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考点 27 函数 y＝Asin(ωx＋φ)（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.结合具体实例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数 ω，φ，A 的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学
模型．
【知识点】
1．简谐运动的有关概念
已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
2π 1 ω
A T＝ f＝ ＝ ωx＋φ φ
ω T 2π
2.用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
0 φ π π φ 3π－ －φ － －φ 2π－φx 2 2
ω ω ω ω ω
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
π
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 确定；对称中心由 ωx＋φ＝
2
kπ，k∈Z 确定其横坐标．
【核心题型】
题型一　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
φ
(1)由 y＝sin ωx 的图象到 y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而
ω
非 φ 个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω 为负时应先变成正值
2π
【例题 1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +

÷ w > 0 的最小正周期为 π，
è 3
给出下列三个结论：
3 f x 0, π① ② f 0 = ； 函数 在 3 ÷上单调递减；2 è
π
③将 y = cos 2x的图象向左平移 个单位可得到 f x 的图象．
12
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由函数的最小正周期求出w ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判
断即可.
【详解】因为函数 f x 的最小正周期为 π且w 0 2π> ，所以T = = π，解得w = 2w ，
所以 f x = sin 2x
2π
+ ÷；
è 3
则 f 0 2π 3= sin = ，故①正确；
3 2
0 x π
2π 2x 2π 4π
2π 4π
当 < < 时， < + < ，因为 y = sin x

3 在
,
3 3 ÷上单调递减，3 3 3 è
所以函数 f x 0, π 在 3 ÷上单调递减，故②正确；è
将 y = cos2x
π π π
的图象向左平移 个单位得到 y = cos 2
12
x + = cos
12 ÷
2x + ÷ ，
è è 6

因为 f x = sin 2x
2π π π π+ ÷ = sin

2x + +

÷ = cos
2x + ÷，所以结论③正确.
è 3 è 6 2 è 6
故选：D
【变式 1】（2024·北京通州·二模）已知的数 f x = sin π wx + ÷（w > 0），若 f x 的最小正
è 6
周期为 π， f x π的图象向左平移 个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的 2
6
倍（纵坐标不变）得到函数 g x 的图象，则 g x = ；若 f x 0, π 在区间 2 ÷上有 3è
个零点，则w 的一个取值为 ．
【答案】 cos x或 sin
π
x + ÷ 6（答案不唯一）
è 2
【分析】由 f x 的最小正周期为 π，可求出 f x = sin π 2x + ÷ ，再根据三角函数的平移和
è 6
π π π wπ π
伸缩变化可求出 g x = cos x ；根据 x 0, 2 ÷ ，求出wx + , + ÷，结合题意可得è 6 è 6 2 6
3π wπ π< + 4π ，解不等式即可得出答案.
2 6
f x π T 2π【详解】因为 的最小正周期为 ，所以 = = πw ，解得：w = 2，
f x sin 2x π= + π所以 ÷ ， f x 的图象向左平移 个单位长度后，
è 6 6
y é= sin 2 可得： ê x
π
+
π ù
÷ + ú = sin

2x
π
+
6 6 2 ÷
= cos 2x，
è è
再把图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 g x 的图象，
所以 g x = cos x ；
π π π wπ π
因为 x 0, ，wx + , + ，
è 2 ÷ 6 6 2 6 ÷ è
f x 在区间 0, π 2 ÷上有 3 个零点，è
3π wπ π所以 < + 4π
17
，解得： < w
23
，
2 6 3 3
则w 的一个取值可以为 6.
故答案为： cos x或 sin x
π
+ 2 ÷
；6（答案不唯一）.
è
【变式 2】（2024·山东·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，函
数 f x = 2sin wx +j w > 0,0 π< j < f x π ÷ ， 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，且
è 2 2
f π ÷ =1，将 y = f x
π
的图象向右平移 个单位得到 y = g x 的图象且 g A = 2，VABC
è 3
的
6
内切圆的周长为 2π．则VABC 的面积的最小值为 .
【答案】3 3
【分析】根据题意求出 f x 的解析式，由平移规律得到 y = g x 的解析式，由 g A = 2得
3
到A ，由面积公式和余弦定理 b2 + c2 - bc = bc - b - c ，借助基本不等式即可求出bc的取
2
值，进而得到面积最小值.
π
【详解】因为函数 f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，
2
所以T = π ，可得w = 2，
所以 f x = 2sin 2x +j ，
f π 2π 2π 1故 ÷ = 2sin

+j

÷ =1

，即 sin +j = ，
è 3 è 3 è 3 ÷ 2
2π j π 2π 5π所以 + = + 2kπ,k Z或 +j = + 2kπ,k Z，
3 6 3 6
π
所以j = - + 2kπ,k Z
π
或j = + 2kπ,k Z ，
2 6
π
因为 0 < j < 2 ，
j π所以 = ，即 f x = 2sin π
6
2x +
6 ÷
，
è
因为将 y = f x π的图象向右平移 个单位得到 y = g x 的图象，
6
g x 2sin 2x π= - 所以 6 ÷ .è
π
由 g A = 2，得 2sin 2A - ÷ = 2，
è 6
所以 2A
π π π
- = + 2kπ,k Z，即 A = + kπ, k Z，
6 2 3
且0
π
< A < π ，所以 A = .3
因为VABC 的内切圆的周长为 2π，
所以VABC 的内切圆的半径为 1，
1
所以 a + b + c 1 1= bc sin π ，所以
2 2 3 a + b
3 3
+ c = bc ，即 a = bc - b - c，
2 2
在VABC 2 2 2 π中，由余弦定理得： a = b + c - 2bccos 3 ，
3
所以 b2 + c2 - bc = bc - b - c ，
2
2bc 3所以 - bc bc - 2 bc ，
2
所以 bc 2 3，即bc 12，
当且仅当b = c = 2 3 时取等号，所以VABC 的面积的最小值为3 3 .
故答案为：3 3
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【变式 3】（2024·全国· 3 1模拟预测）将函数 y = sin2x - cos2x 图象上所有点的横坐标伸长
2 2
π
至原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 f x 的图象．
6
(1)求函数 f x 在区间 0,2024 内的所有零点之和；
(2)若 g x f x= 2 - x ，讨论函数 g x 的单调性．e
【答案】(1) 207690π
(2) g x π 5π 5π 9π在 + 2kπ, + 2kπ
, k Z ÷ 上单调递增，在 + 2kπ, + 2kπ ÷ ,k Z上单调递减
è 4 4 è 4 4
【分析】（1）利用三角恒等变换及平移公式化简可得函数 f x = sinx，利用正弦函数的图象
及性质可得求得 f x = sinx的零点，进而求得结果．
g x 2 sinx 2sin
x π-
（2）由（1）可得， = - x ， g x sinx - cosx
÷
è 4 ，结果三角函数性e = x =e ex
质计算即可求得结果．
3 1 π
【详解】（1）由题可得， y = sin2x - cos2x = sin 2x - ，
2 2 ֏ 6
所以函数 f x = sinx．
根据正弦函数的图象及性质可得， f x = sinx的零点为 x = kπ, k Z ，
所以函数 f x 在区间 0,2024 内的所有零点之和为
0 π 2π 3π 644π 645π 644+ + + + ×××+ = = 207690π．
2
sinx
（2）由（1）可得， f x = sinx，所以 g x = 2 - x ，e
2sin x π-
所以 g x sinx - cosx

= = è 4
÷
．
ex ex
π
令 g x > 0，得 sin x - ÷ > 0，
è 4
2kπ x π π 2kπ, k Z π所以 < - < + ，解得 + 2kπ < x
5π
< + 2kπ, k Z ，
4 4 4
所以函数 g x π 5π 的单调递增区间为 + 2kπ, + 2kπ ÷ , k Z；
è 4 4
令 g x < 0 ，得 sin x
π
- ÷ < 0，
è 4
π 2kπ x π所以 + < - < 2π + 2kπ, k
5π
Z，解得 + 2kπ < x
9π
< + 2kπ,k Z，
4 4 4
5π 9π
所以函数 g x 的单调递减区间为 + 2kπ, + 2kπ ,k Z．
è 4 4 ÷
g x π + 2kπ, 5π + 2kπ , k Z 5π 9π 综上，函数 在 ÷ 上单调递增，在 + 2kπ, + 2kπ4 4 4 4 ÷ ,k Z上单è è
调递减．
题型二　由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
M－m M＋m
(1)求 A，b.确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝ ，b＝ .
2 2
2π
(2)求 ω.确定函数的最小正周期 T，则 ω＝ .
T
(3)求 φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【例题 2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |< π)的部分图象
π
如图所示，将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，则在下列区
6
间上函数 g x 单调递增的是（ ）
é π π ù é3π 5π ù é5π 7π ù é 3π ù
A． ê , B． , C． , D． π, 6 3 ú ê 2 2 ú ê 6 6 ú ê 2 ú
【答案】C
【分析】由 f x π的图象，棱台三角函数的性质求得 f (x) = 2sin(2x - )，进而得到
3
g(x) = 2sin 2x，结合正弦型函数的性质，即可求解.
3T 5π π 3π
【详解】由函数 f x 的图象，可得 = - - ÷ =4 12 3 4 ，解得T = π ，所以w = 2，è
所以 f (x) = 2sin(2x +j) f (
5π) 2sin(2 5π 5π，又由 = +j) = 2，即 sin( +j) =1，
12 12 6
5π j π可得 + = + 2kπ,k
π
Z，即j = - + 2kπ,k Z，
6 2 3
π π
因为 j < π，所以j = - 3 ，所以 f (x) = 2sin(2x - )，3
所以 g(x)
é π π ù
= 2sin 2 π πê x + ÷ - ú = 2sin 2x，令- + 2kπ 2x + 2kπ, k Z，
è 6 3 2 2
π kπ x π解得- + + kπ,k Z，
4 4
所以函数 g x é π- + kπ x π + kπù的单调增区间是 ê ú , k Z . 4 4
故选：C.
【变式 1】（2024·海南·模拟预测）如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为 2，
y t y = Acos(wt +j) A > 0,w > 0,j π π 位移 与时间 满足函数 - , ÷÷ ，点P(0,1),Q(4,1) 在该函
è è 2 2
j
数的图象上，且位置如图所示，则 = .
w
2
【答案】-
3
【分析】由函数图象求出函数解析式，再确定j 与w 的比值.
2π π π
【详解】由图象可知： A = 2，T = 4 = w = （w > 0），所以 y = 2cos t +j ，w 2 ÷è 2
π π
由 f 0 =1 cosj 1= ，又j π
2
- , ÷，所以j = ± .
è 2 2 3
又 y
π π π
= -2sin t +j × = -πsin
t +j ， y | = -πsinj > 0 j π= - .
è 2 ÷ 2 2 ÷ t=0è 3
π
j - 3 2
所以 = π = - .w 3
2
2
故答案为：-
3
【变式 2】（2024·湖北武汉·二模）函数 f x = 2sin 2x +j +1 j < p 的部分图象如图所示，
则j = .
π
【答案】
3
【分析】令 f x = 0，解出 sin 2x 1+j = - ，根据图中零点得到方程解出即可.
2
【详解】令 f x = 2sin 2x +j +1 = 0，则 sin 2x +j 1= - ，
2
π
根据图象得 x = - 4 为函数零点，零点左右函数为上升趋势，
2 π π则 - ÷ +j = 2kp - ,k Z，
è 4 6
则j
π π
= 2kπ + ,k Z，因为 j < p ，则 k = 0，j = ，
3 3
π
故答案为：
3
【变式 3】（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = 3 sin wx +j 的部分图象如图所示，其
中w > 0, j
π
< ，且 ACB = 90° .
2
(1)求w 与j 的值；
(2) 6π若斜率为 的直线与曲线 y = f x 相切，求切点坐标.
4
π π
【答案】(1)w = ，j = -
2 4
6 6
(2) 4k, - ÷÷或 4k +1, ÷÷ k Z
è 2 è 2
1 1
【分析】（1）在Rt△ABC 中，由射影定理得DB长，即 个周期，从而待定w ，再由 f = 0
4 ֏ 2
求解j 即可；
（2）设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线斜率，求解切点坐标.
【详解】（1）
如图，过点C 向 x 轴引垂线交于点D，
由正弦曲线的性质知 AD = 3DB，
由射影定理知CD2 = AD × DB，而CD = 3 ，∴ 3 = 3DB × DB ，
∴ DB =1，
∴T 4
2π
= = π
w ，由w > 0，解得w = .2
w p
1
当 = f = 02 时，由 ÷ ，且由已知图象及五点对应法，è 2
π
得 +j = 2kπ k Z ，
4
j π
π
由 < 2 ，则当
k = 0时，j = - ；
4
π π
所以有w = ，j = - ；
2 4
（2）
由（1）知 f x = 3 sin π x
π
- ÷ ，设切点 x0 , f (x0 ) ，
è 2 4
∴ f x 3 π cos π π= x -

2 è 2 4 ÷
6π π π 2 π π π
则 f x0 = ，∴ cos x0 - = ，则 x - = 2kπ ± k Z ，4 è 2 4 ÷ 0 2 2 4 4
∴ x0 = 4k 或 x0 = 4k +1 k Z 6 6，且 f (4k) = - , f (4k +1) = ，
2 2

4k, 6
6
∴故其切点坐标为 - ÷÷ 或 4k +1, ÷÷ k Z
è 2 è 2
题型三　三角函数图象、性质的综合应用
(1)研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将 ωx＋φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进
行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题
抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
命题点 1　图象与性质的综合应用
【例题 3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0,0 < j < π) 的最小正周期
π π 为 ，且 y = f x 的图象关于点 ,06 ÷中心对称，给出下列三个结论：è
① f 0 3= ；
2
f x 0, π② 函数 在 ÷上单调递减；
è 3
③将 y = cos2x
π
的图象向左平移 个单位可得到 f x 的图象．
12
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
f x sin 2x 2π 【分析】由题意先求出 = + 3 ÷，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得出è
答案.
【详解】因为函数 f x 的周期为 π，所以w = 2，
π
又图象对称中心为 ,0
π
÷，即 sin 2 +j6 ÷
= 0，
è è 6
π
则 +j = kπ,k Z，有j = kπ
π
- ,k Z，
3 3
2π 2π
由0 < j < π ，所以 k =1,j = ，故 f x = sin
3
2x +
3 ÷，è
2π 3
此时 f 0 = sin = ，结论①正确；
3 2
π 2π 2π 4π
当 0 < x < 时， < 2x + < ，函数 f x 3 单调递减，结论②正确；3 3 3
将 y
π
= cos2x π 的图象向左平移 个单位可得图象对应的函数为 y = cos 2x + ÷，12 è 6
sin 2x 2π π π 因为 + ÷ = sin 2x + + ÷ = cos
2x π+
3 ÷
，所以结论③正确．
è è 6 2 è 6
故选：D.
【变式 1】（23-24 高三下· 1 3天津·阶段练习）已知函数 f x = sin2wx + cos2wx(w > 0)，且
2 2
f x 的最小正周期为 π，给出下列结论：
①函数 f x π , 7π 在区间 ÷单调递减；
è 2 12
②函数 f x x π关于直线 = 对称；
12
③把函数 y = sin2x
π
的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y = f x 的图象.
3
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】先将函数 f x 化简为最简形式，然后利用周期求出w 的值，再利用正弦函数的性
质进行判断即可求解.
1
【详解】因为函数 f x = sin2wx 3+ cos2wx = sin 2wx π+ ，
2 2 3 ֏
2π
又 f x 的最小正周期为 π且w > 0，所以T = = π，解得w =1，
2w
f x = sin π 所以 2x + ÷ .
è 3
π x 7π 4π 2x π 3π y sin x
4π
因为 < < ，所以 < + < ，因为 = 在 ,
3π
÷上单调递减，2 12 3 3 2 è 3 2
π π 7π
所以函数 f x = sin 2x + ÷在 ,2 12 ÷上单调递减，故①正确；è 3 è
令 2x
π kπ π kπ π π+ = + , k Z ，解得 x = + , k Z ，所以直线 x = 是函数 f x 的一条对称
3 2 2 12 12
轴，故②正确；
将函数 y = sin2x
p
的图象上所有点向左平移 个单位长度可得到
3
y = sin 2π 2x + ÷ sin
2x π + ÷，故③错误，
è 3 è 3
所以正确的结论序号为：①②.
故选：A.
【变式 2】（2024·青海西宁·模拟预测）将函数 y = 4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原
来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y = f x 的图象，则 f x 的最小正周期为 ，
f 7π ÷ = .
è 18
2p 2
【答案】 / p -2
3 3
2π 7π
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得 f x = 4sin3x，结合T = w 和求出 f è 18 ÷即可
求解.
【详解】由题意知， f x = 4sin3x，
则 f x 2π的最小正周期T = ，
3
f 7π ÷ = 4sin
7π
= -4sin π = -2 .
è 18 6 6
2π
故答案为： ；-2
3
【变式 3】（2023·山西·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < π)的部
分图象如图所示.
(1)求 f x 的解析式；
(2)将 f x π é 7π π ù的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，求 g x 在
6 ê
- , -
12 12ú 上
的值域.
π
【答案】(1) f x = 3sin 2x +

6 ֏
é 3 3 ù
(2) ê-3, .
2
ú

π π
【分析】（1）由图可知 A = 3，根据最小正周期求得w = 2，由图象经过点 ,3÷求得j = ，
è 6 6
即可得出 f x ；
（2）利用图象平移规律得 g x ，根据三角函数的性质求得值域.
【详解】（1）由图可知 A = 3，
2π
f x 4 11π π 的最小正周期T = - ÷ = π ，则T = = πw ，即w = 2 .3 è 12 6
f x π ,3 f π 因为 的图象经过点 ÷，所以 ÷ = 3sin
2 π +j

÷ = 3，
è 6 è 6 è 6
π
解得j = + 2kπ k Z ，因为0 < j < π π，所以j = ，
6 6
故 f x π= 3sin 2x +

÷ .
è 6
é π π ù π
（2）由（1）结合题意可得 g x = 3sin ê2 x - + = 3sin 2x - .
è 6
÷ ÷
6 ú è 6
因为 x
é 7π π ù π é 4π π ù
ê- ,- ，所以 2x - - , - . 12 12 ú 6 ê 3 3 ú
2x π 4π x 7π当 - = - ，即 = - 时， g x 3 3取得最大值 ；
6 3 12 2
π π x π当 2x - = - ，即 = - 时， g x 取得最小值-3 .
6 2 6
g x é 7π
é ù
故 在 ê- ,
π 3 3
- ù
12 12ú 上的值域为 ê
-3, ú .
2
命题点 2　函数零点(方程根)问题
【例题 4】（2023·河南·模拟预测）若关于 x 的方程 sin 2x + 2cos 2x = -2在[0, π) 内有两个不同
的解a , b ，则 cos(a - b )的值为（ ）
A 5 B 5 C 2 5．- ． ．- D 2 5．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得a - b ，进而求得 cos(a - b ) .
【详解】关于 x 的方程 sin 2x + 2cos 2x = -2在[0, π) 内有两个不同的解a , b ，
5
即 sin(2x +q ) 1 cosq 5 2 5= - （ = ,sinq = ，取q 为锐角）
2 5 5
在[0, π) 内有两个不同的解a , b ，
2 5
即方程 sin(2x +q ) = - 在[0, π) 内有两个不同的解a , b ．
5
不妨令0 a < b < π，由 x [0, π)，则 2x +q [q , 2π +q ) ，
所以 sin(2a +q ) 2 5= - ,sin(2b +q ) 2 5= - ，
5 5
所以 sinq = -sin(2a +q ) = -sin(2b +q ) ．则 2a +q = π +q , 2b +q = 2π -q ，
即 2a - 2b = -π + 2q ，
π
所以a - b = - +q , cos(a b ) cos q π 2 5- = -

÷ = sinq = ．2 è 2 5
故选：D．
π
【变式 1】（2022·陕西渭南·一模）若关于 x 的方程 2sin2 x - 3 sin 2x + m -1 = 0在 ,π ÷上有
è 2
实数根，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】[-2,1)
【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关
系,进行求解即可.
【详解】Q 2sin2 x - 3 sin 2x + m -1 = 0，
\ 1- cos 2x - 3 sin 2x + m -1 = 0 ，
即 cos 2x + 3 sin 2x - m = 0，
\ 2sin(2x p ) m p m + = ，即 sin(2x + ) = ，
6 6 2
Q x π ,π 2x p 7p 13p ÷， + ( , )，
è 2 6 6 6
2x p 7p 13p m 7p 13p设 + = t, t ( , )，则 sin t = 在 t ( , ) 上有实数根，
6 6 6 2 6 6
\ m 7p 13p y1 = sin t ， y2 = 在 t ( , ) 的图像有交点，如图2 6 6
由于 sin
13p 1
=
6 2
m 1
由图象可知， -1 < ，即-2 m < 1
2 2
故答案为：[-2,1)
【变式 2】（2022·全国·模拟预测）若方程 sin x cos x - 3 cos2 x 3 1+ = 在 0,p 上的两个不
2 5
等实根为x1，x2，则 cos x1 - x2 = ．
1
【答案】 /0.2
5
【分析】利用二倍角公式及正弦函数的两角差公式化简原方程，利用正弦函数的对称性得到
x1, x2 的关系式即可求解.
【详解】解：
sinxcosx - 3cos2x 3 1+ = sin2x 3 1+ cos2x 3 1 3- × + = sin2x - cos2x = sin 2x p- 1
2 2 2 2 2 2 3 ÷
= ，
è 5
当 x 0,p p p p 1时，- < 2x p 5p- < ．由题意可得 sin 2x1 - ÷ = sin 2x 2 - ÷ = ，根据正弦3 3 3 è 3 è 3 5

2x
p p
1 - ÷ +
2x - 5p 5p
函数的对称性得 3 2 3 ÷è è p ，即 x1 + x2 = ，则 x = - x= 6 2 6 1
，所以
2 2
cos x - x = cos éx - 5p x ù 5p p p p- = cos 2x - = cos 2x - - = sin 2x - 11 2 ê 1 6 1 ÷ú 1 6 ÷ 1 3 2 ÷ 1 3 ÷ = ． è è è è 5
1
故答案为： .
5
2023· · f x sin x cos x 3 cos2 x 3【变式 3】（ 上海宝山 二模）已知函数 = - + ．
2
(1)求函数 y = f x 的最小正周期和单调区间；
π
(2) é ù若关于 x 的方程 f x - m = 0在 x ê0, 2 ú 上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
é π 5π ù
【答案】(1)最小正周期T = π ；单调递增区间为 êkπ - , kπ + k Z ；单调递减区间为 12 12 ú
ékπ 5πê + ,kπ
11p
+ ùú k Z . 12 12
é 3
(2) ê ,12 ÷÷
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法
求函数单调区间；
（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数m 的取值范围．
f x sin x cos x 3 cos2 x 3 1 sin 2x 3 cos 2x sin 2x π【详解】（1） = - + = - =
2 2 2
- ÷，
è 3
y = f x T 2π则函数 的最小正周期 = = π2 ；
令 2kπ
π
- 2x π π- 2kπ + k π 5π Z ，解得 kπ - x kπ + k Z ，
2 3 2 12 12
可得函数 y = f x ékπ π 5π ù的单调递增区间为 ê - , kπ + ú k Z · 12 12
2kπ π 2x π 2kπ 3π令 + - + k Z 5π 11p ，解得 kπ + x kπ + k Z ，
2 3 2 12 12
y f x ékπ 5π ,kπ 11p可得因数 = 的单调递减区间为 ê + +
ù
ú k Z ； 12 12
é π ù é 5π ù é5π π ù
（2）由（1）可知， x ê0, 2 ú 时，
y = f x 在
ê
0,
12 ú
上单调递增，在 ê , 上单调递减， 12 2 ú
x é0, 5π ù π π当 ê ú， 2x -
é
ê- ,
π ù
， f x 3由 - 增大到 1，
12 3 3 2 ú 2
x é5π , π ù 2x π é π 2π当
ù
ê ， - , ， f x 1
3
由 减小到 ，
12 2 ú 3 ê 2 3 ú 2
若关于 x 的方程 f x - m = 0 x π在 é0, ùê 2 ú 上有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为
é 3
ê ,12 ÷÷
命题点 3　三角函数模型
【例题 5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天
轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，
转盘直径为 110m，设置 48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离
地面最近位置进仓，转一周大约需要 30min．某游客坐上摩天轮的座舱 10min 后距离地面高
度约为（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 652 ÷÷
m
è
【答案】A
【分析】以轴心O为坐标原点，与地面平行的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，根据题意，
求得函数 f x = 55sin( π x π- ) + 65，令 t =10时，即可求解.
15 2
【详解】设座舱距离地面的最近的位置为点 P ，以轴心O为原点，与地面平行的直线为 x 轴
建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数 f x = Asin(wx j) b(A 0,w π+ + > > 0, j )表示游客离底面的高度，
2
因为摩天轮的最高点距离地面为120m，直径为110m，且转一周大约需要30min ，
A + b =120, -A + b =10 A 55,b 65,w 2π π周期T = 30， ，所以 = = = = ，
T 15
即 f x = 55sin( π x +j) + 65，
15
当 t = 0min 时，游客在点P(0,-55)，其中以OP
π
为终边的角为- ，
2
所以 f x = 55sin( π x π- ) + 65，
15 2
当 t =10时，可得 f 10 = 55sin(2π π- ) + 65 π= 55sin + 65 = 92.5m
3 2 6
所以，摩天轮的座舱 t =10后距离地面高度约为92.5m .
故选：A.
【变式 1】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的
工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩
腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个
半径为 4 m的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2m .在筒车
转动的一圈内，盛水筒 P 距离水面的高度不低于 4m 的时间为（ ）
A．9 秒 B．12 秒 C．15 秒 D．20 秒
【答案】D
【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【详解】假设 A,O, B所在直线垂直于水面，且 AB = 4 米，如下示意图，
由已知可得OA = OB = 2,OP = OP1 = 4 ，
OB 1
所以 cos P1OB = = P1OB = 60°OP 2 ，处在劣弧P

1P1 时高度不低于 4米，
1
360°
转动的角速度为 = 6° /每秒，
60
120
所以水筒 P 距离水面的高度不低于 4m 的时间为 = 20秒，
6
故选：D.
【变式 2】（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步
增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单
位圆 O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为 2πrad/s ，圆上两点 A，B 始终满足
AOB 2p= ，随着圆 O 的旋转，A，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B 两点
3
的竖直距离为 A，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即 t = 0秒时，
点 A 位于圆心正下方：则 t = 秒时，A，B 两点的竖直距离第一次为 0；A，B 两点的竖
直距离关于时间 t 的函数解析式为 f t = .
1
【答案】 3 | sin(2πt
π
+ ) |
3 3
【分析】以 O 为原点，以 OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示
点 A, B的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.
【详解】以 O 为原点，以 OA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，由于角速
w = 2πrad/s ，
设点 A(cos(2πt
π
- ),sin(2πt π- )) 2p，圆上两点 A、B 始终保持 AOB = ，
2 2 3
则B(cos(2πt
π
+ ),sin(2πt π+ ))，要使 A、B 两点的竖直距高为 0，
6 6
则 sin(2πt
π
- ) = sin(2πt π π 1+ )，第一次为 0 时， 4πt - = π ，解得 t = ，
2 6 3 3
f (t) =| sin(2πt π+ ) - sin(2πt π- ) | 3=| sin 2πt 1+ cos 2πt + cos 2πt |
6 2 2 2
| 3= sin 2πt 3+ cos 2πt |= 3 | sin(2πt π+ ) | .
2 2 3
1 π
故答案为： ； 3 | sin(2πt + ) |
3 3
【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终
边对应的角是关键，特别注意，始边是 x 轴非负半轴
【变式 3】（2023·江西鹰潭·模拟预测）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，
π
圆面上一初始位置为 A 点，t 秒后转到点 B，旋转的角速度为w = rad / s ，在旋转圆面的
30
右侧有一固定相机 C（C，O两点在 AB 的两侧），且OA = 5m， AC = 7m .
(1)记旋转角为q .若q 2n +1 π,2 n +1 π n N ，求 t 的取值范围及弦 AB 的长度；
(2)在（1）的条件下，若 t =110s ，BC = 8m，求OC 的长.
【答案】(1) t 30 + 60n,60 + 60n n π N ； AB =10 sin t 米；
60
(2) 129 米.
【分析】（1）延长 AO 交圆于 D，计算旋转一周的时间，第一次到 D 和第二次到 D 的时间，
由此可得 t 的取值范围，利用圆的性质解VOAB求 AB ；
（2）求出 t =110s 时 AB 的值，再由余弦定理求 ABC ，结合余弦定理可求OC .
【详解】（1）如图所示，延长 AO 交圆于 D，
2π
根据题意可知，旋转一周的时间T = = 60 秒，
w
所以第一次旋转到 D 用 30 秒，第二次旋转到 D 用 30+60 秒，
所以q 2n +1 π,2 n +1 π n N 时，
t 30 + 60n,60 + 60n n N ，
π π
又因为 t + AOB = 2 n +1 π AOB = 2 n +1 π - t ，
30 30
AOB π π
在VOAB中， AB = 2AO ×sin =10sin
é ù
2 ê
n +1 π - tú =10 sin t ， 60 60
π
（2）由（1）知， t =110s 时 AB =10 sin 110 = 5，
60
在VABC 中 ABC 0, π ，由余弦定理易知
2 2 2 2
cos ABC AB + BC - AC 5 + 8
2 - 72 1 π
= = = ABC = ，
2AB × BC 80 2 3
又因为 OA = OB = AB
π 2π
，所以 OBA = ABC = OBC = ，
3 3
在△OBC 中，由余弦定理易知OC 2 = OB2 + BC 2 - 2OB × BC ×cos OBC =129 OC = 129
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）若函数 y = 3 cos wx +j w > 0,-π < j < π 的部分图象如图
所示，M -3, 3 ， N 1, - 3 为图象上的两个顶点.设 MON = q ，其中 O 为坐标原点，
0 q π，则 sin q +j 的值为（ ）
A 6 + 2 B 6 + 2 3 +1 3 +1．- ． C． - D．
4 4 2 2
【答案】A
【分析】首先由已知条件列出方程组求解得j ，再利用向量求出夹角q ，最后求得 sin q +j
即可.
T 2π π
【详解】由图可知， = 4，T = 8 = ，w = ，
2 w 4
ì π
ì 3 cos -3w +j = 3 w = 4
由题意知 í ，解得 í .
3 cos w +j = - 3 j 3π=
4
uuuur uuur
又因为OM = -3, 3 ，ON = 1,- 3 ，且 MON = q ，
uuuur uuur
cosq uOuuMur ×O则 = uu
Nur -6 3= = -
OM × ON 2 3 2 2 ，
因为0 q π，所以q
5π
= .
6
sin q j sin 3π 5π所以 + = + ÷ = sin
3π cos 5π cos 3π sin 5π+
è 4 6 4 6 4 6
2 3 2 1 6 + 2
= -2 2 ÷÷
+ - ÷÷ = - .
è è 2 2 4
故选：A
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, j < π) 的部分图像
f π 7π 如图所示，则 ÷ + f -4 ÷
= （ ）
è è 6
A 2 + 3 B 2 C 0 D 6． ． ． ．
2 2 2
【答案】B
【分析】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果.
T 7π π π
= - = T 2π【详解】由图可得 A = 2 ， ， = = π w = 24 12 3 4 w
，所以 ，
所以 f x π= 2sin 2x +j ，因为 ,0

÷在函数的图像上，
è 3
π π 2π
可得 f ÷ = 2sin 2 +j ÷ = 0 ，解得 +j = π + 2kπ k Z ，
è 3 è 3 3
π
因为 j < π，所以j = ， f x π= 2sin
3
2x + ÷，
è 3
f π f 7π π π 7π π所以 ÷ + - ÷ = 2sin 2 +

÷ + 2sin
-2 +
è 4 è 6 è 4 3 è 6 3 ÷
1 2
= 2 + 2sin -2π = .
2 2
故选：B.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j ，如图 A, B 1是直线 y = 与曲线
2
y f x π 13π 5π= 的两个交点， AB = , f = -1，则 f =（ ）
6 24 ÷ ÷ è è 6
A 0 B 1． ． 2 C
3 3
． D． -
2 2
【答案】C
A x , 1 , B x , 1 π 1【分析】设 1 ÷ 2 ÷ ，依题可得， x - x = ，结合 sin x = 的解可得
è 2 è 2 2 1 6 2
w x x 2π2 - 1 = ，从而得到w f
13
的值，再根据 π ÷ = -1即可得 f (x) = sin

4x
2
- π
3 ÷
，进而
è 24 è 3
5π
求得 f ÷ ．
è 6
1
【详解】设 A x1, , B x ,
1 π
，由 AB = 可得 x
π
- x = ，
è 2 ÷ 2 è 2 ÷ 6 2 1 6
sin x 1 x π 2kπ x 5π由 = 可知， = + 或 = + 2kπ， k Z，由图可知，
2 6 6
当w > 0时，wx2 +j - wx j
5 π π 2π w x x 2π1 + = - = ，即 2 - 1 = ，\w = 4 ；6 6 3 3
5 π 2π 2π
当w < 0 时，wx1 +j - wx2 +j = π - = ，即w x1 - x2 = ，\w = -4；6 6 3 3
综上：w = ±4 ；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设ω = 4，则 f x = sin 4x +j ，
f 13π sin 13π 因为 =24 ÷
+j
6 ÷
= -1，
è è
13π
则 +j = 2kπ
3π 2π
+ , k Z，解得j = - + 2kπ,k Z，
6 2 3
所以 f (x) = sin

4x
2π
- + 2kπ = sin 4x 2- π ，
è 3 ÷ ÷ è 3
f 5π 10π 2 2π 2π 3\ ÷ = sin - π ÷ = sin 2π + ÷ = sin = ．
è 6 è 3 3 è 3 3 2
故选：C.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x = sinwx + 3coswx (w > 0) 在区间[a,b]上是减函
数，且 f a =1， f b = -1，b - a = π ，则w =（ ）
1 2
A． B． C．1 D3 ．23
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确
wa π π定 + 与wb + 的值，两式相减，即可求出w 的值.
3 3
【详解】由题知 f x = sinwx + 3coswx = 2sin wx
π
+ ÷，
è 3
因为 f a =1， f b = -1，
sin wa π 1 sin π+ = 1所以 3 ÷
，
2
wb + = -
è è 3 ÷ 2
又因为 f x 在区间[a,b]上是减函数，
wa π 5π所以 + = + 2kπ k Z π 7π，wb + = + 2kπ k Z
3 6 3 6
π
两式相减，得w b - a = ，
3
因为b - a = π ，所以w
1
= .
3
故选：A.
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数 f (x) = sin(wx +j)（w > 0， |j |< π ）满足
- f π = f π = f 2π ÷ ÷ ÷，且 f x
π π
在
6 2 3
,
6 2 ÷上单调递减，则（ ）è è è è
π π
A．j = B． f (x - )为奇函数
3 12
f x x π kπC． 的对称轴为 = + ， k Z D． f x 在 0, π 上有 3 个零点
12 2
【答案】AC
π 7π
【分析】先通过条件推知 ,0÷是 f x 3 的对称中心，以及 x = 是 f x 的的对称轴，然后è 12
f x π , π f π π π 结合 在 6 2 ÷上单调递减得出 = 1， f x 在 , 上单调递减，再推知è è12 ÷ è12 2 ÷
f x = sin 2x π+ π ÷，至此可直接验证 A 正确，而验证 f ÷是否为 0 即可判断 B，分别解
è 3 è12
sin 2x π方程 +
=1和 sin
2x π+ = 0 即可判断 C 和 D.
è 3 ÷ è 3 ÷
f x π , π π π 1 π π π【详解】由于 在 6 2 ÷上单调递减，- f ÷ = f ，故 + = 对应的点è è 6 è 2 ÷ 2 ÷ è 6 2 3
π ,0 f x f π ÷是 的对称中心，即 ÷ = 0 .
è 3 è 3
同样地由于 f x π π π π 2π在 , ÷上单调递减，故最小正周期T 2 - ÷ = .
è 6 2 è 2 6 3
同时，由于对任意的实数 a，方程 f x = a在一个形如 u,u +T 的区间上至多有两个根，且
在有两个根的情况下，这两个根的平均值 x0 对应的直线 x = x0一定是 f x 的的对称轴，而
f π f 2π= 2π π π π 2π π π 2π π π ÷ ÷， = + < + +T
é
，从而 , , +T ÷，故
è 2 è 3 3 2 6 2 3 2 2 3 ê 2 2
x 1 π 2π 7π0 = + ÷ =
7π
对应的直线 x = 一定是 f x 的的对称轴.
2 è 2 3 12 12
π
现在，由于 ,0
7π π
÷是 f x 的对称中心， x = 是 f x 3 的的对称轴，故 x = 是 f x 的对è 12 12
称轴. 而 f x π , π π π π π T f π π π- = < = 1 f x , 在
è 6 2 ÷
上单调递减， ，故 ， 在
6 12 12 3 2 12 ÷ ÷è è12 2
上单调递减.
π T π π 2π
再由 ,0÷是 f x 的对称中心，就知道 = - ，所以T = π ，故w = = 2 .
è 3 4 3 12 T
π π
此时得到 f x = sin 2x +j ，代入 f π π 12 ÷ = 1得 sin +jè 6 ÷
=1，即 +j = + 2kπ k Z .
è 6 2
π π π
从而j = + 2kπ k Z ，由 j < π知 k = 0，所以j = ，即 f x = sin
3 3
2x + ÷ .
è 3
经验证， f x = sin 2x
π
+
3 ÷
满足条件.
è
然后逐一验证各个选项：
π
我们已经推出j = ，故 A 正确；
3
由 f
π sin π π 1 π - =

÷ - + ÷ = 0，知函数 f x - ÷ 在 x = 0处有定义但不过原点，从而不
è 12 è 6 3 2 è 12
可能是奇函数，B 错误；
由于 f x =1当且仅当 sin 2x π+ =1 2x π π kπ k Z x π kπ ÷ ，即 + = + ，即 = + k Z ，
è 3 3 2 12 2
f x x π kπ故 的对称轴是 = + k Z ，C 正确；
12 2
π
由于 f x = 0当且仅当 sin 2x +

÷ = 0 2x
π
，即 + = kπ k Z x π kπ，即 = - + k Z ，故
è 3 3 6 2
f x 在 0, π π 5π上的全部零点是 , ，只有 2 个，D 错误.
3 6
故选：AC.
6．（2024·山东日照·二模）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的部分图象
如图中实线所示，图中圆C 与 f x 的图象交于M , N 两点，且M 在 y 轴上，则下列命题正
确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期是 π
B．函数 f x 7π π在 - ,-

÷上单调递减
è 12 3
C．函数 f x π π的图象向左平移 个单位后关于直线 x = 2 对称12
5π
D．若圆C 的半径为 ，则 f x 3π= sin 2x π+
12 6 ֏ 3
【答案】ACD
【分析】A 选项，先求出C 点的横坐标，求出最小正周期，A 正确；B 选项，求出
w 2π π= = 2，得到特殊点的函数值得到j = ，得到函数解析式，整体法得到 f x 在
T 3
7π π
- ,-
π
÷上不单调递减，B 错误；C 选项，求出向左平移 个单位的解析式，代入检验得
è 12 3 12
5π π π
到 C 3π正确；D 选项，由 CM = 和勾股定理得到 OM = ，代入 0,12 4 4 ÷
求出 A = ，得到
è 6
函数解析式.
0 2π+
【详解】A 选项，由对称性可知C 点的横坐标为 3 π= ，
2 3
设 f x 1 T π π π的最小正周期为T ，则 = - - ÷ = ，解得T = π ，A 正确；2 3 è 6 2
2π
B 选项，因为w > 0，所以w = = 2，
T
π π- 3 6 ÷, A π , A π 点 ÷在图象上，即点 ÷在图象上，将其代入函数解析式得 Asin +j ÷ = A，
2 ÷ è12 è 6
è
又0 < j < π
π j π j π，故 + = ，解得 = ，
6 2 3
故 f x = Asin 2x
π
+
3 ÷
，
è
7π x π 5π π π当- < < - 时，- < 2x + < - ，
12 3 6 3 3
又 A > 0 ， y = sin z z
5π π
在 - ,-

÷上不单调，
è 6 3
故函数 f x 7π π 在 - ,- ÷上不单调递减，B 错误；
è 12 3
π
C 选项，函数 f x 的图象向左平移 个单位后得到
12
g x = Asin 2x π π+ + ÷ = Asin
2x π+ ÷ = Acos 2x，
è 6 3 è 2
g π 其中 ÷ = Acos π = -A，故 g x π关于直线 x = 对称，C2 正确；è 2
5π 5π
D 选项，若圆C 的半径为 ，即 CM = ，
12 12
x π= π
2 2
+ OM 2 5π 又 M ，故 ÷ = ÷ ，解得 OM
π
= ，
3 è 3 è 12 4
0, π 所以将 ÷代入 f x = Asin
2x π+ π π 3π ÷ 中得， Asin = ，解得 A = ，
è 4 è 3 3 4 6
则 f x 3π= sin 2x
π
+ ，D 正确.
6 è 3 ÷
故选：ACD
三、填空题
7．（22-23 高三上·河北·阶段练习）如图是函数 f x = K sin wx j K 0,w π π+ > > 0,- < j <

÷
è 2 2
的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与 y 轴的交点，B，C 是图象与 x 轴的交点，
D 0, -1 V π πABC 且 ， 的面积等于 ．若 x ,π ÷时，关于 x 的方程[ f (x)]2 - (m +1) f (x) + m = 02 è12
恰有 3 个不同的实数根，则 m 的取值范围是 ．
【答案】[-1,0]U{-2,2}
π
【分析】根据三角函数的图象特征可求解析式为 f (x) = 2sin 2x - ÷，根据 f x =1以及
è 6
f (x) = m 有一共 3 个交点即可求解.
【详解】由题意可得K = 2, S
1 1 π
△ABC = | BC | ×yA = | BC | ×2 = ，2 2 2
设 f (x)
T 2π π
的最小正周期为 T，则 = =| BC |= ，即w = 2．所以 f (x) = 2sin(2x +j) ，又图
2 2w 2
π π π
象过点 D(0,-1)，则 f (0) = 2sinj = -1，又因为- < j < ，所以j = - ，所以
2 2 6
f (x) = 2sin 2x π- ÷，
è 6
x π ,π 2x π 0,11π π当 ÷时， - ÷， f (x)

在 ,π

上先增后减再增，且
è12 6 è 6 è12 ÷
f π = 0, f π 2 π ÷ ÷ = 2, f (π) = -1，由[ f (x)] - (m +1) f (x) + m = 0，解得 f (x) = 1在 ,π12 3 12 ÷
上有 2
è è è
个不同的实数根，所以 f (x) = m需要有 1 个实数根，此时-1 m 0 ，或m = ±2，故 m 的取
值范围为[-1,0]U{-2,2}．
故答案为：[-1,0]U{-2,2}
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx + j w > 0,0 < j < π 的部分图象如图所
示，将 f x 2图象上所有点的横坐标缩小为原来的 m > 0 ，纵坐标不变，得到 g x 的图
m
象，若 g x 在区间 0, π 上恰有两个极大值点，则实数 m 的取值范围是 ．
25 49ù
【答案】 ,
è 12 12 ú
【分析】结合图象求得 f x 的最小正周期，即可求得w = 2，然后结合图象上的点的坐标及
0 < j < π j 5π可求得 = ，得到 f x 的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到 g x
12
的解析式，最后利用正弦函数的图象求得 m 的取值范围．
【详解】设 f x 1 13π 7π π的最小正周期为 T，则由图象知 T = - = T = π，
4 24 24 4
2π
所以w = = 2，则 f x = sin 2x +j ，
T
f x x 13π由 在 = 处取得最小值，可得 2 13π 3π +j = + 2kπ， k Z，
24 24 2
5π
得j = + 2kπ ， k Z．因为0 < j < π
5π
，所以j = ，
12 12
所以 f x = sin 2x 5π +

÷ ；
è 12
ìw 7π +j = π + 2kπ 24 5π
（或由题意可得 í ， k Z，亦可得 f x = sin 13π 3π 2x + ÷ ） w +j 12= + 2kπ è
24 2
g x 5π= sin mx +

12 ÷
，
è
由 x 0, π mx 5π 5π，得 + ,mπ 5π+ ，
12 ֏ 12 12
5π mπ 5π 9π 25 m 49所以由题意得 < + ，解得 < ，
2 12 2 12 12
25 , 49 ù即实数 m 的取值范围是 ．
è 12 12 ú
25 , 49 ù故答案为： ú .è 12 12
9．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天轮半径为 80 米，建成时为世界第一高摩天轮，成
为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为 30 分钟，甲乙两人相差 10 分钟坐上摩天
轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是 .
【答案】 é 0,80 3ù
【分析】由已知设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为 t ， t +10，得到甲乙两人坐上摩天轮转
π π 2π
过的角度，分别列出甲乙离地面的高度 h1 = 80 -80cos t ， h2 = 80 -80cos15
t +
15 3 ÷
，然
è
π π
后得到 h1 - h2 = 80 3 sin t + ÷ ，由 t 的取值范围即可求解.
è15 3
【详解】设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为 t ， t +10，
2π π 2π π 2π
则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为 t = t ， t +10 = t + ，
30 15 30 15 3
π
则甲距离地面的高度为 h1 = 80 -80cos t ，15
π 2π
乙距离地面的高度为 h2 = 80 -80cos t + ÷，
è15 3
则 h1 - h2 = 80 -80cos
π t -80 + 80cos π 2π
15
t +
è15 3 ÷
80cos π t 2π= + ÷ -80cos
π t = 80 cos π t cos 2π - sin π t sin 2π - cos π t
è15 3 15 15 3 15 3 15
= 80 3 cos π t 3 sin π- - t = 80 3 3 cos π t 1 π+ sin t = 80 3 sin π t π+
2 15 2 15 2 15 2 15 è15 3 ÷
0 π t π 7π因为0 t 30 ，所以 + ，所以0 sin
π
t
π
+ ÷ 1，15 3 3 è15 3
即 h1 - h é0,80 3ù2 .
故答案为： é 0,80 3ù .
四、解答题
10．（23-24

高三上·山西·阶段练习）已知函数 f (x) = 2sin(wx + j) w
π
> 0,|j |<
2 ÷的部分图象如图è
所示．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2) f (x) é0,
π ù
求 在 ê 2 ú 上的值域．
π
【答案】(1) f (x) = 2sin 2x -

3 ֏
(2)[- 3,2]
T 2π= 2 f (x) x 5π π【分析】（1）根据 = j = -| w | 得到w = ，根据 的图象关于直线 对称得到 3 ，即12
可得到 f x 的解析式；
（2）根据正弦型函数的单调性求值域即可.
5π π
【详解】（1）由图可得， f (x) 的最小正周期T = 4

-12 6 ÷
= π ．
è
2π
因为T = | w | ，且w > 0，所以w = 2．
因为 f (x)
5π
的图象关于直线 x = 对称，
12
所以2
5π
+j π= + 2kπ,k Z π，解得j = - + 2kπ,k Z．
12 2 3
因为 |j |
π π
<
2 ，所以
j = -
3 ．
故 f (x) = 2sin 2x
π
-
3 ÷．è
0 x π π 2x π 2π（2）由 ，得- - ．
2 3 3 3
2x π π x 5π当 - = ，即 = 时， f (x) 取得最大值，最大值为 2；
12 3 2
当 2x
π π
- = - ，即 x = 0时， f (x) 取得最小值，最小值为- 3 ．
3 3
故 f (x)
é π ù
在 ê0, 上的值域为[- 3,2]． 2 ú
11．（2023·四川绵阳·一模）已知函数 f (x) = Asin(wx +j)

A > 0,w > 0,|j |
π
< 的部分图象如
è 2 ÷
图所示．
(1)求函数 f (x) 的解析式；
f (x) π(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 g(x)的图象，求函数 y = g(x) 在 x é0,
p ù
3 ê 2 ú
上的单调递减区间．
【答案】(1) f (x) = 3sin 2x
π
+
è 3 ÷
é5π
(2) ê ,
π ù
12 2 ú
【分析】（1）根据函数图象求出 A = 3 ，T = π ，进而得出w .根据“五点法”，即可求出j 的
值；
（2）先求出 g(x) = 3 sin
π p p 2p
2x - 3 ÷，根据已知得出
- 2x - .结合正弦函数的单调性，
è 3 3 3
π π 2π
解 2x - ，即可得出答案.
2 3 3
T 5π π π
【详解】（1）由图易知 A = 3 ， = - = ，2 6 3 2
2π 2π
所以T = π ，w = = = 2 ．
T π
T π
易知 = ，故函数 f (x) 的图象经过点M
π , 3
4 4 12 ÷
，
è
3 sin 2 π 所以 + j ÷ = 3 ．
è 12
j π π又 < ，∴j = ．
2 3
∴ f (x) 3 sin 2x
π
= +

÷ ．
è 3
g(x) 3 sin é2 x π π ù= - + = 3 sin π （2）由题意，易知 ê 3 ÷ 3 ú
2x - ÷，
è è 3
0 x p p 2x p 2p因为 时，所以- - .
2 3 3 3
π 2x π 2π 5π π解 - 可得， x ，
2 3 3 12 2
g(x) = 3 sin 2x π- 此时 3 ÷单调递减，è
é5π
ê ,
π ù
ú
故函数 y = g(x) 的单调递减区间为 12 2
【综合提升练】
一、单选题

1．（2024·四川·模拟预测）已知函数 f x = sin wx -j w > 0,0 < j
π
< ÷的部分图象如图所
è 2
示，则下列结论正确的是（ ）．
x 2πA．当 , π

÷时， f x 3的最小值为 -
è 3 2
B． f x é π在区间 ê ,
π ù
上单调递增
4 2 ú
C． f x 的最小正周期为 2π
π
D． f x 的图象关于直线 x = 3 对称
【答案】D
【分析】先由函数图象得到函数解析式，A 选项，整体法求解函数的值域；B 选项，整体法
2π π
求解函数单调性；C 选项，利用 = π 得到 C 正确；D 选项，代入得到 f ÷ =13 ，
D 正确.
w è
【详解】由图可知， f 0 1= sin -j = - ，
2
ìw 5π - π ÷ - = 2kπ - π,k Z
π π è 12 6
又因为 0 < j < j =2 ，所以 ，所以6 í
，
0 5π 2π -

-
<
è 12
÷
2w
所以w = 2，即 f x sin π= 2x - ÷．
è 6
2π π 7π 11π é 1
对于 A：当 x , π ÷， 2x - 3 6
, ÷，∴ f x 6 6 ê-1, - 2 ÷，A 错误；è è
é π
对于 B： x ê ,
π ù π é π 5π ù
ú ， 2x - ê , ú ， 4 2 6 3 6
é π π ù
由于 y = sin z 在 z ê , ú 上单调递增，在 z
π
éê ,
5π ù
3 2 2 6 ú
上单调递减，

所以 f x é π在 ê ,
π ù
ú上先增后减，B 错误； 4 2
2π
对于 C： f x 的最小正周期为 = π ，C 错误；
w
π π π
x π 对于 D：当 = 3 时，
2x - = ，故 f =1，
6 2 3 ֏
所以 f x π的图象关于直线 x = 3 对称，D 正确，
故选：D．
1 π
2．（2024·陕西渭南·三模）将函数 y = 2sin x + ÷的图象向左平移j j > 0 个单位长度，
è 2 4
所得图象关于原点对称，则j 的值可以为（ ）
π π 3π 3π
A． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换，整理变换之后的函数解析式，结合三角函数的奇偶性，
可得答案.
é1 π ù
【详解】由题意可知函数 y = 2sin ê x +j + ú = 2sin
1 x 1 π + j +

÷ 的图象关于原点对称，
2 4 è 2 2 4
1
则 j
π π
+ = kπ k Z ，整理可得j = - + 2kπ k Z ，
2 4 2
k 3π当 =1时，j = .
2
故选：D.
3．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，
是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为 16 米，入水深度 4 米，为了计算水车
的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点 A）做上记号，经过 60 秒该水斗到达水
车最顶端（图中点 B），再经过 11 分 20 秒，做记号的水斗与水面的距离为 n 米，则 n 所在
的范围是（ ）
A． 0,4 B． 4,8 C． 8,10 D． 10,12
【答案】B
34
【分析】理解题意，可列出时间 x（分钟）后距离水面高度 y 满足关系，从而可将 x = 代
3
入即可得出结论.
【详解】以水面与水车的交线为 x 轴，过水车轴垂直水面的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，
2p
水斗从 A 转到 B，则转过的角为 3 ，从点 B 开始，记水斗经过时间 x（分钟）后距离水面
高度 y 满足关系； y = 8sin
2p p
x +
1 34
÷ + 4，又当 x =11+ = 分钟时，
è 3 2 3 3
y = 8sin 2p 34 p + ÷ + 4 = 8sin
p
+ 4 4,8 ．
è 3 3 2 18
故选：B．
4．（2024·广东广州·二模）已知函数 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |
π
< )的部分图象如图所示，
2
若将函数 f (x) 的图象向右平移q (q > 0)个单位后所得曲线关于 y 轴对称，则q 的最小值为
（ ）
π π 3π π
A． B C D8 ． ． ．4 8 2
【答案】A
【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出w 和j ，再根据图象的平移变换，
以及图象的对称性即可得解.
π π 2 π
【详解】由 f ( ) = 1，得 sin( w +j) = ，又点 ( ,1) 及附近点从左到右是上升的，则
4 4 2 4
π w +j π= + 2kπ,k Z，
4 4
f (5π由 ) = 0，点 (
5π ,0)及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得
8 8
5π w +j = π + 2kπ,k Z，
8
π
联立解得w = 2，j = - + 2kπ,k
π π
Z，而 |j |
π
<
2 ，于是
j = - ， f (x) = 2sin(2x - )，
4 4 4
π
若将函数 f (x) 的图像向右平移q (q > 0)个单位后，得到 y = sin(2x - 2q - )，
4
则-2q
π π 3π kπ
- = - kπ,k Z ，而q > 0，因此q = - + ,k N ，
4 2 8 2
所以当 k =1时，q π取得最小值为 .8
故选：A
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, π < j < 2π)的部分
π 5π
图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为 2，且图象经过点 0, -1 , ,13 ÷，则 f - =è è 6 ÷
（ ）
A． 3 B．1 C．－1 D．- 3
【答案】A
π
【分析】先通过图象经过点 0, -1 , ,1÷列方程求出w,j ，进而可得 f x 的解析式，再代
è 3
x 5π入 = - 计算即可.
6
【详解】由已知得 A = 2，
所以 f x = 2sin wx +j ，
0, 1 , π又图象经过点 - ,1

3 ÷
，
è
ì f 0 = 2sinj = -1 ì sinj
1
= -
2
则 í f π
，即 ，
÷ = 2sin
π
w +j

÷ =1
í
π 1
è 3 è 3 sin w +j ÷ = è 3 2
又 0, π-1 为单调减区间上的点， ,1

÷为单调增区间上的点，且在一个周期内，
è 3
ìj 5π= - + 2kπ
6
所以 í ,k Z
π
，
w π+j = + 2kπ
3 6
π
两式相减得 w = π，所以w = 3，又 π < j < 2π ，
3
7π
所以j = ，
6
f x = 2sin 3x 7π+ 所以 ÷ ，
è 6
f 5π 2sin 5π 7π 4π 所以 - ÷ = - + ÷ = 2sin - ÷ = 2sin
2π
= 3 .
è 6 è 2 6 è 3 3
故选：A.
6．（2024·甘肃酒泉·三模）函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, -π < j < 0 ，其部分图象如
图所示，则wj =（ ）
5π 5π 10π
A．- B - C - D
5π
． ． ． -
2 3 3 6
【答案】B
2π
【分析】根据最值可得 A =1，最小正周期可得w = 2，分析可知 x = 为 f x 3 的最大值点，
j 5π进而可得 = - ，即可得结果.
6
【详解】设 f x 的最小正周期为T ，
T 11π 5π π
由题意可知： A =1， = - = ，即T = π ，
2 12 12 2
2π
且w > 0，则w = = 2，
T
可得 f x = sin 2x +j ，
5π 11π
+
由图象可知： x = 12 12 2π f x= 为 的最大值点，
2 3
4π j 2kπ π则 + = + , k Z ，解得j = 2kπ
5π
- , k Z，
3 2 6
且-π < j < 0 k
5π 5π
，可知 = 0,j = - ，所以wj = - .
6 3
故选：B.
π
7．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知函数 f (x) = 3sin 2x - ÷ - 4cos
2x π -

÷，将 f (x) 的
è 3 è 3
π
图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象．若x1，x2是关于 x 的方程 g(x) = a6
é π ù π
在 ê0, 2 ú 内的两个不同的根，则
sin + x1 + x2 ÷ =（2 ） è
- 3 3 4 4A． B． C．- D．
5 5 5 5
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 f (x) ，根据图象的平移变换可得 g(x)的表达式，再结合题意
π
利用正弦函数的对称性可得 x1 + x2 = +j ，即可求得答案.2
π
【详解】 f (x) = 3sin 2x - ÷ - 4cos
π π
3
2x - ÷ = 5sin 2x - -j ÷，
è è 3 è 3
其中j
3 π
为辅助角， sinj
4
= ， cosj = j
0, ，
5 5 ÷÷è è 2
则 g(x) = f

x
π
+ ÷ = 5sin
é2 ê x
π π
+ ÷ - -j
ù
ú = 5sin(2x -j)，è 6 è 6 3
当 x
π
é ùê0, 时， 2x -j [-j, π -j]，-j
π - ,0 ， π -j
π , π ，
2 ú ÷ ÷è 2 è 2
x x é因为 0,
π ù
1，x2是关于 的方程 g(x) = a在 ê 2 ú 内的两个不同根，
2x -j + 2x -j π π
所以 1 2 = x1 + x2 = +j ，2 2 2
sin π因此 + x1 + x

2 ÷ = sin(π
4
+j) = -sinj = - ．
è 2 5
故选：C．
π
8．（2024·重庆·模拟预测）将函数 f x = sin 2x -

÷的图象向右平移j j > 0 个单位后，所
è 3
得图象关于坐标原点对称，则j 的值可以为（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
【答案】B
π
【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得 2j + = kπ，k Z ，解方程即可得
3
出答案.
【详解】因为 f x 向右平移j 个单位后解析式为 y=sin 2x
π
- 2j - ÷，
è 3
又图象关于原点对称，
2j π\ + = kπ π kπ π，k Z，\j = - + ,k Z，Qj > 0，\k =1时，j = ，
3 6 2 3
故选：B.
二、多选题
π
9．（2024·安徽合肥·三模）已知 x1, x2 是函数 f (x) = 2sin wx - ÷ (w > 0) 的两个零点，且 x1 - x
è 6 2
π
的最小值是 ，则（ ）
2
π
f (x) é0, ùA． 在 ê ú 上单调递增 3
B． f (x)
π
的图象关于直线 x = - 对称
6
C． f (x) 的图象可由 g(x) = 2sin 2x
π
的图象向右平移 个单位长度得到
6
π
D． f (x)
é
在 ê , π
ù
2 ú上仅有
1 个零点

【答案】ABD
【分析】依题意可得 f (x) 的最小正周期T = π ，即可求出w ，从而得到 f x 解析式，再根据
正弦函数的性质一一判断即可.
π 2π
【详解】由题意可知，函数 f (x) 的最小正周期T = 2 = ，\w = 2，
2 w
\ f (x) = 2sin 2x π -

÷．
è 6
é π ù
对于A ，当 x ê0, ú 时， 2x
π π π
- é- , ù
3 6 ê 6 2 ú
，

π
因为 y = sin x
é π π ù
在 ê- , ú 上单调递增，所以 f (x)
é
在 ê0,
ù
6 2 ú 上单调递增，故
A 正确；
3
π é π π ù
对于 B，因为 f - ÷ = 2sin ê2 - ÷ - ú = 2sin
π-
6 6 6 2 ÷
= -2，
è è è
所以 f (x)
π
的图象关于直线 x = - 对称，故 B 正确；
6
对于 C，将 g(x) = 2sin 2x
π
的图象向右平移 个单位长度得到：
6
y 2sin 2 x π= - ÷ = 2sin
2x π-
6 3 ÷
f (x)，故 C 错误；
è è
é π ù π 5π 11π
对于 D，当 x ê , πú 时， 2x -
é , ù π2x 7πê ú，仅当 - = π ，即 x = 时， f (x) = 0 ， 2 6 6 6 6 12
π
即 f (x)
é
在 ê , π
ù
2 ú上仅有
1 个零点，故 D 正确．

故选：ABD．
10．（2024·浙江金华·三模）已知 f x = coswx + 3sinwx w > 0 在 0, π 上是单调函数，且
y = f x 的图象关于点 -π,0 对称，则（ ）
A．若 f x1 - f x2 = 4，则 x1 - x2 = 6πmin
B． f x 的图象的一条对称轴方程为 x = 2π
C．函数 y = f x 在 -π,5π 上无零点
D．将 f x 的图象向左平移 π个单位长度后得到的函数为偶函数
【答案】ABC
π π
【分析】利用 y = f x 在 0, π 上单调，可得wπ + ，再根据 y = f x 的图象关于点
6 2
-π,0 w 1 k f x 2sin(1 x π对称，可得 = - ，进而可得 = + )，结合每个选项计算可判断其正
6 6 6
确性.
【详解】 f x = coswx + 3sinwx 2(1 coswx 3= + sinwx) = 2sin(wx π+ )，
2 2 6
x 0, π π π π当 ，可得 wx + wπ + ，又 y = f x 在 0, π 上单调，
6 6 6
wπ π π 0 w 1所以 + ，解得 < ，
6 2 3
π 1
又 y = f x 的图象关于点 -π,0 对称，所以-wπ + = kπ，解得w = - k ，
6 6
w 1 f x 2sin(1 π当 k = 0时， = ，符合题意，所以 = x + )，
6 6 6
对于 A：若 f x1 - f x2 = 4，则可得 f x1 , f x2 分别为函数 y = f x 的极大值与极小值，
x1 - x
1 T 1 2π= = = 6π
可得 2 min 2 2 1 ，故 A 正确；
6
f 2π = 2sin(1 2π π+ ) = 2，所以 f x 的图象的一条对称轴方程为 x = 2π ，故 B 正确；
6 6
因为 x -π,5π 1 π，所以0 < x + < π，所以函数 y = f x 在 -π,5π 上无零点，故 C 正确；
6 6
将 f x 的图象向左平移 π个单位长度后得到的函数为
g(x) 1 π 1 π= f x = 2sin[ (x + π) + ] = 2sin( x + ) ，
6 6 6 3
所以 f x 的图象向左平移 π个单位长度后得到的函数不为偶函数，故 D 不正确.
故选：ABC.
11．（2024·河北石家庄·三模）函数 f x = 4sin wx j 0 π π+ < w 2,- < j <

÷的部分图象如
è 2 2
图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．j
π
= -
6
B． f x 的图象关于直线 x = π 对称
f x 1 2πC． = 4cos x -

÷
è 2 3
D．若方程 f x = 2在 0, m 26π上有且只有 5 个根，则m ,10π
ù
è 3 ú
【答案】ACD
【分析】根据图象可求得函数 f x 的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.
1 π π
【详解】对于 A，由 f 0 = -2，得 4sinj = -2，即 sinj = - ，又- < j < ，
2 2 2
\j π= -
6 ，故
A 正确；
π π wπ π
对于 C，又 f x 的图象过点 ,0÷，则 f ÷ = 0 ，即 sin - = 0
è 3
，
è 3 3 6 ÷ è
wπ π 1 1
\ - = kπ，即得w = 3k + ， k Z ，又0 < w 2，\w = ，
3 6 2 2
f x = 4sin 1所以 x
π
- ÷ = 4sin
π 1 2π 1 2π
+
x - ÷÷ = 4cos x -

÷ ，故 C 正确；
è 2 6 è 2 è 2 3 è 2 3
1 π π π π
对于 B，因为 f x = 4sin x -2 6 ÷ ，而 f π = 4sin - ÷ = 4sin = 2 3，è è 2 6 3
故直线 x = π 不是函数 f x 的对称轴，故 B 错误；
f x 2 cos 1 x 2π= - 1对于 D，由 ，得 ÷ = ，
è 2 3 2
解得 x = 2π 4kπ 2π+ 或 + 4kπ， k Z3 ，
f x = 2 0, m 2π ,2π,14π ,6π, 26π方程 在 上有 5 个根，从小到大依次为： ，
3 3 3
26π
而第 7 个根为10π ，所以 < m 10π ，故 D 正确.
3
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·江苏· 1模拟预测）将函数 f x = sin 2x +j 图象上的每个点的横坐标变为原来的 2
π
倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 y 轴对称，写
6
出一个符合条件的j 的值 .
π
【答案】 - 6 （答案不唯一）
【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参
数j 的值.
【详解】将函数 f x = sin 2x +j 1图象上的每个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），
π
再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象对应的解析式为
6
g x sin 4 x π 2π= + 6 ÷ +j ÷ = sin 4x + +j ÷，è è è 3
由题意 g x 的图象关于 y 轴对称，
2π
所以 +j
π kπ,k Z π π= + ，解得j = kπ - ， k Z ，令 k = 0，得j = - .
3 2 6 6
π
故答案为： - 6 （答案不唯一）
.
13．（2024·贵州贵阳·一模）函数 f (x) = Asin(wx +j)(A > 0,w > 0,0 < j < π)的部分图象如图所
示，已知 f (x1) + f (x2 ) = 0，且 | x x |
π π
2 - 1 < ，则 f (x1 + x2 + ) = ．2 6
【答案】1
【分析】先求出 f x 的解析式，再根据 f x1 + f x2 = 0得到 x1 + x
π
2 = - + kπ, k Z，从而6
π
得到 f x1 + x2 +

÷的值.
è 6
4 11π π
【详解】由函数的部分图象得 A = 2，函数 f (x) 的周期T = ( - ) = π ，w = 2，
3 12 6
即 f (x) = 2sin(2x +j) ，由 f (
π) = 2sin(π π π+j) = 2，得 +j = 2kπ + ,k Z，而0 < j < π ，
6 3 3 2
π
于是j = ， f (x) = 2sin(2x
π
+ )，由 f (x1) + f (x2 ) = 0，得 sin(2x
π
1 + )+sin(2x
π
2 + ) = 06 ，6 6 6
π π
整理得 sin(2x1 + ) = sin(2x6 2
+ + π) ，
6
2x π π因此 1 + + 2x2 + + π = π + 2nπ, n Z 2x
π 2x π或 1 + = 2 + + π + 2nπ,n Z，6 6 6 6
π π
即 x1 + x2 = - + nπ,n Z 或 x1 = x2 + + nπ, n Z与 | x2 - x1 |
π
< 矛盾，
6 2 2
π
于是 x1 + x2 = - + nπ,n
π
Z ， x1 + x2 + = nπ, n Z，6 6
π π
所以 f (x1 + x2 + ) = 2sin(2nπ + ) =1 .6 6
故答案为：1
【点睛】思路点睛：依据图象求解析式时，要遵循“两看一算”即看周期与振幅，利用对称轴
算初相位，另外，已知三角函数值的关系要求自变量的关系时，要利用诱导公式化成同名的
三角函数的相等关系，再依据终边的位置关系得到自变量的关系.
f x = Asin wx +j 14．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 A > 0,w > 0, j
π
<
2 ÷
的部分
è
图象如图所示，将函数 f x π图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2
4
π
倍，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 y = g x 的图象．若方程 g x = m在
12
é π
ê- ,0
ù
ú 上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为 ． 2
【答案】 -2, - 3ù
2 10 1
【分析】易得 A =1，再由点 ,1÷ , , - ÷在 f x 的图象上，代入函数解析式求得
è 3 è 3 2
f x = sin π x
π π
+ ÷，再利用伸缩变换和平移变换得到 g x = 2sin 2x + ÷，作出其图象，
è 2 6 è 3
利用数形结合法求解．
【详解】解：由 f x 的部分图象，可得 A =1．
2 ,1 10 1 2 10 1由图可知点 3 ÷
, , - ÷在 f x 的图象上，则 sin w +j ÷ =1， sin w +j3 2 3 3 ÷ = - ，è è è è 2
w 2 j π w 10 j 2π π π π由五点作图法可得 + = ， + = - ，解得w = ,j = ，则
3 2 3 6 2 6
f x π π= sin x + ÷．
è 2 6
将函数 f x π图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2 倍得到
4
y = 2sin 2x π+ ÷的图象，
è 6
π π
再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 g x = 2sin
12
2x +
3 ÷
的图象．
è
作出函数 g x 的部分图象如图所示，
由根据函数 g x 的图象知：
é π ù
当-2 < m - 3 时，直线 y = m与函数 g x 在 ê- ,0ú 上的图象有两个交点， 2
é π ù
即方程 g x = m在 ê- ,0 上有两个不相等的实数根． 2 ú
故答案为： -2, - 3ù
四、解答题
15．（23-24 高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数
f x = 3sin wx wx +j π+j +1- 2cos2 ÷ w > 0, j < ÷ 为奇函数，且 f x 图象的相邻两条
è 2 è 2
π
对称轴间的距离为 .
2
(1)求 f x 的解析式与单调递减区间；
π
(2) 1将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 2 （纵坐标不变），6
得到函数 y = g x 的图象，当 x 0,
π 2
÷ 时，求方程 2g x + 3g x - 3 = 0 的所有根的和.
è 2
é π 3π
【答案】(1) f x = 2sin2x， ê + kπ, + kπ
ù
ú ,k Z 4 4
5π
(2) .
6
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得 y = g x 的函数表达式，解方程求得 g x 的值，利用换元思想，
结合三角函数的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：
f x = 3sin wx +j wx +j+1- 2cos2 ÷ = 3sin wx +j - cos wx +j = 2sin

wx j
π
+ - ,
è 2 ÷ è 6
因为 f x π图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
2
所以 f x 的最小正周期为T = π ，即可得w = 2，
f x j π又 为奇函数，则 - = kπ,k Z，
6
j π π又 < ，所以j = ，故 f x = 2sin2x .
2 6
π 2kπ 2x 3π令 + + 2kπ, k Z
π
，得 + kπ
3π
x + kπ, k Z，
2 2 4 4
所以函数 f x é π 3π ù的递减区间为 ê + kπ, + kπú ,k Z . 4 4
（2）将函数 f x π π 的图象向右平移 个单位长度，可得 y = 2sin 2x - 3 ÷ 的图象，6 è
1
再把横坐标缩小为原来的 2 ，得到函数
y = g x π= 2sin 4x -

÷的图象，
è 3
又 2g 2 x + 3g x - 3 = 0 ，则 g x = - 3 g x 3或 = ，
2
即 sin 4x
π 3
- ÷ = - 或 sin 4x
π
-
3
3 2 3 ÷
= .
è è 4
π π π 5π
令 z = 4x
π
- x 0, z = 4x - - , ，当 时， ，
3 2 ÷ 3 ÷è è 3 3
画出 y = sinz 的图象如图所示：
3 sinz = 的两个根 z1, z
3 3 π
2 对应的点
4
z1, ÷÷ , z2 , ÷÷关于直线 z = 对称，即 z1 + z2 = π，
è 4 è 4 2
4π
sinz 3= - 有 z3 = ，2 3
π π π
sin 4x
π 3
- = 在 0, ÷上有两个不同的根 x , x , 4x - + 4x - = π ，
è 3 ÷ 4 è 2
1 2 1 3 2 3
x x 5π所以 1 + 2 = ；12
5π
又 sin 4x
π 3
- ÷ = - 的根为 ，
è 3 2 12
2 π 5π
所以方程 2g x + 3g x - 3 = 0 x 在 0,

÷ 内所有根的和为 .
è 2 6
p
16．（2024·福建三明·三模）已知函数 f (x) = sinwx + cos(wx + )（其中w > 0）其中图象的
6
p
两条相邻对称轴间的距离为 .
2
(1)若 f (x) 在 (0, m)上有最大值无最小值，求实数m 的取值范围；
p
(2)将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍
6
（纵坐标不变），得到 g(x)的图象，设 h(x) g(x)
1
= + x ，求 h(x) 在 (-2p, p)的极大值点.
2
p , 7p【答案】(1) ù
è12 12 ú
4p
(2) -
2p
和
3 3
【分析】（1）化简函数 f (x) ，利用周期求出 f (x) 解析式，再结合正弦函数图象求解即可.
（2）先根据图象的平移伸缩变换得到 h(x) 的解析式，再求导求其极大值点即可.
p
【详解】（1） f (x) 1= sinwx 3+ coswx = sin(wx + ) (w > 0)
2 2 3
p
因为图象相邻对称轴间的距离为 ，
2
p 2p
所以周期T = 2 = p ，即w = = 2，
2 T
因此 f (x)
p
= sin(2x + )
3 ，
当 x (0,m) 2x
p p p
时， + ( , 2m + )
3 3 3
若 f (x) 在 (0, m)有最大值无最小值，由正弦函数图象得
p 2m p 3p p 7p只需 < + ，解得 < m ，
2 3 2 12 12
即m
p
的取值范围为 ( ,
7p ] .
12 12
（2）将 f (x)
p
的图象向右平移 个单位得 y = sin[2(x
p p
- ) + ] = sin 2x
6 6 3
再将图象所有点横坐标变为原来 2 倍得 g(x) = sin x ，
所以 h(x) = g(x)
x
+ = sin x x+
2 2
h (x) 1= cos x + ， x (-2p,p)
2
令 h (x) = 0得 cos x
1
= - ，
2
解得 x
4p
= - 或 x
2p 2p
= - 或 x = ，
3 3 3
当 x (-2p,
4p
- )时， h (x) > 0， h(x) 单调递增，
3
x ( 4p当 - ,
2p
- )时， h (x) < 0， h(x) 单调递减，
3 3
x ( 2p 2p当 - , )时， h (x) > 0， h(x) 单调递增，
3 3
当 x (
2p ,p )时， h (x) < 0， h(x) 单调递减，
3
4p
所以 h (x)
2p
的极大值点为- 和 .
3 3
17．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w π> 0, j < ÷的部分图
è 2
象如图所示.
(1)
求函数 f x 的解析式；
y = f 2x - m é(2)若函数 在区间 ê0,
π ù
ú 上恰有两个零点 x3 1
, x2 ，求 x1 + x2 的值.

【答案】(1) f x 2sin 2x π= - 3 ÷è
5π
(2) x1 + x2 = 12
【分析】（1）结合五点法作图，由周期得w ，结合最值点可得j ，代入点 0, - 3 的坐标得
A，即可得函数解析式；
g x = f 2x , x é π ù（2）由题意知 ê0, 和 y = m的图象有两个不同交点，作出函数 y = g x 3 ú
é0, π ù在 ê ú 上的图象，结合函数的对称性可得 x1 + x2 的值． 3
2π
【详解】（1）设 f x T 2π π π的最小正周期为T ，则 = - = ，可得T = = π ,
2 3 6 2 w
且w > 0，解得w = 2，
2π π
+
由图象可知：当 x = 3 6 5π f x= 时， 取到最大值，
2 12
5πA 且 > 0 ，则 f = Asin
5π +j = A，
è 12 ÷ ÷ è 6
5π
可得 +j = 2kπ
π π
+ , k Z，解得j = 2kπ - , k Z ，
6 2 3
π j π k 0,j π又因为- < < ，可得 = = - ，则 f x = Asin 2x
π
- ÷ A > 0 ，2 2 3 è 3
且 f x 的图象过点 0, - 3 ，则 f 0 = Asin π- 3 ÷ = - A = - 3 ，解得 A = 2，
è 3 2
f x 2sin 2x π所以 = -

3 ÷
.
è
（2）令 g x = f 2x = 2sin π 4x - ÷，
è 3
由 y = f 2x - m = 0，可得 f 2x = m，
可知 y = f 2x - m的零点等价于 y = g x 与 y = m的图象交点横坐标，
且 g 0 = 2sin π -

÷ = - 3, g
5π
÷ = 2sin
π
= 2, g π ÷ = 2sin π = 0，
è 3 è 24 2 è 3
作出 y = g x é π ù在 ê0, ú 内的图象，不妨设 x1 < x2，如图所示： 3
由图象可知：0 m < 2，且 x1, g x1 , x2 , g x 5π2 关于直线 x = 对称，所以24
x x 2 5π 5π1 + 2 = = .24 12
18 2023· · f x = 2cos wx +j w 0, j π ．（ 海南省直辖县级单位 模拟预测）如图为函数 > <
è 2 ÷
的

π 5π
部分图象，且 CD = ， A - , -2÷ ．4 è 12
(1)求w ，j 的值；
(2)将 f x 3π的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 3 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单
4
位长度，得到函数 g x 的图象，讨论函数 y = g x - a é在区间 ê-π,
π ù
2 ú 的零点个数．
π
【答案】(1)w = 2，j = -
6
(2)答案见解析
5π
【分析】（1）由周期求出w ，根据 A - , -2 求出j ；
è 12 ÷
（2）首先求出 g x é π ù的解析式，函数 y = g x - a 在区间 ê-π, 2 ú 的零点个数即为函数 g x 的
图象与直线 y = a
é
在 ê-π,
π ù 2 2π
2 ú 上的交点个数，由
x 的取值范围，求出 x - 的取值范围，再
3 3
结合余弦函数的图象即可得解.
T π 2π
【详解】（1）根据题意得， = ，故T = π ，w = = 2，故 f x = 2cos 2x +j ．
4 4 T
A 5π将 - , -2
5π π
÷ 代入，得 2 - ÷ +j = -π + 2kπ k Z ，解得j = - + 2kπ k Z ，
è 12 è 12 6
又 j
π π
< ，故j = - ．
2 6
g x 2cos é 2 x 3π π ù 2cos 2 x 2π （2）依题意， = ê - - = - ．
3
4 ÷è 6 ú è 3 3
÷

é π ù é π ù
函数 y = g x - a 在区间 ê-π, 2 ú 的零点个数即为函数 g x 的图象与直线
y = a 在 ê-π, 上 2 ú
的交点个数．
当 x
é
ê-π,
π ù 2 x 2π é 4π , πú时， - - -
ù
ê ú，结合余弦函数图象可知， 2 3 3 3 3
x é-π, π- ù g x x π π - , ù当 ê ú 时， 单调递减，当 ú 时， g x 单调递增， 2 è 2 2
g -π = -1 g π 1 g π 且 ， = ， - = -2，
è 2 ÷ 2 ÷ è
作出函数 g x é在 ê-π,
π ù
2 ú 上的大致图象如图所示．
观察可知，当 a = -2 或-1 < a 1时， y = g x - a 有1个零点；
当-2 < a -1时， y = g x - a 有 2个零点；
当 a < -2或 a > 1时， y = g x - a 有 0 个零点．
19．（2023·陕西安康·一模）已知函数 f (x) = Asin(wx +j) + B

A > 0,w
π
> 0,|j |< ÷的部分图
è 2
象如图所示.
(1)求函数 f (x) 的解析式；
π
(2)将函数 y = f (x) 图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐
4
y g(x) x é0,13π ù标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 = 的图象.当 ê ú时，方程 6
g(x) - a = 0恰有三个不相等的实数根， x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ，求实数 a 的取值范围以及
x1 + 2x2 + x3的值.
f (x) 2sin 2x π【答案】(1) = +

÷ + 3
è 3
(2) a [2,3] x 2x x
14π
， 1 + 2 + 3 = 3
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出 A = 2, B = 3，得到最小正周期，求出
w 2π π= = 2，再代入特殊点的坐标，求出j = ，得到函数解析式；
T 3
π π é π ù
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到 g(x) = 2sin x - ÷ + 3，令 t = x - - , 2π ，换元
è 6 6 ê 6 ú
后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到 a [2,3]，再根据对称性得到
π π π πt1 + t2 = 2 = π, t
3π
2 + t3 = 2 = 3π，相加后得到 x1 - ÷ + 2 x2 - ÷ + x3 - ÷ = 4π，求出答2 2 è 6 è 6 è 6
案.
ìA + B = 5 5 -1 5 +1
【详解】（1）由图示得： í ，解得： A = = 2, B = = 3，
-A + B =1 2 2
T 7 π 1 π π 2π又 = - = ，所以T = π ，所以w = = 2，
2 12 12 2 T
所以 f (x) = 2sin(2x +j) + 3 .
π π π
又因为 f (x)

过点 ,5÷，所以5 = 2sin 2 +j12 ÷
+ 3，即 sin +φ÷÷ =1，
è è 12 è6
π j π π所以 + = + 2kπ,k Z，解得j = + 2kπ,k Z，
6 2 3
|j | p j π又 < ，所以 = ，所以 f (x) = 2sin
2x π+ + 3 .
2 3 3 ֏
π
（2） y = f (x) 图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到
4
f (x) = 2sin é ê2 x
π ù
- + + 3 = 2sin π
4 ÷ 3 ú
2x -
6 ÷
+ 3，
è è
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到
g(x) = 2sin π x - ÷ + 3，
è 6
x é0,13π ù x π é π当 ê 时， - - , 2π
ù
，
6 ú 6 ê 6 ú
t x π π π令 = -
é ù
ê- , 2πú ，则 2sin x - ÷ + 3 = 2sin t + 3，6 6 è 6
令 h(t)
π π π 3π
= 2sin t + 3 t é- , ù ù，在 ê ú上单调递增，在 t , ú上单调递减， 6 2 è 2 2
3π
在 t , 2π
ù
ú 上单调递增，è 2
h π- = 2sin π π 且 ÷ - ÷ + 3 = 2,h ÷ = 2sin
π
+ 3 = 5，
è 6 è 6 è 2 2
h 3π ÷ = 2sin
3π
+ 3 =1,h(2π) = 2sin 2π + 3 = 3 ,
è 2 2
所以 a [2,3]
é 13π ù
时，.当 x ê0, 时，方程 g(x) - a = 0恰有三个不相等的实数根. 6 ú
因为 h(t) - a = 0有三个不同的实数根 t1, t2 , t3 t1 < t2 < t3 ，
t , t π 3π且 1 2 关于 t = 对称， t2 , t3关于 t = 对称，2 2
π 3π
则 t1 + t2 = 2 = π, t2 2
+ t3 = 2 = 3π，2
两式相加得： t1 + 2t2 + t3 = 4π，
x π- + 2 x π- + x π- = 4π x 2x x 14π即 1 ，所以 +
è 6 ÷ 2 6 ÷ 3 ÷ è è 6 1 2
+ 3 = .3
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·三模）将函数 y = sin2x - cos2x的图象向右平移m(m > 0)个单位长度后得
到的图象与 y = sin2x的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ）
p 3p p 3p
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】B
【分析】根据已知条件利用二倍角公式化简求出函数的解析式 f x = -cos 2x，根据函数的
变化规律结合诱导公式即可求得结论.
【详解】令 f x = sin2x - cos2x ，则有 f x = -cos 2x，
设 f x 向右平移m(m > 0)个单位长度后得到的函数为 g x ，
则有 g x = -cos é2 x - m ù = -cos 2x - 2m ，
根据已知条件 g x 的图象与 y = sin2x的图象关于原点对称，
则有 g x = -sin -2x = sin 2x，即-cos 2x - 2m = sin 2x ，
π
所以-2m = + 2kπ k Z ，解得m π= - - kπ k Z ,
2 4
又因为m > 0，所以当 k = -1时，m
3π
取最小值为 .
4
故选：B
π
2．（2024·辽宁·三模）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷，图象如图所示，
è 2
下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x π的振幅是 2，初相是
6
B．若函数 f x π的图象上的所有点向左平移 后，对应函数为奇函数，则w = 2
12
π π é 10ù
C．若函数 f x 在 ,3 2 ÷上单调递减，则w 的取值范围为 ê2,è 3 ú
f x 7πD．若函数 的图象关于 ,0

÷ 中心对称，则函数 f x 的最小正周期12 T 的最小值为è
7π
【答案】C
f 0 1 j f x 2sin wx π= - = - 【分析】根据函数图象得到A ，由 求出 ，即可得到 ÷，再根
è 6
据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由图可知 A = 2，且 f 0 = 2sinj = -1，即 sinj 1= - ，
2
j π
π
又 < ，所以j = - ，所以 f x = 2sin wx
π
-
2 ÷，6 è 6
π
故函数 f x 的振幅是 2，初相是 - 6 ，故 A 错误；
将 f x = 2sin wx
π
- π÷的图象上的所有点向左平移 得到
è 6 12
y é π π ù π π= 2sin êw x + ÷ - = 2sin wx + w - ÷，
è 12 6
ú
è 12 6
π w π依题意 - = kπ,k N，解得w = 2 +12k,k N，故 B 错误；
12 6
ì2π π
若函数 f x π π T π π π π

在 , ÷上单调递减，则 - = ，即T ，则 w 3 ，解得
è 3 2 2 2 3 6 3
í
w > 0
0 < w 6，
x π π , wx π π w π又 ÷，所以 - - ,
π w π- ，
è 3 2 6 è 3 6 2 6 ÷
ì π w π π-
π π w π 11π
10
又- < -
3 6 2
，所以 ，解得 2 w ，
6 3 6 6 í π w π 3π- 3
2 6 2
f x π , π w é2,10ù即函数 在 C
è 3 2 ÷
上单调递减，则 的取值范围为
ê 3 ú
，故 正确；
7π 7π π
若函数 f x 的图象关于 ,0÷ 中心对称，则 w - = kπ,k Z ，
è 12 12 6
w 2 12解得 = + k, k Z，
7 7
2 12 2π
又w > 0，所以w = + k, k N ，又函数的最小正周期T = ，显然T 没有最小值，故 D
7 7 w
错误.
故选：C
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
f x = Acos wx -j A > 0,w > 0, j
p
< ÷ 的部分图象，将 y = f x 图象上所有点的横坐标伸
è 2
3 p
长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图像，则 g x
2 8
的解析式为（ ）
A． g x 2cos 9x p= - ÷ B． g x = 2cos
2x p- ÷
è 2 8 è 8
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
【答案】D
【分析】结合图象，以及周期公式，求出 f x ，再结合平移伸缩的法则即可求解.
π 2π
+
【详解】由图象可知 A = 2, 6 3 5π= ，
2 12
则 f x 5π 的一个最低点为 ,-2÷，
è 12
f x 2π 2π的最小正周期为T = ，则w = = 3，
3考点 27 函数 y＝Asin(ωx＋φ)（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.结合具体实例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数 ω，φ，A 的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学
模型．
【知识点】
1．简谐运动的有关概念
已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
1 ω
A T＝_____ f＝ ＝ ωx＋φ φ
T 2π
2.用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
π
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 确定；对称中心由 ωx＋φ＝
2
kπ，k∈Z 确定其横坐标．
【核心题型】
题型一　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
φ
(1)由 y＝sin ωx 的图象到 y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而
ω
非 φ 个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω 为负时应先变成正值
f x sin wx 2π 【例题 1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 = + ÷ w > 0 的最小正周期为 π，
è 3
给出下列三个结论：
π
① f 0 3= ；②函数 f x 在 0, 3 ÷上单调递减；2 è
③将 y = cos 2x
π
的图象向左平移 个单位可得到 f x 的图象．
12
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式 1】（2024·北京通州·二模）已知的数 f x = sin wx
π
+ ÷（w > 0），若 f x 的最小正
è 6
周期为 π， f x π的图象向左平移 个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的 2
6
π
倍（纵坐标不变）得到函数 g x 的图象，则 g x = ；若 f x 在区间 0, 2 ÷上有 3è
个零点，则w 的一个取值为 ．
【变式 2】（2024·山东·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，函
数 f x = 2sin wx +j w > 0,0 j π< < π ÷ ， f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，且
è 2 2
f π ÷ =1，将 y = f x
π
的图象向右平移 个单位得到 y = g x 的图象且 g A = 2，VABC 的
è 3 6
内切圆的周长为 2π．则VABC 的面积的最小值为 .
3 1
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）将函数 y = sin2x - cos2x 图象上所有点的横坐标伸长
2 2
π
至原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 f x 的图象．
6
(1)求函数 f x 在区间 0,2024 内的所有零点之和；
(2)若 g f xx = 2 - ，讨论函数 gx x 的单调性．e
题型二　由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
M－m M＋m
(1)求 A，b.确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝ ，b＝ .
2 2
2π
(2)求 ω.确定函数的最小正周期 T，则 ω＝ .
T
(3)求 φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【例题 2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |< π)的部分图象
π
如图所示，将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，则在下列区
6
间上函数 g x 单调递增的是（ ）
é π
A． ê ,
π ù é3π , 5π ù é5π , 7π ù é 3π ùB． C． D． π,
6 3 ú ê 2 2 ú ê 6 6 ú ê 2 ú
【变式 1】（2024·海南·模拟预测）如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为 2，
y t y = Acos(wt +j) A > 0,w > 0,j π π - , 位移 与时间 满足函数 ÷÷ ，点P(0,1),Q(4,1) 在该函
è è 2 2
j
数的图象上，且位置如图所示，则 = .
w
【变式 2】（2024·湖北武汉·二模）函数 f x = 2sin 2x +j +1 j < p 的部分图象如图所示，
则j = .
【变式 3】（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = 3 sin wx +j 的部分图象如图所示，其
中w > 0, j
π
< ，且 ACB = 90° .
2
(1)求w 与j 的值；
(2) 6π若斜率为 的直线与曲线 y = f x 相切，求切点坐标.
4
题型三　三角函数图象、性质的综合应用
(1)研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将 ωx＋φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进
行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题
抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
命题点 1　图象与性质的综合应用
【例题 3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0,0 < j < π) 的最小正周期
为 π，且 y
π
= f x 的图象关于点 ,0÷中心对称，给出下列三个结论：
è 6
① f 0 3= ；
2
f x 0, π② 函数 在 3 ÷上单调递减；è
y = cos2x π③将 的图象向左平移 个单位可得到 f x 的图象．
12
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式 1】（23-24 1 3高三下·天津·阶段练习）已知函数 f x = sin2wx + cos2wx(w > 0)，且
2 2
f x 的最小正周期为 π，给出下列结论：
π 7π
①函数 f x 在区间 , ÷单调递减；
è 2 12
②函数 f x π关于直线 x = 对称；
12
③把函数 y = sin2x
π
的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y = f x 的图象.
3
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式 2】（2024·青海西宁·模拟预测）将函数 y = 4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原
来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y = f x 的图象，则 f x 的最小正周期为 ，
f 7π 18 ÷
= .
è
【变式 3】（2023·山西·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < π)的部
分图象如图所示.
(1)求 f x 的解析式；
π é 7π π ù
(2)将 f x 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，求 g x 在 - , - 上
6 ê 12 12ú
的值域.
命题点 2　函数零点(方程根)问题
【例题 4】（2023·河南·模拟预测）若关于 x 的方程 sin 2x + 2cos 2x = -2在[0, π) 内有两个不同
的解a , b ，则 cos(a - b )的值为（ ）
A 5 B 5 2 5 2 5．- ． C．- D．
5 5 5 5
π
【变式 1】（2022·陕西渭南·一模）若关于 x 的方程 2sin2 x - 3 sin 2x + m -1 = 0在 ,π2 ÷上有è
实数根，则实数m 的取值范围是 ．
【变式 2】（2022·全国·模拟预测）若方程 sin x cos x - 3 cos2 x 3 1+ = 在 0,p 上的两个不
2 5
等实根为x1，x2，则 cos x1 - x2 = ．
【变式 3】（2023· 3上海宝山·二模）已知函数 f x = sin x cos x - 3 cos2 x + ．
2
(1)求函数 y = f x 的最小正周期和单调区间；
(2)若关于 x 的方程 f x - m = 0 x π在 é ùê0, 2 ú 上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
命题点 3　三角函数模型
【例题 5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天
轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，
转盘直径为 110m，设置 48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离
地面最近位置进仓，转一周大约需要 30min．某游客坐上摩天轮的座舱 10min 后距离地面高
度约为（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 65 m
è 2
÷÷

【变式 1】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的
工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩
腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个
半径为 4 m的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2m .在筒车
转动的一圈内，盛水筒 P 距离水面的高度不低于 4m 的时间为（ ）
A．9 秒 B．12 秒 C．15 秒 D．20 秒
【变式 2】（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步
增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单
位圆 O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为 2πrad/s ，圆上两点 A，B 始终满足
AOB 2p= ，随着圆 O 的旋转，A，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B 两点
3
的竖直距离为 A，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即 t = 0秒时，
点 A 位于圆心正下方：则 t = 秒时，A，B 两点的竖直距离第一次为 0；A，B 两点的竖
直距离关于时间 t 的函数解析式为 f t = .
【变式 3】（2023·江西鹰潭·模拟预测）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，
π
圆面上一初始位置为 A 点，t 秒后转到点 B，旋转的角速度为w = rad / s ，在旋转圆面的
30
右侧有一固定相机 C（C，O两点在 AB 的两侧），且OA = 5m， AC = 7m .
(1)记旋转角为q .若q 2n +1 π,2 n +1 π n N ，求 t 的取值范围及弦 AB 的长度；
(2)在（1）的条件下，若 t =110s ，BC = 8m，求OC 的长.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）若函数 y = 3 cos wx +j w > 0,-π < j < π 的部分图象如图
所示，M -3, 3 ， N 1, - 3 为图象上的两个顶点.设 MON = q ，其中 O 为坐标原点，
0 q π，则 sin q +j 的值为（ ）
A 6 + 2 B 6 + 2．- ． C 3 +1 3 +1． - D．
4 4 2 2
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, j < π) 的部分图像
f π f 7π+ - 如图所示，则 4 ÷ 6 ÷
= （ ）
è è
A 2 + 3 B 2． ． C．0 D 6．
2 2 2
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j ，如图 A, B 1是直线 y = 与曲线
2
y = f x π 13π 的两个交点， AB = , f ÷ = -1，则 f
5π
÷ =（6 24 6 ）è è
A 0 B 1． ． 2 C
3
． D 3． -
2 2
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x = sinwx + 3coswx (w > 0) 在区间[a,b]上是减函
数，且 f a =1， f b = -1，b - a = π ，则w =（ ）
1 2
A． B． C3 ．1 D．23
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数 f (x) = sin(wx +j)（w > 0， |j |< π ）满足
f π- f π= f 2π ÷ ÷ = ÷，且 f x
π
在 ,
π
6 2 3 6 2 ÷
上单调递减，则（ ）
è è è è
j π f (x πA． = B． - )为奇函数
3 12
C． f x x π kπ的对称轴为 = + ， k Z D． f x 在 0, π 上有 3 个零点
12 2
6．（2024·山东日照·二模）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的部分图象
如图中实线所示，图中圆C 与 f x 的图象交于M , N 两点，且M 在 y 轴上，则下列命题正
确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期是 π
B．函数 f x 7π在 - ,
π
- ÷上单调递减
è 12 3
C．函数 f x π π的图象向左平移 个单位后关于直线 x = 对称
12 2
C 5πD．若圆 的半径为 ，则 f x 3π= sin 2x
π
+
12 6 3 ֏
三、填空题
π π
7．（22-23 高三上·河北·阶段练习）如图是函数 f x = K sin wx +j K > 0,w > 0,- < j <
è 2 2 ÷
的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与 y 轴的交点，B，C 是图象与 x 轴的交点，
π π
且D 0, -1 ，VABC 的面积等于 ．若 x ,π ÷时，关于 x 的方程[ f (x)]2 - (m +1) f (x) + m = 02 è12
恰有 3 个不同的实数根，则 m 的取值范围是 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx + j w > 0,0 < j < π 的部分图象如图所
示，将 f x 2图象上所有点的横坐标缩小为原来的 m > 0 ，纵坐标不变，得到 g x 的图
m
象，若 g x 在区间 0, π 上恰有两个极大值点，则实数 m 的取值范围是 ．
9．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天轮半径为 80 米，建成时为世界第一高摩天轮，成
为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为 30 分钟，甲乙两人相差 10 分钟坐上摩天
轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是 .
四、解答题
10．（23-24 高三上·山西·阶段练习）已知函数 f (x) = 2sin(wx
π
+ j) w > 0,|j |< 2 ÷的部分图象如图è
所示．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)求 f (x)
é
在 ê0,
π ù
2 ú 上的值域．
π
11．（2023·四川绵阳·一模）已知函数 f (x) = Asin(wx +j) A > 0,w > 0,|j |< ÷的部分图象如
è 2
图所示．
(1)求函数 f (x) 的解析式；
π é p ù
(2)将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度，得到 g(x)的图象，求函数 y = g(x) 在 x 0,
3 ê 2 ú
上的单调递减区间．
【综合提升练】
一、单选题
f x sin wx j w 0,0 j π= - > < < 1．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ÷的部分图象如图所
è 2
示，则下列结论正确的是（ ）．
x 2πA．当

, π ÷时， f x 3的最小值为 -
è 3 2
f x é πB． 在区间 ê ,
π ù
4 2 ú
上单调递增

C． f x 的最小正周期为 2π
D． f x π的图象关于直线 x = 3 对称
1 π
2．（2024·陕西渭南·三模）将函数 y = 2sin x + ÷的图象向左平移j j > 0 个单位长度，
è 2 4
所得图象关于原点对称，则j 的值可以为（ ）
π π 3π 3π
A． B． C． D．
4 2 4 2
3．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，
是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为 16 米，入水深度 4 米，为了计算水车
的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点 A）做上记号，经过 60 秒该水斗到达水
车最顶端（图中点 B），再经过 11 分 20 秒，做记号的水斗与水面的距离为 n 米，则 n 所在
的范围是（ ）
A． 0,4 B． 4,8 C． 8,10 D． 10,12
4．（2024·广东广州·二模）已知函数 f (x) = 2sin(wx +j)(w > 0,|j |
π
< )的部分图象如图所示，
2
若将函数 f (x) 的图象向右平移q (q > 0)个单位后所得曲线关于 y 轴对称，则q 的最小值为
（ ）
π π 3π π
A． B C8 ． ． D．4 8 2
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0, π < j < 2π)的部分
π 5π
图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为 2，且图象经过点 0, -1 , ,1÷，则 f - ÷ =
è 3 è 6
（ ）
A． 3 B．1 C．－1 D．- 3
6．（2024·甘肃酒泉·三模）函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, -π < j < 0 ，其部分图象如
图所示，则wj =（ ）
5π 5π 10π
A．- B - C - D
5π
． ． ． -
2 3 3 6
π π
7．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知函数 f (x) = 3sin 2x - ÷ - 4cos 2x - ÷，将 f (x) 的
è 3 è 3
π
图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象．若x1，x2是关于 x 的方程 g(x) = a6
é0, π ù π 在 ê 2 ú 内的两个不同的根，则 sin + x + x =（ ） 2 1 2 ÷è
3 3 4 4
A．- B． C．- D．
5 5 5 5
π
8．（2024·重庆·模拟预测）将函数 f x = sin 2x - 3 ÷的图象向右平移j j > 0 个单位后，所è
得图象关于坐标原点对称，则j 的值可以为（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
二、多选题

9．（2024·安徽合肥·三模）已知 x1, x2 是函数 f (x) = 2sin wx
π
- ÷ (w > 0) 的两个零点，且 x6 1
- x2
è
π
的最小值是 ，则（ ）
2
é0, π ùA． f (x) 在 ê 上单调递增 3 ú
B． f (x)
π
的图象关于直线 x = - 对称
6
f (x) g(x) = 2sin 2x πC． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
6
π
D． f (x)
é
在 ê , π
ù
2 ú
上仅有 1 个零点

10．（2024·浙江金华·三模）已知 f x = coswx + 3sinwx w > 0 在 0, π 上是单调函数，且
y = f x 的图象关于点 -π,0 对称，则（ ）
A．若 f x1 - f x2 = 4，则 x1 - x2 = 6πmin
B． f x 的图象的一条对称轴方程为 x = 2π
C．函数 y = f x 在 -π,5π 上无零点
D．将 f x 的图象向左平移 π个单位长度后得到的函数为偶函数
π π
11．（2024·河北石家庄·三模）函数 f x = 4sin wx +j 0 < w 2,- < j < 的部分图象如
è 2 2 ÷
图所示，则下列说法中正确的是（ ）
π
A．j = -
6
B． f x 的图象关于直线 x = π 对称
f x 1 2πC． = 4cos x -

÷
è 2 3
D．若方程 f x = 2在 0, m 26π上有且只有 5 个根，则m ,10π
ù
è 3 ú
三、填空题
12 1．（2024·江苏·模拟预测）将函数 f x = sin 2x +j 图象上的每个点的横坐标变为原来的 2
π
倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 y 轴对称，写
6
出一个符合条件的j 的值 .
13．（2024·贵州贵阳·一模）函数 f (x) = Asin(wx +j)(A > 0,w > 0,0 < j < π)的部分图象如图所
示，已知 f (x1) + f (x2 ) = 0，且 | x x
π π
2 - 1 |< ，则 f (x1 + x2 + ) = ．2 6
π
14．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分è
f x π图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2
4
π
倍，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 y = g x 的图象．若方程 g x = m在
12
é π
ê- ,0
ù
ú 上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为 ． 2
四、解答题
15．（23-24 高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数
f x = 3sin wx wx +j+j +1- 2cos2 ÷ w
π
> 0, j < ÷ 为奇函数，且 f x 图象的相邻两条
è 2 è 2
π
对称轴间的距离为 .
2
(1)求 f x 的解析式与单调递减区间；
(2)将函数 f x π 1的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 2 （纵坐标不变），6
得到函数 y = g x x 0, π 2g 2的图象，当 ÷ 时，求方程 x + 3g x - 3 = 0 的所有根的和.
è 2
p
16．（2024·福建三明·三模）已知函数 f (x) = sinwx + cos(wx + )（其中w > 0）其中图象的
6
p
两条相邻对称轴间的距离为 .
2
(1)若 f (x) 在 (0, m)上有最大值无最小值，求实数m 的取值范围；
(2)将函数 f (x)
p
的图象向右平移 个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍
6
（纵坐标不变），得到 g(x)的图象，设 h(x) = g(x)
1
+ x ，求 h(x) 在 (-2p, p)的极大值点.
2
17．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j
π
<
2 ÷
的部分图
è
象如图所示.
(1)
求函数 f x 的解析式；
(2)若函数 y = f 2x π- m é ù在区间 ê0, ú 上恰有两个零点 x1, x3 2 ，求 x1 + x2 的值.
π
18．（2023·

海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数 f x = 2cos wx +j w > 0, j < 2 ÷的è
π 5π
部分图象，且 CD = ， A - , -2

4 12 ÷
．
è
(1)求w ，j 的值；
3π
(2)将 f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 3 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单
4
位长度，得到函数 g x é π ù的图象，讨论函数 y = g x - a 在区间 ê-π, 2 ú 的零点个数．
π
19．（2023·陕西安康·一模）已知函数 f (x) = Asin(wx +j) + B A > 0,w > 0,|j |< ÷的部分图
è 2
象如图所示.
(1)求函数 f (x) 的解析式；
π
(2)将函数 y = f (x) 图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐
4
标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y = g(x)
é
的图象.当 x ê0,
13π ù
ú时，方程 6
g(x) - a = 0恰有三个不相等的实数根， x1, x2 , x3 x1 < x2 < x3 ，求实数 a 的取值范围以及
x1 + 2x2 + x3的值.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·三模）将函数 y = sin2x - cos2x的图象向右平移m(m > 0)个单位长度后得
到的图象与 y = sin2x的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ）
p 3p p 3p
A． B． C． D．
4 4 2 2
π
2．（2024·辽宁·三模）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷，图象如图所示，
è 2
下列说法正确的是（ ）
π
A．函数 f x 的振幅是 2，初相是
6
π
B．若函数 f x 的图象上的所有点向左平移 后，对应函数为奇函数，则w = 2
12
C．若函数 f x π , π é 10ù在 3 2 ÷上单调递减，则w 的取值范围为è ê
2,
3 ú
D．若函数 f x 7π 的图象关于 ,0÷ 中心对称，则函数 f x 的最小正周期12 T 的最小值为è
7π
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
f x = Acos wx -j p A > 0,w > 0, j < ÷ 的部分图象，将 y = f x 图象上所有点的横坐标伸
è 2
3 p
长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图像，则 g x
2 8
的解析式为（ ）
g x 2cos 9x p pA． = -2 8 ÷ B． g x = 2cos 2x - 8 ÷è è
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
é 1 3 ù
4．（2024·山东聊城·三模）设函数 f x 的图象与函数 y = 2cosπx x - , ÷的图象关于 x
è ê 2 2 ú
1 1
轴对称，将 f x 的图象向右平移 g x y =2 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的x -1
图象与 y = g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、多选题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 f x = coswx - 3sinwx,则下列结论正确的是（ ）
A．当w =1时， f x 5π 的图象关于 - ,0÷中心对称
è 6
π
B．当w = 2时，将 f x 图象向右平移 个单位长度后的函数图象关于 y 轴对称
6
é π ù
C．当w = 3时， f x 在 ê0, ú 上单调递减 3
D．设 f x 的周期为 T，若T = π 时，x1，x2为方程 f x =1的两个不相等实根，则
x π1 - x2 =min 3
6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j (w > 0,0 < j < 2π) 的部分图象如图所
示，则（ ）
j 4πA． =
3
B． f x é 5π π ù在区间 ê- , - ú上单调递增 6 2
C．将函数 y = cosx 1图象上各点横坐标变为原来的 2 （纵坐标不变），再将所得图象向右
π
平移 个单位长度，可得函数 f x 的图象
12
D．函数 y = 4 f x + 2x π+ 的零点个数为 7
3
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 3sin wx +j (w > 0, j < p )的部分图像如图所示.
2
若函数 f x 的图像在区间 m, n 上有两条对称轴，且 f m + f n = 3 n m 2π，则 - + 的取
j
值范围是 .
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < π 的部分图象如
图所示，则w + j = ．
π
9．（2024·辽宁抚顺·一模）已知 x1, x2 是函数 f x = 2sin wx +j - 3 w > 0, j < ÷的两个零
è 2
π
点，且 x1 - x2 = f xmin ，若将函数
π
的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，
6 3
且函数 f x π在 ,q

÷内恰有 2 个最值点，则实数q 的取值范围为 ．
è 6
四、解答题
10．（2023·四川泸州·一模）已知函数 f (x) = 2sin2 wx + 2 3 sinwx coswx -1(w > 0)的相邻两对
称轴间的距离为p ．
(1)求函数 f (x) 的解析式；
2π
(2)将函数 f (x) 图象上点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长
3
g(x) g π 2 π 度得到函数 的图象，若 2q + ÷ = - ，q 3
0, ÷，求sinq 的值．
è 7 è 2
11．（22-23 高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数
f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0
π
< j < ÷的部分图像如图所示，其中 f x 的图像与 x 轴
è 2
π
的一个交点的横坐标为- ．
12
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数 g x π π= f x - a é ù在区间 ê- , ú上存在零点，求实数 a的取值范围． 2 12

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