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考点 24 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（3 种核心题型
+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.会推导两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
【知识点】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式 S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
tan α－tan β
(5)公式 T(α－β)：tan(α－β)＝ ；1＋tan αtan β
tan α＋tan β
(6)公式 T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .1－tan αtan β
2．辅助角公式
b a
asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ .
a2＋b2 a2＋b2
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan α＋tan β tan α－tan β
tan αtan β＝1－ ＝ －1.
tan α＋β tan α－β
【核心题型】
题型一　两角和与差的三角函数公式
　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α，β 的三角函数表示 α±β 的
三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一
角和角与角转换的目的．
【例题 1】（2024·河北石家庄·三模）已知角a , b 满足 tana
1
= , 2sinb = cos a + b sina ，则
3
tanb =（ ）
1 1 1
A． B． C． D．2
3 6 7
【答案】C
【分析】借助 b = a + b -a 对已知化简，可求出 tan a + b 的值，再由
tanb = tan a + b -a 可解.
【详解】因为 2sinb = cos a + b sina ，即 2sin é a + b -a ù = cos a + b sina ，
所以 2sin a + b cosa - 2cos a + b sina = cos a + b sina ，
整理得 2sin a + b cosa = 3cos a + b sina 3 1，变形得 tan a + b = tana = ，
2 2
tan a + b - tana所以 tanb tan a b a 1= é + - ù = =1+ tan a .+ b tana 7
故选：C
5 3
【变式 1】（2024·陕西铜川·二模）已知锐角a , b 满足 sina = ， cos b = ，则
5 5
cos a - b = .
2 5 2
【答案】 / 5
5 5
【分析】利用同角三角函数关系可求得 cosa ,sin b ，代入两角和差余弦公式即可.
【详解】Qa , b
4
均为锐角，\cosa = 1 sin2 a 2 5- = ， sin b = 1- cos2 b = ，
5 5
\cos a - b = cosa cos b 2 5 3 5 4 2 5+ sina sin b = + = .
5 5 5 5 5
2 5
故答案为： 5
【变式2】（2023·江西上饶·模拟预测）已知a 、b 均为锐角，且 sina = 2sin b ， 2cosa = cos b ，
则 sin a - b = .
3
【答案】 / 0.6
5
【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得a 、b 角的正弦、余弦值，再利用两角差
的正弦公式即可求得结果.
【详解】因为 sina = 2sin b ， 2cosa = cos b ，即 cosa
1
= cos b ，
2
sin2a + cos2所以 a = 4sin2b
1
+ cos2b =1，
4
4sin2b 1 cos2b 15又 + = sin2b
1 sin2b 1 cos2b 1 2 1 4+ + = 2，即 sin b = ，则 cos b = ，
4 4 4 4 5 5
5 2 5
又a 、b 均为锐角，所以 sinb = ， cosb = ，
5 5
所以 sina 2 5 cosa 5= ， = ，
5 5
所以 sin a - b = sina cos b - cosa sin b 2 5 2 5 5 5 3= - = .
5 5 5 5 5
3
故答案为：
5
【变式 3】（2024·河北保定·二模）在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c，已知
a cos B - bcos A = -a - c .
(1)求 B ；
(2)若 a = 2,b = 2 7, D为 AC 边的中点，求BD的长.
2π
【答案】(1) B =
3
(2) 3．
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解；
uuur
（2）根据余弦定理求出 c边，再根据向量运算求 BD .
【详解】（1）因为 acosB - bcosA = -a - c ，
根据正弦定理，得 sinAcosB - cosAsinB = -sin A - sin C = -sinA - sinAcosB + cosAsinB ，
1
化简得 2sinAcosB = -sinA，因为 sinA > 0，所以 cosB = - ，
2
2π
因为B 0, π ，所以B = .
3
2π
（2）在VABC (2 7)2中，由余弦定理得 = 22 + c2 - 2 2ccos ，
3
所以 c2 + 2c - 24 = 0，解得 c = 4．
uuur uur uuur
因为BD为VABC 的中线，所以 2BD = BA + BC ，
uuur
所以 4 | BD |2 = c2 + a2 + 2ac
2π
×cos ，
3
uuur uuur
因为 a = 2,c = 4，所以 4 | BD |2 =12，解得 BD = 3 .
题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式
　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变
形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
cos55° + sin25°sin30°
【例题 2】（2024·陕西西安·一模） 等于（
cos25 ）°
A 1． 2 B
2
． C 3． D．1
2 2
【答案】C
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得.
cos55° + sin25°sin30°
【详解】
cos25°
cos 25° + 30° + sin25°sin30°
=
cos25°
cos25°cos30° - sin 25°sin 30° + sin25°sin30°
=
cos25°
cos25°cos30° 3
= = cos30° = .
cos25° 2
故选：C
tan80o - tan20o
【变式 1】（2023·广东·二模） 1 的值为 .1+
2cos20o
【答案】 2 3
【分析】根据两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确
答案.
tan80o - tan20o = tan 80o - 20o o o【详解】 1+ tan80 tan20

3 1 sin80
osin20o cos10o sin20o
= + = 3 1+
è cos80
o cos20o ÷ o o ÷ è sin10 cos20

3 1 2cos
210o 1+ cos20o
= + = 3 1 cos20o ÷
1+ o ÷ = 3 2 +cos20 è cos20o ÷
，
è è
tan80o - tan20o
= 2 3
所以 1 1
.
+
2cos20o
故答案为： 2 3
π
【变式 2】（2024·广东揭阳·二模）已知 sin2 a = sin 2a ，则 tana = ， tan(a + ) = .
4
【答案】 0 或 2 1 或-3
【分析】利用二倍角的正弦公式变形求出 tana ，再利用和角的正切计算即得.
【详解】依题意， sin2 a = 2sina cosa ，即sina = 0或 sina - 2cosa = 0，所以 tana = 0或
2；
π π π tana +1
所以 tan a + ÷ = tan =1或 tan(a + ) = = -3 .
è 4 4 4 1- tana
故答案为：0 或 2；1 或-3
AC AD
【变式 3】（2024·江苏·模拟预测）在VABC 中，点D在 AB 边上，且满足 = .
BC BD
(1)求证： ACD = BCD；
(2)若 tan A + tan B + 3 tan A tan B - 3 = 0 ，CD = 2，求VABC 的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 4 3
AC AD AC BC sin ADC sin BDC
【分析】（1）因为 = ，所以 =AD BD ，由正弦定理可得
= ，则
BC BD sin ACD sin BCD
可得 sin ACD = sin BCD ，则得 ACD = BCD；
2π
（2）由 tan A + tan B + 3 tan A tan B - 3 = 0 ，化简可得 tan A + B = 3 ，则得 c = ，3
ACD = BCD π= ，因为 S△ABC = S△ACD + S△BCD ，则可得 AC BC = 2 AC + BC ，再由基本3
不等式可得 AC BC 4 AC BC ，即 AC BC≥16，则得到VABC 的面积的最小值.
【详解】（1）
AC AD AC sin ADC
在VACD中，由正弦定理 = ，得 = ，
sin ADC sin ACD AD sin ACD
BC BD BC sin BDC
在△BCD中，由正弦定理 = ，得 = ，
sin BDC sin BCD BD sin BCD
AC AD AC BC sin ADC sin BDC
因为 = ，所以 = ，所以 = ，
BC BD AD BD sin ACD sin BCD
因为 ADC + BDC = π，所以 ADC = π - BDC ，
所以 sin ADC = sin π - BDC = sin BDC ，
所以 sin ACD = sin BCD ，
又因为 ACD， BCD 0, π ，且 ACD + BCD < π ，
所以 ACD = BCD .
（2）因为 tan A + tan B + 3 tan A tan B - 3 = 0 ，
所以 tan A + tan B = 3 1- tan A tan B ，
所以 tan A B tan A + tan B+ = = 3 ，
1- tan A tan B
2π
因为0 < A + B < π ，所以 A
π
+ B = ，所以C = π - A + B =3 ，3
π
由（1）知 ACD = BCD，则 ACD = BCD = ，
3
因为 S△ABC = S△ACD + S△BCD ，
1 AC BC sin 2π 1 π 1所以 = AC CD sin + BC CD sin
π
，
2 3 2 3 2 3
又CD = 2，
所以 AC BC = 2AC + 2BC = 2 AC + BC
因为 AC + BC≥ 2 AC BC ，
所以 AC BC = 2AC + 2BC = 2 AC + BC 4 AC BC ，
所以 AC BC≥16，当且仅当 AC = BC = 4时等号成立，
1 16 3 = 4 3
所以VABC 的面积的最小值为 2 2
题型三　角的变换问题
α＋β α－β
常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝ － ＝
2 2
π π π
(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°； ＋α＝ －( －α )等．4 2 4
π
【例题 3】（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若 tan a - ÷ = 2，则 sin2a = （ ）
è 4
3 3 4 4
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
【答案】B
【分析】根据两角差的正切公式求出 tana ，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.
tan π tana -1【详解】由 a - ÷ = = 2，得 tana = -3，
è 4 1+ tana
\sin2a = 2sina cosa 2sina cosa 2tana 3= = = - .
sin2 a + cos2 a 1+ tan2 a 5
故选：B.
【变式 1】（2024·江西景德镇·三模）函数 f x = coswx x R 在 0, π 内恰有两个对称中心，
f π =1，将函数 f x π 3的图象向右平移 个单位得到函数 g x 的图象.若 f a + g a = ，
3 5
cos 4a π 则 + 3 ÷
= （ ）
è
A 7
16 9 19
． B． C．- D．-
25 25 25 25
【答案】A
【分析】根据 y 轴右边第二个对称中心在 0, π 内，第三个对称中心不在 0, π 内可求得
3 w 5 < ，结合 f π =1可得w = 2，再利用平移变换求出 g x ，根据三角变换化简
2 2
f a + g a 3= 可得 sin π 3
5
2a + = ，然后由二倍角公式可解.
è 6 ÷ 5
【详解】由 x 0, π 得wx 0,wπ ，
ì3π
wπ
因为函数 f x 0, π 2 3 5在 内恰有两个对称中心，所以 í ，解得 w < ，
5π > wπ 2 2
2
又 f π = coswπ =1，所以wπ = kπ,k Z ，即w = k,k Z，所以w = 2，
f x π π 2π 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 y = cos 2 x - ÷÷ = cos 2x - ÷，3 è è 3 è 3
即 g x 2π= cos 2x -

3 ÷
，
è
因为 f a + g a = cos 2a + cos 2a
2π
-
3 ֏
3
= sin 2a 1 cos 2a sin 2a π 3+ = + = ，2 2 è 6 ÷ 5
2
cos 所以 4a
π π
+ 2
3 7
3 ÷
=1- 2sin 2a + ÷ =1- 2 ÷ = .
è è 6 è 5 25
故选：A
p 1
【变式 2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知 cos a - ÷ - sina =6 3，则è
cos 2a
π
+ ÷ = ．
è 3
7
【答案】-
9

【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得 cos a
π 1
+ ÷ = ，再由二倍角公式，即可
è 6 3
得到结果.
【详解】因为 cos
a π- ÷ - sina
1
= ，整理得 cosa cos
π
+ sina sin π 1- sina = ，
è 6 3 6 6 3
3 π 1
所以 cosa 1 sina 1- = ，所以 cos a + ÷ = ，
2 2 3 è 6 3
cos π 所以 2a + ÷ = 2cos
2 a π 1 7 + ÷ -1 = 2 -1 = -3 6 9 9 ．è è
7
故答案为：-
9
sin π 1 π 【变式 3】（2024·湖南·模拟预测）已知 a - ÷ = ，则 cos - 2a ÷等于 .
è 6 5 è 3
23
【答案】 25
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可.
2
cos π【详解】 - 2a

÷ = cos

2a
π π
- ÷ = cos2

a -

÷ =1- 2sin
2
a
π 1 23- ÷ =1- 2
= .
è 3 3 6 6 ÷ è è è è 5 25
23
故答案为： .25
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，锐角a 以O为顶点，Ox 为始边.将a
π 2
的终边绕O逆时针旋转 后与单位圆交于点P(x, y) ，若 cosa = ，则 y = （ ）4 10
4 - 3 3 4A．- B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】根据同角的平方关系求出 sina ，结合三角函数的定义和两角和的正弦公式计算即
可求解.
【详解】如图，
π
cosa 2 0 < a < sina 1 cos2 a 7 2由 = ， ，得2 = - =
，
10 10
所以 y = sin(a π+ ) 2= (sina + cosa ) 2 8 2 4= = .
4 2 2 10 5
故选：D
2．（2024·重庆·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
sin B sin C
π
- ÷ = cos B sin

C
π
+ ÷，b = 2 ，6 3 sin B
21
= ．则 a 的值为（ ）
è è 7
A． 7 B 7 C 21． ． D．
3 212
【答案】A
π
【分析】由题意，根据诱导公式及和差公式进行化简求出B + C ，进而 A = 3 ，结合正弦定理
计算即可求解.
π
【详解】由 sin Bsin(C - ) = cos Bsin(C
π π
+ ) ， sin(C + ) = cos(C
π
- )
6 3 3 6 ，
得 sin Bsin(C
π
- ) = cos Bcos(C π- )，即 cos Bcos(C
π
- ) - sin Bsin(C π- ) = 0
6 6 6 6 ，
所以 cos(B + C
π
- ) = 0 ，又0 < B < π,0 < C < π6 ，
2π
所以 B + C
π π
- = ，即B + C =
π
6 2 ，所以
A =
3 3
，
又 b = 2,sin B 21= ，由正弦定理，
7
b a
= bsin A 14 3得 ，所以 a = = = 7 .
sin B sin A sin B 21 2
故选：A
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
P cos π ,sin π π 终边经过点 ÷ ，则 cos a - =（3 3 6 ÷ ）è è
A 0 B 1 C 2 D 3． ． 2 ． ．2 2
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出 sina ， cosa ，再由两角差的余弦公式计算可得.
π π 1 3
【详解】因为P cos ,sin ，即P , ，
è 3 3 ÷
÷÷ è 2 2

即角a P
1
的终边经过点 ,
3 1
÷ 3÷ ，所以 sina = ， cosa = ，
è 2 2 2 2
cos a π cosa cos π sina sin π 1 3 3 1 3所以 - ÷ = + = + = .
è 6 6 6 2 2 2 2 2
故选：D
π
4．（2024·四川·模拟预测）已知a ，b ，g 0, ÷，若 sina + sin g = sin b ，
è 2
cos b + cosg = cosa ，则a - b =（ ）
π π π
A．-
π
B． C． - D6 ．3 3 6
【答案】A
【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特
殊值，注意角的范围即可求解.
【详解】由 sina + sin g = sin b ， cos b + cosg = cosa ，得 sina - sin b = -sin g ，
cosa - cos b = cosg ，
∴ sina - sin b 2 + cosa - cos b 2 = -sin g 2 + cos2 g =1，即 2 - 2sina sin b - 2cosa cos b =1，
∴ 2 - 2cos a - b =1 1，解得 cos a - b = .
2
又a ，b g
π
，
0, 2 ÷
，
è
∴ sina - sin b = -sin g < 0，
∴ sina < sin b ，
∴ 0 < a < b
π
< ，
2
π
∴ - < a - b < 0，
2
a π∴ - b = - .
3
故选：A.
二、多选题
5．（23-24 高三上·山西大同·期末）若0 a b
π cosa cos b 1 2< < < ，且 = ， tana tan b = ，则
2 2 3
（ ）
5
A cos a + b = B sin a b 11． ．6 - = - 6
cos 2a 5 b πC． = D． <
36 3
【答案】BD
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可.
【详解】由题意可得 sina sin b = cosa cos b tana tan b
1
= ，
3
所以 cos a + b = cosa cos b - sina sin b 1= ，故 A 错误；
6
cos a - b = cosa cos b + sina sin b 5= ，
6
π
因为0 < a < b < ，
2
π
所以- < a - b < 0，所以
2 sin a - b = - 1- cos
2 a - b 11= - ，故 B 正确；
6
0 a b π因为 < < < ，所以
2 sin a + b = 1- cos
2 a + b 35= ，
6
所以 cos 2a = cos é a + b + a - b ù
cos a b cos a b sin a b sin a b 5 + 385= + - - + - = ，故 C 错误：
36
cos 2b = cos é a + b - a - b ù
= cos a + b cos a - b + sin a + b sin a 5 - 385- b =
36
cos 2b 5 - 385 5 - 20 1 2π即 = > > - = cos ，
36 36 2 3
因为0
π
< b < ，所以0 < 2b < π，
2
2b 2π π故 < ，所以 b < ，故 D 正确.
3 3
故选：BD
6．（23-24 高三上·广东揭阳·期中）已知函数 f x = cos 2x π+ + 3sin π 3 ÷ 2x + ÷ +1，则下列è è 3
判断正确的是（ ）
A． f x π 的最小正周期为 π B． f x 的图象关于点 - ,0
è 4 ÷
对称

π
C． f x 的值域为 -1,3 D． f x 的图象关于直线 x = 2 对称
【答案】ACD
【分析】逆用两角和差的正弦公式化简，利用余弦型函数的性质确定周期、对称轴、对称中
心、值域即可得解.
f x cos 2x π 3sin 2x π 1 2sin 2x π π 【详解】因为 = + ÷ + + ÷ + = + + ÷ +1 = 2cos 2x +1，
è 3 è 3 è 3 6
2π
所以最小正周期为T = = π A2 ，故 正确；
π kπ π
由 2x = kπ + ,k Z
kπ π
，得 x = + ,k Z

，所以对称中心为 + ,1÷ (k Z) ，当 k = -1时，2 2 4 è 2 4
π
函数的一个对称中心为 - ,14 ÷
，故 B 错误；
è
因为 -1 cos 2x 1，所以 f (x) = 2cos 2x +1 [-1,3]，故 C 正确；
由 2x = kπ(k Z)，得 x
kπ k kπ= Z ，即函数的对称轴方程为 x = k Z ，当 k =1时，可
2 2
π
得函数的一条对称轴 x = 2 ，故
D 正确.
故选：ACD
三、填空题

7．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若 tana = 5，则 tan 2a
π
- ÷ = ．
è 4
17 3
【答案】- / -2
7 7
【分析】利用二倍角的正切公式及两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为 tana = 5，
所以 tan 2a
2 tana 10 5
= 2 = = - ，1- tan a 1- 25 12
5
tan π
- -1
12 17
所以 2a - = = -
è 4 ÷
.
1 5+ - ÷ 1
7
è 12
17
故答案为：- .
7
xsin π π+ ycos
8 2023· · 5 5
9π
．（ 山东菏泽 一模）设 x, y均为非零实数，且满足
xcos π ysin π
= tan ，则
- 20
5 5
y
= .
x
【答案】1
tan π y+
5 x tan 9π y【分析】先将原式化简得到 y π = ，再令 = tanq ，1- tan 20 x
x 5
π 9π
即可得到 tan q + ÷ = tan ，从而求得结果.
è 5 20
tan π y+
5 x 9π
【详解】由题意可得，
1 y
= tan ，
- tan π 20
x 5
y tan
π
+ tanq
5 tan 9π令 = tanq ，则 = ，
x 1- tanq tan π 20
5
π 9π
即 tan q + 5 ÷
= tan ，
è 20
q π kπ 9π π所以 + = + ，即q = kπ + ,k Z
5 20 4
y
故 = tanq = tan

kπ
π
+ ÷ =1x è 4
故答案为:1
a , b π , π sin2asin
π + b
9 2024· · 2 ÷．（ 陕西安康 模拟预测）已知 ÷，且
è 2 1- cos2a = è
，则
1+ sinb
tana + tan b
2 = ．
1- tana tan b
2
【答案】1
【分析】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．
sin2asin π + b

÷ 1- cos2a cos b
【详解】由1- cos2a = è 2 得
=
sin 2a 1+ sin b ，
1+ sinb
2sin2 a cos
2 b - sin2 b
= 2 2 ,
2sina cosa cos2 b + sin2 b + 2sin b cos b
2 2 2 2
sina cos
b - sin b 1- tan b tan π - tan b
所以 = 2 2b b ，即 tana =
2 = 4 2 π bb π = tan( - )cos ，a cos + sin 1+ tan 1+ tan tan b 4 2
2 2 2 4 2
又a , b
π π b b 5π
, π a = - + π2 ÷，所以 ，即
a + = ，
è 4 2 2 4
tana + tan b
所以 2 = tan(a
b
+ ) = tan 5π = 1．
1- tana tan b 2 4
2
故答案为：1.
四、解答题
2tanA a
10．（2024·河北保定·二模）已知VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, = .
tanA + tanB c
(1)求角 B ；
(2)若 a2 + b2 = 4c2，且VABC 的周长为5 + 7 ，求VABC 的面积.
π
【答案】(1) B = 3
(2) 3 3 .
2
【分析】（1）利用正弦定理边化角，切化弦后整理可得；
（2）根据余弦定理，联立已知条件解方程组可得 c = 2, a = 3，然后由面积公式可得.
2sinA
2tanA sin A cosA sinA
【详解】（1）由正弦定理边化角得 = ，所以 = ，
tanA + tanB sin C sinA sinB+ sinC
cosA cosB
2sin Asin C sin A sin Acos B + cos Asin B即 = × ，
cos A cos Acos B
整理得 2sinAsinCcosB = sinA sinAcosB + sinBcosA = sinAsin A + B = sinAsinC ，
因为0 < A < π,0 < C < π,sinA 0,sinC 0，所以 2cosB =1,cosB
1
= ，
2
又0 < B π< π ，所以 B = .3
（2）由正弦定理得b2 = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 - ac ，
又 a2 + b2 = 4c2，所以 2a2 - ac - 3c2 = 0，即 a + c 2a - 3c = 0，
a 3c ,b 4c2 a2 7所以 = = - = c，
2 2
所以 a + b + c 5 + 7= c = 5 + 7 ，所以 c = 2, a = 3，
2
所以VABC 1的面积 S = acsinB 3 3= .
2 2
11．（2021·贵州毕节·模拟预测）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
( 3c - a)sin A = csin C - bsin B .
（1）求角 B 的大小；
（2）求 cosC + sin B + 3 cos A的取值范围.
1 B p
3 ù
【答案】（ ） = 6 ；（
2） -0, .
è 2 ú
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求 cos B，进而求得 B.
（2）结合（1），利用两角和差角公式及辅助角公式进行化简，再利用正弦函数的性质即可
求解.
【详解】（1）由已知 ( 3c - a)sin A = csin C - bsin B
利用正弦定理得： 3ac - a2 = c2 - b2 ，即 a2 + c2 - b2 = 3ac
2 2 2
由余弦定理得： cos B a + c - b 3= =
2ac 2
又B 0,p p，\B =
6
p 5p
（2）由（1）知 B = ，故 A + C =6 6
\cosC + sin B + 3 cos A = cos 5p A 3 cos A 1 - ÷ + +
è 6 2
3 1
= - cos A + sin A + 3 cos A 1 1 1+ = + sin A 3+ cos A
2 2 2 2 2 2
= sin p 1 A + ÷ +
è 3 2
0 A 5p p A p 7p由 < < ，知 < + < ，
6 3 3 6
1
利用正弦函数性质知- < sin
A p+
2 3 ÷
1
è
3 ù
故原式的取值范围为 -0,
è 2 ú
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦
定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）代数变形或者三角恒等变换前置；
（4）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 A + B + C = p .
【综合提升练】
一、单选题
2
1．（23-24 高三下·山东·开学考试）若 tanq = 3tana ,sin(q +a ) = ，则 cos 2(q -a ) =（ ）
3
2 1 7 1
A． B9 ．- C． D．9 9 9
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解
即可.
【详解】由 tanq = 3tana
sinq 3sina
= sinq cosa = 3sina cosq ，
cosq cosa
由 sin(q
2
+a ) = sinq cosa + sina cosq 2= sina cosq 1= ,sinq cosa 1= ，
3 3 6 2
\sin(q -a ) = sinq cosa - sina cosq 1= ,\cos 2(q -a ) =1- 2sin2 (q -a ) 7= ．
3 9
故选：C
π 9 2
2 ．（ 2024· 重庆 · 模拟预测）若 a ， b 0， ÷且 cos a - b = ， sinasinb = ，则
è 2 13 13
sin 2a + 2b = （ ）
120 119 119 120
A． - B169 ．
- C． D169 169 ．169
【答案】D
【分析】根据两角和与差求解的余弦公式求解 cosa cos b ，进而求出 cos a + b ，求出
sin a + b ，利用二倍角求出 sin 2 a + b
a , b π 【详解】由 0， ÷，则0 < a + b < π ,
è 2
由 cos a - b 9= = cosa cos b + sina sin b，sina sin b 2= ，
13 13
所以 cosa cos b
7
= ，则 cos a + b = cosa cos b - sina sin b 5= ，
13 13
12
则 sin a + b = ，
13
故 sin 2a + 2b = 2sin a + b cos a b 2 5 12 120+ = = .
13 13 169
故选：D
3．（2023·江西赣州·模拟预测） cos50°cos 70° + cos 40°cos160° =（ ）
A 3
1
． - B 3 C 1． ．- D．
2 2 2 2
【答案】C
【分析】利用诱导公式和余弦两角和公式求解即可.
【详解】 cos50°cos 70° + cos 40°cos160°
= cos50°cos 70° + cos 90° - 50° cos 90° + 70°
= cos50°cos 70° - sin 50°sin 70°
= cos 50 1° + 70° = cos120° = - .
2
故选：C.
π π
4．（2024·江苏南通·三模）已知 cos -q ÷ = 3cos q + ÷，则 sin2q = （ ）
è 4 è 4
3 4 3 4
A． B． C．- D．-
5 5 5 5
【答案】B
【分析】展开同平方并结合二倍角的正弦公式即可得到关于 sin2q 的方程，解出即可.
2
【详解】展开得 (cosq + sinq ) 3 2= × (cosq - sinq ) ，
2 2
1
两边同平方有 (cosq + sinq )2
9
= (cosq - sinq )2 ，
2 2
1 (1 sin 2q ) 9 4即 + = (1- sin 2q )，解得 sin2q = ，
2 2 5
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）已知a ，b ，g 满足a - b -g = π，且 sina = 2cos b cosg ，
tan b tan g = -3，则 tana 的值为（ ）
1
A．－2 B．- C 1． 2 D．22
【答案】B
【分析】根据题意切化弦结合三角恒等变换可得-cosa = 4cos b cosg ，结合
sina = 2cos b cosg 运算求解即可.
sin b sin g
【详解】由 tan b tan g = -3，即 = -3，可得 sin b sin g = -3cos b cosgcos b cosg ，
则 cos b cosg - sin b sin g = 4cos b cosg ，
可得 cos b + g = 4cos b cosg ，
因为a - b -g = π，即 b + g = a - π ，
可得 cos b + g = cos a - π = -cosa = 4cos b cosg ，
sina = 2cos b cosg sina 1又因为 ，即 = - cosa
1
，所以 tana = - 2 ．2
故选：B．
π 2 sin 2b6．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知a ， b 0, ÷， 2 sin b + sin b = ，则
è 2 tana
tan π 2a + b +

6 ÷
=（ ）
è
A 3 B 3 C 3．- ．- ． D． 3
3 3
【答案】A
2sin b cos b cosa
【分析】由题意得 2sin b sin b +1 = ，进一步
sina
cos π -a ÷ = sina = cosa cos b - sina sin b = cos a + b ，根据余弦函数单调性得 2a b
π
+ = ，
è 2 2
由此即可得解.
2 sin b sin2 b sin 2b 2sin b cos b cosa【详解】因为 + = ，所以 2sin b sin b +1 = ，tana sina
因为 sin b 0，所以 sina + sina sin b = cosa cos b ，
cos π 从而 -a ÷ = sina = cosa cos b - sina sin b = cos a + b ，
è 2
π
注意到 -a ,a + b 0, π ，而 y = cos x在 0, π 上单调递减，
2
π
-a = a + b 2a b π从而 ，即 + = ，
2 2
π 2π
所以 tan 2a + b +

÷ = tan = - 3 .
è 6 3
故选：A.
7．（2024·河北沧州·一模）已知角a 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
且终边上一点的坐标为 (-2,-1)，则 5 cos
7π
+ 3a

÷ + sin(π - 2a ) =（2 ）è
A 7 5
7 2
． B．- C 2 5． D．-
5 5 25 25
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求出 sina ， cosa ，再由二倍角公式及两角和的正弦公式求出
cos 2a ， sin 2a ， sin 3a ，最后由诱导公式计算可得.
【详解】因为角a 终边上一点的坐标为 (-2,-1)，
所以 sina =
-1 = - 5 cosa = -2， = -
2 5
(-2)2 +(-1)2 5 (-2)2
，
+(-1)2 5
2
所以 cos 2a = 2cos2 a -1= 2 -
2 5 ÷÷ 3 è 5 ÷
-1= ，
÷ 5

sin 2a 2sina cosa 2 5 2 5
4
= = - - = ，
è 5 ÷
÷ 5 ÷÷ è 5
所以 sin 3a = sin 2a +a = sin 2a cosa + cos 2a sina
4 2 5 3 5 11 5
= - ÷÷ + 5 5 5
-
5 ÷÷
= - ，
è è 25
所以 5 cos
7π
+ 3a ÷ + sin(π - 2a )
è 2
= 5 sin 3a + sin 2a
11 5 4 7
= 5 - 25 ÷÷
+ = - .
è 5 5
故选：B
π 5π 3 π
8．（2023·全国· 模拟预测）已知 sin a + ÷cos a + ÷ = - ，则 cos 2a + ÷ = （ ）
è 4 è 12 4 è 6
A 1 3． - B 1 3 C 1 3 1 3． + ． + D． -
2 2 2 2 2 2
【答案】D
π 5π 3
【分析】应用诱导公式及已知有 cos a - ÷cos4
a +
12 ÷
= - ，再由
è è 4
a 5π+ ÷ - a
π 2π
- ÷ = 及差角余弦公式得 sin
5π π 3 1
è 12 è 4 3
a + ÷sin a - ÷ = - ，最后由和角正
è 12 è 4 4 2
cos 2a π cos é a 5π+ = + + π ù弦公式有 a - ，即可求结果.
è 6 ÷ ê 12 ÷ 4 ÷ è è ú
sin π 【详解】因为 a + ÷ = cos
é π π ù
ê -
a + = cos p -a = cos p ÷ú ÷ a -

4 4 ÷ ，结合题设，è 4 2 è 4 è è
cos a π- cos 5π 3 a
5π a π 2π所以 ÷ a + ÷ = - ，而 + - - = ，
è 4 è 12 4 è 12
÷
è 4 ÷ 3
cos 2π所以 = cos
é a 5π a π ù 5π πê + ÷ - -
= cos a + cos ÷ú ÷ a - ÷ + sin a
5π
+ sin π
3 12 4 12 4 12 ÷
a -
4 ÷
，
è è è è è è
1 3 5π π 5π π 3 1
即- = - + sin a + sin a - ÷ ÷，所以 sin a + ÷sin2 4 12 4
a - ÷ = - ，
è è è 12 è 4 4 2
π
所以 cos 2a + ÷ = cos
é a 5π+ a π ù+ - = cos 5π
6 ê 12 ÷ 4 ÷ú
a + ÷
è è è è 12
cos a π sin a 5π sin a π 3
3 1 1 3
- ÷ - +

4 12 ÷
- ÷ = - - - ÷ = - .
è è è 4 4 ÷è 4 2 2 2
故选：D
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若0 < a < b
π
< ，且 cosacosb
1
= , tana tanb 2= ，则（ ）
2 2 3
A． cos a 1+ b = B sin a b 11．6 - = 6
5 π
C． cos2a = D． b >
36 4
【答案】AD
1
【分析】根据条件求出 sina sin b = 3 ，由两角和余弦公式判断 A，由两角差的余弦公式及同
角三角函数基本关系判断 B，再根据角的变换及两角和的余弦公式求出 cos 2a 判断 C，由
cosacosb 1= 及余弦函数的单调性判断 D.
2
【详解】因为
tana tanb sina sin b 2= = ， cosacosb
1
=
cosa cos b 3 ，2
所以 sina sin b = 13 ，
cos a b cosa cos b sina sin b 1 1 1所以 + = - = - = ，故 A 正确；
2 3 6
所以 cos a - b = cosa cos b + sina sin b 1 1 5= + = ，
2 3 6
又因为0 < a < b
π π
< ，所以- < a - b < 0，
2 2
sin a b 1 cos2 a b 1 25 11所以 - = - - - = - - = - ，故 B 错误；
36 6
因为0 < a < b
π
< ，所以0 < a + b < π ，
2
所以 sin a + b = 1- cos2 a + b = 1 1 35- = ，
36 6
cos2a = cos(a + b +a - b ) = cos a + b cos a - b - sin a + b sin a - b
1 5 35 11 5 + 385
= - - ÷÷ = ，故 C 错误；6 6 6 è 6 36
0 π因为 < a < b < ，所以 cosa > cos b ，而 cosacosb
1
= ，
2 2
所以 cos2 b
1 π
< é ù
π
，即0 < cos b 2< = cos π ，由 y = cos x在 ê0, 2 ú 单调递减知， b > ，故 D2 2 4 4
正确.
故选：AD
π
10．（2023·河南·模拟预测）已知0 < a < b < ，且 sina + cosa = 2sin b ， sin b + cos b = t cosa ，
2
t R ，则（ ）
π π
A．b 的取值范围为 , B．存在a ，b ，使得 t = 2
è 6 4 ÷
3 +1
C．当 t
3
= 时， tan b
3
= D．t 的取值范围为
2 4
, 2÷÷
è 2
【答案】AD
【分析】由 2sin b = sina + cosa = 2 sin
a π+ 1, 2 ù
è 4 ÷


可得b 范围，从而判断 A，由正弦、
余弦函数性质求得 t < 2判断 B，利用 sin2 a + cos2 a =1消去a 后可求得 tan b 判断 C，由上面
t sin b + cos b推导得出 = 随b 的增大而增大，从而可得 t 的范围，判断 D．
cosa
ù
【详解】因为 2sin b = sina + cosa = 2 sin

a
π
+ ÷ 1, 2 ù ，所以 sin b 1 , 2 ，即
è 4
ú
è 2 2
b π , π ù π π ú ，若 b = ，则a = ，又a < b ，所以a = b
π
= 不能同时成立，所以
è 6 4 4 4 4
b π π , ÷ ，故 A 正确；
è 6 4
π
由 A 可知0 < a < b < ，所以 sin b + cos b = t cosa > t cos b ，又 sin b + cos b < 2cos b ，所以
4
t cos b < 2cos b ，所以 t < 2，故 B 错误；
ì sina + cosa = 2sinb , ìsina
4 2
= sinb - cosb ,3 t = 3 3当 时， í 3 整理，得 í 所以2

sinb + cosb = cosa ,
2 cosa
2 sinb 2= + cosb ,
3 3
2 2
sin2 a + cos2 a 4= sin b
2
- cos b 2÷ + sin b
2
+ cos b 2 2
3 3 3 3 ÷
=1，又 sin b + cos b =1，对上式
è è
整理得12sin2 b -8sin b cos b =1 = sin2 b + cos2 b ，所以11tan2 b -8 tan b -1 = 0，解得
tan b 4 + 3 3 3= （舍去负根），故 C 错误；
11 4
因为 sina + cosa = 2 sin
π
a + ÷ = 2sin b ，且 0 < a < b
π
< ，所以a 随着 b 的增大而增大，
è 4 4
2 sin b π+
所以 sin b + cos b è 4 ÷ 随着b 的增大而增大，又 b
π π
t
,
6 4 ÷ ，所以= = è
cosa cosa
π π
sin π cos π sin + cos+
t > 6 6 3 +1， t <
4 4
π = 2= ，即 D 正确．
cos 0 2 cos 4
故选：AD．
π
11．（2023·全国·模拟预测）已知a , b ,g 0, ÷， sina + sin g = sin b ， cos b + cosg = cosa ，
è 2
则下列说法正确的是（ ）
A． cos a 1+ g = B． cos b 1 π π+ g = - C． b -a = D． b -a = -
2 2 3 3
【答案】ABC
【分析】由两角和差的三角函数公式、平方关系结合已知运算即可.
【详解】由已知，得 sin g + sina = sin b ， cosa - cosg = cos b ，
两式分别平方相加，得 sin g + sina 2 + cosa - cosg 2 =1，
sin2 g + sin2 a + 2sin g sina + cos2 a + cos2 g - 2cosa cosg =1，
整理得 2 sin g sina - cosa cosg = -1，∴ cos a + g 1= ，∴A 正确；
2
同理由 sin b - sin g = sina ， cos b + cosg = cosa ，两式分别平方相加，易得
cos b + g 1= - ，∴B 正确；
2
由 sin b - sina = sin g ， cosa - cos b = cosg
1
，两式分别平方相加，易得 cos b -a = ．
2
∵a , b ,g 0,
π
÷，∴ sin g = sin b - sina > 0，∴ b > a ，
è 2
b a π∴ - = ，∴C 正确，D 错误.
3
故选：ABC．
三、填空题
12．（2024·江西鹰潭·二模）已知 cos
a π 3 π π+ = a 0, 4 ÷ ，且5 4 ÷
，则 cos -a2 ÷
= .
è è è
2 1
【答案】 / 2
10 10
π 4
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得 sin a + ÷ = ，即可得到
è 4 5
cos π -a

÷ = sina sin
é
= ê a
π π ù
+ ÷ - ú ，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果.è 2 è 4 4
a 0, π a π+ π , π π 3【详解】因为 ，所以4 ÷ 4 ÷
，又 cos a + ÷ = ，
è è 4 2 è 4 5
sin a π 所以 + = 1- cos
2 π 4
4 ÷
a + ÷ = ，
è è 4 5
cos π 所以 -a ÷ = sina = sin
é π π ù
2
a + ÷ -
è ê è 4 4
ú

= sin π π a + 4 ÷
cosa - cos a + ÷sina
è è 4
4 2 3 2 2
= - = .
5 2 5 2 10
2
故答案为：
10
4 12 π
13．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知 sina = ， cos a + b = - ，且a 0, ，
5 13 2 ֏
a + b π , π ÷ ，则 cos b = ．
è 2
16
【答案】-
65
【分析】根据 b = a + b -a ，结合同角三角关系和两角和差公式运算求解.
sina = 4 cos a b 12 a 0, π π【详解】因为 ， + = - ，且 ，a + b , π ，
5 13 2 ÷ 2 ÷è è
则 cosa
3
= 1- sin2 a = ， sin a + b = 1- cos2 a 5+ b = ，
5 13
可得 cos b = cos é a + b -a ù = cos a + b cosa + sin a + b sina
12 3 5 4 16= - ÷ + = - ，
è 13 5 13 5 65
即 cos b
16
= - .
65
16
故答案为：- .
65
14．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知 tana ， tan b 是方程 x2 + 5x - 3 = 0的两个根，则
cos2 a + b
2 = ．sin a - b
16
【答案】 37
【分析】利用韦达定理可得 tana + tan b = -5， tana tan b = -3，再利用两角和差公式和三角
函数的商数关系求解即可.
【详解】因为 tana ， tan b 是方程 x2 + 5x - 3 = 0的两个根，
所以 tana + tan b = -5， tana tan b = -3，则 cosa cos b 0 ，
cos2 a + b 2 2 cosa cos b - sina sin b 1- tana tan b
所以 2 = = =sin a - b è sina cos b - cosa sin b ÷ è tana - tan b ÷
16 16
=
tana + tan b 2 - 4 tana tan b 37 ．
16
故答案为： 37
四、解答题
a é π15．（2023·全国·模拟预测）已知 ê ,
π ù 3
，且 cos 4a = .
4 2 ú 5
(1)求 sin 2a 和 cos 2a 的值；
b é π ù 1(2)若 ê-π, - ，且 tan(a - b ) = ，求a + b 的值. 2 ú 3
【答案】(1) sin 2a 5= , cos 2a 2 5= -
5 5
π
(2) -
4
π
【分析】（1）根据 a
π 3π
及 cos 4a > 0得到 < 2a π，根据半角公式求出 cos 2a ，结合
4 2 4
同角三角函数关系得到 sin 2a ；
3π
（2）先求出 π < a - b < ，从而求出 sin(a - b ),cos(a - b )，利用凑角法求出 cos(a + b )的
2
值，得到答案.
π
【详解】（1）因为 a
π
，所以 π 4a 2π .
4 2
3π 3π
又 cos 4a > 0，所以 < 4a 2π，故 < 2a π .
2 4
因为 cos 4a =1- 2sin2 2a ，
所以 sin 2a 1- cos 4a 5= = ，
2 5
则cos2a 2 5= - 1- sin2 2a = - .
5
3π 3π
（2）由已知条件，得 a - b .
4 2
又 tan(a - b ) > 0 π a b
3π
，所以 < - < .
2
由 tan(a - b )
1
= ，得
3 sin(a - b )
10 3 10
= - , cos(a - b ) = - .
10 10
所以cos(a + b ) = cos[2a - (a - b )] = cos2a cos(a - b ) + sin 2a sin(a - b )
2 5 3 10 5 10
= - ÷÷ - ÷ +
2
5 10 ÷ 5
- ÷÷ = .
è è è 10 2
a π é , π ù b é-π, π- ù 3π a b 0 a b π因为 ê ú ， ê ú ，所以- + ，所以 + = - . 4 2 2 4 4
16．（2024·云南昆明·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且
b = 2 ， a2 = c -1 2 + 3 .
(1)求A ；
(2)若 a = 4sin Asin B ，求 cosC 的值.
π
【答案】(1)
3
(2) 6 - 2
4
2
【分析】（1）直接用条件b = 2 将等式 a2 = c -1 + 3齐次化，再比较余弦定理即可得出结果；
2 π
（2）使用正弦定理得到 sin B = ，再进一步确定B = ，然后用余弦和公式即可.
2 4
2
【详解】（1）由已知条件b = 2 和 a2 = c -1 + 3有 a2 = c -1 2 + 3 = c2 - 2c + 22 = c2 - bc + b2 .
2 2 2 2 2 2 2
所以由余弦定理可得 cos A b + c - a b + c - c + bc - b bc 1= = = = ，因为 A 0, π ，
2bc 2bc 2bc 2
π
从而 A = .3
（2）若 a = 4sin Asin B ，则结合正弦定理得 4sin B
a b 2
= = = .
sin A sin B sin B
所以 sin2 B
1 π 3π
= ，从而 sin B 2= ，这得到B = 或B = .
2 2 4 4
而B = π - A - C
2π π
< π - A = ，故B = .
3 4
所以 cosC = cos π - A - B = -cos A + B
= sin Asin B - cos Acos B
π
= sin sin π - cos π cos π 3 2 1 2 6 - 2= × - × = .
3 4 3 4 2 2 2 2 4
17．（2024·天津·二模）在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c．已知 a = 3b，
π
c = 7 ，C = ．3
(1)求b 的值；
(2)求 sin B 的值；
(3)求 sin A - B 的值．
【答案】(1) b =1
(2) sin B 21=
14
(3) 4 3
7
【分析】（1）由余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理求解即可；
（3）在VABC 中，先由 sin B 求出 cos B，进而求出 sin 2B ， cos 2B，然后用两角差的正弦公
式求解即可.
【详解】（1）由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2abcosC
7 = 9b2 + b2 1- 2 3b2 ，
2
所以b =1．
b c 1 7=
（2）由正弦定理得 = ，即
sin B sin C sin B sin π
，
3
解得 sin B 21=
14
（3）在V
π 2πABC 中，C = ，所以 A - B = - 2B
3 3
因为 a > b，所以 B 为锐角， cos B = 1- sin2 B 5 7=
14
sin 2B 2sin B cos B 2 21 5 7 5 3= = =
14 14 14
cos 2B = 2cos2 B 11-1 =
14
sin A B sin 2π 3所以， - = - 2B ÷ = cos 2B
1
+ sin 2B 4 3=
è 3 2 2 7
18．（2024·天津南开·一模）已知VABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
b = 3，c =1，a = 6cos B .
(1)求 a 的值：
(2)求证： A = 2B；
(3) cos 2 B
π
-
12 ÷
的值
è
【答案】(1) 2 3
(2)证明见解析
(3) 2 2 - 3
6
【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解；
（2）由 a = 6cos B 可得 a = 2bcos B，利用正弦定理结合0 < A < π ，得证；
（3）由（1）可求得cos B,sin B ，根据二倍角公式求得 sin 2B, cos 2B ，再利用两角差的余弦
公式求得结果；或由余弦定理求得 cos A,sin A，结合 A = 2B，利用两角差的余弦公式运算得
解.
a2 + c2 - b2
【详解】（1）由 a = 6cos B 及余弦定理，得 a = 6 × ，
2ac
因为b = 3，c =1，所以 a2 =12，a = 2 3 .
（2）由 a = 6cos B 及b = 3，得 a = 2bcos B，
由正弦定理得 sin A = 2sin B cos B = sin 2B ，
因为0 < A < π ，所以 A = 2B或 A + 2B = π .
若 A + 2B = π，则 B = C ，与题设矛盾，因此 A = 2B .
（3）由（Ⅰ）得 cos B a 2 3 3= = = ，因为0 < B < π ，
6 6 3
sin B 1 cos2 B 1 3 6所以 = - = - = ，
9 3
所以 sin 2B = 2sin B cos B 2 2= ，cos 2B = 2cos2 B -1 1= - ，
3 3
所以 cos 2

B
π
- ÷ = cos

2B
π
- ÷ = cos 2B cos
π π
+ sin 2B sin
è 12 è 6 6 6
1 3 2 2 1 2 2 - 3= - ÷ + = .
è 3 2 3 2 6
b2 + c2 - a2 1 1 2 2
另解：因为 cos A = = - ,sin A = 1- cos2 A = 1- = ，
2bc 3 9 3
所以 cos 2

B
π
- = cos 2B π- = cos Acos π + sin Asin π
è 12 ÷ ÷ è 6 6 6
1 3 2 2 1 2 2 - 3= - ÷ + = .
è 3 2 3 2 6
p p
19．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 f (x) = Asin(wx +j)

A > 0,w > 0, - < j <

÷的部分图
è 2 2
p
象如图所示，且D(0,-1),VABC 的面积等于 .
2
(1)求函数 y = f (x) 的单调递减区间；
p 4
(2) f a + 若 ÷ = - ，且a
p
é- , p ù f ê ú ，求 a
p
-
6 3 4 4 4 ÷
的值.
è è
é π
【答案】(1) êkπ + ,kπ
5π
+ ùú ， k Z 3 6
(2) 2 3 - 5
3
【分析】（1）根据图像求出 f x 的解析式，进而求出函数 y = f (x) 的单调递减区间；
b 2a p é p 2p ù p 4（2）令 = +
2
6 ê
- , ú，由 f a + ÷ = -3 3 6 3 求出
sin b = - ，
3 cos b
5
= ，由此可
è 3
求 f
a p- 4 ÷
的值.
è
【详解】（1）由题意可得 A = 2，
S 1VABC = | BC |
1
×yA = | BC | ×2
p
= ，
2 2 2
T 2p
所以 = =| BC |
p
= ，即w = 2 .
2 2w 2
所以 f (x) = 2sin(2x +j) ，图像过点 D(0,-1)，
则 f (x) = 2sinj = -1，
p j p j p又因为- < < ，所以 = - ，
2 2 6
所以 f (x) = 2sin
2x p- ÷，
è 6
由 2kp
p p
+ 2x - 2kp 3p p 5p+ 可得： kp + x kp +
2 6 2 3 6
所以函数 y = f (x) é
π
的单调减区间为 êkπ + , kπ
5π
+ ùú ， k Z . 3 6
f a p 4 p p 4（2）由 + ÷ = -

可得 f a + ÷ = 2sin

2a +

÷ = - ，
è 6 3 è 6 è 6 3
所以 sin

2a
p
+
2
÷ = - ，
è 6 3
b 2a p= + é p 2p令 - , ù6 ， ê 3 3 ú
2a b p 2则 = - 5， sin b = - ，cos b = ，6 3 3
f a
p 2p 5p 2 3 - 5- ÷ = 2sin 2a - ÷ = 2sin b -

÷ = - 3sin b - cos b =
è 4 è 3 è 6 3 .
【拓展冲刺练】
一、单选题
sin π a sina 1 sin 2a π1．（2024·河南·二模）已知 - ÷ + = ，则 +

÷ =（3 3 6 ）è è
7 7 8 8
A． B．- C． D．-
9 9 9 9
【答案】B
【分析】由两角和与差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，结合拆角计算即可.
π
【详解】由 sin -a ÷ + sina
1
= 3 cosa 1，可得3 3 - sina + sina
1
= ，
è 2 2 3
1 3 1 sin a π 1即 sina + cosa = ，可得 + ÷ = ，
2 2 3 è 3 3
sin 2a π sin é2 a π π ù cos2 a π 2sin2 a π 1 7所以 + ÷ = ê + ÷ - = - + ÷ = + - = - .è 6 è 3
÷
2 ú è 3 è 3 9
故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）已知0 < b a
π ,cos a b 15< < - = ,sinb 3= ，则 cosa =（ ）
2 17 5
84 36 13 77
A． B． C． D．
85 85 85 85
【答案】B
【分析】将所求角通过拆角、变角，利用两角和的余弦公式求解即可.
0 π π π【详解】 < b < a < ，所以- < -b < 0，0 < a - b < ，
2 2 2
因为 sin b
3 2 4= ，所以 cosb = 1- sin b = ，
5 5
因为 cos a - b 15= ，所以 sin a - b 1 cos2 a b 8= - - = ，
17 17
\cosa = cos 15 4 8 3 36 é a - b + b ù = cos a - b cos b - sin a - b sin b = - = ，17 5 17 5 85
故选：B．
π
3．（2024·全国·模拟预测）已知 cos a - ÷ - 3 sina
4
= - ，则 sin
2a π+ =（ ）
è 3 5 è 6 ÷

7 24 7 24A． B． C．- D．-
25 25 25 25
【答案】C
【分析】对条件进行展开化简可得 cos
π 4
a +

÷ = - ，继而 sin

2a
π
+ ÷ = -cos

2a
2π
+ ÷，
è 3 5 è 6 è 3
π 4
再利用二倍角公式计算即可；也可把条件化简可得 sin a - 6 ÷
= ，继而
è 5
sin 2a
π
+
π
÷ = cos 2

a - ÷ ，再利用二倍角公式计算即可.
è 6 è 6
【详解】解法一
由题意得:
cos a
π
- ÷ - 3 sina
1
= cosa 3+ sina - 3 sina
è 3 2 2
1 3
= cosa - sina = cos a π+ 4
2 2 3 ÷
= -
è 5
所以 sin

2a
π
+ ÷ = sin

2a
2π π
+ - ÷
è 6 è 3 2
cos 2a 2π é π= - + = - 2cos2 a + ù 7 ÷ ê ÷ -1 = - ；è 3 è 3
ú
25
解法二
由题意得:
cos π 1 3 a -

÷ - 3 sina = cosa + sina - 3 sina
è 3 2 2
1 cosa 3 sina sin a π 4= - = - - ÷ = - ,2 2 è 6 5
所以 sin
π 4
a - ÷ = ，
è 6 5
则 sin

2a
π
+
é π π ù
÷ = sin 2

ê a -
+
è 6 ÷ ú è 6 2
cos 2 a π 1 2sin2 a π 7= - ÷ = - - ÷ = -
è 6 è 6 25
故选：C．
sin a π+ 4 4．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知 ÷ = ，a 0,
π cos π，则 +a
= （ ）
è 12 5 è 2 ÷ è 3 ÷

3
A 2 2 2．- B．- C．- D．-
10 5 4 4
【答案】A
cos π 【分析】先根据平方关系求出 a + ÷，再根据 cos
π a cos é π+ = a + π ù ÷ ê ÷ +è 12 è 3 è 12 4 ú
结合两角

和的余弦公式即可得解.
a 0, π a π π , 7π【详解】因为 ÷ ，所以 +

2 12 12 12 ÷
，
è è
sin a π 4 3
π π π
因为 + ÷ = < ，所以a + , ÷，
è 12 5 2 12 è12 3
所以 cos

a
π
+
3
= ，
è 12 ÷ 5
cos π +a = cos é a π+ π ù+ = cos a π+ π则 ÷ ê ÷ ú ÷cos - sin
a π π+ sin
è 3 ÷ è 12 4 è 12 4 è 12 4
3 2 4 2 2
= - = - .
5 2 5 2 10
故选：A.
二、多选题
5．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为 2 的有（ ）
1 1 3
A． tan15° + tan 60° B．
2
-
è cos80° sin80
÷
° ÷
C． (1+ tan18°)(1+ tan 27°) D． 4sin18°sin54°
【答案】ABC
【分析】利用和角公式可求值验证 A 项，运用辅助角公式和诱导公式可得 B 项，运用两角
和的正切公式可以验证 C 项，利用倍角公式和诱导公式可以判定 D 项.
1 3-
°
【详解】对于选项 A， tan15 + tan 60° = tan (45° - 30° ) + 3 = 3 + 3 = 2 - 3 + 3 = 2，
1 3+
3
故 A 项正确；
对于选项 B，
1 1 3
° °
1 sin80° - 3 cos80° 2sin 80 - 60 2sin 20°
- = × = = = 2，故 B 项正
2 cos80° sin80° ÷÷ °è 2 sin80 cos80
° sin160° sin 180° - 20°
确；
对于选项 C， 1+ tan18° 1+ tan 27° =1+ tan18° + tan 27° + tan18° tan 27°
=1+ tan18° tan 27° + tan 18° + 27° 1- tan18° tan 27° = 2，故 C 项正确；
对于选项 D，
° °
4sin18° sin 54° 4sin 90° 72° sin 90° 36° 4cos 72° cos36° 4cos 72 cos36 sin 36
°
= - - = =
sin 36°
° °
2cos 72° sin 72° sin144° sin 180 - 36 sin 36°
= = = = ，故 D 项错误．
sin 36° sin 36° sin 36° sin 36°
=1
故选：ABC．
6．（2024·全国·模拟预测）已知角a 的终边过点P 1, -2 ，则（ ）
sina - cosa
A． = -1 B． 2
2sin cos sin a - 3sinacosa = 2a + a
cos2a 3= tan
π 1
C． D． a + ÷ = -5 è 4 3
【答案】BD
【分析】先根据三角函数的定义求出a 的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式和两角和的
正切公式逐一计算即可.
【详解】因为角a 的终边过点P 1, -2 ，所以 r = OP = 5 ，
sina 2 5所以 = - ， cosa 5= ， tana = -2，
5 5
sina - cosa tana -1 -2 -1
对于 A， = = =12sina + cosa 2tana +1 2 -2 +1 ，故 A 错误；
2

对于 B， sin2a - 3sinacosa 2 5 3 2 5 5= - ÷÷ - -5 5 ÷÷
= 2，故 B 正确；
è è 5
2
2 5 对于 C， cos2a = 2cos a 1
3
- = 2 ÷÷ -1 = - ，故 C 错误；
è 5 5
π tana + tan
π
对于 D， tan a
-2 +1 1
+
4
÷ = = = - ，故 D 正确．
è 4 1- tana tan π 1- -2 1 3
4
故选：BD．
三、填空题
1 sinx sinx
7．（2024·河北承德·二模）已知 tanx = ，则 + = .
3 cos3xcos2x cos2xcosx
10 11【答案】 /
9 9
sinx sinx
【分析】利用三角恒等变换化简算式得 + = tan3x - tanx，已知
cos3xcos2x cos2xcosx
tanx 1= ，由正切的倍角公式求出 tan3x 即可求得结果.
3
sinx sin 3x - 2x sin3xcos2x - cos3xsin2x
【详解】 = = = tan3x - tan2x，
cos3xcos2x cos3xcos2x cos3xcos2x
sinx sin 2x - x sin2xcosx - cos2xsinx
= = = tan2x - tanx ，
cos2xcosx cos2xcosx cos2xcosx
sinx sinx
所以 + = tan3x - tanx，
cos3xcos2x cos2xcosx
2tanx
tan3x tan 2x x tan2x + tanx
+ tanx 3
= + = = 1- tan
2x 3tanx - tan x 13
而 1- tan2xtanx 2tan2
=
x 1- 3tan2
= ，
1- x 9
1- tan2x
13 1 10
因此原式= - = .
9 3 9
10
故答案为： .9
π 3 5
8．（2023·湖南岳阳·一模）已知 sin -a2 ÷
= ， cos b = ，a ，b 均为锐角，则
è 5 13
cos a + b = .
33
【答案】-
65
【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式求解.
【详解】因为 sin
π -a ÷ = cosa
3
= ， cos b
5
= ，且a ，b 均为锐角，
è 2 5 13
所以 sina = 1- cos2 a
4
= ， sin b = 1 cos2 b
12
- = ，
5 13
所以 cos a + b = cosa cos b - sina sin b 3 5 4 12 33= - = - .
5 13 5 13 65
33
故答案为：-
65
四、解答题
9．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
cos2Bcos2C +1- 2cos2 A = sin2Bsin2C ．
2
(1)求A 的值；
(2)若VABC 的面积为3 3,a = 2 13, D 为边BC 的中点，求 AD 的长．
2π
【答案】(1)
3
(2) 7
【分析】（1）由两角和的余弦公式、二倍角余弦及诱导公式化简可得结果，
（2）根据三角形面积公式、余弦定理及平面向量的模进行计算可得结果.
【详解】（1）因为 cos2Bcos2C +1 = 2cos2
A
+ sin2Bsin2C 2 A，所以 cos 2B + 2C = 2cos -1，
2 2
所以 cos 2π - 2A = cosA，所以 2cos2 A -1 = cosA，
所以 cosA
1
= - 或 cosA =1 2π（舍去）．因为 A 0, π ，所以 A = ．
2 3
1 2π
（2）因为VABC 的面积为3 3，所以 bcsin = 3 3 ，所以bc =12 ．2 3
因为 a = 2 13 2 2，所以b + c - 2bccos
2π
= 52，即b2 + c2 + bc = 52，
3
uuur 1 uuur uuur所以b2 + c2 = 40．因为D是BC 的中点，所以 AD = AB + AC ，2
uuur 2
AD 1= b2 + c2 + 2bccosA 1= b2 + c2 uuur所以 - bc = 7，所以 AD = 7 ，4 4
故 AD 的长为 7 .
10．（2024 高三上·全国·竞赛）设O为坐标原点，A 为抛物线 y2 = 4x上异于O的一点，
B -1,4 ，C -4,0 ．
(1)求 AB 的最小值；
(2)求 tan ACB 的取值范围；
(3)证明： ACB ACO ．
【答案】(1) 2 2
é1 , 4 4 11ù(2) ÷ U ,
ê 2 3 è 3 2 ú
(3)证明见解析
【分析】（1 A 4t 2）根据抛物线方程设点 , 4t ，计算 | AB |2 得到关于 t 的函数
f t =16t 4 + 24t 2 - 32t +17 ，通过求导得到该函数的最小值即得 AB 的最小值；
（2）结合图形表示出 tan OCB与 tan ACO，分两类情况分别将 tan ACB 表示成 tan ACO
的函数形式，根据 tan ACO 的范围分别求出 tan ACB 的范围即得；
1 1
（3）根据（2）的结论，可得 tan ACB ，而 tan ACO ，易得：
2 2
tan ACO tan ACB ，又0 < ACO < 90°，即得 ACO ACB .
2
【详解】（1）设 A 4t , 4t t 0 AB 2 2， ，则 = 4t 2 +1 + 4t - 4 2 =16t 4 + 24t 2 - 32t +17．
设 f t =16t 4 + 24t 2 - 32t +17 ， f t =16 4t3 + 3t - 2 =16 2t -1 2t 2 + t + 2 ．
1 2 15 1 1 1
因为 2t 2 + t + 2 = 2 t + ÷ + > 0，所以令 f t = 0得 t0 = t <2 ，当 时， f (t) < 0 ，当 t >è 4 8 2 2
时， f (t) > 0，
f t - , 1 1 1 则 在 2 ÷ 单调递减，在 ,+ ÷单调递增，故 f t 的最小值为 f ÷ = 8， AB 的è è 2 è 2
最小值为 2 2 ．
（2）
如图，分别过点 A, B作 x 轴的垂线 AH , BK ,垂足分别是H , K ,因为B -1,4 ，C -4,0 ，由题
BK
可知， tan OCB
4 4
= = =
CK -1 ，- (-4) 3
AH 4 t t
tan 1 1 ACO = = = = 0, ù
CH 4t 2 + 4 t 2 +1 1 t + è 2
ú ．
t
①当 t > 0时， ACB = OCB - ACO，则
tan ACB tan OCB - tan ACO 4 - 3tan ACO 3 25 = = = - + ．
1+ tan OCB × tan ACO 3 + 4tan ACO 4 16 tan ACO +12
1 4
该式是关于 tan ACO的减函数，所以 tan ACB < ；
2 3
②当 t < 0时， ACB = OCB + ACO，则
tan ACB 4 + 3tan ACO 3 25 = = - - ．
3- 4tan ACO 4 16 tan ACO -12
4 tan ACB 11该式是关于 tan ACO的增函数，所以 < ；
3 2
1 4 4 11
综上， tan ACB é ù的取值范围是 ê , 2 3 ÷
, ．
è 3 2 ú
1
（3）由（2）知， tan ACO tan ACB ，且0 < ACO < 90°，所以 ACO ACB ．
2
【点睛】关键点点睛：本题重点考查了直线与抛物线相交有关的距离最值、角的范围等问题，
属于较难题.解决距离、角的范围问题时的关键是将几何问题代数化处理，即通过解析式设
点坐标计算距离表达式，再求解函数的最值得到，将所求角的三角函数式用关于某自变量的
解析式表示，再根据自变量范围求出解析式函数的值域即得.
11．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是
在 RSA 加密算法中的应用．设 p，q 是两个正整数，若 p，q 的最大公约数是 1，则称 p，q
互素．对于任意正整数 n，欧拉函数是不超过 n 且与 n 互素的正整数的个数，记为j n ．
(1)试求j 3 ，j 9 ，j 7 ，j 21 的值；
(2)设 n 是一个正整数，p，q 是两个不同的素数．试求j 3n ，j pq 与 φ（p）和 φ（q）的
关系；
(3)RSA 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数 p，q；
②计算n = pq ，欧拉函数j n ；
③求正整数 k，使得 kq 除以j n 的余数是 1；
④其中 n,q 称为公钥， n,k 称为私钥．
已知计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是 (187,17)．若满足题意的正整数 k 从小
到大排列得到一列数记为数列 bn ，数列 cn 满足80cn = bn + 47，求数列 tan cn × tan cn+1 的
前 n 项和Tn ．
【答案】(1)j(3) = 2,j(9) = 6,j(7) = 6,j(21) =12；
(2)j 3n = 2 ×3n-1，j( pq) = j( p) ×j(q)；
tan(2n + 2)
(3) - n -1 .
tan 2
【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求值.
（2）利用欧拉函数的定义求出j(3n ),j( p),j(q)，进而分析计算j( pq) .
（3）根据给定信息求出bn ,cn ，再利用差角的正切公式，借助裂项求和法求解即得.
【详解】（1）由欧拉函数的定义知，不越过 3 且与 3 互素的正整数有 1，2，则j 3 = 2，
不越过 9 且与 9 互素的正整数有 1，2，4，5，7，8，则j 9 = 6，
不越过 7 且与 7 互素的正整数有 1，2，3，4，5，6，则j 7 = 6，
不越过 21 且与 21 互素的正整数有 1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则
j 21 =12，
所以j 3 = 2,j 9 = 6,j 7, = 6,j 21 =12 .
（2）在不大于3n 的正整数中，只有 3 的倍数不与3n 互素，而 3 的倍数有3n-1个，
j 3n = 3n - 3n-1 = 2 ×3n-1因此 .
由 p ，q是两个不同的素数，得j( p) = p -1,j(q) = q -1，
在不超过 pq -1的正整数中， p 的倍数有q-1个，q的倍数有 p -1个，
于是j( pq) = pq -1- ( p -1) - (q -1) = pq - p - q +1 = ( p -1)(q -1) ，
所以j( pq) = j( p) ×j(q) .
（3）计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是 (187,17)，则 n =187,q =17，从而
p = 11
由（2）得，j(n) = j(187) = j(11 17) = j(11)j(17) =10 16 =160，
即正整数 k 满足的条件为：17k =160x +1, x N ，
k 9x 1 (7x 1) y 1 (7x 1) 17y 7x 1, x 2y 1= + + ，令 = + ，则 = + = + (3y -1)，
17 17 7
1 1
令 z = (3y -1)，则7z = 3y -1, y = 2z + (z +1) ，
7 3
取 z = 3n -1，则 y = 7n - 2, x =17n - 5, k =160n - 47 ，于是bn =160n - 47，
因此80cn = bn + 47 =160n，即 cn = 2n，
tan cn × tan cn+1 = tan 2n × tan(2n 2)
tan(2n + 2) - tan 2n
+ = -1，
tan 2
Tn = tan c1 × tan c2 + tan c2 × tan c3 +L+ tan cn × tan cn+1
= tan 2 × tan 4 + tan 4 × tan 6 +L+ tan 2n × tan(2n + 2)
tan 4 - tan 2 + tan 6 - tan 4 +L+ tan(2n + 2) - tan 2n
= - n
tan 2
tan(2n + 2) - tan 2 n tan(2n + 2)= - = - n -1 .
tan 2 tan 2
【点睛】关键点睛：数列{tan 2n × tan(2n + 2)}求和，利用差角的正切变式
tana tan b tana - tan b= -1
tan(a - b ) 进行裂项是求解的关键.考点 24 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（3 种核心题型
+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.会推导两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
【知识点】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)公式 S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式 T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式 T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2．辅助角公式
b a
asin α＋bcos α＝ ，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ .
a2＋b2 a2＋b2
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan α＋tan β tan α－tan β
tan αtan β＝1－ ＝ －1.
tan α＋β tan α－β
【核心题型】
题型一　两角和与差的三角函数公式
　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α，β 的三角函数表示 α±β 的
三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一
角和角与角转换的目的．
【例题 1】（2024·河北石家庄·三模）已知角a , b 满足 tana
1
= , 2sinb = cos a + b sina ，则
3
tanb =（ ）
1 1 1
A． B． C． D．2
3 6 7
5 3
【变式 1】（2024·陕西铜川·二模）已知锐角a , b 满足 sina = ， cos b = ，则
5 5
cos a - b = .
【变式2】（2023·江西上饶·模拟预测）已知a 、b 均为锐角，且 sina = 2sin b ， 2cosa = cos b ，
则 sin a - b = .
【变式 3】（2024·河北保定·二模）在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c，已知
a cos B - bcos A = -a - c .
(1)求 B ；
(2)若 a = 2,b = 2 7, D为 AC 边的中点，求BD的长.
题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式
　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变
形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
cos55° + sin25°sin30°
【例题 2】（2024·陕西西安·一模） 等于（ ）
cos25 °
A 1 B 2 C 3． 2 ． ． D．12 2
tan80o - tan20o
【变式 1】（2023·广东·二模） 1 1 的值为
.
+
2cos20o
π
【变式 2】（2024·广东揭阳·二模）已知 sin2 a = sin 2a ，则 tana = ， tan(a + ) = .
4
AC AD
【变式 3】（2024·江苏·模拟预测）在VABC 中，点D在 AB 边上，且满足 = .
BC BD
(1)求证： ACD = BCD；
(2)若 tan A + tan B + 3 tan A tan B - 3 = 0 ，CD = 2，求VABC 的面积的最小值.
题型三　角的变换问题
α＋β α－β
常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝ － ＝
2 2
π π π
(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°； ＋α＝ － －α 等．
4 2 (4 )
π
【例题 3】（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若 tan a - ÷ = 2，则 sin2a = （ ）
è 4
3 3 4 4
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
【变式 1】（2024·江西景德镇·三模）函数 f x = coswx x R 在 0, π 内恰有两个对称中心，
f π =1，将函数 f x π 3的图象向右平移 个单位得到函数 g x 的图象.若 f a + g a = ，
3 5
cos 4a π+ 则 ÷ = （3 ）è
7 16 9 19A． B． C．- D．-
25 25 25 25
p 1
【变式 2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知 cos a - ÷ - sina = ，则
è 6 3
cos 2a π +

÷ = ．
è 3
π 1 π
【变式 3】（2024·湖南·模拟预测）已知 sin a - ÷ = ，则 cos - 2a ÷等于 .
è 6 5 è 3
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，锐角a 以O为顶点，Ox 为始边.将a
π
的终边绕O逆时针旋转 后与单位圆交于点P(x, y) ，若 cosa 2= ，则 y = （ ）4 10
4 - 3 3 4A．- B． C． D．
5 5 5 5
2．（2024·重庆·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
sin B sin C
π
- ÷ = cos B sin

C
π
+ ÷，b = 2 ，6 3 sin B
21
= ．则 a 的值为（ ）
è è 7
A 7 B 7 C 21． ． ． D．
3 212
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
终边经过点P
π π π
cos ,sin ，则 cos a - =（ ）
è 3 3 ÷ 6 ÷
è
A．0 B 1 2 3． 2 C． D．2 2
π
4．（2024·四川·模拟预测）已知a ，b ，g 0, ÷，若 sina + sin g = sin b ，
è 2
cos b + cosg = cosa ，则a - b =（ ）
π π
- π
π
A． B． C． - D6 ．3 3 6
二、多选题
5．（23-24 高三上·山西大同·期末）若0 < a b
π
< < ，且 cosa cos b
1
= ， tana tan b
2
= ，则
2 2 3
（ ）
A． cos a 5+ b = B．
6 sin a - b
11
= -
6
C． cos 2a
5 π
= D． b <
36 3
f x = cos π π6．（23-24 高三上·广东揭阳·期中）已知函数 2x +
+ 3sin 2x + ÷ ÷ +1，则下列
è 3 è 3
判断正确的是（ ）
A． f x π 的最小正周期为 π B． f x 的图象关于点 - ,04 ÷ 对称è
C． f x 的值域为 -1,3 D． f x π的图象关于直线 x = 2 对称
三、填空题
π
7．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若 tana = 5，则 tan 2a -

÷ = ．
è 4
xsin π + ycos π
8．（2023·山东菏泽·一模）设 x, y 5 5
9π
均为非零实数，且满足
xcos π ysin π
= tan ，则
- 20
5 5
y
= .
x
π sin2asin
π + b
9．（2024· ÷陕西安康·模拟预测）已知a , b , π2 ÷，且 è 2 ，则è 1- cos2a = 1+ sinb
tana + tan b
2
b = ．1- tana tan
2
四、解答题
2tanA a
10．（2024·河北保定·二模）已知VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, = .
tanA + tanB c
(1)求角 B ；
(2)若 a2 + b2 = 4c2，且VABC 的周长为5 + 7 ，求VABC 的面积.
11．（2021·贵州毕节·模拟预测）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
( 3c - a)sin A = csin C - bsin B .
（1）求角 B 的大小；
（2）求 cosC + sin B + 3 cos A的取值范围.
【综合提升练】
一、单选题
tanq 3tana ,sin(q a ) 21．（23-24 高三下·山东·开学考试）若 = + = ，则 cos 2(q -a ) =（ ）
3
2 1 7 1
A． B．- C． D9 ．9 9 9
π 9 2
2 ．（ 2024· 重庆 · 模拟预测）若 a ， b 0， ÷且 cos a - b = ， sinasinb = ，则
è 2 13 13
sin 2a + 2b = （ ）
120 119 119 120
A． - B． - C D169 169 ．169 ．169
3．（2023·江西赣州·模拟预测） cos50°cos 70° + cos 40°cos160° =（ ）
A 3 B 3 1． - ． C．- D 1．
2 2 2 2
π
4．（2024·江苏南通·三模）已知 cos -q ÷ = 3cos
π
q + ÷，则 sin2q = （ ）
è 4 è 4
3 4 3 4
A． B． C．- D．-
5 5 5 5
5．（2024·全国·模拟预测）已知a ，b ，g 满足a - b -g = π，且 sina = 2cos b cosg ，
tan b tan g = -3，则 tana 的值为（ ）
1
A．－2 B - C 1． ．
2 2
D．2
6．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知a ， b
π
0, 2 sin b sin2 b sin 2b ÷， + = ，则
è 2 tana
tan 2a + b π+ 6 ÷
=（ ）
è
A 3 3．- 3 B．- C． D． 3
3 3
7．（2024·河北沧州·一模）已知角a 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
7π
且终边上一点的坐标为 (-2,-1)，则 5 cos + 3a + sin(π - 2a ) =（ ）
è 2 ÷

7 5 7A B - C 2 5
2
． ． ． D．-
5 5 25 25
π
8 2023· ·
5π 3 π
．（ 全国 模拟预测）已知 sin a + ÷cos a + ÷ = - ，则 cos 2a + ÷ = （6 ）è 4 è 12 4 è
A 3 3 1 3 1 3．1- B．1+ C． + D． -
2 2 2 2 2 2
二、多选题
π 1 2
9．（2023·全国·模拟预测）若0 < a < b < ，且 cosacosb = , tana tanb = ，则（ ）
2 2 3
A cos a + b 1= B sin a b 11． ．6 - = 6
cos2a 5 πC． = D． b >
36 4
π
10．（2023·河南·模拟预测）已知0 < a < b < ，且 sina + cosa = 2sin b ， sin b + cos b = t cosa ，
2
t R ，则（ ）
π π
A．b 的取值范围为 , ÷ B．存在a ，b ，使得 t = 2
è 6 4
3 3 3 +1
C．当 t = 时， tan b = D．t 的取值范围为
2 4
, 2÷÷
è 2
11．（2023·全国·模拟预测）已知a , b ,g
π 0, ÷， sina + sin g = sin b ， cos b + cosg = cosa ，
è 2
则下列说法正确的是（ ）
A． cos a 1+ g = B． cos b + g 1 π π= - C． b -a = D． b -a = -
2 2 3 3
三、填空题
π 3 π π
12．（2024·江西鹰潭·二模）已知 cos a + ÷ = ，且a 0, ÷ ，则 cos -a ÷ = .
è 4 5 è 4 è 2
π
13．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知 sina =
4
， cos a + b 12= - ，且a
5 13
0,
2 ÷
，
è
a + b π , π

÷ ，则 cos b = ．
è 2
14．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知 tana ， tan b 是方程 x2 + 5x - 3 = 0的两个根，则
cos2 a + b
= ．
sin2 a - b
四、解答题
é π
15．（2023·全国·模拟预测）已知a ê ,
π ù
ú ，且 cos 4a
3
= .
4 2 5
(1)求 sin 2a 和 cos 2a 的值；
é π ù 1
(2)若 b ê-π, - ú ，且 tan(a - b ) = ，求a + b 的值. 2 3
16．（2024·云南昆明·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且
b = 2 ， a2 = c -1 2 + 3 .
(1)求A ；
(2)若 a = 4sin Asin B ，求 cosC 的值.
17．（2024·天津·二模）在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c．已知 a = 3b，
π
c = 7 ，C = ．3
(1)求b 的值；
(2)求 sin B 的值；
(3)求 sin A - B 的值．
18．（2024·天津南开·一模）已知VABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
b = 3，c =1，a = 6cos B .
(1)求 a 的值：
(2)求证： A = 2B；
cos 2 B π(3) -

÷ 的值
è 12
19．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 f (x) = Asin(wx +j)
A > 0,w p> 0, - < j p< ÷的部分图
è 2 2
象如图所示，且D(0,-1),VABC
p
的面积等于 .
2
(1)求函数 y = f (x) 的单调递减区间；
(2)若 f a
p
+
4 p
÷ = -
é
，且a - ,
p ù p
，求 f a - ÷ 的值.
è 6 3 ê 4 4 ú è 4
【拓展冲刺练】
一、单选题
sin π a sina 1 sin 2a π 1．（2024·河南·二模）已知 - ÷ + = ，则 +3 3 6 ÷
=（ ）
è è
7 7 8 8
A． B．- C． D．-
9 9 9 9
π 15 3
2．（2023·全国·模拟预测）已知0 < b < a < , cos a - b = ,sinb = ，则 cosa =（ ）
2 17 5
84 36 13 77
A． B． C． D．
85 85 85 85
cos a π 3 sina 4 sin 2a π3．（2024·全国·模拟预测）已知 - ÷ - = -

，则 + ÷ =（ ）
è 3 5 è 6

A 7
24 7 24
． B． C．- D．-
25 25 25 25
sin π 4 π π4．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知 a + ÷ = a
0, ， ，则 cos +a = （ ）
è 12 5 è 2 ÷ 3 ÷
è
3
A 2．- B 2．- C 2．- D．-
10 5 4 4
二、多选题
5．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为 2 的有（ ）
1 1 3
A． tan15° + tan 60° B． -
2 è cos80° sin80
÷
° ÷
C． (1+ tan18°)(1+ tan 27°) D． 4sin18°sin54°
6．（2024·全国·模拟预测）已知角a 的终边过点P 1, -2 ，则（ ）
sina - cosa
A． = -1 B． sin22sin a - 3sinacosa = 2a + cosa
π 1
C． cos2a
3
= tan D． a +

÷ = -5 è 4 3
三、填空题
1 sinx sinx
7．（2024·河北承德·二模）已知 tanx = ，则 + = .
3 cos3xcos2x cos2xcosx
π 3 5
8．（2023·湖南岳阳·一模）已知 sin -a = ， cos b = ，a ，b 均为锐角，则
è 2 ÷ 5 13
cos a + b = .
四、解答题
9．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
cos2Bcos2C +1- 2cos2 A = sin2Bsin2C ．
2
(1)求A 的值；
(2)若VABC 的面积为3 3,a = 2 13, D 为边BC 的中点，求 AD 的长．
10．（2024 高三上·全国·竞赛）设O为坐标原点，A 为抛物线 y2 = 4x上异于O的一点，
B -1,4 ，C -4,0 ．
(1)求 AB 的最小值；
(2)求 tan ACB 的取值范围；
(3)证明： ACB ACO ．
11．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是
在 RSA 加密算法中的应用．设 p，q 是两个正整数，若 p，q 的最大公约数是 1，则称 p，q
互素．对于任意正整数 n，欧拉函数是不超过 n 且与 n 互素的正整数的个数，记为j n ．
(1)试求j 3 ，j 9 ，j 7 ，j 21 的值；
(2)设 n n是一个正整数，p，q 是两个不同的素数．试求j 3 ，j pq 与 φ（p）和 φ（q）的
关系；
(3)RSA 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数 p，q；
②计算n = pq ，欧拉函数j n ；
③求正整数 k，使得 kq 除以j n 的余数是 1；
④其中 n,q 称为公钥， n,k 称为私钥．
已知计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是 (187,17)．若满足题意的正整数 k 从小
到大排列得到一列数记为数列 bn ，数列 cn 满足80cn = bn + 47，求数列 tan cn × tan cn+1 的
前 n 项和Tn ．

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