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第四单元 比
（知识梳理+专项练习）
分数乘法
(一)、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
例如 15 ：10 = 15÷10=(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)
15 ∶ 10 ＝
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项 比号“：” 后 项 比值
除 法 被除数 除号“÷” 除 数 商
分 数 分 子 分数线“—” 分 母 分数值
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①两个整数比：用比的前项和后项同时乘分母的最大公因数。
②两个分数比：用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法化简。
③两个小数比：比的前项和后项同时向右移动小数点的位置，要移几位都移几位，先化成整数比再化简。
④一个分数和一个整数的比：分数和整数同时乘分数的分母，把分数化成整数再化简。
⑤一个小数和一个分数的比：先把小数化成分数（能约分的先约分），再按化简分数比的方法化简。
(2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。
6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法
１，用分率（分数）解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分数。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。
2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。
分数乘法
一、选择题
1．小圆和大圆的半径分别是2厘米和5厘米，小圆与大圆的面积之比是（ ）
A．2：5 B．4：10 C．4：25 D．2：10
2．男生与女生的比是5∶3，女生比男生少16人，男生有（ ）人。
A．40 B．8 C．24
3．如果已行的路程和未行的路程的比是4:5，那么未行的路程是全程的（ ）．
A． B． C．
4．小刚把一包糖果分给军军和亮亮，按3:5与按7:9来分，结果（ ）．
A．按3:5来分军军分得多 B．按7:9来分军军分得多 C．两种分法军军分得同样多
5．如图所示，平行线间的三角形与平行四边形的面积比是（ ）．
A．1:1 B．1:2 C．2:1
6．如下图，妹妹和哥哥身高最简整数比是（ ）。
A．1∶160 B．1∶1.6 C．8∶5 D．5∶8
二、填空题
7．甲、乙、丙三个数的平均数是12，甲∶乙∶丙＝3∶4∶5，甲数是( )，乙数是( )，丙数是( )。
8．一辆汽车小时行驶了200千米，这辆汽车行驶的路程与时间的最简整数比是( )，比值是( )。
9．六一班有男生25人，女生20人，男生人数和女生人数的比是( )，比值是( )。
10．8︰9读作( )，这个比也可以写成( )．
11．黑狗的数量是白狗的，黑狗数量与白狗数量的比是( )∶( )。
12．一个等腰三角形顶角和一个底角度数比是5∶2，这个三角形的一个底角是( )度，按角分它又是一个( )三角形。
13．一个三角形，内角之比是1：1：3，这个三角形按边分是( )三角形，按角分是( )三角形．
14．一个长方形的周长为48cm，它的长与宽的比是7∶5，这个长方形的宽是( )厘米，面积是( )平方厘米。
15．如图，两个正方形边长的比是4∶3，其中小正方形的面积是( )cm2。
16．的前项加上14，要使比值不变，后项应该加上( )。
17．一个比是∶x，当x＝( )时，比值是1；当x＝( )时，比值是；当x＝( )时，这个比无意义。
三、判断题
18．一杯糖水，糖与水的比是1∶14，小明喝掉一半后，糖与水的比是1∶7。( )
19．在3∶8中，前项加上9，要保持比值不变，后项需要扩大到原来的3倍。( )
20．两个正方体的棱长比是3∶4，则它们表面积的比是6∶8，体积的比是9∶12。( )
21．走同一段路，甲需要3小时，乙需要4小时，甲、乙两人所需时间比是3∶4，速度比是4∶3。( )
22．行一段路，已行了全程的，未行的与已行的路程的比为1∶2。( )
四、计算题
23．把下面各比化成最简单的整数比，并求比值。
五、作图题
24．在下面的方格图中按要求画图。（每个小方格的边长都是1厘米）
（1）把下面方格图中的三角形分成3个三角形，使这3个三角形的面积比是1∶2∶3.
（2）在方格图上画一个长方形，周长是18cm，长与宽的比是5∶4，并标出相关数据。
六、解答题
25．社区把土豆、包菜和白萝卜按6∶8∶11搭配成“爱心菜”，发放给居民。如果一份“爱心菜”质量为5千克，那么土豆、包菜和白萝卜各有多少千克？
一批零件，师傅单独加工需要50天完成，徒弟单独加工需要75天完成，现师徒两人共同加工，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个，这批零件共有多少个？
甲乙两桶油，甲桶油和乙桶油重量的比是6∶5，若从甲桶取出5千克放入乙桶，两桶油就一样重了。两桶油原来各重多少千克？
修路队修一条长140米的公路，已经修了5天，已修的长度和剩下的比是4∶3。这条路还剩下多少米没有修？
一辆客车与一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。已知客车和货车的速度比是9∶7，两车出发3小时后，在距离两地中点25千米处相遇。甲、乙两地相距多少千米？
师徒二人加工一批零件，师傅单独加工需12天完成，先师傅和徒弟一起加工7天，师傅因事离开，徒弟还需3天才能完成全部工程。那么，徒弟单独做完成全工程需多少天？
生产一批零件，经过检验，合格个数与不合格个数的比7：1，后经过二次检验，发现又有10个不合格，这时合格个数与不合格个数的比为5：1．这批零件一共有多少个？
32．配制一种喷洒果树的药水，农药和水的质量比是1 :200．如果有2 kg的农药，需要加多少千克的水？如果有2010kg的药水，里面有多少千克的水？
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参考答案：
1．C
【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出大小圆的面积，然后求比，再根据比的基本性质化简比。
【详解】小圆的面积是：π×22＝4π，
大圆的面积是：π×52＝25π，
小圆面积和大圆面积的比是：4π∶25π＝4∶25；
故答案为：C
【点睛】解答本题关键是利用圆的面积公式求出大小圆的面积，然后求出再化简比。
2．A
【分析】由男生与女生的比是5∶3可知，男生人数有5份，女生人数有3份，女生人数比男生人数少2份，女生比男生少16人，先用16÷2求出每一份的人数，再乘5即可求出男生人数。
【详解】16÷（5－3）×5
＝16÷2×5
＝8×5
＝40（人）
所以男生有40人。
故答案为：A
【点睛】本题重点考查比的应用，根据题目条件用“归一法”先求出每一份的量是多少，再用每一份的量乘所求的量对应的份数即可求解。
3．C
4．B
5．B
6．D
【分析】先统一单位，再根据比的意义写出妹妹和哥哥身高的比，然后再化成最简整数比，求出比值即可。
【详解】1米＝100厘米
100厘米∶160厘米
＝（100÷20）∶（160÷20）
＝5∶8
则妹妹和哥哥身高最简整数比是5∶8。
故答案为：D
【点睛】此题是考查化简比，不同单位的名数比，解题的关键是化成相同单位。
7． 9 12 15
【分析】先根据三个数的平均数计算出三个数的和，再根据比的应用计算出甲、乙、丙三个数各是多少。
【详解】12×3＝36
甲：36×＝9
乙：36×＝12
丙：36×＝15
【点睛】掌握比的应用的解题方法是解答题目的关键。
8． 80∶1 80
【分析】根据题意，可知路程是200千米，时间是小时，据此直接写出路程和时间的对应比，进而化简成最简整数比；再用最简比的前项除以后项即得比值。
【详解】200∶
＝（200÷2.5）∶（5÷2.5）
＝80∶1
200∶
＝200
＝80
则这辆汽车行驶的路程与时间的最简整数比是80∶1，比值是80。
【点睛】此题考查根据题意写比、化简比以及求比值的方法的运用。
9． 5∶4
【分析】（1）用男生的人数比女生的人数，再根据比的基本性质化简即可；
（2）用男生的人数除以女生的人数求出比值。
【详解】（1）25∶20
＝（25÷5）：（20÷5）
＝5：4
（2）25÷20
＝
所以男生人数和女生人数的比是5∶4，比值是。
10． 8比9
11． 4 5
【分析】比与除法密不可分，都能表示两个量之间的“倍数关系”。比有两种表示形式一种是比号形式，一种是分数形式。
【详解】黑狗的数量是白狗的，黑狗数量与白狗数量的比是4∶5。
【点睛】本题先用分数叙述两个数量间的倍比关系，只要两个数量相除的分数有意义，就可以用比表示它们相除的关系。
12． 40° 钝角
【分析】根据题意，一个等腰三角形顶角和一个底角度数比是5∶2，说明另一个底角的份数也是2份，三角形的顶角与底角的比是5∶2∶2，根据三角形的内角和是180°，把180°按5∶2∶2的比进行比例分配即可。
【详解】180°×＝100°
180°× ＝40°
通过计算分析，最大的角是100度，是一个钝角，这是一个钝角三角形，底角是40°。
【点睛】此题考查了根据角对三角形分类的方法。
13．等腰，钝角
【详解】试题分析：因为这个三角形，内角之比是1：1：3，所以此三角形有两条边相等，故此三角形是等腰三角形；然后根据三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配求得份数最大的角即可．
解：因为内角之比是1：1：3，所以此三角形有两条边相等，故此三角形是等腰三角形；
180×=180×=108（度），
此三角形是钝角三角形；
故答案为等腰，钝角．
点评：此题根据等腰三角形的特点进行分析，然后利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题．
14． 10 140
【分析】已知长方形周长，可得出长与宽的和。因为长与宽的比例已知，将其比例相加得出总份数。用长与宽的和除以总份数，得到一份的长度。再根据宽所占份数乘以一份的长度，就能得出宽的长度。知道长和宽后，两者相乘可得长方形面积。
【详解】长＋宽＝48÷2＝24（厘米）
总份数：7＋5＝12（份）
一份的长度：24÷12＝2（厘米）
宽：2×5＝10（厘米）
长：2×7＝14（厘米）
面积：14×10＝140（平方厘米）
这个长方形的宽是10厘米，面积是140平方厘米。
15．36
【分析】根据题意，两个正方形边长比是4∶3，可知它们相差1份量，由图可知边长差是2cm，也就是1分量是2cm，对应小正方形的边长是3份，3乘2cm求出小正方形的边长，再根据：正方形的面积＝边长×边长，计算出面积即可。
【详解】根据分析，边长：2×3＝6（cm）
面积：6×6＝36（cm2）
所以，小正方形的面积是36cm2。
【点睛】此题考查了比的应用，关键能结合条件找出1份量再求面积。
16．30
【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。据此填空即可。
【详解】（7＋14）÷7
＝21÷7
＝3
15×3－15
＝45－15
＝30
则要使比值不变，后项应该加上30。
【点睛】本题考查比的基本性质，熟记比的基本性质是解题的关键。
17． 1 0
【分析】根据“比的前项∶比的后项＝比的前项÷比的后项＝比值”可推导出：比的后项＝比的前项÷比值。据此用÷1可求出比值是1时，∶x的后项x的值；用÷可求出比值是时，∶x的后项x的值。
比的后项相当于除法算式中的除数，相当于分数中的分母，因数除数不能为0，分数中的分母不能为0，所以比的后项也不能为0。即当比的后项等于0时，比无意义。
【详解】÷1＝，所以当x＝时，比值是1；
÷＝×＝1，所以当x＝1时，比值是；
因为比的后项不能为0，所以当x＝0时，这个比无意义。
18．×
【分析】根据题意，糖与水的比是1∶14，即糖占1份，水占14份；喝掉一半，糖和水的份数同时除以2，根据比的基本性质可知，糖与水的比不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
【详解】（1÷2）∶（14÷2）＝1∶14
一杯糖水，糖与水的比是1∶14，小明喝掉一半后，糖与水的比不变，还是1∶14。
原题说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
比的前项3加9得12，即前项扩大到原来的4倍，根据比的基本性质，比的后项也要扩大到原来的4倍，据此判断。
【详解】前项相当于扩大到原来的：
（3＋9）÷3
＝12÷3
＝4
在3∶8中，前项加上9，要保持比值不变，后项需要扩大到原来的4倍。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】灵活运用比的基本性质是解题的关键。
20．×
【分析】假设两个正方体的棱长之比是，那么它们的表面积之比是，它们的体积之比是，据此解答。
【详解】两个正方体的棱长比是3∶4，则它们表面积的比是9∶16，体积的比是27∶64。
故答案为：×
【点睛】掌握正方体的棱长之比和它们表面积、体积之比的关系是解答题目的关键。
21．√
【分析】把路程看作单位“1”，分别求出甲、乙的速度，即可得出答案，然后用甲的时间比乙的时间，再根据比的基本性质化成最简比即可。
【详解】（1÷3）∶（1÷4）
＝∶
＝（×12）∶（×12）
＝4∶3
则甲、乙两人速度比是4∶3。故题干说法正确。
【点睛】解答此题的关键是，根据题意找出对应量，再根据比的基本性质，化成最简整数比即可。
22．√
【分析】把这条路全长看作单位“1”，已行了全程的，未行驶的占这条路全长的（1－），据此计算。
【详解】（1－）∶＝∶＝（×3）∶（×3）＝1∶2
故答案为：√
【点睛】计算出未行驶的部分占全长的分率是解答题目的关键。
23．
【分析】（1）根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变；
（2）用比的前项除以后项即可。
【详解】
＝（0.5×100）∶（1.25×100）
＝50∶125
＝（50÷25）∶（125÷25）
＝2∶5
＝2÷5
＝
＝（×4）∶（×4）
＝6∶3
＝（6÷3）∶（3÷3）
＝2∶1
＝2÷1
＝2
＝（121÷11）∶（11÷11）
＝11∶1
＝11÷1
＝11
24．见详解
【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2，如果高相等，那么3个三角形底的比是1∶2∶3，即3个三角形的底边长是1厘米，2厘米，3厘米。据此解答。
（2）根据长方形周长＝（长＋宽）×2，用18除以2，进行分配，分别求出长和宽，即可解答。
【详解】如图：
25．土豆有1.2千克，包菜有1.6千克，白萝卜有2.2千克
【分析】土豆、包菜和白萝卜质量的比6∶8∶11，把土豆看作6份，包菜看作8份，白萝卜11份，已知一份“爱心菜”质量为5千克，据此可用5÷（6＋8＋11）求出每份是多少千克，进而求出6份，8份，11份是多少千克。
【详解】5÷（6＋8＋11）
＝5÷25
＝0.2（千克）
土豆：0.2×6＝1.2（千克）
包菜：0.2×8＝1.6（千克）
白萝卜：0.2×11＝2.2（千克）
答：土豆有1.2千克，包菜有1.6千克，白萝卜有2.2千克。
【点睛】本题主要考查了按比分配问题，求出每份是多少是解题的关键。
26．600个
【分析】先算出两人单独的工作效率，用单位“1”除以工作效率之和可以算出合作完成所用的时间；再用两人的工作效率分别乘工作时间算出两人的工作量，120个对应的分率是工作量之差，用120除以工作量之差即可算出零件个数。
【详解】师傅的工作效率：1÷50＝
徒弟的工作效率：1÷75＝
师徒合作时间：
（天）
（个）
答：这批零件共有600个。
27．甲桶油原来重110千克，乙桶油原来重100千克。
【分析】若从甲桶取出5千克放入乙桶，所以两桶油的总量不变，由“甲桶油和乙桶油重量的比是6∶5”，得甲桶油是两桶油总量的，后取出5千克后，两桶油就一样重了，由此即可解答。
【详解】5÷（﹣），
＝5，
＝110（千克）；
110﹣5×2，
＝110﹣10，
＝100（千克）；
答：甲桶油原来重110千克，乙桶油原来重100千克。
【点睛】找准单位“1”，统一单位“1”，用单位“1”对应的数量除以对应的分数即可。
28．60米
【分析】把已修长度看作4份，剩下长度看作3份，剩下长度占总长度的，把总长度看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
【详解】
＝140×
＝60（米）
答：这条路还剩下60米没有修。
【点睛】本题考查按比分配的问题，注意有效数学信息的筛选。
29．400千米
【分析】由“客车速度与货车速度的比为9∶7”可知，相同时间内，客车行驶路程与货车行驶路程的比也为9∶7， 客车比货车多行驶了25×2＝50千米，用多行驶的米数除以多出的份数求出每份是多少千米，再乘总份数即可求出总路程。
【详解】因为客车速度与货车速度的比为9∶7，所以客车行驶路程与货车行驶路程的比为9∶7；
（25×2）÷（9－7）×（9＋7）
＝50÷2×16
＝25×16
＝400（千米）；
答：甲、乙两地相距400千米。
【点睛】明确客车行驶路程与货车行驶路程的比以及求出每份是多少千米是解答本题的关键。
30．24天
【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间；把这批零件的总量看作单位“1”，用1÷12，求出师傅的工作效率；再根据工作总量＝工作效率×工作时间，用师傅的工作效率×7，求出师傅7天的工作量，再用1－师傅7天的工作量，求出徒弟的工作量，再用徒弟的工作量÷徒弟的工作时间，即可求出徒弟的工作效率，再用工作总量÷徒弟的工作效率，即可求出徒弟单独完成全工程需要的时间。
【详解】（1－×7）÷（7＋3）
＝（1－）÷10
＝÷10
＝×
＝
1÷
＝1×24
＝24（天）
答：徒弟单独完成全工程需要24天。
【点睛】求出徒弟的工作效率是解答本题的关键。
31．240
【详解】试题分析：根据题意，合格个数占总个数的=，发现又有10个不合格后，合格个数占总个数的=，那么10个占总个数的（﹣），则这批零件一共有10÷（﹣），解决问题．
解：10÷（﹣），
=10÷（﹣），
=10÷，
=240（个）；
答：这批零件一共有240个．
点评：此题解答的关键是求出10个零件占总个数的几分之几，进而解决问题．
32．2000kg
【详解】水：2÷＝400(kg)
水：2010÷(1＋200)×200
＝2000(kg)
或：2010×＝2000(kg)
答案第1页，共2页
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