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考点 35 等差数列（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+
拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系
【知识点】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那
么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，
定义表达式为 ．
(2)等差中项
由三个数 a，A，b 组成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 2A＝ .
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)前 n 项和公式：Sn＝ 或 Sn＝ .
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等
差数列．
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
Sn
(6)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，{ 为等差数列．n }
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数列，
且公差为 p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最大值；若 a1＜0，d＞0，则 Sn 存在最小
值．
3．等差数列{an}的单调性：当 d＞0 时，{an}是递增数列；当 d＜0 时，{an}是递减数列；
当 d＝0 时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．这里公差 d＝2A
【核心题型】
题型一　等差数列基本量的运算
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能
求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项 a1和公差 d．
【例题 1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 an 满足 a2 + a3 =14，且 a4 - a2 = 8，
则首项 a1 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2
【变式 1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项 a1 = -6的等差数列 an 中， a9 = a3a6，若该
数列的前 n项和 Sn = 0，则 n等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 = 3，
S4 = 8，则 a5 = ．
【变式 3】（2024·陕西西安·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 S3 =15，
S5 = 35 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)设b
a
n =
n
n ，求数列 bn 2 的前 n项和Tn .
题型二　等差数列的判定与证明
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前 n 项和公式法．
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn .若 an + an+1 = 4n + 3,a1 =1，
则 S10 =（ ）
A．110 B．115 C．120 D．125
a + a
【变式 1】（2024·辽宁·一模）已知数列 a 满足 n n+1n = n + 1，则“数列 an 是等差数列”2
的充要条件可以是（ ）
A． a2 =1
5
B． a2 = C． a2 = 2 D． a2 = 32
【变式 2】（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知在数列 an 中， a1,a11 N+ ，数列 an
n S ì S ü的前 和为 n ， í n 为等差数列， S14 = 77 ，则 S100 = ．
n
1
【变式 3】（2024· · a a = , 2a - a a =1 n N*河北沧州 模拟预测）已知数列 n 满足 1 2 n+1 n n+1 .
ì 1 ü
(1)证明：数列 í 为等差数列，并求 an ；
an -1
a
(2) b = n+1
- an
令 n a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn .n n+1
题型三　等差数列的性质
命题点 1　等差数列项的性质
等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
n a1＋an
(2)项的性质常与等差数列的前 n 项和公式 Sn＝ 相结合2
1
【例题 3】（2024·山西运城·三模）已知数列 an 是等差数列， a3 - a5 = 2，则 a5 + a10 - a8 =2
（ ）
A．4 B．-2 C．-4 D．-8
【变式 1】（2024·广东广州·模拟预测）在等差数列 an 中，若 a2 + a5 + a19 + a22 = 28，则 a12 =
（ ）
A．45 B．6 C．7 D．8
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）设 an 是等比数列，且 a1 + a2 + a3 = 1， a2 + a3 + a4 = 2，
则 a5 + a6 + a7 = ．
【变式 3】（2023·陕西·模拟预测）已知等差数列 an 中，a3 + 2a6 = 3，则 a5 = .
命题点 2　等差数列前 n 项和的性质
等差数列前 n 项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有 S2n＝n(a1＋a2n)＝…
＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
【例题 4】（2024·山东日照·三模）设等差数列 bn 的前 n项和为 Sn ，若b3 = 2，b7 = 6，则 S9 =
（ ）
A．-36 B．36 C．-18 D．18
【变式 1】（2024·广东茂名·模拟预测）公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若
S8 = 4 a2 + ak ，则 k = （ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【变式 2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a7 = 6，则 S13 = .
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 an 满足 a7a9a11 = 64, a12 + 2是 a9 与 a13
的等差中项．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn = log2an ，求数列 bn 的前 n项和．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知等差数列 an 的前 15 项之和为 60，则 a3 + a13 =（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2022 高三上·河南·专题练习）若数列{nan}的前 n项和Tn = 2n(n +1)(2n +1) ，则数列{an}的
前 n项和 Sn = （ ）
A． n2
1
+11n B． n2
23
+ n C．6n2 + 6n D． -6n22 2 +12n
3．（2024·北京·模拟预测）记等差数列 an 的公差为d ，前 n项和为 Sn ，若a5 + a11 = 62，且
S13 = 351，则该数列的公差d 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024·湖北·模拟预测）已知 Sn 是等差数列 an 的前 n项和，若 a2 + a4 + a6 = -3， S8 = -12，
则数列 an 的首项 a1 =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
二、多选题
5．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，且 S4 = 4S2 ,a2n = 2an +1 n N* ，
则（ ）
A． an = 2n -1 B． Sn = n
2
ì 1 ü 2n
C n．数列 í 的前 n 项和为 D．数列a a a + 2 的前 n 项和为 2
n+1 + n2 - 2
n n+1 2n +1
n
6．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 4 ， S7 = 42，则下列说
法正确的是（ ）
A． a5 = 4
1 5
B． Sn = n
2 + n
2 2
ìa ü 1 4
C． í n 为递减数列 D．{ }
n a a
的前 5 项和为
n n+1 21
三、填空题
ìa2 ü
7．（2024· n *湖南邵阳·三模）已知数列 an 与 í 均为等差数列 n N ，且 a2 =1，则
n
a2024 = .
2
8．（宁夏石嘴山·一模）已知数列 a a 2Sn 满足 1 =1， an = n n 2 ，其中 Sn 为 a 的前 n2Sn -1 n
项和，则 S2016 = .
9．（2024·湖南长沙·三模）已知数列 an 为正项等比数列，且 a2 - a3 = 3，则 a1的最小值为 .
四、解答题
10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 an 的公差 d > 0， a2与 a8 的等差中项为 5，且
a4a6 = 24 .
(1)求数列 an 的通项公式；
ìan , n为奇数，
(2)设bn = í 1 求数列 bn 的前 20 项和T
, n为偶数，
20 .
anan+2
11．（23-24 高三下·广东广州·阶段练习）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有 n n 2
个服务区.现有一辆车从第 n个服务区向第 1 个服务区行驶，且当它从第 k(1< k n)个服务区
开出后，将等可能地停靠在第1 ~ k -1个服务区，直到它抵达第 1 个服务区为止，记随机变
量 X n 为这辆车全程一共进入的服务区总数.
(1)求 X 3的分布列及期望；
ì 1 ü
(2)证明： í E X 是等差数列. n+1 - E X n
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列 an 满足an + an+1 = 4n +1，则 a1 =（ ）
3
A 3 B C 1 D 1． ． ． ．
2 2
2．（2022高三上·河南·专题练习）已知数列 an 的前n项和为 Sn ，且 Sn+1 = Sn + an + 3，若 a3 = 9，
则 S20 = （ ）
A．520 B．530 C．620 D．630
3．（2024·四川雅安·三模）在等差数列 an 中，若 a2 + a6 =10, a5 = 9，则 a8 =（ ）
A．21 B．24 C．27 D．29
4．（2024·广东茂名·二模）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 2a5 = a4 + 5，则 S11的值是
（ ）
A．11 B．50 C．55 D．60
5．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn , a1 =1, S9 = 6a5 + 27 ，则 S5 =
（ ）
A．25 B．27 C．30 D．35
6．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列 an 的公差为d ，前 n项和为 Sn ，且
a2n = 2an +10 n N* ， S13 = S6 则d 的值为（ ）
20 20
A．1 B． C． D．-1
19 21
7．（2024·江西赣州·二模）在等差数列 an 中， a2， a5 是方程 x2 -8x + m = 0的两根，则 an
的前 6 项和为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．8
8．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 an 满足
2n - 3 an - 2n -1 a 2 *n-1 = 4n -8n + 3 n 2, n N ,a1 =1，则 an =（ ）
A． 2n - 2 B． 2n2 - n C． 2n -1 D． (2n -1)2
二、多选题
9．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a2 = 4, S5 = 35，则（ ）
A．nan 的最小值为 1 B． nSn 的最小值为 1
ìS ü ì a ü
C． í n 为递增数列 D． n 为递减数列
n
í
n2


3a -1
10．（23-24 n高三上·全国·阶段练习）已知数列 an 满足a1 = 2,an+1 = a +1 ，则下列说法正确n
的是（ ）
5
A．a3 = B．数列 an 为递减数列3
ì 1 ü n + 3
C．数列 í 为等差数列 D． a =
an -1
n
n +1
11．（2024·全国· *模拟预测）已知数列 an 满足 an+1 + an = f n ,n N ，则下列说法中正确的
是（ ）
A．若 f n = 2n，则存在 a1，使得 an 是等差数列
B．若 f n = 2n，则存在 a1，使得 an 是等比数列
C．若 f n = 0，则存在 a1，使得 an 是等差数列
D．若 f n = 0，则存在 a1，使得 an 是等比数列
三、填空题
12．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S28 = 56，则
a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 = .
13．（2024·河南开封·三模）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a1 = 8， a4 + a6 = 0，则
S5 = ．
14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，公差为d ，且 Sn
单调递增，若 a5 = 5，则公差d 的取值范围为 ．
四、解答题
3 1
15．（2024·四川·模拟预测）已知数列 an 满足 a = ， an+1 + = 21 a ．2 n
ì 1 ü
(1)证明数列 í 是等差数列，并求 an 的通项公式；
an -1
(2)若数列 bn 满足，bn = an - 1 an+1 - 1 ，求 bn 的前 n 项和 Sn ．
16．（2023·江西·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且满足 a3 + a6 + a9 = 33，
S7 = 49．
(1)求 an 的通项公式；
(2) n若数列 bn 满足bn = an × 2 ，求 bn 的前 n项和Tn ．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知等差数列 an 的首项 a1 0，公差为 d (d 0)，Sn 为 an
ìSn ü
的前 n项和， í 为等差数列．
an
(1)求 a1与d 的关系；
ì 1 ü
(2)若 a1 =1，Tn 为数列 í 的前 n
8
项和，求使得Tn < 成立的 n的最大值．
anan+1 9
a +1
18．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列 an 的前 n 项和为 S nn ，已知 Sn +1 = .2
(1)求数列 an 的通项公式；
a2
(2)设bn = n ，求数列 bn 的前 n 项和T .Sn - n n
19．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列 an 的公差为 2，前 n项和为 Sn ，且
S1 +1，S2，S3 +1成等比数列.
(1)求数列 an 的通项公式 an ；
ì 1
,n为奇数， S
(2) n若bn = í 求数列 bn 的前 4n项和.
n -1 p
Sn ×sin
, n为偶数，
2
【拓展冲刺练】
一、单选题
ìa2 - 4ü
1．（2024· n河北保定·三模）已知在等差数列{an}中， a1 =1，公差 d > 0 .若数列 í 也是
n
等差数列，则 d =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S8 = 8，则 a3 + a6 =
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2024·重庆·三模）等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S7 = 70,a2 a3 + a5 = 80，则公差 d =
（ ）
A．12 B．2 C．3 D．4
4．（2024·广西河池·模拟预测）记单调递增的等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 = 2且
a1a5 = a2a3，则 S10 =（ ）
A．70 B．65 C．55 D．50
二、多选题
5．（2024·辽宁·一模）等差数列 an 中， a1 > 0，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a3 + a7 = 4 ，则 S9 =18
B．若 S15 > 0， S16 < 0 ，则 a 28 > a
2
9
C．若 a1 + a2 = 5，a3 + a4 = 9，则 a7 + a8 =17
D．若 a8 = S10 ，则 S9 > 0， S10 < 0
6．（2024·全国·一模）已知数列{an}：1，1， 2，1，3，5，1， 4， 7 ，10，L，其中第1
项为1，接下来的 2项为1， 2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的 4项为1， 4， 7 ，
10，依此类推，则（ ）
A． a20 = 21
a 2B． n(n+1) = n - 2n + 2
2
C．存在正整数m ，使得am ， am+1， am+2 成等比数列
D．有且仅有3个不同的正整数m ，使得 am + am+1 + am+2 =156
三、填空题
7．（2024·四川凉山·二模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 + a5 =10， a4a9 = 50，则
S6 = ．
8．（2024·四川攀枝花·三模）等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a3 = 7, S5 = 7a2 ，则 a6 = ．
9．（2023·福建·模拟预测）已知数列 an 的首项不为零，满足 an+3 - an+2 = an+1 - an ， a3 = 3a1，
a2023
则 =a .1
四、解答题
10．（2022·福建厦门·模拟预测）等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知 a1 = 9， a2为整数，且
Sn S5 .
(1)求 an 的通项公式；
1
(2)设bn = b n Tana
，求数列 n 的前 项和 n .
n+1
11．（2024·广东·模拟预测）已知数列 an 与 bn 为等差数列， a2 = b3 ，a1 = 2b1， an 前 n项
19n + n2
和为 ．
2
(1)求出 an 与 bn 的通项公式；
(2)是否存在每一项都是整数的等差数列 cn ，使得对于任意 n N+ ， cn 都能满足
an + bn - an - bn an + bn + an - b c n
2 n
．若存在，求出所有上述的 cn ；若不存在，请说明2
理由．考点 35 等差数列（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+
拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系
【知识点】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，定义表达式
为 an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
由三个数 a，A，b 组成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 2A＝a＋b.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
n n－1 n a1＋an
(2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋ d 或 S2 n
＝ .
2
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数
列．
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
Sn
(6)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，{ }为等差数列．n
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数列，
且公差为 p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最大值；若 a1＜0，d＞0，则 Sn 存在最小
值．
3．等差数列{an}的单调性：当 d＞0 时，{an}是递增数列；当 d＜0 时，{an}是递减数列；
当 d＝0 时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．这里公差 d＝2A
【核心题型】
题型一　等差数列基本量的运算
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能
求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项 a1和公差 d．
【例题 1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 an 满足 a2 + a3 =14，且 a4 - a2 = 8，
则首项 a1 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.
【详解】设等差数列 an 的公差为d ，因为 a2 + a3 =14，且 a4 - a2 = 8，
ìa2 + a3 = 2a1 + 3d =14 ìa1 =1
所以 ía ，所以
.
4 - a2 = 2d = 8
í
d = 4
故选：A
2
【变式 1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项 a1 = -6的等差数列 an 中， a9 = a3a6，若该
数列的前 n项和 Sn = 0，则 n等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据已知结合等差数列的通项公式求出公差，然后代入求和公式即可求解.
【详解】设等差数列 an 的公差为d 2，因为 a1 = -6， a9 = a3a6，
-6 + 8d 2所以 = -6 + 2d -6 + 5d ，解得 d =1或 d = 0 ，
若 d = 0 ，则 an 为常数数列，则 Sn = -6n 0，不合题意，舍去；
n n n -1d =1 S 6n 则 ，由等差数列前 项和公式得 n = - + 1 = 0，解得n = 13 .2
故选：D.
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 = 3，
S4 = 8，则 a5 = ．
【答案】-3
【分析】由 a2 = 3， S4 = 8，求出 a1和d ，再由等差数列的通项公式求出 a5 .
【详解】设数列 an 的公差为 d，由已知有 a2 = a1 + d = 3， S4 = 4a1 + 6d = 8，
所以 a1 = 5， d = -2 ，所以 a5 = a1 + 4d = 5 + 4 -2 = -3 .
故答案为：-3 .
【变式 3】（2024·陕西西安·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 S3 =15，
S5 = 35 .
(1)求 an 的通项公式；
a
(2)设bn = n2n ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
【答案】(1) an = 2n +1
T 5 2n + 5(2) n = - 2n
【分析】（1）根据等差数列前 n项公式得到方程组，解出 a1,d 即可；
2n +1
（2）首先得到bn = n ，再利用错位相减法求和即可得到答案.2
【详解】（1）设 an 的公差为d ，则 S3 = 3a1 + 3d = 15， S5 = 5a1 +10d = 35，
解得 a1 = 3， d = 2 .
故 an = 3 + n -1 2 = 2n +1.
2n +1
（2）由（1）可得bn = ，2n
T 3 1 5 1所以 n = + 2 + 7
1 1
3 + ×××+ 2n +1 n ，①2 2 2 2
1 1 1 1 1
则 Tn = 3 2 22
+ 5
23
+ 7 4 + ×××+ 2n +1 n+1 ，②2 2
① -
1
②，得 T
1 1 1 1 1
2 n
= 3 + 2 2 + 3 + ×××+ n ÷ - 2n +1 2 è 2 2 2 2n+1
1 1
1-
3 2 è 2n-1 ÷= + 1 - 2n +1
1 5 2n + 5
n+1 = - ，2 1- 2 2 2
n+1
2
T 2n + 5n = 5 - n
所以 2
题型二　等差数列的判定与证明
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前 n 项和公式法．
【例题 2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn .若 an + an+1 = 4n + 3,a1 =1，
则 S10 =（ ）
A．110 B．115 C．120 D．125
【答案】B
【分析】法一，当 n 2时， an + an-1 = 4 n -1 + 3，两式相减可证明 an 中奇数项成等差数
列，偶数项成等差数列，公差均为 4，由等差数列的前 n项和公式求解即可；法二：由题意
可得，数列 a2n-1 + a2n 是以 7 为首项，8 为公差的等差数列，由等差数列的前 n项和公式求
解即可.
【详解】法一：Qan+1 + an = 4n + 3 ①，\当 n 2时， an + an-1 = 4 n -1 + 3 ②，
① - ②得当 n 2时， an+1 - an-1 = 4 ，
\ an 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为 4.
Qa =1 n -11 ，\当 n为奇数时， an = a1 + 4 = 2n -1；2
当 n为偶数时， an = 4n + 3- an+1 = 2n + 2 .
5 1+17 5 6 + 22\S10 = a1 + a3 + a5 + a a a a a a a

7 + 9 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = + =115 .2 2
法二： Qan + an+1 = 4n + 3，\an+2 + an+3 = 4 n + 2 + 3，a1 + a2 = 7，
\数列 a2n-1 + a2n 是以 7 为首项，8 为公差的等差数列，
S 5 4\ 10 = a1 + a2 + a3 + a4 + ×××+ a9 + a10 = 5 7 + 8 =115 .2
故选：B
a + a
【变式 1】（2024·辽宁·一模）已知数列 an 满足 n n+1 = n + 1，则“数列 an 是等差数列”2
的充要条件可以是（ ）
A． a2 =1 a
5
B． 2 = C． a2 = 2 D． a2 = 32
【答案】B
【分析】利用等差数列的定义结合递推公式及充要条件的定义计算即可.
a + a
【详解】由 n n+1 = n + 1，得 an + an+1 = 2n + 2 ①，2
当 n 2时，an-1 +an =2n②，
由①-②得 an+1 - an-1 = 2 ，即 an 的奇数项和偶数项均为公差为 2 的等差数列，
所以a2k = a2 + 2 k -1 = 2k + a2 - 2,a2k-1 = a1 + 2 k -1 = 2k + a1 - 2，
若 an 为等差数列，则其公差显然为 1，即 a2 - a1 =1.
又a1 +a2 =2 2=4
3
，所以 a1 = , a
5
2 2
=
2 ，
a 2k 1 , a 2k 1 1此时 2k = + 2k -1 = - ，即 an = n + ，2 2 2
5
所以 an 为等差数列，即“数列 an 是等差数列”的充要条件可以是 a2 = .2
故选:B.
【变式 2】（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知在数列 an 中， a1,a11 N+ ，数列 an
的前 n ì
S ü
和为 Sn ， í n 为等差数列， S14 = 77 ，则 S100 = ．
n
【答案】-3750
【分析】由已知可得数列 an 为等差数列，根据 S14 = 77 ，可得7a1 +13a11 =110，结合
a1,a11 N+ ，求得 a1 =12, a11 = 2，得解.
ì Sn ü S
【详解】Qí 为等差数列，所以设 n = An + B， A, B为常数，
n n
\S 2n = An + Bn，\a1 = A + B ，当 n 2时，
a = S - S 2 2n n n-1 = An + Bn - A n -1 - B n -1 = 2An - A + B，
\an = 2An - A + B, n N
*
，则 an - an-1 = 2A（常数）.
\数列 an 为等差数列，
QS14 = 77，\7 a1 + a14 = 7 a4 + a11 = 77 ，
ìa14 =11- a1 ìa14 - a1 =11- 2a1 ì13d =11- 2a1
所以 í
a4 =11
，即
- a í11 a
，即
11 - a4 = 2a11 -11
í
7d = 2a11 -11
，
11- a1 - a1 a11 - 11- a 则 d = = 11 ，
13 7
\7a1 +13a11 =110，Qa1,a11 N a
103
+，\ 11 ，13
经检验可得 a1 =12, a11 = 2，
则 d
a
= 11
- a1 = -1，\a
10 n
=13- n，
25 - n ×n
\Sn = ，2
\S100 = -3750 .
故答案为：-3750
1 *
【变式 3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = , 2a2 n+1 - anan+1 =1 n N .
ì 1 ü
(1)证明：数列 í 为等差数列，并求 an ；
an -1
b an+1 - a(2) n令 n = ba a ，求数列 n 的前 n项和Tn .n n+1
【答案】(1)证明见解析， a
n
n = .n +1
n
(2)Tn = .n +1
1 1
【分析】（1）把 2an+1 - anan+1 =1代入 -a -1 a -1化简即可.n+1 n
b an+1 - an 1 1 n +1 n + 2 1 1（2）通过对bn 变形，即 n = = - = - = -a a a a n n +1 n n +1 ，然后求和即可.n n+1 n n+1
1
【详解】（1）由 2an+1 - anan+1 =1，知 an+1 = 2 - a ，n
1 1 1 1 2 - an 1 1- a- = 1 - = - =
n = -1
所以 an+1 -1 an -1 -1 an -1 an -1 an -1 an -1 ，
2 - an
ì 1 ü 1
所以数列 í 是以 = -2a -1 为首项，-1 为公差的等差数列， an -1 1
1
所以 = -2 + -1 n -1 = -n -1an -1
，
n
所以 an = .n +1
b an+1 - an 1 1 n +1 n + 2 1 1（2）因为 n = = - = - = -a ，nan+1 an an+1 n n +1 n n +1
1 1 1 1 1 1 1 1 nTn =1- + - + - +L+ - = 1- =
所以 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +1
题型三　等差数列的性质
命题点 1　等差数列项的性质
等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
n a1＋an
(2)项的性质常与等差数列的前 n 项和公式 Sn＝ 相结合2
1
【例题 3】（2024·山西运城·三模）已知数列 an 是等差数列， a - a = 2，则 a2 3 5 5
+ a10 - a8 =
（ ）
A．4 B．-2 C．-4 D．-8
【答案】C
【分析】利用下标和性质计算可得.
1
【详解】因为 a3 - a5 = 2，则 a3 - 2a5 = 4，又 2a5 = a3 + a7 ，则 a3 - a3 + a7 = 4 ，2
解得 a7 = -4，
所以 a5 + a10 - a8 = a7 + a8 - a8 = a7 = -4 .
故选：C
【变式 1】（2024·广东广州·模拟预测）在等差数列 an 中，若 a2 + a5 + a19 + a22 = 28，则 a12 =
（ ）
A．45 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】因为 a2 + a5 + a19 + a22 = a2 + a22 + a5 + a19 = 4a12 = 28，
所以 a12 = 7 .
故选：C
【变式 2】（2024·陕西西安·模拟预测）设 an 是等比数列，且 a1 + a2 + a3 = 1， a2 + a3 + a4 = 2，
则 a5 + a6 + a7 = ．
【答案】16
【分析】利用等比数列通项的性质求解即可．
【详解】因为 an 是等比数列，设其公比为q，
a2 + a3 + a4 a + a + a
所以 = q = 2 5 6 7 = q4 =16a1 + a + a
，则
2 3 a
，
1 + a2 + a3
所以 a5 + a6 + a7 =16 a1 + a2 + a3 =16 .
故答案为：16
【变式 3】（2023·陕西·模拟预测）已知等差数列 an 中，a3 + 2a6 = 3，则 a5 = .
【答案】1
【分析】借助等差数列性质计算即可得.
【详解】 a3 + 2a6 = a3 + a7 + a5 = 3a5 = 3，故 a5 =1 .
故答案为：1.
命题点 2　等差数列前 n 项和的性质
等差数列前 n 项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有 S2n＝n(a1＋a2n)＝…
＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
【例题 4】（2024·山东日照·三模）设等差数列 bn 的前 n项和为 Sn ，若b3 = 2，b7 = 6，则 S9 =
（ ）
A．-36 B．36 C．-18 D．18
【答案】B
【分析】利用等差数列的前 n 项和公式，结合等差数列的性质求解.
b1 + b9 9 b + b 9【详解】解： S9 = = 3 7 = 36，2 2
故选：B.
【变式 1】（2024·广东茂名·模拟预测）公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若
S8 = 4 a2 + ak ，则 k = （ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根据等差数列的前 n 项和公式结合等差数列的性质即可得解.
【详解】设公差为 d d 0 ，
a + a 8
QS 8 = 1 7 = 4 a1 + a8 = 4 a2 + ak ，2
\a1 + a8 = a2 + ak ，∴ ak = a1 + 6d = a7 ，\k = 7 ．
故选：C．
【变式 2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a7 = 6，则 S13 = .
【答案】78
【分析】由等差数列的下标和性质和等差数列 an 的前 n项和公式求解即可.
a 13 a1 + aS 13 13 2a【详解】因为 n 为等差数列，所以 713 = = = 78 .2 2
故答案为：78
【变式 3】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 an 满足 a7a9a11 = 64, a12 + 2是 a9 与 a13
的等差中项．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn = log2an ，求数列 bn 的前 n项和．
【答案】(1) a = 2n-7n
ì13n - n2
, n 7
(2) S 2n = ín2 -13n
+ 42, n > 7 2
【分析】（1）利用等比数列、等差数列的性质，结合等比数列的通项公式求解 an ；
ì7 - n,n 7
（2）利用（1）的结果得到 bn = í n b n
n - 7,n
，对 分情况求解 的前 项和．
> 7 n
【详解】（1）因为 a7a9a11 = 64，又 a7a11 = a
2
9 ，所以 a
3
9 = 64 ，解得 a9 = 4，
设 an 的公比为q，因为 a12 + 2是 a9 与 a13 的等差中项，
所以 a9 + a13 = 2 a12 + 2 ，
即 a9 + a9q
4 = 2 a 39q + 2 ，解得 q = 2，
n-9 n-9 n-7
从而 an = a9q = 4 2 = 2 ，
n-7
故等比数列 an 的通项公式是 an = 2 ；
n-7 n-7
（2）由（1）知 an = 2 ，所以bn = log2an = log2 2 = n - 7，
b ì
7 - n,n 7
n = í
n - 7, n
，
> 7
设 bn 的前 n项和为 Sn ，
当 n 7 时，易知数列 bn 是首项为 6，公差为 -1的等差数列，
n n -1 13n - n2
所以 Sn = 6n + -1 = ，2 2
当 n > 7时，易知数列 bn 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 Sn = 6 + 5 + 4 + 3+ 2 +1+ 0 +1+ 2 + ×××+ n - 7
= 2 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1+ 0 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1- 0 +1+ 2 + ×××+ n - 7
é n
2S n -1 ù n
2 -13n
= 7 + ê-6n + 1ú = + 422 2 ，
ì13n - n2
, n 7
S = 2n ín2 -13n
b + 42, n > 7所以数列 n 的前 n项和 2
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知等差数列 an 的前 15 项之和为 60，则 a3 + a13 =（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据等差数列的前 n 项和公式求得 a1 + a15，再结合等差数列的性质求解.
15 a + a
【详解】QS = 1 1515 = 60 ，\a + a2 1 15
= 8，
所以a3 +a13 =a1 +a15 =8.
故选：C.
2．（2022 高三上·河南·专题练习）若数列{nan}的前 n项和Tn = 2n(n +1)(2n +1) ，则数列{an}的
前 n项和 Sn = （ ）
1 23
A． n2 +11n B n2． + n C．6n2 + 6n D． -6n22 2 +12n
【答案】C
ìS1, n =1
【分析】根据 an = í 求出 an = 12nS S ,n 2 ，得到
{an}是首项为 12，公差为 12 的等差数
n - n-1
列，利用等差数列求和公式求出答案.
【详解】因为数列{nan}的前 n项和Tn = 2n(n +1)(2n +1) ，
所以当 n 2时，Tn-1 = 2n(n -1)(2n -1)，两式相减，得
nan = 2n(n +1)(2n +1) - 2n(n -1)(2n -1) = 12n
2 ，
当 n =1时， a1 = 2 2 3 =12也符合该式，所以 an = 12n ，
an+1 - an = 12 n +1 -12n = 12 ，
所以数列{an}是首项为 12，公差为 12 的等差数列，
n(n -1) 2
所以 Sn = 12n + 12 = 6n + 6n .2
故选：C．
3．（2024·北京·模拟预测）记等差数列 an 的公差为d ，前 n项和为 Sn ，若a5 + a11 = 62，且
S13 = 351，则该数列的公差d 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式求出 a8 、a7，即可求出公差.
【详解】因为 a5 + a11 = 2a8 = 62 ，则 a8 = 31，
S 13(a1 + a13 ) 13 2a又 = = 713 = 3512 2 ，所以
a7 = 27 ，
所以 d = a8 - a7 = 31- 27 = 4 ．
故选：B．
4．（2024·湖北·模拟预测）已知 Sn 是等差数列 an 的前 n项和，若 a2 + a4 + a6 = -3， S8 = -12，
则数列 an 的首项 a1 =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】B
【分析】由已知条件，利用等差数列通项与前 n项和基本量的计算，列方程组求出首项和公
差.
【详解】设等差数列 an 的公差为d ，因为 a2 + a4 + a6 = -3，可得 3a4 = -3，即 a4 = -1，所以
a1 + 3d = -1，
又因为 S8 = -12，可得8a1 + 28d = -12，即 2a1 + 7d = -3，联立解得 a1 = 2， d = -1 .
故选：B.
二、多选题
5 *．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ，且 S4 = 4S2 ,a2n = 2an +1 n N ，
则（ ）
A 2． an = 2n -1 B． Sn = n
ì 1 ü 2n
C n．数列 í 的前 n 项和为 D．数列 an + 2 的前 n 项和为 2n+1 + n2a a - 2 n n+1 2n +1
【答案】ABD
【分析】由等差数列的性质和前 n 项和公式可求出 d = 2, a1 =1，可判断 A；由等差数列 an
的前 n 项和公式可判断 B；由裂项相消法可判断 C；由分组求和法可判断 D.
【详解】对于 A，设等差数列 an 的首项和公差为 a1,d ，
S 4a 4 3 1所以 4 = 1 + d = 4S2 = 4 2a1 + d ，化简可得： a1 = d ，2 2
又因为 a2n = 2an +1，则 a2 = 2a1 +1，
所以 a1 + d = a1 + 2a1 = 2a1 +1，所以 d = 2, a1 =1，
所以 an = a1 + n -1 d =1+ 2 n -1 = 2n -1，故 A 正确；
n n -1
对于 B， Sn = na

1 + d = n + n n -1 = n2 ，故 B 正确；2
1 1 1 1 1
对于 C， = = -anan+1 2n -1 2n +1 2 è 2n -1 2n +1÷
，

ì 1 ü
所以数列 í 的前 n 项和为
anan+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n - + - + - + + -
= 1- = ，故 C 错误；
2 è 3 3 5 5 7 2n -1 2n +1÷ 2 ÷è 2n +1 2n +1
D b = a + 2n n对于 ，令 n n = 2n -1 + 2 ，
a + 2n 1 2 3 n所以数列 n 的前 n 项和为： 1+ 3 + 5 + + 2n -1 + 2 + 2 + 2 +L+ 2
n 1+ 2n -1 2 1- 2n
= + = n2 + 2n+1 - 2，故 D 正确.
2 1- 2
故选：ABD.
6．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 4 ， S7 = 42，则下列说
法正确的是（ ）
A a = 4
1
B S = n2
5
． 5 ． n + n2 2
ìa ü 1 4
C． í nn 为递减数列
D．{ }a a 的前 5 项和为 n n+1 21
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d ，再逐项求解判断即可.
【详解】等差数列 a 7(a中， S = 1 + a7 )n 7 = 7a4 = 42，解得 a4 = 6，而 a2 = 4 ，2
d a4 - a因此公差 = 2 = 1，通项an = a2 + (n - 2)d = n + 2 ，4 - 2
对于 A， a5 = 7 ，A 错误；
S n(3 + n + 2) 1 5对于 B， n = = n
2 + n，B 正确；
2 2 2
an 1 2对于 C， = + ，{
an }为递减数列，C 正确；
n n n
1 1 1 1
对于 D， = = - {
1 }
anan+1 (n + 2)(n + 3) n + 2 n + 3
，所以 a a 的前 5 项和为n n+1
1 1 1 1 L 1 1 1 1 5- + - + + - = - = ，D 错误.
3 4 4 5 7 8 3 8 24
故选：BC
三、填空题
2
7．（2024·湖南邵阳·三模）已知数列 ìa an ü *n 与 í 均为等差数列 n N ，且 a =1，则
n
2

a2024 = .
【答案】1012
【分析】根据等差数列通项公式的性质可设an = kn + b
1
，结合题意可得b = 0，k = ，进而
2
可得结果.
ìa2n ü
【详解】因为数列 an 与 í 均为等差数列，
n
2 2 2
可设an = kn + b an kn + b ，则 = = kn + 2kb b+ ，
n n n
可知b2 = 0，即b = 0，则 an = kn，
则 a2 = 2k =1
1 1
，解得k = ，即 an = n，2 2
1
所以 a2024 = 2024 =1012 .2
故答案为：1012.
2S 2
8 n．（宁夏石嘴山·一模）已知数列 an 满足 a1 =1， an = n 2 ，其中 S2S -1 n 为 an 的前 nn
项和，则 S2016 = .
1
【答案】
4031
2S 2n
【分析】通过对 an = n 2
ì 1 ü
变形可知 2SnSn-1 = Sn-1 - Sn ，进而可知数列 是首项为2S -1 í n Sn
1、公差为 2的等差数列，计算即得结论.
2
【详解】Qa
2S
= nn n 2 \2S 2，2S -1 n = 2Snan - an ，n
\2S 2n - 2Snan = Sn-1 - Sn ，即 2SnSn-1 = Sn-1 - Sn ，
1 1 1
所以， 2S2S1 = S1 - S2，即 2S2 =1- S2 ，可得 S2 = ，同理可得 S3 = ， S4 = ，3 5 7
以此类推可知，对任意的 n N* ， Sn 0，
1 1
等式 2SnSn-1 = Sn-1 - Sn 两边同时除以 SnSn-1 ，可得 - = 2Sn S
，
n-1
1 1 ì 1 ü又Q = ，\S 数列 í 是首项为1、公差为 2的等差数列，1 Sn
1
\ =1+ 2 2015 = 4031 S 1S ，故 2016 = .2016 4031
1
故答案为： .
4031
9．（2024·湖南长沙·三模）已知数列 an 为正项等比数列，且 a2 - a3 = 3，则 a1的最小值为 .
【答案】12
2
a2 a + 3 【分析】利用等比数列性质得 2 = a1a3，结合已知得 a = 31 ，利用基本不等式求解即a3
可.
【详解】由于数列 an 2为正项等比数列，所以 a2 = a1a3，
a2 a3 + 3
2
9 9
因此 a = 21 = = a + + 6 2 a + 6 =12 ，a 3 33 a3 a3 a3
当且仅当 a
9
3 = 即 a3 = 3时，等号成立，故 aa 1的最小值为 12.3
故答案为：12
四、解答题
10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 an 的公差 d > 0， a2与 a8 的等差中项为 5，且
a4a6 = 24 .
(1)求数列 an 的通项公式；
ìan , n为奇数，
(2)设bn =

í 1 , n 求数列 bn 的前 20 项和T . 为偶数，
20
anan+2
【答案】(1)数列 an 的通项公式为 an = n ；
2205
(2)数列 bn 的前 20 项和T20 为 .22
【分析】（1）根据等差中项求出 a5 = 5，再根据 a4a6 = 24求出公差d ，最后根据等差数列的
通项公式，求出 an 的通项公式；
（2）先写出bn ，对 n为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出T20 .
【详解】（1）因为 an 为等差数列，且 a2与 a8 的等差中项为 5，
所以 a2 + a8 = 2 5 = 2a5 ，解得 a5 = 5，
因为 a4a6 = 24，
所以 (5 - d )(5 + d ) = 24，解得 d = ±1，
因为 d > 0，所以 d =1，
所以 an = a5 + (n - 5)d = 5 + (n - 5) = n，
故数列 an 的通项公式为 an = n ；
ìn,n为奇数，

（2）由题知，bn = í 1
, n为偶数， n(n + 2)
ìn,n为奇数，
即bn =

í1 1 1- ÷ ,n为偶数，
2 è n n + 2
所以T20 = b1 + b2 + b3 + b4 +L+ b19 + b20
=1 1 1 1+ - + 3 1 1 1+ - L 19 1 1 1 ÷ ÷ + + + -

2 è 2 4 2 4 6 2 è è 20 22 ÷
1+19 10 1
= +
1 1 100 5 2205 - ÷ = + = ，2 2 è 2 22 22 22
故数列 b 2205n 的前 20 项和T20 为 .22
11．（23-24 高三下·广东广州·阶段练习）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有 n n 2
个服务区.现有一辆车从第 n个服务区向第 1 个服务区行驶，且当它从第 k(1< k n)个服务区
开出后，将等可能地停靠在第1 ~ k -1个服务区，直到它抵达第 1 个服务区为止，记随机变
量 X n 为这辆车全程一共进入的服务区总数.
(1)求 X 3的分布列及期望；
ì 1 ü
(2)证明： í E X - E X 是等差数列. n+1 n
【答案】(1)分布列见解析，期望为 2.5
(2)证明见解析
【分析】（1） X 3的可能取值为 2，3，易求得分布列，可求得数学期望；
n
（2）E X n = iP X n = i 1，根据题意可得E X n+1 = E X n -1n +1 + E X n ，计算可
i=2 n n
得结论；
【详解】（1）由题意可得 X 3的可能取值为 2，3，
X 3 = 2
1
时，当且仅当不进入第 2 个服务区，P X 3 = 2 = ，2
P X 13 = 3 =1- P X 3 = 2 = ，2
故分布列为
X 2 3
1 1
P 2 2
期望为E X 1 1= 2 × + 3 × = 2.5 .
2 2
n
（2）E X n = iP X n = i
i=2
1
当共有 n +1个服务区时，设事件“这辆车停靠在第 n个服务区”为A ，则P A = ，
n
由于停靠在第 n个服务区后，后续过程可视为从第 n个服务区出发，
总停靠次数为 X n +1，若不停靠，则第 n个服务区对过程无影响，总停靠次数为 X n ，
E X 1 E X 1 n -1 E X 1 n -1 1故 n+1 = n n + + n n = E X n +1 + E X = E X + ，n n n n n
1 1
因此 = nE X ，所以
{ }
n+1 - E X n E X n+1 - E X 为等差数列
.
n
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列 an 满足an + an+1 = 4n +1，则 a1 =（ ）
3
A 1．3 B． C．1 D．
2 2
【答案】B
【分析】设等差数列 an 的公差为d ，由通项公式写出 an = a1 + (n -1)d 和 an+1 = a1 + nd ，都
代入an + an+1 = 4n +1中，化简即可求出 a1 .
【详解】设等差数列 an 的公差为d ，则 an = a1 + (n -1)d ， an+1 = a1 + nd ，
因为an + an+1 = 4n +1，可得 an + an+1 = 2a1 + 2n -1 d = 2a1 - d + 2nd ，
2a - d =1 ìa 3ì 1
í í 1
=
所以有 ，解得 2 ，
2d = 4 d = 2
故选：B.
2．（2022高三上·河南·专题练习）已知数列 an 的前n项和为 Sn ，且 Sn+1 = Sn + an + 3，若 a3 = 9，
则 S20 = （ ）
A．520 B．530 C．620 D．630
【答案】D
【分析】根据题意，推得 an+1 = an + 3，得到数列 an 是公差为 3 的等差数列，结合等差数列
的求和公式，即可求解.
【详解】由数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn+1 = Sn + an + 3，
可得 Sn+1 - Sn = an + 3，即 an+1 = an + 3，故数列 an 是公差为 3 的等差数列，
因为 a3 = 9，所以 a1 = a3 - 2d = 9 - 6 = 3，
S 20a 20 19所以 20 = 1 + d = 20 3 +190 3 = 60 + 570 = 630 .2
故选：D．
3．（2024·四川雅安·三模）在等差数列 an 中，若 a2 + a6 =10, a5 = 9，则 a8 =（ ）
A．21 B．24 C．27 D．29
【答案】A
【分析】由等差中项的性质、以及等差数列基本量的计算得公差d ，进一步即可得解.
【详解】在等差数列 an 中，若 a2 + a6 = 2a4 =10, a5 = 9，即 a4 = 5
则公差 d = a5 - a4 = 4，所以 a8 = a5 + 3d = 21.
故选：A.
4．（2024·广东茂名·二模）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 2a5 = a4 + 5，则 S11的值是
（ ）
A．11 B．50 C．55 D．60
【答案】C
【分析】等差数列 an 中，由 2a5 = a4 + a6求出 a6，由 S11 =11a6 求值即可.
【详解】由等差数列 an 的性质 2a5 = a4 + 5 = a4 + a6，可得 a6 = 5，
11 a1 + a则 S = 11 11 =11a6 = 55 .2
故选：C
5．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn , a1 =1, S9 = 6a5 + 27 ，则 S5 =
（ ）
A．25 B．27 C．30 D．35
【答案】A
【分析】借助等差数列及其前 n项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可
得.
a + a + 8d 9
【详解】设等差数列 a 的公差为d ，则有 1 1n = 6 a1 + 4d + 27，2
又 a1 =1，则 1+ 4d 9 = 6 1+ 4d + 27，解得 d = 2，
1+1+ 4 2 5
则 S5 = = 25 .2
故选：A.
6．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列 an 的公差为d ，前 n项和为 Sn ，且
a2n = 2an +10 n N* ， S13 = S6 则d 的值为（ ）
20 20
A．1 B． C． D．-1
19 21
【答案】A
【分析】令 n =1，求出 a1和d 的关系，根据 S13 = S6 即可求出d .
*
【详解】因为 a2n = 2an +10 n N ，令 n =1，
则 a2 = 2a1 +10 ，所以 a1 + d = 2a1 +10，
故 a1 = d -10，因为 S13 = S6 ，所以 S13 - S6 = 0，
即 a7 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12 + a13 = 0，
由等差数列的性质可得 a7 + a13 = a8 + a12 = a9 + a11 = 2a10 ，
所以 a10 = 0，即 a1 + 9d = 0，解得 d =1 .
故选：A.
7．（2024·江西赣州·二模）在等差数列 an 中， a2， a5 是方程 x2 -8x + m = 0的两根，则 an
的前 6 项和为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．8
【答案】B
【分析】利用韦达定理确定 a2 + a5 = 8，根据等差数列性质有 a2 + a5 = a1 + a6 = 8，在应用等
差数列前 n项和公式即可求解.
【详解】因为 a2， a5 是方程 x2 -8x + m = 0的两根，所以 a2 + a5 = 8，
又因为 an 是等差数列，根据等差数列的性质有： a2 + a5 = a1 + a6 = 8，
设 an
a + a 6
的前 6 项和为 S6 ，则 S = 1 66 = 3 8 = 24 .2
故选：B
8．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 an 满足
2n - 3 an - 2n -1 an-1 = 4n2 -8n + 3 n 2, n N* ,a1 =1，则 an =（ ）
A． 2n - 2 B． 2n2 - n C． 2n -1 D． (2n -1)2
【答案】B
ì a
【分析】根据递推关系可证明 í n
ü
为等差数列，即可求解.
2n -1


【详解】 2n - 3 an - 2n -1 a = 4n2n-1 -8n + 3= 2n -1 2n - 3 ，
a a a ì a ü
所以 n - n-1 =1， 1 =1，所以 í n 为等差数列，且公差为 1，首项为 1，2n -1 2n - 3 1 2n -1
a
故 n =1+n -1 = n ，即 an = n 2n -1 = 2n2 - n，2n -1
故选：B
二、多选题
9．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a2 = 4, S5 = 35，则（ ）
A．nan 的最小值为 1 B． nSn 的最小值为 1
ìS
C n
ü ì a ü
． í 为递增数列 D． í n 为递减数列
n n2


【答案】ABC
【分析】求出数列通项公式和前 n 项和公式，然后逐一判断各项
a 5 a【详解】假设 的公差为d ，由 S = 1 + a5 n 5 = 5a3 = 35，所以 a3 = 7 ，又 a2 = 4 ，2
d = 3,a n 3n -1所以 1 =1，所以 a 3n 2, S

n = - n = ．2
2
A na 1 1选项 ： n = n 3n - 2 = 3 n - ÷ - ，故 n =1时nan 的最小值为 1，A 正确；
è 3 3
n2 3n -1 f x 3 x3 1选项 B： nS 2n = ，令 = - x ，所以 f x
9
= x2 - x，可知 f x 在区间
2 2 2 2
2 , + ÷单调递增，
è 9
所以 n =1时 nSn 取得最小值 1，B 正确；
Sn 3 1 ìS ü选项 C： = n - í nn 2 2 ，故 为递增数列，C 正确； n
an 2 3 a a a= - + 1 =1, 2 =1 ì n ü选项 D： 2 2 ，因为 2 ，所以 í 2 不是递减数列，D 错误．n n n 1 2 n
故选：ABC
3a -1
10．（23-24 · · n高三上 全国 阶段练习）已知数列 an 满足a1 = 2,an+1 = a +1 ，则下列说法正确n
的是（ ）
5
A．a3 = B．数列 an 为递减数列3
ì 1 ü n + 3
C．数列 í 为等差数列 D． a =
an -1
n
n +1
【答案】BCD
ì 1 ü
【分析】利用倒数法推得 í 是等差数列，从而求得 an ，进而逐一判断各选项即可得解.
an -1
3an -1
【详解】因为a1 = 2,an+1 = ，则 an+1 -1
3an -1 1 2an - 2 1= - = =1
an +1 an +1 a
，
n +1 a -1
，
1
1 1 an +1 1 an -1 1
所以 - = - = =an+1 -1 an -1 2an - 2 an -1 2a
，
n - 2 2
ì 1 ü
1 1故 í 是以 为首项， 2 为公差的等差数列， an -1
1
所以 =1
1 n +1
+ n -1 = 2
a ，则 an -1 = ，n -1 2 2 n +1
a 1 2 n + 3 3+ 3 3故 n = + = ,a3 = = ，故 A 错误，BCD 正确．n +1 n +1 3+1 2
故选：BCD．
11．（2024·全国· *模拟预测）已知数列 an 满足 an+1 + an = f n ,n N ，则下列说法中正确的
是（ ）
A．若 f n = 2n，则存在 a1，使得 an 是等差数列
B．若 f n = 2n，则存在 a1，使得 an 是等比数列
C．若 f n = 0，则存在 a1，使得 an 是等差数列
D．若 f n = 0，则存在 a1，使得 an 是等比数列
【答案】ACD
【分析】若 f n = 2n，则 an+1 + an = 2n， an + an-1 = 2 n -1 n 2 ，两式相减得
an+1 - an-1 = 2 n 2 ，由等差中项和等比中项的性质可判断 A，B；若 f n = 0，则
an+1 + an = 0， an+1 = -an = an-1 n 2 ，由等差中项和等比中项的性质可判断 C，D.
【详解】若 f n = 2n，则 an+1 + an = 2n， an + an-1 = 2 n -1 n 2 ，
两式相减得 an+1 - an-1 = 2 n 2 ．
选项 A：要使 an 是等差数列，则 2a2 = a1 + a3，即 2 2 - a1 = a1 + a1 + 2 ，
a 1= a 1得 1 ，此时 n 是首项为 2 ，公差为 1 的等差数列，所以 A 正确．2
选项 B：要使 an 2 2
2
是等比数列，则 a2 = a1a3，即 2 - a1 = a1 a1 + 2 ，得 a1 = ，3
2 4 8 10
此时 a1 = ， a2 = ， a3 = ， a4 = ，显然 a2 , a3 , a4 不成等比数列，所以 B 错误．3 3 3 3
若 f n = 0，则 an+1 + an = 0， an+1 = -an = an-1 n 2 ．
选项 C：要使 an 是等差数列，则 2a2 = a1 + a3，即 2 -a1 = a1 + a1，得 a1 = 0，
此时 an 是首项为 0，公差为 0 的等差数列，所以 C 正确．
选项 D：要使 an 是等比数列，则 a1 0，此时 an 是公比为 -1的等比数列，所以 D 正
确．
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S28 = 56，则
a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 = .
【答案】12
【分析】由等差数列前 n项和公式可得 a1 + a28 = 4，再根据等差数列的性质求解即可.
a
【详解】由 S = 1
+ a28 28
28 = 56，得 a1 + a = 4，2 28
则 a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 = 3 a1 + a28 =12 .
故答案为：12 .
13．（2024·河南开封·三模）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a1 = 8， a4 + a6 = 0，则
S5 = ．
【答案】20
【分析】利用等差数列的性质可得 a5 = 0，再利用等差数列前 n 项和公式即可求解.
【详解】由 a4 + a6 = 2a5 = 0 a5 = 0 ，
5 a1 + aS 5 55 = 5 = a1 = 8 = 20，2 2 2
故答案为：20
14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，公差为d ，且 Sn
单调递增，若 a5 = 5，则公差d 的取值范围为 ．
é 5
【答案】 ê0, 3 ÷
【分析】根据题意，当 n N* 时， an+1 = Sn+1 - Sn > 0 ，则 a2 = 5 - 3d > 0解不等式，求出d 的
取值范围.
【详解】根据题意数列 Sn 是递增数列，
则当 n N* 时， an+1 = Sn+1 - Sn > 0 ，
即数列 an ，当 n 2时，有 an > 0，
又由 a5 = 5，则 a2 = a5 - 3d = 5 - 3d > 0 d
5
，可得 < ，
3
5
又 d ≥0 ，所以0 d < .
3
故答案为：0
5
d <
3
四、解答题
3 1
15．（2024·四川·模拟预测）已知数列 an 满足 a a1 = ，2 n+1
+ = 2
a ．n
ì 1 ü
(1)证明数列 í 是等差数列，并求 an 的通项公式；
an -1
(2)若数列 bn 满足，bn = an - 1 an+1 - 1 ，求 bn 的前 n 项和 Sn ．
n + 2
【答案】(1) an = n +1
n
(2) Sn = 2n + 4
1 1
【分析】（1）根据数列递推公式进行合理变形得出 - =1an+1 -1 an -1
，利用等差数列的定义
可判断并求得数列的通项公式；
b 1 1（2）依题求得 n = - ，利用裂项相消法即可求得 Sn .n +1 n + 2
3 1 1 an -1
【详解】（1）由 a = ， a + = 2可得 a -1 =1- =1 ，2 n+1 a n+1n an an
1 an 1 1 1
即 = =1+ - =1a ，即 ，n+1 -1 an -1 an -1 an+1 -1 an -1
ì 1 ü 1
故数列 í 是等差数列，其首项为 = 2
an -1 a1 -1
，公差为 1，
1
= 2 + (n -1) 1 = n +1 n + 2则 a -1 ，解得 an = ；n n +1
（2）由bn = an -1 a
1 1 1
n+1 -1 可得b = ( n + 2 1) ( n + 3- - 1) = = -n ，n + 1 n + 2 (n +1)(n + 2) n +1 n + 2
则 Sn = b1 + b2 +L+ b
1 1
n = ( - ) + (
1 1) L ( 1 1- + + - ) 1 1 n= - = .
2 3 3 4 n +1 n + 2 2 n + 2 2n + 4
16．（2023·江西·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且满足 a3 + a6 + a9 = 33，
S7 = 49．
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 b nn 满足bn = an × 2 ，求 bn 的前 n项和Tn ．
【答案】(1) an = 2n -1
(2)T = 2n - 3 × 2n+1n + 6
【分析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，利用等差数列的性质可求得 a4、 a6的值，可得
出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求得数列 an 的通项公式；
（2）由已知可得bn = 2n -1 × 2n，利用错位相减法可求得Tn .
【详解】（1）解：设等差数列 an 的公差为d ，
由题意可得 a3 + a6 + a9 = 3a6 = 33，则 a6 = 11，
7 a + aS 7 = 1 7 = 7a4 = 49，可得 a4 = 7 ，2
d a6 - a4 11- 7所以， = = = 2，则 an = a4 + n - 4 d = 7 + 2 n - 4 = 2n -1.6 - 4 2
n
（2）解：因为bn = an × 2 = 2n -1 ×2n，
所以Tn =1 2 + 3 2
2 + 5 23 +L+ 2n -1 ×2n ，①
2T =1 22n + 3 2
3 +L+ 2n - 3 × 2n + 2n -1 × 2n+1，②
① - ② 2 3 4得，-Tn =1 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 +L+ 2 × 2
n - 2n -1 × 2n+1
22 × 1- 2n-1
= 2 + 2 - 2n -1 ×2n+1 = 2 + 2n+2 -8 - 2n -1 ×2n+1 = 3- 2n × 2n+1 - 6．
1- 2
故Tn = 2n - 3 × 2n+1 + 6．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知等差数列 an 的首项 a1 0，公差为 d (d 0)，Sn 为 an
的前 n
ìSn ü
项和， í 为等差数列．
an
(1)求 a1与d 的关系；
ì ü
(2)若 a1 =1 T
1 8
， n 为数列 í 的前 n项和，求使得Tn < 成立的 n的最大值．
anan+1 9
【答案】(1) a1 - d = 0
(2)7
ì Sn ü 2S2 S S
【分析】（1）由 í 为等差数列可得 =
1 + 3 a
a a a ，即可得到 1与d 的关系; an 2 1 3
（2）由裂项相消法得到Tn ，再解不等式即可求得 n 的最大值.
ì Sn ü 2S2 S1 S
【详解】（1）因为 í 为等差数列，所以 = +
3
，
an a2 a1 a3
2 a1 + a2 1 a1 + a2 + a3 2 2a1 + d 1 3a1 + 3d即 = + ，从而得到 = + ，
a2 a3 a1 + d a1 + 2d
化简得 a1 - d d = 0,Qd 0，所以 a1 - d = 0, d 0 .
1 1 1 1
（2）当 a1 - d = 0，a1 =1时， an = n, = = -a a ，n n+1 n(n +1) n n +1
1 1 1 1 1 1 8
所以Tn = 1-
+ - +L+ -
2 ÷ 2 3 ÷ n n +1÷
=1- < ，
è è è n +1 9
解得 n < 8，又因为 n N*，所以 n的最大值 7．
a +1
18．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn +1 = n .2
(1)求数列 an 的通项公式；
a2
(2) n设bn = ，求数列 bn 的前 n 项和Tn .Sn - n
【答案】(1) an = 2n +1
(2)T 4n
2 + 5n
n = n +1
【分析】（1）由 Sn 和 an 关系作差得 an - an-1 = 2，再求出首项结合等差数列通项公式即可得
到答案；
（2）求出 Sn = n(n + 2)
1 1
，代入化简得bn = 4 + - ，最后利用裂项相消求和法即可.n n +1
S 1 an +11 + = S 1 (an +1)
2
【详解】（ ）由 n ，得 n + = ①，2 4
a +1 2
当 n =1时， a +1 = 1 ，解得 a1 = 3（负值舍去）.1 4
n 2 S 1 a +1
2
当 时， n-1 ②，
n-1 + = 4
2 2
① - ② a S S (a +1) - (a +1)，得 = - = n n-1n n n-1 ，4
(a -1)2 2化为 n = (an-1 +1) ，
因为 an > 0， an-1 > 0，解得 an - an-1 = 2，
所以数列 an 是首项为 3、公差为 2 的等差数列，
所以 an = 3+ n -1 2 ，即 an = 2n +1.
a = 2n +1 S n(a1 + an ) n(3 + 2n +1)（2）由（1）知 n ，所以 n = = = n(n + 2) ，2 2
2
b an (2n +1)
2
4 1 4 1 1从而 n = = = + = + - ，Sn - n n(n + 2) - n n(n +1) n n +1
1 1 1 1 1
则b1 = 4 +1- ，b2 = 4 + - ，…，b2 2 3 n
= 4 + - ，
n n +1
2
以上 n 1 4n + 5n个式子相加，得Tn = b1 + b2 +L+ bn = 4n +1- = .n +1 n +1
19．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列 an 的公差为 2，前 n项和为 Sn ，且
S1 +1，S2，S3 +1成等比数列.
(1)求数列 an 的通项公式 an ；
ì 1
,n为奇数， S
(2)若bn =
n
í 求数列 b 的前 4n项和.
n -1S sin p
n
n × , n为偶数， 2
【答案】(1) an = 2n +1
2n
(2) -8n(n +1)
4n +1
【分析】（1）根据 S1 +1，S2，S3 +1成等比数列求得 a1，即可求得 an 的通项公式.
（2）根据 an 的通项公式求得 Sn ，分奇偶项分别求出bn 再求和，即可求得 bn 的前 4n项和.
1 S 2【详解】（ ）因为 2 = (S1 +1)(S3 +1) ，
所以 (2a1 + 2)
2 = (a1 +1)(3a1 + 7) ，即 (a1 +1)(a1 - 3) = 0，解得 a1 = -1或3，
又因为 an > 0，所以 a1 = 3，所以 an = 3+ 2(n -1) = 2n +1.
n(a1 + a ) 1 1 1 1（2） Sn =
n = n(n + 2)，所以 = ( - )
2 Sn 2 n n + 2
，
所以 n为奇数时，
b b L b 1 1 L 1 1 1 1 1 1 1 1 11 + 3 + + 4n-1 = + + + = (1- ) + ( - ) +L+ ( - )S1 S3 S4n-1 2 3 2 3 5 2 4n -1 4n +1
1
= (1 1- ) ，
2 4n +1
n为偶数时，b4n-2 + b4n = S4n-2 - S4n = (4n - 2) 4n - 4n (4n + 2) = -16n
b2 + b4 +L+ b4n = -16(1+ 2 +L+ n) = -8n(n +1)，
T 14n = (1
1
- ) -8n(n +1) 2n= -8n(n +1)
所以前 4n项和 2 4n +1 4n +1 .
【拓展冲刺练】
一、单选题
ìa2 - 4ü
1．（2024·河北保定· n三模）已知在等差数列{an}中， a1 =1，公差 d > 0 .若数列 í 也是
n
等差数列，则 d =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
a2 - 4
【分析】依题意可得 a nn = dn +1-d ，即可表示出 ，根据数列为等差数列得到n
(1- d )2 - 4
- = 0
n n 1 ，解得即可.+
2 2
【详解】依题意 an = dn +1-d d > 0 an - 4 (1- d ) - 4，则 = d 2n + 2d (1- d ) + ，n n
a2 - 4 a2 - 4 (1- d )2n+1 n d 2 - 4 (1- d )
2 - 4 2
则 - = + - = d 2
(1- d ) - 4
-
n +1 n n +1 n n n ，+1
ìa2 - 4ü (1- d )2 - 4
又 í n 是等差数列，所以- = 0n n 1 ，解得 d = 3或 d = -1（舍去）. n +
故选：C.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S8 = 8，则 a3 + a6 =
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，求得 a1 + a8 = 2，再由等差数列的性质，即
可求解.
a + a
【详解】因为 a 为等差数列，可得 S = 8 = 1 8n 8 8 = 4 a1 + a8 = 8，所以 a1 + a = 2，2 8
又由等差数列的性质，可得 a3 + a6 = a1 + a8 = 2 .
故选：B.
3．（2024·重庆·三模）等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S7 = 70,a2 a3 + a5 = 80，则公差 d =
（ ）
A．12 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的前 n 项和公式先求出 a4 =10,然后利用等差数列的性质求出 a2 = 4,
最后即可求出 d.
【详解】等差数列中, S7 = 7a4 = 70 ,得 a4 =10,
又 a2 a3 + a5 = 2a2a4 = 80 ,所以 a2 = 4,所以 d = 3 .
故选:C.
4．（2024·广西河池·模拟预测）记单调递增的等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 = 2且
a1a5 = a2a3，则 S10 =（ ）
A．70 B．65 C．55 D．50
【答案】B
【分析】根据等差数列的基本量与性质求解公差d ，从而可得通项公式 an ，再由等差数列
的前 n项和公式求解 S10 .
【详解】由等差数列 an ，设 an = a1 + n -1 d ，d 为公差，
由于 a1a5 = a2a3，则 2 2 + 4d = 2 + d 2 + 2d ，化简得 d = d 2，
由于数列 an 单调递增，因此 d > 0，解出 d =1，因此 an = 2 + n -1 1 = n +1，则
10
S a1 + a10 10 = = 65 .2
故选：B.
二、多选题
5．（2024·辽宁·一模）等差数列 an 中， a1 > 0，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a3 + a7 = 4 ，则 S9 =18
B．若 S15 > 0， S16 < 0 a 2 2，则 8 > a9
C．若 a1 + a2 = 5，a3 + a4 = 9，则 a7 + a8 =17
D．若 a8 = S10 ，则 S9 > 0， S10 < 0
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前 n 项和公式逐项分析判断即得.
【详解】等差数列 an 中， a1 > 0，
a + a = 4 S 9(a1 + a9 ) 9(a3 + a7 )对于 A， 3 7 ， 9 = = =18，A 正确；2 2
S 15(a1 + a15 ) 16(a + a )对于 B， 15 = =15a > 0，则 a > 0， S 1 168 8 16 = = 8(a + a2 2 8 9
) < 0 ，
则a + a < 0 a < -a 2 2 2 28 9 ， 9 8 < 0，因此 a8 - a9 = (a8 + a9 )(a8 - a9 ) < 0，即 a8 < a9 ，B 错误；
对于 C， a5 + a6 = 2 a3 + a4 - a1 + a2 =13，则 a7 + a8 = 2 a5 + a6 - a3 + a4 =17，C 正确；
a a = S a + 7d =10a + 45d d 9对于 D，设 n 的公差为d ，由 8 10 ，得 1 1 ，解得 = - a ，38 1
S 9a 36d 9(a 18 81则 9 = 1 + = 1 - a1) > 0， S10 = 5(2a1 - a1) < 0，D 正确.19 38
故选：ACD
6．（2024·全国·一模）已知数列{an}：1，1， 2，1，3，5，1， 4， 7 ，10，L，其中第1
项为1，接下来的 2项为1， 2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的 4项为1， 4， 7 ，
10，依此类推，则（ ）
A． a20 = 21
2
B． an(n+1) = n - 2n + 2
2
C．存在正整数m ，使得am ， am+1， am+2 成等比数列
D．有且仅有3个不同的正整数m ，使得 am + am+1 + am+2 =156
【答案】ABD
【分析】将数列{an}中的项重新排列成如图数表，可以发现规律是：第 n行是以 1 为首项公
差为 n -1的等差数列，根据数列中的性质逐项判断.
【详解】根据规律，数列{an}中各项可以如下排列：
1共1项
1,2共2项
1,3,5共3项
1,4,7,10共4项
1,5,9,13,17共5项
1,6,11,16,21,26共6项
× × ×
规律为每一行均为等差数列，首项为 1，第 n行的公差为 n -1，第 n行的最后一项为
1+ n -1 2 = n2 - 2n + 2，
第 n
n n +1
行的最后一位数在整个数列{an}中的项数为第1+ 2 + ×××+ n = 项，故2
an(n+1) = n
2 - 2n + 2，故 B 正确；
2
对于 A，根据规律，第 6 行的最后一项为 a21 = 36 -12 + 2＝26 ，此行的公差为 5，故第 20 项
是 a20 = 21，故 A 正确；
对于 C，由于数列的每一组都是从 1 开始，然后一次增加固定的正整数，所以每一行均为递
增的正项数列，
若 am ,am+1,am+2不在同一行，则 am+1 =1或 am+2 =1，
2
若 am+1 =1，则1 = a = a am+1 m m+2 ，不可能成立；
若 am+2 =1，则这三项为 am ,am+1,1，由 am+1 > am >1知不可能成等比数列；
若 am ,am+1,am+2在同一行，设为公差为d ，且 d > 0 ,则 am + d
2 = am am + 2d ，则故 d = 0 ,故
矛盾，所以不可能存在连续三项成等比数列，故 C 错误；
对于 D，对 am ,am+1,am+2的位置分以下三种情况讨论
①若 am ,am+1,am+2在同一行，设在第 n行，由 am + am+1 + am+2 =156得 am+1 = 52 ，
设 am+1 = 52 为此行中第 k 项，则 am+1 =1+ (k -1) n -1 = 52，即 (k -1) n -1 = 51 =1 51 = 3 17 ，
其中 k, n N*,k n，
ìk = 2 ìk = 4
所以 í
n = 52
或 í
n =18
，
第 52 行的数字依次为：1，52，103，…，所以 am =1,am+1 = 52,am+2 =103满足条件，此时第
51 51+1
51 行最后一项为第 =1326项，故m =1327 ；
2
第 18 行的数字依次为：1，18，35，52，69，…，所以 am = 35,am+1 = 52,am+2 = 69 满足条件，
17 17 +1
此时第 17 行最后一项为第 =153项，故m =156；
2
②若 am ,am+1,am+2中am 在第 n行的最后一位， am+1,am+2在第 n +1行的前两位，
2
则 am = an(n+1) = n - 2n + 2， am+1 =1,am+2 = n +1，
2
由 am + am+1 + a
2
m+2 =156得 n - 2n + 2 +1+ n +1 = n2 - n + 4 =156，
即 n2 - n -152 = 0 ，对于 n N* 无解；
③若 am ,am+1,am+2中 am ,am+1在第 n行的最后两位， am+2 在第 n +1行的第一位，
2
则 am+1 = an(n+1) = n - 2n + 2， a = a 2m m+1 - n -1 = n - 3n + 3， am+2 =1，
2
由 a 2m + am+1 + am+2 =156得 2n - 5n -150 = 0，解得 n =10 ，
第 10 行的最后两位 am = 73,am+1 = 82 ，第 11 行第一位数为 am+2 =1，满足条件，此时第 10
10 10 +1
行最后一项为第 = 55项，故m = 54，
2
综上所述，存在有且仅有 3 个不同的正整数m ，使得 am + am+1 + am+2 =156，故 D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题将问题转化为数表问题，数表中的规律与数列性质结合可以更好
的解决数列问题.
三、填空题
7．（2024·四川凉山·二模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 + a5 =10， a4a9 = 50，则
S6 = ．
【答案】27
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再求出 S6 的值.
【详解】等差数列 an 中，由 a3 + a5 =10，得 2a4 =10，解得 a4 = 5，而 a4a9 = 50，则
a9 =10，
于是数列 a a - an 的公差 d = 9 4 =1， a9 - 4 3
= a4 - d = 4，
S 6(a + a )所以 6 = 1 6 = 3(a3 + a2 4
) = 27 .
故答案为：27
8．（2024·四川攀枝花·三模）等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a3 = 7, S5 = 7a2 ，则 a6 = ．
【答案】13
【分析】由等差数列的前 n项和和等差中项的性质求出公差，再由等差数列的通项求出最后
结果即可.
【详解】因为 an 为等差数列，
5 a + a
所以 S = 1 5 5 = 5a = 7a2 3 2，
所以 a2 = 5，
所以 d = a3 - a2 = 2 ，
所以 a6 = a3 + 3d = 7 + 6 =13，
故答案为：13.
9．（2023·福建·模拟预测）已知数列 an 的首项不为零，满足 an+3 - an+2 = an+1 - an ， a3 = 3a1，
a2023
则 =a .1
【答案】2023
【分析】根据数列 an 的递推关系式推出 an+4 - an+2 = an+2 - an ，从而得数列 an 的奇数项成
a2023
等差数列，公差为 2a1，再根据等差数列的通项公式即可得 a 的值.1
【详解】因为 an+3 - an+2 = an+1 - an ，所以 an+4 - an+3 = an+2 - an+1
两式相加得 an+4 - an+2 = an+2 - an .
故数列 an 的奇数项成等差数列，公差为 a3 - a1 = 3a1 - a1 = 2a1 ，
a
故 a2023 - a1 =1011 2a1 = 2022a a
2023
1 2023 = 2023a1，故 = 2023a .1
故答案为： 2023 .
四、解答题
10．（2022·福建厦门·模拟预测）等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知 a1 = 9， a2为整数，且
Sn S5 .
(1)求 an 的通项公式；
1
(2)设bn = a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn .n n+1
【答案】(1) an =11- 2n
T n(2) n = 9 9 - 2n
【分析】（1）根据题意得公差d 为整数，且 a5 0， a6 0，分析求出d 即可；（2）
b 1 1 1= - n ÷ ，再利用裂项相消法求和即可.2 è 9 - 2n 11- 2n
【详解】（1）由 a1 = 9， a2为整数知，等差数列 an 的公差d 为整数.
又 Sn S5 ，故 a5 0， a6 0 .
9 9
于是9 + 4d 0，9 + 5d 0 ，解得- d - ，
4 5
因此 d = -2 ，故数列 an 的通项公式为 an =11- 2n .
b 1 1 1 1= = - （2） n 11- 2n 9 - 2n 2 è 9 - 2n 11- 2n ÷，
T b b b 1 é 1 1 1 1 1 1 ù于是 n = 1 + 2 + ×××+ n = ê - + - + ×××+ -2 è 7 9
÷
è 5 7 ÷ è 9 - 2n 11- 2n ÷ ú
1 1 1 n= -2 ÷
=
è 9 - 2n 9 9 9 - 2n .
11．（2024·广东·模拟预测）已知数列 an 与 bn 为等差数列， a2 = b3 ，a1 = 2b1， an 前 n项
19n + n2
和为 ．
2
(1)求出 an 与 bn 的通项公式；
(2)是否存在每一项都是整数的等差数列 cn ，使得对于任意 n N+ ， cn 都能满足
an + bn - an - bn a + b + a - b c n n n nn ．若存在，求出所有上述的 cn ；若不存在，请说明2 2
理由．
【答案】(1) an = n + 9，bn = 3n + 2 .
(2)存在数列 cn ，为 cn = 2n + 5， cn = 3n + 2， cn = n + 9， cn = 2n + 6 .
【分析】（1）由等差数列通项公式及通项公式，可求出 an 与 bn 的通项公式.
（2）根据第一小问求得的 an 与 bn 的通项公式，结合题意，可得出 cn 的限制条件，由条
件写出符合题意的通项公式.
d d 19n + n22
【详解】（1）∵等差数列前 n项和公式为 n + a1 - ÷ n， an 前 n项和为 ，2 è 2 2
d 1 a d 19∴ = ， 1 - = ，解得： a2 2 2 2 1
=10，公差 d =1，则 an = n + 9，
又∵ b3 = a =11 b
1
2 ， 1 = a1 = 5，∴ b
b3 - b的公差为 1n = 3，则bn = 3n + 2 .2 2
综上所述： an = n + 9，bn = 3n + 2 .
（2）由题意可知， c
4n +11 - 2n - 7 4n +11 + 2n - 7
n 需满足 cn ，2 2
当 n 3时，3n + 2 cn n + 9，即5 c1 10，8 c2 11，11 c3 12，
当n 4时， n + 9 cn 3n + 2，13 c4 14，
若 c3 =11， c4 =13，则 c1 = 7， c2 = 9， cn = 2n + 5， n + 9 cn 3n + 2，解得：n 4，符合
题意；
若 c3 =11， c4 =14，则 c1 = 5， c2 = 8， cn = 3n + 2， n + 9 cn 3n + 2，解得：n 4，符合
题意；
若 c3 =12， c4 =13，则 c1 =10， c2 =11， cn = n + 9， n + 9 cn 3n + 2，解得：n 4，符合
题意；
若 c3 =12， c4 =14，则c1 =8， c2 =10， cn = 2n + 6 ， n + 9 cn 3n + 2，解得：n 4，符合
题意；
综上所述：存在数列 cn ，为 cn = 2n + 5， cn = 3n + 2， cn = n + 9， cn = 2n + 6 .

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