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考点 29 解三角形及其应用举例（2 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．
【知识点】
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂
平面内)所成的角中，目标视线在水平视线
仰角与俯角
上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下
方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位
角 θ 的范围是 0°≤θ<360°
正北或正南方向线与目标方向线所成的
方向角 例：(1)北偏东 α：
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比
坡角与坡比
h
叫坡比(坡度)，即 i＝ ＝tan θ
l
【核心题型】
题型一　解三角形的应用举例
命题点 1　测量距离问题
【例题 1】（2023 高三上·江苏徐州·学业考试）已知两座灯塔A 和 B 与海洋观察站C 的距离都
等于 2km，灯塔A 在观察站C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站C 的南偏东 40°，则灯塔A 与
灯塔 B 的距离为（）
A． 2km B． 4km C． 2 2km D．2 3km
【变式 1】（2023·河南郑州·模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头 M，N 间
架设一条索道．为测量 M，N 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度
MC =100 3m, NB = 50 2m，在 BC 同一水平面上选一点 A，测得 M 点的仰角为60o ，N 点
的人仰角为30o，以及 MAN = 45o， 则 M，N 间的距离为（ ）
A．100 2m B．120m C．100 3m D．200m
【变式 2】（2022·山东青岛·二模）如图所示，A，B，C 为三个村庄， AB = 7km，
AC = 5km，BC = 8km，则∠ACB = ；若村庄 D 在线段 BC 中点处，要在线段 AC
上选取一点 E 建一个加油站，使得该加油站到村庄 A，B，C，D 的距离之和最小，则该最
小值为 km .
【变式 3】（2023 高三上·全国·专题练习）如图，A、B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在
河岸选取相距 20 米的 C、D 两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝
60°，那么此时 A，B 两点间的距离是多少？
命题点 2　测量高度问题
【例题 2】（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼
的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位
置，此时测量人和小镜子的距离为a1 = 1.00m，之后将小镜子前移a = 6.00m，重复之前的操
作，再次测量人与小镜子的距离为a2 = 0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为 h = 1.75m，
则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
【变式 1】（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君
山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为
了测量岳阳楼的高度 AB ，他首先在C 处，测得楼顶A 的仰角为60°，然后沿BC 方向行走
22.5 米至D处，又测得楼顶A 的仰角为30°，则楼高 AB 为 米．
【变式 2】（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江
经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，
小张选取了大厦的一个最高点 A，点 A 在大厦底部的射影为点 O，两个测量基点 B、C 与 O
在同一水平面上，他测得BC =102 7 米， BOC =120°，在点 B 处测得点 A 的仰角为q
（ tanq = 2），在点 C 处测得点 A 的仰角为 45°，则财富汇大厦的高度OA = 米.
【变式 3】（2022·贵州安顺·模拟预测）如图，为测量某雕像 AB 的高度（B，C，D，F 在同
一水平面上，雕像垂直该水平面于点 B，且 B，C，D 三点共线），某校研究性学习小组同学
在 C，D，F 三点处测得顶点 A 的仰角分别为60°，30°，45°，CD = 20米．
(1)求雕像 AB 的高度；
(2)当观景点 C 与 F 之间的距离为多少米时，△CDF 的面积最大？并求出最大面积．
命题点 3　测量角度问题
【例题 3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高
度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面
为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为 120°，墙的高度均为 3 米．在时刻 t ，实地
测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为 1 米、1.5 米．在线查阅嘉定的
天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻 t 最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A．09 : 00 B．10 : 00 C．11:00 D．12 : 00
【变式 1】（2023·四川绵阳·三模）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹
箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是
箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A ， B 处分别
作切线相交于点C ，测得切线 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ， AB = 180cm ，根据测量数据
可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62
【变式 2】（2023·河北·模拟预测）如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时
将 B 下压，E 接触平台，D 紧邻 E，此时钝角b 增大了（ ）（参考数据：
x22 + x3 x3 - 2x2 cosa = 3 x2 2 2， 1 + x2 + x3 - 2x1x3 sina - 2x2x3 cosa = 4，
x sina x2x3x4 x2x+ + 3 cosa3 - x = 3x x x 1 .）1 5 1
A．15° B．30° C．60° D．75°
【变式 3】（2022·河北衡水·模拟预测）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山
瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为
了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底
3
端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为 ，沿山道继续走 20 m，测得
2
π
瀑布顶端的仰角为 .已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角
3
π
为 .根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 m；若第二次测量后，继续
3
π
行进的山道有坡度，坡角大小为 ，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进
4
20 2m ，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计）
题型二　解三角形中的最值和范围问题
解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，
利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．
【例题 4】（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形 OAB 中，半径OA = 4， AOB = 90°，C 在
半径 OB 上，D 在半径 OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形 BCDE
的周长的取值范围是（ ）
A． 8,12 B． 8 2,12ù
C． 8,8 2 ù D． 4,8 2 ù
【变式 1】（2024·重庆·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足
sin B -sinC 2b - a
= ，sin Asin B 2= ，且 S△ABC =1，则边 c = ．
sin A b + c 5
【变式 2】（2024·山西·三模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足
2cos Acos B = 2sin2 C ．
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若VABC 的外接圆半径为 2，求VABC 周长的最大值．
【变式 3】（2024·山东济宁·三模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知
(1- cos 2C)(sin A +1) - cos Asin 2C = 0 .
π
(1)求证: B = C + ；
2
a = 4,C π π (2)若 , ÷，求VABC 面积的取值范围.
è 8 6
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022·吉林·模拟预测）位于灯塔 A 处正西方向相距 5 3 - 5 n mile 的 B 处有一艘甲船需
要海上救援，位于灯塔 A 处北偏东 45°相距5 2 n mile 的 C 处的一艘乙船前往营救，则乙船
的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，
通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知
竖立在 B 点处的测量觇标高 20米，攀登者们在A 处测得，到觇标底点 B 和顶点C 的仰角分
别为 45°,75°，则 A, B的高度差约为（ ）
A．7.32 米 B．7.07 米 C．27.32 米 D．30 米
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理
想状态：地球 E 和某小行星 M 绕太阳 S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置
2π
如图所示．地球在E0 位置时，测出 SE0M = ；行星 M 绕太阳运动一周回到原来位置，3
3π π
地球运动到了E1位置，测出 SE1M = ， E1SE0 = ．若地球的轨道半径为 R，则下列选4 3
项中与行星 M 的轨道半径最接近的是（参考数据： 3 1.7）（ ）
A．2.1R B．2.2R C． 2.3R D． 2.4R
4．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C 两点 B、C
与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C 两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
二、多选题
5．（2023·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧 A，B 之间的距离，一定能根据以下数据
确定 AB 长度的是（ ）
A．a，b，g B．a ，b ，g
C．a，b ，g D．a ，b ，b
6．（2024·河北邯郸·三模）已知VABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，面积为
3 a2 + c2 - b2 ，则下列说法正确的是（ ）4
1 1
A． cos AcosC

的取值范围是 - , ÷
è 2 4
B．若D为边 AC 的中点，且BD =1，则VABC 3的面积的最大值为
3
1
C．若V
a
ABC 是锐角三角形，则 的取值范围是 , 2

c ֏ 2
D．若角 B 的平分线 BE 与边 AC 相交于点E ，且BE = 3 ，则a + 4c的最小值为 10
三、填空题
7．（2022·全国·模拟预测）如图，为测量山高MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测
点，从点 A 测得点 M 的仰角 MAN = 45°，点 C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .从
点 C 测得 MCA = 45° ,已知山高BC = 300m，则山高MN = m.
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中
有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某
建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点 C，D，CD 与地面垂直，小李先
在地面上选取点 A，B，测得 AB = 20 3m，在点 A 处测得点 C，D 的仰角分别为30°， 60°，
在点 B 处测得点 D 的仰角为30°，则塔高 CD 为 m．
VABC BAC π9．（2024·宁夏·一模）在 中，BC = 3AC ， = ，点 D 与点 B 分别在直线 AC3
的两侧，且 AD =1，DC = 3 ，则 BD 的长度的最大值是 ．
四、解答题
10．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选
取 A，B，C，D 四个点，使得 AD = 2 2BC ，测得 BAD = 30o ， BCD = 45o ，
ADC =120o．
(1)若 B，D 选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD =10 2km，CD = 20km，
求 A，C 两点间距离；
(2)求 tan BDC 的值．
11．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
1+ sin 2B + cos 2B 3
= .
sin 2B + 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 边上的中线长为 2，求b 的最小值.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰
角）．设地球表面某地正午太阳高度角为q ，d 为此时太阳直射点纬度，j 为当地纬度值，
那么这三个量满足q = 90° - j -d ．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（j
取正值），选择春分当日（d = 0°）测算正午太阳高度角．他们将长度为 1 米的木杆垂直立
于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：
组别 甲组 乙组 丙组 丁组
木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性
建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复
原名、现存建筑是宣统元年（1909 年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究
小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 B 在同一水平面内的两个测量基点
C 与D，现测得 BCD = 23°， CDB = 30°，CD = 11.2m ，在C 点测得甲秀楼顶端A 的仰角
为72.4°，则甲秀楼的高度约为（参考数据： tan 72.4° 3.15， sin53° 0.8）（ ）
A． 20m B． 21m C．22m D． 23m
3．（2023·陕西宝鸡·二模）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c = 4，
A π=
3 ，则 a 的取值范围为（ ）
A． 0,4 3 B． 2,4 3
C． 2 3,4 3 D． 0,2 3
4．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东 60o 方向C 处有一艘
渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15o，且与甲船相距
2nmile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需
要航行的距离为（ ）
A． 2nmile B． 2nmile
C． 2 2nmile D．3 2nmile
5．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591 年），因鸿
雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为
测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择 C 点和一建筑物 DE 的楼顶 E 为测量观
测点，已知点 A 为塔底， A,C , D 在水平地面上，来雁塔 AB 和建筑物 DE 均垂直于地面（如
图所示）.测得CD =18m, AD =15m，在 C 点处测得 E 点的仰角为 30°，在 E 点处测得 B 点
的仰角为 60°，则来雁塔 AB 的高度约为（ ）（ 3 1.732，精确到0.1m）
A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m
6．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若
a sin A + C = bsin A，b =1，则VABC 面积的最大值为（ ）
2
A 3． B 3 3 1． C． D．
2 4 6 2
7．（2024·陕西·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
c 6, sinB 6a - b= = ，则VABC 面积的最大值为（
sinA b ）
19 21A． B． C．12 D．15.2 2
8．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 3BC外接圆的半径为 ，D为边BC 的中点，
3
AD 1= ， BAC 为钝角，则 2AC - AB的取值范围是（ ）2
A． -2,2 B． -2,2 C． -1,2 D． -1,2
二、多选题
9．（2024·甘肃兰州·一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、
实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度
的方案有
A．在水平地面上任意寻找两点A ， B ，分别测量旗杆顶端的仰角a ，b ，再测量A ， B
两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 h ，在该建筑物底部和
顶部分别测得旗杆顶端的仰角a 和b
C．在地面上任意寻找一点A ，测量旗杆顶端的仰角a ，再测量A 到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方A 处测得旗杆顶端的仰角a ，正对旗杆前行 5m 到达 B 处，再次测量
旗杆顶端的仰角b
10．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知 VABC 三个内角A 、 B 、C 的对应边分别为 a、b 、 c，
A π且 = 3 ，
a = 4 .则下列结论正确的是（ ）
A．VABC 面积的最大值为 4 3
B．bcosC + ccosB = 2 2
uuur uuur
C 16 3．BA × BC 的最大值为8 +
3
cosB 1
D． 的取值范围为 - , -2 - , + cosC ÷è 2
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角 VABC 的三个内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，
且VABC 3的面积为 a2 + c2 - b2 .则下列说法正确的是（ ）4
A． B
π
=
3
π π
B．A 的取值范围为 , ÷
è 6 2
C．若b = 3 ，则VABC 的外接圆的半径为 2
3 3 3 3
D．若 a = 3，则VABC 的面积的取值范围为 ,8 2 ÷÷è
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，
c，且 2a - b cosC = c cos B,a = 2，则VABC 的面积 S 的取值范围为 ．
13．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段
BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中 BC = 300m，CD = 800m， B 在 A 的北偏东 30°方向，
C 在A 的正北方向，D在A 的北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 处载上遇险游客
需要尽快抵达救生栈道B - C - D ，则最短距离为 m．(结果精确到 1 m)
14．（2024·福建莆田·二模）如图，点O是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心， l是过点O
的任一直线，将此正六边形沿着 l折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值
为 ．
四、解答题
π
15．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 ABCD中， DAB = B π， = ，且VABC6 的2
外接圆半径为 4.
(1)若 BC = 4 2 ， AD = 2 2 ，求VACD的面积；
D 2π(2)若 = ，求BC - AD 的最大值.
3
16．（2023·湖北孝感·模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东 2
公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小
组为了测量汾阳文峰塔的实际高度 AB，选取了与塔底 B 在同一水平面内的三个测量基点 C，
D，E，现测得 BCD = 30°， BDC = 70°， BED =120°，BE =17.2m，DE =10.32m，在
点 C 测得塔顶 A 的仰角为62° .参考数据：取 tan 62° =1.88， sin 70° = 0.94，
144.9616 =12.04 .
(1)求BD；
(2)求塔高 AB （结果精确到 1m）.
17．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为 1.7m）测
量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部 A 和瞰胜楼楼底 O 在同一水平线上，从测角仪顶点 C 处
测得楼顶 M 的仰角， MCE =16.5°（点 E 在线段 MO 上）．他沿线段 AO 向楼前进 100m 到
达 B 点，此时从测角仪顶点 D 处测得楼顶 M 的仰角 MDE = 48.5°，楼尖 MN 的视角
MDN = 3.5°（N 是楼尖底部，在线段 MO 上）．
(1)求楼高 MO 和楼尖 MN；
(2)若测角仪底在线段 AO 上的 F 处时，测角仪顶 G 测得楼尖 MN 的视角最大，求此时测角
仪底到楼底的距离 FO．
sin16.5°sin48.5° 2 8 8
参考数据： ， tan16.5° ， tan48.5° ， 40 35 37.4,
sin32° 5 27 7
18．（2024·四川德阳·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sinB 2 3cos2 A + C= .
2
(1)求 B ；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 c =1，求VABC 面积的取值范围.
19．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，
已知b cos A = 3 - a cos B ， 2a sin C = 3 .
(1)求A .
(2)求VABC 面积的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·安徽铜陵·阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，
顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺 国泰民安”八个字，是全国重点文物保
护单位 国家 3A 级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度 MN，他在塔的正北方向找到
一座建筑物 AB，高为 7.5 m，在地面上点 C 处（B，C，N 在同一水平面上且三点共线）测
得建筑物顶部 A，镇国寺塔顶部 M 的仰角分别为 15°和 60°，在 A 处测得镇国寺塔顶部 M 的
仰角为 30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（参考数据： 3 1.73）
A．31.42m B．33.26m C．35.48m D．37.52m
2．（2023·贵州·二模）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已
知人眼距离地面高度 h =1.5m，某建筑物高 h1 = 4.5m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后
退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离 a1 =1.2m ，将镜子后移 a 米，重
复前面中的操作，则测量人与镜子的距离 a2 = 3.2m，则镜子后移距离 a 为（ ）
A．6m B．5m C．4m D．3m
3．（2023·广西柳州·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，已知
B = 60o ，b = 4 ，则VABC 面积的最大值为（ ）
A．3 3 B． 4 3 C．5 3 D．6
4．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 是锐角三角形，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，
2 2 bb，c．若 a - b = bc ，则 的取值范围是（ ）a + c
3 2
A． , ÷÷ B． 2 - 3,1 C．3 2 2 - 3, 2 -1 D． 2 +1, 3 + 2 è
二、多选题
5．（2022·广东佛山·一模）在VABC 中，A 、 B 、C 所对的边为 a、b 、 c，设BC 边上的中
点为M ，VABC 的面积为S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列选项正确的是（ ）
A p．若 A = ，则 S = 3 3 B．S3 的最大值为3 3
p
C． AM = 3 D．角A 的最小值为
3
6．（2022·河北沧州·模拟预测）在VABC 中，三边长分别为 a，b，c，且 abc = 2，则下列结
论正确的是（ ）
A．a2b < 2 + ab2 B．ab + a + b > 2 2
C．a + b2 + c2 4 D．a + b + c 2 2
三、填空题
7．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 AO 通过路口O后转向
西北方向OB，围绕道路OA,OB打造了一个半径为 2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区
相切的观光道MN ，则MN 的最小值为 km．
8．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面四边形 ABCD中，
AB = 2, DA × DC = 6, ABC 2π= , ACB π= ，则四边形 ABCD的面积的最大值为 ．
3 6
四、解答题
9．（2024·山西·一模）VABC 中角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，其面积为S ，且
4S = b2 + c2 - a2 .
(1)求A ；
(2)已知 a = 2 2 ，求S 的取值范围.
10．（2024·全国·模拟预测）在① 2 - sinA cosB -1 = cosAsinB - 2cosBsinC ；②
2a - c cosB = bcosC 两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在VABC
中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且______．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若点D满足BD = 2BC ，且线段 AD = 3，求VABC 面积的最大值．
11．（2023·四川达州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，
b c a 3a
+ = + .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面积S 的最小值.考点 29 解三角形及其应用举例（2 种核心题型+基础保分练+
综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．
【知识点】
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂
平面内)所成的角中，目标视线在水平视线
仰角与俯角
上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下
方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位
角 θ 的范围是 0°≤θ<360°
正北或正南方向线与目标方向线所成的
方向角 例：(1)北偏东 α：
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比
坡角与坡比
h
叫坡比(坡度)，即 i＝ ＝tan θ
l
【核心题型】
题型一　解三角形的应用举例
命题点 1　测量距离问题
【例题 1】（2023 高三上·江苏徐州·学业考试）已知两座灯塔A 和 B 与海洋观察站C 的距离都
等于 2km，灯塔A 在观察站C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站C 的南偏东 40°，则灯塔A 与
灯塔 B 的距离为（）
A． 2km B． 4km C． 2 2km D．2 3km
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正确的.
【详解】依题意 ACB =180° - 20° - 40° =120°，
所以 AB = 22 + 22 - 2 2 2 cos120° = 2 3km .
故选：D
【变式 1】（2023·河南郑州·模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头 M，N 间
架设一条索道．为测量 M，N 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度
MC =100 3m, NB = 50 2m，在 BC 同一水平面上选一点 A，测得 M 点的仰角为60o ，N 点
的人仰角为30o，以及 MAN = 45o， 则 M，N 间的距离为（ ）
A．100 2m B．120m C．100 3m D．200m
【答案】A
【分析】根据题意，在直角△ACM 和直角VABN 中，分别求得 AM = 200 和 AM =100 2 ，
再在VAMN 中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】由题意，可得 MAC = 60o , NAB = 30o , MC =100 3, NB = 50 2, MAN = 45o ，
且 MCA = NBA = 90o ，
MC
在直角△ACM 中，可得 AM = o = 200 ，sin 60
在直角VABN 中，可得 AM
NB
= o =100 2 ，sin 30
在VAMN 中，由余弦定理得 AN 2 = AM 2 + AN 2 - 2AM × AN cos MAN = 20000，
所以MN =100 2m .
故选：A.
【变式 2】（2022·山东青岛·二模）如图所示，A，B，C 为三个村庄， AB = 7km，
AC = 5km，BC = 8km，则∠ACB = ；若村庄 D 在线段 BC 中点处，要在线段 AC
上选取一点 E 建一个加油站，使得该加油站到村庄 A，B，C，D 的距离之和最小，则该最
小值为 km .
p
【答案】 60°/ 5 + 4 7 / 4 7 + 5
3
【分析】利用余弦定理以及点关于线的对称点进行处理.
【详解】在VABC 中，由余弦定理有：
AC 2cos ACB + BC
2 - AB2 25 + 64 - 49 1
∠ = = =
2AC × BC 80 2
又∠ACB (0。,180。)，所以∠ACB=60。.
如图，作 D 关于 AC 的对称点 F，则 DE=FE，DC=FC=4，
∠ACB =∠ACF = 60。，所以∠BCF =120。，当且仅当
B，E，F 三点共线时，BE+EF 最小.
BF 2 = BC 2 + FC 2 - 2FC × BC cos∠FCB
= 82 + 42 - 2 8 4 ( 1- ) =112 .
2
所以BF = 4 7 ，所以 AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF AC + BF = 4 7 + 5，
当且仅当 B，E，F 三点共线时，等号成立.
故答案为：60。， 4 7 + 5 .
【变式 3】（2023 高三上·全国·专题练习）如图，A、B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在
河岸选取相距 20 米的 C、D 两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝
60°，那么此时 A，B 两点间的距离是多少？
【答案】10 6 米
【分析】根据正弦定理，分别在VACD和△BCD中求出 AC，BC，然后在VABC 中，由余弦
定理求得 AB.
【详解】根据正弦定理，
CD sin 45° + 60°
在VACD中，有 AC = =
sin é 180
° - 30° + 45° + 60° ù
20(sin 45° cos 60° + cos 45°sin 60°)
=10(1+ 3) (米)，
sin 45°
CD sin 45°
在△BCD中，有BC = = 20sin é ° 180 - 30° + 45° + 60° ù
(米)．

在VABC 中，由余弦定理得 AB＝ AC 2 + BC 2 - 2AC × BC cos BCA ＝10 6 (米)．
所以 A，B 两点间的距离为10 6 米
命题点 2　测量高度问题
【例题 2】（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼
的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位
置，此时测量人和小镜子的距离为a1 = 1.00m，之后将小镜子前移a = 6.00m，重复之前的操
作，再次测量人与小镜子的距离为a2 = 0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为 h = 1.75m，
则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
【答案】D
ah
【分析】设钟楼的高度为 PQ，根据相似得到PQ = a - a ，代入数据计算得到答案.1 2
【详解】如下图，设钟楼的高度为 PQ，
由△MKE :△PQE，可得：EQ
PQ × KE a
= = 1
× PQ
，
MK h
由△NTF : PQF
PQ ×TF PQ × a
△ ，可得：FQ = = 2 ，
NT h
EQ FQ a1 × PQ PQ ×a故 - = - 2 = a ，
h h
故PQ
ah 6 1.75 10.5
= = = = 26.25m
a1 - a2 1- 0.6 0.4
，
故选：D.
【变式 1】（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君
山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为
了测量岳阳楼的高度 AB ，他首先在C 处，测得楼顶A 的仰角为60°，然后沿BC 方向行走
22.5 米至D处，又测得楼顶A 的仰角为30°，则楼高 AB 为 米．
45 3
【答案】
4
【分析】在 Rt△ABC 中，用 AB 表示 BC ，在 Rt△ABD 中，用 AB 表示 BD，根据CD 的长，
可求解 AB .
AB
【详解】Rt△ABC o 3AB中， ACB = 60 o ， = tan 60 = 3 ，
BC BC =
，
3
Rt ABD AB 3△ 中， ADB = 30o ， = tan 30o = ，BD = 3AB ，
BD 3
因为CD = 22.5米，所以BD BC 3AB 3AB 2 3- = - = AB = 22.5，
3 3
45 3
解得： AB =
4
45 3
故答案为：
4
【变式 2】（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江
经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，
小张选取了大厦的一个最高点 A，点 A 在大厦底部的射影为点 O，两个测量基点 B、C 与 O
在同一水平面上，他测得BC =102 7 米， BOC =120°，在点 B 处测得点 A 的仰角为q
（ tanq = 2），在点 C 处测得点 A 的仰角为 45°，则财富汇大厦的高度OA = 米.
【答案】204
【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△OBC 的边长关系，解方程求解即可.
OA h
【详解】设OA = h米，因为在点 B 处测得点 A 的仰角为q ，所以 = 2 ，所以OB = .
OB 2
因为在点 C 处测得点 A 的仰角为 45°，所以OC = h米.
由余弦定理，可得BC 2 = OB2 + OC 2 - 2OB ×OC ×cos BOC ，
即1022 7=
1
h2 + h2 1 7+ h2 = h2 ，解得 h = 204 .
4 2 4
故答案为：204
【变式 3】（2022·贵州安顺·模拟预测）如图，为测量某雕像 AB 的高度（B，C，D，F 在同
一水平面上，雕像垂直该水平面于点 B，且 B，C，D 三点共线），某校研究性学习小组同学
在 C，D，F 三点处测得顶点 A 的仰角分别为60°，30°，45°，CD = 20米．
(1)求雕像 AB 的高度；
(2)当观景点 C 与 F 之间的距离为多少米时，△CDF 的面积最大？并求出最大面积．
【答案】(1) AB =10 3
(2) CF = 20时，VCDF 的面积最大，最大值为100 3
【分析】（1）根据已知条件，在VACD中，可求出 AC = CD = 20 .然后在Rt△ABC 中，根据
已知即可求得答案；
（2）根据（1）可求出BC =10 .由已知可得出BF = AB =10 3 .进而根据面积公式表示出VCDF
的面积 S =100 3 sin DBF .即可得出面积的最大值以及BF ^ BC ，由勾股定理即可求出
CF .
【详解】（1）由已知可得，
在VACD中，有 ADC = 30°， ACD =180° - ACB =120°，CD = 20，
所以， DAC =180° - ADC - ACD = 30° = ADC ，
所以，VACD为等腰三角形， AC = CD = 20 .
在Rt△ABC 中，有 ACB = 60°， ABC = 90°， AC = 20，
所以， sin ACB AB AB 3= = = ，
AC 20 2
所以， AB =10 3 .
（2）由（1）可得，BC = AC sin 60° =10，
在RtVABF 中， AFB = 45°，所以BF = AB =10 3 .
因为VCBF 的BC 边上的高 h = BF sin DBF =10 3 sin DBF ，
且VCDF 的CD 边上的高也等于 h =10 3 sin DBF ，
V S 1 CD h 1所以 CDF 的面积为 = × = 20 10 3 sin DBF
2 2 =100 3 sin DBF
.
当 sin DBF =1，即BF ^ BC 时，面积最大，最大值为100 3 .
此时有CF = BF 2 + BC 2 = 20 .
命题点 3　测量角度问题
【例题 3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高
度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面
为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为 120°，墙的高度均为 3 米．在时刻 t ，实地
测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为 1 米、1.5 米．在线查阅嘉定的
天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻 t 最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A．09 : 00 B．10 : 00 C．11:00 D．12 : 00
【答案】B
【分析】作出示意图形，在四边形 ABCD中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形 ABCD的
外接圆直径大小，然后在Rt△BDE 中利用锐角三角函数定义，算出 DBE 的大小，即可得
到本题的答案.
【详解】如图所示，
设两竖直墙面的交线为DE ，点E 被太阳光照射在地面上的影子为点 B ，
点 A,C 分别是点 B 在两条墙脚线上的射影，连接 AC ，BD， BE ，
由题意可知 DBE 就是太阳高度角.
∵四边形 ABCD中， BAD = BCD = 90o ， ADC =120o，
∴ ABC = 360o - BAD + BCD + ADC = 60o ，
∴ VABC AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos 60o 2 2
1
中， =1.5 +1 - 2 1.5 1 =1.75，
2
可得 AC = 1.75 1.32，
∵四边形 ABCD是圆内接四边形，BD是其外接圆直径，
AC
∴设VABC 的外接圆半径为 R ，则BD = 2R = 1.53，
sin 60o
ED 3
在Rt△BDE 中， tan DBE = = 1.96，
BD 1.53
所以 DBE = arc tan1.96 63.02o，
对照题中表格，可知时刻 t =10 : 00时，太阳高度角为62.29o ，与63.02o 最接近.
故选：B.
【变式 1】（2023·四川绵阳·三模）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹
箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是
箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A ， B 处分别
作切线相交于点C ，测得切线 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ， AB = 180cm ，根据测量数据
可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62
【答案】A
【分析】由图形可知 AOB + ACB =180o ，由余弦定理求出 cos ACB，可得 cos AOB .
【详解】由题意， OAC = OBC = 90o，所以 AOB + ACB =180o ，
切线 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ，由切线长定理，不妨取 AC = BC =100cm ，
又 AB = 180cm ，由余弦定理，
2
cos ACB AC + BC
2 - AB2 1002 +1002 -1802
有 = = = -0.62，
2AC × BC 2 100 100
cos AOB = cos 180o - ACB = -cos ACB = 0.62 .
故选：A
【变式 2】（2023·河北·模拟预测）如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时
将 B 下压，E 接触平台，D 紧邻 E，此时钝角b 增大了（ ）（参考数据：
x22 + x3 x3 - 2x2 cosa = 3 x2 + x2 2， 1 2 + x3 - 2x1x3 sina - 2x2x3 cosa = 4，
x sina x x x+ 2 3 4 x2x3 cosa3 + - xx x x 1
= 3 .）
1 5 1
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】D
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】如图 1，过点 A 作 AM ^ CF ， AN ^ BC ，垂足为M ， N ，则
AM = x3 sina , MF = x3 cosa , BN = CM = x2 - x3 cosa , AN = x3 sina - x1 ，
故
AB = AN 2 + BN 2 = x3 sina - x
2
1 + x - x
2 2 2 2
2 3 cosa = x1 + x2 + x3 - 2x1x3 sina - 2x2x3 cosa = 2
，
连接 AC ，在△ACF 中，由余弦定理可得：
AC 2 = CF 2 + AF 2 - 2AF ×CF cosa = x22 + x
2
3 - 2x2x3 cosa = 3，即 AC = 3 ，
∵ AC < AB ，即此时b 为锐角，
如图 2 ，设GH 平台，即D, E,G 三点重合，则
cos FH x GFH = = 4 , cos AFC = cos π x- GFH = -cos GFH = - 4
GF x x ，5 5
连接 AC ，在△ACF 中，由余弦定理可得：
AC 2 = CF 2 + AF 2 - 2AF ×CF cos AFC = x22 + x
2 2x+ 2x3x43 x ，5
在VABC 中，由余弦定理可得：
AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos ABC = 4 + x21 - 4x1 cos ABC ，
则
x2 x2 2x x x2 + 3 + 2 3 4 = 4 + x
2 2 2
1 - 4x1 cos ABC = x1 + x2 + x
2
3 - 2x
2
x 1
x3 sina - 2x2x3 cosa + x1 - 4x1 cos ABC
5
，
2cos ABC x sina x2x3x4 x2x3 cosa 3整理得- = 3 + + - x = 3x x x 1 ，即 cos ABC = - ，1 5 1 2
又∵ ABC 0, π ，则 ABC 5= π ，
6
5 π π
此时钝角b 增大的值大于 π - = ，符合题意的只有 D 选项.
6 2 3
故选：D.
【变式 3】（2022·河北衡水·模拟预测）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山
瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为
了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底
3
端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为 ，沿山道继续走 20 m，测得
2
π
瀑布顶端的仰角为 .已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角
3
π
为 .根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 m；若第二次测量后，继续
3
π
行进的山道有坡度，坡角大小为 ，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进
4
20 2m ，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计）
【答案】 60 3
2 3
【分析】根据题意画出图形，设高度为 h ，则可表示出 AC = h, BC = h，在VABC 中利
3 3
用余弦
定理即可求出 h 的值；由已知数据易知CG = CA = 40，则 EF = 40，则可得到
tan DFE =1, tan CFE 1= ，再由两角和的正切公式计算出结果.
2
【详解】如图，设瀑布顶端为D，底端为C ，高为 h ，
该同学第一次测量的位置为A ，第二次测量的位置为 B ，
tan DAC 3则 = , AB = 20， DBC = CAB
π
= ,
2 3
2 3
所以 AC = h, BC = h，
3 3
在VABC 中由余弦定理可知：BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AC × AB ×cos CAB
h2 4
即 = h2 400 2 2 1+ - h 20 ，
3 9 3 2
解得： h = 60 ;
如图，两段山道为 BF ,过F 作 FE ^ CD 于点E ，
由题意知： FBG
π
= ，
4 BF = 20 2
，
所以BG = FG = 20，
在VABC 中 AC = 40, BC = 20 3，AB = 20，即 AB2 + BC 2 = AC 2 ，
所以CB ^ BG，
所以CG = CB2 + BG2 = 40，
所以EF = CG = 40，
又EC = FG = 20，
所以 DE = 40 ，
tan DFE DE 1, tan CFE CE 1= = = = ，
EF EF 2
1 1+
所以 tan DFC = tan DFE CFE tan DFE + tan CFE + = = 2 = 3 .
1- tan DFE × tan CFE 1 1-
2
故答案为：60；3.
题型二　解三角形中的最值和范围问题
解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，
利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．
【例题 4】（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形 OAB 中，半径OA = 4， AOB = 90°，C 在
半径 OB 上，D 在半径 OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形 BCDE
的周长的取值范围是（ ）
A． 8,12 B． 8 2,12ù
C． 8,8 2 ù D． 4,8 2 ù
【答案】A
【分析】由于点 E 在弧上运动，引入恰当的变量 AOE = 2q ，从而表达 ABE = q ，再利用
正弦定理来表示边，来求得周长关于角q 的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为
原点的坐标系，同样设出动点坐标E 4cos 2q , 4sin 2q ，用坐标法求出距离，然后同样把周
长转化为关于角q 的函数，进而求出取值范围.
【详解】
（法一）如图，连接OE，AB．设 AOE = 2q ，则 BOE
π
= - 2q ， ABE = q ，
2
BE OE
OBE q π
=
故 = + ．在△OBE中，由正弦定理可得 sin π π- 2q ，4 2 ÷
sin q + ÷
è è 4
OE sin π - 2q ÷ OE sin
2q π+
2 è è 2 ÷ π
则BE = = = 8cos q + ．
sin q π+ sin q π+
4 ֏

è 4 ÷ è 4 ÷
DE OE
=
在Rt△ODE中，由正弦定理可得 sin 2q sin π ，则DE = OE sin 2q = 4sin 2q ．
2
平行四边形BCDE 的周长为
2 BE + DE =16cos q π+ ÷ + 8sin 2q =16cos

q
π π
+ ÷ -8cos

2q +

÷
è 4 è 4 è 2
2
π π é π 1 ù
= -16cos2 q + +16cos ÷ q +

÷ + 8 = -16

êcos q + ÷ - +12 ．è 4 è 4 è 4 2
ú

0 2q π 0 q π π q π π因为 < < ，所以 < < ，所以 < + < ，所以0 < cos q π+ 2 < ，2 4 4 4 2 è 4 ÷ 2
2 2
é
所以0 cos ê q
π 1 ù 1 é π 1 ù+ ÷ - ú < ，则8 < -16 êcos q + ÷ - +12 12，
è 4 2 4 è 4 2
ú

即平行四边形 BCDE 的周长的取值范围是 8,12 ．
（法二）以 O 为原点，OB，OA所在直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系．
设 BOE = 2q ，则E 4cos 2q , 4sin 2q ，q 0,
π
4 ÷
，
è
从而DE = 4cos 2q ，OD = 4sin 2q ，OC = 4 - 4cos 2q ，
DC = OC 2 + OD2 = 4 - 4cos 2q 2 + 4sin 2q 2 = 8sinq ，
2
故平行四边形BCDE 的周长为 2 DE + DC = 2 4cos 2q 1+ 8sinq = -16 sinq - 2 ÷ +12 ．è
π 2
因为0 < q < 1 1，所以
4 0 < sinq
2
< ，所以0 sinq -

÷ < ，2 è 2 4
2
则8 < -16 sinq
1
- ÷ +12 12 ，即平行四边形BCDE 的周长的取值范围是 8,12 ．
è 2
故选：A.
【变式 1】（2024·重庆·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足
sin B -sinC 2b - a 2
= ，sin Asin B = ，且 S△ABC =1，则边 c = ．
sin A b + c 5
【答案】 5
π
【分析】利用正弦定理结合余弦定理可得C = ，由面积公式可得
4 ab = 2 2
，由正弦定理得
c
2
a b
÷ = × ，化简可得结果.
è sinC sinA sinB
sin B -sinC 2b - a b - c 2b - a
【详解】因为 = ，由正弦定理可得： = ，
sin A b + c a b + c
2 2
2 2 2 a + b - c
2 2
所以 a + b - c = 2ab，由余弦定理可得： cosC = = ，
2ab 2
因为C (0,π)
π
，所以C = ，
4
S 1因为 VABC = absinC = 1，所以2 ab = 2 2
，
2
c a b c a b 2 2= × = =10
由正弦定理可得： = = ，
sinC sinA sinB è sinC
÷
sinA sinB 2 ，
5
c c
= = 10
所以 sinC 2 ，即 c = 5
2
故答案为： 5
【变式 2】（2024·山西·三模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足
2cos Acos B = 2sin2 C ．
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若VABC 的外接圆半径为 2，求VABC 周长的最大值．
【答案】(1) VABC 为等腰三角形
(2) 6 3
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换可得 cos A - B =1，结合 A, B 0, π 分析求解；
（2）利用正弦定理可得VABC 周长 L = 8sin A + 4sin 2A，构建函数
f x = 8sin x + 4sin 2x, x 0, π ÷，利用导数求最值，即可得结果.
è 2
2 C
【详解】（1）由题意可知： 2cos Acos B = 2sin =1- cosC =1+ cos A + B
2
=1+ cos Acos B - sin Asin B ，
整理得 cos Acos B + sin Asin B = cos A - B =1，
且 A, B 0, π ，则 A - B -π, π ，可知 A - B = 0，即 A = B ，
所以VABC 为等腰三角形.
a b c
（2）由正弦定理 = = = 4 ，可得 a = 4sin A,b = 4sin B,c = 4sin C ，
sin A sin B sin C
则VABC 周长 L = a + b + c = 4sin A + 4sin B + 4sin C = 4sin A + 4sin B + 4sin A + B ，
π1 由（ ）可知： A = B 0, 2 ÷，è
可得 L = 4sin A + 4sin A + 4sin 2A = 8sin A + 4sin 2A，
构建函数 f x = 8sin x + 4sin 2x, x π 0, 2 ÷，è
则 f x = 8cos x + 8cos 2x = 8 cos x +1 2cos x -1 ，
x 0, π 因为 ÷ ，则 cos x 0,1 ，
è 2
当 x

0,
π
÷ 时， cos x
1
,1

3 2 ÷
，则 f x > 0；
è è
x π , π 当 ÷ 时， cos x 0,
1 f x < 0
3 2 ÷ ，则 ；è è 2
可知 f x π π在 0, π 3 ÷内单调递增，在è , ÷内单调递减，è 3 2
f x π则 f 3 ÷ = 6 3，è
所以当且仅当VABC 为等边三角形时，VABC 周长取到最大值6 3 .
【变式 3】（2024·山东济宁·三模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知
(1- cos 2C)(sin A +1) - cos Asin 2C = 0 .
B C π(1)求证: = + ；
2
π
(2)若 a = 4,C ,
π
÷，求VABC 面积的取值范围.
è 8 6
【答案】(1)证明见解析
(2) 4,4 3
【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得 2sinC(sinC + cos B) = 0 ，
结合诱导公式计算即可证明；
π π
（2）由（1）得 A
π
= - 2C 且 < A <2 ，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换6 4
化简可得 SVABC = 4 tan 2C ，结合正切函数的性质即可求解.
【详解】（1） (1- cos 2C)(sin A +1) - cos Asin 2C = 0，
sin A +1- cos2C sin A - cos2C - cos Asin 2C = 0，
sin A - cos2C +1- sin(A + 2C) = 0，又 A + C = π - B，
则 sin(B + C) - cos2C +1- sin(B - C) = 0，
sin BcosC + sinC cos B -1+ 2sin2 C +1- sin BcosC + sinC cos B = 0，
2sin2 C + 2sinC cos B = 0，即 2sinC(sinC + cos B) = 0 ，
又 sin C > 0，所以 sinC + cos B = 0 ，即 cos B = -sinC cos(π= + C)2 ，
又0 < B < π,0 < C < π
π
，所以 B = + C2 ；
π
（2
π
）由（1）知 B = + C ， A + B + C = π，得 A = - 2C2 2 ，
π π π π a c
由 < C < ，得 < A <8 6 ，由正弦定理得 = ，6 4 sin A sin C
c asinC asinC 4sinC= = =
得 sin A sin(π - 2C) cos2C ，
2
S 1所以 VABC = acsin B
1 42 sinC= sin(π C) 1+ = 42 sinC cosC 4sin 2C= = 4 tan 2C
2 2 cos2C 2 2 cos2C cos2C ，
π π π
又 < C
π π π
< ，所以 < 2C < ，又 y = tan x (- , )8 6 4 3 在 上单调递增，2 2
则 tan 2C (1, 3) ，所以 4 tan 2C (4,4 3) ，
即VABC 的面积我取值范围为 (4, 4 3) .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022·吉林·模拟预测）位于灯塔 A 处正西方向相距 5 3 - 5 n mile 的 B 处有一艘甲船需
要海上救援，位于灯塔 A 处北偏东 45°相距5 2 n mile 的 C 处的一艘乙船前往营救，则乙船
的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
【答案】B
【分析】根据已知条件作出图形，找出要求的角为 BCD，运用解三角形的知识进行求解.
【详解】依题意，过点C 作CD ^ BA的延长线交于点D，如图，
则 AB = 5 3 - 5， AC = 5 2 ， ACD = 45o ，
在RtVADC 中， AD = DC = 5，
在RtVBDC 中，BD = 5 3，DC = 5，
π
\ tan BCD BD= = 3 又Q BCD 0,
DC ֏ 2
\ BCD π= ，
3
则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西 60°.
故选：B.
2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，
通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知
竖立在 B 点处的测量觇标高 20米，攀登者们在A 处测得，到觇标底点 B 和顶点C 的仰角分
别为 45°,75°，则 A, B的高度差约为（ ）
A．7.32 米 B．7.07 米 C．27.32 米 D．30 米
【答案】A
【分析】画出示意图，结合三角函数的定义和正切展开式求解即可.
【详解】
模型可简化为如上图，在RtVADC 中， BAD = 45°, CAD = 75°，
BD
所以 tan 75° - BD = 20，而
tan 45°
3
tan 75 tan 45 30 tan 45° + tan 30°
1+
3 3 + 3° = ° + ° = = = ，
1- tan 45° tan 30°
1 3 3 - 3-
3
代入上式并化简可得BD = 7.32米，
故选：A.
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理
想状态：地球 E 和某小行星 M 绕太阳 S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置
E SE M 2π如图所示．地球在 0 位置时，测出 0 = ；行星 M 绕太阳运动一周回到原来位置，3
地球运动到了E SE M
3π π
1位置，测出 1 = ， E1SE0 = ．若地球的轨道半径为 R，则下列选4 3
项中与行星 M 的轨道半径最接近的是（参考数据： 3 1.7）（ ）
A．2.1R B．2.2R C． 2.3R D． 2.4R
【答案】A
【分析】连接E0E1，根据给定条件，在VME0E1 中利用正弦定理求出ME1 ，再在VSME1中利
用余弦定理求解即得.
【详解】连接E0E
π
1，在VSE0E1 中， SE0 = SE1 = R，又 E1SE0 = ，则VSE0E1 是正三角形，3
E0E1 = R ，
由 SE0M
2π SE M 3π π 5π= ， 1 = ，得 E1E0M = ， E0E1M = ，3 4 3 12
E1M E0E
3
1 R
在VME
π = 2 3
0E1 中， E0ME1 = ，由正弦定理得 E4 sin
π sin π ，则 1
M = = R ，
3 4 2 2
2
在VSME1中，由余弦定理得
SM = R2 + ( 3 R)2 2R 3 R ( 2 5- × × - ) = R2 + 3R2 4.2R 2.1R .
2 2 2 2
故选：A
4．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C 两点 B、C
与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C 两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【答案】D
【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.
【详解】由题意，
BC 100 100 100 tan 75° - tan15°= - = =100 tan 60°(1+ tan15° tan 75°)
tan15° tan 75° tan15° tan 75° tan15° tan 75°
而 tan15 tan 75
sin15° sin 75° sin15° cos15°
° ° = × = × =1，
cos15° cos 75° cos15° sin15°
所以BC =100 2 3 = 200 3 .
故选：D
二、多选题
5．（2023·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧 A，B 之间的距离，一定能根据以下数据
确定 AB 长度的是（ ）
A．a，b，g B．a ，b ，g
C．a，b ，g D．a ，b ，b
【答案】ACD
【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.
【详解】法一、根据三角形全等的条件 SAS , ASA, AAS 可以确定 A、C、D 三项正确，它们都
可以唯一确定三角形；
法二、对于 A 项，由余弦定理可知 c2 = a2 + b2 - 2ab cosg ，可求得 c，即 A 正确；
对于 B 项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故 B 错误；
a c c a sin g对于 C 项，由正弦定理可知 = =sin π - b - g sin g sin π - b - g ，即 C 正确；
bsin π -a - b
对于 D 项，同上由正弦定理得 c = ，即 D 正确；
sin b
故选：ACD.
6．（2024·河北邯郸·三模）已知VABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，面积为
3 a2 + c2 - b2 ，则下列说法正确的是（ ）4
1 1
A． cos AcosC 的取值范围是 - , ÷
è 2 4
B．若D为边 AC 3的中点，且BD =1，则VABC 的面积的最大值为
3
a 1VABC , 2 C．若 是锐角三角形，则 的取值范围是
c 2 ֏
D．若角 B 的平分线 BE 与边 AC 相交于点E ，且BE = 3 ，则a + 4c的最小值为 10
【答案】ABC
π
【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得B = ，对 A：借助三角恒等变换公式可将其
3
化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对 B：借助向量数量积公式与基本不等
式即可得；对 C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对
D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.
1 2
【详解】由题意知 S = ac sin B 3= a2 + c2 - b2 2 2 2，整理得 a + c - b = ac sin B，2 4 3
由余弦定理知 a2 + c2 - b2
π
= 2ac cos B ，\ tan B = 3 ，QB 0, π ，\B = ．3
对 A， cos AcosC = cos Acos 2π A 3 1 2 - ÷ = sin Acos A - cos A
è 3 2 2
3 sin 2A 1+ cos 2A 1 π 1= - = sin
4 4 2
2A - ÷ - ，
è 6 4
Q A 0, 2π 2A π π , 7π \ - - π 1 ù 3 ÷， 6 ÷，
\sin 2A - ÷ - ,1 ，
è è 6 6 è 6 è 2 ú
1 1
\cos AcosC ù的取值范围为 - , ，故 A 正确；
è 2 4 ú
uuur uuur uuur
对 B，QD为边 AC 的中点，\2BD = BC + BA，
uuur uuur
则 4 = a2 + c2 + 2BA × BC = a2 + c2 + ac 3ac，
\ac 4 ，当且仅当 a = c 时，等号成立，
3
\S 1 3 3 4 3△ABC = acsin B = ac = ，故 B 正确；2 4 4 3 3
sin 2π - C 3 cosC 1 3
对于 C， a sin A 3 ÷ + sin C= = è 1 ，= 2 2 = 2 +
c sin C sin C sin C tan C 2
QV π πABC 是锐角三角形，\ < C < ，
6 2

\ tan C 3 , +
a
\
1 ,2 ， ，故 C 正确；
è 3
÷÷
c
÷
è 2
对于 D，由题意得 S△ABE + S△BCE = S△ABC ，
1 c BE sin π 1 a BE sin π 1 c a sin π即 + = ，
2 6 2 6 2 3
整理得 a + c = ac
1 1
，即 + =1，
a c
a 4c (a 4c) 1 1 5 4c a 5 2 4c a\ + = + + ÷ = + + + × = 9，
è a c a c a c
当且仅当 a = 2c 时，等号成立，故 D 错误．
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是
借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为
角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.
三、填空题
7．（2022·全国·模拟预测）如图，为测量山高MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测
点，从点 A 测得点 M 的仰角 MAN = 45°，点 C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .从
点 C 测得 MCA = 45° ,已知山高BC = 300m，则山高MN = m.
【答案】 200
【分析】在VABC 中，求得 AC = 200 3，再在VAMC 中，利用那个正弦定理，求得
AM = 200 2 ，进而在直角VAMN 中，即可求解.
【详解】在VABC 中，因为 CAB = 60°, ABC = 90°, BC = 300 AC
300
，所以 = = 200 3，
sin 60°
在VAMC 中，因为 MAC = 75°， MCA = 45° ，可得∠AMC = 60°，
AC AM
因为 = ，所以 AM
AC ×sin 45°
= = 200 2 ，
sin AMC sin ACM sin 60°
在直角VAMN 中，可得MN = AM ×sin MAN = 200 2 sin 45° = 200 .
故答案为： 200 .
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中
有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某
建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点 C，D，CD 与地面垂直，小李先
在地面上选取点 A，B，测得 AB = 20 3m，在点 A 处测得点 C，D 的仰角分别为30°， 60°，
在点 B 处测得点 D 的仰角为30°，则塔高 CD 为 m．
【答案】20
【分析】确定VACD,VBAD 每个角的大小，可得VACD,VBAD 均为等腰三角形，在VACD中，
设 | CD |= x，通过余弦定理计算 | AB |= 3x 即可.
【详解】在VACD中，延长DC 与BA的延长线交于点 E，如图所示.
由题意可知， CAE = 30° , DAE = 60° , DBA = 30°，
因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发，
所以 A, B, E 三点在同一条直线上.
所以 DAC = 30° , DCA =120° , ADC = 30° , BDA = 30° ，
所以VACD,VBAD 为等腰三角形，
即 | CD |=| CA |,| AD |=| AB | .
设 | CD |= x，即 | CA |= x， DCA = 120°，
在VACD中，由余弦定理得
| AD |2 =| CD |2 + | CA |2 -2 | CD || CA | cos DCA ,
| AD |2 = x2 + x2即 - 2x × x × (
1
- )， | AD |= 3x，
2
所以 | AB |= 3x ，
又因为 | AB |= 20 3 ，
所以 x = 20 .
故答案为： 20 .
9．（2024·宁夏·一模）在VABC 中，BC = 3AC ， BAC
π
= ，点 D 与点 B 分别在直线 AC
3
的两侧，且 AD =1，DC = 3 ，则 BD 的长度的最大值是 ．
【答案】3 3
【分析】先判断VABC 为直角三角形，设 ADC = q ， AC = x，由正弦定理得到 ACD与q
sinq
之间的数量关系 sin ACD = ，由余弦定理得到 x 与q 之间的数量关系 x2x = 4 - 2 3 cosq
，
最后在VBDC 中，由余弦定理及所得结论得到BD2 = 6sinq - 6 3 cosq +15，利用正弦型函
数的值域即得 BD 的长度的最大值.
【详解】
如图，在VABC
BC AC
中，由正弦定理： = 可得： sin ABC
1
= ，因
sin BAC sin ABC 2
BAC π π ACB π = ，则 ABC = ，即 = .
3 6 2
AD AC
设 AC = x，则 BC = 3x ，在△ADC 中，设 ADC = q ，由正弦定理， = ，则sin ACD sinq
得： sin ACD
sinq
= ，
x
由余弦定理可得： AC 2 = AD2 + DC 2 - 2AD × DC cosq ，即 x2 = 4 - 2 3 cosq .
在VBDC 中，由余弦定理，BD2 = BC 2 + CD2 - 2BC ×CD cos BCD
= 3x2 π+ 3- 6x cos( + ACD) = 3x22 + 3+ 6x sin ACD
= 3x2 + 3 6x sinq π+ × = 3(4 - 2 3 cosq ) + 3+ 6sinq
x = 6sinq - 6 3 cosq +15
=12sin(q - ) +15 ,
3
π π 2π
0 π q q π π因 < q < ，则- < - < ，则当 - = 时，即q =
5π
时，BD2max = 27，此时3 3 3 3 2 6
BDmax = 3 3 .
故答案为：3 3 .
【点睛】思路点睛：本题主要考查利用正、余弦定理求边长的最大值问题，属于难题.
解决此类题型的思路就是，要善于在图形中选设与已知条件和所求结论都相关的角，借助于
正、余弦定理将所求量表示成关于角的三角函数式，最后根据三角函数的值域求得最值.
四、解答题
10．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选
取 A，B，C，D 四个点，使得 AD = 2 2BC ，测得 BAD = 30o ， BCD = 45o ，
ADC =120o．
(1)若 B，D 选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD =10 2km，CD = 20km，
求 A，C 两点间距离；
(2)求 tan BDC 的值．
【答案】(1) 20 7km
(2) 4 + 3
13
【分析】（1）由正弦定理证得△BCD为等腰直角三角形，再由余弦定理求 AC 即可；
（2）设 BDC = q o，利用正弦定理可得 sin 30 +q = 2sinq ，展开化简即可得其正切值.
CD BD
【详解】（1）在△BCD中，由正弦定理得 =sin CBD sin ， BCD
20 10 2
即 = ，
sin CBD sin 45o
解得 sin CBD =1，所以 CBD = 90o ，
则△BCD为等腰直角三角形，所以BC =10 2 ，
则 AD = 2 2BC = 40．
在VACD中，由余弦定理得
AC 2 = AD2 + CD2 - 2AD CD cos ADC =1600 + 400 2 1- 40 20 -

÷ = 2800，
è 2
故 AC = 20 7 ．
故 A，C 两点间距离为 20 7km ．
（2）设 BDC = q ，则由题意可知， ADB =120o -q ， ABD = 30o +q ．
BD AD
在△ABD
AD o
中，由正弦定理得 = ，即 = 2sin 30 +qsin BAD sin ABD BD ，
BC BD BC
在△BCD中，由正弦定理得 = ，即 = 2 sinq ，
sin BDC sin BCD BD
AD 2 2BC 2sin 30o q 2 2 2 sinq 1 3又 = ，所以 + = cosq + sinq = 2sinq ，2 2
tanq 4 + 3 tan BDC 4 + 3解得 = ，所以 = ．
13 13
11．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
1+ sin 2B + cos 2B 3
= .
sin 2B + 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 边上的中线长为 2，求b 的最小值.
π
【答案】(1) B = 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化简即可得解；
（2）利用向量化及余弦定理结合基本不等式即可得解.
1 1+ sin 2B + cos 2B 3【详解】（ ）由 = ，
sin 2B + 2sin2 B 3
2sin B cos B + 2cos2 B 3 2cos B sin B + cos B 3
得 = ，即 = ，
2sin B cos B + 2sin2 B 3 2sin B cos B + sin B 3
cos B 3
所以 = ，即 tan B = 3 ，
sin B 3
又B 0, π π，所以 B = 3 ；
（2）设 AC 的中点为D，
uuur uur uuur
则 2BD = BA + BC ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
平方得 4BD = BA + BC + 2BA × BC ，即16 = a2 + c2 + ac 3ac，
16 4 3
所以 ac ，当且仅当
3 a = c =
时取等号，
3
2 2 2 π 2
由余弦定理得b = a + c - 2ac cos = a + c2 - ac =16 - 2ac ，
3
16 2 16 16
因为 ac ，所以b 16 - 2 = ，
3 3 3
4 3 4 3
即b 的最小值为 ，当且仅当 a = c = 时取等号.
3 3
【综合提升练】
一、单选题
1．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰
角）．设地球表面某地正午太阳高度角为q ，d 为此时太阳直射点纬度，j 为当地纬度值，
那么这三个量满足q = 90° - j -d ．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（j
取正值），选择春分当日（d = 0°）测算正午太阳高度角．他们将长度为 1 米的木杆垂直立
于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：
组别 甲组 乙组 丙组 丁组
木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【答案】D
【分析】根据题意得到j = 90° -q ，设木杆的影长为m ，得到 tanq
1
= ，根据表格中的数据
m
得到当m = 0.85时，q 取得最小值，此时j 求得最大值，即可求解.
【详解】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为q ，d 为此时太阳直射点纬度，j 为当
地纬度值，那么这三个量满足q = 90° - j -d ，
当d = 0°且j 为正值，可得q = 90° -j ，即j = 90° -q ，
1
设木杆的影长为m ，可得 tanq = ，
m
因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82,0.80,0.83,0.85，
所以当m = 0.85时，q 取得最小值，此时j 求得最大值，
所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组.
故选：D.
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性
建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复
原名、现存建筑是宣统元年（1909 年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究
小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 B 在同一水平面内的两个测量基点
C 与D，现测得 BCD = 23°， CDB = 30°，CD = 11.2m ，在C 点测得甲秀楼顶端A 的仰角
为72.4°，则甲秀楼的高度约为（参考数据： tan 72.4° 3.15， sin53° 0.8）（ ）
A． 20m B． 21m C．22m D． 23m
【答案】C
【分析】利用正弦定理在△DBC 中取得CB的长，根据正切函数的定，可得答案.
【详解】由题意可知， BCD = 23°， CDB = 30°，所以 CBD = 127°，又因CD = 11.2m ，
CD CB 11.2 CB
由正弦定理 = ，可得： = ，解得CB = 7m ，
sin CBD sin CDB sin127° sin 30°
又因为 ACB = 72.4°，所以 AB = BC tan ACB = 7 3.15 = 22.05 22m ，
故选:C.
3．（2023·陕西宝鸡·二模）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c = 4，
A π=
3 ，则 a 的取值范围为（ ）
A． 0,4 3 B． 2,4 3
C． 2 3,4 3 D． 0,2 3
【答案】C
【分析】确定C 角范围后，由正弦定理表示出 a，再利用三角函数性质得结论．
【详解】因为VABC 是锐角三角形，所以 A + C
π C π π C π> ， > ，所以 < < ，
2 6 6 2
sin C (1 ,1)，
2
a c 4sin π
由正弦定理得 = ，所以 a c sin Asin A sin C = = 3
2 3
= (2 3,4 3)．
sin C sin C sin C
故选：C．
4．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东 60o 方向C 处有一艘
渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15o，且与甲船相距
2nmile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需
要航行的距离为（ ）
A． 2nmile B． 2nmile
C． 2 2nmile D．3 2nmile
【答案】B
【分析】由图可知，由正弦定理即可求出 BC 的值.
【详解】由题意知， AB = 2 ， sin BAC = 45o ,sin BCA = 30o
AB BC
由正弦定理得， =
sin BCA sin BAC
BC AB 2所以 = sin BAC = sin 45o = 2 .
sin BCA sin 30o
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为 2nmile .
故选：B.
5．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591 年），因鸿
雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为
测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择 C 点和一建筑物 DE 的楼顶 E 为测量观
测点，已知点 A 为塔底， A,C , D 在水平地面上，来雁塔 AB 和建筑物 DE 均垂直于地面（如
图所示）.测得CD =18m, AD =15m，在 C 点处测得 E 点的仰角为 30°，在 E 点处测得 B 点
的仰角为 60°，则来雁塔 AB 的高度约为（ ）（ 3 1.732，精确到0.1m）
A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m
【答案】B
【分析】现从四棱锥C - ABED 中提取两个直角三角形VECD 和△BEF 的边角关系，进而分
别解出两个三角形边DE, BF 的长，求出来雁塔 AB 的高度即可.
【详解】过点E 作EF ^ AB，交 AB 于点F ，
在直角三角形VECD 中，因为 ECD = 30°，
所以DE = CD × tan DCE =18 tan30° = 6 3 ，
在直角三角形△BEF 中，因为 BEF = 60°，
所以BF = EF × tan FEB =15 tan60° =15 3 ，
则 AB = BF + AF = BF + ED =15 3 + 6 3 = 21 3 36.4 m .
故选：B.
6．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若
a sin A + C = bsin A，b =1，则VABC 面积的最大值为（ ）
2
A 3 B 3 C 3 D 1． ． ． ．
2 4 6 2
【答案】B
B π
【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得 sin ，进而得到 B = 3 ；利用余弦定理和2
基本不等式可求得 ac 1，代入三角形面积公式即可求得结果.
A + C
【详解】由正弦定理得： sin Asin = sin B sin A，
2
\sin Asin π - B = sin Acos B B B= 2sin cos sin A，
2 2 2 2
Q A 0, π B 0, π ， B ÷，\sin A 0， cos 0，\sin
B 1
= ，
2 è 2 2 2 2
B π
\ = ，解得： B
π
=
3 ；2 6
由余弦定理得：b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + c2 - ac =1，
Qa2 + c2 2ac（当且仅当 a = c 时取等号），\1 2ac - ac = ac，
\ SVABC
1 3 3
= 1 = .
max 2 2 4
故选：B.
7．（2024·陕西·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
c 6, sinB 6a - b= = ，则VABC 面积的最大值为（
sinA b ）
A 19
21
． B． C．12 D．15.2 2
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出 ab的关系，再利用余弦定理求出 cosC ，进而可
得出 sin C ，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
sinB 6a - b b 6a - b
【详解】由 = ，由正弦定理得 = ，即 b - 2a b + 3a = 0，
sinA b a b
所以b = 2a，
a2 + b2 - c2 5a2 - 36
由余弦定理得 cosC = =
2ab 4a2
，
所以 2
2
5a2 - 36 4 2
sin C = 1- cos C = 1 -9a + 360a -1296- = ，
16a4 4a2
4 2
2
所以 S 1 absin C -9a + 360a
2 -1296 -9 a - 20 + 2304
VABC = = a
2 × 2 =
，
2 4a 4
当 a2 = 20，即a = 2 5 时， SVABC 取得最大值12 .
故选：C.
8．（2024· · VABC 3BC全国 模拟预测）已知 外接圆的半径为 ，D为边BC 的中点，
3
AD 1= ， BAC 为钝角，则 2AC - AB的取值范围是（
2 ）
A． -2,2 B． -2,2 C． -1,2 D． -1,2
【答案】C
【分析】解法一：利用正弦定理和外接圆的半径可求得 BAC =120o ，设 BAE = a ，利用
正弦定理将 AC ， AB 用角a 的三角函数表示出来，再利用三角恒等变换及三角函数的值域
即可求解；
uuur uuur uuur
解法二：利用正弦定理和外接圆的半径可求得 BAC =120o ，利用向量 2AD = AB + AC 可得
1 = b2 + c2 - bc，令 t = 2AC - AB = 2b - c，再由关于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 个
正根，利用判别式可得其范围；
解法三：利用正弦定理和外接圆的半径可求得 BAC =120o ，在VABC 和△ABD 中，分别利
用余弦定理可得1 = b2 + c2 - bc，令 t = 2AC - AB = 2b - c，再由关于b 的方程
3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 个正根，利用判别式可得其范围.
【详解】解法一：
2 3BC BC 3
根据正弦定理得 = ，所以 sin BAC = ，
3 sin BAC 2
因为 BAC 为钝角，所以 BAC =120o ；
延长 AD 到E ，使得 AD = DE ，连接BE,CE ，如下图所示：
易知四边形 ABEC 为平行四边形，且 ABE =180o - BAC = 60o ．
BE AB AE
设 BAE = a ，则 BEA =120o -a ，所以 = =sina sin 120o -a sin60o ，
2 1
即 AC AB 2= = 2 = ，
sina sin 120o -a sin60o 3
AC 2 sina AB 2所以 = ， = sin 120° -a ，
3 3
2AC AB 4所以 - = sina
2
- sin 120o -a = 3sina - cosa = 2sin a - 30o ，
3 3
o o o o o 1因为0 < a <120 ，所以-30 < a - 30 < 90 ，所以- < sin a - 30o <1，2
所以-1 < 2sin a - 30o < 2，
可得 2AC - AB的取值范围是 -1,2 ．
解法二：
2 3BC BC
根据正弦定理得 = ，
3 sin BAC
所以 sin BAC 3= ，因为 BAC 为钝角，所以 BAC =120o
2
uuur uuur uuur
因为D为边BC
uuur uuur uuur uuur uuur
的中点，所以 2AD = AB + AC 2 2 2，可得 4AD = AB + 2AB × AC + AC ，
设 AC = b, AB = c ，则1 = b2 + c2 - bc ①．
设 t = 2AC - AB = 2b - c，则 c = 2b - t ，
将其代入①得3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0 ②，
所以关于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 个正根；
Δ = 9t 2 -12 t 2当 -1 = 0，即 t = ±2，
经检验，当 t = 2时，方程②即b2 - 2b +1 = 0，解得b =1，则 c = 2b - t = 0，不合题意；
当 t = -2时，方程②即b2 + 2b +1 = 0 ，解得b = -1，不符合题意；
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
t
所以 í t 或 í < 0 ，解得-1 < t < 2，
0 2 2 t
2 -1< 0
故 2AC - AB的取值范围是 -1,2 ．
解法三：
2 3BC BC
根据正弦定理得 = ，
3 sin BAC
所以 sin BAC 3= ，因为 BAC 为钝角，所以 BAC =120o ；
2
设BC = a, AC = b, AB = c，根据余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccos BAC = b2 + c2 + bc ，
a2 + c2 - b2
在VABC 中易知 cosB = ，
2ac
2
a 2
÷ + c
2 - AD2 a c2 1+ -
又在△ABD 中可得 cosB = è 2 a =
4 4 ，
2 c ac
2
a2 2 1
2
所以可得 a + c2 - b2 + c -4 4 ，即1 = 2b2 + 2c2 - a2= ，
2ac ac
将 a2 = b2 + c2 + bc 代入，得1 = b2 + c2 - bc ①，
设 t = 2AC - AB = 2b - c，则 c = 2b - t ，
将其代入①得3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0 ②，
所以关于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 个正根；
当Δ = 9t 2 -12 t 2 -1 = 0，即 t = ±2，
经检验，当 t = 2时，方程②即b2 - 2b +1 = 0，解得b =1，则 c = 2b - t = 0，不合题意；
当 t = -2时，方程②即b2 + 2b +1 = 0 ，解得b = -1，不符合题意；
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
t
所以 í t 或 í < 0 ，解得-1 < t < 2，
0 2
2
t 2 -1< 0
故 2AC - AB的取值范围是 -1,2 ．
故选：C
【点睛】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：
一是将所求量表示为与边有关的形式，利用函数知识或基本不等式求得最值或范围；
二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．
二、多选题
9．（2024·甘肃兰州·一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、
实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度
的方案有
A．在水平地面上任意寻找两点A ， B ，分别测量旗杆顶端的仰角a ，b ，再测量A ， B
两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 h ，在该建筑物底部和
顶部分别测得旗杆顶端的仰角a 和b
C．在地面上任意寻找一点A ，测量旗杆顶端的仰角a ，再测量A 到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方A 处测得旗杆顶端的仰角a ，正对旗杆前行 5m 到达 B 处，再次测量
旗杆顶端的仰角b
【答案】BCD
【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度
即可.
【详解】对于 A：如果A ， B 两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，
故 A 不正确．
对于 B：如下图， △ABD 中由正弦定理求 AD ，则旗杆的高CD = h + AD sin b ，故 B 正确；
对于 C：在直角三角形△ADC 直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC = AC tana ，故 C 正
确；
对于 D：如下图，△ABD 中由正弦定理求 AD ，则旗杆的高CD = AD sina ，故 D 正确；
故选：BCD.
10．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知 VABC 三个内角A 、 B 、C 的对应边分别为 a、b 、 c，
A π且 = 3 ，
a = 4 .则下列结论正确的是（ ）
A．VABC 面积的最大值为 4 3
B．bcosC + ccosB = 2 2
uuur uuur
C．BA × BC 的最大值为8
16 3
+
3
cosB 1
D． 的取值范围为 - , -2 - , +
cosC ֏ 2
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得bc的最大值，结合三角形的面积公式可判断 A
选项；利用余弦定理可判断 B 选项；利用正弦定理、平面向量数量积的定义、三角恒等变换
uuur uuur 16 3 π
化简BA × BC = sin 2B + ÷ + 8，结合正弦函数的基本性质可判断 C 选项；利用三角恒3 è 3
cosB 3
等变换可得出 = tan C 1- ，结合正切函数的基本性质可判断 D 选项.
cosC 2 2
π
【详解】对于 A 选项，因为 A = ， a = 43 ，由余弦定理和基本不等式可得
16 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + c2 - bc 2bc - bc = bc，即bc 16，
当且仅当b = c = 4时，等号成立，
S 1 bc sin A 1 bc sin π 3 3故 ABC = = = bc 16 = 4 3，△ 2 2 3 4 4
所以，VABC 的面积的最大值为 4 3 ，A 对；
2 2 2 2 2 2
对于 B 选项，bcosC + ccosB = b a + b - c c a + c - b× + × = a = 4，B 错；
2ab 2ac
c a 4 8 3
= = =
对于 C 8 3选项，由正弦定理可得 sin C sin A 3 3 ，则 c = sin C ，3
2
A π
2π π π 5π
因为 = 3 ，则
0 < B < ，所以， < 2B + < ，
3 3 3 3
uuur uuur
由平面向量数量积的定义可得BA × BC = ca cos B 32 3= 4c cos B = sin C cos B
3
32 3 π = sin B + ÷cos B
32 3 1
= sin B
3
+ cos B ÷÷cos B3 è 3 3 è 2 2
16 3
= sin B cos B +16cos2 B 8 3= sin 2B + 8 cos 2B +1
3 3
8 3
= sin 2B + 8cos 2B + 8 16 3= sin 2B
π
+
16 3
3 3 3 ÷
+ 8 8 + ，
è 3
π π π
当且仅当 2B + = 时，即当B = 时，等号成立，
3 2 12
uuur uuur 16 3
故BA × BC 的最大值为8 + ，C 对；
3
π 2π
对于 D 选项，因为 A = 3 ，则
0 < C < ，
3
π π 2π
由题意可知， cosC 0 ，所以，C 0, 2 ÷
U , ÷，
è è 2 3
cos 2π - C 1 3
cosB 3 ÷ - cosC + sin C= è 3 1 ，= 2 2 = tan C -
cosC cosC cosC 2 2
π cosB 3 1 1
当 0 < C < tan C > 02 时， ，则 = tan C - > - ；cosC 2 2 2
π 2π
当 < C < tan C 3 cosB 3 tan C 1 3 1时， < - ，则 = - < - - = -2 .2 3 cosC 2 2 2 2
cosB 1
综上所述， 的取值范围为 - , -2 - , +
cosC 2 ÷
，D 对.
è
故选：ACD.
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角 VABC 的三个内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，
且VABC 3的面积为 a2 + c2 - b2 .则下列说法正确的是（ ）4
π
A． B = 3
π π
B．A 的取值范围为 ,
è 6 2 ÷
C．若b = 3 ，则VABC 的外接圆的半径为 2
3 3 3 3
D．若 a = 3，则VABC 的面积的取值范围为 ,8 2 ÷÷è
【答案】ABD
【分析】对 A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对 B：借助锐角三角形定义与三角形
内角和计算即可得；对 C：借助正弦定理计算即可得；对 D：借助正弦定理，结合面积公式
将面积用单一变量A 表示出来，结合A 的范围即可得解.
1 3
【详解】对 A：由题意可得 ac sin B = a2 + c2 - b2 ，由余弦定理可得2 4
a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ，
1
即有 ac sin B 3= 2ac cos B 3= ac cos B ，即 sin B = 3 cos B ，
2 4 2

由B 0,
π π
2 ÷
，故 tan B = 3 ，即 B = 3 ，故 A 正确；è
A 0, π对 B：则

，C = π - A
2 π π π
- B = π - A 0, ，解得 A
, ，故 B 正确；
è 2 ÷ 3 è 2 ÷ ÷ è 6 2
2R b 3= = = 2
对 C：由正弦定理可得 sin B 3 ，即R =1，故 C 错误；
2
D a 3 S 1 ac sin B 1 3c 3 3c对 ：若 = ，则 = = = ，
2 2 2 4
a c
= c a sin C 3 sin C由正弦定理可得 ，即sin A sin C = × =
，
sin A sin A
sin A
π
+ 1 3
即 S 3c 3 3 sin C 3 3= = = × è 3
÷ sin A + cos A
3 3= × 2 2
4 4 sin A 4 sin A 4 sin A
3 3 9
= + ，
8 8 tan A

由 A
π π 3 3 3 3 3
,

÷，则 tan A ,+ ÷÷，故 S , ÷÷，故 D 正确.è 6 2 è 3 è 8 2
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D 选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量A
表示出来，结合A 的范围即可得解.
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，
c，且 2a - b cosC = c cos B,a = 2，则VABC 的面积 S 的取值范围为 ．
3
【答案】 , 2 32 ÷÷è
【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函数的单调性求三角形的面积的取值范围.
【详解】由题意及正弦定理，得 2sin AcosC = sin B cosC + sin C cos B = sin B + C ．
因为 A + B + C = π，所以 2sin AcosC = sin A．
π 1
因为 A 0, 2 ÷
，所以 sin A > 0，所以 cosC = ．
è 2
因为C
0, π π ÷，所以C = ，
è 2 3
a b 2sin 2π
é π ù
= - A÷ 2sin êπ - A + ÷ú 2sin
A π+
由正弦定理 ，得 ÷ ，
sin A sin B b 3= è 3 = è = è 3
sin A sin A sin A
3 sin A π +

所以 1 ÷S = ab ×sin C = è 3 3 3 ，= +
2 sin A 2 2 tan A
ì
0 < A
π
< ,
因为VABC
2 π π
是锐角三角形，所以 í < A <
2π π
解得 6 2 ，
0 < - A < ,
3 2
tan A 3 3 3 3
3
所以 > ，所以0 < < ，从而 S ,2 3 ÷ ．
3 2 tan A 2 è 2
13．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段
BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中 BC = 300m，CD = 800m， B 在 A 的北偏东 30°方向，
C 在A 的正北方向，D在A 的北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 处载上遇险游客
需要尽快抵达救生栈道B - C - D ，则最短距离为 m．(结果精确到 1 m)
【答案】 475
【分析】先在VABC 中求出 AC，再利用正弦定理，在△ADC 中求出 sin D ，进而转化到△ACE
中求解即可.
【详解】解：作 AE ^ CD 交于 E，由题意可得如图：
B = 90o , CAB = 30o , BC = 300m，
AB BC 300= = = 300 3m
所以 tan 30o 3 ，
3
AC BC= = 600m，
sin CAB
在△ADC 中，由正弦定理可得：
CD AC o
= sin D 3sin80= ，
sin ACD sin D 4
o
所以 cos 3sin80 EAD = 0.735，
4
所以 sin EAD 0.68，
cos CAE = cos(80o - EAD) 0.17 0.735 + 0.98 0.68 = 0.79135，
在直角△ACE中， AE = AC ×cos CAE AE = 600 0.79135 475，
故答案为：475.
14．（2024·福建莆田·二模）如图，点O是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心， l是过点O
的任一直线，将此正六边形沿着 l折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值
为 ．
【答案】6 3 - 9
【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基
本不等式求出最值即可.
【详解】
如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大，
1
此时，折叠后面积为正六边形面积的 2 与VPMN 面积的 3 倍的和.
由正六边形的性质和对称性知，PM + PN + MN =1， MPN =120o ，
在VPMN 中，由余弦定理可得：
MN 2 = 1- PM - PN 2 =PM 2 + PN 2 - 2 × PM × PN cos120o ，
得 2 PM + PN - PM × PN -1 = 0，
由基本不等式可知PM + PN 2 PM × PN ，则0 4 PM × PN - PM × PN -1，
故PM × PN - 4 PM × PN +1 0 ，
2
因0 < PM <1，0 < PN <1，解得PM × PN 2 - 3 = 7 - 4 3 ，
当且仅当PM = PN = 2 - 3时等号成立，
1 3
故 S oVPMN = PM × PN ×sin120 7 - 4 3 ，2 4
S 6 3 3 3又正六边形的面积 = = ，
4 2
3 1 3 3
所以折叠后的面积最大值为： 7 - 4 3 3+ = 6 3 - 9 .4 2 2
故答案为：6 3 - 9 .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的
状态，从而得解.
四、解答题
π
15．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 ABCD中， DAB = π， B = 6 ，且VABC 的2
外接圆半径为 4.
(1)若 BC = 4 2 ， AD = 2 2 ，求VACD的面积；
2π
(2)若D = ，求BC - AD 的最大值.
3
【答案】(1)4；
(2) 8 3 .
3
【分析】（1）在三角形 ABC 中，根据正弦定理求得 AC, CAB，再在三角形 ADC 中，利用
三角形面积公式即可求得结果；
（2）设 DAC = q ，在三角形 ADC, ABC 中分别用正弦定理表示BC, AD ，从而建立BC - AD
关于q 的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
π AC
【详解】（1）因为 B = ，VABC6 的外接圆半径为 4，所以 = 8，解得 AC = 4 .sin B
BC 4 2
在VABC 中， BC = 4 2 ，则 = = 8 2，解得 sin CAB = .
sin CAB sin CAB 2
又 CAB
0, π π ÷ ，所以 CAB = ；
è 2 4
π π
在VACD中， AC = 4， DAC = - CAB = ， AD = 2 2 ，
2 4
S 1 2所以 DACD = 4 2 2 = 4 .2 2
π
（2）设 DAC = q ，q 0, 3 ÷ .è
D 2π π又 = ，所以 ACD = -q .
3 3
π π
因为 DAB = ，所以 CAB = -q .
2 2
AC AD
在△DAC 中， AC = 4，由正弦定理得 = ，
sin D sin ACD
4 AD
=
即 3 sin π q ，解得 AD
8 3 sin π= -q
8 3 3 cosq 1÷ = - sinq ÷
2
-
3 ÷ 3 3 3 2 2
÷
è è è
4cosq 4 3= - sinq .
3
在VABC
AC BC
中， AC = 4，由正弦定理得 = ，
sin B sin CAB
4 BC
1 = π即 sin π q ，解得BC = 8sin

-q

÷ = 8cosq- ，
2 ÷è 2 è
2

BC AD 4 cosq 3

- = + sinq 8 3 sin q π 所以 3 ÷÷
=
3
+ ÷ .
è è 3
π π π 2π
又q 0, q + ,
è 3 ÷
，所以 ，
3 3 3 ֏
π π π π
当且仅当q + = q = sin
q + ，即 时， ÷取得最大值 1，3 2 6 è 3
8 3
所以BC - AD 的最大值为 .
3
16．（2023·湖北孝感·模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东 2
公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小
组为了测量汾阳文峰塔的实际高度 AB，选取了与塔底 B 在同一水平面内的三个测量基点 C，
D，E，现测得 BCD = 30°， BDC = 70°， BED =120°，BE =17.2m，DE =10.32m，在
点 C 测得塔顶 A 的仰角为62° .参考数据：取 tan 62° =1.88， sin 70° = 0.94，
144.9616 =12.04 .
(1)求BD；
(2)求塔高 AB （结果精确到 1m）.
【答案】(1) 24.08m
(2)85m
【分析】（1）在△BDE 中，由余弦定理即可得解；
（2）在△BCD中，先利用正弦定理求出BC ，再解Rt△ABC 即可.
【详解】（1）在△BDE 中，由余弦定理得BD2 = BE2 + DE2 - 2BE × DE ×cos BED，
则BD = 17.22 +10.322 - 2 17.2 10.32cos120°
= 579.8464 = 2 144.9616 = 2 12.04 = 24.08m；
BCD BD BC（2）在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin BCD sin BDC
BC BD ×sin BDC 24.08 0.94= = 1 = 45.27m则 sin BCD ，
2
在Rt△ABC 中， ACB = 62°，
所以 AB = BC × tan ACB = 45.27 1.88 = 85.1076 85m，
故塔高 AB 为 85m.
17．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为 1.7m）测
量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部 A 和瞰胜楼楼底 O 在同一水平线上，从测角仪顶点 C 处
测得楼顶 M 的仰角， MCE =16.5°（点 E 在线段 MO 上）．他沿线段 AO 向楼前进 100m 到
达 B 点，此时从测角仪顶点 D 处测得楼顶 M 的仰角 MDE = 48.5°，楼尖 MN 的视角
MDN = 3.5°（N 是楼尖底部，在线段 MO 上）．
(1)求楼高 MO 和楼尖 MN；
(2)若测角仪底在线段 AO 上的 F 处时，测角仪顶 G 测得楼尖 MN 的视角最大，求此时测角
仪底到楼底的距离 FO．
sin16.5°sin48.5° 2
参考数据： ， tan16.5
8
° ， tan48.5
8
° ， 40 35 37.4,
sin32° 5 27 7
【答案】(1) 41.7m ，5m
(2)FO 为 37．4m
100sin 48.5°
【分析】（1）法一：在VCDM 中，由正弦定理得，可得CM = ，进而求得ME，
sin 32°
MO，进而求得 CE，计算可求得楼离 MO 和楼尖 MN；
CE ME ME法二：利用 = ，DE = ，可求得 ME，进而计算可求得楼离 MO 和
tan MCE tan MDE
楼尖 MN；
（2）设FO = x m ， tan
40
MGE = ， tan NGE
35
= ，进而可得
x x
40 35
-
tan MGN = tan MGE - NGE = x x40 35 ，利用基本不等式可求得楼尖 MN 的视角最大1+ ×
x x
时 x 的值．
【详解】（1）法一： MCE =16.5°， MDE = 48.5°，∴ DMC = 32°．
CD sin CDM
在VCDM 中，由正弦定理得，CM = ，
sin DMC
100sin 180° - 48.5°
又CD =100m ∴ CM 100sin 48.5°， = = ．
sin 32° sin 32°
ME CM sin MCE 100sin 48.5°sin16.5°∴ = = = 40m ，
sin 32°
∴ MO = ME + EO = 40m +1.7m = 41.7m．
CE ME 40 40= = = =135
tan MCE tan16.5° 8 （m）．
27
∴ DE = CE - CD = 35m．
∵ NDE = MDE - MDN = 45°，∴ NE = DE = 35m ，MN = ME - NE = 5m ．
法二：CE
ME ME
= ，DE = ，
tan MCE tan MDE
∴ CE DE
ME ME
- = - =100，
tan MCE tan MDE
ME 27 7 即 - ÷ =100，∴ ME = 40m ，
è 8 8
∴ MO = ME + EO = 40m +1.7m = 41.7m．
CE ME 40 40= = = =135
tan MCE tan16.5° 8 m．
27
∴ DE = CE - CD = 35m．
∵ NDE = MDE - MDN = 45°，∴ NE = DE = 35m ，MN = ME - NE = 5m ．
（2）设FO = x m ， tan MGE
40 tan NGE 35 = ， = ，
x x
∴ tan
tan MGE - tan NGE
MGN = tan MGE - NGE =
1+ tan MGE × tan NGE
40 35
-
x x 5 5 5=
1 40 35
=
x 40 35
=
+ × + 2 x 40 35 2 40
，
35
x x x × x
x 40 35当且仅当 = ，即 x 37.4 时，等号成立．
x
∴测角仪底到楼底的距离 FO 为 37．4m 处时，测得楼尖 MN 的视角最大．
18．（2024·四川德阳·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sinB = 2 3cos2 A + C .
2
(1)求 B ；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 c =1，求VABC 面积的取值范围.
π
【答案】(1)
3
3 3
(2) ,8 2 ÷÷è
B 3
【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得 tan = ，即可
2 3
求得答案；
（2）利用正弦定理求出 a 的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用 VABC 为锐角三角形，
求出角 C 的范围，即可求得 a 的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.
2 A + C
【详解】（1）因为VABC 中， sinB = 2 3cos ，即
2
2sin B cos B 2 3 cos2 π - B 2 3 sin2 B= = ，
2 2 2 2
而0 < B < π,\sin
B B B
> 0，故 cos = 3 sin ，
2 2 2
B π
故 tan B 3= ，又0 < B < π,\0 < < ，
2 3 2 2
B π π
则 = ,\B = ；
2 6 3
（2）由（1 1 3）以及题设可得 S△ABC = ac sin B = a；2 4
c sin 2π - C c ÷ sin
2π cosC 2π- cos sin C
由正弦定理得 a c sin A
÷
= = è 3 = è 3 3
sin C sin C sin C
3 cosC 1+ sin C
= 2 2 3 1= + ，
sin C 2 tan C 2
因为VABC π π为锐角三角形， 0 < A < 2 ，
0 < C <
2 ，
0 2π π则 < - C < ,
π C π\ < < ，
3 2 6 2
tan C 3 , 0 1 3 1 3 1则 > \ < < ，则 < + < 2，
3 tan C 2 2 tan C 2
1
< a < 2 3即 ，则 < S 3VABC < ，2 8 2
3 3
即VABC 面积的取值范围为 ,8 2 ÷÷ .è
19．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，
已知b cos A = 3 - a cos B ， 2a sin C = 3 .
(1)求A .
(2)求VABC 面积的取值范围.
π
【答案】(1) A = ；
6
3 3
(2) ,
3
÷÷ .
è 8 2
【分析】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
2 c sin B 3 sin A + Cb 3 3（ ）利用正弦定理得 = = = + ，结合VABC 为锐角三角形，
sin C sin C 2 tan C 2
π π 3
求得 < C < ，进而求得 < b < 2，即可求解.
3 2 2
1 b
2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2
【详解】（ ）方法一：由余弦定理，得b = 3 - a ，解得 c = 3 .
2bc 2ac
a sin C 1
又 2a sin C = 3，所以由正弦定理，得 sin A = = . c 2
又V
π
ABC 为锐角三角形，所以 A = .
6
方法二：由题意知，bcos A = 2a sin C - a cos B .
由正弦定理得 sin B cos A = 2sin Asin C - sin Acos B ，
所以 sin B cos A + cos B sin A = 2sin Asin C ，
所以 sin B + A = 2sin Asin C ，即 sin C = 2sin Asin C ；
sin C 0 sin A 1 A 0,
π π
又因为 ，所以 = ，又因为 ÷ ，所以 A = .2 è 2 6
2 c sin B 3 sin A + C（ ）由正弦定理，得b = =
sin C sin C
3 sin AcosC + 3 cos Asin C 3 3
= = + ；
sin C 2 tan C 2
ì π
0 < C <
因为VABC
2
为锐角三角形，所以 í
0 B 5π π
，
< = - C <
6 2
π π 3
解得 < C < ，所以 tanC > 3，所以 < b < 2 .
3 2 2
c 3 S 1 bc sin A 3 3 3 3因为 = ，所以 △ABC = = b，所以 < S < .2 4 8 △ABC 2
3 3 3
故VABC 面积的取值范围为 ,8 2 ÷÷ .è
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·安徽铜陵·阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，
顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺 国泰民安”八个字，是全国重点文物保
护单位 国家 3A 级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度 MN，他在塔的正北方向找到
一座建筑物 AB，高为 7.5 m，在地面上点 C 处（B，C，N 在同一水平面上且三点共线）测
得建筑物顶部 A，镇国寺塔顶部 M 的仰角分别为 15°和 60°，在 A 处测得镇国寺塔顶部 M 的
仰角为 30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（参考数据： 3 1.73）
A．31.42m B．33.26m C．35.48m D．37.52m
【答案】C
6 AB
【分析】由已知，在△ACM 中应用正弦定理得MN = ，再由倍角余弦公式求
2 sin15°
sin15°，进而求镇国寺塔的高度.
【详解】在△ACM 中 ACM =105°, CAM = 45°，则 AMC = 30°，
AC MC AB
所以 = 3，而 ， AC = ，
sin 30 sin 45 MN = MC° ° 2 sin15°
6 AB 1- cos30° ( 3 -1)2 6 - 2
所以MN = ，又 sin15° = = = ，
2 sin15° 2 8 4
MN 6 7.5 4 15(3+ 3)则 = = 35.48m .
2 6 - 2 2
故选：C
2．（2023·贵州·二模）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已
知人眼距离地面高度 h =1.5m，某建筑物高 h1 = 4.5m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后
退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离 a1 =1.2m ，将镜子后移 a 米，重
复前面中的操作，则测量人与镜子的距离 a2 = 3.2m，则镜子后移距离 a 为（ ）
A．6m B．5m C．4m D．3m
【答案】A
【分析】设建筑物底部O到第一次观察时镜面位置 B 之间的距离为 a0，根据光线反射性质列
出关于 a0 , a, a1, a2 , h, h1 的方程组，求解即可.
【详解】
如图：设建筑物最高点为 A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为 B ，第一次观察时
人眼睛位置为 C 处，第二次观察时镜面位置为D，
设O到 B 之间的距离为 a0，
h1 h
由光线反射性质得 ABO = CBD ，所以 tan ABO = tan CBD，即 =a ，①0 a1
h1 h
同理可得 =a0 + a a
，②
2
a
①② 0
+ a a
= 2 a a1 ×a两式相比得 a a ，解得 0
=
0 1 a2 - a
，
1
h
① a 1 a2 - a1 4.5 3.2 -1.2 代入 得 = = = 6m，
h 1.5
故选：A．
3．（2023·广西柳州·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，已知
B = 60o ，b = 4 ，则VABC 面积的最大值为（ ）
A．3 3 B． 4 3 C．5 3 D．6
【答案】B
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得 ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可求
得VABC 面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得16 = b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + c2 - ac 2ac - ac = ac ，即
ac 16，
1 3 3
当且仅当 a = c = 4 时，等号成立，故 SVABC = ac sin B = ac 16 = 4 3 .2 4 4
因此，VABC 面积的最大值为 4 3 .
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 是锐角三角形，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，
b
b，c．若 a2 - b2 = bc ，则 的取值范围是（ ）a + c
3
A． ,
2
÷÷ B． 2 - 3,1 C．3 2 2 - 3, 2 -1 D． 2 +1, 3 + 2 è
【答案】C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到 sin B = sin(A - B)，结合VABC 为
π π b 1
锐角三角形，得到 A = 2B，故 < B < ，再利用正弦定理得到 = ，
6 4 a + c 4cos2 B + 2cos B -1
求出取值范围即可.
【详解】因为 a2 - b2 = bc ，得 a2 = b2 + bc ．
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
所以b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，即b = c - 2bcos A．
由正弦定理得 sin B = sinC - 2sin B cos A，
因为C = π - (A + B)，则 sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B，
所以 sin B = sin Acos B - cos Asin B ，即 sin B = sin(A - B)．
VABC 0 A π因为 是锐角三角形，所以 < < ，0
π π π
< B <
2 ，所以
- < A - B < ．
2 2 2
y sin x π , π= - 又 在 2 2 ÷上单调递增，所以B = A - B，则 A = 2B．è
因为V
π
ABC 是锐角三角形，所以0 < B < ，0 < A = 2B
π
< ，0
π
< C = π - 3B < ，
2 2 2
π π
所以 < B < ，
6 4
b sin B sin B sin B
由正弦定理得 = = =a + c sin A + sin C sin 2B + sin(π - 3B) sin 2B + sin 3B
sin B 1
= =
sin 2B + sin 2B cos B + cos 2B sin B 2cos B + 2cos2 B + 2cos2 B -1
1
= ，
4cos2 B + 2cos B -1
π π 2 3
令 cos B = t ，因为 < B < ，所以 t , ÷÷．6 4 è 2 2
2 2 3
y = 4t 2 + 2t -1 = 4 t
1 5+ ÷ - 在 t
è 4 4
, ÷÷上单调递增，
è 2 2
t 2当 = 时， y =1+ 2 3，当 t = 时， y = 2 + 3 ，
2 2
b 1 1 , 1 故 = = 2 - 3, 2 -1
a + c 4t 2 + 2t -1 è 2 + 3 1+ 2 ÷
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关
的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，
或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
二、多选题
5．（2022·广东佛山·一模）在VABC 中，A 、 B 、C 所对的边为 a、b 、 c，设BC 边上的中
点为M ，VABC 的面积为S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列选项正确的是（ ）
A p．若 A = 3 ，则 S = 3 3 B．S 的最大值为3 3
p
C． AM = 3 D．角A 的最小值为
3
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断 A 选项的正误；利用基本不等式结合
三角形的面积公式可判断 B 选项的正误；利用余弦定理可判断 C 选项的正误；利用余弦定
理结合基本不等式可判断 D 选项的正误.
【详解】对于 A，由余弦定理可得12 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 24 - bc ，得bc =12 ，
S 1故 = bcsin A = 3 32 ，
A 对；
对于 B，由基本不等式可得 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
当且仅当b = c = 2 3 时，等号成立，
b2 + c2 - a2 24 -12 6
由余弦定理可得 cos A = = = ，
2bc 2bc bc
则 S
1
= bc sin A 1= bc 1 1 1- cos2 A = bc 2 - 36 122 - 36 = 3 3 ，B 对；
2 2 2 2
对于 C，Q AMB + AMC = p ，则 cos AMB = cos p - AMC = -cos AMC ，
2 2
AM 2 a+ - c2 AM 2 a+ - b2
由余弦定理可得 cos AMB = 4 ， cos AMC = 4 ，
AM × a AM × a
AM 2 a
2 a2
+ - c2 AM 2 + - b2 b2 + c2 a2
所以， 4 = - 4 ，整理可得 AM
2 = - = 9 ，
AM × a AM ×a 2 4
则 AM = 3，C 对；
b2 + c2D - a
2 12 12 1
对于 ，由余弦定理可得 cos A = = 2 2 = ，2bc 2bc b + c 2
当且仅当b = c = 2 3 时，等号成立，
因为 A 0,p 且函数 y = cos x在 0,p p上单调递减，故0 < A ，D 错.
3
故选：ABC.
6．（2022·河北沧州·模拟预测）在VABC 中，三边长分别为 a，b，c，且 abc = 2，则下列结
论正确的是（ ）
A．a2b < 2 + ab2 B．ab + a + b > 2 2
C．a + b2 + c2 4 D．a + b + c 2 2
【答案】ABC
【分析】根据题意得 ab(a - b) < 2 = abc，结合边的关系即可判断 A；根据边的关系及基本不
等式即可判断 BC；用边长为1, 2, 2 的三角形的周长判断 D
【详解】对于 A，a2b < 2 + ab2，即a2b - ab2 < 2，也就是 ab(a - b) < 2 = abc，
另一方面，在VABC 中，ab > 0,a - b < c ，则ab(a - b) < abc成立，故 A 正确；
对于 B，ab + a + b > ab + c 2 abc = 2 2 ，故 B 正确；
对于 C，a + b2 + c2 a + 2bc 2 2abc = 4，当且仅当 a = 2b = 2c = 2时取等号，故 C 正确；
对于 D，边长为1, 2, 2 的三角形，满足 abc = 2，但a + b + c = 1+ 2 2 > 2 2 ，故 D 错
误．
故选：ABC．
三、填空题
7．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 AO 通过路口O后转向
西北方向OB，围绕道路OA,OB打造了一个半径为 2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区
相切的观光道MN ，则MN 的最小值为 km．
【答案】 4 2 + 4
2
【分析】在VOMN 中，利用余弦定理结合基本不等式可得MN 2 + 2 ab ，利用正弦定
4
理可得 ab = sinasin 45° -a ，利用三角函数的有界性建立不等式，即可求解.
【详解】如图，设切点为 P ，连接OP．由题意得 MON =135°，
设OM = akm,ON = bkm ，
在VOMN 中，
MN 2 = a2 + b2 - 2ab cos135°
= a2 + b2 + 2ab 2 + 2 ab ,
当且仅当 a = b时取等号．
设 OMN = a ，则 ONM = 45° -a ，
2 2
所以 a = ,b =sina sin 45° -a ，
4
故 ab = sinasin 45° -a
16 16
=
2sin 2a + 45° - 2 2 - 2
（当且仅当a = 22.5°时取等号），
16 2 + 2
所以MN 2 =16( 2 +1)2 ，
2 - 2
解得MN 4 2 +1 ，所以MN 的最小值为 4 2 + 4 km．
故答案为： 4 2 + 4 .
8．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面四边形 ABCD中，
AB = 2, DA × DC = 6, ABC 2π= , ACB π= ，则四边形 ABCD的面积的最大值为 ．
3 6
【答案】6
【分析】在VABC 中，利用正弦定理可得 AC = 2 3，进而可求得VABC 的面积 S△ABC = 3，
π
在VACD中，由余弦定理可得 ADC ，进而可得VACD的面积 S△ACD 3，即可得结果.2
V AC AB【详解】在 ABC 中，由正弦定理 = ，可得
sin ABC sin ACB
3
AC AB sin ABC
2
= = 2 = 2 3 ，
sin ACB 1
2
所以VABC 1 1 3的面积 S△ABC = AC × BC sin ACB = 2 3 2 = 3；2 2 2
2 2 2 2
在VACD cos AD + DC - AC 2AD × DC - AC 12 -12中，由余弦定理 ADC = = = 0，
2AD × DC 2AD × DC 12
当且仅当 AD = DC = 6 时，等号成立，
π
即 cos ADC 0 ，且 ADC 0, π ，则 ADC 0,
ù
，
è 2 ú
1
所以VACD的面积 S△ACD = AD × DC sin ADC
1
6 1 = 3；
2 2
显然当 B、D 位于直线 AC 的两侧时，四边形 ABCD 的面积较大，
此时四边形 ABCD的面积 SABCD = S△ABC + S△ACD 3+ 3 = 6 .
所以四边形 ABCD的面积的最大值为6 .
故答案为：6.
【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点
（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；
（2）结合三角恒等变换、三角函数以及基本不等式分析运算．
四、解答题
9．（2024·山西·一模）VABC 中角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，其面积为S ，且
4S = b2 + c2 - a2 .
(1)求A ；
(2)已知 a = 2 2 ，求S 的取值范围.
π
【答案】(1) A =
4
(2) 0 < S 2 2 + 2
π
【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解 tan A =1，进而可求解 A = ，
4
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）因为三角形的面积为 4S = b2 + c2
1
- a2 = 4 bcsin A
2 ，
b2 + c2 - a2
则 sin A = = cos A，
2bc
所以 tan A =1，又 A (0, π) A
π
，则 = ；
4
2 2 2
2 cos A b + c - a 2（ ）由于 = = ，所以b2 + c2 - 8 = 2bc 2bc - 8，
2bc 2
即 2 - 2 bc 8 bc 8 + 4 2 ，b = c 取等号，
S 1 bc sin A 1 2 bc 1 2故 = = 8 + 4 2 = 2 2 + 2 ，2 2 2 2 2
故0 < S 2 2 + 2
10．（2024·全国·模拟预测）在① 2 - sinA cosB -1 = cosAsinB - 2cosBsinC ；②
2a - c cosB = bcosC 两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在VABC
中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且______．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若点D满足BD = 2BC ，且线段 AD = 3，求VABC 面积的最大值．
π
【答案】(1) B = 3
(2) 9 3
8
【分析】（1）①由三角恒等变换可得；②由正弦定理和正弦展开式可得；
9
（2）由余弦定理和基本不等式求出 ac ，再求出面积最值即可.
2
【详解】（1）选①，
2cosB -1 = sinAcosB + cosAsinB - 2cosBsinC = sin A + B - 2cosBsinC = 1- 2cosB sinC ，
所以 1+ sinC 2cosB -1 = 0．
1
因为1+ sinC 0 ，所以 2cosB -1 = 0，即 cosB = ，0 < B < π ，
2
B π所以 = 3 ．
选②．由 2a - c cosB = bcosC 及正弦定理得 sinBcosC = 2sinA - sinC cosB ，
所以 2sinAcosB = sinBcosC + cosBsinC = sin B + C = sinA．
因为A ，B 0, π ，所以 sinA > 0，
所以 cosB
1
= ,0 < B < π ，
2
B π所以 = 3 ．
（2）如图，
uuur uuur
点D满足BD = 2BC ，则BC = CD ，故BD = 2a ，又 AD = 3，
AD2 = c2故 + 2a 2 π- 2c ×2a ×cos = c2 + 4a2 - 2ac = 9，
3
2 2 9即 c + 4a - 9 = 2ac 4ac - 9，即 ac ，当且仅当 c = 2a = 3时，取等号，2
S 1 9 3 9 3故 VABC = acsinB ，即VABC 面积的最大值为 ．2 8 8
11．（2023·四川达州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，
b c a 3a
+ = + .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面积S 的最小值.
【答案】(1) 12
(2) 2
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出 2sinBsinC = cosBcosC ，即可
求得 tan B tan C的值；
（2）分析可知 B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出
tan A - 2 ，求出 sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.
b c a 3a
【详解】（1）解：Q + = + ，
cosB cosC cosA cosBcosC
\ bcosC + ccosB cosA = a cosBcosC + 3cosA .
由正弦定理得 sinBcosC + cosBsinC cosA = sinA cosBcosC + 3cosA .
\sin B + C cosA = sinA cosBcosC + 3cosA .
因为0 < A < π ，则 sin A > 0，
Q A + B + C = π ， sin B + C = sinA，
则 cosA = -cos B + C = sinBsinC - cosBcosC ，
所以， cos A = cos B cosC + 3cos A，即 2cos A + cos B cosC = 0，
所以， 2 sinBsinC - cosBcosC + cos B cosC = 0，
\2sinBsinC = cosBcosC ，即 tanBtanC
1
= .
2
（2）解：由（1）得 tanBtanC
1
= .
2
ìtan B < 0
若 í Btan C 0，则 、
C 均为钝角，则B + C > π ，矛盾，
<
所以， tan B > 0， tan C > 0，此时 B 、C 均为锐角，合乎题意，
\ tanA = -tan B + C tanB + tanC= = -2 tanB + tanC -4 tanBtanC = -2 2 ，
tanBtanC -1
当且仅当 tanB 2= tanC = 时，等号成立，且A 为钝角.
2
Q tan A -2 2 ，则 tan π - A 2 2 ，且 π - A为锐角，
ì sin π - A
tan π - A = 2 2
cos π - A
由 ísin2 π - A + cos2 π - A =1 sin π A 2 2 2 2，解得 - ，即 sin A ，

cos π - A > 0
3 3
sin π - A > 0
当且仅当 tanB = tanC 2= 时，等号成立，
2
Qbc = 3 S 1 bc sin A 3 sin A 3 2 2，\ = = = 2 .
2 2 2 3
因此，VABC 面积的最小值为 2

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