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考点 22 任意角和弧度制、三角函数的概念（2 种核心题型+
基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解任意角的概念和弧度制
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
【知识点】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
{按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)相反角：我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角 α 的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号 rad 表
示．
(2)公式
l
角 α 的弧度数公式 |α|＝ (弧长用 l 表示)
r
π 180
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ °
180 ( π )
弧长公式 弧长 l＝|α|r
1 1
扇形面积公式 S＝ lr＝ |α|r2
2 2
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
y
设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝ ，cos α＝
r
x y
，tan α＝ (x≠0)．
r x
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
【核心题型】
题型一　角及其表示
α
确定 kα， (k∈N*)的终边位置的方法
k
α α
先写出 kα 或 的范围，然后根据 k 的可能取值确定 kα 或 的终边所在位置．
k k
2π 2π
【例题 1】（2023·安徽·模拟预测）已知角a 终边上有一点P sin ,cos ÷，则 π - a 为
è 3 3
（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
a P sin 2π ,cos 2π
3 1
【详解】已知角 终边上有一点 ÷，即点P ,- ，
è 3 3
÷
֏ 2 2
a π\ = - + 2kπ k Z ，
6
7π
\π -a = - 2kπ k Z 为第三象限角.
6
故选：C.
a sin 4π ,cos 4π 【变式 1】（2023·辽宁·一模）已知角 的终边上一点的坐标为 ÷，则a 的最小
è 5 5
正值为（ ）
π 3π 4π 17π
A． B． C． D．
5 10 5 10
【答案】D
4π π 3π
【分析】通过 = -
- ÷ ，用诱导公式将点的坐标化为 cosa ,sina ，根据三角函数的5 2 è 10
定义即可写出a ，判断选项即可.
4π π 3π 4π π 3π 3π
【详解】解：因为 = - -

÷ ，所以 sin = sin -

- =cos
- ，
5 2 è 10 5 è 2 è 10
÷÷ ÷
è 10
cos 4π而 = cos
π
-
3π
- =sin 3π -

，
5 è 2

è 10 ÷÷ ÷ è 10

所以角a 的终边上点的坐标可写为： cos
3π ,sin 3π - ÷ -

10 10 ÷÷
，
è è è
所以a = -
3π + 2kπ,k Z 3π 17π，因此a 的最小正值为- + 2π = .
10 10 10
故选：D
【变式 2】（2024·北京东城·一模）已知角a , b 的终边关于直线 y = x 对称，且
sin a 1- b = ，则a , b 的一组取值可以是a = ， b = .
2
π π
【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） （答案不唯一，符合题意即可）
3 6
π 1
【分析】由角a , b 的终边关于直线 y = x 对称，可得a + b = + 2kπ ，再由 sin a - b = 可
2 2
b π得 = + kπ
π
或 b = - + kπ，即可求出答案.
6 6
【详解】因为角a , b 的终边关于直线 y = x 对称，
a b π则 + = + 2kπ
π
， k Z，则a = - b + 2kπ ，
2 2
sin a b 1因为 - = ，所以 sin π - b + 2kπ - b
= sin π - 2b + 2kπ cos 2b 1÷ ÷ = = ，2 è 2 è 2 2
所有 2b
π
= + 2kπ 2b π或 = - + 2kπ ， k Z，
3 3
π π
解得： b = + kπ或 b = - + kπ， k Z，
6 6
π π
取 k = 0，b 的一个值可以为 ，a 的一个值可以为 .
6 3
π π
故答案为： 3 （答案不唯一，符合题意即可）； 6 （答案不唯一，符合题意即可）
【变式 3】（2024·湖南岳阳·三模）已知角a , b 的终边关于直线 y = x 对称，且
sin(a 3- b ) = ，则a , b 的一组取值可以是a = ， b = ．
2
5π π
【答案】 （答案不唯一，符合a = k + m π 5π π+ ， b = k - m π + 或
12 12 12 12
a = k + m π 7π+ ， b = k - m π π- ， k, m Z即可）
12 12
【分析】由条件角a , b 的终边关于直线 y = x 对称可得a + b ，由 sin(a - b ) 3= 可得a - b ，
2
解方程求a , b 即可.
【详解】因为角a , b 的终边关于直线 y = x 对称，
π
所以a + b = 2kπ + ， k Z，
2
又 sin(a 3- b ) = ，
2
所以a - b = 2mπ
π 2π
+ 或a - b = 2mπ + ，m Z，
3 3
所以a = k + m π 5π+ ， b = k - m π π a k 7π π+ 或 = + m π + ， b = k - m π - ，
12 12 12 12
k, m Z，
取 k = 0,m
5π
= 0可得a = , b
π
= 或a
7π
= , b π= -
12 12 12 12
所以a , b 的一组取值可以是a
5π
= , b π= ，
12 12
5π π a 5π π故答案为： ， ，（答案不唯一，符合 = k + m π + ， b = k - m π + 或
12 12 12 12
a = k + m π 7π+ ， b = k - m π π- ， k, m Z即可）
12 12
题型二　弧度制及其应用
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
1 1 1
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）设 a = cos ,b = sin ,c = tan
1
，则（
3 3 3 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D． c > b > a
【答案】D
b
【分析】由 sina < a < tana ，可证b < c ， >1，得结论.
a
π
【详解】先证明：当a 0, ÷ 时， sina < a < tana .
è 2
如图，角a 终边为 OP，其中点 P 为角a 的终边与单位圆的交点，PM ^ x 轴，交 x 轴于点
M，
A 点为单位圆与 x 轴的正半轴的交点， AT ^ x 轴，交角a 终边于点 T，
则有向线段 MP 为角a 的正弦线，有向线段 AT 为角a 的正切线，
设弧P A长 l = a 1 = a ，
1 1 1
由图形可知： SVOAP < S扇形OAP < SVOAT ，即 OA MP < OA l < OA AT ，2 2 2
1
所以 OA sina
1 1
< OA a < OA tana ，即 sina < a < tana .
2 2 2
则 sin
1
< tan 1 ，所以b < c ．
3 3
b 3tan 1而 = > 3
1
=1，所以b > a，
a 3 3
所以 c > b > a .
故选：D．
【变式 1】（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知圆锥的顶点为S ，母线SA， SB 所成角的余弦
3
值为 ，SA 16与圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为 .
5 5
【答案】 4 2π
【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积.
【详解】如图：其中 O 是底面圆心，设半径为 r，则 AO = r ，
cos ASB 3= ，Q ASB 0, π , 4\sin ASB = 1- cos2 ASB = ，
5 5
由于SA， SB 都是母线，所以 SA = SB ，
1 1
△SAB S 2
4 16
的面积 VSAB = SA × SB ×sin ASB = SA = , SA = 2 2 ，2 2 5 5
因为SA与圆锥底面所成角为 45°，所以 SAO = 45°，
2
所以在等腰直角三角形 SAO 中， AO = r = SA = 2 ，
2
1 SA 2πr 1所以侧面积= × = × 2 2 ×2π ×2=4 2π ；
2 2
故答案为： 4 2π .
【变式 2】（22-23 高一下·辽宁朝阳·期中）已知扇形的面积为 4，圆心角的弧度数是 2，则该
扇形的半径为 ．
【答案】 2
【分析】根据扇形的面积公式列式可求出结果.
【详解】依题意得 S = 4，a = 2，设半径为 r ，
S 1由 = r 2a ，得 4
1
= 2r 2 ，得 r = 2 .
2 2
故答案为： 2
【变式 3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为120°，面积为3p 的扇形OMN （O
为圆心）用成一个圆锥（点 M , N 恰好重合），该圆锥顶点为 P ，底面圆的直径为 AB ，则
cos APB的值为 ．
7
【答案】
9
【分析】根据扇形的面积及弧长求出母线及底面圆半径，再由余弦定理求解.
【详解】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r ，
2π
∵扇形的圆心角为
3
2
\S 1 2π πl= × × l 2 = = 3π ，解得 l = 3，
扇形 2 3 3
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，
2π
\ × l = 2πr \r =1，
3
所以圆锥的轴截面VABP中，PA = PB = 3， AB = 2 ，
cos APB PA
2 + PB2 - AB2 18 - 4 7
由余弦定理可得 = = = ，
2PA × PB 2 3 3 9
7
故答案为：
9
题型三　三角函数的概念
(1)利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可以求出 α 的三角函数值；已知
角 α 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标
轴上的情况．
【例题 3】（2023·福建福州·模拟预测）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重
合，cosa 5= , P m,2 为其终边上一点，则m =（ ）
5
A．-4 B．4 C． -1 D．1
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
5
【详解】始边与 x 轴非负半轴重合， cosa = ，P(m, 2)为其终边上一点，
5
m 5
则 = 5 ，且m > 0，解得m =1m2
．
+ 4
故选：D．
【变式 1】（2024·河南·一模）以坐标原点为顶点，x 轴非负半轴为始边的角a ，其终边落在
直线 y = x 上，则有（ ）
A． sina 2= - B． cosa 2= C． sina + cosa = ± 2 D． tana = ±1
2 2
【答案】C
π 5π
【分析】利用角a 的终边落在直线 y = x 上易于求得角a= +2kπ或a= +2kπ,k Z，分别
4 4
求出角a 的正弦、余弦值，即可对选项一一判断.
【详解】因角a 的终边落在直线 y = x 上，故a=
π +2kπ或a=
5π +2kπ,k Z .
4 4
π 2
对于 A，当a= +2kπ， k Z时， ，故 A 项错误；
4 sina = 2
5π
B a= +2kπ,k Z cosa 2对于 ，当 时， = - ，故 B 项错误；4 2
π 5π
对于 C，当a= +2kπ， k Z时， sina + cosa = 2 ，当a= +2kπ,k Z时，4 4
sina + cosa = - 2 ，故 C 项正确；
π
对于 D 项，当a= +2kπ k Z sina 2 , cosa 2， 时， = = ，则 tana =1；4 2 2
当a=
5π +2kπ,k Z时， sina 2= - ， cosa 2= - ，则 tana =1.故 D 项错误.4 2 2
故选：C.
π 3
【变式 2】（2024·湖南邵阳·二模）在VABC 中， A = , AB 边上的高为 ，则
3 AB3
cosC = .
7 1
【答案】 / 7
14 14
【分析】作出图形，利用真假三角形边角关系求出 sin B, cos B，再利用诱导公式及和角的余
弦公式计算得出结果.
【详解】令VABC 的内角 ACB 3所对边为 c，过C 作CD ^ AB 于D则CD = c ，
3
π tan A CD AD 1在直角VACD中， A = ， = ，则 = c，从而DB
2
= c
3 ，AD 3 3
2
2
△BCD BC CD2 DB2 3 c 2 c 7在直角 中， = + = 3 ÷÷
+ ÷ = c ，
è è 3 3
DC 3
从而 sin B = = c， cos B
DB 2
= =
BC 7 BC
，
7
π
在VABC 中，C = π- + B

，
è 3 ÷
cosC = -cos π + B
1 3
所以 ÷ = - cos B - sin B
1 2 3 3 1 7
÷÷ = - - ÷÷ = = .è 3 è 2 2 è 2 7 2 7 2 7 14
7
故答案为： .
14
【变式 3】（2023·广东佛山·一模）若点 A cosq ,sinq 关于原点对称点为
B cos p q ,sin p q - ÷ - ÷÷，写出q 的一个取值为 .
è è 6 è 6
7π 7π
【答案】 （答案不唯一，q = + kπ ， k Z均可以）
12 12
【分析】根据A 、 B 关于原点对称，所以两角的终边在一条直线上，得：
q π= -q + 2k +1 π， k Z .再令 k 随意取值，可得结论.
6
【详解】∵ A cosq ,sinq B cos π -q ,sin π 和 ÷ -q ÷÷关于原点对称.
è è 6 è 6
π q π∴q 与 - 的终边在一条直线上.即：q = -q + 2k +1 π， k Z .
6 6
7π
∴q = + kπ ， k Z .
12
令 k = 0得q
7π
= .
12
7π q 7π= + kπ
故答案为： 12 （满足 12 ， k Z即可）
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
9π
1．（2023 高三·全国·专题练习）与 终边相同的角的表达式中，正确的是（
4 ）
A． 45° + 2kπ,k Z B． k
π
×360° + ,k Z
4
C． k ×360° + 315°,k Z D 7π． 2kπ - 4 ,k Z
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断 AB，根据终边相同的角的定义分析判断 CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以 A，B 错误．
9π 9π
与 终边相同的角可以写成 2kπ + 4 k Z 的形式，4
k 7π= -2 时， 2kπ + 9π4 = -
7π
4 ，315°换算成弧度制为 ，所以 C 错误，D 正确．4
故选：D．
2．（23-24 高三上·江西赣州·期中）已知a 为第一象限角，且 sina cos b = cosa sin b +1，则b
为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】由已知，利用差角正弦公式可得 sin(a - b ) = 1
π
，进而有a = 2k1π + + b ,k1 Z，结2
合a 为第一象限角列不等式求b 范围即可.
【详解】由题设 sina cos b - cosa sin b = sin(a - b ) =1，则a - b = 2k1π
π
+ , k1 Z，2
所以a = 2k π
π
1 + + b ,k1 Z，而a 为第一象限角，2
所以 2kπ < 2k π
π π
1 + + b < 2kπ + ,k, k1 Z，则 2(k - k1)π
π
- < b < 2(k - k1)π, k - k1 Z ,2 2 2
π
所以 2k2π - < b < 2k2π, k2 Z，即b 为第四象限角.2
故选：D
2p
3．（23-24 高三上·重庆渝北·阶段练习）已知角a 终边上有一点P(sin ,cos
2p)，则 π +a 是
3 3
（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】首先由点 P 的坐标确定角a 终边的位置，再确定 π +a 所在象限.
sin 2π 3
2π 1 P 3 , 1

【详解】 = ， cos = - ，即 -3 2 2 2 ÷3 2 ÷
,
è
点 P 在第四象限，即角a 的终边在第四象限， π +a 的终边为角a 终边的反向延长线，
那么 π +a 的终边在第二象限.
故选：B
4．（23-24 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若a 是第一象限角，则下列各角为第四
象限角的是（ ）
A．90° -a B．90° + a C．360° -a D．360° + a
【答案】C
【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.
【详解】因为a 是第一象限角，所以-a 是第四象限角，
则90o -a 是第一象限角，故 A 错误；90o +a 是第二象限角，故 B 错误；
360o -a 是第四象限角，故 C 正确；360o +a 是第一象限角，故 D 错误.
故选：C.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A 1,0 ，以 x 轴的非负
π
半轴为始边作锐角a ，b ，a - b ，它们的终边分别与单位圆相交于点P1， A1， P ．若a = ，3
则下列说法正确的是（ ）
b π VOA P 1A．当 = 时， 1 的面积为4 4
b π πB．当 = 时，扇形OA1P1的面积为6 6
π
C 2 + 6 - 2．当 b = 时，四边形OAPA1的面积为4 8
D．四边形OAA1P1面积的最大值为 1
【答案】AC
【分析】根据三角形面积公式可判断A；由扇形面积公式可判定B； S四边形OAPA = S△OAP + S1 △OA1P ，
根据三角形面积公式即可判断 C； S四边形OAA P = S△AOA + S1 1 1 △P1OA1 ，借助三角函数恒等式化简即
可判断 D.
【详解】由题意，得圆的半径 r =1， AOP1 = α ， AOA1 = b ， AOP = a - b ．
π π
对于 A，由a = ， b = ，得 A1OP = b - a - b 2b a
π
= - = ，
3 4 6
S 1则 △OA P = 1 1 sin
π 1
= ，故 A 正确；
1 2 6 4
π
对于 B，当 b = 时，因为 P1OA1 = a - b
π π π
= - = ，
6 3 6 6
1 π 2 π
所以扇形OA1P1的面积 S = 1 = ，故 B 错误；2 6 12
b π S 1 1对于 C，当 = 时，
4 四边形OAPA
= S
1 △OAP
+ S△OA P = 1 1 sin a - b +1 2 4
1
= sin π π 1 2 + 6 - 2
2
- ÷ + = ，故 C 正确；
è 3 4 4 8
对于 D， S四边形OAA P = S1 1 △AOA + S1 △P1OA1
1
= 1 1 1 sin b + 1 1 sin a - b 1 sin b 1= + sin a - b ，
2 2 2 2
a π由 = ，得 S
1
OAA P = sin b
1 π
+ sin - b
3 四边形 1 1 2 2 ÷è 3
1 sin b 1 sin π π= + cos b - cos sin b

2 2 3 3 ֏
1 3
= sin b + cos b 1 1 sin b 3 1 π= + cos b = sin
b + ，
4 4 2 è 2 2
÷÷ ÷
2 è 3
π π π 1
所以当 b + = ，即 b = 时， S 取得最大值，为 ，故 D 错误．
3 2 6 四边形OAA1P1 2
故选：AC
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱锥 A - PBC 和正三棱锥D - PBC 的侧棱长均为
2, BC = 2 ．若将正三棱锥 A - PBC 绕BC 旋转，使得点 A, P分别旋转至点 A , P 处，且
A , B,C, D四点共面，点 A , D分别位于BC 两侧，则下列说法中正确的是（ ）
A．多面体 ABDPC 存在外接球 B． PP ^ BC
C．PP //平面 A BDC D．点 P 3π运动所形成的最短轨迹长大于
3
【答案】BCD
【分析】若多面体 ABDPC 存在外接球，则球心必为VBCP 的外心O，由OC OA即可判断
A；正三棱锥 A - PBC 中侧棱互相垂直且相等，正三棱锥D - PBC 中侧棱互相垂直且相等，
将正三棱锥D - PBC 放到正方体中，即可判断 BCD．
【详解】若多面体 ABDPC 存在外接球，则球心必为VBCP 的外心O，连接 AO ，OC ，
OC 2 3则 = ， AO ^平面 BCP ，又OC 平面 BCP ，所以 AO ^ OC ，
3
所以OA = AC 2 - OC 2 6= ，
3
因为OC OA，所以多面体 ABDPC 不存在外接球，故选项 A 错误；
因为正三棱锥 A - PBC 和正三棱锥D - PBC 的侧棱长均为 2, BC = 2 ，
则正三棱锥 A - PBC 中侧棱两两互相垂直且相等，正三棱锥D - PBC 中侧棱两两互相垂直且
相等，
所以正三棱锥 D - PBC 可以放到正方体 EPFP - BDCA 中，当点 A, P分别旋转至点 A , P 处，
且 A , B,C, D四点共面，点 A , D分别位于BC 两侧时，如图所示，
易知四边形DPP A 为平行四边形，则 A D//PP ，
又 A D 平面 A BDC ，且PP 平面 A BDC ，所以PP //平面 A BDC ，故 C 正确；
因为四边形BDCA 为正方形，所以BC ^ A D，所以 PP ^ BC ，故 B 正确；
设BC, A D交于点G ，则BC, A D互相平分，DP = 2, DG =1，PP = A D = 2 ，
在Rt△PDG 中，PG = 3 ，同理可得P G = 3 ，
在VPGP 中， cos PGP
3+ 3- 4 1 1 π
= = < ，所以 PGP > ，
2 3 3 2 3
又因为点 P 运动的最短轨迹是以BC 的中点G 为圆心，半径为 3的圆弧PP ，
3π
所以点 P 运动所形成的最短轨迹长大于 ．故选项 D 正确．
3
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题 BC 选项的关键是利用线面平行的判定得到PP //平面 A BDC ，D
选项的关键是得到点 P 运动的最短轨迹是以BC 的中点G 为圆心，半径为 3的圆弧PP .
三、填空题
7．（2023·天津河北·一模）直线 x - y -1 = 0将圆 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 8分成两段圆弧，则较短
圆弧与较长圆弧的弧长之比为 .
【答案】1: 2
【分析】首先假设直线与圆的两个交点为 A、B，圆心为C ， ACB = 2a (0 < a < p ) ，利用已
知求得a ，再用两段圆弧的弧长之比等于两段弧长所对的圆心角的弧度数之比即可求得两段
圆弧的弧长之比.
【详解】设直线与圆的两个交点为 A、B，圆心为C ， ACB = 2a (0 < a < p ) ，
2 - 3 -1
∵圆心到直线的距离 d = = 2 ，
1+1
∴ cosa 2 1= = ，
2 2 2
Q0 < a < p ，
∴a
p
= ，
3
∴ ACB = 2a
2p
= ，
3
所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧长所对的圆心角的弧度数之比为1: 2 .
故答案为：1: 2 .
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知一个扇形圆心角60o ，a 所对的弧长 l = 3π，则该扇形面
积为 ．
27
【答案】 π
2
【分析】根据题意，结合弧长公式以及扇形面积公式，即可求解．
【详解】因为扇形圆心角a = 60o ，且a 所对的弧长 l = 3π，
π
设扇形所在圆的半径为 r ，可得 l = r = 3π ，解得 r = 9，
3
1 1 27π
所以扇形的面积为 S = lr = 3π 9 = .
2 2 2
27π
故答案为： .
2
9．（2024·全国·模拟预测）已知a 是第二象限角，且其终边经过点 -3,4 ，则
tan a = ．
2
【答案】 2
a π kπ, π【分析】根据题意，求得 + + kπ
a
÷ , k Z ，得到 tan > 0，再结合三角函数的定2 è 4 2 2
义和正切的倍角公式，即可求解.
π
【详解】因为a 是第二象限角，可得a + 2kπ, π + 2kπ2 ÷
,k Z，
è
a

π π
则 + kπ, + kπ

÷ , k Z
a
，所以 tan > 0，
2 è 4 2 2
2tan a
又因为a 的终边经过点 -3,4 tana 4，可得 = - ，可得 tana 2 4= = - ，
3 1- tan2 a 3
2
tan a 2 a 1解得 = 或 tan = - （舍去）．
2 2 2
故答案为： 2 .
四、解答题
10．（2024 高三·全国·专题练习）已知角a 终边经过点P x,- 2 x 0 3，且 cosa = x．求
6
sina 1+ 的值．
tana
6 5 - 6 6 5 + 6
【答案】 或-
6 6
【分析】根据三角函数定义求解.
【详解】∵ P x,- 2 x 0 ，∴点 P 到原点的距离 r = x2 + 2 ．
x 3
又 cosa 3= x，∴ cosa = = x ．
6 x2 + 2 6
∵ x 0，∴ x = ± 10 ，∴ r = 2 3 ．
当 x = 10 时，P 点坐标为 10,- 2 ，
6 1
由三角函数的定义，有 sina = - ， = - 5 ，
6 tana
∴ sina 1 6 6 5 + 6+ = - - 5 = - ；
tana 6 6
当 x = - 10 时，同理可求得 sina 1 6 5 - 6+ = ．
tana 6
11．（22-23 高三上·安徽阜阳·期中）已知角a 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半
轴重合，终边经过点 -3,9 ．
3π
(1)求 tan 2a + ÷的值；
è 4
(2)求 sin2a + 3cos2a 的值．
1
【答案】(1) -
7
(2) -3
【分析】（1）根据三角函数的定义求出三角函数值，再利用正切的倍角公式与和差公式即可
得解；
（2）利用正余弦函数的倍角公式，转化为齐次式，从而化简代入即可.
【详解】（1）依题意， tana
9
= = -3．
-3
tan2a 2tana -6 3则 = 2 = = ．1- tan a -8 4
1
tan 2a 3π tan2a -1
-
4 1故 + ÷ = =
è 4 1+ tan2a 7
= - ．
7
4
（2）依题意， sin2a + 3cos2a
2sinacosa + 3cos2a - 3sin2a
=
sin2a + cos2a
2tana + 3 - 3tan2a
= 2 .tan a +1
-6 + 3 - 27
=
9 +1
= -3．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）“ sin a - 2024π > 0 ”是“a 为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【详解】易知 sin a - 2024π = sina ，所以 sin a - 2024π > 0 sina > 0
a 为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，
显然不满足充分性，满足必要性.
故选：B
3 4 π
2．（2024·黑龙江·二模）已知角a 的终边与单位圆的交点P ,- ÷，则 sin a - ÷ = （ ）
è 5 5 è 2
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
【答案】B
3
【分析】根据题意可知 cosa = ，利用诱导公式运算求解.
5
3 4 3
【详解】因为角a 的终边与单位圆的交点P ,- ÷，可知 cosa = ，
è 5 5 5
sin a π cosa 3所以 - ÷ = - = - .
è 2 5
故选：B.
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式
建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为
16π 32 5，屋顶的体积为 π ，算得侧面展开图的圆心角约为（ ）
3
2π 5π 4π 7π
A． B． C． D．
3 6 3 6
【答案】C
【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，
再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开
图的圆心角.
【详解】底面圆的面积为16π，得底面圆的半径为 r = 4，
所以底面圆周长为8π，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为 l = 8π，
32 5 1 32 5
屋顶的体积为 π ，由 16πh= π得圆锥的高 h = 2 5 ，
3 3 3
所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径R = h2 + r 2 = 20 +16 = 6 ，
l 8π 4π
得侧面展开图扇形的圆心角约为a = = = .
R 6 3
故选：C.
π
4．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为 1，其侧面展开图是一个圆心角为
2
的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
5 7
A． B．3 C． D．4
2 2
【答案】D
π
【分析】设母线长为 l，根据题意得到 l = 2π 1，即可求解．
2
π
【详解】设母线长为 l，由题意，可得 l = 2π 1，解得 l = 4，即圆锥的母线长为 4．
2
故选：D.
π
5．（22-23 高三上·安徽安庆·阶段练习）已知条件 p :a ，条件 q : tana 1，则 p 是q的
4
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】将已知条件转化为逆否命题来判断，在利用充分条件和必要条件的定义进行判断即
可得结论
π
【详解】命题转化为逆否命题：“ tana =1”是“a = ”的充分、必要问题
4
a π因为 tana =1，有 = + kπ(k Z)，所以a
π
不一定为
4 4
故充分性不成立
π
当a = 时，则 tana =1，
4
所以必要性成立
a π所以“ tana =1”是“ = ”的必要不充分条件
4
由原命题与逆否命题等价性
所以 p 是q的必要不充分条件
故选：B.
ì π π ü
6．（22-23 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，
4 2
B π π= ìa kπ + a kπ + ,k Züí ，则（4 2 ）
A． A B B．B A C． A = B D． A B =
【答案】A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
【详解】当 k = 2n,n Z
ì
时，B = ía 2nπ
π
+ a 2nπ π+ ,k Zü
4 2
= A，

π
当 k = 2n +1,n Z时，B =
ì
ía 2nπ + π + a 2nπ + π
π
+ ,k Zü ，
4 2
所以 A B .
故选：A
7．（2024·重庆·模拟预测）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
上有两点 A 1,a ，B 2,b ，且 cos2a 3= ，则 a - b = （ ）
5
A 1 5 2． 2 B． C． D．15 2
【答案】A
2 4
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得 cos a = ，进而可求得 tana 的值，利用斜率公式
5
可求得 | a -b |的值．
【详解】∵角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A 1, a ，
B 2,b ，
且 cos 2a
3
= ，∴ cos 2a = 2cos2 a -1
3
= ，
5 5
2
解得 cos2 a
4
= ，∴ | cosa |= ，∴ | sina |
1
= ，
5 5 5
tana b - a
sina
a b 1∴ = = - = =
2 -1 cosa 2
．
故选：A．
8．（2024·四川南充·三模）如图，圆 O 内接一个圆心角为 60°的扇形 ABC ，在圆 O 内任取一
点，该点落在扇形 ABC 内的概率为（ ）
1
A B 3 C 1 3． ． ． 2 D．4 4 2
【答案】C
【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.
【详解】设圆的半径为 R ，过O作OD ^ AB 于D点，如图，
则扇形的半径 r = 2R cos30° = 3R ,
1 3 π πR2
所以扇形的面积 S = r 2a = R2 = ，
2 2 3 2
圆的面积 S = πR2 ，
πR2
由几何概型可得：P S
1
= = 2 2 =
.
S πR 2
故选：C
二、多选题
9．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． p :“a 是第二象限角或第三象限角”， q :“ cosa < 0 ”，则 p 是q的充分不必要条件
a cosa sina 2B．若 为第一象限角，则 + =
1+ cos2a 1- cos2a 2
C．在VABC 中，若 tanA × tanB > 1，则VABC 为锐角三角形
π
D．已知a 0, 4 ÷
，且 cos2a 5 3 - 5= ，则 tana =
è 3 2
【答案】ACD
【分析】对 A，根据充分，必要条件的概念判断；对 B，利用二倍角余弦公式化简求解；对
C，将条件式切化弦结合三角变换求解判断；对 D，利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦
化切求解.
【详解】对于 A，若a 是第二象限角或第三象限角，则 cosa < 0 .若 cosa < 0，取
a = π,cosa = -1 < 0 ，
此时a 不是第二象限角或第三象限角，则 p 是q的充分不必要条件，故 A 正确；
对于 B，由于a 为第一象限角，则 cosa > 0,sina > 0，
cosa sina cosa sina
+ = +
1+ cos2a 1- cos2a 1+ 2cos2a -1 1- 1- 2sin2a
cosa sina
= + = 2 ，故 B 错误；
2cosa 2sina
V tanA tanB sinA ×sinB 1 sinA ×sinB - cosA ×cosB对于 C，在 ABC 中，若 × = > ，则 > 0，所以
cosA ×cosB cosA ×cosB
-cos A + B cosC
= > 0，
cosA ×cosB cosA ×cosB
故 cosA ×cosB ×cosC > 0，所以cosA > 0,cosB > 0,cosC > 0，故VABC 为锐角三角形，故 C 正
确；
2 2 2
对于 D，由 cos2a cos a - sin a 1- tan a 5= ，所以 2 2 ，则
cos2a + sin2
= = 3- 3tan a = 5 + 5tan a
a 1+ tan2a 3
2
tan2a 3- 5 (3- 5)= = ，
3+ 5 4
由a
π
0, 3- 5 4 ÷
，知 tana = ，故 D 正确.
è 2
故选：ACD.
10．（2023·吉林长春·一模）已知 sinq + cosq
1
= ，q (0,π)，则（ ）
5
A． tanq
3
= - cos 2q 7 tan q= - = 2 cos q π 2B． C． D． +
4 25 2 4 ÷
=
è 10
【答案】BC
1 24
【分析】先将 sinq + cosq = 两边平方，结合 sin2 q + cos2 q =1，得出 2sinq cosq = - ，结
5 25
合q
π 7
(0,π)得出q ( , π)，再计算出 sinq - cosq = - ，即可求出sinq 和 cosq ，根据同角三
2 5
角函数的商数关系，二倍角的余弦公式和正切公式，两角的余弦公式分别计算即可判断各选
项．
【详解】由 sinq + cosq
1
= 得， (sinq + cosq )2
1
= ，则 2sinq cosq
24
= - ，
5 25 25
因为q (0,π)， 2sinq cosq
24
= - < 0，
25
π
所以q ( , π)，所以 sinq - cosq = 1- 2sinq cosq 24 7= 1+ = ，
2 25 5
ì
sinq + cosq
1 4
= ì
5
sinq =
5
由 í 7 ，解得 í sinq cosq cosq 3
，
- = = -
5 5
4
tanq sinq 4对于 A， = = 5 = - ，故 A 错误；
cosq 3- 3
5
对于 B， cos 2q = cos2 q - sin2 q (
3)2 4= - - ( )2 7= - ，故 B 正确；
5 5 25
π q π π θ
对于 C，因为q ( , π)，所以 ( , ) ，则 tan > 0，
2 2 4 2 2
2 tan q
tanq 4= 2q = - ，即 (tan
q
- 2)(2 tan q +1) = 0，
1- tan2 3 2 2
2
解得 tan
q
= 2或 tan
q 1
= - （舍去），故 C 正确；
2 2 2
cos q π cosq 2 2 3 2 4 2 7 2对于 D， + ÷ = × - sinq × = - - = - ，故 D 错误，
è 4 2 2 5 2 5 2 10
故选：BC．
11．（2024·湖南·模拟预测）已知q R ，双曲线 C： x2 cosq + y2 sin 2q =1，则（ ）
A．q 可能是第一象限角 B．q 可能是第四象限角
C．点 1,0 可能在 C 上 D．点 0,1 可能在 C 上
【答案】BD
【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得 cosq sin 2q < 0，即q 在第三象限或第四象限，
分情况讨论得解.
【详解】根据题意，可得 cosq sin 2q < 0，即 sinq cos2 q < 0 ，即 sinq < 0且 cosq 0，
所以q 在第三象限或第四象限.故 A 错误，B 正确；
当q 在第三象限时，有-1 < sinq < 0，-1 < cosq < 0， sin 2q > 0，
y2 x2
1 - 1 =1
5π
双曲线方程为 ，当 sin 2q = 1即q = + 2kπ ， k Z时，方程为
- 4
sin 2q cosq
2
y2 x- =1
2 ，
2
所以点 0,1 在双曲线上，故 D 正确；
当q 在第四象限时，有-1 < sinq < 0，0 < cosq <1， sin 2q < 0，
x2 y2
- =1 1
双曲线方程为 1 1 ，因为 >1，所以点 1,0 不在双曲线上，故 C 错误.
- cosq
cosq sin 2q
故选：BD.
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知直线 l : 3x + 4 y -1 = 0 与圆C : x2 - 4x + y2 = 0交于A ， B 两点，
则劣弧 AB 所对应的扇形 ACB 的面积为 ．
4p 4
【答案】 / p
3 3
π
【分析】化圆为标准方程，求出圆心到直线的距离，即可求出 ACM = ，再由扇形的面
3
积公式求解即可.
2
【详解】由题意知，圆 C 的标准方程为 x - 2 + y2 = 4，
3 2 -1
圆心C 2,0 到直线 l 的距离 d = =1
32
．
+ 42
设弦 AB 的中点为 M，则CM = d =1．由圆 C 的半径为 2，
得 cos ACM
CM 1
= = ，
AC 2
所以 ACM
π
= ，所以 ACB
2π
= ，
3 3
1 2 2π 4π
故劣弧 AB 所对应的扇形 ACB 的面积为 2 = ．2 3 3
4π
故答案为： .
3
1 1
13．（2023· 2上海青浦·二模）已知函数 y = 1- x - x ÷的图像绕着原点按逆时针方向
è 2 2
旋转q 0 q p 弧度，若得到的图像仍是函数图像，则q 可取值的集合为 .
é0 π ù U é2π ù【答案】 ê ， ，π 3 ú ê 3 ú
【分析】题中函数为圆 x2 + y2 =1的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一
个 x 只有唯一确定的 y 与之对应，即图形与 x = m 只有一个交点时旋转的角度符合题意.
1 1
【详解】画出函数 y = 1- x2

- x ÷的图象，如图 1 所示：
è 2 2
1 3 1 3
圆弧所在的圆方程为 x2 + y2 =1， A(- , )，B( , )，在图象绕原点旋转的过程中，当
2 2 2 2
A 从图 1 的位置旋转到 -1，0 点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的
图象，如图 2 所示：
π
此时绕着原点旋转弧度为0 q ；
3
若函数图象在图 2 位置绕着原点继续旋转，当点 B 在 x 轴上方，点A 在 x 轴下方时，根据函
数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图 3 所示：
π 2π
此时转过的角度为 < q < ，不满足题意；
3 3
若函数的图象在图 3 位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在 x 轴下方时，根据函数的定义
知，所得图形是函数的图象，如图 4 所示：
2π
此时转过的角度为 q π；
3
é
故答案为： ê0,
π ù é 2π ù
3 ú
, π .
ê 3 ú
14．（2022·全国·模拟预测）已知a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在第
a 5
二象限， sin = ，则 tana 的值为 ．
2 3
【答案】-4 5
a a 2 a 5
【分析】由题知 在第一象限， cos = ，
2 2 3 tan =
，再根据正切的二倍角公式求解即
2 2
可.
a
【详解】解：由a 在第二象限可知， 在第一、三象限，
2
sin a 5
a
又 = > 0 ，所以 在第一象限，
2 3 2
cos a 2所以 = ，故
2 3 tan
a 5
= ．
2 2
2 tan a 2 5
因此 tana = 2 = 2 = -4 5 ．
1- tan2 a 1 5-
2 4
故答案为：-4 5
四、解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）利用单位圆写出符合下列条件的角 α 的取值集合．
cosa 1(1) = - ；
2
(2) sina 3< ；
2
(3)tan α≥1.
2π 2π
【答案】(1){α|α＝－ ＋2kπ 或 α＝ ＋2kπ，k∈Z}．
3 3
(2){α| 4π
π
－ ＋2kπ＜α＜ ＋2kπ，k∈Z}．
3 3
π π
(3){α| ＋kπ≤α＜ ＋kπ，k∈Z}．
4 2
【解析】略
16．（2023·广东广州·三模）在直角坐标系中，已知eO 是以原点 O 为圆心，半径长为 2 的
圆，点 A 2,0 ，角 x（单位：弧度）的始边为射线OA，终边与eO 交于点 B，点 B 的纵坐
标 y 关于角 x 的函数为 y = f x ．
(1)写出函数 y = f x 的解析式；
(2)将函数 y = f x 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象
2π
向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图象．求函数 y = g x 在区间 0,2π 上的最
3
大值和最小值，并写出取得最值时自变量 x 的值．
【答案】(1) y = 2sin x；
π
(2)当 x = 时，函数 g x 取最大值 2，当 x = 2π3 时，函数 g x 取最小值- 3 .
【分析】（1）根据三角函数的定义求函数 y = f x 的解析式；
（2）根据三角函数图象变换结论确定函数 y = g x 的解析式，再根据正弦函数性质求其在
0,2π 上的最值及取最值的条件.
y
【详解】（1）因为OB = OA = 2，由三角函数定义可得 = sin x，
2
所以 y = 2sin x，
（2）将函数 y = f x 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）可得函数
y = 2sin 1 x的图象，
2
1 2π
将函数 y = 2sin x的图象向左平移 个单位长度可得函数 y = 2sin
1 π
2 3
x + ÷的图象，
è 2 3
1 π
所以 g x = 2sin x + ，
è 2 3 ÷
π 1 π 4π
因为0≤ x≤ 2π ，所以 x + ，
3 2 3 3
3
所以- sin 1 x π+ 1，2 è 2 3 ÷
所以- 3 g x 2，
所以函数 g x 在 0,2π 1的最大值为 2，此时 x π π+ = π，即 x = ，
2 3 2 3
函数 g x 在 0,2π 1 π 4π的最小值为- 3 ，此时 x + = ，即 x = 2π .
2 3 3
π
所以当 x = 时，函数 g x 取最大值 2，当 x = 2π3 时，函数 g x 取最小值- 3 .
17．（23-24 高三上·江西·阶段练习）如图，已知两质点 A，B 同时从点 P 出发，绕单位圆逆
时针做匀速圆周运动，质点 A，B 运动的角速度分别为 3rad/s 和 5rad/s，设两质点运动 x s
时这两质点间的距离为 f x ．
(1)求 f x 的解析式；
(2)求这两质点从点 P 出发后第 n 次相遇的时间 xn（单位：s）．
【答案】(1) f x = 2 sin x x 0 ；
(2) xn = nπs n N* .
【分析】（1）根据给定条件，求出点 A, B的坐标，再利用两点间距离公式结合三角恒等变换
化简得解.
（2）由（1）求出函数 f x 的零点即可.
【详解】（1）由质点 A，B 运动的角速度分别为 3rad/s 和 5rad/s，得 x s时质点 A，B 的坐标
分别为 cos3x,sin 3x ， cos5x,sin 5x ，
则 f x = cos3x - cos5x 2 + sin 3x - sin 5x 2 = 2 - 2cos3x cos5x - 2sin 3x sin 5x
= 2 - 2cos 2x = 2 sin x ，
所以 f x 的解析式为 f x = 2 sin x x 0 .
（2）因为两质点从点 P 出发后每相遇一次即对应函数 f x 的一个零点，
因此 xn为 f x 在区间 0, + 上第 n 个零点，由 f xn = 2 sin xn = 0，得 sin xn = 0，解得
xn = nπ(n N
*) ，
*
所以两质点从点 P 出发后第 n 次相遇的时间 xn = nπ n N s .
18．（2023·北京海淀·模拟预测）已知函数 f (x) = 2 3sin xcos x + acos2 x -1 (x R)，且 f (0) =1．
π
(1)求 a 的值和函数 f (x) 在区间[0, ]上的最大值及取得最大值时 x 的值．
6
π π
(2)若 f (x0 ) =1， x0 [ , ]，求 cos2x 的值．4 2 0
π
【答案】(1) a = 2 f (x) [0,
π
， 在 ]上的最大值为 2，此时 x 的值为 .
6 6
1
(2) - .
2
【分析】（1）由 f (0) =1
π
求得 a 的值，再由 x 的范围求得 2x + 的范围进而求得 f (x) 的最大
6
值即可.
π 1 π
（2）由 f (x0 ) =1得 sin(2x0 + ) = ，再由 x0 范围求出 2x0 + 的范围来判断 cos(2x
π
6 0
+ ) 的符
6 2 6
号，进而求得 cos(2x
π
0 + ) 的值，再运用配凑角 cos 2x0 = cos[(2x
π π
0 + ) - ]求得 cos2x6 6 6 0
值.
【详解】（1）∵ f (0) = a -1 = 1，解得： a = 2，
∴ f (x) = 2 3 sin x cos x + 2cos2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2sin(2x
π
+ ) ，
6
∵ x
π
[0, ]，
6
∴ 2x
π
+ [π , π]，
6 6 2
π 1
∴ sin(2x + ) [ ,1]，
6 2
∴ 2x π π
π π
当 + = ，即 x = 时， sin(2x + )6 2 取得最大值为 1，6 6
π π
∴当 x = 时， 2sin(2x + )取得最大值为 2，
6 6
即： f (x) 在[0,
π] π上的最大值为 2，此时 x 的值为 .
6 6
π
（2）∵ f (x0 ) = 2sin(2x0 + ) =1，6
∴ sin(2x
π
0 + )
1
= ，
6 2
x [π , π又∵ 0 ]，4 2
∴ 2x
π 2π
0 + [ ,
7π]，
6 3 6
∴ cos(2x π0 + ) = - 1
π 3
- sin2 (2x0 + ) = - ，6 6 2
cos 2x cos[(2x π π∴ 0 = 0 + ) - ] = cos(2x
π
0 + ) cos
π
+ sin(2x π0 + )sin
π
6 6 6 6 6 6
3 3 1 1 1
= - + = - .
2 2 2 2 2
故 cos2x
1
0的值为- .2
19．（2024·甘肃·一模）如图，角a a R 的始边为 x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点 P ，
过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为M , M 到直线OP的距离为 MN .若将 MN 关于角a 的函数关系
记为 y = f x .
(1)求 y = f x 的解析式；
(2)将 f x 1 π图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 6
é π ù
个单位长度，得到函数 g x 的图象，求 g x 在 ê0, ú的单调递增区间. 2
1
【答案】(1) f x = sin2x
2
é π
(2) ê ,
5π ù é π ,11π ù和
12 24 ú ê 3 24 ú
【分析】（1）根据条件得到直线OP的方程，利于点到直线的距离公式进行计算即可;
（2）根据函数图象的变换规则得到函数解析式后，整体代入法求解单调区间即可.
【详解】（1）可知P cosa ,sina , M 0,sina ，
又直线OP的方程为 sina × x - cosa × y = 0，
sinacosa 1
故根据点到直线距离公式 MN = = sin2a2 2 2 ，sin a + cos a
f x 1即 = sin2x .
2
1 2π
（2）可知 g x = sin 4x + ，2 è 3 ÷
由 kπ 4x
2π π
+ + kπ, k Z，
3 2
π kπ x π kπ得- + - + ,k Z ，
6 4 24 4
x é0, π ù所以当 ê ú 时，函数 g x
é π 5π ù é π 11π ù
的单调增区间为 , 和 ,
2 ê 12 24 ú ê 3 24 ú
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图 1）的璜身满刻
勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ S ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积
（厚度忽略不计），测得各项数据（图 2）： AB 8cm, AD 2cm, AO 5cm ，若
sin 37° 3 , π 3.14，则璜身（即曲边四边形 ABCD）面积近似为（ ）
5
A．6.8cm2 B．9.8cm2 C．14.8cm2 D． 22.4cm2
【答案】C
【分析】根据给定图形求出圆心角 AOB ，再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】显然VAOB为等腰三角形，OA = OB = 5, AB = 8，
1 AB 3
则 cos OAB 2 4 ， sin OAB
3
= °
= = 5 ，又
sin 37 ，
OA 5 5
所以 OAB 37o，于是 AOB =180o - 2 37o =106o
53π
= ，
90
1 2 2 1 53π 2 2 2
所以璜身的面积近似为 AOB· OA - OD = 5 - 3 14.8 cm .2 2 90
故选：C
2．（2023·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》
1
章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 = （弦× 矢+矢2），弧田（如图）由圆2
弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
现已知弧田面积为 4 3 + 2，且弦是矢的 2 3 倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是
（ ）
π 2π 4π 8πA． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】D
【分析】根据弧田面积可求得CD ，利用勾股定理可构造方程求得半径 r ，并根据长度关系
得到圆心角弧度数，利用扇形弧长公式可求得结果.
【详解】如图，
由题意得： AB = 2 3CD，
1
弧田面积= 2 3CD ×CD + CD2 = 4 3 + 2，解得：CD = 2 .2
2
设圆半径为 r ，则有 AO2 = AD2 + OD2，即 r 2 = 2 3 + r - 2 2 ，解得： r = 4，
2π
\OD = 2 ，则在RtVAOD中， AOD
π
= ，\ AOB = ，
3 3
\ 4 2π 8π所求弧长为 = .
3 3
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦
当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临
夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代
表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是
一个扇环 ABCD，如图（2），砖雕厚度为 6cm， AD = 80cm，C D = 3 AB ，C D所对的圆心
角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： cm2 ）（ ）
A．3200π B． 480π + 960 C．6880π + 960 D．3680π + 960
【答案】C
【分析】先求出C D = 60πcm， AB = 20πcm ，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环 ABCD的面
积可得该梅花砖雕的表面积.
【详解】
延长DA与CB交于点O．由C D = 3 AB ， AD = 80cm，得OA = 40cm，OD =120cm．
因为C D所对的圆心角为直角，所以C D = 60πcm， AB = 20πcm ．
所以该梅花砖雕的侧面积 S 侧 = 6 CD + AB + AD + BC = 480π + 960 cm2 ，
扇环 ABCD
1 π 1202 - π 402的面积为 = 3200π cm2 ，4
则该梅花砖雕的表面积 S表面积 = 480π + 960 + 2 3200π = 6880π + 960 cm2 ．
故选：C．
4．（2023·陕西商洛·一模）在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2A1B1 = 4 3, AA1 = 10 ，
点 P 在底面 ABCD内，且 A1P = 4，则 P 的轨迹长度是（ ）
A 5 3π 5 3π． B． C．6π D．12π
6 3
【答案】B
【分析】如图 1，连接 AC ，作 A1H ^ AC ，垂足为 H ，结合正四棱台的性质可证 A1H ^平
面 ABCD，根据已知条件求出 A1H ，再结合 A1P = 4可求得PH = 2 3 ，而 H 为定点，从而
可得点 P 的轨迹是以 H 为圆心， 2 3 为半径的弧，再分别作HE ^ AM , HF ^ AN ，可求出
MHN ，再利用弧长公式可求得结果.
【详解】如图 1，连接 AC ，作 A1H ^ AC ，垂足为 H ，
因为四棱台 ABCD - A1B1C1D1 为正四棱台，
所以平面 A1ACC1⊥平面 ABCD，
因为平面 A1ACC1 平面 ABCD = AC ， A1H 平面 A1ACC1 ，
所以 A1H ^平面 ABCD .
因为 AB = 2A B = 4 3 AH 4 6 - 2 61 1 ，所以 = = 6 ，2
因为 AA1 = 10 ，所以 A1H = AA
2
1 - AH
2 = 2 .
因为点 P 在底面 ABCD内，且 A P = 4，所以PH = A P2 - A H 21 1 1 = 16 - 4 = 2 3 .
以 H 为圆心， 2 3 为半径画圆，如图 2，则M N 是 P 的轨迹.
分别作HE ^ AM , HF ^ AN ，垂足分别为 E, F .
由题意可得HE = HF = 3, HM = HN = 2 3 ，
在RtVHEM 和Rt HFN cos EHM
HE 1 cos FHN HF 1△ 中， = = ， = =
HM 2 HN 2
MHE NHF π所以 = = ，
3
所以 MHN = 2π
π 2 π 5π- - = ，
2 3 6
5π 5 3π
故 P 的轨迹长度是 2 3 = .
6 3
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是根据题意PH = 2 3 ，
从而可得点 P 的轨迹是以 H 为圆心， 2 3 为半径的M N ，考查空间想象能力和计算能力，属
于较难题.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中
国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、
从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所
对的圆心角为 30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽
坡屋面高度半径
度，且 = 0.57 ± 0.3．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中 A 为屋脊，B，
半坡宽度
π
C 为檐口，且 AC 所对的圆心角q = ， 6 AC
所在圆的半径为 4， 3 1.732，则（ ）
A． 2AC 的长为 π3
B． AC = 2 6 - 2
C．若 AB 与 AC 所在两圆的圆心距为 4 3 ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若 AB 与 AC 所在两圆的圆心距为 4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，
可将圆心角 θ 缩小
【答案】ACD
【分析】结合图形特征，利用两角差的正弦正切公式，弧长公式和三角函数，求解选项中的
数据.
【详解】记 AB ， AC 所在圆的圆心分别为 E，F，连接 AE，AF，CF，EF，
π
则 AE = AF = CF = 4， AFC = ，
6
π 2
选项 A：根据弧长公式得 AC 的长为 4 = π，故 A 正确．6 3
1 AC AF sin π选项 B： = = 4sin
π π 4 6 - 2 - ÷ = = 6 - 2 ，则 AC = 2 6 - 2 ，2 12 è 4 6 4
故 B 错误．(也可以在△AFC 中利用余弦定理求解)
选项 C：如图 1，过点 A，C 分别作 EF 的平行线，与过点 F 的 EF 的垂线分别交于点 D，
π
G，∵ AE = AF = 4，EF = 4 3 ，∴ EFA = ，6
π
∵ AFC = ，∴ CFG
π
= ， AFD
π
= ．
6 6 3
由题易知 AD﹣CG 为半坡宽度，DG 为坡屋面高度半径，
AD = AF sin AFD = 2 3 ，CG = CF sin CFG = 2，
FG = CF cos CFG = 2 3 ，FD = AF cos AFD = 2，
∴ DG 2 3 - 2= =1 > 0.57 + 0.3 = 0.87，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C 正确．
AD - CG 2 3 - 2
选项 D：如图 2，过点 A 作 EF 的垂直平分线，交 EF 于点 M，过点 C 作CN ^ AM ，垂足为
N，
MF 1= AF ， FAM
π π 5π
= ，当 AFC < 时， FAC > ，
2 6 6 12
5π π
∴ CAN = π - FAM - FAC < ，∴ ACN = - CAN
π
> ．
12 2 12
易知 CN 为半坡宽度，AN 为坡屋面高度半径，
AN tan ACN tan π π π= > = tan - ∴
CN 12 4 6 ÷
= 2 - 3 0.268，D 正确．
è
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
理解题目中坡屋面高度半径和半坡宽度的定义是解题关键，结合图形特征，利用三角函数知
识求解.
6．（23-24 高三上·山东威海·期末）质点 P 和Q同时出发，在以原点O为圆心，半径为1的eO
上逆时针作匀速圆周运动. P 的角速度大小为 2rad / s，起点为eO 与 x 轴正半轴的交点；Q
的角速度大小为5rad / s ，起点为射线 y = -x(x 0) 与eO 的交点.则当Q与 P 重合时， P 的
坐标可以为（ ）
1 3 3 1 2 2
A． - , B．2 2 ÷÷
, C．
2 2 ÷÷
, ÷÷ D． 0, -1
è è è 2 2
【答案】BD
【分析】确定点 P、Q的初始位置，由题意列出重合时刻 t 的表达式，进而可得 P 点的坐标，
通过赋值对比选项即可得解.
2 2
【详解】依题意，点 P 的起始位置P0 1,0 ，点Q的起始位置Q0 , -2 2 ÷÷ ，è
则 P
π
0OQ0 = ，设当 P 与Q重合时，用的时间为 ts ，4
于是5t - 2t
π
= + 2kπ, k Z t π 2 ，即 = + kπ,k Z，
4 12 3
π 4
2t π 4= + kπ, k Z P cos + kπ
π 4
则 ，所以 ,sin + kπ ，
6 3 6 3 ÷ ÷÷è è è 6 3
cos π 4 kπ 1+ = - π 4 kπ 2π 2nπ π 4对于 A，若 ÷ ，则 + = + 或 + kπ
4π
= + 2nπ ， k, n Z，
è 6 3 2 6 3 3 6 3 3
4n + 3 4n + 7
解得 k = n + ，或 k = n + ，因为 k Z ，这样的 k 不存在，故 A 错误；
8 8
π π 3 1
对于 B，当 k = 0 时，P cos ,sin ÷，即P , ÷，故 B 正确；
è 6 6 2 2 ÷è
cos π 4
π 4 π π 4 π
对于 C，若 + kπ
2
÷ = ，则 + kπ = + 2nπ 或 + kπ = - + 2nπ， k, n Z，
è 6 3 2 6 3 4 6 3 4
8n +1 8n - 5
解得 k = n + ，或 k = n + ，因为 k Z ，这样的 k 不存在，故 C 错误；
16 16
3π 3π
对于 D，当 k =1 P 时， cos ,sin

÷，即P 0, -1 ，故 D 正确；
è 2 2
故选：BD.
【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时所用时间，得到重合点坐标，结合角度差，根据三
角函数周期性以及诱导公式判断选项即可.
三、填空题
7．（23-24 高三上·北京顺义·期中）已知命题 p ：若a , b 为第一象限角，且a > b ，则
sina > sin b .能说明命题 p 为假命题的一组a , b 的值可以是a = ， b = .
13π π
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
6 6
【分析】只要找到一组满足题意的角即可.
【详解】因为a , b 为第一象限角，且a > b ，
a 13π取 = , b
π
= ，则a > b 且在第一象限，
6 6
13π π 1
此时 sina = sin = sin b = sin = ，
6 6 2
故命题 p 为假命题，满足题意，
所以a , b a
13π
的值可以是 = , b
π
= ，
6 6
13π π
故答案为： （答案不唯一）； （答案不唯一）.
6 6
π
8．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角a - 的顶点为原点，始边为 x 轴非负
3
π
半轴，终边经过点 P -3,-4 ，则 tan 2a + ÷ = .
è 3
24
【答案】-
7
π
【分析】先利用三角函数的定义得到 tan a - ÷，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得
è 3
tan 2a π+ 3 ÷
.
è
π 4
【详解】由三角函数的定义，得 tan a - ÷ = ，所以
è 3 3
2tan a π- 8
tan
÷
2a
π
+ ÷ = tan
é2 a π πù π- + = tan2 a - = è 3 = 3 24 ÷ ÷
è 3 ê è 3
ú
è 3 2 π 1 16
= - .
1- tan a -
7
3 ÷
-
è 9
24
故答案为：-
7
9．（2023·湖北·二模）已知a 是第三象限角，3cos2a + sina = 2，则 tana = ．
2
【答案】
4
1
【分析】利用二倍角公式可得 sina = - ，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
3
【详解】因为3cos2a + sina - 2 = 3(1- 2sin2a ) + sina - 2 = 0，
整理可得6sin2a - sina -1 = 0，
sina 1 1 1解得 = - < 0，或 sina = ，由于a 是第三象限角， sina = （舍去）
3 2 2
cosa 1 sin2a -2 2 tana sina 2所以 = - - = ， = = ．
3 cosa 4
2
故答案为： ．
4
四、解答题
ìx = ax + by
10．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，利用公式 í ① a b
y = cx
（其中 ， ，
+ dy
c，d 为常数），将点P x, y 变换为点P x , y 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①
a b
为坐标变换公式，该变换公式①可由 a，b ， c，d 组成的正方形数表 ÷唯一确定，我
èc d
a b
们将 c d ÷称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
A ， B ，…表示．
è
(1)在平面直角坐标系 xOy 中，将点P 3,4 p绕原点O按逆时针旋转 得到点 P （到原点距离
3
不变），求点 P 的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点P x, y 绕原点O按逆时针旋转a 角得到点P x , y
（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
uuur x
(3)向量OP = x, y （称为行向量形式），也可以写成 y ÷，这种形式的向量称为列向量，线è
x a b x x a b
性变换坐标公式①可以表示为： ÷ = ÷ ÷ ，则称 ÷是二阶矩阵 ÷与向量
è y èc d è y è y èc d
x r r
y ÷的乘积，设
A 是一个二阶矩阵，m ， n是平面上的任意两个向量，求证：
è
A mr nr+ = Amr + Anr．
3 3 3
【答案】(1) P - 2 3,2 + ÷÷
è 2 2
ìx = x cosa - y sina cosa -sina
(2) íy ， = x sina + y cosa
÷
è sina cosa
(3)证明见解析
【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的 cosq 和sinq ，再由两角和的正弦、余弦
公式得到点 P 的坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的 cosq 和sinq ，再由两角和的正弦、余弦公式得到
点 P 的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
（3）根据定义分别计算 A mr nr r r r r+ 、 Amr r、 An ，证明 A m + n = Am + An 即可.
【详解】（1）可求得OP = OP = 5，设 POx = q ，则 cosq
3
= sinq 4， = 5 ，5
设点P x , y ， POx = q p+ ，
3

故 x = 5cos
p
q + ÷ = 5
1
cosq
3
- sinq 3
3 2 2 ÷÷
= - 2 3
è è 2

y = 5sin q
p 1
+ ÷ = 5 sinq
3
+ cosq ÷ = 2
3 3
+
è 3 2 2 ÷è 2

P 3

所以 - 2 3,2
3 3
+
2 2 ÷÷
.
è
（2）设OP = OP = r， POx = q ，则 x = r cosq ， y = r sinq ， P Ox = q +a ，
故 x = r cos q +a = r cosq cosa - r sinq sina = x cosa - y sina
y = r sin q +a = r sinq cosa + r cosq sina = x sina + y cosa
ìx = x cosa - y sina
所以坐标变换公式为 í
y = x sin
，
a + y cosa
cosa -sina
该变换所对应的二阶矩阵为
è sina cosa
÷

a b r x1 r x2 A m n mr nr
x
3 = = = + = 1
+ x2
（ ）设矩阵
èc d
÷，向量 y ÷， y ÷，则 y y ÷ ． è 1 è 2 è 1 + 2
x + x
r r a b 1 2
a x
A m + n = = 1
+ x2 + b y1 + y2
÷
èc d è y
÷ ÷，
1 + y2 èc x1 + x2 + d y1 + y2
ìx = a x1 + x2 + b y1 + y2
对应变换公式为： í ，
y = c x1 + x2 + d y1 + y2
r a b x1 ax1 + by1 Am r
a b x ax + by
= = An = 2 = 2 2

c d ÷ y ÷ cx ，+ dy ÷ c d ÷ ÷ ÷è è 1 è 1 1 è è y2 ècx2 + dy2
r r ax1 + by1 ax2 + by2 a x + x + b y + y
所以 Am + An == ÷ + ÷ =
1 2 1 2
ècx1 + dy1 ècx2 + dy

2 èc x1 + x2 + d y1 + y
÷
2
ì x = a x1 + x2 + b y1 + y2
故对应变换公式同样为 í
y = c x1 + x2 + d y1 + y2
A mr所以 + nr Amr= + Anr得证.
【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角a 的顶点与坐标原点重合；（2）角的
2 2
始边与 x 轴正半轴重合；在角a 的终边上任取一点 P(x, y) ，该点到原点的距离 r = x + y ，
sina y= cosa x y= tana =
则： r ； r ； x .考点 22 任意角和弧度制、三角函数的概念（2 种核心题型+
基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解任意角的概念和弧度制
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
【知识点】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形．
(2)分类
{按旋转方向不同分为 、 、按终边位置不同分为 和轴线角.
(3)相反角：我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角 α 的相反角记为 .
(4)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝_________
____________．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号 rad 表
示．
(2)公式
l
角 α 的弧度数公式 |α|＝ (弧长用 l 表示)
r
π
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________
180
弧长公式 弧长 l＝_______
扇形面积公式 S＝________＝_______
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
y
设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝ ，cos α＝
r
x y
，tan α＝ (x≠0)．
r x
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
【核心题型】
题型一　角及其表示
α
确定 kα， (k∈N*)的终边位置的方法
k
α α
先写出 kα 或 的范围，然后根据 k 的可能取值确定 kα 或 的终边所在位置．
k k
2π 2π
【例题 1】（2023·安徽·模拟预测）已知角a 终边上有一点P sin ,cos ÷，则 π - a 为
è 3 3
（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4π 4π
【变式 1】（2023·辽宁·一模）已知角a 的终边上一点的坐标为 sin ,cos ÷，则a 的最小
è 5 5
正值为（ ）
π 3π 4π 17π
A． B． C． D．
5 10 5 10
【变式 2】（2024·北京东城·一模）已知角a , b 的终边关于直线 y = x 对称，且
sin a - b 1= ，则a , b 的一组取值可以是a = ， b = .
2
【变式 3】（2024·湖南岳阳·三模）已知角a , b 的终边关于直线 y = x 对称，且
sin(a - b ) 3= ，则a , b 的一组取值可以是a = ， b = ．
2
题型二　弧度制及其应用
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
1 1 1 1
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）设 a = cos ,b = sin ,c = tan ，则（
3 3 3 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D． c > b > a
【变式 1】（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知圆锥的顶点为S ，母线SA， SB 所成角的余弦
3 16
值为 ，SA与圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为 .
5 5
【变式 2】（22-23 高一下·辽宁朝阳·期中）已知扇形的面积为 4，圆心角的弧度数是 2，则该
扇形的半径为 ．
【变式 3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为120°，面积为3p 的扇形OMN （O
为圆心）用成一个圆锥（点 M , N 恰好重合），该圆锥顶点为 P ，底面圆的直径为 AB ，则
cos APB的值为 ．
题型三　三角函数的概念
(1)利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可以求出 α 的三角函数值；已知
角 α 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标
轴上的情况．
【例题 3】（2023·福建福州·模拟预测）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重
合，cosa 5= , P m,2 为其终边上一点，则m =（ ）
5
A．-4 B．4 C． -1 D．1
【变式 1】（2024·河南·一模）以坐标原点为顶点，x 轴非负半轴为始边的角a ，其终边落在
直线 y = x 上，则有（ ）
A． sina 2 2= - B． cosa = C． sina + cosa = ± 2 D． tana = ±1
2 2
π
【变式 2】（2024· 3湖南邵阳·二模）在VABC 中， A = , AB 边上的高为
3 AB
，则
3
cosC = .
【变式 3】（2023·广东佛山·一模）若点 A cosq ,sinq 关于原点对称点为
B cos p -q ,sin p -q ÷ ÷÷，写出q 的一个取值为 .
è è 6 è 6
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
9π
1．（2023 高三·全国·专题练习）与 终边相同的角的表达式中，正确的是（
4 ）
π
A． 45° + 2kπ,k Z B． k ×360° + ,k Z
4
C． k ×360° + 315°,k Z D 2kπ - 7π． 4 ,k Z
2．（23-24 高三上·江西赣州·期中）已知a 为第一象限角，且 sina cos b = cosa sin b +1，则b
为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2p 2p
3．（23-24 高三上·重庆渝北·阶段练习）已知角a 终边上有一点P(sin ,cos )，则 π +a 是
3 3
（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．（23-24 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若a 是第一象限角，则下列各角为第四
象限角的是（ ）
A．90° -a B．90° + a C．360° -a D．360° + a
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A 1,0 ，以 x 轴的非负
半轴为始边作锐角a ，b ，a - b
π
，它们的终边分别与单位圆相交于点P1， A1， P ．若a = ，3
则下列说法正确的是（ ）
π 1
A．当 b = 时，VOA P 的面积为
4 1 4
b πB．当 = 时，扇形OA
π
1P1的面积为6 6
π
C 2 + 6 - 2．当 b = 时，四边形OAPA1的面积为4 8
D．四边形OAA1P1面积的最大值为 1
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱锥 A - PBC 和正三棱锥D - PBC 的侧棱长均为
2, BC = 2 ．若将正三棱锥 A - PBC 绕BC 旋转，使得点 A, P分别旋转至点 A , P 处，且
A , B,C, D四点共面，点 A , D分别位于BC 两侧，则下列说法中正确的是（ ）
A．多面体 ABDPC 存在外接球 B． PP ^ BC
C．PP // 3π平面 A BDC D．点 P 运动所形成的最短轨迹长大于
3
三、填空题
7．（2023·天津河北·一模）直线 x - y -1 = 0将圆 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 8分成两段圆弧，则较短
圆弧与较长圆弧的弧长之比为 .
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知一个扇形圆心角60o ，a 所对的弧长 l = 3π，则该扇形面
积为 ．
9．（2024·全国·模拟预测）已知a 是第二象限角，且其终边经过点 -3,4 ，则
tan a = ．
2
四、解答题
10．（2024 3高三·全国·专题练习）已知角a 终边经过点P x,- 2 x 0 ，且 cosa = x．求
6
sina 1+ 的值．
tana
11．（22-23 高三上·安徽阜阳·期中）已知角a 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半
轴重合，终边经过点 -3,9 ．

(1)求 tan 2a
3π
+
4 ÷
的值；
è
(2)求 sin2a + 3cos2a 的值．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）“ sin a - 2024π > 0 ”是“a 为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3 4 π
2．（2024·黑龙江·二模）已知角a 的终边与单位圆的交点P ,- ÷，则 sin a - ÷ = （ ）
è 5 5 è 2
4 - 3 3 4A．- B． C． D．
5 5 5 5
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式
建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为
16π 32 5，屋顶的体积为 π ，算得侧面展开图的圆心角约为（ ）
3
2π 5π 4π 7π
A． B． C． D．
3 6 3 6
π
4．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为 1，其侧面展开图是一个圆心角为
2
的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
5 7
A． B．3 C． D．4
2 2
5．（22-23 高三上·安徽安庆·阶段练习）已知条件 p :a
π
，条件 q : tana 1，则 p 是q的
4
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
ì π π ü
6．（22-23 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z4 2
，

B = ìa kπ π+ a kπ π+ ,k Züí ，则（4 2 ）
A． A B B．B A C． A = B D． A B =
7．（2024·重庆·模拟预测）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
上有两点 A 1,a ，B 2,b ，且 cos2a 3= ，则 a - b = （ ）
5
A 1 5． 2 B． C
2
． D．1
5 2
8．（2024·四川南充·三模）如图，圆 O 内接一个圆心角为 60°的扇形 ABC ，在圆 O 内任取一
点，该点落在扇形 ABC 内的概率为（ ）
1
A B 3 C 1 3． ． ． 2 D．4 4 2
二、多选题
9．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． p :“a 是第二象限角或第三象限角”， q :“ cosa < 0 ”，则 p 是q的充分不必要条件
B．若a
cosa sina 2
为第一象限角，则 + =
1+ cos2a 1- cos2a 2
C．在VABC 中，若 tanA × tanB > 1，则VABC 为锐角三角形
D a 0,
π
cos2a 5 3 - 5．已知 ÷ ，且 = ，则4 tana =è 3 2
1
10．（2023·吉林长春·一模）已知 sinq + cosq = ，q (0,π)，则（
5 ）
A． tanq
3
= - B． cos 2q
7 q
= - C． tan = 2 D． cos q
π
+
2
÷ =4 25 2 è 4 10
11．（2024·湖南·模拟预测）已知q R ，双曲线 C： x2 cosq + y2 sin 2q =1，则（ ）
A．q 可能是第一象限角 B．q 可能是第四象限角
C．点 1,0 可能在 C 上 D．点 0,1 可能在 C 上
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知直线 l : 3x + 4 y -1 = 0 与圆C : x2 - 4x + y2 = 0交于A ， B 两点，
则劣弧 AB 所对应的扇形 ACB 的面积为 ．
1 1
13．（2023· 2上海青浦·二模）已知函数 y = 1- x - x ÷的图像绕着原点按逆时针方向
è 2 2
旋转q 0 q p 弧度，若得到的图像仍是函数图像，则q 可取值的集合为 .
14．（2022·全国·模拟预测）已知a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在第
二象限， sin a 5= ，则 tana 的值为 ．
2 3
四、解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）利用单位圆写出符合下列条件的角 α 的取值集合．
cosa 1(1) = - ；
2
(2) sina 3< ；
2
(3)tan α≥1.
16．（2023·广东广州·三模）在直角坐标系中，已知eO 是以原点 O 为圆心，半径长为 2 的
圆，点 A 2,0 ，角 x（单位：弧度）的始边为射线OA，终边与eO 交于点 B，点 B 的纵坐
标 y 关于角 x 的函数为 y = f x ．
(1)写出函数 y = f x 的解析式；
(2)将函数 y = f x 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象
2π
向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图象．求函数 y = g x 在区间 0,2π 上的最
3
大值和最小值，并写出取得最值时自变量 x 的值．
17．（23-24 高三上·江西·阶段练习）如图，已知两质点 A，B 同时从点 P 出发，绕单位圆逆
时针做匀速圆周运动，质点 A，B 运动的角速度分别为 3rad/s 和 5rad/s，设两质点运动 x s
时这两质点间的距离为 f x ．
(1)求 f x 的解析式；
(2)求这两质点从点 P 出发后第 n 次相遇的时间 xn（单位：s）．
18．（2023·北京海淀·模拟预测）已知函数 f (x) = 2 3sin xcos x + acos2 x -1 (x R)，且 f (0) =1．
π
(1)求 a 的值和函数 f (x) 在区间[0, ]上的最大值及取得最大值时 x 的值．
6
(2)若 f (x0 ) =1， x0 [
π , π]，求 cos2x
4 2 0
的值．
19．（2024·甘肃·一模）如图，角a a R 的始边为 x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点 P ，
过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为M , M 到直线OP的距离为 MN .若将 MN 关于角a 的函数关系
记为 y = f x .
(1)求 y = f x 的解析式；
π
(2)将 f x 1图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 6
g x g x é0, π ù个单位长度，得到函数 的图象，求 在 ê ú的单调递增区间. 2
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图 1）的璜身满刻
勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ S ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积
（厚度忽略不计），测得各项数据（图 2）： AB 8cm, AD 2cm, AO 5cm ，若
sin 37° 3 , π 3.14，则璜身（即曲边四边形 ABCD）面积近似为（ ）
5
A．6.8cm2 B．9.8cm2 C．14.8cm2 D． 22.4cm2
2．（2023·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》
1
章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 = （弦× 矢+矢2），弧田（如图）由圆2
弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
现已知弧田面积为 4 3 + 2，且弦是矢的 2 3 倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是
（ ）
π 2π
A B C 4π
8π
． ． ． D．
3 3 3 3
3．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦
当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临
夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代
表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是
一个扇环 ABCD，如图（2），砖雕厚度为 6cm， AD = 80cm，C D = 3 AB ，C D所对的圆心
角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： cm2 ）（ ）
A．3200π B． 480π + 960 C．6880π + 960 D．3680π + 960
4．（2023·陕西商洛·一模）在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2A1B1 = 4 3, AA1 = 10 ，
点 P 在底面 ABCD内，且 A1P = 4，则 P 的轨迹长度是（ ）
A 5 3π B 5 3π． ． C．6π D．12π
6 3
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中
国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、
从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所
对的圆心角为 30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽
坡屋面高度半径
度，且 = 0.57 ± 0.3．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中 A 为屋脊，B，
半坡宽度
q πC 为檐口，且 AC 所对的圆心角 = ， AC 所在圆的半径为 4，6 3 1.732
，则（ ）
2
A． AC 的长为 π3
B． AC = 2 6 - 2
C．若 AB 与 AC 所在两圆的圆心距为 4 3 ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若 AB 与 AC 所在两圆的圆心距为 4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，
可将圆心角 θ 缩小
6．（23-24 高三上·山东威海·期末）质点 P 和Q同时出发，在以原点O为圆心，半径为1的eO
上逆时针作匀速圆周运动. P 的角速度大小为 2rad / s，起点为eO 与 x 轴正半轴的交点；Q
的角速度大小为5rad / s ，起点为射线 y = -x(x 0) 与eO 的交点.则当Q与 P 重合时， P 的
坐标可以为（ ）
1 3 3 1 2 2
A． - ,2 2 ÷÷
B． , C．2 2 ÷÷
,
2 2 ÷÷
D． 0, -1
è è è
三、填空题
7．（23-24 高三上·北京顺义·期中）已知命题 p ：若a , b 为第一象限角，且a > b ，则
sina > sin b .能说明命题 p 为假命题的一组a , b 的值可以是a = ， b = .
π
8．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角a - 的顶点为原点，始边为 x 轴非负
3
π
半轴，终边经过点 P -3,-4 ，则 tan 2a +

÷ = .
è 3
9．（2023·湖北·二模）已知a 是第三象限角，3cos2a + sina = 2，则 tana = ．
四、解答题
ìx = ax + by
10．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，利用公式 í ①（其中 a，b ，
y = cx + dy
c，d 为常数），将点P x, y 变换为点P x , y 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①
a b
为坐标变换公式，该变换公式①可由 a，b ， c，d 组成的正方形数表 c d ÷唯一确定，我è
a b
们将 c d ÷称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
A ， B ，…表示．
è
p
(1)在平面直角坐标系 xOy 中，将点P 3,4 绕原点O按逆时针旋转 得到点 P （到原点距离
3
不变），求点 P 的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点P x, y 绕原点O按逆时针旋转a 角得到点P x , y
（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
uuur x
(3)向量OP = x, y （称为行向量形式），也可以写成 y ÷，这种形式的向量称为列向量，线è
x a b x x a b
性变换坐标公式①可以表示为： =y ÷ c d ÷ y ÷ ，则称 y ÷是二阶矩阵 è è è è èc d
÷与向量

x r r
y ÷的乘积，设
A 是一个二阶矩阵，m ， n是平面上的任意两个向量，求证：
è
A mr nr+ r r= Am + An ．

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