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考点 15 函数模型的应用（3 种核心题型+基础保分练+综合提
升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义
3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用
【知识点】
1．三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
性质
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表现 随 x 的增大逐渐表现为 随 n 值的变化而各有
图象的变化
为与 y 轴平行 与 x 轴平行 不同
2．常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数，k≠0)
x
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
【核心题型】
题型一　用函数图象刻画变化过程
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函
数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是
否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【例题 1】（2023·山西朔州·模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开
发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数 x 与每平米平均建
筑成本 y （单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用 y 和楼层数 x 的回归方程类型
的是（ ）
A． y = a + bx B． y = a + bex
C． y = a
b
+ D． y = a + bx2
x
【答案】C
【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.
【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类
型是反比例类型，故 C 正确.
故选：C
【变式 1】（2023·江西南昌·二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行
全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25
毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度 y（毫克/
ì 0.1t,0 t 10
t
立方米）与时间 t（分钟）之间的函数关系为 y = í 1
-a
10 ，函数的图像如图所示．如
÷ , t >10
è 2
果早上 7：30 就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
【答案】A
【分析】函数的图像过点 10,1 ，代入函数的解析式求得未知系数 a，解函数不等式即可.
【详解】根据函数的图像，可得函数的图像过点 10,1 ，
1 1-a
由函数图像连续，代入函数的解析式，可得 2 ÷
=1，解得 a =1，
è
ì0.1t,0 t 10

y = t所以 í 1 -1 10 ，
2 ÷
t >10
è
t
-1
令 y 0.25，可得0.1t 0.25或 1 10 ÷ 0.25，
è 2
解得0 < t 2.5或 t 30．
所以如果 7：30 学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是 7：00．
故选：A
【变式 2】（2023·四川南充·三模）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度
介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用 1 单位后，体内血药
浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应 t 时），则下列说法中不正确的是（ ）
A．首次服药 1 单位后 30 分钟时，药物已经在发挥疗效
B．若每次服药 1 单位，首次服药 1 小时药物浓度达到峰值
C．若首次服药 1 单位，3 小时后再次服药 1 单位，一定不会发生药物中毒
D．每间隔 5.5 小时服用该药物 1 单位，可使药物持续发挥治疗作用
【答案】C
【分析】根据所给图象及最低有效浓度、最低中毒浓度，逐项判断即可得解.
【详解】由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗效，
故 A 正确；
由图象可知，首次服药 1 小时药物浓度达到峰值，故 B 正确；
首次服药 1 单位，3 小时后再次服药 1 单位，经过 1 小时后，血药浓度超过3a + 6a = 9a ，
会发生药物中毒，故 C 错误；
服用该药物 5.5 小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效浓
度且不超过最低中毒浓度，药物持续发挥治疗作用，故 D 正确.
故选：C
【变式 3】（23-24 高三下·江苏镇江·开学考试）函数 f (x)
ax + b
=
(x c)2 的图象如图所示，则+
（ ）
A． a < 0,b < 0,c > 0 B． a > 0,b < 0,c > 0
C． a > 0,b > 0,c < 0 D． a > 0,b < 0,c < 0
【答案】D
【分析】由函数的定义域可判断 c的符号，分别令 x = 0, y = 0可判断 a,b的符号.
【详解】由 x + c 0，得 x -c，所以 f (x) 的定义域为 (- , -c) U (-c, + )，
由图可知-c > 0，得 c < 0，
令 f (x) = 0 ，则 ax + b = 0 ，得 x
b
= - ，
a
b b
由图可知 x = - > 0，得 < 0，
a a
b
令 x = 0 y
b
，得 = 2 ，由图可知 2 < 0，得b < 0，c c
所以 a > 0，
综上， a > 0，b < 0， c < 0，
故选：D
题型二　已知函数模型的实际问题
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【例题 1】．（2024 高三·全国·专题练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水
的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可
以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是T0℃，经过一定时间 tmin 后的温度 T(单位：℃)可
由公式T = Ta + T0 -Ta ×e-kt 求得，其中Ta 表示室温，k 是一个随着物体与空气的接触状况而
定的正常数．现有一杯85℃的绿茶放在室温为 25℃的房间中，如果茶温降到 45℃需要
10min ，那么在 25℃室温下，用85℃的开水泡制，刚泡好的茶水要达到最佳饮用口感，大约
需要放置（ ）(参考数据： ln2 0.693, ln 3 1.099 )
A． 4min B．6min C．7min D．9min
【答案】C
【分析】一杯85℃的绿茶放在室温为 25℃的房间中，茶温降到 45℃需要 10min 代入公式得
k ln 3 t 10 ln 2= ；茶温降到55℃需要 tmin 代入公式得 = ，结合题中数据可求得 t .
10 ln 3
【详解】因为一杯85℃的绿茶放在室温为 25℃的房间中，如果茶温降到 45℃需要 10min ，
则 45 = 25 + 85 - 25 ×e-10k -10k 1 ln 3，整理得 e = ，解得 k = ，
3 10
一杯85℃的绿茶放在室温为 25℃的房间中，如果茶温降到55℃需要 tmin ，
则55 = 25 + 85 - 25 ×e-kt -kt 1 ln 2，整理得 e = ，解得 t = =10 ln 2 6.31，
2 k ln 3
所以大约需要7min .
故选：C
【变式 1】（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展
和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系．
y = eax+b (a，b．为常数)，若该果蔬在 7℃的保鲜时间为 288 小时，在 21℃ 的保鲜时间为 32
小时，且该果蔬所需物流时间为 4 天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)
最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
【答案】A
【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.
ìe7a+b = 288 1 1
【详解】依题意， í e14a 7a21a+b ，则 = ，即 e = ，显然 a<0，
e = 32 9 3
设物流过程中果蔬的储藏温度为 t℃，于是 eat+b 96 = 3 ×e21a+b = e-7a ×e21a+b = e14a+b ，
解得 at + b 14a + b，因此 t 14，
所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过 14℃.
故选：A
【变式 2】（2023·贵州铜仁·模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型
q = q + q -q e-kt0 1 0 （t 为时间，单位：分钟，q0为环境温度，q1为物体初始温度，q 为冷却
后温度），假设一杯开水温度q1 =100℃，环境温度q0 = 20℃，常数 k = 0.2，大约经过
分钟水温降为 30℃（参考数据： ln 2 0.7 ）．
【答案】10.5
【分析】代入数据，结合指数与对数性质运算即可得.
【详解】由题意30 = 20 + (100 - 20)e-0.2t ，则 0.2t = ln8 = 3ln 2 3 0.7 = 2.1，所以 t 10.5分钟．
故答案为：10.5 .
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积 S(单
位：m2 )与时间 t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型
S t ＝kat (t Z,k > 0,a > 0，且 a 1) .已知第一个月该植物的生长面积为1m2，第三个月该植
物的生长面积为 4m2 .
2
(1)求证：若 S t1 ·S t3 = S t2 ，则 t1 + t3 = 2t2 ；
(2)若该植物的生长面积达到 100 m2以上，则至少要经过多少个月？
【答案】(1)证明见解析
(2)8 个月
【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案；
（2）根据题意可得 2t -1 >100，求解指数不等式即可.
ìS 1 = ka =1 ìk 1 =
【详解】（1）证明：∵ íS 3 ka3 4，∴ í 2 . = = a = 2
∴ S t 1= 2t = 2t-1 .
2
2由 S t1 ·S t3 = S t2 ，得 2t1 -1 ×2t3 -1 = 22t2 -2 ，∴ t1 + t3 = 2t2 .
（2）令 S t = 2t -1 >100，又 t Z， S 7 = 64 <100, S 8 =128 >100，
∴ t 8，即至少需要经过 8个月
题型三　构造函数模型的实际问题
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实
际问题中去，得到实际问题的解．
【例题 1】（23-24 高三上·江苏南通·期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的
工艺品．要求将一个边长分别为 10cm 和 20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架
的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
A．20 2cm B．30 5cm C．40 5cm D．60 2cm
【答案】D
【分析】由已知作图如图所示，设 AEF = a ，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性
质计算可得结果.
【详解】如图所示，EF = 10, FG = 20，
p
令 AEF = a ，则 AF = 10sina , AFE = -a ，则 BFG = a，
2
BF = 20cosa , BG = 20sina , p BGF = -a ，则 CGH = a ,CG = 10cosa
2
\周长= 2AB + 2BC = 2 10sina + 20cosa + 2 20sina +10cosa
= 60sina + 60cosa π= 60 2sin a +

4 ÷
60 2 ，
è
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒
等变换即可得解
【变式 1】（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水
的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为 5 微米的PP
棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各
种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大
颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 2mg/L，则PP棉滤芯
的层数最少为（参考数据： lg 2 0.30， lg3 0.48）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】首先由条件抽象出经过 n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量 y 的函数，再结合
指对运算，解不等式.
【详解】设经过 n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为 y ，则
1 n 2 ny = 80 1- ÷ = 80

3 ÷
，
è è 3
n
80 2 2 2
n
1 2 1 3
令 ÷ ，解得 ÷ ，两边取常用对数得 n lg lg ，即 n lg lg 40
è 3 è 3 40 3 40 2
即n lg3- lg2 1+ 2lg2，因为 lg 2 0.30， lg3 0.48，
所以 0.48-0.30 n 1.60，解得 n 80 ，因为 n N*，所以 n的最小值为 9．9
故选：A
【变式 2】2023·上海闵行·三模）珠穆朗玛峰高达 8848.86 米，但即使你拥有良好的视力，
你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能
够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，
有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿
直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设
是 ．
【答案】①
【分析】由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答
案．
【详解】数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离
珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆朗玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量
结果影响很小，故假设①最不重要，
故答案为：①．
【变式 3】（23-24 高三上·福建宁德·期中）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中
产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为 30 吨，最多为 400 吨.
月处理成本 f x （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系近似地表示为
f x 1= x2 - 300x + 64800 .
2
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低 月处理成本最低是多少元
(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 每吨的平均处理成本最
低是多少元
【答案】(1)企业每月处理量为 300 吨时，成本最低，最低为 19800 元
(2)企业每月处理量为 360 吨时，每吨的平均处理成本最低，最低 60 元
【分析】（1）由函数单调性得到最值；
1 64800
（2）得到每吨的平均处理成本 g x = x - 300 + ，利用基本不等式求出最值.
2 x
1 2 1 2
【详解】（1）该企业的月处理成本 f x = x - 300x + 64800 = (x - 300) +19800，
2 2
因为30 x 400， f x 在 30,300 上单调递减，在 300,400 上单调递增，
所以该企业每月处理量为 300 吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是 19800 元.
（2）因为 f x 1= x2 - 300x + 64800 30 x 400 ，
2
所以每吨的平均处理成本 g x f x 1= = x - 300 64800+ .
x 2 x
x 64800 x 64800
因为 + 2 × = 360，当且仅当 x = 360 时，等号成立，
2 x 2 x
所以 g x 60 ，
即该企业每月处理量为 360吨时，每吨的平均处理成本最低，为 60元
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观
测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于 1618 年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动
第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 a 与公转
2p 3
周期 T 有如下关系：T = ×a 2 ，其中 M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转
GM
周期约为水星的 8 倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【答案】B
【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【详解】设火星的公转周期为T1，长半轴长为 a1，火星的公转周期为T2，长半轴长为 a2，
ì 2p 3
T 21 = a1 ①
则，T1 = 8T
GM
2 ，且 í
T 2p
3
2
2 = a2 ② GM
① T a 3
得： 1 = ( 1 )2 = 8，
② T2 a2
a1
所以， = 4a ，即：
a1 = 4a2 .
2
故选：B．
2．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方米）的
计算公式是W = 长 + 4 宽+ 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面
积是 10000 平方米，每平方米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）
是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
【分析】设矩形场地的长为 x 米，则W 4x 40000= + +10016x ，结合基本不等式计算即可求解.
x 10000【详解】设矩形场地的长为 米，则宽为 米，
x
W (x 4)(10000 4) 4x 40000 10016 2 4x 40000= + + = + + × +10016 = 10816 ，
x x x
4x 40000当且仅当 = ，即 x =100 时，等号成立.
x
所以平整这块场地所需的最少费用为1 10816 = 10816元.
故选：C
3．（2024·上海奉贤·二模）已知函数 y = f x ，其中 y = x2 +1， y = g x ，其中
g x = 4sin x，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
g
y x f xy A． = =f x B． g x
C． y = f x + g x -1 D． y = f x - g x -1
【答案】A
【分析】根据函数图象和 f x , g x 的奇偶性判断.
f x = x2【详解】易知 +1是偶函数， g x = 4sin x 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇
函数，
A. y = h x
g x 4sin x
= =
f x x2 1 ，定义域为 R，+
4sin -x
又 h -x
4sin x
= = - = -h x
，所以
h x 是奇函数，符合题意，故正确；
-x 2 +1 x2 +1
f
y x x
2 +1
B. = = ， x kπ, k Zg x 4sin x ，不符合图象，故错误；
C. y = h x = f x + g x -1 = x2 +1+ 4sin x -1 = x2 + 4sin x ，定义域为 R，
但 h -x h x ,h -x -h x ，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. y = h x = f x - g x -1 = x2 +1- 4sin x -1 = x2 - 4sin x ，定义域为 R，
但 h -x h x ,h -x -h x ，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
4．（2024·河南新乡·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P
（单位：mg / L）与时间 t（单位：h P = P e-kt）之间的关系式为 0 ，其中P0 ,k 是正的常数，
若在前5h 消除了20%的污染物，则常数 k 所在的区间为（ ）
1 , 1 1 , 1 1 1 1 1 A． ÷ B． ÷ C． , ÷ D． ,
è 30 25 è 25 20 è 20 15 è15 10 ÷
【答案】B
4 -5k
【分析】首先由题意列式 P0 = P0e ，再利用指对互化，求解方程，再确定范围.5
4 -5k
【详解】由条件可知，当 t = 0时，P = P0 ，由题意可知， P0 = P0e ，5
得5k = ln
5 k 1 ln 5，即 = ，
4 5 4
5
4 5
< e 5
1 5 1
因为 ÷ ，4 ÷
>e，所以 < ln < ，
è è 4 5 4 4
1 k 1所以 < < .
25 20
故选：B
5．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为
l 的图形运动一周，O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，那么点 P
所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由点 P 在第二条边上运动时， y 的单调性可排除 A，由图象的对称性可排除 B ，由
一开始 y 与 x 是线性的可排除 C，对于 D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.
【详解】对于 A，点 P 在第一条边上时， y = x ，
但点 P 在第二条边上运动时， y 是随 x 的增大先减小（减到最小时 y 即为三角形的第二条边
上的高的长度），然后再增大，
对比图象可知，A 错误；
对于 B，y 与 x 的函数图形一定不是对称的，B 错误；
对于 C，一开始 y 与 x 的关系不是线性的，C 错误；
对于 D，因为函数图象对称，所以 D 选项应为正方形，不妨设边长为 a，
点 P 在第一条边上时（即0 x a 时）， y = x ，
点 P 2在第二条边上运动时（即 a x 2a时）， y = a2 + x - a ，依然单调递增，
2
点 P 在第三条边上运动时（即 2a x 3a 时）， y = a2 + 3a - x ，单调递减，
点 P 在第四条边上运动时（即3a x 4a 时）， y = 4a - x ，单调递减，
l
且已知 y 与 x 的图象关于 x = 2a = （其中 l = 4a ）对称，D 正确.
2
故选：D.
二、多选题
6．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量
达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为
64ppm，继续排气 4 分钟后又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y （单
位： ppm）与排气时间 t （单位：分钟）之间满足函数关系 y = aeRt （ a, R为常数， e是自然
对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说
法正确的是（ ）
A． a =128
R 1B． = ln 2
4
C．排气 12 分钟后浓度为16ppm
D．排气 32 分钟后，人可以安全进入车库
【答案】ACD
1
【分析】由题意列式，求出 a =128, R = - ln 2，即可判断 A，B；可得函数解析式，将 x =12
4
代入，即可判断 C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断
D.
4R
【详解】设 f (t) = a ×eRt
ìa ×e = 64
，代入 (4,64), (8,32)，得 í ,
a ×e
8R = 32
解得 a =128, R
1
= - ln 2，A 正确，B 错误．
4
t 1
t
- 7 t-
此时 f (t) =128 eR = 27 × 2 4 ÷ = 2 4 ，所以 f (12) = 24 =16(ppm)，C 正确．
è
当 f (t) 0.5
t t
时，即 7-2 4 0.5 = 2-1，得7 - -1，所以 t 32，4
所以排气 32 分钟后，人可以安全进入车库，D 正确．
故选:ACD．
elnx x
7．（2023·广东广州·三模）已知函数 f (x) = + 的图象与直线 y = k(k R)有三个
x elnx + x
交点，记三个交点的横坐标分别为 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x3，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数 k ，使得 x1 =1
B． x3 > e
k 1, 3 C． ÷
è 2
2
ln x1 1 ln x2 1 ln x3 1 D． + ÷ +x e x e ÷
+ ÷为定值
è 1 è 2 è x3 e
【答案】BCD
e ln x t elnx 1- ln x【分析】化简方程，令 = ，得 t 2 + (1- k)t - k +1 = 0，构造 g(x) = ，则 g (x) = e × ，
x x x2
利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于 x 的方程三个不相等的实数解 x1, x2 , x3，且
x < x < x ，结合图象可得关于 t 的方程 t 21 2 3 + (1- k)t - k +1 = 0一定有两个实根 t1 ， t2
t1 < 0 < t2 <1 ，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出
答案．
e ln x x e ln x 1
【详解】由方程 + - k 0
+ e ln x - k = 0= ，可得 ．
x e ln x + x x +1x
e ln x t 1令 = ，则有 t + - k = 0，即 t 2 + (1- k)t - k +1 = 0．
x t +1
elnx
令函数 g(x) = ，则 g (x) e
1- ln x
= × ，
x x2
令 g (x) > 0，解得0 < x < e，令 g (x) < 0 ，解得 x>e，
所以 g(x)在 (0, e)上单调递增，在 (e, + )上单调递减，
所以 g(x)max = g(e)
e ln e
= =1，作出图象如图所示，
e
要使关于 x
e ln x x
的方程 + - k = 0有三个不相等的实数解 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x ，x e ln x + x 3
结合图象可得关于 t 的方程 t 2 + (1- k)t - k +1 = 0一定有两个实根 t1 ， t2 ，
且 t1 0，0 < t2 <1或 t1 =1，0 < t2 <1，
令 g(t) = t 2 + (1- k)t - k +1，若 t1 0，0 < t2 <1，
ìg 0 = -k +1 0

则 íg 1 = 3- 2k > 0 故1 3< k < ．
2
Δ = -k +1
2 - 4 -k +1 = k 2 + 2k - 3 > 0
ìg 0 = -k +1 > 0

g 1 = 3- 2k = 0
若 t1 =1，0 < t2 <1

，则 íΔ = -k +1 2 - 4 -k +1 = k 2 + 2k - 3 > 0，无解，

0 1- k < - <1 2
综上： k
1, 3 ÷，故 C 正确；
è 2
由图结合单调性可知 x3 > e，故 B 正确；
若 f (1) - k =1 k
3
- = 0 ，则 k =1，又 k 1, ，故 A 不正确；
è 2 ÷
2
ln x1 1 ln x 1 ln x 1 t 1
2
t 1 t 1
2
t 1 t 1
2
+ ÷ 2 + ÷ 3 + ÷ = 1 +
2 2
÷ + ÷ + ÷ =
1 + 2 +
è x1 e è x2 e x e e e e e e e
÷ ÷
è 3 è è è è e e è e e
2
é
=
t1 1 t2 1 ù 1
ê + ÷ + ÷ú = 2 t1t
1
2 + 2 t
1 1
1 + t2 + 2 = 2 (-k +1)
1
+ 2 (k 1)
1 1
- + 2 = 2 ，
è e e è e e e e e e e e e
故 D 正确，
故选：BCD．
elnx
【点睛】关键点点睛：构造 g(x) = ，判断出函数g x 的单调性，结合图象将
x
e ln x x
+ - k = 0，转化成关于 t 的函数即可求解.
x e ln x + x
三、填空题
8．（22-23 高三下·上海闵行·阶段练习）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②
实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺
序 ．
【答案】②③①④⑥⑤
【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.
【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，
以检验模型解决问题的结果，
若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，
所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.
故答案为：②③①④⑥⑤
9．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车 2023 年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量 t（单） 7831 8225 8338
油费 s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程 k（公里） 15 15 15
平均每公里油费 a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车没有载客行驶的里程
出租车空驶率= ；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空
出租车行驶的总里程
驶率的模型u = f s, t,k,a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x% ，则
x = （精确到 0.01）
【答案】 20.68
【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，
从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.
s
【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为 ，出租车有载客时行驶的里程为 tk ，
a
s
- tk
u a 1 tka所以出租车空驶率 = s = - ，s
a
7831 15 0.7
对于甲，1- 0.2326 = 23.26%，满足题意；
107150
8225 15 0.7
对于乙，1- 0.2168 = 21.68%，满足题意；
110264
所以上述模型满足要求，
x% 1 8338 15 0.7则丙的空驶率为 = - 0.2068 = 20.68%，即 x = 20.68 .
110376
故答案为： 20.68 .
四、解答题
10．（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂 2024 年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 x
（万元）与年收益 y （万元）的 8 组数据：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
(1)用 y = blnx + a模拟生产食品淀粉年收益 y 与年投入资金 x 的关系，求出回归方程；
(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益
为投入的10% ．2024 年该企业计划投入 200 万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大
值．（精确到 0.1 万元）
n
viui - nv ×u
附：①回归直线u = b v + a i=1中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b = n ，
v2 - nv 2i
i=1
a = u - b ×v
②
8 8 8 i=1 8
yi lnx x2 2i i lnxi yilnxi
i=1 i=1 i=1 8 i=1
161 29 20400 109 603
③ ln2 0.7,ln5 1.6
【答案】(1) y = 5lnx + 2
(2)36.5
【分析】（1）利用回归直线的公式求 b 和 a的值，可得回归方程.
（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.
8 8
8 8 lnxi yi
ln x y -8ln x × y ln x y i=1 i=1 29 161i i i i -8 ×8 8 603-8 【详解】（1）b = i=1 = i=18 8 = 8 82 = 52 2
ln xi 2 -8 ln x ln x 2i -8 ln x 109 -8 29 ÷
i=1 i=1 è 8
a 161 29= y - b × ln x = - 5 = 2
8 8
∴回归方程为： y = 5lnx + 2
（2）2024 年设该企业投入食品淀粉生产 x 万元，预计收益 y （万元）
y = 5lnx + 2 + 200 1- x × ，0 x 200
10
y 5 1 50 - x= - = > 0，得 x < 50
x 10 10x
∴其在 0,50 上递增， 50,200 上递减
ymax = 5ln50 + 2 +15 = 5 2ln5 + ln2 +17 5 2 1.6 + 0.7 +17 = 36.5
11．（2024·江西上饶·一模）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自
然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险
一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险．经验表明商业险保费
（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司
对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用．（假设每年出险次数 2 次及以上按
2 次计算）
出险情况 商业险折扣 若基准保费 3000 元时对应保费
三年内 6 赔 1.8 5400
三-年内 5 赔 1.5 4500
三年内 4 赔 1.2 3600
三年内 3 赔 1 3000
三年内 2 赔 0.8 2400
三年内 1 赔 0.7 2100
三年内 0 赔 0.6 1800
(1)汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为 3000 元，且过去 8 年都
没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为 1000 元，理赔人员
根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假
设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）
(2)张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概
率为 0.8，出一次险的概率为 0.1，出两次险的概率为 0.1（两次及以上按两次算）．张先生近
期买了一辆新车，商业险基准保费为 3000 元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年
时的商业险保费分布列及期望．
【答案】(1)接受建议
(2)分布列见解析；期望为 2106.3（元）
【分析】（1）计算出险和不出险两种情况的缴费情况，将差值与 1000 计较即可得结论；
（2）列出 X 的可能值，分别计算概率再计算期望即可.
【详解】（1）由于王先生过去三年都没有出险，
若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准 1800 元缴费，共需 5400 元．
若进行理赔，则接下来三年每年需 2100 元，共需 6300 元
6300 - 5400 = 900 <1000，故出险理赔更划算.
（2）设商业险保费数额为随机变量 X ，
则 X 的可能值为 5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800．
则P X = 5400 = 0.1 0.1 0.1 = 0.001
P X = 4500 = C13 0.1
3 = 0.003
P X = 3600 = C1 0.1 3 + C23 3 0.1
2 0.8 = 0.027
P X = 3000 = C130.8 C12 0.1
2 + 0.1 3 = 0.049
P X = 2400 = C130.1 0.8
2 + C23 0.1
2 0.8 = 0.216
P X = 2100 = C1 23 0.8 0.1 = 0.192
P X =1800 = 0.8 3 = 0.512
X 5400 4500 3600 3000 2400 2100 1800
P 0.001 0.003 0.027 0.049 0.216 0.192 0.512
则E X = 5400 0.001+ 4500 0.003+ 3600 0.027 + 3000 0.049 + 2400 0.216
+2100 0.192 +1800 0.512 = 2106.3（元）
综合提升练
一、单选题
1．（2023·河南郑州·模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根
据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量 q（单位：L/min）计算公式
N S ×W为 q = K 10P 和保护对象的水雾喷头数量 N 计算公式为 = q 计算确定，其中 P 为水雾
喷头的工作压力（单位：MPa），K 为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S 为
保护对象的保护面积，W 为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min ×m2 ）．水雾喷头的布置
应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾
喷头的工作压力 P 为 0.35MPa，水雾喷头的流量系数 K 为 24.96，保护对象的保护面积 S 为
14m2 ，保护对象的设计喷雾强度 W 为 20L/min × m2 时，保护对象的水雾喷头的数量 N 约为
（参考数据： 3.5 1.87）（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
【答案】C
【分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.
【详解】依题意，P = 0.35MPa ，K = 24.96， S =14m2，W = 20L/min × m2 ，
S ×W S ×W 14 20 280
由 q = K 10P ， N = ，得 N = = 6q 24.96 1.87 ，K 10P 24.96 3.5
所以保护对象的水雾喷头的数量 N 约为 6 个.
故选：C
2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）设某批产品的产量为 x （单位：万件），总成本
c x = 100 +13x p x 800（单位：万元），销售单价 = - 3（单位：元/件）．若该批产品全
x + 2
部售出，则总利润（总利润=销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）
A．7 万件 B．8 万件 C．9 万件 D．10 万件
【答案】B
【分析】表达出总利润关于 x 的关系式，变形后利用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】总利润 f x = x 800 - 3÷ - 100 13x
1600
+ = 732 - -16 x + 2
è x + 2 x + 2
1600 1600
732 - 2 16 x + 2 = 412，当且仅当 = 16 x + 2 ，
x + 2 x + 2
即 x = 8时， f x 最大，故总利润最大时的产量为 8 万件．
故选：B．
3．（2024·北京丰台·一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和 B 系列，其中A 系列
以 A0， A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：
① A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1: 2 ；
②将 Ai （ i = 0,1,L,9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为 A i +1 规格纸张（如
图）．
某班级进行社会实践活动汇报，要用 A0规格纸张裁剪其他规格纸张．共需 A4规格纸张 40
张， A2规格纸张 10 张， A1规格纸张 5 张．为满足上述要求，至少提供 A0规格纸张的张数
为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】设一张 A0规格纸张的面积为 x ，从而得到一张 A1、 A2、 A4纸的面积，再求出所
需要的纸的总面积，即可判断.
【详解】依题意1张 A0规格纸张可以裁剪出 2张 A1，或 4张 A2或16张 A4，
设一张 A0规格纸张的面积为 x ，
1
则一张 A1规格纸张的面积为 x，
2
1
一张 A2规格纸张的面积为 x，
4
1
一张 A4规格纸张的面积为 x，
16
依题意总共需要的纸张的面积为 40
1
x +10 1 1 1 x + 5 x = 7x + x，
16 4 2 2
所以至少需要提供8张 A0规格纸张，
其中将3张 A0裁出5张 A1和 2张 A2；将 2张 A0裁出8张 A2；
将剩下的3张 A0裁出3 16 = 48张 A4，
即共可以裁出5张 A1、10张 A2、 48张 A4 .
故选：C
4．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的
废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为
2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 2.21g/m3，第 n 次改良工艺后
排放的废水中含有的污染物数量 rn 满足函数模型 rn = r0 + (r1 - r0 ) ×3
0.25n+t
（ t R ， n N* ），其
中 r0 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， r1为首次改良工艺后排放的废水中含
有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m3 时符
合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参
考数据： lg 2 0.30， lg3 0.48）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得 rn = 2.25 - 0.04 3
0.25(n-1) ，由 rn 0.65，解
不等式即可求解.
r = 2.25g/m3 3【详解】由题意知 0 ， r1 = 2.21g/m ，
当 n =1时， r = r + (r - r ) 30.25+t ，故30.25+t1 0 1 0 = 1，解得 t = -0.25，
所以 r = 2.25 - 0.04 30.25(n-1)n ．
lg 40
由 rn 0.65，得30.25(n-1) 40，即0.25(n -1) lg3 ，
n 4(1+ 2lg 2)得 +1 14.33lg3 ，又 n N
* ，
所以n 15，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要 15 次．
故选：D
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出 18 年，我国城乡深
化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为 v 立方米，每天的进
出水量为 k 立方米，已知污染源以每天 r 个单位污染河水，某一时段 t（单位：天）河水污
k
染质量指数m
- t
t r r （每立方米河水所含的污染物）满足m t = + m0 - ÷e v （m0 为初始质k è k
量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的 50 倍.若从现在开始停止污染源，要使河
1
水的污染水平下降到初始时的 ，需要的时间大约是（参考数据： ln5 1.61， ln6 1.79）
6
（ ）
A．1 个月 B．3 个月 C．半年 D．1 年
【答案】B
1
- t
【分析】由题意可知，m(t) = m0e 50
1
= m0 ，利用指数与对数的运算性质进行化简求解，即可6
得到答案．
1
【详解】由题意可知， r = 0,
v - t
= 50，故m(t) = m 50 10e = m ，k 6 0
1
- t 1
则 e 50
1
= ，即 - t = -ln6 t = 50ln6 50 1.79 = 89.5，
6 50
1
所以 t 90，则要使河水的污染水平下降到初始时的 ，需要的时间大约是 90 天，即三个
6
月．
故选：B．
6．（2024·北京西城·一模）德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规
律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 y 随时间 t （小时）变化的
趋势可由函数 y =1- 0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：
lg2 0.30, lg3 0.48）
A．2 小时 B．0.8 小时 C．0.5 小时 D．0.2 小时
【答案】C
5 0.27
【分析】根据题设得到 = t ，两边取对数求解，即可得出结果.
6
1
【详解】根据题意得 =1- 0.6t0.27
5
，整理得到 = t0.27 ，两边取以10为底的对数，
2 6
5
得到 lg = 0.27 lg t ，即1- lg3 - 2lg 2 = 0.27 lg t ，又 lg2 0.30, lg3 0.48，
6
8
所以 lg t
8
= - ，得到 -
27 t =10 27 0.5
，
故选：C.
7．（2023·湖北武汉·模拟预测）一个半球体状的雪堆，假设在融化过程中雪堆始终保持半球
体状，其体积V 变化的速率与半球面面积S 成正比，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小
7
时，融化了其体积的 ，则该雪堆全部融化需要（
8 ）小时
24
A． B．4 C．5 D7 ．6
【答案】D
2 3 2
【分析】设雪堆在时刻 t 的体积为V t = πr t ，侧面积 S t = 2πr t ，依题意令
3
V t = kS t 1，即可求出 r t = k ，令 r t = kt + C （C 为常数），求出C ，再根据V 3 = V 0
8
求出 k ，即可得解．
2
【详解】设雪堆在时刻 t 的体积为V t = πr3 t ，侧面积 S t = 2πr2 t ．
3
2 2
令V t = kS t ，即 2πr t × r t = 2πkr t 于是 r t = k ，
令 r t = kt + C （C 为常数），由 r 0 = r0 ，得C = r0，故 r t = kt + r0 ．
又V 3 1= V 0 2 π 3k + r 3 1 2，即 0 = × πr3
1
0 ，得 k = - r
1
0 ，从而 r t = r0 - r0t ，8 3 8 3 6 6
因雪堆全部融化时， r t = 0，故 t = 6，即雪堆全部融化需6小时．
故选：D．
8．（2024·陕西商洛·三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系
-kt
统．已知过滤过程中废水的污染物数量 N mg / L 与时间 t （小时）的关系为 N = N0e （ N0
为最初的污染物数量）．如果前 3 小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%
还需要（ ）
A．2.6 小时 B．6 小时 C．3 小时 D．4 小时
【答案】C
-3k 4 -kt
【分析】由题意可得 N0e = N0，再令 N0e = 0.64N0，即可得解.5
【详解】由题意可得 N0e
-3k 4= N e-3k 40，可得 = ，5 5
2
设 N0e
-kt = 0.64N 40 =

÷ N0 ，
è 5
\e-kt = e-3k 2 = e-6k ，解得 t = 6，
因此，污染物消除至最初的64%还需要 3 小时．
故选：C.
二、多选题
9．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知
t
-
放射性物质数量随时间 t 的衰变公式 N t = N e t ， N0 表示物质的初始数量，t 是一个具有0
时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T 指的是放射性物质数量从初始数量
到衰变成一半所需的时间，已知 ln2 = 0.7，右表给出了铀的三种同位素 τ 的取值：若铀 234、
铀 235 和铀 238 的半衰期分别为T1，T2，T3，则（ ）
物质 τ 的量纲单位 τ 的值
铀 234 万年 35.58
铀 235 亿年 10.2
铀 238 亿年 64.75
A．T =t ln 0.5 B．T 与t 成正比例关系
C．T1 >T2 D．T3 >10000T1
【答案】BD
t
T
【分析】A 选项，根据半衰期的定义得到 N t = N 1 ÷ ，从而得到方程，求出T =t ln 2 ；0
è 2
B 选项，由 A 选项得到结论；C 选项，由 B 选项可得 C 错误；D 选项，计算出T3 ,T1，作商得
到 D 正确.
t
T
【详解】A 选项，由题意得 N t = N 1 0 2 ÷
，
è
t
t 1 T t- - t t又 N t = N e t ，故 N ÷ = N e t ，两边取对数得， ln 0.5 = - ，0 0 0
è 2 T t
T =t ln 2 ，A 错误；
B 选项，由 A 可知，T 与t 成正比例关系，B 正确；
C 选项，由 B 可知，T 与t 成正比例关系，由于铀 234 的t 值小于铀 235 的t 值，
故T1 < T2 ，C 错误；
D 选项，T3 =t ln 2 = 6.475 10
9 ln 2，
T1 =t ln 2 = 3.558 10
5 ln 2，
T3 6.475 10
9 ln 2
故 = >1，D 正确.
10000T1 3.558 10
9 ln 2
故选：BD
10．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律
的．如果物体的初始温度为q1°C，空气温度q0°C 保持不变，则 t 分钟后物体的温度q （单位：
°C）满足：q = q0 + q -q e-0.05t1 0 ．若空气温度为10°C，该物体温度从q1°C（90 q1 100）
下降到30°C，大约所需的时间为 t1 ，若该物体温度从70°C，50°C下降到30°C，大约所需
的时间分别为 t2 , t3，则（ ）（参考数据： ln 2 0.7, ln 3 1.1）
A． t2 = 20 B． 28 t1 30 C． t1 2t3 D． t1 - t2 6
【答案】BC
q -10
【分析】当q = 30时，可求得 t = 20ln 11 ，继而求得 t2 , t20 3
，逐项判定即可.
-0.05t
【详解】有题意可知，q =10 + q1 -10 e ，
当q = 30，则30 =10 + q1 -10 e-0.05t1 ，
即 e-0.05t
20 20
1 = -0.05t = ln
q1 -10
， 1 q1 -10
，
则 t1 = 20ln
q1 -10 ，
20
其是关于q1的单调递增函数，
90 -10
当q1 = 90 时， t1 = 20ln = 20ln 4 = 40ln 2 28，20
q =100 t 20ln 100 -10当 1 时， 1 = = 20ln
9
= 20 2ln 3- ln 2 30，
20 2
则 28 t1 30 ，故 B 正确；
当q1 = 70时， t2 = 20ln
70 -10
= 20ln 3 22，
20
故 A 错误；
当q1 = 50 时， t3 = 20ln
50 -10
= 20ln 2 14，
20
此时满足 t1 2t3 ， t1 - t2 6 ，故 C 正确，D 错误，
故选：BC.
11．（2023·全国·模拟预测）第 31 届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物
“蓉宝”备受人们欢迎．某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满 1000 元可参加抽奖”的
活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级 x 与获得“蓉宝”的
f x f x = p + ekx+b个数 的关系式为 ，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多 2 个，比五等奖
获得的“蓉宝”多 3 个，且三等奖获得的“蓉宝”数是五等奖的 2 倍，则（ ）
A． k = -ln2 B．b = 5ln2
C． p = 3 D．二等奖获得的“蓉宝”数为 10
【答案】ABD
【分析】依题意，得出关于 f 3 , f 4 , f 5 的方程组，解方程组得 f 3 , f 4 , f 5 的值，
从而得到关于 k,b, p的方程组，解方程组得 ek ,eb , p的值，即可判断选项 A，B，C 是否正确，
由ek ,eb , p的值推出 f x 的解析式，求出 f 2 的值，即可判断选项 D 是否正确．
ì f (3) - f (4) = 2 ì f (3) = 6 ì p + e3k +b = 6①

【详解】依题意，得 í f (3) - f (5) = 3 ,

，解得 í f (4) = 4,
p + e4k +b即： í = 4② .

f (3) = 2 f (5) f (5) = 3 p + e
5k +b = 3③
e3k+b①-② + p - e4k+b + p e3k+b(1- ek )
A = -k对于选项 ，由 可得：
②-③ e4k+b + p - e5k+b + p e4k+b =e = 2(1 ek ) ，（依题意知，-
k 0，故 ek 1）
ek 1得 = ，所以 k = -ln2，故 A 项正确；
2
对于选项 B，因① - ②可得： e3k +b + p - e4k +b + p = e3k +b 1- ek = 2，由选项 A 结论可知
e3k +b = 4，
1 3
所以 ×eb ÷ = 4，所以 e
b = 32 ，解得b = 5ln2，故 B 项正确；
è 2
对于选项 C - 3k +b 5k +b，因① ③ 2 可得： e + p = 2 e + p ，由选项 B 结论，有
é 5 ù
4 + p = 2 32 1 ê ÷ + pú，
ê è 2 ú
解得 p = 2 ，故 C 项错误；
x
对于选项 D，由选项 A B C f x = 2 1+ 32 5-x， ， 可得 ÷ ，即 f x = 2 + 2 ，所以
è 2
f 2 = 2 + 25-2 =10，
即二等奖获得的“蓉宝”数为 10，故 D 项正确．
故选：ABD.
三、填空题
12．（2023·海南·模拟预测）新能源汽车是未来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂
引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量 x （辆）与创造
的价值 y （万元）之间满足一次函数关系.已知产量为 0 时，创造的价值也为 0 ；当产量为
40000辆时，创造的价值达到最大，为6000 万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到
5625万元，则它应该生产的新能源汽车数量是 .
【答案】37500
3
【分析】设 y=kx，根据已知条件可求得 k = ，代入 y = 5625即可求得结果.
20
【详解】由题意可设： y=kx，则 40000k = 6000，解得： k
3 y 3= ，\ = x ，
20 20
则当 y = 5625时， x = 37500 ，即应生产的新能源汽车37500辆.
故答案为：37500 .
13．（2024·全国·模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特
定剂量范围内， t （单位，h）内药物在血液中浓度由 p1（单位，mg / mL）降低到 p2（单
0.693 × t
位，mg / mL），则药物的半衰期T = lnp - lnp ．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度1 2
分别为36mg / mL和54mg / mL，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为
T
24mg / mL 1，设药物甲、乙的半衰期分别为T1，T2，则 =T ．2
【答案】2
0.693 × t
T ln36 - ln24
【分析】根据题意代入 1 = 0.693 × t 即可求解.T2
ln54 - ln24
0.693 × t
T1 ln36 - ln24 ln54 - ln24 ln9 - ln4【详解】由题意得， = 0.693 t = = = 2．T ×2 ln36 - ln24 ln3 - ln2
ln54 - ln24
故答案为：2
14．（2023·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为 30 秒，那么，每次绿灯
亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰
等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人
和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明
发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的
车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ．
【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态
下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序
良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）
【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距
不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.
【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的
假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；
故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.
四、解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经
过 2 分钟菌落的覆盖面积为 48 mm2，经过 3 分钟覆盖面积为 64 mm2，后期其蔓延速度越来
越快；菌落的覆盖面积 y（单位：mm2）与经过时间 x（单位：min）的关系现有三个函数模
型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p x ＋q（p＞0）可供选择．（参
考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）
(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式．
(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 300 mm2？（结果保留
到整数）
【答案】(1)应选函数模型 y＝kax（k＞0，a＞1），y＝27×（ ）x（x≥0）
(2)9 min
【详解】解：（1）因为 y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，
y＝logbx（b＞1）和 y＝p ＋q（p＞0）的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型 y＝kax（k＞0，a＞1）.
由题意得 解得
所以该函数模型为 y＝27×（ ）x（x≥0）.
（2）由题意得 27×（ ）x＞300，即（ ）x＞ ，所以 x＞log .
又 log ＝ ＝ ≈ ≈8.368，
所以至少经过 9 min 培养基中菌落的覆盖面积能超过 300 mm2.
16．（2024 高三·全国·专题练习）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”
S F= 0
V ，其中F0 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0 为建筑物的体积（单位：0
立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R ，高度为 H ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，
试求该建筑体的“体形系数” S ；（结果用含 R 、 H 的代数式表示）
2
(2) L定义建筑物的“形状因子”为 f = ，其中A 为建筑物底面面积， L为建筑物底面周长，又
A
定义T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 n
f × n 1
为某宿舍楼的层数，层高为 3 米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 S = + ．当
T 3n
f = 18，T = 10000时，试求当该宿舍楼的层数 n为多少时，“体形系数” S 最小．
2H + R
【答案】(1) S = HR
(2) n = 6
F0
【分析】（1）根据圆柱体的表面积和体积公式及 S = V 求出答案；0
（2 S 3 2n 1）表达出 = + ， n N* ，构造函数，求导得到其单调性，进而得到 S 的最小值在
100 3n
n = 6或 7 取得，代入比较后得到结论.
【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：F0 = 2πRH + πR
2 V 2， 0 = πR H ，
S F= 0 πR(2H + R) 2H + R所以 = =V0 πR
2H HR ；
2 S 18n 1 3 2n 1（ ）由题意可得 = + = + ， * ，
10000 3n 100 3n n N
g x 3 2x 1令 = + ， x 1，
100 3x
3
2
所以 g x 3 2 1 9 2x - 200= - = ，
200 x 3x2 600x2
令 S = 0 x 20000，解得 = 3 6.27 ，
81
所以 g x 在 1,6.27 单调递减，在 6.27,+ 单调递增，
所以 S 的最小值在 n = 6或 7 取得，
当 n = 6 3 2 6 1时， S = + 0.31，
100 3 6
n = 7 3 2 7 1当 时， S = + 0.16 ，
100 3 7
所以在 n = 6时，该建筑体 S 最小．
17．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池
两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知
E2
在一定条件下，入射光功率密度 r = （E 为入射光能量且E > 0, S 为入射光入射有效面
S
积），电池板转换效率h(0 h 100%) 与入射光功率密度 r 成反比，且比例系数为 k．
(1)若 k = 2, S =1.5平方米，求蓄电池电能储存量 Q 与 E 的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量 I = Q + E-1 ，
锂离子蓄电池的放电量 I = Q + E-1 ．设 S 1, k >1，给定不同的 Q，请分析并讨论为了使
得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量Q =h × E ；
②当 S，k，Q 一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
3
【答案】(1) Q =
E
(2)答案见解析
【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得；
（2）用 S，k，Q 表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.
Q h E k kS kS【详解】（1） = × = × E =r E2
× E =
E ，
若 k = 2, S =1.5
2 1.5 3
平方米，则Q = = ；
E E
kS kS
（2）由Q = ，即E = Q ，E
-1 Q
铅酸蓄电池的放电量为： I1 = Q + E = Q + ，kS
Q
锂离子蓄电池的放电量为： I -12 = Q + E = Q + ，kS
Q Q Q 1+ kS Q kS + kS
则 I1 - I

2 = Q + - Q + ÷÷ = -kS è kS kS kS
Q × é Q 1+ kS - kS + kS ù= ，
kS
2 2 2
令 Q 1+ kS - kS + kS = 0 Q kS + kS k S + 2kS kS + kS，可得 = ÷÷ = 2 2 ，
è 1+ kS k S + 2kS +1
2 2
即Q
k S + 2kS kS + kS
2 ,+ k S 2 + 2kS +1 ÷÷
时， I1 > I2 ，此时应选择铅酸蓄电池，
è
k 2 2Q 0, S + 2kS kS + kS

当 2 2 ÷÷ 时， I1 < I2 ，此时应选择锂离子蓄电池，
è k S + 2kS +1
k 2S 2Q + 2kS kS + kS当 = 时， I1 = I2 ，两种电池都可以.
k 2S 2 + 2kS +1
18．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为
Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值 K，按规定须将该指标大于 K 的产品应用
于 A 型手机，小于或等于 K 的产品应用于 B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界
值 K 的芯片错误应用于 A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失 800 元；若将Ⅱ级品中该
指标大于临界值 K 的芯片错误应用于 B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失 400 元；假
设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)设临界值K = 70时，将 2 个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于 A 型手机，求芯片
生产商的损失x （单位：元）的分布列及期望；
(2)设K = x且 x 50,55 ，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于 A 型手机、B 型
手机各 1 万部的生产：
方案一：将芯片不作该指标检测，Ⅰ级品直接应用于 A 型手机，Ⅱ级品直接应用于 B 型手
机；
方案二：重新检测该芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避
免方案一的损失费用，但检测费用共需要 130 万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值 f x （单位：万元）的表达式，并从芯片
生产商的成本考虑，选择合理的方案．
【答案】(1)分布列见解析，E x = 480
(2) f x = 576 -8x ， x 50,55 ，方案二
【分析】（1）首先求出Ⅰ级品中该指标小于或等于70 的频率，依题意x 的可能取值为 0 ，800，
1600，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）首先求出Ⅰ级品该指标小于或等于临界值K 的频率，Ⅱ级品中该指标大于或等于临界
值 K 的频率，即可求出损失费用的估计值 f x 的解析式，再求出值域，即可判断.
【详解】（1）当临界值K = 70时，Ⅰ级品中该指标小于或等于70 的频率为
0.002 + 0.005 + 0.023 10 = 0.3，
所以将 2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A 型手机，每部手机损失800元的概率
3
为 ，
10
所以芯片生产商的损失x 的可能取值为 0 ，800，1600，
0 2 1 1
所以P x = 0 = C0 3 7 49 1 3 7 422 10 ÷ 10 ÷ = ，P x = 800 = C 100 2 ÷ ÷ = ，è è è10 è10 100
2 0
P x =1600 3 7= C2 92 ÷ ÷ = ，
è10 è10 100
所以x 的分布列为：
x 0 800 1600
49 42 9
P 100 100 100
E x 0 49所以 = + 800 42 +1600 9 = 480 .
100 100 100
（2）当临界值K = x且 x 50,55 时，
若采用方案一：
Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的频率为0.002 10 + 0.005 x - 50 = 0.005x - 0.23，
所以可以估计10000部A 型手机中有10000 0.005x - 0.23 = 50x - 2300部手机芯片应用错误；
Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K 的频率为0.01 10 + 0.03 60 - x = -0.03x +1.9，
所以可以估计10000部 B 型手机中有10000 -0.03x +1.9 =19000 - 300x部手机芯片应用错误；
所以可以估计芯片生产商的损失费用
f x = 0.08 50x - 2300 + 0.04 19000 - 300x = 576 -8x ，
即 f x = 576 -8x ， x 50,55 ，
因为 x 50,55 ，所以 f x 136,176 ，
又采用方案二需要检测费用共130万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.
19．（2024 高三·全国·专题练习）将连续正整数 1，2，L， n(n N* ) 从小到大排列构成一个
数123Ln， F (n)为这个数的位数 ( 如当 n =12 时，此数为 123456789101112，共有 15 个数
字，F (12) =15)，现从这个数中随机取一个数字， p(n)为恰好取到 0 的概率.
(1)求 p(100).
(2)当 n 2021时，求 F (n)的表达式.
(3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数， f (n)为这个数中数字 9 的个数， h(n) = f (n) - g(n)，
S = n | h(n) =1,n 100,n N* ，求当 n S 时 p(n)的最大值.
11
【答案】(1)
192
ìn,1 n 9
2n - 9,10 n 99
(2) F (n) =

í
3n -108,100 n 999
4n -1107,1000 n 2021
1
(3)
19
【分析】（1）计算F 100 = 9 + 90 2 + 3 =192，数字 0 的个数为 11，得到概率.
（2）考虑1≤ n≤9，10 n 99，100 n 999，1000 n 2023四种情况，依次计算得到
答案.
（3）考虑 n = b 1< b 9,b N* 时，当 n =10k + b 1 k 9,0 b 9, k N*,b N* 时，当
n =100 时三种情况，得到 g n 和 f n 的解析式，得到 S = 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90 ，
再计算概率的最值得到答案.
【详解】（1）当 n =100 时，F 100 = 9 + 90 2 + 3 =192，
即这个数中共有192个数字，其中数字 0 的个数为11，
11
则恰好取到 0 的概率为 p 100 = ；
192
（2）当1≤ n≤9时，这个数有1位数组成，F n = n ；
当10 n 99时，这个数有9个一位数组成， n - 9个两位数组成，则F n = 2n - 9；
当100 n 999时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成， n - 99个三位数组成，
F n = 3n -108；
当1000 n 2021时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成
n - 999个四位数组成，F n = 4n -1107；
ìn,1 n 9

2n - 9,10 n 99
综上所述：F (n) = í
3n 108,100 n
，
- 999
4n -1107,1000 n 2021
（3）当 n = b 1< b 9,b N* 时， g n = 0，
当 n =10k + b 1 k 9,0 b 9, k N*,b N* 时， g n = k ；
当 n =100 时， g n =11，
ì 0,1 n 9
即 g n = * *ík, n =10k + b,1 k 9,0 b 9,k N ,b N ，

11, n =100
ì 0,1 n 8

k, n =10k + b -1,1 k 8,0 b 9, k N
*,b N*
同理有 f n = í
n -80,89 n 98
，

20, n = 99,100
由 h n = f n - g n =1，可知 n = 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90，
所以当 n 100时， S = 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90 ，
当n = 9 时， p 9 = 0 ，
9 1
当 n = 90 时， p 90 = = ，
171 19
* g np n k k当 n =10k + 9 1 k 8,k N 时， = = =F n 2n - 9 20k 9 ，+
y k 1 9 1由 = = - 关于 k 单调递增，
20k + 9 20 20 20k + 9
故当 n =10k + 9 1 k 8,k N* 8时，有 p n 的最大值为 p 89 = ，
169
8 1
又 < ，
169 19
1
所以当 n S 时， p n 的最大值为 ．
19
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，
转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·浙江·二模）绍兴某乡村要修建一条 100 米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为
120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米 100 元，为了提高水渠的
过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金 3 万元，当过水横断面面积最大时，水
果的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据： 3 1.732）
A．0.58 米 B．0.87 米 C．1.17 米 D．1.73 米
【答案】B
【分析】如图设横截面为等腰梯形 ABCD，BE ^ CD于E ，求出资金 3 万元都用完时
AB + BC + AD ，设BC = x，再根据梯形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图设横截面为等腰梯形 ABCD，BE ^ CD于E ， BAD = ABC =120°，
要使水横断面面积最大，则此时资金 3 万元都用完，
则100 AB + BC + AD 100 = 30000，解得 AB + BC + AD = 3米，
BC = x AB 3 2x, BE 3 x,CE 1
3
设 ，则 = - = = x，故CD = 3- x，且0 < x < ，
2 2 2
3
ABCD 3- 2x + 3 - x x梯形 的面积 S 2 3 3= = -x2 + 2x ，
2 4
当 x =1 S 3 3时， max = ，4
3
此时BE = 0.87 ，
2
即当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为 0.87 米.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫
星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期T 与轨道半径 R 之间关系为T 2 = K × R3（K
为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的 8 倍，且甲
的运行轨道半径为 a km， A, B分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则 A, B之间距
离的最大值为（ ）
5
A 17． a km B． a km
4 4
3
C． a km D．5a km
2
【答案】B
【分析】根据题设条件得到 r
a
= ，再根据图形，利用 AB a + r ，当且仅当三点共线时取等
4
号即可求出结果.
2
T a 3
【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为 rkm 甲 = ，因为 ÷ ÷ ，且T甲 = 8T乙 ，所以
è T乙 è r
r a= ，
4
5
设地球的球心为O，则 AB a + r = a ，当且仅当 A, B与O共线且位于O两侧时取得等号，
4
故选：B．
3．（2024·全国·模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在
0.693
特定剂量范围内，药物的半衰期T = ，其中K 是药物的消除速度常数，不同药物的消
K
除速度常数一般不同，若 th内药物在血液中浓度由 c0ug%降低到 c1ug% ，则该药物的消除速
K lnc0 - lnc度常数 = 1 ．已知某药物半衰期为3h ，首次服用后血药浓度为 45ug%，当血药浓
t
度衰减到 20ug%时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为
ln2 0.7, ln3 1.1 （ ）
A．3.3h B．3.5h C． 4.6h D．6.9h
【答案】B
【分析】由题意结合对数运算即可得.
K 0.693 lnc0 - lnc lnc - lnc ×T【详解】因为 = = 1 ，所以 t = 0 1 ，
T t 0.693
由题意，得T = 3,c0 = 45,c1 = 20，
ln45 - ln20t 3 2 ln3- ln2 2 1.1- 0.7 所以 = = 3.5．
0.693 0.231 0.231
故选：B.
4．（23-24 高三上·湖北·阶段练习）已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是
q1℃
-kt
，空气的温度是q0℃，则 tmin 后物体的温度q℃满足公式q = q0 + q1 -q0 e （其中 k 是
一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在
20℃空气中，冷却 2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）
A． k = ln2
B． k = 2ln2
C．牛奶的温度降至35℃还需 4min
D．牛奶的温度降至35℃还需 2min
【答案】D
【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可.
【详解】由q = q0 + q1 -q0 e-kt ，得50 = 20 + 80 - 20 e-2k ，
1
= e-2k即 ，故 k
1
= ln 2 ，A、B 错误；
2 2
1
又由35 = 20 + (80 - 20)e-kt ， k = ln 2 ，得 t = 4，
2
故牛奶的温度从80℃降至35℃需 4min ，
从50℃降至35℃还需 4 - 2 = 2min .
故选：D
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位
ì
x t X
b
=
0
cosh abt - Y sinh abta 0
数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型： í ，其中正实

y t = Y0cosh abt
a
- X 0sinh abtb
数 X 0 ，Y0 分别为红、蓝两方的初始兵力， t 为战斗时间； x t ， y t 分别为红、蓝两方 t 时
ex + e- x
刻的兵力；正实数 a，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数； coshx =
2
sinhx e
x - e- x
和 = 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力
2
为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．则下列结论不正
确的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，则 x t > y t 0 t T
X 1 X 0 +YB 0．若 0 > Y0 且 a = b，则T = lna X 0 -Y0
X b
C 0．若 >Y a ，则红方获得战斗演习胜利0
X
D．若 0
b
> ，则红方获得战斗演习胜利
Y0 a
【答案】C
【分析】对于 A 根据已知条件利用作差法比较大小即可得出 x t - y t = eat X 0 -Y0 > 0，
eat + e-at eat - e-at
对于 B，利用 A 中结论可得蓝方兵力先为 0，即 Y0 - X 0 = 0解得T ；对于 C2 2
和 D，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为 0 时所用时间 t1 、 t2 ，比较
大小即可.
ìx t = X 0 cosh at -Y0 sinh at
【详解】对于 A，若 X 0 > Y0 且 a = b，则 í ，
y t = Y0 cosh at - X 0 sinh at
ì at -at at -at
x t
e + e e - e
= X - Y
2 0 2 0
即 í x t - y t = eat X -Y
eat + e-at eat at
，所以 - 0 0 ，

y t
- e
= Y - X
2 0 2 0
由 X 0 > Y0 可得 x t - y t = eat X 0 -Y0 > 0，即 A 正确；
对于 B，当 a = b时根据 A 中的结论可知 x t > y t ，所以蓝方兵力先为 0 ，
at -at at -at
即 y t e + e e - e= Y at -at0 - X 0 = 0，化简可得 e X 0 -Y0 = e X +Y ，2 2 0 0
e2at X 0 +Y0 即 = ，两边同时取对数可得 2at = ln
X 0 +Y0
X -Y X -Y ÷
，
0 0 è 0 0
t 1

ln X 0 +Y= 0
1 ln X 0 +Y0 1 X +Y即 ÷ = 0 0，所以战斗持续时长为T = ln ，所以 B 正确；2a è X 0 -Y0 a X 0 -Y0 a X 0 -Y0
对于 C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为 0 时所用时间为 t1 ，蓝方兵力为 0 时所用时间为 t2 ，
X b0 +Y0
即 x t1 = X 0 cosh abt b1 - Y0 sinh abt1 = 0 e2 abt，可得 1 = a >0a Y b0 - Xa 0
Y a b a0 + X 0 X 0 +Y0 Y0 + X 0 2
e2 abt b同理可得 2 = >0 a > b
X 0 b
，即 ，解得 > ，
a b Y 2 aX 0 -Y0 Y0 - X X
a
-Y 0
b a 0 0 b 0
X ,Y , a,b X b又因为 0 0 都为正实数，所以可得 0 > ，红方获得战斗演习胜利；Y0 a
所以可得 C 错误，D 正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题给的信息比较多，关键是理解题意，然后利用相应的知识（作差
法、指数函数的性质）进行判断.
二、多选题
6．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收
到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常
1
用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为T = ，如表为不
10A
同玻璃材料的透光率：
玻璃材料 材料 1 材料 2 材料 3
T 0.6 0.7 0.8
设材料 1 材料 2 材料 3 的吸光度分别为 A1 A2 A3 ，则（ ）
A． A1 > 2A2 B． A2 + A3 > A1
C 2． A1 + A3 > 2A2 D． A1A3 < A2
【答案】BCD
【分析】由对数式与指数式的互化，得 A = - lgT ，由 A1,A2 ,A3的值，结合对数式的运算规则
和对数函数的单调性，判断选项中的不等式是否成立.
1
【详解】由T = A ，得 A = - lgT ，则 A1 = - lg 0.6， A10 2
= - lg 0.7， A3 = - lg 0.8，
2A2 = -2lg 0.7 = - lg 0.49， lg 0.6 > lg 0.49 ，- lg 0.6 < - lg 0.49，即 A1 < 2A2 ，A 选项错误；
A2 + A3 = - lg 0.7 - lg 0.8 = - lg 0.56 > - lg 0.6 = A1 ，B 选项正确；
A1 + A3 = - lg 0.6 - lg 0.8= - lg 0.48 > - lg 0.49 = -2lg 0.7 = 2A2，C 选项正确；
A1A3 = - lg 0.6 - lg 0.8 = lg 0.6 × lg 0.8， A22 = - lg 0.7
2 = lg 0.7 2，
A A lg 0.6 × lg 0.8 2 21 3 = = log 0.6 A2 lg 0.7
lg 0.7 × lg 0.8 lg 0.7 × lg 0.8 0.7 ， = = log 0.7lg 0.7 × lg 0.8 lg 0.7 × lg 0.8 0.8
1 1

log 0.6 3 log 0.6 log 0.6
2 2 0.36 2
0.7 - = 0.7 3 = 0.7 3 ÷ = log0.7 ÷ < log2 0.7 0.343 0.7
1 = 0，
0.72 è è
1 1
log 0.7 3 log 0.7
2 2
log 0.7 0.49
2
0.8 - =2 0.8 3
= 0.8 3 ÷ = log0.8 0.8 ÷
> log0.8 1 = 0，
0.82 è è 0.512
A A A2
所以 log 1 3 20.7 0.6 < log0.8 0.7 ，则有 < ，lg 0.7 × lg 0.8 lg 0.7 × lg 0.8
又 lg 0.7 × lg 0.8 > 0 A 2，则 1A3 < A2 ，D 选项正确；
故选：BCD
7．（22-23 高三上·重庆万州·阶段练习）某摩天轮共有 32 个乘坐舱，按旋转顺序依次为 1~33
号（因忌讳，没有 13 号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘
客在乘坐舱距离底面最近时进入，在 t min 后距离地面的高度
f t = Asin wt +j + B A > 0,w > 0,j 0,2π ，已知该摩天轮的旋转半径为 60m，最高点
距地面 135m，旋转一周大约 30min，现有甲乘客乘坐 11 号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮 15min
时，乙距离地面的高度为 75 + 30 2 m，则乙所乘坐的舱号为（ ）
A．6 B．7 C．15 D．16
【答案】BD
π ìA = 60
【分析】先由最小正周期求出w = 15 ，进而由最高点和最低点与地面的距离求出 í B 75
，
=
3π
由甲乘坐摩天轮 15min 时，距底面为最大高度，求出j = ，得到解析式，令
2
f t 75 30 2 t 45 750 = + 求出 0 = min 或 min，求出每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间4 4
45 75
间隔，分别求出 t0 = min 和 min 时，甲乙相差的乘坐舱个数，得到答案.4 4
2π 2π π
【详解】由题意得：T = 30 min，故w = = = ，
T 30 15
摩天轮最低点距底面135 - 60 2 =15m，
ìA + B =135 ìA = 60
故 í
-A + B =15
，解得： íB 75， =
f t 60sin π故 = t +j

15 ÷
+ 75，
è
由于T = 30 min，故甲乘坐摩天轮 15min 时，距地面为最大高度，
即 f 15 = 60sin π 15 +j

÷ + 75 =135，
è15
故 sin π +j =1，
因为j 0,2π ，所以 π +j π,3π π 5π，故 +j = ，
2
3π
解得：j = ，
2
故 f t = 60sin π t
3π
+
15 2 ÷
+ 75，
è
令 f t π 3π 0 = 60sin t0 + ÷ + 75 = 75 + 30 2 ，其中 t15 2 0 0,30 ，è
sin π t 3π 2解得： 15 0
+ = ，
è 2 ÷ 2
π t 3π π令 + = + 2kπ， k Z
75
，解得： t = - + 30k ， k Z，
15 0 2 4 0 4
75
因为 t0 0,30 ，所以- + 30k 0,30 ，解得： k =1，4
此时 t
45
0 = 4
π t 3π 3π令 0 + = + 2kπ， k Z
45
，解得： t0 = - + 30k ， k Z，15 2 4 4
45
因为 t0 0,30 ，所以- + 30k 0,30 ，解得： k =1，4
t 75此时 0 = 4
综上： t
45 75
0 = min 或 min，4 4
π
每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为 ，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的
16
π
16 15
时间间隔为 π = min，16
15
15
当 t
45 45 15
0 = min 时，乙比甲晚出发15 - = min，甲乙相差
4
15 = 4个乘坐舱，4 4 4
16
由于没有 13 号乘坐舱，故乙在 16 号乘坐舱，
15
t 75 75 15当 0 = min 时，乙比甲早出发 -15 = min，甲乙相差
4
4 4 4 15
= 4个乘坐舱，
16
故乙在 7 号乘坐舱.
故选：BD
三、填空题
8．（2023 高三上·全国·专题练习）考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家
通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为
4200 年（即：每经过 4200 年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始
2a
存量为 a，经检测古生物中该元素现在的存量为 ，请推算古生物距今大约 年（参考
5
数据：lg2≈0.3）.
【答案】5600
【分析】根据给定条件，求出元素的存量 y 与时间 x（年）的关系式，列出方程并结合对数
运算即得结果.
1
4200
【详解】由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的 1 2 ÷
，
è
x
4200
因此该元素的存量 y 与时间 x（年）的关系式为 y = a· 1 ÷ ，x≥0，
è 2
x x lg 4
由 a· 1
4200 2= a ，得 1 4200
2 4 x 4 1- 2lg 2
÷ ÷ = = ，则 =
log = 10 = ，
è 2 5 è 2 5 10 4200
1
2 10 lg 1 lg 2
2
解得 x
4200 1- 2lg 2= ≈5600，
lg 2
所以该古生物距今大约 5600 年.
故答案为：5600
9．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为 8
块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单
株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
【答案】5
【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此
确定其最大值及取最大值的条件即可.
【详解】设区域代号为 x ，种植密度为 y1 ，单株产量为 y2，则 x 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
由图象可得种植密度 y1 是区域代号 x 的一次函数，
故设 y1 = kx + b， x 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
由已知函数 y1 = kx + b的图象经过点 1,2.4 , 8,4.5 ，
ì2.4 = k + b ìk = 0.3
所以 í
4.5 = 8k b
，解得
+ í b
，
= 2.1
所以 y1 = 0.3x + 2.1，
由图象可得单株产量 y2是区域代号 x 的一次函数，
故可设 y2 = mx + n， x 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
观察图象可得当 x =1时， y2 =1.28，当 x = 8时， y2 = 0.72，
ì1.28 = m + n ìm = -0.08
所以 í
0.72 = 8m n
，解得
+ í n
，
=1.36
所以 y2 = -0.08x +1.36，
所以总产量m x = 0.3x + 2.1 -0.08x +1.36 = -0.024 x2 -10x -119
当 x = 5时，函数m x 有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456 .
故答案为：5.
四、解答题
10．（2024 高三·全国·专题练习）随着神舟十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发
关注，航天周边产品销量也逐渐提高．某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个 B
款火箭模型比一个 A 款贵 15 元，用 1 600 元购入的 A 款火箭模型与 2 200 元购入的 B 款火
箭模型数量相同．
(1)这两款火箭模型的进货单价各是多少元？
(2)已知商场准备购进这两款火箭模型共 100 个，后将这批火箭模型以 A 款每个 70 元，B 款
每个 90 元的价格出售．求可获得的总利润 y(元)与其中 A 款火箭模型的数量 x(个)之间的关
系式．
【答案】(1)A 款火箭模型的进价为 40 元，B 款火箭模型的进价为 55 元
(2) y = 3500- 5x 0 x 100
【详解】（1）设一个 A 款火箭模型的进价为 x 元，
则一个 B 款火箭模型的进价为(x＋15)元，
则有 ＝ ，解得 x＝40，经检验，x＝40 是原方程的解，
所以 A 款火箭模型的进价为 40 元，B 款火箭模型的进价为 55 元．
（2）因为 A 款火箭模型的数量为 x 个，
则 B 款火箭模型的数量为(100－x)个，
所以 y＝(70－40)x＋(90－55)(100－x)＝3 500－5x(0≤x≤100).
11．（2024·山东·模拟预测）如图①，将 n个完全一样质量均匀长为 L的长方体条状积木，
一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里
拉斜塔问题”．
解决方案如下：如图②，若 n =1，则当积木与桌缘垂直且积木重心O1恰与桌缘齐平时，其
L
伸出桌外部分最长为 ，如图③，若 n = 2，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长
2
棱与桌缘垂直的同时，可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后
设最下方积木伸出桌外的长度为 x ，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆
平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力G 乘以力臂 x ，等于最下方积木
L
G - x Gx = G
L
- x L的重力 乘以力臂 2 ÷，得出方程 ÷ ，求出
x = ．所以当叠放两个积木时，
è è 2 4
L L 3L
伸出桌外最远为 + = ，此时将两个积木看成整体，其重心O2 恰与桌缘齐平．如图4 2 4
④，使前两块积木的中心O2 与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出 n = 3时
积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出 4 个、5 个直至 n个积木堆叠伸出桌外的最远
距离．（参考数据：50 < e4 < 55， e为自然常数）
(1)分别求出 n = 3和 n = 4时，积木伸出桌外的最远距离．（用 L表示）；
(2)证明：当 n = 64时，积木伸出桌外最远超过 2L；
15L
(3)证明：当 n = 352时，积木伸出桌外最远不超过 ．
4
11 25
【答案】(1)当 n = 3时，最远距离为 L，当 n = 4时，最远距离为 L
12 24
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）将前 n -1个看成一个整体，结合题意列式计算即可得；
L
（2）将前 n -1个看成一个整体，设第 n个积木伸出桌外的长度为 xn，可得 xn = ，即有当2n
L 1 1 1
n = 64时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为 1+ + +L+ ÷，构造函数2 è 2 3 64
f x = x - ln x 1 n +1+1 ，结合导数研究函数单调性可得 > ln
n
，即可得
è n ÷
1 1 L 1+ + + > ln n +1 ，将 n = 64代入即可得证；
2 n
（3）构造函数 g x = ln x +1 x n +1 1- ，结合导数研究函数单调性可得 ln ÷ >x +1 è n n +1，故有
1 1 L 1+ + + < ln n，将 n = 352代入即可得证.
2 3 n
2Gx G L L L L L 11【详解】（1）当 n = 3时，有 = - x2 ÷，则
x = ， + + = L，
è 6 2 4 6 12
n 4 3Gx = G
L
- x x L 11 L+ L 25当 = 时，有 ÷，则 = ，故 = L ，
è 2 8 12 8 24
11
故当 n = 3时，积木伸出桌外的最远距离为 L，
12
25
当 n = 4时，积木伸出桌外的最远距离为 L，
24
（2）当 n个积木堆叠伸出桌外时，前 n -1个看成一个整体，
L L
设第 n个积木伸出桌外的长度为 xn，则有 n -1 xnG = G - xn ÷，解得 x = ，
è 2 n 2n
故当 n = 64时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为：
L L L L L+ + + = 1 1 1 1+ + +L+

2 4 2 64 2 2 3 64 ÷
，
è
令 f x = x - ln x +1 x > 0 f x 1 1 x，则 = - = > 0，
x +1 x +1
故 f x 在 0, + 上单调递增，故 f x > f 0 = 0，
1 1 1x = - ln +1
1 n +1
令 ，则有 ÷ > 0，即 > ln

n n n n n ÷
，
è è
故1
1 1 2
+ +L+ > ln + ln 3 L ln n +1+ + = ln 2 3 n L = ln n +1 ，
2 n 1 2 n è 1 2 n -1÷
1 1 1即 + + +L
1
+ > ln 65，又 4 ，故
2 3 64 50 < e < 55 ln 65 > ln e
4 = 4，
L 1 1 1 1 L故 + + +L+ > 4 = 2L ，
2 è 2 3 64 ÷ 2
即当 n = 64时，积木伸出桌外最远超过 2L；
（3）由（2）知，当 n = 352时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为：
L L L L L 1 1 1 1+ + + = + + +L+ ，
2 4 2 352 2 ֏ 2 3 352
令 g x = ln x x+1 - x > 0 ，
x +1
g x 1 x +1- x x则 = - = > 0x +1 x +1 2 x +1 2 ，
故 g x 在 0, + 上单调递增，故 g x > g 0 = 0，
即有 ln x 1 x+ > 在 0, + 上恒成立，
x +1
1
x 1
n +1 1
令 =
n
，则有 ln > = ，
n n ֏ 1 +1 n +1
n
ln 2 3故 + ln +L
n
+ ln 1 1 1> + +L+ ，
1 2 n -1֏ 2 3 n
1 1 1 1 1 1
即 + +L+ < ln n，则1+ + +L+ <1+ ln 352，
2 3 n 2 3 352
15L
要证当 n = 352时，积木伸出桌外最远不超过 ，
4
L 15L
只需证 1+ ln 352 ， 即证 ln 352 6.5，
2 4
4 ln 352 4 ln 352由50 < e < 55，故 - < = ln 7.04，50
即只需证 ln 7.04 2.5，由7.042 = 49.5616 < 50 < e4 ，
故 ln 7.04 < 2，即得证.
【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一个是由题意得到第 n个积木伸出桌外的长度为
x n -1 xnG = G
L L
- xn ÷ xn =
n时，有 è 2 ，可得 2n ，即可得 n个积木堆叠伸出桌外的最远距离
L n 12 k f x = x - ln x +1为 =1 k 2 3 ，第二个是证明（ ）、（ ）问时，构造对应函数 及
g x = ln x 1 x 1 1+ - + +L 1+ > ln n +1
x +1， 通 过 研 究 函 数 单 调 性 ， 得 到 2 n 及
1 1
+ +L 1+ < ln n
2 3 n .考点 15 函数模型的应用（3 种核心题型+基础保分练+综合提
升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义
3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用
【知识点】
1．三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
性质
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表现 随 x 的增大逐渐表现为 随 n 值的变化而各有
图象的变化
为与 平行 与 平行 不同
2．常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数，k≠0)
x
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
【核心题型】
题型一　用函数图象刻画变化过程
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函
数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是
否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【例题 1】（2023·山西朔州·模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开
发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数 x 与每平米平均建
筑成本 y （单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用 y 和楼层数 x 的回归方程类型
的是（ ）
A． y = a + bx B． y = a + bex
b
C． y = a + D． y = a + bx2
x
【变式 1】（2023·江西南昌·二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行
全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25
毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度 y（毫克/
ì 0.1t,0 t 10
t
立方米）与时间 t（分钟）之间的函数关系为 y = í 1
-a
10 ，函数的图像如图所示．如
÷ , t >10
è 2
果早上 7：30 就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
【变式 2】（2023·四川南充·三模）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度
介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用 1 单位后，体内血药
浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应 t 时），则下列说法中不正确的是（ ）
A．首次服药 1 单位后 30 分钟时，药物已经在发挥疗效
B．若每次服药 1 单位，首次服药 1 小时药物浓度达到峰值
C．若首次服药 1 单位，3 小时后再次服药 1 单位，一定不会发生药物中毒
D．每间隔 5.5 小时服用该药物 1 单位，可使药物持续发挥治疗作用
【变式 3】（23-24 高三下·江苏镇江·开学考试）函数 f (x)
ax + b
=
(x c)2 的图象如图所示，则+
（ ）
A． a < 0,b < 0,c > 0 B． a > 0,b < 0,c > 0
C． a > 0,b > 0,c < 0 D． a > 0,b < 0,c < 0
题型二　已知函数模型的实际问题
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【例题 1】．（2024 高三·全国·专题练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水
的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可
以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是T0℃，经过一定时间 tmin 后的温度 T(单位：℃)可
由公式T = Ta + T0 -Ta ×e-kt 求得，其中Ta 表示室温，k 是一个随着物体与空气的接触状况而
定的正常数．现有一杯85℃的绿茶放在室温为 25℃的房间中，如果茶温降到 45℃需要
10min ，那么在 25℃室温下，用85℃的开水泡制，刚泡好的茶水要达到最佳饮用口感，大约
需要放置（ ）(参考数据： ln2 0.693, ln 3 1.099 )
A． 4min B．6min C．7min D．9min
【变式 1】（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展
和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系．
y = eax+b (a，b．为常数)，若该果蔬在 7℃的保鲜时间为 288 小时，在 21℃ 的保鲜时间为 32
小时，且该果蔬所需物流时间为 4 天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)
最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
【变式 2】（2023·贵州铜仁·模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型
q = q0 + q1 -q0 e-kt （t 为时间，单位：分钟，q0为环境温度，q1为物体初始温度，q 为冷却
后温度），假设一杯开水温度q1 =100℃，环境温度q0 = 20℃，常数 k = 0.2，大约经过
分钟水温降为 30℃（参考数据： ln 2 0.7 ）．
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积 S(单
位：m2 )与时间 t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型
S t ＝kat (t Z,k > 0,a > 0，且 a 1) .已知第一个月该植物的生长面积为1m2，第三个月该植
物的生长面积为 4m2 .
2
(1)求证：若 S t1 ·S t3 = S t2 ，则 t1 + t3 = 2t2 ；
(2)若该植物的生长面积达到 100 m2以上，则至少要经过多少个月？
题型三　构造函数模型的实际问题
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实
际问题中去，得到实际问题的解．
【例题 1】（23-24 高三上·江苏南通·期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的
工艺品．要求将一个边长分别为 10cm 和 20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架
的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
A．20 2cm B．30 5cm C．40 5cm D．60 2cm
【变式 1】（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水
的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为 5 微米的PP
棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各
种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大
颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 2mg/L，则PP棉滤芯
的层数最少为（参考数据： lg 2 0.30， lg3 0.48）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式 2】2023·上海闵行·三模）珠穆朗玛峰高达 8848.86 米，但即使你拥有良好的视力，
你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能
够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，
有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿
直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设
是 ．
【变式 3】（23-24 高三上·福建宁德·期中）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中
产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为 30 吨，最多为 400 吨.
月处理成本 f x （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系近似地表示为
f x 1= x2 - 300x + 64800 .
2
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低 月处理成本最低是多少元
(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 每吨的平均处理成本最
低是多少元
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观
测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于 1618 年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动
第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 a 与公转
2p 3
周期 T 有如下关系：T = ×a 2 ，其中 M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转
GM
周期约为水星的 8 倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
2．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方米）的
计算公式是W = 长 + 4 宽+ 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面
积是 10000 平方米，每平方米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）
是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
3．（2024·上海奉贤·二模）已知函数 y = f x ，其中 y = x2 +1， y = g x ，其中
g x = 4sin x，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
g x
y fy x A． = =f x B． g x
C． y = f x + g x -1 D． y = f x - g x -1
4．（2024·河南新乡·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P
（单位：mg / L）与时间 t -kt（单位：h）之间的关系式为P = P0e ，其中P0 ,k 是正的常数，
若在前5h 消除了20%的污染物，则常数 k 所在的区间为（ ）
1 1 1 1 1
A． , ÷ B． , ÷ C． ,
1 1 1
÷ D． ,
è 30 25 è 25 20 è 20 15 è15 10 ÷
5．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为
l 的图形运动一周，O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，那么点 P
所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量
达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为
64ppm，继续排气 4 分钟后又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y （单
位： ppm）与排气时间 t （单位：分钟）之间满足函数关系 y = aeRt （ a, R为常数， e是自然
对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说
法正确的是（ ）
A． a =128
1
B．R = ln 2
4
C．排气 12 分钟后浓度为16ppm
D．排气 32 分钟后，人可以安全进入车库
elnx x
7．（2023·广东广州·三模）已知函数 f (x) = + 的图象与直线 y = k(k R)有三个
x elnx + x
交点，记三个交点的横坐标分别为 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x3，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数 k ，使得 x1 =1
B． x3 > e
3
C． k 1, ÷
è 2
2
ln x
D． 1
1 ln x2 1 ln x3 1
+ ÷ + + 为定值
è x1 e è x
÷ ÷
2 e è x3 e
三、填空题
8．（22-23 高三下·上海闵行·阶段练习）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②
实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺
序 ．
9．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车 2023 年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量 t（单） 7831 8225 8338
油费 s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程 k（公里） 15 15 15
平均每公里油费 a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车没有载客行驶的里程
出租车空驶率= ；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空
出租车行驶的总里程
驶率的模型u = f s, t,k,a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x% ，则
x =
（精确到 0.01）
四、解答题
10．（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂 2024 年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 x
（万元）与年收益 y （万元）的 8 组数据：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
(1)用 y = blnx + a模拟生产食品淀粉年收益 y 与年投入资金 x 的关系，求出回归方程；
(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益
为投入的10% ．2024 年该企业计划投入 200 万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大
值．（精确到 0.1 万元）
n
viui - nv ×u
附：①回归直线u = b v + a i=1中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b = n ，
v2 2i - nv
i=1
a = u - b ×v
②
8 8 8 i=1 8
yi lnx x2i i lnx 2i yilnxi
i=1 i=1 i=1 8 i=1
161 29 20400 109 603
③ ln2 0.7,ln5 1.6
11．（2024·江西上饶·一模）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自
然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险
一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险．经验表明商业险保费
（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司
对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用．（假设每年出险次数 2 次及以上按
2 次计算）
出险情况 商业险折扣 若基准保费 3000 元时对应保费
三年内 6 赔 1.8 5400
三-年内 5 赔 1.5 4500
三年内 4 赔 1.2 3600
三年内 3 赔 1 3000
三年内 2 赔 0.8 2400
三年内 1 赔 0.7 2100
三年内 0 赔 0.6 1800
(1)汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为 3000 元，且过去 8 年都
没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为 1000 元，理赔人员
根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假
设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）
(2)张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概
率为 0.8，出一次险的概率为 0.1，出两次险的概率为 0.1（两次及以上按两次算）．张先生近
期买了一辆新车，商业险基准保费为 3000 元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年
时的商业险保费分布列及期望．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·河南郑州·模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根
据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量 q（单位：L/min）计算公式
S ×W
为 q = K 10P 和保护对象的水雾喷头数量 N 计算公式为 N = q 计算确定，其中 P 为水雾
喷头的工作压力（单位：MPa），K 为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S 为
保护对象的保护面积，W 为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min ×m2 ）．水雾喷头的布置
应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾
喷头的工作压力 P 为 0.35MPa，水雾喷头的流量系数 K 为 24.96，保护对象的保护面积 S 为
14m2 ，保护对象的设计喷雾强度 W 为 20L/min × m2 时，保护对象的水雾喷头的数量 N 约为
（参考数据： 3.5 1.87）（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）设某批产品的产量为 x （单位：万件），总成本
c x = 100 +13x 800（单位：万元），销售单价 p x = - 3（单位：元/件）．若该批产品全
x + 2
部售出，则总利润（总利润=销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）
A．7 万件 B．8 万件 C．9 万件 D．10 万件
3．（2024·北京丰台·一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和 B 系列，其中A 系列
以 A0， A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：
① A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1: 2 ；
②将 Ai （ i = 0,1,L,9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为 A i +1 规格纸张（如
图）．
某班级进行社会实践活动汇报，要用 A0规格纸张裁剪其他规格纸张．共需 A4规格纸张 40
张， A2规格纸张 10 张， A1规格纸张 5 张．为满足上述要求，至少提供 A0规格纸张的张数
为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的
废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为
2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 2.21g/m3，第 n 次改良工艺后
r r = r + (r - r ) ×30.25n+t排放的废水中含有的污染物数量 n 满足函数模型 n 0 1 0 （ t R ， n N* ），其
中 r0 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， r1为首次改良工艺后排放的废水中含
有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m3 时符
合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参
考数据： lg 2 0.30， lg3 0.48）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出 18 年，我国城乡深
化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为 v 立方米，每天的进
出水量为 k 立方米，已知污染源以每天 r 个单位污染河水，某一时段 t（单位：天）河水污
k
染质量指数m
- t
t （每立方米河水所含的污染物）满足m t r= + m r v0 - ÷e （m0 为初始质k è k
量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的 50 倍.若从现在开始停止污染源，要使河
1
水的污染水平下降到初始时的 ，需要的时间大约是（参考数据： ln5 1.61， ln6 1.79）
6
（ ）
A．1 个月 B．3 个月 C．半年 D．1 年
6．（2024·北京西城·一模）德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规
律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 y 随时间 t （小时）变化的
趋势可由函数 y =1- 0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：
lg2 0.30, lg3 0.48）
A．2 小时 B．0.8 小时 C．0.5 小时 D．0.2 小时
7．（2023·湖北武汉·模拟预测）一个半球体状的雪堆，假设在融化过程中雪堆始终保持半球
体状，其体积V 变化的速率与半球面面积S 成正比，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小
7
时，融化了其体积的 ，则该雪堆全部融化需要（
8 ）小时
24
A． B．4 C．5 D．67
8．（2024·陕西商洛·三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系
统．已知过滤过程中废水的污染物数量 N mg / L 与时间 t -kt（小时）的关系为 N = N0e （ N0
为最初的污染物数量）．如果前 3 小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%
还需要（ ）
A．2.6 小时 B．6 小时 C．3 小时 D．4 小时
二、多选题
9．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知
t
-
放射性物质数量随时间 t 的衰变公式 N t = N e t ， N0 表示物质的初始数量，t 是一个具有0
时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T 指的是放射性物质数量从初始数量
到衰变成一半所需的时间，已知 ln2 = 0.7，右表给出了铀的三种同位素 τ 的取值：若铀 234、
铀 235 和铀 238 的半衰期分别为T1，T2，T3，则（ ）
物质 τ 的量纲单位 τ 的值
铀 234 万年 35.58
铀 235 亿年 10.2
铀 238 亿年 64.75
A．T =t ln 0.5 B．T 与t 成正比例关系
C．T1 >T2 D．T3 >10000T1
10．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律
的．如果物体的初始温度为q1°C，空气温度q0°C 保持不变，则 t 分钟后物体的温度q （单位：
°C）满足：q = q0 + q1 -q -0.05t0 e ．若空气温度为10°C，该物体温度从q1°C（90 q1 100）
下降到30°C，大约所需的时间为 t1 ，若该物体温度从70°C，50°C下降到30°C，大约所需
的时间分别为 t2 , t3，则（ ）（参考数据： ln 2 0.7, ln 3 1.1）
A． t2 = 20 B． 28 t1 30 C． t1 2t3 D． t1 - t2 6
11．（2023·全国·模拟预测）第 31 届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物
“蓉宝”备受人们欢迎．某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满 1000 元可参加抽奖”的
活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级 x 与获得“蓉宝”的
kx+b
个数 f x 的关系式为 f x = p + e ，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多 2 个，比五等奖
获得的“蓉宝”多 3 个，且三等奖获得的“蓉宝”数是五等奖的 2 倍，则（ ）
A． k = -ln2 B．b = 5ln2
C． p = 3 D．二等奖获得的“蓉宝”数为 10
三、填空题
12．（2023·海南·模拟预测）新能源汽车是未来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂
引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量 x （辆）与创造
的价值 y （万元）之间满足一次函数关系.已知产量为 0 时，创造的价值也为 0 ；当产量为
40000辆时，创造的价值达到最大，为6000 万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到
5625万元，则它应该生产的新能源汽车数量是 .
13．（2024·全国·模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特
定剂量范围内， t （单位，h）内药物在血液中浓度由 p1（单位，mg / mL）降低到 p2（单
0.693 × t
位，mg / mL），则药物的半衰期T = lnp - lnp ．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度1 2
分别为36mg / mL和54mg / mL，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为
T
24mg / mL ，设药物甲、乙的半衰期分别为T T 11， 2，则 =T ．2
14．（2023·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为 30 秒，那么，每次绿灯
亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰
等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人
和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明
发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的
车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ．
四、解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经
过 2 分钟菌落的覆盖面积为 48 mm2，经过 3 分钟覆盖面积为 64 mm2，后期其蔓延速度越来
越快；菌落的覆盖面积 y（单位：mm2）与经过时间 x（单位：min）的关系现有三个函数模
型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p x ＋q（p＞0）可供选择．（参
考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）
(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式．
(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 300 mm2？（结果保留
到整数）
16．（2024 高三·全国·专题练习）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”
S F= 0
V ，其中F0 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0 为建筑物的体积（单位：0
立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R ，高度为 H ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，
试求该建筑体的“体形系数” S ；（结果用含 R 、 H 的代数式表示）
2
(2) L定义建筑物的“形状因子”为 f = ，其中A 为建筑物底面面积， L为建筑物底面周长，又
A
定义T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 n
f × n 1
为某宿舍楼的层数，层高为 3 米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 S = + ．当
T 3n
f = 18，T = 10000时，试求当该宿舍楼的层数 n为多少时，“体形系数” S 最小．
17．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池
两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知
E2
在一定条件下，入射光功率密度 r = （E 为入射光能量且E > 0, S 为入射光入射有效面
S
积），电池板转换效率h(0 h 100%) 与入射光功率密度 r 成反比，且比例系数为 k．
(1)若 k = 2, S =1.5平方米，求蓄电池电能储存量 Q 与 E 的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量 I = Q + E-1 ，
锂离子蓄电池的放电量 I = Q + E-1 ．设 S 1, k >1，给定不同的 Q，请分析并讨论为了使
得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量Q =h × E ；
②当 S，k，Q 一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
18．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为
Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值 K，按规定须将该指标大于 K 的产品应用
于 A 型手机，小于或等于 K 的产品应用于 B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界
值 K 的芯片错误应用于 A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失 800 元；若将Ⅱ级品中该
指标大于临界值 K 的芯片错误应用于 B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失 400 元；假
设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)设临界值K = 70时，将 2 个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于 A 型手机，求芯片
生产商的损失x （单位：元）的分布列及期望；
(2)设K = x且 x 50,55 ，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于 A 型手机、B 型
手机各 1 万部的生产：
方案一：将芯片不作该指标检测，Ⅰ级品直接应用于 A 型手机，Ⅱ级品直接应用于 B 型手
机；
方案二：重新检测该芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避
免方案一的损失费用，但检测费用共需要 130 万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值 f x （单位：万元）的表达式，并从芯片
生产商的成本考虑，选择合理的方案．
19．（2024 高三·全国·专题练习）将连续正整数 1，2，L， n(n N* ) 从小到大排列构成一个
数123Ln， F (n)为这个数的位数 ( 如当 n =12 时，此数为 123456789101112，共有 15 个数
字，F (12) =15)，现从这个数中随机取一个数字， p(n)为恰好取到 0 的概率.
(1)求 p(100).
(2)当 n 2021时，求 F (n)的表达式.
(3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数， f (n)为这个数中数字 9 的个数， h(n) = f (n) - g(n)，
S = n | h(n) =1,n 100,n N* ，求当 n S 时 p(n)的最大值.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·浙江·二模）绍兴某乡村要修建一条 100 米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为
120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米 100 元，为了提高水渠的
过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金 3 万元，当过水横断面面积最大时，水
果的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据： 3 1.732）
A．0.58 米 B．0.87 米 C．1.17 米 D．1.73 米
2．（2024·全国·模拟预测）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫
星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期T 与轨道半径 R 之间关系为T 2 = K × R3（K
为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的 8 倍，且甲
的运行轨道半径为 a km， A, B分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则 A, B之间距
离的最大值为（ ）
A 17
5
． a km B． a km
4 4
3
C． a km D．5a km
2
3．（2024·全国·模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在
0.693
特定剂量范围内，药物的半衰期T = ，其中K 是药物的消除速度常数，不同药物的消
K
除速度常数一般不同，若 th内药物在血液中浓度由 c0ug%降低到 c1ug% ，则该药物的消除速
K lnc - lnc度常数 = 0 1 ．已知某药物半衰期为3h ，首次服用后血药浓度为 45ug%，当血药浓
t
度衰减到 20ug%时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为
ln2 0.7, ln3 1.1 （ ）
A．3.3h B．3.5h C． 4.6h D．6.9h
4．（23-24 高三上·湖北·阶段练习）已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是
q1℃
-kt
，空气的温度是q0℃，则 tmin 后物体的温度q℃满足公式q = q0 + q1 -q0 e （其中 k 是
一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在
20℃空气中，冷却 2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）
A． k = ln2
B． k = 2ln2
C．牛奶的温度降至35℃还需 4min
D．牛奶的温度降至35℃还需 2min
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位
ì
x t
b
= X 0cosh abt - Y0sinh abt a
数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型： í ，其中正实
y t Y cosh abt a = 0 - Xb 0sinh abt
数 X 0 ，Y0 分别为红、蓝两方的初始兵力， t 为战斗时间； x t ， y t 分别为红、蓝两方 t 时
x - x
刻的兵力；正实数 a，b e + e分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数； coshx =
2
x - x
和 sinhx e - e= 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力
2
为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．则下列结论不正
确的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，则 x t > y t 0 t T
1 X 0 +YB 0．若 X 0 > Y0 且 a = b，则T = lna X 0 -Y0
X 0 bC．若 >Y a ，则红方获得战斗演习胜利0
X b
D．若 0 > ，则红方获得战斗演习胜利
Y0 a
二、多选题
6．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收
到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常
1
用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为T = ，如表为不
10A
同玻璃材料的透光率：
玻璃材料 材料 1 材料 2 材料 3
T 0.6 0.7 0.8
设材料 1 材料 2 材料 3 的吸光度分别为 A1 A2 A3 ，则（ ）
A． A1 > 2A2 B． A2 + A3 > A1
C 2． A1 + A3 > 2A2 D． A1A3 < A2
7．（22-23 高三上·重庆万州·阶段练习）某摩天轮共有 32 个乘坐舱，按旋转顺序依次为 1~33
号（因忌讳，没有 13 号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘
客在乘坐舱距离底面最近时进入，在 t min 后距离地面的高度
f t = Asin wt +j + B A > 0,w > 0,j 0,2π ，已知该摩天轮的旋转半径为 60m，最高点
距地面 135m，旋转一周大约 30min，现有甲乘客乘坐 11 号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮 15min
时，乙距离地面的高度为 75 + 30 2 m，则乙所乘坐的舱号为（ ）
A．6 B．7 C．15 D．16
三、填空题
8．（2023 高三上·全国·专题练习）考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家
通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为
4200 年（即：每经过 4200 年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始
2a
存量为 a，经检测古生物中该元素现在的存量为 ，请推算古生物距今大约 年（参考
5
数据：lg2≈0.3）.
9．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为 8
块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单
株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
四、解答题
10．（2024 高三·全国·专题练习）随着神舟十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发
关注，航天周边产品销量也逐渐提高．某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个 B
款火箭模型比一个 A 款贵 15 元，用 1 600 元购入的 A 款火箭模型与 2 200 元购入的 B 款火
箭模型数量相同．
(1)这两款火箭模型的进货单价各是多少元？
(2)已知商场准备购进这两款火箭模型共 100 个，后将这批火箭模型以 A 款每个 70 元，B 款
每个 90 元的价格出售．求可获得的总利润 y(元)与其中 A 款火箭模型的数量 x(个)之间的关
系式．
11．（2024·山东·模拟预测）如图①，将 n个完全一样质量均匀长为 L的长方体条状积木，
一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里
拉斜塔问题”．
解决方案如下：如图②，若 n =1，则当积木与桌缘垂直且积木重心O1恰与桌缘齐平时，其
L
伸出桌外部分最长为 ，如图③，若 n = 2，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长
2
棱与桌缘垂直的同时，可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后
设最下方积木伸出桌外的长度为 x ，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆
平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力G 乘以力臂 x ，等于最下方积木
G
L L L
的重力 乘以力臂 - x2 ÷，得出方程
Gx = G - x ，求出 x = ．所以当叠放两个积木时，
è è 2 ÷ 4
L L 3L
伸出桌外最远为 + = ，此时将两个积木看成整体，其重心O2 恰与桌缘齐平．如图4 2 4
④，使前两块积木的中心O2 与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出 n = 3时
积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出 4 个、5 个直至 n个积木堆叠伸出桌外的最远
距离．（参考数据：50 < e4 < 55， e为自然常数）
(1)分别求出 n = 3和 n = 4时，积木伸出桌外的最远距离．（用 L表示）；
(2)证明：当 n = 64时，积木伸出桌外最远超过 2L；
(3)证明：当 n = 352
15L
时，积木伸出桌外最远不超过 ．
4

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