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考点 31 平面向量基本定理及坐标表示（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
【知识点】
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有
一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy 2 21)，|a|＝ x1＋y1.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→ →
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A B＝(x2－x1，y2－y1)，|A B|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
4．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b x1y2－x2y1＝0
常用结论
x1＋x2 y1＋y2
已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点 P 的坐标为( ， )；已知2 2
△ABC 的顶点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， C(x3 ， y3) ，则△ABC 的重心 G 的坐标为
x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3
( ， .3 3 )
. 【核心题型】
题型一　平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的
加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和
结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【例题 1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形 ABC 中，点M 在平面 ABC 内，且满足
uuuur uuur uuur uuuur uuuur
BM = lBA + m BC(l, m R)，条件P : AM = 3MC ，条件Q : 2m - 2l = 1，则 P 是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
uuuur 1 uuur 3 uuur
【分析】由向量的线性运算法则可得BM = BA + BC ，从而可判断充分性成立；令l = 1得
4 4
m 3= ，可判断必要性不成立.
2
uuuur uuuur
【详解】若 AM = 3MC ，由向量的线性运算法则，
uuuur uuur uuuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
可得BM = BA + AM = BA + AC = BA + (BC - BA) = BA + BC ，
4 4 4 4
uuuur uuur uuur 1 3
因为BM = lBA + m BC ，所以l = ，m = ，所以 2m - 2l =1，所以 P 是Q的充分条件；
4 4
2m - 2l =1 m 3
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
若 ，令l = 1得 = ，代入BM = lBA + m BC ，得BM = BA
3
+ BC ，
2 2
uuuur uuuur
由三点共线充要条件可知点M AC ，此时 AM = 3MC 不成立，所以 P 不是Q的必要条件.
故选：A
uuur 1 uuur
【变式 1】（2024·河北·模拟预测）在边长为 1 的正三角形 ABC 中， AD = AB ，
3
uuur 1 uuur uuur uuurBE = BC ， AE 与CD 交于点F ，则
3 CD × BF =
（ ）
1
A．1 B．0 C．- D 3． -
2 2
【答案】B
uuur uuur uuur uuur 4 uuur 1 uuur
【分析】设BF = lBA + m BC ,根据平面向量的基本定理求出BF = BA + BC ，再根据平面
7 7
向量的数量积运算即可求解.
uuur uuur uuur
【详解】设BF = lBA + m BC ,
uuur 3 uuur uuur uuur
因为BA = BD, BC = 3BE ，
2
uuur 3l uuur uuur uuur uuur uuur
所以BF = BD + m BC , BF = lBA + 3m BE .
2
因为F , D,C 三点共线, F , A, E 三点共线,
4
ì3l ì
+ m =1
l =
7 uuur 4 uuur 1 uuur
所以 í 2 ,解得 í ,所以BF = BA + BC .
l + 3m =1 m
1
= 7 7
7
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以CD × BF = BD - BC 4× BA 1+ BC ÷
è 7 7
2 uuur uuur uuurBA 4 1
uuur
= - BC

÷ ×

BA + BC

3 ÷è è 7 7
8 uuur2 2 1 4 uuur uuur 1 uuur2= BA +
21
- ÷ BA × BC - BC
è 3 7 7 7
8 uuur2 10 uuur uuur 1 uuur2
= BA - BA × BC - BC
21 21 7
8 12 10 1 1= - 1 1 - 12 = 0 .
21 21 2 7
故选:B.
【变式 2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在VABC 中，点D是BC 的中点，点E 在 AD 上，且
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuurBE = BA + lBC ， AE = xBA + yBC ，则lx - y = .
3
5
【答案】-
9
【分析】根据平面向量共线定理的推论求出l ，再根据平面向量基本定理求出 x 、 y ，即可
得解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】依题意 AD = AB + BD = AB
1
+ BC 1，又点E 在 AD 上，且BE = BA + lBC ，
2 3
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
所以BE = BA
1 1
+ lBC = BA + 2lBD，所以 + 2l =1，解得l = ，
3 3 3 3
uuur 1 uuur 2 uuur
即BE = BA + BD ，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AE = AB + BE = AB
1
+ BA 2+ BD 2= - BA 2 2 1+ BD = - BA + BC ，
3 3 3 3 3 3
uuur uuur uuur
x 2 1又 AE = xBA + yBC ，所以 = - ， y = ，
3 3
所以lx - y
1 2= 1 5 - ÷ - = - .3 è 3 3 9
5
-
故答案为： 9
【变式 3】（2023·广东佛山·模拟预测）在VABC 中， AB = 2 ，BC = 2 7 ，M 点为 BC 的中
1
点，N 点在线段 AC 上且 AN = AC ，BN = 2 .
3
(1)求 AC；
(2)若点 P 为 AM 与 BN 的交点，求 MPN 的余弦值.
【答案】(1) 6
(2) 13
13
【分析】（1）利用两次余弦定理建立方程求解即可；
uuuur uuur uuuur uuur
（2）把 MPN 的余弦值转化为求 cos AM , BN ，向量分解表示 AM , BN ，利用数量积夹角
公式求解即可.
【详解】（1）在VABC 中， AB = 2 ，BC = 2 7 ，
AB2 + AC 2 - BC 2 -24 + AC 2
由余弦定理得 cos A = = ，
2AB × AC 4AC
1
在VABN 中， AB = 2 ， AN = AC ，BN = 2，
3
1 2
AB2 + AN 2 - BN 2 AC 1
由余弦定理得 cos A = = 9 = AC ，
2AB × AN 4 AC 12
3
-24 + AC 2 1 2
所以 = AC ，即 AC 2 = 24，解得 AC = 6 ；
4AC 12 3
1
（2）由（1）知 cos A = ，又 A (0, π)
π
，所以 A =
2 3
，
uuur uuur 1 uuuur 1 uuur uuur
所以 AB × AC = 2 6 = 6，又 M 点为 BC 的中点，所以 AM = (AB + AC)，
2 2
1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
因为 AN = AC ，所以BN = AN - AB = AC - AB，
3 3
uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur2 1 uuur2 uuur uuur
所以 AM × BN = (AB + AC) × ( AC - AB) = - AB + AC
1
- AB × AC = 2 ，
2 3 2 6 3
uuuur 1 uuur uuur 1 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur
又 AM = (AB + AC)2 = AB + AC + 2AB × AC = 13 ，且 BN = 2 ，
2 2
uuuur uuur uuuur uuur
cos MPN cos AM , BN uAuuMur × BuuNur 2 13 = = = =
AM × BN 2 13 13
所以
题型二　平面向量的坐标运算
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向
量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解
答转化为我们熟知的数量运算．
【例题 2】（2023·广东佛山·二模）已知YABCD的顶点 A -1, -2 ，B 3, -1 ，C 5,6 ，则顶
点D的坐标为（ ）
A． 1,4 B． 1,5 C． 2,4 D． 2,5
【答案】B
uuur uuur
【分析】由平行四边形可得 D C = A B 进而即得．
uuur uuur
【详解】因为 A -1, -2 ，B 3, -1 ，C 5,6 ，由平行四边形可得DC = AB = 4,1 ，
设D x, y ，则 5 - x,6 - y = 4,1 ，
所以 x =1, y = 5，即D的坐标为 1,5 .
故选：B.
uuur
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 内，已知点 A -1,1 , AB = 1, -2 ，
uuur
则OB =（ ）
A． 2,-3 B． 0, -1 C． -2,3 D． 0,1
【答案】B
【分析】根据题意，结合向量的坐标表示与运算，即可求解.
uuur uuur
【详解】因为点 A -1,1 , AB = 1, -2 ，则OA = (-1,1)，
uuur uuur uuur
可得OB = OA + AB = -1,1 + 1,-2 = 0,-1 .
故选：B．
ur uur r
【变式 2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列 e1 ， e2 能表示向量 a = 3,2 的是（ ）
ur uur ur uur
A． e1 = 6,4 ， e2 = 9,6 B． e1 = -1,2 ， e2 = 5, -2
ur uur ur uur
C． e1 = 3,5 ， e2 = 6,10 D． e1 = 2,-3 ， e2 = -2,3
【答案】AB
r ur uur
【分析】根据题意，设 a = xe1 + ye2 ，利用向量的坐标运算，得到关于 x, y的方程组，结合
方程组的解，即可求解.
r ur uur
【详解】对于 A 中，设 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(6, 4) + y(9,6)，
ì6x + 9y = 3 r ur uur
则 í4x 6y 2，方程组有无数组解，例如
x = -1, y =1时， a = -e + e ，所以 A 成立；
+ =
1 2
r ur uur
对于 B 中，设 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(-1,2) + y(5, -2)，
ì-x + 5y = 3 r ur uur
则 í2x 2y 2，解得
x = 2, y =1时， a = 2e
- = 1
+ e2 ，所以 B 成立；

r ur uur
对于 C 中，设 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(3,5) + y(6,10)，
ì3x + 6y = 3 ur uur r
则 í5x 10y 2，此时方程组无解，所以
e1,e2 不能表示 a ，所以 C 不成立；
+ =
r ur uur
对于 D 中，设 a = xe1 + ye2 ，可得 3,2 = x(2, -3) + y(-2,3) ，
ì2x - 2y = 3 ur uur r
则 í 3x 3y 2 ，此时方程组无解，所以
e1,e2 不能表示 a ，所以 D 不成立.
- + =
故选：AB.
【变式 3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，点 A 0,0 ，B -4,4 ，
D 2,6 ．若 AC 与BD的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为 ,
1 ,11 【答案】
è 2 2 ÷
uuur uuur
【分析】利用平行四边形法则表示出向量 AE，利用坐标运算计算出向量 AE的坐标，由A
为坐标原点，所以即可得E 的坐标
【详解】在平行四边形 ABCD中，
因为 AC 与BD的交点为M ，且E 为DM 的中点，
uuur 1 uuur uuuur所以 AE = AD + AM2
1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
= éê AD + AB + AD ù 3 12 2 ú = AD + AB4 4
3
= 1 112,6 1+ -4,4 = ,
4 4 è 2 2 ÷
，

uuur
由A 为坐标原点，所以向量 AE的坐标即为E 的坐标，
1 11
故点E 的坐标为 , ÷．
è 2 2
1
,
11
÷
故答案为： è 2 2 .
题型三　向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λa(λ∈R)．
命题点 1　利用向量共线求参数
r r
【例题 3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量m = 2,l ， n = 2 - l,-4 ，若mr r与 n共线且反向，
则实数l 的值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-2或 4
【答案】A
【分析】利用向量共线的坐标表示求出l ，再结合反向共线即可得解.
r r
【详解】由向量m = 2,l ， n = 2 - l,-4 共线，得l(2 - l) = -8，解得l = -2 或l = 4，
r
当l = -2 时，m = 2, -2 r， n = 4, -4 mr nr， 与 同向，不符合题意，
r
当l = 4时，m = 2,4 ， nr = -2, -4 ，mr 与 nr反向，符合题意，
所以实数l 的值为 4.
故选：A
r r r r
【变式 1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 a = 4,m 2，b = m , 2 ，若 a∥b，则m =（ ）
A．4 或 2 B．-2 C．2 D．2 或-2
【答案】C
【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解.
r r
【详解】由 a / /b ，则 4 2 - m3 = 0，得m = 2 .
故选：C
r r r r r
【变式 2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量 a = 3,4 ，b = 2, k ，且 a + b //a，则实数
k = .
8
【答案】
3
【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算，求 k 的值.
r r r r r
【详解】 a + b = 5,4 + k ，由 a + b //a得3 4 + k = 5 4 8，解得 k = .3
8
故答案为： .
3
r r
【变式 3】（2023·四川成都·一模）已知向量 a = sinx,1 ，b = 3cosx,-2 ，函数
r
f x = ar r+ b × a .
r
(1) ar若 //b ，求cos2x的值；
1
(2) a，b ， c为VABC 的内角A ， B ，C 的对边， a = 2，且 f A = ，求VABC 面积的最大
2
值.
1
【答案】(1)
7
(2) 3
【分析】（1）根据向量共线定理可得 tan x = - 3 ，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式
2
的应用可得解；
（2）根据向量数量积公式可得 f x ，进而可得A ，再利用余弦定理和基本不等式求bc的
最大值，最后用三角形面积公式即可得解.
r
【详解】（1）Qar//b ，\ 3 cos x = -2sin x ，则 tan x = -
3
；
2
2

1 3- -2 2 2 2 ÷
cos2x = cos2 x - sin2 x cos x - sin x 1- tan x 1= = = è
sin2 x + cos2 x tan2 x +1 2
= .
3 7
- ÷ +1
è 2
故 cos2x
1
= .
7
r
（2） f x = ar + b r× a = sin x + 3 cos x sin x + 1- 2 1 = sin2 x + 3 sin x cos x -1
3 πsin 2x 1 cos 2x 1 sin 2x π 1 f x = sin 2x - 1= - - = - - ，即 - .2 2 2 è 6 ÷ 2 ÷ è 6 2
又 f A 1= ，所以 sin 2A π -

÷ =1
π π
，得 2A - = + 2kπ,k Z，又 A 0, π π，即 A =
2 è 6 6 2 3
，
因为 a = 2，且由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A可知，
4 = b2 + c2 - 2bc cos π ，所以b2 + c2 = 4 + bc ，
3
由基本不等式可得b2 + c2 = 4 + bc 2bc，
所以bc 4，（当且仅当b = c = 2时取等），
S 1△ABC = bc sin A
1
= 4 3 = 3
max
故 2 2 2 ，即VABC 面积最大值为 3
命题点 2　利用向量共线求向量或点的坐标
uuur 1 uuuur
【例题 4】（2024·全国·模拟预测）已知M 4, -2 ， N -6, -4 ，且MP = - MN ，则点 P 的
2
坐标为（ ）
A． 1,1 B． 9, -1 C． -2,2 D． 2,-1
【答案】B
1 uuuur uuur uuur 1 uuuur
【分析】由M , N 的坐标得出- MN ，设点P x, y ，得出MP ，根据MP = - MN 列出方2 2
程组求解即可．
【详解】因为M 4, -2 ， N -6, -4 ，
1 uuuurMN 1所以- = - -10, -2 = 5,1 ，
2 2
uuur
设P x, y ，则MP = x - 4, y + 2 ，
uuur uuuur
又MP
1
= - MN ，
2
ìx - 4 = 5 ìx = 9
所以 í
y + 2 =1
，解得 í
y
，
= -1
所以点 P 的坐标为 9, -1 ．
故选：B．
r r r
【变式 1】（2024·江苏南京·二模）已知向量 a = 1,2 ，b = x, x + 3 ar．若 P b ，则 x =（ ）
A．-6 B．-2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】利用向量平行的判定方法得到1× x + 3 = 2 × x ，再解方程即可.
r r
【详解】由 a P b ，知1× x + 3 = 2 × x ，解得 x = 3 .
故选：C
uuur
【变式 2】（2023·山东青岛·一模）已知O 0,0 ， A 1,2 ，B 3, -1 r r，若向量m∥OA，且m
uuur r
与OB 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m 的坐标为 ．
【答案】 -1, -2
【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.
uuur uuur
【详解】根据题意可得：OA = 1,2 ，OB = 3,-1 ，
ur
设m = x, y ，
r uuur r uuur
因为向量m∥OA，且m 与OB 的夹角为钝角，
ì1× y = 2 × x

所以 í3 × x + (-1) × y < 0

3 × y (-1) × x
所以 x < 0 ，
不妨令 x = -1,
所以 y = -2,
mr = -1, -2 ，
故答案为： -1, -2
【变式 3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ： y2 = 4x的焦点为F ，直线 AB ，CD 过F
分别交抛物线E 于点A ， B ，C ，D，且直线 AD ，BC 交 x 轴于 N ，M ，其中 N 2,0 ，
则M 点坐标为 ．
1
【答案】 ,0÷ / 0.5,0
è 2
【分析】设出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，用点 B 的坐标表示点A 的坐标，同理用
点C 的坐标表示点D的坐标，再利用共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】依题意，F (1,0)，显然直线 AB 不垂直于 y 轴，设直线 AB 的方程为 x = ty +1，
ìx = ty +1 y2 2 4
由 í 2 消去 x 得： y
2 - 4ty - 4 = 0
y 4x ，设 A(
1 , y1), B(
y0 , y0 )，则 y= 1
y0 = -4 ，即 y1 = - y ， 4 4 0
4 4 y2 4 4
于是点 A( ,- )y2 y ，设点C(
2 , y2 )，同理得D( ,- )y2 y ，0 0 4 2 2
uuur
NA ( 4 4
uuur
= 2 - 2,- ), ND = (
4 2, 4- - )
y 2 ，0 y0 y2 y2
uuur uuur 4 ( 4 2) 4 4 2 1 2显然 NA / /ND，则- 2 - = - ( 2 - 2)y y y y ，整理得
y2 = - y ，即点
C( 2 ,- )
2 0 0 2 0 y0 y
，
0
uuur y2 uuuur uuur uuuur
设M (m,0) MB = ( 0，则 - m, y0 ), MC = (
1 2
4 y2
- m, - )，而
y MB / /MC
，
0 0
2 y2 1 2 2
因此- ( 0 - m) = y y0
y 4 0
( 2 - m)，整理得y - + 2m =1- my
2 y，即 (2 + y2 )m =1+ 0 ，
0 0 2
0 0 2
解得m
1 1
= ，所以M 点坐标为 ( ,0)
2 2
1
故答案为： ( ,0)
2
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为 2 的等边VABC 中，点E 为中线 BD 的三等
uuur uuur
分点（靠近点 B），点 F 为 BC 的中点，则FE × FB =（ ）
3 1 3A．- B．- C D
1
． ．
4 2 4 2
【答案】D
【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.
uuur uuur
【详解】由已知有 | BA |= 2， | BC |= 2 ， ABC = 60°，
uuur uuur uuur uuur
所以BA × BC =| BA || BC | cos ABC 2
1
= 2 = 2．
2
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
已知D是 AC 的中点，则BD = (BA + BC)，BE = BD
1
= (BA + BC), BF = FC = BC ，
2 3 6 2
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
所以FE = BE - BF = (BA + BC) - BC = BA - BC ，
6 2 6 3
uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur2
则FE × FB = BA - BC
×
1
÷ - BC
1
÷ = - BA × BC
1
+ BC 1 2 1 1= - + 4 =
è 6 3 è 2 12 6 12 6 2
．
故选：D．
2．（2024·河北承德·二模）在VABC 中，D为BC 中点，连接 AD ，设E 为 AD 中点，且
uuur r uuur uuurBA = x, BE yr= ，则BC = （ ）
r
A． 4x + 2y
r r r
B．-4x + y
4xr 2yrC．- - D． 4y
r 2xr-
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
【分析】利用平面向量基本定理将 BE 用BC, BA表示出来，再用向量的线性运算把BC 用
uuur uuur
BE, BA表示即可.
uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur【详解】由于BE = BA + BD = BA + BC r r，所以BC = 4BE - 2BA = 4y - 2x ，2 2 4
故选：D
r r
a = m,2m+3 b = 1,4m+1 m 3 r r3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量 ， ，则“ = - ”是“ 与4 a b
共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出m 的值，判断得解.
r r
【详解】向量a = m,2m+3 ，b = 1,4m+1 ，
r r
若 a 与b 共线，则m 4m + 1 2m 3 0 m
3
- + = .解得 = - 或m =1，
4
3 r r
所以“ m = - ”是“ a 与b 共线”的充分不必要条件，4
故选：A.
r r r r
4．（2024·四川·模拟预测）已知向量 a = 2,1 ，b = x, 2 ，若 a//b ，则 x =（ ）
A．4 B．2 C．1 D． -1
【答案】A
【分析】利用共线向量的坐标表示计算得解.
r r r r
【详解】向量 a = 2,1 ，b = x, 2 ，由 a / /b，得 2 2 - x = 0 ，所以 x = 4．
故选：A
二、多选题
r r
5．（2024·全国·模拟预测）已知向量a = x,1 ,b = 4,2 ，则（ ）
r rA．若 a∥b ，则 x = 2
r 1
B r．若 a ^ b ，则 x = 2
x r
r
C．若 = 3 7 2，则向量 a与向量b 的夹角的余弦值为
10
r
D．若 x=-1
r
，则向量b 在向量 a上的投影向量为 2, 2
【答案】AC
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断 A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示
判断 B；利用向量夹角的坐标表示判断 C; 利用向量投影的坐标表示判断 D
r r
【详解】若 a∥b，则 2x - 4 = 0，解得 x = 2，故 A 正确．
r r 1
若 a ^ b，则 4x + 2 = 0 ，解得 x = - ，故 B 错误．2
r r r r
若 x = 3，则 a = 3,1 ，又b = 4,2 ，所以向量 a 与向量b 的夹角的余弦值为
ar
r
×br 12 + 2 7 2r = =a b 10 2 5 10 ，故 C 正确．
r r
若 x=-1，则 a = -1,1 r r，又b = 4,2 ，所以向量b 在向量 a 上的投影向量为
ar
r
×b ar -2 -1,1
r × r = = 1, -1 a a ，故 D 错误．2 2
故选：AC．
r r
6．（23-24 高三上·山东枣庄·期末）设m = -1,3 ， n = 1,2 ，则（ ）
A． m
r
- 2nr =10
B． mr r r- 2n ^ m
C．若 mr - 2nr P kmr r+ n ，则 k 1= -
2
nrD mr
1 r
． 在 上的投影向量为 m
2
【答案】BCD
【分析】根据向量的坐标运算计算验证各选项是否正确.
mr 2nr【详解】因为： - = -1,3 - 2 1,2 r r= -3,-1 ，所以 m - 2n = -3, -1 = 10 ，故 A 错误；
mr 2nr ·mr因为： - = -3, -1 · r r r-1,3 = 3- 3 = 0，所以 m - 2n ^ m，故 B 正确；
r
因为 m - 2nr P kmr + nr 1 1- -2 k = 0 k 1= - ，故 C 正确；
2
mr·nr 5 10 10 mr 10 mr 1 r
因为： r = = ， r = = m，故 D 正确.m 10 2 2 m 2 10 2
故选：BCD
三、填空题
uuur uuur
7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点 O 为坐标原点，OA = 1,1 ，OB = -3,4 ，点 P 在线
uuur
段 AB 上，且 AP =1，则点 P 的坐标为 ．
1 8
【答案】 ( , )
5 5
【分析】解设 A, B点坐标，根据已知得出 A 1,1 , B -3,4 ，利用直线 AB 方程，解设 P 点坐
uuur
标，再根据 AP =1，得出答案即可.
【详解】由题知，O 0,0 ，设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
uuur uuur
QOA = 1,1 ，OB = -3,4 ，\ x1 - 0, y1 - 0 = 1,1 ， x2 - 0, y2 - 0 = -3,4 ，
ìx1 =1 ìx2 = -3\í
y1 =1
， í ，
y2 = 4
\ A 1,1 , B -3,4 ， k 3 3 7AB = - ，则直线 AB 方程为 y = - x + ，4 4 4
3 7
设 P 点坐标为 x0 ,- x0 + ÷，-3 < x0 <1，
è 4 4
uuur uuur 2\ AP = x0 -1,
3
- x 3+ ，
4 0 4 ÷ \ AP
3 3
= x0 -1
2 +
è
- x0 + ÷ =1，
è 4 4
求解可得， x
1 8 1 8
0 = ，\ y0 = ，即 P 点坐标为 ( , ) .5 5 5 5
(1 , 8故答案为： )
5 5
r r r r r r8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量 a = 3,4 ，b = m,3 .若向量 a - 2b 与 a + b 共线，
则实数m 的值为 .
9
【答案】
4
【分析】借助向量的坐标运算与共线性质计算即可得.
r r r
【详解】由题意，知 a - 2b = 3- 2m, -2 ,ar + b = 3+ m,7 ，
r r r r 9
由向量 a - 2b 与 a + b 共线，得7 3- 2m + 2 3 + m = 0，解得m = .4
9
故答案为： .
4
r uuur
9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点 A(-1,2)，B(2,4)，若向量 a = (2,m)与 AB 垂直，则
m = ．
【答案】-3
uuur
【分析】求出 AB = 3,2 uuur，根据 ar × AB = 0即可求解.
uuur
【详解】因为 A(-1,2)，B(2,4)，所以 AB = 3,2 .
ar (2,m) uuur因为向量 = 与 AB 垂直，
r uuur所以 a × AB = 2 3 + 2m = 0，解答m = -3 .
故答案为: -3 .
四、解答题
10．（2024·湖北·二模）如图，O为坐标原点，F 为抛物线 y2 = 2x的焦点，过F 的直线交抛
物线于 A, B两点，直线 AO 交抛物线的准线于点D，设抛物线在 B 点处的切线为 l．
(1)若直线 l与 y 轴的交点为E ，求证： DE = EF ；
(2)过点 B 作 l的垂线与直线 AO 交于点G ，求证： | AD |2 = AO × AG ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线 AB 的方程为
1 1 yx = my + , A x1, y1 , B x , y ,

2 2 联立直线和抛物线方程求得D - , y2 ÷ ，E 0,
2
÷，即可得2 è 2 è 2
uuur uuur
DE = EF ，得证；
（2 2）写出过点 B 的 l的垂线方程，解得交点G 的纵坐标为 yG = y2 y2 + 2 ，再由相似比即可
2 2
得 y2 - y1 = y1 × yG - y1 ，即证得 | AD | = AO × AG .
1 1
【详解】（1）易知抛物线焦点F ,0÷，准线方程为 x = - ；
è 2 2
1
设直线 AB 的方程为 x = my + , A x1, y1 , B x2 , y2 2 ,
ì
x
1
= my +
联立 í 2 得 y2 - 2my -1 = 0，
2 y = 2x
ìΔ = 4m2 + 4 > 0
-1
可得 íy1 + y2 = 2m ，所以 y1 = ；
y2
y1y2 = -1
1
不妨设A 在第一象限， B 在第四象限，对于 y = - 2x , y = - ；
2x
1 1 1
可得 l的斜率为- = - =2x 22 y y2 2
1 1
l y - y = x - x y = x y+ 2所以 的方程为 2 y 2 ，即为 .2 y2 2
y
令 x = 0得E 0, 22 ÷è
y 2
直线OA 1的方程为 y = x = x = -2y2xx y ，1 1
x 1
1
令 = - D

得
2
- , y
2 2 ÷
．
è
F 1 ,0 uuur uuur又 2 ÷，所以DE = EFè
即 DE = EF 得证．
（2）方法 1：
1
由（1）中 l的斜率为 y 可得过点 B 的 l的垂线斜率为
-y2 ，
2
2
所以过点 B 的 l的垂线的方程为 y - y2 = -y2
y x - x 22 ，即 y = -y2x + y2 1+ 2 ÷ ，è
如下图所示：
ì 2
y = -y2x + y2 1
y
+ 2 ÷
联立 í è 2 ，解得G 的纵坐标为 yG = y2 y 22 + 2

y = -2y2x
要证明 | AD |2 = AO × AG ，因为 A,O, D,G 四点共线，
2
只需证明 y2 - y1 = y1 × yG - y1 （*）．
2 2
2 1 1+ y 2Q y - y = y + = 2 2 1 2 ，y y 22 2
21 1+ y 2y × y - y = - y 2 2 1 G 1 y 2 y2 + 2 - y1 = ．2 y 22
2
所以（*）成立， | AD | = AO × AG 得证.
方法 2：
D 1由 - , y

2 ÷ , B x2 , y2 知DB与 x 轴平行，
è 2
AF AO
\ =
AB AD ①
又DF 的斜率为-y2 , BG的斜率也为-y2 ，所以DF 与BG 平行，
AF AD
\ =
AB AG ②，
AO AD
由①②得 = ，即 | AD |2 = AO × AGAD AG 得证.
ì
y y
2
= -y 22x + y2 1+ ÷
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到 í è 2 ，

y = -2y2x
解出点G 2的坐标，从而转化为证明 y2 - y1 = y1 × yG - y1 即可.
11．（2022·北京·三模）如图四棱锥 P- ABCD中，VPAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC∥AD ， AB ^ AD ， AD = 2AB = 2BC = 2，PC = 2 ，E 为PD的中点.
(1)求证：直线CE∥平面PAB
(2)求直线 PB与平面PAC 所成角的正弦值.
(3)设F 是 BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.
【答案】(1)证明见解析
1
(2)
3
(3)在平面 PAC 内，证明见解析
【分析】（1）通过做辅助线证明四边形 GECB 为平行四边形，再通过直线与平面平行的判
定公理证明
（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面法向量与直线向量求得直线与平面所成角的正弦
值
（3）建立空间直角坐标系，根据平面向量基本定理求证结果
【详解】（1）
取 AP 中点 G，连接 GE，GB，EC
因为VPAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，AD=2
所以 GE=1
因为GE P AD ， AD∥ BC
所以GE P BC ，又因为GE = BC
所以四边形 GECB 是平行四边形，所以EC P GB
又因为EC 平面 PAB
GB 平面 PAB
所以CE∥平面PAB
（2）
取 AD 中点 O，连接 PO，CO，由已知△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形
所以PO ^ AD 又 AD=2，所以PA = PD = 2 。PO=OD=1
1
而 AB ^ AD ，AB=1，BC = AD = 1
2
所以四边形 ABCO 为正方形，即 AD ^ CO
PC = 2 ，PO=1，OC=1，所以PC 2 = PO2 + OC 2
所以PO ^ OC
因为 AD IOC = O，所以PO ^平面 ABCD
所以以 OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
所以
P(0,0,1),A(0,-1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0)
r
设平面 PAC 的一个法向量为 n = (x1, y1, z1)
uuur
PA = (0, -1, -1)
uuur
AC = (1,1,0)
uuur
PB = (1, -1, -1)
v uuuvìn × ì-y - z = 0 r
由 í v u
PuAuv = 0 1 1得 í x y 0 可取 n = (1, -1,1) n × AC = 0 1 + 1 =
设直线 PB 与平面 PAC 所成角为q
uuur r
uuur r PB ×n
则 sinq = cos PB,n uuur r
1 1
< > = = =
PB × n 3 3 3
1 1 1 1 1
（3）证：E 为 PD 的中点，由（2）可知E(0, , )，又 F 是 BE 的中点，所以F ( , - , )
2 2 2 4 4
uur
CP = (-1,0,1)
uuur
CA = (-1, -1,0)
uuur
CF = ( 1 1- ,- , 1)
2 4 4
uuur uuur uuur
设CF = xCA + yCP，即
ì 1
- = -x - y
2 ì 1
1 x = 4
í - = -x 解得
4
í

1 y
1
=
= y 4 4
1 1 uuur 1 uuur 1 uuur
故有唯一一组实数对 ( , )使得CF = CA + CP
4 4 4 4
因此符合向量基本定理，故 CF 与 CA，CP 共面，即 F 在平面 PAC 内
【综合提升练】
一、单选题
r r r r r r
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量 a = (2, t) ，b = (1, 2)，若当 t = t1 时， a ×b = a × b ，
r r
当 t = t2 时， a ^ b ，则（ ）
A． t1 = -4， t2 = -1 B． t1 = -4， t2 =1
C． t1 = 4， t2 = -1 D． t1 = 4， t2 =1
【答案】C
【分析】根据向量同向及数量积为 0 分别建立方程求解.
r r
【详解】当 t t
r r
= r r 2 t1 时，由 a ×b = a × b 可知 a与b 方向相同，得 = 1 > 0，解得 t1 = 4；1 2
t = t ar
r
当 2 时， ×b = 0，即 2 + 2t = 0，解得 t2 = -1．
故选：C
r r r r r r
2．（2024·山西·模拟预测）已知向量 a = 2, x ，b = -1,3 ，若 a∥b，则 a + b =（ ）
A． 6 B． 2 2 C．3 D． 10
【答案】D
【分析】根据向量平行，建立坐标关系，求出 x.再利用模长公式求出模长.
r r
【详解】因为 a∥b，所以 2 3- -1 × x = 0，即 x = -6 .
ar
r r
因为 + b = 2, -6 + -1,3 = 1, -3 ar，所以 + b = 12 + -3 2 = 10 .
故选：D.
r r
3．（2024· r重庆·三模）已知向量a = (2,3),b = (m -1,2m +1)，若 ar / /b ，则m =（ ）
1 1
A．3 B． C．- D．-5
8 8
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】由题意可知 2 2m +1 = 3 m -1 m = -5 .
故选：D
r r r r r
4．（2024·浙江温州·三模）平面向量a = m,2 ,b = -2,4 ，若 a∥ a - b ，则m =（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.
r r r r r
【详解】 a - b = m + 2, -2 ，由于 a∥ a - b ，所以-2m = 2 m + 2 ，解得m = -1，
故选：A
5．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形 ABCD，点 P 在△BCD的内部（不含边界），则下列
uuur
选项中， AP 可能的关系式为（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
A． AP = AB + AD B． AP = AB + AD
5 5 4 4
uuur 2 uuur 3 uuur uuur 2 uuur 4 uuur
C． AP = AB + AD D． AP = AB + AD
3 4 3 3
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】根据题意，设 AP = xAB + y AD，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求
解.
uuur uuur uuur
【详解】设 AP = xAB + y AD(x, y R)，由平面向量的基本定理，可得：
当 x + y =1时，此时点 P 在直线 BD 上；
当0 < x + y <1时，此时点 P 在点 A 和直线 BD 之间；
当1< x + y < 2时，此时点 P 在点 C 和直线 BD 之间；
当 x + y = 2 时，此时点 P 在过点 C 且与直线 BD 平行的直线上，
uuur 1 uuur 3 uuur 1 3
对于 A 中，由向量 AP = AB + AD，满足 + <1，所以点 P 在△ABD 内部，所以 A 错误；
5 5 5 5
uuur 1 uuur 3 uuur 1 3
对于 B 中，由 AP = AB + AD，满足 + =1，所以点 P 在BD上，所以 B 错误；
4 4 4 4
uuur 2 uuur 3 uuur 2 3
对于 C 中，由 AP = AB + AD，满足1< + < 2 ，所以点 P 可能在△BCD内部，所以 C
3 4 3 4
正确；
uuur 2 uuurAP AB 4
uuur 2 4
对于 D 中，由 = + AD，满足 + = 2，此时点 P 在过点 C 且与直线 BD 平行的
3 3 3 3
直线上，所以 D 错误.
故选：C.
uuur uuur r uuur uuur
6．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点D满足BD + 2AD = 0．若 CA = 3， CD = 2 ，
uuur
ACD π= ，则 CB =（ ）
4
A．4 B． 2 5 C．3 2 D． 2 3
【答案】C
uuur r uuur r uuur uuur uuur2
【分析】首先根据已知取基CA = a,CD = b ，然后用基底表示CB，然后利用 CB = CB 求
出即可
uuur r uuur r uuur uuur uuur r
【详解】如图，在VACD中，记CA = a,CD = b r，则 AD = CD - CA = b - a ．
uuur uuur r uuur uuur r
QBD + 2AD = 0，\DB = 2AD = 2b - 2ar ．
uuur uuur uuur r r r r r rBCD a = 3, b = 2 a,b π在△ 中，CB = CD + DB = 3b - 2a ，又 ， = ，4
uuur r r
\ CB = 9b 2 + 4ar2 -12ar ×b = 18 2+ 36 -12 3 2 = 3 2 ．
2
故选：C．
7．（2023·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D 是线段 AB 上靠近 B 的四等分点，点 E 是线段
uuur
CD 上靠近 D 的三等分点，则 AE =（ ）
2 uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur 5 uuur 1 uuur uuur uuur
A．- CA + CB B． CA - CB C．- CA + CB
1
D．- CA
2
+ CB
3 3 2 6 6 2 3 3
【答案】C
【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；
方法二：设VABC 是等腰直角三角形，且CA = CB = 4，建立空间直角坐标系，写出点的坐
uuur uuur uuur
标，设 AE = mCA + nCB，从而得到方程组，求出答案.
uuur 2 uuur uuur 3 uuur
【详解】方法一：如图，由题意得CE = CD ， AD = AB，
3 4
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur 2 uuur
故 AE = AC + CE = AC + CD = AC + AD - AC = AC + AD3 3 3 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur= AC AB CA CB CA 5 1+ = - + - = - CA + CB ；3 2 3 2 6 2
方法二：不妨设VABC 是等腰直角三角形，且CA = CB = 4，
以 C 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则C 0,0 , A 0,4 , B 4,0 , D 3,1 , E 2,
2
÷，
è 3
uuur uuur
则CA = 0,4 ,CB = 4,0 ，
uuur uuur uuur
设 AE = mCA + nCB，

故 2,
10
- ÷ = m 0,4 + n 4,0 ，
è 3
所以 4n = 2,4m
10 5 1
= - ，解得m = - ,n = ，
3 6 2
uuur uuur uuur
故 AE
5 CA 1= - + CB ．
6 2
故选：C．
r r r r
8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量 a = -2,3 ，b = 3,m ，且 a∥b，则m =（ ）
9 9
A．2 B．-2 C． D． -
2 2
【答案】D
【分析】由向量平行的充要条件列方程即可求解.
r r r r
【详解】因为向量 a = -2,3 ，b = 3,m 9，且 a∥b，所以-2m - 9 = 0，解得m = - .2
故选：D.
二、多选题
uuur uuur uuur uuur
9．（2024·江西景德镇·三模）等边VABC 边长为 2， AD = 2DC ， AE = EB，BD与CE交于
点F ，则（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur
A．BD = BA + BC B．CF = CE
3 3 2
uuur uuur uuur uuur 5 uuur
C．BD ×CE = -1 D．BD在BC 方向上的投影向量为 BC6
【答案】BD
uuur uuur
【分析】利用平面向量的线性运算可判断 A 选项的正误；以E 为坐标原点， EA、EC 分别
为 x 轴、 y 轴正方向建立平面直角坐标系，求出点F 的坐标，可判断 B 选项的正误；利用平
面向量数量积的坐标运算和投影向量的定义可判断 CD 选项的正误.
【详解】对于 A，由平面向量线性运算可得，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur uuurBD 1= BC + CD = BC + CA = BC + BA - BC = BC + BA，A 错误；3 3 3 3
对于 B，以E 为坐标原点，EA、EC 分别为 x 轴、 y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所
示，

则E 0,0 , A 1,0 , B -1,0 ,C 0, 3 , D 1 ,
2 3
3 3 ÷÷
,
è
uuur uuur 设 F (0, y)， y 0, 3 BF 1, y , DF 1 2 3，所以 = = - , y - ，
è 3 3 ÷
÷

uuur uuur 2 3 1 3 uuur 1 uuur
因为BF //DF ，所以 y - = - y，解得 y = ，所以CF = CE ，B 正确；
3 3 2 2
uuur 4 2 3 uuur
对于 C，由 B 可知，BD = , ÷÷ ,CE = 0,- 3 ，
è 3 3
uuur uuur
BD CE 4 2 3所以 × = 0 + - 3 = -2，C 错误；3 3
uuur 4 2 3 uuur uuur uuur
对于 D，BD = , ÷÷ , BC = 1, 3 4 2 3，所以3 3 BD × BC = 1+ 3
10
= ，
è 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
10 uuur
BD × BC uuur所以BD在BC 方向上的投影向量为 uuur . uBuCur = 3 BC 5× = BC ，D 正确；
BC BC 2 2 6
故选：BD.
10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形 ABC 中， AB = BC = 2 ， AO = OC ，点 P
uuur uuur uuur
是以 AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP = xBA + yBC ，则（ ）
uuur uuur uuur
A．BO
1 BA 1= + BC
2 2
uuur uuur
B．CB × BO =1
uuur uuur
C．BP × BC 最大值为1+ 2
D． B ，O， P 三点共线时 x + y = 2
【答案】ACD
【分析】依题意可得O为 AC 的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断 A，建立平
2 2 π 3π
面直角坐标系，求出圆O的方程，设P + cosq , + sinq
é ù
÷÷ ，q ê- , ú，利用坐标法
è 2 2 4 4
uuur uuur
判断 B、C，由三点共线得到BP//BO ，即可求出q ，从而求出 x ， y ，即可判断 D.
uuur 1 uuur 1 uuur
【详解】因为 AO = OC ，即O为 AC 的中点，所以BO = BA + BC ，故 A 正确；
2 2

如图建立平面直角坐标，则B 0,0 ，C 2,0 ， A 0, 2 O 2 2， , ÷÷，
è 2 2
uuur uuur 2 uuur uuur
所以CB = - 2,0 ，BO = ,
2
2 2 ÷ CB BO 2
2 2
÷，则 × = - + 0 = -1，故 B 错误；
è 2 2
又 AC = 2 2 + 2 2 = 2，
2 2

O x 2
2
所以圆 的方程为 - ÷÷ + y -2 ÷÷
=1，
è è 2

P 2 cosq , 2

sinq q é π , 3π+ + ù设 ， - ，
è 2 2
÷÷

ê 4 4 ú
uuur 2 2 uuur
则BP = + cosq , + sinq ÷÷，又BC = 2,0 ，
è 2 2
uuur uuur
BP BC 2 2
2
所以 × = + cosq ÷÷ + 0 + sinq ÷÷ =1+ 2 cosq ，
è 2 è 2
q é π , 3π
é 2 ù
因为
ù
ê- ú，所以 cosq 4 4 ê
- ,1ú ，
2
所以 2 cosq é ù -1, 2 ，
uuur uuur
é uuur uuur所以BP × BC 0,1+ 2 ù ，故BP × BC 最大值为1+ 2 ，故 C 正确；
uuur uuur
因为 B ，O， P 三点共线，所以BP//BO ，
uuur 2 2 uuur
又BO = , ÷÷，BP
2 2
= + cosq , + sinq2 2 2 2 ÷÷
，
è è
2 2 2 2
所以 + sinq ÷÷ = 2 2 2
+ cosq
2 ÷÷
，即 sinq = cosq ，
è è
q π所以 = ，
4
uuur uuur uuur
所以BP = 2, 2 ，又BC = 2,0 ，BA = 0, 2 ，
uuur uuur uuur
且BP = xBA + yBC ，即 2, 2 = x 0, 2 + y 2,0 = 2y, 2x ，
ì 2x = 2 ìx =1
所以 í ，所以 íy 1，所以
x + y = 2 ，故 D 正确.
2y = 2 =
故选：ACD
r r
11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量a = cosq ,sinq ,b = -3,4 ，则下列命题为真命题
的是（ ）
r r 4A．若 a / /b ，则 tanq = - 3
r 3
B．若 ar ^ b ，则 sinq = 5
r r
C． a - b 的最大值为 6
ar r
r r r
D．若 × a - b = 0，则 a - b = 2 6
【答案】ACD
【详解】利用向量平行的坐标表示判断 A；利用向量垂直的坐标表示判断 B 选项；根据向量
r r
减法的三角形法则，结合 a,b 反向检验等号成立的条件，从而判断 C；利用向量数量积运算
r r
法则得到 4sinq - 3cosq =1，进而求得 a - b ，从而判断 D.
r r
【分析】对于 A，因为a = cosq ,sinq ,b = r-3,4 r， a / /b ，
4
则 4cosq = -3sinq ，解得 tanq = - ，故 A 正确；
3
B r
r 3
对于 ，因为 a ^ b ，则-3cosq + 4sinq = 0，解得 tanq = ，4
ì sinq 3
= 3
所以 ícosq 4 ，解得 sinq = ± ，故 B 错误；
sin
2 q + cos2 q =1 5
r r
对于 C，因为 a = cos2q + sin2q =1, b = (-3)2 + 42 = 5，
r r r
而 a
r b ar- + b = 6 r，当且仅当 a,b 反向时，等号成立，
ì 4 ì 4
ì4cosq = -3sinq sinq = - sinq = 5 5
此时 í
sin
2 ，解得 或 ，q + cos2 q =1 í í cosq 3= cosq 3= -
5 5
r
当 sinq
4
= , cosq 3= - ， ar,b 同向，舍去；
5 5
sinq 4 3
r
当 = - , cosq = r，满足 a,b 反向；故 C 正确；
5 5
r r r r
对于 D，若 a × a - b = 0，则 ar2 r- a ×b = 0，
即 cos2q + sin2q + 3cosq - 4sinq = 0 ，所以 4sinq - 3cosq =1，
ar
r
- b = (cosq + 3)2则 + (sinq - 4)2 = 6cosq -8sinq + 26
= -2 3cosq - 4sinq + 26 = 24 = 2 6 ，故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题
r uuur r
12．（2022·黑龙江·一模）已知向量 a = -3,4 ， AB = 2a，点A 的坐标为 3, -4 ，则点 B 的
坐标为 ．
【答案】 -3,4
【分析】利用平面向量的坐标运算可求得点 B 的坐标.
uuur r
【详解】设点B x, y ，因为 AB = 2a，则 x - 3, y + 4 = -6,8 ，解得 x = -3， y = 4 .
故点B -3, 4 .
故答案为： -3,4 .
v v v v v
13．（2020 高三上·全国·专题练习）已知向量 a = x, 2 ，b = 2,1 ，且 a//b ，则 a =
【答案】 2 5
【解析】根据向量共线的公式求解得 x = 4 ,再根据模长公式求解即可.
r r r
【详解】由 a//b 得， x ×1- 2 2 = 0，即 x = 4 ，所以 | a |= 42 + 22 = 20 = 2 5 .
故答案为： 2 5
【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.
r
14．（2023·上海徐汇·三模）函数 y = ln -x 沿着向量 a 平移后得到函数 y = ln 1- x + 2，则
r
向量 a 的坐标是 .
【答案】 (1, 2)
【分析】根据函数的平移和表达式变换即可求解.
【详解】 y = ln -x 向右平移 1 个单位后得 y = ln é- x -1 ù = ln(1- x)，
所以 y = ln -x 向右平移 1 个单位，向上平移两个单位可以得到 y = ln 1- x + 2，
r
所以 a = (1, 2)，
故答案为： (1, 2) .
四、解答题
r r
15．（2023·吉林·一模）已知向量 a = 3 sin x, cos x ，b = cos x, cos x ．
r r
(1)若 a//b 且 x 0, π ，求 x ；
r r 1
(2)若函数 f x = a ×b - ，求 f x 的单调递增区间．
2
π π
【答案】(1) x = 或 x =2 6
é π
(2) ê- + kπ,
π
+ kπù k Z
3 6 ú
【分析】（1）根据向量平行列方程，从而求得 x .
（2）化简 f x 的解析式，然后利用整体代入法求得 f x 的单调递增区间．
r r
【详解】（1）Q a//b ，\ 3 sin x cos x - cos2 x = 0，
即 cos x 3 sin x - cos x = 0 ，
\cos x = 0 tan x 3或 = ，
3
Q x 0, π π π，\ x = 或 x = .
2 6
r r
方法二：Q a//b ，\ 3 sin x cos x - cos2 x = 0，
3
\ sin 2x 1+ cos 2x- = 0 ，
2 2
\sin π 1 2x - ÷ = ，
è 6 2
Q x 0, π 2x π π 11π，\ - - , ÷，6 è 6 6
\2x π π π 5π- = 或 2x - = ，
6 6 6 6
x π\ = 或 x
π
= .
6 2
r r
Q f x a b 1 3 sin x cos x cos2 x 1（2） = × - = + -
2 2
3 π
= sin 2x 1+ cos 2x = sin

2x + 6 ÷
，
2 2 è
π 2kπ 2x π π令- + + + 2kπ k Z ，
2 6 2
π kπ x π\- + + kπ，
3 6
\ f x é π π ù的单调递增区间是 ê- + kπ, + kπ 3 6 ú
k Z .

16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，向量
ur
p = a, c - b ,
r
ur rq = si n C + si n B, si n A + si n B ，且 p∥q .
(1)求角C；
(2) 3 3若 c = 3 2,VABC 的面积为 ，求VABC 的周长.
2
2
【答案】(1) π3
(2) 3 2 + 2 6
ur r
【分析】（1）由 p∥q结合正弦定理可得 a2 + b2 - c2 = -ab，后由余弦定理可得答案；（2）
2
1 3 3由（ ）结合 c = 3 2 可得 a + b = 18 + ab，后由 S△ABC = 可得 ab，即可得VABC 周长.2
ur r
【详解】（1）由 p∥q可知 a si n A + si n B = c - b si n C + si n B ，
由正弦定理，得 a a + b = c - b c + b ，即 a2 + b2 - c2 = -ab .
2 2 2 2π
所以 cosC a + b - c 1= = - ，又C （0，π），所以C = ；
2ab 2 3
（2）由（1）知 a2 + b2 - c2
2
= -ab，所以 a + b - ab = c2 = 18
2a + b = 18 + ab . S 1又 △ABC = absin C 3 ab 3 3= = ，2 4 2
2
所以 ab = 6，所以 a + b = 18 + ab = 24，即 a + b = 2 6 ，所以VABC 的周长为
a + b + c = 3 2 + 2 6 .
r r
17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量 a = 1,1 ，b = 2, m ，m R ．
r r
(1)若 a//b ，求 m 的值；
r r
(2)若 a ^ b，求 m 的值；
r r
(3)若 a 与b 夹角为锐角，求 m 的取值范围．
【答案】(1) m = 2
(2) m = -2
(3) -2,2 2, +
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
r r r r
（3）由向量夹角为锐角可知 a ×b > 0且 a,b 不同向，由此可构造不等式组求得m 的范围
r r r r
【详解】（1）因为向量 a = 1,1 ，b = 2, m ， a//b ，
所以1 m = 2 1，解得m = 2 ；
r r
r r（2）因为向量 a = 1,1 ，b = 2, m ， a ^ b，
所以1 2 +1 m = 0，解得m = -2；
r r r3 Qa,b r ar
r ì1 2 +1 m > 0
（ ） 夹角为锐角，\a ×b > 0且 ,b 不同向，\í ，
m 2
解得：m > -2且m 2，\m的取值范围为 -2,2 2, + .
18．（2023·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
c = 2acosAcosB - bcos2A A B ．
(1)求A ；
(2)若D是BC 上的一点，且BD : DC =1: 2, AD = 2，求 a的最小值．
π
【答案】(1) A = 3
(2) 6 7
7
【分析】（1）根据正弦定理化简可得 sinC = sin 2A - B ，再根据角度关系分析即可；
uuur uuur uuur
2 2AB + AC（ ）根据平面向量基本定理可得 AD = ，再两边平方可得b2 + 4c2 + 2bc = 36，结
3
2
4 c + 2 c +1
36 b ÷ b ÷è è c
合余弦定理可得 2 = 2 ，再令 = x ，结合函数单调性与最值求解即可.a c c b
b ÷
- ÷ +1
è è b
【详解】（1）Qc = 2acosAcosB - bcos2A A B ，
\sinC = 2sinAcosAcosB - sinBcos2A
\sinC = sin2AcosB - sinBcos2A = sin 2A - B > 0
又0 < 2A - B < π ，则C = 2A - B或C + 2A - B = π，
若C = 2A π- B，则 A = 3 ；
若C + 2A - B = π，则 A = 2B，又 A B ，不符合题意，舍去，
综上所述 A
π
= .
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 22AB + AC uuur 2AB + AC
（2）Q2BD = DC,\ AD = ,\(AD)2 =
3 ֏ 3
\b2 + 4c2 + 2bc = 36 ①，又 a2 = b2 + c2 - bc ②，
2
c c
2 2 4 ÷ + 2 ÷ +136 4c + b + 2bc
①÷②得： 2 = 2 =
è b è b
a b + c2 - bc c 2 - c ÷ ÷ +1
è b è b
c
令 = x ，又 A B,\a b,\a2 b2 ,\b2 + c2 - bc b2 ，
b
c
\c b,\0 < = x 1，
b
2
f x 4x + 2x +1 6x - 3令 = 2 (0 < x 1),Q f x = 4 +x - x +1 x2 - x +1
令6x - 3 = t, x
t + 3
= ，
6
令 g t 36t= f x = 4 + 2 (-3 < t 3)，t + 27
g t 4 36t 0 g t = 4 = + 27 (-3 < t 3)当 = 时 ，当 t 0时 t + ，
t
y t 27由对勾函数性质可得当0 < t 3时， = + 为减函数，故 t
27 3 27+ + =12，
t t 3
27
同理当 t < 0时 t + < -12，
t
\1 < g t 7, 36 6 7\ 2 7,\a a 7
6 7
所以当三角形 ABC 为等边三角形时 a最小，最小值为
7
19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知
sin A
= cos A + C sin C ， c = 2 .
a
(1)求 B；
3
(2)D 为 AC 的中点，BD2 = BC ,求VABC 的面积.
4
2π
【答案】(1)
3
(2) 2 3 或, 3
2
【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出 B .
（2）由 D 为 AC 的中点，求出 a,c 关系, c = 2可得 a，最后求出面积即可.
Q sinA cos A C sinC sinA【详解】（1） = + ，\ = cos π-B sinC，
a a
sinA
\ = -cosBsinC sin C，\ = -cosBsinC，
a c
1 2π
\- = cosB，B 0, π ,\B =
2 3
uuur uuur uuur
（2）D 为 AC 的中点，\2BD = BA + BC ,
uuur2 uuur uuur 2
\4BD = BA + BC = c2 + a2 + 2ac 1- QBD2 3 ÷ , = BC 3= a ,
è 2 4 4
\3a = c2 + a2 + 2ac 1 -

÷ ,Qc = 2 ,
è 2
\a2 - 5a + 4 = 0,\a =1或 a = 4 ,
a = 4 , S 1 1 3当 时 VABC = BA × BC ×sinB = 4 2 = 2 3 ，2 2 2
a =1 , S 1时 VABC = BA × BC ×sinB
1
= 1 2 3 3 =
2 2 2 2
S 3
VABC VABC
= S = 2 3
所以 的面积为 2 或 VABC
【拓展冲刺练】
一、单选题
uuur uuur
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量 AB = 2,-1 ， AC = 3,2 ，点C -1,2 ，则点 B 的坐标
为（ ）
A． -2, -1 B． 0,5 C． 2, -5 D． 2,-1
【答案】A
【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.
uuur uuur uuur
【详解】由题意得，CB = AB - AC = (2,-1) - (3, 2) = (-1, -3)，
uuur
设点 B 的坐标为 (x, y)，则CB = (x +1, y - 2) = (-1, -3)，所以点 B 的坐标为 (-2,-1) .
故选：A.
r r r r
2．（2024·山东济南·一模）已知 a = m,1 ，b = 3m -1,2 ，若 a//b ，则m =（ ）
2 2
A．1 B． -1 C． D．-3 3
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.
r r r r
【详解】因为 a = m,1 ，b = 3m -1,2 ， a//b ，
所以 2m - 3m -1 = 0，解得m =1.
故选：A.
uuur uuur uuur
3．（2024·陕西榆林·二模）若向量 AB = 0,1 uuur,CD = m, -2 , AB P CD，则m =（ ）
A． -1 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解.
【详解】依题意得m 1 = 0 -2 ，即m = 0 .
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知O为平面直角坐标系的原点，向量
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1,3), AB = (-2, -1), AP = (1,-2) ，设 M 是直线OP上的动点，当 MA × MB 取得最小值时，
uuuur
OM = （ ）
1, 1 1 A． ÷ B． -1, - ÷ C． (2,1) D． (-2,-1)
è 2 è 2
【答案】A
uuuur uuur uuur uuuur
【分析】设M 在OP上求得OM ，计算当MA × MB 取得最小值时，求得OM 即可.
uuur uuur uuur uuuur uuur
【详解】OP = OA + AP = (2,1), M 是直线OP上的动点，则可设OM = lOP = (2l,l) ，
uuur uuur uuuur
则MA = OA - OM = (1- 2l,3- l),
uuur uuur uuur uuur uuur 2
MB MA AB ( 1 2l, 2 l), MA MB 5l 2 5l 5 5 l 1 15= + = - - - × = - + = - ÷ + ，
è 2 4
1 uuur uuur uuuur 1
所以当l =

时，MA × MB 取得最小值，此时OM = 1, ÷，2 è 2
故选：A
二、多选题
r r r
5．（2023· r r r全国·模拟预测）已知向量a = (1,2),b = (-2,1) .若 (xa - b)//(a - xb)，则 x =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】AC
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示列式计算即得.
r r r r
【详解】向量a = (1,2),b r= (-2,1)，则 xa - b = (x + 2,2x -1) ， ar - xb = (1+ 2x, 2 - x)，
r r r
由 (xa - b)//(ar - xb)，得 (x + 2) × (2 - x) = (2x -1)(1+ 2x) ，即 x2 =1，解得 x = ±1，
所以 x=-1或 x =1 .
故选：AC
r r r
6．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 a ，b ， c为非零向量，下列说法正确的有（ ）
r r r r r r
A．若 a ^ b，b ^ c，则 a ^ c
r r r r
B．已知向量 a = 1,2 ， 2a + b = 3,2 ，则b = 1,2
r r r r r r r
C．若 a ×b = a ×c ，则b 和 c在 a 上的投影向量相等
uuur r r uuur r r uuur r r
D．已知 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b，则点 A，B，D 一定共线
【答案】CD
【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案.
r r r r r r
【详解】对于 A，若 a ^ b，b ^ c，则 a 与 c可能平行，故 A 错误；
r r r
对于 B，设b = x, y ，则 2ar + b = 2 + x, 4 + y = 3,2 ，解得 x =1, y = -2 ，所以b = 1,-2 ，
故 B 错误；
r r r r
ar
r
b cos ar
r
,b ar cr cos ar,cr
r r r r r
对于 C，若 a ×b = a ×c ，则 × = × ，所以 b cos a,b = c cos a
r,cr，所以b 和
r r
c在 a 上的投影向量相等，故 C 正确；
uuur r r uuur uuur uuur r r uuur uuur
对于 D，因为 AB = a + 2b ，BD = BC + CD = 2a + 4b ，所以BD = 2AB ,所以点 A，B，D 一定
共线，故 D 正确.
故选：CD.
三、填空题
r r r r r r
7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量 a = 1,2 ,b = 4, -2 ,c = 1,l ，若 c × 2a + b = 0，则实数
l =
【答案】-3
【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.
r r
【详解】 2a + b = 2,4 + 4, -2 = 6,2 ，
r r rc × 2a + b = 1,l × 6,2 = 6 + 2l = 0，
解得l = -3 .
故答案为：-3
r r r r r
8．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量 a = 1, -1 ，b = 2,1 ，则 a × a - b =
【答案】1
【分析】根据平面向量减法运算的坐标运算以及平面向量的数量积运算求解即可.
r r r r
【详解】因为 a = 1, -1 ，b = 2,1 ，故 a - b = -1,-2 ，
r r r所以 a × a - b =1 -1 -1 -2 =1，
故答案为：1.
r r r r r
9．（2023·上海普陀·二模）设 x、 y R ，若向量 a ，b ， c满足 a = (x,1)，b = (2, y)，
r r r rc = (1,1) r，且向量 a - b 与 c互相平行，则 | a
r | +2 | b |的最小值为 ．
【答案】3 5
r uuur
【分析】由向量平行的坐标表示可得 x + y = 3，在坐标系中 a = OA = (x,1)，
r uuur r
2b = OD = (4,6 - 2x)，将D按向量 a平移至C ，根据C 轨迹为直线 2x + y -15 = 0 ，将问题化
r r uuur uuur
为 a +2 b = OA + AC 最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
r r r r
【详解】由 a - b = (x - 2,1- y) r，又向量 a - b 与 c互相平行，
所以 x - 2 =1- y ，故 x + y = 3，
r uuur r uuur r uuur
令 a = OA = (x,1)，b = OB = (2,3 - x)，则 2b = OD = (4,6 - 2x)，
所以 A(x,1), D(4,6 - 2x)
r
，将D按向量 a平移至C(4 + x,7 - 2x) ，
所以C 是直线 2x + y -15 = 0 上的动点，如下图示，
r uuur uuur
ar
r uuur uuur
所以 2b = OD = AC ，故 +2 b = OA + AC ，
r r
由图知：要使 | a | +2 | b |最小，只需O, A,C 三点共线且O到直线 2x + y -15 = 0 距离最短，
r -15
故 | ar | +2 | b |最小值为原点到直线 2x + y -15 = 0 的距离，最小值为 d = = 3 5 ，此时
22 +12
题设中的 x=2，y=1.
故答案为：3 5
r uuur r uuur uuur
【点睛】关键点点睛：找到 2b = OD 的D，并将其平移至C 使 2b = OD = AC ，即有
ar
r uuur uuur
+2 b = OA + AC ，问题化为求点到直线距离.
四、解答题
p
10．（2023·
2
河南洛阳·一模）已知函数 f (x) = 2 3 cos x - ÷cos x + 2sin x ，在VABC 中，内
è 2
角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f (A) = 3．
(1)求角 A；
(2)若 b=3，c=2，点 D 为 BC 边上靠近点 C 的三等分点，求 AD 的长度．
A π【答案】(1) = .3
(2) AD 2 13= .
3
【分析】（1）运用三角恒等变换化简函数，再运用特殊角的三角函数值解方程即可.
（2）方法一：在△ABC 中运用余弦定理求得 BC 及 cos B，再在△ABD 中运用余弦定理可求
得 AD 的值.
uuur 2 uuur 1 uuur
方法二：运用平面向量基本定理可得 AD = AC + AB ，两边同时平方运用数量积求解即可.
3 3
π
【详解】（1）因为 f (x) = 2 3 cos x - ÷cos x + 2sin
2 x = 2 3 sin x cos x + 2sin2 x
è 2
= 3 sin 2x + (1- cos 2x) = 3 sin 2x - cos 2x 1 π+ = 2sin 2x -

6 ÷
+1，
è
所以 f (A) = 2sin
2A π- ÷ +1 = 3，所以 sin

2A
π
- ÷ =1．
è 6 è 6
2A π π所以 - = + 2kπ,k Z A
π
，即 = + kπ, k Z．
6 2 3
又0 < A
π
< π ，所以 A = 3 ．
（2）如图所示，
1
方法一：在△ABC 2 2 2 2中，由余弦定理可得BC = a = b + c - 2bc cos BAC = 9 + 4 -12 = 7，
2
则BC = 7 ．又点 D 为 BC 2 7边上靠近点 C 的三等分点，所以BD = ．
3
a2 + c2 - b2 7 + 4 - 9 7
又在△ABC 中， cos B = = = ，
2ac 4 7 14
在△ABD 中，由余弦定理可得
AD2 BA2 BD2 28 2 7 7 52= + - 2BA BD cos B = 4 + - 2 2 = ，
9 3 14 9
2 13
所以 AD = ．
3
uuur 2 uuur 1 uuur
方法二：因为点 D 为 BC 边上靠近点 C 的三等分点，所以 AD = AC + AB ．
3 3
uuur 4 uuur 1 uuur 4 uuur uuur2 2 2
等式两边同时平方可得 | AD | = | AC | + | AB | + AC × AB = 4
4 4 3 2 1 52+ + = ．
9 9 9 9 9 2 9
uuur 2 13 2 13
所以 | AD |= ，即 AD = ．
3 3
x2 211．（2023· y江苏·三模）已知椭圆 E： + =1，椭圆上有四个动点 A，B，C，D，
16 4
CD//AB ，AD 与 BC 相交于 P 点.如图所示.
(1)当 A，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线 AD 与 BC 的斜率之积是否
为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点 P 的坐标为 8,6 ，求直线 AB 的斜率.
1
【答案】(1)是定值，定值为
4
1
(2) -
3
【分析】（1） 由题意求出直线 AB 的斜率，再求CD//AB 可设直线 CD 的方程为
y 1= - x + t t 2 ，设D x1, y1 ，C x2 , y2 ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数2
的关系，然后求解 kADkBC 即可；
uuur uuur
（2）设 A x3, y3 ，B x4 , y4 ，D x, y ，记PD = lDA，表示出点D的坐标，将 A，D 两点
uuur uuur
的坐标代入椭圆方程，化简得lx3 + 3l y3 +12 - 2l = 0，再由CD∥ AB 可得PC = lCB，从而
可得lx4 + 3l y4 +12 - 2l = 0，进而可得直线 AB 的方程，则可求出其斜率.
1
【详解】（1）由题意知， a = 4，b = 2 ，所以 A(0, 2)，B 4,0 ，所以 kAB = - ，2
1
设直线 CD 的方程为 y = - x + t t 2 ，设D x1, y1 ，C x2 , y ，2 2
ì x2 y2
+ =1
CD 16 4联立直线 与椭圆的方程 í ，整理得 x2 - 2tx + 2t 2 -8 = 0 ，
y 1= - x + t
2
2 2
由D = 4t - 4 2t -8 > 0，解得-2 2 < t < 2 2 ，且 t 2，
则 x 21 + x2 = 2t ， x1x2 = 2t -8，
1 1
- x + t - 2

1 ÷ - x2 + t ÷
所以 y1 - 2 yk k = 2 = è 2 è 2 AD BC x1 x2 - 4 x1x2 - 4x1
1 x x 11 2 - t(x1 + x2 ) + t
2 + x2 - 2t
= 4 2
x1x2 - 4x1
t 2 - 4 2x 2t t - 4+ 2 - + 2t - x1 - 2t
= 2 = 2
x1x2 - 4x1 x1x2 - 4x1
t2 - 4
- x
= 2
1 1
= ，
2t2 - 8 - 4x1 4
1
故直线 AD 与 BC 的斜率之积是定值，且定值为 .
4
uuur uuur（2）设 A x3, y3 ，B x4 , y4 ，D x, y ，记PD = lDA ( l 0 )，
ì lx3 + 8
ì x -8 = lx3 - lx
x =

得 í .
1+ l .
y 6 l y l y
所以
- = í3 - y l y3 + 6=
1+ l
ì x2 23 y+ 3 =1
16 4
又 A，D 均在椭圆上，所以 í lx + 8 2 2 l y + 6 ，
3 3
è 1+ l
÷ ÷
+ è 1+ l =1
16 4
化简得lx3 + 3l y3 +12 - 2l = 0，
uuur uuur
因为CD∥ AB ，所以PC = lCB，
同理可得lx4 + 3l y4 +12 - 2l = 0，
即直线 AB：lx + 3l y +12 - 2l = 0，
1
所以 AB 的斜率为- .
3
【点睛】关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键
是设出直线 CD 的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的
斜率公式表示出 kADkBC ，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思
想，属于较难题.考点 31 平面向量基本定理及坐标表示（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
【知识点】
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
一对实数 λ1，λ2，使 a＝ .
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．
→ →
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A B＝ ，|A B|＝ .
4．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b .
常用结论
x1＋x2 y1＋y2
已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点 P 的坐标为( ，2 2 )；已知
△ABC 的顶点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， C(x3 ， y3) ，则△ABC 的重心 G 的坐标为
x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3
( ，3 3 ).
. 【核心题型】
题型一　平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的
加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和
结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【例题 1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形 ABC 中，点M 在平面 ABC 内，且满足
uuuur uuur uuur uuuur uuuur
BM = lBA + m BC(l, m R)，条件P : AM = 3MC ，条件Q : 2m - 2l = 1，则 P 是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
uuur 1 uuur
【变式 1】（2024·河北·模拟预测）在边长为 1 的正三角形 ABC 中， AD = AB ，
3
uuur uuur uuur uuur
BE 1= BC ， AE 与CD 交于点F ，则CD × BF =（ ）3
1
A．1 B 0 C - D 3． ． ． -
2 2
【变式 2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在VABC 中，点D是BC 的中点，点E 在 AD 上，且
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuurBE = BA + lBC ， AE = xBA + yBC ，则lx - y = .
3
【变式 3】（2023·广东佛山·模拟预测）在VABC 中， AB = 2 ，BC = 2 7 ，M 点为 BC 的中
1
点，N 点在线段 AC 上且 AN = AC ，BN = 2 .
3
(1)求 AC；
(2)若点 P 为 AM 与 BN 的交点，求 MPN 的余弦值.
题型二　平面向量的坐标运算
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向
量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解
答转化为我们熟知的数量运算．
【例题 2】（2023·广东佛山·二模）已知YABCD的顶点 A -1, -2 ，B 3, -1 ，C 5,6 ，则顶
点D的坐标为（ ）
A． 1,4 B． 1,5 C． 2,4 D． 2,5
uuur
【变式 1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 内，已知点 A -1,1 , AB = 1, -2 ，
uuur
则OB =（ ）
A． 2,-3 B． 0, -1 C． -2,3 D． 0,1
ur uur r
【变式 2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列 e1 ， e2 能表示向量 a = 3,2 的是（ ）
ur uur ur uur
A． e1 = 6,4 ， e2 = 9,6 B． e1 = -1,2 ， e2 = 5, -2
ur uur ur uur
C． e1 = 3,5 ， e2 = 6,10 D． e1 = 2,-3 ， e2 = -2,3
【变式 3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，点 A 0,0 ，B -4,4 ，
D 2,6 ．若 AC 与BD的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为 ,
题型三　向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λa(λ∈R)．
命题点 1　利用向量共线求参数
r
【例题 3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量m = 2,l ， nr = 2 - l,-4 r r，若m 与 n共线且反向，
则实数l 的值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-2或 4
r r r r
【变式 1】（2024·浙江· 2模拟预测）已知向量 a = 4,m ，b = m , 2 ，若 a∥b，则m =（ ）
A．4 或 2 B．-2 C．2 D．2 或-2
r r r r r
【变式 2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量 a = 3,4 ，b = 2, k ，且 a + b //a，则实数
k = .
r r
【变式 3】（2023·四川成都·一模）已知向量 a = sinx,1 ，b = 3cosx,-2 ，函数
f x r
r r
= a + b × a .
(1) r
r
若 a //b ，求cos2x的值；
(2) a，b ， c为VABC
1
的内角A ， B ，C 的对边， a = 2，且 f A = ，求VABC 面积的最大
2
值.
命题点 2　利用向量共线求向量或点的坐标
uuur 1 uuuur
【例题 4】（2024·全国·模拟预测）已知M 4, -2 ， N -6, -4 ，且MP = - MN ，则点 P 的
2
坐标为（ ）
A． 1,1 B． 9, -1 C． -2,2 D． 2,-1
r r r r
【变式 1】（2024·江苏南京·二模）已知向量 a = 1,2 ，b = x, x + 3 ．若 a P b ，则 x =（ ）
A．-6 B．-2 C．3 D．6
uuur
【变式 2】（2023·山东青岛·一模）已知O 0,0 ， A 1,2 ，B 3, -1 r r，若向量m∥OA，且m
uuur r
与OB 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m 的坐标为 ．
【变式 3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ： y2 = 4x的焦点为F ，直线 AB ，CD 过F
分别交抛物线E 于点A ， B ，C ，D，且直线 AD ，BC 交 x 轴于 N ，M ，其中 N 2,0 ，
则M 点坐标为 ．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为 2 的等边VABC 中，点E 为中线 BD 的三等
uuur uuur
分点（靠近点 B），点 F 为 BC 的中点，则FE × FB =（ ）
3 1 3A B - C 1．- ． ． D．
4 2 4 2
2．（2024·河北承德·二模）在VABC 中，D为BC 中点，连接 AD ，设E 为 AD 中点，且
uuur r uuur uuurBA = x, BE = yr，则BC = （ ）
r r r r
A． 4x + 2y B．-4x + y
4xr 2yr 4yr 2xrC．- - D． -
r r 3 r r
3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量a = m,2m+3 ，b = 1,4m+1 ，则“ m = - ”是“4 a 与b
共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
r r r r
4．（2024·四川·模拟预测）已知向量 a = 2,1 ，b = x, 2 ，若 a//b ，则 x =（ ）
A．4 B．2 C．1 D． -1
二、多选题
r r
5．（2024·全国·模拟预测）已知向量a = x,1 ,b = 4,2 ，则（ ）
r rA．若 a∥b ，则 x = 2
r 1
B．若 ar ^ b ，则 x = 2
r
C．若 x = 3 r 7 2，则向量 a与向量b 的夹角的余弦值为
10
r
D．若 x=-1
r
，则向量b 在向量 a上的投影向量为 2, 2
r r
6．（23-24 高三上·山东枣庄·期末）设m = -1,3 ， n = 1,2 ，则（ ）
r r
A． m - 2n =10
B． mr r r- 2n ^ m
mrC．若 - 2nr P kmr r+ n 1，则 k = -
2
D nr mr
1 r
． 在 上的投影向量为 m
2
三、填空题
uuur uuur
7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点 O 为坐标原点，OA = 1,1 ，OB = -3,4 ，点 P 在线
uuur
段 AB 上，且 AP =1，则点 P 的坐标为 ．
r r r
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量 a
r
= 3,4 ，b = m,3 . r r若向量 a - 2b 与 a + b 共线，
则实数m 的值为 .
r uuur
9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点 A(-1,2)，B(2,4)，若向量 a = (2,m)与 AB 垂直，则
m = ．
四、解答题
10．（2024·湖北·二模）如图，O为坐标原点，F 为抛物线 y2 = 2x的焦点，过F 的直线交抛
物线于 A, B两点，直线 AO 交抛物线的准线于点D，设抛物线在 B 点处的切线为 l．
(1)若直线 l与 y 轴的交点为E ，求证： DE = EF ；
(2)过点 B 作 l 2的垂线与直线 AO 交于点G ，求证： | AD | = AO × AG ．
11．（2022·北京·三模）如图四棱锥 P- ABCD中，VPAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC∥AD ， AB ^ AD ， AD = 2AB = 2BC = 2，PC = 2 ，E 为PD的中点.
(1)求证：直线CE∥平面PAB
(2)求直线 PB与平面PAC 所成角的正弦值.
(3)设F 是 BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.
【综合提升练】
一、单选题
r r r r
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量 a = (2, t)
r
，b = (1, 2)，若当 t = t1 时， a ×b a
r
= × b ，
r r
当 t = t2 时， a ^ b ，则（ ）
A． t1 = -4， t2 = -1 B． t1 = -4， t2 =1
C． t1 = 4， t2 = -1 D． t1 = 4， t2 =1
r r r r
2．（2024·山西·模拟预测）已知向量 a = 2, x ，b = -1,3 r r，若 a∥b，则 a + b =（ ）
A． 6 B． 2 2 C．3 D． 10
r r
3．（2024·重庆· r三模）已知向量a = (2,3),b = (m -1,2m +1) r，若 a / /b ，则m =（ ）
1 1
A．3 B． C．- D．-5
8 8
r r r r r
4．（2024·浙江温州·三模）平面向量a = m,2 ,b = -2,4 ，若 a∥ a - b ，则m =（ ）
A． -1 B．1 C．-2 D．2
5．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形 ABCD，点 P 在△BCD的内部（不含边界），则下列
uuur
选项中， AP 可能的关系式为（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
A． AP = AB + AD B． AP = AB + AD
5 5 4 4
uuur
AP 2
uuur 3 uuur uuur uuur uuur
C． = AB + AD D． AP
2
= AB 4+ AD
3 4 3 3
uuur uuur r uuur uuur
6．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点D满足BD + 2AD = 0．若 CA = 3， CD = 2 ，
uuur
ACD π= ，则 CB =（ ）
4
A．4 B． 2 5 C．3 2 D． 2 3
7．（2023·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D 是线段 AB 上靠近 B 的四等分点，点 E 是线段
uuur
CD 上靠近 D 的三等分点，则 AE =（ ）
2 uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuurCA CB CA CB 5
uuur uuur uuur uuur
A．- + B． - C．- CA
1 CB 1 2+ D．- CA + CB
3 3 2 6 6 2 3 3
r r
r r8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量 a = -2,3 ，b = 3,m ，且 a∥b，则m =（ ）
9 9
A．2 B．-2 C． D． -
2 2
二、多选题
uuur uuur uuur uuur
9．（2024·江西景德镇·三模）等边VABC 边长为 2， AD = 2DC ， AE = EB，BD与CE交于
点F ，则（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur
A．BD
1
= BA + BC B．CF = CE
3 3 2
uuur uuur uuur uuur 5 uuur
C．BD ×CE = -1 D．BD在BC 方向上的投影向量为 BC6
10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形 ABC 中， AB = BC = 2 ， AO = OC ，点 P
uuur uuur uuur
是以 AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP = xBA + yBC ，则（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur
A．BO = BA + BC
2 2
uuur uuur
B．CB × BO =1
uuur uuur
C．BP × BC 最大值为1+ 2
D． B ，O， P 三点共线时 x + y = 2
r r
11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量a = cosq ,sinq ,b = -3,4 ，则下列命题为真命题
的是（ ）
r r tanq 4A．若 a / /b ，则 = - 3
r 3
B ar．若 ^ b ，则 sinq = 5
r
C． a
r
- b 的最大值为 6
r r
D．若 a
r ar× - b = 0 r，则 a - b = 2 6
三、填空题
r uuur r
12．（2022·黑龙江·一模）已知向量 a = -3,4 ， AB = 2a，点A 的坐标为 3, -4 ，则点 B 的
坐标为 ．
v v
13．（2020 高三上·全国·专题练习）已知向量 a = x, 2 b v v， = 2,1 v，且 a//b ，则 a =
r
14．（2023·上海徐汇·三模）函数 y = ln -x 沿着向量 a 平移后得到函数 y = ln 1- x + 2，则
r
向量 a 的坐标是 .
四、解答题
r r
15．（2023·吉林·一模）已知向量 a = 3 sin x, cos x ，b = cos x, cos x ．
r r
(1)若 a//b 且 x 0, π ，求 x ；
r r
(2)若函数 f x = a ×b 1- ，求 f x 的单调递增区间．
2
16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，向量
ur
p = a, c - b ,
r
ur rq = si n C + si n B, si n A + si n B ，且 p∥q .
(1)求角C；
(2) 3 3若 c = 3 2,VABC 的面积为 ，求VABC 的周长.
2
r r
17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量 a = 1,1 ，b = 2, m ，m R ．
r r
(1)若 a//b ，求 m 的值；
r r
(2)若 a ^ b，求 m 的值；
r r
(3)若 a 与b 夹角为锐角，求 m 的取值范围．
18．（2023·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
c = 2acosAcosB - bcos2A A B ．
(1)求A ；
(2)若D是BC 上的一点，且BD : DC =1: 2, AD = 2，求 a的最小值．
19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知
sin A
= cos A + C sin C ， c = 2 .
a
(1)求 B；
(2)D AC BD2
3
为 的中点， = BC ,求VABC 的面积.
4
【拓展冲刺练】
一、单选题
uuur uuur
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量 AB = 2,-1 ， AC = 3,2 ，点C -1,2 ，则点 B 的坐标
为（ ）
A． -2, -1 B． 0,5 C． 2, -5 D． 2,-1
r r r r
2．（2024·山东济南·一模）已知 a = m,1 ，b = 3m -1,2 ，若 a//b ，则m =（ ）
2 2
A．1 B． -1 C． D．-3 3
uuur uuur uuur uuur
3．（2024·陕西榆林·二模）若向量 AB = 0,1 ,CD = m, -2 , AB P CD，则m =（ ）
A． -1 B．2 C．1 D．0
4．（2024·全国·模拟预测）已知O为平面直角坐标系的原点，向量
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1,3), AB = (-2, -1), AP = (1,-2) ，设 M 是直线OP上的动点，当 MA × MB 取得最小值时，
uuuur
OM = （ ）
1, 1 1 A． B．2 ÷
-1, - ÷ C． (2,1) D． (-2,-1)
è è 2
二、多选题
r r r r r5 r．（2023·全国·模拟预测）已知向量a = (1,2),b = (-2,1) .若 (xa - b)//(a - xb)，则 x =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
r r r
6．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 a ，b ， c为非零向量，下列说法正确的有（ ）
r r r r r r
A．若 a ^ b，b ^ c，则 a ^ c
r r r r
B．已知向量 a = 1,2 ， 2a + b = 3,2 ，则b = 1,2
r r r r r r r
C．若 a ×b = a ×c ，则b 和 c在 a 上的投影向量相等
uuur r r uuur r r uuur r r
D．已知 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b，则点 A，B，D 一定共线
三、填空题
r r r r r r
7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量 a = 1,2 ,b = 4, -2 ,c = 1,l ，若 c × 2a + b = 0，则实数
l =
r r r r r
8．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量 a = 1, -1 ，b = 2,1 ，则 a × a - b =
r r r r
9．（2023·上海普陀·二模）设 x、 y R ，若向量 a ，b ， c满足 a
r
= (x,1)，b = (2, y)，
r r r
cr = (1,1) r r，且向量 a - b 与 c互相平行，则 | a | +2 | b |的最小值为 ．
四、解答题
p
10 2023· · f (x) = 2 3 cos x - cos x + 2sin2．（ 河南洛阳 一模）已知函数 ÷ x ，在VABC 中，内
è 2
角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f (A) = 3．
(1)求角 A；
(2)若 b=3，c=2，点 D 为 BC 边上靠近点 C 的三等分点，求 AD 的长度．
2 2
11．（2023·江苏·三模）已知椭圆 E x y： + =1，椭圆上有四个动点 A，B，C，D，
16 4
CD//AB ，AD 与 BC 相交于 P 点.如图所示.
(1)当 A，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线 AD 与 BC 的斜率之积是否
为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点 P 的坐标为 8,6 ，求直线 AB 的斜率.

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