0 时, g x > 0,当0 < x < 2时, g x < 0,当 x > 2时, g x > 0,
2
即函数 g x 在 - ,0 和 2, + 上单调递增,在 0,2 e上单调递减,且 g 2 = ,
4
x 0 时, g x + , x - 时, g x 0, x + 时, g x + ,可作出图象如下,
exk e
2
方程 = 2 有且仅有一个正根,所以 k = .x 4
故选:D.
ì2sin 2p x, 15 x 5 -
f x = 6 2024· · 5 4 4.( 陕西西安 一模)已知函数 í ,若存在实数
log x 1 , x 5
2
- >
4
x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 满足 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = m ,则错误的是( )
A x2 + x2 8 x x
5
. 3 4 < B. 1 + 2 = - C. x2 3
x4 - x3 - x4 = 0 D.0 < m < 2
【答案】A
【分析】画出 f x 的图象,根据图象可得m 的取值范围,再根据图象的局部对称性可得
x 51 + x2 = - ,且 x3x4 - x3 - x4 = 0,故可判断各项的正误.2
ì2sin 2π x, 15 x 5 -
5 4 4
5【详解】 f x = í- log2 x -1 , < x < 2,
4
log2 x -1 , x 2


故 f x 的图象如图所示,
考虑直线 y = m与 y = f x 图象的交点,
x x 5 5则 1 + 2 = -2 = - ,且- log2 x3 -1 = log2 x4 -1 = m,0 < m < 2,故 BD 正确.4 2
1
由- log2 x3 -1 = log2 x4 -1 = m可得 = x4 -1即 x3 -1 x4 -1x 1 =1- ,3
整理得到 x3x4 - x3 - x4 = 0,故 C 正确.
又 x2 + x2 23 4 = x3 + x4 - 2x
2
3x4 = x3x4 - 2x3x4,
由 x3x4 = x3 + x4 2 x3x4 可得 x3x4 4 ,但 x3 x4 ,故 x3x4 > 4,
2
故 x3 + x
2
4 >16 -8 = 8,故 A 错误.
故选:A.
【点睛】关键点点睛:分段函数的零点问题,可先刻画其图象,根据图象的性质可得各零点
的性质,结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.
7 2024· · f x sin
3 x
.( 全国 模拟预测)函数 = 4 的大致图象是( )x - 2
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可判定 A,C;当0 < x < 4 2 时, f x < 0 ,可判定 B,D.
【详解】Q f x x x ± 4的定义域为 2 ,
f x -sin
3 x
- = = - f x ,\函数 f x 是奇函数,
x4 - 2
\ f x 的图象关于原点对称,排除 A,C;
当0 < x < 4 2 时, sin3 x > 0,
(提示:0 < 4 2 < π ,故当0 < x < 4 2 时, sin x > 0,得 sin3 x > 0)
sin3 x
x4 - 2 < 0,\ f x = 4 < 0,排除 B.x - 2
故选:D.
ìx -1, x < 0
8.(2024·北京顺义·二模)若函数 f x = í 0, x = 0 ,则“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”

x +1, x > 0
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意分析可知 f x 为奇函数且在R 上单调递增,分析可知 x1 + x2 > 0等价于
f x1 + f x2 > 0,即可得结果.
【详解】由题意可知: f x 的定义域为R ,且 f 0 = 0,
若 x > 0,则-x < 0,可知 f x + f -x = x +1 + -x -1 = 0 ,
若 x < 0 ,同理可得 f x + f -x = 0 ,所以 f x 为奇函数,
作出函数 f x 的图象,如图所示,
由图象可知 f x 在R 上单调递增,
若 x1 + x2 > 0,等价于 x1 > -x2,等价于 f x1 > f -x2 = - f x2 ,等价于 f x1 + f x2 > 0,
所以“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的充要条件.
故选:C.
二、多选题
9.(2023·全国·模拟预测)若函数 f x = 2x2ln x 的定义域为D,则下列说法正确的是( )
A.D = 0, + B. f x 是偶函数
C."x D, y D, f xy = x2 f y + y2 f x D.若方程 f x = k 有 4 个不同的实数根,则
1
- < k < 0
e
【答案】BCD
【分析】根据函数定义域的求解可判定 A,根据函数奇偶性的定义即可判定 B,根据对数的
运算即可判定 C,根据导数求解函数单调性,即可结合函数的最值以及奇偶性作出函数图象,
结合函数图象即可求解 D.
【详解】选项 A:由对数函数可知 x > 0 ,得 x 0,所以函数 f x 的定义域
D = - ,0 0, + ,所以 A 错误.
选项 B:因为函数 f x 的定义域D = - ,0 0, + 关于原点对称,
f -x = 2 -x 2 ln -x = 2x2ln x = f x ,所以 f x 是偶函数,所以 B 正确.
2
选项 C:因为 f xy = 2 xy ln xy = 2x2 y2 ln x + ln y ,
x2 f y + y2 f x = x2 2y2ln y + y2 2x2ln x = 2x2 y2 ln x + ln y ,所以 C 正确.
对于 D:因为 f x 是偶函数,所以只需要讨论, x 0, + 时函数 f x 的情况即可,
当 x 0, + 2时, f x = 2x lnx,所以 f x = 2x 2lnx 1 f x 0 1+ ,令 = ,解得 -x = e 2 ,
1- 1-
易知当 x 0,e 2 ÷时, f x < 0, f x 单调递减,当 x e 2 , + ÷时, f x > 0, f x 单调递
è è
增,
1-
所以 f x 1的最小值为 f e 2 ÷ = - ,且 x + 时, f x + .作出 f x 的大致图象和直
è e
线 y = k ,
如图,若方程 f x = k 有 4 个不同的实数根,则 f x 的图象与直线 y = k 有 4 个不同的交点,
k
1
- ,0 所以 的取值范围为 ÷. 所以 D 正确.
è e
故选:BCD
ì1- 2x +1 , x < 0
10.(2024·云南昆明·一模)已知函数 f x = í , g(x) = f ( f (x)) - f (x) - ax ,则
e -1, x 0
( )
A.当 a = 0时, g(x)有 2 个零点
a 3B.当 = 时, g(x)有 2 个零点
2
C.存在 a R ,使得 g(x)有 3 个零点
D.存在 a R ,使得 g(x)有 5 个零点
【答案】BCD
【分析】令 t = f x ,可得 y = f (t) - t - a ,结合图象分析方程 f (t) = t + a的根的分布,再结合
图象分析 t = f x 的交点个数,即可得解.
【详解】由 f (x) 的图象可知, f (x) 的值域为R ,
对于选项 AC:令 h x = ex - x -1, x 0,
则 h x = ex -1 0在 0, + 上恒成立,
可知 h x 在 0, + 上单调递增,则 h x h 0 = 0,
即 ex -1 x, x 0 当且仅当 x = 0等号成立,
令 t = f x ,若 a = 0,可得 y = f (t) - t ,
令 y = f (t) - t = 0,
当 t 0,则 et -1- t = 0 ,可知 t = 0;
1
当 t < 0,结合图象可知当且仅当 t - ,方程 f (t) - t = 1+ 2t +1- t = 0 有根,解得 t = -2;
2
即 f x = -2 或 f x = 0,结合图象可知:
f x = -2 有 1 个根; f x = 0有 2 个根;
综上所述:当 a = 0时, g(x)有 3 个零点,故 A 错误,C 正确;
对于选项 B:令 t = f x a 3,若 = ,可得 y = f (t) t 3- - ,
2 2
令 y = f (t) - t
3
- = 0,即 f (t)
3
= t +
2 2 ,
注意到 f 1 e 1 3= - <1+ ,
2
3 1
由图象可知方程 f (t) = t + 2 有两个根为一根为
- ,另一根不妨设为m, m >1,
2
即 f x 1= - 或 f x = m ,结合图象可知:
2
f x 1= - 有 1 个根; f x = m >1有 1 个根;
2
a 3综上所述:当 = 时, g(x)有 2 个零点,故 B 正确;
2
对于选项 D:令 t = f x ,若 a = 0.2,可得 y = f (t) - t - 0.2,
令 y = f (t) - t - 0.2 = 0,即 f (t) = t + 0.2 ,
令 ex -1 = 1,解得 x = ln 2,
由图象可设方程 f (t) = t + 0.2 有三个根为 t1, t2 , t3 ,且 t1 < t2 < 0 < t3 < ln 2 < 1,
即 f x = t1 或 f x = t2 或 f x = t3,结合图象可知:
f x = t1 或 f x = t2 有 1 个根; f x = t3有 3 个根;
综上所述:当 a = 0.2时, g(x)有 5 个零点,故 D 正确;
故选:BCD.
【点睛】易错点睛:利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但
用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解.
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则而采用,不
要刻意去数形结合.
11.(2024·河北沧州·一模)已知函数 f (x) 的定义域为R ,且"x R ,都有
f (-3 + x) + f (-1 x) 3 1- = 0 f - + x = f - - x f (-5) = -2 f 7 3, 2 ÷ ÷, ,2 ÷
= - ,当
è è è 2 4
x [-1,0]时, f (x) = ax2 + bx,则下列说法正确的是( )
A.函数 f (x) 的图象关于点 (-2,0) 对称
B. f (1) = 2
C. f (2023) + f (2024) + f (2025) = 2
D.函数 f (x) 与函数 y =| ln | x ||的图象有 8 个不同的公共点
【答案】ABD
【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性,进而判断 ABC,画出函数 f (x) 与函数
y =| ln | x ||的图象,根据图象观察交点个数即可判断 D.
【详解】由 f (-3 + x) + f (-1- x) = 0得函数 f (x) 关于 -2,0 对称,A 正确;
f 3 1由 - + x
= f ÷ - - x ÷得函数 f (x) 关于 x=-1对称,
è 2 è 2
所以 f (-4 + x) + f (-x) = 0 , f -2 + x = f -x ,
所以 f (x - 4) + f (x - 2) = 0,即 f (x) + f (x + 2) = 0,
所以 f x = - f x + 2 = f x + 4 ,故函数 f (x) 的周期为 4,
由 f (-5) = -2 知 f (-1) 2 f
7 1 3= - , ÷ = f - ÷ = - ,
è 2 è 2 4
ìa - b = -2
又 x [-1,0]时, f (x) = ax2
ìa = -1
+ bx ,所以 í1 ,解得 ,
a
1 b 3 í- = - b =1
4 2 4
所以 x [-1,0]时, f (x) = -x2 + x ,
所以 f 1 = - f -1 = 2,B 正确;
f (2023) + f (2024) + f (2025) = f -1 + f 0 + f 1 = 0,C 错误;
画出函数 f (x) 和函数 y =| ln | x ||的图象,如图:
ln - 7 ||= ln 7 < 2 = f -7 ,观察图象可得函数 f (x) 与
函数 y =| ln | x ||的图像有 8 个不同的公共点,D 正确.
故选:ABD.
三、填空题
12.(2024·全国·模拟预测)若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一个整数解,则称不等式为单
元集不等式.已知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0为单元集不等式,则实数a的取值范围是 .
1
【答案】 - ,0
ù
è 4 ú
【分析】不等式转化为∣log2 x∣< a x +1
2 +1,引入函数 f x = log2 x , g x = a x +1 2 +1,
分类讨论作出函数图象,利用数形结合思想求解.
2
【详解】根据题意可转化为满足∣log2 x∣< a x +1 +1的整数 x 的个数为 1.
令 f x = log2 x , g x = a x +1 2 +1,
当 a > 0 ×时,作出函数 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的图象,如图所示,
数形结合得, f x < g x 的解集中整数的个数有无数多个,不符合题意;
1
当 a = 0时, g x =1,所以 | log2 x |< 1,解得 < x < 2,只有一个整数解 x =1,2
所以 a = 0符合题意;
当 a<0 ×时,作出函数 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的图象,如图所示,
ì g 1 > 0
要使∣ log2 x∣ < a(x +1)
2 +1的整数解只有一个,只需满足 í
f 2

g 2
ì4a +1 > 0 1
即 í ,结合 a<0可得- < a < 0
1 9a

+1 4
1 ù
综上所述,实数 a 的取值范围是 - ,0
è 4 ú


故答案为: (
1
- ,0].
4
【点睛】方法点睛:根据函数的零点个数求解参数范围,一般方法:
(1)转化为函数最值问题,利用导数解决;
(2)转化为函数图像的交点问题,数形结合解决问题;
(3)参变分离法,结合函数最值或范围解决.
ì-x2 + 4x - 3, x 2
13.(2024 高三·上海·专题练习)已知函数 f x = í ,则不等式 f 2x -1 < 2
log2 x, x > 2
的解集是
5
【答案】 - , ÷
è 2
【分析】首先根据函数 f x 的图象判断函数的单调性,根据单调性求解不等式.
【详解】作出函数 f x 的图像如图所示,由图可知,函数 f x 在 R 上单调递增,
因为 f 4 = log2 4 = 2,
所以 f (2x -1) < 2 等价于 f (2x -1) < f 4 ,
5
即 2x -1< 4,解得 x < ,
2
所以不等式 f 2x -1 < 2 5 的解集是 - , 2 ÷ .è
5
故答案为: - , 2 ÷è
sinx
14.(2022·北京海淀·三模)已知函数 f x = , x -2p ,0 0,2p ,给出下列四个结论:
x
① f x 是偶函数;
② f x 有 4 个零点;
③ f x 1的最小值为- ;
2
1 11 7 p 5
④ f x < 的解集为 - p , - p 0, p , 2p .
2x 6 6 ÷ 6 ÷ è è è 6 ÷
其中,所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【分析】对于①:利用函数的奇偶性的定义直接判断;
对于②:令 f x = 0,直接解得;
对于③:利用图像法直接判断;
1
对于④:直接解不等式 f x < 即可判断.
2x
【详解】对于①:因为函数的定义域为 -2p ,0 U 0,2p ,且
sinf x -x -sinx- = = = f x ,所以 f x 是偶函数.故①正确;
-x -x
对于②:在 x -2p ,0 0,2p ,令 f x = 0,解得: x = -2p , x = -p , x = p , x = 2p .
所以 f x 有 4 个零点.故②正确;
对于③:因为 f x 是偶函数,所以只需研究 x 0,2p 的情况. 如图示,作出 y = sin x
( x 0,2p y 1)和 = - x的图像如图所示:
2
在 x 0,2p 1 sin x 1 1上,有 sin x > - x,所以 > - ,即 f x 的最小值大于- .故③错误;
2 x 2 2
对于④:当 x -2p ,0 0,2p 时, f x 1< 可化为:
2x
1 p 5
当 x > 0时, sin x <
ù
,解得: x 0, ÷ p , 2p ;2 è 6 è 6 ú
1 11 7
当 x < 0 时, sin x > ,解得: x
- p ,- p ;
2 ֏ 6 6
1 11p , 7 p 0, p 5综上所述: f x < - - 的解集为 ÷ ÷ p , 2p
ù
.故④正确.
2x è 6 6 è 6 è 6 ú
故答案为:①②④
【点睛】(1)函数奇偶性的判断,通常用定义法;
(2)解三角不等式(方程),利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值.
四、解答题
1 1 1
15.(2023·四川乐山·三模)已知函数 f (x) = x - 2 + x +1 + x + 2 .
2 2 2
(1)画出 f(x)的图象,并写出 f (x) 6的解集;
1 1 T
(2)令 f(x)的最小值为 T,正数 a,b 满足 a + b = T ,证明: + .
a2 +1 b2 +1 10
【答案】(1)作图见解析, x | -6 x 2
(2)证明见解析
【分析】(1)由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式,然后分段作出函
数图象,由图象得不等式的解集;
(2)由(1)得最小值T ,然后用基本不等式得出 ab的范围,再用基本不等式得
1 1 2
+ 2 2
a2 +1 b2 +1 (a2 2 ,利用二次函数性质得
(a +1)(b +1)
+1)(b 1) 的范围,从而可得不等+
式成立,注意等号取得的条件是否一致.
ì 1
- x + 3, x < -2,
2
1
【详解】(1)由题,得 f (x) = í x + 5,-2 x 4,,图象如图所示.
2
3
x +1, x > 4, 2
由图可知, f (x) 6的解集为 x | -6 x 2 .
(2)由(1)知,函数 f(x)的最小值为T = 4,则 a + b = 4 .
1 1 4 2
只需证明
a2
+
+1 b2
= 即可.
+1 10 5
由已知, a > 0,b > 0,则 4 = a + b 2 ab ,所以0 < ab 4.
1 1 2
于是 2 + a +1 b2 +1 (a2 +1)(b2 +1) ,
因为 (a2 +1)(b2 +1) = a2b2 + a2 + b2 +1
= a2b2 + (a + b)2 - 2ab +1
= a2b2 - 2ab +17
= (ab -1)2 +16,
由于0 < ab 4,则16 (ab -1)2 +16 25,即16 (a2 +1)(b2 +1) 25,
1 1 2 2 2
所以 2 + 2 =a +1 b +1 2 2 25 5 ,当且仅当 a = b = 2(a 1)(b 1) 时,等号成立.+ +
16 1.(2023·江西宜春·模拟预测)设 f (x) = x2 tx 3ln x g(x)
2x + t
- + =
2 , x2 - 3 ,且 a、b 为函数 f x 的极
值点 (0 < a < b)
(1)判断函数 g x 在区间 (-b,-a)上的单调性,并证明你的结论;
(2)若曲线 g(x)在 x =1处的切线斜率为-4,且方程 g(x) - m = 0(x 0)有两个不等的实根,求
实数 m 的取值范围.
【答案】(1) g(x)在区间 (-b,- 3) , (- 3,-a)上单调递增,证明见解析.
(2) m 4 [- ,-1) U ( 1- ,0)3 3
2 ìt = a + b
【分析】(1 x - tx + 3)求导得 f (x) = ,则 x2 - tx + 3 = 0x ,利用韦达定理得 í 3 = ab
,则
g (x) -2(x + a)(x + b)= 2 (x ± 3)(x - 3)2 ,分析出-b < - 3 < -a < 0,根据其导数与单调性关系即可得到答
案.
(2
2x + 4
)根据 g (x) = -4求出 t = 4,则 g(x) = x2 - 3 ,求导,求出其极值,作出其函数图象,利用直
线 y = m与 g x 交点个数即可得到答案.
2
【详解】(1)依题设方程 f (x) x t 3 x - tx + 3= - + = = 0 ,即方程 x2 - tx + 3 = 0x x
ìt = a + b
的两根分别为 a、b∴ í
3 = ab
g (x) 2(x
2 + tx + 3) -2(x2 + (a + b)x + ab) -2(x + a)(x + b)
∴ = 2 = = (x ± 3)(x - 3)2 (x2 - 3)2 (x2 - 3)2
因为0 < a < b,且 ab = 3,则0 < a < 3 < b ,
∴ -b < - 3 < -a < 0,∴当 x (-b,-a)且 x - 3时, g (x) > 0,
∴ g(x)在区间 (-b,- 3) , (- 3,-a)上单调递增.
(2)由 g 1 2 t + 4 = - = -4,得 t = 4,∴ g(x) 2x + 4= ,∴ g (x) -2(x +1)(x + 3)=x2 - 3 (x2 - 3)2 ,4
g (x) = 0时 x = -3或 -1,当 x 在 (- ,0)上变化时, g (x) , g(x)的变化情况如下:
(- , -3) -3 (-3, - 3) (- 3,-1) -1 -1,0 0
g (x) - 0 + + 0 -
g(x) 1 4] 极小值- Z Z 极大值 -1 ] -
3 3
∴ y = g x x 0 的大致图象如图,
∴方程 g(x) - m = 0(x 0)有两个不等根时,转化为直线 y = m与函数 y = g x x 0 的图象
有两交点,
则m [
4
- ,-1) U ( 1- ,0)
3 3 .
17.(2023·四川乐山·一模)已知 f x = 2 x - a - x + a, a > 0 .
8
(1)若曲线 y = f x 与直线 y = a 围成的图形面积为 ,求 a的值;
3
(2)求不等式 f x > x的解集.
【答案】(1) a = 2
, 3a(2) -

÷
è 4
【分析】(1)将 f x 表示为分度函数的形式,结合图象以及围成图形的面积列方程,从而
求得 a .
(2)对 x 进行分类讨论,由此求得不等式 f x > x的解集.
x - a, x > a
【详解】(1)由题得 f x = 2 x ì- a - x + a = í .
-3x + 3a, x a
画出 y = f x 及 y = a 得图象,如下图所示,
易知 A a,0 B 2a, ,a

÷ ,C 2a, a ,\ BC
4a
= .
è 3 3
S 1 BC a 1 4a a 2a
2 8
\ VABC = × = × × = = ,解得 a = 2 .2 2 3 3 3
ìx - a, x > a(2)由(1)知 f x = í
-3x + 3a, x a

当 x > a时, f x > x即为 x - a > x,得 a < 0,与条件矛盾,此时不等式的解为 ;
当 x a时, f x > x 3a 3a即为-3x + 3a > x,得 x < ,此时不等式的解为 x < .
4 4
3a
综上所述,原不等式的解集为 - ,

÷ .
è 4
18.(2023·陕西榆林·模拟预测)已加 f x = 2x - 3 + x .
(1)解不等式 f x 3;
(2)令 g x = f x - a,若 g x 3的图象与 x 轴所围成的图形的面积为 ,求实数 a的值.
2
【答案】(1) 0,2
(2) a = 3
【分析】(1)去绝对值,结合一元一次不等式即可求解;(2)结合图像平移即可求解.
ì
3- 3x, x < 0
3
【详解】(1) f x = 2x - 3 + x = í3 - x,0 x ,
2
3x - 3, x 3>
2
当 x < 0 时, f x = 3- 3x 3,解得 x 0 ,无解;
3
当0 x 时, f x = 3- x 3 3,解得 x 0 ,所以0 x ;
2 2
x 3当 > 时, f x = 3x - 3 3 3,解得 x 2,所以 < x 2.
2 2
综上所述,不等式 f x 3的解集为 0,2 .
1 3 3
(2)画出 f x 的图象,由(1)知,阴影部分的面积为 2 3- ÷ = ,2 è 2 2
所以 f x 的图象向下平移至阴影部分的上沿与 x 轴重合时,图形与 x 轴所围成图形的面积
3
恰为阴影部分的面积,即为 ,
2
此时函数 f x 的图象向下平移的距离为 3,故 a = 3.
19.(2024·全国·模拟预测)设函数 f x = x -1 - 2 x +1 .
(1)作出函数 f x 的图象;
(2)若 f x 的最大值为m ,正实数 a,b,c满足 ab + 2b2 + 3ac + 6bc = m,求 a + 3b + 3c 的最小
值.
【答案】(1)图象见解析
(2) 2 2
【分析】(1)分别在 x -1、-1 < x <1及 x 1的情况下,讨论得到 f x 的解析式,由此可
得函数图象;
(2)结合图象可确定m = 2 ,化简已知等式得到 a + 2b b + 3c = 2,根据
a + 3b + 3c = a + 2b + b + 3c ,利用基本不等式可求得结果.
【详解】(1)当 x -1时, f x = -x +1+ 2 x +1 = x + 3;
当-1 < x <1时, f x =1- x - 2 x +1 = -3x -1;
当 x 1时, f x = x -1- 2 x +1 = -x - 3;
作出 f x 的图象如下图所示,
(2)由(1)可知:当 x=-1时, f x = 2max ,即m = 2 ,
\ab + 2b2 + 3ac + 6bc = 2,即 a + 2b b + 3c a + 2b = a + 2b b + 3c = 2 ,
\a + 3b + 3c = a + 2b + b + 3c 2 a + 2b b + 3c = 2 2 (当且仅当 a + 2b = b + 3c,即
a + b = 3c时等号成立),
\ a + 3b + 3c = 2 2min .
拓展冲刺练
一、单选题
1.(23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)设函数 f x = x x - 2x ,则 f x ( )
A.是偶函数,且在 1, + 上单调递增 B.是奇函数,且在 -1,1 上单调递减
C.是偶函数,且在 - ,-1 上单调递增 D.是奇函数,且在 - ,-1 上单调递减
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性,画函数图象,然后结合图象得函数的单调区
间.
【详解】因为函数 f x = x x - 2x 的定义域为R,且 f -x = -x x + 2x = - x x - 2x = - f x ,
ìx
2 - 2x, x 0
所以 f x 是奇函数,又 f x = x x - 2x = í ,作出函数 f x 图象如下图:
-x
2 - 2x
由图知,函数 f x 在 - ,-1 和 1, + 上单调递增,在 -1,1 上单调递减.
故选:B
ì 3x -1 , x <1
2.(23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习)已知函数 f x = í ,若函数 g x = f x + m
log2x, x 1
有 3 个零点,则m 的取值范围是( )
A. 0,2 B. -2,0
C. 0,1 D. -1,0
【答案】D
【分析】转化为 f x 与 y = -m图象有 3 个不同的交点,画出两函数图象,数形结合得到答
案.
【详解】令 g x = f x + m = 0 ,故 f x = -m ,
ì 3x -1 , x <1
画出 f x = í 与 y = -m的图象,
log2x, x 1
函数 g x = f x + m 有 3 个零点,即 f x 与 y = -m图象有 3 个不同的交点,
则-m 0,1 ,
解得m -1,0 .
故选:D
sin x
3.(2024·全国·模拟预测)函数 f x = 的图像大致是( )
x
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】先由根据图象,由 f x 的奇偶性排除部分选项,再由0 < x < π 时,函数值的正反
判断.
f x x | x 0 sin -x【详解】解:因为 的定义域为 ,且 f -x = = - f x ,
-x
\ f x 是奇函数,排除选项 B.
当0 < x < π 时, f x > 0,排除选项 A,C.
故选:D.
4.(2023·天津河北·一模)函数 f x = xsinx + cosx 的导数为 g x ,则 y = g x 的部分图象
大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】对函数 f x 求导可得 g x = x cos x,再由函数奇偶性可排除 BD 选项,再由余弦函
数图象性质可知 C 选项符合题意.
【详解】根据题意可得 g x = f x = x sinx + x sinx + cosx = x cos x ,
易知 g x = x cos x的定义域为 x R ,且满足 g -x = -x cos -x = -x cos x = -g x ,
即可得 y = g x 为奇函数,图象应关于原点对称,可排除 BD;
π
利用余弦函数图象性质可知,当 x 0, ÷ 时, g x = x cos x > 0,该部分图象在 x 轴的上方,
è 2
可排除 A,
C 选项符合题意.
故选:C
5.(2022·全国·模拟预测)已知关于 x 的不等式 ax2 + 2x - x2 ln x > 0的解集中只有 1 个整数,
则实数 a 的取值范围是( ).
A. -2, ln 2 -1 B. -2, ln 2 -1

C. ln 2 -1, ln 3
1
- ù é
1

D. êln 2 -1, ln 3- 3 ÷è
【答案】B
【分析】由题可得不等式 f x = ax + 2 - x ln x > 0 仅有 1 个整数解,利用数形结合可得
ì f 1 > 0
í f 2 0 ,即求.
【详解】由题可知 x 0, + ,
所以不等式 ax2 + 2x - x2 ln x > 0,即 ax + 2 - x ln x > 0只有一个整数解,
令 f x = ax + 2 - x ln x ,不等式 f x > 0仅有 1 个整数解,
令 y = ax + 2, g x = x ln x,则函数 g x = x ln x图象上仅有 1 个横坐标为整数的点落在直
线 y = ax + 2的下方,
∵ g x =1+ ln x 1,由 g x =1+ ln x = 0,得 x = ,
e
g x 0, 1 1 ∴ 在 ÷上单调递减,在 ,+ e ÷上单调递增,因为直线 y = ax + 2恒过点 0,2 ,è e è
作出函数 g x = x ln x与直线 y = ax + 2的大致图象,
1,0
ì f 1 > 0
由图象可知,这个点 ,可得 í f 2 0 ,即-2 < a ln 2 -1.
故选:B.
【点睛】关键点点睛:本题的关键是把问题转化为函数 g x = x ln x与直线 y = ax + 2的的交
点的位置问题,然后利用数形结合解决.
二、多选题
6.(2024 高三·全国·专题练习)(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线,为
了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保
ì 7
- x +1,0 < x 1 20
持量 f(x)与时间 x(天)之间的函数关系 f(x)= í1 9 1
则下列说法正确
-+ x 2 ,1< x 30
5 è 20
÷

的是(  )
A.随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9 天后,小菲的单词记忆保持量低于 40%
D.26 天后,小菲的单词记忆保持量不足 20%
【答案】ABC
【详解】解析:由函数解析式可知 f(x)随着 x 的增加而减少,故 A 正确;由图象可得 B 正
确;当 1词记忆保持量低于 40%,故 C 正确;f(26)= + ×26- > ,故 D 错误.故选 ABC.
ì x -1 , x 2
7.(22-23 高三下·黑龙江大庆·开学考试)已知函数 f (x) = í 2 ,则下列说法
-x + 4x - 3, x > 2
正确的是( )
A. f (x) 的单调减区间为 (- ,1] [2,+ )
B.若 f (x) = k 有三个不同实数根x1,x2, x3 ,则 4 < x1 + x2 + x3 < 5
C.若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立,则实数 a的取值范围是 (- , - )
4
x + x
D.对任意的x ,x (2, + ) ,不等式 f ( 1 2
1
1 2 ) [ f (x1) + f (x2 )]恒成立2 2
【答案】BCD
【分析】对于 A,作出函数 f x 的图象即可判断;对于 B,根据题意结合图象的对称性分析
运算即可判断;对于 C,根据图象结合图象平移分析运算即可判断;对于 D,利用作差法计
算证明即可.
【详解】对于 A,作出函数 f x 的图象,如图 1 所示:
由图可知, f (x) 的单调减区间为 (- ,1],[2,+ ) ,但不能用并集符号链接,A 错误;
对于 B,根据题意作 y = k 交 f (x) 于 3 点,并且三点的横坐标分别为 x1, x2 , x3,
不妨设 x1 < x2 < x3,易知 x1, x2 关于 x =1对称,所以 x1 + x2 = 2,
又因为 2 < x3 < 3,所以 4 < x1 + x2 + x3 < 5,B 正确;
对于 C,当 a = 0时, f (x) > f (x)显然不成立, a = 0不合题意,舍去;
当 a > 0时, f (x + a)可以通过 f (x) 向左平移 a个单位得到,如图 2 ,显然不成立,舍去;
当 a<0时, f (x + a)可以通过 f (x) 向右平移 a 个单位得到,如图 3,
以射线 y = -x +1- a与 y=- x2 +4x- 3相切为临界.
即-x +1- a = -x2 + 4x - 3,则 x2 - 5x + 4 - a = 0 ,
9 9
\D = (-5)2 - 4 (4 - a) = 0 ,解得 a = - ,则 a < - ,
4 4
9
综上所述,实数 a的取值范围是 - ,- ÷,C 正确;
è 4
对于 D,对任意的m, n (2, + )
m + n
,则 (2,+ ) ,
2
2 2
f (m) + f (n) f m + n
-m + 4m - 3 + -n + 4n - 3 é m + n 2\ - m + n ù ÷ = - ê- ÷ + 4 ÷ - 3ú2 è 2 2 ê è 2 è 2 ú
(m - n)2
= - 0,当且仅当m = n 时,等号成立,
4
f (m) + f (n) f m + n 0 f m + n f (m) + f (n)即 - ,则
2 2 ÷ ÷

è è 2 2
f x1 + x2
f x
\ 1
+ f x2
÷ ,D 正确.
è 2 2
故选:BCD.
三、填空题
8.(2024 2高三·全国·专题练习)若关于 x 的不等式 k x + 2x < ln x +1的解集中恰有 2 个整数,
则 k 的取值范围是 .
ln3+1 k ln2 +1【答案】 <
15 8
lnx +1 lnx +1
【分析】将不等式变形为 k(x + 2) < ,构造函数 f (x) = ,求导得其单调性,进而
x x
结合函数的图象可得答案.
\ k x2 + 2x < ln x +1 k(x 2) lnx +1【详解】Q x > 0 , 不等式 可化为 + < ,
x
lnx +1 -lnx
令 f (x) = ,\ f x = 2 ,x x
由 f x > 0解得0 < x <1,由 f x < 0解得 x >1,
\ f (x) 在 0,1)为增函数, f (x)在 , + )为减函数,
令 g x) = k x + 2) ,则 g(x)的图象恒过 -2,0) ,若解集恰有 2个整数,
当 k 0时,有无数个整数解,不满足题意;
当 k > 0时, 如图画出函数的大致图象,则两个整数为 1 和 2,故 2 满足不等式且 3 不满足
不等式,
ln3+1 ln2 +1
即8k < ln2 +1且15k ln3 +1,解得 k < ,
15 8
ln3+1 k ln2 +1故答案为: < .
15 8
ì x -1 , x 2
9.(2024 高三下·北京·专题练习)已知函数 f (x) = í 2 ,则下列说法正确的有
-x + 4x - 3, x > 2
①. f (x) 的单调减区间为 - ,1 2, +
②.若 f (x) = k 有三个不同实数根x1,x2, x3 ,则 4 < x1 + x2 + x3 < 5
③.若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立,则实数 a的取值范围是 - ,- 4 ÷è
x + x 1
④.对任意的x ,x (2, + ) f 1 2 ,不等式 é f x + f x ù1 2 è 2 ÷ 1 2 恒成立 2
【答案】②③④
【分析】对于①,作出函数 f x 的图象即可判断;对于②,根据题意结合图象的对称性
分析运算即可判断;对于③,根据图象结合图象平移分析运算即可判断;对于④,利用作
差法计算证明即可.
【详解】对于①,作出函数 f x 的图象,如图 1 所示:
由图可知, f (x) 的单调减区间为 - ,1 , 2,+ ,但不能用并集符号链接,①错误;
对于②,根据题意作 y = k 交 f (x) 于 3 点,并且三点的横坐标分别为 x1, x2 , x3,
不妨设 x1 < x2 < x3,易知 x1, x2 关于 x =1对称,所以 x1 + x2 = 2,
又因为 2 < x3 < 3,所以 4 < x1 + x2 + x3 < 5,②正确;
对于③,当 a = 0时, f (x) > f (x)显然不成立, a = 0不合题意,舍去;
当 a > 0时, f (x + a)可以通过 f (x) 向左平移 a个单位得到,如图 2 ,显然不成立,舍去;
当 a<0时, f (x + a)可以通过 f (x) 向右平移 a 个单位得到,如图 3,
以射线 y = -x +1- a与 y=- x2 +4x- 3相切为临界.
即-x +1- a = -x2 + 4x - 3,则 x2 - 5x + 4 - a = 0 ,
9 9
可得D = (-5)2 - 4 (4 - a) = 0,解得 a = - ,则 a < - ,
4 4
9
综上所述,实数 a的取值范围是 - ,- ÷,③正确;
è 4
对于④,对任意的m, n (2, + )
m + n
,则 (2,+ ) ,
2
2 2
f (m) + f (n) m + n -m + 4m - 3 + -n + 4n - 3 é m + n 2- f = - m + n ù则 ÷ ê-2 2 2 2 ÷ + 4 ÷ - 3úè ê è è 2 ú
(m - n)2
= - 0,当且仅当m = n 时,等号成立,
4
f (m) + f (n) f m + n m + n f (m) + f (n)即 -
2 ÷
0 ,则 f
2 2 ÷

è è 2
x1 + x2 f x1 + f x2 所以 f ÷ ,故④正确.
è 2 2
故答案为:②③④.
【点睛】方法点睛:利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路
(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应用函数思想把方程根的问
题转论为函数零点问题.
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.
四、解答题
10.(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x = 2x + 2 + 3x - 3 .
(1)画出 f x 的图象;
(2)求不等式 f x < 6 的解集.
【答案】(1)作图见解析
7
(2) -1,
è 5 ÷
【分析】根据绝对值的定义去绝对值,然后画出函数的图象,解绝对值不等式即可;
ì1- 5x, x < -1

【详解】(1)由题知, f (x) = í5 - x,-1 x 1,①

5x -1, x >1
作出 f (x) 的图象如图所示.②
ì1- 5x < 6 ì5 - x < 6 ì5x -1< 6
(2)由题知, í ③
x 1
或 í 或 ,< - -1 x 1
í
x >1
解得-1 < x
7
< ,\原不等式的解集为 -1,
7
5 ֏ 5
11.(23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习)已知函数 f x = x +1 - 2x - 3 .
(1)画出 y = f x 的图象;
(2)求不等式 f x >1的解集.
【答案】(1)答案见解析
{x | x 1(2) < 或1< x < 3或 x > 5}..
3
【分析】(1)化为分段函数,再作图;
(2)由图象解不等式 f (x) >1和 f (x) < -1可得.
ì
x - 4, x -1

3
【详解】(1) f x = x +1 - 2x - 3 = í3x - 2, -1< x ,
2
3
-x + 4, x > 2
作出射线 y = x - 4(x -1)和射线 y = -x
3
+ 4(x ) ,再作出线段 y = 3x - 2(-1
3
x ) 即可得:
2 2
(2)由 f (x) 的表达式及图像,当 f (x) = 1时,可得 x =1或 x = 3;
当 f (x) = -1
1
时,可得 x = 或 x = 5,
3
故 f (x) >1的解集为 x |1< x < 3 ; f (x) < -1 1的解集为{x | x < 或 x > 5},
3
1
所以 | f (x) |>1
{x | x <
的解集为 3 或1< x < 3或 x > 5}考点 13 函数的图像(3 种核心题型+基础保分练+综合提升练
+拓展冲刺练)
【考试提醒】
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函
数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
【知识点】
1.利用描点法作函数图象的方法步骤: 、 、 .
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
― 关―于―x 轴―对称①y=f(x) ―→ y= .
关于
②y=f(x) ― ― ―
y 轴―对称―→
y= .

③y=f(x) ― ―
于原―点―对称―→
y= .
关于
④y=ax (a>0,且 a≠1) ― ― ―
y=x―对称―→
y= .
(3)翻折变换
保留 x 轴上方图象
①y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→将 x 轴下方图 象翻折上去 y= .
②y=f(x) ― ― ―
保留―y 轴―右侧― 图象―,并―作其― ― →
关于 y 轴对 称的图象 y= .
常用结论
1.左右平移仅仅是相对 x 而言的,即发生变化的只是 x 本身,利用“左加右减”进行操
作.如果 x 的系数不是 1,需要把系数提出来,再进行变换.
2. 函数图象自身的对称关系
a+b
(1)若函数 y=f(x)的定义域为R,且有 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=
2
对称.
(2)函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称 f(a+x)=2b-f(a-x) f(x)=2b-f(2a-x).
3.两个函数图象之间的对称关系
(1)函数 y=f(x)与 y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称.
(2)函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
【核心题型】
题型一 作函数图象
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法:对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法:含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,
则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
【例题 1】(2024 2高三下·全国·专题练习)已知函数 f x = x - x - 2 + x - 2 .
(1)画出函数 f x 的图象;
(2)求关于 x 的不等式 f x x +1 的解集.
【变式 1】(2024·陕西西安·二模)设函数 f (x) = 2x - x +1 .
(1)在坐标系中画出函数 f (x) 的图象;
(2)若 f (x) 4 - a - 2 对任意 x R 恒成立,求 a的取值范围.
【变式 2】(2024·四川南充·二模)已知函数 f (x) =| 2x - 2 | + | 2x - a |.
(1)当 a = -2 时,画出 f (x) 的图象,并根据图象写出函数 f (x) 的值域;
(2)若关于 x 的不等式 f (x) + 2a a2 有解,求 a 的取值范围.
【变式 3】(2024·陕西西安·三模)已知函数 f (x) =| 2x +1| + | x + m |(其中m -1,0 ).
1
(1)在给定的平面直角坐标系中画出m = - 时函数 f x 的图象;
2
(2)求函数 f x 的图象与直线 y = 3围成多边形的面积的最大值,并指出面积最大时m 的
值.
题型二 函数图像的识别
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
f (x) x cos 2x【例题 2】(2024·四川成都·三模)函数 = ln(x2 +1) 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
1
【变式 1】(2024·湖北·模拟预测)函数 f x = ex - e x - lnx2 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
x cos x + sin x
【变式 2】(2024·全国·模拟预测)函数 f x = 的部分图象为( )
1 x2 +
A. B.
C. D.
3 m
【变式 3】(多选)(2024·安徽合肥·一模)函数 f x = x - m R 的图象可能是( )x
A. B.
C. D.
题型三 函数图象的应用
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式 Δ 与 0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
命题点 1 利用图象研究函数的性质
【例题 3】(2023·贵州·模拟预测)已知函数 f x = x -1 -1,下列结论正确的是( )
A. f x 是偶函数
B. f x 在 0, + 上单调递增
C. f x 的图象关于直线 x =1对称
D. f x 的图象与 x 轴围成的三角形面积为 2
【变式 1】(2022·重庆沙坪坝·模拟预测)若函数 f x +1 为奇函数,且在 2,3 单调递减,则
下列函数在 0,1 一定单调递增的是( )
A. y = f x -1 B. y = f 1- x C. y = f 2x -1 D. y = f -x -1
【变式 2】(多选)(22-23 高三上·湖北·阶段练习)已知函数 f x = x x - a , a R ,下列判
断中,正确的有( )
A.存在 k R ,函数 y = f x - k 有 4 个零点
B.存在常数 a,使 f x 为奇函数
C.若 f x 在区间 0,1 上最大值为 f 1 ,则 a的取值范围为 a 2 2 - 2 或 a 2
D.存在常数 a,使 f x 在 1,3 上单调递减
【变式 3】(多选)(2023·全国·模拟预测)小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线.为
了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保
ì 7
- x +1,0 < x 1
x 20持量 y 与时间 (单位:天)之间的函数关系 y = f x = í 1 .则下列说
1 9 -+
5
x 2 ,1< x 30
è 20
÷

法中正确的是( )
A.随着时间的增加:小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9天后,小菲的单词记忆保持量不低于 40%
D. 26天后,小菲的单词记忆保持量不足 20%
命题点 2 利用图象解不等式
ìlog2x,0 < x 2,【例题 4】(23-24 高三下·山西·阶段练习)已知函数 f x = í
2x

- 3, x > 2,
f a +1 - f 2a -1 0 ,则实数 a的取值范围是( )
A. - , 2 B. 2, + C. 2,6 1D. , 2ù
è 2 ú
ì 2 x + 2x +1, x 0
【变式 1】(22-23 高三上·贵州贵阳·开学考试)已知函数 f (x) = í x-1 若关于 x
2 - 2 , x > 0
的不等式 f (x) +1 a(x +1)恒成立, 则 a的取值范围是( )
A. ( ,
1 1
- -2] éê , +
é ù
÷ B3 .
(- , -2] 0,
ê 3 ú
é 2, 1ù [ 2,0] é1C. ê- ú D. - ê ,+

3 3 ÷
【变式 2】(2023·安徽·模拟预测)定义在 0, + 上的函数 f x 满足:对"x1, x2 0, + ,
f x1 - f xx x 2 且 1 2 都有 >1,则不等式 f 2log2x - f x > log 22x - x的解集为(x x )1 - 2
A. 1,2 B. 2,4 C. 4,8 D. 8,16
【变式 3】(2023·四川成都·模拟预测)定义:设不等式F x < 0的解集为 M,若 M 中只有
唯一整数,则称 M 是最优解.若关于 x x2的不等式 - 2x - 3 - mx + 2 < 0 有最优解,则实数 m
的取值范围是( )
2 7 ù é 7
A. , ú B. ê- , -2è 3 4 2 ÷
é 7 é2 7 ù é 7 2 7 ù
C. ê- , -2÷ ê , ú D. ê- , -2÷ U , 2 3 4 2 è 3 4 ú
命题点 3 利用图象求参数的取值范围

【例题 5】(2024·四川泸州·三模)已知函数 f x = sin wx - ÷(w > 0)在 0, π 有且仅有
è 3
三个零点,则w 的取值范围是( )
é8 ,11ù é8 11 é5 8ù é5 8 A. ê ú B. ê , C. , D. , 3 3 3 3 ÷ ê3 3ú ê3 3 ÷
【变式 1】(2024·山西长治·一模)已知函数 f (x) = Asin(wx +j)(A > 0,w > 0,|j |
π
< ) 的部分图
2
象如图所示,若方程 f (x) = m在[
π
- ,0]上有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是
2
( )
A.[-2, - 3] B. (-2, - 3] C. (-2, -1] D.[-2,-1]
ì 2
【变式 2】(2024·安徽合肥·二模)已知函数 f
x - 2x, x 1
x = í1 x 3 , x 1,若关于
x 的方程
- - >
f x - f 1- a = 0至少有两个不同的实数根,则 a的取值范围是( )
A. - ,-4 U é 2,+ B. -1,1
C. -4, 2 D. é-4, 2 ù
ì log2 x -1 , x >1
【变式 3】(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x = í x ,若关于 x 的方程 f (x) = m
3 -1 , x 1
有 3 个不相等的实数根,则m 的取值范围是 .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
2
1.(2024· x辽宁抚顺·三模)函数 f x = x-1 的图象大致为( )e
A. B.
C. D.
1 a 1 b
2.(2024· 海南·模拟预测)已知正实数 a,b,c满足 ÷ = log3 3
a, ÷ = log3b,c = log1c ,则
è è 2 3
( )
A. a < b < c B. c < b < a
C.b3.(2024·全国·模拟预测)若方程 x x - a + 2k = 0在区间 0,2 上有解,-4 + 4 2 a < 4,则
实数 k 的取值范围为( )
é a2 ù é a2 ù é a2 ù é,0 a
2 ù
A. ê- ú B.8 ê
- ,0ú C. 0,4 ê ú
D. ê0,
8 4
ú

4.(2024·陕西西安·模拟预测)以下四个选项中的函数,其函数图象最适合如图的是( )
e x x2 +1 ex ex 2A. y = B. y = C. y = 2x2x D. y =2x x ex
ì-xex+1, x 0

5.(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x = í ,
ln x
1
- , x > 0
4
h x 2= é f x ù - 2af x + 4 a R ,若函数 h x 恰有 6 个零点,则实数 a的取值范围是
( )
5
A. ,+
5
÷ B. , 42 2 ÷
C. 1, + D. 0, +
è è
二、多选题
ì ln x -1 , x >1
6.(2023·山西·模拟预测)已知函数 f x = í 2 ,则下列结论正确的是( )
x - 4 x + 3, x 1
A.函数 f x 在 0,2 上单调递减
B.函数 f x 的值域是 -1, +
C.若方程 f x = a有 5 个解,则 a的取值范围为 0,3
D.若函数 f x
1 1
- a 有 3 个不同的零点 x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ,则 x1 + +x x 的取值范围为2 3
- , -3
7.(2023·福建泉州·模拟预测)函数 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致图像可能为( )
A. B.
C. D.
三、填空题
ì ln x , x > 0,
8.(2023·北京房山·一模)设函数 f (x) = í 2 给出下列四个结论:①函数 f (x)
x + 4x +1, x 0.
+
的值域是R ;② "a >1,方程 f (x) = a恰有 3 个实数根;③ $x0 R ,使得
f -x0 - f x0 = 0;④若实数 x1 < x2 < x3 < x4 ,且 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 .则
x + x x - x 4e 41 2 3 4 的最大值为 - .其中所有正确结论的序号是 .e
ì x +1, x 0
9.(23-24 高三上·河南漯河·期末)已知函数 f (x) =

í ex ,若关于 x 的不等式
x
2 - x, x > 0
f 2 (x) - af (x) < 0恰有一个整数解,则实数 a的取值范围为 .
四、解答题
10.(2022 高三上·河南·专题练习)设 f (x) = 2 x +1 - x - 3 .
(1)在如图坐标系中作出函数 f x 的图象,并根据图象求不等式 f (x) 0的解集;
(2)若存在实数 x ,使得不等式 f (x) x - 3 + t 2 - 7t 成立,求实数 t 的取值范围.
11.(23-24 2高三上·新疆阿克苏·阶段练习)定义域为 R 的奇函数满足 f x = x - 2x(x > 0) .
(1)求 f x 解析式;
(2)求不等式 f x 0的解集.
综合提升练
一、单选题
1.(23-24 高三上·北京昌平·期末)设函数 f x 的定义域为R ,则“ "x R, f x +1 < f x ”
是“ f x 为减函数”的( )
A.充分必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2x +1 sin π + 3x 2.(2024·四川德阳·二模)函数 2 ÷f x è 的图象大致是( )=
2x -1
A. B.
C. D.
3.(2024·四川·模拟预测)函数 f x = 2xln x -1 的大致图象为( )
A. B.
C. D.
4.(2024·天津·二模)函数 f x 的图象如图所示,则 f x 的解析式可能为( )
ln x ex - xA. f x = 2 B. f x
- e
=
x +1 x2
2
C. f x -1 ln xx = D. f x =
x x
5.(2024· x 2四川成都·三模)若函数 f x = e - kx 大于 0 的零点有且只有一个,则实数 k 的值
为( )
e 2
A.4 B. 2 e C
e
. D.
2 4
ì
2sin
2p x, 15- x 5
f x = 6 2024· · 5 4 4.( 陕西西安 一模)已知函数 í ,若存在实数
log x 5-1 , x >
2

4
x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 满足 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = m ,则错误的是( )
A 2 2. x3 + x4 < 8 B. x1 + x
5
2 = - C. x3x4 - x3 - x4 = 0 D.0 < m < 22
3
7 sin x.(2024·全国·模拟预测)函数 f x = 4 的大致图象是( )x - 2
A. B.
C. D.
ìx -1, x < 0
8.(2024·北京顺义·二模)若函数 f x = í 0, x = 0 ,则“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”

x +1, x > 0
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题
9.(2023·全国· 2模拟预测)若函数 f x = 2x ln x 的定义域为D,则下列说法正确的是( )
A.D = 0, + B. f x 是偶函数
C."x D, y D, f xy = x2 f y + y2 f x D.若方程 f x = k 有 4 个不同的实数根,则
1
- < k < 0
e
ì1- 2x +1 , x < 010.(2024·云南昆明·一模)已知函数 f x = í , g(x) = f ( f (x)) - f (x) - a ,则
e
x -1, x 0
( )
A.当 a = 0时, g(x)有 2 个零点
3
B.当 a = 时, g(x)有 2 个零点
2
C.存在 a R ,使得 g(x)有 3 个零点
D.存在 a R ,使得 g(x)有 5 个零点
11.(2024·河北沧州·一模)已知函数 f (x) 的定义域为R ,且"x R ,都有
f (-3 + x) + f (-1- x) 3= 0 , f - + x ÷ = f
1
- - x

÷, f ( 5) 2 f
7 3- = - , = - ,当
è 2 ÷ è 2 è 2 4
x [-1,0]时, f (x) = ax2 + bx,则下列说法正确的是( )
A.函数 f (x) 的图象关于点 (-2,0) 对称
B. f (1) = 2
C. f (2023) + f (2024) + f (2025) = 2
D.函数 f (x) 与函数 y =| ln | x ||的图象有 8 个不同的公共点
三、填空题
12.(2024·全国·模拟预测)若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一个整数解,则称不等式为单
元集不等式.已知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0为单元集不等式,则实数a的取值范围是 .
ì
-x
2 + 4x - 3, x 2
13.(2024 高三·上海·专题练习)已知函数 f x = í ,则不等式 f 2x -1 < 2
log2 x, x > 2
的解集是
sinx
14.(2022·北京海淀·三模)已知函数 f x = , x -2p ,0 0,2p ,给出下列四个结论:
x
① f x 是偶函数;
② f x 有 4 个零点;
1
③ f x 的最小值为- ;
2
1 11 7 p 5④ f x < 的解集为 - p , - p ÷ 0, ÷ p , 2p2x 6 6 6 6 ÷ .è è è
其中,所有正确结论的序号为 .
四、解答题
1 1
15.(2023·四川乐山·三模)已知函数 f (x) = x - 2 + x +1
1
+ x + 2 .
2 2 2
(1)画出 f(x)的图象,并写出 f (x) 6的解集;
1 1 T
(2)令 f(x)的最小值为 T,正数 a,b 满足 a + b = T ,证明: 2 + 2 .a +1 b +1 10
16 2023· · f (x) 1 x2 tx 3ln x g(x) 2x + t.( 江西宜春 模拟预测)设 = - +2 , = x2 - 3 ,且 a、b 为函数 f x 的极
值点 (0 < a < b)
(1)判断函数 g x 在区间 (-b,-a)上的单调性,并证明你的结论;
(2)若曲线 g(x)在 x =1处的切线斜率为-4,且方程 g(x) - m = 0(x 0)有两个不等的实根,求
实数 m 的取值范围.
17.(2023·四川乐山·一模)已知 f x = 2 x - a - x + a, a > 0 .
8
(1)若曲线 y = f x 与直线 y = a 围成的图形面积为 ,求 a的值;
3
(2)求不等式 f x > x的解集.
18.(2023·陕西榆林·模拟预测)已加 f x = 2x - 3 + x .
(1)解不等式 f x 3;
(2)令 g x = f x - a 3,若 g x 的图象与 x 轴所围成的图形的面积为 ,求实数 a的值.
2
19.(2024·全国·模拟预测)设函数 f x = x -1 - 2 x +1 .
(1)作出函数 f x 的图象;
(2)若 f x 的最大值为m ,正实数 a,b,c满足 ab + 2b2 + 3ac + 6bc = m,求 a + 3b + 3c 的最小
值.
拓展冲刺练
一、单选题
1.(23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)设函数 f x = x x - 2x ,则 f x ( )
A.是偶函数,且在 1, + 上单调递增 B.是奇函数,且在 -1,1 上单调递减
C.是偶函数,且在 - ,-1 上单调递增 D.是奇函数,且在 - ,-1 上单调递减
ì 3x -1 , x <1
2.(23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习)已知函数 f x = í ,若函数 g x = f x + m
log2x, x 1
有 3 个零点,则m 的取值范围是( )
A. 0,2 B. -2,0
C. 0,1 D. -1,0
3.(2024·全国·模拟预测)函数 f x sin x= 的图像大致是( )
x
A. B.
C. D.
4.(2023·天津河北·一模)函数 f x = xsinx + cosx 的导数为 g x ,则 y = g x 的部分图象
大致是( )
A. B.
C. D.
5.(2022·全国·模拟预测)已知关于 x 的不等式 ax2 + 2x - x2 ln x > 0的解集中只有 1 个整数,
则实数 a 的取值范围是( ).
A. -2, ln 2 -1 B. -2, ln 2 -1

C. ln 2 -1, ln 3
1
- ù éú D. êln 2 -1, ln 3
1
-
3 3 ֏
二、多选题
6.(2024 高三·全国·专题练习)(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线,为
了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保
ì 7
- x +1,0 < x 1 20
持量 f(x)与时间 x(天)之间的函数关系 f(x)= í1 9 1 则下列说法正确 -+ ÷ x 2 ,1< x 30
5 è 20
的是(  )
A.随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9 天后,小菲的单词记忆保持量低于 40%
D.26 天后,小菲的单词记忆保持量不足 20%
ì x -1 , x 2
7.(22-23 高三下·黑龙江大庆·开学考试)已知函数 f (x) = í 2 ,则下列说法
-x + 4x - 3, x > 2
正确的是( )
A. f (x) 的单调减区间为 (- ,1] [2,+ )
B.若 f (x) = k 有三个不同实数根x1,x2, x3 ,则 4 < x1 + x2 + x3 < 5
C.若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立,则实数 a的取值范围是 (- , - )
4
D.对任意的x ,x (2, + )1 2 ,不等式 f (
x1 + x2 ) 1 [ f (x1) + f (x2 )]恒成立2 2
三、填空题
8 2.(2024 高三·全国·专题练习)若关于 x 的不等式 k x + 2x < ln x +1的解集中恰有 2 个整数,
则 k 的取值范围是 .
ì x -1 , x 2
9.(2024 高三下·北京·专题练习)已知函数 f (x) = í 2 ,则下列说法正确的有
-x + 4x - 3, x > 2
①. f (x) 的单调减区间为 - ,1 2, +
②.若 f (x) = k 有三个不同实数根x1,x2, x3 ,则 4 < x1 + x2 + x3 < 5
③.若 f (x + a) > f (x)
9
恒成立,则实数 a的取值范围是 - ,- 4 ÷è
x1 + x2 1④.对任意的x (2, + )1,x2 ,不等式 f ÷ é f x1 + f x2 ù2 2 恒成立è
四、解答题
10.(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x = 2x + 2 + 3x - 3 .
(1)画出 f x 的图象;
(2)求不等式 f x < 6 的解集.
11.(23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习)已知函数 f x = x +1 - 2x - 3 .
(1)画出 y = f x 的图象;
(2)求不等式 f x >1的解集.

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