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考点 30 平面向量的概念及线性运算（3 种核心题型+基础保
分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【知识点】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作 ．
(3)单位向量：长度等于 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意
向量 ．
(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝ ；
加法
结合律：(a＋b)＋c＝________
减法 a－b＝a＋(－b)
|λa|＝ ，当 λ>0 时，λa 的方向
λ(μa)＝ ；
与 a 的方向 ；
数乘 (λ＋μ)a＝ ；
当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向 ；
λ(a＋b)＝
当 λ＝0 时，λa＝
3.向量共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 .
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
—→ —→ —→ ———→ —→
向量，即A 1A2＋A 2A3＋A 3A4＋…＋ An－ 1An ＝A 1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的
向量和为零向量．
→ 1 → →
2．若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O F＝ (O A＋O B)．2
→ → → → 1 →
3．若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P A＋P B＋P C＝0 P 为△ABC 的重心，A P＝ (A3 B
→
＋A C)．
4．对于任意两个向量 a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【核心题型】
题型一　平面向量的基本概念
平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
a
(4) 是与 a 同方向的单位向量．
|a|
uuur uuur
【例题 1】（2024·湖南永州·三模）在VABC 中， ACB = 120o ， AC = 3， BC = 4 ，
uuur uuur uuur uuur
DC × DB = 0，则 AB + AD 的最小值为（ ）
A．6 3 -2 B． 2 19 - 4 C．3 3 -1 D． 19 - 2
r r
r r a b r r
【变式 1】（2023·北京大兴·三模）设 a ，b 是非零向量，“ r = r ” “a b 是 a = b ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
r r
【变式 2】（2022·江苏·三模）已知向量 a = 6,2 ，与 a共线且方向相反的单位向量
r
b = .
r r r r r r
【变式 3】（2022·上海虹口·二模）已知向量 a ，b 满足 a = 2， b =1， a + b = 3 ，则
r r
a - b = .
题型二　平面向量的线性运算
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
命题点 1　向量加、减法的几何意义
uuur uuur
【例题 2】（2024·福建福州·三模）已知线段 AB 是圆O的一条长为 2 的弦，则 AO × AB =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 1】（2024·河南三门峡·模拟预测）在VABC 中， AN = 3NC, BP = 4PN ，则 AP =（ ）
1 uuur 3 uuur 3 uuur 4 uuur
A． AB + CA B． AB - CA
5 5 5 5
3 uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur
C． AB - CA D． AB - CA
5 5 5 5
【变式 2】（2023·四川乐山·一模）已知正六边形 ABCDEF 边长为 2，MN 是正六边形
uuuur uuur
ABCDEF 的外接圆的一条动弦，MN = 2，P 为正六边形 ABCDEF 边上的动点，则PM × PN
的最小值为 .
r r r ur
【变式 3】（2023·上海金山·二模）已知 a 、b 、 c、 d 都是平面向量，且
r r r r r r ur p r ur r ur
| a | = | 2a - b | = | 5a - c | =1，若 a, d = ，则 | b - d | + | c - d |的最小值为 ．
4
命题点 2　向量的线性运算
【例题 3】（2023·河北·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，已知 A D = 2 A B = 4 ，且
uuur uuur uuur uuur
AB × BC = -4 ，则向量 AB 与 AC 的夹角的余弦值为（ ）
1
A．- B．0 C 1 3． 2 D．2 2
uuur r uuur r
【变式 1】（2024·安徽·模拟预测）已知O为等边VABC 的中心，若OA = 3a, AB = 2b ，则
uuur r r
AC = ．（用 a,b表示）
r r r r r r r r
【变式 2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知不共线的三个单位向量 a,b ,c 满足a + lb + c = 0,a
r π
与b 的夹角为 ，则实数l = .3
【变式 3】（2024·江苏扬州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若
a + b + c a + b - c = 3，且VABC 3 3的面积为 .
4
(1)求角C ；
uuur uuur
(2)若 AD = 2DB ，求 CD 的最小值.
命题点 3　根据向量线性运算求参数
r π r π r r
【例题4】（2024·江苏·二模）已知非零向量 a = (cos 2a ,sin(a + ))，b = (sin(a + ),1)，若 ，
4 4 a / /b
则 sin 2a =（ ）
4 3
A 10．-1 B． C． D．
10 5 5
r r r r【变式 1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量 a ，b 满足 a + lb ∥
r r
la + 2b ，
则正数l =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
r r r
【变式 2】（2024·上海·三模）设平面向量 a = sinq ,1 b = cosq , 3 ar， ，若 ，b 不能组成平
面上的一个基底，则 tanq = ．
【变式 3】（2023·四川南充·一模）在VABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知
mr向量 = 3 cos A,sin A r， n = 1, -1 r r，且m∥n．
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a = 2 6 ， a sin B - c sin A = 0，求VABC 的面积．
题型三　共线定理及其应用
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若 a 与 b 不共线且 λa＝μb，则 λ＝μ＝0.
→ → →
(3)若O A＝λO B＋μO C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.
uuur uuur
【例题 5】（2024·全国·模拟预测）已知平面上点O，A ， B 满足 OA = OB = 2，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
| OA + OB |= OA ，点C 满足 OC 21- OB = ，动点 P 满足OP = tOA + 1- t OC ，则 OP 的最
7
小值为（ ）
A 21 B 2 21 C 1 D 1 21． ． ． ． 或
7 7 7
ur uur
【变式 1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 e1 ， e2 是平面上两个不共线的单位向量，且
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
AB = e1 + 2e2 ，BC = -3e1 + 2e2 ，DA = 3e1 - 6e2 ，则（ ）
A． A、B、C 三点共线 B． A、B、D 三点共线
C． A、C、D 三点共线 D． B、C、D三点共线
【变式 2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形 ABC 的边长为 2，点D满足
uuur uuur uuur uuur
CD = mCA + nCB ，且m > 0， n > 0， 2m + n =1，则 | CD |的取值范围是 .
【变式 3】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，过中心 O 的直
线 l 与两边 AB，CD 分别交于点 M，N．
uuuur uuur
(1)若 Q 是 BC 的中点，求QM ×QN 的取值范围；
uuur uuur uuur uuuur uuur
(2)若 P 是平面上一点，且满足 2OP = lOB + (1- l)OC ，求PM × PN 的最小值．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
r r r r
1．（2024· · r r全国 模拟预测）已知平面向量 a，b ，则“ a / /b ”是“存在l R ，使得 a = lb ”的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·贵州黔东南·三模）在△ABC 中，已知 AB = 4 ，M 为线段 AB 的中点，CM = 3，若
uuur uuuur uuur uuur
CN = 2NM ，则 NA × NB =（ ）
9
A． - B 4 3 4 22 ．-3 C．- D．-9 9
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点 A 2,6 ，B -2, -3 ，C 0,1 D 7， ,6

÷ ，则与向量
è 2
uuur uuur
AB + 2CD同方向的单位向量为（ ）
3 10 , 10
10 3 10
A． 10 10 ÷÷
B． , ÷÷
è è 10 10
2 5 5 4 3
C ,- D - , ． ．
è 5 5
÷÷
è 5 5
÷

r r r r r
4．（2024· r山西朔州·一模）已知 a = 2,b = 2,1 ，且 a ^ b ，则 a - 2b = （ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D． 2 5
二、多选题
5．（2024·辽宁·二模）VABC 的重心为点G ，点 O，P 是VABC 所在平面内两个不同的点，
uuur uuur uuur uuur
满足OP = OA + OB + OC ，则（ ）
O, P,G uuur uuurA． 三点共线 B．OP = 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP = AP + BP + CP D．点 P 在VABC 的内部
r r r r r
6．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量 ar,b ,cr满足 a =1, b =1, c = 3且 ar ×cr = b r×c ，则（ ）
r r r
A． a + b + c 的最小值为 2
r r r
B． a + b + c 的最大值为 5
r r r
C． a - b + c 的最小值为 2
r r r
D． a - b + c 的最大值为 13
三、填空题
uuur uuur uuur uuur uuur
7．（2023·重庆·一模）在VPAB 中， AB = 4, APB
p
= ，点 Q 满足QP = 2(AQ + BQ)，则QA ×QB
3
的最大值为 .
r ra b ar
r r
8．（2023·云南大理·模拟预测）若 = ， + b = 8， a
r b 6 r- = ，则 ar在b 上投影向量的模
为 ．
uuur uuur r uuur uuur uuur
9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形 ABCD满足 AB + CD = 0， AB - AD × AC = 0，
则该四边形一定是 .
四、解答题
10．（2024·山西朔州·一模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，向量
mr = a + b,c ,nr = sinA - sinC,sinA - sinB ，且mr //nr．
(1)求 B ；
2
(2) b求 2 2 的最小值．a + c
11．（2024·四川·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
cosB 2a - b
= ．
cosC c
(1)求角C ；
uuur uuur
(2)若 AB + AC = 4，求VABC 面积的最大值．
【综合提升练】
一、单选题
uuur uuur uuur
1．（2023·四川南充·一模）已知正方形 ABCD的边长为 1，则 AB + BC - CA =（ ）
A．0 B． 2 C． 2 2 D．4
r r
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a = 4, m r，b = m - 2,2 r，则“ m = 4 ”是“ a与b 共线”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
ur uur r ur uur r ur ur
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 e1 ， e2 不共线， a = (2k -1)e1 + 2e2 ，b = e1 - e2 ，
r r
且 a//b ，则 k = （ ）
1 3
A．- B．0 C．1 D．
2 2
4．（2024·四川遂宁·模拟预测）在VABC 中，点 F 为线段 BC 上任一点（不含端点），若
uuur uuur uuur
1 2AF = xAB + 2y AC x > 0, y > 0 ，则 +x y 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
uuur uuur uuur
5．（2023·四川南充·一模）已知正方形 ABCD的边长为 1，则 AB + BC - CA =（ ）
A．0 B． 2 C．2 D． 2 2
r r r r r r r r r
6．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量 a，b ，满足 a = b = a - b ，则 a· a + b =
（ ）
1 ar 1
r r r
A 2 B 2
1 2 2
． ． b C． ar b 1+ D． ar - b2 2 2 2
r r r
7．（23-24 高三上·全国·阶段练习）设平面向量 a = (1,3) ， | b | 2 r= ，且 | a - b |= 10 ，则
r r2a + b r· ar - b =（ ）
A．1 B．14 C． 14 D． 10
r r r r r r
8．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量 a 、b 满足： a = 3， b = 4， a ^ b .定义该平面上
r
A {xr || xr r r r r r
r
的向量集合 = + a |<| x + b |, x × a > x ×b} .给出如下两个结论：
r ur r r
①对任意 c A，存在该平面的向量 d A，满足 c - d = 0.5
r ur r r
②对任意 c A，存在该平面向量 d A，满足 c - d = 0.5
则下面判断正确的为（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①正确，②正确 D．①错误，②错误
二、多选题
9．（2023·海南海口·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．一组数据 22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第 90 百分位数是 21
B．若等差数列{an}满足 ax + ay = ap + aq (x、 y 、 p 、 q N*)，则 x + y = p + q
r r r r r r r r rC．非零平面向量 a 、b 、 c 满足 a //b ，b //c ，则 a //c
D．在VABC 中，“ AB > AC ”与“ cosC < cos B ”互为充要条件
r r
10．（2024·全国·模拟预测）设 a,b是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
r r r r r r r r r r
A．若 a ×b = 0 ，则a / /b B．若 a ×b = a × b ，则a / /b
r r r r r r 2 r r r r r r
C．若a ^ b ，则 a ×b = a ×b D．若 a + b = a - b ，则a ^ b
11．（2022·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结
论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，
已知圆 O 的半径为 2，点 P 是圆 O 内的定点，且OP = 2 ，弦 AC、BD 均过点 P，则下列
说法正确的是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．PA× PC 为定值 B．OA ×OC 的取值范围是 -2,0
uuur uuur uuur uuur
C．当 AC ^ BD 时， AB ×CD为定值 D． AC × BD 的最大值为 12
三、填空题
2π uuur uuur
12．（2024·天津·一模）已知平行四边形 ABCD的面积为6 3 ， BAD = ，且3 BE = 2EC
.
uuur uuur
AF 5
uuur uuur
若 F 为线段DE 上的动点，且 = l AB + AD，则实数l 的值为 ； AF 的最小值
6
为 .
ur uur ur
13．（2023·河南·模拟预测）已知向量 e1 = cosa ,sina ， e2 = cos b ,sin b ，m = 0,1 ，若
ur uur ur ur uur
e1 + e2 = m，则 e1 ×e2 = ．
r r r r r
14．（2024·青海西宁·二模）若向量 a,b不共线，且 xa + b / / ar + yb ，则 xy的值为 ．
四、解答题
15．（2024·吉林延边·一模）已知VABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
sin A + sin B c - a
= ．
sin C b - a
(1)求 B；
a
(2)若点 D 在 AC 上，且 AD = BD = 2DC ，求 ．
c
16．（2024·浙江温州·模拟预测）VABC 的角 A, B,C 对应边是 a，b，c ，三角形的重心是
O.已知OA = 3,OB = 4,OC = 5 .
(1)求 a 的长.
(2)求VABC 的面积.
17．（2023·湖南·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,VABC 的面积为
3c2 sin π - A
3 3 ÷
sinA .
è
(1)求C 的大小.
uuur uuur uuur
(2)点D满足 AD = CA .若 c = 7, BD = 2 3 ，求 a,b .
18．（2023·四川成都·三模）在锐角VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
a = 6， 2sin A + C + 2bsin(B + C) = 7 3 ．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若 AC = 3DC ，BD = 37 ，求 c 的值．
19．（2024·山东青岛·一模）已知 O 为坐标原点，点 W 为eO ： x2 + y2 = 4和eM 的公共点，
uuuur uuuur
OM ×OW = 0 ，eM 与直线 x + 2 = 0相切，记动点 M 的轨迹为 C．
(1)求 C 的方程；
(2)若 n > m > 0 ，直线 l1 : x - y - m = 0与 C 交于点 A，B，直线 l2 : x - y - n = 0 与 C 交于点 A ，
B ，点 A， A 在第一象限，记直线 AA 与BB 的交点为 G，直线 AB 与 BA 的交点为 H，线
段 AB 的中点为 E．
①证明：G，E，H 三点共线；
②若 m +1 2 + n = 7，过点 H 作 l1的平行线，分别交线段 AA ，BB 于点T ，T ，求四边形
GTET 面积的最大值．
【拓展冲刺练】
一、单选题
uuur uuur
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形 ABCD中， AB//CD 且满足 AB = 2DC ，E 为 AC 中点，
uuur uuur r uuur
F 为线段 AB 上靠近点 B 的三等分点，设 AB ar= ， AD = b ，则EF =（ ）．
2 ar 1
r
b 3 ar 1
r
b 5 r 1
r r
A． -
1
B． - C． a - b D． ar 1- b
3 2 4 6 12 2 2 6
r r r r r
2．（2024·北京西城·二模）已知向量 a ，b 满足 a = 4,3 ， a - 2b = 10, -5 ，则（ ）
r r r r r r r r r
A． a + b = 0 B． a ×b = 0 C． a > b D． a∥b
uuur uuur uuur uuur
3．（2024·全国·二模）点O, P 是 VABC 所在平面内两个不同的点，满足OP = OA + OB + OC ，
则直线OP经过VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
uuur 1 uuur
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知VABC 是边长为 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuur
一点且 AP = mAB + AC ，则 AP × AB = （ ）9
2 1 2
A． B C9 ． ． D 19 3
．
二、多选题
uuur uuur uuur uuur
5．（2024·福建厦门·三模）已知等边 VABC 的边长为 4，点 D，E 满足 BD = 2DA， BE = EC ，
AE 与 CD 交于点O，则（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur
A．CD = CA + CB B．
3 3 BO × BC = 8
uuur uuur uuur uuur uuur
C．CO = 2OD D． | OA + OB + OC |= 3
6．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为 2 的正六边形 ABCDEF ，点 P 是VDEF 内部（包括
uuur uuur uuur
边界）的动点， AP = xAB + y AD， x ， y R .（ ）
uuur uuur uuur r
A． AD - BE + CF = 0 B．存在点 P ，使 x = y
3 uuur uuur
C．若 y = ，则点 P 的轨迹长度为 2 D． AP × AB的最小值为-24
三、填空题
7．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为
《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为
边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中
间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且 DF = AF ，点 P 在 AB 上， BP = 2AP，
uuur uuur uuur
点Q在VDEF 内 (含边界)一点，若PQ = lPD + PA，则l 的最大值为 .
x28．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）点 P 在椭圆 + y2 =1上， P 不在坐标轴上， A 2,0 ，C 2,1 ，
4
B1 0,1 ， B2 0,-1 ，直线B P 1 与 x = 2交于点T ，直线B2P与 x 轴交于点S ，设OS = l OA，

AT = m AC ，则l + m 的值为 ．
9．（2023·四川乐山·一模）已知正方形 ABCD边长为 2 2 ，MN 是正方形 ABCD的外接圆的
uuur uuur
一条动弦， MN = 2， P 为正方形 ABCD边上的动点，则MP × PN 的最大值为 .
四、解答题
10．（2023·江西·模拟预测）在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知M
uuuur uuur a(a - b)
为BC 边的中点， AM ×CB = ．
2
(1)求角C 的大小；
(2)若VABC 的面积为 4 3 ，求VABC 周长的最小值．
11．（2023·河北·模拟预测）如图，D 为VABC 内部一点，DE ^ BC 于 E， AB = AD .请从下
uuur uuur
面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.① CE = 3EB；②
2
sin B + C = 2 sin B - sin C ③ AD DE 2 AE； + + = .
DE AD AD × DE27世纪载言
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考点30平面向量的概念及线性运算（3种核心题型+基础保
分练+综合提升练+拓展冲刺练)
川【考试提醒】
1理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义，
山
【知识点】
1.向量的有关概念
()向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度（或模）
(2)零向量：长度为0的向量，记作Q.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平
行
(⑤)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
法则（或几何意义）
运算律
a+b
/b
交换律：a+b=b十4：
加法
三角形法则
b dib
结合律：(a十b)十c=a十(b十c
a
平行四边形法则
b
a-b
减法
a-b=a+(-b)
几何意义
2d=@,当>0时，a的方向与a
(ua=( 0a:
的方向相同：
数乘
(十0)a=2a土4：
当<0时，a的方向与a的方向相反：
(a+b)=1a+b
当1=0时，a=0
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小学教肖资源及丝爸应平个
3.向量共线定理
向量(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数1，使b=4
[常用结论】
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量，即AA2十A2A3十A3A4十…十An1An=A1An,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的
向量和为零向量，
*1→
2.若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF=(OA十OB).
1一
3.若A,B,C是平面内不共线的三点，则PA十PB十PC=0台P为△ABC的重心，AP=AB
十AC):
4.对于任意两个向量a,b,都有ld一b1≤ab≤d十b1.
【核心题型】
题型一平面向量的基本概念
平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性。
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关：
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4是与4同方向的单位向量.
a
【例题1】(2024-湖南永州三模)在△ABC中，∠ACB=120°，AC=3,BC=4,
DC.DB=0,则AB+AD的最小值为()
A.6√5-2
B.2W19-4
C.35-1
D.V19-2
【答案】A
【分析】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示
的平面直角坐标系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M,求得M的轨迹方程，数形
结合可求AB+ADlm
【详解】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立
如图所示的平面直角坐标系，
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