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考点 26 三角函数的图象与性质（3 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正
π π
弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在(－ ， )上的性质．2 2
【知识点】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
π
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，( ，1 )， ， ，2
(2π，0)．
(2) 在 余 弦 函 数 y ＝ cos x ， x∈[0,2π] 的 图 象 中 ， 五 个 关 键 点 是 ： (0,1) ，
π
( ，0 )， ， ，(2π，1)．2
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域
周期性
奇偶性 奇函数
单调递增区间
单调递减区间
kπ
对称中心 ( ，02 )
对称轴方程
常用结论
1．对称性与周期性
1
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的对称
2
1
中心与对称轴之间的距离是 个周期．
4
1
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期．
2
2．奇偶性
若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
π
(1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ＝ ＋kπ(k∈Z)．
2
(2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z)．
【核心题型】
题型一　三角函数的定义域和值域
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成 y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．
【例题 1】（2024·陕西·模拟预测）函数 f x = 1- x + 3x 的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
π π
【变式 1】（2023·河南·二模）已知偶函数 f (x) = 2sin wx - +j ÷ w > 0, j < ÷的图象的相
è 4 è 2
π é π π ù
邻两条对称轴间的距离为 ，则函数 f x 在区间 ê- , ú 上的值域为 .2 6 3
π 2π
【变式 2】（2023·上海嘉定·三模）函数 f (x) = sin2 x - cos2 x， x
é
ê ,
ù
ú的值域是 . 12 3
p
【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0,0 < j < )的最小正周
2
π
期为 π，且 f 0 = f 4 ÷.è
(1)求 f x 的解析式；
(2)设 g x = f x + f π π π x + ÷ ,求函数 g x 在 - , 内的值域．
è 4 è 4 3 ÷
题型二　三角函数的周期性与对称性
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝Atan ωx 的形式，而
偶函数一般可化为 y＝Acos ωx 的形式．
2π
(2)周期的计算方法：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 ，函数 y＝
ω
π
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 求解．
ω
【例题 2】（2023·山东·模拟预测）已知 f x = lg sinx - cosx ，则下列结论错误的是（ ）
A． f x 是周期函数
B f x é π． 在区间 ê ,
π ù
ú上单调递增 4 2
C． y = f x π的图象关于 x = - 4 对称
D．方程 f x = 0在 0,2π 有 2 个相异实根
π
【变式 1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数 f (x) = 2sin - 2wx ÷ (w > 0)的最小正周期为 π，
è 3
则函数 f (x) 图象的一条对称轴方程为 ．
【变式 2】（2024· 2北京海淀·二模）已知函数 f x = cos x + asinx .
（i）若 a = 0，则函数 f x 的最小正周期为 .
（ii）若函数 f x 在区间 0, π 上的最小值为-2，则实数a = .
【变式 3】（2023·黑龙江·三模）已知函数 f x = Acos wx +j (A > 0,w > 0)的图象是由
y = 2cos wx π π - ÷的图象向左平移 个单位长度得到的．
è 6 6
(1)若 f x 的最小正周期为 π，求 f x 图象的对称轴方程，与 y 轴距离最近的对称轴的方程；
2π é π π ù
(2)若 f x 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 ，w N*且w > 2，求 f x 在 - ,7 ê 6 9 ú
上的值域．
题型三　三角函数的单调性
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果 ω<0，可先借助诱导公式将 ω 化为正数，防止把单调性
弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
命题点 1　求三角函数的单调区间
【例题 3】（2022·全国·一模）设函数 f x = 4sin wx +j ，其中0 < w <1， j < π，若
f 3π 4 f 9π ÷ = ， ÷ = 0，则 f x 在 0,2π 上的单调减区间是（8 8 ）è è
é 3 ù é15 ù é3 15 ù
A． ê0, πú B． ê π,2πú C． π, π D． 0, π 8 8 ê8 8 ú

【变式 1】（2024 高三·江苏·专题练习）函数 y = -3sin 2x
π
- ÷的单调递增区间是 .
è 6
【变式 2】（23-24 高三下·北京西城·开学考试）函数 f x = 3sin xcos x - sin2 x 的单调递增
区间为 .
π
【变式 3】（2024·山西临汾·三模）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < 2 ÷的图è
象可由函数 y = 3sinx
π
的图象平移得到，且关于直线 x = 3 对称．
(1)求 f
7π
÷的值；
è 12
π π
(2)求函数 g x = f 2x + ÷ + f 2x - ÷ , x 0, π 的单调递增区间．
è 6 è 6
命题点 2　根据单调性求参数
【例题 4】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数 y = sin wx +j w > 0,j 0,2π 的一条对称轴
π 4π
为 x = - ，且 f x 在 π, 上单调，则w 的最大值为（
6 3 ÷ ）è
5 8 10
A． B．2 C． D．
3 3 3
【变式 1】（2024·河南·三模）在VABC 中， tanA = 3tanB ， A - B的最大值为j ．若函数
f x = sin wx π π+j w > 0 é ù在区间 ê- , ú 上单调递增，则w 的最大值为 ． 6 6
π
【变式 2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 f (x) = cos wx - ÷ (w > 0)
é π ù
在区间
è 6 ê
, π
3 ú
上

单调递减，则w 的取值范围是 ．
π π
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = sin(wx +j )在区间 ( , )6 2 上单调，其
中w
π π
为正整数， j ，且 f ( ) = f (π) .
2 6
(1)求 y = f x 图象的一条对称轴；
(2) π若 f ( ) 3= ，求j 的值．
6 2
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
ln 4 - x 1．（2022 高三上·河南·专题练习）函数 f x = 的定义域为（ ）
sin x × x -1

A． 1,
π π
÷ , 4

÷ B． 1, π π,4
é1, π π C． ê ÷ , 4
ù
ú D． 1, π π,4 è 2 è 2 2 è 2
π
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f (x) = 2cos x ×cos(x - )，则 y = f (x) 的图像（ ）
3
2π 5π
A．关于直线 x = 对称 B3 ．关于直线
x = 对称
6
( π , 1 πC．关于 )中心对称 D．关于 (- ,0)中心对称
12 2 12
π
3．（2024·河北·二模）已知函数 f x = sin 2x + ÷ , g x = cos
x π +

÷ ，若对任意的
è 6 è 6
a,b π - m,m ，当 a > b时， f a - f b < g 2a - g 2b 恒成立，则实数m 的取值范围为
（ ）
7π ,19π 7π ,17π ù π 19π π 17π ùA． ÷ B． ú C． , ÷ D． ,è 24 24 è 24 24 è 2 24 è 2 24 ú
4．（2024·重庆·二模）若函数 f x = sin 2x -j (0 j < π) 0, π 在 3 ÷上单调递增，则j 的最小è
值为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
二、多选题
π
5．（2024·云南·模拟预测）已知函数 f x = cos 2x +j (0 < j < π) 的图象关于点 ,0
è 3 ÷
成中

心对称，则（ ）
A． f x π 在区间 0,12 ÷ 上单调递减è
B． f x π π在区间 - ,

÷上有两个极值点
è 2 6
x πC．直线 = - 是曲线 y = f x 的对称轴
12
D y 3．直线 = -x - 是曲线 y = f x 的切线
2
π
6．（23-24 高三上·广西·开学考试）已知 f (x) = 2cos(2x - ) ，则（
6 ）
A． f (x) 的最小正周期为 π
B． f (x)
π
的图象的对称轴方程为 x = 2kπ - k Z
3
C． f (2023π) = 3
D． f (x)
3π π
在 (- ,- )上单调递减
2 2
三、填空题
7．（22-23 高三上·吉林·阶段练习）函数 f x = Acos wx +j A > 0,w > 0, j < p 的部分图象
如图所示，则函数 f x 的解析式为 .
ì πx
8．（2024 高三·上海·专题练习）已知集合 S = íx | cos = 0, x Z}，T ={x | x=4t+1, t Z}，则
2
两集合间的关系是：T S ；
9．（2023·北京昌平·二模）若函数 f x = cosx - Asinx(A > 0)的最大值为 2，则 A = ，
f x 的一个对称中心为 .
四、解答题
π
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 4sin x + ÷cosx -1.
è 6
(1)求 f x 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在VABC 中， f A =1, BC = 4，求VABC 周长的取值范围.
11．（2022·上海宝山·模拟预测）已知函数 f x = cosx，g x f 1= wx + j ÷，其中
è 2
j 0,2π
1
(1)若w = 且直线 x
π
= 是 g x 的一条对称轴，求 g x 2 的递减区间和周期；2
π
(2)若w =1，j
2
= π ，求函数 h x = f -x g x 在 0, 上的最小值；3 è 2 ÷
【综合提升练】
一、单选题
1 2024· · f (x) = sin
π
．（ 云南 二模）函数 2x + 3 ÷的最小正周期为（ ）è
A． π
π π π
B． C． D．
2 3 6
2 2．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合 A = x N 2x - x -15 0 ，B = y y = cos x ，则 AI B =
（ ）
A． x -1 x 1 B． 0,1 C． -1,0,1 D． 1
3．（2024·天津河东·一模）关于函数 f x = tan π 2x + ÷，下列结论正确的为（3 ）è
π
A． f x 的最小正周期为 π B． ,0÷是 f x 的对称中心
è12
C é．当 x ê0,
π ù π 2π
3ú
时， f x 的最小值为 0 D．当 x , ÷时， f x 单调递增
è 3 3
2 π π
4．（2024·宁夏·二模）设函数 f (x) = cos( x + ) ，若对于任意的 x R ，都有
π 2 4
f (x1) f (x) f (x2 )，则 | x1 - x2 |的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D 1． 2
lg 1+ x2
5．（2024·四川自贡· 一模）函数 y = 的图象可能为（ ）
cosx
A． B．
C． D．
6．（2024·山东·二模）将函数 f x π= sin 2x + ÷的图象向左平移j j > 0 个单位长度得到函
è 3
11π
数 g x 的图象，若 x = - 为 g x 图象的一条对称轴，则j 的最小值为（
6 ）
π 5π 7π 2π
A． B． C． D．
12 12 12 3
π
7．（2024·陕西渭南·二模）关于函数 f x = sin2x + 2sin x + ÷ ，给出如下结论：
è 4
① f x π的图象关于点 - ,0

4 ÷ 对称è
② f x π的图象关于直线 x = 4 对称
③ f x 的最大值是 3
④ π是函数 f x 的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
π
8．（2024·天津·二模）已知函数 f x = sin 2wx + ÷ + sin

2wx
π
- 2
6 6 ÷
+ 2cos wx -1(w > 0)，则
è è
下列结论正确的是（ ）
A．若 f x π相邻两条对称轴的距离为 ，则w = 2；
2
B é
π ù
．若w =1，则 x ê0, f x -1,1 2 ú 时，
的值域为 ；

C．若 f x é π ù 2在 ê0, 2 ú 上单调递增，则0 < w ； 3
D．若 f x 在 0, π 11 17上恰有 2 个零点，则 w < .
12 12
二、多选题
π π
9．（23-24 高三上·山西运城·期末）已知函数 f x = tan x +

2 4 ÷
+1，则（ ）
è
A． f x ì 1的一个周期为 2 B． f x 的定义域是 íx x + k,k Zü2
f x 1C ． 的图象关于点 ,1÷对称 D． f x 在区间 1,2 2 上单调递增è
10．（2024·贵州贵阳·二模）函数 f (x) = A tan(wx +j)(w > 0,0 < j < π) 的部分图象如图所示，
则（ ）
w j 2πA． × =
3
π
B． f (x)
é ù
在 ê0, ú 上的值域为3 (- ,- 3] [ 3, + )
C．函数 y =| f (x) |
5π
的图象关于直线 x = 3 对称
y | f (x) | l f (x) 5πD．若函数 = + 在区间 - ,
π
÷上不单调，则实数l 的取值范围是[-1,1]
è 6 6
π
11．（2024·海南·模拟预测）已知函数 f (x) = cos(wx +j)的一个最大值点为 x = - ，与之相
12
π
邻的一个零点为 x = ，则（
6 ）
π
A． f (x) 的最小正周期为 B． f (x
π
+ )为奇函数
2 6
f (x) [5π ,11πC． 在 ]上单调递增 D． f (x) 在[0,
π] 1 3
12 12 上的值域为4 [ , ]2 2
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）函数 f x = tan π 3x + ÷的图象的对称中心为
è 6
π
13．（2023·上海普陀·一模）若函数 y = tan 3x在区间 m, ÷上是严格增函数，则实数m 的取
è 6
值范围为 .
y tan wx p é p p ù é p p ù14．（2022·全国·模拟预测）若函数 = + 4 ÷在 ê
- , 上单调递减，且在 - ,
è 3 3 ú ê 3 3 ú
上的最大值为 3 ，则w = .
四、解答题
15．（2024·上海金山·二模）已知函数 y = f (x) ，记 f (x) = sin wx +j ，w > 0，0 < j < π ，
x R .
(1)若函数 y = f (x) 的最小正周期为 π，当 f (π) = 16 时，求
w 和j 的值；
π
(2)若w =1，j = ，函数 y = f 2 (x) - 2 f (x) - a有零点，求实数 a的取值范围.
6
16．（2023·广东佛山·一模）已知函数 f x π 2π= sin wx +j 在区间 , ÷上单调，其中w 为正
è 6 3
j π
π
整数， < ，且 f ÷ = - f
π
.
2 3 ÷è è 2
(1)求 y = f x 图象的一个对称中心；
(2)若 f
p 3
÷ = ，求j .
è 4 2
ì sin x = m
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知 í (m R)，设 f (x) = l .
cos x = 3l - 3m
(1)求函数 f (x) 的对称中心；
(2)若VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c， f (A) 2 3= ，且VABC 3外接圆的半径为 ，
3 3
D是BC 边的中点，求线段 AD 长度的最大值.
18．（2020·山西大同·一模）已知 f (x) = 3 cos 2x + 2sin
3π
+ x ÷sin π - x ， x R ，
è 2
(1)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间；
(2)已知锐角VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 3，求BC 边上的
高的最大值.
é 5p ù
19．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 f (x) = (x - m)sin x + cos x， x ê0, ú . 4
m p(1)当 ≤ 时，讨论 f (x) 的单调性；
2
(2)若m = 0， f (x) +1 a(x - p )，求 a .
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024· 2 2陕西商洛·模拟预测）函数 f x = 2sin wx - cos wx的两条相邻的对称轴的距离为
π
，则下列说法正确的是（ ）
2
A． f x 3 3= - cos2x
2 2
f x π , 1 B． 的图象关于点 ÷ 对称
è 2 2
C． f x π的图象关于直线 x = 2 对称
D． f x é π在 ê ,
2π ù
3 3 ú
上单调递增

π 2π
2．（2024·
é ù
江苏南通·二模）已知函数 y = 3 sinwx + coswx （w > 0）在区间 ê- ,4 3 ú上单调
递增，则w 的最大值为（ ）
1 1 12 8A． B． C． D．
4 2 11 3
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 f (x) = sin 2wx + cos 2wx(w >1)
π
的一个零点是 ，且 f (x)
2
π π
在 - ,6 16 ÷
上单调，则w =（ ）
è
5 7 9 11
A． B． C． D．
4 4 4 4
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0)满足：对"x R ，有
f 0 f x f π w y f x é π π ÷ ，若存在唯一的 值，使得 = 在区间 ê - m, + m
ù
ú (m > 0)上单è 2 4 4
调递减，则实数 m 的取值范围是（ ）
π ù π π ù π π ù π π ù
A． 0, B． , C． , D． ,
è 12 ú è 28 12 ú è 20 12 ú è 28 20 ú
二、多选题
4 π π
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 f x = sin x - ÷的图象向左平移 个单位后得
è 3 6 4
到 g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）
g x cos 4 x 2π A． = +
è 3 3 ÷
B． g x π的图象关于 x = 4 对称
C． g x π的图象关于 - ,0 8 ÷对称è
D． g x π- , π 在 ÷上单调递增
è 2 4
ì 5π π 3π ü
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x - tan x ， x íx 0 < x < ， x 2 且 x 2 2 有
两个零点 x1, x2 ，则下列结论正确的是（ ）

A．当 x 0,
π
÷ 时， tanx > x B． x2 + x1 < 3π
è 2
C．若 x2 > x1 ，则 x2 - x1 > π D． x1sinx2 + x2sinx1 < 0
三、填空题
7．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = Acos wx +j + b π，（ A > 0 ，w > 0， j < 2 ）
π
的大致图象如图所示，将函数 f x 的图象上点的横坐标拉伸为原来的 3 倍后，再向左平移
2
个单位长度，得到函数 g x 的图象，则函数 g x 的一个单调递增区间为 .
3
8 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx + 3 sinwx coswx 0 < w < 2 ÷ 的图像关于è
π , 1 点 ÷成中心对称，则函数 f x 在 -π, 0 上的单调递增区间为 .
è 3 2
9．（2024·全国·模拟预测）“函数 y = tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 = 0 ”的 条
件．
四、解答题
10．（2022·浙江·模拟预测）已知 a > 0，设函数 f x = sin x + a x R ．
π
(1)若 a = ，求函数 f（x）的单调递增区间；
2
(2)试讨论函数 f（x）在[－a，2a]上的值域．
11．（2024·河北·二模）已知 x 为实数，用 x 表示不超过 x 的最大整数，例如
e = 2, -π = -4, 1 =1，对于函数 f x ，若存在m R,m Z，使得 f m = f m ，则称
函数 f x 是“ Ω 函数”.
(1) 2判断函数 f x = 2x - x, g x = sinπx 是否是“ Ω 函数”；
(2)设函数 f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期是T ，若 f x 不是“ Ω 函数”，求T
的最小值；
a
(3)若函数 f x = x + 是“ Ω 函数”，求 ax 的取值范围.考点 26 三角函数的图象与性质（3 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正
π π
弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在(－ ， )上的性质．2 2
【知识点】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
π
(1)在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是： (0,0)，( ，1 )， (π，0)，2
3π
( ，－1)，(2π，0)．2
π
(2)在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，( ，0 )，(π，－1)，2
3π
( ，0 ，(2π，1)．2 )
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
π
定义域 R R {x|x≠kπ＋ }
2
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
π π π π
单调递增区间 [2kπ－ ，2kπ＋ ] [2kπ－π，2kπ] kπ－ ，kπ＋2 2 ( 2 2)
π 3π
单调递减区间 [2kπ＋ ，2kπ＋ ] [2kπ，2kπ＋π]2 2
π kπ
对称中心 (kπ，0) (kπ＋ ，0) ( ，02 2 )
π
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
2
常用结论
1．对称性与周期性
1
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的对称
2
1
中心与对称轴之间的距离是 个周期．
4
1
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期．
2
2．奇偶性
若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
π
(1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ＝ ＋kπ(k∈Z)．
2
(2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z)．
【核心题型】
题型一　三角函数的定义域和值域
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成 y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．
【例题 1】（2024·陕西·模拟预测）函数 f x = 1- x + 3x 的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
b2
【分析】令 a = 1- x ,b = 3x ，则 a2 + =1，设 a = sinq ,b = 3cosq
0 q π
3 2 ÷
，再结合
è
三角函数的性质即可得解.
【详解】函数 f x = 1- x + 3x 的定义域为 0,1 ，
2
令 a b= 1- x ,b = 3x ，则 a2 + =1
3 0 a 1,0 b 3 ，
a = sinq ,b = 3cosq 0 π q 设 ÷，可得 a + b = 2sin
q π+ ，
è 2 è 3 ÷
q π当 = 时， a + b 有最大值为 2，
6
所以函数 f x = 1- x + 3x 的最大值为 2.
故选：D.
π π
【变式 1】（2023·河南·二模）已知偶函数 f (x) = 2sin wx - +j4 ÷
w > 0, j < ÷的图象的相
è è 2
π é π π ù
邻两条对称轴间的距离为 ，则函数 f x 在区间 - ,
2 ê 6 3 ú
上的值域为 .

【答案】 -2,1
π π π
【分析】根据对称轴可得w = 2，根据偶函数可得j = - ，进而由 x é- , ù 得
4 ê 6 3 ú
2x é π , 2π - ùê ú ，由余弦函数的性质即可求解. 3 3

【详解】因为函数 f (x) = 2sin wx
π
- +j π÷的图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，所以函
è 4 2
数 f x π 2π的最小正周期为 2 =π，则 = π ，解得w = 2，
2 w
所以 f (x) = 2sin
π π π
2x - +j ÷，又 f x 为偶函数，所以- +j = + kπ， k Z，
è 4 4 2
解得j
3π kπ π π= + ， k Z，因为 j < ，所以j = - ，
4 2 4
故 f x = sin(2x π π- - ) = 2sin(2x π- ) = -2cos 2x，
4 4 2
x é π π - , ù 2x é π 2π ù因为 ê ，所以 - , ， 6 3 ú ê 3 3 ú
所以 cos 2x
1
é ùê- ,1ú，所以-2cos2x -2,1 ，故 f x -2,1 . 2
故答案为： -2,1
π 2π
【变式 2】（2023·上海嘉定·三模）函数 f (x) = sin2 x - cos2 x， x
é , ùê ú的值域是 . 12 3
é 3 ù
【答案】 ê- ,1
2
ú

【分析】利用二倍角的余弦公式得出 f x = -cos 2x，由 x 的范围得出 2x的范围，再利用余
弦函数的基本性质可得出答案.
f x = sin2 x - cos2 x = -cos 2x x é π 2π ù【详解】Q ，且 ê , ú ，\2x
π 4π
é , ù
12 3 ê 6 3 ú
，

\-1 cos 2x 3 3 ，\- f x 1，
2 2
é ù
因此函数 f x = sin2 x π 2π 3- cos2 x x é , ù在 ê ú 的值域是 ê- ,112 3 2 ú .
é 3 ù
故答案为： ê- ,1ú .
2
【变式 3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f x p= sin wx +j w > 0,0 < j < )的最小正周
2
π
期为 π，且 f 0 = f 4 ÷.è
(1)求 f x 的解析式；
(2)设 g x = f x + f x π+ , π π ÷ 求函数 g x 在 - , 内的值域．
è 4 è 4 3 ÷
π
【答案】(1) f (x) = sin(2x + )4
(2) ( 2- , 2]
2
【分析】（1）根据最小正周期确定w 的值，再根据特殊值求解j ，即可得函数解析式；
（2）利用三角恒等变换化简函数 g x ，再结合正弦型函数的性质求解值域即可.
2π
【详解】（1）由周期T = = π，w = 2w ，
又 f (
π) = f (0) 得 sin(
π
+j) = sinj ，即 tanj =1 0 j
π
，因为 < < j
π
=
4 2 2
，所以 4 ，
从而 f (x) = sin(2x
π
+ )
4 ．
（2）由题意 g(x) = sin(2x
π π π π π
+ ) + sin(2(x + ) + ) = sin(2x + ) + cos(2x + )，
4 4 4 4 4
所以 g(x)
π π
= 2 sin(2x + + ) = 2 cos 2x ，
4 4
x ( π , π) 2x ( π , 2π因为 - ，所以 - ) ，
4 3 2 3
1
从而- < cos 2x 1 2，则- < 2 cos 2x 2 2 ，所以 g x 的值域为2 (- , 2]．2 2
题型二　三角函数的周期性与对称性
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝Atan ωx 的形式，而
偶函数一般可化为 y＝Acos ωx 的形式．
2π
(2)周期的计算方法：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 ，函数 y＝
ω
π
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 求解．
ω
【例题 2】（2023·山东·模拟预测）已知 f x = lg sinx - cosx ，则下列结论错误的是（ ）
A． f x 是周期函数
B． f x é π π ù在区间 ,
ê 4 2 ú
上单调递增

C． y = f x π的图象关于 x = - 4 对称
D．方程 f x = 0在 0,2π 有 2 个相异实根
【答案】B
π
【分析】根据函数周期性定义可判断 A；根据特殊值，即 x = 4 时，函数无意义判断 B；结合
正弦函数的对称性判断 C；求出方程 f x = 0在 0,2π 上的根，判断 D.
【详解】函数 f x π π 5π= lg sinx - cosx = lg 2 sin(x - ) ，定义域为 2kπ + , 2kπ + ÷ , k Z ，4 è 4 4
对于 A， f x + 2π = lg 2 sin(x π+ 2π - ) = f (x) ，故 f x 是周期函数，A 正确；
4
π
对于 B，当 x = 时， sin x = cos x，则 sin x - cos x = 04 ，
此时 f x = lg sinx - cosx 无意义，故 B 错误；
x π对于 C，当 = - 时， 2 sin(x
π
- ) = - 2
4 ，4
即 y = 2 sin(x
π
- )的图象关于 x
π
= -
4 对称，4
由于 f x 的定义域为 2kπ
π
+ , 2kπ 5π+ , k Z π÷ 也关于 x = - 4 对称，è 4 4
故 y = f x π的图象关于 x = - 4 对称，C 正确；
对于 D，令 f x = lg 2 sin(x π- ) = 0 π 2，即
4 sin(x - ) =
，
4 2
x π π则 - = + 2kπ,k Z
π 3π
，或 x - = + 2kπ,k Z，
4 4 4 4
π
即 x = + 2kπ, k Z ，或 x = π + 2kπ,k Z ，
2
π
则当 k = 0时， x = , π 0,2π ，
2
即方程 f x = 0在 0,2π 有 2 个相异实根，D 正确，
故选：B
f (x) 2sin π 【变式 1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数 = - 2wx ÷ (w > 0)的最小正周期为 π，
è 3
则函数 f (x) 图象的一条对称轴方程为 ．
5π kπ π
【答案】 x = （答案不唯一，符合 x = - (k Z)均为正确答案）
12 2 12
【分析】求出w ，求出 f (x) 即可求出对称轴方程.
【详解】因为函数 f (x) = 2sin
π - 2wx ÷ (w > 0)的最小正周期为 π，
è 3
2π
所以 = π ，所以w =1，所以 f (x) = 2sin(
π
- 2x) ，
2w 3
π π kπ π
令 - 2x = - kπ ，所以 x = - (k Z) ，
3 2 2 12
x 5π所以 = .
12
5π
故答案为： x = .
12
【变式 2】（2024·北京海淀· 2二模）已知函数 f x = cos x + asinx .
（i）若 a = 0，则函数 f x 的最小正周期为 .
（ii）若函数 f x 在区间 0, π 上的最小值为-2，则实数a = .
【答案】 π -2
【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.
f x cos2x cos 2x +1 2π【详解】当 a = 0时， = = ,所以最小正周期为T = = π，
2 2
2 2
f x = cos2x + asinx = -sin2 x + a sin x +1 = - sin x
a a
- ÷ +1+ ，
è 2 4
当 x 0, π 时， sin x 0,1 ，且二次函数开口向下，
要使得 f x 在区间 0, π a a上的最小值为-2，则需要1- - 0 ，2 2
且当 sin x = 1时取最小值，故-1+ a +1 = -2，解得 a=- 2，
故答案为： π，-2
【变式 3】（2023·黑龙江·三模）已知函数 f x = Acos wx +j (A > 0,w > 0)的图象是由
y = 2cos wx π- π ÷的图象向左平移 个单位长度得到的．
è 6 6
(1)若 f x 的最小正周期为 π，求 f x 图象的对称轴方程，与 y 轴距离最近的对称轴的方程；
(2)若 f x 2π é π π ù图象相邻两个对称中心之间的距离大于 ，
7 w N
*且w > 2，求 f x 在 ê- , 6 9 ú
上的值域．
kπ π x π【答案】(1)对称轴方程 x = - ,k Z2 12 ，最近的对称轴方程为 = -12
(2) -1,2
【分析】（1）由周期求出w ，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质求出函数的对称
轴；
T 2π
（2）依题意可得 > ，即可求出w 范围，从而求出w 的值，再根据余弦函数的性质计算
2 7
可得.
2π
【详解】（1）由 = π ，得w = 2，所以 f x = 2cos é2 π π ù ê x + ÷ - = 2cos 2x
π
+ ，
w è 6 6
ú
è 6
÷

π
令 2x + = kπ,k Z，解得 x
kπ π
= - ,k Z，
6 2 12
x kπ π所以函数的对称轴方程为 = - ,k Z，
2 12
π
取 k 0 x
5π
= ，得 = - ，取 k =1，得 x = ，
12 12
π 5π π
因为 - < ，所以与 y 轴距离最近的对称轴方程为 x = - ．
12 12 12
2π
（2）设 f x 的最小正周期为T ，因为 f x 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 ，
7
T 2π T 4π 2π 4π 0 w 7所以 > ，即 > ，由w > 0， > ，解得 < < ．
2 7 7 w 7 2
又w N* 且w > 2，所以w = 3, y = 2cos
3x π- ÷ ．
è 6
f x 2cos é3 x π π ù π所以 = ê +
- = 2cos ÷ ú 3x +

÷ ．
è 6 6 è 3
π π π π 2π 1 π
- x - 3x + , - cos 3x + 因为 ，所以 ÷ 1，6 9 6 3 3 2 è 3
1 2cos 3x π 2 f x é π , π所以- + - ù ÷ ，即 在 ê ú 上的值域为 -1,2 ．è 3 6 9
题型三　三角函数的单调性
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果 ω<0，可先借助诱导公式将 ω 化为正数，防止把单调性
弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
命题点 1　求三角函数的单调区间
【例题 3】（2022·全国·一模）设函数 f x = 4sin wx +j ，其中0 < w <1， j < π，若
f 3π 9π ÷ = 4， f ÷ = 0，则 f x 在 0,2π 上的单调减区间是（8 8 ）è è
é0, 3 πù é15 ù é3 15 ùA． ê B． π,2π 8 ú ê 8 ú
C． ê π, π 8 8 ú
D． 0, π

【答案】C
【分析】根据 f x 的对称中心、零点求得w ，进而求得j ，结合三角函数单调区间的求法
求得正确答案.
9
【详解】据题意可以得出直线 x
3
= π 和点 π,0

8 ÷分别是的图象的一条对称轴和一个对称中8 è
心，
9π 3π 3π 2k -1 2k -1 π
所以 - = = T 2k -1 2π = × = ，
8 8 4 4 4 w 2w
4k - 2
即w = （ k Z），
3
2 f 3π 4 sin 2 3所以w = ；又由 ÷ = 得 π +j

÷ =1，3 è 8 è 3 8
π
即 +j = 2kπ
π
+ （ k Z），
4 2
j < π j π 2 π ，所以 = 4 ，所以
f x = 4sin x +
è 3 4 ÷
；

由 2kπ
π 2 π 3π
+ x + 2kπ + 得 f x é的单调减区间为 ê3kπ
3
+ π,3kπ 15+ πù
2 3 4 2 8 8 ú
（ k Z），

f x 0,2π é3 π,15 πù所以 在 上的单调减区间是 ê . 8 8 ú
故选：C

【变式 1】（2024 高三·江苏·专题练习）函数 y = -3sin 2x
π
- ÷的单调递增区间是 .
è 6
é
【答案】 êkπ
π
+ , kπ 5π+ ùú , k Z 3 6
【分析】由整体代入法得对应的不等式组，解不等式组即可得解.
【详解】因为 y = -3sin 2x
π
- π ÷，由 + 2kπ 2x
π 3π
- + 2kπ k Z 有：
è 6 2 6 2
π 5π
+ kπ x + kπ, k Z .
3 6
é π 5π ù
故答案为： êkπ + , kπ + 3 6 ú
, k Z .

【变式 2】（23-24 高三下·北京西城·开学考试）函数 f x = 3sin xcos x - sin2 x 的单调递增
区间为 .
é
【答案】 êkπ
π
- ,kπ π+ ù ， k Z
3 6 ú
f x sin 2x π 1【分析】利用三角变换公式可得 = + ÷ - ，利用整体法可求函数的单调区间.
è 6 2
f x 3 sin 2x 1- cos 2x π 1【详解】 = - = sin 2x +2 2 ÷ - ，è 6 2
π π π
令 2kπ - 2x + 2kπ + ， k Z ，
2 6 2
π π π
故 kπ - x kπ
π
+ ，故 f x é ù的单调增区间为 êkπ - ,kπ + ， k Z ，3 6 3 6 ú
ékπ π ,kπ π- + ù故答案为： ê ， k Z . 3 6 ú
π
【变式 3】（2024·山西临汾·三模）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < ÷的图
è 2
象可由函数 y = 3sinx
π
的图象平移得到，且关于直线 x = 3 对称．
7π
(1)求 f ÷的值；
è 12
π π
(2)求函数 g x = f 2x + ÷ + f 2x - ÷ , x 0, π 的单调递增区间．
è 6 è 6
7π 3 2
【答案】(1) f =
è 12 ÷ 2
é
(2) 0,
π ù é2π ,πùê ú和 ê 3 ú ． 6
π
【分析】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出j = ，进而得到
6
f x = 3sin x
π
+ 7π÷，再代入 解出即可；
è 6 12
（2）先由图象平移得到 g x ，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间
结合条件中 x 范围求出即可.
【详解】（1）依题知函数 f x 与函数 y = 3sinx有相同的振幅和周期，所以 A = 3，w =1
f x x π因为函数 的图象关于直线 = 3 轴对称，
π π
所以 + j = + kπ,k Z3 2 ，
π
即j = + kπ,k Z，
6
0 j π
π
又因为 < < ，所以j =2 ，6
所以 f x = 3sin x
π
+
6 ÷
，
è
f 7π 7π π 3π 3 2 12 ÷
= 3sin + ÷ = 3sin = ．
è è 12 6 4 2
π
（2） g x = 3sin 2x + ÷ + 3sin2x = 3
3
sin2x
3
+ cos2x
è 3 2 2
÷÷
è
π
= 3 3sin 2x +

6 ֏
法一：因为 x 0, π ，所以 t = 2x π π 13π+ é , ù ，
6 ê 6 6 ú
y sint é π π ù é3π 13π= ù因为 在 ê , ú , ê , ú单调递增， 6 2 2 6
故 y = g x é的单调递增区间为 ê0,
π ù é2π
ú和 ê , π
ù
6 3 ú
．

法二：
π
由- + 2kπ 2x
π π
+ + 2kπ,k Z，
2 6 2
π
得- + kπ x
π
+ kπ,k Z，
3 6
又因为 x 0, π
所以 g x é的单调递增区间为 ê0,
π ù é2π
ú和 ê , π
ù
6 3 ú
．

命题点 2　根据单调性求参数
【例题 4】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数 y = sin wx +j w > 0,j 0,2π 的一条对称轴
x π f x π, 4π= - 为 ，且 在 3 ÷上单调，则w 的最大值为（ ）6 è
5 8 10
A． B．2 C． D．
3 3 3
【答案】C
kπ π
【分析】先利用函数对称轴可得 x = - k Z π, 4π ，又由在
w 6 3 ÷
上为单调函数，列不等
è
式可得w,k 间的不等关系，进而可得w 的最大值.
【详解】函数 y = sin wx +j w > 0,j 0,2π π一条对称轴为 x = - ，
6
πw π
\- +j = k1π + k6 2 1 Z ，
j k π π πw\ = 1 + + ， y = sin wx +j 的对称轴可以表示为2 6
wx π πw π+ k1π + + = k2π + k2 Z ，2 6 2
令 k = k2 - k x
kπ π 4π
1，则 = - k Z ， f x 在 π,

3 ÷上单调，w 6 è
ì kπ π
- π, w 6 6 k w 2 k 1 6 2则$k Z，使得 í ，解得 +k 1 π ，由 k k +1 ，得 k 3， + π 4π , 7 3 7 3 - w 6 3
8
当 k = 3时，w 取得最大值为 .
3
故选：C．
【变式 1】（2024·河南·三模）在VABC 中， tanA = 3tanB ， A - B的最大值为j ．若函数
f x = sin wx π π+j w > 0 é ù在区间 ê- , ú 上单调递增，则w 的最大值为 ． 6 6
【答案】2
π
【分析】由已知在VABC 中， tanA = 3tanB ，由 tan A - B 利用不等式可得j = ，然后利用
6
正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可.
【详解】因为 tanA = 3tanB ，故 B 为锐角，
tan A B tan A - tan B 2 tan B 2- = = =
且 1+ tan A × tan B 1+ 3tan2 B 1 + 3tan B ，
tan B
1
又 + 3tan B 1 2 ×3tan B = 2 3 ，
tan B tan B
tan A B 2 3 π所以 - = ，所以 A - B的最大值为 ，
2 3 3 6
π
即j = ，
6
1
当且仅当 = 3tan B时，即 tan B 3= ，等号成立，
tan B 3
π
函数 f x = sin wx + ÷ w > 0 ，
è 6
π
因为- x
π π π π π π
，所以 - w wx + + w ，
6 6 6 6 6 6 6
ì π π π
- w -
f x é π π ù 6 6 2要使 在区间 ê- , ú 上单调递增，则 í π π π ， 6 6 + w
6 6 2
所以0 < w 2，
所以w 的最大值为 2 .
故答案为： 2 .
π é π ù
【变式 2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 f (x) = cos wx - ÷ (w > 0)在区间 , π
è 6 ê 3 ú
上

单调递减，则w 的取值范围是 ．
é1 7 ù
【答案】 ,
ê2 6ú
é π ù 3
【分析】先根据区间 ê , π3 ú上的长度不大于半个周期求出
0 < w ，再根据 x 的范围确定
2
wx π
π
- é ù所满足的范围，由 f (x) 在区间 ê , π3 ú上单调递减，得到
w 的取值范围.
6
π
【详解】因为 f (x)
é , πù T π 2π在区间 ê 3 ú上单调递减，所以
π - = ，
2 3 3
T 4π 2π 4π则 ，即 ，所以0 w
3
< ，
3 w 3 2
因为 x
é π ù π wπ π π
ê , πú，w > 0，所以wx -
é
ê - ,wπ -
ù
ú， 3 6 3 6 6
3 wπ π π , π0 < w - - ù因为 ，所以 ，wπ
π π 4π
- - , ù，
2 3 6 è 6 3 ú 6 è 6 3 ú
f (x) é π , πù因为 在区间
ê 3 ú
上单调递减，

ìwπ π
- 0 3 6 1 7
，所以 í ，解得 w ，
wπ π- π 2 6
6
é1 7 ù
所以w 的取值范围为
ê
,
2 6ú．
é1 , 7 ù故答案为： ê ú . 2 6
π π
【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = sin(wx +j )在区间 ( , )6 2 上单调，其
π π
中w 为正整数， j ，且 f ( ) = f (π) .
2 6
(1)求 y = f x 图象的一条对称轴；
(2) f (π) 3若 = ，求j 的值．
6 2
7π
【答案】(1) x =
12
π
(2)
3
【分析】（1）由函数 f x 在区间上的单调性，根据题意和最小正周期的定义，求得
T 2π f (π ，再结合 ) = f (π)，即可确定对称轴；
3 6
（2）根据函数 f x 对称轴及函数值确定wx + j 的表达式，再结合最小正周期确定w 的可能
取值，分类讨论，即可求解．
π π
【详解】（1）解：因为函数 f x = sin(wx +j )在区间 ( , )6 2 上单调，
π π 2π
所以函数 f x 的最小正周期T 2 × ( - ) = ，
2 6 3
f (π又因为 ) = f (π)，所以 x
1 π
= ( + π) 7π= ，
6 2 6 12
7π
即直线 x = 为 y = f x 图象的一条对称轴．
12
2π 2π
（2）解：由（1）最小正周期T ，可得w = 3，
3 T
因为w N*，所以w =1或w = 2或w = 3，
x 7π 7π又因为 = 为 y = f x 图象的一条对称轴，可得 w +j π= + k1π,k1 Z，12 12 2
π 3 π w j π 2k π, k Z π 2π因为 f ( ) = ，可得 + = + 2 2 或 w +j = + 2k3π,k Z，6 2 6 3 6 3 3
π
若 w j
π 5π π
+ = + 2k2π, k2 Z，则 w = + (k1 - 2k2 )π, k6 3 12 6 1
Z, k2 Z，
即w
2 12
= + (k1 - 2k2 ),k1 Z,k2 Z，5 5
此时不存在整数 k1,k2，使得w =1或w = 2或w = 3；
π w j 2π 5π若 + = + 2k3π,k3 Z，则 w
π
= - + (k1 - 2k3)π, k1 Z,k3 Z ，6 3 12 6
2 12
即w = - + (k1 - 2k3), k1 Z, k3 Z，5 5
此时不存在整数 k1,k3 ，使得w =1或w = 3，
当 k1 = 2k3 +1 j
π
时，可得w = 2，此时 = + 2k3π,k3 Z，3
j π π因为 ，所以j = .
2 3
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
ln 4 - x
1．（2022 高三上·河南·专题练习）函数 f x = 的定义域为（ ）
sin x × x -1
1, π π ,4 1, π π,4 é1, π π ùA． ÷ ÷ B． C． ê ÷ , 4 D． 1, π π,4 è 2 è 2 2 è 2 ú
【答案】B
【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组
可求得结果.
ìx -1 > 0
【详解】要使 f x 有意义，需满足 í4 - x > 0，

sin x 0
解得1 < x < 4且 x π ．
所以定义域为 1, π π,4 .
故选：B．
f (x) 2cos x cos(x π2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 = × - )，则 y = f (x) 的图像（ ）
3
2π 5π
A．关于直线 x = 对称 B3 ．关于直线
x = 对称
6
( π , 1 πC．关于 )中心对称 D．关于 (- ,0)中心对称
12 2 12
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换公式化简函数 f (x) ，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】 f (x) = 2cosx ×cos(x π) 2cosx (1- = × cosx 3+ sinx)
3 2 2
= cos2x + 3sinxcosx 1+ cos2x 3= + sin2x = cos(2x π 1- ) + ，
2 2 3 2
f (2π) cos π 1 1 2π对于 A， = + = -3 2 2 ，函数
f (x) 关于直线 x = 3 对称，
A 正确；
5π 4π 1 5π
对于 B， f ( ) = cos + = 0，函数 f (x) 关于直线 x = 不对称，B 错误；
6 3 2 6
π
对于 C， f ( ) = cos(
π) 1 1- + ，函数 f (x)
π 1
关于 ( , )不成中心对称，C 错误；
12 6 2 2 12 2
π
对于 D， f (- ) = cos(
π) 1 1- + = ，函数 f (x) 关于 (
π 1
- , )中心对称，D 错误.
12 2 2 2 12 2
故选：A
π π
3．（2024·河北·二模）已知函数 f x = sin 2x + ÷ , g x = cos x + ÷ ，若对任意的
è 6 è 6
a,b π - m,m ，当 a > b时， f a - f b < g 2a - g 2b 恒成立，则实数m 的取值范围为
（ ）
7π ,19π 7π 17π ù π 19π π 17π ùA． ÷ B． , C． , ÷ D． ,
è 24 24 è 24 24 ú è 2 24 è 2 24 ú
【答案】D
【分析】构造函数 h x = f x - g 2x ，根据 h x 在 π - m, m 上单调递减列不等式组求解
即可.
【详解】当 a > b时，由 f a - f b < g 2a - g 2b 得 f a - g 2a < f b - g 2b ，
所以 h x = f x - g 2x 在 x π - m, m 上单调递减，
即 h x = sin 2x π+ ÷ - cos

2x
π π+ ÷ = 2sin

2x -

÷ 在 x π - m, m 上单调递减，
è 6 è 6 è 12
π 23π π
不妨设 2x - = t ，则问题转化成 h t = 2sint在 t - 2m, 2m -12 12 12 ÷上单调递减，è
ì23π 2m π - + 2kπ,
12 2
2m π 3π- + 2kπ π 17π所以 í ，其中 k Z ，解得 < m .
12 2 2 24

2m
π 23π
- > - 2m
12 12
故选：D.
π
4．（2024·重庆·二模）若函数 f x = sin 2x -j (0 j < π) 在 0, 3 ÷上单调递增，则j 的最小è
值为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】B
【分析】利用正弦型函数的单调性建立不等式，解不等式即可求解．
π π
【详解】令 2kp - 2x -j 2kπ+ ， (k Z)，
2 2
π j π j
解得 kπ - + x kπ + + ， (k Z)，
4 2 4 2
由于 f (x) 在 (0,
π )
3 上单调递增，
所以 kπ
π j
- + 0 x π< < kπ+ π + j (k Z) ，
4 2 3 4 2
kπ+ π j π即- -kπ+ ， (k Z)，
12 2 4
因为0 j < π，所以当 k = 0时，j
π
的最小值为 ．
6
故选：B．
二、多选题
f x cos 2x j (0 j π) π 5．（2024·云南·模拟预测）已知函数 = + < < 的图象关于点 ,03 ÷成中è
心对称，则（ ）
A． f x π 在区间 0,12 ÷ 上单调递减è
π π
B． f x 在区间 - , ÷上有两个极值点
è 2 6
π
C．直线 x = - 是曲线 y = f x 的对称轴
12
D 3．直线 y = -x - 是曲线 y = f x 的切线
2
【答案】ABD
【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，根据余弦函数的单调性即可判断 A；根
据极值点的定义即可判断 B；根据余弦函数的对称性即可判断 C；根据导数的几何意义即可
判断 D.
f π = cos 2π +j = 0 2π j kπ π【详解】由题意得： ÷ ÷ ，所以 + = + , k Z3 3 ，è è 3 2
j π即 = - + kπ,k Z，又0 < j < π
5π
，所以j = ，
6 6
f x = cos 故 2x
5π
+ ÷，
è 6
x 0, π 2x 5π 5π 对于 A，当 + , π12 ÷时， ，è 6 ÷è 6
f x 5π 所以 在 , π ÷ 上是单调递减，故 A 正确；
è 6
π π 5π π 7π
对于 B，当 x - , 2x + - ,
è 2 6 ÷
时， ，
6 ֏ 6 6
由余弦函数的图象知：有两个极值点，故 B 正确；
π 5π 2π
对于 C，当 x = - 时， 2x + = ，
12 6 3
x π所以直线 = - 不是曲线 y = f x 的对称轴，故 C 不正确；
12
对于 D， f x = -2sin 2x 5π+ ÷，
è 6
f x 2sin 2x 5π 1 sin 2x 5π 1令 = - +

÷ = - ，得 + ÷ = ，
è 6 è 6 2
π
从而得： x = kπ 或 x = - + kπ, k Z，
3
3 5π
所以函数 y = f x 在点 0,- 2 ÷处的切线斜率为 k = y = -2sin = -1x=0 ，è 6
y 3 x 0 y x 3切线方程为： + = - - ，即 = - - ，故 D 正确.
2 2
故选：ABD.
π
6．（23-24 高三上·广西·开学考试）已知 f (x) = 2cos(2x - ) ，则（
6 ）
A． f (x) 的最小正周期为 π
f (x) x 2kπ πB． 的图象的对称轴方程为 = - k Z
3
C． f (2023π) = 3
D． f (x) 在 (
3π
- , π- )上单调递减
2 2
【答案】AC
【分析】利用余弦函数的周期性质、对称性、单调性判断 ABD；计算函数值判断 C.
2π
【详解】对于 A， f (x) 的最小正周期为T = =π ，A 正确；
2
对于 B，由 2x
π
- = kπ,k Z，得 x
π kπ
= + , k Z ，B 错误；
6 12 2
对于 C， f (2023π) = 2cos(4046π
π π
- ) = 2cos = 3 ，C 正确；
6 6
x ( 3π对于 D，当 - ,
π
- )时， 2x
π
- ( 19π- , 7π- )，显然 f (
11π
- ) = 2cos(-2π) = 2，
2 2 6 6 6 12
因此函数 f (x) 在 (
3π
- , π- )上不单调，D 错误.
2 2
故选：AC
三、填空题
7．（22-23 高三上·吉林·阶段练习）函数 f x = Acos wx +j A > 0,w > 0, j < p 的部分图象
如图所示，则函数 f x 的解析式为 .
【答案】 f (x)
p
= 2cos(2x - )
3
【分析】由最大最小值可得A 的值，再由周期求出w ，最后根据五点法求出j 的值，可得 f (x)
的解析式.
【详解】设 f (x)
T 2p 5p p
的最小正周期为T ，由图可知 A = 2， = - =
4 3 12 4
w 2p\T = p ，由 = 得，w = 2，\ f (x) = 2cos(2x +j) .
T
Q f (5p ) = 2cos(2 5p p +j) = 0, j < p ，\j = - ，
12 12 3
\ f (x) p= 2cos(2x - ) .
3
故答案为： f (x) = 2cos(2x
p
- )
3
ì πx
8．（2024 高三·上海·专题练习）已知集合 S = íx | cos = 0, x Z}，T ={x | x=4t+1, t Z}，则
2
两集合间的关系是：T S ；
【答案】
ì πx
【详解】由题意，集合 S = íx | cos = 0, x Z}={x | x = 2k +1,k Z}，
2
又由集合T ={x | x=4t +1, t Z}={x | x=2 2t +1, t Z}，所以T S
故答案为：
9．（2023·北京昌平·二模）若函数 f x = cosx - Asinx(A > 0)的最大值为 2，则 A = ，
f x 的一个对称中心为 .
π
【答案】 3 ,0÷（答案不唯一）
è 6
【分析】根据辅助角公式求出 A，再由余弦型函数求出对称中心.
【详解】由 f x = cosx - Asinx = 1+ A2 cos(x +j)知， 1+ A2 = 2 (A > 0)，
解得 A = 3 ，
所以 f x = cosx - 3sinx π= 2cos(x + )，
3
x π令 + = kπ
π
+ , k Z π，可得 x = kπ + ,k Z，
3 2 6
π
即函数 f (x) 的对称中心为 kπ + ,0÷ ,k Z，
è 6
π
则满足条件的点如 ,0
7π
÷， ,0

÷等都可以.
è 6 è 6
π
故答案为： 3； ,0

÷（答案不唯一）
è 6
四、解答题
π
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 4sin x + ÷cosx -1.
è 6
(1)求 f x 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在VABC 中， f A =1, BC = 4，求VABC 周长的取值范围.
kπ π
【答案】(1)T = π ； - ,0÷ ,k Z
è 2 12
(2) 8,12
π
【分析】（1）易得 f x = 2sin 2x + ÷，再利用正弦函数的性质求解；
è 6
（2）由 f A =1, BC = 4结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长
4 3 π L△ABC = a + b + c = 4 + 4cosC + sinC
8 3
+ sinC = 8sin C + ÷ + 4，再利用正弦函数的性
3 3 è 6
质求解.

f x 4 3 1

【详解】（1）解：由题意得 = sinx + cosx ÷÷cosx -1 = 2 3sinxcosx + 2cos
2x -1，
è 2 2
= 3sin2x + cos2x = 2sin 2x π +

6 ÷
，
è
所以 f x 2π的最小正周期T = = π2 ；
令 2x
π
+ = kπ,k kπ π Z，则 x = - ,k Z，
6 2 12
kπ π
故 f x 图象的对称中心为 - ,0÷ ,k Z .
è 2 12
（2）由 f A = 2sin 2A π+ ÷ =1，得 sin
π 1
6
2A + ÷ = ，
è è 6 2
π π 13π
又0 < A < π ，所以 < 2A + < ，
6 6 6
所以 2A
π 5π
+ = ，则 A
π B C 2π= ，则 + = .
6 6 3 3
设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，
b c 4 8 3
= = =
由正弦定理得 sinB sinC sin π 3
，
3
b 8 3 sinB 8 3 2π= = sin - C ÷ = 4cosC
4 3
+ sinC c 8 3， = sinC ，
3 3 è 3 3 3
则周长 L△ABC = a + b + c = 4 + 4cosC
4 3
+ sinC 8 3+ sinC ，
3 3
= 4 + 4cosC + 4 3sinC = 8sin C
π
+

÷ + 4，
è 6
因为C
2π π π 5π
0, ÷，所以C + , ，
è 3 6 6 6 ÷è
故 sin

C
π 1
+ ,1ù ，因此 L
6 ÷ 2 ú △ABC
8,12 .
è è
11．（2022·上海宝山·模拟预测）已知函数 f x = cosx，g x = f wx 1 + j ÷，其中
è 2
j 0,2π
1 π
(1)若w = 且直线 x = 是 g x 的一条对称轴，求 g x 2 的递减区间和周期；2
2 π
(2)若w =1，j = π ，求函数 h x = f -x g x 在 0, 上的最小值；3 è 2 ÷
é 3
【答案】(1) ê- π + 4kπ,
π
+ 4kπù ,k Z ；4π
2 2 ú
1
(2) -
4
【分析】（1）根据题设中的对称轴可得j = 2kπ
π
- , k Z ，根据其范围可求其值，再根据公
2
式和整体法可求周期及减区间.
（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.
1 1
【详解】（1）可知 g(x) = cos x + j ÷，
è 2 2
π g x 1 π 1因为直线 x = 是 图象的一条对称轴，故 + j = kπ,k Z2 ，2 2 2
1 3
解得j = 2kπ
π 3π
- , k Z ，而j 0,2π ，故j = ，则 g(x) = cos x + π ÷，2 2 è 2 4
2π
则周期T = = 4π ，
w
1 x 3
3 π
再令 + π [2kπ, π + 2kπ], k Z
é
，则 x ê- π + 4kπ, + 4kπ
ù
ú , k Z ，2 4 2 2
g(x) é 3故 的递减区间为 ê- π + 4kπ,
π
+ 4kπù ,k Z .
2 2 ú
（2）可知 g(x) cos
x π= +

÷
è 3
h(x) = cos(-x) cos π x +

÷ = cos x cos
π
3
x + ÷
è è 3

= cos x 1 cos x
3 1
- sin x ÷÷ = cos
2 x 3- sin x cos x
è 2 2 2 2
1 1+ cos 2x 3 1
= × - sin 2x = - sin
2x π- 1 ÷ +
2 2 4 2 è 6 4
x 0, π 2x π- π , 5π- 因为 ÷ ，故 ÷ ，
è 2 6 è 6 6
则在 2x
π π 1 1 1
- = 即 x
π
=
3 取
h x 最小值，其最小值为- + = - .
6 2 2 4 4
【综合提升练】
一、单选题
π
1．（2024·

云南·二模）函数 f (x) = sin 2x + 3 ÷的最小正周期为（ ）è
π π π
A． π B． C． D．
2 3 6
【答案】A
【分析】由周期公式直接求解可得.
T 2π 2π【详解】由周期公式得 = = = π .
w 2
故选：A
2．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合 A = x N 2x2 - x -15 0 ，B = y y = cos x ，则 AI B =
（ ）
A． x -1 x 1 B． 0,1 C． -1,0,1 D． 1
【答案】B
【分析】根据题意，将集合 A, B化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】 A = x N 2x2 - x -15 0 ìx 5 ü= í N - x 3 = 0,1,2,3 ，
2
而B = y -1 y 1 ，故 AI B = 0,1 ，
故选：B．
π
3．（2024·天津河东·一模）关于函数 f x = tan 2x + ÷，下列结论正确的为（ ）
è 3
f x π π ,0 A． 的最小正周期为 B． ÷是 f x 的对称中心
è12
C é．当 x ê0,
π ù
ú 时， f x
π 2π
3 的最小值为
0 D．当 x ,3 3 ÷时，
f x 单调递增
è
【答案】B
【分析】利用正切函数的最小正周期的计算方法判断 A，利用对称中心的计算方法判断 B，
举反例判断 C，D 即可.
π π
【详解】对于 A，易知T = ，则 f x 的最小正周期为 ，故 A 错误，
2 2
π kπ 1 1 π
对于 B，易知 2x + = ， k Z，解得 x = kπ - π， k Z，当 k =1时， x = ，
3 2 4 6 12
π
此时对称中心为 ,0

÷ ，故 B 正确，
è12
π
对于 C，当 x = 时， f x = - 3 ，故 f x 的最小值不为 0，故 C 错误，
6
对于 D，易知 f
π 2π π 2π
÷ = 0， f < 0，故当 x , 时， f x 并非单调递增，故 D 错误.
è 3 è 3 ÷ è 3 3 ÷
故选：B
f (x) 2 cos( π x π4．（2024·宁夏·二模）设函数 = + ) ，若对于任意的 x R ，都有
π 2 4
f (x1) f (x) f (x2 )，则 | x1 - x2 |的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D 1． 2
【答案】B
【分析】由题意可得 f x1 是函数的最小值， f x2 是函数的最大值，可知 x1 - x2 的最小值
就是函数的半周期长．
【详解】若对于任意的 x R ，都有 f (x1) f (x) f (x2 )，
则 f (x1)是函数 f (x) 的最小值， f (x2 )是函数 f (x) 的最大值， | x1 - x2 |的最小值即为函数 f (x)
的半周期长，
2 π π 2π T
而函数 f (x) = cos( x + ) T = = 4的最小正周期 π ，因此 | x1 - x2 |min = = 2．π 2 4 2 2
故选：B
lg 1+ x2
5．（2024· 四川自贡·一模）函数 y = 的图象可能为（ ）
cosx
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及诱导公式，结合特殊值即可求解.
π
【详解】由 cos x 0，解得 x = kπ + , k Z ,
2
lg 1+ x2 ì π ü
所以函数 y = 的定义域为 íx x = kπ + , k Z2
,
cosx
lg éê 1+ -x 2 ù ú lg 1+ x2 所以 f -x = = = f x ,cos -x cosx
lg 1+ x2
所以 y = 为偶函数，函数的图象关于 y 轴对称，排除选项 B，
cosx
lg 1+ 02
而 f 0 = = 0，排除选项 C，
cos0
lg 1 π
π
+
3 ÷f è π ÷ = = 2lg 1+ ÷ > 2lg 2 > 0 ，排除选项 A，
è 3 cos π è 3
3
故选：D.
f x = sin π 6．（2024·山东·二模）将函数 2x + ÷的图象向左平移j j > 0 个单位长度得到函
è 3
g x x 11π数 的图象，若 = - 为 g x 图象的一条对称轴，则j 的最小值为（
6 ）
π 5π 7π 2π
A． B． C． D．
12 12 12 3
【答案】B
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出 g(x)，再根据正弦函数的对称轴求出j 和
整数 k 的关系式，再对 k 取值即可求解.
g(x) sin 2(x π【详解】由题意得： = + +j) = sin(2x
π
+ + 2j)，
6 3
x 11又因为 = - π 是 g(x)的一条对称轴，
6
所以 kπ
π 11 π
+ = 2 ×
2
- π ÷ + + 2j, k Z，
è 6 3
j kπ 23即 = + π,k Z，下面结合选项对整数 k 取值（显然 k 取负整数）：
2 12
17
k = -1时，j = π ；
12
11
k = -2 时，j = π ；
12
5
k = -3时，j = π ；
12
-π
k = -4 时，j = .
12
故选：B.
π
7．（2024·陕西渭南·二模）关于函数 f x = sin2x + 2sin x + ÷ ，给出如下结论：
è 4
f x π① 的图象关于点 - ,0

4 ÷ 对称è
② f x π的图象关于直线 x = 4 对称
③ f x 的最大值是 3
④ π是函数 f x 的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据 f
π π π
- + x ÷ + f - - x ÷ = 0 是否成立即可判断①；根据 f - x ÷ = f x 是否成
è 4 è 4 è 2
立即可判断②；令 t = sin x + cos x = 2 sin

x
π
+ ÷ , t é - 2, 2ù ，再结合二次函数的性质即è 4
可判断③；根据 f x + π = f x 是否成立即可判断④.
π π
【详解】对于①， f - + x ÷ = sin - + 2x ÷ + 2sin x = -cos 2x + 2sin x ，
è 4 è 2
f π - - x
= sin π ÷ - - 2x ÷ + 2sin -x = -cos 2x - 2sin x，
è 4 è 2
f π- + x + f π则 ÷ - - x

÷ = -2cos 2x 0 ，
è 4 è 4
所以 f x π- ,0 的图象不关于点 4 ÷ 对称，故①错误；è
π
对于②， f - x

÷ = sin π - 2x + 2sin
π - x π+ = sin 2x + 2sin x π+ ÷ ÷ = f x ，
è 2 è 2 4 è 4
f x x π所以 的图象关于直线 = 4 对称，故②正确；
π
对于③， f x = sin2x + 2sin x + ÷ = 2sin x cos x + 2 sin x + cos x ，
è 4
令 t = sin x + cos x = 2 sin
π
x + ÷ , t é ù
è 4
- 2, 2 ，
则 2sin x cos x = sin x + cos x 2 -1 = t 2 -1，
则 y = t 2 + 2t -1，
当 t = 2 时， ymax = 3，
所以 f x 的最大值是 3，故③正确；
对于④， f x + π = sin 2x + 2π + 2sin π π + x + ÷ = sin 2x - 2sin x
π
+ ÷ f x ，
è 4 è 4
所以 π不是函数 f x 的周期，故④错误.
所以正确结论的个数为 2个.
故选：B.
π
8．（2024·天津·二模）已知函数 f x = sin 2wx + ÷ + sin

2wx
π
- ÷ + 2cos
2wx -1(w > 0)，则
è 6 è 6
下列结论正确的是（ ）
A．若 f x π相邻两条对称轴的距离为 ，则w = 2；
2
B é．若w =1，则 x ê0,
π ù
ú 时， f x 的值域为 -1,12 ；
C．若 f x é在 ê0,
π ù 2
2 ú 上单调递增，则
0 < w ；
3
D．若 f x 在 0, π 11 w 17上恰有 2 个零点，则 < .
12 12
【答案】D
【分析】将 f x 化简为 f (x) = 2sin(2wx π+ )，再根据选项逐一判断即可.
6
f x = sin 【详解】 2wx
π
+ + sin ÷ 2wx
π
- ÷ + 2cos
2wx -1 = 2sin 2wx cos π + cos 2wx
è 6 è 6 6
= 3 sin 2wx + cos 2wx = 2sin(2wx π+ )，
6
对于 A：若 f x π 2π相邻两条对称轴的距离为 ，则最小正周期为 π，故 = π,v =1，选项 A
2 2v
不正确；
对于 B， 若w =1，则 f (x) = 2sin(2x π+ )6 ，
x é0, π ù 2x π [ π当 ê ú 时， + ,
7π],sin(2x π+ ) [ 1 - ,1], f x 的值域为 -1,2 ，选项 B 不正确；
2 6 6 6 6 2
é π ù π π 1
对于 C：若 f x 在 ê0, ú上单调递增，则0 π π π
对于 D： x 0, π ，则 2v x + [ , 2v π + ]，若 f x 在 0, π 上恰有 2 个零点，
6 6 6
则 2π 2v π
π 3π 11 w 17+ < ，则 < ，选项 D 正确.
6 12 12
故选：D.
二、多选题
π π
9．（23-24 高三上·山西运城·期末）已知函数 f x = tan x + ÷ +1，则（2 4 ）è
A． f x f x ìx x 1 ü的一个周期为 2 B． 的定义域是 í + k,k Z
2
C． f x 1的图象关于点 ,1 f2 ÷对称 D． x 在区间 1,2 上单调递增è
【答案】ACD
【分析】
利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.
f x = tan π x π+ +1 T
π
= = 2
【详解】对于 A，由 ÷ 可知其最小正周期 π ，故 A 正确；
è 2 4 2
f x = tan π x π+ +1 π x π π kπ x 1对于 B，由 ÷ 可知 + + + 2k, k Z，
è 2 4 2 4 2 2
故 B 错误；
f x tan π x π= + 1 π π π对于 C，由 ÷ +1可知 x = x + = ，
è 2 4 2 2 4 2
1
此时 f x 的图象关于点 ,12 ÷对称，故 C 正确；è
对于 D，由 f x = tan π x π+ 1 π π é3π 5π ÷ +
ù
可知 x 1,2 x + , ，
è 2 4 2 4 ê 4 4 ú
y = tan x é π , 3π ù é3π 5π ù π 3π又 在 ê ú上递增，显然 ê , ú
é
ê ,
ù
，故 D 正确.
2 2 4 4 2 2 ú
故选：ACD
10．（2024·贵州贵阳·二模）函数 f (x) = A tan(wx +j)(w > 0,0 < j < π) 的部分图象如图所示，
则（ ）
A．w ×j
2π
=
3
π
B． f (x)
é
在 ê0,
ù
ú 上的值域为3 (- ,- 3] [ 3, + )
5π
C．函数 y =| f (x) |的图象关于直线 x = 3 对称
5π π
D．若函数 y =| f (x) | +l f (x) 在区间 - , ÷上不单调，则实数l 的取值范围是[-1,1]
è 6 6
【答案】CD
【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得w 的值，再根据函数特
殊点求得j, A的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.
π π 5π
【详解】函数的最小正周期为T ，则有T = = - - ÷ w =1，即 f (x) = A tan(x +j) ，w 6 è 6
π π π
由函数的图象可知： +j = j = ，即 f (x) = A tan
x π +

÷，6 2 3 è 3
π π
由图象可知： f (0) = A tan = 2 3 A = 2，所以w ×j = ，因此A 不正确；
3 3
B, f (x) = 2 tan x π+ x π x π π π关于 ÷ ， 当 = 时， + = ，故 f x 在 x = 处无定义，
è 3 6 3 2 6
故 B 错误.
f 5p x 5π π- = 2 tan - x + = 2 tan x , f 5π + x 因为 ÷ ÷ ÷ = 2 tan
5π π
+ x +

÷ = 2 tan x ，
è 3 è 3 3 è 3 è 3 3
5p
所以 f - x
5p
÷ = f + x ÷ ，所以函数 y =| f (x) |
5π
的图象关于直线 x = 3 对称，
C 正确；
è 3 è 3
y = f (x) + l f (x) = 2 tan x π+ π ÷ + 2l tan x +

÷ ，
è 3 è 3
x π π - , 当 ÷时， y =| f (x) | +l f (x) =
è 3 6
2 tan x p +

÷ + 2l tan
π
x + ÷ = 2 tan
x π π π +

÷ + 2l tan

3 3 3
x + ÷ = (2 + 2l) tan x + ÷，
è è è è 3 è 3
x 5p p p p p当 - , -
ù
ú 时， y = f (x) + l f (x) = 2 tan

x +

÷ + 2l tan

x +
= -2 tan
6 3 ÷
x + ÷
è è 3 è 3 è 3
+2l tan π x +

÷ = (-2 + 2l) tan
π
3
x + ÷，
è è 3
当函数 y =| f (x) | +l f (x)
5π π
在区间 - , ÷上不单调时，则有
è 6 6
(2 + 2l)(-2 + 2l) 0 -1 l 1，故 D 正确.
故选：CD．
π
11．（2024·海南·模拟预测）已知函数 f (x) = cos(wx +j)的一个最大值点为 x = - ，与之相
12
π
邻的一个零点为 x = ，则（
6 ）
A． f (x)
π π
的最小正周期为 B． f (x + )为奇函数
2 6
f (x) [5π ,11π
π
C． 在 ] 1 312 12 上单调递增 D．
f (x) 在[0, ]上的值域为
4 [ , ]2 2
【答案】BC
【分析】根据给定函数性质，求出 f (x) 的解析式，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】依题意， f (x) T 4[
π ( π的最小正周期 = - - )] π | w |
2π
= ， = = 2，
6 12 T
π π π
当w = 2时， 2(- ) +j = 2kπ,k Z，解得j = + 2kπ,k Z ， f (x) = cos(2x + ) ，
12 6 6
π π π
当w = -2 时，-2(- ) +j = 2kπ,k Z，解得j = - + 2kπ,k Z ， f (x) = cos(2x + ) ，
12 6 6
π
因此 f (x) = cos(2x + ) ，
6
对于 A，函数 f (x) 的最小正周期为 π，A 错误；
π
对于 B， f (x + ) = cos(2x
π
+ ) = -sin2x ，此函数为奇函数，B 正确；
6 2
x [5π 11π对于 C，当 , ]时， 2x
π
+ [π,2π]，由余弦函数的性质知，
12 12 6
5π 11π
函数 f (x) 在[ , ] C12 12 上单调递增， 正确；
π
对于 D，当 x [0, ] 2x π π 2π π 1 3时，4 + [ , ], cos(2x + ) [- , ]
，D 错误.
6 6 3 6 2 2
故选：BC
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）函数 f x = tan 3x π+ ÷的图象的对称中心为
è 6
kπ π
【答案】 - ,0 k Z
è 6 18 ÷
【分析】根据 y = tan x
kπ
的对称中心为 ,0÷ ,k Z可求解.
è 2
【详解】令3x
π kπ kπ π
+ = ， k Z ，解得 x = - , k Z，所以对称中心为
6 2 6 18
kπ π
- ,0

÷ ,k Z .
è 6 18
kπ π
故答案为: - ,0÷ k Z .
è 6 18
y = tan 3x π 13．（2023·上海普陀·一模）若函数 在区间 m, ÷上是严格增函数，则实数m 的取
è 6
值范围为 .
é π , π- 【答案】 ê 6 6 ÷
【分析】解出正切型函数单调区间，则得到m 的范围.
kπ π 3x kπ π kπ π kπ π【详解】令 - < < + ， k Z，解得 - < x < + ， k Z，
2 2 3 6 3 6
π π π π
令 k = 0 é ，则其一个单调增区间为- < x < ，则实数m 的取值范围为 - , ，
6 6 ÷ ê 6 6
é π π
故答案为： ê- , 6 6 ÷
.

p é p p ù é p p ù
14．（2022·全国·模拟预测）若函数 y = tan wx + ÷在 - ,
è 4 ê 3 3 ú
上单调递减，且在 - ,
ê 3 3 ú
上的最大值为 3 ，则w = .
1
【答案】- /-0.25
4
é p , p- ù 3【分析】先根据函数在 ê ú 上单调递减及周期，确定- w < 0 ，再根据函数的最大值 3 3 2
求解.
【详解】因为函数 y = tan
wx p é p p+ ù 4 ÷在 ê
- , ú 上单调递减，è 3 3
p 2 3
所以w < 0 ， pw 3 ，则- w < 0 ，2
é p
又因为函数在 ê- ,
p ù
ú 上的最大值为3 3 3 ，
p p p
所以- w + = + kp , k Z
1
，即w = - - 3k, k Z ，
3 4 3 4
1
所以w = - .
4
1
故答案为：-
4
四、解答题
15．（2024·上海金山·二模）已知函数 y = f (x) ，记 f (x) = sin wx +j ，w > 0，0 < j < π ，
x R .
(1)若函数 y = f (x) 的最小正周期为 π，当 f (π) = 16 时，求
w 和j 的值；
π
(2)若w =1，j = ，函数 y = f 2 (x) - 2 f (x) - a有零点，求实数 a的取值范围.
6
π
【答案】(1)w = 2，j =
6
(2) a [-1,3]
【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得w ，再利用三角函数的值域与周期性求得j ，从
而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为 t 2 - 2t - a = 0在 x [-1,1]有解，从而利用参变分
离法或二次函数根的布分即可得解.
2π
【详解】（1）因为函数 y = f (x) 的最小正周期 = π ，所以w = 2，
w
则当 x
π
= 时，sin
π
+ j

÷ = 1，6 è 3
π
所以 +j = 2kπ
π
+ (k Z) j 2kπ π ，得 = + (k Z)，
3 2 6
因为0 < j < π
π
，所以取 k = 0得j = ，
6
（2）解法一：
π π
当w =1，j = 时， f x = sin x + ÷， x R ，6 è 6
设 t = f x = sin x π + ÷ [-1,1]，
è 6
由题意得， t 2 - 2t - a = 0在 x [-1,1]有解，化简得 a = t 2 - 2t ，
又 g(t) = t 2 - 2t = t -1 2 -1在 t [-1,1]上单调递减，
所以-1 g(t) 3，则 a [-1,3] .
解法二：
π
当w =1，j = 时， f x π= sin x +

， x R ，
6 è 6 ÷
设 t = f x = sin x
π
+ ÷ [-1,1]，
è 6
由题意得， t 2 - 2t - a = 0在 x [-1,1]有解，
记 h(t) = t 2 - 2t - a，对称轴为 t =1，
ìΔ 0 ì 4 + 4a 0
则由根的分布可得 í
h -1 0
，即 í 2 ，解得-1 a 3

，
-1 - 2 × -1 - a 0
所以 a [-1,3] .
π 2π
16．（2023·广东佛山·一模）已知函数 f x = sin wx +j 在区间 ,6 3 ÷上单调，其中
w 为正
è
π π π
整数， j < ，且 f ÷ = - f

.
2 3 ÷è è 2
(1)求 y = f x 图象的一个对称中心；
p 3
(2) f 若 ÷ = ，求j .
è 4 2
5π
【答案】(1) ,0
è 12 ÷
π
(2) 6
π π
f π π
+3 2 ÷
【分析】（1）根据单调区间，以及 3 ÷
= - f ÷可得 f2 2 ÷
= 0 ，进而可得对称中心；
è è ÷
è
p
2
3
（ ）先根据单调区间求出w 的可能取值，然后根据 f ÷ = 得到w 和j 的关系，根据关
è 4 2
系以及w 的可能取值对照验证计算即可.
【详解】（1）因为 f x π , 2π 在区间 ÷上单调，
è 6 3
f π π π π 2π π π 2π 且 = - f ， , ， , ，
è 3 ÷ 2 ÷ 3 6 3 ÷ 2 6 3 ÷ è è è
π π
+

3 2 ÷ 5π
所以 f 2 ÷
= f 12 ÷
= 0，
÷ è
è
所以 y = f x 5π 图像的一个对称中心是 ,0÷；
è 12
（2）由题设， f x 2π π π π π π的最小正周期T 2 - ÷ = π， - = < ，
è 3 6 2 3 6 2
故w
2π
= ≤ 2，由w N*，得w = 1,2T ，
5π
由 ,0

÷为 f (x) = sin wx +j 12 的一个对称中心，è
5π
所以 w +j = k1π， k1 Z ①.12
p 3 π π π 2π
因为 f = ，所以 w +j = + 2k π或 w +j = + 2k π， k ， k Z .
è 4 ÷
2 3 2 3
2 4 3 4 3
π π π π
若 w +j = + 2k2π ②，①-②得 w = - + k - 2k π ，4 3 6 3 1 2
即w = -2 + 6 k1 - 2k2 .
不存在整数 k1， k2 ，使得w = 1,2 .
π 2π
若 w +j = + 2k3π
π 2π
③，①-③得 w = - + k - 2k π ，
4 3 6 3 1 3
即w = -4 + 6 k1 - 2k3 ，
不存在整数 k1， k3 ，使得w =1，当 k1 = 2k3 +1时，w = 2 .
j 2π π π此时 = - + 2k3π= + 2k3π ，由 j
π
< ，
3 2 6 2
得j
π
= .
6
ì sin x = m
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知 í (m R)，设 f (x) = l .
cos x = 3l - 3m
(1)求函数 f (x) 的对称中心；
(2)若VABC 2 3 3中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c， f (A) = ，且VABC 外接圆的半径为 ，
3 3
D是BC 边的中点，求线段 AD 长度的最大值.
π
【答案】(1) (kπ - ,0), k Z
6
(2) 3 .
2
【分析】（1）由方程组消元即得 f (x) 得表达式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可
求得其对称中心；
2 2 3（ ）利用（1）中结论和 f (A) = 求得角A ，由正弦定理和条件求得边 a长，利用余弦
3
uuur
定理和线段中点的向量表达式求得 | AD |的表达式，最后借助于基本不等式即可求得.
ì sin x = m
【详解】（1）由 í 得 f (x) = sin x 3+ cos x 2 3= sin(x π+ ) .
cos x = 3l - 3m 3 3 6
x π令 + = kπ,k Z
π
，解得 x = kπ - ,k Z，
6 6
所以函数 f (x)
π
的对称中心为 (kπ - ,0), k Z .
6
（2）
2 3 π 2 3 π
如图，由（1）知 f (A) = sin(A + ) = ， A 0, π ，∴ A = ，
3 6 3 3
3 3
又VABC 外接圆的半径为 ，由正弦定理得： a = 2 sin A =1，
3 3
2
∴ cos A b + c
2 - a2
由余弦定理 = ，得bc = b2 + c2 -1.
2bc
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
又因 2AD = AB + AC ，则 4 AD = AB + AC + 2 AB × AC cos A，
uuur
即得： 4 | AD |2 = c2 + b2 + bc = 2(c2 + b2 ) -1
b2 2
由bc + c= b2 + c2 -1 ，解得： c2 + b2 2 ，（当且仅当b = c =1时等号成立），
2
uuur uuur
故 4 | AD |2 3，即 | AD | 3max = ，此时，b = c =1 .2
18．（2020·山西大同·一模）已知 f (x) = 3 cos 2x 2sin
3π+ + x ÷sin π - x ， x R ，
è 2
(1)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间；
(2)已知锐角VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 3，求BC 边上的
高的最大值.
é 7π π ù
【答案】(1)最小正周期T = π ，单调递增区间为 ê- + kπ,- + 2kπú ,k Z 12 12
(2) 3 3
2
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的周期性和单调性结合整体思想即可
得解；
（2）根据 f (A) = - 3 求得角A ，设BC 边上的高为 h ，根据三角形的面积公式可得
h 3= bc，再利用正弦定理求得b,c，再根据三角形的内角关系及三角函数求出bc的最大
6
值，即可得解.
【详解】（1）解： f (x) = 3 cos 2x + 2sin
3π
+ x

÷sin π - x
è 2
= 3 cos 2x - 2cos x sin x
= 3cos2x -sin 2x = 2cos π 2x + ÷，
è 6
2π
所以函数 f x 的最小正周期T = = π2 ，
令-π + 2kπ 2x
π
+ 2kπ,k Z 7π π ，则- + kπ x - + 2kπ,k Z，
6 12 12
é 7π π ù
所以函数 f x 单调递增区间为 ê- + kπ,- + 2kπú ,k Z； 12 12
（2）解：因为 f (A)
π
= 2cos 2A +

6 ÷
= - 3 ，
è
cos π 3所以 2A + ÷ = - ，
è 6 2
A 0, π 2A π π , 7π又 ，则 +

2 ÷ 6 6 6 ÷
，
è è
所以 2A
π 5π
+ = π，所以 A =
6 6 3
，
设BC 边上的高为 h ，
1
则 SVABC = bc sin A
1
= ah，所以 h 3= bc，
2 2 6
a b c
因为 = = = 2 3 ，
sin A sin B sin C
所以b = 2 3sin B，
c = 2 3 sin C = 2 3 sin 2π - B 3 ÷
= 3cos B + 3 sin B ，
è
则bc = 2 3 sin B 3cos B + 3 sin B = 6 3 sin B cos B + 6sin2 B
= 3 3 sin 2B + 3- 3cos 2B = 6sin 2B
π
- ÷ + 3，
è 6
ì
0 < B
π
<
2 π
因为 í ，所以 < B
π
<
0 2π π
，
< C = - B < 6 2
3 2
π 2B π 5π故 < - < ，
6 6 6
π π π
所以当 2B - = ，即 B = 3 时， bc = 96 2 max ，
h 3 3所以 max = ，2
3 3
即BC 边上的高的最大值为 .
2
é 5p ù
19．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 f (x) = (x - m)sin x + cos x， x ê0, . 4 ú
p
(1)当m≤ 时，讨论 f (x) 的单调性；
2
(2)若m = 0， f (x) +1 a(x - p )，求 a .
【答案】(1)见解析
(2) a = -p
p p
【分析】（1）求出函数的导数，就m = 、0 < m < 、m 0分类讨论后可得函数的单调性.
2 2
（2）就 a > -p 、 a < -p 分类讨论后可得a = -p ，再证明a = -p 时，不等式是恒成立的.
【详解】（1） f (x) = sin x - sin x + x - m cos x = x - m cos x，
p
若m = 时，则 f (x) =
x p- cos x ，2 è 2 ÷
x é0, 5p当
ù p
ê ú时， f (x) 0恒成立，当且仅当 x = 2 时等号成立， 4
f x é0, 5p ù故此时 在 ê ú 为减函数，无增区间. 4
当0 m
p p
< < 时，若0 < x < m，则 f (x) < 0 ；若m < x < ，则 f (x) > 0 ，
2 2
p 5p
< x < ，则 f (x) < 0 ，
2 4
p p 5p
故 f (x)
é é ù
在 0, m 上为减函数，在 êm, 2 ÷ 上为增函数，在 ê
, 上为减函数.
2 4 ú
p 5p
当m
p
0时，若 0 < x < ，则 f (x) > 0 ， < x <2 ，则 f
(x) < 0 ，
2 4
p p 5p
故 f (x)
é é ù
在 ê0, 2 ÷
上为增函数，在
ê
,
2 4 ú
上为减函数.

（2）m = 0时， f (x) +1 a(x - p )即为 x sin x + cos x +1 a(x -p )，
5p
因为任意 x
é ù
ê0, ú时， x sin x + cos x +1 a(x -p )恒成立， 4
故 g x = x sin x + cos x +1- a(x -p ) 0 é在 ê0,
5p ù
ú 上恒成立， 4
而 g x = x cos x - a ， g p = -p - a ，
若 a > -p ，在 g p < 0，因为 g x 为不间断函数，
所以存在0 < x 0 < p ，使得"x x0 ,p ，总有 g x < 0，
故 g x 在 x0 ,p 上为减函数，故"x x0 ,p ， g x > g p = 0，这与题设矛盾.
若 a < -p ，在 g p > 0，因为 g x 为不间断函数，
5p
所以存在 > x0 > p ，使得"x p , x0 ，总有 g x > 0，4
故 g x 在 p , x0 上为减函数，故"x p , x0 ， g x > g p = 0，这与题设矛盾.
故a = -p ，此时 g x = x cos x +p ，
当 0 < x < π时， g x = x cos x +p > -p +p = 0，
p x 5p当 < < 时， g x = x cos x +p = x cos x
p
+ ，
4 ֏ x
设 h x = cos x p+ ，则 h x = -sin x p- 2 ，x x
5p
因为 y = -sin x, y
p
= - 2 在 p , ÷ 上均为增函数，x è 4
p , 5ph x 故 在 上为增函数，
è 4 ÷
h p = 0 h 5p 2 16 16 20p -16而 ， ÷ = - > 0.8 - = > 0，
è 4 2 25p 25p 25p

故存在 x1 p ,
5p
÷，使得 x p , x1 时， h x < 0，
è 4
x x , 5p 使得 1 ÷时， h x > 0，故 h x 在 p , x
5p
4 1
为减函数，在 x1, 4 ÷上为增函数，è è
"x 5p
ì ü
故 p , ÷，总有 h x < max
ìh p , h 5p üí ÷ = max

í0,
2 4
- + = 04 ，è è 4 2 5
5p
故当p < x < 时， g x < 0，4
故 g x 在 p ,
5p
÷ 上为增函数，在 0,p 上为减函数，故 g x = g p = 0
è 4 max
，
综上，a = -p .
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 f x = 2sin2wx - cos2wx的两条相邻的对称轴的距离为
π
，则下列说法正确的是（ ）
2
f x 3 3A． = - cos2x
2 2
f x π , 1 B． 的图象关于点 对称
è 2 2 ÷
C． f x π的图象关于直线 x = 2 对称
D． f x é π 2π ù在 ê , 上单调递增 3 3 ú
【答案】C
1 3 π
【分析】根据已知条件化简得 f x = - cos2x，即可判断 A；求出 f = 2 0，即可判
2 2 è 2 ÷
f π = 2 ékπ, π + kπù断 B；求出 ÷ ，即可判断 C；求出函数的单调递增区间为
è 2 ê 2 ú
, k Z ，即可

判断 D.
f x 2sin2wx cos2wx 1 cos2wx cos2wx +1 1 3【详解】由题知， = - = - - = - cos2wx，
2 2 2
π 2π
由两条相邻的对称轴的距离为 ，得函数的最小正周期为T = = π2 w ，解得w = ±1，2
f x 1 3所以 = - cos ±2x 1 3= - cos2x ，故 A 错误；
2 2 2 2
π 1 3
因为 f x 1 3= - cos2x ，所以 f ÷ = - cosπ = 2，2 2 è 2 2 2
所以 f x π 1 的图像不关于点 , ÷ 对称，故 B 错误；
è 2 2
当 x
π
= 时， cos2x = cosπ = -1， f x π2 的图象关于直线 x = 2 对称，故 C 正确；
令 2kπ 2x π + 2kπ, k Z ，得 f x é的单调递增区间为 êkπ,
π
+ kπù , k Z ，
2 ú
é π π ù é π 2π ù
所以 f x 在 ê , ú 上单调递增，在 ê , 上单调递减， 3 2 2 3 ú
所以 f x é π 2π ù在 ê , ú上不具有单调性，故 D 错误. 3 3
故选：C.
π 2π
2．（2024·江苏南通·
é ù
二模）已知函数 y = 3 sinwx + coswx （w > 0）在区间 ê- , 上单调 4 3 ú
递增，则w 的最大值为（ ）
1 12 8
A． B 1． 2 C． D．4 11 3
【答案】B
π
【分析】根据条件，利用辅助角公式得到 y = 2sin(wx + )，再利用 y = sin x 的图象与性质，
6
ì π
2π
3
得到 y = 2sin(wx
π
+ ) 3 w的单调增区间，再根据条件，可得到 .
6 í 2π
，即可求出结果
-
3 π
- w 4
【详解】因为 y = 3 sinwx + coswx
π
= 2sin(wx + )，又w > 0，
6
π 2kπ wx π π
2π π
由- + + + 2kπ,k Z - + 2kπ + 2kπ，得到 ，
2 6 2 3 x 3 ,k Zw w
é 2π π
ê- + 2kπ + 2kπ
ù
ú
所以函数 y = 3 sinwx + coswx 3 3的单调增区间为 ê , ú (k Z) ，
ê w w ú

ì π
é 2π π ù 2π 3
é π , 2π ù
ê- + 2kπ + 2kπ 3 3 ú 3 w 1
依题有 -
ê 4 3 ú
ê , ú (k Z) ，则 í 0 < w≤2π ，得到 ，ê w w ú - 2
3 π
- w 4
故选：B.
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 f (x) = sin 2wx + cos 2wx(w >1)
π
的一个零点是 ，且 f (x)
2
π π
在 - ,

÷ 上单调，则w =（6 16 ）è
5 7 9 11
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】B
f (x) 2 sin 2wx π【分析】整理可得 = +
π
÷ ，以 2wx + 为整体，根据单调性分析可得1< w 2，
è 4 4
再结合零点分析求解.
【详解】因为 f (x) = sin 2wx + cos 2wx = 2 sin

2wx
π
+
4 ÷
，
è
x π π - , ÷，且w >16 16 时，è
可得 2wx
π π
+ - w
π π π
+ , w + π π π π÷ ，且- w + < 0 < w + ，4 è 3 4 8 4 3 4 8 4
ì π π π- w + -
π , π
3 4 2
若 f (x) 在 - ÷ 上单调，则 í π π π ，解得
1< w 2，
è 6 16 w +
8 4 2
π π 1
又因为 f (x) 的一个零点是 ，则 πw + = kπ,k Z，解得w = k - , k Z ，
2 4 4
所以 k = 2,w
7
= .
4
故选：B.
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0)满足：对"x R ，有
f 0 f x f π w y f x é π π ù ÷ ，若存在唯一的 值，使得 = 在区间 ê - m, + mú (m > 0)上单è 2 4 4
调递减，则实数 m 的取值范围是（ ）
π ù π π ù π π ù π π ù
A． 0, , , ,
è 12 ú
B． 28 12 ú
C． D．20 12 ú è è è 28 20 ú
【答案】B
【分析】由对"x R ，有 f 0 π f x f ÷ ，可得j = 2k1π
π
- k1 Z ，è 2 2
w = 4k + 2 k Z y = f x é π π ù2 2 ，结合 在区间 ê - m, + mú (m > 0)上单调递减，可得 4 4
w = 6 + 8k k Z ，又w > 0，可得w = 6是其唯一解，则有w <14，再结合正弦函数的性质
即可得解.
π
【详解】由对"x R ，有 f 0 f x f ÷ ，
è 2
f 0 = sinj = -1 j 2k π π即可得 ，即 = 1 - k1 Z ，2
f x = sin 则 wx + 2k π
π
-
π
1 ÷ = sin wx -2 2 ÷
，
è è
f π 可得 ÷ = sin
π π
2
w - ÷ =1，
è è 2 2
π π π
即 w - = 2k2π + k2 Z ，即w = 4k2 2 2 2
+ 2 k2 Z ，
f π 则 ÷ = sin
w π π - ÷ = sin k2π = 0 ，
è 4 è 4 2
由 y = f x é π π ù在区间 ê - m, + mú (m > 0)上单调递减， 4 4
π π
故w - = π + 2kπ k Z ，即w = 6 + 8k k Z ，
4 2
由存在唯一的w 值，使其成立，故w = 6，即有w <14，
m 1 2π π m 1 2π π
π
则 × = ， > × =

，即m ,
π ù
.
4 6 12 4 14 28 è 28 12 ú
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对存在唯一的w 值的理解，结合w = 4k2 + 2 k2 Z ，
w = 6 + 8k k Z ，且w > 0，可得w = 6，则需w <14 .
二、多选题
4 π π
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 f x = sin x - ÷的图象向左平移 个单位后得
è 3 6 4
到 g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）
g x cos 4 x 2πA． = +

÷
è 3 3
B． g x π的图象关于 x = 4 对称
C． g x π 的图象关于 - ,0÷对称
è 8
D． g x π π 在 - , ÷上单调递增
è 2 4
【答案】BCD
【分析】根据平移可得 g x 4 π= sin x +

÷，即可根据诱导公式求解 A，代入表达式求解函
è 3 6
数值即可求解 BC，利用整体法即可求解 D.
g x sin é 4 π π ù 4 π 【详解】 = ê x + ÷ - ú = sin x + ÷ = -cos
4 x π π+ + 4 2π
3 4 6 3 6 3 6 2 ÷
= -cos x + ÷，故
è è è è 3 3
A 错误；
g π 4 π π π由 ÷ = sin + ÷ = sin =1，故 B 正确；
è 4 è 3 4 6 2
g π sin 4 π- = - π 由 ÷ ÷ + ÷ = sin 0 = 0，得 C 正确；
è 8 è 3 è 8 6
由 g x 4 2π= -cos x + ，令 2kπ
4
x 2π+ π π 3k π 3k+ 2kπ,k Z，得- + π x + π，
è 3 3 ÷ 3 3 2 2 4 2
k Z ,
π x π当 k = 0时，- ，故 D 正确.
2 4
故选:BCD.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x x tan x x ìx 0 5π 3π= - ， í < x < x π ü， 2 且 x 有 2 2
两个零点 x1, x2 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 x
π
0, ÷ 时， tanx > x B． x2 + x1 < 3π
è 2
C．若 x2 > x1 ，则 x2 - x1 > π D． x1sinx2 + x2sinx1 < 0
【答案】ACD
ì 5π
【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到 tana > a ；BC选项，画出 y1 = tan x， x íx 0 < x < ，
2
π x 3πx 且
ü
与 y2 = x的函数图象，数形结合判断 BC2 选项；D 选项，由2
sin x
x = tanx , x = tanx x sinx + x sinx 1
sin x2 cos x1 + cos x2
1 1 2 2，推出 1 2 2 1 = ，根据零点范围可得符cos x1 cos x2
号判断.
π
【详解】A 选项，设 AOB = a 0, 2 ÷
，作出单位圆，与 x 轴交于A 点，则 A(1,0)，
è
过点A 作 AC 垂直于 x 轴，交射线OB于点C ，连接 AB ，
由三角函数定义可知 AC = tana ， AB = a ，
设扇形OAB
1 1
的面积为 S1，则 SVOAC > S1，即 tana > a ，故 tana > a ，2 2
x π 当 0, ÷ 时，有不等式 tanx > x，A 正确；
è 2
5π 3π
B 选项，画出 y1 = tan x
ì π ü
， x íx 0 < x < ， x 2 且
x 与 y2 = x的函数图象，如下：
2 2
3π 5π
可以看出 x1 π, ÷， x2 2π,2 ÷
，故 x2 + x1 > 3π，B 不正确；
è è 2
C 选项， y = tanx的最小正周期为 π，由图象可知 x2 > x1 + π ，故 x2 - x1 > π ，C 正确；
D 选项，由 x1 = tanx1, x2 = tanx2，
sin x sin x cos x
x sinx + x sinx = tan x sinx + tan x sinx = 1 2 1 + cos x2 1 2 2 1 1 2 2 1 ，cos x1 cos x2
x π, 3π x 2π, 5π 因为 1 ÷， 2 ÷，故 sin x1 < 0,cos x1 < 0,sin x2 > 0,cos x2 > 0，
è 2 è 2
而 cos x1 + cos x2 = cos x1 - cos x2 - π ，
3π
但 > x - π > x > π，且 y = cos x
π, 3π 2 1 在 2 ÷为增函数，2 è
故 cos x1 - cos x2 - π < 0，故 x1sinx2 + x2sinx1 < 0 ，D 正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数等，
可令函数值为 0，直接进行求解；
（2）转化为两函数图象的交点问题来解决；
（3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解.
三、填空题
7．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = Acos wx +j + b ，（ A > 0 ，w > 0， j π< 2 ）
的大致图象如图所示，将函数 f x π的图象上点的横坐标拉伸为原来的 3 倍后，再向左平移
2
个单位长度，得到函数 g x 的图象，则函数 g x 的一个单调递增区间为 .
é 7π π
【答案】 ê- ,-
ù
ú （答案不唯一） 4 4
【分析】先根据 f x 的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出 f x 的解析式，
再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到 g x 的解析式，后可求 g x 的单调递增区间.
T π π
【详解】由图可知 = - =
π 2π
， 得T =π ，所以w= =2，
4 3 12 4 T
A =1- -1 = 2，b = -1，
所以 f x = 2cos 2x +j -1，
f π = 2cos 2 π +j π由图 ÷ ÷ -1 =1，得j = - + 2kπ ， k Z，
è12 è 12 6
j π π又 < ，所以j = - ，
2 6
故 f x = 2cos 2x
π
- ÷ -1，
è 6
g x 2cos é2 1 x π π ù 2 π 由题意 = ê + ÷ - -1 = 2cos x + -1，
3
÷
è 2 6 ú è 3 6
令-π + 2kπ
2 π
x + 2kπ， k
7 π
Z，得- π + 3kπ x - + 3kπ， k Z
3 6 4 4
é 7
故函数 g x 的单调递增区间为 ê- π + 3kπ,
π
- + 3kπù
4 4 ú
， k Z，

k 0 é
7π π
当 = 时，函数 g x 的一个单调递增区间为 ê- ,-
ù
ú ， 4 4
é 7π π ù
故答案为： ê- ,- ú （答案不唯一） 4 4
f x = sin2 wx + 3 sinwx coswx 3 8．（2023·全国·模拟预测）已知函数 0 < w < 2 ÷ 的图像关于è
π 1
点 , ÷成中心对称，则函数 f x 在 -π, 0 上的单调递增区间为 .
è 3 2
é 2π ù
【答案】 ê- ,0 3 ú
【分析】先由三角函数的二倍角公式，降幂公式，辅助角公式变形求出w ，再由正弦函数的
单调性求出单调区间.
【详解】由题意，得
f x = sin2 wx + 3 sinwx coswx 1- cos 2wx 3= + sin 2wx 3= sin 2wx 1- cos 2wx 1+ = sin 2wx
π 1
-
2 2 2 2 2 6 ÷
+
è 2
π 1 π 1
因为 f x = sin 2wx -
+ ÷ 的图像关于 ,6 2 3 2 ÷
成中心对称，
è è
2w π π所以 × - = kπ w
3 1
， k Z，即 = k + ， k Z .又0 w
3
< < ，所以w
1
= ，所以
3 6 2 4 2 4
f x sin 1 x p 1= π 1 - ÷ + .令 2kπ - x
π 2kπ π 2π 4π- + ， k Z，得 kπ - x 4kπ + ，
è 2 6 2 2 2 6 2 3 3
k Z 2π x 4π .取 k = 0，得- .又 x -π,0 ，
3 3
所以函数 f x é 2π ù的单调递增区间为 ê- ,0ú . 3
é 2π
故答案为： ê- ,0
ù
3 ú
9．（2024·全国·模拟预测）“函数 y = tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 = 0 ”的 条
件．
【答案】充分必要
【分析】先由函数 y = tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称求得 x0 的值，再解方程 sin2x0 = 0 求得
x0 的值，进而得到二者间的逻辑关系.
kπ
【详解】函数 y = tanx图象的对称中心为 ,0÷ ,k Z，
è 2
所以由“函数 y=tanx 的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“ x
kπ
0 = ,k Z ”．2
因为 sin2x0 = 0 等价于 2x = kπ,k Z x
kπ
0 ，即 0 = ,k Z ．2
所以“函数 y = tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 = 0 ”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
四、解答题
10．（2022·浙江·模拟预测）已知 a > 0，设函数 f x = sin x + a x R ．
a π(1)若 = ，求函数 f（x）的单调递增区间；
2
(2)试讨论函数 f（x）在[－a，2a]上的值域．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设写出 f (x) 的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的
递增区间.
（2）由题设可得 f (x) = sin(x + a) 且 x + a [0,3a]，由正弦函数的性质，讨论端点3a 的位置并
求出对应的值域范围.
ì
cos x, x
p
-
p
【详解】（1）由题设， f (x) = sin | x + |= 2í ，2 -cos x, x p< -
2
所以，根据余弦函数的性质：
当 x
p
< - 时， f (x) 在{x | 2kp x (2k +1)p ,k Z,k < 0}上递增；
2
x p当 - 时， f (x) 在{x |
p
- x 0}，{x | (2k -1)p x 2kp ,k Z,k > 0}上递增；
2 2
（2）由题设， x [-a, 2a]，则 x + a [0,3a]，又 2a > -a ，即 a > 0，
所以 f (x) = sin(x + a) ，
当3a
p p
< ，即0 < a < 时， f (x) [0,sin 3a]；
2 6
p p p
当 3a p ，即 a 时， f (x) [0,1]；
2 6 3
当p 3a
3p p p
< < ，即 < a < 时， f (x) [sin 3a,1]；
2 3 2
3a 3p p当 ，即 a 时， f (x) [-1,1]；
2 2
11．（2024·河北·二模）已知 x 为实数，用 x 表示不超过 x 的最大整数，例如
e = 2, -π = -4, 1 =1，对于函数 f x ，若存在m R,m Z，使得 f m = f m ，则称
函数 f x 是“ Ω 函数”.
(1)判断函数 f x = 2x2 - x, g x = sinπx 是否是“ Ω 函数”；
(2)设函数 f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期是T ，若 f x 不是“ Ω 函数”，求T
的最小值；
a
(3)若函数 f x = x + 是“ Ωx 函数”，求
a的取值范围.
【答案】(1) f x 是“ Ω 函数”， g x 不是“ Ω 函数”
(2)1
(3) a > 0，且 a [m]2 , a m m +1
2
【分析】（1）根据“ Ω 函数”的定义即可判断 f x = 2x - x, g x = sinπx 是否是“ Ω 函数”.
（2）根据周期函数的定义，结合“ Ω 函数”的条件，进行判断和证明即可.
（3）根据“ Ω 函数”的定义，分别讨论 a = 0， a < 0和 a > 0时，满足的条件即可.
2
【详解】（1）函数 f x = 2x - x 1是Ω 函数，设m = , m = 0，
2
则 f m = f 1 ÷ = 0, f m = f 0 = 0 ，
è 2
所以存在m R,m Z，使得 f m = f m ，所以函数 f x 是“ Ω 函数”.
函数 g x = sinπx 2π 1，函数的最小正周期为 =1，函数的图象如图所示，
π 2
不妨研究函数在 0,1 这个周期的图象.
设0 < m <1, m = 0，则 g m = sinπm > 0, g m = g 0 = 0，
所以 g m g m ，
所以函数 g x 不是“ Ω 函数”.
（2）因为 f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以 f T = f 0 .
假设T <1，则 T = 0 ，所以 f T = f 0 = f T ，矛盾.
所以必有T 1 .
而函数 l x = x - x 的周期为 1，且显然不是Ω 函数.
综上所述，T 的最小值为 1.
a
（3）当函数 f x = x + 是“ Ω 函数”时，
x
若 a = 0，则 f x = x显然不是Ω 函数，矛盾.
若 a 0 f x 1 a< ，则 = - 2 > 0，x
所以 f x 在 - ,0 , 0, + 上单调递增，
此时不存在m < 0，使得 f m = f m ，
同理不存在m > 0，使得 f m = f m ，
又注意到m m 0，即不会出现 m < 0 < m的情形，
a
所以此时 f x = x + 不是Ω 函数.
x
a a
当 a > 0时，设 f m = f m ，所以m + = m +m m ，
所以有 a = m m ，其中 m 0，
当m > 0 2时，因为 m < m < m +1，所以[m] < m m < m +1 m ，
[m]2所以 < a < m +1 m ，
当m < 0时， m < 0，
因为 m < m < m +1 2，所以[m] > m m > m +1 m ，
2
所以[m] > a > m +1 m .
2
综上所述， a > 0，且 a [m] , a m m +1 .
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给
出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，
联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心
读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、
验证、运算，使问题得以解决．

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