考点32平面向量的数量积（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）（含答案） 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

资源简介

考点 32 平面向量的数量积（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
【知识点】
1．向量的夹角
→ →
已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作O A＝a，O B＝b，则＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量叫做向量 a 与 b 的数量
积，记作 .
3．平面向量数量积的几何意义
→ →
设 a，b 是两个非零向量，它们的夹角是 θ，e 是与 b 方向相同的单位向量，A B＝a，C D＝b，
→ → —→
过A B的起点 A 和终点 B，分别作C D所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A 1B1，我们
—→
称上述变换为向量 a 向向量 b ，A 1B1叫做向量 a 在向量 b 上的．记为 .
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝＝．
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
几何表示坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夹角 cos θ＝_____ cos θ＝___________
a⊥b 的充要条件 a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x 21x2＋y1y2|≤ x1＋y21 x22＋y22
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若 a 与 b 的夹角为锐角，则 a·b>0；若 a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角或 0.
(2)若 a 与 b 的夹角为钝角，则 a·b<0；若 a·b<0，则 a 与 b 的夹角为钝角或 π.
【核心题型】
题型一　平面向量数量积的基本运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义
【例题 1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur
AB = 4, AD = 3, BAD = 60°, DP = l DC(l > 0), AP × BP = 9 ，则l 的值为（）
4 3 2
A B C D 1．．．．
5 4 3 2
r r r r r r r r r
【变式 1】（2024·浙江金华·三模）已知 a = 4， b = 3， a + b = a - b ，则 a × a - b = （）
A．-16 B．16 C．-9 D．9
r r r r r r
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量 a,b 的夹角为 60°，若 (4a - b) ×b = -8,| a |= 1，
r
则 | b |= .
【变式 3】（2024·辽宁丹东·一模）记VABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知VABC
面积为 S，且 a2 + b2 - c2 = 4 3S ．
(1)求 C；
uuur uuur
(2)若 a = 2 3 ，BA × BC = 6 ，求 S．
题型二　平面向量数量积的应用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
a·b
①定义法：cos θ＝；
|a||b|
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中 a≠0，b≠0)
命题点 1　向量的模
r r r r r r
【例题 2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量 a，b 满足 a =1， b = 3 ，且 a与b 的夹
5π r r
角为，则 2a - b =（）
6
A 1． 2 B． 13 C．1 D．13
r r π r 3 1 r r
【变式 1】（2024·河北·三模）已知非零向量 a ，b 的夹角为， a = - , ÷÷， a - b =12 2 ，则3 è
r r
a + b =（）
A 1 B 3．． C． 2 D． 3
2
【变式2】（2024·河南·三模）已知VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，C = 60°，
c = 7，若 a - b = 3, D 为 AB 中点，则CD = ．
【变式 3】（2023·福建福州·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且
asinC 2p= csinB ,C = ．
3
(1)求 B ；
(2)若VABC 3 3面积为，求BC 边上中线的长．
4
命题点 2　向量的夹角
r r r r
【例题 3】（2024· r北京·三模）若 | a |=1,| b | 2 , (ar b ) ar= - ^ ，则向量 a与b 的夹角为（）
A．30° B．60° C．120° D．150°
r r r r r r r r
【变式 1】（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量 a,b,c满足 a = b + c，则向量b,c的夹角
为（）
p p 2p 5p
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r 1 r
【变式 2】（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量 a在向量b 上的投影向量为- b ，且2
ar
r
3 b r r= ，则 a与b 夹角的余弦值为．
【变式 3】（2024·江西·模拟预测）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， P 是棱 A1B1 的中点，Q
是棱 AC AQ 3上一点，且 = ， AB = 2BB1 = 2 .
AC 3
(1)求证：BP ^ B1C ；
(2)求平面PQB1与平面BPB1的夹角的余弦值.
命题点 3　向量的垂直
r r r r r r r
【例题 4】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量m ， n满足 m =1， n = 2，且 m - n ^ m，
mr r则 - n =（）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
r r r r r r r r
【变式 1】（2024·重庆·模拟预测）已知 | a |=1,| b |= 2，且 a与b 不共线，若向量a + kb 与a - kb
互相垂直，则实数 k 的值为（）
1
A 1
1
．- B． C．±2 D．±22 2
ar ar r
r r r
【变式 2】（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与 a + b 垂直， a与b 的夹角为
r r
135° ar，则 + b 在b 上的投影数量为 .
【变式 3】（2023 高三·全国·专题练习）四面体 ABCD中， AB2 + CD2 = AD2 + BC 2 ，求证：
AC ^ BD ．
题型三　平面向量的实际应用
　用向量方法解决实际问题的步骤
【例题 5】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体 M 吊在水平杆子 AB 上.已知物体 M
的重力大小为 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，当角q 取哪个值时，绳OB承受的
拉力最小.（）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【变式 1】（2020·宁夏中卫·二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部
分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只
胳膊的拉力大小均为 400N ，则该学生的体重（单位： kg ）约为（）
（参考数据：取重力加速度大小为 g＝10m / s2，3 1.732 ）
A．63 B．69 C．75 D．81
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O的三个力F1，F2，F3 使物体
处于平衡状态，已知F1 =1N，F2 = 2N ，F1与F2 的夹角为120°，则F3 的大小为．（牛
顿N是物理的力学单位）
【变式 3】（2022·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30o的斜面上，物
ur uur
体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G ，垂直斜面向上的弹力F1 ，沿着斜面向
uur uur ur uur
上的摩擦力F2 .已知： F1 = 80 3N, G =160N ，则F2 的大小为 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
r r r r r 1 r r
1．（2024· r山西太原·模拟预测）已知单位向量 a，b 满足 a - b × a = ，则2 a - 2b 与b 的夹角
为（）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r r ar
r
b 1, cr2 2024· · a,b ,c = = = 3 ar
r r
．（四川眉山三模）已知向量满足，且 +b + c = 0，则
r
cos ar cr- ,b r- c =（）
13 13
A． B 3 3 C 3 3．．
14 -
D．-
14 14 14
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）记 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b = 2 ，
cos B cos A + cosC uuuur uuuur uuuur
= ，
b a + c 2AM = MC
，则 BM 可能是（）
1 2A． 2 B． C．1 D．23
4．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆 O 内接边长为 1 的正方形 ABCD, P 是弧BC （包括端点）
uuur uuur
上一点，则 AP × AB的取值范围是（）
é 4 + 2 ù é 2 + 2 ù é 1+ 2 ù é 2 ù
A． ê1, ú B． ê1, ú C． ê1, ú D． ê ,1ú
4 2 2 4
二、多选题
r r
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量 a = (-1,2)，b = (6,-2)，则（）
r r r r r
A． (2a + b) ^ a B． | a - b |= 65
r r π r r 1 r
C． a 与b 的夹角为 D． a 在b 上的投影向量为- b4 4
r r r
6．（2024·浙江温州·模拟预测）已知单位向量 a,b ,c 共面，则下列说法中正确的是（）
r r r r r r r r r r r
A．若 a
r
+ b = a - b ，则a / /b B．若 a + b = a - b ，则a ^ b
r r r r r r π r r r r r r 2π
C．若 a + b + c = 0 ，则 a,c = D．若3 a + b + c = 0
，则 b,c =
3
三、填空题
r r r r
7．（2024·辽宁丹东·二模）设向量 a ，b 的夹角为60o ，且 a =1， b = 2，则
r r ra + 2b ×b = ．
8．（2021·云南昆明·三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2 大
小之比为．
r r r r r r r r
9．（2024·重庆·模拟预测）已知非零向量 a、b 满足 a = 2 b , a + b ^ b ，则向量 ar与b 的夹
角为．
四、解答题
10．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）记VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ，
c r r r r，向量m = b,sinA + sinC ， v = sinA + sinB, a - c 且m ^ v ．
(1)求角C 的大小；
3
(2)若VABC 3的面积为， cosAcosB = ，求 c．
4 4
11．（2024·江苏南通·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，已
uuur uuur
知 a = 2， c2 = BA × BC - 2 3S ，其中S 为VABC 的面积.
(1)求角A 的大小；
(2)设D是边BC 的中点，若 AB ^ AD ，求 AD 的长.
【综合提升练】
一、单选题
r r r r r
1．（2024·宁夏固原· r一模）已知向量 a = (1, -1),b = (0, t) ，若 a ^ a + 2b ，则 b = （）
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
r r r r r
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 | a |= 2，b = (1, 2) | ar， - 2b |= 2，则向量 a与b 的夹角
为（）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r r r r r r
3．（2024· r吉林长春·模拟预测）已知两个向量 a,b 满足 a ×b = b =1， a - b = 3 ，则 a =
（）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
ur uur r ur uur
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知 e1 ， e2 是单位向量，且它们的夹角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 - e2 ，且 a ^ b，则l =（）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
5．（2024·河北衡水·模拟预测）在VABC 中，
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
BAC = 60o , AB = 6, AC = 3, AM = 2MB,CN = NM ，则 AN ×CB =（）
17
A．-9 B． C．9 D．18
2
r r r
6．（2024·河南·模拟预测）已知向量 a,b
r
满足 a = b = a ×b = 2，又非零向量 c满足
cr ar cr
r r r
× = ×b ，则b 与 c 的夹角为（）
π π π 2π π 5π
A． B． C．或 D．或
6 3 3 3 6 6
r r r r r r
7．（2024·
r
湖北黄冈·二模）已知 e 为单位向量，向量 a满足 a ×e = 3, le - a =1，则 a 的最大
值为（）
A．9 B．3 C． 10 D．10
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
8．（2024·云南曲靖·二模）已知O是VABC 的外心， AB + AC = 2AO， OA = AB ，则向量 AC
uuur
在向量BC 上的投影向量为（）
1 uuur 2 uuur 3 uuur 3 uuurA．- BC B．- BC C． BC D．4 4 4
BC
4
二、多选题
r r r r r r r r r r r
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量a = 1,-1 ,b = 2,k ,a ^ b,c = a - tb．若 a,c = b,c ，
则（）
r 1 r r r
A． a = b B．
2 b ×c = 4
r r r r 2 2
C．b 在 c方向上的投影向量为 c D．与b 反向的单位向量是 ,2 2 ÷÷è
r r
10．（23-24 高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量 a，b 的夹角为q ，则下列结论正确
的有（）
r
A (ar b) r
r
． + ^ (a - b)
r r r r
B r． a在b 方向上的投影向量为 (a ×b)b
r rC．若 | a + b |=1，则q = 60o
r r r
D．若 (ar + b) r× a = (ar b) ar ar- × ，则 // b
11．（2024·贵州黔东南·二模）拋物线C : y2 = -2 px( p > 0) 的焦点F 到准线的距离为 1，经过
点 P m,0 的直线 l与C 交于 A, B两点，则（）
2 2
A．当m =1时，直线 l斜率的取值范围是 - ,2 2 ÷÷è
1 1
B．当点 P 与点F 重合时， + = 2FA FB
uuur uuur
C．当m = -2时，FA与FB的夹角必为钝角
D．当m = -2时， AOB 为定值（O为坐标原点）
三、填空题
r r r r r12．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量 a,b 满足 a = 2， 4a + b r r r×b = 4，则 2a + b = .
13．（2020·河北张家口·二模）如图，某班体重为 70kg 的体育老师在做引体向上示范动作，
两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F ，若使身体能向上移动，则拉力F 的最小整数值为
N．（取重力加速度大小为g =10m / s2 ， 3 1.732）
π
14．（2024·吉林长春·模拟预测）在VABC 中，已知 A = , BC = 2 3 ，当边 BC 的中线 AD = 7
3
时，VABC 的面积为．
四、解答题
π
15．（2024·贵州·模拟预测）在 VABC 中， AB = 13， AC = 2， C = ， N 为 AB 的中点，6
A的角平分线 AM 交CN 于点O .
(1)求CN 的长；
(2)求VAOC 的面积.
r r 1
16．（22-23 高三上·河南安阳·阶段练习）已知 a = sin x + cos x, 2cosq ,b = 2sinq , sin 2x2 ÷.è
r π r r
(1)若 c = (-3,4)且 x = ,q 0, π 时， a 与 c的夹角为钝角，求 cosq 的取值范围；4
π r r
(2)若q = ，函数 f x = a ×b，求 f x 的最小值.
3
17．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为
a,b,c, a - b = c ．
cosB - cosA
(1)试判断VABC 的形状，并说明理由；
uuur uuur 3
(2)若 a = 3b ，点 P 在VABC 内，PA × PC = 0 ， tan PCB = ，求 tan APB．4
18．（2024·福建宁德·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .已知
a2 + c2 = 9 + 2ac cos B，且 sin B = 3 sin AsinC .
(1)若BD ^ AC ，垂足为D，求 BD 的长;
uuur uuur
(2)若BA × BC = 3，求 a + c的长.
19．（2024·湖北·二模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c a < b ，
c = 2a cos Acos B - b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD = BC ， AD = 2，求b + c 的取值范围．
3
【拓展冲刺练】
一、单选题
r r r r r r r r r
1．（2024·江苏·模拟预测）已知向量 a ，b 满足 a =1， b = 2 3 ，b × 2a - b = -18，则 a 与b
的夹角等于（）
A．30° B．60° C．120° D．150°
r r r r r r r r
2．（2024·浙江·三模）已知单位向量 a,b满足 a ×b = 0 ，则 cos 3a + 4b, a + b =（）
A 0 B 7 2 C 2．．． D．1
10 10
r r r
3．（2024· r陕西·模拟预测）已知两个向量 a = (2,-1),b = ( 3,m) r，且 (a + b) ^ (ar - b) ，则m 的
值为（）
A． ±1 B．± 2 C．±2 D．±2 3
2 2
4．（2023 · · x y高三全国专题练习）已知椭圆 + =1，F
9 6 1
, F2 为两个焦点，O 为原点，P 为椭
3
圆上一点， cos F1PF2 = ，则 | PO |=（5 ）
2
A B 30
3 35
．． C． D．
5 2 5 2
二、多选题
r r
5．（2024·贵州·模拟预测）已知 a = (3, -1) ，b = (2,1)，则下列结论正确的是（）
r r rA． a - b ^ b
r r
B． a + 2b = 5 10
r r p
C． a 与b 的夹角为 4
r r r
D． a 在b 方向上的投影向量是 5b
r r
6．（2022·湖北·模拟预测）已知向量 a = -2，1 ，b = -1, t ，则下列说法正确的是（）
A ar
r
．若 ^ b ，则 t 的值为-2
r
B ar
1
．若 //b ，则 t 的值为 2
r
C．若0 r< t < 2，则 a与b 的夹角为锐角
r r r r r r r r
D．若 a + b ^ a - b ，则 a + b = a - b
三、填空题
r r r r r r r r r7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量 a,b满足 2 a = b ，且 a ^ a - b ，则 a，b的夹
角大小为．
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur | AB |
8．（2024·安徽合肥·三模）在VABC 中，若BA × BC = CA ×CB = 3AC × AB，则 uuur = .
| BC |
9．（2023·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量OA1，OA2 ，…，OAn ，若存在
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
单位向量OP 满足OP × OA1 + OP × OA2 +L + OP ×OAn = 0 ，则称OP 是向量组OA1，OA2 ，…，
uuur uuuur π uuur uuur uuuur uuuurOAn 的平衡向量．已知 OA1,OA2 = ，向量OP 是向量组OA1 ，OA2 ，OA3 的平衡向量，当3
uuur uuuur uuur uuuur
OP ×OA3 取得最大值时，OA1 ×OA3 值为．
四、解答题
10．（2024·山东枣庄·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a sinAtan C= ．
2c 2
(1)求C ；
uuur uur uuur
a 8,b 5,CH m(2)若 = = 是边 AB 上的高，且CH = mCA + nCB，求．n
11．（2023·河北衡水·模拟预测）已知VABC ，D 为边 AC 上一点， AD =1，CD = 2 .
uuur uuur 3 uuur uuur
(1)若BA × BD = ，BC × BD = 0 ，求 S4 VABC
；
(2)若直线 BD 平分 ABC ，求△ABD 与△CBD内切圆半径之比的取值范围.考点 32 平面向量的数量积（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
【知识点】
1．向量的夹角
→ →
已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作O A＝a，O B＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
叫做向量 a 与 b 的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积，
记作 a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
→ →
设 a，b 是两个非零向量，它们的夹角是 θ，e 是与 b 方向相同的单位向量，A B＝a，C D＝b，
→ → —→
过A B的起点 A 和终点 B，分别作C D所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A 1B1，我们
—→
称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，A 1B1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量．记为|a|cos θ
e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
几何表示坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
a·b x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
|a||b| x21＋y21 x22＋y22
a⊥b 的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x12＋y21 x22＋y22
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若 a 与 b 的夹角为锐角，则 a·b>0；若 a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角或 0.
(2)若 a 与 b 的夹角为钝角，则 a·b<0；若 a·b<0，则 a 与 b 的夹角为钝角或 π.
【核心题型】
题型一　平面向量数量积的基本运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义
【例题 1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur
AB = 4, AD = 3, BAD = 60°, DP = l DC(l > 0), AP × BP = 9 ，则l 的值为（）
4 3 2
A． B． C D 1．
5 4 3
． 2
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【分析】用向量 AB, AD表示向量 AP, BP，再结合数量积的运算律计算即得.
uuur uuur
【详解】平行四边形 ABCD中，由 AB = 4, AD = 3, BAD = 60°，得 AB × AD
1
= 4 3 = 6，
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由DP = lDC(l > 0)，得 AP = AD + DP = l AB + AD, BP = BC + CP = (l -1)AB + AD ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因此 AP × BP = (l AB + AD) ×[(l -1)AB + AD] =16l(l -1) + 6(2l -1) + 9 = 9，
3
整理得8l 2 - 2l - 3 = 0，即 (2l +1)(4l - 3) = 0，所以l = .4
故选：B
r r r r r r r r r
【变式 1】（2024·浙江金华·三模）已知 a = 4， b = 3， a + b = a - b ，则 a × a - b = （）
A．-16 B．16 C．-9 D．9
【答案】B
r 2 r r r2 r r r r2 r r r2 r r
【分析】由已知可得 a + 2bga + b = a - 2bga + b ，可求得bga = 0 ，进而计算可求 a × a - b .
r r r r
a + b = a - b r 2 r r r2 r 2 r r r2【详解】由，两边平方可得 a + 2bga + b = a - 2bga + b ，
r r r r r r 2 r r
所以bga = 0 ，所以 a × a - b = a - agb = 42 - 0 =16 .
故选：B.
r r r r
【变式 2】（2024· r r陕西西安·模拟预测）已知向量 a,b 的夹角为 60°，若 (4a - b) ×b = -8,| a |= 1，
r
则 | b |= .
【答案】4
r r r
【分析】对 (4a - b) ×b = -8化简结合已知条件可得答案.
r r r
【详解】因为向量 a,b 的夹角为 60°， | a |=1，
r ra b ar
r r
所以 × = × b cos 60
1
° = b
2
r r r r r r r r
所以由 (4a - b) ×b = -8，得 4a ×b - b 2
2
= 2 b - b = -8
r r r r
| b |2 -2 | b | -8 = 0,得 | b |= 4，或 | b |= -2（舍去），
故答案为：4
【变式 3】（2024·辽宁丹东·一模）记VABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知VABC
面积为 S，且 a2 + b2 - c2 = 4 3S ．
(1)求 C；
uuur uuur
(2)若 a = 2 3 ，BA × BC = 6 ，求 S．
π
【答案】(1)
6
(2) 3
【分析】（1）由余弦定理及面积公式可得结果.
（2）根据向量数量积的定义及余弦定理可得结果.
【详解】（1）因为 a2
1
+ b2 - c2 = 4 3S ，即 a2 + b2 - c2 = 4 3 absinC ，2
a2 + b2 - c2
整理得 = 3sinC ，即 cosC = 3sinC 3，所以 tanC = ，
2ab 3
又C 0, π π，所以C = .
6
uuur uuur uuur uuur a2 + c2 - b22 a
2 + c2 - b2
（）因为 a = 2 3 ，BA × BC = BA × BC cosB = accosB = ac = = 6，
2ac 2
即b = c ，又 a
2 + b2 - c2 = 4 3S ，所以 S = 3
题型二　平面向量数量积的应用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
a·b
①定义法：cos θ＝；
|a||b|
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中 a≠0，b≠0)
命题点 1　向量的模
r r r r r r
【例题 2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量 a，b 满足 a =1， b = 3 ，且 a与b 的夹
5π r
角为，则 2a
r
- b =（）
6
A 1． 2 B． 13 C．1 D．13
【答案】B
r r r r 2
【分析】根据 2a - b = 2a - b ，结合数量积运算求解.
r r r r
【详解】根据题意， a ×b = a b cos
5π 3 3
=1 3
6
- ÷÷ = - ，
è 2 2
r r r 2 r 2 r r r2
则 2a - b = 2ar - b = 4a - 4a ×b + b = 4 + 6 + 3 = 13 .
故选：B
r r π r 3 1 r r
【变式 1】（2024·河北·三模）已知非零向量 a ，b 的夹角为， a = - , ÷÷， a - b =12 2 ，则3 è
r r
a + b =（）
A 3．1 B． C． 2 D． 3
2
【答案】D
r r r r ra 1 π ar b 2ar【分析】分析可知 = ，向量 a ， a - b的夹角为，根据 + = - r
r
a - b 结合数量积的3
运算求解.

【详解】因为 a
r 3
= - ,
1 r
÷÷，则 a =1，
è 2 2
r r π r r r r r π
且非零向量 a ，b 的夹角为， a - b =1，可知向量 a ， a - b的夹角为，3 3
r r r则 a × a - b 1 1=1 1 = ，2 2
ar
r r r r r r r
所以 + b = 2a - a - b = 4a2 r r r- 4a × a - b + a - b 2 = 3 .
故选：D
【变式2】（2024·河南·三模）已知VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，C = 60°，
c = 7，若 a - b = 3, D 为 AB 中点，则CD = ．
129
【答案】
2
129
【分析】根据余弦定理可得 ab = 40，即可利用向量的模长求解CD = .
2
【详解】由余弦定理， c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = (a - b)2 + ab ，将 a - b = 3代入解得 ab = 40，
uuur 1 uuur uuur uuurCD CA CB 2
2 2
= + CD b + a + ab (a - b)
2 + 3ab 129
因为，所以 = = = 129，所以
2 CD =
．
4 4 4 2
129
故答案为： 2
【变式 3】（2023·福建福州·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且
asinC = csinB ,C 2p= ．
3
(1)求 B ；
(2)若VABC 3 3面积为，求BC 边上中线的长．
4
π
【答案】(1) B =
6
(2) 21
2
【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角 B ；
（2）根据 A = B ，得 a = b，结合三角形面积公式即可得到 a = b = 3 ，再由正弦定理得边
uuur uuur uuur
c，以及 2AD = AB + AC ，即可得到答案．
【详解】（1）Qasin C = csin B，由正弦定理边化角得 sin Asin C = sin C sin B ，
Qsin C 0，\sin A = sin B ，
\ A = B或 A + B = π （舍），
2π π
又Q C = ，\ B = ；
3 6
π 2π π
（2）Q B = ，C = ， A = ，\a = b，
6 3 6
\ S 1VABC = absin C
3 3 1 a2 3，即 = × ，解得2 a = b = 3
，
4 2 2
a c
由正弦定理 = ，
sin A sin C
c a sin C得 = = 3，
sin A
设BC 边的中点为D，连接 AD ，如下图：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Q 2AD = AB + AC ，即 (2AD)2 = (AB + AC)2，
即 4AD2 = c2 + b2 + 2bc cos A = 9 3+ 3+ 2 3 3 ，
2
AD 21=
解得 2
命题点 2　向量的夹角
r r r r r
【例题 3】（2024·北京·三模）若 | a |=1,| b |= 2 , (ar - b ) ^ ar ，则向量 a与b 的夹角为（）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
r r r r r r r r
【分析】根据 (a - b) ^ a ，得 (a - b)×a = 0，结合数量积的运算律求出 a ×b ，再根据向量的夹
角公式即可得解.
r r r r r r
【详解】因为 (a - b) ^ a ，所以 (a - b)×a = 0，
r 2 r r r r r 2
即 a - a ×b = 0 ，所以 a ×b = a =1，
r r r
所以 cos a
r,b a ×br 1= =
ar b 2 ，
r r
又0° a,b 180°，
ar
r
所以向量与b 的夹角为60° .
故选：B
r r r r r r r r
【变式 1】（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量 a,b,c满足 a = b + c，则向量b,c的夹角
为（）
p p 2p 5p
A． B． C． D
6 3 3
． 6
【答案】C
r r 1
【分析】对等式两边同时平方即可得到b × c = - ，再利用向量数量积定义和向量夹角的范
2
围即可得到答案.
r r r r
【详解】 a2 = b 2 r+ c 2 + 2b cr r× ，即1 =1+1+ 2b ×c ，
r r r
\b ×cr 1 1 1cosb ,cr 1 cosb ,cr 1= - ，即 = - ，则 = - ，
2 2 2
r r
因为b ,c
r
0, π 2π，\b ,cr 的夹角为，
3
故选：C
ar
r 1 r
【变式 2】（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量在向量b 上的投影向量为- b ，且2
r
ar 3 b r= ，则 ar与b 夹角的余弦值为．
1
【答案】-
6
【分析】利用投影向量公式计算即可.
r r
【详解】设 a与b 的夹角为q ，
r r r r r r ra ×b b a ×b r a × b cosq r a
r cosq r 1 r
因为 r × r = r 2 ×b = r 2 ×b = r ×b = - b ，b b | b | | b | b 2
ar cosq
r 1 r
r
即 = - 2 ，又 a = 3 bb ，
则3cosq
1
= - ，即 cosq
1
= - ．
2 6
1
-
故答案为： 6
【变式 3】（2024·江西·模拟预测）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， P 是棱 A1B1 的中点，Q
是棱 AC AQ 3上一点，且 = ， AB = 2BB1 = 2 .
AC 3
(1)求证：BP ^ B1C ；
(2)求平面PQB1与平面BPB1的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 .
2
【分析】（1）取 AB 的中点O，连接OC ，OP，OB1，利用面面垂直证明OC ^ BP，再证明
BP ^ 平面OB1C 即可；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示求解面面角.
【详解】（1）证明：取 AB 的中点O，连接OC ，OP，OB1，
Q正三棱柱 ABC - A1B1C1 ，\ OC ^ AB，OP ^ AB .
Q平面 ABB1A1 ^平面 ABC ，平面 ABB1A1 I平面 ABC = AB， OC 平面 ABC ，
所以OC ^平面 ABB1A1，
又BP 平面 ABB1A1，所以OC ^ BP，
因为BB1 = PB1 = OB =1， BB1 ^ AB ，BB1 ^ PB1，
所以四边形OBB1P为正方形，所以BP ^ OB1，
又OB1 IOC = O ，OB1 平面OB1C ，OC 平面OB1C ，所以BP ^ 平面OB1C ，
又 B1C 平面OB1C ，所以BP ^ B1C ；
（2）由（1）知OA，OP，OC 两两垂直，故以O为坐标原点，以OA，OP，OC 所在直
线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O 0,0,0 ，B -1,0,0 ，P 0,1,0 ，B1 -1,1,0 ， A 1,0,0 ，C 0,0, 3 ，
uuur uuur uuur
所以 AC = (-1,0, 3)，B1P = (1,0,0)，OA = (1,0,0)，
AQ 3 uuur 3 uuur 3
由 = ，得 AQ = AC = - ,0,1÷÷，AC 3 3 è 3
uuur uuur uuur
所以OQ = OA + AQ 1
3
= - ,0,1÷÷，
è 3
uuur
所以Q 1
3
- ,0,1 3
3 ÷÷
，所以PQ = 1- , -1,1÷÷，
è è 3
r
设平面PQB1的一个法向量 n = x, y, z ，
uuur
ìB P nr1 × = x = 0,
则 íuuur r 3
PQ × m = 1- ÷÷ x - y + z = 0,
è 3
令 y =1
r
，得 x = 0， z =1，所以 n = 0,1,1 ，
BPB mr易知平面 1的一个法向量为 = 0,0,1 ，
设平面PQB1与平面BPB1的夹角为q ，
r r
cosq cos nr r
n × m 1 2
所以 = ,m = r r = = ，n × m 2 1 2
2
所以平面PQB1与平面BPB1的夹角的余弦值为 2
命题点 3　向量的垂直
r r r r r r r
【例题 4】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量m ， n满足 m =1， n = 2，且 m - n ^ m，
r r
则 m - n =（）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
【答案】B
r
【分析】根据 (m - n
r) r× m = 0求出 cosq r r r r，根据 m - n = (m - n)2 即可求解.
r r r r
【详解】因为 m - n ^ m，所以 (m - nr) r× m = 0，
r r r
所以 | m |2 r r- | m || n | cosq = 0，所以 cosq
1
= ，其中q 是m, n的夹角，
2
r r
所以 m - n = (mr - nr)2 = 1+ 4 1- 2 2 1 = 3 .
2
故选：B
r r r r r
【变式 1】（2024·重庆·模拟预测）已知 | ar |=1,| b |= 2 r r，且 a与b 不共线，若向量a + kb 与a - kb
互相垂直，则实数 k 的值为（）
1 1
A．- B 1． 2 C．± D．±22 2
【答案】C
r r r
【分析】依题意可得 a + kb ar× - kb = 0，根据数量积的运算律计算可得.
r r r
【详解】因为向量a + kb ar与 - kb 互相垂直，
r r r r r所以 a + kb × a - kb = 0 r，即 a2 - k 2b 2 = 0 ，
即12
1
- k 2 22 = 0，解得 k = ± .2
故选：C
r r r r r
【变式 2】（2024·宁夏银川·三模）已知 a r是单位向量，且 a与 a + b 垂直， a与b 的夹角为
135° ar
r r
，则 + b 在b 上的投影数量为 .
2
【答案】
2
r r r r r r
【分析】由 a与 a + b 垂直，结合 a与b 的夹角为 135°，利用数量积的定义得到 b = 2 ，再
r r r
利用 a + b 在b 上的投影的定义求解.
r r
【详解】解：因为 a与 ar + b 垂直，
所以 a
r
× r r ra + b = 0 r，即 a2 r+ a ×b = 0，
r r
解得 a ×b = -1，
r r
又因为 a与b 的夹角为 135°，
ar
r r r r
所以 ×b = a × b ×cos135o = -1，解得 b = 2 ，
r r
r r r b × a
r
+ b r r2 r
r b +ra ×b 2 -1 2所以 a + b 在b 上的投影数量为 = = = ，
b b 2 2
2
故答案为： 2
【变式 3】（2023 高三·全国·专题练习）四面体 ABCD中， AB2 + CD2 = AD2 + BC 2 ，求证：
AC ^ BD ．
【答案】证明见解析
uuur uuur
【分析】根据题目条件，利用向量运算法则即可求得 AC × BD = 0，即可证明 AC ^ BD .
【详解】证明：如下图所示：
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
由条件得 AB - BC = AD - CD ，即
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB - BC × AB + BC = AD - CD × AD + CD ，
则 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB - BC × AC = AC × AD + CD ，
uuur
移项得 AC × uuur uuur uuur uuurAB - BC - AD - CD = 0，
uuur uuur uuur uuur
即 AC × 2BD = 0，即 AC × BD = 0，
所以 AC ^ BD
题型三　平面向量的实际应用
　用向量方法解决实际问题的步骤
【例题 5】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体 M 吊在水平杆子 AB 上.已知物体 M
的重力大小为 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，当角q 取哪个值时，绳OB承受的
拉力最小.（）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
uuur
【分析】由题意作出图形，在△ ONQ 中利用正弦定理列式，得到 | OQ |的表达式，结合正弦
uuur
函数的性质算出 | OQ |的最小值.
uuur uuur
【详解】作出示意图，设与物体M 平衡的力对应的向量为ON ，则 | ON |= 20，
uuur uuur uuur uuur
以ON 为对角线作平行四边形OPNQ，则ON = OP + OQ ， | OQ |是绳OB承受的拉力大小，
由 AOM =150°，得 AON = 30°，所以 ONQ = AON = 30° ，
ON OQ 20 OQ
△ ONQ 中，由正弦定理得 = =sin OQN sin ONQ ，即 sin(180° -q ) sin 30° ，
uuur
| OQ | 20sin 30° 10可得 = OQ = =sin(180° -q ) sinq ，
uuur
结合0° < q <180°，可知当q = 90°时， | OQ |达到最小值 10.
综上所述，当角q = 90°时，绳OB承受的拉力最小.
故选：C
【变式 1】（2020·宁夏中卫·二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部
分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只
胳膊的拉力大小均为 400N ，则该学生的体重（单位： kg ）约为（）
（参考数据：取重力加速度大小为 g＝10m / s2，3 1.732 ）
A．63 B．69 C．75 D．81
【答案】B
【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重 |G| = |F | ,利用余弦定理即可求出 | F |得解.
【详解】
如图，设该学生的体重为G ,则G = F .
| F |2 = 4002由余弦定理得 + 4002 - 2 400 400 cos(
2p ) = 3 4002 ,\| F |= 400 3 .
3
所以 | G |= 400 3 69 kg .
故选：B
【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平
【变式 2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O的三个力F1，F2，F3 使物体
处于平衡状态，已知F1 =1N，F2 = 2N ，F1与F2 的夹角为120°，则F3 的大小为．（牛
顿N是物理的力学单位）
【答案】 3N
uur uur uur
【分析】根据三力平衡得到F1 + F2 = -F3 ，然后通过平方将向量式数量化得到
uur 2 uur uur uur 2 uur 2
F1 + 2 F1 ·F2 cos120° + F2 = F3 ，代入数据即可得到答案.
uur uur uur r uur uur uur
【详解】由题意知三力平衡得F1 + F2 + F3 = 0，化简得F1 + F2 = -F3 ，
uur2 uur uur uur2 uur2 uur 2 uur uur uur 2 uur 2
两边同平方得F1 + 2F1·F2 + F2 = F3 ，即 F1 + 2 F1 ·F2 cos120° + F2 = F3 ，
uur 2 uur2
即1 + 2
1
1 2 2 - + 2 = 3 = F ，解得 F2 ÷ 3 3
= 3 .
è
故答案为： 3N
【变式 3】（2022·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30o的斜面上，物
ur uur
体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G ，垂直斜面向上的弹力F1 ，沿着斜面向
uur uur ur uur
上的摩擦力F2 .已知： F1 = 80 3N, G =160N ，则F2 的大小为 .
【答案】80 N
ur uur
【分析】物体处于平衡状态，则重力G 沿斜面上的分量与F2 方向相反，大小相同，即可求
值.
uur ur
【详解】由题设， | F2 |=| G | cos 60° =160
1
= 80 N，
2
故答案为：80 N.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
r r r r r 1 r r
1．（2024·山西太原·模拟预测）已知单位向量 a，b 满足 a - b × a = r，则2 a - 2b 与b 的夹角
为（）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】D
r r 1 r r
【分析】根据题意结合数量积的运算律可得 a ×b = ，进而可得 a - 2b = 3 ，
2
r r ra 3- 2b ×b = - ，结合夹角公式分析求解.2
r r
【详解】由题意可知： a = b = 1，
因为 r r r rar - b ar r× = a 2 r r- a ×b =1- a ×b 1= ，解得 ar ×b 1= ，2 2
r r 2 r 2 r r r2 ar
r
则 a - 2b = a - 4a ×b + 4b = 3，即 - 2b = 3 ，
r r r r ra - 2b r×b = a ×b - 2b 2 3= - ，2
r r r 3
r r r a - 2b ×b - 3
可得 cos a - 2b ,b = r r r =
2 = - ，
a - 2b b 3 1 2
r r r
且 a
r
- 2b ,b 0, π r r 5π，所以 a - 2b 与b 的夹角为 6 ．
故选：D．
2 r
r r r r r r r r
．（2024·四川眉山·三模）已知向量 a,b ,c 满足 a = b =1, c = 3，且a +b + c = 0，则
r
cos ar - cr,b cr- =（）
13 3 3 3 3 13A． B． C．- D．-14 14 14 14
【答案】A
r r r r r r r r r r r r
【分析】根据数量积的运算律求出 a ×b 、 a ×c 、b ×c ，即可求出 a - c × b - c 、 a - c 、
r
b - cr ，再根据夹角公式计算可得.
r r r r r r r 1
【详解】由题意得 a +b = -c ，则 (a
r b)2 r+ = c 2有12 + 2ar ×b +12 = ( 3)2 ，解得 a ×b = ，
2
r r r r r r2 2 2 r r 2 2 ar r 3又由 a + c = -b ，则 (a + c) = b 有1 + 2a ×c + ( 3) =1 ，解得 ×c = - ，
2
r r 3
同理可得b ×c = - ，
2
r r r r a c b cr ar b ar cr rb cr cr2 13所以 - × - = × - × - × + = ，2
ar - cr = ar2 r r r- 2a ×c + c 2 = 7 ，
r r r
b - cr b 2 r r= - 2b ×c + c 2 = 7 ，
r 13
r ar r r- c × b - c
所以 cos ar cr r- ,b - c = r = 2 13= .
ar - cr b cr× - 7 7 14
故选：A
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）记 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b = 2 ，
cos B cos A + cosC uuuur uuuur uuuur
= ， 2AM = MC ，则 BM 可能是（b a c ）+
A 1
2
． 2 B． C．1 D3 ．2
【答案】C
cos B cos A + cosC p
【分析】利用余弦定理对 = 整理得到B = ，即可得到动点 B 的轨迹，然
b a + c 3
后利用正弦定理和平面向量得到OB，OM 即可得到 BM 是关于q 的函数，最后根据函数求
uuuur
BM 的范围即可.
【详解】
b2 + c2 - a2 a2 + b2 - c2
2 2
由余弦定理得 a + c - b2 += 2bc 2ab ，
2acb a + c
2 2 2
整理得 a + c a - ac + c = a + c b ，
因为a + c 0，所以 a2 - ac + c2 = b2，即 a2 + c2 - b2 = ac，
2 2 2
所以 cos B a + c - b 1= = ，
2ac 2
因为B 0, π p，所以B = ，
3
又b = 2 ，则设VABC 的外接圆圆心为O，则动点 B 的轨迹为优弧 AC （不包括A 、点C ）．
1 2 2 3
设 MOB = q (0 < q p )，在VOBM OB = =中， 2 sin π 3
，
3
uuuur 2 2 uuur 1 uuur 2
2 2 2

OM OA OC 4 2 3 2 1 2 3 2π 1 2 3 4= + =
3 3 9 3 ÷÷
+ 2 ÷÷ cos + = ，
è 3 3 è 3
÷÷
3 9 è 3 9
2
则OM = ，
3
由余弦定理得BM 2 = OB2 + OM 2 - 2 ×OB ×OM ×cosq ，则 BM 是关于q 的函数，且是增函数，
当q = p ，即 B，O，M 三点共线时， BM 最大，此时BM = OM +OB 2+ 2 3= ，
3
2 uuuur 2 2 + 2 3 ù
当B A时，BM AM ，即BM ，所以 BM 的取值范围为 ,3 è 3 3
ú ．

故选：C.
4．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆 O 内接边长为 1 的正方形 ABCD, P 是弧BC （包括端点）
uuur uuur
上一点，则 AP × AB的取值范围是（）
é 4 + 2 ù é 2 + 2 ù é 1+ 2 ù é 2 ù
A． ê1, 4 ú
B． ê1, 2 ú
C． ê1, ú D． ê ,12 ú 4
【答案】C
【分析】法一：以 A 为坐标原点， AB, AD所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标
系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接 AC,CP，设 PAB q ,0 q
π
= ，则
4
π uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PAC = -q ， AP × AB =| AP || AB | cosq = | AB | × | AC | cos PAC ，即可求解.
4
【详解】方法一：如图 1，以 A 为坐标原点， AB, AD所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面
直角坐标系，则 A(0, 0), B (1, 0) ）．
uuur uuur uuur uuur
设P(x, y) ，则 AP = (x, y)．因为 AB = (1,0) ，所以 AP × AB = x ．
O r 2由题意知，圆的半径 = ．因为点 P 在弧BC （包括端点）上，
2
1 2 uuur uuur é1,1+ 2
ù
所以1 x + ，所以 AP × AB的取值范围是 ê ．
2 2 2
ú

方法二：如图 2，连接 AC,CP．易知 BAC
π
= ，
4
设 PAB = q ,0 q
π π
，则 PAC = -q ．
4 4
uuur uuur uuur uuur π
由已知可得 | AB |=1,| AC | 2,
π
= APC = ，所以 | AP |=| AC | cos PAC = 2 cos -q ，
2 ÷è 4
uuur uuur uuur uuur
2 cos π
2
所以 AP × AB =| AP || AB | cosq = -q ÷cosq = 2 cosq
2
+ sinq
4 2 2 ÷è ÷
cosq
è
cosq sinq cosq cos2 q sinq cosq 1+ cos 2q sin 2q= + = + = + = 1 2+ sin 2q π+ ．
2 2 2 2 è 4 ÷
0 q p π 2q π 3π 2 π 因为，所以 + ，所以 sin 2q + ÷ 1，4 4 4 4 2 è 4
1 2 π 1+ 2 uuur uuur é1,1+ 2
ù
所以1 + sin 2q + ÷ ，即 AP × AB的取值范围是 ê ú .2 2 è 4 2 2
故选：C．
二、多选题
r r
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量 a = (-1,2)，b = (6,-2)，则（）
r r r r r
A． (2a + b) ^ a B． | a - b |= 65
r r π r r 1 r
C． a 与b 的夹角为 D． a 在b 上的投影向量为- b4 4
【答案】ABD
r r r r r
【分析】A 选项，根据 (2a + b) ×a = 0得到垂直关系；B 选项，求出 a - b = (-7,4)，根据模长
r r 2 r r r
r
b 1 r
公式求出答案；C 选项，根据 cosáa,b = - 得到答案；D 选项，利用 | a | cosáa,b × r = - b
2 | b | 4
得到 D 正确.
r r
【详解】A 选项，因为 a = (-1,2)，b = (6,-2)．
r r r r r r r r
所以 2a + b = (4, 2)．则 (2a + b) × a = -1 4 + 2 2 = 0．所以 (2a + b) ^ a ．故 A 正确：
r r r r
B 选项，因为 a - b = (-7,4)．所以 a - b = (-7)2 + 42 = 65 ．故 B 正确；
r r r ra ×b -10 2 r r
C 选项，因为 cosáa,b = r r = = - ．且 áa,b [0, π]．
| a | × | b | 5 2 10 2
r r 3π
所以 áa,b = ．故 C 错误；
4
r r r r rr r
| a | cos a,b b
2 b 1 r
a 在b 上的投影向量为 á × r = 5 - ÷ = - b．故 D 正确．| b | è 2 2 10 4
故选：ABD．
r r r
6．（2024·浙江温州·模拟预测）已知单位向量 a,b ,c 共面，则下列说法中正确的是（）
r r r r r r r r r r r r
A．若 a + b = a - b ，则a / /b B．若 a + b = a - b ，则a ^ b
r r r r r r r r r r r r
C．若 a + b + c = 0 ，则 a,c
π 2π
= D．若 a + b + c = 0 ，则 b,c =3 3
【答案】BD
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
r r r r r r r r
【详解】由 a + b = a - b
r r r r r r r r
，可得 (a + b)2 = (a - b)2 2 2，即 a + b 2 + 2a ×b = a + b 2 - 2a ×b ，
r r r r
可得 a ×b = 0 ，所以a ^ b ，所以 A 不正确，B 正确；
r r r r r r
因为向量 a,b ,c 为单位向量，可得 a = b = c =1，
r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r 2 r r
又由 a + b + c = 0 ，可得b = -(a + c)，则b 2
2 2
= a + c + 2a ×c ，即 b = a + c + 2a ×c ，
r r r rr r 1 a ×c
可得 a ×c = - ，所以 cos a,c = r r
1
= - ，
2 a c 2
r r r r
因为 a,c [0, π]
2π
，所以 a,c = ，所以 C 错误；
3
r r r r r r r r 2 r 2 r r r r 1
由 a + b + c = 0 ，可得 a = -(b + c)
2
，则 a = b + c + 2b ×c，可得b ×c = - ，
2
r r r r r r r r
所以 cos b,c
br ×cr 1= = -
2 ，因为 b,c [0, π]，所以 b,c
2π
=
b c ，所以
D 正确.
3
故选：BD.
三、填空题
r r r r
7．（2024·辽宁丹东·二模）设向量 a ，b 的夹角为60o ，且 a =1， b = 2，则
r r ra + 2b ×b = ．
【答案】9
r r r r
【分析】法 1：由数量积的几何意义可知b 在向量 a 上的投影的数量为1，可得a ×b =1，即
可求解；
法 2：根据数量积的定义即可求解；
r r
法 3：根据题意设 a ，b 的坐标，利用坐标运算即可求解.
【详解】法 1：由向量数量积的几何意义得，
r r r
b 在向量 a 上的投影的数量为 b cos 60o =1，
r r r r r
所以a ×b =1，所以 a + 2b ×b = 9；
r r r r
法 2：根据数量积定义有 a ×b = a b cos 60o =1，
所以 r r ra + 2b ×b = 9；
r r r r法 3：设 a = 1,0 ，b = 1, 3 ， a + 2b = 3,2 3 ，
r r r
所以 a + 2b ×b = 3 + 6 = 9 .
故答案为：9 .
8．（2021·云南昆明·三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2 大
小之比为．
6
【答案】
2
【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为 0，然后可算出答案.
【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为 0
uur 3
uur uur F1 cos30° 6
所以 F1 cos 45° = F2 cos30°，所以 uur = = 2 =
F cos 45°2 2 2
2
6
故答案为：
2
r r r r r
9．（2024·重庆·模拟预测）已知非零向量 a、b 满足 a
r
= 2 b , ar b b r r+ ^ ，则向量 a与b 的夹
角为．
2π
【答案】
3
【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可.
r r r
【详解】因为 a + b ^ b ，
r r
设向量 a与b 的夹角为q q 0, π ，
r r r r r r r 2\ a + b ×b = ar ×b + b 2 = ar b cosq + b = 0
r r
又因为 a = 2 b ，
r 2 r 2
\2 b cosq 1 2π+ b = 0,\cosq = - ,\q = ，
2 3
r r 2π
所以向量 a与b 的夹角为 .3
2π
故答案为： .
3
四、解答题
10．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）记VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ，
c r，向量m = b,sinA + sinC ， vr sinA r r= + sinB, a - c 且m ^ v ．
(1)求角C 的大小；
3
(2)若VABC 3的面积为， cosAcosB = ，求 c．
4 4
2π
【答案】(1)
3
(2) 3
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；
（2）利用三角形面积公式得到 ab，利用三角函数的和差公式得到sinAsinB，再利用正弦定
理即可得解.
r
【详解】（1）因为m = b,sinA sinC vr+ ， = sinA + sinB, a r r- c ，m ^ v ，
所以b sinA + sinB + sinA + sinC a - c = 0 ，
由正弦定理得b a + b + a + c a - c = 0，化简得 a2 + b2 - c2 = -ab，
2 2 2
cosC a + b - c -ab 1所以 = = = - ，
2ab 2ab 2
C 2π又0 < C < π，所以 = .
3
2 1 absin 2π 3（）由题意得 = ，则ab =1，
2 3 4
由-cosC = cos π - C = cos A + B = cosAcosB - sinAsinB ，
1 3
得 = - sinAsinB ，则 sinAsinB
1
= ，
2 4 4
c
2
ab c
因为 ÷ = = 4，所以 = 2，
è sinC sinAsinB sinC
所以 c = 2sin C = 3 .
11．（2024·江苏南通·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，已
uuur uuur
知 a = 2， c2 = BA × BC - 2 3S ，其中S 为VABC 的面积.
(1)求角A 的大小；
(2)设D是边BC 的中点，若 AB ^ AD ，求 AD 的长.
【答案】(1) A
5
= π
6
(2) 13
13
【分析】（1）由向量的数量积和三角形的面积公式以及正弦定理化简已知等式可得
sinC = sinAcosB - 3sinAsinB ，再由两角和的正弦展开式结合特殊角的三角函数化简整理即
可；
CD AD
（2）法一：结合已知由正弦定理可得 = ，代入数据化简后可得
sin CAD sinC
sinB 2 sin π= - B
13
÷ ，再由两角差的正弦展开式和同角三角函数关系求出 sinB = ，即3 è 6 13
可得到结果；
法二：由三角形的面积公式结合已知可得 c 3= b ，再在VABC 中，据余弦定理得
2
b2 + c2 + 3bc = 4，解出b,c，然后在Rt△ABD 中，据勾股定理解出结果即可；
法三：延长BA到点 H ，使得CH ^ AB，由三角形中位线的性质结合勾股定理和三角函数定
义关系求出即可；
法四：延长 AD 到E ，使 AD = DE ，连结EB， EC ，由已知结合三角函数的定义和勾股定理
解出即可；
uuur uuur
1 c2 = BA × BC - 2 3S c2【详解】（）据，可得 = c × a ×cosB - 2 3
1
acsinB ，
2
即 c = acosB - 3asinB ，
结合正弦定理可得 sinC = sinAcosB - 3sinAsinB .
在VABC 中， sinC = sin éπ - A + B ù = sin A + B = sinAcosB + cosAsinB ，
所以 sinAcosB + cosAsinB = sinAcosB - 3sinAsinB，
整理得 cosAsinB = - 3sinAsinB .
B 0, π sinB > 0 cosA 3sinA tanA 3因为，，故 = - ，即 = - ，
3
5
又 A 0, π ，所以 A = π .
6
（2）
法一：因为D是边BC 的中点， a = 2，所以BD = CD =1 .
在△ABD 中， AB ^ AD ，则 AD = BDsinB = sinB .
在VACD中， CAD
5π π π 5π π
= - = ，C = π - - B = - B ，CD =1，
6 2 3 6 6
1 AD
CD AD =
据正弦定理可得， = ，即 π π ，
sin CAD sinC sin sin - B3 ÷è 6
2
所以 AD = sin
π
- B

÷ .3 è 6
2 π 3 1 3
所以 sinB = sin - B ÷ ，即6 sinB = cosB - sinB，3 è 2 2 2
所以 cosB = 2 3sinB，
又 sin2B + cos2B =1，B 0, π ，
所以 sin2B + 22 3sinB =1 13，解得 sinB = ，13
所以 AD 13= .
13
法二：因为D是边BC 的中点，故 SVABD = SVACD ，
1 1 1
所以 c AD
1
× = b × AD ×sin DAC ，即 c × AD = b × AD ×sin
5π
2 2 2 2
π - ÷ ，
è 6
3
整理得 c = b ①
2
在VABC 中，据余弦定理得， a2 = b2 + c2 - 2bccos BAC ，
即b2 + c2 + 3bc = 4 ②
4 2 3
联立①②，可得b = ， c = .
13 13
2

在Rt△ABD 中，据勾股定理得， AD2 = BD2 - AB2 =1 2 3 1- ÷÷ = ，
è 13 13
AD 13所以 = .
13
法三：延长BA到点 H ，使得CH ^ AB .
在Rt△CHB 中， AD ^ AB，CH ^ AB，故 AD∥CH ，
又D是BC 的中点，所以A 是BH 的中点，
所以 AH = AB = c ，CH = 2AD，且HB2 + HC 2 = a2 = 4 .
CAH π BAC π 5 π在Rt△CHA中， = - = - π = ， AC = b ， AH = c ，
6 6
所以CH = bsin CAH
1
= b ，且
2 c = bcos CAH
3
= b .
2
2
2c 2 1
2 3 1 2
所以 + b÷ = 4，即 2 b

÷÷ + b÷ = 4
4 13
，解得b = （负舍），
è 2 è 2 è 2 13
AD 1 CH 1 1 1 13所以 = = b = b = .
2 2 2 4 13
法四：延长 AD 到E ，使 AD = DE ，连结EB， EC .
因为D是BC 的中点，且 AD = DE ，
故四边形 ABEC 是平行四边形，BE = AC = b .
又 BAC
5
= π ，所以 ABE = π - BAC
5 π
= π - π = .
6 6 6
π
在Rt△BAE 中， AB ^ AD ， ABE = ， AB = c，BE = AC = b，
6
所以 AE = BE ×sin ABE
1
= b ，且
2 c = BE ×cos ABE
3
= b .
2
1 1 1
在Rt△BAD中， AB ^ AD ， AB = c， AD = AE = b ，BD = a =1，
2 4 2
2
据勾股定理 AB2
1
+ AD2 = BD2，可得 c2 + b4 ÷
=1，
è
c 3 4 13将 = b 代入上式，可得b = （负舍），
2 13
AD 1 13= b =
所以 4 13
【综合提升练】
一、单选题
r r r r r r1．（2024·宁夏固原·一模）已知向量 a = (1, -1),b = (0, t) ，若 a ^ a + 2b ，则 b = （）
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
【答案】B
r r
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出 a ×b ，再利用数量积与模的坐标表示
求解即得.
r r
【详解】由题意知， a ×b = -t ，
r r r r r r r
由 a ^ (ar 2b) ar r r r r+ ，得 × (a + 2b) = a2 + 2a ×b = 2 + 2a ×b = 0，解得 a ×b = -1，
r
因此-t = -1，解得 t =1，即b = (0,1) ，
r
所以 | b |=1 .
故选：B
| ar
r r r r
2．（2024·福建泉州· r模拟预测）已知 |= 2，b = (1, 2)， | a - 2b |= 2，则向量 a与b 的夹角
为（）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
r r r r
【分析】首先求出 b ，然后对 a
r
- 2b = 2 r r两边平方即可求出 a ×b 的值，然后即可求出 cos a,b
的值，最后得出答案．
r r
【详解】因为b = (1, 2)，所以 b = 12 + 22 = 3 ，
r r r r r ra 2b 2 r r r r r又 a = 2， - = ，\ a2 + 4b 2 - 4a ×b = 4 +12 - 4a ×b = 4 ，解得a ×b = 3，
r
cos ar
r r
\ ,b
a ×b 3 3 r
= r r πr r = = r2 3 2 ，且 a,b [0, π]，
\ a,b =
a b ，6
r r π
即向量 a与b 的夹角为．6
故选：A．
r r r r r r r
3．（2024· r吉林长春·模拟预测）已知两个向量 a,b 满足 a ×b = b =1， a - b = 3 ，则 a =
（）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
r r
【分析】将 a - b = 3 两边平方，结合数量积的运算律计算可得.
r r r r
【详解】因为 a ×b = b =1， a
r
- b = 3 ，
r r r 2 r r
所以 ar2 - 2ar ×b + b 2 = 3，即 a - 2 1+12 = 3，解得 a = 2或 a = -2（舍去）.
故选：D
ur uur r ur uur
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知 e1 ， e2 是单位向量，且它们的夹角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 - e2 ，且 a ^ b，则l =（）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
【答案】B
r r r r
【分析】由 a ^ b得 a ×b = 0 ，列出方程求解即可．
r r r r ur uur ur uur ur2 ur uur uur2
【详解】由 a ^ b得， a ×b = (2e1 + e2 ) × (le1 - e2 ) = 2le1 + l - 2 e1 ×e2 - e2 = 0 ，即
2l l - 2 4+ -1 = 0 ，解得l= ，
2 5
故选：B．
5．（2024·河北衡水·模拟预测）在VABC 中，
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
BAC = 60o , AB = 6, AC = 3, AM = 2MB,CN = NM ，则 AN ×CB =（）
17
A．-9 B． C．9 D．18
2
【答案】C
uuur uuur uuur uuur
【分析】将把 AN 与CB用 AB, AC 来表示，进而利用平面向量的数量积即可求解.
uuur 1 uuur 1 uuuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【详解】 AN = AC + AM = AC + AB，，
2 2 2 3 CB = AB - AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AN ×CB = 1 AC
1
+ AB AB - AC
è 2 3 ÷

1 uuuur 1 uuur uuur uuuur
= AB2 + AB AC 1 AC 2 1 1 9× - =12 + 6 3 - = 9 .
3 6 2 6 2 2
故选：C.
r r
6．（2024·河南·模拟预测）已知向量 a,b
r r
满足 a = b = a ×b = 2，又非零向量 c满足
r r r r r rc ×a = c ×b ，则b 与 c 的夹角为（）
π π π 2π π 5π
A． B． C．或 D．或
6 3 3 3 6 6
【答案】D
r r r r r r r r r
【详解】根据 a = b = a ×b = 2求出 cos a,b ar,b cr ar r
r r
，求出，根据 × = c ×b 证明 c ^ a - b ，
根据向量证明VOAB是等边三角形，据此即可求解.
r r rr r r r a ×b 1
【分析】由 a = b = a
r
×b = 2，可得 cos a,b = ar
r =
b 2 ，
r r r
又 a,b 0, π r π r r r r，所以 a,b = ，又，
3 c ×a = c ×b
r r r r r r uuur r uuur所以 c × a - b = 0 ，所以 c ^ a - b r，如图，令 a = OA，b = OB，
uuur
BA ar
r
则 = - b ，易得VOAB是等边三角形，
取 AB 的中点D，连接OD ，则有OD ^ AB ，
r uuur rc r π 5π所以与OD 共线，所以 c 与b 的夹角为或 .6 6
故选：D．
r r ar er 3, ler ar r7．（2024·湖北黄冈·二模）已知 e 为单位向量，向量 a满足 × = - =1，则 a 的最大
值为（）
A．9 B．3 C． 10 D．10
【答案】C
r 2 2 2
【分析】根据条件得到 | a | = - l - 6l -1 = -(l - 3) +10 ，利用二次函数的性质，即可求出
结果.
r r 2 r 2 2 r r 2 r 2
【详解】根据条件得 (a - le) = a | +l - 2a ×el = l - 6l + a | =1，
r 2
得到 | a | = - l 2 - 6l -1 r= -(l - 3)2 +10 10 ar，所以 10 ，即 a 的最大值为 10 ，
故选：C.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
8．（2024·云南曲靖·二模）已知O是VABC 的外心， AB + AC = 2AO， OA = AB ，则向量 AC
uuur
在向量BC 上的投影向量为（）
1 uuur 2 uuur 3 uuur uuurA．- BC B．- BC C． BC D 3．4 4 BC4 4
【答案】C
【分析】依题意可知O是BC 的中点，从而得到 BAC = 90o ， ACB = 30o，解法一：过点A
作 AD ^ BC ，垂足为D，即可得到CD
3
= BC ，结合投影向量的定义即可得解；解法二：
4
uuur uuur
uuur uuur uuur AC × BC uuur
设 BC = 2，根据向量 AC 在向量BC 上的投影向量等于 uuur 2 BC 计算可得.BC
uuur uuur uuur
【详解】由 AB + AC = 2AO，所以O是BC 的中点，又O是VABC 的外心，
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur
则 BAC = 90o ，再由 OA = AB ， OA = OB = OC = BC ，2
则VABO 为正三角形， ACB = 30o，
1 1
角度一：如图，过点A 作 AD ^ BC ，垂足为D，则BD = BO = BC ，CD
3
= BC ，
2 4 4
uuur uuur uuur 3 uuur
所以向量 AC 在向量BC 上的投影向量等于DC = BC .4
uuur uuur uuur
BC = 2 AB =1 AC = 22 -12角度二：设，则，所以 = 3 ，
uuur uuur
o
uuur uuur AC × BC uuur 3 2 cos30 uuur uuur
所以向量 AC 在向量BC 上的投影向量等于 uuur 2 BC = 2 BC
3
= BC
BC 2 4
.
故选：C.
二、多选题
r r r r r r r r r r r
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量a = 1,-1 ,b = 2,k ,a ^ b,c = a - tb．若 a,c = b,c ，
则（）
r r r
A． a
r 1
= b B．
2 b ×c = 4
r r r r 2 2
C．b 在 c方向上的投影向量为 c D．与b 反向的单位向量是 ,
è 2 2
÷÷

【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可.
r r r r r r
【详解】Qa = 1,-1 ,b = 2,k ,c = a - tb ,\c = 1- 2t, -1- tk ．
r r rQa b , 2 k 0, r^ \ - = \k = 2,\b = 2,2 ,c = 1- 2t,-1- 2t ．
r r r r
Qar,cr
r r a ×c b ×c
= b ,cr,\cosar,cr = cosb ,cr，即 r r = r ra c b c ．
r r ra c b cr× r
\ r = r
× 2 -8t
a ，即 = ，解得 t
1
= - ，则 c =b 2,0 ．2 2 2 2
r r r
对于 A， a = 2, b 2 2, a
r 1
= \ = b ，故 A 正确；
2
r r
对于 B，因为b ×c = 2,2 × 2,0 = 4，故 B 正确；
r r r
r
b coscr
r
,b c
r b r r×c c 4 1 r r
对于 C，b 在 c方向上的投影向量为 × r = r ×c c cr
= c = c
2 2 ，故C 正确；
r
r b 2 2
对于 D，与b 反向的单位向量是- r = - ,-2 2 ÷÷，故 D 错误．b è
故选:ABC．
r r
10．（23-24 高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量 a，b 的夹角为q ，则下列结论正确
的有（）
r
A (ar b) (ar
r
． + ^ - b)
r r r
B． ar r在b 方向上的投影向量为 (a ×b)b
r
C．若 | ar + b |=1，则q = 60o
r r r r r rD．若 (a + b) × a = (a - b) × ar ar，则 // b
【答案】AB
r r r r r r
【分析】由题意可得 a = b = 1，根据 a + b × ar r- b = a2 - b 2 ar r可判断 A；根据在b 方向上
r
r
的投影向量为 a cosq
b
× r r r
b 可判断 B
r r
；根据 a2 + 2a ×b + b 2 =1可判断 C；根据数量积的运算律可
判断 D.
ar
r r r
【详解】因为，b 都是单位向量，所以 a = b = 1，
r r r r r所以 ar b ar+ × - b ar2 r r= - b 2 = 0，即 a + b ^ a - b ，故 A 正确；
r r r r
r r r b r a ×b b r r ra在b 方向上的投影向量为 a cosq r = a × r r × r = a ×b bb a b b ，故 B 正确；
r r r r
若 | ar + b |=1，则 ar2
r 1
+ 2ar ×b + b 2 =1，即 a ×b = - ，即 cosq
1
= - ，
2 2
因为0° q 180° ，所以q =120°，故 C 错误；
r r r r
若 (a
r
+ b) r× a = (ar b) ar- × r，则 a2 r+ a × b ar= 2 - ar ×b ，
ar
r r
所以 ×b = 0，即 ar ^ b ，故 D 错误.
故选：AB
11．（2024·贵州黔东南·二模）拋物线C : y2 = -2 px( p > 0) 的焦点F 到准线的距离为 1，经过
点 P m,0 的直线 l与C 交于 A, B两点，则（）
2 2
A．当m =1时，直线 l斜率的取值范围是 - , ÷÷
è 2 2
1 1
B．当点 P 与点F 重合时， + = 2FA FB
uuur uuur
C．当m = -2时，FA与FB的夹角必为钝角
D．当m = -2时， AOB 为定值（O为坐标原点）
【答案】BCD
【分析】根据条件，得到 p = 1， y2 = -2x ，再结合各个选项的条件，联立直线与抛物线方
程，逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】依题意可得 p = 1，
对于选项 A，当m =1时，设直线 l的方程为 y = k x -1 ，代入 y2 = -2x ，
k 2x2 2得 + 2 - 2k 2 x + k 2 = 0，则 2 - 2k 2 - 4k 4 > 0 2 1k 0 k 2，得到 < 且 k 0，2

所以 k
2 2
- ,02 ÷÷
0, ÷÷，故选项 A 错误，
è è 2
1
对于选项 B，当点 P 与点F 重合时，直线 l的方程为 y = k x + ，代入 y2 ÷ = -2x ，
è 2
2
得 k x2 + 2 + k 2 x 1+ k 2 = 0，设 A x4 1, y1 , B x2 , y2 ，
2 + k 2 1
则 x1 + x2 = - 2 , xk 1
+ x2 = ，4
1 2 + k
2
1 1 1 1 1- x + x + 2
则 + = 1 + 1 =
1 2 k
1 1 = = 21 1 2 ，所以选项
B 正确，
FA FB - x - x - x + x + x x + k
2
2 1 2 2 4 2 1 2 1 2 + 2 2 k 2
当m = -2时，直线 l的方程为 y = k x + 2 ，代入 y2 = -2x ，
2 2
得 k x + 2 + 4k 2 x + 4k 2 = 0 2，则 x1x2 = 4， y1y2 = -2x1 × -2x2 = 4x1x2 =16，易知 y1, y2
uuur uuur
异号，所以 y1y2 = -4，则OA ×OB = x1x2 + y1 y2 = 0，
所以OA ^ OB
π
，得到 AOB = 2 ，所以选项D 正确，
VAOB AFB AOB π又当m = -2时，F 在内，则 > = ，
2
uuur uuur
又 A, F , B三点不可能共线，所以FA与FB的夹角必为钝角，所以选项 C 正确，
故选：BCD.
三、填空题
r r r r r r r
12．（2024· r辽宁沈阳·三模）已知向量 a,b 满足 a = 2， 4a + b ×b = 4，则 2a + b = .
【答案】 2 5
r r r r r r r 2
【分析】根据数量积的运算律得到 4a ×b + b 2 = 4，再由 2a + b = 2a + b 计算可得.
4ar r r r r【详解】因为 + b ×b = 4 r，所以 4a ×b + b 2 = 4，
r
又 a = 2，
2ar
r r r 2 r 2 r r r2
所以 + b = 2a + b = 4a + 4a ×b + b
= 4 22 + 4 = 2 5 .
故答案为： 2 5
13．（2020·河北张家口·二模）如图，某班体重为 70kg 的体育老师在做引体向上示范动作，
两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F ，若使身体能向上移动，则拉力F 的最小整数值为
N．（取重力加速度大小为g =10m / s2 ， 3 1.732）
【答案】405
【分析】根据向量的加法运算，两个拉力的合力大于体重即可．
uuur uuur uuur
【详解】设 AB, AD是两个拉力F ，合力为 AC ，由于 BAD = 60°，在菱形 ABCD中知
uuur uuur
AC = 3 AB F 70 10，所以 3F > mg ， > 404.16，所以F 的最小整数为 405 N ．
1.732
故答案为：405．
【点睛】本题考查向量加法的物理意义，力的合成与向量加法是等价的．
π
14．（2024·吉林长春·模拟预测）在VABC 中，已知 A = , BC = 2 3 ，当边 BC 的中线 AD = 7
3
时，VABC 的面积为．
【答案】 2 3
uuur uuur uuur uuur
【分析】用两种方法表示 AB × AC ，求得 AB AC = 8，代入面积公式中计算即可.
【详解】
uuur uuur uuur uuur
因为边 BC 的中线 AD = 7 ，BC = 2 3 ，所以DC = -DB， DB = DC = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 AB × AC = AD + DB × AD + DC = AD + DB × AD - DB = AD - DB = 7 - 3 = 4 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AB × AC = AB AC cos BAC = AB AC cos
π
，
3
uuur uuur uuur uuur
所以 AB AC cos
π
= 4， AB AC = 8，
3
S 1
uuur uuur
VABC = AB AC sin
π 1
= 8 3 = 2 3 .
2 3 2 2
故答案为： 2 3 .
四、解答题
π
15．（2024·贵州·模拟预测）在 VABC 中， AB = 13， AC = 2， C = ， N 为 AB 的中点，6
A的角平分线 AM 交CN 于点O .
(1)求CN 的长；
(2)求VAOC 的面积.
CN 7【答案】(1) =
2
(2) S△AOC = 4 3 - 39
uuur uuur uuur
【分析】（1）利用余弦定理求出BC ，再由 2CN = CA + CB 将两边平方，结合数量积的定义
及运算律计算可得；
S△AON AN
（2）首先求出 SVACN ，再由 =S AC 且
S△AON + S△AOC = S△ACN 计算可得.
△AOC
【详解】（1）∵ AB2 = AC 2 + BC 2 - 2AC × BC ×cos ACB ，
即13 = 4 + BC 2 2 2 BC 3- × ，
2
∴ BC 2 - 2 3BC - 9 = 0，
∴ BC + 3 BC - 3 3 = 0 ，
∴ BC = - 3（舍）或BC = 3 3 ，
∵ N 为 AB 的中点，
uuur uuur uuur
∴ 2CN = CA + CB ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
∴ 4CN = CA + CB + 2 CA CB cos ACB
2 22 3 3 2 2 3 3 3= + + = 49，2
∴ CN
7
= .
2
2 ∵ S 1 AC BC sin ACB 1 2 3 3 1 3 3（） VABC = × × = = ，2 2 2 2
∴ S 1 S 3 3△ACN = 2 △ABC
= ，
4
1
S AN × AO sin NAO
13

∵ △AON 2 AN 2 13= = = = ，
S 1△AOC AC × AO sin CAO AC 2 4
2
且 S△AON + S△AOC = S△ACN ，
13
∴ +1÷÷ S
3 3
= ，
è 4
VAOC
4
∴ S△AOC = 4 3 - 39 .
r r
16．（22-23 高三上·河南安阳·阶段练习）已知 a = sin x + cos x, 2cosq ,b = 2sinq ,
1 sin 2x
2 ÷
.
è
r π r r
(1)若 c = (-3,4)且 x = ,q 0, π 时， a 与 c的夹角为钝角，求 cosq 的取值范围；4
π r r
(2)若q = ，函数 f x = a ×b，求 f x 的最小值.
3
(1) ( 1, 2 2 ) ( 2 2 , 3 2【答案】 - - - )；
3 3 8
1
(2) - 6 .
2
【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出 cosq 范围
作答.
（2）利用数量积的坐标表示求出函数 f x ，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.
x π
r r r
【详解】（1）当 = 时， a = 2, 2cosq4 ， a 与 c的夹角为钝角，
r r r r
于是 a ×c < 0，且 a 与 c不共线，
r r 3 2
则 a ×c = -3 2 + 8cosq < 0，解得 cosq < ，又q 0, π ，即 cosq -1,1 ，
8
1 cosq 3 2
r r 2 2
则有- < < ，又当 a 与 c共线时， 4 2 + 6cosq = 0，解得 cosq = - ，
8 3
r r 2 2
因此 a 与 c不共线时， cosq - ，
3
所以 cosq ( 1, 2 2 ) ( 2 2 3 2的取值范围是 - - - , ) .
3 3 8
π r r
（2）依题意，当q = 时， f x = a ×b = sin x 1+ cos x,1 × ( 3, sin 2x)
3 2
= 3 sin x
1
+ 3 cos x + sin 2x = 3(sin x + cos x) + sin x cos x，
2
t sin x cos x 2 sin(x π
2
令 = + = + ) [- 2, 2]，则 sin x cos x t -1= ，
4 2
t 2f x 3t -1 1
2 1 2
于是 = + = t + 3 - 2，而函数 y = t + 3 - 2在 t é - 2, 2 ù 上为增函2 2 2
数，
1
则当 t = - 2 时，y 有最小值 - 6 ，2
所以 f x 1的最小值为 - 6.
2
17．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为
a,b,c, a - b = c ．
cosB - cosA
(1)试判断VABC 的形状，并说明理由；
uuur uuur 3
(2)若 a = 3b ，点 P 在VABC 内，PA × PC = 0 ， tan PCB = ，求 tan APB．4
【答案】(1) VABC 为直角三角形
(2) 3 - 4
3
【分析】（1）先利用正弦定理将题给条件转化为 sinA - sinB = sinCcosB - sinCcosA，再依据
诱导公式和两角和差正弦公式化简，解之即可得到C = 90°，进而得到VABC 为直角三角形；
uuur uuur
（2）先由PA × PC = 0 ，得到 APC = 90°，再利用正弦定理和题给条件得到 tan APB和
tan PCB 3= 之间的关系，进而求得 tan APB的值．
4
a b c a - b
【详解】（1）由正弦定理 = = ，可将 = c化为
sinA sinB sinC cosB - cosA
sinA - sinB
= sinC ，即 sinA - sinB = sinCcosB - sinCcosA．
cosB - cosA
因为 A + B + C = π，
所以 sin B + C - sin A + C = sinCcosB - sinCcosA．
即 sinBcosC + cosBsinC - sinAcosC - cosAsinC = sinCcosB - sinCcosA，
即 sinBcosC = sinAcosC ．
所以 sinB = sinA或 cosC = 0．所以 a = b或C = 90°．
又 cosB - cosA 0 ，即 cosB cosA，所以 A B，即 a b ．
所以C = 90°，则VABC 为直角三角形．
（2）因为 a = 3b,C = 90°，所以 c2 = a2 + b2 = 4b2 ,c = 2b．
uuur uuur
因为PA × PC = 0 ，所以 APC = 90°．
在Rt△ACB 中， ACP + PCB = ACP + CAP = 90°，
所以 PCB = CAP ．所以 tan PCB = tan CAP
3
= ．
4
4 3
在 Rt△ACP中， AC = b ，所以 AP = b,CP = b．
5 5
在VBCP 中，设 BPC = q , PCB = a sina
3 ,cosa 4，则 = = ．
5 5
PC BC 3
= b由正弦定理，知 3bsin q +a sinq ，即 5 = ．sin q +a sinq
3
化简，得 3 - 4 sinq = 3cosq ．所以 tanq = ．3 - 4
3π 3π 1 3 - 4
因为 APB = -q ，所以 tan APB = tan -q = = ．2 è 2 ÷ tanq 3
18．（2024·福建宁德·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .已知
a2 + c2 = 9 + 2ac cos B，且 sin B = 3 sin AsinC .
(1)若BD ^ AC ，垂足为D，求 BD 的长;
uuur uuur
(2)若BA × BC = 3，求 a + c的长.
【答案】(1) BD = 3
(2) a + c = 3 3
【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得b = 3，再由正弦定理结合三角形的面积公式即可
得到结果；
π
（2）根据题意，由数量积的定义以及三角形面积公式可得 ABC = ，即可得到 ac,a2 + c2
3
的值，从而得到结果.
【详解】（1）由a2 + c2 = 9 + 2ac cos B及余弦定理，得
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 9, b = 3.
由 sin B = 3 sin AsinC 及正弦定理，
得b = 3a sinC ，
因为V
1
ABC 的面积 S = b × BD
1
= absinC ，
2 2
3
所以BD = a sinC = = 3 .
3
uuur uuur
（2）由BA × BC = 3得ac cos ABC = 3 ①.
因为 S
1 1
VABC = acsin ABC = 3 3，2 2
所以 ac sin ABC = 3 3 ②，
由①②得 tan ABC = 3，
ABC (0, π) ABC π又，故 = .
3
ac = 6,a2 + c2从而 = 9 + 2 6
1
= 15 .
2
得 (a + c)2 = a2 + c2 + 2ac = 27 ，
所以 a + c = 3 3 .
19．（2024·湖北·二模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c a < b ，
c = 2a cos Acos B - b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD = BC ， AD = 2，求b + c 的取值范围．
3
π
【答案】(1) A = 3
(2) 12 7 < b + c < 6
7
【分析】（1）借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；
（2）借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得 (b + c)2 + 3c2 = 36，借助三角
函数的性质，可令b + c = 6cosa
12 7
， 3c = 6sina ，结合余弦定理计算可得 < 6cosa < 6 ，即
7
可得解.
【详解】（1）由正弦定理得 sin C = 2sin Acos Acos B - sin B cos 2A，
则 sin C = sin 2Acos B - sin B cos 2A，
则 sin C = sin 2A - B ，QC = π - A + B ，\sin A + B = sin 2A - B ．
即 A + B = 2A - B或 A + B = π - 2A - B π，解得 A = 2B或 A = 3 ．
因为 a < b π，所以 A < B ，所以 A = 2B舍去，即 A = 3 ；
uuur uuur uuur uuur
BD 1 BC AD AB 1
uuur uuur
（2）由 = 得 - = AC - AB3 3
uuur 1 uuur 2 uuur
，则 AD = AC + AB ，
3 3
uuur
| AD |2 1 4 4则 = b2 + c2 + bccos A9 9 9 ，
4 1 b2 4则 = + c2
2
+ bc，则b29 9 9 + 4c
2 + 2bc = 36，即 (b + c)2 + 3c2 = 36．
c 0 0 a π令b + c = 6cosa ， 3c = 6sina ，因为 > ，b + c > 0，所以 < < ．2
π
因为b = 6cosa - 2 3 sina > 0，所以 tana < 3，解得0 < a < ．3
A π由（1）得 = ，则 a2 = b23 + c
2 - 2bc cos A = b2 + c2 - bc ，
又因为 a < b ．所以 a2 < b2 ，所以b2 + c2 - bc < b2，
3
解得 c < b ，所以 2 3 sina < 6cosa - 2 3 sina ，解得 tana < ，
2
所以 0
3
< tana < ．
2
π
令 tana
3
1 = ，则 0 < a < a < ，则 cosa < cosa < 1．2 1 3 1
cosa 2 7 12 7 12 71 = < 6cosa < 6 < b + c < 6
因为 7 ，所以 7 ，即 7
【拓展冲刺练】
一、单选题
r r r r r r r r r1．（2024·江苏·模拟预测）已知向量 a ，b 满足 a =1， b = 2 3 ，b × 2a - b = -18，则 a 与b
的夹角等于（）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
r r
【分析】根据平面向量数量积公式求出 a ×b = -3，进而由夹角余弦公式求出答案
r r r r r r2 r r r r
【详解】b × 2a - b = 2a ×b - b = 2a ×b -12 = -18，故 a ×b = -3，
r r r r
cos a,b ra ×br -3 3= = = - r r则 2 3 2 ，所以 a 与b 的夹角等于150° .a × b
故选：D
r r r r r r r r
2．（2024·浙江·三模）已知单位向量 a,b满足 a ×b = 0 ，则 cos 3a + 4b, a + b =（）
A 0 B 7 2 C 2．．． D．1
10 10
【答案】B
r r r r r r r r
【分析】计算出 3a + 4b × a + b = 7， 3a + 4b = 5， a + b = 2 ，利用向量夹角余弦公式求
出答案.
r r r r r 2 r r r2【详解】 3a + 4b × a + b = 3a + 7a ×b + 4b = 3 + 0 + 4 = 7，
r r 2 r 2 r r r2
r r
3a + 4b = 9a + 24a ×b +16b = 9 + 0 +16 = 25，故 3a + 4b = 5，
r r 2 r 2 r r r2 r r a + b = a + 2a ×b + b =1+1 = 2，故 a + b = 2 ，
r r r rr r r r 3a + 4b × a + b
所以 cos 3a + 4b, a + b = r r r r
7 7 2
= = .
3a + 4b × a + b 5 2 10
故选：B
3 r
r r r r r
．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量 a = (2,-1),b = ( 3,m)，且 (a + b) ^ (a - b) ，则m 的
值为（）
A． ±1 B．± 2 C．±2 D．±2 3
【答案】B
【分析】利用垂直关系的向量表示，结合模的坐标表示求解即得.
r r r r r r r r r r
【详解】由 (a + b) ^ (a - b) ，得 (a + b) × (a - b) = 0 ar，则 2 = b 2，即 | a
r |=| b |，
因此 22 + (-1)2 = ( 3)2 + m2 ，所以m = ± 2 .
故选：B
x2 24 y．（2023 高三·全国·专题练习）已知椭圆 + =1，F1, F2 为两个焦点，O 为原点，P 为椭9 6
cos F PF 3圆上一点， 1 2 = ，则 | PO |=（5 ）
2
A B 30
3
C 35．．． D．
5 2 5 2
【答案】B
2 2
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出 PF1 PF2 , PF1 + PF2 的值，利用
uuur 1 uuur uuuurPO = PF1 + PF2 ，根据向量模的计算即可求得答案.2
x2 y2
【详解】由题意椭圆 + =1，F1, F2 为两个焦点，可得 a = 3,b = 6,c = 3，9 6
则 PF1 + PF2 = 2a = 6 ① PF
2 2
，即 1 + PF2 + 2 PF1 PF2 = 36，
2 2 2
由余弦定理得 F1F2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 PF2 cos F
2
1PF2 = (2 3) ，
cos F PF 3= ( PF + PF )21 2 ，故 1 2 - 2 PF1 PF2 (1
3
+ ) =12，②
5 5
15 2 2
联立①②，解得： PF1 PF2 = ,\ PF1 + PF2 = 21，2
uuur 1 uuur uuuur uuur 1 uuur uuuur而PO = PF1 + PF2 ，所以 PO = PO = PF1 + PF2 2 2 ，
uuur 1 uuur uuuur uuur 2 uuur uuuur uuuur 2
即 PO = PF1 + PF
1
2 = PF1 + 2PF1 × PF2 + PF
1
2 = 21+ 2
15 3 30
= ，
2 2 2 2 5 2
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到 O 为F1F2 的
中点，从而可以利用向量知识求解 | PO | .
二、多选题
r r
5．（2024·贵州·模拟预测）已知 a = (3, -1) ，b = (2,1)，则下列结论正确的是（）
r r r
A． a - b ^ b
r r
B． a + 2b = 5 10
r r p
C． a 与b 的夹角为 4
r r r
D． a 在b 方向上的投影向量是 5b
【答案】AC
【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据
公式求解即可.
r r r
【详解】因为 a = 3, -1 ，b = 2,1 r，所以 a - b = 1, - 2 ，
r r r r r r
则 (a - b) ×b =1 2 + (-2) 1 = 0，所以 (a - b) ^ b ，故 A 正确；
r r r r
因为 a + 2b = (7，1)，所以 | a + 2b |= 72 +12 = 5 2 ，故 B 错误；
r r r ra × b 2 r r r rcos π= r r = ，因为 [0，π]，所以= ，故 C 正确；
| a | × | b | 2 4
r r r r r rr r r r b r a ×b a
r
×b b r
a 在b 方向上的投影向量是 a cos a,b r = a ×b ar
r = r = b
× b b 5 ，故 D 错误.
故选:AC.
r r
6．（2022·湖北·模拟预测）已知向量 a = -2，1 ，b = -1, t ，则下列说法正确的是（）
r
A．若 ar ^ b ，则 t 的值为-2
r
B 1．若 ar//b ，则 t 的值为 2
r r
C．若0 < t < 2，则 a与b 的夹角为锐角
r r
D．若 a + b r r r r^ a - b ，则 ar + b = ar - b
【答案】AB
【分析】根据向量共线和垂直的的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角
的坐标表示一一判断即可．
r r r r
【详解】对于 A：若 a ^ b ，则 a ×b = -2 -1 +1 t = 0，解得 t = -2，故 A 正确；
r r 1
对于 B：若 a //b ，则-2t = -1 1，解得 t = ，故 B 正确；2
t 1= ar
r r r
对于 C：当时，与b 同向，此时 a与b 的夹角为0°，故 C 错误；2
r ra b ar r对于 D：若 + ^ - b ，则 r rar + b × ar - b r= 0 r，即 a2 - b 2 = 0，即 (-2)2 +12 = (-1)2 + t 2 ，
解得 t = ±2，
ar
r r r r r r
当 t = 2时， = -2，1 ，b = -1，2 ， ar + b 3 3 ar= - ，， - b = -1，-1 ，显然 a + b ar - b ，
r r r r r
当 t = -2时， a
r
= -2，1 r r，b = -1 r r，- 2 ， a + b = -3，-1 ， a - b = -1，3 ，此时 a + b = a - b ，
故 D 错误．
故选：AB．
三、填空题
r r r r r r r
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量 a,b满足 2 a = b ，且 a
r
^ ar - b ，则 a，b的夹
角大小为．
π
【答案】
3
【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可.
r r r r r
【详解】因为 a ^ a - b ，设向量 a 与b 的夹角为 6，
r r r r
所以 a × (a
r
- b) = ar2 r r- a ×b = a 2 - ar × b cosq = 0，
r
又因为 2 a
r
= b ，
ar 2 r r
1
所以 - 2 a × a cosq = 0，所以 cosq = .
2
π
因为0 q < π，所以q = .
3
r r π
所以向量 a，b的夹角大小为 .3
π
故答案为： .
3
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
VABC | uAB |8．（2024·安徽合肥·三模）在中，若BA × BC = CA ×CB = 3AC × AB，则 uur = .
| BC |
6
【答案】
3
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】根据题意，求得 BA = CA 和BA
1× CB
3
+ CA ÷ = 0，设D为线段 AB 上靠近A 的四
è 4 4
等分点，得到CD ^ AB ，设 AD = t ，求得CD = 15t, BC = 2 6t ，即可求解.
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
【详解】由BA × BC = CA ×CB，可得BC × (BA + CA) = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即 (BA + AC) × (BA - AC) = 0 2 2，可得BA - AC = 0，所以 BA = CA ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur
又由BA × BC = 3AC × AB，可得BA × (BC + 3AC) = 0，即BA × CB + CA

÷ = 0，
è 4 4
设D为线段 AB 上靠近A 的四等分点，则CD ^ AB ，
设 AD = t ，则BD = 3t, AC = 4t ，
所以CD = AC 2 - AD2 = 15t ，则BC = BD2 + CD2 = 2 6t ，
uuur
|
所以 u
AuBur | 4t 6= = .
| BC | 2 6t 3
6
故答案为： .
3
9．（2023·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量OA1，OA2 ，…，OAn ，若存在
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
单位向量OP 满足OP × OA1 + OP × OA2 +L + OP ×OAn = 0 ，则称OP 是向量组OA1，OA2 ，…，
uuur uuuur π uuur uuur uuuur uuuurOAn 的平衡向量．已知 OA1,OA2 = ，向量OP 是向量组OA1 ，OA2 ，OA3 的平衡向量，当3
uuur uuuur uuur uuuur
OP ×OA3 取得最大值时，OA1 ×OA3 值为．
-3 ± 6
【答案】
6
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
【分析】设OA1 = AB,OA2 = BC,OA3 = CD，结合题意可得OP × AD = 0 ，为使OP ×OA3 最大，
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
则OP,OA3 两向量的方向相同，即OP,CD 两向量的方向相同，也即OP = CD，设直线 AB 与
直线CD 交于点E ，再分如图所示两种情况讨论即可得解.
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
【详解】设OA1 = AB,OA2 = BC,OA3 = CD，
uuur uuuur uuur uuur
由 OA ,OA
π π 2π
1 2 = ，得 AB, BC = ，即 ABC = ，3 3 3
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
由题意可得OP ×OA1 + OP ×OA2 + OP ×OA3 = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur即OP × AB + OP × BC + OP ×CD = OP × AB + BC + CD = OP × AD = 0 ，即OP ^ AD，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
为使OP ×OA3 最大，则OP,OA3 两向量的方向相同，即OP,CD 两向量的方向相同，
uuur uuur
也即OP = CD，所以 AD ^ CD ，
设直线 AB 与直线CD 交于点E ，
uuur uuur uuur
AB = BC = CD =1, ABC 2π= , π BAC = BCA = , AD ^ CD, AC = 3 ，
3 6
则 sin CAD 3= , cos CAD 6= ，
3 3
因为 sin CAD 3 1 = > = sin π ，所以 CAD > BAC ，
3 2 6
如图1所示，
cos AED = sin DAE = sin CAD + CAB 3 3 6 1 3 + 6= + = ，
3 2 3 2 6
uuur uuur uuur uuur
所以 AB ×CD =1 1 cos AB,CD cos AED -3 - 6= - = ，
6
uuur uuuur -3 - 6
即OA1 ×OA3 = ，6
如图 2所示，
cos AEC = cos EAD + ADE = -sin EAD = -sin CAD - BAC
3 3 6 1 -3 + 6
= - - ÷÷ = ，
è 3 2 3 2 6
uuur uuur uuur uuur
所以 AB ×CD =1 1 cos AB,CD = cos -3 + 6 AED = ，
6
uuur uuuur
OA OA -3 + 6即 1 × 3 = ，6
uuur uuuur -3 ± 6
综上所述，OA1 ×OA3 = .6
-3 ± 6
故答案为： .
6
.
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
【点睛】关键点睛：设OA1 = AB,OA2 = BC,OA3 = CD，结合题意可得OP ^ AD，根据OP × OA3
uuur uuuur uuur uuur
最大，说明OP,OA3 两向量的方向相同，即OP = CD，是解决本题的关键所在.
四、解答题
10．（2024·山东枣庄·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a
= sinAtan C ．
2c 2
(1)求C ；
uuur uur uuur m
(2)若a = 8,b = 5,CH 是边 AB 上的高，且CH = mCA + nCB，求．n
π
【答案】(1) C =
3
m 44
(2) =
n 5
a
【分析】（1）由 = sinAtan
C
，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得
2c 2
sin2 C 1= ，可求C 的值.
2 4
uuur uuur uuur uuur
（2）以CA,CB 为基底，由CH × AB = 0，代入数据运算得m, n的关系；或利用余弦定理和勾
股定理，求出CH , AH ，由平面向量基本定理求m, n的值.
a C
【详解】（1）VABC 中， = sinAtan ，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，
2c 2
C C
sinA sinA ×sin 2 sinA
sinA ×sin
得 =2sinC C ，由倍角公式得
= 2 ．
cos 4sin C ×cos C cos C
2 2 2 2
C
又因为 A,C 为VABC 的内角，所以 A 0, π ， 0,
π
2 2 ÷，è
所以 sinA 0,cos
C
0．
2
sin2 C 1 sin C 1所以 = ， = ，
2 4 2 2
C π π
则有 = ，得C = ．
2 6 3
uuur uuur uuur uuur
（2）方法一： a = 8,b = 5，C
π
= ，CA ×CB = CA × CB ×cosC = abcosC = 5
π
8 cos = 20，
3 3
uuur2 uuur2
所以CA = b2 = 25,CB = a2 = 64 ，
uuur uuur
由题意知CH ^ AB，所以CH × AB = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2即 mCA + nCB × CB - CA = m - n CB ×CA - mCA + nCB = 20 m - n - 25m + 64n = 0．
m 44
所以5m = 44n ，所以 = ．
n 5
VABC c2 = a2 + b2方法二：中，由余弦定理得 - 2abcosC = 82 + 52 - 2 8
1
5 = 49 ，
2
所以 c = 7．
1 1
又因为 S△ABC = absinC = c ×CH ，2 2
3
所以CH absinC
8 5 20 3
= = 2 = ．
c 7 7
所以 AH = CA2 - CH 2
5 AH 5
= ， = ．
7 AB 49
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur 44 uuur 5 uuur
所以CH = CA + AH = CA + CB - CA = CA + CB．49 49 49
m 44 ,n 5由平面向量基本定理知， = = ，
49 49
m 44
所以 = ．
n 5
11．（2023·河北衡水·模拟预测）已知VABC ，D 为边 AC 上一点， AD =1，CD = 2 .
uuur uuur
BA BD 3
uuur uuur
(1)若 × = ，
4 BC × BD = 0
，求 SVABC ；
(2)若直线 BD 平分 ABC ，求△ABD 与△CBD内切圆半径之比的取值范围.
3 7
【答案】(1)
8
3
(2) ,1

4 ÷è
uuur 3 uuur 1 uuur
【分析】（1）先利用平面向量的加减运算得到BA = BD - BC ，再利用平面向量的数量积
2 2
2
运算法则求得BD = ，又利用余弦定理与数量积运算求得 AB = 2 ，由此利用三角形面
2
积公式即可得解；
AB 1
（2）先由角平分线性质定理得到 = ，再利用余弦定理与数量积运算求得
BC 2 BD = 2c
2 - 2 ，
r 1 c +1
从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到 = 1+R 2 2 ÷
，进而利用换元法
è c + 2c - 2 +1
r
与不等式的性质求得的范围，由此得解.
R
【详解】（1）如图 1， AD =1，CD = 2，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
所以BA = BD + DA = BD + CD = BD + BD - BC2 2
3 uuur 1 uuur
= BD - BC ，
2 2
uuur uuur 3 uuur uuur
因为BA × BD = ，
4 BC × BD = 0
，
uuur uuur 3 uuur 1 uuur uuur 3 uuur2 1 uuur uuur 3 uuur 2 3
所以BA × BD = BD - BC

÷ × BD = BD - BC × BD = BD = ，
è 2 2 2 2 2 4
uuur 2
BD 1
uuur
= 2 2故，则 BD = ，即
2 BD =
，
2 2
uuur uuur 14
又BC × BD = 0 ，则BC ^ BD，故BC = CD2 - BD2 = ，
2
m2 1+ -1
不妨记 ABD = a ， AB = m，则 cosa AB
2 + BD2 - AD2 2m2 -1
= = 2 = ，
2AB × BD 2m 2 2m
uuur uuur uuur uuur
因为BA × BD = BA BD cosa
3
= ，
4
2 2m2 -1 3 2 2 -1 3
所以m = ，解得m = 2 ，则 cosa = = ，
2 2 2m 4 2 2 2 4
0 < a < π sina 1 cos2 a 7因为，所以 = - = ，
4
S 1所以 VABC = SVABD + SVBCD = AB × BD sina
1
+ BD × BC
2 2
1 2 2 7 1 2 14 3 7= + = .
2 2 4 2 2 2 8
.
（2）如图 2，不妨设△ABD 与△CBD内切圆的半径分别为 r 与 R ，
因为直线 BD 平分 ABC ，
AB AD 1
所以由角平分线性质定理得 = = ，记 AB = c，则BC = 2c ，
BC CD 2
2 2 2 2 2 2
记 ABC = b ，则 cos b AB + BC - AC c + 4c - 9 5c - 9= = =
2AB × BC 2 c 2c 4c2
，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur因为BD = BA + AD = BA + AC = BA + BC - BA 2= BA 1+ BC ，3 3 3 3
uuur2 4 uuur2 uuur2BD BA 1 BC 4
uuur uuur 2
所以 = + + BA BC cos b 4= c2 1 4 5c - 9+ 4c2 + c 2c = 2c2 - 2，
9 9 9 9 9 9 4c2
因为 AB + BC > AC, BC - AB < AC ，即 c + 2c > 3,2c - c < 3，则3 > c >1，
uuur
BD = 2c2所以 - 2 ，即BD = 2c2 - 2 ，
1
S AD × h
因为 VABD = 2
1
1 = （ h 为顶点 B 到 AC 的距离），SVBCD CD ×h 2
2
S 1又 VABD = AB + BD + AD r
1
= c + 2c2 - 2 +12 2 r ，
S 1 1 2VBCD = BC + BD + CD R = 2c + 2c - 2 + 2 R，2 2
c + 2c2 - 2 +1 r 1 r 1 2c + 2c2 - 2 + 2 1 1 c +1 所以 = ，则 = = + ÷，2c + 2c2 - 2 + 2 R 2 R 2 c + 2c2 - 2 +1 2 è c + 2c2 - 2 +1
令 t = c +1，则 c = t -1， 2 < t < 4，
c +1 t 1
= =
所以 c + 2c2 - 2 +1 t + 2 t -1 2 - 2 1 4+ 2 - ，
t
1 1 1 4
因为 2 < t < 4，所以 < < ，则0 < 2 - <1，故1<1 4+ 2 - < 2，
4 t 2 t t
1 1
< <1 1 c +1
所以 2 1 2 4 ，即
< <1
+ - 2 2 ，
t c + 2c - 2 +1
3 1
所以 < 1
c +1
+ ÷ <1
3 r
，故 < <1，
4 2 è c + 2c2 - 2 +1 4 R
3
所以△ABD 与△CBD 内切圆半径之比的取值范围为 ,14 ÷ .è

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