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考点 34 数列的概念（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练
+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
【知识点】
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
如果数列{an}的第 n 项 an与它的序号 n 之间的对应关系可以用
通项公式
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
递推公式
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的 把数列{an}从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列{an}的
前 n 项和 前 n 项和，记作 Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 an＋1>an
递减数列 a *n＋1项与项间的
常数列 an＋1＝an
大小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变量是序
号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．
常用结论
， ＝ ，
1．已知数列{a S1 n 1n}的前 n 项和 Sn，则 an＝{Sn－Sn－1，n ≥ 2.
－
2 ．在数列 {an}
an ≥ an 1，
中，若 an 最大，则 {a ≥ a (n≥2 ， n∈N*) ；若 an 最小，则n n＋1
{an ≤ an－1，a ≤ a (n≥2，n∈N*)．n n＋1
【核心题型】
题型一　由 an 与 Sn 的关系求通项公式
　Sn与 an的关系问题的求解思路
(1)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1的关系式，再求解．
【例题 1】（2023· 2 3四川·三模）已知数列 an 满足 2a1 + 2 a2 + 2 a3 + ×××+ 2n an = n ×2n ，则 an
的通项公式为（ ）
ì1, n =1 n +1
A． an = í B． an =
n +1, n 2 2
ì1, n =1
C． an = n D． an = í
n -1,n 2
【答案】B
【分析】
2n a = n × 2n由 题 中 等 式 ， 可 得 n - n -1 2n-1 = n +1 2n-1， 再 结 合 n =1时 a1 =1， 可 得
a n +1n = .2
1
【详解】当 n =1时，有 2a1 =1×2 ，所以 a1 =1，
n 2 2a + 22 a + 23 a + ×××+ 2n a = n ×2n 2a + 22 a + 23当 时，由 1 2 3 n ， 1 2 a3 + ×××+ 2
n-1a n-1n-1 = n -1 × 2 ，
n n
两式相减得 2 an = n × 2 - n -1 2n-1 = n +1 2n-1，
n +1
此时， an = ， a1 =1也满足，2
所以 an 的通项公式为 a
n +1
n = .2
故选：B.
【变式 1】（2024·江苏南通·三模）设数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 Sn + n = 2an ，则 a7 =
（ ）
A．65 B．127 C．129 D．255
【答案】B
【分析】降次作差得 an +1 = 2 an-1 +1 ，再利用等比数列通项公式即可得到答案.
【详解】 n =1时， a1 +1 = 2a1，则 a1 =1 .
n 2时， an = Sn - Sn-1 = 2an - n - 2an-1 - (n -1) = 2an - 2an-1 -1，
\an = 2an-1 +1,\an +1 = 2 an-1 +1 ,a1 +1 = 2 0，
\ an +1 是 2 6 7为首项，2 为公比的等比数列，\a7 +1 = 2 2 = 2 =128,\a7 =127，
故选：B.
【变式 2】（23-24 高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列 an 的前 n项和
S = a - 2 n2 + n + a ， n N*n ．若 an 是等差数列，则 an 的通项公式为 ．
【答案】 an = -4n + 3
【分析】利用等差数列的定义以及 Sn ,an 的关系即可得出结论.
【详解】由 Sn = (a - 2)n
2 + n + a 知，
当 n =1时， a1 = S1 = 2a -1；
当 n 2时， an = Sn - Sn-1 = 2(a - 2)n + (3- a) ，
此时，当 n = 2时， a2 = 4(a - 2) + (3- a) = 3a - 5，
当 n 2时， an+1 - an = 2(a - 2)，而 a2 - a1 = 3a - 5 - 2a -1 = a - 4 ，
若数列 an 是等差数列，则 2(a - 2) = a - 4，
所以 a = 0，则 an = -4n + 3 .
故答案为： an = -4n + 3 .
n n-1
【变式 3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 an 前 n 项的积为Tn = 3 2 ，数列 bn
满足b1 =1， bn - b *n-1 =1（ n 2， n N ）．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)将数列 an ， bn 中的公共项从小到大排列构成新数列 cn ，求数列 cn 的通项公式．
(1) a =3n-1【答案】 n ，bn = n
2
(2) cn = 9
n-1
n n-1
【分析】（1）对T = 3 2 = a a La ，两边同时取对数，分 n是否等于讨论即可求出 an ，n 1 2 n
由等差数列定义即可求出bn ；
（2 n-1 2 *）令 an = 3 = m = bm , n,m N ，解出m = 3k -1,k N* 即可得解.
n n-1 n n -1
【详解】（1）T = 3 2 = a a La ， ln a1 + ln a2 +L+ ln an = × ln 3，n 1 2 n 2
当 n =1 0时， a1 = T1 = 3 =1，
é n n -1 n -1 n - 2 ù
当 n 2,n N* 时， ln an = ê - ú × ln 3 = n -1 × ln 3 = ln 3n-1，即an =3n-1，
2 2
a = 31-1而 1 = 3
0 =1，
n-1
从而数列 an 的通项公式为an =3 ；
若数列 bn 满足b1 =1， b *n - bn-1 =1（ n 2， n N ），
则 bn = b1 + n -1 ×1 = n ，
从而数列 bn 2的通项公式为bn = n ；
2 a = 3n-1 = m2（ ）令 n = bm , n,m n-1 N* n -1，解得m = 3 2 N* ，这表明 N ，2
从而只能 n = 2k -1,k N*，
k -1 2 k -1
c cn = bm = b n-1 = b3k-1 = 3 = 9
所以数列 n 的通项公式为 3 2
题型二　由数列的递推关系求通项公式
(1)形如 an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
an＋1 a2 a3 an
(2)形如 ＝f(n)的数列，利用 an＝a1· · ·…· (n≥2)即可求数列{aa a n
}的通项公式．
n 1 a2 an－1
命题点 1　累加法
【例题 2】（2024·河北保定·三模）设 bn 是公差为 3 的等差数列，且bn = an+1 + an ，若 a1 =1，
则 a21 = （ ）
A．21 B．25 C．27 D．31
【答案】D
【分析】由bn = an+1 + an ，得bn+1 = an+2 + an+1，从而可得bn+1 - bn = an+2 - an = 3，进而可求解.
【详解】由bn = an+1 + an ，得bn+1 = an+2 + an+1，则bn+1 - bn = an+2 - an = 3，
从而 a21 = a21 - a19 + a19 - a17 + ×××+ a3 - a1 + a1 = 3 10 +1 = 31 .
故选：D
【变式 1】（2024·河南·三模）已知函数 f x 满足： f 1 ≥3，且"x, y R，
9
f x + y = f x + f y + 6xy ，则 f i 的最小值是（ ）
i=1
A．135 B．395 C．855 D．990
【答案】C
2
【分析】构造函数 g x = f x - 3x ，可得 g x + y = g x + g y ，令 x = n, y =1，由
9
g n +1 - g n = g 1 得 g n = ng 1 f n = 3n2，从而得到 + é f 1 - 3ù n，即可求出 f i
i=1
的最小值.
【详解】由 f x + y = f x + f y + 6xy ，得 f x + y - 3 x + y 2 = f x - 3x2 + f y - 3y2 ，
令 g x = f x - 3x2，得 g x + y = g x + g y ，
令 x = n, y =1，得 g n +1 - g n = g 1 ，
故 g n = ég n - g n -1 + g n -1 - g n - 2 + ×××+ g 2 - g 1 ù + g 1 = ng 1 ，又
g n = f n - 3n2，
所以 f n = g n + 3n2 = 3n2 + é f 1 - 3ù n，
9 9 9
所以 f i = 3 i2 + é f 1 - 3 ù i = 855 + 45 é f 1 - 3ù ，因为 f 1 ≥3，当 f 1 = 3时，
i=1 i=1 i=1
9
f i 的最小值为 855．
i=1
故选：C．
【变式 2】（2024·北京西城·一模）在数列 an 中，a1 = 2, a2 = -3 .数列 bn 满足
bn = a
*
n+1 - an n N .若 bn 是公差为 1 的等差数列，则 bn 的通项公式为bn = ， an 的
最小值为 .
【答案】 n - 6 -13
【分析】求出等差数列 bn 的首项，直接求出 bn 的通项公式即可，利用数列 an 的单调性
得最小项为 a6，利用累加法即可求解.
【详解】由题意b1 = a2 - a1 = -5，又等差数列 bn 的公差为 1，所以bn = -5 + n -1 ×1 = n - 6；
故 an+1 - an = n - 6，所以当 n 6 时， an+1 - an 0，当 n > 6时， an+1 - an > 0，
所以 a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 = a7 < a8 < a9 < ×××，显然 an 的最小值是 a6 .
又 an+1 - an = n - 6，所以 a6 = a1 + a2 - a1 + a3 - a2 + a4 - a3 + a5 - a4 + a6 - a5
= 2 + -5 + -4 + -3 + -2 + -1 = -13，即 an 的最小值是-13 .
故答案为： n - 6，-13
【变式 3】（2024·广东江门· n+1二模）已知 an+12 - an 2n 是公差为 2 的等差数列，数列 an 的
前 n项和为 S a
3
n ，且 1 = ,a2 = 2 ．2
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 Sn ；
(3)[x]表示不超过 x 的最大整数，当 n k 时， Sn 是定值，求正整数 k 的最小值．
n2(1) a +2n【答案】 n = n .2
2
(2) S n + 6n +10n =10- 2n
(3)7
n+1 n
【分析】（1）先由 an+12 - an 2 是公差为 2 的等差数列，求得递推关系
a 2n+1 - a n nn+1 n 2 = 2n + 3，再利用叠加法求得 an ×2 = n
2 + 2n，进而得到 an 的通项公式；
（2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列 an 的前 n项和为 Sn ；法二：构造得
(n + 2)2 (n + 3)2 1
n-1 -2 2n
= an - n ，再利用裂项相消法即可得解；2
（3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数 k 的最小值.
n+1
【详解】（1）设bn = an+1 2 - an 2
n
，则b1 = a2 ×2
2 - a 11 ×2 = 8 - 3 = 5．
因为 bn 是公差为 2 的等差数列，所以bn = 5 + 2(n -1) = 2n + 3．
设 cn = an × 2
n
，则 c1 = 3,bn = cn+1 - cn = 2n + 3，
所以 n 2时，
cn = c1 + c2 - c1 + c3 - c2 +L+ cn - cn-1
= 3+ 5 + 7 +L+ (2n (3 + 2n +1) ×n+1) = = n2 + 2n．
2
a ×2n = n2 + 2n a n
2 + 2n
所以 n ，即 n = ，2n
3 n2
又 a1 = ，满足上式，所以a
+2n
= .
2 n 2n
2 2 2
2 1 + 2 2 + 4 n + 2n（ ）（方法一）因为 Sn = 1 + 2 +L+ n ，2 2 2
1 12 + 2 22 + 4 n2
所以 S + 2n
2 n
=
22
+ +L+
23 2n+1
1 S 3 5 7 2n+1 n
2 + 2n
两式相减得
2 n
=
21
+
22
+
23
+L+ - ．
2n 2n+1
T 3 5 7设 n = 1 + 2 + 3 +L
2n +1
+ ，
2 2 2 2n
1
则 T
3 5 7 2n +1
n = + + +L+ ，2 22 23 24 2n+1
1 3 2 2
两式相减得 Tn = 1 + 2 + 3 +L
2 2n +1
+ -
2 2 2 2 2n 2n+1
1 n-11-
3 1 ÷è 2 2n +1 5 2n + 5= + - = - ，
2 2 1 n+1 n+11- 2 2 2
2
则T
2n + 5
n = 5 - n ．2
1 2 2
所以 Sn = 5
2n+5 n + 2n n + 6n +10
- n - n+1 ，即 Sn =10-2 2 2 2n
．
n2 (n+1)2 n2 -2n-1 (n-1)2 -2
（方法二）因为 - = = ，
2n 2n+1 2n+1 2n+1
(n+ 2)2 (n+3)2 (n+1)2 -2 n2 + 2n-1 1
所以 n-1 - n = n = n = an - n ．2 2 2 2 2
32 42 42 52 é (n + 2)2 (n + 3)2 ù
所以 - + - +L+ -
è 2
0 21 ÷ 21 22 ÷ ê n-1 n ú è 2 2
S 1 1 1= n -

+ +L+ ,
è 2 22 2n ÷
n
1- 1
(n + 3)2 1 ÷则9 1- n = Sn -
è 2
1 = Sn -1+
，
2 2 n1- 2
2
n2 + 6n +10
即 Sn =10- 2n
．
（3）当 n + 时， Sn 10，且 Sn <10，所以 Sn 的定值为 9．
所以当 n k 时， Sn = 9,9 Sn <10．
n2f (n) +6n+10令 = ，则0 < f (n) 1n ，2
f (n 1) f (n) n +1
2 + 6 n +1 +10 n2 + 6n +10 -n2 - 4n - 3
+ - = n+1 - = ，2 2n 2n+1
< 0
所以 f (n)单调递减．
f (6) 82因为 = > 1, f (7)
101
= < 1，所以 n 7 ，即正整数 k 的最小值为7.
64 128
【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加法：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减法：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和法：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和
命题点 2　累乘法
n
【例题 3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 a an+1 n ×2n 满足 = ，其中 a1 =1，则 a8 = （a n 1 ）n +
A． 28 B． 220 C． 225 D． 228
【答案】C
【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.
a2 1 1 a3 2 2 a8 7 7
【详解】由题意，得 = 2 ， = 2 ，L, = 2a1 2 a2 3 a7 8
．
a2 a a 1 2 n -1
由累乘法，得 3 ××× n = 21 22 ××× 2n-1a a a 2 3 n ，1 2 n-1
a 1 21+2+L+7 7 1+7 8 1 2 7 -3 25即 = 2 2 ××× 2 = = 2 2 = 2 ，
a1 8 2
3
25
又 a1 =1，所以 a8 = 2 ．
故选：C
【变式 1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列 an 满足
a1 =1，n an = n -1 an-1 n 2,n N* ，且 anbn = sin 2nπ n N* ，则数列 bn 的前 18 项3
和为（ ）
A．-3 B．-54 C．-3 3 D．-54 3
【答案】D
【分析】利用数列 an 的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，
ì
求得数列 ísin
2nπ ü
3 的周期，整理数列
bn 的通项公式，利用分组求和，可得答案.

2
【详解】由 n a = n -1 a a，则 n n -1 n n-1 = ，a n2n-1
a2 a3 2 -1
2 3 -1 2 n -1 2
即 an = a1 × × ×L
an 1 1× =
a a 2
L = ，
1 2 an-1 2 3
2 n2 n2
a 1 1显然 1 = 2 =1，满足公式，即 an = 2 ，1 n
当 n =1时， sin 2π 3= ；当 n = 2 sin 4π 3时， = - ；当 n = 3时， sin 2π = 0；
3 2 3 2
n = 4 sin 8π 3 10π 3当 时， = ，当 n = 5时， sin = - ；当 n = 6时， sin 4π = 0；
3 2 3 2
ì
则数列 ísin
2nπ ü
是以3为周期的数列，由 anbn = sin
2nπ b 2nπ，则 n = n
2 sin
3
，
3 3
设数列 bn 的前 n项和为 Sn ， S18 = b1 + b2 + b3 +L+ b18
12 3 2

2 3

32 0 42 3
3
= + - ÷÷ + + + 5
2 -2 2 2 2 ÷÷
+ 62 0 +L
è è
162 3
3
+ +172 - ÷÷ +18
2 0
2 è 2
3
= 12 - 22 + 42 - 52 +L+162 -1722
3
= é 1- 2 1+ 2 + 4 - 5 4 + 5 +L+ 16 -17 16 +17 2 ù
3 3 3+ 33 6
= - 3+ 9 +15 +L+ 33 = - = -54 3 .
2 2 2
故选：D
【变式2】（2022·山西太原·二模）已知数列 an 的首项为1，前n项和为 Sn ，且 nSn+1 = n + 2 Sn ，
则数列 an 的通项公式 an = .
【答案】n
【分析】先利用累乘法将 Sn 的通项公式求出，再利用 Sn 与 an 的关系，求出 an 的通项公式
即可.
Sn+1 n + 2
【详解】解：∵ nSn+1 = (n + 2)Sn ，∴ =Sn n
S S S
当 n 2 n n-1 2时， Sn = L SS 1，n-1 Sn-2 S1
n +1 n n -1 n - 2 6 5 4 3
= L 1
n -1 n - 2 n - 3 n - 4 4 3 2 1
n(n +1)
=
2
1 2
当 n =1时， S1 = =1 = a1成立，2
S n(n +1)∴ n = ，2
当 n 2 a S
n(n +1) (n -1)n
时， n = n - Sn-1 = - = n ，2 2
当 n =1时， a1 =1满足上式，
∴ an = n .
故答案为：n
【变式 3】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 an 的前 n项和为 Sn ,a1 =1，且
n +1 aS nn = ．2
(1)求数列 an 的通项公式；
a + a
(2) b = n n+1 *若 n ba2 × a2 ，数列 n 的前 n项和为Tn ,"n N ,Tn < m恒成立，求实数m 的最小值．n n+1
【答案】(1) an = n
(2)1
a n
【分析】（1 n）根据条件，利用 an 与 Sn 间的关系，得到 =an-1 n -1
，再利用累积法，即可求
出结果；
1 1 1
（2）根据（1）中结果得到bn = n2
-
(n 1)2 ，利用裂项相消法得到
T =1-
+ n (n +1)2 ，即可求
出结果.
n +11 S a【详解】（ ）因为 n nan = ①，所以当 n 2时， S = n-12 n-1
②，
2
(n +1)a na
由① - ②得到 a = n - n-1n ，整理得到 na2 2 n-1
= (n -1)an ，
a n
又 a1 =1，所以 a
n
n 0 ，得到 =a ，n-1 n -1
a an an-1 a a n n -1 2所以当 n 2时， n = × × n-2 L 2 × a1 = L 1 = na ，n-1 an-2 an-3 a1 n -1 n - 2 1
当 n =1，满足 an = n ，所以 an = n .
a + a
2 1 b = n n+1
2n +1 1 1
（ ）由（ ）知 n a2 × a2
= 2 2 = 2 - 2 ，
n n+1 n (n +1) n (n +1)
所以Tn = b1 + b2 +L+ bn =1
1 1 1 1 1 1
- 2 + 2 - 2 +L+ 2 - 2 =1-2 2 3 n (n +1) (n ，+1)2
1
因为 2 > 0
*
(n 1) ，且
bn > 0 ，所以Tn 是关于 n的递增数列，由"n N ,Tn < m恒成立，得到m 1，+
所以实数m 的最小值为1.
题型三　数列的性质
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据 an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值
命题点 1　数列的单调性
2
【例题 4】（2024·江西·二模）已知数列 an 的首项 a1为常数且a1 ，3
a + 2a = 4nn+1 n n N* ，若数列 an 是递增数列，则 a1的取值范围为（ ）
2- , 2 2 2- , U 2 , 4 A． B．
è 3 3 ÷ 3 3 ÷ ÷ è è 3 3
0, 2 0, 2 U 2 4 C． D． ,
è 3 ÷ 3 ÷ ÷ è è 3 3
【答案】B
ì 4n ü 2
【分析】由已知条件推得数列 ían - 6 是首项为
a1 - ，公比为-2的等比数列，运用等比数
3
列的通项公式可得 an ，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
n
【详解】因为 an+1 + 2an = 4 ，
a 1 1所以 n+1 - 4
n+1 = -2 an - 4
n
6 6 ÷
，
è
由于a
2
1 ，即 a
2
1 - 03 ，3
ì 4n ü 2
可得数列 ían - 6 是首项为
a1 - ，公比为-2的等比数列，
3
1
则 an = 4
n 2+ n-1
6
a1 - ÷ -2 3 ，因为数列 an 是递增数列，可得 an+1 > an ，è
1 n+1 2 n 1 n
即 4 + (a1 - ) × (-2) > 4 + (a
2 n-1
6 3 6 1
- ) × (-2)
3 对任意的正整数
n都成立．
当 n 2 1
2 1
为偶数时， a1 > - 2
n ì - 2n ü恒成立，由于数列 í3 3 3 3 单调递减，
2 1
- 2n 2 4 2 2可得 - = -3 3 3 3 3 ，则
a1 > - 3 ；
n 2 1 n ì2 1 n ü当 为奇数时， a1 < + 23 3 恒成立，由于数列 í
+ 2 单调递增，
3 3
2 1 2n 2 2 4
4
可得 + + =3 3 3 3 3 ，则
a1 < ；3
a 2- , 2 U 2 4 综上可得 1的取值范围是 ÷ , ÷．
è 3 3 è 3 3
故选：B
【变式 1】（2024·广东深圳·二模）已知 n 为正整数，且 n2 > 2n ，则（ ）
A． n =1 B． n = 2 C． n = 3 D．n 4
【答案】C
n2
【分析】根据给定条件，构造数列 an = n ，探讨该数列单调性即得.2
n2 1 9
【详解】令 an = n , n N
* ，显然 a1 = , a2 =1, a2 2 3
= ，
8
a 2 2 2
n 4 n+1
(n +1) n + 2n +1 n + 2n +1
当 时， = = < <1，即 a < a
a 2n2 n2 + n2 n2 + 3n n+1 n
a4 =1，
n
因此当n 4时， n2 2n ，
所以 n 为正整数，且 n2 > 2n ，有 n = 3 .
故选：C
【变式 2】（2023·浙江·模拟预测）已知等差数列 an 的公差为 d d 0 ，前 n项和记为
Sn n N* ，满足3a2 + 2a3 = S3 + 6，若数列 Sn 为单调递增数列，则公差d 的取值范围
为 .
【答案】0 < d < 3
【分析】根据给定条件，确定 an 0(n 2) 恒成立，再分析判断 d > 0，结合已知等式求解作
答.
【详解】因为数列 Sn 为单调递增数列，则当 n 2时， an = Sn - Sn-1 > 0 ，
而等差数列 an 的公差 d 0，若 d < 0 ，由 an = a1 + (n -1)d 知，数列 an 单调递减，
存在正整数 n0 ，当 n > n0时， an < 0， Sn+1 - Sn = an+1 < an < 0与数列 Sn 为单调递增数列矛盾，
因此 d > 0，由 3a2 + 2a3 = S3 + 6，得 3a2 + 2(a2 + d ) = 3a2 + 6 ，即 a2 = 3- d > 0，解得 d < 3，
则0 < d < 3，
所以公差d 的取值范围为0 < d < 3.
故答案为：0 < d < 3
*
【变式 3】（2024·辽宁·模拟预测）已知 An an ,bn n N 是曲线 y = ln x 上的点， a1 = a ， Sn
a 2 2 2是数列 n 的前 n 项和，且满足 Sn = 3n an + Sn-1， n = 2,3,4,...
(1)求 a2 , a3；
(2)确定 a的取值集合M ，使 a M 时，数列 an 是单调递增数列；
(3)证明：当 a M 时，弦 An An+1 n N* 的斜率随 n 单调递减．
【答案】(1) a2 =12 - 2a， a3 = 3+ 2a
M ìa 9 a 15= < < ü(2) í 4 4
(3)证明见解析
【分析】（1）对原递推式进行变换即可；
（2）求出 an 的通项公式并将条件转化为 an+1 - an > 0，再解不等式；
1 ln b - ln a 1
（3）先证明对0 < a < b，有 < < ，然后利用 a 单调递增即可.
b b - a a n
【详解】（1）由已知有 S 2n+1 = 3 n +1
2 an+1 + S
2
n 对任意正整数 n成立，故
3 n +1 2 a = S 2n+1 n+1 - S 2n = Sn+1 - Sn Sn+1 + Sn = an+1 Sn+1 + Sn .
而根据 y = ln x 的定义域，有 an > 0，所以3 n +1 2 = Sn+1 + Sn .
这就说明 S1 = a1 = a ， S2 = 3 2
2 - a 21 =12 - a， S3 = 3 3 - S2 =15 + a .
故 a2 = S2 - S1 =12 - 2a， a3 = S3 - S2 = 3 + 2a .
2 2 2（ ）我们有 an+1 + an+2 = Sn+2 - Sn = Sn+2 + Sn+1 - Sn+1 + Sn = 3 n + 2 - 3 n +1 = 3 2n + 3 .
故 an+3 - an+1 = an+2 + an+3 - an+1 + an+2 = 3 2n + 5 - 3 2n + 3 = 6 .
ìa, n =1
再由 a1 = a ， a2 =12 - 2a， a3 = 3+ 2a ，就得到 an =

í6 - 2a + 3n,n = 2,4,6,... .

-6 + 2a + 3n, n = 3,5,7,...
从而 a2 - a1 =12 - 2a - a =12 - 3a， a2n+1 - a2n = -6 + 2a + 6n + 3 - 6 - 2a + 6n = 4a - 9，
a2n+2 - a2n+1 = 6 - 2a + 6n + 6 - -6 + 2a + 6n + 3 =15 - 4a .
ì12 - 3a > 0
9
所以命题等价于 í4a - 9 > 0 ，即 < a
15
< .
4 4
15 - 4a > 0
ì 9 15
故M = ía < a <
ü
4 4
.

1 ln b - ln a 1
（3）先证明一个结论：对0 < a < b，有 < < .
b b - a a
a
证明：该不等式等价于1- < ln
b b b
< -1，即 -1 > ln
b a a
， -1 > ln .
b a a a a b b
所以只需要说明当 x 0,1 U 1, + 时，有 x -1 > ln x成立即可.
设 f x = x -1- ln x，则 f x 1 1 x -1= - = ，故当0 < x <1时 f x < 0，当 x >1时
x x
f x > 0 .
所以 f x 在 0,1 上递减，在 1, + 上递增，故当 x 0,1 U 1, + 时，有
x -1- ln x = f x > f 1 = 0，即 x -1 > ln x .
所以原来的结论也成立.
回到原题.
当 a M 时，数列 an 是单调递增数列，结合 y = ln x 的定义域知 an+1 > an > 0 .
k b= n+1 - bn ln a - ln a 1 b - b ln a - ln a 1故有 A A = n+1 n < k = n+1 n = n+1 n >n n+1 an+1 - an an+1 - a a
， An An+1
n n an+1 - an an+1 - an a
.
n+1
所以 k
1
A > > kn An+1 a An+1An+2 ，结论得证.n+1
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具证明不等式，从而求得相应数列的单调
性.
命题点 2　数列的周期性
【例题 5】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依
次进行，当甲报出 1，乙报出 2 后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个
位数字，则第 2024 个被报出的数应该为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解.
【详解】报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6L，除了首项以外是个周期为 6 的周期
数列.
去掉首项后的新数列第一项为 2，
因为 2023 = 337 6 +1，所以原数列第 2024 个被报出的数应该为 2.
故选：A.
【变式 1】（2024·山东济宁·三模）已知数列 an 中，
a1 = 2，a
*
2 =1，an+1 = an - an-1 n 2，n N ，则 a2024 =（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.
*
【详解】由 a1 = 2,a2 =1,an+1 = an - an-1 n 2,n N ，得
a3 = a2 - a1 = -1，
a4 = a3 - a2 = -2，
a5 = a4 - a3 = -1，
a6 = a5 - a4 =1，
a7 = a6 - a5 = 2，
a8 = a7 - a6 =1，
LL
则{an}是以 6 为周期的周期数列，
所以 a2024 = a337 6+2 = a2 =1 .
故选：C
1
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）数列 an 满足an+1 = a = 31- a ， 9 ，则n
a1 = ．
1
【答案】- /-0.5
2
【分析】由数列的递推关系，求出几项可以发现该数列是一个周期数列，且周期为 3，求解
即可.
1 1
【详解】因为an+1 = 1- a ，所以
an =1- ．
n an+1
a 1 2 3 1因为 9 = 3，所以 a8 =1- = ， a7 =1- = - ， a6 =1+ 2 = 3，3 3 2 2
所以 a 1n 是一个周期数列，且周期为 3，故 a1 = a7 = - ．2
1
-
故答案为： 2
1
【变式 3】（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 an 中， a1 = ，2
an+1 = 2an - 3cos(
nπ π
- ) ．
3 6
nπ
(1)证明：数列{an - cos }为常数列；3
(2)求数列 nan 的前 2024 项和．
【答案】(1)证明见解析；
2021
(2) .
2
【分析】（1）利用和差角的余弦公式，结合构造法推理即可.
（2）由（1）求出数列 an 的通项，再结合余弦函数的周期性，利用分组求和法求和即可.
1 cos (n +1)π 2cos nπ 1 cos nπ 3 sin nπ nπ【详解】（ ）依题意， - = - - 2cos
3 3 2 3 2 3 3
3
= - cos nπ 3- sin nπ 3cos(nπ π= - - ) ，
2 3 2 3 3 6
a 2a 3cos(nπ π) a cos (n +1)π则 n+1 = n - - 化为 n+1 - = 2(an - cos
nπ)，
3 6 3 3
而 a
1
1 = ，则 a1 - cos
π
= 0，因此 an - cos
nπ
= 0 ，
2 3 3
所以数列{an - cos
nπ}为常数列.
3
2π
（2）由（1）知， an = cos
nπ
，由 π
= 6
，即{an}是以 6 为周期的周期数列，令3 3
b na ncos nπn = n = ，3
b 5π 4π6n-5 + b6n-4 + b6n-3 + b6n-2 + b6n-1 + b6n = (6n - 5)cos(- ) + (6n - 4)cos(- )3 3
+(6n - 3)cos(-π) + (6n 2π- 2)cos(- ) + (6n 1)cos( π- - ) + 6ncos 0
3 3
1 (6n 5) 1= - - (6n 4) (6n 3) 1 (6n 2) 1- - - - - + (6n -1) + 6n = 3
2 2 2 2
所以数列 nan 的前 2024 项和b1 + b2 +L+ b2024 = 337 3+ b2023 + b2024
1011 2023cos 2023π= + + 2024cos 2024π =1011 1+ 2023 1- 2024 2021=
3 3 2 2 2
命题点 3　数列的最值
【例题 6】（2024·山东济南·二模）已知 an 是各项均为正整数的递增数列， an 前 n项和为
Sn ，若 Sn = 2024，当 n取最大值时， an 的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
【答案】C
【分析】因为 Sn = 2024是定值，要使当 n取最大值时 an 也取得最大值， an 需满足前m
(m = n -1)项是首相为1，公差为1的等差数列，通过计算 am 的前63项和与 Sn = 2024作比
较，前64 项和与 Sn = 2024作比较即可得出 an 的最大值.
【详解】因为 Sn = 2024是定值，要使当 n取最大值时 an 也取得最大值， an 需满足各项尽
可能取到最小值，又因为 an 是各项均为正整数的递增数列，所以
a1 =1，a2 = 2，a3 = 3，L，am = m，即 am 是首相为1，公差为1的等差数列，其中m = n -1；
a m(m +1)m 的前m 项和为Tm = ；2
63(63+1)
当m = 63时，T63 = = 2016 < 2024 ；2
64(64 +1)
当m = 64时，T64 = = 2080 > 2024；2
又因为 2024 - 2016 = 8 < 63，
所以 n的最大值为63，此时 a1 =1，a2 = 2，a3 = 3，L，a62 = 62， an 取得最大值为
a63 = 63 + 8 = 71 .
故选：C
【变式 1】（2024·天津·二模）已知数列 a 1n 为不单调的等比数列， a2 = ,a
1
4 = ，数列 bn 4 16
满足bn =1- an+1 ，则数列 bn 的最大项为（ ）．
3 7 9 5
A． B． C． D．
4 8 8 4
【答案】C
【分析】根据等比数列的概念求公比及通项公式，再利用指数函数的单调性求最大项即可.
q2 a4 1 q 1 1【详解】由题意可知 = = =a 4 2 或 q = - ，2 2
1 1 n-2 n a q = - a = a × - = 1 又 n 为不单调的等比数列，所以 ，则2 n 2 2 ÷ - ÷ ，è è 2
n+1
故bn =1- an+1 =1
1- - ÷ ，
è 2
n+1
若要求 bn 的最大项，需 n b 1 为偶数，则 n =1+ 2 ÷ ，è
9
根据指数函数的单调性可知当 n = 2时，b2 = 为 b8 n 的最大项.
故选：C
【变式 2】（2023·上海普陀·一模）若数列 an 满足 a1 = 12， an+1 = an + 2n （ n 1， n N ），
a
则 n 的最小值是 .
n
【答案】6
a
【分析】利用累加法求得 an ，计算 n ，由对勾函数的性质求最小值，注意 n是正整数.n
【详解】由已知 a2 - a1 = 2 ， a3 - a2 = 4，…， an - an-1 = 2(n -1) ， n 2，
所以 an = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2 ) +L+ (an - an-1)
=12 + 2 + 4 +L+ 2(n -1) =12 + n(n -1) = n2 - n +12， n 2，
又 a1 =12也满足上式，所以 an = n
2 - n +12，
a 2n n - n +12= = n 12+ -1
n n n
设 f (x) = x
12
+ -1，由对勾函数性质知 f (x) 在 (0, 2 3) 上单调递减，在 (2 3, + )递增，
x
a
因此{ n }在 n 3时递减，在n 4时递增，
n
a
又 3 3
12 a 12
= + -1 = 6 ， 4 = 4 + -1 = 6，
3 3 4 4
a
所以 n 的最小值是 6，
n
故答案为：6
n
【变式 3】（2024·安徽·模拟预测）已知数列 an 的首项 a1 = 2，且满足 an+1 + an = 3 2 ．
(1)求 an 的通项公式；
n3
(2)已知bn = ，求使 bn 取得最大项时 na 的值．（参考值：
3 2 1.26 ）
n
【答案】(1) an = 2n
(2)4
【分析】（1 n+1 n）由递推关系将已知等式变形为 an+1 - 2 = - an - 2 ，即可求出通项；
ìb b
2 k k -1（ ）由已知可设 íb b ，代入 k 解不等式组求出即可. k k +1
【详解】（1）因为 a nn+1 + an = 3 2 ，
n+1
所以 an+1 - 2 = - a nn - 2 ，
又 a1 = 2，
所以 a1 - 2 = 0 n n，所以 an - 2 = 0 an = 2 .
（2）由（1）有 an = 2n ，
n3b n
3
所以 n = = n ，an 2
设 n = k 时，bn 最大，
b 1因为 1 = ,b2 = 2 > b1,\k >1，2
ìbk bk -1
所以 íb b ， k k +1
ì 3k 3 k -1

2k 2k -1 ì k
3 2 k -1 3 ì k 3 2 k -1
即 í í ，
k 3 k +1 3 2k 3
í
k +1
3
3 2k k +1
2k 2k +1
ì 3
k
2
4.85
3 2 -1
解得 í ，又 k Z，

k
1
3.85
3 2 -1
所以 k = 4，
bn 所以使 取得最大项时 n的值为 4
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024· *天津北辰·模拟预测）设数列 an 满足 a1 + 2a2 + 3a3 + ×××+ nan = 2n +1 n N ，则数
ì an ü列 ín 1 的前
5 项和为（ ）
+
5 8 12 13
A． B． C． D．
3 5 7 6
【答案】D
【分析】利用递推关系求出 an ，再利用裂项相消法求和即可得出答案.
【详解】当 n =1时， a1 = 3，
当 n 2时，
a1 + 2a2 + 3a3 + ×××+ nan = 2n +1，
a1 + 2a2 + 3a3 + ×××+ n -1 an-1 = 2n -1 n N* ，
2
两式相减可得： nan = 2 ，所以 an = ，n
又 n =1时， a1 = 2，所以 a1不满足 an ，
ì3, n =1
所以 a =
b aí2 ，设 = n
ì a ü
n n ，数列 í
n 的前 n项和T ，
,n 2 n +1 n +1
n

n
ì3
, n =1
b
2
所以 n = í
2
，
= 2 1 1 - ÷ ,n 2
n n +1 è n n +1
ì a
设数列 í n
ü
n 1 的前
5 项和为：
+
T a a a= 1 + 2 + 3 a4 a5 3 1 1 1 1 1 1 1 15 + + = + 2

- + - + - + -

2 3 4 5 6 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ֏
3
= + 2 1 1 13- = .
2 ֏ 2 6 6
故选：D.
a a
2．（23-24 高三上·湖北·阶段练习）定义：在数列 a n+2 - n+1n 中， = d n N*a a ，其中 d 为n+1 n
常数，则称数列 aan 为“ 24等比差”数列.已知“等比差”数列 an 中， a1 = a2 =1， a3 = 3，则 =a22
（ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【答案】B
【分析】运用累和法和累积法进行求解即可.
【详解】因为数列 an 是“等比差”数列，
an+2 an+1 *
所以 - = d n Na ，n+1 an
因为 a1 = a2 =1， a3 = 3，
a3 a2
所以 d = - = 2a a ，2 1
an+2 an+1 an+1 an
所以有 - = 2, - = 2,L,
a3 a- 2 = 2
an+1 an an an-1 a
，
2 a1
an+2 a- 2 = 2n a n+2 = 2n +1 a n累和，得 = 2n - 3 n 2, n N*a ，n+1 a1 an+1 an-1
an
因此有 = 2n
a
- 3, n-1 = 2n - 5,L, a2 =1
a ，n-1 an-2 a1
an
累积，得 = 2n - 3 2n - 5 L1 an =1 3 5 L 2n - 3 a ，1
a24 1 3 5 L41 43 45
所以 = =1935a22 1 3 5 L41
，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是运用累和法和累积法.
3．（2024·河北唐山·二模）已知数列 an 满足 an+1 = an + a1 + 2n ， a10 =130，则 a1 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意可得 an+1 - an = a1 + 2n，由累加法可得 a10 - a1 = 9a1 + 90，进而可求 a1 .
【详解】由题意可得 an+1 - an = a1 + 2n，
则可得 a2 - a1 = a1 + 2，
a3 - a2 = a1 + 4 ，
LL
a10 - a9 = a1 +18，
将以上等式左右两边分别相加得，
9 2 +18
a10 - a1 = 9a

1 + = 9a1 + 90，即 a10 =10a1 + 90，2
又 a10 =130，所以 a1 = 4 .
故选：D.
4．（2024·辽宁大连·一模）数列 an 中， a1 = 5,a2 = 9 2，若数列 an + n 是等差数列，则 an
最大项为（ ）
45
A．3 B．3或 4 C． D．11
4
【答案】D
2
【分析】根据等差数列的基本量确定数列 an + n 的首项与公差，从而可得通项 an ，作差
an+1 - an 确定差的符号，从而确定数列 an 的单调性，从而可得最大项.
2 2
【详解】若数列 an + n 是等差数列，则数列的首项为 a1 +1 = 6 ，公差为
a + 222 - a +121 = 7，
所以 an + n
2 = 6 + n -1 7 = 7n -1，则 an = -n2 + 7n -1，
所以 an+1 - a én = - n +1
2 + 7 n +1 -1ù - -n
2 + 7n -1 = -2n + 6，
则当 n =1,2,3时， an+1 - an 0，则 a4 = a3 > a2 > a1；
当n 4时， an+1 - an < 0，故此时数列 an 单调递减，则 a4 > a5 > a6 > a7 >L
综上， an 最大项为 a3 = a4 =11 .
故选：D.
二、多选题
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列 an 的公比为q，前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，
a qn
且"n N* ， 1 < 0，则（ ）
1- q
A．数列 an 是递增数列 B．数列 an 是递减数列
C．若数列 Sn 是递增数列，则 q > 1 D．若数列 Tn 是递增数列，则 q > 1
【答案】ACD
a qn ìa1 > 0 ìa < 0
【分析】写出 Sn ,Tn 的表达式，根据"n N* ， 1 < 0
1
，得到
1 q íq 1
或 í0 q 1，由此即可- > < <
判断 AB，进一步根据递增数列的定义 Sn ,Tn 分别与 an 的关系即可判断 CD.
a n n n-1 n
S = 1
1- q a q
【详解】由题意可知 ,T = a a q L a qn-1 = anq 2 ，且"n N* ， 1 < 0n n 1 1 1 1 ，1- q 1- q
a1 < 0 q > 0 q < 0 a1q
n a qn
故有 1 q 且 （否则若 ，则 的符号会正负交替，这与"n N
* ， 1 < 0，
- 1- q 1- q
矛盾），
ìa1 > 0 ìa1 < 0
也就是有 í
q >1
或 í0 q 1， < <
无论如何，数列 an 是递增数列，故 A 正确，B 错误；
ìa > 0
对于 C 1，若数列 Sn 是递增数列，即 Sn+1 - Sn = an+1 > 0 ，由以上分析可知只能 íq 1 ，故 C >
正确；
ìa1 < 0 n n-1
对于 D，若数列 Tn 是递增数列，显然不可能是 í ，（否则T = an 0 q 1 q
2 的符号会正负
< < n 1
交替，这与数列 Tn 是递增数列，矛盾），
ìa1 > 0 Tn+1
从而只能是 í ，且这时有 = aT n+1
>1，故 D 正确.
q >1 n
故选：ACD.
6 2．（2024·福建泉州·一模）已知数列 an 满足 a1 =1， an+1 = an - an + c，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 c >1时， an 1 B．当 c =1时，数列 an 是常数列
3
C．当 < c <1
3
时， an >1- 1- c D．当 < c <1时，数列 an 单调递减4 4
【答案】BCD
【分析】对于 A，直接说明 a2 = c >1即可；对于 B，直接用数学归纳法即可；对于 C 和 D，
用数学归纳法证明1- 1- c < an 1，再推知 C 和 D 的结论即可.
【详解】对于 A，当 c >1时，由 a2 = c >1知 A 错误；
2
对于 B，当 c =1时，有 an+1 = an - an +1 = an an -1 +1，这意味着只要 an =1就有 an+1 =1.
而 a1 =1，从而由数学归纳法即可证明 an =1，所以 B 正确；
3
对于 C 和 D，当 < c <1时，我们用数学归纳法证明1- 1- c < a
4 n
1 .
当 n =1时，由 a1 =1知结论成立；
3 1
假设已有1- 1- c < an 1，则由 < c <1可知 an >1- 1- c > > 1- c .4 2
所以 an - 1- c an -1+ 1- c > 0，展开即 a2n - an + c >1- 1- c .
这就得到 an+1 >1- 1- c .
同时，由0 <1- 1- c < an 1可得 a
2
n+1 = an - an + c = c - an 1- an c 1.
所以1- 1- c < an+1 1 .
故由数学归纳法可知1- 1- c < an 1恒成立，所以 C 正确；
同时，由于1- 1- c < an+1 1 <1+ 1- c ，故 an -1+ 1- c an -1- 1- c < 0 .
2 2 2
展开即 an - 2an + c < 0 ，故 an+1 = an - an + c = an - 2an + c + an < an ，所以 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于是用数学归纳法证明数列的范围和单调性.
三、填空题
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 a n n 1+ a n 的前 项和为 Sn ，若 Sn = n , S2 = 3，则2
a3 = .
【答案】3
【分析】根据题意，结合 a3 = S3 - S2 ，准确运算，即可求解.
a = S n 1+ an 3 1+ a 【详解】因为 33 3 - S2 ，且 Sn = ，所以a3 = - 3，解得 a3 = 3 .2 2
故答案为：3 .
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 3， a2 =1， an+2 = an+1 - an ，数列 bn ，满
足bn = an sin
nπ
，则数列 bn 的前 2024 项的和为 ．2
【答案】1
【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，
结合数列的求和公式即可求解.
【详解】因为 a1 = 3， a2 =1，
所以 a3 = a2 - a1 =1- 3 = -2，a4 = a3 - a2 = -2 -1 = -3，a5 = a4 - a3 = -3 + 2 = -1，
a6 = a5 - a4 = -1+ 3 = 2，a7 = a6 - a5 = 2 +1 = 3，a8 = a7 - a6 = 3 - 2 =1，…，
所以数列 an 的各项依次为 3，1，-2，-3， -1，2，3，1，-2，-3， -1，2，…，其周期
为 6．
b a π1 = 1 sin = 3 1 = 3，2
b 2π2 = a2 sin = 1 0 = 0，2
b 3π3 = a3 sin = -2 -1 = 2 ，2
b a sin 4π4 = 4 = -3 0 = 0，2
b5 = a5 sin
5π
= -1 1 = -1，
2
b6 = a
6π
6 sin = 2 0 = 0，2
b a sin 7π7 = 7 = 3 -1 = -3，2
b 4π8 = a8 sin = 1 0 = 0，2
b9 = a9 sin
9π
= -2 1 = -2 ，
2
b a sin 10π10 = 10 = -3 0 = 0，2
b 11π11 = a11 sin = -1 -1 =1，2
b a sin 12π12 = 12 = 2 0 = 0，2
b a sin 13π13 = 13 = 3 1 = 3，2
b 14π14 = a14 sin = 1 0 = 0，2
b15 = a sin
15π
15 = -2 -1 = 2，2
…，
所以数列 bn 是周期为 12 的周期数列，前 12 项依次为 3，0，2，0， -1，0，-3，0，-2，
0，1，0，
其前项 12 的和为3+ 0 + 2 + 0 + -1 + 0 + -3 + 0 + -2 + 0 +1+ 0 = 0．
又 2024 =12 168 + 8，
所以数列 bn 的前 2024 项的和为等于前 8 项的和3 + 0 + 2 + 0 + -1 + 0 + -3 + 0 =1．
故答案为：1.
9．（2024·四川泸州·三模）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和， a1 =1， nan+1 = n + 2 Sn，则
an = .
n-2
【答案】 n +1 ×2
【分析】借助 an 与 Sn 的关系及累乘法计算即可得.
【详解】当 n 2时， n -1 an = n +1 S
n
n-1，即 Sn = a ， S
n -1
n + 2 n+1 n-1
= an ，n +1
n n -1 an+1 2 n + 2
则 Sn - Sn-1 = a - a = a ，即 = ，n + 2 n+1 n +1 n n an n +1
an 2 n +1 an-1 2n L a2 2 3则有 = ， =a n -1， ， = ，an-1 n n-2 a1 2
a a a a= n n-1 L 2 a = n +1 ×2n-2则 n an-1 a a 1
，
n-2 1
n-2
当 n =1时， a1 =1，符合上式，故 an = n +1 ×2 .
故答案为： n +1 ×2n-2 .
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn , an - Sn = n2 + 2n - 3．
(1)求 Sn ．
b 64(2)若bn = an ，则当 n+1 + b 取最小值时，求
n的值．
n
【答案】(1) Sn = -n
2 - 4n；
(2) n = 3
【分析】（1）利用 Sn 与 an 的关系，消去 Sn ，求出 an ，代入原式计算即得 Sn ；
64 64
（2）依题意求得bn+1 + b 的表达式，取 t = 2n + 3，则需求 f (t) = t + 在 t 5, t N
*且 t 为奇
n t
数时的最小值，根据此函数的单调性即可求得.
【详解】（1）由 an - Sn = n
2 + 2n - 3，
得 an+1 - Sn+1 = n +1
2 + 2 n +1 - 3．
两式相减，得 an+1 - an - an+1 = 2n + 3 ，
所以 an = -2n - 3 2，代入 an - Sn = n + 2n - 3，
S = a 2 2即得 n n - (n + 2n - 3) = -n - 4n .
64 64 64
（2）由（1）知bn = an = 2n + 3，则bn+1 + = 2n + 5 + = 2n + 3 + + 2bn 2n + 3 2n + 3
，
不妨取 t = 2n + 3，则 t 5, t N*且 t 为奇数，
64
因为函数 f (t) = t + 在[5,8]上单调递减，在[8, + )上单调递增.
t
64 127
因 t 5, t N*且 t
113
为奇数，当 t = 7时， n = 2， f (7) = ，此时 bn+1 + =b 7 ；7 n
64 163
f (9) 145 b + = 127 163当 t = 9时， n = 3， = ，此时 n+1 b 9 ，因 > ，9 n 7 9
故当b
64 163
n+1 + b 取得最小值 时， n = 3 .n 9
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1， an > 0， Sn 是数列 an 的前 n项
和，对任意 n N*，有 2S 2n = 2an + an -1
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设bn = (-1)
n-1an，求 bn 的前 100 项的和.
1
【答案】(1) an = (n +1)2 ；
(2) -25
【分析】（1）根据 an = Sn - Sn-1 n 2 作差得到 an + an-1 2an - 2an-1 -1 = 0，从而得到
a a 1n - n-1 = (n 2)，结合等差数列的定义计算可得；2
1 1
（2）由（1 b = (-1)n-1）可得 n (n +1)，记 cn = b2n-1 + b2n ，则 cn = - ，利用并项求和法计2 2
算可得.
【详解】（1）由 2Sn = 2a
2
n + an -1
2
， 2Sn-1 = 2an-1 + an-1 -1 n 2 ，
2 2
两式相减得 2an = 2an - 2an-1 + an - an-1，即 an + an-1 2an - 2an-1 -1 = 0，
因为 an > 0，所以 2an - 2a
1
n-1 -1 = 0，即 an - an-1 = (n 2)，2
故 an 是首项为1 1，公差为 2 的等差数列，
1
所以 an = (n +1)2 ；
1
（2 1 b n-1 n-1）由（ ）知 n = (-1) an = (-1) (n +1)，2
所以b2n-1 + b
1
2n = - ，2
记 cn = b
1
2n-1 + b2n ，则 cn = - ，2
\b1 + b2 + ......+ b
1
100 = c1 + c2 + ......+ c50 = - ÷ 50 = -25
è 2
【综合提升练】
一、单选题
ìa ü
1．（2024· · 3安徽 三模）已知数列 í n nn 的前 项和
Sn 满足 Sn = n + n ,则 a4 =（ ）
A．272 B．152 C．68 D．38
【答案】B
【分析】借助数列前 n 项和性质计算即可得.
a
【详解】 4 = S4 - S
3 3
4 3
= 4 + 4 - 3 + 3 = 68 - 30 = 38，
则 a4 = 38 4 = 152 .
故选：B.
a6 +a2 9．（2024·河南·三模）设 Sn 为数列 an 的前 n项和，若 Sn = 2an -1，则 =a a （ ）3 + 6
1 1
A．4 B．8 C． D．
8 4
【答案】B
【分析】根据 an , Sn 的关系可得递推公式 an = 2an-1，利用递推公式可得.
【详解】当 n 2时， Sn-1 = 2an-1 -1，所以 an = Sn - Sn-1 = 2an -1- 2an-1 +1，
a6 +aa 2a 9 = 2
3 a3 + a
整理得 n =
6
n-1，所以 = 8a a .3 + 6 a3 + a6
故选：B．
3．（2024· 2安徽阜阳·一模）已知数列 an 满足an = 2n + ln l R ，则“ an 为递增数列”是
“ λ 0 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由 an 为递增数列得l > -6 ，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由 an 为递增数列得，
a - a = 2 2n+1 n é2(n +1) + l n +1 ù - 2n + ln = l + 4n + 2 > 0,n N+ ，
则l > - 4n + 2 对于 n N+ 恒成立，得l > -6 ．可得l 0 l > -6，反之不行，
故选：C．
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = t, an+1 - 2an = -n +1，若 an 是递减数列，
则实数 t 的取值范围为（ ）
A． -1,1 B． - ,0 C． -1,1 D． 1, +
【答案】B
【分析】根据题意得到 an - n 是等比数列，利用等比数列的通项公式得到 an ，利用 an 是
递减数列列出关于 t 的不等式，进而求出 t 的取值范围.
【详解】将 an+1 - 2an = -n +1整理得 an+1 - n +1 = 2 an - n ，
又 a1 -1 = t -1，易知当 t =1时, a1 =1, a2 = 2，不满足 an 是递减数列，故 t 1，
因此数列 an - n 是以 t -1为首项，2 为公比的等比数列，
故 a - n = t -1 2n-1n ，因此 an = n + t -1 2n-1，
由于 an n n-1是递减数列，故 an+1 < an 恒成立，得 n +1+ t -1 2 < n + t -1 2 ，
化简得 1- t 2n-1 >1 1，故1- t >
2n-1
，
1
因此1- t >
21-1
=1，解得 t < 0，
故选：B．
a + a
5．（2023·河南·模拟预测）已知数列 a n+1 nn 满足 = 2n， a1 =1 aa - a ，则 2023 =（ ）n+1 n
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【分析】根据递推关系化简后，由累乘法直接求 a2023 .
Q an+1 + an【详解】 = 2na ，n+1 - an
\an+1 + an = 2n an+1 - an ，
即 (1- 2n)an+1 = (-2n -1)an ，
an+1 2n +1
可得 =an 2n -1
，
a a\ = 2023 a 2022 a 2021 a3 a22023 aa2022 a2021 a2020 a2 a
1
1
4045 4043 4041 5 3
= K 1 = 4045 .
4043 4041 4039 3 1
故选：C.
6．（2024·山西·三模）已知数列 an ， bn 对任意 n N* 均有 an+1 = an + bn ,bn+1 = bn + 2 .若
a1 = b1 = 3，则a24 =（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
【答案】C
【分析】根据等差数列可得bn = 2n +1，再利用累加法求 a24 .
【详解】因为bn+1 = bn + 2，可知数列 bn 是以首项b1 = 3，公差 d = 2的等差数列，
所以bn = 3+ 2 n -1 = 2n +1，
又因为 an+1 = an + bn ，即 an+1 - an = bn ，
可得 a2 - a1 = b1,a3 - a2 = b2 ,a4 - a3 = b3 , × × ×,a24 - a23 = b23 ，
累加可得 a24 - a1 = b1 + b2 + b3 + ×××+ b23，
23 3 + 47
则 a24 - 3

= = 575，所以 a24 = 578 .2
故选：C.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn , Sn+1 = an+1 - nan + 2(n N*)，则
1
=
a （ ）20
A．190 B．210 C．380 D．420
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，结合 Sn+1 - Sn = an+1变形，再构造常数列求出通项即可得解.
【详解】数列 an 中， n N* ， Sn+1 = an+1 - nan + 2，当 n 2时， Sn = an - (n -1)an-1 + 2，
两式相减得 an+1 = an+1 - (n +1)an + (n -1)an-1，即 (n +1)an = (n -1)an-1，
因此 (n +1)nan = n(n -1)an-1，显然数列{(n +1)nan}是常数列，
2
而 S2 = a2 - a1 + 2 ，解得 a1 =1，于是 (n +1)nan = 2 1 a1 = 2，因此 an = (n +1)n ，
1 21 20
所以 = = 210a 2 .20
故选：B
8．（2024·天津·模拟预测）数列 an 各项均为实数，对任意 n N* 满足 an+3 = an ，定义：行
a b a a
列式 = ad - bc n n+1c d 且行列式
= c
a a 为定值，则下列选项中不可能的是（ ）n+2 n+3
A． a1 =1， c =1 B． a1 = 2， c = 2
C． a1 =1， c = 0 D． a1 = 2， c = 0
【答案】B
【分析】根据定义列方程组，判断 a2 , a3是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可.
【详解】由题知， anan+3 - an+1an+2 = c ，
又 a 2n+3 = an ，所以 an - an+1an+2 = c， an 是周期为 3 的周期数列.
对于 A，若 a1 =1， c =1，则 a2a3 = 0，则 a2 = 0或 a3 = 0
若 a2 = 0
2
，则 a2 - a3a4 = -a3a1 =1，得 a3 = -1，
又 a23 - a4a
2
5 = -1 - a1a2 =1，
a a
由周期性可知，当 a1 =1, a2 = 0, a3 = -1
n n+1
时，满足 =1 Aa a ， 不满足题意；n+2 n+3
对于 B，若 a1 = 2， c = 2，则 4 - a2a3 = 2 ，即 a2a3 = 2，
ìa22 - a
2
3a4 = a2 - 2a3 = 2
又 í 22 ，消元整理得 a + 2a + 2 = 0，
a3 - a4a5 = a
2
3 - 2a2 = 2
3 3
2
即 a3 +1 = -1，无实数解，故 B 满足题意；
ìa2 - a a =1- a a = 0
对于 C，若 a1 =1 c = 0
1 2 3 2 3
， ，则 í ，
a
2 2
2 - a3a4 = a2 - a3 = 0
an an+1
解得 a2 = a3 = 1，显然 = 0a a 恒成立，C 不满足题意；n+2 n+3
ìa21 - a2a3 = 4 - a2a3 = 0
对于 D，若 a1 = 2， c = 0 ，则 í ，
a
2 - a 22 3a4 = a2 - 2a3 = 0
a a
a = a = 2 n n+1解得 2 3 ，显然此时 = 0an+2 a
恒成立，D 不满足题意.
n+3
故选：B
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于根据定义列方程组，判断 a2 , a3是否有实数解，当有
解时，结合周期性即可判断.
二、多选题
9．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）数列 a *n 满足 a1 =1，且对任意的 n N 都有
an+1 = an + n +1，则（ ）
n n +1 ì 1 ü 200A a ． n = B．数列 í 的前100项和为2 an 101
ì 1 ü 99
C．数列 í 的前100项和为 D．数列 an 的第100项为50050
an 100
【答案】AB
【分析】利用累加法求出数列 an 的通项公式，可判断 AD 选项；利用裂项相消法可判断 BC
选项；
【详解】因为 an+1 = an + n +1，所以 an+1 - an = n +1，
又 a1 =1，当 n 2时，所以 an = an - an-1 + an-1 - an-2 +L+ a2 - a1 + a1
n n +1
= n + n 1 n - + - 2 +L+ 2 +1 = ，
2
a =1 n n +1 n n +1 1 也满足 an = ，故对任意的 n N* ， a = .2 n 2
所以数列 a 100 101n 的第100项为 a100 = = 5050，故 A 正确，D 错误；2
1 2 1 1
所以 = = 2

a n n +1
-
n n +1÷，n è
ì 1 ü é 1 1 1 1 1 ù 1 200
所以数列 ía
的前100项和为 2 ê 1- 2 ÷
+ - +L+ - = 2 1-2 3 ÷ 100 101÷ú 101÷
= ，故
n è è è è 101
B 正确，C 错误．
故选：AB.
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 anan+1 +1 = an ， a1 = m， Sn 为 an 的前 n 项和，
则（ ）
1
A．若m = 2 ，则 a2023 = 2
B．若m = 2 ，则 S2023 =1013
C．存在实数 m，使 an 为无穷多项的常数列
D．存在常数 m， n N* ，使 Sn ， S2n - Sn ， S3n - S2n 成等差数列
【答案】BD
【分析】A.易得 an 是周期为 3 的周期数列求解判断；B.根据 an 是周期为 3 的周期数列求
解判断；C.设 an 为常数列，有 a1 = a2 = m 求解判断；D.根据根据 an 是周期为 3 的周期数
列求解判断.
1
【详解】解：当m = 2 时， a1 = 2， a2 = ， a3 = -1， a4 = 2 ，…，∴ an 是周期为 3 的周期2
数列，∴ a2023 = a3 674+1 = a1 = 2 ，故 A 错误．
3
由 A 可知， S3 = a1 + a2 + a3 = ，∴ S = 674S + a =1013，故 B 正确．2 2023 3 1
若 an 为常数列，则必有 a1 = a2 = m ，故m2 +1 = m，即m2 - m +1 = 0，此方程无解，故 C 错
误．
当m = 2 时，由 A 可知 S3 = S6 - S3 = S9 - S6 ，故 D 正确．
故选：BD．
11．（2024·重庆·模拟预测）已知数列 an ， bn ，记Tn = a1a2a3Lan ，
1 1 1
Sn = b1 + b2 + b3 +L+ bn ，若 + =1且bT a n
=
T T 则下列说法正确的是（ ）n n n n+1
A．T12 =12 B．数列 an 中的最大项为 2
10 1
C． S10 = D． S <11 n 2
【答案】BD
T
【分析】由已知可得 n =1时，T1 = a1 = 2， n 2
n
时 an = T ，可证数列 Tn 是以 2为首项，1n-1
a n +1 1为公差的等差数列，即可判断 A 选项， n = = 1+n n ，可判断 B 选项；再利用裂项相消法
可得 Sn ，即可判断 CD 选项.
【详解】对于 A，由已知Tn = a1a2a3Lan ，
1 1 2
当 n =1时，T1 = a1，即 + = =1，T1 = a1 = 2T1 a
，
1 a1
T
当 n 2 T n时， n-1 = a1a2a3Lan-1 ，即 an = T ，n-1
1 1 1 T 1+T
所以 + = + n-1 = n-1 =1T a T T T ，即
Tn -Tn-1 =1，
n n n n n
所以数列 Tn 是以 2为首项，1为公差的等差数列，
所以Tn = n +1，即T12 =13，A 选项错误；
a n +1 1对于 B，所以 n = = 1+ ， n Nn n + ，且数列 an 单调递减，
所以数列 an 中的最大项为 a1 = 2，B 选项正确；
b 1 1 1 1对于 C， n = = = -TnTn+1 n +1 n + 2 n +1 n + 2 ，
S b b b L b 1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 1n = 1 + 2 + 3 + + n = - + - + - + + - = - ，2 3 3 4 4 5 n +1 n + 2 2 n + 2
S 1 1 5所以 10 = - = ，C 选项错误；2 12 12
1 1 1 1
对于 D，又 n N+ ，所以 > 0，即 Sn + 2 n
= - < ，D 选项正确；
2 n + 2 2
故选：BD.
三、填空题
12 n．（2024·四川广安·二模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 a1 =1， an+1 - an = 2 ，则
Sn = .
【答案】 2n+1 - n - 2
【分析】利用累加法求出数列 an 的通项，再分组求和即可得解.
n
【详解】数列 an 中，由 an+1 - an = 2 ，得当 n 2时， an - an-1 = 2n-1 ，
n
则 an = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2 ) +L+ (a a ) 1 2
1 1- 2
n - n-1 = + + 2
2 +L+ 2n-1 = = 2n -1，
1- 2
显然 a1 =1满足上式，因此 an = 2
n -1，
S 2(1- 2
n )
所以 = - n = 2n+1n - n - 2 .1- 2
故答案为： 2n+1 - n - 2
13．（2023·河南新乡· 2二模）已知正项数列 an 满足 a1 =1， a2 = 64， anan+2 = kan+1，若 a5 是
an 唯一的最大项，则 k 的取值范围为 ．
1 2
【答案】 ,4 4 ÷÷è
ìan+1 ü
【分析】根据数列递推关系得到 í 是等比数列，进一步求出 an 的通项公式，利用 aa 5 n
是最大项建立不等式求解即可.
a
a a = ka2 n+2 k
a
= n+1【详解】因为 n n+2 n+1，所以 aa a ，又 1
=1， a2 = 64，
n+1 n
ìan+1 ü an+1 n-1 6 n-1
所以 í a
是首项为 64，公比为 k 的等比数列，则 = 64k = 2 ka ， n n
a an a a= × n-1 ×L× 2 ×a = 26 k n-2 ×26 k n-3 ×L×26 k 0 ×1 = (n-2)(n-1)则 n a a a 1 26n-6 k 2 ，n-1 n-2 1
a > a 24 6 30 10
因为 a5 是 an
ì 5 6 ì2 k > 2 k 1 2
唯一的最大项，所以 ía a ，即 í 24 6 18 3 ，解得> < k < ， 5 4 2 k > 2 k 4 4
1 2
即 k 的取值范围为 , ÷÷ .
è 4 4
1
故答案为： ,
2
4 4 ÷÷
.
è
n
14 1 ．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 Sn = -15 2 ÷ + t ，è
则 a1a2 Lan 取最大值时， n的值为 ．
【答案】3
2
【分析】根据 Sn 求出 a1、 a2、a3，由等比中项有 a2 = a1a3，进而求得 t ，得到等比数列 an
的首项、公比、通项公式，再结合 an 的单调性，即可求出 a1a2 Lan 最大时 n的值.
a S 15【详解】 1 = 1 = - + t ， a S S
15 15
2 = 2 - 1 = ， a3 = S3 - S2 = ，2 4 8
因为 a 2 15n 是等比数列，所以 a2 = a1a3，有 t =15， a1 = ，2
15 1 15
数列 an 是以 为首项， 2 为公比的等比数列， a2 n = 2n ，
a a 15 1 a 15数列 n 是递减数列， 3 = > ， 4 = <1，8 16
所以 n = 3时， a1a2 Lan 最大.
故答案为：3 .
四、解答题
15．（2024·河南·三模）已知数列 a n 2an -1S a的各项都为正数，且其前 项和 = n +1 n n .2
(1)证明： an 是等差数列，并求 an ；
(2)如果bn = 8an -1 × 4n-1，求数列 bn 的前 n项和Tn .
n +1
【答案】(1)证明见解析， an = 2
12n + 5 4n - 5(2)Tn = .9
【分析】（1）借助 an 与 Sn 的关系，结合等差数列定义计算即可得解；
（2）借助错位相减法计算即可得.
2a
【详解】（1）当 n =1时， S = a = 1
-1 a1 +1 1
1 1 2a1 = 2a
2
1 + a1 -1 a2 1
=1或 a1 = - ，2
因为 an > 0，所以 a1 =1，
2S = 2a2n n + an -1,2Sn+1 = 2a
2
n+1 + an+1 -1，
2 2
两式相减得 2an+1 = 2an+1 + an+1 - 2an - an an+1 + an = 2 an+1 + an an+1 - an ，
因为 an > 0，所以 an+1 - a
1
n = ，2
故 a 1n 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
a a n -1 n +1n = 1 + = ；2 2
n-1
（2）由（1）知bn = 4n + 3 × 4 ，
T = 7 40n +11 4 +15 4
2 +L+ 4n -1 4n-2 + 4n + 3 4n-1，
4Tn = 7 4 +11 4
2 +L+ 4n -1 4n-1 + 4n + 3 4n ，
则-3T = 7 + 4 4 + 42 +L+ 4n-1 - 4n + 3 4nn ，
= 3+ 4 1+ 4 + 42 +L+ 4n-1 - 4n + 3 4n
n
= 3 4 1- 4+ - 4n + 3 4n
1- 4
4 4n -1
= 3+ - 4n + 3 4n ，
3
4n + 3 4 4
n -1
n 12n + 5 4n + 4 12n + 5 4n - 5所以T n = 4 - -1 = -1 = .3 9 9 9
a - a
16．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 a 中， a = 2， n+1 nn 1 = 2．n +1
(1)求 an 的通项公式；
ìa ü
(2) n设数列 bn 是等差数列，记 Sn 为数列 í 的前 n 项和， 4b2 = 4b1 + b4 ， a3 = 2Sb 3，求 n
Sn ．
【答案】(1) an = n n +1
S n(n + 3)(2) n = 3
a - a
【分析】（1）由 n+1 n = 2，得到 an+1 -an = 2(n +1)，再利用累加法求解；n +1
a n +1
（2）设数列 bn 的公差为 d，根据 4b2 = 4b1 + b4 ，得到 d = b1，从而b = b nn 1n ，再由 =bn b1
求解.
a
【详解】（1）由 n+1
- an = 2，得 an+1 -an = 2(n +1)，n +1
当 n 2时， an = an - an-1 +L+ a2 - a1 + a1 = 2 + 4 +L+ 2n = n n +1 ，
当 n =1时，1 1+1 = 2 = a1 ，
所以 an = n n +1 ．
（2）设数列 bn 的公差为 d，
因为 4b2 = 4b1 + b4 4 b1 + d = 5b1 + 3d ，得 d = b1，易知bn = b1n ，
an n +1 S 2 3 L n +1 n(n + 3) 9因为 =b ，所以 n
= + + + = ，可得 S3 = ，
n b1 b1 b1 b1 2b1 b1
18 3 n(n + 3)
又因为 a3 = 2S3 =12 b =b ，所以 1 ，所以 Sn =1 2
．
3
3
17．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列 an 中， a1 = ， 2an+1 = an + n + 2．2
(1)记bn = an - n，证明： bn 为等比数列；
ì
(2)记 Sn 为 an 的前 n项和，若 íS
1
n + n + ln
ü
是递增数列，求实数l 的取值范围．
2
【答案】(1)证明见详解
(2) -2, +
【分析】（1）根据题意递推公式结合等比数列定义分析证明；
（2）由（1）可得 an = n
1 1 1 1
+ 2n ，进而可得 S +2 n 2n
+ ln = n + 2l +1 n +1，结合二次函数
2 2
性质分析求解.
1 1
【详解】（1）因为 2an+1 = an + n + 2，即 an+1 = a + n +1，2 n 2
1 1 1 1
1
则b = a -1 = 0，且 bn+1 a
an + n +1- n +1 an - n
1 1 n+1
- n +1 2 2 1
2 = = =
2 2 = ，
bn an - n an - n an - n 2
所以数列 bn 1 1是以首项为 2 ，公比为 2 的等比数列.
1 1 n-1 1 1
（2）由（1）可知：bn = an - n = ÷ = ，即 an = n + ，2 è 2 n 2n 2
S 1 1 2 1 1 1 1 1所以 n = + ÷ + + 2 ÷ + ××× + n + n ÷ = 1+ 2 + ×××+ n +

+ + ××× +

è 2 è 2 ÷ è 2 è 2 22 2n
1 é 1 n ù
ê1- ÷ ún n +1 2 ê è 2 ú 1 n2 1 1= + 1 = + n +1-
，
2 n1- 2 2 2
2
1 1
可知 Sn + n + ln = n
2 1+ 2l +1 n +1，
2 2 2
ì
若 íS
1 lnü 1 3n + n + 是递增数列，结合二次函数对称性可得- l + ÷ < ，解得l > -2 ， 2 è 2 2
所以实数l 的取值范围为 -2, + .
18．（2024·全国·模拟预测）数列 an 的前 n项和为 Sn ， 2S 2n - 2anSn + a *n = 0 n 2,n N ，
且 a1 =1 .
ì 1 ü
(1)证明： í 为等差数列；
Sn
l
(2)对于任意 n N* n，不等式 2 an+1 + < 0恒成立，求实数l 的取值范围.2n -1
【答案】(1)证明见解析
4(2) - , ÷
è 3
1 1
【分析】（1）根据 an = Sn - Sn-1即可代入化简得 - = 2S S ，由等差数列的定义即可求解，n n-1
n+1 n+1
（2 2 2）根据 Sn 可得 an 的表达式，进而将问题转化为l < ，构造 cn = ，利用作差法2n +1 2n +1
确定数列的单调性，即可求解最值得解.
【详解】（1）当 n 2, n N*时， an = Sn - S
2
n-1，则 2Sn - 2Sn Sn - Sn-1 + Sn - Sn-1 = 0，
化简得 Sn-1 - Sn = 2SnSn-1，又 Sn 0，
1 1 2 1 1所以 - = = =1S S ，又 ，n n-1 S1 a1
ì 1 ü
所以 í 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.
Sn
1
（2）由（1）得 =1+ n -1 2 = 2n -1 1S ，则 S n = ，n 2n - 1
ì1, n =1,
a = 故 n í 1 1
- ,n 2. 2n -1 2n - 3
1 1 2
则 an+1 = - = -2n +1 2n -1 2n +1 2n -1 ，
2n+1 l
2n a l+ < 0 - + < 0 l 2
n+1
由 n+1 ，得2n -1 2n +1 2n ，则 ，-1 2n -1 < 2n +1
2n+1
令 cn = ，2n +1
2n+2 2n+1 2n+1 2n -1
则 cn+1 - c

n = - = > 0 c2n + 3 2n +1 2n +1 ，所以数列 n 单调递增，2n + 3
c 4 l 4 4 又 1 = ，故 < ，所以实数l 的取值范围是 - , .3 3 ÷è 3
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的各项均为正数， a1 =1 2， an+2an an+1 ．
(1)若 a = 3 n-12 ，证明：an 3 ；
1 1 1
(2)若 a10 = 512，证明：当 a4取得最大值时， + +L+ < 2a a a ．1 2 n
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
an+2 an+1
【分析】（1）由题意可得 = qn ，则 q1 qa a 2
L qn，结合 q1 = 3和累乘法计算即可
n+1 n
证明；
（2）由 a1 ×q1 ×q2 Lq9 q1 ×q2 ×q
3
3 × a1可得 a4 = q1q2q3 的最大值为 8，进而
q1 = q2 =L = q = 2 a 2n-19 ，得 n ，结合等比数列前 n 项求和公式计算即可.
an+2 a1 n+1
an+1
【详解】（ ）由题意知， a a ，设
= q
a n，
\q1 q2 L qn ，
n+1 n n
Qa2 = 3， a1 =1，\q1 = 3，
当 n 2时， a
a a a
n = a1 × 2 × 3 L n = a1 ×q1 ×q2 Lqn-1 a1 ×q
n-1
1 = 3
n-1
a ．1 a2 an-1
当n =1 n-1时， a1 =1满足 an 3 ，
n-1
综上， an 3 .
（2） a10 = a1 × q1 × q2 Lq9 = 512 q1 × q2 ×q3
3 ×a1，\q1 × q2 ×q3 8，
\a4 的最大值为 8，当且仅当 q1 ×q2 ×q3 = q4 ×q5 ×q6 = q7 ×q8 ×q9 时取等号．
而 q1 q2 L qn，\q1 = q2 =L = q9 = 2，
而 n≥10 时， qn qn-1 L q9 = 2 ，
\an a × q
n-1
1 = 2
n-1
，
1× 1 1-
1 1 n ÷
\ + +L 1 1 1+ + + (1)2 +L+ (1)n-1 = è 2 2 1=
a a a 2 2 2 1
1- ÷ < 2．
1 2 n 1- è 2
n
2
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）在数列 an 中， a1 =1， an+1 = an + 2n -1，则 a7 = （ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【答案】C
【分析】由递推公式 an+1 = an + 2n -1用累加法公式
an = an - an-1 + an-1 - an-2 + ...+ a2 - a1 + a1 n 2 求出 an ，再求a7即可.
【详解】法一：由题得 an = an - an-1 + an-1 - an-2 + ...+ a2 - a1 + a1
n -1 é 2n - 3 +1ù
= 2n - 3 + 2n - 5 + ...+ 3+1+1 = +1 = n2 - 2n + 2 n 2 ，
2
所以 a7 = 7
2 - 2 7 + 2 = 37 .
法二：由题 a1 =1， an+1 - an = 2n -1，
所以 a7 = a7 - a6 + a6 - a5 + ...+ a2 - a1 + a1 =11+ 9 + 7 + 5 + 3+1+1 = 37 .
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 为正项数列 an 的前 n项和．若 Sn + 2an = Sn+1 -1，且 S5 = 57 ，
则 a4 =（ ）
A．7 B．15 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题可通过题中的一般项 an 与前 n项和 Sn 的关系式，利用公式 an+1 = Sn+1 - Sn 来推
导 an 和 an+1的关系，再通过构造法构造新数列 an +1 并结合 S5 = 57 来得到 an 的通项公式，
算出结果.
【详解】因为 Sn + 2an = Sn+1 -1，
所以 2an +1 = Sn+1 - Sn = an+1，即 2 an +1 = an+1 +1．
an+1 +1
因为 an > 0，所以 an +1 > 0，所以 = 2a +1 ，n
所以数列 an +1 是公比为 2 的等比数列，
所以 an +1 = a +1 × 2n-11 ，则 an = a1 +1 ×2n-1 -1，
a 5
所以 S = 1
+1 × 1- 2
- 5 = 57 ，解得 a5 1 =1，1- 2
n
所以 an = 2 -1，则 a = 2
4
4 -1 =15．
故选：B．
3．（2024·全国·模拟预测）已知m, n, k N*，数列 an 中， a1 = 2， am+n = am + an ， Sn 为数列
an 的前 n项和， Sk +2 - Sk = 26 ，则 k = （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据 am+n = am + an ，令m =1，根据等差数列的定义和通项公式可得 an = 2n，再由
等差数列前 n项和与通项关系即可得结论.
【详解】在 am+n = am + an 中，令m =1，可得 an+1 = a1 + an，所以 an+1 - an = 2 ，又 a1 = 2，
所以数列 an 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，则 an = 2n，
所以 Sk +2 - Sk = ak +1 + ak +2 = 2 k +1 + 2 k + 2 = 4k + 6 = 26，所以 k = 5．
故选：C．
4 n n *．（2022·河南·模拟预测）已知数列 an 满足 a2n - a2n-1 = 3 -1,a2n+1 + a2n = 3 + 5 n N ，则
数列 an 的前 40 项和 S40 =（ ）
A 3
11 + 397 41B 3 + 397 3
41 +197 21
． ． C． D 3 +197．
2 2 2 2
【答案】D
n
【分析】由已知，根据题意由 a2n - a2n-1 = 3 -1,a2n+1 + a2n = 3
n + 5 n N* 可得：
a *2n+1 + a2n-1 = 6 n N ，从而计算 a1 + a3 + a5 + a7 + a9 + a11 +L+ a37 + a39 =10 6 = 60 ，
a n * n+1 *由 2n - a2n-1 = 3 -1 n N 递推可得： a2n+2 - a2n+1 = 3 -1 n N ，结合
a n2n+1 + a2n = 3 + 5 n N* 可得： a2n+2 + a n *2n = 4 × 3 +1 n N ，从而计算
a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12 +L+ a38 + a40 ，将两组和合并即可完成求解.
n
【详解】由已知，数列 an 满足 a2n - a2n-1 = 3 -1 n N* ① n *， a2n+1 + a2n = 3 + 5 n N ②，
② - ①得； a2n+1 + a2n-1 = 6 n N* ，
所以 a1 + a3 + a5 + a7 + a9 + a11 +L+ a37 + a39 =10 6 = 60 ，
a - a = 3n由 2n 2n-1 -1 n N* a n+1 *递推可得： 2n+2 - a2n+1 = 3 -1 n N ③，
③ + ②得； a2n+2 + a2n = 4 × 3n +1 n N* ，
a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12 +L+ a38 + a40
= 4 × 31 +1 + 4 × 33 +1 + 4 × 35 +1 +L+ 4 × 319 +1
= 4 31 + 33 + 35 +L+ 319 + 4 10
3 1- 910
= 4 + 40
1- 9
321 - 3
= + 40，
2
所以
S40 = a1 + a3 + a5 + a7 + a9 + a11 +L+ a37 + a39 + a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12 +L+ a38 + a40
321 - 3
= +100
2
321 +197
= .
2
故选：D.
二、多选题
5．（23-24 高二上·河北邢台·阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = m（m 为正整数），
ìa
n ,an = 2k, k Zan+1 = í 2 ，则下列选项正确的是（ ）
3an +1, an = 2k +1, k Z
A．若m = 40，则 a9 =1
B．若 a6 = 11，则 m 所有可能取值的集合为 1,8,56,58,352
C．若m =10，则 a100 = a1000
D．若m = 2k ，k 为正整数，则 a k -1n 的前 k 项和为 2 +1
【答案】AC
【分析】A 选项，依次计算出结果；B 选项，从 a6 = 11推出 m 所有可能取值的集合为
1,8,9,56,58,352 ；C 选项， an 从第 5 项开始为周期数列，且周期为 3，求出 a100 = a1000 ；D
选项，推出 an 的各项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】A 选项，若m = 40，则 a2 = 20 ， a3 =10， a4 = 5， a5 =16， a6 = 8， a7 = 4 ，
a8 = 2， a9 =1，故 A 正确；
B 选项，若 a6 = 11，则a5 = 22， a4 = 44 或 7．
当 a4 = 44 时， a3 = 88， a2 =176， a1 = 352，或 a3 = 88， a2 = 29 ，a1 = 58；
当 a4 = 7 时， a3 =14， a2 = 28， a1 = 56，或 a3 =14， a2 = 28， a1 = 9，
或 a3 = 2， a2 = 4 ， a1 = 8，或 a3 = 2， a2 = 4 ， a1 =1，
故 m 所有可能取值的集合为 1,8,9,56,58,352 ，故 B 不正确；
C 选项，若m =10，则 a2 = 5， a3 =16， a4 = 8， a5 = 4， a6 = 2， a7 =1， a8 = 4，
a9 = 2，…，
所以 an 从第 5 项开始为周期数列，且周期为 3，则 a100 = a3 31+7 = a7 =1，
a1000 = a3 331+7 = a7 =1，故 a100 = a1000 ，C 正确；
D 选项，若m = 2k ，则 a = 2k -1 k -22 ， a3 = 2 ，…， ak = 2， ak +1 =1，
k
所以 a 2 1- 2k n 的前 项和为 = 2k +1 - 2 ，故 D 不正确.
1- 2
故选：AC
6．（2024·海南海口·二模）已知 Sn 为正项数列 an 的前 n项和， a1 =1，
S S 1n + n-1 = n 2, n N*a ，则（ ）n
A． Sn = n B． an+1 < an
1
C． Sn + Sn+2 > 2Sn+1 D． Sn - ln nSn
【答案】ABD
【分析】根据题意及 a S S 2 - S 2 2n 与 n 的关系可得 n n-1 =1，从而得到数列 Sn 等差数列，从而即
可得到其通项公式，进而即可判断 A；结合 A 可得 an ， an+1，进而即可判断 B；结合 A 可得
Sn + Sn+2 ， 2S
2 2
n+1，再证明 Sn + Sn+2 - 2Sn+1 < 0即可判断 C；构造函数
f x 1= x - - 2ln x, x 1，对其求导，从而即可判断其单调性，再令 x = n 即可得到结x
论．
1 1 2 2
【详解】对于 A，当 n 2时，有 an = Sn - Sn-1，则 Sn + Sn-1 = =a S S ，即 S- n - Sn-1 =1，n n n-1
S 2 S 2 2所以数列 n 是以 1 = a1 =1为首项， d =1为公差的等差数列，
所以 S 2n = n，又 an 为正项数列，所以 Sn = n ，故 A 正确；
1 1
对于 B，结合 A 可得 an = n - n -1 = ， a = n +1 - n = ，n + n -1 n+1 n +1 + n
所以 an+1 < an ，故 B 正确；
对于 C，结合 A 可得 Sn + Sn+2 = n + n + 2 ， 2Sn+1 = 2 n + 1，
又 Sn + S
2
n+2 - 2S
2
n+1 = 2 2n + n + 2 - 2 n +1 = n + n + 2 + 2 n n + 2 - 4 n +1
= 2 n n + 2 - n +1 = 2 n n + 2 - n +1 2 ÷ < 0，è
所以 Sn + Sn+2 < 2Sn+1，故 C 错误；
2
令 f x 1= x - - 2ln x, x 1，则
x f x 1
1 2 x -1
= + - = 0，
x2 x x2
所以 f x 在 1, + 上单调递增，则 f x f 1 = 0，
f n n 1所以 = - - 2ln n = n 1- - ln n 0，
n n
1
所以 Sn - ln nS ，故 D 正确．n
故选：ABD．
1
【点睛】关键点点睛：构造函数 f x = x - - 2ln x, x 1，对其求导，再结合其单调性是解
x
答选项 D 的关键．
三、填空题
7．（2023·广西·模拟预测）有穷数列 an 共有 k 项，满足 a *1 = 27， a2 = 737 ，且当 n N ，
n -1
3≤ n≤ k 时， an = an-2 - a ，则项数 k 的最大值为 ．n-1
【答案】 200
【分析】分析数列为有穷数列，且 an-1 0，所以项数最大的项 ak = 0 ，利用累加法可得
k 1 a a (k - 2 + 2)(k - 3)- = 1 2 - 即可得解.2
【详解】当3≤ n≤ k 时， anan-1 = an-1an-2 - (n -1) ，
因为有穷数列 an ， an = a
n -1
n-2 - ， aa n-1
0，
n-1
所以当项数 k 最大时， ak = 0 ，则 k -1 = ak -1ak -2，
ak -1ak -2 = ak -2ak -3 - (k - 2)， ak -2ak -3 = ak -3ak -4 - (k - 3),L,a3a2 = a2a1 - 2，
将以上各式相加得 k -1 = a1a2 - (k - 2) + (k - 3) +L+ 2 ，
k 1 a a (k - 2 + 2)(k - 3)即 - = 1 2 - ，2
k 2 - k - 2
= 27 737，即 (k - 2)(k +1) =198 201，则 k = 200 .
2
故答案为： 200
8．（2024·上海徐汇·二模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S
3 1
n = an - （ n是正整数），2 2
则 a5 = .
【答案】81
【分析】由已知结合数列的和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即可
求解．
3 1
【详解】因为 Sn = an - ，2 2
n 2时， S
3 1
n-1 = a2 n-1
- ，
2
3
两式相减可得， Sn - Sn-1 = (an - an-1) = an ，2
即 an = 3an-1 ， n 2，
S 3 a 1因为 1 = 1 - ，解得 a1 =1，2 2
故数列{an}是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，
所以 a5 = a1q
4 = 34 = 81．
故答案为：81．
9 ．（ 2024· 内蒙古包头 · 一模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = 2， a2 = 3，
an+2 = an+1 - an ，则 S21 = ．
【答案】6
【分析】
根据题意，由递推公式可得数列 an 是周期为 6 的数列，再由 S6 = 0代入计算，即可得到结
果.
【详解】因为 a1 = 2， a2 = 3， an+2 = an+1 - an ，
则 a3 = a2 - a1 =1， a4 = a3 - a2 = -2， a5 = a4 - a3 = -3， a6 = a5 - a4 = -1， a7 = a6 - a5 = 2，
所以数列 an 是周期为 6 的数列，且 S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2 + 3 +1- 2 - 3 -1 = 0，
所以 S21 = S3 6+3 = S3 = a1 + a2 + a3 = 6 .
故答案为：6
四、解答题
3
10．（2024·山东济南·一模）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 = 且 S = 2a - 3，令2 n n+1
n2b + nn = .an
(1)求证： an 为等比数列；
(2)求使bn 取得最大值时的 n 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 4或5 .
an+1 3 a2 3
【分析】（1）结合已知，由 n 2时 an = Sn - Sn-1化简得 = =a 2 ，再由 a 2 及等比数列的n 1
定义证明即可；
2 n
（2）先求得bn =
2
÷ n + n ，利用作商法判断数列 bn 的单调性即可求得最值.
è 3
【详解】（1）由 Sn = 2an+1 - 3，可得 n 2时， an = Sn - Sn-1 = 2an+1 - 2an
a
n 2 n+1
3 a 3
即 ， =
3 9 2
，又因为 a = ，所以 a2 = ， =a 2 1 a 2 ，n 2 4 1
a 3 3
综上， n 1 n+1， =a 2 ，所以 an 为首项和公比均为 的等比数列.n 2
n n
（2 1 a 3 b 2 ）由（ ）可得 n = ，所以 = n
2 + n ，
è 2 ÷ n 3 ÷

è
2
b 2n n + n 2 n +1 n 2时， = =
bn-1 3 ，n2 - n 3 n -1
bn b
令 >1b ，可得 2 n < 5
n
，（或令 <1b ，可得n > 5），n-1 n-1
可知b1 < b2 < b3 < b4 = b5 > b6 > b7 > ×××，
320
综上， n = 4或 n = 5时，bn 的取得最大值 .81
11．（2024·山东· n模拟预测）已知数列 a *n 满足 a1 = 2， an+1 - an = d × q ， n N ．
(1)若 q =1， an 为递增数列，且 2， a5 ， a7 + 3成等比数列，求d ；
q 1(2)若 d =1， = ，且 a2n-1 是递增数列， a2n 是递减数列，求数列 a2 n 的通项公式．
d 1【答案】(1) =
2
n
(2) a 7 1 -1 n = + ×3 3 2n-1
【分析】（1）利用数列 an 为单调递增数列，得到 an+1 - an = d ，再根据 2， a5 ， a7 + 3成等
比数列，得到8d 2 + 2d - 3 = 0，即可求出的值.
（2）由数列 a2n-1 是递增数列得出 a2n+1 - a2n-1 > 0，可得 a2n+1 - a2n + a2n - a2n-1 > 0 ，但
1 1 2n-1
< a 1 -1
2n
，可得
22n 22n-1 2n+1
- a2n < a2n - a2n-1 ．可得 a2n - a2n-1 = ÷ = ；由数列 a2n 是
è 2 22n-1
-1 n+1
递减数列得出 a2n+1 - a2n < 0，可得 an+1 - a = ，再利用累加法可求出数列 an 的通项n 2n
公式.
【详解】（1）因为 a1 = 2，且 an 为递增数列，所以 an+1 - an = d ，
所以 an 为等差数列， 因为 2， a5 ， a7 + 3成等比数列，
所以 a1 + 4d
2 = 2 a1 + 6d + 3 ， 整理得8d 2 + 2d - 3 = 0，
d 1 3得 = ， d = - ， 因为 an 为递增数列，2 4
d 1所以 = .
2
（2）由于 a2n-1 是递增数列，因而 a2n+1 - a2n-1 > 0，
于是 a2n+1 - a2n + a2n - a2n-1 > 0 ①
1 1
但 2n < ，2 22n-1
所以 a2n+1 - a2n < a2n - a2n-1 ．②
又①，②知， a2n - a2n-1 > 0 ，
1 2n-1a a -1
2n
因此 2n - 2n-1 = ÷ = ③
è 2 22n-1
因为 a2n 是递减数列，同理可得 a2n+1 - a2n < 0，
2n -1 2n+1
故 a 1 2n+1 - a2n = - ÷ = ，④
è 2 22n
-1 n+1
由③，④即知， a - a = ， n+1 n 2n
于是an = a1 + a2 -a1 + a3 -a2 +L+ an -an-1
n-1
1- 1- n
2 1 1 -1
÷
= + - 2 +L
1
+ n-1 = 2 + ×
è 2
2 2 2 2 1 1+
2
7 1 -1 n
= + × ，
3 3 2n-1
a 7 1 -1
n
故数列 n 的通项公式为 an = + × ．3 3 2n-1
【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.
（1）数列 an 为等差数列，利用等差数列的性质即可；
（2）根据数列 a2n-1 是递增数列得， a2n+1 - a2n-1 > 0，数列 a2n 是递减数列得，
n+1
a - a < 0 -1 2n+1 2n ，综合数列 a2n-1 和 a2n 即可得 an+1 - a = ，最后利用累加法可求出数n 2n
列 an 的通项公式.考点 34 数列的概念（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练
+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
【知识点】
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的__________
如果数列{an}的第 n 项 an与它的 之间的对应关系可以
通项公式
用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
递推公式
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的 把数列{an}从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列{an}的
前 n 项和 前 n 项和，记作 Sn，即 Sn＝____________
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数______
项数
无穷数列 项数______
递增数列 an＋1 an
递减数列 a *n＋1 an 其中 n∈N
项与项间的
常数列 an＋1＝an
大小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变量
是 ，对应的函数值是 ，记为 an＝f(n)．
常用结论
， ＝ ，
1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn，则 a
S1 n 1
n＝{Sn－Sn－1，n ≥ 2.
－
2 ．在数列 {a an ≥ an 1，n} 中，若 an 最大，则 {a ≥ a (n≥2 ， n∈N*) ；若 an 最小，则n n＋1
{an ≤ an－1， (n≥2，n∈N*a )．n ≤ an＋1
【核心题型】
题型一　由 an 与 Sn 的关系求通项公式
　Sn与 an的关系问题的求解思路
(1)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1的关系式，再求解．
2 3 n n
【例题 1】（2023·四川·三模）已知数列 an 满足 2a1 + 2 a2 + 2 a3 + ×××+ 2 an = n ×2 ，则 an
的通项公式为（ ）
ì1, n =1a = a n +1A． n í B =
n +1, n 2
． n 2
ì1, n =1
C． an = n D． an = í
n -1,n 2
【变式 1】（2024·江苏南通·三模）设数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 Sn + n = 2an ，则 a7 =
（ ）
A．65 B．127 C．129 D．255
【变式 2】（23-24 高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列 an 的前 n项和
S 2 *n = a - 2 n + n + a ， n N ．若 an 是等差数列，则 an 的通项公式为 ．
n n-1
【变式 3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 an 前 n 项的积为T = 3 2 ，数列 bn n
满足b1 =1， b *n - bn-1 =1（ n 2， n N ）．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)将数列 an ， bn 中的公共项从小到大排列构成新数列 cn ，求数列 cn 的通项公式．
题型二　由数列的递推关系求通项公式
(1)形如 an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
an＋1 a2 a3 an
(2)形如 ＝f(n)的数列，利用 an＝a1· · ·…· (n≥2)即可求数列{an}的通项公式．an a1 a2 an－1
命题点 1　累加法
【例题 2】（2024·河北保定·三模）设 bn 是公差为 3 的等差数列，且bn = an+1 + an ，若 a1 =1，
则 a21 = （ ）
A．21 B．25 C．27 D．31
【变式 1】（2024·河南·三模）已知函数 f x 满足： f 1 ≥3，且"x, y R，
9
f x + y = f x + f y + 6xy ，则 f i 的最小值是（ ）
i=1
A．135 B．395 C．855 D．990
【变式 2】（2024·北京西城·一模）在数列 an 中，a1 = 2, a2 = -3 .数列 bn 满足
bn = an+1 - an n N* .若 bn 是公差为 1 的等差数列，则 bn 的通项公式为bn = ， an 的
最小值为 .
【变式 3】（2024· n+1 n广东江门·二模）已知 an+12 - an 2 是公差为 2 的等差数列，数列 an 的
前 n
3
项和为 Sn ，且 a1 = ,a2 = 2 ．2
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 Sn ；
(3)[x]表示不超过 x 的最大整数，当 n k 时， Sn 是定值，求正整数 k 的最小值．
命题点 2　累乘法
a n ×2n
【例题 3】（2024· n+1全国·模拟预测）已知数列 an 满足 = ，其中 aa n +1 1 =1，则 a8 = （ ）n
A． 28 B． 220 C． 225 D． 228
【变式 1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列 an 满足
a1 =1，n an = n -1 an-1 n 2,n N* ，且 anbn = sin 2nπ n N* ，则数列 b 的前 18 项3 n
和为（ ）
A．-3 B．-54 C．-3 3 D．-54 3
【变式2】（2022·山西太原·二模）已知数列 an 的首项为1，前n项和为 Sn ，且 nSn+1 = n + 2 Sn ，
则数列 an 的通项公式 an = .
【变式 3】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 an 的前 n项和为 Sn ,a1 =1，且
n +1S ann = ．2
(1)求数列 an 的通项公式；
b an + a(2)若 n = n+12 2 ，数列 bn 的前 n *a a 项和为Tn ,"n N ,T < m× n 恒成立，求实数m 的最小值．n n+1
题型三　数列的性质
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据 an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值
命题点 1　数列的单调性
【例题 4】（2024·江西·二模）已知数列 an 的首项 a1为常数且a
2
1 ，3
an+1 + 2a = 4
n
n n N* ，若数列 an 是递增数列，则 a1的取值范围为（ ）
2- , 2 2 2- , 2 4 A． 3 3 ÷
B． ÷ U , ÷
è è 3 3 è 3 3
0, 2 2 2C． ÷ D． 0, ÷ U ,
4
3 ÷è è 3 è 3 3
【变式 1】（2024·广东深圳·二模）已知 n 为正整数，且 n2 > 2n ，则（ ）
A． n =1 B． n = 2 C． n = 3 D．n 4
【变式 2】（2023·浙江·模拟预测）已知等差数列 an 的公差为 d d 0 ，前 n项和记为
Sn n N* ，满足3a2 + 2a3 = S3 + 6，若数列 Sn 为单调递增数列，则公差d 的取值范围
为 .
*
【变式 3】（2024·辽宁·模拟预测）已知 An an ,bn n N 是曲线 y = ln x 上的点， a1 = a ， Sn
a 2 2 2是数列 n 的前 n 项和，且满足 Sn = 3n an + Sn-1， n = 2,3,4,...
(1)求 a2 , a3；
(2)确定 a的取值集合M ，使 a M 时，数列 an 是单调递增数列；
(3)证明：当 a M 时，弦 An A
*
n+1 n N 的斜率随 n 单调递减．
命题点 2　数列的周期性
【例题 5】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依
次进行，当甲报出 1，乙报出 2 后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个
位数字，则第 2024 个被报出的数应该为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式 1】（2024·山东济宁·三模）已知数列 an 中，
a1 = 2，a2 =1，an+1 = an - an-1 n 2，n N* ，则 a2024 =（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
1
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）数列 an 满足an+1 = 1- a ， a9 = 3，则n
a1 = ．
1
【变式 3】（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 an 中， a1 = ，2
an+1 = 2an - 3cos(
nπ π
- ) ．
3 6
nπ
(1)证明：数列{an - cos }为常数列；3
(2)求数列 nan 的前 2024 项和．
命题点 3　数列的最值
【例题 6】（2024·山东济南·二模）已知 an 是各项均为正整数的递增数列， an 前 n项和为
Sn ，若 Sn = 2024，当 n取最大值时， an 的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
1 1
【变式 1】（2024·天津·二模）已知数列 an 为不单调的等比数列， a2 = ,a4 = ，数列 b4 16 n
满足bn =1- an+1 ，则数列 bn 的最大项为（ ）．
3 7 9 5
A． B． C． D．
4 8 8 4
【变式 2】（2023·上海普陀·一模）若数列 an 满足 a1 = 12， an+1 = an + 2n （ n 1， n N ），
a
则 n 的最小值是 .
n
n
【变式 3】（2024·安徽·模拟预测）已知数列 an 的首项 a1 = 2，且满足 an+1 + an = 3 2 ．
(1)求 an 的通项公式；
3
(2)已知b
n
n = ，求使 bn a 取得最大项时
n的值．（参考值： 3 2 1.26 ）
n
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰· *模拟预测）设数列 an 满足 a1 + 2a2 + 3a3 + ×××+ nan = 2n +1 n N ，则数
ì a ü
列 í n 5n 1 的前 项和为（ ） +
5 8 12 13
A． B． C． D．
3 5 7 6
a a
2．（23-24 · · n+2 n+1高三上 湖北 阶段练习）定义：在数列 an 中， - = d n N*a a ，其中 d 为n+1 n
a24
常数，则称数列 an 为“等比差”数列.已知“等比差”数列 an 中， a1 = a2 =1， a3 = 3，则 =a22
（ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
3．（2024·河北唐山·二模）已知数列 an 满足 an+1 = an + a1 + 2n ， a10 =130，则 a1 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4 2．（2024·辽宁大连·一模）数列 an 中， a1 = 5,a2 = 9 ，若数列 an + n 是等差数列，则 an
最大项为（ ）
45
A．3 B．3或 4 C． D．11
4
二、多选题
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列 an 的公比为q，前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，
a qn
且"n N* ， 1 < 0，则（ ）
1- q
A．数列 an 是递增数列 B．数列 an 是递减数列
C．若数列 Sn 是递增数列，则 q > 1 D．若数列 Tn 是递增数列，则 q > 1
6．（2024· 2福建泉州·一模）已知数列 an 满足 a1 =1， an+1 = an - an + c，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 c >1时， an 1 B．当 c =1时，数列 an 是常数列
3 c 1 3C．当 < < 时， an >1- 1- c D．当 < c <1时，数列 an 单调递减4 4
三、填空题
n 1+ a
7．（2024·陕西西安·

模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S nn = , S2 = 3，则2
a3 = .
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 3， a2 =1， an+2 = an+1 - an ，数列 bn ，满
足bn = a sin
nπ
n ，则数列 b 的前 2024 项的和为 ．2 n
9．（2024·四川泸州·三模）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和， a1 =1， nan+1 = n + 2 Sn，则
an = .
四、解答题
10 2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn , an - Sn = n + 2n - 3．
(1)求 Sn ．
b 64(2)若bn = an ，则当 n+1 + nb 取最小值时，求 的值．n
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1， an > 0， Sn 是数列 an 的前 n项
和，对任意 n N* 2S 2，有 n = 2an + an -1
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) b = (-1)n-1设 n an，求 bn 的前 100 项的和.
【综合提升练】
一、单选题
ìa ü
1 3．（2024·安徽·三模）已知数列 í n 的前 n 项和 Sn 满足 Sn = n + n ,则 an 4
=（ ）

A．272 B．152 C．68 D．38
a +a
2．（2024·河南·三模）设 Sn 为数列 an 的前 n项和，若 S 6 9n = 2an -1，则 =a a （+ ）3 6
1 1
A．4 B．8 C． D．
8 4
3．（2024·安徽阜阳·一模）已知数列 an 满足an = 2n2 + ln l R ，则“ an 为递增数列”是
“ λ 0 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = t, an+1 - 2an = -n +1，若 an 是递减数列，
则实数 t 的取值范围为（ ）
A． -1,1 B． - ,0 C． -1,1 D． 1, +
an+1 + a5 n．（2023·河南·模拟预测）已知数列 an 满足 = 2n aa - a ， 1 =1，则 a2023 =（ ）n+1 n
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
6．（2024·山西·三模）已知数列 an ， bn 对任意 n N* 均有 an+1 = an + bn ,bn+1 = bn + 2 .若
a1 = b1 = 3，则a24 =（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
7．（2024· *陕西西安·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn , Sn+1 = an+1 - nan + 2(n N )，则
1
=
a （ ）20
A．190 B．210 C．380 D．420
8．（2024·天津·模拟预测）数列 a 各项均为实数，对任意 n N*n 满足 an+3 = an ，定义：行
a b a a
= ad - bc n n+1列式 且行列式 = cc d a a 为定值，则下列选项中不可能的是（ ）n+2 n+3
A． a1 =1， c =1 B． a1 = 2， c = 2
C． a1 =1， c = 0 D． a1 = 2， c = 0
二、多选题
9．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）数列 an 满足 a1 =1，且对任意的 n N* 都有
an+1 = an + n +1，则（ ）
n n +1 ì 1 ü 200
A a ． n = B．数列 ía 的前100项和为2 n 101
ì 1 ü 99
C．数列 í 的前100项和为 D．数列 an 的第100项为50050
an 100
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 anan+1 +1 = an ， a1 = m， Sn 为 an 的前 n 项和，
则（ ）
1
A．若m = 2 ，则 a2023 = 2
B．若m = 2 ，则 S2023 =1013
C．存在实数 m，使 an 为无穷多项的常数列
D．存在常数 m， n N* ，使 Sn ， S2n - Sn ， S3n - S2n 成等差数列
11．（2024·重庆·模拟预测）已知数列 an ， bn ，记Tn = a1a2a3Lan ，
1 1 1
Sn = b1 + b2 + b3 +L+ bn ，若 + =1且bn =T a T T 则下列说法正确的是（ ）n n n n+1
A．T12 =12 B．数列 an 中的最大项为 2
S 10 1C． 10 = D． S <11 n 2
三、填空题
12．（2024·四川广安·二模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 a1 =1， a nn+1 - an = 2 ，则
Sn = .
13 2023· · a a =1 a = 64 a a = ka2．（ 河南新乡 二模）已知正项数列 n 满足 1 ， 2 ， n n+2 n+1，若 a5 是
an 唯一的最大项，则 k 的取值范围为 ．
n
14．（2024· 1 四川绵阳·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 Sn = -15 ÷ + t ，
è 2
则 a1a2 Lan 取最大值时， n的值为 ．
四、解答题
2a -1 a +1
15．（2024·河南·

三模）已知数列 an 的各项都为正数，且其前 n项和 S = n nn .2
(1)证明： an 是等差数列，并求 an ；
(2) b = 8a -1 × 4n-1如果 n n ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
a a = 2 an+1 - a16．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 n 中， n1 ， = 2．n +1
(1)求 an 的通项公式；
(2)设数列
ì ü
bn 是等差数列，记 S
an
n 为数列 í 的前 n 项和， 4b2 = 4b1 + b4 ， a3 = 2S3，求
bn
Sn ．
3
17．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列 an 中， a1 = ， 2an+1 = an + n + 2．2
(1)记bn = an - n，证明： bn 为等比数列；
(2)记 Sn 为 an 的前 n
ì 1 ü
项和，若 íSn + n + ln 是递增数列，求实数l 的取值范围． 2
18．（2024· 2全国·模拟预测）数列 an 的前 n项和为 Sn ， 2Sn - 2anSn + an = 0 n 2,n N* ，
且 a1 =1 .
ì 1 ü
(1)证明： í 为等差数列；
Sn
l
(2) n对于任意 n N* ，不等式 2 an+1 + < 0恒成立，求实数l 的取值范围.2n -1
19．（2024·全国· 2模拟预测）已知数列 an 的各项均为正数， a1 =1， an+2an an+1 ．
(1)若 a2 = 3
n-1
，证明：an 3 ；
1 1 1
(2)若 a10 = 512，证明：当 a4取得最大值时， + +L+ < 2a ．1 a2 an
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）在数列 an 中， a1 =1， an+1 = an + 2n -1，则 a7 = （ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
2．（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 为正项数列 an 的前 n项和．若 Sn + 2an = Sn+1 -1，且 S5 = 57 ，
则 a4 =（ ）
A．7 B．15 C．8 D．16
3．（2024·全国·模拟预测）已知m, n, k N*，数列 an 中， a1 = 2， am+n = am + an ， Sn 为数列
an 的前 n项和， Sk +2 - Sk = 26 ，则 k = （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022· n河南·模拟预测）已知数列 an 满足 a2n - a2n-1 = 3 -1,a2n+1 + a2n = 3n + 5 n N* ，则
数列 an 的前 40 项和 S40 =（ ）
A 3
11 + 397 B 3
41 + 397 341C +197 3
21
D +197． ． ． ．
2 2 2 2
二、多选题
5．（23-24 高二上·河北邢台·阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = m（m 为正整数），
ìa
n ,an = 2k, k Zan+1 = í 2 ，则下列选项正确的是（ ）
3an +1, an = 2k +1, k Z
A．若m = 40，则 a9 =1
B．若 a6 = 11，则 m 所有可能取值的集合为 1,8,56,58,352
C．若m =10，则 a100 = a1000
D．若m = 2k ，k 为正整数，则 an 的前 k 项和为 2k -1 +1
6．（2024·海南海口·二模）已知 Sn 为正项数列 an 的前 n项和， a1 =1，
Sn + S
1
n-1 = n 2, n N*a ，则（ ）n
A． Sn = n B． an+1 < an
1
C． Sn + Sn+2 > 2Sn+1 D． Sn - ln nSn
三、填空题
7．（2023·广西·模拟预测）有穷数列 a 共有 k 项，满足 a = 27， a = 737 ，且当 n N*n 1 2 ，
3≤ n≤ k 时， a
n -1
n = an-2 - a ，则项数 k 的最大值为 ．n-1
3 1
8．（2024·上海徐汇·二模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 Sn = an - （ n是正整数），2 2
则 a5 = .
9 ．（ 2024· 内蒙古包头 · 一模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = 2， a2 = 3，
an+2 = an+1 - an ，则 S21 = ．
四、解答题
3
10．（2024·山东济南·一模）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 = 且 Sn = 2an+1 - 3，令2
b n
2 + n
n = .an
(1)求证： an 为等比数列；
(2)求使bn 取得最大值时的 n 的值.
11．（2024·山东·模拟预测）已知数列 an 满足 a = 2 n， a *1 n+1 - an = d × q ， n N ．
(1)若 q =1， an 为递增数列，且 2， a5 ， a7 + 3成等比数列，求d ；
1
(2)若 d =1， q = ，且 a2n-1 是递增数列， a2n 是递减数列，求数列 an 的通项公式．2

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