资源简介

考点 33 复　数（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓
展冲刺练）
【考试提醒】
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
【知识点】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数 z 的实部，
是复数 z 的虚部，i 为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
{实数 b 0 ，虚数 b 0 当 a 0 时为纯虚数 .
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi 与 c＋di 互为共轭复数 (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
→
向量O Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋
bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
一一对应
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点 Z(a，b)．
一一对应 →
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量O Z.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
z1 a＋bi a＋bi c－di
④除法： ＝ ＝ ＝ (c＋di≠0)．
z2 c＋di c＋di c－di
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，
→ —→
即O Z＝ ，Z 1Z2＝ .
常用结论
1＋i 1－i
1．(1±i)2＝±2i； ＝i； ＝－i.
1－i 1＋i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数 z 的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b 表示以原点 O 为圆心，以 a 和 b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r 为半径的圆
【核心题型】
题型一　复数的概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，
只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
i
【例题 1】（2024·四川· z = - i2024模拟预测）已知复数 （ i为虚数单位），则 z 的虚部为
1+ i
（ ）
1 1 1 1A．- B． C． - i D． i
2 2 2 2
【变式 1】（2024·辽宁·三模）已知复数 z 在复平面上对应的点为 (m,1)，若 iz > -2，则实数m
的值为（ ）
A．0 B． -1 C．1 D．1 或 -1
【变式 2】（2023·江苏·三模）设 z 为复数（ i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若 z R ，则 z = z B．若 z2 R，则 z R
C．若 1+ i z =1- i，则 z =1 D．若 z2 +1 = 0，则 z = i
【变式 3】（2024·山东日照·二模）设m R, i 为虚数单位．若集合 A = 1,2m + m -1 i ，
B = 0,1,2 ，且 A B ，则m = ．
题型二　复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分
母同乘以分母的共轭复数．
【例题 2】（2024·湖北·模拟预测）已知复数 z = a + bi(a,b R ， i为虚数单位)，若 z =1且
z - i =1，则 z - 2i = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【变式 1】（2024·山东·模拟预测）已知复数 z 满足 z =1，且 z -1 = z + i ，则 z2 =（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
【变式 2】（2024·福建福州·三模）已知复数 z1, z2 满足： z1 + 3 + z1 - 3 = 4， z2 - 2i =1，
则（ ）
A． z2 的最小值是 1 B． z1 的最大值是 2
z
C． 2 的最大值是 3 D． z1 - z2 的最大值是 4z1
3- 2i
【变式 3】（2024·湖南·模拟预测）已知 i是复数的虚数单位，且 = a + bi a,b R ，则 a + b
i
的值为 ．
题型三　复数的几何意义
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一
起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观
uuur uuur
【例题 3】（2024·全国·模拟预测）如图，复数 z 对应的向量为OZ ，且 z - i = 5，则向量OZ
uuur
在向量OP 上的投影向量的坐标为（ ）
1 , 2 2 , 4 3 6 4 8 A． ÷ B． ÷ C． , ÷ D． ,5 5 ÷è è 5 5 è 5 5 è 5 5
1- 2i
【变式 1】（2024·海南海口·二模）在复平面内， 对应的点位于（ ）
2 + i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 2】（2024·湖南长沙·二模）在复平面内，复数 z1 和 z2 对应的点分别为 A, B，则
z1 × z2 = .
【变式 3】（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 f x = asin2x + cos2x，且
f x f π - 6 ÷ ．è
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)O为坐标原点，复数 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在复平面内对应的点分别为A ， B ，求
OAB面积的取值范围．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 z1 =1- bi b R 在复平面内对应的点在直线
x + y -1 = 0 上，则复数 z2 = b + i 在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴
1+ i 3
2．（2024·河南·三模）已知 i为虚数单位， = （ ）
1- i 2
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i
z
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (-1,1)，则 =z
（ ）
A． 2i B．i C．- i D． -2i
4
4 1+ i ．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 z = ，则 z 的虚部为（ ）
1- i
A．2i B． -2i C．-2 D．2
二、多选题
5．（2024·湖南·二模）已知 i 为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
1+ i
A．若复数 z = ，则 z301 i = -1-
B．若 z1 > z2 ，则 z2 21 > z2
z z
C．若 z2 0，则 1 =
1
z2 z2
D．复数 z 在复平面内对应的点为Z ，若 z + i + z - i = 2，则点Z 的轨迹是一个椭圆
6．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数 z1 ， z2 ，下列结论正确的有（ ）
A． z1 - z2 z1 + z2 B．若 z1 - z2 > 0，则 z1 > z2
z
C．若 z1 - z2 = z1 + z
1
2 ，则 z1 × z2 = 0 D．若 z1 =1+ i， z2 =1- i，则 z 为纯虚数2
三、填空题
7．（2024·山西·三模）已知复数 1+ 2i - m 3- i 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数
m 的取值范围是 ．
2
8．（2024· z四川成都·模拟预测）设 z = 2- i，则 的虚部为 ．
z2
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 z = i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023 ，则 z 的虚部为 .
四、解答题
10．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最
高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面
是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的 ICME—14 下
方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数 3744，也可以读出
n
其二进制码（0）11111100100 1+ i ，换算成十进制的数是 n，求 (1+ i)2n 及 ÷ 的值．
è 2
π
11．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 f x = asin2x + cos2x，且 f x f - ÷ .
è 6
(1)求 f x 的最大值；
(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.
① A 为函数 f x 图象与 x 轴的交点，点 B ，C 为函数 f x 图象的最高点或者最低点，求
ABC 面积的最小值.
② O为坐标原点，复数 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在复平面内对应的点分别为A ， B ，求
OAB面积的取值范围.
【综合提升练】
一、单选题
1 - i
2 + i
．（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数 z = ,则
1 i3 z
的虚部是（ ）
- -
A．1 B． -1 C． i D．- i
2．（2024·河北·模拟预测）若 1+ ai a - i > 0,a R ，则（ ）
A． a =1 B． a = ±1
C． a -1或a 1 D．a 1
1+ i
3．（2024·全国·模拟预测）已知 z = ，则 3 5 （ ）
1- i z + z + z =
A．i B．- i C．1+ i D．1- i
2
4．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为 1,-1 z，则 = （ ）1- 2i
4 2 2 4 4 2 2 4
A． - i B． - i C． + i D． + i
5 5 5 5 5 5 5 5
-2 + ai
5．（2024·四川成都·模拟预测）复数 z = 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 a
1- i
的值为（　　）
A．1 B． 2 C． -1 D．-2
1+ i
6．（2024·山西运城·三模）设 z = ，则 （
1 i2 i5 z = ）+ +
A．1- i B．1+ i C．-1- i D．-1+ i
7
7．（2024· i + a陕西西安·模拟预测）已知 i是虚数单位，若 z = 是纯虚数，则实数a = （ ）
2 + i
1
A．-2 B．2 C 1．- D．
2 2
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内 A, B,C 三点所对应的复数分别为1- i, 2 - i,3+ i ，
若四边形 ABCD为平行四边形，则点D对应的复数为（ ）
A．2 B． 2 + i C．1 D．1+ i
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1z2 R ，则 z1 = z2
C．若 z1 = z 2 22 ，则 z 2 21 = z2 D．若 z1 + z2 = 0 ，则 z1 = z2
10．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（ ）
A． z × z = z 2 ， z C
B． i2024 = -1
C．若 z =1， z C，则 z - 2 的最小值为 1
D．若-4 + 3i 2是关于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，则 p = 8
11．（2024·河南·三模）在复平面内，设O为坐标原点，复数 z2 , z 对应的点分别为A ， B ，
uuur uuur
若OA ^ OB，则 z 可能是（ ）
A． 2i B．1- 3i C． 3 + i D． 3 - i
三、填空题
2 + 4i
12．（2023·天津南开·一模） i是虚数单位，复数 3 = .3- i
13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知复数 z 满足 (z - i)(1- i) = 2，则 z 的值为 .
14．（2024·福建厦门·三模）复数 z 满足 z + z = 2， zz = 4 ，则 | z - z |= .
四、解答题
15．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于 x 得二次方程：
x2 + (2 + i)x + 4ab + (2a - b)i = 0(a,b R) .
(1)当方程有实数根时，求点 (a , b ) 的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
16．（2022·浙江·模拟预测）在正三棱台OAB - OA1B1 中， OAB是边长为 4的等边三角形，
| AB |
= 2 π且 A B .已知 OO1 = 5， OCH = ，D， H 分别是线段OB， AB 的中点，当直线GH1 1 6
上一动点C 在射线OO1 上时， O1C =1， tan CA1B1 = 2 .
(1)证明：OC ^平面 A1B1C ；
(2)求直线GH 与平面 ABB1A1所成角的正弦值；
(3)连接CA，CB，已知点C 在平面OAB 投影是C1，平面OAB 是一个分别以DA，DO 作为 x ，
uuuur
y 轴的复平面， z = DC1 .当CA ^ CB时，请直接写出 z 的虚部（不要求写出过程）.
17．（2021· 2上海·模拟预测）已知关于 x 的方程 x - 3ax - 3a = 0 a R 的虚数根为x1、x2 .
（1）求 x1 + x2 的取值范围；
（2）若 x1 - x2 =1，求实数 a的值.
18．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数 z = m - i（m R），且 z × 1+ 3i 为纯虚数（ z 是
z 的共轭复数）.
m + 2i
（1）设复数 z1 = ，求 z ；1- i 1
2021
（2）复数 z a - i2 = 在复平面对应的点在第一象限，求实数 a的取值范围.z
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 a0 ,a1,a2 ,L,an ,L，我们称

f (x) a= n xn = a a x a+ + 20 1 x2 a+L+ n xn +L（规定0!=1）为无穷数列 an 的指数型母函
n=0 n! 2! n!
1 x2 xn
数．无穷数列 1，1，…，1，…的指数型母函数记为 e(x) = xn =1+ x + +L+ +L，
n=0 n! 2! n!
它具有性质 e(x)e(y) = e(x + y)．
1
(1)证明： e(-x) = e(x) ；
(-1)k 2 4 2k
(2) c(x) = x2k 1 x x L ( 1)k x L c(x) e(ix) + e(-ix)记 = - + + + - + ．证明： = （其中 i
k =0 (2k)! 2! 4! (2k)! 2
为虚数单位）；
x
(3)以函数 e(x) 为指数型母函数生成数列
B ，
-1 n
x B= n xn B= B + B x + 2 x2 B+L+ n xn0 1 +L．其中Bn 称为伯努利数．证明：e(x) -1 n=0 n! 2! n!
B 11 = - ．且B2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．2
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·二模）已知 z C，则“ z2 R ”是“ z R ”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）已知 i为虚数单位，且复数 zi2024 = 6，则下列说法中正确的是
（ ）.
A．复数 z 为实数 B． i2024 = i
C．复数 z 为纯虚数 D． z = -6i
3．（2024·全国· 2024模拟预测）已知复数 z 满足： 1+ i z = 2 + 3i （ i为虚数单位），则 z 在复平
面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 z1 ， z2 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 z1 + z2 > 0，则 z2 = z1
B．若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 且 z2 = 0
C．若 z1 = z 22 ，则 z1 = z
2
2
D．若 z - z1 = z - z2 ，且 z1 z2 ，则 z 在复平面对应的点在一条直线上
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·二模）已知复数 z1 的虚部与 z2 的实部均为 2，则下列说法正确的是（ ）
A． z1 是虚数
B．若 z1 = z2 = 2，则z1 = z2
C．若 z1 = z2 ，则 z1 与 z2 对应的点关于 x 轴对称
D．若 z1 × z2 是纯虚数，则 z1 = z2
6．（2024·山东青岛·一模）已知复数 z，下列说法正确的是（ ）
A．若 z - z = 0，则 z 为实数 B．若 z2 + z 2 = 0，则 z = z = 0
C．若 z - i =1，则 | z |的最大值为 2 D．若 | z - i |=| z | +1，则 z 为纯虚数
三、填空题
7．（2024·上海普陀·二模）已知复数 z =1+ i，其中 i为虚数单位，则 z 在复平面内所对应的
点的坐标为 .
8．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数 z 所对应的点为 (1,1) ，则 z × z = ．
9．（2024·上海杨浦·二模）设复数 z1 与 z2 所对应的点为Z1 与Z2 ，若 z1 =1+ i， z2 = i × z1，则
uuuur
Z1Z2 = .
四、解答题
10．（2022·甘肃兰州·一模）实数m 取什么值时，复数 z = m + 3+ (m - 3)i是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
11．（2024·贵州黔南·二模）1799 年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：
任何复系数一元 n次多项式方程在复数域上至少有一根（ n 1）.此定理被称为代数基本定
理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： n次复系数
多项式方程在复数域内有且只有 n个根（重根按重数计算）.对于 n次复系数多项式
f x = xn + an-1xn-1 + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0有 n个复根
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
1 i< j n
x1, x

2 , × × ×, xn ，则有如下的高阶韦达定理： í n
xi x j xk = -a n-31 i< j
M

x1x2 × × × xn = -1
n a0
(1)在复数域内解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三个根分别是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i为虚数单
位），求 a，b ， c的值；
(3) n 4 n n-1 2在 的多项式 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
a为非零实数，且方程 f x = 0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 n的式子
表示）.考点 33 复　数（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓
展冲刺练）
【考试提醒】
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
【知识点】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a 是复数 z 的实部，b 是复数 z 的
虚部，i 为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
{实数 b＝0 ，虚数 b ≠ 0 当 a＝0 时为纯虚数 .
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi 与 c＋di 互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
→
向量O Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2(a，
b∈R)．
2．复数的几何意义
一一对应
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点 Z(a，b)．
一一对应 →
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量O Z.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
z1 a＋bi a＋bi c－di ac＋bd bc－ad
④除法： ＝ ＝ ＝ ＋ i(c＋di≠0)．
z2 c＋di c＋di c－di c2＋d2 c2＋d2
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
→ —→
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即O Z＝O Z1＋
—→ —→ —→ —→
O Z2，Z 1Z2＝O Z2－O Z1 .
常用结论
1＋i 1－i
1．(1±i)2＝±2i； ＝i； ＝－i.
1－i 1＋i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数 z 的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b 表示以原点 O 为圆心，以 a 和 b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r 为半径的圆
【核心题型】
题型一　复数的概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，
只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
i
【例题 1】（2024· · 2024四川 模拟预测）已知复数 z = - i （ i为虚数单位），则 z 的虚部为
1+ i
（ ）
1
A．- 1
1 1
B． C． - i2 D． i2 2 2
【答案】A
【分析】先利用 i的性质化简 i2024，再利用复数的四则运算与共轭复数的定义，结合复数的
概念即可得解.
【详解】因为 i4 = 1，所以 i2024 = i4 506 =1，
i 1- i
z i i2024 1 i +1 1 i由 = - = - = -1 = - +1+ i 1 ，+ i 1- i 2 2 2
z 1 i 1\ = - - ，其虚部为- .
2 2 2
故选：A
【变式 1】（2024·辽宁·三模）已知复数 z 在复平面上对应的点为 (m,1)，若 iz > -2，则实数m
的值为（ ）
A．0 B． -1 C．1 D．1 或 -1
【答案】A
【分析】由条件结合复数的几何意义，得到 z = m + i ，根据 iz > -2可得 iz 为实数，列方程可
求m 的值.
【详解】因为复数 z 在复平面上对应的点为 m,1 ，
所以 z = m + i ，
因为 iz > -2，
因为 iz = i m + i = -1+ mi为实数，
得m = 0 .
故选：A.
【变式 2】（2023·江苏·三模）设 z 为复数（ i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若 z R ，则 z = z B．若 z2 R，则 z R
C．若 1+ i z =1- i，则 z =1 D．若 z2 +1 = 0，则 z = i
【答案】AC
【分析】利用共轭复数的定义可判断 A 选项；利用特殊值法可判断 B 选项；利用复数的除
法化简复数 z ，利用复数的模长公式可判断 C 选项；解方程 z2 +1 = 0，可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，若 z R ，则 z = z ，A 对；
对于 B 选项，若 z2 R，不妨取 z = i ，则 z2 = -1 R ，但 z R ，B 错；
2
对于 C 选项，若 1+ i z 1 i 1- i= - ，则 z 1- i = = = -i，故 z =1，C 对；
1+ i 1+ i 1- i
对于 D 选项，若 z2 +1 = 0，则 z2 = -1，解得 z = ±i ，D 错.
故选：AC.
【变式 3】（2024·山东日照·二模）设m R, i 为虚数单位．若集合 A = 1,2m + m -1 i ，
B = 0,1,2 ，且 A B ，则m = ．
【答案】1
【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.
【详解】由集合 A = 1,2m + m -1 i ，B = 0,1,2 ，因为 A B ，
ì2m = 0
当 2m + m -1 i = 0时，此时 í
m 1
，方程组无解；
- = 0
ì2m = 2当 2m + m -1 i = 2时，此时 í m =1
m -1
，解得 ，
= 0
综上可得，实数m 的值为1.
故答案为：1
题型二　复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分
母同乘以分母的共轭复数．
【例题 2】（2024·湖北·模拟预测）已知复数 z = a + bi(a,b R ， i为虚数单位)，若 z =1且
z - i =1，则 z - 2i = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】B
【分析】根据复数的模求出 a,b，再根据复数的模的计算公式即可得解.
ì 1
ìa2 + b2 =1 b =
【详解】由 z =1且 z - i =1
2
，得 í 2 2 ，解得 í 3 ， a + b -1 =1 a2 =
4
2 3 9
则 z - 2i = a2 + b - 2 = + = 3 .
4 4
故选：B.
【变式 1】（2024·山东·模拟预测）已知复数 z 满足 z =1，且 z -1 = z + i ，则 z2 =（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】D
【分析】设 z = a + bi(a,b R)，然后由已知条件列方程组可求出 a + b = 0， 2ab = -1 ,从而可
求出 z2
【详解】设 z = a + bi(a,b R)，则由 z =1，得 a2 + b2 =1，
由 z -1 = z + i ，得 a + bi -1 = a + bi + i ，即 (a -1) + bi = a + (b +1)i ，
所以 (a -1)2 + b2 = a2 + (b +1)2 ，化简整理得 a + b = 0，得 a = -b ，
所以 a2 + b2 + 2ab = 0 ，得 2ab = -1，
所以 z2 = (a + bi)2 = a2 + 2abi - b2 = -i ，
故选：D
【变式 2】（2024·福建福州·三模）已知复数 z1, z2 满足： z1 + 3 + z1 - 3 = 4， z2 - 2i =1，
则（ ）
A． z2 的最小值是 1 B． z1 的最大值是 2
z
C． 2 的最大值是 3 D． z1 - z2 的最大值是 4z1
【答案】ABC
【分析】对于 A，设 z1 = a + bi, z2 = c + di，依题意可得 c2 + d - 2 2 =1，可知复数 z2 的对应
点 P 在以C 0,2 为圆心，1 为半径的圆上，根据复数几何意义可判断 A；对于 B，根据题意
2
可得 a + 3 + b2 + 2a - 3 + b2 = 4，表示复数 z1 的对应点Q在以 ± 3,0 为焦点，长
轴长为 4 的椭圆上，根据图形和 z1 = z1 可判断 B；对于 C，根据复数除法运算和复数模公式
z
证明 2
z
= 2 ，结合图形求得1 z1 2,1 z2 3，然后可判断 C；对于 D，根据复数减法z1 z1
的几何意义可知 z1 - z2 = PQ ，结合图形转化为求 CQ +1的最值，根据点 P 在椭圆
x2
+ y2 =1上，利用二次函数性质求解可得.
4
【详解】设 z1 = a + bi, z2 = c + di,a,b,c,d R ，
对于 A，因为 z2 - 2i = c + d - 2 i =1，所以 c2 + d - 2 2 =1，
所以，复数 z2 的对应点 P 在以C 0,2 为圆心，1 为半径的圆上，
由图可知，点 P 到原点的最小距离为 1，即 z2 的最小值是 1，A 正确；
2 2
对于 B，因为 z1 + 3 + z1 - 3 = a + 3 + b2 + a - 3 + b2 = 4，
所以，复数 z1 的对应点Q在以 ± 3,0 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上，
由椭圆几何性质可知，点Q到原点的最大距离为 2，即 z1 的最大值为 2，
又 z1 = z1 ，所以 z1 的最大值是 2，B 正确；
z2 c + di ac + bd ad - bc
对于 C，因为 = = 2 + iz1 a + bi a + b
2 a2 + b2 ，
z ac + bd
2
ad - bc
2
a2c2 + b2d 2 + b2c21 + a
2d 2
所以 = + =z 22 è a + b
2 ÷ ÷ è a2 + b2 a2 + b2 2
a2 + b2 c2 + d 2 c2 + d 2 z
= = = 22 ， a2 + b2 a2 + b2 z1
由图可知，1 z1 2,1 z
z
2 3，所以当 z1 =1, z2 = 3时， 2 取得最大值 3，C 正确；z1
对于 D，因为 z1 - z2 = a - c + b - d i = a - c
2 + b - d 2 表示P,Q 的距离，
2
所以 z1 - z2 的最大值为 CQ +1
x
，设Q x, y ，则 + y2 =1，即 x2 = 4 - 4 y2 ，
4
2
所以 CQ +1 = x2 + y - 2 +1 = 4 - 4y2 + y2 - 4y + 4 +1 = -3y2 - 4y + 8 +1，
2 2 21
由二次函数性质可知，当 y = - 时， CQ +1取得最大值
3 +1
，D 错误.
3
故选：ABC
3- 2i
【变式 3】（2024·湖南·模拟预测）已知 i是复数的虚数单位，且 = a + bi a,b R ，则 a + b
i
的值为 ．
【答案】-5
3- 2i
【分析】计算出 ，从而求出 a，b 以及 a + b 的值.
i
3- 2i (3 - 2i)i 3i + 2
【详解】因为 =
i i2
= = -2 - 3i，
-1
所以 a = -2 ，b = -3，
所以 a + b = -5，
故答案为：-5
题型三　复数的几何意义
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一
起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观
uuur uuur
【例题 3】（2024·全国·模拟预测）如图，复数 z 对应的向量为OZ ，且 z - i = 5，则向量OZ
uuur
在向量OP 上的投影向量的坐标为（ ）
1 , 2 2 , 4 3 , 6 4 , 8 A． ÷ B． ÷ C． ÷ D．
è 5 5 è 5 5 5 5 ÷ è è 5 5
【答案】D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数 z = -m+ mi m > 0 ，再根据复数模的公式，即
可求解m ，再代入向量的投影公式，即可求解.
【详解】由题图可知， z = -m+ mi m > 0 ，则 z -i = -m+ m-1 i = m2 + m-1 2 =5，
解得m = 4 （m = -3舍去），
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur OZ ×OP OP
所以OZ = -4,4 ，OP = 2,4 ，则向量OZ 在向量OP 上的投影向量为 uuur × uuurOP OP ，
-4,4 × 2,4 2,4 8 2,4 4
所以其坐标为 = = ,
8
．
22 + 42 22 + 42 20 20

è 5 5 ÷
故选：D
1- 2i
【变式 1】（2024·海南海口·二模）在复平面内， 对应的点位于（ ）
2 + i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.
1- 2i 5 2 - i 2 5 5
【详解】易知 1- 2i = 12 + -2 2 = 5 ，所以 = = - i2 + i 2 + i 2 - i ，5 5
1- 2i 2 5 5
即 对应的点为 ,- ÷
2 + i 5 5 ÷
，位于第四象限.
è
故选：D
【变式 2】（2024·湖南长沙·二模）在复平面内，复数 z1 和 z2 对应的点分别为 A, B，则
z1 × z2 = .
【答案】-1- 3i / -3i -1
【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求出结果.
【详解】由题意可知， z1 = -2 - i, z2 =1+ i，
则 z1 × z2 = -2 - i 1+ i = -2 - i - 2i - i2 = -2 +1- 3i = -1- 3i，
故答案为：-1- 3i
【变式 3】（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 f x = asin2x + cos2x，且
f x π f - ÷ ．
è 6
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)O为坐标原点，复数 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在复平面内对应的点分别为A ， B ，求
OAB面积的取值范围．
π
【答案】(1) f x = -2sin 2x -

÷ ；
è 6
(2) 2,6 .
π
【分析】（1）根据- 是 f x 的对称轴，结合对称轴处 f x 取得最值，计算即可；
6
（2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于 t 的三角函数关系，求函数值域即可.
f x f π【详解】（1）∵ -
π
÷ ，即当 x = - 时函数 f x 取到最值，
è 6 6
又 f x = asin2x + cos2x = a2 +1sin 2x +j a2 +1，
tanj 1其中 = a 0 ，
a
2 2
∴ é f π ù 2 é π π- ù 2ê è 6 ÷ ú
= a +1，代入得 êa sin 2 - 6 ÷
+ cos 2 - ÷ = a +1，
è è 6 ú
2
3 2
即 - a
1
+ 2÷÷ = a +1，解得 a + 3 = 0，∴ a = - 3
è 2 2
f x = - 3sin2x cos2x π+ = -2sin 2x -

；
è 6 ÷
（2）由（1）可得： f x π= -2sin 2x -

÷ ，
è 6
由复数的几何意义知： A -2, -4 ，B -2, f t
1 π
∴ S△ABC = 2 AB = AB = f t + 4 = -2sin2 2t - 6 ÷ + 4，è
π
当 2t
p
- = 2kπ p- ， k Z，即 t = kπ - ， k Z时， S
6 2 6 OAB
有最大值 6；
当 2t
π
- = 2kπ π π+ ， k Z，即 t = kπ + ， k Z时， S
6 2 3 OAB
有最小值 2；
∴ S△OAB 2,6 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 z1 =1- bi b R 在复平面内对应的点在直线
x + y -1 = 0 上，则复数 z2 = b + i 在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义，由复数 z1 =1- bi b R 对应点代入直线方程可求得b ，即可
得出结果.
【详解】复数 z1 =1- bi b R 在复平面内对应的点为 1, -b ，
代入直线 x + y -1 = 0 ，可得1- b -1 = 0，即b = 0，
则 z2 = b + i=i ，在复平面内对应的点为 0,1 .
故选：C
1+ i 3
2．（2024·河南·三模）已知 i为虚数单位， = （ ）
1- i 2
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
1+ i 3 1+ i 2 1+ i 2i 1+ i
【详解】 2 = = = -1- i . 1- i -2i -2i
故选：D
z
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (-1,1)，则 =z
（ ）
A． 2i B．i C．- i D． -2i
【答案】B
【分析】利用复数的坐标表示，共轭复数的定义以及复数除法运算计算可得答案.
z -1- i (-1- i)2
【详解】由题意可知， z = -1+ i，则 z = -1- i，所以 = = = i．
z -1+ i 2
故选：B
4
4．（2024· 1+ i 吉林长春·模拟预测）已知 z = ，则 z 的虚部为（ ）
1- i
A．2i B． -2i C．-2 D．2
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算化简，再判断其虚部.
2 2
【详解】因为 1+ i
4 é
1+ i ù 2i
2 -4 1+ iz = = = = = -2 1+ i = -2 - 2i，
1- i 1- i 1- i 1- i 1+ i
所以 z 的虚部为-2．
故选：C
二、多选题
5．（2024·湖南·二模）已知 i 为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数 z
1+ i
= ，则
1 i z
30 = -1
-
B．若 z > z ，则 z2 21 2 1 > z2
z1 zC 1．若 z2 0，则 =z2 z2
D．复数 z 在复平面内对应的点为Z ，若 z + i + z - i = 2，则点Z 的轨迹是一个椭圆
【答案】AC
【分析】利用复数的四则运算与 i的乘方性质判断 A，举反例排除 B，利用复数的四则运算
与模的运算判断 C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断 D.
1+ i (1+ i)2
【详解】对于 A，因为 z = = = i1- i (1- i)(1+ i) ，
所以 z30 = i30 = i4 7+2 = i2 = -1，故 A 正确；
对于 B z = 2i, z =1 z > z z2 < z2，令 1 2 ，满足 1 2 ，但 1 2 ，故 B 错误；
对于 C，设 z1 = a + bi(a,b R), z2 = c + di(c,d R 且不同时为 0) ，
z1 a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd + (bc - ad )i则 = = =
z2 c + di (c + di)(c - di) c
2 + d 2
1
= 2 (ac + bd )
2 + (bc - ad )2 1= a2 + b2 c2 + d 2c + d 2 c2 + d 2
a2 + b2 z
= = 1 ，故 C 正确；
c2 + d 2 z2
对于 D，设复数 z = x + yi，则点Z x, y ，
由 z + i + z - i = 2，得 x2 + y +1 2 + x2 + y -1 2 = 2，
则点Z 到点 0, -1 与点 0,1 的距离和为 2，
故点Z 的轨迹是线段，故 D 错误.
故选：AC.
6．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数 z1 ， z2 ，下列结论正确的有（ ）
A． z1 - z2 z1 + z2 B．若 z1 - z2 > 0，则 z1 > z2
z
C 1．若 z1 - z2 = z1 + z2 ，则 z1 × z2 = 0 D．若 z1 =1+ i， z2 =1- i，则 z 为纯虚数2
【答案】AD
【分析】由复数的向量表示结合向量知识即可验证 A，通过一些举例可以排除 B、C 选项，
由复数的除法运算集合复数的概念即可验证 D.
uuuur uuuur
【详解】对于 A，设 z1 ， z2 对应的向量分别为OZ1 ，OZ2 ，则由向量三角不等式得
uuuur uuuur uuuur uuuur
OZ1 - OZ2 OZ1 + OZ2 ，
所以 z1 - z2 z1 + z2 恒成立，故 A 正确；
对于 B，取 z1 = -1+ i ， z2 = -2 + i，但 z1 = 2 ， z2 = 5 ，故 B 错误；
对于 C，当 z1 =1+ i， z2 =1- i时， z1 - z2 = 2 = z1 + z2 ，而 z1 × z2 = 2，故 C 错误；
z1 1+ i 1+ i
2
2i
对于 D， = = = = i，故 D 正确；
z2 1- i 1- i 1+ i 2
故选：AD
三、填空题
7．（2024·山西·三模）已知复数 1+ 2i - m 3- i 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数
m 的取值范围是 ．
【答案】 (- , -2)
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于 (1+ 2i) - m(3 - i) = (1- 3m) + (2 + m)i，
1- 3m > 0
故点 (1- 3m, 2
ì
+ m)位于第四象限，因此 í2 m 0 ，解得
m < -2，
+ <
即m 的取值范围是 (- , -2) .
故答案为： (- , -2) .
2
8．（2024· · z = 2- i z四川成都 模拟预测）设 ，则 的虚部为 ．
z2
4
【答案】 /0.8
5
【分析】利用复数的乘法法则，除法法则和模长公式求出答案.
2
【详解】 z2 = 2 - i = 4 - 4i + i2 = 3- 4i ，
其中 z = 4 +1 = 5 ，
z 2 5 5 3+ 4i 3 4
则 2 = = = + i，z 3- 4i 3 - 4i 3 + 4i 5 5
z 2 4
故 的虚部为 .
z2 5
4
故答案为：
5
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 z = i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023 ，则 z 的虚部为 .
【答案】-1012
【分析】根据 in 的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得.
i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023【详解】 = i - 2 - 3i + 4 + 5i - 6 - 7i + 8 +L
+ 2017i - 2018 - 2019i + 2020 + 2021i - 2022 - 2023i
= 505 2 - 2i + -2022 - 2i = -1012 -1012i，
则 z 的虚部为-1012 .
故答案为：-1012 .
四、解答题
10．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最
高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面
是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的 ICME—14 下
方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数 3744，也可以读出
n
其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是 n，求 (1+ i)2n 1+ i 及 ÷ 的值．
è 2
n
【答案】 (1+ i)2n = 22020 1+ i ， = -1．
è 2 ÷
【分析】利用进位制求出 n的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果.
【详解】∵11111100100 =1 210 +1 29 +1 28 +1 27 +1 26
+1 25 + 0 24 + 0 23 +1 22 + 0 21 + 0 20 =2020．
∴ n = 2020，
∴ (1+ i)2n = é(1+ i)2
n
ù = (2i)2020 = 22020 i2020 = 2
2020 ，
1 i n 1 i 2020 1 i 2 1010 + = + + 1010 2 ÷ 2 ÷
= ÷ = i = -1．
è è è 2
11．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 f x = asin2x + cos2x，且 f x π f - 6 ÷ .è
(1)求 f x 的最大值；
(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.
① A 为函数 f x 图象与 x 轴的交点，点 B ，C 为函数 f x 图象的最高点或者最低点，求
ABC 面积的最小值.
② O为坐标原点，复数 z1 = -2 - 4i， z2 = -2 + f t i 在复平面内对应的点分别为A ， B ，求
OAB面积的取值范围.
【答案】(1) 2
(2)① π；② 2,6 ．
π
【分析】（1）由已知可得，当 x = - 时函数 f x 取到最值，列方程解出 a，代入 f x ，进
6
而可得 f x 的最大值；
（2）若选①：分 B ，C 对应的 f x 同为最大值或最小值和 B ，C 对应的 f x 一个为最大
值，另一个为最小值两种情况讨论，分别利用三角形的面积公式求解，可得 ABC 面积的最
小值；若选②：由复数的几何意义，得出 A -2, -4 ，B -2, f t ，再由三角形的面积公式
结合正弦函数的性质求解．
π
【详解】（1）Q f x f - ÷ ，即当 x
π
= - 时函数 f x 取到最值，
è 6 6
又 f x 1= asin2x + cos2x = a2 +1sin 2x +j a2 +1，其中 tanj = a 0 ，a
2
é f π
2
\ -
ù
= a2 +1 éasin2 π- ，代入得 + cos2 π ù- = a2ê 6 ÷è ú ê ÷ ÷ú
+1，
è 6 è 6
2
3 2
即 - a
1
+ ÷÷ = a
2 +1，解得 a + 3 = 0，\a = - 3 ，
è 2 2
f x = - 3sin2x + cos2x π= -2sin 2x -

÷，
è 6
2x π当 - = 2kπ
π π
+ , k Z ，即 x = kπ + ,k Z时， f x 取到最大值 2；
6 2 3
（2）由（1）可得： f x π= -2sin 2x -

÷ ，
è 6
2π
选①：可得T = = π2 ，
当 B ，C 对应的 f x 同为最大值或最小值时，
S 1 1得 △ABC = A ×kT A ×T
1
= 2 π = π；
2 2 2
当 B ，C 对应的 f x 一个为最大值，另一个为最小值时，
得 S
1
△ABC = ×2A k
T 1
× A ×T 1= 2 π = π ；
2 2 2 2
综上： ABC 面积的最小值为 π
选②：由复数的几何意义知： A -2, -4 ，B -2, f t ，
\S 1 π △OAB = 2 AB = AB = f t + 4 = -2sin 2x - ÷ + 4，2 è 6
当 2x
π π
- = 2kπ - ,k Z，即 x = kπ
π
- ,k Z时， S 有最大值6；
6 2 6 OAB
2x π 2kπ π , k Z x kπ π当 - = + ，即 = + ,k Z时， S OAB 有最小值 2；6 2 3
\S△OAB 2,6
【综合提升练】
一、单选题
2
1．（2024· - i + i湖北武汉·模拟预测）设复数 z = 3 ,则 z 的虚部是（ ）-1- i
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】A
【分析】由 i2 = -1对式子进行化简,再根据除法规则,分母实数化即可.
z 1+ i 1+ i 1+ i 【详解】 = = - = -i1 ,则 ,虚部是 .- + i 1- i 1+ i z = i 1
故选:A.
2．（2024·河北·模拟预测）若 1+ ai a - i > 0,a R ，则（ ）
A． a =1 B． a = ±1
C． a -1或a 1 D．a 1
【答案】A
【分析】利用复数的乘法运算计算，再根据所得结果为实数求出 a .
ì2a > 0
【详解】显然 (1+ ai)(a - i) = 2a + (a2 -1)i，依题意， 2a + (a2 -1)i是正实数，因此 ía2 ， -1 = 0
所以 a =1 .
故选：A
1+ i
3．（2024·全国·模拟预测）已知 z = ，则
1 i z + z
3 + z5 =（ ）
-
A．i B．- i C．1+ i D．1- i
【答案】A
【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得 z = i ，代入所求式计算即得.
z 1+ i (1+ i)
2 2i
【详解】因为 = = = =i ，
1- i (1- i)(1+ i) 2
所以 z + z3 + z5 = i + i3 + i5 = i - i + i=i．
故选：A．
2
4．（2024·江西· z模拟预测）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为 1,-1 ，则 = （ ）1- 2i
4 2 i 2 4 i 4 2 i 2 4A． - B． - C． + D． + i
5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数 z 对应的点的坐标可以得出对应复数的代数
形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解.
【详解】因为复数 z 对应的点的坐标为 1,-1 ，所以 z =1- i，
2 z
2 2i 2i 1+ 2i 4 2
所以 z = 1- i 2 = -2i，所以 = - = - = - i1- 2i 1- 2i 1- 2i 1 ．+ 2i 5 5
故选：A．
-2 + ai
5．（2024·四川成都·模拟预测）复数 z = 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 a
1- i
的值为（　　）
A．1 B． 2 C． -1 D．-2
【答案】D
-2 - a + a - 2 i
【分析】利用复数除法法则得到 z = ，从而得到方程，求出答案.
2
-2 + ai -2 + ai 1+ i -2 - a + a - 2 i
【详解】Q z = = =1 i 1 i 1 i 2 在复平面上对应的点位于虚轴上，- - +
ì-2 - a = 0
∴ í a 2 0 ，即
a = -2 .
-
故选：D
1+ i
6．（2024·山西运城·三模）设 z = ，则 （
1 i2 ）+ + i5 z =
A．1- i B．1+ i C．-1- i D．-1+ i
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法、乘方运算化简，再求出其共轭复数.
【详解】因为 i2 = -1， i5 = i4 i = i ，
1+ i 1+ i 1+ i i
所以 z = 2 5 = = 2 =1- i，1+ i + i 1-1+ i i
所以 z =1+ i .
故选：B
7
7．（2024· i + a陕西西安·模拟预测）已知 i是虚数单位，若 z = 是纯虚数，则实数a = （ ）
2 + i
1
A 1．-2 B．2 C．- D．
2 2
【答案】D
2a -1 2 + a
【分析】根据虚数性质结合复数的除法运算可得 z = - i，再根据 z 是纯虚数列式
5 5
求解.
7
z i + a -i + a -i + a 2 - i 【详解】 = = = = 2a -1 2 + a- i2 + i 2 + i 2 + i 2 i 5 5 ，-
ì2a -1
7 = 0
z i + a
5 1
又因为 = 是纯虚数，所以 í2 a ，所以
a = .
2 + i + 0 2
5
故选：D.
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内 A, B,C 三点所对应的复数分别为1- i, 2 - i,3+ i ，
若四边形 ABCD为平行四边形，则点D对应的复数为（ ）
A．2 B． 2 + i C．1 D．1+ i
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解.
【详解】由题意知 A, B,C 三点的坐标为 A(1, -1), B(2, -1),C(3,1)，
uuur uuur
设复平面内点D(x, y) ，则 AB = (1,0), DC = (3 - x,1- y) ，
uuur uuur ì3- x =1 ìx = 2
又四边形 ABCD是复平面内的平行四边形，则 AB = DC ，则 í D(2,1)
1 y 0
，解得 í ，则 ．- = y =1
故选:B．
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1z2 R ，则 z1 = z2
C．若 z1 = z z2 22 ，则 1 = z2 D．若 z2 21 + z2 = 0 ，则 z1 = z2
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断 A；举出反例即可判断 BC；根据
复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断 D.
【详解】设 z1 = a + bi, z2 = c + di, a,b,c,d R ，
对于 A， z 2 2若 1 = z2 ，则 z1 = c - di，故 z1z2 = c + d R ，故 A 正确；
对于 B，当 z1 = z2 = i时， z1z2 = -1 R, z2 = -i z1，故 B 错误；
C z =1, z = i z2 =1, z2对于 ，当 1 2 时， 1 2 = -1，故 C 错误；
对于 D，若 z2 + z21 2 = 0 ，则 z
2
1 = -z
2 2 2 2
2 ，所以 z1 = -z2 = z2 ，
z2 = a2 - b2
2
+ 2abi = a2 - b2 + 4a2b2 = a2 + b21
2
= a2 + b2 = z 21 ，
z2 = z 2 z 2 = z 2同理 2 2 ，所以 1 2 ，所以 z1 = z2 ，故 D 正确.
故选：AD.
10．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（ ）
A． z × z = z 2 ， z C
B． i2024 = -1
C．若 z =1， z C，则 z - 2 的最小值为 1
D．若-4 + 3i 2是关于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，则 p = 8
【答案】ACD
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断 A；根据虚数单位的性质可判断
B；设 z = x + yi,(x, y R) ，根据复数的模的计算公式，可得 x2 + y2 =1，以及
z - 2 = -4x + 5 ，结合 x 的范围可判断 C；将 -4 + 3i 代入方程，结合复数的相等，求出 p，
即可判断 D.
【详解】对于 A， z C，设复数 z = a + bi,(a,b R) ，则 z = a - bi,(a,b R) ， | z |= a2 + b2 ，
故 z × z = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 = z 2 ，A 正确；
对于 B，由于 i2 = -1,i4 =1，故 i2024 = (i4 )506 =1，B 错误；
对于 C， z C，设 z = x + yi,(x, y R) ，由于 z =1，则 x2 + y2 =1,\ x2 + y2 =1，
故 z - 2 = (x - 2)2 + y2 = (x - 2)2 +1- x2 = -4x + 5 ，
由 x2 + y2 =1，得-1 x 1，则-4x + 5 1，
故当 x =1时， z - 2 的最小值为 1，C 正确；
对于 D，-4 + 3i 2是关于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，
故 (-4 + 3i)2 + p(-4 + 3i) + q = 0( p, q R)，即7 - 4 p + q + (3p - 24)i = 0，
ì7 - 4 p + q = 0 ì p = 8
故 í ,\í ，D 正确，
3p - 24 = 0 q = 25
故选：ACD
11．（2024·河南·三模）在复平面内，设O为坐标原点，复数 z2 , z 对应的点分别为A ， B ，
uuur uuur
若OA ^ OB，则 z 可能是（ ）
A． 2i B．1- 3i C． 3 + i D． 3 - i
【答案】ACD
【分析】设 z = a + bi,a,b R ，根据复数的四则运算以及几何意义可得
A a2 - b2 , 2ab , B a,-b ，再结合向量垂直的坐标表示分析求解.
【详解】设 z = a + bi,a,b R ，则 z2 = a2 - b2 + 2abi, z = a - bi，
uur uuur
可知 A a2 - b2 , 2ab , B a,-b ，即OA = a2 - b2 , 2ab ,OB = a, -b ，
uuur uuur
OA OB a a2若 ^ ，则 - b2 +2ab(-b) = a a2 - 3b2 = 0，
整理得所以 a = 0或 a2 = 3b2，
对比选项可知 ACD 正确，B 错误.
故选：ACD．
三、填空题
2 + 4i
12．（2023·天津南开·一模） i是虚数单位，复数 3 = .3- i
【答案】1+ i / i +1
【分析】根据虚数的性质，先计算 i3 = i2 × i = -i，然后代入原式，利用复数的四则运算法则
计算求解.
【详解】已知 i3 = i2 × i = -i
2 + 4i 2 + 4i 2 + 4i 3 - i 10 +10i
所以 3 = = 2 2 = =1+ i .3 - i 3+ i 3 - i 10
故答案为：1+ i
13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知复数 z 满足 (z - i)(1- i) = 2，则 z 的值为 .
【答案】 5
【分析】由条件根据复数的运算求出 z 的代数形式，再利用复数模的公式计算.
2 2 2 1+ i
【详解】由题意可得 z - i = ，则 z = i + = i + =1+ 2i，
1- i 1- i 1- i 1+ i
所以 z = 12 + 22 = 5 .
故答案为： 5 .
14．（2024·福建厦门·三模）复数 z 满足 z + z = 2， zz = 4 ，则 | z - z |= .
【答案】 2 3
【分析】根据复数的运算以及模长公式求解即可.
【详解】设 z = a + bi a,b R ，则 z = a - bi ，
由 z + z = 2， zz = 4 ，
ì2a = 2 ìa =1
得 ía2 + b2 4，解得= í ， b = ± 3
所以 z - z = 2bi = 2 3 ，
故答案为： 2 3 .
四、解答题
15．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于 x 得二次方程：
x2 + (2 + i)x + 4ab + (2a - b)i = 0(a,b R) .
(1)当方程有实数根时，求点 (a , b ) 的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
【答案】(1) (2a -1)2 + (b +1)2 = 2；
(2) -4，0 .
【分析】（1）根据复数相等结合条件可列出关于 a,b的方程，整理即可求得点 (a , b ) 的轨迹方
程；
（2）由题可得8a2 + 4ax0 + (x
2
0 + 2x0 ) = 0，然后根据判别式大于等于零即得．
【详解】（1）设方程的实数根为 x0 ，则有
x 20 + (2 + i)x0 + 4ab + (2a - b)i = 0，
即 (x20 + 2x0 + 4ab) + (x0 + 2a - b)i = 0，
ìx20 + 2x0 + 4ab = 0
所以 í ，
x0 + 2a - b = 0
两式消去 x0 可得 (b - 2a)2 + 2(b - 2a) + 4ab=0，
整理可得 (2a -1)2 + (b +1)2 = 2，
即点 (a , b ) 的轨迹方程是 (2a -1)2 + (b +1)2 = 2；
ìx20 + 2x0 + 4ab = 02 í x2（ ）由 可得 0 + 2x0 + 4a(x0 + 2a) = 0 ，
x0 + 2a - b = 0
2
整理得8a + 4ax0 + (x
2
0 + 2x0 ) = 0，
Qa R ，
\D =16x20 - 32(x
2
0 + 2x0 ) 0，
解得-4 x0 0，
\方程的实数根的取值范围是 -4，0 .
16．（2022·浙江·模拟预测）在正三棱台OAB - OA1B1 中， OAB是边长为 4的等边三角形，
| AB |
且 = 2
π
A B .已知 OO1 = 5， OCH = ，D， H 分别是线段OB， AB 的中点，当直线GH1 1 6
上一动点C 在射线OO1 上时， O1C =1， tan CA1B1 = 2 .
(1)证明：OC ^平面 A1B1C ；
(2)求直线GH 与平面 ABB1A1所成角的正弦值；
(3)连接CA，CB，已知点C 在平面OAB 投影是C1，平面OAB 是一个分别以DA，DO 作为 x ，
uuuur
y 轴的复平面， z = DC1 .当CA ^ CB时，请直接写出 z 的虚部（不要求写出过程）.
【答案】(1)证明见解析
(2) 142 - 6
24
(3) 1 3- ±
2
【分析】（1）过点O1作O1M ^面OAB ，过点C 作CH ^ A1B1，证明 AB ^ 面COH ，可得 A1B1 ^
面COH ，进而可得 A1B1 ^ O1C ，求出 CH 、 O1C 、 O1H 的长，由勾股定理逆定理可证明
O1C ^ CH ，再由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）过点C 作CN ^面 ABB1A1，由对称性可得点 N 在直线HH 上， CHN 即为GH 与平面
ABB1A
π
1所成角，在△OHC 中，由正弦定理求得 OHC = ，延长OO1 、HH 交于点 I ，可3
得O1H 为 IOH 的中位线，在 HIO中，由余弦定理可得 cos H HO的值，进而可得
sin H HO的值，再计算 sin CHH = sin H HO - OHC 即可求解；
uuuur uuur
（3）根据已知条件分析DC1 在DO 上的投影，即可得 z 的虚部.
【详解】（1）过点O1作O1M ^面OAB ，过点C 作CH ^ A1B1，
因为 OAB 1边长为 4的等边三角形，且上底面与下底面相似，比边长之为 2 ，
所以 O1A1 = A1B1 = O1B
1
1 = OA = 2，2
在正三棱台OAB - OA1B1 中，连接OH ，因为O1M ^面OAB ，
则点M 必落在OH 上，O1M ^ AB ，
因为 OAB为等边三角形， H 是线段 AB 的中点，可得OH ^ AB ，
因为O1M 面COH ，OH 面COH ，O1M OH = M ，所以 AB ^ 面COH ，
因为 AB//A1B1 ，所以 A1B1 ^面COH ，所以 A1B1 ^ CO ， A1B1 ^ CH ，
因为 CA1 = CB1 ，所以 H 是 A1B1 的中点，
1
因为 tan CA1B1 = 2 ，所以 CH = A1B1 × tan CA2 1
B1 = 2 ，
因为 H A B o是 1 1 的中点，所以 O1H = O1A1 ×sin 60 = 3 ，
2 2
所以 O1C + CH = O1H
2
，可得O1C ^ CH ，
因为 A1B1 ^ O1C ，CH A1B1 = H ，所以OC ^平面 A1B1C ，
（2）过点C 作CN ^面 ABB1A1，由对称性可得点 N 在直线HH 上，
因为 OC = OO1 + O1C = 6，
OH OC
在△OHC 中，由正弦定理可得： = ，
sin OCH sin OHC
2 3 6
= 3 π
即 1 sin OHC ，所以 sin OHC = ，所以 OHC = ，
2 2
3
因为HH 为梯形 ABB1A1的一条高，
所以 CHN 即为GH 与平面 ABB1A1所成角，
因为 OO1 = 5， O1H = 3 ， HH = 2 6 ， OH = 2 3 ，
延长OO1 、HH 交于点 I ，
1
因为 O1H = OH ，O1H //OH ，所以O1H 为 IOH 的中位线，2
所以 IO =10 ， IH = 4 6 ，
HIO
2
4 6 + 2 3 2 -102
在 中，由余弦定理可得： cos H HO 2= = ，
2 4 6 2 3 12
sin H HO 1 cos2 H HO 142所以 = - = ，
12
所以 sin CHH = sin H HO 142 1 2 3 142 - 6 - OHC = - = ，
12 2 12 2 24
142 - 6
所以直线GH 与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 .
24
3
（3）-1± .
2
17．（2021·上海·模拟预测）已知关于 x 的方程 x2 - 3ax - 3a = 0 a R 的虚数根为x1、x2 .
（1）求 x1 + x2 的取值范围；
（2）若 x1 - x2 =1，求实数 a的值.
【答案】（1） 0,4 2 3；（2） a = - ± .
3 3
【分析】（1）由题意 x1 = x2 ，从而 x1 + x2 = 2 x1 ，由复数的运算可得
2 x1 = 2 x1 x1 = 2 x1x2 ，根据判别式得出 a的范围，从而得出答案.
（2）将 x1 - x2 =1平方，将韦达定理代入，结合判别式得出 a的范围，可得答案.
4
【详解】由题意知，D = 9a2 +12a < 0，则- < a < 0 ， x3 1
+ x2 = 3a， x1 × x2 = -3a
（1） x1 = x2 ， x1 + x2 = 2 x1 = 2 x1 x1 = 2 x1x2 = 2 -3a
4
因为- < a < 0 ，所以
3 0 < 2 -3a < 4
，故 x1 + x2 的取值范围是 0,4 .
（2）1 = x1 - x
2
2 = x - x
2
1 2 = x1 + x
2
2 - 4x
2
1x2 = 9a +12a
因为9a2 +12a 0 2 3< ，所以19a2 +12a = -1，所以 a = - ± .
3 3
18．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数 z = m - i（m R），且 z × 1+ 3i 为纯虚数（ z 是
z 的共轭复数）.
m + 2i
（1）设复数 z1 = ，求 z1 ；1- i
2021
（2）复数 z a - i2 = 在复平面对应的点在第一象限，求实数 a的取值范围.z
26
【答案】（1） ；（2） 3, + .
2
1 5
【分析】（1）先根据条件得到 z = 3- i，进而得到 z1 = + i ，由复数的模的求法得到结果；2 2
z 3a +1 a - 3（2）由第一问得到 2 = + i，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求10 10
解.
【详解】（1）∵ z × 1+ 3i = m + i 1+ 3i = m - 3+ 3m +1 i为纯虚数，
∴ m - 3 = 0，3m +1 0，解得m = 3 .
3+ 2i 3+ 2i 1+ iz 1 5∴ 1 = = = + i 261 i 1 i 1 i 2 2 ，则- - + z1 = .2
505
（2） i2021 = i4 × i = i，
z a - i a - i 3 + i 3a +1 a - 3复数 2 = = = + i3- i 3- i 3+ i 10 10 在复平面对应的点在第一象限，
3a +1 0 a - 3∴ > ， > 0 ，解得 a > 3 .
10 10
∴实数 a的取值范围是 3, + .
【点睛】结论点睛：如果 z 是复平面内表示复数 z = a + bi (a,b R)的点，则①当 a > 0，b > 0
时，点 z 位于第一象限；当 a<0，b > 0时，点 z 位于第二象限；当 a<0，b < 0时，点 z 位于
第三象限；当 a > 0，b < 0时，点 z 位于第四象限；②当b > 0时，点 z 位于实轴上方的半平
面内；当b < 0时，点 z 位于实轴下方的半平面内．
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 a0 ,a1,a2 ,L,an ,L，我们称

f (x) a= n xn = a0 + a1x a+ 2 x2 a+L+ n xn +L（规定0!=1）为无穷数列 an! 2! n! n 的指数型母函n=0
1 x2 n
数．无穷数列 1，1，…，1，…的指数型母函数记为 e(x) = xn =1+ x x+ +L+ +L，
n=0 n! 2! n!
它具有性质 e(x)e(y) = e(x + y)．
(1)证明： e( x)
1
- =
e(x) ；
k
c(x) (-1) x2k 1 x
2 x4 x2k e(ix) + e(-ix)
(2)记 = = - + +L+ (-1)k +L．证明： c(x) = （其中 i
k =0 (2k)! 2! 4! (2k)! 2
为虚数单位）；
x
(3)以函数 e(x) 1为指数型母函数生成数列
Bn ，-
x Bn xn B= = B0 + B 21x + x2 B+L+ n xn +L．其中Bn 称为伯努利数．证明：e(x) -1 n=0 n! 2! n!
B 11 = - ．且B2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．2
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由 e(x)e(y) = e(x + y)，通过赋值即可证得；
（2）根据 i的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；
（3）构造 g(x)
x
= g(-x) - g(x) = x
e(x) 1，可以推出 ，然后再可证得.-
【详解】（1）令 x = 0，则 e(0) =1．
由 e(x)e(y) = e(x + y)，令 y = -x，则 e(x)e(-x) = e(0) =1．
1
因为 e(x) 0 ，故 e(-x) = e(x) ．
(ix)4n (-ix)4n x4n x4n 2x4n
（2）证明：因为 + = + = ，
(4n)! (4n)! (4n)! (4n)! (4n)!
(ix)4n+1 (-ix)4n+1 ix4n+1 -ix4n+1
+ = + = 0，
(4n +1)! (4n +1)! (4n +1)! (4n +1)!
(ix)4n+2 (-ix)4n+2 -x4n+2 -x4n+2 -2x4n+2
+ = + = ，
(4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)!
(ix)4n+3 (-ix)4n+3 -ix4n+3 ix4n+3
+ = + = 0，
(4n + 3)! (4n + 3)! (4n + 3)! (4n + 3)!
é 4n 4n+2 ù k k
e(ix) + e(-ix) = 2x 2x 2(-1) 2k (-1) 2kê - = x = 2 x = 2c(x) ，
n=0 (4n)! (4n + 2)!
ú
k =0 (2k)!

k =0 (2k)!
所以 c(x)
e(ix) + e(-ix)
=
2
x
（3）证明：令 g(x) = e(x) 1，则有-
g( x) g(x) -x x é 1 1 ù- - = - = -x +
e(-x) -1 e(x) -1 ê e(-x) -1 e(x) -1
ú

x [e(x) -1]+ [e(-x) -1] e(x) + e(-x) - 2= - × = -x × = x
[e( x) 1][e(x) 1] 2 e(x) e( x) ， - - - - - -

x = g(-x) g(x) B- = n (-x)n B- n xn因此
n=0 n! n=0 n!
B
= -2 2k +1 x2k +1 é B= -2 B x + 2k +1 x2k +1 ùê 1 ú
k =0 (2k +1)! k =1 (2k +1)!
B 1
B
= - 2k +1 x2k +1故 1 且 = 0，即B2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．2 k =1 (2k +1)!
【点睛】关键点点睛：主要考查了复数 i的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比
较高，综合性很强
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·二模）已知 z C，则“ z2 R ”是“ z R ”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】易知 z = i z2 R ，所以不满足充分性，而 z R z2 R ，满足必要性.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知 i为虚数单位，且复数 zi2024 = 6，则下列说法中正确的是
（ ）.
A．复数 z 为实数 B． i2024 = i
C．复数 z 为纯虚数 D． z = -6i
【答案】A
【分析】借助复数的运算法则计算即可得.
1012
【详解】 i2024 = i2 = -1 1012 =1，故 z = 6，
故 A 正确，B、C、D 错误.
故选：A.
3．（2024· 2024全国·模拟预测）已知复数 z 满足： 1+ i z = 2 + 3i （ i为虚数单位），则 z 在复平
面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意结合复数的四则运算及几何意义分析求解.
2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i 3
1+ i2024【详解】因为 z = 2 + 3i ，可得复数 z = = = =1+ i1+ i2024 1+ -1 1012 2 2 ，
3
可得 z =1
3
- i ，所以 z 在复平面内对应的点的坐标为 1, - ÷ ，位于第四象限.2 è 2
故选：D．
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 z1 ， z2 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 z1 + z2 > 0，则 z2 = z1
B．若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 且 z2 = 0
C 2 2．若 z1 = z2 ，则 z1 = z2
D．若 z - z1 = z - z2 ，且 z1 z2 ，则 z 在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【分析】设出 z1 = a + bi 、 z2 = c + di，对 A，借助复数性质计算即可得；对 B、C，举出反例
即可得；对 D：设 z = x + yi，由题意可计算出 x 、 y 之间的关系，即可得解.
【详解】设 z1 = a + bi 、 z2 = c + di， a、b 、 c、d R ，
对 A：若 z1 + z2 > 0，则有 a + c + b + d i > 0，
即 a + c > 0且b + d = 0，故 A 错误；
对 B：取 z1 = 0 、 z2 =1，亦有 z1z2 = 0，故 B 错误；
对 C：取 z1 = i， z2 =1，则有 z1 = z2 =1， z
2
1 = i
2 = -1 z22 =1，故 C 错误；
对 D：设 z = x + yi， x 、 y R，若 z - z1 = z - z2 ，
x - a 2 + y - b 2 2 2则有 = x - c + y - d ，
即有 x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = x2 - 2cx + c2 + y2 - 2dy + d 2 ，
整理得 2a - 2c x + 2b - 2d y + d 2 + c2 - a2 - b2 = 0，
由 z1 z2 ，故 2a - 2c = 0与 2b - 2d = 0 不能同时成立，
故 z 在复平面对应的点在直线 2a - 2c x + 2b - 2d y + d 2 + c2 - a2 - b2 = 0上，
故 D 正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·二模）已知复数 z1 的虚部与 z2 的实部均为 2，则下列说法正确的是（ ）
A． z1 是虚数
B．若 z1 = z2 = 2，则z1 = z2
C．若 z1 = z2 ，则 z1 与 z2 对应的点关于 x 轴对称
D．若 z1 × z2 是纯虚数，则 z1 = z2
【答案】ACD
【分析】借助虚数定义可得 A；借助模长共识计算即可得 B；借助共轭复数定义与复数的几
何意义可得 C；借助复数的乘法运算与纯虚数定义及模长定义即可得 D.
【详解】可设复数 z1 = a + 2i a R ， z2 = 2 + bi b R
A 选项：根据虚数定义可知 A 正确；
B 选项： z1 = z = 2，所以 a2 + 4 = b22 + 4 = 4，则 a = b = 0，
所以 z1 = 2i， z2 = 2，所以 z1 z2 ，故 B 不正确；
C 选项：若 z1 = z2 ，所以 a + 2i = 2 - bi ，所以 a = 2，b = -2，
所以 z1 ， z2 对应的点分别为 2,2 和 2, -2 ，则关于 x 轴对称，故 C 正确；
D 选项：因为 z1 × z2 = a + 2i 2 + bi = 2a - 2b + 2a + 2b i ，
且 z1 × z2 是纯虚数，所以 a = b，所以 z1 = 2 + 2i ， z2 = 2 + 2i，则z1 = z2，
所以 z1 = z2 ，故 D 正确．
故选：ACD.
6．（2024·山东青岛·一模）已知复数 z，下列说法正确的是（ ）
A．若 z - z = 0，则 z 为实数 B．若 z2 + z 2 = 0，则 z = z = 0
C．若 z - i =1，则 | z |的最大值为 2 D．若 | z - i |=| z | +1，则 z 为纯虚数
【答案】AC
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设 z = a + bi a,b R ，则 z = a - bi ，
若 z - z = 0，即 a + bi - a - bi = 2bi = 0，即b = 0，则 z 为实数，故 A 正确；
若 z2 + z 2 = 0，即 a + bi 2 + a - bi 2 = 0，
化简可得 a2 - b2 + 2abi + a2 - b2 - 2abi = 0 ，即 a2 = b2 ，即 a = ±b，
当 a = b时， z = a + ai， z = a - ai，此时不一定满足 z = z = 0，
当 a = -b 时， z = a - ai， z = a + ai，此时不一定满足 z = z = 0，故 B 错误；
若 z - i =1，即 z - i = 1 = a + b -1 i = a2 + b -1 2 =1，
所以 a2 + b -1 2 =1，即 z 表示以 0,1 为圆心，以1为半径的圆上的点，
且 z 表示圆上的点到原点的距离，所以 | z |的最大值为 2，故 C 正确；
若 | z - i |=| z | +1 2，即 z - i = a + b -1 i = a2 + b -1 ，
z +1 = a2 + b2 +1 a2 + b -1 2，即 = a2 + b2 +1，
化简可得b = - a2 + b2 ，则 a = 0且b 0，
此时 z 可能为实数也可能为纯虚数，故 D 错误；
故选：AC
三、填空题
7．（2024·上海普陀·二模）已知复数 z =1+ i，其中 i为虚数单位，则 z 在复平面内所对应的
点的坐标为 .
【答案】 (1, -1)
【分析】求出复数 z 的共轭复数，进而可得点的坐标．
【详解】由题意，复数 z =1- i，在复平面内所对应的点的坐标为 (1, -1) ．
故答案为： (1, -1) ．
8．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数 z 所对应的点为 (1,1) ，则 z × z = ．
【答案】2
【分析】根据复数的几何意义可得 z =1+ i，由乘法运算即可求解.
【详解】由题意可知 z =1+ i ，所以 z × z = 1+ i 1- i =2 ，
故答案为：2
9．（2024·上海杨浦·二模）设复数 z1 与 z2 所对应的点为Z1 与Z2 ，若 z1 =1+ i， z2 = i × z1，则
uuuur
Z1Z2 = .
【答案】2
【分析】由题设结合复数的乘法求出 z2 ，再借助复数的几何意义求出结果.
【详解】依题意， z2 = i × (1+ i) = i -1，则 z2 - z1 = i -1- (1+ i) = -2，
uuuur uuuur uuuur
所以 Z1Z2 = OZ2 - OZ1 = 2 .
故答案为：2
四、解答题
10．（2022·甘肃兰州·一模）实数m 取什么值时，复数 z = m + 3+ (m - 3)i是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1) m = 3；
(2) m R,m 3；
(3) m = -3 .
【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】（1）复数 z = m + 3 + (m - 3)i是实数，则m - 3 = 0，解得m = 3，
所以当m = 3时，复数是实数.
（2）复数 z = m + 3 + (m - 3)i是虚数，则m - 3 0，解得m 3，
所以当m R,m 3时，复数是虚数.
ìm + 3 = 0
（3）复数 z = m + 3 + (m - 3)i是纯虚数，则 í m = -3
m - 3 0
，解得 ，

所以当m = -3时，复数是纯虚数.
11．（2024·贵州黔南·二模）1799 年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：
任何复系数一元 n次多项式方程在复数域上至少有一根（ n 1）.此定理被称为代数基本定
理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： n次复系数
多项式方程在复数域内有且只有 n个根（重根按重数计算）.对于 n次复系数多项式
f x = xn + an-1xn-1 + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0有 n个复根
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
1 i< j n
x1, x2 , × × ×, x

n ，则有如下的高阶韦达定理： í n
x i x j xk = -an-31 i< j
M
n
x1x2 × × × xn = -1 a0
(1)在复数域内解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三个根分别是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i为虚数单
位），求 a，b ， c的值；
(3) n 4 f x = xn + a xn-1 2在 的多项式 n-1 + ×××+ a1x + a0 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
a为非零实数，且方程 f x = 0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 n的式子
表示）.
【答案】(1) x = ±2i
(2) a = 4,b = 6,c = -4
1 1 1 1
(3) = = ××× = =x1 x2 xn n
【分析】（1）根据题意直接解方程即可；
（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；
1 1 1
（3）根据题意结合韦达定理可得 x1 + x2 + ×××+ x =1 + + ×××+ n
2
n ，结合不等式可得 x ，1 x2 xn
ìx x × × × x n-1 1 2 n-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × xn = -1 -n2a 1 1 1
由 í 可得 + + ×××+ = n
2
，结合不等
x1x2 × × × xn = -1
n a x1 x2 xn
式成立条件分析求解.
【详解】（1）由 x2 + 4 = 0可得 x2 = -4 ，解得 x = ±2i .
ìx1 + x2 + x3 = -a

（2）由题意可知： íx1x2 + x2x3 + x1x3 = b，

x1x2x3 = -c
ì4 = -a
将 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2

代入可得 í6 = b ，

4 = -c
所以 a = 4,b = 6,c = -4 .
r r
（3）设 a = a1,a2 , × × ×,an ,b = b1,b2 , × × ×,bn ， a1,a2 , × × ×,an ,b1,b2 , × × ×,bn > 0，
r r r r r r
因为 a ×b a b ，当且仅当 a ∥ b 时，等号成立，
可得 a1b1 + a2b2 + ×××+ anbn a
2 + a21 2 + ×××+ a
2
n × b
2 + b21 2 + ×××+ b
2
n ，
即 a 2 2 21b1 + a2b2 + ×××+ anbn a1 + a2 + ×××+ an × b
2
1 + b
2
2 + ×××+ b
2
n ，
a1 a2 a
当且仅当 = = ××× = nb b b 时，等号成立，1 2 n
因为方程 f x = xn + an-1xn-1 + ×××+ a1x + a0 = 0 的根恰好全是正实数，
设这 n 个正根分别为 x1, x2 , × × ×, xn ，
且 a 2n-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
ìx1 + x2 + ×××+ x =1 n
由题意可知： íx1x2 × × × xn-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × xn = -1
n-1 -n2a ，
n
x1x2 × × × xn = -1 a
因为 x1 + x2 + ×××+ xn =1，且 x1, x2 , × × ×, xn 均为正数，
1 1 1 1 1 1
则 + + ×××+ = x1 + x2 + ×××+ xn + + ××× +x ÷1 x2 xn è x1 x2 xn
2
1 1 1
x1 × + x2 × + ××× + xn × ÷÷ = n
2 ，
è x1 x2 xn
1 1 1 1
当且仅当 = = ××× = =x x x n 时，等号成立，1 2 n
n-1
x x × × × x + x × × × x x + ×××+ x x × × × x 1 1 1 -1 -n2a 2
又因为 1 2 n-1 1 n-2 n 2 3 n = + + ×××+ = = n ，
x1x2 × × × xn x1 x2 xn -1 n a
1 1 1
即 + + ×××+ = n2x1 x
，
2 xn
1 1 1 1
所以 = = ××× = =x x x n .1 2 n
1 1 1
+ + ×××+ n2
【点睛】关键点点睛：利用柯西不等式可得则 x1 x2 xn ，当且仅当
1 1 1 1
= = ××× = =
x1 x2 xn n 时，等号成立，注意等号成立的条件分析求解.

展开更多......

收起↑