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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第一章 有理数
1.2.3 相反数
学习目标
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
2.会求有理数的相反数.
重点：会求有理数的相反数.
难点：借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
老师告诉你
（1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同.
（2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在.
（3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数.
（4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等.
（5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0.
知识点拨
知识点1 相反数的概念及表示方法
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零
1.只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想）
2.表示相反数的两个点在数轴上分别位于原点的左、右两边，且到原点的距离相等.（几何意义）
【新知导学】
例1-1．-2023的相反数是（　　）
A. B. -2023
C. D. 2023
【对应导练】
1．2023的相反数是（　　）
A. 2023 B. -2023
C. D. ±2023
2．下列说法中，正确的是（　　）
A. -1和+1互为相反数 B. 1是相反数
C. 1是|-1|的相反数 D. -1是相反数
3．如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 4
4．若a与2互为相反数，则a的值为 _____．
知识点2 相反数的性质
（1）任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是0.
（2）若a，b互为相反数，则a＝-b或b＝-a或a+b＝0.
【新知导学】
例2-1．如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（　　）
A. +a和-（-a）互为相反数
B. +a和-a一定不相等
C. -a一定是负数
D. -（+a）和+（-a）一定相等
【对应导练】
1．如果x与y互为相反数，那么下列各组数中不一定互为相反数的是（　　）
A. -x与-y B. 2x与2y
C. x2与y2 D. 与
2．一个数的相反数是它本身，则该数为（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在
3．如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是_____．
4．若a-5和-7互为相反数，求a的值．
知识点3 多重符号的化简
（1）一个具体数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数.
（2）用字母表示数，只需在字母前面加上“-”号，就可以得到对应的相反数.
多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正
【新知导学】
例3-1．化简下列各数：
（1）-（+54）；
（2）-（-13.2）；
（3）-（+）；
（4）-（-3）．
【对应导练】
1.在，，，中，正数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.化简：__________，_________，_______
二、题型训练
1.求一个数的相反数
1．如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，那么数轴上a，b所对应的点之间相差个__________单位长度.
2．2024的相反数为( )
A.2024 B. C. D.
3．如图,这是小甲同学和小乙同学的对话.
小乙同学提出的问题的答案为( )
A.2024 B. C. D.
2.多重符号化简
4．化简下列各数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）.
5．(1)已知，求x的相反数.
(2)已知与-6互为相反数，求的值.
6．已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图所示.
（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置；
（2）若数b对应的点与其相反数对应的点相距20个单位长度，求b的值；
（3）在（2）的条件下，若数a对应的点与数b的相反数对应的点相距5个单位长度，求a的值.
7．若点A，B，C，D分别表示，，，，点E，F分别表示与的相反数，请画出数轴并在数轴上标出点A，B，C，D，E，F.
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．-5的相反数是( )
A. B. C.5 D.-5
2．如图，数轴上点A表示的数的相反数是( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
3．若一个数的相反数是它本身，则这个数为( )
A.0 B.1 C.-1 D.不存在
4．下列计算结果为5的是( )
A. B. C. D.
5．下列各组数中，互为相反数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6．若，则a的值是( )
A. B. C.2 D.
7．下列说法中正确的个数为( )
符号不相同的两个数互为相反数；
一个数的相反数一定是负数；
两个相反数的和等于0；
若两个数互为相反数,则这两个数一定一正一负.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．如图，数轴上有A，，，四个点，其中表示互为相反数的点是( )
A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．的相反数是________.
10．若，则________________.
11．若-1与互为相反数，则x的值为_______
12．下列各组式子：①与，②与，③与，④与，互为相反数的有__________.
13．用“”与“”表示一种法则：，，如，则___________.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（6分）写出下列各数的相反数.
4，，，，0，.
15．（9分）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上.
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为__________；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为__________；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置.
16．（8分）五个同学在一起讨论相反数的问题：
A同学说：-0.02是相反数；
B同学说：0.02和-0.02都是相反数；
C同学说：-0.02是0.02的相反数；
D同学说：0.02是-0.02的相反数；
E同学说：0.02与-0.02互为相反数.
你认为___________同学的说法正确.哪些同学的说法不正确？并说明理由.
17．（8分）化简下列各数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
18．（9分）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示.
(1)在数轴上表示出a的相反数的位置;
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少
(3)在(2)的条件下，若数b表示的点与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少
19．（8分）小李在做数学题时,画了一条数轴,在数轴上原有一点,其表示的数是,由于粗心,把数轴的原点标错了位置,使点正好落在表示的相反数的点的位置上, 想一想,要把数轴画正确,原点要向哪个方向移动几个单位长度
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第一章 有理数
1.2.3 相反数
学习目标
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
2.会求有理数的相反数.
重点：会求有理数的相反数.
难点：借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
老师告诉你
（1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同.
（2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在.
（3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数.
（4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等.
（5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0.
知识点拨
知识点1 相反数的概念及表示方法
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零
1.只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想）
2.表示相反数的两个点在数轴上分别位于原点的左、右两边，且到原点的距离相等.（几何意义）
【新知导学】
例1-1．-2023的相反数是（　　）
A. B. -2023
C. D. 2023
【答案】D
【解析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
解：-2023的相反数为2023．
故选：D．
【点拨】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，熟练掌握相反数的概念是解题的关键。
【对应导练】
1．2023的相反数是（　　）
A. 2023 B. -2023
C. D. ±2023
【答案】B
【解析】根据互为相反数的两数之和为0和只有符号不同的两个数是相反数进行判断即可．
解：2023的相反数是-2023；
故选：B．
【点拨】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，熟练掌握相反数的概念是解题的关键。
2．下列说法中，正确的是（　　）
A. -1和+1互为相反数 B. 1是相反数
C. 1是|-1|的相反数 D. -1是相反数
【答案】A
【解析】根据绝对值和相反数的定义逐一判断即可．
解：A．-1和+1互为相反数，正确，选项符合题意；
B．1是-1的相反数，原说法错误，选项不符合题意；
C．-1是|-1|的相反数，原说法错误，选项不符合题意；
D．-1是1的相反数，原说法错误，选项不符合题意；
故选：A．
3．如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】关键：是找出原点位置．理解相反数在数轴上的几何意义，即两数分布在原点的左右两侧，一正一负，且等距．点A到点B之间共六格，所以原点在点A右边的第3格（也可以说是在点B左边第3格）．
解：因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A右边的第3格，得出点C在原点的右边第1格，所以点C对应的数是1．
故选：C．
4．若a与2互为相反数，则a的值为 _____．
【答案】-2
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．
解：∵a与2互为相反数，
∴a=-2．
故答案为：-2．
知识点2 相反数的性质
（1）任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是0.
（2）若a，b互为相反数，则a＝-b或b＝-a或a+b＝0.
【新知导学】
例2-1．如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（　　）
A. +a和-（-a）互为相反数
B. +a和-a一定不相等
C. -a一定是负数
D. -（+a）和+（-a）一定相等
【答案】D
【解析】根据相反数的定义去判断各选项．
解：A、+a和-（-a）互为相反数；错误，二者相等；
B、+a和-a一定不相等；错误，当a=0时二者相等；
C、-a一定是负数；错误，当a=0时不符合；
D、-（+a）和+（-a）一定相等；正确．
故选：D．
【对应导练】
1．如果x与y互为相反数，那么下列各组数中不一定互为相反数的是（　　）
A. -x与-y B. 2x与2y
C. x2与y2 D. 与
【答案】C
【解析】根据相反数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：∵x与y互为相反数，
∴x+y=0，
A、-x-y=0，故本选项错误，
B、2x+2y=0，故本选项错误；
C、x2与y2，只有在x=y=0是才成立，所以不一定是互为相反数，故本选项正确；
D、+=0，故本选项错误．
故选：C．
2．一个数的相反数是它本身，则该数为（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在
【答案】A
【解析】根据0的相反数是0解答．
解：∵0的相反数是0，
∴一个数的相反数是它本身，则该数为0．
故选：A．
3．如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是_____．
【答案】-2
【解析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解：4÷2=2，
则这两个数是+2和-2．
故答案为：-2．
4．若a-5和-7互为相反数，求a的值．
【解析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，求解即可．
解：根据性质可知a-5+（-7）=0，
得a-12=0，
解得：a=12．
知识点3 多重符号的化简
（1）一个具体数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数.
（2）用字母表示数，只需在字母前面加上“-”号，就可以得到对应的相反数.
多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正
【新知导学】
例3-1．化简下列各数：
（1）-（+54）；
（2）-（-13.2）；
（3）-（+）；
（4）-（-3）．
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．
解：（1）-（+54）=-54；
（2）-（-13.2）=13.2；
（3）-（+）=-；
（4）-（-3）=3．
【对应导练】
1.在，，，中，正数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据多重符号化简原则逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：，，，，
正数的个数是2个，
故选B．
【点评】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握多重符号化简的原则：若一个数前有多重符号，则看该数前面的符号中，符号“”的个数来决定，即奇数个符号则该数为负数，偶数个符号，则该数为正数．
2.化简：__________，_________，_______
【答案】 7
【分析】直接根据相反数的意义解答即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：7，，．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做相反数．
二、题型训练
1.求一个数的相反数
1．如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，那么数轴上a，b所对应的点之间相差个__________单位长度.
答案：2
解析：因为最大的负整数为，所以a的相反数为，所以.因为最小的正整数为1，所以b的相反数为1，所以.通过数轴可以知道，a，b所对应的点之间相差2个单位长度.
2．2024的相反数为( )
A.2024 B. C. D.
答案：B
解析：2024的相反数为,
故选：B.
3．如图,这是小甲同学和小乙同学的对话.
小乙同学提出的问题的答案为( )
A.2024 B. C. D.
答案：B
解析：2024的相反数为,
故选∶B.
2.多重符号化简
4．化简下列各数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）.
答案：（1）
（2）
（3）3
（4）20
（5）
（6）
（7）0.03
解析：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
5．(1)已知，求x的相反数.
(2)已知与-6互为相反数，求的值.
答案：(1)x的相反数是-8
(2)的值为15
解析：(1)，
，
，
x的相反数是-8；
(2)与-6互为相反数，
，
，
当时，
的值为15.
6．已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图所示.
（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置；
（2）若数b对应的点与其相反数对应的点相距20个单位长度，求b的值；
（3）在（2）的条件下，若数a对应的点与数b的相反数对应的点相距5个单位长度，求a的值.
答案：（1）如图.
（2）因为数b对应的点与其相反数对应的点相距20个单位长度，
且数b对应的点在原点的左侧，所以.
（3）由（2）及题意知，且a在-b的左侧，
因为数a对应的点与数-b对应的点相距5个单位长度，所以.
7．若点A，B，C，D分别表示，，，，点E，F分别表示与的相反数，请画出数轴并在数轴上标出点A，B，C，D，E，F.
答案：因为，，，，的相反数是4，的相反数是，
所以画出的数轴及各点在数轴上的位置如图.
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．-5的相反数是( )
A. B. C.5 D.-5
答案：C
解析：-5的相反数是5.
故选C.
点拨：正确理解互为相反数的概念是解题关键
2．如图，数轴上点A表示的数的相反数是( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
答案：A
解析：因为点A表示的数为-1，所以数轴上点A表示的数的相反数是1.
点拨：本题考查互为相反数定义，正确理解互为相反数的概念是解题关键
3．若一个数的相反数是它本身，则这个数为( )
A.0 B.1 C.-1 D.不存在
答案：A
解析：正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，所以相反数是它本身的数为0.
点拨：本题考查互为相反数定义，正确理解互为相反数的概念是解题关键
4．下列计算结果为5的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
点拨：本题考查互为相反数定义，正确理解互为相反数的概念是解题关键
5．下列各组数中，互为相反数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
答案：D
解析：A选项，，，两数相等，不符合题意；B选项，，不符合题意；C选项，与不是相反数，不符合题意；D选项，，，两数互为相反数，符合题意.
故选D.
点拨：本题考查互为相反数表示，在一个数的前面添加“-”号，表示这个数的相反数，正确表示相反数是解题关键
6．若，则a的值是( )
A. B. C.2 D.
答案：C
解析：因为，所以，所以.故选C.
点拨：本题考查互为相反数表示，在一个数的前面添加“-”号，表示这个数的相反数，正确表示相反数是解题关键
7．下列说法中正确的个数为( )
符号不相同的两个数互为相反数；
一个数的相反数一定是负数；
两个相反数的和等于0；
若两个数互为相反数,则这两个数一定一正一负.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：A
解析：∵只有符合不同的两个数叫做相反数
∴,不是相反数
∴错误；
∵的相反数是1,
∴一个数的相反数一定是负数,错误；
∵互为相反数的两个数,相加等于0,
∴两个相反数的和等于0,正确；
∵0的相反数是0,
∴错误；
∴正确的只有.
故选：A.
点拨：本题考查互为相反数定义，正确理解互为相反数的概念是解题关键
8．如图，数轴上有A，，，四个点，其中表示互为相反数的点是( )
A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C
答案：A
解析:解：由数轴知，A点表示，点表示，
∴数轴上表示互为相反数的点为点A与点．
故选：A
点拨：本题考查互为相反数性质，互为相反数的两个数到原点距离相等，正确理解互为相反数的性质是解题关键
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．的相反数是________.
答案：
解析：的相反数是：.
故答案为：.
点拨：本题考查互为相反数表示，在一个数的前面添加“-”号，表示这个数的相反数，正确表示相反数是解题关键
10．若，则________________.
答案：-3
解析：若，则，
故答案为：-3.
点拨：本题考查互为相反数表示，在一个数的前面添加“-”号，表示这个数的相反数，正确表示相反数是解题关键
11．若-1与互为相反数，则x的值为_______
答案：4
解析：-1与互为相反数，
，
解得：.
故答案为：4.
点拨：本题考查互为相反数性质，互为相反数的两个数的和等于0，正确理解互为相反数的性质是解题关键
12．下列各组式子：①与，②与，③与，④与，互为相反数的有__________.
答案：②④
解析：根据互为相反数的表示确定，的相反数是-（a-b）=-a+b,故①错
a+b的相反数是-（a+b）=-a-b,故②正确
a+1的相反数是-（a+1）=-1-a故③错误
-a+b的相反数是-（-a+b）=a-b故④正确
所以正确的有②④
故答案为②④
13．用“”与“”表示一种法则：，，如，则___________.
答案：2011
解析：由题意得：
，
故答案为：2011.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（6分）写出下列各数的相反数.
4，，，，0，.
答案：4的相反数是-4；的相反数是；
的相反数是；的相反数是4.5；
0的相反数是0；的相反数是3.
点拨：本题考查互为相反数表示，在一个数的前面添加“-”号，表示这个数的相反数，正确表示相反数是解题关键
15．（9分）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上.
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为__________；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为__________；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置.
答案：（1）点B（2）点C
（3）
解析：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为点B；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为点C；
（3）因为点A和点D表示的数互为相反数，这两点之间有6个单位长度，且点A和点D分别位于原点两侧，故它们到原点的距离均为3个单位长度.
点拨：本题考查互为相反数性质，互为相反数的两个数到原点距离相等，正确理解互为相反数的性质是解题关键
16．（8分）五个同学在一起讨论相反数的问题：
A同学说：-0.02是相反数；
B同学说：0.02和-0.02都是相反数；
C同学说：-0.02是0.02的相反数；
D同学说：0.02是-0.02的相反数；
E同学说：0.02与-0.02互为相反数.
你认为___________同学的说法正确.哪些同学的说法不正确？并说明理由.
答案：C，D，E的说法正确，A，B的说法错误.理由：
A同学说：-0.02是相反数，错误，因为相反数是相对而言的，只能说-0.02是0.02的相反数；
B同学说：0.02和-0.02都是相反数，错误，因为0.02和-0.02是互为相反数；
C同学说：-0.02是0.02的相反数，正确；
D同学说：0.02是-0.02的相反数，正确；
E同学说：0.02与-0.02互为相反数，正确.
点拨：本题考查互为相反数定义，正确理解互为相反数的概念是解题关键
17．（8分）化简下列各数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
答案：（1）.（2）.
（3）.（4）.
（5）.（6）.
点评：本题考查多重符号的化简，多重符号化简与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正
18．（9分）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示.
(1)在数轴上表示出a的相反数的位置;
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少
(3)在(2)的条件下，若数b表示的点与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少
答案：解:(1)如图.
(2)如图，因为a与的距离是20,所以数a表示的点与原点的距离为,所以a表示的数是-10.
(3)由(2)知，当b在的右边时，b表示的数是，当b在的左边时，b表示的数是，即b表示的数是5或15.
点拨：本题考查互为相反数性质，互为相反数的两个数到原点距离相等，正确理解互为相反数的性质是解题关键
19．（8分）小李在做数学题时,画了一条数轴,在数轴上原有一点,其表示的数是,由于粗心,把数轴的原点标错了位置,使点正好落在表示的相反数的点的位置上, 想一想,要把数轴画正确,原点要向哪个方向移动几个单位长度
答案：因为的相反数是,由题意知错使表示的点落在了表示的点的位置上,相当于把表示的点向右移动了个单位长度,所以,要想把数轴画正确,必须把原点也向右移动个单位长度.
点评：本题考查互为相反数性质，互为相反数的两个数到原点距离相等，正确理解互为相反数的性质是解题关键
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