资源简介

培优点 01 函数性质的综合应用（4 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的
性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
【核心题型】
题型一　函数的奇偶性与单调
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号
“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一
单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
【例题 1】（2024·吉林长春· x - x模拟预测）已知函数 f x = 3 - 3 ，则不等式的解集为 （ ）

A． - ,
1 1 1
÷ 1, +

B． - , ÷ C． ，1

÷ D． 1，+
è 3 è 3 è 3
【变式 1】（2024·辽宁大连·一模）设函数 f (x) = sin πx + e3x-3 - e3-3x - x + 3则满足
f (x) + f (3 - 2x) < 4 的 x 的取值范围是（ ）
A． (3, + ) B． (- ,3) C． (1, + ) D． (- ,1)
【变式 2】（2024 高三·全国·专题练习）已知定义在 R 上的函数 f (x) ，其导函数为 f (x) ．若
f (x) = f (-x) - 2sin x ，且当 x 0 时，有 f (x) + cos x > 0成立，则不等式
f x
p
+ ÷ > f (x) + sin x - cos x 的解集为（ ）
è 2

A． - ,
p p p p
÷ B． ,+

÷ C． - , ÷ D． - ,+

2 2 4 4 ÷è è è è
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在 - ,0 U 0, + 上的函数 f x ，对于定义域
内任意的 x，y，都有 f xy = f x + f y ，且 f x 在 0, + 上单调递减，则不等式
x +1f x < log2 的解集为 .2
题型二　函数的奇偶性与周期性
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
【例题 1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，且周期T = 6 .若当
x -3,0 时， f (x) = 4- x ，则 f 2024 =（ ）
1 1
A．4 B．16 C． D．
16 4
【变式 1】（多选）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足：
f x + 2 = f x + f -1 ，则（ ）
A． f 1 1 3= 0 f + f B． ÷ = 0
è 2 è 2 ÷
C． f x + 4 = - f x f x f 1 D． ÷
è 2
【变式 2】（多选）（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 f x 在R 上可导，且 f x 的导函数为
g x .若 f x = 4 - f x + 2 , g 2x -1 为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A． g 1 = 0 B． f 2 = 0
2024
C． f 2 = f 8 D． f (i) = 4048
i=1
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数 f x 对任意 x, y R 均有：
f x + y + f x - y = 2 f x f y 且 f x 不恒为零.则下列结论正确的是 .① f 0 = 0；
② f 0 =1；③ f 0 = 0或 f 0 =1；④函数 f x 为偶函数；⑤若存在实数 a 0使
f a = 0，则 f x 为周期函数且 2a 为其一个周期.
题型三　函数的奇偶性与对称性
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
【例题 1】（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x)的定义域均为R ，
记 g(x) = f (x)
3
．若 f ( - 2x)， g(2 + x) 均为偶函数，则（ ）
2
1
A． f (0) = 0 B． g(- ) = 0 C． f -2 = f 1 D． g -1 = g 2
2
【变式 1】（多选）（2024 高三·全国·专题练习）关于函数 f（x）＝x|x|＋px＋q，下列命题正
确的是（　　）
A．当 q＝0 时，f（x）为奇函数
B．y＝f（x）的图象关于点（0，q）对称
C．当 p＝0，q＞0 时，方程 f（x）＝0 有且只有一个实数根
D．方程 f（x）＝0 至多有两个实数根
【变式 2】（多选）（23-24 高三下·重庆·阶段练习）函数 f x 的定义域为 R，且满足
f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 4 = -1，则下列结论正确的有（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 0
C． f x 为偶函数 D． f x 的图象关于 1,0 对称
【变式 3】（2024·河南·一模）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R，记
g x = f x .且 f 1- 3x + f 3x -1 = 0， g(1+ x) + g(1- x) = 0，当 x 0,1 ， f (x) sin π= x ，
2
2024
则 f (i) = .（用数字作答）
i=1
题型四　函数的周期性与对称性
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一
起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，
即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【例题 1】（2024·河北沧州·一模）已知定义在R 上的函数 f x 满足：
2024
f x + f 2 - x = 2, f x - f 4 - x = 0，且 f 0 = 2 ．若 i N* ，则 f (i) =（ ）
i=1
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【变式 1】（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知函数 f x 的定义域是R ，
f 3 + x ÷ = f
3
- x ÷， f x + f 6 - x = 0
3
，当0 x 时， f x = 4x - 2x22 ，则è è 2 2
f 2024 = ．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数 f x 的解析式 ．
① f x = - f x + 2 ；
② f x +1 = f 1- x ；
③ f x 的导数为 f x 且 f x = f -x ．
【变式3】（23-24高三下·陕西·开学考试）已知定义在R 上的函数 f x +1 为奇函数， f x + 2
为偶函数，当 x 0,1 时， f x = 3x3 - 3x，则方程 f x = -1在 0,99 上的实根个数
为 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
2
1．（2023· 2河南信阳·三模）已知函数 f x = log2 x + x +1 +1- x ，则对任意实数2 +1
a,b,a + b > 0是 f a + f b > 0 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
2 - x．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = e ，则使得 f 2a < f a -1 成立的正实数 a
的取值范围是（ ）
1 ,+ é1 1A． ÷ B． ,+

÷ C． 0,1 D． 0, ÷
è 3 ê 3 è 3
3．（23-24 高三上·辽宁辽阳·期末）已知 f x +1 是偶函数， f x 在 1, + 上单调递增，
f 0 = 0，则不等式 x +1 f x > 0的解集为（ ）
A． 1, + B． 2, +
C． -2,0 0,2 D． -1,0 2, +
4．（2024·山东济宁·一模）设函数 f (x) 定义域为R ， f (2x -1)为奇函数， f (x - 2)为偶函数，
当 x [0,1]时， f (x) = x2 -1，则 f (2023) - f (2024) =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
二、多选题
5．（23-24 高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义域为R 的函数 f (x) 对任意实数
x, y f (x) f (y) f ( x + y ) f ( x - y都有 + = ) ，且 f (0) 0, f (1) = 1，则下列说法正确的是（ ）
2 2
A． f (0) = 3
B． f (x) = f (-x)
1
C．函数 f (x) 的图象关于点 ( ,0)对称
2
D． f (1) + f (2) +L+ f (2024) = 0
1
6．（2024·广东·一模）已知偶函数 f (x)

的定义域为R ， f x +1

÷为奇函数，且 f (x) 在 0,1
è 2
上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A． f
3 4 2024
- ÷ < 0 B． f ÷ > 0 C． f (3) < 0 D． f ÷ > 0
è 2 è 3 è 3
7．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知函数 f x = sin x - cos x + sin 2x ，则下列选项正确的
是（ ）
A． π是函数 f x 的一个周期
x πB． = - 是函数 f x 的一条对称轴
4
5
C．函数 f x 的最大值为 ，最小值为
4 2 -1
é 3 5
D．函数 f x 在 ê π, π
ù
ú 上单调递减 4 4
8．（23-24 高三下·辽宁·开学考试）已知函数 y = f x 是 R 上的奇函数，对于任意 x R ，都
有 f x + 4 = f x + f 2 成立，当 x 0,2 时 f x = 2x -1，则下列结论中正确的是（ ）
A． f 0 = 0 B．函数 y = f x 在 -6, -2 上单调递增
C．函数 y = f x 在 -6,6 上有 3 个零点 D．点 4,0 是函数 y = f x 的图象的一个对称
中心
三、填空题
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在R 上的可导函数 f x 满足 f x < 3，若
f 2m - f m -1 3m + 3，则m 的取值范围为 ．
10．（2024·宁夏银川·一模）已知 f x +1 是偶函数， f x 在 1, + 上单调递增， f 0 = 0，
则不等式 x +1 f x > 0的解集为 .
四、解答题
11 2024 · · R f(x) -2
x + b
．（ 高三 全国 专题练习）已知定义域为 的函数 ＝ x+1 是奇函数．2 + a
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求证：函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求实数 k 的取值范围
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x = f x + 2 ，则以下说法
错误的是（ ）
A． f 0 = 0
B． f x 是周期函数，且 2 是其一个周期
C． f 2025 =1
D． f 3 = f 4 + f 5
2．（2024·广西南宁·一模）已知函数 f x 的定义域为 R, f x + y f x - y = f 2 x - f 2 y ，
且当 x > 0时， f x > 0，则（ ）
A． f 0 =1 B． f x 是偶函数 C． f x 是增函数 D． f x 是周期函数
3．（2024·云南贵州·二模）若函数 f x 的定义域为R 且图象关于 y 轴对称，在 0，+ 上是
增函数，且 f -3 = 0，则不等式 f x < 0 的解是（ ）
A． - ，- 3 B． 3，+
C． -3，3 D． - ，- 3 3，+
4．（2024·广东·一模）已知 f (x) = 2|x| + x2 ，若 f (a) < 3，则（ ）
A． a (1,+ ) B． a (-1,1) C．a (- ,1) D． a (0,1)
2 25．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = ln x + x +1 - x ，且 f x1 + f x + 2 < 0，2 +1 2
则（ ）
A． x1 + x2 < 0 B． x1 + x2 > 0 C． x1 + x2 > -2 D． x1 + x2 < -2
6．（2024·四川·模拟预测）已知函数 y = f x - 2 的图象关于直线 x = 2对称，对任意的
x R ，都有 f x + 3 = f x -1 成立，且当 x -2,0 时， f x = -x，若在区间 -2,10 内方
程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 个不同的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 2,2 2 B． 2,2 2ù C． 2 2,2 3 D． 2 2,2 3ù
7．（23-24 高三上·四川·阶段练习）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且
27
f x -1 为奇函数， f 2 - x + f x = -2， f -1 = -2，则 f 2i -1 = （ ）
i=1
A． -28 B．-26 C．-24 D．-22
8．（23-24 高三下·北京西城·开学考试）函数 f x 及其导数 f x 的定义域均为R ，记
g x = f x ，若 f 1- x 和 g x + 2 都是偶函数，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 是偶函数
C． g x 是奇函数 D． g x 是偶函数
二、多选题
9．（2024 高三·全国·专题练习）(多选)已知函数 f(x)＝2x－2－x＋1，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 f(x)是奇函数
B．函数 f(x)是偶函数
C．函数 f(x)在 R 上是增函数
D．函数 f(x)的图象的对称中心是(0，1)
10．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知定义在R 上的奇函数 f x ，满足
f 2x -1 = f 3 - 2x ，当 x 0,1 时， f x = x，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期为 6 B．函数 f x 在 2024,2025 上递增
22
C． f k =1 D．方程 f x = log5 x 有 4 个根
k =1
11．（2024·安徽池州·二模）已知函数 f x 的定义域为R, f x +1 是奇函数，且"x R ，恒
有 f f x = x，当 x a,1 时（其中 0 < a < 1）， f x = aloga x + b .若 f 0 + f
7 3
4 ÷
= ，则
è 4
下列说法正确的是（ ）
A． f x 图象关于点 1,0 对称
B． f x 图象关于点 0,1 对称
C．4a + b = 1
1
D． f - ÷ = 2
è 8
三、填空题
12．（2023·广东·二模）设奇函数 f x 的定义域为R ，且 f x +1 是偶函数，若 f 1 = 7 ，则
f 2023 + f 2024 = .
13．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）若函数 f x + 2 为偶函数， y = g x +1 -5是奇函数，且
f 2 - x + g x = 2 ，则 f 2023 = .
14．（2024 高一·全国·专题练习）定义R 上单调递减的奇函数 f (x) 满足对任意 t R ，若
f (t 2 - 2t) + f (2t 2 - k) < 0恒成立，求 k 的范围 .
四、解答题
ax + b
15．（23-24 高三上·河南周口·期末）已知函数 f x = 2 是定义在 -1,1 上的函数，1+ x
f -x = - f x 1 2恒成立，且 f ÷ = .
è 2 5
(1)确定函数 f x 的解析式，并用定义研究 f x 在 -1,1 上的单调性；
(2)解不等式 f x -1 + f x < 0 .
16．（23-24 高三上·山西晋中·开学考试）设 f x 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
恒有 f x + 2 = - f x 2，当 x 0,2 时， f x = 2x - x ．
(1)求证： f x 是周期函数；
(2)当 x 2,4 时，求 f x 的解析式；
(3)计算 f 0 + f 1 + f 2 + ×× × + f 2023 ．
17．（23-24 高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数 f x 对任意 x、 y R，都有
f x + y = f x + f y ，且 x > 0时， f x < 0 ．
(1)证明： f x 为奇函数；
(2)证明： f x 在 R 上为减函数．
18．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的周期函数，周期T = 5，
函数 y = f (x) （-1 x 1）是奇函数．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二
次函数，且在 x = 2时函数取得最小值-5．
(1)证明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．
19．（2023 高三·全国·专题练习）设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x =1对称，
é 1 ù
对任意x ， x1 2 ê0, ú，都有 f (x1 + x2 ) = f (x1) × f (x2 ) ，且 f (1) = a > 02 ．
1
(1)求 f ( ), f (
1)；
2 4
(2)证明 f (x) 是周期函数；
a = f (2n 1(3)记 n + )，求 a2n n
．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024· x陕西西安·一模）已知定义在R 上的可导函数 f x ，满足 f x ×e < 0 ，且
f x + f -x = 0 .若 f 1 = -1，则满足 f x -1 1的 x 的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． -2,1 C． 0,2 D． -1,2
2．（2024·四川泸州·二模）已知 f x ， g x 都是定义在 R 上的函数，对任意 x，y 满足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，则下列说法正确的是（ ）
2024
A． g 0 = 0 B．若 f 1 = 2024 ，则 f n = 2024
n=1
C．函数 f 2x -1 1的图象关于直线 x = 对称 D． g 1 + g -1 = -1
2
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 f x 在R 上可导，其导函数为 f x ，若 f x 满
足： x -1 é f x - f x ù > 0， f 2 - x = f x e2-2x ，则下列判断正确的是（ ）
A． f 1 > ef 0 B． f 2 > e2 f 0 C． f 3 > e3 f 0 D f 4 < e4． f 0
二、多选题
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 f x 是定义域为 R 的可导函数，若
f x + y = f x + f y + 3xy x + y ，且 f 0 = -3，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 是减函数
C． f 3 = 0 D． x =1是 f x 的极小值点
5．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知函数 f (x), g(x)及其导函数 f (x), g (x) 的定义域均为
R ，若 f (2x -1)的图象关于直线 x =1对称， f (x) + g(x +1) = x +1, f (x +1) = g(-x) + x ，且
g(2) =1，则（ ）
A． f (x) 为偶函数 B． g(x)的图象关于点 (3,3) 对称
99
C． g (202) = 1 D． g(i) = 4949
i=1
三、填空题
6．（2024·陕西·二模）偶函数 f x 的定义域为D，函数 f x 在 0, + 上递减，且对于任意
a,b D, a 0,b 0均有 f ab = f a + f b ，写出符合要求的一个函数 f x 为 .
7．（2024·上海长宁·二模）已知函数 y = f x 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0时，
f x = log2x ，若 f a >1，则实数 a的取值范围为 ．
四、解答题
2
8．（2024 高三·全国·专题练习）对于函数 f x = a - x a R .2 +1
(1)探索函数 f x 的单调性；
(2)是否存在实数 a使函数 f x 为奇函数？
9．（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 f x x R 满足 f x + 6 + f x = 2 f 3 ，函
数 y = f x -1 的图象关于点 1,0 对称，求 f 2022 的值.
10．（22-23 高三上·湖北· x开学考试）已知函数 f x = log2 4 +1 + kx为偶函数．
(1)求实数 k 的值；
(2)解关于m 的不等式 f 2m +1 > f m -1 ；
(3)设 g x = log a ×2x2 + a a 0 ，若函数 f x 与 g x 图象有 2个公共点，求实数 a的取值
范围．培优点 01 函数性质的综合应用（4 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的
性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
【核心题型】
题型一　函数的奇偶性与单调
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号
“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一
单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
x - x
【例题 1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = 3 - 3 ，则不等式
f 2x -1 - f x > 0的解集为 （ ）
, 1 1, , 1 1- + - 1 A． ÷ B． ÷ C． ，÷ D． 1，+
è 3 è 3 è 3
【答案】A
【分析】判断 f x 的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
x
【详解】 f x = 3 - 3- x - x x，定义域为R ，又 f -x = 3 - 3 = f x ，故 y = f x 为偶函数；
又当 x > 0时， y = 3x , y = -3- x x均为单调增函数，故 g x = 3 - 3- x 为 0, + 上的单调增函数；
又 g 0 = 0，故当 x > 0时， g x > 0，则此时 y = f x = g x 为 0, + 上的单调增函数，
故 x < 0 时， y = f x 为单调减函数；
f 2x -1 - f x > 0，即 f 2x -1 > f x ，则 2x -1 > x ，即 2x -1 2 > x2 ，
3x2 - 4x +1 > 0 ，
也即 3x -1 x -1 > 0 1 ，解得 x - , ÷ 1, + .
è 3
故选：A.
【变式 1】（2024·辽宁大连·一模）设函数 f (x) = sin πx + e3x-3 - e3-3x - x + 3则满足
f (x) + f (3 - 2x) < 4 的 x 的取值范围是（ ）
A． (3, + ) B． (- ,3) C． (1, + ) D． (- ,1)
【答案】C
【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数 g x = f x +1 - 2，利用奇偶性的定义与导
数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为 g x -1 < g 2x - 2 ，进而得解.
【详解】因为 f (x) = sin πx + e3x-3 - e3-3x - x + 3，
f x +1 = sin πx + π + e3x+3-3 - e3-3x-3所以 - x -1+ 3
= -sin πx + e3x - e-3x - x + 2 ，
设 g x = f x +1 - 2 = -sin πx + e3x - e-3x - x ，显然定义域为R ， g x -1 = f x - 2，
g(-x) = -sin -πx + e-3x - e3x + x = - -sin πx + e3x - e-3x又 - x = -g(x) ，
所以 g x 为R 上的奇函数，
又 g (x) = -π cos πx + 3e3x + 3e-3x -1 -π cos x + 2 3e3x ×3e-3x -1 = 5 - π cos x > 0，
所以 g x 在R 上单调递增，
又 f (x) + f (3 - 2x) < 4 ，则 f (x) - 2 + f (3 - 2x) - 2 < 0，
所以 g x -1 + g 2 - 2x < 0，即 g x -1 < -g 2 - 2x = g 2x - 2 ，
所以 x -1< 2x - 2，解得 x >1，
则满足 f (x) + f (3 - 2x) < 4 的 x 的取值范围是 (1, + )．
故选：C．
【变式 2】（2024 高三·全国·专题练习）已知定义在 R 上的函数 f (x) ，其导函数为 f (x) ．若
f (x) = f (-x) - 2sin x ，且当 x 0 时，有 f (x) + cos x > 0成立，则不等式
f x p +

÷ > f (x) + sin x - cos x 的解集为（ ）
è 2
p p p p
A． - , ÷ B． ,+ ÷ C． - ,2 2 4 ÷
D． - ,+ ÷
è è è è 4
【答案】D
【分析】设 g(x) = f (x) + sin x ，由题意，得出 g x 为定义在 R 上的偶函数，且在 0, + 上

单调递增，再把不等式 f x
p
+ ÷ > f (x) + sin x - cos x 转化为 g
x π +

÷ > g x ，利用单调性
è 2 è 2
求解.
【详解】设 g(x) = f (x) + sin x ，则 g(-x) = f (-x) + sin(-x) ．
由 f (x) = f (-x) - 2sin x ，得 f (x) + sin x = f (-x) + sin(-x)，所以 g(x)为偶函数．
因为当 x 0 时，有 g (x) = f (x) + cos x > 0成立，
所以 g(x)在 0, + 上单调递增，
又 g(x)为偶函数，所以 g(x)在 (- ,0)上单调递减，
p
因为 f x + ÷ + cos x f
x p= + ÷ + sin
x p+ ÷ > f (x) + sin x g

，即 x
p
+ ÷ > g(x)，
è 2 è 2 è 2 è 2
p p
所以 x + > x ，解得 x > -2 ．4
故选：D．
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在 - ,0 U 0, + 上的函数 f x ，对于定义域
内任意的 x，y，都有 f xy = f x + f y ，且 f x 在 0, + 上单调递减，则不等式
x +1f x < log2 的解集为 .2
【答案】 x x < -1或 x >1
【分析】由 f xy = f x + f y ，利用赋值法，得到函数 f x 的奇偶性，构造函数
x +1 x +1F x = f x - log2 ，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 = 0，将不等式 f x < log2 2 2
转化为F x < F 1 求解.
【详解】由 f xy = f x + f y ，令 x = y =1，得 f 1 = f 1 + f 1 ，所以 f 1 = 0 .
令 x = y = -1，得 f -1 = 0 .令 y = -1，得 f -x = f x + f -1 = f x ，所以函数 f x 为偶
函数.
x +1
构造函数F x = f x - log2 ，因为F -x = F x ，所以F x 为偶函数，且在 0, + 2
上为减函数.
F 1 f 1 log 1+1因为 = - 2 = 0，2
所以不等式 f x +1x < log2 等价于F x
x +1
= f x - log2 < 0 = F 1 ，2 2
所以F x < F 1 ，即 x >1，所以 x < -1或 x >1，
x +1
故不等式 f x < log2 的解集为 x | x < -1或 x >1 .2
故答案为： x | x < -1或 x >1 .
题型二　函数的奇偶性与周期性
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
【例题 1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，且周期T = 6 .若当
x -3,0 时， f (x) = 4- x ，则 f 2024 =（ ）
1 1
A．4 B．16 C． D．
16 4
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】因为 f 2024 = f 6 337 + 2 = f 2 = f -2 = 42 =16 .
故选：B.
【变式 1】（多选）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足：
f x + 2 = f x + f -1 ，则（ ）
1 3
A． f 1 = 0 B． f ÷ + f2 ÷ = 0è è 2
C． f x + 4 = - f x 1 D． f x f 2 ÷è
【答案】AB
1
【分析】对 A：令 x=-1，结合函数是奇函数，即可求得结果；对 B：令 x = - ，结合函数
2
是奇函数，即可判断；对 C：根据 B 中所求 f x + 2 = f x ，即可判断；对 D：取满足题意
的特殊函数，即可判断.
【详解】对 A：对 f x + 2 = f x + f -1 ，令 x=-1，可得 f 1 = 2 f -1 ，
又 f x 在 R 上是奇函数，故 f 1 = -2 f 1 ，解得 f 1 = 0，故 A 正确；
对 B：对 f x + 2 = f x + f -1 x 1 3= - 1 ，令 ，可得 f = f - + f -1 ，2 è 2 ÷ ÷ è 2
f x f 3 = - f 1 - f 1 f 1 3 又 在 R 上是奇函数，故 ÷ ÷ ，即 + f = - f 1 ，
è 2 è 2 è 2 ÷ ÷ è 2
f 1 0 f 1 f 3 由 A 可知， = ，故 ÷ + = 0 ，故 B 正确；
è 2 è 2 ÷
对 C：因为 f -1 = - f 1 = 0，则 f x + 2 = f x + f -1 即 f x + 2 = f x ，
则 f x + 4 = f x + 2 = f x ，即 f x + 4 = f x ，故 C 错误；
对 D：由 C 可知， f x 为周期为 2的奇函数，
不妨画出满足题意的一个 f x 的图象如下所示：
f x 1 f 显然 ÷，故 D 错误.
è 2
故选：AB.
【变式 2】（多选）（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 f x 在R 上可导，且 f x 的导函数为
g x .若 f x = 4 - f x + 2 , g 2x -1 为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A． g 1 = 0 B． f 2 = 0
2024
C． f 2 = f 8 D． f (i) = 4048
i=1
【答案】ACD
【分析】根据已知条件可得 y = f x 的周期，由 g 2x -1 为奇函数可得 g x 的对称性，利
用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.
【详解】对于 D，由 f x + f x + 2 = 4 ，所以 f x + 2 + f x + 4 = 4，即 f x = f x + 4 ，
所以 y = f x 的周期为 4，
且 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = é f 1 + f 3 + f 2 + f 4 ù = 8，
2024 4
所以 f (i) = 506 f (i) = 4048，故 D 正确；
i=1 i=1
对于 A，由 g 2x -1 为奇函数知 g x 关于 -1,0 对称，所以 g -1 = 0，
由 f x + f x + 2 = 4 得 f x + f x + 2 = 0，即 g x + g x + 2 = 0 ，
故 g x 的周期为 4 且 g -1 + g 1 = 0，可得 g 1 = 0，故 A 正确；
对于 BC，由上知 g x 的周期为 4 且 g x 关于 -1,0 对称，所以 g x 关于 3,0 对称，
则有 g x + g 6 - x = 0，即 f x + f 6 - x = 0，所以 f x - f 6 - x = c，
令 x = 3，得 c = 0 ，故 f x - f 6 - x = 0，所以 f x 关于 x = 3对称，
又 f 2 + f 4 = 4 ，所以 f 2 = f 4 = 2，故 B 错误；
又 f 4 = f 8 ，所以 f 2 = f 8 ，故 C 正确.
故选：ACD.
【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数 f x 对任意 x, y R 均有：
f x + y + f x - y = 2 f x f y 且 f x 不恒为零.则下列结论正确的是 .① f 0 = 0；
② f 0 =1；③ f 0 = 0或 f 0 =1；④函数 f x 为偶函数；⑤若存在实数 a 0使
f a = 0，则 f x 为周期函数且 2a 为其一个周期.
【答案】②④
【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性一一判定结论即可.
【详解】令 y = 0 ，则"x R,2 f x = 2 f x f 0 恒成立，
因为 f x 不恒为零，所以 f 0 =1，即②正确，①③错误；
令 x = 0，则"y R, f y + f -y = 2 f y f 0 = 2 f y f y = f -y 恒成立，
所以函数 f x 为偶函数，即④正确；
令 y = a ，则 f x + a + f x - a = 2 f x f a = 0，
所以 f x + 2a + f x = 0, f x + 4a + f x + 2a = 0 f x + 4a = f x ，
则 f x 为周期函数且 4a为其一个周期，即⑤错误.
故答案为：②④
题型三　函数的奇偶性与对称性
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
【例题 1】（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x)的定义域均为R ，
记 g(x) = f (x)．若 f (
3
- 2x)， g(2 + x) 均为偶函数，则（ ）
2
A． f (0) = 0 B． g(
1
- ) = 0 C． f -2 = f 1 D． g -1 = g 2
2
【答案】B
3
【分析】根据 f ( - 2x)， g(2 + x) 为偶函数得到等式关系，可判断 C,D；根据函数的对称轴
2
可求得函数的极值点，结合极值点的性质可判断选项 B；根据函数 f (x) 的图象的不确定性，
可判断选项 A.
【详解】Q f (
3
- 2x) 3 3
2 为偶函数，
\可得 f ( - 2x) = f ( + 2x)2 2 ，
\ f (x) 3关于 x = 对称，
2
f -2 = f 5 ，故C 不正确；
Q g(2 + x) 为偶函数，
\ g(2 + x) = g(2 - x) ， g(x)关于 x = 2对称，故D 不正确；
Q f (x) x 3 3关于 = 对称，\ x = 是函数 f (x) 的一个极值点，
2 2
\
3 3 3
函数 f (x) 在 , t ÷处的导数为 0，即 g( ) = f ( ) = 0
è 2 2 2
，
又\ g(x)
5 3
的图象关于 x = 2对称，\ g( ) = g( ) = 02 2 ，
5
\ 函数 f (x) 在 , t ÷的导数为 0，
è 2
\ x 5= 是函数 f (x) 的极值点，又 f (x) x
3
的图象关于 = 对称，
2 2
\
5 3 1
, t ÷关于 x = 的对称点为2 2
, t
2 ÷
，
è è
由 x
5
= 是函数 f (x)
1
的极值点可得 x = 是函数 f (x) 的一个极值点，
2 2
\ g(1) = f (1) = 0
2 2 ，
g(1
7
进而可得 ) = g(
7) = 0 x = f (x)
2 2 ，故 是函数 的极值点，2
又 f (x)
3
的图象关于 x = 对称，
2
7 3 1\ , t ÷关于 x = 的对称点为2
- , t ÷，
è 2 è 2
\ g( 1- ) = f 1 (- ) = 0
2 2 ，故B正确；
f (x) 图象位置不确定，可上下移动，
即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A 错误．
故选:B.
【变式 1】（多选）（2024 高三·全国·专题练习）关于函数 f（x）＝x|x|＋px＋q，下列命题正
确的是（　　）
A．当 q＝0 时，f（x）为奇函数
B．y＝f（x）的图象关于点（0，q）对称
C．当 p＝0，q＞0 时，方程 f（x）＝0 有且只有一个实数根
D．方程 f（x）＝0 至多有两个实数根
【答案】ABC
【详解】解析：若 q＝0，则 f（x）＝x|x|＋px＝x（|x|＋p）为奇函数，所以 A 正确；由 A
知，当 q＝0 时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称，f（x）＝x|x|＋px＋q 的图象由函数 y
＝x|x|＋px 的图象向上或向下平移|q|个单位长度得到的，所以图象关于点（0，q）对称，
所以 B 正确；当 p＝0，q＞0 时，f（x）＝x|x|＋q＝ 当 f（x）＝0，得 x＝－
，只有一解，所以 C 正确；取 q＝0，p＝－1，f（x）＝x|x|－x＝ 由 f
（x）＝0，可得 x＝0，x＝±1，有三个实根，所以 D 不正确．故选 ABC.
【变式 2】（多选）（23-24 高三下·重庆·阶段练习）函数 f x 的定义域为 R，且满足
f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 4 = -1，则下列结论正确的有（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 0
C． f x 为偶函数 D． f x 的图象关于 1,0 对称
【答案】BC
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】由题可知 f x + y + f x - y = 2 f x f y
令 x = 4， y = 0 ，则 f 4 + 0 + f 4 - 0 = 2 f 4 f 0 ，
即 f 4 + f 4 = 2 f 4 f 0 ，可得 f 0 =1，故 A 错；
令 x = y = 2，则 f 2 + 2 + f 2 - 2 = 2 f 2 f 2 ，即 f 4 + f 0 = 2 f 2 2 ，
又因为 f 4 = -1， f 0 =1，可得 f 2 = 0 ，故 B 正确；
令 x = 0，可得 f y = f -y ，故 C 正确；
若 f x 的图象关于 1,0 对称，则函数 f x 满足 f 0 + f 2 = 0，
而 f 2 = 0 ， f 0 =1，显然 f 0 + f 2 =1 0，故 D 错，
令 x = 2，可得 f 2 + y + f 2 - y = 2 f 2 f y = 0，
\ f x 的图象关于 2,0 对称.
故选：BC.
【变式 3】（2024·河南·一模）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R，记
g x = f x f 1- 3x + f 3x -1 = 0 g(1+ x) + g(1- x) = 0 x 0,1 f (x) sin π.且 ， ，当 ， = x ，
2
2024
则 f (i) = .（用数字作答）
i=1
【答案】1012
【分析】根据 f 1- 3x + f 3x -1 = 0推出函数 f x 为奇函数，由 g(1+ x) + g(1- x) = 0还原
成 f (1+ x) = - f (1- x) ，推理得到 f (1+ x) = f (1- x) ，得出函数 f x 图象关于直线 x =1对
称，两者结合得出 f x 为以 4 为周期的函数，分别求出 f (1), f (2), f (3), f (4)，计算即得
2024
f (i) .
i=1
【详解】由 f 1- 3x + f 3x -1 = 0可得 f 1- 3x = f [-(3x -1)] = - f 3x -1 ，即
f -x = - f (x) ①
又由 g(1+ x) + g(1- x) = 0可得 g(1+ x) = -g(1- x) ，即 f (1+ x) = - f (1- x) ，从而
f (1+ x) = [ f (1- x)] ，
故 f (1+ x) = f (1- x) + C ( C 是常数)，因当 x = 0时 f (1) = f (1) + C ，则C = 0 ,即得
f (1+ x) = f (1- x) ②，
由② 可得 f (2 + x) = f (-x) ，又由① 得 f (2 + x) = - f (x)，即 f (x + 4) = - f (2 + x) = f (x)，故
函数 f x 为周期函数，周期为 4.
由 x 0,1 ， f (x) π= sin x 可知 f (1) =1，因 f x 是 R 上的奇函数， f 0 = 0 ,则由
2
f (2 + x) = f (-x) 可得 f (2) = f (0) = 0，
f (3) = f (-1) = - f (1) = -1， f (4) = f (0) = 0，
2024
则 | f (1) | + | f (2) | + | f (3) | | f (4) | 2 f (i) 2 2024+ = ，于是 = =1012.
i=1 4
故答案为：1012.
题型四　函数的周期性与对称性
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一
起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，
即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【例题 1】（2024·河北沧州·一模）已知定义在R 上的函数 f x 满足：
2024
f x + f 2 - x = 2, f x - f 4 - x = 0，且 f 0 = 2 ．若 i N* ，则 f (i) =（ ）
i=1
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【答案】C
【分析】根据条件得到函数 f x 是周期为 4的函数，再根据条件得出
f 1 ，f 2 ，f 3 ，f 4 ，即可求出结果.
【详解】Q f x + f 2 - x = 2，①
\ f 1+ x + f 2 - 1+ x = 2，
即 f 1+ x + f 1- x = 2，所以 f 1+ x -1 = - f 1- x -1 ，
所以函数 f x 的图象关于 1,1 对称，
令 x =1，则 f 1 + f 1 = 2 ，所以 f 1 =1，
令 x = 2， f 2 + f 0 = 2，又 f 0 = 2 ，所以 f 2 = 0 ，
又Q f x - f 4 - x = 0 ，\ f 2 - x = f 4 - 2 - x = f 2 + x ，②
即函数 f x 的图象关于直线 x = 2对称，
f (3) = f (1) =1
且由①和②，得 f x + f 2 + x = 2 f 2 + x + f 4 + x = 2，
所以 f x = f 4 + x ，则函数 f x 的一个周期为 4，
则 f (4) = f (0) = 2，
2024
所以 f (i) = 506 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 506 1+ 0 +1+ 2 = 2024 .
i=1
故选：C
【变式 1】（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知函数 f x 的定义域是R ，
f 3 x f 3+ = - x ÷ ÷， f x + f 6 - x = 0，当0
3
x 2
2 2 时，
f x = 4x - 2x ，则
è è 2
f 2024 = ．
【答案】 2
【分析】根据已知关系式可推导求得 f x + 6 = f x ，利用周期性和对称性可得
f 2024 = f 1 ，结合已知函数解析式可求得结果.
f 3 + x = f 3 - x é3 3 ù【详解】由 2 ÷ 2 ÷得：
f x = f - x - ÷ = f 3- x ，
è è ê 2 è 2 ú
又 f x + f 6 - x = 0，\ f 3 - x + f 6 - x = 0，
\ f x = - f é6 - 3- x ù = - f x + 3 ，\ f x + 6 = - f x + 3 = f x ，
\ f 2024 = f 6 337 + 2 = f 2 = f 1 = 4 - 2 = 2 .
故答案为： 2 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数 f x 的解析式 ．
① f x = - f x + 2 ；
② f x +1 = f 1- x ；
③ f x 的导数为 f x 且 f x = f -x ．
【答案】 f x = sin π x ÷ （答案不唯一）
è 2
【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.
【详解】由①得 f x + 4 = f x ，所以函数 f x 图象的周期为 4，
由②得 f x 的图象关于直线 x =1对称，
由③得 f x 关于 0,c 对称， c为常数，
π
则同时满足三个条件的一个函数可以为 f x = sin x ÷ ．
è 2
故答案为： f x = sin π x ÷ （答案不唯一）.
è 2
【变式3】（23-24高三下·陕西·开学考试）已知定义在R 上的函数 f x +1 为奇函数， f x + 2
为偶函数，当 x 0,1 时， f x = 3x3 - 3x，则方程 f x = -1在 0,99 上的实根个数
为 ．
【答案】98
【分析】根据条件确定函数周期性，画出函数 f x 在区间 0,4 上的图象，根据图象可得实
根个数.
【详解】函数 f x +1 为奇函数，即 f x +1 = - f -x +1 ，对称中心为 1,0 ，
函数 f x + 2 为偶函数，即 f x + 2 = f -x + 2 ，对称轴为 x = 2，
又由 f x = - f -x + 2 = - f x + 2 = f x + 4 可得
函数 f x 是周期函数，且周期为 4，
3
当 x 0,1 时， f x = 3x - 3x，则 f x = 9x2 - 3，
令 f x > 0 3，得 < x <1， f x 单调递增，
3
令 f x < 0，得0 < x 3< ， f x 单调递减，
3
3

f x f 3
3 3 2 3
所以 =min 3 ÷÷
= 3 ÷÷ - 3 3 3 ÷÷
= - .
è è è 3
作出函数 f x 在区间 0,4 上的图象如下：
即在区间 0,4 上，方程 f x = -1有 4个实根，
又99 = 4 24 + 3 ,
则方程 f x = -1在 0,99 上的实根个数为 4 24 + 2 = 98 .
故答案为：98 .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
2
1．（2023· 2河南信阳·三模）已知函数 f x = log2 x + x +1 +1- 2x ，则对任意实数+1
a,b,a + b > 0是 f a + f b > 0 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
【答案】A
f x = log x + x2【分析】判断函数 2 +1 +1 2- x 的单调性和奇偶性，继而判断“对任意2 +1
实数 a,b,a + b > 0 ”和 f a + f b > 0 之间的逻辑关系，即得答案.
y = x + x2 2【详解】由于 +1, y =1- x 在 R 上单调递增，2 +1
且 f x = log2 x + x2 1 1 2+ + - x 的定义域为 R，则 f x 在 R 上单调递增，2 +1
x
又 f -x = log2 x2 +1 2- x +1- - x = log 1 2 22 +1-2 +1 x2 1 x 2x+ + +1
= -log2 x2 +1 + x 2-1+ x = - f x ，即 f x 为奇函数，2 +1
对任意实数 a,b,a + b > 0，即 a > -b ，可得 f (a) > f (-b) = - f (b),\ f (a) + f (b) > 0 ；
反之， f a + f b > 0 时，可得 f a > - f b = f (-b) ，则 a > -b ，即 a + b > 0，
故对任意实数 a,b,a + b > 0是 f a + f b > 0 的充分必要条件，
故选：A
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = e- x ，则使得 f 2a < f a -1 成立的正实数 a
的取值范围是（ ）
1 , é1 , 0,1 0, 1 A． + ÷ B． ê + ÷ C． D．3 è 3 è 3 ÷
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数 f x = e- x 的单调性求解不等式即可.
- - x - x
【详解】由题意可知 f x 的定义域为R ，且 f -x = e = e = f x ，所以 f x 为偶函
数．
当 x > 0时， f x 1= x ，则函数 f x 在 0, + 上单调递减，且 f x > 0．e
所以不等式 f 2a < f a -1 成立，需 2a > a -1 ，
1
解得 a < -1或 a > ，又 a > 0，
3
1 1
所以 a > ，即正实数 a的取值范围是 ,+ ．3 ÷è 3
故选：A．
3．（23-24 高三上·辽宁辽阳·期末）已知 f x +1 是偶函数， f x 在 1, + 上单调递增，
f 0 = 0，则不等式 x +1 f x > 0的解集为（ ）
A． 1, + B． 2, +
C． -2,0 0,2 D． -1,0 2, +
【答案】D
【分析】由条件结合图象平移得到 f (x) 的图象，结合图象即可求解.
【详解】函数 f (x) 的图象可由 f x +1 的图象向右平移 1 个单位得到，
因为 f x +1 是偶函数，则其图象关于 y 轴对称，
所以 f (x) 的图象关于直线 x =1对称，
又 f x 在 1, + 上单调递增，则 f x 在 (- ,1]上单调递减，
又 f 0 = 0，则有 f 2 = 0 ，
当 x +1 > 0，即 x > -1时，需 f (x) > 0 ，
解得-1 < x < 0或 x > 2；
当 x +1< 0，即 x < -1时，需 f (x) < 0，无解；
综上，不等式 x +1 f x > 0的解集为 -1,0 2, + .
故选：D
4．（2024·山东济宁·一模）设函数 f (x) 定义域为R ， f (2x -1)为奇函数， f (x - 2)为偶函数，
当 x [0,1]时， f (x) = x2 -1，则 f (2023) - f (2024) =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由 f (2x -1)为奇函数得到函数的对称中心，由 f (x - 2)为偶函数得到函数的对称轴，
进一步求得函数的周期，然后将 f (2023)与 f (2024)转化到已知区间求解即可.
【详解】因为函数 f (x) 定义域为R ， f (2x -1)为奇函数，所以 f (2x -1) = - f (-2x -1)，所以
函数 f (x) 关于点 -1,0 中心对称，且 f -1 = 0，
因为 f (x - 2)为偶函数，所以 f (x - 2) = f (-x - 2) ，所以函数 f (x) 关于直线 x = -2轴对称，
又因为 f x = - f -2 - x = - f -2 + x = - é - f -4 + x ù ，所以函数 f (x) 的周期为 4，
因为当 x [0,1]时， f (x) = x2 -1，
所以 f (2023) = f 4 506 -1 = f -1 = 0， f (2024) = f 4 506 = f 0 = -1，
所以 f (2023) - f (2024) =1.
故选：C.
二、多选题
5．（23-24 高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义域为R 的函数 f (x) 对任意实数
x, y f (x) f (y) f ( x + y ) f ( x - y都有 + = ) ，且 f (0) 0, f (1) = 1，则下列说法正确的是（ ）
2 2
A． f (0) = 3
B． f (x) = f (-x)
1
C．函数 f (x) 的图象关于点 ( ,0)对称
2
D． f (1) + f (2) +L+ f (2024) = 0
【答案】BD
【分析】根据给定条件，赋值计算判断 ABC；推理确定函数 f (x) 的周期，再利用周期性求值
判断 D.
x + y x - y
【详解】定义域为R 的函数 f (x) 对任意实数 x, y都有 f (x) + f (y) = f ( ) f ( ) ，
2 2
令 x = y =1，则 f (1) + f (1) = f (1) f (0)，而 f (1) =1，因此 f (0) = 2，A 错误；
x R ，令 y = -x，则 f (x) + f (-x) = f (0) f (x) = 2 f (x) ，则 f (x) = f (-x)，B 正确；
显然 f (0) + f (1) = 3 0
1
，则函数 f (x) 的图象关于点 ( ,0)不对称，C 错误；
2
令 y = x - 2，则 f (x) + f (x - 2) = f (x -1) f (1) = f (x -1)，同理 f (x +1) + f (x -1) = f (x)，
因此 f (x +1) = - f (x - 2) ，即 f (x + 3) = - f (x)，
从而 f (x + 6) = - f (x + 3) = f (x)，即函数 f (x) 的周期是 6，
由 f (x + 3) = - f (x)，得 f (2) = - f (-1) = - f (1) ，则 f (1) + f (2) = 0，
显然 f (4) = - f (1), f (5) = - f (2), f (6) = - f (3) ，
所 以 f (1) + f (2) +L+ f (2024) = 337[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6)]+ f (1) + f (2) = 0 ，
D 正确.
故选：BD
1
6．（2024·广东·一模）已知偶函数 f (x) 的定义域为R ， f x +1÷为奇函数，且 f (x) 在 0,1
è 2
上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
f 3 0 f 4 0 f (3) 0 f 2024 A． - ÷ < B．2 ÷
> C． < D． > 0
è è 3 3 ÷ è
【答案】BD
【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判
断函数的符号，可得有关的结论.
【详解】因为 f x 为偶函数，所以 f -x = f x ；
1
因为 f x +12 ÷ 是R 上的奇函数，所以
f 1 = 0，
è
f x + 2 x x 且 2 ÷的图象是由
f ÷ 的图象向左平移 2个单位得到的，所以 f ÷ 的图象关于
è è 2 è 2
2,0 点对称，进一步得 f x 的图象关于点 1,0 中心对称，即 f 1+ x = - f 1- x .
所以 f x + 2 = f 1+ 1+ x = - f 1- 1+ x = - f -x = - f x ，所以
f x + 4 = - f x + 2 = f x .所以函数 f x 是周期函数，且周期为 4；
又 f x 在 0,1 上单调递增，所以在 0,1 上，有 f x < 0 .
所以函数的草图如下：
3 4
由图可知： f - ÷ > 0，故 A 错； f2 ÷
> 0，故 B 对； f 3 = 0，故 C 错；
è è 3
f 2024 ÷ = f 674
2 2+ ÷ = f 4 168 + 2 + ÷ = f 2
2
+ ÷ > 0，故 D 对.
è 3 è 3 è 3 è 3
故选：BD
7．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知函数 f x = sin x - cos x + sin 2x ，则下列选项正确的
是（ ）
A． π是函数 f x 的一个周期
π
B． x = - 是函数 f x 的一条对称轴
4
5
C．函数 f x 的最大值为 ，最小值为
4 2 -1
é 3 5 ù
D．函数 f x 在 ê π, π 上单调递减 4 4 ú
【答案】ABC
【分析】利用函数周期性及对称性的定义可得 A、B，使用换元法，令
t π= 2 sin 2 x - ÷ é 0, 2 ù ，可得 y = -t + t +1，结合复合函数单调性可得 C、D.è 4
【详解】对 A： f x + π = sin x + π - cos x + π + sin 2 x + π = sin x - cos x + sin 2x，
故 π是函数 f x 的一个周期，故 A 正确；
π
对 B： f - - x

÷ = sin
π- - x ÷ - cos
π
- - x ÷ + sin 2
π
- - x

÷ = sin x - cos x + sin -π - 2x
è 2 è 2 è 2 è 2
= sin x - cos x + sin 2x π，故 x = - 是函数 f x 4 的一条对称轴，故 B 正确；
对 C、D：令 sin x - cos x = t ，有 sin 2x =1- t 2 ，
因为 sin 2x -1,1 2，所以 t 0,2 ，
2
则 y = sin x - cos x + sin 2x 1 5= -t 2 + t +1 = - t - ÷ + ，
è 2 4
由 t 2 sin
x π= - ÷ é ù 0, 2 ，则函数 f x
5
的最大值为 ，最小值为
4 2 -1
，故 C 正确；
è 4
函数 f x 由 y = -t 2 + t +1和 t = sin x - cos x 复合而成，
函数 y = -t 2 + t +1在 é0, 2ù 上先增后减， t = 2 sin
π é3π 5π ù
x - ÷ 在 ê , ú上递减，且è 4 4 4
t é0, 2 ù ，
é3π 5π ù
则函数 f x 在 ê , 上不是单调递减，故 D 错误. 4 4 ú
故选：ABC.
8．（23-24 高三下·辽宁·开学考试）已知函数 y = f x 是 R 上的奇函数，对于任意 x R ，都
有 f x + 4 = f x + f 2 成立，当 x 0,2 时 f x = 2x -1，则下列结论中正确的是（ ）
A． f 0 = 0 B．函数 y = f x 在 -6, -2 上单调递增
C．函数 y = f x 在 -6,6 上有 3 个零点 D．点 4,0 是函数 y = f x 的图象的一个对称
中心
【答案】AD
【分析】由 f x + 4 = f x + f 2 ，令 x = -2，得到 f -2 = 0，进而得到 f x + 4 = f x
逐项判断.
【详解】解：由 f x + 4 = f x + f 2 ，令 x = -2，得 f -2 = 0，
又函数 y = f x 是 R 上的奇函数，则 f 0 = 0，故 A 正确；
由 f 2 = - f -2 = 0，得 f x + 4 = f x ，则周期为T = 4，
作出函数 f x 的部分图象，如图所示：
由图象知：函数 y = f x 在 -6, -2 上单调递增，又 f -6 = f -2 = f 2 = 0，在 2 处不连
续，
则函数 y = f x 在 -6, -2 上不单调，
由 f 6 = f 2 = 0, f -6 = f -2 = 0， f 0 = 0， f -4 = f 4 = 0，
则函数 y = f x 在 -6,6 上有 7 个零点，故 BC 错误；
因为 0,0 是函数的一个个对称中心，则 4,0 也是函数的一个对称中心，故 D 正确；
故选：AD
三、填空题
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在R 上的可导函数 f x 满足 f x < 3，若
f 2m - f m -1 3m + 3，则m 的取值范围为 ．
【答案】 - , -1
【分析】构造函数 g x = f x - 3x ，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形
为函数 g x 的形式，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 g x = f x - 3x ，则 g x = f x - 3 < 0，
所以函数 g x 在R 上是减函数，
由 f 2m - f m -1 3m + 3，得 f 2m - 3 2m f m -1 - 3 m -1 ，
即 g 2m g m -1 ，
所以 2m m -1，解得m -1，
所以m 的取值范围为 - , -1 .
故答案为： - , -1 .
10．（2024·宁夏银川·一模）已知 f x +1 是偶函数， f x 在 1, + 上单调递增， f 0 = 0，
则不等式 x +1 f x > 0的解集为 .
【答案】 -1,0 2, +
【分析】首先得出 f x 的对称性结合 f x 的单调性可得 f x 的符号变化情况，由此可通
过列表法求解.
【详解】由题意 f x +1 是偶函数，所以 f x 的对称轴是 x =1，
因为 f x 在 1, + 上单调递增，所以 f x 在 - ,1 上单调递减，
又 f 0 = 0，所以 f 2 = f 0 = 0 ，
所以当1 x < 2时， f x < f 2 = 0，当 x > 2时， f x > f 2 = 0，
由对称性当 x < 0 时， f x > f 0 = 0，当0 < x 1时， f x < f 0 = 0
所以 x +1, f x , x +1 f x 的符号随 x 的变化情况如下表：
x < -1 -1 < x < 0 0 < x < 2 x > 2
x +1 - + + +
f x + + - +
x +1 f x - + - +
所以由上表可知不等式 x +1 f x > 0的解集为 -1,0 2, + .
故答案为： -1,0 2, + .
四、解答题
x
11．（2024 · -2 + b高三 全国·专题练习）已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ 是奇函数．
2x+1 + a
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求证：函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求实数 k 的取值范围
【答案】(1)a＝2，b＝1
(2)证明见解析
1
(3)(－∞，－ )
3
【详解】
(1) 解：因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝0，
即 b＝1，所以 f(x)＝ .
由 f(1)＝－f(－1)，知 ＝－ ，解得 a＝2.
经检验 a＝2，b＝1 符合题意．
(2) 证明：由(1)知 f(x)＝ ＝－ ＋ ，
设任意 x1，x2∈(－∞，＋∞)，且 x1＜x2，
则 f(x2)－f(x1)＝ .
因为 y＝2x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以 2x1－2x2＜0，
所以 f(x2)－f(x1)＜0，即 f(x1)＞f(x2)，
所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3) 解：因为 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，且是奇函数，
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
所以 f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，
所以 3t2－2t－k＞0 对任意
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x = f x + 2 ，则以下说法
错误的是（ ）
A． f 0 = 0
B． f x 是周期函数，且 2 是其一个周期
C． f 2025 =1
D． f 3 = f 4 + f 5
【答案】C
【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】选项 A，因为 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f (-0) = f (0) = - f (0)，即
f 0 = 0，所以选项 A 正确，
选项 B，由 f x = f x + 2 ，知 f x 是周期函数，且 2 是其一个周期，所以选项 B 正确，
选项 C，因为 f 2025 = f (1+ 2 1012) = f (1) ，又 f -1 = f -1+ 2 = f (1) ， f -1 = - f (1)，
得到 f (1) = 0，所以选项 C 错误，
选项 D， f 3 = f (1) = 0, f 4 + f 5 = f (0) + f (1) = 0，所以选项 D 正确，
故选：C.
2．（2024· 2 2广西南宁·一模）已知函数 f x 的定义域为 R, f x + y f x - y = f x - f y ，
且当 x > 0时， f x > 0，则（ ）
A． f 0 =1 B． f x 是偶函数 C． f x 是增函数 D． f x 是周期函数
【答案】C
【分析】对 A，令 x - y = 0求解即可；对 B，令 x = 0化简可得 f -y + f y = 0即可；对 C，
x > x > 0 f 2 x - f 2设 2 1 ，结合题意判断 2 x1 > 0判断即可；对 D，根据 f x 是增函数判断即
可.
【详解】对 A，令 x - y = 0 2，则 f 0 = f 2 0 - f 2 0 ，得 f 0 = 0，故 A 错误；
对 B，令 x = 0，得 f y f -y = f 2 0 - f 2 y ，
由 f 0 = 0整理可得 f y é f -y + f y ù = 0，
将 y 变换为 -y，则 f -y é f y + f -y ù = 0，
故 é f
2
y + f -y ù = 0，故 f -y + f y = 0，故 f x 是奇函数，故 B 错误；
对 C，设 x2 > x1 > 0 ，则 f x2 > 0, f x1 > 0，
且 f 2 x - f 22 x1 = f x2 + f x1 f x2 - f x1
= f x2 + x1 f x 22 - x1 > 0 ，故 f x2 - f 2 x1 > 0，则 f x2 > f x1 .
又 f 0 = 0， f x 是奇函数，故 f x 是增函数，故 C 正确；
对 D，由 f x 是增函数可得 f x 不是周期函数，故 D 错误.
故选：C
3．（2024·云南贵州·二模）若函数 f x 的定义域为R 且图象关于 y 轴对称，在 0，+ 上是
增函数，且 f -3 = 0，则不等式 f x < 0 的解是（ ）
A． - ，- 3 B． 3，+
C． -3，3 D． - ，- 3 3，+
【答案】C
【分析】先分析不等式在 0，+ 上的解，再根据对称性得出不等式在上 - ,0 的解即可.
【详解】因为 f x 在 0，+ 上是增函数且 f -3 = 0，所以 f x < 0 在 0，+ 范围内的解
为 0,3 .
因为函数 f x 在定义域 R 上图象关于 y 轴对称，所以 f x < 0 在 - ,0 内的解为 -3,0 ，
所以不等式 f x < 0 在 R 内的解为 -3，3 .
故选：C
4．（2024·广东·一模）已知 f (x) = 2|x| + x2 ，若 f (a) < 3，则（ ）
A． a (1,+ ) B． a (-1,1) C．a (- ,1) D． a (0,1)
【答案】B
【分析】根据函数为偶函数及函数在[0, + ) 单调递增即可求解.
【详解】因为 f (x) = 2|x| + x2 的定义域为R ，且 f (-x) = 2 - x + (-x)2 = 2 x + x2 = f (x)，
所以 f (x) 为偶函数，
又当 x 0 时， f (x) = 2x + x2 单调递增，且 f (1) = 3，
所以由 f (a) < 3可得 f ( a ) < 3 = f (1) ，即 a <1，
解得-1 < a <1，
故选：B
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = ln x + x2 2+1 - x ，且 f x1 + f x2 + 2 < 0，2 +1
则（ ）
A． x1 + x2 < 0 B． x1 + x2 > 0 C． x1 + x2 > -2 D． x1 + x2 < -2
【答案】A
【分析】先判断函数单调性和奇偶性，然后结合单调性及奇偶性求解不等式.
f (-x) + f (x) = ln 1+ x2 2 2【详解】由已知 - x - - x + ln 1+ x2 + x -1+ 2 1+ 2x
ln é 1 x2 x 1 x2 x ù 2 ×2
x 2
= ê + - + + ú - 1+ 2x
- x = -2，1+ 2
因为 f x1 + f x2 + 2 < 0，令 g x = f x +1，则定义域为 R，
则 g -x + g x = f -x + f x + 2 = 0 ，故 g x 为奇函数，
又 y = ln x + x2 +1 , y 2= - x 在 0, + 上单调递增，2 +1
则 g x 在 0, + 上单调递增，又其为奇函数，
故 g x 在R 上单调递增，
所以 g x1 + g x2 < 0，即 g x1 < -g x2 = g -x2 ，
所以 x1 < -x2，即 x1 + x2 < 0 .
故选：A.
6．（2024·四川·模拟预测）已知函数 y = f x - 2 的图象关于直线 x = 2对称，对任意的
x R ，都有 f x + 3 = f x -1 成立，且当 x -2,0 时， f x = -x，若在区间 -2,10 内方
程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 个不同的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 2,2 2 B． 2,2 2ù C． 2 2,2 3 D． 2 2,2 3ù
【答案】D
【分析】由题意可知函数 y = f x 的图象关于 y 轴对称且周期为 4，由此可画出函数 f x
在区间 -2,10 上的图象，若在区间 -2,10 内方程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 个不同的实数
根，即函数 y = f x 与 y = loga x + 2 的图象有 5 个交点，数形结合列出不等式组求解即
可.
【详解】因为函数 y = f x - 2 的图象关于直线 x = 2对称，
所以函数 y = f x 的图象关于 y 轴对称，
因为对任意的 x R ，都有 f x + 3 = f x -1 成立，
所以 f x + 4 = f é x +1 + 3 ù = f é x +1 -1 ù = f x ，
所以函数 f x 的周期为 4，
画出函数 f x 在区间 -2,10 上的图象，如图所示：
若在区间 -2,10 内方程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 个不同的实数根，
即函数 y = f x 与 y = loga x + 2 的图象有 5 个交点，
ìloga 6 + 2 < 2
显然 a > 1，则 í ，解得 2 2 < a 2 3，
loga 10 + 2 2
即实数 a的取值范围为 2 2,2 3ù .
故选：D．
7．（23-24 高三上·四川·阶段练习）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且
27
f x -1 为奇函数， f 2 - x + f x = -2， f -1 = -2，则 f 2i -1 = （ ）
i=1
A． -28 B．-26 C．-24 D．-22
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法求出 f 1 、 f 3 、 f 5 、 f 7 的值，推出函数 f x 的周
期，结合 f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ×××+ f 49 ，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由 f 2 - x + f x = -2，令 x =1，得 2 f 1 = -2，所以 f 1 = -1，
由 f x -1 为奇函数，得 f x -1 = - f -x -1 ，所以 f x -1 = f -x -1 ，
故 f x = f -x - 2 ①．
又 f 2 - x + f x = -2 ②，
由①和②得 f 2 - x + f -x - 2 = -2 ，即 f 4 - x - 2 + f -x - 2 = -2，
所以 f x + f x + 4 = -2，③
令 x=-1，得 f -1 + f 3 = -2，得 f 3 = 0 ，
令 x =1，得 f 1 + f 5 = -2 ，得 f 5 = -1，
又 f x + 4 + f x + 8 = -2 ④，
由③ - ④得 f x - f x + 8 = 0，即 f x = f x + 8 ，
所以函数 f x 是以 8 为周期的周期函数，
故 f 7 = f -1 = -2，
所以 f 1 + f 3 + f 5 + f 7 = -1+ 0 -1- 2 = -4，
27
所以 f 2i -1 = f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ×××+ f 53
i=1
= 6 é f 1 + f 3 + f 5 + f 7 ù + f 1 + f 3 + f 5 = -24 -1+ 0 -1 = -26 .
故选：B．
8．（23-24 高三下·北京西城·开学考试）函数 f x 及其导数 f x 的定义域均为R ，记
g x = f x ，若 f 1- x 和 g x + 2 都是偶函数，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 是偶函数
C． g x 是奇函数 D． g x 是偶函数
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可知函数 f (x) 、 g(x)的图象分别关于直线 x =1、 x = 2对称，结
合导数的几何意义可知函数 f (x) 图象关于 (0, f 0 )与 (2, f 2 )对称，且 g(x)的图象关于点
(1,0)对称，进而证得函数 g(x)的周期为 4，则 g(x) = g(4 + x) = g(-x) ，即可求解.
【详解】由 f (1- x)是偶函数，得f (1 - x ) = f (1 + x )，
所以函数 f (x) 的图象关于直线 x =1对称；
由 g(x + 2) 是偶函数，得 g(x + 2) = g(-x + 2) ，
所以函数 g(x)的图象关于直线 x = 2对称，又 g(x) = f (x) ，
则 f (x) 关于 (2, f 2 )对称，所以 (0, f 0 )是函数 f (x) 图象的对称中心，
由于不确定 f 0 的值，所以无法判断函数 f (x) 的奇偶性，故排除选项 A、B；
又 g(x) = f (x) ，由f (1 - x ) = f (1 + x )，得 - f (1- x) = f (1+ x)，
即 -g(1- x) = g(1+ x)，得 g(1+ x) + g(1- x) = 0，
所以函数 g(x)的图象关于点 (1,0)对称；
由 -g(1- x) = g(1+ x)，得 -g(-x) = g(2 + x) ，即 -g(-x) = g(2 - x) ，
所以 -g(x) = g(2 + x) ，即 g(4 + x) = -g(2 + x) = g(x)，
所以函数 g(x)的周期为 4，所以 g(x) = g(4 + x) = g(-x) ，
所以函数 g(x)为偶函数，故排除 C，选择 D.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题通过函数的奇偶性、对称性和周期性，结合导数的几何意义、运
算和合理赋值，寻找函数 g(x)图象的对称性是解题的关键，原函数与导函数图象的关系、
奇偶性的联系都是解题的思路.
二、多选题
9．（2024 高三·全国·专题练习）(多选)已知函数 f(x)＝2x－2－x＋1，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 f(x)是奇函数
B．函数 f(x)是偶函数
C．函数 f(x)在 R 上是增函数
D．函数 f(x)的图象的对称中心是(0，1)
【答案】CD
【详解】易知 y＝2x，y＝－2－x 为增函数，所以 f(x)在 R 上是增函数；f(x)＋f(－x)＝2x－2－x＋
1＋2－x－2x＋1＝2，故 f(x)的对称中心是(0，1).故选 CD.
10．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知定义在R 上的奇函数 f x ，满足
f 2x -1 = f 3 - 2x ，当 x 0,1 时， f x = x，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期为 6 B．函数 f x 在 2024,2025 上递增
22
C． f k =1 D．方程 f x = log5 x 有 4 个根
k =1
【答案】BC
【分析】由题设可得 f x 最小正周期为 4，可判断 A，B，C；根据已知区间解析式画出 f x
图象，再画出 y = log5 x 的图象判断交点情况即知 D 的正误.
【详解】令 2x等价于 x ，所以 f x -1 = f 3 - x ，
所以 f x + 2 = f -x = - f x ，所以 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
所以函数 f x 的最小正周期为 4，故 A 错误；
当 x 0,1 时， f x = x，所以函数 f x 在 0,1 上递增，
因为函数 f x 的最小正周期为 4，所以函数 f x 在 2024,2025 上的单调性与 0,1 单调性相
同，故 B 正确；
又因为 f 0 = 0， f 1 =1，令 x = 0时，则 f 2 = - f 0 = 0，
令 x =1时，则 f 3 = - f 1 = -1，又 f 4 = f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0，
k =1
f k = 5 é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù + f 1 + f 2 =1，故 C 正确；22
又当 x 0,1 时， f x = x，结合对称性与周期性作出函数 f x 的图象，如图，
作出 y = log5 x 的图象，由图知两函数共有 5 个交点，
可得方程 f x = log5 x 有 5 个根，则 D 错误；
故选：BC.
【点睛】方法点睛：函数的对称性：
（1）若 f x + a + f -x + b = c ，则函数 f x a + b c 关于 , 中心对称；
è 2 2 ÷
a + b
（2）若 f x + a = f -x + b ，则函数 f x 关于 x = 对称.
2
11．（2024·安徽池州·二模）已知函数 f x 的定义域为R, f x +1 是奇函数，且"x R ，恒
有 f f x = x，当 x a,1 7 3时（其中 0 < a < 1）， f x = aloga x + b .若 f 0 + f ÷ = ，则
è 4 4
下列说法正确的是（ ）
A． f x 图象关于点 1,0 对称
B． f x 图象关于点 0,1 对称
C．4a + b = 1
f 1 D． - ÷ = 2
è 8
【答案】ABC
【分析】根据 f x +1 是奇函数判断 A 项正确；由 f 1 = 0代入可得b = 0，又由 f f x = x
推导出 y = f x 1 1图象关于直线 y = x 对称，从而判断 B 项；利用题设条件得到 f ÷ = ，分
è 4 4
类讨论 a
1 3
的取值情况求出 a的值，从而判断 C 项；利用选项 C 的结论，求得 f - ÷ = ，否
è 8 2
定 D 项.
【详解】对于 A 项，由 f x +1 是奇函数得 f -x +1 + f x +1 = 0 ，
所以函数 f x 关于点 1,0 对称，故 A 项正确；
对于 B 项，由函数 f x 的定义域为R,且 f x 关于点 1,0 对称，则 f 1 = 0，
所以 f 1 = aloga 1+ b = 0，因 0 < a < 1，故解得b = 0 .
由 f f x = x得点 f x , x 在函数 y = f x 图象上，
又点 x, f x 在函数 y = f x 图象上，
所以函数 y = f x 图象关于直线 y = x 对称.
又由 f x 关于点 1,0 对称，可得 f x 关于 0,1 对称，故 B 项正确；
对于 C 项，由函数 f x 关于点 0,1 对称得 f 0 =1，
由函数 f x 7 1 关于点 1,0 对称得 f ÷ = - f4 ÷，è è 4
故由 f 0 7+ f 3 ÷ = 可得 f
1 1
4 4 4 ÷
= .
è è 4
1 1 1 1 1 1
① 0 < a 1当 时， [a,1]，所以 f ÷ = aloga = ， ( )a = a 4 ，4 4 è 4 4 4 4
1 1 1
因 g(x) = x 4 - (1)x , x (0, 1 ]是增函数，又 g( ) = 0，故得 a = ；
4 4 4 4
1
②当 a > 时，由函数 f x 关于直线 y = x 对称可知函数 f x 在 0,1 内单减，
4
f a 1 1 1所以 < f ÷ ，又 f a = a, f
1
4 ÷
= ，所以 a < ，
è è 4 4 4
a 1 1这与题设 > 矛盾，舍去.所以 a = ，又b = 0，即4a + b = 1，故 C 项正确；
4 4
é1 ù
对于 D 项，由上分析，当 x ê ,1ú时， f x
1
= log x 1= - log x，
4
1 2
4 4 8
1 1 1 1
显然 f ÷ = ，由函数 f x 关于 y = x 对称，可知 f = ，
è 2 8 è 8 ÷ 2
由 f x 关于点 0,1 1 1 1 3对称得 f -

÷ = 2 - f

÷ = 2 - = ，故 D 项错误.
è 8 è 8 2 2
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数奇偶性及相关条件推断出函数具备的轴对称
和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数
的解析式，再利用函数对称性求出相应函数值.
三、填空题
12．（2023·广东·二模）设奇函数 f x 的定义域为R ，且 f x +1 是偶函数，若 f 1 = 7 ，则
f 2023 + f 2024 = .
【答案】 -7
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】因为 f x 是奇函数，且 f x +1 是偶函数，
所以 f x +1 = f -x +1 = - f x -1 ，
所以 f x + 2 = - f x ，即 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
故 f x 是 4 为周期的周期函数，且有 f (0) = 0，
则 f 2023 + f 2024 = f -1 + f 0 = - f 1 = -7 .
故答案为： -7
13．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）若函数 f x + 2 为偶函数， y = g x +1 -5是奇函数，且
f 2 - x + g x = 2 ，则 f 2023 = .
【答案】-3
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.
【详解】由题意可知 f x 关于 x = 2轴对称， g x 关于 1,5 中心对称，
f 2 - x + g x = 2 f 2 - x +10 - g 2 - x = 2 f 2 - x - g 2 - x = -8，
所以 f x - g x = -8，故 f x + f 2 - x = -6 = f x + f 2 + x ，
所以 f x + 2 + f x + 4 = -6 f x = f x + 4 ，
即T = 4是 f x 的一个正周期，则 f 2023 = f 3 = f 1
由 f 2 - x + f x = -6 f -1 + f 3 = -6，且 f -1 = f 3 ，则 f 1 = -3，
故答案为：-3
14．（2024 高一·全国·专题练习）定义R 上单调递减的奇函数 f (x) 满足对任意 t R ，若
f (t 2 - 2t) + f (2t 2 - k) < 0恒成立，求 k 的范围 .

【答案】 - ,
1
- ÷
è 3
【分析】根据 f (x) 为 R 上的奇函数且为减函数，可得出 k < 3t 2 - 2t 对任意的 t R 恒成立，
这样求出 y = 3t 2 - 2t 的最小值，从而可得出 k 的取值范围.
【详解】因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，所以
f t 2 - 2t + f 2t 2 - k < 0 f t 2 - 2t < - f 2t 2 - k = f k - 2t 2 ，
又因 f (x) 在 R 上单调递减，
所以 t 2 - 2t > k - 2t 2 对任意 t R 恒成立，
所以 k < 3t 2 - 2t 对任意 t R 恒成立，所以 k < 3t 2 - 2t min ，
1
设 y = 3t 2 - 2t ，对称轴 t = ，
3
2
所以当 t
1
= y 3 1 2 1 1时， min = ÷ - = - ，3 è 3 3 3
1
所以 k < - .
3
1
故答案为： - ,- ÷ .
è 3
四、解答题
ax + b
15．（23-24 高三上·河南周口·期末）已知函数 f x = 2 是定义在 -1,1 上的函数，1+ x
f -x = - f x f 1 2恒成立，且 2 ÷ = .è 5
(1)确定函数 f x 的解析式，并用定义研究 f x 在 -1,1 上的单调性；
(2)解不等式 f x -1 + f x < 0 .
x
【答案】(1) f x = 2 ，函数 f x 在 -1,1 上是增函数1+ x
1
(2) (0, )
2
1 2
【分析】（1）根据 f 0 = 0, f ÷ = ，待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，
è 2 5
结合函数解析式即可判断和证明；
（2）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.
ax + b
【详解】（1）根据题意， f x = 2 是 -1,1 上的奇函数，故 f 0 = b = 0，1+ x
a
f 1 又 = 2
2 2 x
÷
è 2 5
= a = ，故 a =1，则 f x = 2 ，5 5 1+ x
4
x -1,1 时， f -x -x= 2 = f x ，所以 f x 为奇函数，1+ x
x
故 f x = 2 .1+ x
f x x=
1+ x2
在 -1,1 上是增函数，理由如下，
x x (x - x )(1- x x )
设 -1 < x1 < x < 1
1 2 1 2 1 2
2 ，则 f (x1) - f (x2 ) = 1+ x2
- 2 = 2 2 ，
1 1+ x2 (1+ x1 )(1+ x2 )
因为 -1 < x1 < x2 < 1，所以-1 < x1x2 <1，且 x1 - x2 < 0，则1- x1x2 > 0，
则 f (x1) - f (x2 ) < 0 ，即 f (x1) < f (x2 )，
所以函数 f x 在 -1,1 上是增函数；
（2） f x -1 + f x < 0等价于 f x -1 < - f x = f -x ，
ì-1 < x -1<1
又 f x 在 -1,1 是单调增函数，故可得 í-1 < x <1 ，

x -1< -x
解得0 < x
1
< ，即不等式 f x -1 + f x < 0 1 的解集为 0, ÷ .2 è 2
16．（23-24 高三上·山西晋中·开学考试）设 f x 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
恒有 f x + 2 = - f x ，当 x 0,2 时， f x = 2x - x2 ．
(1)求证： f x 是周期函数；
(2)当 x 2,4 时，求 f x 的解析式；
(3)计算 f 0 + f 1 + f 2 + ×× × + f 2023 ．
【答案】(1)证明过程见解析
(2) f x = x2 - 6x + 8
(3) 0
【分析】（1）根据已知等式，利用赋值法进行证明即可；
（2）根据函数的周期性，结合奇函数的性质进行求解即可；
（3）根据函数的周期性进行求解即可.
【详解】（1） f x + 2 = - f x f x + 2 + 2 = - f x + 2 f x + 4 = f x ，
所以： f x 是以 4为周期的周期函数；
（2）当 x -2,0 时，因为 f x 函数是定义在 R 上的奇函数，
所以 f x = - f -x = -[2 -x - -x 2 ] = x2 + 2x，
当 x 2,4 时， f x = f x - 4 = x - 4 2 + 2 x - 4 = x2 - 6x + 8；
（3） f 0 = 0, f 1 =1, f 2 = 0, f 3 = -1，
因为函数 f x 的周期为 4，
所以 f 0 + f 1 + f 2 + ×××+ f 2023 = 506 é f 0 + f 1 + f 2 + f 3 ù = 0 .
17．（23-24 高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数 f x 对任意 x、 y R，都有
f x + y = f x + f y ，且 x > 0时， f x < 0 ．
(1)证明： f x 为奇函数；
(2)证明： f x 在 R 上为减函数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取 x = y = 0 可得 f 0 ，再取 y = -x即可证明；
（2）任取 x1 > x2 ， x1, x2 R ，计算 f x1 - f x2 的正负即可判断.
【详解】（1）取 x = y = 0 得 f 0 = f 0 + f 0
\ f 0 = 0，
取 y = -x得 f 0 = f x + f -x = 0，
即 f x = - f -x ，所以 f x 为奇函数；
（2）任取 x1 > x2 ， x1, x2 R ，
则 f x1 - f x2 = f x1 - x2 + x2 - f x2 = f x1 - x2 + f x2 - f x2 = f x1 - x2 ，
由 x1 > x2 ，得 x1 - x2 > 0，所以 f x1 - x2 < 0，
即 f x1 - f x2 < 0，
故 f x 在 R 上为减函数．
18．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的周期函数，周期T = 5，
函数 y = f (x) （-1 x 1）是奇函数．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二
次函数，且在 x = 2时函数取得最小值-5．
(1)证明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2) f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4)
ì-3x +15,4 x 6
(3) f x = í
2 x - 7
2 - 5,6 < x 9
【分析】（1）根据函数周期性，可得 f 4 = f -1 ，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出 f x 在 0,1 的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f (4) = f (4 - 5) = f (-1)，
又∵ y = f (x)(-1 x 1)是奇函数，∴ f (1) = - f (-1) = - f (4) ，∴ f (1) + f (4) = 0
（2）当 x [1, 4]时，由题意可设 f (x) = a(x - 2)2 - 5(a > 0)，
由 f (1) + f (4) = 0，得 a(1- 2)2 - 5 + a(4 - 2)2 - 5 = 0 ，∴ a = 2，
∴ f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4) .
（3）根据（2）中所求，可知 f 1 = -3；又 f x 在 -1,1 上是奇函数，故 f 0 = 0，
故当 x 0,1 时，设 f x = kx k 0 ，则 k 1 = -3，解得 k = -3 .
故当 x 0,1 时， f x = -3x .
又 f x 在 -1,1 上是奇函数，故当 x -1,0 时， f x = -3x .
综上，则 x -1,1 时， f x = -3x .
因为 x 1,4 时， f x = 2 x - 2 2 - 5 .
所以当 x 4,6 时， x - 5 -1,1 ，所以 f x = f x - 5 = -3 x - 5 = -3x +15；
当 x 6,9 时， x - 5 1,4 ，所以 f x = f x - 5 = 2 x - 7 2 - 5，
-3x +15, 4 x 6
综上所述， f (x)
ì
= í .
2(x - 7)
2 - 5, 6 < x 9
19．（2023 高三·全国·专题练习）设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x =1对称，
é 1 ù
对任意x1， x2 ê0, ú，都有 f (x1 + x2 ) = f (x ) × f (x ) f (1) = a > 02 1 2 ，且 ．
1
(1)求 f ( ), f (
1)；
2 4
(2)证明 f (x) 是周期函数；
(3)记 an = f (2n
1
+ )，求 a
2n n
．
1 1
【答案】(1) f (1) 1= a 2 , f ( ) = a 4
2 4
(2)证明见解析
1
(3) an = a 2n
1 2 1 1 2
【分析】（1）根据题意可得 f (1) = [ f ( )] 、 f ( ) = [ f ( )] ，结合 f (1) = a > 0 即可求解；
2 2 4
（2）根据抽象函数的对称性和奇偶性可得 f (x) = f (x + 2), x R ，即可得出结果；
1 1
（3）由（1）可得 f ( ) = f (n
1 1
× ) = f ( ) f ( 1 ) ×L× f ( 1 ) = [ f ( 1 )]n 1，结合 f ( ) = a 2 和周
2 2n 2n 2n 2n 2n 2
期为 2，即可求解.
1
【详解】（1）因为对任意的 x1, x2 [0, ]，都有 f (x1 + x2 ) = f (x ) f (x )，2 1 2
所以 f (x) = f (
x x
+ ) = f ( x ) f ( x ) 0, x [0,1]，
2 2 2 2
又 f (1)
1 1 1 1 1
= f ( + ) = f ( ) f ( ) = [ f ( )]2 ，
2 2 2 2 2
f (1) f (1 1= + ) 1= f ( ) f (1) = [ f (1)]2 ， f (1) = a > 0 ，
2 4 4 4 4 4
1 1
∴ f (1) a 2 , f (1= ) = a 4 .
2 4
（2）设 y = f (x) 关于直线 x =1对称，故 f (x) = f (1+1- x) ，
即 f (x) = f (2 - x), x R ，又 f (x) 是偶函数，
所以 f (-x) = f (x), x R ，
∴ f (-x) = f (2 - x), x R ，将上式中-x以 x 代换，
得 f (x) = f (x + 2), x R ，
则 f (x) 是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期．
（3）由（1）知 f (x) 0, x [0,1]，
f (1) f (n 1 ) f [ 1∵ = × = + (n -1)
1
× ] f ( 1 ) f [(n 1) 1= - × ] =L
2 2n 2n 2n 2n 2n
f ( 1 ) f ( 1 ) L f ( 1= × × ) = [ f ( 1 )]n ，
2n 2n 2n 2n
1 1
又 f (1) = a 2 ，∴ f ( 1 ) = a 2n .
2 2n
∵ f (x) 的一个周期是 2，
1
∴ f (2n
1 1
+ ) = f ( )，因此 2n ．
2n 2n an = a
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在R 上的可导函数 f x ，满足 f x ×ex < 0 ，且
f x + f -x = 0 .若 f 1 = -1，则满足 f x -1 1的 x 的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． -2,1 C． 0,2 D． -1,2
【答案】C
x
【分析】由 f x ×e < 0 ，可得函数 f x 在R 上是减函数，由 f x + f -x = 0，可得函数
f x 为奇函数，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为 f x ×ex < 0,ex > 0，所以 f x < 0，
所以函数 f x 在R 上是减函数，
又因为 f x + f -x = 0，所以 f x = - f -x ，
所以函数 f x 为奇函数，
因为 f 1 = -1，所以 f -1 =1，
由 f x -1 1，得-1 f x -1 1，即 f 1 f x -1 f -1 ，
所以-1 x -1 1，解得0 x 2，
所以满足 f x -1 1的 x 的取值范围是 0,2 .
故选：C.
2．（2024·四川泸州·二模）已知 f x ， g x 都是定义在 R 上的函数，对任意 x，y 满足
f x - y = f x g y - g x f y ，且 f -2 = f 1 0，则下列说法正确的是（ ）
2024
A． g 0 = 0 B．若 f 1 = 2024 ，则 f n = 2024
n=1
C．函数 f 2x -1 1的图象关于直线 x = 对称 D． g 1 + g -1 = -1
2
【答案】D
2π 2π
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断 A、D，取 f x = sin x, g x = cos x 可
3 3
判断 C，对于 B，通过观察选项可以推断 f x 很可能是周期函数，结合 f x g y , g x f y
的特殊性及一些已经证明的结论，想到令 y = -1和 y =1时可构建出两个式子，两式相加即可
2024
得出 f x +1 + f x -1 = - f x ，进一步得出 f x 是周期函数，从而可求 f n 的值.
n=1
【详解】对于 A，令 x = y = 0 ，可得 f 0 = f 0 g 0 - g 0 f 0 = 0，得 f 0 = 0，
令 y = 0 ， x =1，代入已知等式得 f 1 = f 1 g 0 - g 1 f 0 ，
可得 f 1 é1- g 0 ù = -g 1 f 0 = 0，结合 f 1 0 得1- g 0 = 0 ，
所以 g 0 =1，故 A 错误；
对于 D，因为 g 0 =1，令 x = 0，代入已知等式得 f -y = f 0 g y - g 0 f y ，
将 f 0 = 0， g 0 =1代入上式，得 f -y = - f y ，所以函数 f x 为奇函数.
令 x =1， y = -1，代入已知等式，得 f 2 = f 1 g -1 - g 1 f -1 ，
因为 f -1 = - f 1 ，所以 f 2 = f 1 é g -1 + g 1 ù ，
又因为 f 2 = - f -2 = - f 1 ，所以- f 1 = f 1 ég -1 + g 1 ù，
因为 f 1 0 ，所以 g 1 + g -1 = -1，故 D 正确；
对于 B，分别令 y = -1和 y =1，代入已知等式，得以下两个等式：
f x +1 = f x g -1 - g x f -1 ， f x -1 = f x g 1 - g x f 1 ，
两式相加易得 f x +1 + f x -1 = - f x ，所以有 f x + 2 + f x = - f x +1 ，
即 f x = - f x +1 - f x + 2 ，
有- f x + f x = f x +1 + f x -1 - f x +1 - f x + 2 = 0 ，
即 f x-1 = f x+2 ，所以 f x 为周期函数，且周期为3，
因为 f 1 = 2024 ，所以 f -2 = 2024，所以 f 2 = - f -2 = -2024， f 3 = f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 = 0，
2024
所以 f n = f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024
n=1
= f 2023 + f 2024 = f 1 + f 2 = 0，故 B 错误；
2π 2π
对于 C，取 f x = sin x， g x = cos x ，满足 f x - y = f x g y - g x f y 及
3 3
f -2 = f 1 0，
所以 f 2x -1 = sin 2π 2x -1 ，又 f 0 = sin 0 = 0，
3
所以函数 f 2x -1 1的图像不关于直线 x = 对称，故 C 错误；
2
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有 x, y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利
用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，
特别是有 x, y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此
过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 f x 在R 上可导，其导函数为 f x ，若 f x 满
足： x -1 é f x - f x ù > 0， f 2 - x = f x e2-2x ，则下列判断正确的是（ ）
A． f 1 > ef 0 B． f 2 > e2 f 0 C． f 3 > e3 f 0 D． f 4 < e4 f 0
【答案】C
f x
【分析】根据已知条件构造函数F x = x ，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利e
用函数的对称性，可得F (1) < F (0) = F (2) < F (3) < F (4)，对其进行比较即可判断各选项.
x x
f x e f x - e f x f
x - f x
【详解】设F x = x ，则F x =e e2x
= x ，e
因为函数 f x 满足： x -1 é f x - f x ù > 0，
当 x >1时， f x - f (x) > 0,\F x > 0，所以F x 在 1, + 上单调递增；
当 x <1时， f x - f (x) < 0,\F x < 0，所以F x 在 - ,1 上单调递减；
又由 f 2 - x = f x e2-2x f 2 - x f x 2-x = x F 2 - x = F x ，e e
所以F x 关于直线 x =1对称，从而F (1) < F (0) = F (2) < F (3) < F (4)，
即F (1) < F (0)
f 1 f 0
，\ 1 < 0 ,\ f (1) < ef (0)，故 A 错误；e e
由F (0) = F (2)
f 0 f 2
，\ 0 = 2 ,\ f (2) = e
2 f (0) ，故 B 错误；
e e
f 0 f 3
由F (0) < F (3)

，\ 0 3 ,\ f (3) e
3 f (3) ，故 C 正确；
e e
f 0 f 4
F (0) < F (4) \ ,\ f (4) e4由 ， 0 4 f (0)，故 D 错误.e e
故选：C.
f x
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是构造函数F x = x ，利用导数法研究函数的单调e
性，结合函数的对称性即可.
二、多选题
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 f x 是定义域为 R 的可导函数，若
f x + y = f x + f y + 3xy x + y ，且 f 0 = -3，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 是减函数
C． f 3 = 0 D． x =1是 f x 的极小值点
【答案】ACD
【分析】令 x = y = 0 求出 f 0 ，令 y = -x可确定奇偶性，将 y 当作常数， x 作为变量，对
原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.
【详解】令 x = y = 0 ，得 f 0 = 0，令 y = -x，得 0 = f x + f -x ，所以 f x 是奇函数，
A 正确；
Q f x + y = f x + f y + 3x2 y + 3xy2 ,\ f x + y = f x + 6yx + 3y2
令 x = 0,\ f y = f 0 + 3y2 ，
又Q f 0 = -3,\ f y = 3y2 - 3,\ f y = y3 - 3y + c，
Q f 0 = 0,\c = 0,\ f y = y3 - 3y,\ f x = x3 - 3x,\ f 3 = 0，
令 f x = 0，\ x = ±1， f x > 0， x < -1或 x >1, f x < 0, -1 < x <1
\ f x 在 - ,-1 和 1, + 上为增函数， f x 在 -1,1 上为减函数，
\ x =1是 f x 的极小值，故 CD 正确，B 错误.
故选：ACD.
5．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知函数 f (x), g(x)及其导函数 f (x), g (x) 的定义域均为
R ，若 f (2x -1)的图象关于直线 x =1对称， f (x) + g(x +1) = x +1, f (x +1) = g(-x) + x ，且
g(2) =1，则（ ）
A． f (x) 为偶函数 B． g(x)的图象关于点 (3,3) 对称
99
C． g (202) = 1 D． g(i) = 4949
i=1
【答案】BCD
【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数 f x 的对称性，以及周期，并结合条件转
化，判断函数 g x 的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求 g 202 ，最后利
用函数 f x 与 g x 的关系求和.
【详解】由 f (2x -1)的图象关于直线 x =1对称，可得 f (x -1)的图象关于直线 x = 2对称，即
f (x) 的图象关于直线 x =1对称，则 f 2 + x = f -x
由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得 f (-x -1) + g(-x) = -x，又 f (x +1) = g(-x) + x ，
所以 f (-x -1) + f (x +1) = 0，所以 f (x) 的图象关于点 (0,0)对称，即 f (x) 为奇函数，
所以 f 2 + x = f -x = - f x ，即 f 4 + x = f x ，即函数 f x 的周期为 4，
由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得 f (x + 5) + g(x + 6) = x + 6，因为 f (x) 的周期为 4，所以
f (x + 5) = f (x +1)，
则 g(-x) + x + g(x + 6) = x + 6，即 g(-x) + g(x + 6) = 6，所以 g(x)的图象关于点 (3,3) 对称，
故 B 正确；
因为 f (x) 的图象关于直线 x =1对称，则 f (2 - x) = f (x)，所以- f (2 - x) = f (x)，所以
f (1) = 0，
因为 f (x) 的周期为 4，所以 f (x) 的周期也为 4.由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得
f (x) + g x +1 =1，所以 g (202) = 1- f (201) = 1- f (1) = 1，故 C 正确；
由 f (x) + g(x +1) = x +1，可得 g(x) = x - f (x -1) ，所以 g(2) = 2 - f (1)，即
99
f (1) = 1, f (2) = f (0) = 0, f (3) = -1, g(i) = (1+ 2 + 3 +L+ 99)
i=1
-[ f (0) + f (1) +L+ f (98)] = 4950 - f (0) - f (1) - f (2) = 4949，故 D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件
等式为桥梁，发现函数 f x 与 g x 的性质关系，以及解析式的关系.
三、填空题
6．（2024·陕西·二模）偶函数 f x 的定义域为D，函数 f x 在 0, + 上递减，且对于任意
a,b D, a 0,b 0均有 f ab = f a + f b ，写出符合要求的一个函数 f x 为 .
【答案】 y = -logm x (m >1) （答案不唯一）
【分析】根据题意，结合对数型函数的性质，即可得到满足条件的一个函数.
【详解】由函数 f x = -logm x (m >1)，
当 x 0, + ，可得 f x = -logm x ，此时函数在 0, + 上单调递减，
又由 logmab = logma + logmb，即满足 f ab = f a + f b ，
故 y = -logm x (m >1) 均满足要求.
故答案为： y = -logm x (m >1) （答案不唯一）
7．（2024·上海长宁·二模）已知函数 y = f x 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0时，
f x = log2x ，若 f a >1，则实数 a的取值范围为 ．
a | 1【答案】 - < a < 0或 a > 2
2
【分析】由已知结合奇函数的定义可求出 x < 0 及 x = 0时的函数解析式，然后结合对数函数
性质即可求解不等式.
【详解】因为函数 y = f x 是定义域为R 的奇函数，
所以 f 0 = 0，
当 x > 0时， f x = log2x ，
当 x < 0 时， -x > 0，
所以 f -x = log2 -x = - f x ，
所以 f x = - log2 -x ，
若 f a >1，
当 a > 0时，可得 log2 a >1，解得 a > 2，
当 a<0时，可得- log2 -a >1
1
，解得- < a < 0 ，
2
当 a = 0时，可得0 > 1，显然不成立，
1
故 a的取值范围为 a | - < a < 0或 a > 2 .
2
1
故答案为： a | - < a < 0或 a > 2 .
2
四、解答题
2
8．（2024 高三·全国·专题练习）对于函数 f x = a - x a R .2 +1
(1)探索函数 f x 的单调性；
(2)是否存在实数 a使函数 f x 为奇函数？
【答案】(1) f (x) 在R 上为增函数
(2)存在 a =1使函数 f x 为奇函数
【分析】（1）根据复合函数的单调性判断，再利用单调性的定义证明即可；
（2）假设存在实数 a使 f (x) 为奇函数，则 f (-x) = - f (x) ，即可求出 a的值.
f x a 2【详解】（1）函数 = - x a R 的定义域为R ，2 +1
而 y = 2x 在定义域R 上单调递增且 y = 2x > 0 ，
又 y
2
= 在 0, + 上单调递减，
x
2
所以 y = x 在R 上单调递减，2 +1
所以 f x a 2= - x 在R 上单调递增，2 +1
证明如下：任取 x x2 x11, x2 R ，且 x1 < x2，则 2 > 2 > 0，
f x - f x 2= a - 2 所以 2 1 x - a -è 2 2 +1÷ ÷ è 2x1 +1
2 2 2 2x2 - 2x1
= x - x = > 0，2 1 +1 2 2 +1 2x1 +1 2x2 +1
\ f x2 > f x1 ，
故 f x 在R 上为增函数.
（2）假设存在实数 a使 f (x) 为奇函数，则 f (-x) = - f (x) ，
a 2 2\ -
2- x
= -a + x ，+1 2 +1
2a 2 2= + 2 2 2 2 2
x
即
2x +1 2- x
，又 x + - x = x + = 2，+1 2 +1 2 +1 2 +1 2x +1
\a = 1，
故存在实数 a =1，使函数 f (x) 为奇函数.
9．（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 f x x R 满足 f x + 6 + f x = 2 f 3 ，函
数 y = f x -1 的图象关于点 1,0 对称，求 f 2022 的值.
【答案】0
【分析】由条件 f x + 6 + f x = 2 f 3 可得函数 f x 是周期为 12 的周期函数，由周期性
得 f (2022) = f (6)，再由图象平移关系可得 f (x) 的对称性，结合对称性与周期性赋值得 f (-6)
与 f (6)的两个等式，解出 f (6)即可.
【详解】根据题意，由 f x + 6 + f x = 2 f 3 ，
知 f (x +12) + f (x + 6) = 2 f (3) ，
两式相减，得 f x +12 = f x ，即 f x 是周期为 12 的周期函数，
由 f x +12 = f x ，\ f (2022) = f (12 168 + 6) = f (6) .
又由 y = f x -1 的图象关于点 1,0 对称，
且 y = f x 的图象是由 y = f x -1 的图象向左平移一个单位长度得到的，
则 y = f x 的图象关于点 0,0 对称，即 y = f x 是奇函数.
由 f (x) 周期为12，可得 f (-6) = f (6)，
而 f x 为奇函数，则 f (-6) = - f (6) = f (6)，所以 f 6 = 0，
故 f 2022 = f 6 = 0 .
10．（22-23 x高三上·湖北·开学考试）已知函数 f x = log2 4 +1 + kx为偶函数．
(1)求实数 k 的值；
(2)解关于m 的不等式 f 2m +1 > f m -1 ；
(3)设 g x = log a ×2x2 + a a 0 ，若函数 f x 与 g x 图象有 2个公共点，求实数 a的取值
范围．
【答案】(1) -1
(2) - ,-2 0,+
(3) 2 2 - 2，1
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可；
（2）考查函数在R 的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知方程 f x = g x 有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可.
【详解】（1）函数的定义域为R ，
因为函数 f x = log x2 4 +1 + kx为偶函数．
所以 f -x = f x ，
log 4- x即 2 +1 - kx = log2 4x +1 + kx ，
所以 2kx = log2 4- x +1 - log x2 4 +1
4x +1
x
= log 42 x = log2 4
- x = -2x，
4 +1
所以 k = -1；
x
（2）因为 f x = log2 4x 1 4 +1+ - x = log2 x ÷ = log 2 2x 1+ ，
è 2 è 2
x ÷
1
当 x 0 时， 2x 1， y = 2x + x 单调递增，2
所以 f x 在 0, + 上单调递增，又函数 f x 为偶函数，
所以函数 f x 在 - ,0 上单调递减；
因为 f 2m +1 > f m -1 ，所以 2m +1 > m -1 ，
解得m < -2或m > 0，
所以不等式的解集为 - ,-2 0,+
（3）因为函数 f x 与 g x 图象有 2个公共点，
所以方程 f x = g x 有两个不同的根，
方程即为 log2 4x +1 - x = log2 a ×2x + a ，
4x +1 1
可化为 a ×2x + a = x = 2
x +
2 2x
，
则有 a ×2x + a > 0， a > 0，
1
设 t = 2x > 0 ，则 at + a = t + ，t
即 a -1 t 2 + at -1 = 0，
又 t = 2x 在R 上单调递增，
所以方程 a -1 t 2 + at -1 = 0有两个不等的正根；
ìa -1 0

Δ = a
2 - 4 a -1 -1 > 0
a
所以 í- > 0 ，
a -1
1
- > 0
a -1
解得 2 2 - 2 < a <1，
a 2 2 - 2，1 所以 的取值范围为 ．

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