资源简介

考点 28 正弦定理、余弦定理（2 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【知识点】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
a b c
内容 ＝ ＝ ＝2R b2＝c2＋a2－2cacos B；
sin A sin B sin C
c2＝a2＋b2－2abcos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
b2＋c2－a2
c＝2Rsin C； cos A＝ ；
2bc
a
(2)sin A＝ ， c2＋a2－b2
变形 2R cos B＝ ；
2ac
b c
sin B＝ ，sin C＝ ； a2＋b2－c2
2R 2R cos C＝
2ab
(3)a∶b∶c
＝sin A∶sin B∶sin C
2．三角形解的判断
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
1
(1)S＝ aha(ha表示边 a 上的高)；2
1 1 1
(2)S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A；
2 2 2
1
(3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
2
常用结论
在△ABC 中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos AA＋B C A＋B
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos
2 2 2
C
＝sin .
2
(5)三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
1
(6)三角形中的面积 S＝ p p－a p－b p－c (p＝ a＋b＋c2 ).
【核心题型】
题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
φ
(1)由 y＝sin ωx 的图象到 y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而
ω
非 φ 个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω 为负时应先变成正值
【例题 1】（2024·广东江门·二模） P 是VABC 内一点，
ABP = 45°, PBC = PCB = ACP = 30°，则 tan BAP =（ ）
2 2 1
A 1． B． C3 ． D．5 3 2
【答案】D
【分析】在VABP,VACP 中，分别使用正弦定理，结合BP = CP化简整理即可得解
【详解】因为 ABP = 45°, PBC = PCB = ACP = 30°，
所以 BAC =180° - 45° + 30° + 30° + 30° = 45° ，
设 BAP = a ，因为 PBC = PCB，所以BP = CP．
AP sin 45° AP sin 30°
在VABP,VACP 中，由正弦定理可得 = , =BP sina CP sin 45° -a ，
sin 45° sin 30°
则 =sin sin 45 ，即 sin 45°sin 45° -a = sin 30°sinaa ° -a ，
2 2
即 (cosa -sina) 1= sina ，
2 2 2
tana sina 1解得 = = ．
cosa 2
故选：D
【变式 1】（2024·河北沧州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若
3bcosB = acosC + ccosA，且3b = 4c ，则C = .
p
【答案】 / 45°
4
1
【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得 cosB = ，由同角的平方关系可得 sinB 2 2= ，
3 3
结合正弦定理计算即可求解.
【详解】3bcosB = acosC + ccosA，
3sinBcosB = sinAcosC + sinCcosA，
3sinBcosB = sin A + C .又 sin A + C = sinB 0，
1
所以 cosB = ，所以 sinB = 1- cos2 B 2 2= .3 3
因为3b = 4c ，由正弦定理知3sinB = 4sinC ，
π
所以 sinC 2= ，又 B > C ，所以C = .
2 4
π
故答案为：
4
【变式 2】（2024·山东日照·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．分别以 a,b,c为
边长的正三角形的面积依次为 S , S , S 31 2 3 ，且 S1 - S2 - S3 = bc．4
(1)求角A ；
uuur uuur π
(2)若BD = 4CD， CAD = ，求 sin ACB6 ．
2π
【答案】(1)
3
(2) 2 7
7
1
【分析】（1）根据题意，化简得到 a2 - b2 - c2 = bc ，利用余弦定理求得 cos A = - ，即可求2
解；
（2 3）设 ACB = a ，在△ABD 和VACD中，利用正弦定理化简得到 cosa = sina ，结合
2
三角函数基本关系式，联立方程组，求得 sin ACB 的值.
【详解】（1）解：由分别以 a,b,c为边长的正三角形的面积依次为
S 3 21 = a , S
3 2 3 2
4 2
= b , S
4 3
= c ，
4
则 S S 3 3 3 31 - 2 - S = a
2 - b2 - c2 = bc ，可得 a2 - b23 - c
2 = bc ，
4 4 4 4
2 2 2
由余弦定理得 cos A
b + c - a 1
= = - ，
2bc 2
2π
因为 A (0, π)，所以 A = .3
（2）解：设 ACB = a （其中a 为锐角），
BD AD CD AD
= =
在△ABD 和VACD中，由正弦定理可得 sin(2π π+ ) sin(π a ) 且 sin π- sin(π -a ) ，
3 6 3 6
BD sin(π -a )
3 CD sina
于是 5π = ，sin sin π
6 6
sina sina
= = 4
又因为BD = 4CD,sin
5π π
= sin ，所以 sin(π6 6 -a ) 3
，
3 cosa
1
- sina
2 2
3
化简得 cosa = sina ，
2
根据同角三角函数的基本关系式，可得 cos2 a + sin2 a =1，
因为 sina > 0 2 7 2 7，联立方程组，解得 sina = ，即 sin ACB =
7 7
【变式 3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
2
c sin C - sin C sin B，且 2 2 =1 .cos B - cos A
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，点 F 为VABC 的垂心， AF = 6，求CF + BF 的取值范围.
A π【答案】(1) = 3
(2) 6 3,12
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得 cos A的值，再由角A 的范围，可得角A 的大小；
（2）设 FAB = a ，分别在两个三角形中，由正弦定理可得 BF ，CF 的表达式，由辅助角
公式可得BF + CF 的取值范围．
sin2 C - sin C sin B
【详解】（1）因为 =1，
cos2 B - cos2 A
所以 sin2 C - sin C sin B = cos2 B - cos2 A = 1- sin2 B -1+ sin2 A，
所以 sin2 B + sin2 C - sin2 A = sin C sin B ，
由正弦定理可得b2 + c2 - a2 = bc ，
b2 + c2 - a2 1
由余弦定理可得 cos A = = ， A (0, π)，
2bc 2
π
可得 A = 3 ；
（2）延长 AF 交BC 于D，延长 BF 交 AC 于E ，延长CF 交 AB 于 P ， AF = 6，
根据题意可得BC ^ AD ，BE ^ AC，因为 CAB π= ，所以 EBA = ACP π= 6 ，3
π AF BF
设 FAB = a ，a (0, )，在△ABF3 中，由正弦定理可得
=
sin EBA sin FAB ，
6 BF
即 1
=
sina ，可得 BF = 12sina ，
2
π
同理在△CFA中，可得CF = 12sin( -a )3 ，
BF CF 12[sina sin(p 3 1所以 + = + -a )] = 12(sina + cosa - sina )
3 2 2
12(1= sina 3+ cosa ) = 12sin(a
π
+ )
2 2 3
，
a (0, π
2π
因为 )，所以a
π π
+ ( , )
3 3 3 ，3
sin(a π) ( 3所以 + ,1]，
3 2
所以 BF + CF (6 3 ,12]．
题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点 1　三角形的形状判断
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A
＋B＋C＝π 这个结论．
【例题 2】（2024·陕西渭南·三模）已知VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，则VABC 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
π
【分析】由正弦定理和 sin A = sin B + C 得到 a = b， cosC = 0，求出C = 2 ，得到答案.
【详解】bcosC + c cos B = b sin B cosC + sin C cos B = sin B sin B + C = sin B，
即 sin A = sin B ，故 a = b，
a = c cos B sin A = sin C cos B sin B + C = sin C cos B
sin B cosC + cos B sin C = sin C cos B sin B cosC = 0，
因为B 0, π ，所以 sin B 0 ，故 cosC = 0，
因为C 0, π π，所以C = 2 ，
故VABC 为等腰直角三角形.
故选：D
【变式 1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若
sin 2A = sin 2B ，则VABC 的形状为 .
【答案】等腰三角形或直角三角形.
2a b
2 + c2 - a2 22b a + c
2 - b2
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，得到 × = × ，化简
2bc 2ac
2 2 2 2 2
得到 a - b c - a - b = 0，进而得到答案.
【详解】因为 sin 2A = sin 2B ，可得 2sin Acos A = 2sin B cos B，
b22a + c
2 - a2 2 2 2
由正弦定理和余弦定理，可得 × = 2b a + c - b× ，
2bc 2ac
a2 b2 + c2 - a2 = b2 a2 + c2整理得 - b2 ，即 a2c2 - a4 - b2c2 + b4 = 0 ，
c2 a2 - b2 - a2 - b2 a2 + b2 = 0 a2 - b2 c2即 ，可得 - a2 - b2 = 0，
所以 a = b或 a2 + b2 = c2 ，所以VABC 是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
【变式 2】（2024·安徽淮北·二模）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
c A- b = 2csin2
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若 c =1，求VABC 周长的最大值.
【答案】(1) VABC 是直角三角形
(2) 2 +1
b
【分析】（1）根据题意，求得 cos A = ，利用余弦定理列出方程，得到 a2 + b2 = c2 ，即可求
c
解；
（2）由（1）和 c =1，得到 a = sin A, b = cos A，则VABC 周长为1+ sin A + cos A，结合三角
函数的性质，即可求解.
c b 2csin2 A sin2 A c - b 1- cos A c - b【详解】（1）解：由 - = ，可得 = ，所以 = ，
2 2 2c 2 2c
1 cos A 1 b
即 - = - ，所以 cos A
b
= ，
2 2 2 2c c
b2 + c2 - a2 b π
又由余弦定理得 = ，可得 a2 + b2 = c2 ，所以C = ，
2bc c 2
所以VABC 是直角三角形
（2）解：由（1）知，VABC 是直角三角形，且 c =1，可得 a = sin A, b = cos A，
所以VABC 周长为1+ sin A + cos A =1+ 2 sin A
π
+

4 ÷
，
è
A π π π 3π因为

0,
A + , ÷ ，可得 ，
è 2 4 ÷è 4 4
p
所以，当 A = 时，即VABC 为等腰直角三角形，周长有最大值为
4 2 +1
.
【变式 3】（2024·内蒙古·三模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a - 2b cosC = c 2cosB - cosA .
b
(1)求 的值；
a
(2)若B = 2C ，证明：VABC 为直角三角形.
【答案】(1) 2
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到b = 2a，求出答案；
（2）由（1）得到 sinB = 2sinA，结合B = 2C ，得到
2 π π
sin 2C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C sin C ，化简得到 cosC = ，C = , B = ，得到答案.
2 4 2
【详解】（1）由 a - 2b cosC = c 2cosB - cosA ，
可得acosC + ccosA = 2 bcosC + ccosB ，
所以 sinAcosC + sinCcosA = 2 sinBcosC + sinCcosB ，
所以 sin B = 2 sin A，
b
则b = 2a，即 = 2 .a
（2）证明：由（1）可得 sinB = 2sinA .
又B = 2C ，所以 sin 2C = 2 sin B + C = 2 sin 3C ，
即 sin 2C = 2 sin 2C + C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C sin C ，
故 2sin C cosC = 2 2 sin C cos2 C + 2 cos 2C sin C ，
所以 2cosC = 2 2 cos2 C + 2 2 cos2 C - 2 ，
即4 2cos2C - 2cosC - 2 = 0，
因为B = 2C ，所以C 为锐角，
π π
解得 cosC 2= （负值舍去），即C = , B = ，
2 4 2
所以VABC 为直角三角形.
命题点 2　三角形的面积
三角形面积公式的应用原则
1 1 1
(1)对于面积公式 S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公
2 2 2
式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【例题 3】（2024·云南昆明·三模）已知VABC 中， AB = 3，BC = 4， AC = 5 ，则VABC 的
面积等于（ ）
A．3 B． 11 C．5 D． 2 5
【答案】B
【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出 sin B ，再根据三角形面积公式计算即
可．
2
2 2 2 32 + 42 - 5
【详解】由余弦定理得， cos B AB + BC - AC
5
= = = ，因为 B 为三角形内
2AB × BC 2 3 4 6
角，
则 sin B = 1- cos2 B 11= ，
6
S 1所以 VABC = AB × BC ×sin B
1
= 3 4 11 = 11，
2 2 6
故选：B．
【变式 1】（2024·安徽·三模）在VABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足
a = 3 , (a + c)(sin A + sin C) = bsin B + 3c sin A,
sin C 1- cosC
= ，则VABC 的面积
sin B cos B
是 ．
3 3 3
【答案】 / 3
4 4
sin C 1- cosC
【分析】先化角为边结合余弦定理得出 B ，利用 = 可得 A = B ，利用面积公式
sin B cos B
可得答案.
【详解】因为 (a + c)(sin A+ sinC) = bsin B +3csin A，
2 2 2
由正弦定理可得 (a + c)2 = b2 + 3ca ，整理得 a2 + c2 - b2 = ac， cos B
a + c - b 1
= = ，
2ac 2
因为B 0, π π，所以 B = 3 ；
sin C 1- cosC
由 = 得 sin C cos B + sin B cosC = sin B ，即 sin B + C = sin B ，
sin B cos B
因为 sin B + C = sin π - A = sin A，
A B π所以 sin A = sin B ，即 = = ，所以三角形是正三角形，
3
因为 a = 3，所以VABC S 3 3 3 3的面积是 = = .
4 4
3 3
故答案为：
4
【变式 2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形 ABC 中，内角 A, B,C 对应边分别为 a,b,c且
bcosC + 3c sin B = a + 2c .
(1)求 B的大小；
(2)如图所示，D为VABC 外一点， DCB = B ，CD = 3 ， BC =1， CAD = 30o ，求
sin BCA及VABC 的面积.
【答案】(1)120°
(2) 2 3 + 3，
2 4
【分析】（1）利用正弦定理边化角可得 sin B cosC + 3 sin C sin B = sin A + 2sin C ，根据式子
特点，变换sin A = sin(B +C)，从而可以化简三角恒等式为 3 sin B - cos B = 2 ，最后利用辅
助角公式求出B =120°；
（2）设 BCA = q ，可知用q 表示 D， BAC ，利用正弦定理可得公共边 AC 的式子，最
2
后可得一个关于角q 的三角方程求解出角q 的大小，然后求出求出 sin BCA = 和
2
AC 3 2 + 6= ，最后利用面积公式即可求出面积.
2
【详解】（1） bcosC + 3c sin B = a + 2c，由正弦定理边化角得：
sin B cosC + 3 sin C sin B = sin A + 2sin C ，由三角形内角和为180°可得：sin A = sin(B +C)，
即 sin B cosC + 3 sin C sin B = sin(B + C) + 2sin C = sin B cosC + cos B sin C + 2sin C ，
即 3 sin C sin B - cos B sin C = 2sin C ，
又 sin C 0 3 sin B - cos B = 2 3 sin B 1- cos B =1，
2 2
即 sin B - 30° =1，又 0° < B <180° ， B - 30° = 90°，即B =120° .
AC CD
（2）设 BCA = q ，在VACD中， = ，
sin D sin CAD
D =180° - 30° - 120° -q = 30° +q ，CD = 3 ，
AC sin(q + 30
o )
= CD = 2 3 sin q + 30oo ，sin 30
AC BC
在VABC 中， = ， BAC =180° -120° -q = 60° -q ， BC =1，
sin B sin BAC
AC sin120
o 3 3
= BC = = ，
sin(60o -q ) 2sin(60o -q ) 2cos(q + 30o )
即 2 3 sin q + 30o 3= ，
2cos(q + 30o )
4sin(q + 30o ) cos(q + 30o ) =1 2sin(2q + 60o ) =1，
sin(2q 60o ) 1+ = ，又
2 0
° < q <120°，
2q + 60o =150o ，解得q = 45o，
sin 2 BCA = sinq = sin 45° = ，
2
又由 AC = = 2 3 sin(q + 30o）= 2 3 sin(45o + 30o）

= 2 3 2 3 2 1 3 2 + 6 + 2 2 2 2 ÷÷
= ，
è 2
1
于是 SVABC = BC × AC ×sin BCA
1 1 3 2 + 6 2 3 + 3 = =
2 2 2 2 4
sin A + sin B sin C
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，已知 =sin A - B sin B .
(1)求证： sin A = 2sin B ；
(2)若 D 为 AB 7的中点，且 AB = 3 ，CD = ，求VABC 的面积.
2
【答案】(1)证明见解析；
(2) 3
2
sin A + sin B sin C sin A + B
【分析】（1）由 = =sin A B sin B sin B ，利用两角和与差的正弦函数化简求解； -
uuur 1 uuur uuur
（2）由 D 为 AB 的中点，得到CD = CA + CB ，再两边平方得到 CA，CB 的一个关系式，2
由 AB = 3 ，利用余弦定理得到再得到得到 CA，CB 的一个关系式，然后利用（1）的结论
BC = 2AC 求解.
sin A + sin B sin C sin A + B
【详解】（1）因为 = =sin A - B sin B sin B ，
所以 sin Asin B + sin2 B = sin Acos B 2 - cos Asin B 2 = sin2 A - sin2 B，
即 sin A + sin B sin A - 2sin B = 0，
因为 sin A + sin B 0，所以 sin A = 2sin B ；
7
（2）因为 D 为 AB 的中点，且 AB = 3 ，CD = ，
2
uuur 1 uuur uuur所以CD = CA + CB2 ，
uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur两边平方得CD = CA + CB + 2CA ×CB ，4
1 uuur2 uuur2 uuur uuur= CA + CB + 2 CA × CB ×cos ACB4 ，
即CA2 + CB2 + 2CA ×CB ×cos ACB = 7，
又 AB2 = CA2 + CB2 - 2CA ×CB ×cos ACB，
即CA2 + CB2 - 2CA ×CB ×cos ACB = 3，
由（1）知BC = 2AC ，
解得BC = 2, AC =1，又 AB = 3 ，且CA2 + AB2 = CB2 ，
π 1 3
所以 A = ，则
2 SVABC = AC × AB =
.
2 2
命题点 3　与平面几何有关的问题
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常
是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，
常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用
正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想
【例题 4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形 ABCD中，
AB = AD = 2, B = 2 D =120° ，记VABC 与VACD的面积分别为 S1, S2，则 S2 - S1 的值为
（ ）
A．2 B 3． 3 C．1 D．
2
【答案】B
【分析】根据余弦定理得 BC 2 - AC 2 = -2BC - 4、CD2 - AC 2 = 2CD - 4，两式相减可得CD - BC = 2，
3
由三角形的面积公式得 S2 - S1 = (CD - BC) ，即可求解.2
VABC cos B AB
2 + BC 2 - AC 2
【详解】在 中，由余弦定理得 = ，
2AB × BC
1 4 + BC 2 - AC 2
即 - = ，得 BC 2 - AC 2 = -2BC - 4 ①，
2 4BC
2 2 2
在VACD AD + CD - AC中，由余弦定理得 cos D = ，
2AC ×CD
1 4 + CD2 - AC 2
即 = ，得CD2 - AC 2 = 2CD - 4 ②，
2 4CD
S 1又 1 = AB × BC sin120
° 3 BC,S 1= 2 = AD ×CDsin 60
° 3= CD ，
2 2 2 2
3 3 3
所以 S2 - S1 = CD - BC = (CD - BC) ③，2 2 2
由② - ①，得CD2 - BC 2 = 2(CD + BC) ，由CD + BC > 0，
得CD - BC = 2，代入③得 S2 - S1 = 3 .
故选：B
1
【变式 1】（22-23 高三上·江苏扬州·期末）如图，在VABC 中， sin A = ， AB = 2 3 ，D、E3
分别在边BC 、 AC 上，EC = EB ，ED ^ BC 且DE =1 .则 cosC 值是 ；VABE 的面
积是 .
3 7 2 7
【答案】 / 2
3 6 6
EB 1【分析】分析可得 AEB = 2 C ， = ，在△ AEB 中，利用正弦定理结合二倍角的正
sin C
弦公式可求得 cosC 的值；求出EB的长，利用两角和的正弦公式求出 sin ABE 的值，利用
三角形的面积公式可求得VABE 的面积.
【详解】因为EB = EC ，则 EBC = C ，故 AEB = 2 C ，
DE 1
因为ED ^ BC ，则D为BC 的中点，且EB = = ，
sin EBC sin C
AB BE
在△ AEB 中，由正弦定理可得 = 2 3 3，即
sin AEB sin A =
，
sin 2C sin C
2 3 3 3
易知C 为锐角，故 = ，可得 cosC = ，
2sin C cosC sin C 3
所以，sinC = 1-cos2 C 6= ，则 sin AEB = sin 2C = 2sin C cosC 2 2= ，
3 3
cos AEB = cos 2C 1=1- 2sin2 C = - ，
3
EB 1 6 AB VABE A 2 2= = < ，故在 中， 为锐角，故 cos A = 1- sin2 A = ，
sin C 2 3
所以， sin ABE = sin AEB + A = sin AEB cos A cos AEB sin A 7+ = ，
9
1
因此， S△ABE = AB × BE sin ABE
7 2
= .
2 6
3 7 2
故答案为： ； .
3 6
【变式 2】（2024·广东梅州·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，
3a cos B - bsin A = 3c， c = 2，
(1)求 A 的大小：
(2)点 D 在 BC 上，
（Ⅰ）当 AD ^ AB，且 AD =1时，求 AC 的长；
（Ⅱ）当BD = 2DC ，且 AD =1时，求VABC 的面积 SVABC ．
2π
【答案】(1) A = 3
(2) AC 8 3 + 4 S 3 2 + 3= ； =
11 V ABC 4
【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tan A的值，结合
A (0,p )即可求解A 的值；
（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得
cos ABC AB 2 = = ,sin ABC AD 1= = ,sin C 5 15= - +
BD BD 10 5 正弦定理即可求解
.
5 5
（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．
【详解】（1）因为 3a cos B - bsin A = 3c，
所以由正弦定理可得 3 sin Acos B - sin Bsin A = 3 sin C ，
又 sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B，
所以 -sin Bsin A = 3 cos Asin B ，
因为 B 为三角形内角， sin B > 0，
所以-sin A = 3 cos A，可得 tan A = - 3 ，
因为 A (0, π) A
2π
，所以 = 3 ；
（2）（Ⅰ）此时 AB = 2 = 2AD ， AD ^ AB，
所以DB = AB2 + AD2 = 5，所以
cos ABC AB 2 ,sin ABC AD 1 ,sin C sin B 2π 1 1 2 3 5 15 = = = = = + = - + = - +
BD 5 BD 5 3 ÷ 5 ÷
，
è è 2 5 2 10 5
在VABC 中，由正弦定理可得
2 1
AC AB AC AB sin ABC 8 3 + 4= = = 5 =
sin ABC sin C sin C ；5 15 11
- +
10 5
（Ⅱ）设 CAD = a ，由 SVABC = SVBAD + SVCAD ，
可得 3b = 2sin(
2π
-a ) + bsina 3b bsina 2π，化简可得 - = 2sin( -a )3 3
b CD
= , 2 BD=
有 sin ADC sina sin ADB sin(2π -a ) ，
3
bsina sin ADB 1
=
由于BD = 2DC ，所以 sin ADC 2sin(2π -a ) 2 ，
3
sin(2π -a )
所以b 3 1 3b - bsina 3
6 +1
= = sina = , b = ，
sina 2 sina 3 2
1
则 SV ABC = bcsin A
3 2 + 3
= ．
2 4
【变式 3】（23-24 高三下·山东·开学考试）如图所示，圆O的半径为 2，直线 AM 与圆O相
切于点 A, AM = 4，圆O上的点 P 从点A 处逆时针转动到最高点 B 处，记
AOP = q ,q 0, π .
q 2π(1)当 = 时，求△ APM 的面积；
3
(2)试确定q 的值，使得△ APM 的面积等于VAOP 的面积的 2 倍.
【答案】(1)6
π
(2)q =
2
【分析】（1）过点 P 作PQ ^ AM ，利用圆的性质求得 PQ，代入面积公式直接求解即可；
（2）设VAOP 的面积为 S1,VAPM 的面积为 S2 ，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助角
公式化简求解即可.
【详解】（1）过点 P 作PQ ^ AM 交 AM 于点Q，如图：
O PQ = 2 + 2sin
π
因为圆 的半径为 2，由题意 q - ÷ = 2 - 2cosq = 2 - 2cos
2π
= 3，
è 2 3
1
又 AM = 4，所以△ APM 的面积为 4 3 = 6 .
2
（2）连接 AP ，设VAOP 的面积为 S1,VAPM 的面积为 S2 ，
S 1 2 2 sinq 1 1又 1 = = 2sinq ， S2 = AM × PQ = 4 2 1- cosq = 4 1- cosq ，2 2 2
由题意知 S2 = 2S1，所以 4 1- cosq = 4sinq ，即 sinq + cosq =1，所以 sin q
π
+
2
4 ÷
= ，
è 2
因为q 0, π ，所以q π π 5π+ , q π 3π π ú ，所以 + = ，所以q = ，4 è 4 4 4 4 2
π
所以当q = 时，使得△ APM 的面积等于VAOP 的面积的 2 倍.
2
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·二模）在 VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且 a = 7，
b = 3， c = 5，则（ ）
A．VABC 为锐角三角形 B．VABC 为直角三角形
C．VABC 为钝角三角形 D．VABC 的形状无法确定
【答案】C
【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
b2 + c2 - a2 32 + 52cos A - 7
2 9 + 25 - 49
【详解】由于 = = = < 0 ,
2bc 30 30
故A 为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
2．（2024·贵州遵义·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，D 为 AC 的中点，已
知 c = 2，BD 7= ，且 acos B + bcos A = -2ccos B，则VABC 的面积为（ ）
2
A 2 3 B 3． ． C． 3 D 3 3．
2 2
【答案】D
【分析】先利用正弦定理化边为角求出角 B ，在向量化求出边 a，再根据三角形的面积公式
即可得解.
【详解】因为 acos B + bcos A = -2ccos B，
由正弦定理得 sin Acos B + sin B cos A = -2sin C cos B，
即 sin A + B = sin C = -2sin C cos B ，
又 sin C > 0，所以 cos B
1
= - ，
2
又B 0, π 2π，所以B = ，
3
uuur 1 uuur uuur在VABC 中，D 为 AC 的中点，则BD = BA + BC ，2
uuur2 1 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur
则BD = BA + BC 1= BA + BC + 2BA × BC4 4 ，
7 1
即 = 4 + a2 - 2a ，解得 a = 3（ a = -1舍去），4 4
1
所以 S△ABC = 2
3 3 3
3 = .
2 2 2
故选：D.
3．（23-24 高三下·河南·阶段练习）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知
a = 3，b2 = c2 + 3c + 9， ABC 的平分线交边 AC 于点 D，且 BD = 2，则b =（ ）
A． 2 5 B． 2 7 C．6 D．3 7
【答案】D
1 2π
【分析】根据题意，利用余弦定理求得 cos B = - ，得到B = ，结合
2 3
S△ABC = S△ABD + S△BCD ，列出方程求得 c = 6，再利用余弦定理，即可求解.
【详解】因为 a = 3及b2 = c2 + 3c + 9，可得b2 = a2 + c2 + ac ，
2 2 2
由余弦定理得 cos B a + c - b 1= = - ，
2ac 2
2π
又由0 < B < π ，所以B = ，
3
S 1 1因为 △ABC = S△ABD + S△BCD ，即 ac sin ABC = BD × (a + c)sin ABD，解得 c = 6，2 2
b2 62 32 2 6 3 cos 2p由余弦定理得 = + - = 63，即b = 3 7 ．
3
故选：D．
4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在 VABC 中， ACB =120°，BC = 2AC ， D为 VABC 内一点，
AD ^ CD ， BDC =120°，则 tan ACD =（ ）
A 3 3 3． 2 2 B． C． 6 D．
2 2
【答案】B
【分析】在RtVADC 中，设 ACD = q ， AC = x，即可表示出CB，CD ，在△BCD中利用
2x xcosq
=
正弦定理得到 3 sin(q - 60°) ，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，
2
即可得解.
π
【详解】在RtVADC 中，设 ACD = q 0 < q <

÷，令 AC = x x > 0 ，
è 2
则CB = 2x，CD = xcosq ，
在△BCD中，可得 BCD =120° -q ， CBD = q - 60°，
BC CD
由正弦定理 = ，
sin CDB sin CBD
2x xcosq xcosq
= =
得 3 sin(q - 60°) 1 sinq 3- cosq ，
2 2 2
4 1
=
所以 3 1 tanq 3 ，-
2 2
tanq 3 3 tan ACD 3 3可得 = ，即 = ．
2 2
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到△BCD
中利用正弦定理得到关系式.
二、多选题
5．（2024·江西·二模）已知 VABC 中， AB =1, AC = 4, BAC = 60°, AE 为 BAC 的角平分线，
交BC 于点E, D 为 AC 中点，下列结论正确的是（ ）
A 13．BE =
5
B AE 4 2． =
5
C VABE 3． 的面积为
5
1
D． P 在△ABD 的外接圆上，则PB + PD 的最大值为
2 7
【答案】ACD
【分析】对每一个选项逐一判断，由余弦定理求出BC = 13 ，再由角平分线定理可知
BE 13 1 p 3= ，利用三角形面积公式求出 SVABE = AE 1 sin = ，再设 PBD = q ，将5 2 6 5
PB 1+ PD 表示为q 的三角函数求最值即可判断.
2
VABC BC 2 2 p【详解】在 中，由余弦定理得 =1+ 4 - 2 1 4 cos =13, BC = 13 ，
3
BE : EC BA : AC 1: 4, BE : BC 1: 5, BE 1 BC 13由角平分线定理得： = = = = = ，所以 A 正确；
5 5
1 p 1 p 1 p 4 3
由 SVABE + SVACE = SVABC 得 AE 1 sin + AE 4 sin = 1 4 sin ，解得2 6 2 6 2 3 AE =
，
5
所以 B 错误；
S 1VABE = AE 1 sin
p 3
= ，所以 C 正确；
2 6 5
在△BDP 中，BD = 1+ 22 - 2 2 cos p = 3, BPD p= ,
3 3
2p PD BP BD 3
PBD q PDB = -q = 2 = = = 2,设 = ，则 ，由正弦定理得：
3 sin q sin(
p
- q) sin p 3
3 3 2
PB 1+ PD = 2sin(2p - q) + sin q = 3 cos q + 2sin q = 7 sin(q + j) 3，其中
2 3 tanj =
，所以 D
2
正确.
故选：ACD.
6．（2024·重庆·模拟预测）已知VABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则下
列说法正确的有（ ）
A．若 a > b，则 sinA > sinB B．若 a > b，则 cosA > cosB
C．若 a2 + b2 < c2 ，则VABC 为钝角三角形D．若 a2 + b2 > c2，则VABC 为锐角三角形
【答案】AC
【分析】由正弦定理可判断 A；余弦函数的单调性可判断 B；由余弦定理可判断 C，D.
【详解】对于 A，在VABC 中， a > b，
由正弦定理可得： sin A > sin B，故 A 正确；
对于 B， a > b A > B， A + B < π,即 A < π - B ，
因为 y = cos x在 0, π 上单调递减，所以 cos A < cos π - B ，
cosA < cosB，故 B 错误；
2 2 2
对于 C， a2 + b2 < c2 a + b - c， cosC = < 0，
2ab
因为C 0, π C π ，所以 , π2 ÷，è
所以角C 为钝角，故 C 正确；
2 2 2
对于D ， a + b > c ， cosC a + b - c= > 0，
2ab
因为C 0, π ，所以C π 0, 2 ÷，è
则只能判断角C 为锐角， A，B 两角可能有钝角，故D 错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（2024·北京昌平·二模）已知VABC 中， a = 4,b = 2c, cosA
3
= - ，则 SVABC = ．4
7
【答案】
2
【分析】由余弦定理求出b,c，由同角三角函数的平方关系求出 sinA，最后由三角形的面积
公式即可求出答案.
b2 + c2 - a2 4c2 + c2 -16 3
【详解】由余弦定理可得： cosA = = 2 = - ，2bc 4c 4
解得： c = 2 ，所以b = 2c = 2 2 ，
3
又因为 cosA = - ，所以
4 sinA = 1- cos
2 A 7= ，
4
S 1所以 VABC = bc sin A
1
= 2 2 2 7 7 = .
2 2 4 2
7
故答案为： .
2
8．（2024·江苏·二模）设钝角VABC 三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若
a = 2，bsin A = 3 ， c = 3，则b = .
【答案】 19
【分析】利用余弦定理表示出 cos A，再利用同角三角函数的平方关系，得到
cos A 3= 1- 2 ，建立方程，求出 b 的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.b
b2 + c2 - a2 b2 + 9 - 4 b2 + 5
【详解】由余弦定理得， cos A = = = ，
2bc 6b 6b
而由bsin A = 3 ，得 sin B 3= ，
b
因为VABC 是钝角三角形，且 c > a ，故 A 为锐角，所以 cos A 3= 1- 2 ，b
3 b21 + 5所以 - 2 = ，解得b
2 = 7或b 2 = 19，
b 6b
当b2 = 7时，即b = 7 ， c > b > a，由大边对大角得：最大角为 C，
2 2 2
cosC b + a - c 7 + 4 - 9= = > 0，故 C 为锐角，不符合题意；
2ba 6 7
当b 2 = 19时，即b = 19 ，b > c > a，由大边对大角得：最大角为 B，
cos B c
2 + a2 - b2 9 + 4 -19
= = < 0，故 B 是钝角，符合题意，
2ca 6 2
故答案为： 19
9．（2024·河南·三模）如图，在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
B = 60o , A = 45o ,c - a = 3， B的平分线BD交边 AC 于点D, AB边上的高为CF , BC 边上的
高为 AE, BD CF = P， AE CF = R, BD AE = Q ，则 PQR = ；PQ = .
【答案】 60o 3
【分析】根据题意结合角度关系分析可知： ADB =105o ， CAE =15o ，即可得结果；根据
3 +1
题意利用正项定理可得 c = a， a = 3 3 + 3，根据图形分别求BD, BP,QD ，即可得结
2
果.
【详解】在VABC 中，可知 ACB =180o - CAB - ABC = 75o，
因为 B = 60o，且BD为 B的平分线，可知 ABD = CBD = 30o，
则 ADB = ACB + CBD =105o ，
在RtVACE 中，可得 CAE =180o - ACB - AEC =15o ，
在△ADQ中，可得 AQD =180o - ADB - CAE = 60o，
所以 PQR = AQD = 60o ；
因为 sin105o = sin 75o = sin 45o + 30o = sin 45o cos30o + cos 45o sin 30o 6 + 2= ，4
sin15o = sin 45o - 30o = sin 45o cos30o - cos 45o sin 30o 6 - 2= ，4
V c a在 ABC a sin ACB 3 +1中，由正弦定理 = 可得 ，
sin ACB sin c = = a BAC sin BAC 2
c a 3 -1则 - = a = 3，解得 a = 3 3 + 3，
2
a b
= a sin ABC 6由正弦定理 可得 ，
sin BAC sin b = = a ABC sin BAC 2
且BD为 B AD AB 3 +1 2的平分线，则 = = ，可得 AD = a ，
DC BC 2 2
QD AD AD ×sin QAD
在△ADQ中，由正弦定理 =sin QAD sin AQD 可得
QD = = 3
sin AQD ，
在△BCD中，可知 BDC = BCD = 75o，则BD = BC = 3 3 + 3，
在RtVBCF 中，可知BF 1 3 3 + 3= BC = ，
2 2
BF
在RtVPBF 中，可知BP = = 3 + 3，
cos ABD
所以PQ = BD - BP - QD = 3 .
故答案为：60o ； 3 .
四、解答题
10．（2024·上海宝山·二模）在VABC中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知
sin2 A + sin2C = sin2B + sinAsinC .
(1)求角 B 的大小；
(2)若VABC的面积为 3 ，求 a + c的最小值，并判断此时VABC的形状.
p
【答案】(1)
3
(2)4，VABC 为等边三角形
【分析】（1）由正弦定理角化边可得 a2 + c2 = b2 + ac ，进而根据余弦定理可求 B ；
（2）由三角表面积可求得 ac = 4，根据均值不等式可求得 a + c的最小值，根据取得最小值
可判断三角形的形状.
【详解】（1）由正弦定理得 a2 + c2 = b2 + ac ，
2 2 2
又由余弦定理得 cosB a + c - b ac 1= = = ，
2ac 2ac 2
因为 B 是三角形内角，所以B
p
= ；
3
（2）由三角形面积公式得：
S 1VABC = acsinB
1
= acsin p 3= ac = 3，
2 2 3 4
解得 ac = 4，
因为 a + c 2 ac = 4，当且仅当 a = c = 2 时取等号，
所以 a + c的最小值为 4，此时VABC 为等边三角形.
11．（2024·江西·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，其外接圆的半
3
径为 2 3 ，且bcosC = a + csinB ．
3
(1)求角 B ；
(2)若 B的角平分线交 AC 于点D, BD = 3，点E 在线段 AC 上，EC = 2EA，求△BDE 的
面积．
2π
【答案】(1) B = ；
3
(2) 3 ．
2
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得 tan B = - 3 ，结合角的取值
范围可求得角 B 的值；
（2）利用正弦定理可求得b 的值，利用 SVABC = SVBCD + SVABD 可得 ac = 3 a + c ，余弦定理
可得 (a + c)2 - ac = 36，两式联立可得 a = c = 2 3 ，然后利用三角形的面积公式可求得△BDE
的面积.
1 bcosC a 3【详解】（ ）因为 = + csinB ，
3
3
由正弦定理可得 sinBcosC = sinA + sinCsinB，
3
又 A = π - B + C ，所以 sinBcosC = sin B + C 3+ sinCsinB ，
3
3
所以 sinBcosC = sin B cosC + cos B sin C + sinCsinB ，
3
即 sinCcosB 3+ sinCsinB = 0，
3
C 0, π ，故 sin C 0，
cosB 3+ sinB = 0，即 tan B = - 3 ，
3
又B 0, π 2π，则B = ．
3
（2）
由（1）可知，B
2π
= ，又外接圆的半径为
3 2 3
；
b
由正弦定理可知 = 4 3 ，
sinB
b 4 3 sin 2π所以 = = 6，
3
1 π
因为BD是 ABC 的平分线，故 CBD = ABD = ABC = ，
2 3
又BD = 3 ，
由 SVABC = SVBCD + SVABD ，
1 acsin 2π 1 a 3sin π 1 c 3sin π可得 = × + × ，即 ac = 3 a + c ．①
2 3 2 3 2 3
2 2 2
由余弦定理可知，b = a + c - 2accos
2π
，即 (a + c)2 - ac = 36．②
3
由①②可知 a = c = 2 3 ．
所以BD ^ AC ，
又 EC = 2AE ，则DE =1，
1 3
所以 SVBDE = 1 3 = .2 2
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江金华·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c .若 a = 7 ，
b = 2 ， A = 60°，则 c为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【答案】C
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
b2 + c2 - a2
【详解】由余弦定理得 cos A = ,
2bc
2 2 22 + c -
即 7 1= ，即 c2 - 2c - 3 = 0，解得 c = 3或 c = -1（舍）.
2 2c 2
故选：C.
2．（2024· 6青海西宁·二模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若b = c，且
2
3sin A + cos A = 2cosC ，则 cosC 的值为（ ）
3 3
A 6 B 6 C 30 D 10． ． ． ．
6 4 6 4
【答案】B
【分析】由已知可得 cosC = cos
π A- π A ÷ ，利用余弦函数的单调性可得C = - ，进而可得
è 3 3 3 3
6
B = 2C c，由正弦定理得 2 c= ，计算可求 cosC .
2sinCcosC sinC
【详解】因为 3sin
A cos A+ = 2cosC ，
3 3
所以 2cosC = 2

cos
A cos π π+ sin sin A = 2cos π A- ，
è 3 3 3 3 ÷ ÷ è 3 3
即 cosC = cos
π A- π A π 3 3 ÷ ，因为
0 < A < π,0 < C < π ，则0 < - < ，
è 3 3 3
且余弦函数 y = cosx
π A
在 0, π 上单调递减，所以C = - ，
3 3
所以 A + 3C = π ，又 A + B + C = π，所以B = 2C ，
b c 6
由正弦定理得 = c，即
sinB sinC 2
c
= ，
2sinCcosC sinC
所以 cosC 6= .
4
故选：B.
3．（2024·山东·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且
2asinA = 2b + c sinB + 2c + b sinC ，则 cosA =（ ）
1 1
- 1 2A． B． C．
2 3 2
D． 3
【答案】A
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得b2 + c2 - a2 = -bc，结合余弦定理，即可求解.
【详解】因为 2asinA = 2b + c sinB + 2c + b sinC ，
2
由正弦定理得 2a = 2b + c b + 2c + b c ，即b2 + c2 - a2 = -bc，
b2 + c2 - a2 1
又由余弦定理得 cosA = = - .
2bc 2
故选：C.
4．（2024·四川成都·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，给出以
下 4 个命题：
（1）若 a > b，则cos2A < cos2B ；
（2）若 a cos B - bcos A = c ，则VABC 一定为直角三角形；
（3）若 a = 4，b = 5， c = 6，则VABC 16 7外接圆半径为 ；
7
（4）若 cos(A - B) cos(B - C) cos(C - A) =1，则VABC 一定是等边三角形.
则其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用正弦定理得到 sin A 和 sin B 的大小关系，再利用倍角公式可以比较 cos 2A和
cos 2B，进而判断（1）；利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求角，判断（2）；
利用余弦定理求出 cos A，再利用同角三角函数关系得 sin A ，由正弦定理可以得到外接圆半
径；根据三角形内角的范围和余弦值的范围可以对（4）进行判断.
【详解】（1）若 a > b，则 sin A > sin B > 0，则 sin2 A > sin2 B ，
则1- 2sin2 A < 1- 2sin2 B ，即cos2A < cos2B ，故（1）是真命题；
（2）若 a cos B - bcos A = c ，由正弦定理得 sin Acos B - sin B cos A = sin C ，
又因为C = π - A + B ，所以 sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B ，
即 sin Acos B - sin B cos A = sin Acos B + cos Asin B整理可得 cos Asin B = 0，
B 0, π sin B 0 A 0, π A π因为 ，所以 ，所以 cos A = 0，因为 ，故 = ，
2
所以VABC 一定为直角三角形，故（2）是真命题；
2 2 2
（3）若 a = 4，b = 5， c 6 cos A b + c - a 25 + 36 -16 3= ，由余弦定理得 = = = ，则
2bc 2 5 6 4
sin A 1 cos2 A 7= - = ，
4
2R a 4 16 7= = = 8 7
由正弦定理得 sin A 7 7 ，故外接圆半径R = ，故（3）是假命题；7
4
（4）若 cos(A - B) cos(B - C) cos(C - A) =1，则 cos(A - B) = cos(B - C) = cos(C - A) = 1，
则 A - B = B - C = C - A = 0，从而 A= B=C，则VABC 一定是等边三角形，故（4）是真命题；
综上，真命题有 3 个.
故选：C.
5．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知VABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满
足 2a + b = 2c cos B ，且 sin A + sin B =1，则VABC 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
1 2π
【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简 2a + b = 2c cos B ，可得 cosC = - ，即C = ，
2 3
再由两角差的正弦公式化简 sin A + sin B
π
=1，可得 A = B = ，即可得出答案.
6
【详解】由正弦定理可得 2sin A + sin B = 2sin C cos B，
因为 A + B + C = π，所以 B + C = π - A，
所以 2sin B + C + sin B = 2sin C cos B ，即 2sin B cosC + 2cos B sin C + sin B = 2sin C cos B ，
即 2sin B cosC + sin B = 0，因为B 0, π ，所以 sin B 0 ，
cosC 1 C 0, π C 2π B A π所以 = - ，因为 ，所以 = ，所以 + = ，
2 3 3
π
因为 sin A + sin B =1，所以 sin A + sin - A3 ÷
=1，
è
3
所以 sin A + cos A 1 sin A 1 3- = ，即 cos A 1+ sin A =1，
2 2 2 2
即 sin
A π +
=1 A ÷ ，因为 0,
π π π
÷ ，所以 A + = ，所以 A
π
= ，
è 3 è 3 3 2 6
因为B + A
π
= .所以 A = B
π
= ，
3 6
所以VABC 的形状为顶角为120°的等腰三角形.
故选：B.
6．（2024·吉林长春·模拟预测）VABC 的内角 A B C 所对的边分别为
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，则 c = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】A
【分析】由已知可得 sin A = sin 2B ，结合三角恒等变换，正弦定理可得 a = 2bcos B，由此可
求 A B C ，再结合勾股定理求 c即可.
【详解】因为 A = 2B，
所以 sin A = sin 2B ，故 sin A = 2sin B cos B ，
a b
由正弦定理可得 = ，
sin A sin B
所以 a = 2bcos B，又 a = 3,b =1，
cos B 3所以 = ，又B 0, π ，
2
π π
所以 B = A =6 ， 3 ，
π
故C = π - A - B =
2
由勾股定理可得 c2 = a2 + b2 = 4，
所以 c = 2，
故选：A.
7．（2024·河北秦皇岛·三模）在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且
B = 2C ，b = 2a，则（ ）
A．VABC 为直角三角形 B．VABC 为锐角三角形
C．VABC 为钝角三角形 D．VABC 的形状无法确定
【答案】A
【分析】由正弦定理得 sin B = 2 sin A，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开
式化简可得 4 2 cos2 C - 2cosC - 2 = 0，解方程可得答案.
【详解】由b = 2a，可得 sin B = 2 sin A，
则 sin 2C = 2 sin π - 3C = 2 sin 3C ，
sin 2C = 2 sin 2C cosC + 2 cos 2C ×sin C ，
2cosC = 2 2 cos2 C + 2 2cos2 C -1 ，
即 4 2 cos2 C - 2cosC - 2 = 0，
由B = 2C > C 2，故C 只能为锐角，可得 cosC = ，
2
0 C π π π因为 < < ，所以C = ，B = .
2 4 2
故选：A.
8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形 ABCD满足 AC = 2， CAB = CAD = 30°，则四边形
ABCD的面积为（ ）
A 3． B． 3 C．3 D． 2 3
2
【答案】B
sin q π+ sin q π-
【分析】由正弦定理结合圆的性质分别得到 ÷ ÷AB = AC × è 6 和 AD = AC × è 6 ，
sinq sinq
再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦展开式求解.
【详解】
设 ABC = q ，
π 5π
则∠ADC = π -q ， ACD =q - ， ACB = -q ，
6 6
π
在V
sin q +
ABC 和△ADC 中，由正弦定理可得 AC AB ÷
= AB = AC × è 6 ；同理
sinq sin ACB sinq
sin π q - ÷
AD = AC × è 6 ，
sinq
所以四边形 ABCD的面积
S = S S 1VABC + VADC = AC×AB×sin
π 1
+ AC×AD π×sin
2 6 2 6
sin q π sin q π + -
1 ÷ ÷ ÷
= AC × AC × è 6 + AC × è 6 ÷ 1= AC 2 éêsin
q π+ + sin q π-
4 sinq sinq ÷ 4sinq 6 ÷ è è 6
÷
ú
÷
è
sin q
π
+ + sin q π- π
= è 6
÷ 6 ÷ 2sinqcos è = 6 = 3 ，
sinq sinq
故选：B.
1
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角形面积公式 S = absin C 表示出四边形面积，
2
再结合正弦定理求解.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）若 VABC 的三个内角为 A, B,C ，则下列说法正确的有（ ）
A． sin A,sin B,sin C 一定能构成三角形的三条边
B． sin 2A,sin 2B,sin 2C 一定能构成三角形的三条边
C． sin2 A,sin2 B,sin2 C 一定能构成三角形的三条边
D． sin A, sin B , sin C 一定能构成三角形的三条边
【答案】AD
【分析】根据题意，利用正弦定理和特例，结合构成三角形的条件，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，由正弦定理得 sin A : sin B : sin C = a : b : c ，
所以 sin A,sin B,sin C 作为三条线段的长一定能构成三角形，所以 A 正确；
对于 B 中，例如：设VABC中， A = 30o , B = 30o ,C =120o，
可得 2A = 60o , 2B = 60o , 2C = 240o，可得 sin 2A 3= ,sin 2B 3= ,sin 2C 3= - < 0，
2 2 2
显然 sin 2A,sin 2B,sin 2C 作为三条线段不一定构成三角形，所以 B 错误；
对于 C 中，例如：设VABC中， A = 30o , B = 60o ,C = 90o，
1 3
可得 sin A 1= ,sin B 3= ,sin C =1，所以 sin2 A = ,sin2 B = ,sin2 C =1，
2 2 4 4
此时 sin2 A + sin2 B = sin2 C ，所以 sin2 A,sin2 B,sin2 C 作为三条线段不能构成三角形，所以 C
错误；
对于 D 中，由正弦定理得 sin A : sin B : sin C = a : b : c ，
不妨设 a < b < c，则 a + b > c，且 a < b < c ，
又由 ( a + b)2 - ( c )2 = a + b - c + 2 ab > 2 ab > 0 ，即 a + b > c ，
所以 D 正确.
故选：AD.
10．（2024·广东广州·二模）在梯形 ABCD中，
AB//CD, AB =1,CD = 3,cos DAC 2= , cos 3 ACD = ，则（ ）
4 4
3 2 uuur uuur 3A． AD = B．cos BAD 2= - C．BA × AD = - D． AC ^ BD
2 4 4
【答案】ABD
【分析】在VACD中由正弦定理求解 AD 判断 A；利用两角和差公式求解 cos ADC 判断 B；
uuur uuur uuur uuur
利用向量数量积计算BA × AD 判断 C；利用数量积计算 AC × BD = 0判断 D．
【详解】在VACD中， cos DAC 2= , cos ACD 3= ，
4 4
则 sin DAC 14= ,sin ACD 7= ，
4 4
AD CD
由正弦定理知 = ，
sin ACD sin DAC
7
AD CDsin ACD
3
4 3 2即 = = = ，故 A 正确；
sin DAC 14 2
4
cos ADC = cos π - DAC - ACD
= -cos DAC + ACD
= sin DACsin ACD - cos DACcos ACD
14 7 2 3 2
= - = ，
4 4 4 4 4
AB//CD, BAD = π - ADC ，
cos BAD = cos π - ADC = -cos ADC 2= - ，故 B 正确；
4
uuur uuur uuur uuur
BA × AD = BA × AD cos π - BAD
uuur uuur
BA 3 2 2 3= × AD cos ADC =1 = ，故 C 错误；
2 4 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC × BD = AD + DC × BA + AD
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
= AD × BA + DC × BA + AD + DC × AD
2
3 3 2 3 2 2
= -1 3+ ÷÷ + 3 -4 2 2 ÷÷
= 0，
è è 4
uuur uuur
故 AC ^ BD ，即 AC ^ BD ，故 D 正确．
故选：ABD
11．（2024·浙江·三模）已知 VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
2 a A + C×sin2 = b ×sin A
2 ，下列结论正确的是（3 ）
B πA． =
3
B．若 a = 4，b = 5 ，则 VABC 有两解
C 3．当 a - c = b 时， VABC 为直角三角形
3
D．若 VABC 为锐角三角形，则 cos A + cosC 3的取值范围是 ( ,1]
2
【答案】ACD
【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断 A；通过余弦定理即
可判断 B；通过余弦定理及 a - c 3= b 可得 a = 2c 或 c = 2a ，即可判断 C；通过求A 的取值
3
π π
范围 < A < ，并将 cos A + cosC = sin(A
π
+ )即可判断 D.6 2 6
2 2 A + C
【详解】对于 A，因为 a ×sin = b ×sin A，
3 2
2 sin A sin2 π - B所以由 A + B + C = π及正弦定理得， × = sin B ×sin A，
3 2
2 2 B
由诱导公式得， sin A ×cos = sin B ×sin A2 ，3
2 B B B
因为 A (0, π)，故 sin A 0 ，所以 cos2 = 2sin cos
3 2 2 2
，
B B B B B π
化解得 cos ( 3 sin - cos ) = 0，即 cos sin( - ) = 0，
2 2 2 2 2 6
B π
所以 cos
B
= 0或 sin( - ) = 0 ，即B π= π2 （舍）或
B =
3 ，故
A 正确；
2 6
1
对于 B，由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即 25 =16 + c2 -8 c ，得 2 ，2 c - 4c - 9 = 0
由D = (-4)2 - 4 (-9) = 52 > 0，所以 c = 2 + 13 (负值舍)，即VABC 有一解，故 B 错误；
2
对于 C，因为 a - c 3= b ，两边平方得 a2 - 2ac
b
+ c2 = ，
3 3
由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + c2 - ac，
由两式消b2 得， 2a2 - 5ac + 2c2 = 0，解得 a = 2c 或 c = 2a ，
B π π由 = ，a = 2c，b = 3c解得 A = ，
3 2
由B
π
= ，c = 2a，b = 3a π解得 C = ;
3 2
故VABC 为直角三角形，故 C 正确；
VABC B π对于 D，因为 为锐角三角形，且 = 3 ，
ì0 A π π < <
ì0 < A <
2 2 π π所以 í π í
< A <
0 2π π
，
< C < 0 < - A < 6 2
2 3 2
即 cos A + cosC = cos A + cos(2π - A) 1= cos A 3+ sin A = sin(A π+ ) ，
3 2 2 6
所以 A
π π
+ ( , 2π) π，所以 sin(A + ) ( 3 ,1]，故 D 正确.
6 3 3 6 2
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在VABC 中，点M 在线段BC 上，且
AM =10, AC =14, MC = 6, π ABC = ，则 AB = ．
4
【答案】5 6
【分析】由题意，根据正弦定理、余弦定理计算即可求解.
VAMC cos AMC 36 +100 -196 1【详解】在 中，由余弦定理，得 = = - ，
2 6 10 2
则 AMC
2π
= ，即 AMB
π
= ，
3 3
在VABM 中， AM =10, ABM
π
= , AMB π= ，
4 3
10 AB
=
由正弦定理得 sin π sin π ，解得 AB = 5 6 ．
4 3
故答案为：5 6
13．（2024·湖南长沙·二模）在V
4 4ABC 中，若BC = 2， tan A = - ， cos B = ，则 AC = .
3 5
3
【答案】
2
【分析】由同角三角函数关系求解 sin A,sin B ，再由正弦定理可得解.
4 4
【详解】由已知 tan A = - ， cos B = ，
3 5
ì sin A 4
= -
则 ícos A 3 ， sin2 B + cos2 B =1，
sin
2 A + cos2 A =1
又 A, B 0, π ，
4 3
所以 sin A = ， sin B = ，
5 5
BC AC
又根据正弦定理 = ，
sin A sin B
AC = sin B则 × BC =
3
，
sin A 2
3
故答案为： .
2
14．（2024·福建厦门·三模）记锐角VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若
2cosC 3b a= - ，则 B 的取值范围是 .
a b
π , π 【答案】 ÷
è 6 2
【分析】由题意及余弦定理可得 a,b,c cos B
3 c
的关系，由余弦定理可得 = × ，再由VABC 为
4 a
c 2
锐角三角形可得 B 的取值范围.
3
3b a
【详解】因为 2cosC = - ，所以
a b 2ab cosC = 3b
2 - a2 ，
由余弦定理可得：2abcosC = a2 +b2 -c2，
b2 = a2 1 2可得 - c ，在锐角VABC 中，由余弦定理可得：
2
2 2 2 a
2 + c2 1- a2 - c2 3 ÷ c2
cos B a + c - b= = è 2 2 3 c ，= = ×
2ac 2ac 2ac 4 a
ìa2 a2 1+ - c2ìa2 + b2 > c2 > c
2
2 2 3
因为 í 2b2 2 2
，即 í ，即 2a > c ，
+ c > a a2 1- c2 + c2 > a2 2
2
c 2
所以 π π
所以 cos B
3 c 3 2 3
= × < × = ，所以B , .
4 a 4 3 2

è 6 2 ÷
π
故答案为： ,
π
÷ .
è 6 2
四、解答题
15．（2024·陕西西安·模拟预测）设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c,且向量
ur r ur r
m = (a,b), n = (- 3 cos A,sin B)满足m / /n .
(1)求 A；
(2)若 a = 13,b = 3，求 BC 边上的高 h .
2π
【答案】(1)
3
(2) h 3 39=
26
2π
【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到 tan A = - 3 ，求出 A = 3 ；
（2）由余弦定理得到 c =1，根据三角形面积得到方程，求出答案.
ur r
【详解】（1）因为m / /n，所以 a sin B + 3bcos A = 0，
由正弦定理得 sin Asin B + 3 sin B cos A = 0，
因为B 0, π ，所以 sin B 0 ，所以 tan A = - 3 ，
又 A 0, π 2π，解得 A = 3 ；
2π
（2）因为 a = 13,b = 3, A = ，所以 a23 = b
2 + c2 - 2bc cos A，
( 13)2 = 32 + c2即 - 2 3c
1
-

÷ ,
è 2
化简得 c2 + 3c - 4 = 0，解得 c =1或 c = -4 (舍去)，
1 1
由VABC 的面积 S = bc sin A，又 S = ah ，
2 2
1
故 3 1 3 1 3 39 = 13h，解得h = .
2 2 2 26
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD中， AB//CD ，
AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ， BAC 的角平分线与BC 相交于点E ，且 AE = 1, AB = 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
π
【答案】(1)
3
3
(2)
2
【分析】（1）在VACD中利用正弦定理结合已知条件求出 tan ACD，即可得解；
（2）依题意可得 BAC
π
= ，由 SVBAE + SVCAE = SVBAC 求出 AC ，再在VABC 中利用余弦定理3
计算可得.
AD AC
【详解】（1）在VACD中，由正弦定理得 = ，
sin ACD sin D
所以 AD ×sin D = AC ×sin ACD ，
又 AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ，
所以 AC ×sin ACD = 3AC ×cos ACD，因为cos ACD 0，
所以 tan ACD = 3 .
π
因为0 < ACD < π，所以 ACD = .
3
π
（2）因为 AB//CD ，所以 BAC = ACD = .3
因为 AE 平分 BAC ，所以 BAE
π
= CAE = .
6
因为 SVBAE + SVCAE = SVBAC ，
1 AB AE sin π 1 π 1 π所以 × × + AC × AE ×sin = AB × AC ×sin ，
2 6 2 6 2 3
又 AB = 3 ， AE =1 1 3 1 1 1，所以 + AC 1 1 1 3 = 3AC ，
2 2 2 2 2 2
3
解得 AC = ，
2
因为 BAC
π
= ，所以BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AB × AC cos BAC
3
2
3
= +2 ÷÷ 3
2 3 1 9
- 2 3 = ，
è 2 2 4
BC 3所以 = .
2
17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内
两处景点 A，C 之间的距离，如图，B 处为码头入口，D 处为码头，BD 为通往码头的栈道，
π π
且BD =100m ，在 B 处测得 ABD = ， CBD = ，在 D 处测得
4 6
BDC 2π= ， ADC 3π= ．（A，B，C，D 均处于同一测量的水平面内）
3 4
(1)求 A，C 两处景点之间的距离；
(2)栈道 BD 所在直线与 A，C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
【答案】(1)100 5
(2)不垂直，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件利用正弦余弦定理求解即可；
uuur uuur
（2）在△BCD和△ABD 中利用正弦余弦定理求解，然后计算BD × AC 是否为零即可.
BCD CBD π 2π【详解】（1）由已知在△ 中， = ， BDC = ，BD =100，
6 3
BCD π 2π π π所以 = - - = ，则△BCD为等腰三角形，
3 6 6
则BD = DC =100，
π 3π
在△ABD 中，BD =100， ABD = ， ADC = ，
4 4
ADB 2π 3π 7π 7π π π则 = 2π - - = , BAD = π - - = ，
3 4 12 12 4 6
100 AD
BD AD =
由正弦定理 = ，即 1 2 ，解得sin BAD sin ABD AD =100 2
，
2 2
3π
在VACD中，DC =100, ADC = ，
4 AD =100 2
，
由余弦定理 AC = 100 2 2 +1002 - 2 100 2 100 2 - ÷÷ =100 5 ，
è 2
即 A，C 两处景点之间的距离为100 5 ；
（2）在△BCD中，BC = 1002 1+1002 - 2 100 100 - 2 ÷
=100 3 ，
è
在△ABD 中，因为 ADB
7π
= ，
12
7π
所以 sin ADB = sin = sin π π 2 + 6 + ÷ = ，12 è 4 3 4
BD AD AB
由正弦定理 = = ，
sin BAD sin ABD sin ADB
100 AB
即 1
=
2 + 6 ，得 AB = 50 2 + 6 ，
2 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以BD × AC = BD × BC - BA = BD × BC - BD × BA
100 100 3 3= -100 50 2 2+ 6 =100 150 -100 502 2 1+ 3 0 ，
即栈道 BD 所在直线与 A，C 两处景点的连线不垂直.
18．（2024·湖南·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
cosA 3= , a + c sinA + sinC = bsinB + 3csinA．
5
(1)证明：VABC 是锐角三角形；
(2)若 a = 2，求VABC 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 9 + 4 3 ．
8
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出 sinC ，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为 a + c sinA + sinC = bsinB + 3csinA，
所以由正弦定理得 (a + c)2 = b2 + 3ac，整理得 a2 + c2 - b2 = ac．
2 2 2
cos B a + c - b ac 1
π
则 = = = ，因为B 0, π ，所以 B = 3 ，2ac 2ac 2

因为 cosA
3 1 2
= , π π 2π
5 ÷÷
, A 0, π ，所以 A , ÷ ，因为 A + C = ，
è 2 2 è 4 3 3
C π 5π所以

, ÷ ，所以VABC 是锐角三角形．
è 3 12
cosA 3（2）因为 = ，所以 sinA
4
= ，
5 5
sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 4 1 3 3 4 + 3 3所以 = + = + = + = ．
5 2 5 2 10
2 c
a c 4 =VABC = 4 3 3 c 4 + 3 3在 中，由正弦定理得 ，即 + ，所以sinA sinC =
，
5 10 4
VABC 1 1 4 + 3 3 3 9 + 4 3所以 的面积为 acsinB = 2 = ．
2 2 4 2 8
19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从① a sin B - 3bcos B cosC = 3c cos2 B ；②
sin A - sin C 2 = sin2 B - sin Asin C ③ 3bsin A； = a 这三个条件中任选一个，补充在下面问
1+ cos B
题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位
置上）
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若___________，
(1)求角 B 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形， c =1，求 a2 + b2 的取值范围.
π
【答案】(1) B = 3
(2) 1,7
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合 sin B + C = sin A得到 sin B = 3 cos B ，求出答案；
1
选②，由正弦定理得到 a2 + c2 - b2 = ac，利用余弦定理得到 cos B = ，求出答案；
2
π 1
选③，由正弦定理得到 3 sin B =1+ cos B，由辅助角公式得到 sin B - ÷ = ，求出答案；
è 6 2
（2 3 3）利用正弦定理和余弦定理得到 a2 + b2 =1+ + ，结合△ABC 为锐角三角形，
2 tan2 C 2 tan C
C π , π 求出 ÷，求出答案.
è 6 2
【详解】（1）若选①
因为 a sin B - 3bcos B cosC = 3c cos2 B ，
由正弦定理得 sin Asin B = 3 sin B cos B cosC + 3 sin C cos2 B ，
即 sin Asin B = 3 cos B(sin B cosC + sin C cos B) = 3 cos B sin(B + C)，
所以 sin Asin B = 3 cos B sin A，
由 A (0, π)，得 sin A 0 ，所以 sin B = 3 cos B ，即 tan B = 3 ，
因为 B (0, π) B
π
，所以 = .3
若选②
由 (sin A - sin C)2 = sin2 B - sin Asin C ，化简得 sin2 A + sin2 C - sin2 B = sin Asin C .
2 2 2
由正弦定理得： a2 + c2 2
a + c - b 1 1
- b = ac，即 = ，所以 cos B = .
2ac 2 2
因为 B (0, π)
π
，所以 B = .3
若选③
3 sin B sin A
由正弦定理得 = sin A，即 3 sin B sin A = sin A(1+ cos B)，
1+ cos B
因为0 < A < π ，所以 sin A 0 ，
所以 3 sin B =1+ cos B，所以 sin
π 1
B - 6 ÷
= ，
è 2
π π 5π
又因为- < B - < ，所以 B
π
= .
6 6 6 3
a c c sin A
（2 c sin B 3）在VABC 中，由正弦定理 = ，得 a = ，
sin A sin C sin C b = =sin C 2sin C
π
由（1）知： B = ，又 с=13 代入上式得：
3
a2 + b2 = c2 + 2ab cosC 1 2(sin A= + 2 )cosC 1 3 sin A= + 2 cosC 1
3 sin(B + C)
= + 2 cosCsin C sin C sin C sin C
3 sin(π + C) 3 cosC 1+ sin C 3 3
=1+ 3 2 2
sin2
cosC =1+ 3 2 cosC =1+ +C sin C 2 tan2 C 2 tan C
ì0 C π < <
VABC 2 C
π π
因为 为锐角三角形，所以 í 2π π ，解得
, ，
0 < - C < è 6 2
÷

3 2
1
所以 tan C 3> ， (0, 3) ，
3 tan C
2

a2 b2 1 3 3 3 1 3
7
所以 + = + 2 + = + ÷÷ + 1,7 .2 tan C 2 tan C 2 è tan C 6 8
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关
的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，
或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·山东·二模）在VABC 中，设内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，设甲：
b - c = a(cosC - cosB) ，设乙：VABC 是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定
义判断即得.
【详解】在VABC 中，由正弦定理及b - c = a(cosC - cosB) ，得 sin B - sin C = sin A(cosC - cosB)，
即 sin(A + C) - sin(A + B) = sin A(cosC - cosB)，整理得 cos Asin C - cos Asin B = 0，
π
由正弦定理得 c cos A - b cos A = 0，则 cos A = 0或b = c ，即 A = 或b = c ，
2
A π因此甲： = 或b = c，显然甲不能推乙；
2
乙：VABC 是直角三角形，当角 B 或C 是直角时，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
故选：D
2．（2024·安徽·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a = c ，且
sin2 B
2 = 2 1+ 3 sin B ，则B =（ ）sin A
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
【答案】D
2 2
【分析】由已知等式结合正弦定理可得b = 2a 1+ 3 sin B ，再由余弦定理可得
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 2a2 1- cos B ，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得
到结果即可
sin2 B 2
【详解】由 2 = 2 1+ 3 sin B b及正弦定理得 = 2 1+ 3 sin B ，即b2 = 2a2 1+ 3 sin B ，sin A a2
由 a = c 2 2 2 2及余弦定理可得b = a + c - 2ac cos B = 2a 1- cos B ，
∴ 2a2 1+ 3 sin B = 2a2 1- cos B ，∴ 3 sin B = -cos B，∴ tan B 3= - .
3
5π
又0 < B < π ，∴ B = .
6
故选：D.
3．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023
年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园” OPQ 中，准备修一
π
条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径OP = 3，圆心角 POQ = ，A 是扇形弧上的动
3
点， B 是半径OQ 上的动点， AB / /OP ，则VOAB面积的最大值为（ ）
3 3 3 3A． B． C 3 3． D．
4 4 5 5
【答案】A
【分析】设 POA = q ，在VOAB中利用正弦定理及三角形面积公式列出函数关系，再求出
函数最大值即得.
【详解】设 POA = q ,q (0,
π)，由 AB / /OP ，得 OAB = q , OBA
2π
= ，
3 3
OB OA
= = 2 3
在VOAB中，由正弦定理得 sinq sin 2π ，即OB = 2 3 sinq ，
3
1 π
则VOAB的面积 S = OB ×OAsin AOB = 3 3 sinq sin( -q )
2 3
= 3 3 sinq ( 3 cosq 1- sinq ) = 3 3( 3 sin 2q 1 1- cos 2q- × )
2 2 4 2 2
3 3 π 1 π π 5π π π π 3 3
= [sin(2q + ) - ]，显然 2q + ( , ) 2q + = q =
2 6 2 6 6 6
，因此当 ，即 时，
6 2 6 Smax =
，
4
3 3
所以VOAB面积的最大值为 .
4
故选：A
4．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥 P﹣ABC 所有棱长都等于 2，动点 M 在三棱锥 P﹣ABC 的
uuuur uuuur uuuur
外接球上，且 AM × BM = 0,| PM |的最大值为 s，最小值为 t，则 s : t =（ ）
A．2 B． 2 C． 3 D．3
【答案】C
uuuur
【分析】根据题意确定M 点的轨迹，结合余弦定理求 PM 的取值范围.
【详解】如图：
过 P 作 PH ^平面 ABC 于 H ，则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段 PH 上，
设为O，设内切球半径为 r ，外接球半径为 R .
AH 2
4 2 6
则 = ×2 ×sin 60o 2 3= ，PH = 4 - = ，
3 3 3 3
2 2
2 6 R 2 3
6 6
而 - ÷÷ + ÷
2
÷ = R ，所以R = OA = OP = ， r = OH = .
è 3 è 3 2 6
uuuur uuuur
因为M 在P - ABC 的外接球上，且 AM × BM = 0 ，
所以M 在以 AB 为直径的球面上，取 AB 中点为E ，
则M 在圆E 上，圆E 所在的平面与OE垂直.
在△POE 中，OP 6= ，OE = OA2 - AE2 3 2= -1 = ，PE = 3 ，
2 2 2
过O作OG ^ PE 于 G，则G 为正VPAB 的中心，且OG = OH = r ，
6
OG 3
所以在RtVOEG中， OGE = 90°，所以 sin PEO = = 6 = .
OE 2 3
2
设 PEM = a ，则当点P,O, E, M 共面时，a 取得最值，即 POE a π - POE
3
所以- cosa 3 .
3 3
在△PEM 中，由余弦定理：PM 2 = EP2 + EM 2 - 2EP × EM ×cosa = 4 - 2 3 cosa .
所以 2 PM 2 6，
所以 s = 6 ， t = 2 ， s : t = 3 .
故选：C
uuuur uuuur
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是弄清楚M 点的轨迹.因为M 点满足 AM × BM = 0 ，所
以M 点在以 AB 为直径的球面上，又M 点在正四面体P - ABC 的外接球上，故M 点的轨迹
上两球的交线，即如图所示的圆E 上.
二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）在 VABC 中， A, B,C 所对的边为 a,b,c，设 BC 边上的中点为 M ，
VABC 的面积为S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列选项正确的是（ ）
π
A．若 A = 3 ，则 S = 3 3 B．S 的最大值为3 3
π
C． AM = 3 D．角A 的最小值为
3
【答案】ABC
【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断 ABD 三个选项，利用向量的模
的计算公式判断 C 选项.
π
【详解】选项 A，若 A = 3 ，由余弦定理 a
2 = b2 + c2 - 2bc cos A，得12 = 24 - bc，所以
bc =12 ，
S 1则三角形面积 = bc sin A 1 3= 12 = 3 3 ，A 正确；
2 2 2
选项 B，由基本不等式可得 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
当且仅当b = c = 2 3 时，等号成立，
2
cos A b + c
2 - a2 24 -12 6
由余弦定理可得 = = = ，
2bc 2bc bc
则 S
1
= bc sin A 1= bc 1- cos2 A 1= bc 2 - 36 1 122 - 36 = 3 3 ，B 正确；
2 2 2 2
uuur 1 uuur uuur选项 C，因为BC 边上的中点为M ，所以 AM = AB + AC ，2
而 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即12 = 24 - 2bc cos A，则bc cos A = 6，
uuuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
所以 AM
1
= AB + AC + 2 AB AC cos A = b2 + c2 + 2bc cos A
2 2
1
= 24 + 2 6 = 3，故 C 正确；
2
选项 D，因为 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
2 2 2
cos A b + c - a 12 6 1所以由余弦定理得 = = = ，
2bc 2bc bc 2
π
又0 < A < π ，且函数 y = cos x在 0, π 上单调递减，所以0 < A ，D 错误.
3
故选：ABC.
6．（23-24 高一下·河北石家庄·阶段练习）已知VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若a cos A = bcos B ，则VABC 一定是等腰三角形
B．若 cos(A - B) ×cos(B - C) =1，则VABC 一定是等边三角形
C．若 a cosC+ c cos A = c，则VABC 一定是等腰三角形
D．若cos(2B + C) + cosC > 0 ，则VABC 一定是钝角三角形
【答案】BCD
π
【分析】对于 A：利用正弦定理得到 A = B 或 A + B = ，即可判断；对于 B：由余弦函数的
2
π
有界性求出 A = B = C = ，即可判断；对于 C：由余弦定理求出b = c ，即可判断；对于 D：
3
利用三角公式判断出 cos B < 0或 cos A < 0，即可得到答案.
【详解】对于 A：因为a cos A = bcos B ，由正弦定理得： sin Acos A = sin B cos B，
所以 sin 2A = sin 2B .
因为A ， B 为VABC 的内角，所以 2A = 2B或 2A + 2B = π，
π
所以 A = B 或 A + B = .所以VABC 是等腰三角形或直角三角形.错误；
2
对于 B：由余弦函数的有界性可知：若-1 cos A - B 1, -1 cos B - C 1 .
因为 cos A - B ·cos B - C =1，所以 cos A - B =1,cos B - C =1或
cos A - B = -1,cos B - C = -1 .
当 cos A - B =1,cos B - C =1 π时，有 A = B 且 B = C ，所以 A = B = C = ，
3
所以VABC 是等边三角形.
当 cos A - B = -1,cos B - C = -1时，有 A - B = π 且B - C = π，不符合题意.
所以VABC 一定是等边三角形.正确；
2 2 2 2 2 2
对于 C：因为 a cosC+ c cos A = c a + b - c c + b - a，由余弦定理得： a × + c × = c，
2ab 2bc
所以 2b2 = 2bc，所以b = c ，则VABC 一定是等腰三角形.正确；
对于 D：在VABC 中， A + B + C = π，所以 cos 2B + C = cos B + π - A = -cos B - A
cosC = cos π - A - B = -cos A + B .
所以 cos 2B + C + cosC = -cos B - A - cos B + A > 0，
所以 cos B - A + cos B + A < 0 ，即 2cos B cos A < 0，所以 cos B < 0或 cos A < 0 .
所以VABC 一定是钝角三角形，正确.
故选：BCD
三、填空题
uuur uuur
7．（2024·全国·三模）在 VABC 中， AB = uuur uuurcosq ,sinq ， BC = 3sinq ,3cosq .若 AB × BC = 2，
则VABC 的面积为 .
5
【答案】
2
【分析】结合复数模的运算，根据数量积的定义求得 cos B
2
= -
3 ，利用同角三角函数基本关
5
系求得 sin B = ，然后利用三角形面积公式求解即可.
3
uuur uuur
【详解】 AB = cos2 q + sin2 q =1， BC = 9sin2 q + 9cos2 q = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AB × BC = -BA × BC = - BA × BC cos B = -3cos B = 2，所以 cos B
2
= -
3 ，
sin B 1 5所以 = - cos2 B = .
3
1 uuur uuur
所以 SVABC = AB × BC ×sin B
1 1 3 5 5= = .
2 2 3 2
5
故答案为：
2
8．（2024·陕西铜川·三模）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c，点D是 AB 的中
点.若2a + b = 2ccosB ，且 AC =1,CD 3= ，则 AB = .
2
【答案】 7
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换，求得 cosC
1
= - ，再由
2
uuur uuur uuur
CD 1= CA + CB ，列出方程求得 a = 2，结合余弦定理，即可求解.2
【详解】因为2a + b = 2ccosB ，由正弦定理得2sinA + sinB = 2sinCcosB ，
又因为 sinA = sin B + C = sinBcosC + cosBsinC ，
所以 2sinBcosC + sinB = 0 ，
因为B 0, π 1，可得 sin B > 0，所以 cosC = -
2
uuur uuur uuur
又因为CD 为VABC
1
的一条中线，可得CD = CA + CB ，
2
uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur所以CD = CA + CB + 2CA ×CB4 ，
3 1 é
= 1+ a2 + 2 1 a 1- 即
4 4 ê ÷è 2 ú
，解得 a = 2或 a = -1（舍）.

1
由余弦定理得 AB = c = a2 + b2 - 2abcosC = 22 +12 - 2 1 2 - 2 ÷
= 7 .
è
故答案为： 7 .
9．（2024·广西·模拟预测）在锐角VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且VABC
2
的面积 S = bc(1- cos A) a，则 的取值范围为 ．
bc
é4 16
【答案】 ê ,5 15 ÷
3 2cos A = sin A 4= a b c 6
b sin B
【分析】由已知求得 ， ，由余弦定理得 = + - ，令 t = = ，
5 5 bc c b 5 c sin C
b
由锐角三角形及两角和正弦公式求 t = 的取值范围即可．
c
1
【详解】由三角形面积公式 S = bc sin A，结合 S = bc(1- cos A)，且VABC 为锐角三角形，
2
1
可知 sin A =1- cos A，即 sin A = 2(1- cos A)，
2
又由平方关系 sin2 A + cos2 A =1，所以 4(1- cos A)2 + cos2 A = 1，
即5cos2 A -8cos A + 3 = 0，
ì
cos A
3
=
5 ìcos A =1
解得 í 4 或 ísin A 0 （舍去）， sin A ==
5
由余弦定理有 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
a2 b2 + c2 - 2bc cos A b c 2cos A b c 6所以 = = + - = + - ，
bc bc c b c b 5
t b= a
2 b c 6 1 6
令 ，所以 = + - = t + - ，
c bc c b 5 t 5
故只需求出 t 的范围即可，
t b sin B sin[π - (A + C)] sin(A + C)由正弦定理边化角得 = = = =
c sin C sin C sin C
sin AcosC + cos Asin C sin A
= = + cos A 4 3= + ，
sin C tan C 5 tan C 5
注意到在锐角VABC A C
π
中，有 + > ，简单说明如下：
2
若 A + C
π π π
，则B = π - (A + C) π - = ，
2 2 2
即 B 不是锐角，但这与VABC 是锐角三角形矛盾，
所以在锐角VABC 中，有 A + C
π
> ，
2
所以在锐角VABC 0
π
中，有 < - A < C
π
< ，
2 2
因为正切函数 y = tan x

在 0,
π
÷上单调递增，所以
è 2
sin π - A 3
tan C tan π A
÷
è 2 cos A 3> 5 - ÷ = = = =
è 2 cos π
，
- A sin A
4 4
÷
è 2 5
3 t 4 3 4 3 5< = + < + =
从而 5 5 tan C 5 5 3 5 3 ，
4
a2 1 6 3 5
而函数 = t + - = f (t)在 ,15 ÷单调递减，在
1, ÷单调递增，bc t 5 è è 3
4 f (1) f (t) max ì f 3 , f 5 ü max ì16 16ü 16所以 = <
5 í ÷ ÷
= í , = ．
è 5 è 3 15 15 15
a2 é 4 16
综上所述： 的取值范围为 ,
bc ê5 15 ÷
．

é 4 ,16 故答案为： ê . 5 15 ÷
【点睛】思路点睛：本题可以从以下方面解题
（1）通过三角形的面积公式及平方和关系求出三角函数值；
b
（2）利用余弦定理将目标式子进行变形，并通过正弦定理确定 的取值范围；
c
2
（3 a）根据基本不等式解 的取值范围即可.
bc
四、解答题
10．（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 内一点，
PB = PC, BAC π= , BPC 3π= , ABP = q .
4 4
π
(1)若q = , BC = 2 ，求 AC ；
24
π
(2)若q = ，求 tan BAP .
3
【答案】(1) AC =1
(2) tan BAP = 3- 6 .
【分析】（1）在等腰△BPC 中可得 PBC ，进而得 ABC ，在VABC 中运用正弦定理可求
得 AC 的值.
π
（2）求出 ACP 的值，设 BAP = a ，则 PAC = -a ，在VABP、△APC 中，由正弦定
4
AP AP
理可得 、 ，结合PB = PC 求解即可.
PB PC
【详解】（1）如图所示，
BPC 3π在△BPC 中， = , PB = PC ，所以 PBC
π
= .
4 8
所以 ABC = PBC
π π π
+q = + = .
8 24 6
AC BC AC 2=
在VABC 中，由正弦定理得 = ，即 1 2 ，解得 AC =1 .sin ABC sin BAC
2 2
（2）如图所示，
q π当 = 时， ACP = π - BAC - ABP - 2 PBC
π
= .
3 6
π
设 BAP = a ，则 PAC = -a .
4
π
在V sinABP中，由正弦定理得 AP = 3 .
PB sina
π
AP sin
APC = 6在△ 中，由正弦定理得 PC π .sin -a ÷
è 4
sin π sin π 3 1
PB = PC 3 = 6因为 ，所以 2 2sin =a π ，即 ，sin -a
sina 2
4 ÷ cosa - sinaè 2
3 2 3 2
整理得 = ，即 = ，解得 tana = 3 - 6 ，即 tan BAP = 3- 6 .
sina cosa - sina tana 1- tana
11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域 ABCD 铺设草坪，其中
AB = 2 百米， BC =1百米， AD = CD ， AD ^ CD ，草坪内需要规划 4 条人行道 DM、DN、
EM、EN 以及两条排水沟 AC、BD，其中 M、N、E 分别为边 BC、AB、AC 的中点．
π
(1)若 ABC = ，求排水沟 BD 的长；
2
(2)若 ABC = a ，试用a 表示 4 条人行道的总长度．
【答案】(1) 3 2 百米；
2
(2) 9 + sina - cosa 3+ + sina - cosa 3+ 百米.
4 2 2
【分析】（1）在RtVABC 中，求出 AC ， sin BAC, cos BAC ，利用和差公式求 cos BAD ，
再由余弦定理可得；
（2）设 ABC = a , BAC = b , ACB = g sin b
sina sin g 2sina，利用正弦定理求得 = ， = ，
AC AC
MED b π由 = + 和 NED
π
= g + 可得cos MED = -sin b ， cos NED = -sin g ，分别在
2 2
VMDE ，△NDE 中求出DM , DN ，然后可得答案.
ABC π【详解】（1）因为 = ， AB = 2 百米， BC =1百米，
2
AC 5所以 = 5 百米，所以 sin BAC = , cos 2 5 BAC = ，
5 5
又 AD = CD ， AD ^ CD ，所以VACD为等腰直角三角形，
所以 AD = AC sin π 10= 百米，
4 2
因为 cos BAD = cos BAC
π 2 2 5 2 5 10+ ÷ = - = ，
è 4 2 5 2 5 10
2

△ABD BD 22 10
10 10 3 2
所以在 中，由余弦定理得 = + 2 ÷÷
- 2 2 = 百米.
è 2 10 2
（2）因为 M、N、E 分别为边 BC、AB、AC 的中点，
所以EN =
1
百米，EM =1百米，
2
设 ABC = a , BAC = b , ACB = g ，其中a 0, π ，
在VABC 中，由余弦定理可得 AC2 = 5 - 4cosa ，
V sin b sina 2sina在 ABC 中，由正弦定理可得 = ,sin g = ，
AC AC
连接DE ，则DE ^ AC ，
π π
在VMDE 中， MED = b + ， cos MED = cos
2
b + ÷ = -sin b ，
è 2
由余弦定理得DM 2 = ME2 + DE2 - 2ME × DE cos MED
2
= 1 AC+ + AC ×sin b 9= + sina - cosa ，
4 4
π π
在△NDE 中， NED = g + ， cos NED = cos

g +

÷ = -sin g ，2 è 2
由余弦定理得DN 2 = NE2 + DE2 - 2NE × DE cos NED
1 AC 2
= + + AC ×sin g 3= + sina - cosa ，
4 4 2
9 3 3
所以 4 条人行道的总长度为 + sina - cosa + + sina - cosa + 百米.
4 2 2考点 28 正弦定理、余弦定理（2 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【知识点】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
2
a a ＝ ；
＝ ＝ ＝
内容 sin A b2＝ ；
2R c2＝
(1)a＝2Rsin A，
b＝ ，
c＝ ；
cos A＝ ；
a
变形 (2)sin A＝ ， cos B＝ ；
2R
cos C＝
sin B＝ ，
sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝____________
2．三角形解的判断
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
1
(1)S＝ ah (h
2 a a
表示边 a 上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r 为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC 中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos AA＋B C A＋B
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos
2 2 2
C
＝sin .
2
(5)三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
1
(6)三角形中的面积 S＝ p p－a p－b p－c (p＝ a＋b＋c2 ).
【核心题型】
题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
φ
(1)由 y＝sin ωx 的图象到 y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而
ω
非 φ 个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω 为负时应先变成正值
【例题 1】（2024·广东江门·二模） P 是VABC 内一点，
ABP = 45°, PBC = PCB = ACP = 30°，则 tan BAP =（ ）
2 2 1
A B C D 1． 3 ． ． ．5 3 2
【变式 1】（2024·河北沧州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若
3bcosB = acosC + ccosA，且3b = 4c ，则C = .
【变式 2】（2024·山东日照·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．分别以 a,b,c为
3
边长的正三角形的面积依次为 S1, S2 , S3 ，且 S1 - S2 - S3 = bc．4
(1)求角A ；
uuur uuur π
(2)若BD = 4CD， CAD = ，求 sin ACB6 ．
【变式 3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c sin
2 C - sin C sin B
，且 =1 .
cos2 B - cos2 A
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，点 F 为VABC 的垂心， AF = 6，求CF + BF 的取值范围.
题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点 1　三角形的形状判断
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A
＋B＋C＝π 这个结论．
【例题 2】（2024·陕西渭南·三模）已知VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，则VABC 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式 1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若
sin 2A = sin 2B ，则VABC 的形状为 .
【变式 2】（2024·安徽淮北·二模）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
c - b = 2csin2 A
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若 c =1，求VABC 周长的最大值.
【变式 3】（2024·内蒙古·三模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a - 2b cosC = c 2cosB - cosA .
b
(1)求 的值；
a
(2)若B = 2C ，证明：VABC 为直角三角形.
命题点 2　三角形的面积
三角形面积公式的应用原则
1 1 1
(1)对于面积公式 S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公
2 2 2
式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【例题 3】（2024·云南昆明·三模）已知VABC 中， AB = 3，BC = 4， AC = 5 ，则VABC 的
面积等于（ ）
A．3 B． 11 C．5 D． 2 5
【变式 1】（2024·安徽·三模）在VABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足
a = 3 , (a + c)(sin A + sin C) = bsin B + 3c sin A,
sin C 1- cosC
= ，则VABC 的面积
sin B cos B
是 ．
【变式 2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形 ABC 中，内角 A, B,C 对应边分别为 a,b,c且
bcosC + 3c sin B = a + 2c .
(1)求 B的大小；
(2)如图所示，D为VABC 外一点， DCB = B ，CD = 3 ， BC =1， CAD = 30o ，求
sin BCA及VABC 的面积.
sin A + sin B sin C
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，已知 =sin A - B sin B .
(1)求证： sin A = 2sin B ；
(2)若 D 为 AB 的中点，且 AB = 3 ，CD 7= ，求VABC 的面积.
2
命题点 3　与平面几何有关的问题
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常
是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，
常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用
正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想
【例题 4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形 ABCD中，
AB = AD = 2, B = 2 D =120° ，记VABC 与VACD的面积分别为 S1, S2，则 S2 - S1 的值为
（ ）
A．2 B C 1 D 3． 3 ． ．
2
1
【变式 1】（22-23 高三上·江苏扬州·期末）如图，在VABC 中， sin A = ， ，D、E
3 AB = 2 3
分别在边BC 、 AC 上，EC = EB ，ED ^ BC 且DE =1 .则 cosC 值是 ；VABE 的面
积是 .
【变式 2】（2024·广东梅州·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，
3a cos B - bsin A = 3c， c = 2，
(1)求 A 的大小：
(2)点 D 在 BC 上，
（Ⅰ）当 AD ^ AB，且 AD =1时，求 AC 的长；
（Ⅱ）当BD = 2DC ，且 AD =1时，求VABC 的面积 SVABC ．
【变式 3】（23-24 高三下·山东·开学考试）如图所示，圆O的半径为 2，直线 AM 与圆O相
切于点 A, AM = 4，圆O上的点 P 从点A 处逆时针转动到最高点 B 处，记
AOP = q ,q 0, π .
2π
(1)当q = 时，求△ APM 的面积；
3
(2)试确定q 的值，使得△ APM 的面积等于VAOP 的面积的 2 倍.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·二模）在 VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且 a = 7，
b = 3， c = 5，则（ ）
A．VABC 为锐角三角形 B．VABC 为直角三角形
C．VABC 为钝角三角形 D．VABC 的形状无法确定
2．（2024·贵州遵义·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，D 为 AC 的中点，已
c = 2 BD 7知 ， = ，且 acos B + bcos A = -2ccos B，则VABC 的面积为（ ）
2
A． 2 3 B 3． C． 3 D 3 3．
2 2
3．（23-24 高三下·河南·阶段练习）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知
a = 3，b2 = c2 + 3c + 9， ABC 的平分线交边 AC 于点 D，且 BD = 2，则b =（ ）
A． 2 5 B． 2 7 C．6 D．3 7
4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在 VABC 中， ACB =120°，BC = 2AC ， D为 VABC 内一点，
AD ^ CD ， BDC =120°，则 tan ACD =（ ）
A． 2 2 B
3 3 3
． C． 6 D．
2 2
二、多选题
5．（2024·江西·二模）已知 VABC 中， AB =1, AC = 4, BAC = 60°, AE 为 BAC 的角平分线，
交BC 于点E, D 为 AC 中点，下列结论正确的是（ ）
A．BE 13=
5
B 4 2． AE =
5
C．VABE 3的面积为
5
D． P 在△ABD
1
的外接圆上，则PB + PD 的最大值为
2 7
6．（2024·重庆·模拟预测）已知VABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则下
列说法正确的有（ ）
A．若 a > b，则 sinA > sinB B．若 a > b，则 cosA > cosB
C．若 a2 + b2 < c2 ，则VABC 为钝角三角形D．若 a2 + b2 > c2，则VABC 为锐角三角形
三、填空题
3
7．（2024·北京昌平·二模）已知VABC 中， a = 4,b = 2c, cosA = - ，则 SVABC = ．4
8．（2024·江苏·二模）设钝角VABC 三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若
a = 2，bsin A = 3 ， c = 3，则b = .
9．（2024·河南·三模）如图，在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
B = 60o , A = 45o ,c - a = 3， B的平分线BD交边 AC 于点D, AB边上的高为CF , BC 边上的
高为 AE, BD CF = P， AE CF = R, BD AE = Q ，则 PQR = ；PQ = .
四、解答题
10．（2024·上海宝山·二模）在VABC中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知
sin2 A + sin2C = sin2B + sinAsinC .
(1)求角 B 的大小；
(2)若VABC的面积为 3 ，求 a + c的最小值，并判断此时VABC的形状.
11．（2024·江西·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，其外接圆的半
3
径为 2 3 ，且bcosC = a + csinB ．
3
(1)求角 B ；
(2)若 B的角平分线交 AC 于点D, BD = 3，点E 在线段 AC 上，EC = 2EA，求△BDE 的
面积．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江金华·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c .若 a = 7 ，
b = 2 ， A = 60°，则 c为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
2．（2024·青海西宁·二模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若b 6= c，且
2
3sin A + cos A = 2cosC ，则 cosC 的值为（ ）
3 3
A 6 B 6 C 30 10． ． ． D．
6 4 6 4
3．（2024·山东·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且
2asinA = 2b + c sinB + 2c + b sinC ，则 cosA =（ ）
1 1
A - B C 1
2
． ． ．
2 3 2
D． 3
4．（2024·四川成都·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，给出以
下 4 个命题：
（1）若 a > b，则cos2A < cos2B ；
（2）若 a cos B - bcos A = c ，则VABC 一定为直角三角形；
（3）若 a = 4，b = 5， c = 6 16 7，则VABC 外接圆半径为 ；
7
（4）若 cos(A - B) cos(B - C) cos(C - A) =1，则VABC 一定是等边三角形.
则其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知VABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满
足 2a + b = 2c cos B ，且 sin A + sin B =1，则VABC 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．（2024·吉林长春·模拟预测）VABC 的内角 A B C 所对的边分别为
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，则 c = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
7．（2024·河北秦皇岛·三模）在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且
B = 2C ，b = 2a，则（ ）
A．VABC 为直角三角形 B．VABC 为锐角三角形
C．VABC 为钝角三角形 D．VABC 的形状无法确定
8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形 ABCD满足 AC = 2， CAB = CAD = 30°，则四边形
ABCD的面积为（ ）
A 3． B． 3 C．3 D． 2 3
2
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）若 VABC 的三个内角为 A, B,C ，则下列说法正确的有（ ）
A． sin A,sin B,sin C 一定能构成三角形的三条边
B． sin 2A,sin 2B,sin 2C 一定能构成三角形的三条边
C． sin2 A,sin2 B,sin2 C 一定能构成三角形的三条边
D． sin A, sin B , sin C 一定能构成三角形的三条边
10．（2024·广东广州·二模）在梯形 ABCD中，
AB//CD, AB =1,CD = 3,cos DAC 2 3= , cos ACD = ，则（ ）
4 4
3 2 2 uuur uuur 3A． AD = B．cos BAD = - C．BA × AD = - D． AC ^ BD
2 4 4
11．（2024·浙江·三模）已知 VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
2 a ×sin2 A + C = b ×sin A
2 ，下列结论正确的是（3 ）
π
A．B =
3
B．若 a = 4，b = 5 ，则 VABC 有两解
C a c 3．当 - = b 时， VABC 为直角三角形
3
D．若 VABC 为锐角三角形，则 cos A + cosC 3的取值范围是 ( ,1]
2
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在VABC 中，点M 在线段BC 上，且
AM =10, AC =14, MC = 6, ABC π= ，则 AB = ．
4
4 4
13．（2024·湖南长沙·二模）在VABC 中，若BC = 2， tan A = - ， cos B = ，则 AC = .
3 5
14．（2024·福建厦门·三模）记锐角VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若
2cosC 3b a= - ，则 B 的取值范围是 .
a b
四、解答题
15．（2024·陕西西安·模拟预测）设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c,且向量
ur r ur r
m = (a,b), n = (- 3 cos A,sin B)满足m / /n .
(1)求 A；
(2)若 a = 13,b = 3，求 BC 边上的高 h .
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD中， AB//CD ，
AD ×sin D = 3AC ×cos ACD ， BAC 的角平分线与BC 相交于点E ，且 AE = 1, AB = 3 .
(1)求 ACD的大小；
(2)求BC 的值.
17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内
两处景点 A，C 之间的距离，如图，B 处为码头入口，D 处为码头，BD 为通往码头的栈道，
ABD π CBD π且BD =100m ，在 B 处测得 = ， = ，在 D 处测得
4 6
BDC 2π 3π = ， ADC = ．（A，B，C，D 均处于同一测量的水平面内）
3 4
(1)求 A，C 两处景点之间的距离；
(2)栈道 BD 所在直线与 A，C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
18．（2024·湖南·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
cosA 3= , a + c sinA + sinC = bsinB + 3csinA．
5
(1)证明：VABC 是锐角三角形；
(2)若 a = 2，求VABC 的面积．
19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从① a sin B - 3bcos B cosC = 3c cos2 B ；②
sin A - sin C 2 = sin2 B - sin Asin C ③ 3bsin A； = a 这三个条件中任选一个，补充在下面问
1+ cos B
题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位
置上）
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若___________，
(1)求角 B 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形， c =1，求 a2 + b2 的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·山东·二模）在VABC 中，设内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，设甲：
b - c = a(cosC - cosB) ，设乙：VABC 是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2024·安徽·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a = c ，且
sin2 B
2 = 2 1+ 3 sin B ，则B =（ ）sin A
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
3．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023
年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园” OPQ 中，准备修一
π
条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径OP = 3，圆心角 POQ = ，A 是扇形弧上的动
3
点， B 是半径OQ 上的动点， AB / /OP ，则VOAB面积的最大值为（ ）
3 3 3 3A． B． C 3 3． D．
4 4 5 5
4．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥 P﹣ABC 所有棱长都等于 2，动点 M 在三棱锥 P﹣ABC 的
uuuur uuuur uuuur
外接球上，且 AM × BM = 0,| PM |的最大值为 s，最小值为 t，则 s : t =（ ）
A．2 B． 2 C． 3 D．3
二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）在 VABC 中， A, B,C 所对的边为 a,b,c，设 BC 边上的中点为 M ，
VABC 的面积为S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列选项正确的是（ ）
π
A．若 A = 3 ，则 S = 3 3 B．S 的最大值为3 3
π
C． AM = 3 D．角A 的最小值为
3
6．（23-24 高一下·河北石家庄·阶段练习）已知VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若a cos A = bcos B ，则VABC 一定是等腰三角形
B．若 cos(A - B) ×cos(B - C) =1，则VABC 一定是等边三角形
C．若 a cosC+ c cos A = c，则VABC 一定是等腰三角形
D．若cos(2B + C) + cosC > 0 ，则VABC 一定是钝角三角形
三、填空题
uuur uuur
7．（2024·全国·三模）在 VABC 中， AB = uuur uuurcosq ,sinq ， BC = 3sinq ,3cosq .若 AB × BC = 2，
则VABC 的面积为 .
8．（2024·陕西铜川·三模）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c，点D是 AB 的中
点.若2a + b = 2ccosB 3，且 AC =1,CD = ，则 AB = .
2
9．（2024·广西·模拟预测）在锐角VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且VABC
2
的面积 S = bc(1- cos A) a，则 的取值范围为 ．
bc
四、解答题
10．（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 内一点，
PB = PC, BAC π= , BPC 3π= , ABP = q .
4 4
π
(1)若q = , BC = 2 ，求 AC ；
24
(2)若q
π
= ，求 tan BAP .
3
11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域 ABCD 铺设草坪，其中
AB = 2 百米， BC =1百米， AD = CD ， AD ^ CD ，草坪内需要规划 4 条人行道 DM、DN、
EM、EN 以及两条排水沟 AC、BD，其中 M、N、E 分别为边 BC、AB、AC 的中点．
ABC π(1)若 = ，求排水沟 BD 的长；
2
(2)若 ABC = a ，试用a 表示 4 条人行道的总长度．

展开更多......

收起↑