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考点 37 数列求和（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+
拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．
【知识点】
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和．
(1)等差数列的前 n 项和公式：
n a1＋an n n－1
Sn＝ ＝na1＋ d.2 2
(2)等比数列的前 n 项和公式：
na1，q＝1，
Sn＝{a1－anq a1 1－qn ＝ ，q ≠ .11－q 1－q
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，
分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 a nn＝(－1) f(n)类型，可
采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列
的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
1 1 1
(1) ＝ － .
n n＋1 n n＋1
1 1 1 1
(2) ＝ ( － ).n n＋2 2 n n＋2
1 1 1 1
(3) ＝ － .
2n－1 2n＋1 2(2n－1 2n＋1)
1
(4) ＝ n＋1－ n.
n＋ n＋1
1 1 1 1
(5) ＝ － .
n n＋1 n＋2 2[n n＋1 n＋1 n＋2 ]
常用结论
常用求和公式
n n＋1
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ .
2
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
n n＋1 2n＋1
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝ .
6
n n＋1
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝[ 2 ]2
【核心题型】
题型一　分组求和与并项求和
　(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和
法求数列{cn}的前 n 项和．
(2)若数列{c an，n 为奇数，n}的通项公式为 cn＝{bn，n 为偶数， 其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数
列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和
【例题 1】（2024·河北·模拟预测）已知首项为 2 的数列 an 满足 4an+1 - 5an+1an - 2an = 2，当
an 的前 n项和 Sn 16时，则 n的最小值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
【答案】B
【分析】通过计算得到 an 为一个周期为 4 的数列，从而计算出
S41 =10 a1 + a2 + a3 + a4 + 2 =17，得到答案.
【详解】由题意得 a1 = 2， 4a2 - 5a2a1 - 2a1 = 2 ，解得 a2 = -1，
同理 4a3 - 5a3a2 - 2a2 = 2，解得 a3 = 0，
4a4 - 5a4a3 - 2a3 = 2
1
，解得 a4 = ，2
4a5 - 5a5a4 - 2a4 = 2 ，解得 a5 = 2，
故 an 为一个周期为 4 的数列，且 a1 + a
1 3
2 + a3 + a4 = 2 -1+ 0 + = ，2 2
故 S40 =10 a1 + a2 + a3 + a4 =15， S41 =10 a1 + a2 + a3 + a4 + 2 =17，
故 n的最小值为 41.
故选：B
【变式 1】（2024·四川攀枝花·三模）数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = -1，
nan = Sn + n(n -1)(n N
* )，设bn = (-1)
n an，则数列 bn 的前 51 项之和为（ ）
A．-149 B．-49 C．49 D．149
【答案】B
【分析】由 an 与 Sn 的关系，结合等差数列的通项公式求得 an = 2n - 3，即可得到
bn = -1
n 2n - 3 ，再由并项求和法计算可得．
【详解】因为 nan = Sn + n(n -1)(n N
* )，
当 n 2时， nan = n(Sn - Sn-1) = Sn + n(n -1)，
即 (n -1)Sn - nSn-1 = n(n -1) ，
Sn Sn-1 S可得 - =1
S1 ì= a = -1 í n
ü
，又 -11 1 ，所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，n n -1 n
S
所以 n = -1+ n -1 = n - 2，则 Sn = n(n - 2)n ，
当 n 2时 Sn-1 = n -1 (n - 3)，
所以 an = Sn - Sn-1 = n n - 2 - n -1 (n - 3) = 2n - 3，当 n =1时 an = 2n - 3也成立，
所以b n nn = -1 an = -1 2n - 3 ，
可得数列 bn 的前51项之和为 (1+1) + (-3 + 5) + ... + (-95 + 97) - 99 = 2 25 - 99 = -49．
故选：B
【变式 2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn , a1 =1,a3 = 2 ，且
anan+2 = an+1an+3 ，则 S16 的最小值为 ．
【答案】12 + 8 2
【分析】根据给定的递推公式探求得数列 an 的周期，再利用周期性及基本不等式求解即
得.
【详解】正项数列 an 中，由 anan+2 = an+1an+3 ，得 an+1an+3 = an+2an+4 ，则 an+4 = an ，
即数列 an 是以 4 为周期的周期数列，而 a1 =1, a3 = 2 ，则 a2a4 = a1a3 = 2，
因此 S16 = 4(a1 + a2 + a3 + a4 ) =12 + 4(a2 + a4 ) 12 + 8 a2a4 =12 + 8 2 ，
当且仅当 a2 = a4 = 2 时取等号，
所以 S16 的最小值为12 + 8 2 .
故答案为：12 + 8 2
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是求出数列的周期，再借助周期性求前 n 项和.
【变式 3】（2024·全国·高考真题）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 2Sn = 3an+1 - 3 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 Sn 的前 n 项和.
n-1
5
【答案】(1) an = 3 ÷è
(2) 15 5
n
×
3
÷ - n
15
-
4 è 3 2 4
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求 Sn .
【详解】（1）因为 2Sn = 3an+1 - 3 ,故 2Sn-1 = 3an - 3，
5
所以 2an = 3an+1 - 3an n 2 即5an = 3an+1故等比数列的公比为 q = ，3
n-1
故 2a1 = 3a2 - 3 = 3a
5
1 - 3 = 5a1 - 3，故 a1 =1，故 a =
5 .
3 n ֏ 3
é n
1 1- 5
ù
ê 3 ÷ ú n
（2）由等比数列求和公式得 è S ê ú 3 5 3n = =

5 2 3 ÷
- ，
1- è 2
3
所以数列 Sn 的前 n 项和
3 é 2 3 nT = S + S + S + ×××+ S = 5 5 5 5
ù 3
n 1 2 3 n ê ÷ +2 3 3 ÷
+ 3 ÷
+ ××× + ÷ ú - n
êè è è è 3 ú 2
5 é
n
ù
÷ ê1
5
-
3 è 3
÷ ú
ê è 3 ú 3 n 15 5
n
3 15= × - = ×
2 5 ÷
- n -
1- 2 4 è 3 2 4 3 ÷è
题型二　错位相减法求和
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，常采用错位相
减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地
写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比 q 是否等于 1，如果 q＝1，应用公式 Sn＝na1
1
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 4an+1 - 4an + an-1 = 0,a1 = a2 = ，其前 n2
6
项和为 Sn ，则使得 2 - Sn < an 成立的 n 的最小值为（ ）5
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
n
2n a a 1= n × 【分析】由数列递推式，整理构造出等差数列 n ，求得通项 n ÷ ，再利用错位
è 2
1 nS = 2 - (n + 2) × 相减法求得 n ÷ ，最后代入不等式求解即得.
è 2
【详解】因为 4an+1 - 4an + an-1 = 0，
2
所以 2 an+1 - 2an = 2an - an-1．
两边同乘 2n-1 2n+1a n n n-1得， n+1 - 2 an = 2 an - 2 an-1，
22 a - 21又因为 2 a1 =1，即 2
n+1a nn+1 - 2 an = 1，
所以 2n an 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
n
2n所以 an = n，则 a
1
n = n ×

÷ ．
è 2
1 1 2 nS =1× 2 1 1 则 n ÷ + × ÷ +L+ n × ÷ ，
è 2 è 2 è 2
1 1 2 1 3 n+1Sn =1×
+ 2 × ÷ ÷ +L+ n
1×
2 2 2 ÷
，
è è è 2
1 1 1 1 2 nS 1 1
n+1
两式相减得， n = ÷ + ÷ +L+ ÷ - n ×

2 2 2 2 ÷
，
è è è è 2
1
1
1
-
2 2n ÷ n+1 n= è - n × 1 1 n= - +1 1 1 2 ÷ 2 ÷ ÷
，
1- è è è 2
2
n
所以 Sn = 2 - (n + 2)
1× 2 ÷
，
è
2 S 6
n n
则由 - n < a
1 6 1
n 可得， (n + 2) ×

5 ÷
< n ×
2 5 2 ÷
，
è è
解得 n >10 ，则 n 的最小值为 11．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解题关键在于，对于已知的数列递推式，发现其特征，通过等价变形，
将其转化为等差或等比数列的形式，有时从数列定义，有时是通过等差（比）中项的角度推
得，对于通项具备“等差×等比”型的数列，考虑用错位相减法求和即得
n
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和， a1 = 2， an+1 = 2 an + 2 ，
不等式 2lan - S2n+1 -128n + 2 0对任意的 n N* 恒成立，则实数l 的取值范围为（ ）
A． - ,32 B． - ,16
C． 32, + D． - ,8
【答案】A
ìa ü
【分析】根据题意，由条件可得数列 í n2n 是等差数列，再由错位相减法可得
Sn ，代入计算，

分离参数，结合基本不等式即可得到结果.
Qa = 2 a + 2n a a【详解】 ，\ n+1 - nn+1 n n a = 2+1 n =1，又 1 ，2 2
a
\ ì数列 í n
ü
2n 是首项为
1、公差为 1 的等差数列，

a
\ nn = n ，\an = n 2
n
，
2
\S =1 2 + 2 22 + 3 23 + ×××+ n 2nn ①，
\2S 2 3 n n+1n =1 2 + 2 2 + ×××+ n -1 2 + n 2 ②，
n
① -
2 1- 2
②得，-S = 2 + 22 + 23 + ×××+ 2n - n 2n+1

n = - n 2
n+1 = 1- n 2n+1 - 2，
1- 2
\Sn = n -1 2n+1 + 2 ，\不等式 2lan - S2n+1 -128n + 2 0，
即 2ln 2n - 2n 22n+2 - 2 -128n + 2 0，
故l 2n+2
64
+ n 对任意的 n N
* 恒成立．
2
64 64 n+2 64
又 2n+2 + 2 2n+2n n = 32，当且仅当 2 = n ，即 n = 2时等号成立，2 2 2
\l 32，
故选：A
2a a
【变式 2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列 an 满足 a1 = 2，且 n = n-1 （ n N*且3n +1 3n - 2
n >1），若 an n
217
的前 项和为 Sn ，则满足 Sn > 的最小正整数 n的值为 .32
【答案】8
an 3n +1
【分析】依题意可得 =a 2 3n n 2 a- 2 ，利用累乘法求出 n 的通项公式，再利用错位n-1
相减法求出 Sn ，最后根据单调性求出 n的取值范围.
2a a
【详解】因为 n = n-1 （ n N*且 n >1），
3n +1 3n - 2
an 3n +1 a2 7 a3 10 a4 13
所以 = = = = Lan-1 2 3n - 2
n 2 ，所以 a1 2 4
， a ，2 2 7 a3 2 10
， ，
a2 a3 a4 L an 7 10 13 L 3n +1 3n +1所以 = =a1 a2 a3 a
n+1 ，
n-1 2 4 2 7 2 10 2 3n - 2 2
an 3n +1 3n +1
即 = n+1 ，又 a1 = 2a 2 ，所以 an = 2n
，
1
S 4 7 10 3n +1 1 4 7 10 3n +1所以 n = 1 + + +L+ ，则 S = + + +L+ ，2 22 23 2n 2 n 22 23 24 2n+1
1 S 4 3 3 3 L 3 3n +1所以 = + + + + + -
2 n 21 22 23 24 2n 2n+1
3 1 1
1 2
-
2n ÷ 3n +1 7 1 n+1= + è - = - 3n + 7
2 1 1
，
- 2
n+1 2 è 2 ÷
2
n
所以 S = 7 - 3n + 7 1 n ÷ ，
è 2
n n
因为 S
217
> 1 217 1 7n ，所以7 - 3n + 7 > 3n + 7 ，即 < ，32 è 2 ÷ 32 ÷è 2 32
n n+1 ì n 1 1 3n + 4 1 ü
因为 3n + 7 ÷ - 3n +10 ÷ = n+1 > 0 ，所以数列 í 3n + 7 2 2 2 2 ÷ 单调递减，è è è
n
又当 n = 7时 3n 7 1 28 7+ ÷ = = ，
è 2 128 32
1 n 31 7 56
又当 n = 8时 3n + 7 ÷ = < = ，
è 2 256 32 256
所以 n 8，则最小正整数 n的值为8 .
故答案为：8
【变式 3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 Sn ,
2Sn = n an +1 且 a
3
2 = a .2 1
(1)求 an 的通项公式；
a
(2)若bn = nn ,2 求数列 bn 的前 n项和Tn .
n +1
【答案】(1) an = 2
T 3 n + 3(2) n = -2 2n+1
ìS1, n =1
【分析】（1）根据公式 an = íS S ,n 2求
a
- n
即可.
n n-1
（2）由（1）知bn ,根据通项公式规律,用错位相减来求Tn 即可.
【详解】（1）当 n =1时, 2S1 = a1 +1
3 3
,解出 a1 =1 ,又 a2 = a1 ,则 a2 = ；2 2
ì 2S = n a +1 ,
当 n 2 , n n时由 í 两式相减得 n -1 a - na +1 = 02S n 1 a 1 , n+1 n ,两边同时除以 n+1 = + n+1 +
n n -1
an+1 a 1 a- n + = 0 n+1 an 1 1 1即 - = - = -n n -1 n(n ,即-1) n n -1 n(n -1) n n 1 , n 2-
an an-1 a3 a 1 1 1利用上述等式有 - + ×××+ - 2 = - + ×××+ -1 , n 3 ,
n -1 n - 2 2 1 n -1 n - 2 2
a
因此 n a
1 1 a n +1- = - ,即
n -1 2 n -1 n
= , n 3 ,
2
当 n =1,2
3 n +1 n +1
时, a1 =1 , a2 = 满足 an = ,因此 an = ；2 2 2
n +1 2 3 4 n +1
（2）由（1）可知, bn = n+1 ,则Tn = 2 + 3 + 4 + ×××+ n+1 ,2 2 2 2 2
1 1 2 3 n n +1
两边同时乘以 得, Tn = 3 + 4 + ×××+2 n+1 + n+2 ,2 2 2 2 2
1 2 1 1 n +1 1 1 1 1 n +1
错位相减得 Tn = 2 + 3 + ×××+ n+1 - n+2 = 2 + 2 + + ×××+ - ,2 2 2 2 2 2 2 23 2n+1 2n+2
1 n 1
22
1- ÷ ÷
即 1 1 è è 2
÷
T n +1 3 n + 3= + - = -
2 n 22 1 2n+2 4 2n+21-
2
T 3 n + 3n = -
整理得， 2 2
n+1
题型三　裂项相消法求和
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项
【例题 3】（2024·福建泉州·一模）记数列 an , bn 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn ，若 an 是等差
数列，且 S6 = S5 + 25 = 90, anbnan+1 =1，则T10 =（ ）
2 8 10 40
A． B． C． D．
45 45 41 41
【答案】A
【分析】利用等差数列前 n 项和公式,联立方程组,可求出通项公式，再利用裂项相消法,求出
数列 bn 的前 n 项和Tn ，即可求得T10 .
【详解】因为 an 是等差数列，可设公差为d ，由 S6 = S5 + 25 = 90，
ì6a 6 5 1 + d = 90 2 ìa1 = 5
可得 í 5 4 ，解得： í ， 5a d 65 d = 4+ =
1 2
所以 an = 5 + n -1 4 = 4n +1，
1 1 1 1 1
再由 a

nbnan+1 =1得：bn = = = × -anan+1 4n +1 4n + 5 4 è 4n +1 4n + 5 ÷
，

则数列 bn 的前 n 项和分别为Tn ，
T b b b 1 é 1 1 1 1 1 1 ù 1 1 1= + + ×××+ = × - + - + ×××+ - = - 即 n 1 2 n 4 ê ÷ ÷
，
è 5 9 è 9 13 è 4n +1 4n + 5
÷ ÷
ú 4 è 5 4n + 5
T 1 1 1 1 8 2所以 10 = -
= = ，
4 è 5 45 ÷ 4 45 45
故选：A.
Tn
【变式 1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项的积为Tn ， an = T -1，则使n
n
得 a 2 < 2024i 成立的 n 的最大值为（ ）
i=1
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
a Tn Tn Tn T【分析】先由 n = a nT -1求出 1，再当 n 2时，由
an = = T
n Tn -1
得 T T -1，得到 n 是以n-1 n
a 11 = 2为首项，1 为公差的等差数列，所以Tn = n +1，从而求出 an = 1+ ，n
a 1 12 = + 2 <1
1 1 1
+ -
i ，利用裂项相消法求和得 n - < 2022，结合选项即可求解.i i -1 i n
a
【详解】令 n =1 a 1，则 1 = T = a = 2a1 -1
得 1 1 ，
T T T
当 n 2 n n n时，因为 an = = TT -1，所以 T T -1，所以 n-1
= Tn -1，即Tn -Tn-1 =1，
n n-1 n
所以数列 Tn 是以 a1 = 2为首项，1 为公差的等差数列，所以Tn = n +1，
1
故 a
n +1 1
n = = 1+ a =1+n n ，所以 i2 2 ，i
1 1
当 i 2时， a 2 =1+ 2 <1+ =1
1 1
+ -
i i i i -1 i -1 i ，
n
所以 a 2 = a 2 + a 2 + a 2 +L+ +a 2 < 2 +1+1+L+1+i 1 2 3 n
i=1
é 1 1 1 1 1 ù 1 1
ê 1- ÷ + - ÷ +L+ - ÷ú = 2 + n -1+1- = 2 + n - < 2024，
è 2 è 2 3 è n -1 n n n
n 1所以 - < 2022，结合选项，将 n 的值代入检验，
n
n
则使得 a 2 < 2024i 成立的 n 的最大值为 2022.
i=1
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查由递推公式求通项公式、裂项相消求数列的和、以及放缩法
T = n +1
的应用，解决本题的关键点有：一是利用乘积递推式及等差数列的通项公式求出 n ，
二是利用放缩法思想结合裂项相消法求和
【变式 2】（2024·山西阳泉·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 2an - 2，则数列
ì a ü
í n

的前 100 项和
T100 = ．
an +1 an + 2
1 1
【答案】 -
2 2100 +1
【分析】由 Sn 与 a nn 的关系求得 an = 2 ，用裂项求和法求得T100 .
【详解】因为 Sn = 2an - 2，
所以 Sn-1 = 2an-1 - 2, n 2，
故 n 2时，两式相减得， an = 2an - 2an-1
即 an = 2an-1, n 2，
因为 S1 = 2a1 - 2，即 a1 = 2，
所以数列 an 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以 an = 2
n ，
an 2
n 2 2n
= = 1 1
1+ an 2 + an 1+ 2n 2 + 2n 2 + 2n+1 = 2 -2 + 2n è 2 + 2n 2 + 2n+1 ÷
T 2 1 1 1 1 1 1 100 = - + - + + - ÷
è 2 + 21 2 + 22 2 + 22 2 + 23 2 + 2100 2 + 2101
2 1 1 1 1= - = -
è 4 2 + 2101 ÷ 2 1+ 2100
.
1 1
- 100
故答案为: 2 1+ 2
2
【变式 3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn + n 也是
等差数列．
(1)求数列 an 的公差；
ì 1 ü
(2)若 a1 = -1，求数列 í 的前 n 项和Tn ．
anan+1
【答案】(1)-2
T n(2) n = 2n +1
2
【分析】（1）设出公差，根据 Sn + n 为等差，得到 d + 2 = 0 ，求出公差；
（2）得到 an = -2n +1，裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）设数列 an 的公差为 d，则 an = a1 + n -1 d ．
2 2
因为 Sn + n 是等差数列，所以 Sn+1 + n +1 - Sn - n2为常数．
S 2 2n+1 + n +1 - Sn - n = an+1 + 2n +1 = nd + a1 + 2n +1 = d + 2 n + a1 +1，
所以 d + 2 = 0 ，解得 d = -2
（2）因为 a1 = -1，所以 an = -2n +1．
1 1 1 1
= = =
1 1
-
a a -2n +1 -2n -1 2n -1 2n +1 2 2n -1 2n +1÷，n n+1 è
T 1= 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +L+ - = 1- nn =
故 2 è 3 3 5 2n -1 2n +1
÷ ÷
2 è 2n +1 2n +1
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列 an 2各项为正数， bn 满足 an = bnbn+1，
1 1 1
an + an+1 = 2bn+1，若 a1 = 2，b1 =1，则 + +L+ =a a a （ ）1 2 2024
1012 1011 2024 2023
A． B． C． D．
1013 1012 2025 2024
【答案】C
2
【分析】由 an = bnbn+1，得 an = bnbn+1 ，再结合 an + an+1 = 2bn+1，可得 bn + bn+2 = 2 bn+1 ，
进而可得数列 bn 是等差数列，即可求出 bn 的通项，从而可求出数列 an 的通项，再利
用裂项相消法求解即可.
【详解】因为 an > 0
2
， an = bnbn+1，所以 an = bnbn+1 ，
因为 an + an+1 = 2bn+1，所以bn > 0 ， bnbn+1 + bn+1bn+2 = 2bn+1，
即 bn + bn+2 = 2 bn+1 ，
所以数列 bn 是等差数列，
又 a1 = 2，b1 =1，所以b2 = 4，
所以数列 bn 的公差为 b2 - b1 =1，首项为 b1 =1，
2
所以 bn = n，所以bn = n ，
1 1 1 1
所以 an = b b = n n +1 ，则 = = -n n+1 a n n +1 n n +1，n
1 1 L 1 1 1 1 1所以 + + + = - + - +L
1 1 1 2024
+ - =1- =
a a .1 2 a2024 2 2 3 2024 2025 2025 2025
故选：C.
3
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， S1 =1， S2 = 3，且 an+1是2a ，2 n
n i 509
an+2 的等差中项，则使得 > 成立的最小的 na 128 的值为（ ）i=1 i
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
n-1
【分析】由题意得到 an+1 - an 是等比数列，进而得到 an = 2 ，利用错位相减法求出
n
i 4 2 + n= - f x 2 + xa 2n-1 ，构造函数 = x 1 x > 0 ，并利用导数判断函数 f- x 的单调性，即可i=1 i 2
求出符合条件的 n的最小值.
3
【详解】Q an+1是2an ， a2 n+2
的等差中项，
\ an+2 = 3an+1 - 2an，故 an+2 - an+1 = 2 an+1 - an ，
a - a
而 a2 - a
n+2 n+1
1 = S2 - 2S1 =1 0，\ = 2an+1 - a
，
n
n-1
故数列 an+1 - an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 an+1 - an = 2 ，
1- 2n-1\ an = an - an-1 + an-1 - an-2 +L+ a2 - a1 + a = 2n-21 + 2n-1 +L+ 20 +1 = +1 = 2n-1 ，1- 2
n
T i= T 1 2 n记 n =a ，则 n 20 + 1 +L+ ，i=1 i 2 2n-1
2T 1 2 nn = 2-1
+ 0 +L+ n-2 ，2 2
é 1 n ù
1 1 1 1 n 2 ê1-

2 ÷ ú
两式相减可得，T = + + +L+ - ê è ú n 2 + nn 2-1 20 21 2n-2 2n-1 =
，
1 - 2n-1
= 4 - n-1
1- 2
2
n
i 2 + n即 = 4 - 4 2 + n 509 2 + n 3- >a 2n-1 ，令 2n-1 ，即128 2n-1 < ，i=1 i 128
x-1
2 + x 2 - 2 + x × 2x-1 × ln 2 1- 2 + x × ln 2
设 f x = x-1 x > 0 ，则 f x = = x-1 2 2x-1 ，2 2
Q x > 0 ，\ f x < 0，\ f x 在 0, + 单调递减，
2 + n
\ ì üí 2n-1
是递减数列，

Q 2 + n 2 +10 3当 n =10 时，
2n-1
=
210-1
= ，
128
n
i 509\当 n >10 时， >
i=1 ai 128
，
n i 509
\使得 > 成立的最小的 n的值为 11.
i=1 ai 128
故选：D.
3．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数Z = i + 2i2 +3i3 +×××+ 2024i2024的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C．-1011 D．-1012
【答案】D
【分析】由错位相减法化简复数Z 后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为Z = i + 2i2 +3i3 +×××+ 2024i2024，
Z ×i = i2 + 2i3 +3i4 +×××+ 2024i2025 ，
i 1- i2024
所以Z × 1- i = i + i2 + i3 +×××+ i2024 - 2024i2025 = - 2024i2025 ，①1- i
因为 i4 = 1，所以 i2024 = i4 506 =1， i2025 = i4 506+1 = i，
-2024i -2024i 1+ i -2024i + 2024
所以化简①可得 = = =1012 -1012i1 i 1 i 1 i 2 ，- - +
所以虚部为-1012，
故选：D.
4．（2024·河北张家口·三模）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足
ìan +1, n为奇数a1 =1, an+1 = í ，则 S100 = （2a , n ） n 为偶数
A．3 251 -156 B．3 251 -103 C．3 250 -156 D．3 250 -103
【答案】A
【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记bn = a2n + a2n-1, n 1，利用构造法求得
bn = 6 2
n-1 - 3，然后分组求和可得.
ìan +1, n为奇数
【详解】因为 a1 =1, an+1 = í ，
2an , n为偶数
所以 a2k +2 = a2k +1 +1 = 2a2k +1， a2k +1 = 2a2k = 2a2k -1 + 2,k N*，且 a2 = 2，
所以 a2k +2 + a2k +1 = 2 a2k + a2k -1 + 3，
记bn = a2n + a2n-1, n 1，则bn+1 = 2bn + 3，所以bn+1 + 3 = 2 bn + 3 ，
所以 bn + 3 是以b1 + 3 = a1 + a2 + 3 = 6为首项，2 为公比的等比数列，
b n-1 n-1所以 n + 3 = 6 2 ，bn = 6 2 - 3，
记 bn 的前 n 项和为Tn ，则
S = T = 6 20 + 6 21 + 6 22 + ×××+ 6 249 - 3 50 = 3 251100 50 -156 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得 bn
的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求 bn 的前 50 项和.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 a nn = 2 ，bn = 3n -1，数列 an 和 bn 的公共项由小到大排列
组成数列 cn ，则（ ）
A． c4 = 32
B． cn 为等比数列
ìbn üC．数列 í 的前 n项和 Sn 1,5
an
D． b1 、 b2 、 b3 不是任一等差数列的三项
【答案】BCD
【分析】分别求出数列 an 和 bn 的几项找出公共项判断 A；根据等差数列的定义可判断
B；通过错位相减求和并判断 Sn 的单调性可判断 C；利用等差数列的通项可判断 D
*
【详解】设 an 的第 n 项与 bn 的第 m 项相等，即 2n = 3m -1， m, n N
当n = m =1时， a1 = b1 = c1 = 2，
当 n = 3,m = 3时， a3 = b3 = c2 = 8，
当 n = 5,m = 11时， a5 = b11 = c3 = 32，故 A 错；
令 cn = am = bk ，即 cn = 2
m = 3k -1，
am+1 = 2 ×2
m = 2 3k -1 = 3 2k -1 +1，不是 bn 中的项，即不是 cn 的项，
a mm+2 = 4 ×2 = 4 3k -1 = 3 4k -1 -1，是 bn 中的项，即不是 cn 的项，
cn+1 a
所以 =
m+2 = 4
c a ，则 c = 2 × 4
n-1
n = 2
2n-1，即 cn 为等比数列，故 B 对；
n m+1
2 n
由 Sn = 2
1
+ 5 1 ÷ +L+ 3n -1
1
×
2 2 2 ÷
，
è è
1 1 2 1 3 n+1
得 S = 2 + 5 n ÷ ÷ +L+ 3n -1
1
×
2 2 2 2 ÷
，
è è è
1 S 1 1
2 1 n n+1
= 2 + 3 两式相减得， n ÷ +L+ 3 ÷ - 3n 1
1
- ×
2 2 ÷è 2 è 2 è 2
1 n-1
-
1
é 1
2 1 n n+1 ù 1 4 ÷1 3 1
n+1
= + ê ÷ +L+ ÷ ú - 3n -1 × ÷ =1+ 3 è
2 - 3n -1 ×
ê è 2 2
÷
è ú è 2 1 1- è 2
2
3n + 5 b
所以 Sn = 5 -
n
，且 > 0n S S 1,5a ，所以 n 单调递增，所以 n ，故 C 对；2 n
设 2 、 5 、 8 是等差数列 dn 的第 i、j、p 项， dn 的首项为 d1 ，公差为 d，
ì 2 = d
1
+ i -1 d
ì 5 - 2 = j - i
d
5 d j 1 d 5 - 2 j - ií = 1 + - í = = 10 - 2 ，
2 = p - i
d 2 p - i
8 = d1 + p -1 d
j - i
因为 p - i 是有理数， 10-2是无理数
所以原假设不成立，即 b1 、 b2 、 b3 不是任一等差数列的三项
故选：BCD
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 中， a1 = 3, a2 = 2 ，当 n为奇数时，3an+2 = an ，当 n
为偶数时， 2an+2 = an ，则（ ）
1 a
A．数列 an 是递减数列 B． a = C． 108 < a4 10 11
100
D． ai < 9
i=1
【答案】BD
【分析】根据题意分别得到数列 an 的奇数项与偶数项的性质，进而得到其通项公式，从而
判断 ABC，利用等比数列的求和公式与分组求和法判断 D.
【详解】对于 AB：当 n为奇数时，3an+2 = an , a1 = 3，则 a1 = 3
1
0, an+2 = an，3
则数列 an
1
的奇数项是以 3 为首项， 为公比的等比数列，
3
n-1
2
所以当 n为奇数时， a 1 n = 3 3 ÷
.
è
当 n为偶数时， 2an+2 = an , a2 = 2
1
，则 a2 = 2 0,an+2 = an ，2
1
则数列 an 的偶数项是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，
n-2
2
所以当 n为偶数时， a = 2 1 ÷ ，n
è 2
7-1 3
1 2 1 1 1所以 a = 3 ÷ = ， a8 = 2 ÷ = ，易知 A 错误，B 正确；7
è 3 9 è 2 4
1 4 5 1
对于 C：由以上分析知 a10 = 2 ÷ = , a
1 1
2 8 11
= 3 3 ÷
= ，
è è 81
a 1 1
所以 10 = > = a
10 80 81 11
，故 C 错误；
é 50 ù é 50 ù
3 ê1
1 1-
100 ÷ ú 2 ê1- ÷ ú
对于 D， ê è 3 ú ê è 2
50 50
a = + ú 9
é 1 ù é 1 ù
i 1 1 = ê1-2 3 ÷
ú + 4 ê1- ÷ ú
i=1 1- 1- ê è ú ê è 2 ú
3 2
9 17
< + 4 = < 9，故 D 正确.
2 2
故选：BD.
三、填空题
7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）设 Sn 为等差数列 an 的前 n项和， a1 =1,S3 = 6，则数列
ì 1 ü
í 的前 10 项和为 .
anan+1
10
【答案】
11
【分析】由等差数列的性质求出 d =1，即可求出 an = n ，再由裂项相消法即可得出答案.
【详解】设 an 的公差为d ，
由于 Sn 为等差数列 an 的前 n项和， a1 =1,S3 = 6，
可得3a1 + 3d = 6，所以 d =1，则 an = a1 + n -1 d =1+ n -1 ×1 = n，
b 1
1 1 1
令 n = ，所以bn = = -anan+1 n n +1 n n +1
，
故数列 b 1 1 1 1 1 1 1 1 10n 的前 10 项和为1- + - + - + + - =1- = .2 2 3 3 4 10 11 11 11
10
故答案为： .
11
8．（2023·河南·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 + a2 + ×××+ a 2n = n ，则
a 1 2 n1 ×2 + a2 ×2 + ×××+ an ×2 = .
2n - 3 × 2n+1【答案】 + 6
1 2 n
【分析】先求出数列 an 的通项公式，再用错位相减法求出 a1 ×2 + a2 ×2 + ×××+ an ×2 的值.
【详解】由 a1 + a2 + ×××+ an = n
2 2
可得当 n 2时， a1 + a2 + ×××+ an-1 = n -1 ，
所以 an = n
2 - n -1 2 = 2n -1,n 2， a1 =1满足 an = 2n -1，故 an = 2n -1， n N* .
令 Sn = a1 × 2
1 + a 22 × 2 + ×××+ a
n 1 2
n ×2 =1 2 + 3 2 + ×××+ 2n -1 × 2n，
则 2Sn =1 2
2 + 3 23 + ×××+ 2n -1 × 2n+1，
8 1- 2n-1
两式相减得：-Sn = 2
1 + 2 22 + 23 + ×××+ 2n - 2n -1 × 2n+1 = 2 + - 2n -1 ×2n+11- 2
= 3 - 2n ×2n+1 - 6 ，
S = 2n - 3 × 2n+1所以 n + 6 .
2n - 3 × 2n+1故答案为： + 6
9 2．（2024·陕西·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 2an - 2，则数列 n an 的
则前 n项和Tn = .
n+1 2
【答案】 2 n - 2n + 3 - 6
【分析】根据 an+1 = Sn+1 - Sn 作差得到 an+1 = 2an，再求出 a1，即可求出 an 的通项公式，再
利用错位相减法求和.
【详解】由 Sn = 2an - 2，得 Sn+1 = 2an+1 - 2，
所以 Sn+1 - Sn = 2an+1 - 2an ，化简得 an+1 = 2an，
又当 n =1时， S1 = 2a1 - 2，解得 a1 = 2，
所以数列 an 是等比数列，且公比 q = 2，首项 a1 = 2，
a = a qn-1所以 n 1 = 2 2
n-1 = 2n ，
所以 n2an = n
2 2n ，
T =12 2故 n a1 + 2 a +L+ n
2
2 an =1
2 21 + 22 22 + 32 23 +L+ n2 2n ①，
① 2 2T =12 22 + 22 23 + 32 24把 得： n +L+ n
2 2n+1 ②，
① - ② -T =12 21 + 3 22 + 5 23 + 7 24得： n +L+ 2n -1 2n - n2 2n+1 ③，
③ 2 -2T 2 2 3 4 5 n+1 2 n+2得： n =1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 +L+ 2n -1 2 - n 2 ④，
③ - ④得：
T =12 21 + 2 22 + 2 23 + 2 24 + 2 25 +L+ 2 2n - n2 2n+1 - 2n -1 2n+1 + n2 2n+2n
= 2 21 + 22 + 23 + 24 + 25 +L+ 2n - 2 - n2 2n+1 - 2n -1 2n+1 + n2 2n+2
2 1- 2n
= 2 - 2 - 2n -1 2n+1 + n2 2n+1
1- 2
= 4 2n -1 - 2 - 2n -1 2n+1 + n2 2n+1
= 2n+2 - 2n -1 2n+1 + n2 2n+1 - 6
= 2n+1 n2 - 2n + 3 - 6 .
n+1 2
故答案为： 2 n - 2n + 3 - 6 .
【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
四、解答题
n n +1
10．（2024· ·

湖南岳阳 模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 .2
(1)求数列 an 的通项公式；
3 3
(2)证明： a 2n+1 - a 2 = 3a + 3n +1，并求数列 an 的前 n项和 Sn .n n
2 *
【答案】(1) an = n n N
n n +1 2n +1
(2) 证明见解析， Sn = 6
2
【分析】（1）降次作差得到 an = n ，再验证 n =1即可；
3 3
（2）代入 an+1, an 得到 (n +1) - n = 3an + 3n +1，再利用累加法即可得到答案.
【详解】（1）当 n =1时， a1 =1,\a1 =1；
n n +1 n n -1
当 n 2时， a n = - = n，2 2
\a 2n = n ，当 n =1时， a1 =1适合上式，
故 an = n
2 n N*
3 3
（2） an+1 2 - an 2 = (n +1)3 - n3 = 3n2 + 3n +1，
3 3
\ a 2 2 成立，n+1 - an = 3an + 3n +1
\(n +1)3 - n3 = 3an + 3n +1，
n3 - (n -1)3 = 3an-1 + 3 n -1 +1，
...... ，
23 -13 = 3a1 + 3 1+1
累加得 (n +1)3 -13 = 3 a1 + a2 +L+ an + 3 1+ 2 +L+ n + n
3 2 3n n +1n 3n 3n 3S 即 + + = n + + n ，2
n n +1 2n +1S \ n = .6
11．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记 Sn 为数列 an 的前 n 项和， Sn - n 是首项与公差
均为 1 的等差数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
(-1)n an +1b (2)设 n = ，求数列 bn 的前 2024 项的和TS 2024 ．n
【答案】(1) an = 2n
T 2024(2) 2024 = - . 2025
【分析】（1）先求 Sn = n2 + n ，再利用“退位法”可求数列 an 的通项公式；
（2）利用裂项相消法可求T2024 .
【详解】（1）由 Sn - n 是首项与公差均为 1 的等差数列得 Sn - n =1+ (n -1) 1 = n,
2
则 Sn = n
2 + n ，当 n 2时， Sn-1 = (n -1) + (n -1)，
两式相减得， an = 2n，
当 n =1时， a1 = S1 = 2，也满足上式，故数列 an 的通项公式为 an = 2n．
(-1)n
b a +1 (-1)
n (2n +1) 1 1
（2）由（1 n n

）得， n = = = (-1) + ，Sn n(n +1) è n n +1
÷

所以数列 bn 的前 2024 项的和为：
T 1 1 1 1 1 1 12024 = -

1+ ÷ + + ÷ - + ÷ +L+ +

è 2 è 2 3 è 3 4 è 2024 2025 ÷
1 1 2024= - + = - .
2025 2025
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江杭州·二模）设数列 an , bn 满足a1 = b1 = 1,an + bn+1 = 2n,an+1 + bn = 2n ．设 Sn
为数列 an + bn 的前 n项的和，则 S7 =（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
【答案】A
【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.
【详解】 S7 = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + a4 + b4 + a5 + b5 + a6 + b6 + a7 + b7
= a1 + b1 + a2 + b3 + b2 + a3 + a4 + b5 + b4 + a5 + a6 + b7 + b6 + a7
=1+1+ 2 2 + 22 + 2 4 + 24 + 2 6 + 26 = 2 + 4 + 4 + 8 +16 +12 + 64 =110 .
故选：A.
2 2．（2024·安徽·三模）记数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 =1, Sn + Sn+1 = 3n + 2n +1，则 S20 =
（ ）
A．590 B．602 C．630 D．650
【答案】A
【分析】根据 an+1 = Sn+1 - Sn 作差得到 an+1 + an+2 = 6 n +1 -1，再计算出 a1 + a2 ，即可得到
an + an+1 = 6n -1，再利用并项求和法计算可得.
【详解】因为 Sn + Sn+1 = 3n
2 + 2n +1，
2
所以 Sn+1 + Sn+2 = 3(n +1) + 2 n +1 +1，
两式相减可得 an+1 + an+2 = 6n + 5 = 6 n +1 -1 .
由 a1 =1， S1 + S2 = 3 1
2 + 2 1+1 = 6，解得 a2 = 4 ，
所以a1 + a2 = 5，满足上式，故 an + an+1 = 6n -1，
所以 S20 = a1 + a2 + a3 + a4 +L+ a19 + a20
10 5 +113
= 5 +17 + 29 +L+113 = = 590 .
2
故选：A
1
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列 an 满足： a1 =1， an = an-1 + n n 2 ，且bn = a ，n
则数列 bn 前 n 项的和 Sn 为（ ）
S n 2n
2
A． n =
n
B． Sn = C
3n
． S
n +1 n +1 n
= D
n 2 ． S+ n = n + 2
【答案】B
1
【分析】由叠加法求出数列 an 通项公式，再代入bn = a ，求出数列 bn 通项公式，再由n
列项相消法求出 Sn .
【详解】由 an = an-1 + n n 2 得 a2 = a1 + 2， a3 = a2 + 3， a4 = a3 + 4 ，…， an-1 = an-2 + n -1，
an = an-1 + n n 2 ，
叠加得 an = a1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n
n n +1
=1+ 2 + 3 + 4 + ...+ n = n 2 ，
2
由题可知 a =1
n n +1
1 也适合上式，故 an = ；2
2
所以b
1 1 1
n = =an n n 1
= 2
+
-
n n +1÷ ，è
则数列 bn 前 n 项的和 Sn = b1 + b2 + b3 + ...+ bn-1 + bn
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= - + - + - + ...+ - + -

÷ = 2
1 2n
1- ÷ = .
è 2 2 3 3 4 n -1 n n n +1 è n +1 n +1
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和 S 2(S *n 满足 n +1) = 3an (n N )，若
b a= n+1n ，数列 bS S n 的前 n项和为Tn ，则T2024 = （ ）n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1A． - 2025 B． - C． - D． -2 3 -1 2 32024 -1 32024 -1 32025 -1
【答案】A
【分析】求出数列 an 的通项公式及 Sn ，求出数列 bn 的通项公式，再利用裂项相消法求
和即得.
【详解】数列 a 中， n N*n ， 2(Sn +1) = 3an，当 n =1时， a1 = 2；
当 n 2时， 2(Sn-1 +1) = 3an-1，两式相减得 2an = 3an - 3an-1 ，整理得 an = 3an-1 ，
a n-1数列 n 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，则 an = 2 ×3 , Sn = 3n -1，
b 2 ×3
n 1 1
n = (3n n+1
= n - n+1 ，-1)(3 -1) 3 -1 3 -1
所以T
1 1 1 1 1 1 1 1
2024 = ( -31 -1 32
) + ( - ) + ×××+ (
-1 32 -1 33 -1 32023
- 2024 ) + ( - )-1 3 -1 32024 -1 32025 -1
1 1
= - .
2 32025 -1
故选：A
5．（2023·江苏南通·三模）复数 z =1+ 2i + 3i2 +L+ 2022i2021 + 2023 i2022 的虚部为( ).
A．1012 B．-1011 C．1011 D．2022
【答案】A
【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数 z，即可求得答案.
【详解】由题意得 z =1+ 2i + 3i2 +L+ 2022i2021 + 2023 i2022 ，
所以 z × i = i + 2i2 + 3i3 +L+ 2022i2022 + 2023i2023，
所以 (1- i)z =1+ i + i2 +L+ i2022 - 2023i2023
1- i2023
= - 2023i2023 1+ i= + 2023i
1- i 1- i
= i + 2023i = 2024i，
z 2024i (2024i)(1+ i)所以 = =1- i (1- i)(1+ i)
2024i - 2024
= = -1012 +1012i，
2
所以复数 z 的虚部为 1012，
故选：A
6．（2024·全国·二模）数列 an 的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列， Sn 是数列 an 的
前 n项和， a1 = 3， a2 = 2， a3 = a4 ， S4 = 7，则（ ）
A． a2k < a2k +1, k N
*
，且 k 2
B．当 n 5，且 n N*时，数列 an 是递减数列
a
C 10． <10a11
D． S100 < 9
【答案】D
【分析】首先分别求奇数项和偶数项的通项公式，再根据通项公式，判断选项.
【详解】由 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 3+ 2 + 2a3 = 7 ，所以a3 = a4 = 1，
a3 1 a 1
奇数项的首项为 a1 = 3，公比 q1 = = ，偶数项的首项 a2 = 2
4
，公比 q2 = =a1 3 a2 2
，
k -1 k
所以 a2k = a2q
k -1 2 1= 12 ÷ = 2
2-k ， a k2k +1 = a1q1 = 3 ÷ = 3
1-k ，
è 2 è 3
k
A. a < a , k N*， 22-k < 31-k
2 4
2k 2k +1 ，即 ÷ > ，当 k 2时，不成立，故 A 错误；
è 3 3
a 1 1B. 5 = ， a6 = ， a5 < a6 ，所以当 n 5，且 n N*时，数列 an 不是递减数列，故 B 错误；3 2
a 22-510 81C. = 1-5 = >10，故 C 错误；a11 3 8
D. S100 = a1 + a3 + ...+ a99 + a2 + a4 + ...+ a100 ，
3 1 1- 1 2350 ÷
1-
è è 250 ÷ 9 1 1 4 1 1 17 9 4= + = - 50 ÷ + - 50 ÷ = - 50 - 50 < 9，故 D 正确.
1 1 1- 1- 2 è 3 è 2 2 2 ×3 2
3 2
故选：D
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知公差不为零的等差数列 an 满足： a3 + a8 = 20，且 a5 是
1
a2与 a
*
14 的等比中项，设数列 bn 满足bn = n Na a ，则数列 bn 的前 n项和 Sn 为（ ）n n+1
1 1 2n- = 1 1 2n + 2A． B． + =
2n +1 2n +1 2n +1 2n +1
1 1 1 n 1 1 n+1C． - ÷ = D． 1+ =2 è 2n +1 2n+1 2 è 2n +1÷ 2n+1
【答案】C
【分析】设等差数列 an 的公差为d ，根据题意，列出方程组，求得 a1,d ，得到 an = 2n -1，
b 1 1 1= - 进而得到 n ÷，结合裂项法求和，即可求解.2 è 2n -1 2n +1
【详解】设等差数列 an 的公差为 d (d 0) ，
ìa + a = 20
因为 a3 + a = 20
3 8
8 ，且 a5 是 a2与 a14 的等比中项，可得 í
a
2
5 = a
，
2a14
ì 2a1 + 9d = 20 ìa1 =1
即 í 2 ，解得 í ，所以 an = 2n -1
d 2
，
a1 + 4d = a1 + d a1 +13d =
1 1 1 1
又由bn = = - 2n -1 2n +1 2 è 2n -1 2n +1÷，
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n可得 n = - + - +L+ -
= ÷ 1-
= .
2 è 3 3 4 2n -1 2n +1 ÷ 2 è 2n +1 2n +1
故选：C.
8．（2024·河南·三模）已知等差数列 an 的公差大于 0 且 a1 + a6 = 4a2，若
24
1 = 6a + a ，则 a5 = （ ）k =1 k +1 k
13 9 7 5
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】B
【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，结合分母有理化及数列求和中的裂项相消法
即可求解.
【详解】设等差数列 an 的公差为 d d > 0 ，
Qa1 + a6 = 4a2 ,
\a1 + a1 + 5d = 4 a1 + d ,
\d = 2a1
\an = a1 + (n -1)2a1 = a1(2n -1),
1 an+1 - an 1\ = = a
a + a n+1
- an
n n+1 an+1 - an 2a1
24
1 1\ = 3 a- a1 + a 125 = - a + 49a 1 3= = = 6 1,解得 aa + a 2a 2a 1 1 a a 1 = ,k =1 k +1 k 1 1 1 1 4
\a 95 = 9a1 = .4
故选：B．
二、多选题
9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列 an , bn 的前 n项和分别为 Sn ,Tn ，若
an = 2n -1,T = 2
n+1
n - 2，则（ ）
A． S10 =100 B．b10 =1024
ì 1 ü 9 ì 1 ü 1023
C． í 的前 10 项和为 D． í 的前 10 项和为
anan+1 19 bn 1024
【答案】ABD
【分析】本题首先根据题意判断出数列 an 、 bn 分别是等差数列、等比数列，求出等比数
ì ü列 bn
1
的通项公式，进而分析 í 也是等比数列并求出其通项公式，可解决选项 A、B、D
bn
1 1 1 1
的问题，再依据裂项法， = ( - )a ×a d a a 可解决选项 C 的问题.n n+1 n n+1
【详解】Qan = 2n -1，所以 an 是首项 a1 =1，公差 d = 2的等差数列，
10 10 -1
\S10 =10 1+ 2 =100，故选项 A 正确.2
c 1 1 1 1 1 1 1令 n = a ×a ，则
cn = ( - ) = ( - )d a a ，n n+1 n n+1 2 an an+1
c c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\ 1 + 2 +L+ c10 = ( - + - +L+ - ) = ( - )2 a ，1 a2 a2 a3 a10 a11 2 a1 a11
又 a1 =1， a11 = 21，
\c1 + c2 +L c
1 1 10
+ 10 = (1- ) = ，故选项 C 错误.2 21 21
Q T = 2n+1 - 2 \ b = T -T = 2n+1 - 2 - 2n + 2 = 2n (n＞1, n N*又 n ， n n n-1 )，
Q b = T = 21+1 - 2 = 2 b = 21 = 2 \ b = 2n *又 1 1 ， 1 ， n (n N )，
\ bn 是首项为b1 = 2，公比 q = 2的等比数列，
\ b = 21010 =1024，故选项 B 正确.
Q 1 1 1 1
n-1
又 =
b 2n
= × ÷ ，
n 2 è 2
ì 1 ü
\ 1 1íb
是首项为 ，公比为 的等比数列，
n 2 2
1 1
1 1 1 1 (1-2 210
)
L 1023+ + + + = 1 = ，故选项 D 正确.b1 b2 b3 b10 1- 1024
2
故选：ABD.
10．（23-24 高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项积为Tn ，
a1 = 2，Tn+1 - 2 = 3T（n N*n ），则（ ）
A．Tn = 3
n -1 B． an 为递增数列
3n -1 3n+1C 3． an = n 1 D- ． Tn 的前 n 项和为 - n -3 -1 2 2
【答案】AD
Tn
【分析】根据等比数列的定义可判断 Tn +1 为等比数列，进而可求解 A，根据 an = T 即可n-1
判断 C，根据指数式的单调性即可判断 B，根据分组求和结合等比求和公式即可求解 D.
【详解】由Tn+1 - 2 = 3Tn 可得Tn+1 +1 = 3 Tn +1 ，故 Tn +1 为等比数列，且公比为 3，首项为
a1 +1 = 3，故Tn +1 = 3n ，进而Tn = 3n -1 ,A 正确，
T 3n -1
当 n 2时，Tn-1 = 3n-1 -1 a = n，所以 n =T n-1 ，n-1 3 -1
当 n =1时， a1 = 2不符合上述表达，
ì 3n -1
a , n 2因此 n = í3n-1 -1 ，故 C 错误，
2, n =1
n
当 n 2 3 -1 2 n-1
2
时， an = 3 -1 a = 3 +3n-1
= 3+ n-1 ，由于 为单调递增数列，故-1 3 -1 n 3n-1 为-1
单调递减，故 B 错误，
3 1- 3n n+1 Tn 的前 n 项和为 3 3- n = - n - ，故 D 正确，
1- 3 2 2
故选：AD
ìa n n-1, N
*

11．（2024· 4山东济南·二模）数列 an 满足 a1 =1， an = í ， n 2，bm 表示 an
an-1 +1,
n
N*
4
m
落在区间 é 2 ,2
m+1 的项数，其中m N*，则（ ）
b =10 3n a 3n + 3A． 3 B． n 4 4
4n 2n
C． ak = 6n2 4+ 3n D． b nk = 4 -1
k =1 k =1 3
【答案】BC
【分析】由已知列出数列 an 的部分项，得出数列的通项，根据数列的基本性质以及错位相
减、裂项相消法求和，再逐一判断各选项即可.
【详解】根据题意，列举可得，数列 an 的前若干项分别为 1，2，3，3，4，5，6，6，….
不难发现， a4k = 3k,a4k -1 = 3k,a4k -2 = 3k -1,a4k -3 = 3k - 2 .
对于 A，根据数列列举可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，
13，14，15，15，16，17，18，18….
3 4
即落在区间 é 2 ,2 上的有 8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，共有 11 项，因此
b3 = 11，故 A 错误.
3n
对于 B，当 n = 4k 时， an = 3k = ；4
3 n +1
当 n = 4k -1 时， an = 3k = ；4
3 n + 2
当 n = 4k - 2时， a 3k 1 1 3n + 2n = - = - = ；4 4
3 n + 3
当 n = 4k - 3时， an = 3k 2

- = - 2 3n +1= ，
4 4
é3n , 3n + 3ù所以它们均在 ê ú中，故 B 正确. 4 4
4n n n
对于 C， ai = a4i-3 + a4i-2 + a4i-1 + a4i = 3i - 2 + 3i -1+ 3i + 3i
i=1 i=1 i=1
n n 9 +12n - 3
= (12i - 3) = = 6n2 + 3n，故 C 正确.
i=1 2
对于 D，根据数列列举可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，
13，14，15，15，16，17，18，18….，可得b1 = 3,b2 = 5，
2
所以当 n =1时， bk = b1 + b2 = 3+ 5 = 8，
k =1
4 2n 4
而当 n =1 1时， 4 -1 = 4，所以此时 bk = 4n -1 不成立，故 D 错误.3 k =1 3
故选:BC.
【点睛】关键点点睛：关于分奇偶列项法求和，主要是对通项做好裂项变形，拆分成合适的
1 k +1 k 1项进行消项，如本题中 - × = é 2k -1 + 2k +1 ù -1
k +1
，灵活性比较强.本题属于难题，
4
考察基本数列、数列的基本性质.
三、填空题
n 1
12．（2024·江苏泰州·模拟预测）设 Sn 为数列 an 的前 n项和， Sn = -1 an - n ， n N* ，2
则
（1） a1 = ；
（2） S1 + S2 + ×××+ S100 = .
1 1 1
【答案】 - / -0.25
1 1 1
-1 / -4 3 è 2100 ÷ 3 2100 3
【分析】（1）令 n =1解方程即可求解；（2）分 n为奇数和偶数两种情况即可求解.
1 1
【详解】（1）令 n =1，所以 S1 = a1 = (-1) a1 - ，2
1 S 1 n a 1所以 a1 = - ，（2）因为4 n = - n - 2n ，
所以 Sn = (-1)
n (S S 1n - n-1) - n (n 2)，2
当 n
1
为偶数时，可得 S2k = S2k - S2k -1 - 22k
，
S 1 1所以 2k -1 = - 2k ，当 n为奇数时，可得 S2 2k +1
= -(S2k +1 - S2k ) - 22k +1
，
1 1 1
所以 S2k = 2S2k +1 + 2k +1 = -2 + = 0，2 22k +1 22k +1
1 1
- [1- ( )50 ]
所以 S1 + S2 + ×××+ S100 = S1 + S3 +L+ S 4 4
1 1
99 = 1 = ( 100 -1) .1- 3 2
4
1 1 1
故答案为：- ； 100 -1 .4 3 ÷è 2
13．（2024·江苏南通·模拟预测）定义： x 表示不大于 x 的最大整数， x 表示不小于 x 的最
小整数，如 1.2 =1， 1.2 = 2 .设函数 f x = x x 在定义域 0, n n N* 上的值域为Cn ，
1 1 1
记Cn 中元素的个数为 an ，则 a2 = ， + +L+ =a a 1 2 an
2n
【答案】 3
n +1
【分析】分别求出 n =1， n = 2， n = 3时， f (x) 的值域，可得 a1， a2，a3，推得
an = an-1 + n， n 2，利用累加法求出 an ，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数 f x = x x 在定义域 0, n n N* 上的值域为Cn ，记Cn 中元素的个数为
an ，
当 n =1时， x 0,1 ，可得 x = 0， x x = 0， x x = 0 ，即 a1 =1，
当 n = 2时， x 0,2 ，可得 x = 0或1， x x = 0或 x ， x x = 0 或 1 或 2，即 a2 = 3，
当 n = 3时， x 0,3 ，可得 x = 0或 1 或 2， x x = 0或 x 或 2x， x x = 0 或 1 或 2 或 4
或 5 或 6，即 a3 = 6，
当 n = k -1 k N*, k 2 时，函数 f x = x x *在定义域 0, k -1 k N ,k 2 上的值域为
Ck -1，记Ck -1中元素的个数为 ak -1，
当 n = k 时，函数 f x = x x 在定义域 0, k k N* 上的值域为Ck ，
记Ck 中元素的个数为 ak ，设 x k -1,k ，则 x = k ， k(k -1) x x = kx < k 2 ，
a 2 *所以 k = ak -1 + k - k(k -1) = ak -1 + k k N ,k 2 ，
则可得递推关系： a = a + n n N*n n-1 , n 2 ，
所以 a
n(n +1)
n = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2 ) +L+ (an - an-1) =1+ 2 + 3 +L+ n = n N*,n 2 ,2
a 1 2 1 a n(n +1) *
1 2 2(1 1当 n =1时， 1 = = 成立，则 n = (n N ) ，则 = = - )2 2 an n(n +1) n n +1
，
1 1 L 1 2(1 1 1 1 L 1 1 1 2n所以 + + + = - + - + + - ) = 2(1- ) =a a a 2 2 3 n -1 n n +1 n +1，1 2 n
2n
故答案为：3；
n +1
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系： an = an-1 + n
n N*,n 2 ，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前 n项和.
14．（2023·全国·模拟预测）已知数列 an 为公差不为 0 的等差数列， a3 = 5，且 a2 , a5 , a14 成
等比数列，设 x 表示不超过 x 的最大整数，如 3.5 = 3， -1.5 = -2，记bn = log2 an ， Sn 为
数列 bn 的前 n项和，则 S2024 = .
【答案】 20217
【分析】求出 an 通项公式和第 2024项，进而求出数列 bn 的通项公式和前 n项和公式，
利用错位相减法即可得出 S2024的值.
【详解】由题意，
数列 an 是等差数列，设公差为 d d 0 ，
因为 a2 , a5 , a14 成等比数列，
a 2所以 2a14 = a5 ，即 5 - d 5 +11d = 5 + 2d
2
，
解得 d = 2或 d = 0 （舍），
所以 an = 5 + 2 n - 3 = 2n -1，则 a2024 = 4047 .
当 2n x 2n+1 时， log2 x = n ，
n
即 élog 2 +1 ù2 = élog2 2n + 3 ù =L = élog2 2n+1 -1 ù n-1 = n ，共有 2 个 n .（
因为 211 < 4047 < 212 ，所以
S2024 = b1 + b2 + b3 +L+ b2024 = log2 1 + log2 3 + log2 5 +L+ log2 4047
0 20 1 21 2 L 29 10 4047 - 2047= + + + + + 11 = 20 1+ 21 2 +L+ 29 10 +11000，①
2
2S 1 2则 2024 = 2 1+ 2 2 + 2
3 3 +L+ 210 10 + 22000，②
10
由①-②得-S =1+ 21 + 22 2 -12024 +L+ 2
9 - 210 10 -11000 = - 210 10 -11000 = -20217 ，
2 -1
所以 S2024 = 20217 .
故答案为： 20217 .
【点睛】本题考查错位相减法，取整函数，等差数列和等比数列的性质和求法，数列求和，
考查学生的计算能力和分析问题，处理问题的能力，具有很强的综合性.
四、解答题
15．（2024·山东·模拟预测）设数列 an 满足nan+1 = 2 n + 2 an ，且 a1 = 4．
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 an 的前 n项和 Sn ．
【答案】(1) an = n n +1 ×2n
(2) S 2 n+1n = n - n + 2 × 2 - 4
an+1 2 n + 2
【分析】（1）由已知可得 = ，累乘法可求{an}的通项公式；an n
（2）由（1）可得 Sn =1 2 2
1 + 2 3 22 +L+ n n +1 ×2n ，利用错位相减法可求{an}的前 n
项和 Sn .
a 0 a1 n+1
2 n + 2
【详解】（ ）由题易知 n ，且 = ，an n
a2 a3 a4 L an 2 3 2 4 2 5
2
L n +1 所以 = n 2 ，
a1 a2 a3 an-1 1 2 3 n -1
an n n +1 ×2n-1所以 = = n n +1 ×2n-2，
a1 1 2
a = n n +1 ×2n所以 n ,a1 = 4也满足该式，
所以 an = n n +1 ×2n ．
（2） Sn =1 2 2
1 + 2 3 22 +L+ n n +1 ×2n ，①
2Sn =1 2 2
2 +L+ n n -1 ×2n + n n +1 ×2n+1，②
②-①，得 Sn = n +1 n × 2n+1 - 2 1 21 + 2 22 +L+ n ×2n ．
设Tn =1 2
1 + 2 22 +L+ n ×2n ，③
2T =1 22则 n + 2 2
3 +L+ n -1 × 2n + n × 2n+1，④
④-③ T = n × 2n+1 - 21 2 n，得 n + 2 +L+ 2 = n × 2n+1 - 2n+1 - 2 = n -1 2n+1 + 2，
所以 Sn = n n +1 ×2n+1 - 2 n -1 ×2n+1 - 4 = n2 - n + 2 ×2n+1 - 4．
16．（2024·河北衡水·三模）已知数列 an 满足： a1 =1, a2 = 2, an + an+1 = 2an+2 ．
(1)请写出 a3 - a2，a4 - a3，a5 - a4 的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设bn = 3na2n+1，求数列 bn 的前 n项和 Sn ．
1 1 1 1
【答案】(1) a3 - a2 = - ，a4 - a3 = ， a5 - a4 = - ，猜想 an+1 - an 是以 1 为首项，- 为公2 4 8 2
比的等比数列，证明见解析
5n(n +1) 6n + 8 8
(2) + n -2 9 4 9
【分析】（1）根据题意，求得 a2 - a1,a3 - a2 ,a4 - a3 , a5 - a4 的值，猜想得到 an+1 - an 为等比数
列，结合等比数列的定义，作出证明即可；
n-1 2n
（2）由（1 5 2 1 ），结合累加法求得 an = - - ÷ ，得到bn = 5n - n ，利用等差数列的求3 3 è 2 4
和公式和乘公比错位相减法求和，即可求解.
1 3 1
【详解】（1）解：因为 a1 =1, a2 = 2, an + an+1 = 2an+2 ，可得 a3 = a2 + a1 = ,a3 - a2 = - ，2 2 2
a 1 a a 7 a a 1 1 13 14 = 3 + 2 = , 4 - 3 = ， a = a + a = ，a2 4 4 5 2 4 3 8 5 - a4 = - ， 8
因此猜想 a
1
n+1 - an 是以 1 为首项，- 为公比的等比数列； 2
下面证明：
1 aa - a = a + a a 1- = - a - a n+2
- an+1 1
因为 n+2 n+1 n n+1 n+1 n+1 n ，即 = -2 2 a
，
n+1 - an 2
a - a =1 a a 1又因为 2 1 ，故 n+1 - n 是以 1 为首项，- 为公比的等比数列，2
1
n-1

所以数列 an+1 - an 的通项公式为 an+1 - an = - 2 ÷
．
è
（2）解：由（1）知，当 n 2时，
1 1 2 1 n-2a - a =1, a - a = - ,a - a = - ,L,a - a = - 2 1 3 2 2 4 3 2 ÷ n n-1 2 ÷
，
è è
1 n-1
1 1 2 n-2
1-
1
-
2 ÷ 2 2 1 n-1累加得 a -1 =1+ - + - +L+ - = è n ，
è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2 1 1
= - -
+ 3 3
÷
è 2
2
a 5 2 1
n-1
= - - 所以 n ÷ ，3 3 è 2
5 2 1 n-1
当 n =1 时， a =1满足题意，所以 a = - - 对"n N*1 n ÷ 成立； 3 3 è 2
2n S 5(1 2 3 L n) 2 1 2 n故bn = 5n - ，可得 = + + + + - + +L+

4n n è 41 42 4n ÷
1 2 3 L n n(n +1)其中 + + + + = ，
2
T 1 2 L n 1 T 1 2 L n设 n = 1 + 2 + + n ，则 n = 2 + 3 + + ，4 4 4 4 4 4 4n+1
3 T 1 1= + +L 1 n 4 1 1 n+ - = - - T 4 3n + 4两式相减得
4 n 41 42 4n 4n+1 n+1 ÷ n+1
，即
3 è 4 4 4 n
= - ，
9 9 4n
5n(n +1) 6n + 8 8
综上可得，数列 bn 的前 n项和 Sn = + - ．2 9 4n 9
17．（2024·福建泉州·二模）己知数列 an 和 bn 的各项为正，且 a3 =18b1， bn 是公比 3 的
等比数列．数列 a 2n 的前 n 项和 Sn 满足 4Sn = an + 2an ．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
b
(2)设Cn = n+3 + a cos nπ b - 3 b -1 n ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn ．n+3 n+3
【答案】(1) an = 2n，bn = 3
n-2
ì 1 1 1
- n+1 ÷ + n当n为偶数
2 è 2 3 -1
(2) Sn = í
1 3- - n - 当n为奇数
2 3n+1 -1 4
【分析】（1）利用递推公式可证得数列 an 是等差，可求出数列 an 的通项；利用等比数列
的性质，可求出 bn 通项；
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
2
【详解】（1）由题设，当 n =1时 4S1 = a1 + 2a1, \a1 = 2，
4S 2由 n = an + 2an ，知 4Sn-1 = a
2
n-1 + 2an-1，
两式相减得 an + an-1 an - an-1 - 2 = 0，
\an + an-1 = 0（舍）或 an - an-1 - 2 = 0，即 an - an-1 = 2，
∴数列 an 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，\an = 2n ．
a =18b = 6, 1\b = , \b = 3n-2又 3 1 1 ．3 n
b n+1
（2）Cn =
n+3 + an cos nπ
3
= + (-1)n 2n
bn+3 - 3 bn+3 -1 3n+1 - 3 3n+1 -1
3n
= + (-1)n 2n 1= 1 1- + (-1)n 2n
3n -1 3n+1 -1 2 3n -1 3n+1 -1֏
S 1 é 1 1 1 1 1 1 ù则 n = ê - 2 ÷ + 2 - 3 ÷ + +
-
2 ÷ è 3-1 3 -1 è 3 -1 3 -1 è 3n -1 3n+1 -1
ú

+2 é (-1+ 2) + (-3 + 4) + .+ (-1)
n nù
S 1 1 1 当 n 为偶数时 n = 2
- ÷ + n ；
è 2 3n+1 -1
S 1 1 1 当 n 为奇数时， n = - n+1 ÷ - (n 1)
1
+ = - - n 3-
2 è 2 3 -1 2 3n+1 -1 4 ．
ì 1 1 1
-

n+1 ÷ + n，当n为偶数
S =
2 è 2 3 -1
所以 n í 1 3 . - - n - ，当n为奇数
2 3n+1 -1 4
18．（2024·广西·模拟预测）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数 n，有
S 3n
2 3n
n = - ．2 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) m对所有正整数m，若ak < 4 < ak+1 ，则在 ak 和 a mk +1两项中插入 4 ，由此得到一个新数列 bn ，
求 bn 的前 91 项和．
【答案】(1) an = 3(n -1) .
(2)11563.
【分析】（1）利用 n =1时， an = a1； n 2时， an = Sn - Sn-1求解即可.
（2）先确定 bn 前 91 项的最后一项，然后分别对其中的 an 和插入的 4m进行求和.
2
a S S 3n 3n
é3(n -1)2 3(n -1) ù
【详解】（1）当 n 2时， n = n - n-1 = - -2 2 ÷ ê
- ú = 3n - 3．
è 2 2
又 n =1时，得 a1 = 0，也满足上式，
故 an = 3(n -1) ．
（2）由a91 = 270 44，所以 < a 591 < 4 ，
又a87 = 258 > 4
4
，所以 bn 前 91 项中有 87 项来自 an ，
所以b1 + b2 +L+ b91 = a1 + a2 +L+ a87 + 41 + 42 + 43 + 44
87 a + a 4 44 -1
= 1 87

+ =11223 + 340 =11563．
2 4 -1
1
19．（2024·四川·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = ,an - an+1 - ana2 n+1 = 0．
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 bn
1 1 1 1 3
满足，b1 =1,b2n - b2n-1 = b2n+1 - b2n = a ，求证：
+ +L+ <
b b b ．n 2 4 2n 4
1
【答案】(1) an = n +1
(2)证明见解析
ì 1 ü ì 1 ü
【分析】（1）构造新数列 í ，是等差数列，通过 í 的通项公式得到 an 的通项公式.
an an
1 1 1 1
（2）由b2n - b2n-1 = b2n+1 - b2n = n +1，得到b2n = n n + 2 ，进而 = -b2n 2 è n n + 2 ÷
，裂项相

消法求和.
【详解】（1）由 an - an+1 - anan+1 = 0知，若 an+1 = 0，则 an = 0，若 an = 0，则 an+1 = 0．
又 a1 0，所以"n N*,an 0．
1 1 1 1
由 an - an+1 - anan+1 = 0，可得 - -1 = 0a 即
- =1（常数），
n+1 an an+1 an
ì 1 ü 1
故 í 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 = 2 + n -1 = n +1
an a
．
n
a 1故 n = ．n +1
（2）由b
1
2n - b2n-1 = 得b2n - b2n-1 = n +1a ，①n
由b
1
2n+1 - b2n = = n +1得b2n-1 - ba 2n-2
= n n 2 ，②
n
① + ②可得b2n - b2n-2 = 2n +1 n 2 ．
1
当 n =1时，b2 - b1 = = 2a ，则
b2 = 3．
1
所以b2n - b2 = b4 - b2 + b6 - b4 + b8 - b6 +L+ b2n - b2n-2
= 2 2 +1 + 2 3 +1 + 2 4 +1 +L+ 2n +1 = 2 2 + 3+ 4 +L+ n + n -1
2 + n n -12 = + n -1 = n + 3 n -1 ，
2
所以b2n = b2 + n + 3 n -1 = n n + 2 n 2 ，
当 n =1时，b2 = 3也满足上式，所以b2n = n n + 2 ．
1 1 1 1 1 *
由上可知， = = - , n Nb2n n n + 2 2 ÷
，
è n n + 2
1 1
所以 + +L
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ = - + - + - +L+ -

b ÷2 b4 b2n 2 è1 3 2 4 3 5 n n + 2
1 1 1 1 1 3= + - -

÷ < ，2 è 2 n +1 n + 2 4
1 1 1 3
+ +L+ <
即 b2 b4 b2n 4 ．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）函数 f x 满足"x、 y R，都有 2 f x + y = f x f y ，且
f 1 =1，则（ ）
f 1 A． ÷ = 2 B．数列 f n 单调递减
è 2
f x1 + x2
f x1 + f x2 nC． ÷ D． éi f i ù 4
4 + 2n
× = -
è 2 2
n
i=0 2
【答案】BCD
t
【分析】令 x
t
= y = ，推导出 f ÷ = 2 f t ，令 t =1可判断 A 选项；分析可知数列 f n 2 è 2
为等比数列，求出该数列的通项公式，结合数列单调性的定义可判断 B 选项；利用基本不等
式可判断 C 选项；利用错位相减法可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，函数 f x 满足"x、 y R，都有 2 f x + y = f x f y ，
2
令 x = y
t é t= ù
2 ，则 ê f ÷ú = 2 f t 0，即 f t
t
0 ，则 f ÷ = 2 f t ，
è 2 è 2
f 1 所以， 2 ÷
= 2 ，A 错；
è
对于 B *选项，令 x = n n N ， y =1，可得 2 f n +1 = f n f 1 = f n ，
1
所以， f n +1 = f n ，且 f 1 =1，
2
n-1
所以，数列 f n 1 1 是首项为1，公比为 2 的等比数列，所以， f n = 2 ÷ ，è
1 n 1 n-1 1 nf n +1 - f n = - = - 所以， 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ < 0，即
f n +1 < f n ，
è è è
故数列 f n 单调递减，B 对；
t
对于 C 选项，对任意的 t R ， f ÷ = 2 f t ，
è 2
x + x f x + f x
所以， f 1 2 ÷ = 2 f x1 + x2 = f x1 f x 1 22 ，
è 2 2
当且仅当 f x1 = f x2 时，等号成立，C 对；
n 1 2 3 n
对于 D 选项，令 Sn = é i × f i ù = 0 + 1 + 2 +L+ n-1 ，①
i=0 2 2 2 2
1 S 1 2 n -1 n则 n = + +L + + ，②2 21 22 2n-1 2n
1
- 1
1- n
S 1 1 1 L 1 n 2 n 2 n + 2① ②可得 n = + 1 + 2 + +2 2 2 2n-1
- n = 1 - n = - n ，2 1- 2 2
2
n 4 + 2n
因此， éi × f i ù = 4 - 2n ，D 对.i=0
故选：BCD.
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 3， a2 =15，且 an+2 - 2an+1 + an = 8，若 x
é 4034 4034 4034 ù
表示不超过 x 的最大整数，则 ê + + ××× +a a a ú
=（ ）
1 2 2024
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
【答案】B
1
【分析】先由累加法求出 an ，进而求得 a ，再用裂项相消法求解即可.n
【详解】由 an+2 - 2an+1 + an = 8可得 an+2 - an+1 - an+1 - an = 8，又 a2 - a1 =15 - 3 =12，
故数列 an+1 - an 是以 12 为首项，8 为公差的等差数列，则 an+1 - an =12 + n -1 8 = 8n + 4，
a2 - a1 = 8 + 4， a3 - a2 = 8 2 + 4， a4 - a3 = 8 3 + 4，× × × ， an - an-1 = 8 n -1 + 4，
故当 n 2时， an - a1 = 8 + 8 2 + 8 3+ ×××+ 8 n -1 + 4 n -1 = 4n2 - 4，则 n 2时，
an = 4n
2 -1，
1 1 1 1 1 1
又 a1 = 3
2
适合上式，故 an = 4n -1，则 = 2 = = -an 4n -1 2n -1 2n +1 2 è 2n -1 2n +1÷
，

4034 4034 1 1= × - 2017 1 1则 = × -

an 2 è 2n -1 2n
，
+1÷ ÷ è 2n -1 2n +1
4034 4034 4034
+ + ×××+ 2017 1 1 1 1 1 1所以 = - + - + ×××+ -

a1 a2 a2024 è 3 3 5 2 2024 -1 2 2024 +1
÷

= 2017 1 1-

4049 ÷
，
è
é
2016 2017 1 1 2017 4034 4034 4034
ù
又 < - ÷ < ，所以 ê + + ××× + = 2016 .
è 4049 a
ú
1 a2 a2024
故选：B.
a a + 2n - 2
3．（2024·陕西西安·模拟预测）数列 an 满足 a n n-11 = 4， = n 2 ，则n n -1
1 1 1 1
+ + +L+ =
a a a a （ ）1 2 3 2024
2021 1012 1012 2023
A． B． C． D．
2025 2025 4048 4048
【答案】B
ìan ü a
【分析】由等差数列的定义可判断 í 是以 1 = 4为首项，2 为公差的等差数列，即可利用
n 1
裂项求和求解.
a a
【详解】将 n = n-1
+ 2n - 2 a
化简为 n
a
- n-1 = 2，
n n -1 n n -1
ìan ü a
所以数列 í 是以 1 = 4为首项，2 为公差的等差数列.
n 1
a 1 1 1 1 1
所以 n = 4 + 2 n -1 = 2n + 2，即 = = -a 2n n +1 2 n n +1÷，所以n n è
1 1 1 LL 1 1 é 1 1 1 1 1 1 ù 1 1 n+ + + + = - + - +LL+ - = 1- = ，
a1 a2 a3 a
ê
n 2 è 2
÷
è 2 3 ÷ è n n +1÷ ú 2 è n +1
÷
2n + 2
1 1 1 L 1 2024 1012所以 + + + + = =a1 a
.
2 a3 a2024 4050 2025
故选:B.
4．（2024·广东深圳· 2 1模拟预测）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = n + 3n ，若首项为 2
1 1
的数列 bn 满足 - = ab b n，则数列 bn 的前 2024 项和为（ ）n+1 n
1012 2025 2023 2024
A． B． C． D．
2023 2024 2024 2025
【答案】D
【分析】已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，做差法计算数列 an 的通项公式，代入
1 1
- = a
b b n，累加法求出数列 bn 的通项公式，裂项相消即可求出数列 bn 的前 2024 项和.n+1 n
2
【详解】解：QSn = n + 3n，\an = Sn - Sn-1 = 2n + 2 n 2 ，
当 n =1时， a1 = 4，符合 an = 2n + 2，
所以数列 an 的通项公式为 an = 2n + 2 .
Q 1 1 a 1 1- = n ，\ - = 2n + 2bn+1 bn bn+1 b
，
n
1 1
即 - = 4b ，2 b1
1 1
- = 6
b3 b
，
2
……
1 1 2n 1 2 1- = 2
b b ，又
=
b ，累加法可得：
= n + n ，
n n-1 1 bn
b 1 1 1 1即 n = = = -n2 + n n n +1 n n +1，
b n T 1 1 1 1 L 1 1 2024设数列 n 的前 项和为Tn ，则 2024 = - ÷ + -1 2 2 3 ÷ + + - = .è è è 2024 2025 ÷ 2025
故选：D
二、多选题
5 2023· · n．（ 山西大同 模拟预测）已知数列 an 满足 an + an+1 = 2 -1 ， n N* ，且 a5 =1，则
下列表述正确的有（ ）
A． a1 = -5 B．数列 a2n-1 是等差数列
ì 1 ü n
C．数列 an 是等差数列 D．数列 í 的前 n项和为
anan+1 14n - 49
【答案】BD
【分析】根据数列的递推关系先求出 an 的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.
a a
a a 2 n+1 n
ì a ü
【详解】由 + = -1 n ，得 - = -2 ，所以数列 í n n n+1 -1 n+1 -1 n 是等差数列， -1
n

an a5 n+1
所以 n = 5 + n - 5 -2 -1 a-1 ，即 n = 2n - 9 -1
对于 A， a1 = 2 1- 9 -1
1+1 = -7，故 A 不正确；
对于 B，∵ a2n-1 = 4n -11， a2n+1 - a2n-1 = 4(n +1) -11- 4n -11 = 4，故 a2n-1 是公差为 4的等
差数列，故 B 正确；
对于 C， an = 2n - 9 ，则 a3 = 3， a4 = a5 =1，所以 an 不是等差数列，故 C 不正确；
1 1 1 é 1 1
对于 D， = = - -
ù
anan+1 é 2n - 9 -1
n+1 ù

é
2n - 7 -1
n+2 ù 2 ê 2n - 9 2n - 7 ú

ì 1 ü 1 1 1 1 1 1 1 n
所以 í 的前 n项和为 Sn = - - + - +L+ -
=
anan+1 2 è -7 -5 -5 -3 2n - 9 2n - 7
÷
14n 49
，故
-
D 正确．
故选：BD
6．（2023·浙江· *二模）定义：若存在正实数 M 使 an M n N ，则称正数列 an 为有界正
2
数列．已知数列 a ln n +1 n 满足 a = ， Sn 为数列 an 的前 n 项和．则（ ）n n +1
A．数列 an 为递增数列 B．数列 Sn 为递增数列
C．数列 an 为有界正数列 D．数列 Sn 为有界正数列
【答案】BC
2
A f (x) ln(x +1)
2
【分析】对于 ，设 = ，求导后放缩为 f x
3 - ln(x +1)
< ，从而可知当 n 6 时，
x +1 (x +1)2
ln n2 +1
a = 单调递减，即可判断；对于 B，由 an > 0可知数列{Sn}为递增数列，即可判断；n n +1
对于 C，由 A 分析，即可判断；对于 D，借助不等式 ln 1+ x x ，从而可得
2
a ln(n +1) ln 2n = ≥ ≥ ln 2
1
× ln(1+ ) = ln 2 é ln n + 2 - ln n +1 ù ，即可得到 Sn ≥ ln 2 ln(n + 2) - ln 2 ，n +1 n +1 n +1
从而可判断.
2x22 + 2x - ln(x2 +1)
【详解】对于 A，设 f (x) ln(x +1)= ， 2
x +1 f (x) =
x +1 ，
(x +1)2
3x2 + 3
- ln(x2 +1) 2
当 x 1时， 2x2 + 2x 2x2 + x2 +1 < 3x2 + 3，则 2f x < x +1 3 - ln(x +1)2 =
，
(x +1) (x +1)2
3 - ln(x2 +1)
所以当 x 6 时， x2 +1 37 > 27 > e3，则当 x 6 时， f x = < 0，(x +1)2
ln n2 +1
所以当 n 6 时， a = 单调递减，A 错误；n n +1
对于 B，因为 an > 0，所以数列{Sn}为递增数列，B 正确；
*
对于 C，由 A 分析可知，当正实数 M 为前 6 项的最大项时，就有 an M n N ，所以数列
an 为有界正数列，C 正确；
对于 D，令 g x = ln 1+ x - x, x 0 1，则 g x = -1 x= - ，
1+ x 1+ x
所以当 x 0 时， g x 0，即 g x 在 0, + 上单调递减，
所以 g x g 0 = 0，即 ln 1+ x x ，
a ln(n
2 +1) ln 2
由 n = ≥ ≥ ln 2 × ln(1
1 n + 2
+ ) = ln 2 × ln = ln 2 é ln n + 2 - ln n +1 ù ，n +1 n +1 n +1 n +1
所以 Sn ≥ ln 2 ln(n + 2) - ln 2 ，D 错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：
对于 A，借助不等式 2x 1+ x2 进行放缩，而对于 C，借助不等式 ln 1+ x x 进行放缩，从
而可利用裂项相消法求和.
三、填空题
7．（2023· -n陕西西安·模拟预测）已知数列 an 和数列 bn ， an = 2n -1，bn = 2 .设
cn = an ×bn，则数列 cn 的前 n项和 Sn = .
3 2n + 3【答案】 -
2n
【分析】首先根据所给的 an 以及bn 求出 cn ,再结合错位相减法即可求得 Sn .
【详解】Q an = 2n -1, b = 2
-n
n ,则 cn = an ×bn = 2n -1 × 2-n ，
\Sn =1× 2
-1 + 3 × 2-2 + 5 × 2-3 +L+ 2n -1 × 2-n ①，
1 Sn =1×2
-2 + 3 ×2-3 + 5 ×2-4 +L+ 2n -1 ×2-n-1 ②，
2
1 S = 2-1 -2两式相减得 n + 2 2 + 2-3 + 2-4 +L+ 2-n - 2n -1 × 2-n-1 ，即2
1 1 1
n-1
× -

4 ÷1 1 è 2 ÷
÷
Sn = + 2 ×
è
1 - 2n -1 × 2
-n-1，变形化简可得
2 2 1-
2
S 3 2n + 3n = - .2n
3 2n + 3故答案为： -
2n
1
8．（2024·四川·三模）在数列 an 中，已知 a1 = ， n + 2 an+1 = nan ，则数列 an 的前 20242
项和 S2024 = ．
2024
【答案】
2025
an+1 n
【分析】由 n + 2 an+1 = nan ，得到 = aan n + 2
，利用累乘法得到数列 n 的通项公式，再
用裂项相消，即可求解.
an+1 n
【详解】因为 n + 2 an+1 = nan ，所以 =an n + 2
，
所以 an = a
a2 a3 a 1 1 2 n -1 1 1 1
1 × × × ×
n = × × × × = = -
a1 a2 an-1 2 3 4 n +1 n n +1 n n +1，
S 1 1 1 1 1 1 2024因此 2024 = - + - + + - = ，2 2 3 2024 2025 2025
2024
故答案为： .
2025
9．（2023·陕西铜川·二模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且点 an , Sn 总在直线 y = 2x -1上，
则数列 n × an 的前 n项和Tn = .
【答案】 n -1 2n +1
【分析】由 Sn 与 an 的关系求出 an 的通项公式，用错位相减法求Tn .
【详解】数列 an 的前 n项和为 Sn ，且点 an , Sn 总在直线 y = 2x -1上，所以 Sn = 2an -1 .
当 n 2时， Sn-1 = 2an-1 -1，两式相减得， an = 2an-1，
又 a1 =1，所以数列 an 是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，
∴ a n-1n = 2 ，∴ n ×an = n × 2
n-1
，
则Tn =1 2
0 + 2 21 + 3 22 +L+ n 2n-1，
2T =1 21所以 n + 2 2
2 + 3 23 +L+ n 2n ，
0 1 2
两式相减得：-Tn = 2 + 2 + 2 +L+ 2
n-1 - n 2n = 2n -1- n 2n .
所以Tn = n -1 2n +1，
n
所以数列 n × an 的前 n项和Tn = n -1 2 +1 .
故答案为： n -1 2n +1
四、解答题
10．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且满足 Sn = 2an + 2n -1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
n 2 - a(2)已知b n = n ，求数列 bn 的前 n项和.3
【答案】(1) a = 2 - 3 × 2n-1n
(2)Tn = n -1 × 2n +1
an - 2
【分析】（1）根据题意，求得 = 2，得出 an - 2a - 2 为等比数列，即可求解；n-1
（2）由（1）得到b = n × 2n-1n ，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：当 n =1时， 2a1 = a1 -1，解得 a1 = -1，
当 n 2时，由 Sn = 2an + 2n -1，可得 Sn-1 = 2an-1 + 2n - 3，
a
a n
- 2
两式相减得 n = 2an - 2an-1 + 2，所以 an - 2 = 2 an-1 - 2 ，即 = 2a ，n-1 - 2
又因为 a1 - 2 = -3，所以 an - 2 是首项为-3，公比为 2 的等比数列，
所以 an - 2 = -3 ×2
n-1
，所以数列 an 的通项公式为 an = 2 - 3 × 2n-1 .
n 2 - a
（2

）解：由（1）知，b = n = n × 2n-1n ，3
b n T = 1 20 + 2 21所以数列 n 的前 项和为 n + 3 22 +L+ n × 2n-1 ，
可得 2Tn =1 2
1 + 2 22 + 3 23 +L+ n -1 × 2n-1 + n × 2n ，
1 1- 2n
所以-Tn = 2
0 + 21 + 22 +L+ 2n-1 - n × 2n = - n ×2n = 1- n ×2n -1，
1- 2
T n所以 n = n -1 × 2 +1 .
11．（2024·江苏宿迁·三模）在数列 an 中， a1 = 2,a nn + an+1 = 3 × 2 (n N*)．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)已知数列 b 满足 4b1 -14b2 -1L4bn -1 bnn = an ；
①求证：数列 bn 是等差数列；
b b
② b n n+1若 2 = 3，设数列 cn = a 的前 n 项和为Tn ，求证：Tn < 14 ．n
【答案】(1) a = 2nn
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
a 1 a a a
【分析】（1）变形得到 n+1 n 1 n
2n+1
-1 = - × ( n -1)，结合 -1 = 0，故 n -1 = 0，从而得到2 2 2 2
an = 2
n ；
ìS1, n =1
（2）①化简得到 2(b1 + b2 + L + bn ) - 2n = n × bn ，利用bn = íS S ,n 2 得到 n - n-1
n × bn+2 = (n + 1)bn+1 - 2 ，同理可得bn+2 + bn = 2bn+1 ，证明出 bn 是等差数列；
②求出b1 = 2，结合b2 = 3，得到公差，得到通项公式bn = n +1，所以
c bnbn+1 n
2 + 5n + 8 (n +1)2 + 5(n +1) + 8
n = =a 2n-1
-
2n ，裂项相消法求和证明出结论.n
【详解】（1）因为 an + a n *n+1 = 3 × 2 (n N ) ，
n
所以 an+1 = -an + 3 ×2 ，
a
所以 n+1
1 a 3
n+1 = - ×
n +
2 2 2n 2 ，
a 1 a
所以 n+1 n
2n+1
-1 = - × ( n -1)，2 2
因为 a1 = 2
a
，所以 n=1 时， n -1 = 0，
2n
所以数列{
an
n -1}
a
是各项为 0 的常数列，即 n -1 = 0，
2 2n
所以 a nn = 2 ．
（2）①由 4b1 -14b2 -1L4bn -1 = a bn 得 4b1 +b2 +L+bn -nn = (2n )bn = 2n×bn
所以 2(b1 + b2 + L + bn ) - 2n = n × bn ①
所以 2(b1 + b2 + L + bn+1 ) - 2(n + 1) = (n + 1) × bn+1 ②
②-①得： (n - 1) × bn+1 = nbn - 2 ③
所以 n × bn+2 = (n + 1)bn+1 - 2 ④
④-③得 n × bn+2 + nbn = 2nbn+1，所以bn+2 + bn = 2bn+1
即bn+2 - bn+1 = bn+1 - bn
所以数列 bn 是等差数列．
②当 n =1时，由 4b1 -14b2 -1L4bn -1 = a bnn 得 4b1 -1 = a b1 = 2b11 ，所以b1 = 2，
又b2 = 3，故 bn 的公差为 1，所以bn = n +1，
c bnbn+1 (n +1)(n + 2) n
2 + 5n + 8 (n +1)2 + 5(n +1) + 8
所以 n = = =a 2n 2n-1
-
2n ，n
T c c L c (14 22) (22 32
2
) L [n + 5n + 8 (n + 1)
2 + 5(n + 1) + 8
即 n = 1 + 2 + + n = 0 - 1 + 1 - 2 + + n 1 - ]2 2 2 2 2 - 2n
14 (n + 1)
2 + 5(n + 1) + 8
= - < 14 ．
2n
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型：
1 1 1 1 1 1 1 1
分式型： = - = -

n n + k k è n n + k ÷， 2n -1 2n +1 2 ÷ ，è 2n -1 2n +1
1 1 é 1 1 ù
= -
n n+1 n 2 2 ê ú等；+ ê n n+1 n+1 n+ 2 ú
2n 1 1 n + 2 1 1
指数型： = - 2n+1 -1 2n -1 2n -1 2n+1 -1， n n +1 ×2n = n × 2n-1 - n +1 × 2n 等，
1 1
根式型： = n + k - nk 等，n + n + k
log an+1m = logm a - log aa n+1 m n
对数型： n ，m > 0且m 1考点 37 数列求和（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+
拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．
【知识点】
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和．
(1)等差数列的前 n 项和公式：
Sn＝ ＝ .
(2)等比数列的前 n 项和公式：
Sn＝{na1，q＝1， .
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，
分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可
采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列
的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
1 1 1
(1) ＝ － .
n n＋1 n n＋1
1 1 1 1
(2) ＝ － .
n n＋2 2(n n＋2)
1 1 1 1
(3) ＝ － .
2n－1 2n＋1 2(2n－1 2n＋1)
1
(4) ＝ n＋1－ n.
n＋ n＋1
1 1 1 1
(5) ＝ － .
n n＋1 n＋2 2[n n＋1 n＋1 n＋2 ]
常用结论
常用求和公式
n n＋1
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ .
2
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
n n＋1 2n＋1
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝ .
6
n n＋1
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝[ ]22
【核心题型】
题型一　分组求和与并项求和
　(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和
法求数列{cn}的前 n 项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为 c {an，n 为奇数，n＝ b n 其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数n， 为偶数，
列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和
【例题 1】（2024·河北·模拟预测）已知首项为 2 的数列 an 满足 4an+1 - 5an+1an - 2an = 2，当
an 的前 n项和 Sn 16时，则 n的最小值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
【变式 1】（2024·四川攀枝花·三模）数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = -1，
nan = Sn + n(n -1)(n N
* )，设bn = (-1)
n an，则数列 bn 的前 51 项之和为（ ）
A．-149 B．-49 C．49 D．149
【变式 2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn , a1 =1,a3 = 2 ，且
anan+2 = an+1an+3 ，则 S16 的最小值为 ．
【变式 3】（2024·全国·高考真题）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 2Sn = 3an+1 - 3 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 Sn 的前 n 项和.
题型二　错位相减法求和
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，常采用错位相
减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地
写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比 q 是否等于 1，如果 q＝1，应用公式 Sn＝na1
1
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 4an+1 - 4an + an-1 = 0,a1 = a2 = ，其前 n2
6
项和为 Sn ，则使得 2 - Sn < an 成立的 n 的最小值为（ ）5
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和， a1 = 2， a = 2 a nn+1 n + 2 ，
不等式 2lan - S2n+1 -128n + 2 0对任意的 n N* 恒成立，则实数l 的取值范围为（ ）
A． - ,32 B． - ,16
C． 32, + D． - ,8
2a a
【变式 2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列 an 满足 a n n-11 = 2，且 = （ n N*且3n +1 3n - 2
217
n >1），若 an 的前 n项和为 Sn ，则满足 Sn > 的最小正整数 n的值为 .32
【变式 3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 Sn ,
2Sn = n a +1
3
n 且 a2 = a1 .2
(1)求 an 的通项公式；
a
(2)若bn = n ,2n 求数列 bn 的前 n项和Tn .
题型三　裂项相消法求和
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项
【例题 3】（2024·福建泉州·一模）记数列 an , bn 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn ，若 an 是等差
数列，且 S6 = S5 + 25 = 90, anbnan+1 =1，则T10 =（ ）
2 8 10 40
A． B． C． D．
45 45 41 41
Tn
【变式 1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项的积为Tn ， an = T -1，则使n
n
得 a < 2024i2 成立的 n 的最大值为（ ）
i=1
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式 2】（2024·山西阳泉·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 2an - 2，则数列
ì a ü
í n T = 的前 100 项和 ． an +1 a + 2
100
n
【变式 3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn + n2 也是
等差数列．
(1)求数列 an 的公差；
ì 1 ü
(2)若 a1 = -1，求数列 í 的前 n 项和Ta a n ． n n+1
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024· 2安徽合肥·模拟预测）已知数列 an 各项为正数， bn 满足 an = bnbn+1，
1 1 1
an + an+1 = 2bn+1，若 a1 = 2，b1 =1，则 + +L+ =a a a （ ）1 2 2024
1012 1011 2024 2023
A． B． C． D．
1013 1012 2025 2024
3
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， S1 =1， S2 = 3，且 an+1是2a2 n ，
n i 509
an+2 的等差中项，则使得 >a 128 成立的最小的 n的值为（ ）i=1 i
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数Z = i + 2i2 +3i3 +×××+ 2024i2024的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C．-1011 D．-1012
4．（2024·河北张家口·三模）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足
ìa
a =1, a = n
+1, n为奇数
1 n+1 í ，则 S = （ ）
2an , n
100
为偶数
A．3 251 -156 B．3 251 -103 C．3 250 -156 D．3 250 -103
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 an = 2n ，bn = 3n -1，数列 an 和 bn 的公共项由小到大排列
组成数列 cn ，则（ ）
A． c4 = 32
B． cn 为等比数列
ìbn üC．数列 í 的前 n项和 Sn 1,5
an
D． b1 、 b2 、 b3 不是任一等差数列的三项
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 中， a1 = 3, a2 = 2 ，当 n为奇数时，3an+2 = an ，当 n
为偶数时， 2an+2 = an ，则（ ）
a a 1A．数列 n 是递减数列 B． 8 = 4
a 100
C． 10 < a11 D．10 ai < 9i=1
三、填空题
7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）设 Sn 为等差数列 an 的前 n项和， a1 =1,S3 = 6，则数列
ì 1 ü
í 的前 10 项和为 .
anan+1
8．（2023·河南· 2模拟预测）已知数列 an 满足 a1 + a2 + ×××+ an = n ，则
a 11 ×2 + a ×2
2
2 + ×××+ an ×2
n = .
9．（2024·陕西· 2模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 2an - 2，则数列 n an 的
则前 n项和Tn = .
四、解答题
n n +1
10．（2024·

湖南岳阳·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 .2
(1)求数列 an 的通项公式；
3 3
(2)证明： a 2 2n+1 - an = 3an + 3n +1，并求数列 an 的前 n项和 Sn .
11．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记 Sn 为数列 an 的前 n 项和， Sn - n 是首项与公差
均为 1 的等差数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
(-1)n a +1b (2)设 n = n ，求数列 bn 的前 2024 项的和TS 2024 ．n
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江杭州·二模）设数列 an , bn 满足a1 = b1 = 1,an + bn+1 = 2n,an+1 + bn = 2n ．设 Sn
为数列 an + bn 的前 n项的和，则 S7 =（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
2．（2024·安徽·三模）记数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 =1, Sn + Sn+1 = 3n2 + 2n +1，则 S20 =
（ ）
A．590 B．602 C．630 D．650
1
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列 an 满足： a1 =1， an = an-1 + n n 2 ，且bn = a ，n
则数列 bn 前 n 项的和 Sn 为（ ）
S n 2n
2
A． n =
n
B． Sn = C
3n
． S
n +1 n +1 n
= D
n 2 ． S+ n = n + 2
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和 Sn 满足 2(Sn +1) = 3an (n N*)，若
b a= n+1n S S ，数列 bn 的前 n项和为Tn ，则T2024 = （ ）n n+1
1 1 1 1
A． - 2025 B． - 2024 C．1
1 1 1- D． -
2 3 -1 2 3 -1 32024 -1 32025 -1
5．（2023·江苏南通·三模）复数 z =1+ 2i + 3i2 +L+ 2022i2021 + 2023 i2022 的虚部为( ).
A．1012 B．-1011 C．1011 D．2022
6．（2024·全国·二模）数列 an 的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列， Sn 是数列 an 的
前 n项和， a1 = 3， a2 = 2， a3 = a4 ， S4 = 7，则（ ）
A． a2k < a2k +1, k N
*
，且 k 2
B．当 n 5，且 n N*时，数列 an 是递减数列
a
C 10． <10a11
D． S100 < 9
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知公差不为零的等差数列 an 满足： a3 + a8 = 20，且 a5 是
a2与 a14 的等比中项，设数列
1
bn 满足bn = n N*a a ，则数列 bn 的前 n项和 Sn 为（ ）n n+1
1 1 2nA． - = B．1 1 2n + 2+ =
2n +1 2n +1 2n +1 2n +1
1 1 1 n 1 1 n+1C． - ÷ = D． 1+
=
2 è 2n +1 2n+1 2 è 2n +1÷ 2n+1
8．（2024·河南·三模）已知等差数列 an 的公差大于 0 且 a1 + a6 = 4a2，若
24
1 = 6 aa + a ，则 5 = （ ）k =1 k +1 k
13 9 7 5
A． B． C． D．
4 4 4 4
二、多选题
9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列 an , bn 的前 n项和分别为 Sn ,Tn ，若
a = 2n -1,T = 2n+1n n - 2，则（ ）
A． S10 =100 B．b10 =1024
ì 1 ü 9 ì 1 ü 1023
C． í 的前 10 项和为 D． í 的前 10 项和为
anan+1 19 bn 1024
10．（23-24 高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项积为Tn ，
a1 = 2，Tn+1 - 2 = 3T *n（n N ），则（ ）
A．Tn = 3
n -1 B． an 为递增数列
3nC a -1 3
n+1 3
． n = T3n
D
-1 ．1 n
的前 n 项和为 - n -
- 2 2
ì
an-1,
n
N*
11．（2024·山东济南·二模）数列 an 满足 a1 =1 a =
4
， n í ， n 2n ，
bm 表示 an
an-1 +1, N
*
4
m m+1
落在区间 é2 ,2 的项数，其中m N*，则（ ）
b 3n 3n + 3A． 3 =10 B． an 4 4
4n 2n
a 2 4C． k = 6n + 3n D． bk = 3 4
n -1
k =1 k =1
三、填空题
12．（2024·江苏泰州·模拟预测）设 Sn 为数列 an 的前 n项和， S
1
n = -1
n an - n ，2 n N
* ，
则
（1） a1 = ；
（2） S1 + S2 + ×××+ S100 = .
13．（2024·江苏南通·模拟预测）定义： x 表示不大于 x 的最大整数， x 表示不小于 x 的最
小整数，如 1.2 =1， 1.2 = 2 .设函数 f x = x x *在定义域 0, n n N 上的值域为Cn ，
1 1 1
记Cn 中元素的个数为 an ，则 a2 = ， + +L+ =a a a 1 2 n
14．（2023·全国·模拟预测）已知数列 an 为公差不为 0 的等差数列， a3 = 5，且 a2 , a5 , a14 成
等比数列，设 x 表示不超过 x 的最大整数，如 3.5 = 3， -1.5 = -2，记bn = log2 an ， Sn 为
数列 bn 的前 n项和，则 S2024 = .
四、解答题
15．（2024·山东·模拟预测）设数列 an 满足nan+1 = 2 n + 2 an ，且 a1 = 4．
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 an 的前 n项和 Sn ．
16．（2024·河北衡水·三模）已知数列 an 满足： a1 =1, a2 = 2, an + an+1 = 2an+2 ．
(1)请写出 a3 - a2，a4 - a3，a5 - a4 的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设bn = 3na2n+1，求数列 bn 的前 n项和 Sn ．
17．（2024·福建泉州·二模）己知数列 an 和 bn 的各项为正，且 a3 =18b1， bn 是公比 3 的
2
等比数列．数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 4Sn = an + 2an ．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
b
(2)设Cn = n+3 + a cos nπ b - 3 b -1 n ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn ．n+3 n+3
18．（2024·广西·模拟预测）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数 n，有
S 3n
2 3n
n = - ．2 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) m a < 4m对所有正整数 ，若 k < ak+1 ，则在 ak 和 ak +1两项中插入 4m，由此得到一个新数列 bn ，
求 bn 的前 91 项和．
19．（2024·四川·模拟预测）已知数列 a 1n 满足 a1 = ,an - an+1 - a2 nan+1 = 0．
(1)求 an 的通项公式；
b 1,b b b b 1 1 1 1 3(2)若数列 bn 满足， 1 = 2n - 2n-1 = 2n+1 - 2n = ，求证： + +L+ 【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）函数 f x 满足 x、 y R，都有 2 f x + y = f x f y ，且
f 1 =1，则（ ）
1
A． f ÷ = 2 B．数列 f n 单调递减
è 2
C f
x1 + x2 f x1 + f x n2 4 + 2n． ÷ D． é i × f i ù = 4 -
è 2
n
2 i=0 2
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 3， a2 =15，且 an+2 - 2an+1 + an = 8，若 x
é
x 4034 4034 4034 ù表示不超过 的最大整数，则 ê + + ××× + ú =（ ）
a1 a2 a2024
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
a a + 2n - 2
3．（2024·陕西西安·模拟预测）数列 a 满足 a = 4，n = n-1n 1 n 2 ，则n n -1
1 1 1 1
+ + +L+ =
a1 a2 a
（ ）
3 a2024
2021 1012 1012 2023
A． B． C． D．
2025 2025 4048 4048
4 2024· · a n S S = n2 + 3n 1．（ 广东深圳 模拟预测）已知数列 n 的前 项和为 n ，且 n ，若首项为 2
1 1
的数列 bn 满足 - = ab b n，则数列 bn 的前 2024 项和为（ ）n+1 n
1012 2025 2023 2024
A． B． C． D．
2023 2024 2024 2025
二、多选题
5．（2023·
n
山西大同·模拟预测）已知数列 an 满足 an + a *n+1 = 2 -1 ， n N ，且 a5 =1，则
下列表述正确的有（ ）
A． a1 = -5 B．数列 a2n-1 是等差数列
C．数列 an
ì 1 ü n
是等差数列 D．数列 í 的前 n项和为
anan+1 14n - 49
6．（2023· *浙江·二模）定义：若存在正实数 M 使 an M n N ，则称正数列 an 为有界正
2
数列．已知数列 an ln n +1 满足 a = ， Sn 为数列 an 的前 n 项和．则（ ）n n +1
A．数列 an 为递增数列 B．数列 Sn 为递增数列
C．数列 an 为有界正数列 D．数列 Sn 为有界正数列
三、填空题
7．（2023· -n陕西西安·模拟预测）已知数列 an 和数列 bn ， an = 2n -1，bn = 2 .设
cn = an ×bn，则数列 cn 的前 n项和 Sn = .
8．（2024·四川·三模）在数列 an
1
中，已知 a1 = ， n + 2 an+1 = nan ，则数列 a2 n 的前 2024
项和 S2024 = ．
9．（2023·陕西铜川·二模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且点 an , Sn 总在直线 y = 2x -1上，
则数列 n × an 的前 n项和Tn = .
四、解答题
10．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且满足 Sn = 2an + 2n -1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
n 2 - a(2)已知b n n = ，求数列 bn 的前 n项和.3
11．（2024·江苏宿迁·三模）在数列 an 中， a1 = 2,a + a nn n+1 = 3 × 2 (n N*)．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)已知数列 bn 满足 4b1 -14b2 -1L4bn -1 = a bnn ；
①求证：数列 bn 是等差数列；
b b
② b = 3 c = n n+1若 2 ，设数列 n a 的前 n 项和为Tn ，求证：Tn < 14 ．n

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